Teoria de Hélices e Dualidaderepositorio.unicamp.br/jspui/bitstream/REPOSIP/322604/1/... · 2018. 9. 1. · Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): FAPESP, 2014/25771-2 Ficha

UNIVERSIDADE ESTADUAL DECAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica

VICTOR DO VALLE PRETTI

Teoria de Hélices e Dualidade

Campinas2017

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): FAPESP, 2014/25771-2

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaAna Regina Machado - CRB 8/5467

Pretti, Victor do Valle, 1993- P927t PreTeoria de hélices e dualidade / Victor do Valle Pretti. – Campinas, SP :

[s.n.], 2017.

PreOrientador: Simone Marchesi. PreDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

Pre1. Teoria de feixes. 2. Categorias (Matemática). 3. Geometria algébrica. I.

Marchesi, Simone,1984-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto deMatemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Helix theory and dualityPalavras-chave em inglês:Sheaf theoryCategories (Mathematics)Algebraic geometryÁrea de concentração: MatemáticaTitulação: Mestre em MatemáticaBanca examinadora:Simone Marchesi [Orientador]Fernando Eduardo Torres OrihuelaRenato Vidal da Silva MartinsData de defesa: 14-03-2017Programa de Pós-Graduação: Matemática

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Dissertação de Mestrado defendida em 14 de março de 2017 e aprovada

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof.(a). Dr(a). SIMONE MARCHESI

Prof.(a). Dr(a). FERNANDO EDUARDO TORRES ORIHUELA

Prof.(a). Dr(a). RENATO VIDAL DA SILVA MARTINS

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros

encontra-se no processo de vida acadêmica do(a) aluno(a).

Aos meus pais, irmão e amigos que sempre me apoiaram.

Agradecimentos

Gostaria de aqui agradecer a todos que participaram dessa jornada que foi omestrado.

Começando com a minha mãe, Maristela do Valle, que sempre me apoiou detodas as formas que pôde, e algumas que não pôde também. Obrigado mãe. Sem vocêisso tudo seria impossível. Ao meu irmão, Daniel do Valle Pretti, na vida e no ambitoacadêmico que me ajudou bastante quando precisei de um caminho a seguir, principalmenteno segundo ano do mestrado. Obrigado.

Em seguida, aos amigos, estes sempre estiveram lá quando eu precisei. Sejapara assuntos materiais como para imateriais. Vocês foram muito importantes. Obrigado.Um agradecimento especial ao Daniel Futata, Renato Moreira e Lucas Fiqueiredo pelosmuitos anos de amizade.

Agradeço também ao meu orientador Simone Marchesi pela orientação namatemática e na burocracia acadêmica. Ele fez tudo que pode para estar disponível quandoprecisei.

E finalizo agradecendo a FAPESP que financiou o meu projeto de mestrado ede graduação, acreditando na minha capacidade em todos os passos da minha carreiraacadêmica.

Att. Victor

ResumoNeste trabalho estudamos sobre Teoria de Hélices, com base no artigo de A.L. Gorodentseve S.A. Kuleshov, e sobre teoremas de dualidade utilizando como fonte principal o artigodo Amnom Neeman. Como base para esse estudo foi necessário estudar as categoriastrianguladas arbitrarias onde construímos a localização de Verdier. Para aplicarmos essesresultados gerais à Geometria Algébrica foi necessário o estudo da categoria dos feixesquasicoerentes e da categoria dos feixes coerentes sobre um esquema, e das suas respectivascategorias derivadas ilimitadas e limitadas.

Palavras-chave: Teoria de feixes. Categorias (Matemática). Geometria algébrica.

AbstractIn this work we study Helix Theory, using as the main reference the article from A.L.Gorodentsev and S.A. Kuleshov, and also studied theorems concerning the duality usingan article by Amnon Neeman. This work is based on the study of arbitrary triangulatedcategories and Verdier localization. To apply this results to Algebraic Geometry we neededto understand the categorie of Quasicoherent Sheaves and Coherent Sheaves over a schemeand also their respective derived categories.

Keywords: Sheaf theory. Categories (Mathematics). Algebraic geometry.

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 CATEGORIAS TRIANGULADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1 Alguns conceitos da teoria de categorias . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Categorias Trianguladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Objetos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Quociente Verdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 CATEGORIAS DERIVADAS DE FEIXES . . . . . . . . . . . . . . . 432.1 Feixes Quasicoerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.1 OX-módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.2 Feixes Quasicoerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Funtores Derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3 Sequências Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 TEORIA DE HÉLICES E DUALIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1 Teoria de Hélices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1.1 Reticulados de Mukai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1.2 Categorias Trianguladas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10

Introdução

Nessa dissertação o principal objeto de estudo são as categorias derivadasassociadas a um esquema. Estudamos como construi-las, mostramos casos especiais ondeelas possuem propriedades importantes como a existência de resoluções injetivas, e tambémcomo utilizar essas propriedades importantes para descrever propriedades geométricas doesquema, como no caso da dualidade de Serre e a sequência espectral de Beilinson.

O estudo das categorias derivadas nasce da necessidade de Grothendieck deextender o resultado da dualidade de Serre para feixes coerentes sobre variedades algébricasgerais, não obrigatóriamente suaves. Resultado que foi extendido e é conhecido hoje comoDualidade de Grothendieck-Verdier.

Teorema. Seja f : X Ñ Y um morfismo próprio entre esquemas noetherianos e separados.Então existe um isomorfismo natural

RHompRf˚X‚, Y ‚q » Rf˚RHompX

‚, f !Y ‚q,

onde X‚ e Y ‚ são objetos de DpQCohpXqq e DpQCohpY qq, respectivamente.

A primeira descrição formal da categoria derivada é dada na tese de Verdier(VERDIER, 1996) utilizando a noção de categorias trianguladas. Tese essa que, emboraescrita em 1967, só foi publicada em 1996. A ideia da construção da categoria derivada étornar equivalências fracas em uma categoria em isomorfismos.

A principio, esse processo pode ser feito em uma categoria qualquer e é conhecidocomo a localização da categoria por um conjunto de morfismos. Na categoria derivadaisso é feito escolhendo o conjunto de quasi-isomorfismos na categoria de complexos deuma categoria abeliana. E utilizando o conceito de categorias trianguladas vemos que essalocalização preserva a estrutura dos triângulos.

Os métodos utilizados por Verdier e Grothendieck foram aplicados em muitasáreas como estudo de sistemas de equações diferenciais parciais, por M. Sato (SATO,1969), ou nos artigos de Beilinson e Bernstein-Gelfand-Gelfand,(BEILINSON, 1978) e(BERNSTEIN; GELFAND; GELFAND, 1978), que relacionam a categoria de feixescoerentes sobre um espaço projetivo e as representações de certas algebras de dimensãofinita.

No primeiro capítulo estudaremos as propriedades gerais das categorias trian-guladas. Começamos com uma introdução a teoria geral de categorias, definindo o queconsideramos ser uma das principais abordagens do Século XX. Nessa seção veremos o quesão as categorias abelianas e inclusive os axiomas adicionais propostos por Grothendieck

Introdução 11

em seu famoso artigo Tôhoku (GROTHENDIECK, 1957). Na segunda seção definimos ascategorias trianguladas, nosso principal objeto de estudo nessa dissertação. Aqui tambémdefinimos os objetos compactos e o Teorema de Representabilidade de Brown, estes serãousados no terceiro capítulo para demonstrar a existência de f !.

Na terceira e mais comprida sessão construimos a localização de Verdier. Essefoi uma parte muito importante da tese (VERDIER, 1996). Seguimos de perto o livro(NEEMAN, 2001) por conter a demonstração dessa construção em grande detalhe egeneralidade, adicionando assim que necessário alguma informação.

No Capítulo 2 utilizamos da localização de Verdier para definir as categoriasderivadas. Mas para foi preciso estabelecer em qual categoria seria aplicada a localização,nesse caso a categoria dos OX-módulos, a categoria dos feixes quasi-coerentes e a categoriados feixes coerentes. Algumas propriedades básicas dessas categorias foram apresentadasseguindo em geral os livros (GORTZ; WEDHORN, 2010) e (HARTSHORNE, 1977).Estabelecemos ainda na primeira sessão uma base solida sobre a teoria dos feixes quasi-coerentes sobre esquemas projetivos, culminando na demonstração do teorema de Serresobre seções em feixes coerentes.

A segunda seção desse capítulo liga os conceitos estudados no primeiro capítulocom a categoria dos feixes quasi-coerentes. Começando com um estudo sobre resoluçõesinjetivas e projetivas e suas propriedades básicas. Utilizamos principalmente do (GELFAND;MANIN, 2003) e uma parte do (BöKSTEDT; NEEMAN, 1993), pois na literatura nãose costuma definir mais os funtores derivados não limitados e estes seriam necessários noterceiro capítulo. Isso traz algumas dificuldades técnicas que são, em geral, contornáveis.Para essas e outras dificuldades técnicas utilizamos bastante das notas (MURFET, 2017).Finalizamos o capítulo com a definição das sequências espectrais e os sistemas de Postnikov.É interessante notar que nessa seção são dadas duas construções de sequências espectraisaparentemente distintas, quando na verdade elas são apenas duas representações diferentesdo mesmo objeto.

Finalizamos a dissertação explicando os resultados presentes nos dois artigos(GORODENTSEV; KULESHOV, 2004) e (NEEMAN, 1996). Podemos ver uma diferençaclara entre os dois artigos onde um foca nas propriedades das categorias derivadas limitadasDbpCohpXqq de feixes coerentes e o outro foca nas categorias derivadas ilimitadas como

DpQCohpXqq e DpXq. Isso traz facilidades e dificuldades em cada um dos casos. E éimportante perceber o contraste entre as duas abordagens sobre objetos que a principiosão bem parecidos.

12

1 Categorias Trianguladas

Começamos o capítulo com algumas definições e proposições gerais sobre a teoriade categorias e de categorias trianguladas em geral seguindo os livros (HUYBRECHTS,2006) e (NEEMAN, 2001), em seguida definimos os objetos compactos e apresentaremos arepresentabilidade de Brown como apresentada em (NEEMAN, 1996), responsável peloresultado de adjunção no Capítulo 3, Corolário 3.2.12. Este teorema será a peça centralna demonstração da dualidade de Grothendieck-Verdier e consequentemente da dualidadede Serre.

Concluiremos este capítulo com a construção do quociente de Verdier, fer-ramenta que nos permite estudar a categoria derivada de uma categoria abeliana. Ademonstração segue o segundo capítulo de (NEEMAN, 2001) evitando passar pelas partestécnicas. O estudo da categoria derivada dos feixes coherentes será estudada no próximocapítulo.

1.1 Alguns conceitos da teoria de categoriasComeçamos a sessão com uma breve definição do conceito de categoria, fun-

tores e transformações naturais. Logo depois, o Lema de Yoneda, uma das ferramentasfundamentais da teoria de categorias. Em seguida definimos um conceito fundamentalpara o nosso estudo, a adjunção de um funtor. Essa noção é muito importante, uma vezque a dualidade de Grothendieck-Verdier diz respeito a existência do funtor adjunto adireita. Definimos a categoria Sets como sendo aquela cujos objetos são os conjuntos e osmorfismos são as funções.

Definição 1.1.1. Uma categoria C é composta de duas classes, a classe dos objetos ObjC ea classe dos morfismos MorpCq. Cada elemento da classe dos morfismos pode ser denotadopor f : AÑ B para únicos objetos A e B. Denotamos o conjunto de todos os morfismosdenotados por f : AÑ B por HomCpA,Bq.

Os morfismos devem satisfazer algumas condições:

(i) Para todos objetos A,B,C,D em C existe uma função

˝ : HompA,Bq ˆHompB,Cq Ñ HompA,Cq

tal que pf ˝ gq ˝ h “ f ˝ pg ˝ hq, onde f P HomCpB,Cq, g P HomCpA,Bq eh P HomCpD,Aq.

(ii) Para todo objeto A em C existe um morfismo IdA em HomCpA,Aq tal que IdA ˝f “ f

e g ˝ IdA “ g, para todo objeto B com f P HomCpB,Aq e g P HompA,Bq.

Capítulo 1. Categorias Trianguladas 13

Quando estiver claro sobre qual categoria estamos trabalhando denotaremosHomCpA,Bq por HompA,Bq.

Definição 1.1.2. Um funtor covariante F entre duas categorias C e C 1 é uma associaçãoque a cada objeto X em C obtemos um objeto F pXq em C 1, e para cada morfismo em Cf : A Ñ B obtemos um morfismo F pfq : F pAq Ñ F pBq tal que F pf ˝ gq “ F pfq ˝ F pgq

e F pIdAq “ IdF pAq, para todos objetos A,B,C com f P HompA,Bq e g P HompC,Aq.Denotamos este funtor por F : C Ñ C 1.

Analogamente, podemos definir os funtores contravariantes. A notação paraos dois é a mesma e fica claro do contexto qual dois estamos lidando. Caso não sejaespecificado no contexto é porque o resultado vale para os dois casos.

Definição 1.1.3. Um funtor contraviante F entre duas categorias C e C 1 é uma associaçãoque a cada objeto X em C obtemos um objeto F pXq em C 1 e para cada morfismo f : AÑ B

em C obtemos um morfismo F pfq : F pBq Ñ F pAq tal que F pf ˝ gq “ F pgq ˝ F pfq eF pIdAq “ IdF pAq, para todos objetos A,B,C com f P HompA,Bq e g P HompC,Aq.

Definição 1.1.4. Dados dois funtores covariantes F e F 1 de C em C 1, uma transformaçãonatural φ : F Ñ F 1 é uma coleção de morfismos φX : F pXq Ñ F 1pXq, para todo objeto Xem C tal que o seguinte diagrama é comutativo

F pXqφX //

F pfq

F 1pXq

F 1pfq

F pY qφY // F 1pY q

para todos objetos X e Y em C e f P HompX, Y q.

Analogamente definimos uma transformação natural de funtores contravariates.

Lema 1.1.5. (Lema de Yoneda) Seja FunpAq a categoria dos funtores contravariantessobre A em Sets. Então o funtor A Ñ FunpAq que leva os objetos A de A no funtorHomp´, Aq : A Ñ Sets e os morfismos nos morfismos de funtores Hom, é um funtorcompletamente fiel.

Definição 1.1.6. Um funtor contravariante F : A Ñ Sets é dito representável se existeum objeto A em A tal que F é isomorfo ao funtor Homp´, Aq.

Definição 1.1.7. Seja F : A Ñ B um funtor entre categorias arbitrárias. Um funtorH : B Ñ A é dito o adjunto a direita de F se existe um isomorfismo

HompF pAq, Bq » HompA,HpBqq

para qualquer objeto A de A e B de B, funtorial em A e B. O funtor F é ditoser o adjunto a esquerda de H.


A noção de adjunção pode ser descrita utilizando os conceitos de unidade ecounidade.

Proposição 1.1.8. (Unidade e counidade) Dados um par de funtores covariantesF : A Ñ B e G : B Ñ A, dizemos que G é o adjunto a direita de F se e somente se existemtransformações naturais η : 1A Ñ G ˝ F (a unidade) e ε : F ˝GÑ 1B (a counidade), taisque as seguintes identidades são satisfeitas IdA “ εF ˝ Fη e IdB “ Gε ˝ ηG.

A identidade expressa na proposição anterior nos mostra que dados objetos Ae B em A e B, respectivamente, temos que IdA “ εF pAq ˝ F pεAq e IdB “ GpεBq ˝ ηGpBq. Ademonstração desta proposição pode ser encontrada, com bastante detalhe, no Teorema6.4 do artigo (KAN, 1958), um dos primeiros artigos a explorar o conceito de funtoresadjuntos.

Proposição 1.1.9. Considere duas categorias A e B que possuem produtos e coprodutose dois funtores covariantes F : A Ñ B e G : B Ñ A. Se G é a adjunta a direita de Fentão F preserva coprodutos e G preserva produtos.

Para demonstrar a proposição anterior basta combinar a definição de adjunçãoentre esses funtores, o fato que os funtores HompA,´q e Homp´, Bq preservam produtose transformam coprodutos em produtos, respectivamente, para todo objeto A em A e Bem B, e o Lema de Yoneda.

Proposição 1.1.10. Um funtor covariante F : A Ñ B é uma equivalência de categoriasse e somente se a função HompA,Bq Ñ HompF pAq, F pBqq é uma bijeção para todosobjetos A e B em A, e se para objeto C em B existe um objeto A em A tal que F pAq éisomorfo a C.

A demonstração dessa proposição pode ser encontrada na Proposição 1.4(HUYBRECHTS, 2006). No caso do funtor contravariante dizemos que F é uma anti-equivalência de categorias e um resultado analogo à Proposição 1.1.10 é verdadeiro parafuntores contravariantes.

Agora definiremos os conceitos de categorias aditivas e abelianas para preservara completude do trabalho.

Definição 1.1.11. Uma categoria C é dita aditiva se para quaisquer dois objetos A,B emC, o conjunto dos morfismos entre eles, HompA,Bq, possui a estrutura de grupo abelianosatisfazendo as seguintes propriedades:

(i) A composição HompA,BqˆHompB,Cq Ñ HompA,Cq é um homomorfismo de grupos.

(ii) Existe um objeto 0 em A, isto é, um objeto tal que HompA, 0q é o grupo trivial paratodo objeto A em A.


(iii) Para quaisquer dois objetos A1, A2 em A existe um único objeto, a menos de iso-morfismo, B de A tal que B é o biproduto de A1 e A2. Isto é, existem morfismosji : Ai Ñ B e pi : B Ñ Ai, para i “ 1, 2, satisfazendo: piji “ 1Ai

, j1p2 “ 0, j2p1 “ 0e j1p1 ` j2p2 “ 1B.

Definição 1.1.12. Um funtor F : A Ñ B entre categorias aditivas é dito aditivo se omapa induzido por F ; HompA,Bq Ñ HompF pAq, F pBqq é um homomorfismo de grupospara quaisquer objetos A e B em A.

Uma propriedade interessante do biproduto é que ele é preservado por qualquerfuntor aditivo.

Definição 1.1.13. Uma categoria aditiva A é dita abeliana se para todo morfismof : AÑ B em A pode ser fatorado em A

uÝÑ I

vÝÑ B com u sendo um epimorfismo e v um

monomorfismo e I é um objeto de A. Dizemos que I é a imagem do morfismo f .

Utilizando dessa definição de categorias abelianas podemos ver que estaspossuem núcleos e conúcleos, objetos muito importantes para o estudo de uma categoria.No famoso artigo de Grothendieck sobre algebra homológica ele lista alguns outros axiomasadicionais que uma categoria abeliana pode satisfazer. Usaremos esses axiomas no capítulo2. Essa notação é utilizada na literatura, os axiomas 1 e 2 das categorias abelianas definidosem (GROTHENDIECK, 1957) podem ser resumidos na definição 1.1.13

Definição 1.1.14. Seja A uma categoria abeliana. Essa categoria pode satisfazer osseguintes axiomas:

pAB3q Se existe o coproduto de qualquer familia indexada pAiqiPI em A.

pAB4q Se A satisfaz AB3 e o coproduto de monomorfismos é um monomorfismo.

pAB5q Se A satisfaz AB3 e os colimites filtrados de sequências exatas são exatos.

pAB3˚q Se existe o produto de qualquer familia indexada pAiqiPI em A.

pAB4˚q Se A satisfaz AB3˚ e o produto de epimorfismos é um epimorfismo.

pAB5˚q Se A satisfaz AB3˚ e os limites filtrados de sequências exatas são exatos.

Exemplo 1.1.15. Seja R um anel comutativo com unidade e ModR a categoria cujosobjetos são R-módulos e os morfismos são homomorfismos de R-módulos. Essa categoria éabeliana e satisfaz os axiomas AB3,AB4, AB5,AB3˚ e AB4˚. Esta será a nossa categoriamodelo quando estivermos estudando os feixes sobre um esquema que possuem umaestrutura natural de módulo sobre o feixe de estrutura.


Exemplo 1.1.16. Seja A uma categoria abeliana. Definimos a categoria KompAq cujosobjetos são complexos de objetos em A, isto é, diagramas da forma

...di´1ÝÝÑ X i di

ÝÑ X i`1 di`1ÝÝÑ X i`2

Ñ ...

tais que a composição di ˝ di´1“ 0 para todo i P Z. Chamamos esses morfismos di de

diferenciais do complexo. Os morfismos emKompAq são os morfismos de complexos, ou seja,um morfismo entre dois complexos X‚ e Y ‚ é dado por um conjunto tf i : X i

Ñ Y i|i P Zu

fazendo o seguinte diagrama comutar

X‚ : X i //

f i

X i`1 //

f i`1

X i`2 //

f i`2

X i`3 //

f i`3

...

Y ‚ : Y i // Y i`1 // Y i`2 // Y i`3 // ...

Definimos também os funtores covariantes de cohomologia H i : KompAq Ñ Aonde

H ipX‚

q “ KerpdiqImpdi´1q,

e pela comutatividade do diagrama anterior vemos que se f é um morfismo de complexosentão podemos induzir H i

pfq utilizando das propriedades universais do núcleo e conúcleo.

Podemos também definir as categorias Kom`pAq, Kom´

pAq e KombpAq cujos

objetos são complexos limitados inferiormente, superiormente e limitados por ambos oslados, respectivamente, e os morfismos são os mesmos definidos no exemplo anterior.Denotaremos por Kom˚

pAq quando não quisermos especificar com qual dessas categoriasestaremos trabalhando.

1.2 Categorias TrianguladasNessa seção definiremos as categorias trianguladas, um conceito proposto

na tese de Verdier escrita em 1967 mas só publicada em 1996, (VERDIER, 1996). Ageneralidade das categorias trianguladas nos da a estrutura ideal para trabalharmos coma categoria derivada dos feixes coerentes sobre um esquema, uma vez que esta categoria énecessáriamente não abeliana, a menos de exemplos triviais.

Definição 1.2.1. Seja D uma categoria aditiva. Uma estrutura de categoria trianguladaem D é dada por uma equivalência aditiva

T : D Ñ D,

chamada de funtor de translação, e um conjunto de diagramas

A // B // C // Ar1s :“ T pAq


chamados de triângulos distinguidos, satisfazendo os seguintes axiomas TR1-TR4:

TR1:Todo triângulo da forma

AId // A // 0 // Ar1s

é distinguido.

(ii)Todo triângulo isomorfo a um triângulo distinguido é um triângulo distinguido.

(iii)Todo morfismo f : AÑ B em D pode ser completado a um triângulo distinguido

Af// B // C // Ar1s.

TR2: O triangulo

Af// B

g// C

h // Ar1sé um triângulo distinguido se e somente se

Bg// C

h // Ar1s ´f r1s“´T pfq // Br1sé um triângulo distinguido.

TR3: Suponha que temos um diagrama comutativo de triângulos distinguidos com asflechas verticais f e g:

A //

f

B //

g

C // Ar1s

A1 // B1 // C 1 // D1

Então o diagrama pode ser completado à um diagrama comutativo, isto é, existe omorfismo h : C Ñ C 1 fazendo o seguinte diagrama ser comutativo

A //

f

B //

g

C //

h

Ar1s

A1 // B1 // C 1 // D1.

Esse morfismo não precisa ser único.

TR4(Axioma do Octaedro): Dados objetos X, Y, Z na categoria D e morfismosf : X Ñ Y , g : Y Ñ Z e triângulos distinguidos

Xf// Y // Q1 // Xr1s

Xg˝f// Z // Q2 // Xr1s

Yg// Z // Q3 // Y r1s

então existem morfismos a : Q1 Ñ Q2, b : Q2 Ñ Q3 tais que o seguinte diagramaconsiste de linhas e colunas de triângulos distinguidos:


Xf

//

1

Y //

g

Q1 //

a

Xr1s

Xg˝f

//

Z //

Q2 //

b

Xr1s

0 //

Q31 //

Q3 //

0

Xr1s // Y r1s // Q1r1s // Xr2s :“ T pXr1sq

Uma categoria satisfazendo os axiomas TR1 a TR3 é chamada de uma cate-goria pré-triangulada. Até o momento desse trabalho não se sabe de nenhum exemplo decategoria pré-triangulada que não seja triangulada. Uma consequência dos axiomas TR1e TR3 é que a composição dos morfismos em um triângulo distinguido são nulas.

Exemplo 1.2.2. Seja A uma categoria abeliana e KompAq a categoria de complexoscom objetos e morfismos em A. A categoria homotópica KpAq possui como objetos osmesmos objetos de KompAq e os morfismos são obtidos dos morfismos de complexos,quocientando por uma relação de equivalência chamada homotopia. Dizemos que f e g emHomKompAqpX ,Yq são homotópicos, relação denotada por f „ g, se existem morfismoshi : X i

Ñ Y i´1, para todo i P Z, em A tais que f i ´ gi “ dhi ` hi`1d como no seguintediagrama

X : ... // X i d //

f i

gi

X i`1 d //

f i`1

gi`1

hi´1

ww

X i`2 //

f i`2

gi`2

hi`2

ww

...

Y : ... // Y i d // Y i`1 d // Y i`2 // ...

Os funtores H i : KompAq Ñ A são independentes da escolha do representantehomotópico, portanto podemos extende-los a H i : KpAq Ñ A.

Definimos para cada n P Z o funtor rns : KpAq Ñ KpAq que leva o complexo Xde objetos X i e diferenciais di no complexo Xrns de objetos pXrnsqi “ X i`n e diferenciaispdrnsqi “ p´1qndi`n. É fácil ver que isso define um automorfismo de KpAq em KpAq, ainversa é o funtor rńs. O funtor de translação de KpAq é o funtor r1s.

Para definirmos os triângulos distinguidos precisamos dos cilindros e cones deum morfismo de complexo. Dado um morfismo f : X Ñ Y de complexos, o cone dessemorfismo Cpfq é o complexo cujos objetos são Cpfqi “ Xr1si ‘ Y i e os diferenciais sãodCpfqipx

i`1, yiq “ p´dxi`1, fpxi`1q ` dpyiqq. O cilindro de um morfismo f é o complexo

Cylpfq de objetos Cylpfqi “ X i‘Xr1si ‘ Y i e os diferenciais são

diCylpfqpxi, xi`1, yiq “ pdxi ´ xi`1,´dxi`1, fpxi`1

q ` dpyiqq.

Um triângulo em KpAq


Af// B // C // Ar1s

é dito distinguido se é isomorfo, como triângulo, ao triângulo

A i // Cylpfq π // Cpfq δ // Ar1s

onde i é a inclusão, π é a projeção canônica de Cylpfq em Cpfq e δ é a projeçãode Cpfq em Ar1s. A demonstração que KpAq satisfaz os axiomas de uma categoriatriangulada podem ser encontrados na primeira seção do Capitulo 3 de (GELFAND;MANIN, 2003).

Da mesma forma que podemos definir as categorias Kom˚pAq, com ˚ “ `, ´

ou b, também podemos definir K˚pAq para os casos ˚ “ `, ´ ou b.

Definição 1.2.3. Seja T uma categoria triangulada, um morfismo de triângulos em T éum diagrama comutativo da forma

A //

f

B //

g

C //

h

Ar1sf r1s

A1 // B1 // C 1 // D1

Ainda na notação da definição anterior, se aplicarmos os axiomas TR2 e TR3vemos que dados dois morfismos dentre tf, g, hu, é possível encontrar o terceiro elementodesse conjunto de forma a obtermos um morfismo de triângulos.

Apresentaremos agora um axioma equivalente ao axioma TR4, muito utilizadoem (NEEMAN, 2001), inclusive na demonstração da existência de uma estrutura decategoria triangulada no quociente de Verdier. No artigo (NEEMAN, 1991) encontramos ademonstração da equivalência entre o TR4 e o TR4’.

Axioma TR4’: Dado um diagrama da forma

X u //

f

Y v //

g

Z w // Xr1s

X 1 u1 // Y 1v1 // Z 1

w1 // X 1r1sonde as linhas são triângulos distinguidos, podemos completa-lo a um morfismo

de triângulos utilizando o TR3 e obter h : Z Ñ Z 1 fazendo o diagrama comutar. Maspodemos tomar h de forma que o seguinte diagrama, o cone do morfismo entre essestriângulos, é um triângulo distinguido

Y ‘X 1

”

´v 0g u1

ı

// Z ‘ Y 1

”

´w 0h v1

ı

// Xr1s ‘ Z 1„

úr1s 0f r1s w1

// Y r1s ‘X 1r1s

Definição 1.2.4. Seja D uma categoria triangulada e A uma categoria abeliana. Umfuntor H : D Ñ A é dito homológico se para todo triângulo distinguido

Au // B

v // Cw // Ar1s

a sequência


HpCr´1sq Hpwr´1sq// HpAq

Hpuq// HpBq

Hpvq// HpCq

Hpwq// HpAr1sq

é exata em A.

Vemos que todo funtor homológico nos da o equivalênte à sequencia longa exatagerada pela homologia de complexos. Da mesma forma podemos definir funtores cohomoló-gicos, que são a versão contravariante da definição acima. Um exemplo muito importantede funtor homológico (cohomológico) que aparece naturalmente quando definimos umacategoria triangulada é o funtor HompU,´q ( Homp´, Uq ).

Exemplo 1.2.5. Nas categorias triânguladas K˚pAq, onde A é uma categoria abeliana,

os funtores H i : K˚pAq Ñ A são funtores homológicos. A demonstração desse fato está na

Proposição 6 da Seção 3 do Capítulo 3 de (GELFAND; MANIN, 2003).

Proposição 1.2.6. Seja D uma categoria triangulada e U um objeto de D. EntãoHompU,´q é um funtor homológico.

Demonstração. Começamos com um triângulo distinguido

Au // B

v // Cw // Ar1s

Precisamos mostrar que

HompU,Aq // HompU,Bq // HompU,Cq

é exata. Já sabemos que a composição desses mapas é nula. Agora sejaf : U Ñ B um elemento de HompU,Bq tal que v ˝ f “ 0. Temos o seguinte diagramacomutativo

UId // U //

f

0 //

U r1s

A // Bv // C // Ar1s

Como as linhas são triângulos distinguidos, pelo TR1, vemos pelo observaçãofeita após a definição de morfismos de triângulos que existe h : U Ñ A completando odiagrama. Este morfismo é exatamente o que precisamos para mostrar que a sequênciagerada por HompU,´q é exata.

Corolário 1.2.7. Considere o morfismo de triângulos distinguidos

X //

f

Y //

g

Z //

h

Xr1sf r1s

X 1 // Y 1 // Z 1 // X 1r1stal que dois dos morfismos verticais são isomorfismos então os outros dois

também são isomorfismos.


Esse corolário é uma consequência direta da proposição anterior e do Lemade Yoneda. Utilizando do TR2 e das oberservações feitas sobre o TR3 vemos que essecorolário pode ser visto como uma variação de Lema dos 5 para categorias triânguladas.

Definição 1.2.8. Seja T uma categoria triangulada. Uma subcategoria completa aditivaS de T é dita triangulada se é fechada pela translação de T , isto é, T pXq é um objeto deS, para todo objeto X em S, e se para todo triângulo distinguido

X // Y // Z // Xr1stal que X e Y estão em S então Z também está em S

As seguintes definições serão importantes na demonstração da existência doquociente de Verdier, ferramenta utilizada para construir a categoria derivada de umacategoria abeliana. Essas definições e proposições seguem o primeiro capitulo de (NEEMAN,2001).

Definição 1.2.9. Seja T uma categoria triangulada. Então um quadrado comutativo

Yf//

g

Z

g1

Y 1f 1// Z 1

é dito um quadrado cartesiano se existe um triângulo distinguido

Y

” g´f

ı

// Y 1 ‘ Zr f 1 g1 s

// Z 1 B // Y r1s

para algum B : Z 1 Ñ Y r1s.

Dizemos que Y é o pullback homotópico do diagrama

Z

g1

Y 1f 1// Z 1

e que Z 1 é o pushout do diagrama

Yf//

g

Z

Y 1

Proposição 1.2.10. O pushout do diagrama

Yf//

g

Z

Y 1

existe e denotaremos esse pushout usando a notação da definição do quadradocartesiano homotópico. Para qualquer objeto P e morfismos a : Y 1 Ñ P e b : Z Ñ P

fazendo o diagrama abaixo comutar


Yf//

g

Z

b

Y 1 a // P

existe um morfismo Z 1 Ñ P que leva o pushout homotópico no quadradocomutativo acima.

Demonstração. A existência do pushout homotópico é dada pelo axioma TR1 (iii) aplicadoao morfismo Y Ñ Y 1 ‘ Z. Pelo corolário 1.2.7 vemos que o pushout é unico a menosde isomorfismo, não canônico, isto é, um isomorfismo que não é único. Um quadradocomutativo

Yf//

g

Z

b

Y 1a // P

representa que a composta de Y Ñ Y 1 ‘ Z Ñ P é nula. Mas sabemos queHomp´, P q é um funtor cohomológico e portanto leva o triângulo distinguido

Y

” g´f

ı

// Y 1 ‘ Zr f 1 g1 s

// Z 1B // Y r1s

em uma sequência longa exata, portanto temos um elemento de HompY 1‘Z, P qtal que a imagem dele em HompY, P q é nula, mas como a sequência é exata vemos queesse mapa está na imagem do mapa HompZ 1, P q Ñ HompY 1 ‘ Z, P q, concluindo ademonstração.

Podemos dualizar a demonstração para mostrar o resultado analogo parapullbacks homotópicos.

Lema 1.2.11. Seja

Y //

g

Z

h

Y 1 // Z 1

um quadrado cartesiano homotópico. Se

Yg// Y 1 // Y 2 // Y r1s

é um triângulo distinguido, então existe um triângulo distinguido

Zh // Z 1 // Y 2 // Zr1s

que completa o quadrado cartesiano homotópico em um morfismo de triângulos

Yg//

Y 1

// Y 2 //

Y r1s

Zh // Z 1 // Y 2 // Zr1s


Demonstração. A demonstração desse lema pode ser encontrada no Lema 1.4.4. de (NEE-MAN, 2001)

Definição 1.2.12. Seja T uma categoria triangulada, S uma subcategoria trianguladade T . Definimos a classe de morfismos MorS onde f : X Ñ Y está em MorS se e somentese existe um triângulo distinguido

Xf// Y // Z // Xr1s

tal que Z é um objeto de S.

Proposição 1.2.13. Todo isomorfismo em T está em MorS .

Demonstração. Para ver que isso é verdade basta perceber que em um triângulo distinguido

Xf// Y // Z // Xr1s

onde f é um isomorfismo, Z é isomorfo ao 0 e por S ser aditiva então 0 é umobjeto de S.

A classe MorS satisfaz as seguintes propriedades:

Proposição 1.2.14. Sejam f : X Ñ Y , g : Y Ñ Z morfismos em uma categoriatriangulada T , e S uma subcategoria triangulada de T . Então se pelo menos dois dos trêsmorfismos f , g ou g ˝ f estiverem em MorS , o outro também está.

Demonstração. Considere a mesma notação utilizada no axioma do octaedro e com issotemos o diagrama

Xf

//

1

Y //

g

Q1 //

a

Xr1s

Xg˝f

//

Z //

Q2 //

b

Xr1s

0 //

Q31 //

Q3 //

0

Xr1s // Y r1s // Q1r1s // Xr2s :“ T pXr1sqConsiderando que todas as linhas e colunas são triângulos distinguidos, podemos

ver que pela terceira coluna do diagrama que se dois dos morfismos considerados estiveremem MorS então o outro também está.

Proposição 1.2.15. O pullback homotópico e pushout homotópicos de um morfismo emMorS também estão em MorS .

Demonstração. Considere o quadrado cartesiano homotópico


Y //

g

Z

g1

Y 1 // Z 1

.

Utilizando do Lema 1.2.11, obtemos um morfismo de triângulos distinguidos

Yg//

Y 1

// Y 2 //

Y r1s

Zg1// Z 1 // Y 2 // Zr1s

E desse morfismo vemos que g está em MorS se e somente se g1 está também.A demonstração para f e f 1 é completamente analoga.

Definição 1.2.16. Um funtor aditivo covariante F : D Ñ D1 entre categorias trianguladasD e D1 é dito exato se as seguintes condições são satisfeitas:

i) Existe um isomorfismo funtorial F ˝ TD » TD1 ˝ F . Isto é, o funtor devecomutar com o funtor translação.

ii)Para qualquer triângulo distinguido

X // Y // Z // Xr1s

em D, ao aplicar F , obtemos o seguinte triângulo distinguido em D1

F pXq // F pY q // F pZq // F pXqr1s » F pXr1sq.

Proposição 1.2.17. Seja F : D Ñ D1 um funtor exato entre categorias trianguladas. SeF possui uma adjunta a direita H : D1

Ñ D então H é um funtor exato entre categoriastrianguladas.

Demonstração. Utilizando o fato que F comuta com o funtor de translaçao temos queT´1

D1 ˝ F » F ˝ T´1D . Com isso temos os seguintes isomorfismos funtoriais:

HompA,HpTD1pBqqq “ HompF pAq, TD1pBqq “ HompT´1D1 pF pAqq, Bq

“ HompF pT´1D pAqq, Bq “ HompT´1

D pAq, HpBqq

“ HompA, TDpHpBqqq

para qualquer objetos A e B em D e D1, respectivamente. Pelo Lema de Yonedaconcluimos que H também comuta com os funtores de translação.

Agora precisamos mostrar que a imagem por H de um triângulo distinguidoem D1 é um triângulo distinguido em D. Considere o triângulo distinguido

A // B // C // Ar1s.Queremos mostrar que o seguinte diagrama é um distinguido

HpAq // HpBq // HpCq // HpAqr1s.


Aplicando o axioma TR1 ao mapa HpAq Ñ HpBq, compondo o funtor Fobtemos o triângulo distinguido

HpAq // HpBq // C0 // HpAqr1se então aplicando o axioma TR3 temos o seguinte diagrama comutativo de

triangulos distinguidos

F pHpAqq //

F pHpBqq //

F pC0q //

F pHpAqqr1s

A // B // C // Ar1sonde os mapas verticais são dados pela counidade e o TR3. Aplicando H ao

diagrama acima e utilizando a Proposição 1.1.8 obtemos

HpAq //

HpBq //

C0 //

HpAqr1s

HpF pHpAqqq //

HpF pHpBqqq //

HpF pC0qq //

HpF pHpAqqqr1s

HpAq // HpBq // HpCq // HpAqr1sMas sabemos que a composiçao dos morfismos nas duas primeiras colunas do

diagrama são a identidade pelo teorema das unidades e counidades. Gostariamos de poderaplicar o axioma TR3 mas não sabemos se a segunda linha é um triângulo distinguido.

Utilizando da adjunção vemos que a ultima linha do diagrama é levada numasequência longa exata pelo funtor HompA0,´q para qualquer A0 objeto de D, e com o Lemados 5, na categoria de grupos abelianos, concluimos que HompA0, C0q “ HompA0, HpCqq

pelo mapa descrito no diagrama acima, e usando o lema de Yoneda vemos que C0 » HpCq.Novamente utilizando o axioma TR1 vemos que a ultima linha do diagrama é de fato umtriângulo distinguido e portanto H é um funtor exato.

1.2.1 Objetos Compactos

Definição 1.2.18. Um objeto C de uma categoria triangulada D é dito compacto se, paraqualquer coproduto de objetos em D temos

HompC,ž

λPΛTλq “

ž

λPΛHompC, Tλq

Definição 1.2.19. Uma categoria triangulada D é dita compactamente gerada se D possuicoprodutos e existe um conjunto T de objetos compactos de D, tal que para todo objetoY em T temos

HompY,Xq “ 0 ñ X “ 0


Isto é, se um objeto de D não possui morfismos não triviais com nenhum objetode T então esse objeto é nulo.

É importante notar que a translação comuta com o coproduto, isso ocorreporque a translação é uma equivalência de categorias e portanto possui uma adjunta adireita, e pela Proposição 1.1.9 ela comuta com coprodutos. Com isso vemos que objetoscompactos continuam compactos depois de transladados, e por isso o conjunto T pode sertomado de forma a ser fechado por translação.

É possivel definir uma classe geradora sem exigir que os objetos sejam compactos,isto é feito no (HUYBRECHTS, 2006). A importancia da compacidade dos objetos na classegeradora vem do teorema de representabilidade de Brown, peça central na demonstraçãoda dualidade de Grothendieck-Verdier.

Outro objeto importante no estudo das categorias trianguladas, principalmentenas categorias derivadas não limitadas, é o colimite homotópico de uma sequência enu-merável de objetos. Esse objeto fará o mesmo papel do colimite em categorias abelianas.Seja

X0 Ñ X1 Ñ X2 Ñ ... (1.1)

uma sequência de objetos e morfismos em D, categoria triangulada com copro-dutos. Definimos o morphismo Shift :

ž

Xi Ñž

Xi utilizando a propriedade universaldo coproduto no seguinte diagrama

Xi//

fi

""

gi

Xjfj

gj

š

Xi

š

Xi

onde a flecha horizontal é induzida pela composição dos morfismos na sequência(1.1), os fi são os morfismos naturais do coproduto e os gi são dados pela composiçãoXi Ñ Xi`1

fi`1ÝÝÑ

ž

Xi.

Definição 1.2.20. O colimite homotópico de uma sequência

X0 Ñ X1 Ñ X2 Ñ ...

em uma categoria triangulada D é o objeto hocolimXi que completa o seguintetriângulo distinguido:

š

Xi1´Shift

//š

Xi// hocolimXi

//š

Xir1s


Pelo axioma TR1 vemos que esse colimite sempre existe e é unico a menos deisomorfismo, não canônico. A seguinte proposição relaciona o colimite homotópico com ocolimite na categoria abeliana.

Proposição 1.2.21. Suponha que c é um objeto compacto de uma categoria trianguladacom coprodutos D e que temos uma sequência

X0 Ñ X1 Ñ X2 Ñ ...

Então Hompc, hocolimXiq “ limÝÑ

Hompc,Xiq .

Demonstração. Considere o triângulo distinguidoš

Xi1´Shift

//š

Xi// hocolimXi

//š

Xir1s

Aplicando Hompc,´q obtemos a sequência longa exata

Hompc,š

Xiq // Hompc,š

Xiqγ// Hompc, hocolimXiq // Hompc,

š

Xir1sq

Hompc,š

Xir1sqMas por c ser compacto temos o seguinte diagrama comutativo

Hompc,š

Xir1sq //

»

Hompc,š

Xir1sq»

š

Hompc,Xir1sq1´Shift

//š

Hompc,Xir1sqA linha de baixo desse diagrama é injetiva e com isso percebos que a linha de

cima também é. Concluimos assim que o morfismo γ é sobrejetivo. E portanto temos oseguinte diagrama exato

š

Hompc,Xiq1´Shift

//

»

š

Hompc,Xiq //

»

cokerp1´ Shiftq // 0

Hompc,š

Xiq // Hompc,š

Xiqγ// Hompc, hocolimXiq // 0

A linha de cima do diagrama é uma sequência exata curta. E alêm disso, temosa igualdade cokerp1 ´ Shiftq “ lim

ÝÑHompc,Xiq, isto vem da construção explicita do

colimite. E pelo Lema dos 5 concluimos que Hompc, hocolimXiq “ limÝÑ

Hompc,Xiq.

Dualizando a definição de colimite homotópico definimos o limite homotópico.

Definição 1.2.22. O limite homotópico de uma sequência

...Ñ Xn Ñ ...Ñ X1 Ñ X0

em uma categoria triangulada D é um objeto holimXi que completa o seguinte triângulodistinguido


holimXi//ś

iXi1´Shift

//ś

iXi// holimXir1s

onde Shift :ź

i

Xi Ñź

i

Xi é definido dualizando a definição do Shift para

o caso do colimite homotópico.

Concluimos essa seção com o Teorema da Representabilidade de Brown. Suademonstração pode ser encontrada no Teorema 3.1 do (NEEMAN, 1996)..

Teorema 1.2.23. (Representabilidade de Brown) Seja T uma categoria trianguladacompactamente gerada. Seja H : T Ñ Ab um funtor cohomológico. Suponha que o mapanatural

Hpž

λPΛTλq Ñ

ź

λPΛHpTλq

é um isomorfismo para todo corproduto em T . Então H é representável.

1.3 Quociente VerdierNesta seção estudaremos o quociente de Verdier. Essa tecnica será utilizada

para definir a categoria derivada de uma categoria abeliana qualquer.

Teorema 1.3.1. Seja T uma categoria triangulada e S uma subcategoria triangulada deT . Então existe uma única categoria T S e um funtor exato Q : T Ñ T S, tais que seG : T Ñ T 1 é um funtor exato entre categorias triânguladas cuja imagem de todo morfismoem MorS é um isomorfismo em T 1, então existe um único funtor exato G1 : T S Ñ T 1

com G1 ˝Q “ G.

A demonstração desse teorema será o conteudo dessa seção inteira, pois estaé feita de maneira construtiva. Começamos definindo os objetos de T S, estes serão osmesmos objetos de T . Os morfismos, por outro lado, serão modificados de forma a tornaros elementos de MorS em isomorfismos. Isto será realizado usando o conceito de tetos.Fixaremos a notação do teorema pelo restante da seção.

Definição 1.3.2. Dados dois objetos X e Y em T , definimos o conjunto dos tetos αpX, Y qcomo o conjunto de diagramas da forma

Zf

~~

g

X Y

tal que f PMorS e g P HomT pZ, Y q, podemos denotar esse teto por pZ, f, gqem αpX, Y q.


A ideia dessa definição é imitar a localização de um anel por um conjuntomultiplicativo, onde tornamos todos elementos desse conjunto multiplicativo em unidades.Podemos ver esse diagrama como uma forma de simbolizar a expressão gf . Assim comono caso da localização precisamos de uma relação de equivalência para fazer o quocienteter sentido.

Definição 1.3.3. Definimos uma relação em αpX, Y q e dizemos que dois tetos pZ, f, gqe pZ 1, f 1, g1q são relacionados se e somente se existe pZ2, f2, g2q em αpX, Y q e morfismosu : Z2 Ñ Z e v : Z2 Ñ Z 1 tais que

Z 1

f 1

~~

g1

X Z2f2oo

v

OO

g2//

u

Y

Zf

``

g

>>

.

Vemos dessa definição que u e v são elementos de MorS , pela proposição decomposição de morfismos em MorS .

Lema 1.3.4. A relação definida acima é uma relação de equivalência.

Demonstração. Essa relação claramente satisfaz as condições de identidade e reflexividade.Resta mostrar a transitividade. Sejam pZi, fi, giq elementos de αpX, Y q para i “ 1, 2, 3,tais que pZi, fi, giq está relacionado com pZi`1, fi`1, gi`1q para i “ 1, 2. Então existemos elementos pZ, p, qq e pZ 1, p1, q1q em αpX, Y q e os morfismos u : Z Ñ Z1, v : Z Ñ Z2,u1 : Z 1 Ñ Z2 e v : Z 1 Ñ Z3 satisfazendo os seguintes diagramas comutativos

Z2f2

~~

g2

X Zp

oo

v

OO

q//

u

Y

Z1

f1

``

g1

>>

Z3f3

~~

g3

X Z 1p1oo

v1

OO

q1//

u1

Y

Z2

f2

``

g2

>>

Podemos fazer o pullback homotópico do diagrama


Z

v

Z 1u1// Z2

E com isso obtemos o diagrama

Z2 w //

w1

Z

v

Z 1u1 // Z2

Mas sabemos que u1, v estão em MorS e pelo lema de pullback homotópico deelementos deMorS temos que w,w1 estão emMorS . É bem claro que pZ2, f2˝v˝w, g2˝v˝wq

é um elemento de αpX, Y q e que torna o seguinte diagrama comutativo, completando ademonstração da transitividade,

Z3f3

~~

g3

X Z2oo

OO

//

Y

Z1

f1

``

g1

>>

Definição 1.3.5. Definimos os morfismos da categoria T S entre dois objetos X e Ycomo o conjunto αpX, Y q quocientado pela relação de equivalência definida acima. Acomposição é dada pela seguinte regra: dados dois morfismos rpZ, f, gqs P HomT SpX, Y q

e rpZ 1, f 1, g1qs P HomT SpY, T q, podemos construir o diagrama

W w1 //

w

Z 1g1//

f 1

T

Zg//

f

Y

X

onde o quadrado do diagrama é construido usando o pullback homotópico. Acomposição dos dois morfismos é a classe de equivalência de pW, f ˝w, g1 ˝w1q em αpX,T q.

Utilizando a notação da definição anterior, vemos que pW, f ˝ w, g1 ˝ w1q éum elemento de αpX,T q. Isso é uma consequência do lema de pullback homotópico demorfismos em MorS , pois vemos que w esta em MorS . Sabendo que o quadrado descritona definição é um pullback homotópico vemos que é unico a menos de isomorfismo, e comoisomorfismos estão em MorS vemos que se escolhermos dois representantes para o pullbackhomotópico eles vão estar na mesma classe de equivalência em αpX,T q. O seguinte lema


será usado para mostrarmos que a composição está bem definida e também pode ser usadona hora de calcular essas composições.

Lema 1.3.6. Ainda na notação da Definição 1.3.5. Suponha que nos é dado um diagramacomutativo

Pv1 //

v

Z 1g1//

f 1

T

Zg//

f

Y

X

onde v está em MorS , então pP, f ˝ v, g1 ˝ v1q é equivalente a pW, f ˝w, g1 ˝w1qem αpX,T q.

Demonstração. Pela propriedade do pullback homotópico temos um diagrama comutativoda forma:

P

((

W //

Z 1

Z // Y

E vemos que esses dois elementos de αpX,T q são equivalentes pelo diagrama

P

~~

X Poo

id

OO

//

T

W

`` >>

Lema 1.3.7. A composição em T S está bem definida.

Demonstração. Precisamos mostrar que essa composição não depende da escolha dosrepresentantes dos morfismos. Suponha que temos um morfismo pW, f, gq P αpX, Y q e doiselementos equivalentes pW 1, f 1, g1q e pW 2, f2, g2q em αpY, Zq. Essa equivalencia é dadapelo diagrama

W 2

f2

g2

!!

Y Z 1p

oo

OO

q//

Z

W 1

f 1

aa

g1

==


Sejam agora Q o pullback homotópico de g, f 1, Q1 o pullback homotópico deg, f2 e T o pullback homotópico de g, p. Pela propriedade do pullback homotópico vemosque existem morfismos u : T Ñ Q1 e v : T Ñ Q tal que o seguinte diagrama comuta

Q1

!!

T

OO

!!

W 2

Q

!!~~

Z 1

W

~~

W 1

!!

X Y Z

Pela Proposição 1.2.15 vemos que os morfismos Q Ñ W , Q1 Ñ W e T Ñ W

estão em MorS . E pelo Lema 1.3.6 concluimos que o diagrama, com os mapas dados pelascomposições no diagrama acima,

Q1

~~

X Z 1oo

OO

//

Z

Q

`` ??

define uma equivalência entre as composições de pW, f, gq com pW 1, f 1, g1q ecom pW 2, f2, g2q. O mesmo argumento funciona para quando variamos o elemento deαpX, Y q por um equivalente.

Teorema 1.3.8. A categoria definida por T S é de fato uma categoria.

Demonstração. Já sabemos quais são os objetos e os morfismos. Para demonstrar quetemos uma categoria precisamos mostrar que esta satisfaz as condições de identidade eassociatividade de morfismos. A identidade é dada por

XId

Id

~~

X X

É fácil ver que esse morfismo satisfaz a condição da identidade. Lidaremos coma associatividade agora. Pela composição ser independete da escolha de representantes,podemos escolher representantes para os morfismos e mostrar que vale a associatividade amenos de uma equivalência entre os morfismos. Sejam pW, f, gq P αpX,X 1

q, pW 1, f 1, g1q P

αpX 1, X2q e pW 2, f2, g2q P αpX2, X3

q e a sua composição tripla dada pelo diagrama:


Uh1 //

f2

V 1h2 //

f2

W 2 //

f2

X3

V //

f 1

W 1 //

f 1

X2

W //

f

X 1

X

onde todos os quadrados de tamanho 1 do diagrama são quadrados cartesianoshomotópicos. Por esse motivo vemos que todos os morfismos f, f 1, f2, f 1, f2, f2 estãoem MorS . Pelo Lema 6, vemos que os morfismos ppW 2, f2, g2q ˝ pW 1, f 1, g1qq ˝ pW, f, gq epW 2, f2, g2q˝ppW 1, f 1, g1q˝pW, f, gqq são equivalêntes ao morfismo pU, f ˝ f2˝ f2, g2˝h2˝h1q,concluindo a demonstração.

Uma vez que podemos dizer que T S é uma categoria, podemos definir o funtorQ : T Ñ T S que é a identidade nos objetos e leva os morfismos f : X Ñ Y em T naclasse de equivalência do diagrama

Xf

1

~~

X Y

Este funtor nos dá uma forma conveniente de expressar os morfismos em T S,isso é feito através do seguinte lema.

Lema 1.3.9. Qualquer mapa rpW, f, gqs P HomT SpX, Y q pode ser descrito como a com-posição dos morfismos

W1

!!

f

~~

X We

Wg

1

W Y

Demonstração. Isso é visto no diagrama

W 1 //

1

Wg//

1

Y

W 1 //

f

W

X


Corolário 1.3.10. Se f : X Ñ Y está em MorS então a inversa do morfismo rpX, 1, fqs PHomTS pX, Y q é o morfismo rpX, f, 1qs P HomT SpY,Xq.

Demonstração. Para ver que rpX, 1, fqs ˝ rpX, f, 1qs “ Id basta utilizar o mesmo diagramada demonstração acima com f “ g e W “ X e ver que a composta é equivalente àidentidade. A outra igualdade vem do diagrama

X1 //

1

X1 //

f

X

X

1

f// Y

X

Uma coisa que percebemos com esses dois ultimos resultatos é que podemos ex-pressar o morfismo rpW, f, gqs P HomT SpX, Y q como QpgqQpfq´1. Com isso a composiçãoQpg1qQpf1q

´1 : X Ñ Y e Qpg2qQpf2q´1 : Y Ñ Z é expressa pelo diagrama

Pv1 //

v

W 1 g2//

f2

Z

Wg1//

f1

Y

X

e usando que o quadrado é comutativo temos

Qpg2qQpf2q´1Qpg1qQpf1q

´1“ Qpg2qQpv

1qQpvq´1Qpf1q

´1

Em outra palavras, dada uma composição de morfismos X Ñ Y Ñ Z em T Spodemos achar uma composição X 1

Ñ Y 1 Ñ Z 1 de morfismos em T e mapas X 1Ñ X,

Y 1 Ñ Y e Z 1 Ñ Z em MorS , tais que o seguinte diagrama é comutativo em T S

X 1 //

Y 1 //

Z 1

X // Y // Z

onde os mapas pontilhados estão em MorS e os tracejados estão em T S.Vários lemas a seguir serão nessa direção de conseguir levantar morfismos do quociente.

Lema 1.3.11. Sejam f, g morfismos de X em Y em T . Então Qpfq “ Qpgq se e somentese existe u : W Ñ X em MorS tal que fu “ gu.

Demonstração. Sabemos que Qpfq “ Qpgq em T S se e somente se existe W em T emorfismos p, v, q, u tais que o seguinte diagrama é comutativo


X1

~~

f

X Wp

oo

v

OO

q//

u

Y

X1

``

g>>

Pela comutatividade do diagrama vemos que u “ p “ v e que este morfismoesta em MorS , e agora basta perceber que para o restante do diagrama ser comutativoprecisamos que fu “ gu.

Lema 1.3.12. Todo quadrado comutativo em T S pode ser transformado num quadradocomutativo de T isomorfo ao quadrado original.

Demonstração. Considere o quadrado comutativo em T S

W //

X

Y // Z

e veja que as composições W Ñ X Ñ Z e W Ñ Y Ñ Z em T S podem sersubstituidos por W1 Ñ X 1

Ñ Z e W2 Ñ Y 1 Ñ Z em T , com X, Y isomorfos a X 1, Y 1,respectivamente, e W isomorfo a W1,W2 em T S. Fazendo o pullback homotópico deW1,W2 obtemos W3 e o seguinte diagrama

W3 //

W2

// Y 1 //

Z

W1 //

W

// Y // Z

X 1

// X

Z Z

onde as flechas pontilhadas representam morfismo em T S e as tracejadasos morfismos em MorS , estes são isomorfismos emT S . Notamos do diagrama queW3 Ñ X 1

Ñ Z é igual a W3 Ñ Y 1 Ñ Z em T S, e pelo lema anterior podemos acharW 1

Ñ W3 em MorS tal que se ignorarmos as flechas em T S temos um diagramacomutativo em T da forma

W 1 //

Y 1

X 1 // Z

onde X, Y, Z são isomorfos a X 1, Y 1,W 1, respectivamente, em T S.


O objetivo do lema anterior é que sempre podemos transformar um quadradocomutativo em T S em um quadrado comutativo em T , isomorfo ao quadrado original.Isso será uma ferramenta muito útil nas demonstrações em seguida.

Lema 1.3.13. (i) O 0 da categoria T é também o objeto nulo da categoria T S.

(ii) Sejam X e Y objetos em T S. Então o biproduto desses objetos em T , X ‘ Y , étambém o biproduto desses objetos desses elementos em T S

Lema 1.3.14. Seja C uma categoria que possui biprodutos e elemento nulo. Então podemosdefinir naturalmente uma estrutura de monoide comutativo em HomCpX, Y q para todoobjeto X, Y em C, compatível com a composição em C.

Demonstração. Dados objetos X, Y em C, e morfismos α, β P HompX, Y q, definimosα ` β : X Ñ Y por qualquer uma das duas composições

X δ // X ‘Xr f g s

// Y

X

”

fg

ı

// Y ‘ Y∆ // Y

onde δ “`

IdId

˘

e ∆ “`

Id Id˘

. A igualdade entre essas composições vem deX ‘X ser um biproduto.

As propriedades do monoide comutativo e a compatibilidade com a composiçãoseguem de simples multiplicações de matrizes.

Proposição 1.3.15. A categoria T S é aditiva e o funtor natural Q : T Ñ T S é umfuntor aditivo. E se T 1 é uma categoria aditiva com um funtor aditivo G : T Ñ T 1 tal quea imagem de qualquer elemento de MorS é um isomorfismo em T 1, então Q fatora em G.

Demonstração. Já sabemos que T S tem biprodutos e elemento nulo, resta mostrar que oHomT SpX, Y q tem uma estrutura de grupo aditivo compatível com a composição paraquaisquer objeto X, Y em T S. Usando o lema anterior conseguimos uma estrutura demonoide comutativo para HomT SpX, Y q, quaisquer que sejam os objetos X, Y , e estaestrutura é compatível com a composição.

A imagem de um biproduto de dois objetos em T pelo funtor Q é um biprodutodestes mesmos objetos, agora em T S, e os morfismos que definem o biproduto em T Ssão as respectivas imagens dos morfismos em T que definem o biproduto em T . Isto é oconteúdo do Lema 1.3.13.

Resta mostrar que todo morfismo φ P HomT SpX, Y q possui uma inversa. Masjá mostramos que φ pode ser expresso como QpfqQpgq´1, onde g PMorS . Como Q respeitaa adição concluimos

φ`Qp´fqQpgq´1“ QpfqQpgq´1

`Qp´fqQpgq´1“ Qp0qQpgq´1

“ 0.


Seja G : T Ñ T 1 um funtor como no enunciado, definimos G : T S Ñ T 1

o funtor que leva os objetos da mesma forma que G e os morfismos QpuqQpfq´1, comf : P Ñ X em MorS e u : P Ñ Y , no morfismo GpuqGpfq´1. Claramente essa definiçãorespeita as diferentes representações de um mesmo morfismo e G define um funtor. Eportanto concluimos que Q fatora em G.

Proposição 1.3.16. Seja g : Y Ñ Y 1 um morfismo em T . Então Qpgq é um isomorfismose e somente se para qualquer triângulo distinguido

Yg// Y 1 // Z // Y r1s

o objeto Z é um somando direto de um objeto em S, isto é, existe um objetoZ 1 em T tal que Z ‘ Z 1 é um objeto de S.

Lema 1.3.17. Considere que nos é dado o seguinte diagrama comutativo em T cujaslinhas são triângulos distinguidos

Xf//

1

Y //

g

Z // Xr1s

Xgf// Y 1 // Z 1 // Xr1s

e que Qpgq é um isomorfismo. Então podemos extender o diagrama acima a

Xf//

1

Y //

g

Z //

h

Xr1s

Xgf// Y 1 // Z 1 // Xr1s

tal que Qphq também é um isomorfismo.

Demonstração. Começamos utilizando do TR4 para construir h

Xf

//

1

Y //

g

Q1 //

h

Xr1s

Xg˝f

//

Z //

Q2 //

Xr1s

0 //

Q31 //

Q3 //

0

Xr1s // Y r1s // Q1r1s // Xr2s :“ T pXr1sq

e como Qpgq é invertível, pela proposição anterior vemos que no triângulodistinguido

Yg// Y 1 // Y 2 // Y r1s


o objeto Y 2 é um somando direto em S e combinando que a terceira coluna éum triângulo distinguido com a proposição anterior vemos que Qphq é um isomorfismo.

Lema 1.3.18. Dados dois triângulos distinguidos em T

X // Y // Z // Xr1s

X 1 // Y 1 // Z 1 // X 1r1s

e um quadrado comutativo em T S

X //

Y

X 1 // Y 1

cujos morfismos verticais são isomorfismos. Então podemos extende-los a umisomorfismo em T S entre os triângulos.

Demonstração. O isomorfismo Y Ñ Y 1 é um mapa em T S e portanto pode ser represen-tado por

Y 2f//

α

Y

Y 1

com α PMorS e Qpfq um isomorfismo. Mas então temos os diagramas em Tcujas linhas são triângulos distinguidos

X2 // Y 2 //

α

Z 1 //

1

X2r1s

X 1 // Y 1 // Z 1 // X 1r1sX2 // Y 2 //

f

Z 1 //

1

X2r1s

X 1 // Y // Z 1 // X 1r1s

X2 e X2 existem pelo axioma TR2, e completamos a um isomorfismo detriângulos em T S pelo lema anteior. Portanto podemos assumir que Y “ Y 1 e que omorfismo entre eles é a identidade. Agora representando o isomorfismo X Ñ X 1 em T S

X3 g//

β

X 1

X

podemos completa-lo a um diagrama em T comutativo em T S


X3 g//

β

X 1

X // Y

a sua comutatividade vem da aplicação do funtor Q a esse diagrama e compararcom o quadrado do enunciado com Y “ Y 1. Utilizando do Lema 1.3.11 obtemos ummapa W Ñ X3 que está em MorS e com isso podemos substituir X3 por W e obter umquadrado comutativo em T . E agora estamos em posição de aplicar o lema anterior nosdiagramas

W //

Y //

Z2 //W r1s

X // Y // Z // X 1r1se

W //

Y //

Z2 //W r1s

X 1 // Y // Z 1 // X 1r1s

que nos da a existência de morfismos h : Z2 Ñ Z, c : Z2 Ñ Z 1 tais queQphq e Qpcq são isomorfismos. Concluimos observando que o morfismo procurado éQpcqQphq´1 : Z 1 Ñ Z em T S.

Agora estamos prontos para definir uma estrutura triangulada em T S e assimdemonstrar o Teorema 1.3.1. O funtor de translação em T S é construido compondo atranslação de T com o funtor natural Q, e utilizando a propriedade universal do funtor Q.Dizemos que um triângulo

X // Y // Z // Xr1s

em T S é dito distinguido se é isomorfo a imagem por Q de um triângulodistinguido.

Demonstração. Essa estrutura definida acima caracteriza T S como uma categoria trian-gulada e Q : T Ñ T S como um funtor exato.

Pela estrutura definida acima vemos que TR1(i) e (ii) são satisfeitos. O TR2também é satisfeito. Agora considere um morfismo QpuqQpfq´1 em T S, com f : P Ñ X

elemento de MorS e u : P Ñ Y um morfismo de T . Mas pelo TR1 de T temos o triângulodistinguido

P u // Y v // Z w // P r1sentão

XQpuqQpfq´1

// YQpvq

// ZQpwq

// P r1sé isomorfo a


PQpuq

// YQpvq

// ZQpwq// P r1s

e portanto T S satisfaz TR1.

Agora mostraremos que T S satisfaz TR3. Comecemos com um diagramacomutativo em T S

X //

Y //

Z // Xr1s

X 1 // Y 1 // Z 1 // X 1r1s

(1.2)

e queremos achar h : Z Ñ Z 1 fazendo o diagrama ser comutativo. Começamosobservando que o quadrado

X //

Y

X 1 // Y 1

pode ser levantado a um quadrado em T pelo Lema 1.3.12, e seja

X //

Y

X 1 // Y 1

o quadrado correspondente. Esse quadrado pode ser extendido ao diagrama

X //

Y

// Z // Xr1s

X 1 // Y 1 // Z 1 // X 1r1sem T que pode ser completado com um morfismo usando o TR3 de T , e

portanto completa o diagrama comutativo em T S. Mas o quadrado comutativo comisomorfismos verticais em T S

X //

Y

X // Y

pode ser extendido a um isomorfismo de triângulos distinguidos em T S, Lema1.3.18, e com isso obtemos o diagrama

X //

Y

// Z // Xr1s

X // Y // Z // Xr1sda mesma forma podemos tomar o quadrado comutativo


X 1 //

Y 1

X 1 // Y 1

a um isomorfismo de triângulos distinguidos em T S. Desta forma temos oseguinte diagrama comutativo em T S

Z„ //

Z

Z 1 „ // Z 1

E a composição Z Ñ Z Ñ Z 1 Ñ Z 1 completa o diagrama (1.2) completando ademonstração do TR3. Para demonstrar o TR4 começamos com dois morfismos em T S,f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z . O morfismo f : X Ñ Y é descrito pelo diagrama

Xf//

β

Yg//

β

Z

1

Xf//

α

Y

1

g// Z

Xf// Y

(1.3)

com todos os morfismos em T , a menos dos morfismos com linhas tracejadas.Pelo lema anterior os quadrados relacionados aos morfismos f e g em T S podem serextendidos a um isomorfismo de triângulos em T S. Considere o seguinte diagramacomutativo em T

Xf

//

1

Y //

g

Q1 //

a

Xr1s

Xg˝f

//

Z //

Q2 //

b

Xr1s

0 //

Q31 //

Q3 //

0

Xr1s // Y r1s // Q1r1s // Xr2se todas as linhas e colunas são triângulos distinguidos, cuja existência é garantida

peloTR4 de T . Ao passar esse diagrama à categoria T S utilizando o funtorQ, e utilizandoque os morfismos verticais do Diagrama (1.3) são isomorfismos em T S, obtemos umdiagrama comutativo cujas linhas e colunas são triângulos distinguidos em T S.

Pela definiçao de triângulo distinguido em T S é fácil ver que o funtor Q é umfuntor exato. Já sabemos também que se F : T Ñ T 1 é um funtor exato entre categorias


triânguladas que leva morfismos em MorS em isomorfismos então ele pode ser fatoradopor Q em funtor aditivio F : T S Ñ T 1, basta ver a definição de F e notar que este é umfuntor exato.

Terminaremos esse capítulo definindo a categoria derivada de uma categoriaabeliana qualquer A e vendo algumas propriedades básicas dessas categorias.

Exemplo 1.3.19. Seja A uma categoria abeliana e T “ KpAq a sua categoria decomplexos módulo homotopia. Seja S a subcategoria completa de KpAq dos complexosexatos sobre A, isto é, os complexos X‚ tal que H i

pX‚q “ 0 para todo inteiro i. Utilizando

do exemplo 1.2.5 mostramos que S é uma subcategoria triangulada de T e pelo teorema1.3.1 definimos DpAq :“ T S, chamada a categoria derivada de A, e o funtor de localizaçãoQA : KpAq Ñ DpAq

Ainda na notação do exemplo 1.3.19, os elementos da classeMorS são chamadosde quasi-isomorfismos. Da mesma forma que definimos Kom˚

pAq e K˚pAq definimos

D˚pAq como a localização de K˚pAq pela subcategoria dos complexos exatos. Como nas

categorias D˚pAq os quasi-isomorfismos são isomorfismos, temos uma caracterização umpouco diferente para os elementos de D˚pAq dentro de DpAq.

Proposição 1.3.20. Os funtores naturais D˚pAq Ñ DpAq para ˚ “ `, ´ ou b, definemuma equivalência entre as categorias D˚pAq com as subcategorias triânguladas dos comple-xos A‚ em DpAq tais que H i

pAq “ 0 para i ąą 0, i ăă 0 e |i| ąą 0, respectivamente.

43

2 Categorias Derivadas de Feixes

Nesse capitulo estudaremos a categoria derivada dos feixes coerentes sobreum esquema X. Essa categoria tem várias propriedades interessante que expressam ageometria do esquema X. Uma aplicação é a demonstração da dualidade de Serre comoum corolário da dualidade de Grothendieck-Verdier.

Começamos o capítulo com uma descrição geral dos OX-módulos, em seguidafocamos nossa atenção na definição e propriedades básicas dos feixes quasicoerentes. Vemosnesse processo como definir os funtores clássicos da geometria algébrica nas categorias deOX-módulos, de feixes quasicoerentes e feixes coerentes. Seguimos, em grande parte, oCapítulo 7 de (GORTZ; WEDHORN, 2010).

Em seguida, introduzimos algumas propriedades gerais de categorias abelianascom suficiente injetivos e de categorias triânguladas. Essas propriedades serão usadas paradefinir os funtores derivados, extensões das definições de funtores das categorias clássicaspara as categorias derivadas.

Uma vez que temos esses funtores definidos, passaremos para a definição desequências espectrais, ferramenta importantissima na hora de fazer calculos com essesfuntores derivados. Descreveremos a sequência espectral associada a uma filtração de umcomplexo e a sequência espectral associada a uma dupla exata, essa ultima será usadano Capítulo 3 onde veremos que a teoria de Hélices nos proporciona, naturalmente, umadupla exata através de um sistema de Postnikov.

2.1 Feixes Quasicoerentes

2.1.1 OX-módulos

Começamos com algumas noções básicas. Seja pX,OX), que denotaremos porX, um esquema. Isto é, um espaço localmente anelado com feixe de estrutura OX que élocalmente isomorfo a um esquema afim.

Definição 2.1.1. Um OX-módulo é um feixe de conjuntos F sobre X com dois morfismosde feixes: ` : F ˆ F Ñ F e ¨ : OX ˆ F Ñ F , tais que para qualquer aberto U Ă X oconjunto FpUq, junto com esses dois morfismos no aberto U , formam um OXpUq-módulo.

Se F e F 1 são dois OX-módulos, um morfismo de OX-módulos entre eles édefinido por um morfismo de feixes φ : F Ñ F 1 que preserva a estrutura de módulo paratodo aberto U Ă X, isto é, dado esse aberto U temos que

Capítulo 2. Categorias Derivadas de Feixes 44

φUpAU `BUq “ φUpAUq ` φUpBUq

φUpcU ¨ AUq “ cU ¨ φUpAUq.

para quaisquer AU , BU em FpUq e cU em OXpUq.

A composição de dois morfismos de OX-módulos é também um morfismo deOX-módulos e esta composição satisfaz a condição de associatividade, e existe um morfismoidentidade óbvio para qualquer OX-módulo. Desta forma definimos a categoria ModX dosOX-módulos e seus morfismos.

Esta categoria herda varias propriedades da categoria de módulos sobre umanel e da categoria de feixes sobre uma categoria abeliana, como a existência de núcleos,conúcleos, quocientes, biprodutos, sequências exatas e por conseguinte o fato de ser umacategoria abeliana. As definições desses objetos é a mesma dada para feixes sobre umconjunto qualquer, tomando o cuidado de verificar que essas propriedades preservam aestrutura de OX-módulos. É importante notar que se F é um OX-módulo e x P X então Fx

é um OX,x-módulo, de maneira natural. Isso é usado tanto para mostrar que as construçõescitadas anteriormente são preservadas, como para utilizar da estrutura da categoria demódulos para definir objetos em ModX .

Agora definiremos algumas estruturas que possuem particular importânciana categoria ModX . Seja I um conjunto qualquer e pFiqiPI uma familia de OX-módulosindexados por I, utilizaremos a notação F pIq

i (analogamente F Ii ) para denotar a soma

direta ‘iPIFi(analogamenteź

I

Fi para denotar o produto direto) no caso em que Fi “ Fj

para todo i P I.

Definição 2.1.2. Sejam F e G dois OX-módulos. O produto tensorial F bOXG é

dado pela feixificação do pré-feixe que associa a cada aberto U Ă X o OXpUq-móduloFpUq bOXpUq GpUq, e tem como restrições o produto tensorial das restrições de F e G.

Dados dois morfismos de OX-módulos φ : F Ñ F 1 e α : G Ñ G 1, o produtotensorial destes é construido utilizando o morfismo de pré-feixes que para cada aberto U emX associa o homomorfismo de OXpUq-módulos φU b αU : FpUq b GpUq Ñ F 1

pUq b G 1pUq,e utilizando da propriedade universal da feixificação que define o produto tensorial deOX-módulos.

A definição anterior nos proporciona um OX-módulo, é claro que o pré-feixedefine uma estrutura de OX-módulo e observando que a feixificação preserva essa estruturaconcluimos que o produto tensorial está bem definido. Podemos ver também que a hastedo produto tensorial de dois OX-módulos num ponto x P X é dada pelo produto tensorialdas hastes desses módulos em x, isto é,

pF bOXGqx “ Fx bOX,x

Gx.


Utilizaremos da notação Fbn para denotar o produto tensorial de um OX-módulo F por ele mesmo n vezes. Da mesma forma que para módulos, podemos fixar umOX-módulo F e dessa forma definir um funtor ´bF : ModX ÑModX que leva objetos Gno produto tensorial G b F , e morfismos de OX-módulos φ : G Ñ G 1 no produto tensorialde φ com a identidade de F .

Passamos agora para a definição do funtor Hom.

Definição 2.1.3. Sejam F e G OX-módulos, definimos HompF ,Gq como o feixe que paratodo aberto U em X temos

U Ñ HomOX |U pF |U ,G|Uq

e a restrição é induzida pelas restrições de F e G.

Podemos ver da definição anterior que HompF ,Gq é um OX-módulo. Definimoso OX-módulo dual de F como F_ :“ HompF ,OXq. Uma propriedade importante doOX-módulo de homomorfismos é que para qualquer OX-módulo F temos

HompOX ,Fq » F .

onde esse isomorfismo é dado pelo mapa que para um aberto U de X levao morfismo ωU P HompOX |U ,F |Uq em ωUp1Uq, onde 1U é a identidade no anel OXpUq.Assim como para o produto tensorial, se fixarmos um OX-módulo F podemos definir ofuntor Homp´,Fq : ModX ÑModX .

Definição 2.1.4. Um OX-módulo F é dito localmente livre se para todo x em X existeuma vizinhança U de x tal que F |U é isomorfo, como OX |U -módulo, ao feixe OX |

pIqU para

algum conjunto I. Se I é um conjunto finito dizemos que F é localmente livre de tipofinito. Para cada x P X definimos a dimensão de um OX-módulo localmente livre é dadopela cardinalidade do conjunto I, denotaremos essa dimensão por rkxpFq

Dado um OX-módulo F localmente livre de tipo finito podemos definir ummapa rk : X Ñ Z, que leva o ponto x no rkxpFq. Ainda nessa notação vemos que F_ étambém um OX-módulo localmente livre de tipo finito, e o mapa rk : X Ñ Z definido porF é o mesmo do mapa definido por F_.

Sejam F , G e H três OX-módulos. Podemos usar da adjunção entre o produtotensorial e o funtor Hom na categoria de módulos para demonstrar a adjunção desses doisfuntores em ModX , desta forma obtemos a seguinte relação:

HompF b G,Hq » HompF ,HompG,Hqq


e o mapa

HompF ,Gq bH Ñ HompF ,G bHq (2.1)

que é definido utilizando o pré-feixe do produto tensorial. Isto é, seja U umaberto de X e w b t P HompF ,GqpUq bHpUq, a imagem em ΓpU,HompF ,G bHqq dew b t é o morfismo F |U Ñ G b H que para cada s P FpV q, V Ă U , leva no elementowV psq b t|V P G bH.

Proposição 2.1.5. No homomorfismo (2.1), se F ou H for localmente livre então o mapaé um isomorfismo.

Demonstração. Um morfismo de feixes é um isomorfismo se e somente se é um isomorfismonas hastes. Sendo assim, dado um ponto x em X podemos escolher uma vizinhança desseponto e analisar o isomorfismo nessa vizinhança. Suponha que F é localmente livre.

Então existe uma vizinhança U de x tal que F |U » OnX para algum n inteiro.

Pela observação do começo da demonstração, consideraremos como F » OnX . Logo temos

uma sequência de isomorfismos

HompF ,Gq bH Ñ HompOnX ,Gq bH Ñ Gn

bH Ñ pG bHqn Ñ HompOnX ,G bHq

Ñ HompF ,G bHq

No caso em que consideramos H como localmente livre a demonstração éanaloga.

Essas identidades se mostram muito importantes quando vamos estudar aspropriedades do grupo e feixe de extensão de dois OX-módulos coherentes.

No restante dessa seção considere Y como um esquema e f : X Ñ Y ummorfismo de esquemas, isto é, uma função continua no espaço topológico do esquemaf : X Ñ Y e um mapa de feixes f b : OY Ñ f˚pOXq (e pela adjunção do f˚ obtemosf 7 : f´1

pOY q Ñ OX), tal que para todo x em X o homomorfismo f 7x leva o ideal maximalde OY,fpxq no ideal maximal de OX,x.

Lembremos que para qualquer morfismo de esquemas f : X Ñ Y , temos doisfuntores muito importantes na geometria algébrica, o funtor imagem direta f˚ e o imageminversa f˚. O primeiro, imagem direta, é definido para OX-módulos da mesma forma que édefinido para feixes porque os OX-módulos antes de possuírem uma estrutura de módulo,eles possuem uma estrutura de feixe. A estrutura de OY -módulo vem do morfismo de feixesf b. Seja F um OX-módulo, então f˚pFq é um f˚pOXq-módulo, e utilizando do morfismof b obtemos um OY -módulo.


Agora considere G um OY -módulo e perceba que o feixe f´1pGq é um f´1OY -

módulo. Mas o feixe OX é um f´1OY -módulo, portanto faz sentido definir a imagematravés do produto tensorial

f˚pGq :“ OX bf´1OYf´1G

e a estrutura de OX-módulo vem do produto tensorial. Os funtores f˚ e f˚

para OX-módulos e OY -módulos, respectivamente, preservam a adjunção dos funtores f˚e f´1 para feixes.

2.1.2 Feixes Quasicoerentes

Estudaremos agora uma subcategoria muito importante dentro da categoria deOX-módulos, a categoria dos feixes quasicoerentes. Esta categoria foi estudada quando sepercebeu que a categoria dos fibrados vetoriais não era abeliana e precisariamos consideraruma classe maior de objetos para que isto acontecesse. E utilizando da categoria de móduloscomo base, definiram os feixes quasicoerentes.

Começaremos construindo a feixificação de um módulo sobre um esquemaafim e então descreveremos a construção dos módulos quasicoerentes, generalização dessafeixificação para esquemas gerais. Suas propriedades gerais são apresentadas em seguidacom um teorema bastante pertinente sobre extensões de seções sobre feixes quasicoerentes.

Definição 2.1.6. Seja A um anel, M um A-módulo e Z o esquema SpecpAq. Definimos oOZ-módulo M pela seguinte propriedade

ΓpDpfq, Mq :“Mf

para todo f P A. Isto é, as seções do feixe M na base distinguida do esquemaafim Z “ SpecpAq são iguais a localização do módulo M nos respectivos elementos de A.

É claro que essa localização é independente da escolha de representante deA para o elemento da base distinguida e que isso nos permite definir um pré-feixe emZ “ SpecA. Também podemos ver que isso na verdade define um feixe sobre Z. Agora,com relação à estrutura de OX-módulo, sabemos que Mf é um Af -módulo e que portantotemos uma estrutura de OZ-módulo na base, e esta é extendida para uma estrutura paratodo aberto de Z.

Se N é um A-módulo e φ : M Ñ N é um homomorfismo de A-módulos entãopodemos induzir φ : M Ñ N , onde ΓpDpfq, φq : ΓpDpfq, Mq Ñ ΓpDpfq, Nq é dada pelalocalização do homomorfismo φ pelo elemento f em A. Percebemos assim que definimosum funtor „: ModA ÑModOZ

que leva os módulos nas suas feixificações e faz o mesmopara os homomorfismos.


Proposição 2.1.7. O funtor „: ModA ÑModOZé completamente fiel.

As seguintes propriedades do funtor „ determinarão que a categoria dos feixesquasicoerentes é abeliana e satisfaz AB4

Proposição 2.1.8. Seja A um anel e Z o esquema SpecpAq.

(i) Seja

MuÝÑ N

vÝÑ P

uma sequência de A-módulos, então essa sequência é exata se e somente se a sequência

MuÝÑ N

vÝÑ P

é exata.

(ii) Seja u : M Ñ N um homomorfismo de A-módulos. Então

pKerpuqq„ “ Kerpuq ; pImpuqq„ “ Impuq ; pCokerpuqq„ “ Cokerpuq.

(iii) Seja pMiqiPI uma familia de A-módulos. Então

p‘iPIMiq„“ ‘iPIMi

Agora que lidamos com o caso do esquema afim Z “ SpecA estamos prontospara lidar com o caso mais geral onde X é um esquema geral.

Definição 2.1.9. Um OX-módulo F é dito quasicoerente se para todo x P X existe umavizinhança U e uma sequência exata de OX |U -módulos da forma

OX |pIqU Ñ OX |

pJqU Ñ F Ñ 0

para dois conjuntos arbitrários I e J , dependentes de x.

Definição 2.1.10. A categoria dos feixes quasicoerentes sobre um esquema X é a subca-tegoria QCohpXq da categoria completa ModX cujos objetos são feixes quasicoerentes.

Utilizando os resultados da Proposição 2.1.8 e que a quasicoerencia é umapropriedade que pode ser verificada localmente, concluimos que QCohpXq é uma categoriaabeliana e satisfaz AB4.

Na seção seguinte precisaremos saber que a categoria QCohpXq satisfaz AB4˚.Isso é verdade quando X é um esquema quasi-compacto e quasi-separado, e esse resultado


pode ser encontrado na Seção 3.2 do Capítulo 2 do (BERTHELOT; GROTHENDIECK;ILLUSIE, 1971). Para manter uma completude no trabalho incluiremos seu enunciadoaqui. A demonstração exigiria muitos lemas técnicos que não serão usadas no restantedo trabalho. O enunciado está sendo tirado do Apendice B do artigo (THOMASON;TROBAUGH, 1990).

Teorema 2.1.11. Seja X um esquema quasi-compacto e quasi-separado. Então a inclusãoi : QCohpXq ÑModX possui uma adjunta a direita Q : QCohpXq ÑModX . O mapa deadjunção η : 1 Ñ Q ˝ i é um isomorfismo de funtores e portanto QCohpXq possui todos oslimites.

O Teorema 2.1.11 nos diz que QCohpXq satisfaz AB3˚, para ver que estesatisfaz AB4˚ basta ver que a exatidão de uma sequência curta de feixes é verificadalocalmente, portanto podemos utilizar a Proposição 2.1.8 e o fato que se R é um anelentão a categoria ModR satisfaz AB4˚.

Proposição 2.1.12. Seja F um OX-módulo. As seguintes condições são equivalentes

(i) para cada aberto afim U » SpecpAq de X, existe um A-módulo M tal que F |U » M .

(ii) existe uma cobertura afim pUiqiPI de X, Ui “ SpecpAiq, tal que para cada i em I

existe um Ai-módulo Mi com F |Ui“ Mi.

(iii) o OX-módulo F é quasicoerente.

(iv) para todo aberto U “ SpecpAq de X e cada f P A o homomorfismo

ΓpU,Fqf Ñ ΓpDpfq,Fq

é um isomorfismo.

Demonstração. As implicações (i) ñ (ii) ñ (iii) são claras da definição de módulosquasicoerentes. Para a implicação (iv)ñ (i), considere U “ SpecA um aberto afim de Xe M :“ ΓpU,Fq, por (iv) temos

ΓpDpfq, Mq “Mf “ ΓpU,Fqf Ñ ΓpDpfq,F |Uq

para todo f P A. Portanto os feixes M e F |U são isomorfos numa base, e como essesisomorfismos são compatíveis com as restrições para subabertos afins de Dpfq podemosconcluir que M » F |U .

Para vermos que (iii) implica (iv) podemos assumir que X “ SpecA, poisestamos preocupados com o comportamento desse morfismo descrito em (iv) dentro deum aberto afim de X. No caso em que F “ M temos que (iv) é verdadeiro, basta ver


que o morfismo é a identidade. Como X é afim, é também quasi-compacto, podemosescolher finitos gi em A tais que X “ YiDpgiq e F |Dpgiq é o conúcleo de um morfismow : ApIq Ñ ApJq. Mas o funtor „: ModA Ñ ModOX

é completamente fiel e comuta comsomas diretas, por isso determinamos um único u : ApIq Ñ ApJq com u “ w.

Logo F |Dpgiq “ Cokerpuq “ pCokerpuqq„. Portanto F |Dpgiq satisfaz (iv). Damesma forma vemos que F |DpgiqXDpgjq satisfaz (iv). Utilizando que a localização é umfuntor exato e que F é um feixe temos o seguinte diagrama comutativo exato

0 //

ΓpX,Fqf //

α

ś

i ΓpDpgiq,Fqf //

α1

ś

i,j ΓpDpgiq XDpgjq,Fqfα2

0 // ΓpX,Fq //ś

i ΓpDpgiq,Fq //ś

i,j ΓpDpgiq XDpgjq,Fq

para todo f em A. Utilizando do Lema dos 5 vemos que α é um isomorfismo.

Corolário 2.1.13. Se X “ SpecpAq é um esquema afim então a categoria dos feixesquasicoerentes QCohpXq é anti-equivalente à categoria dos A-módulos.

Embora os feixes quasicoerentes apresentem várias propriedades interessantes,eles também apresentam dificuldades técnicas por não possuirem uma condição de finitude.Essa condição é realizada nos feixes coerentes.

Definição 2.1.14. Suponha que X é um esquema localmente noetherianos. Dizemos queum OX-módulo F é coerente se para todo x em X existe uma vizinhança U de x e umasequência exata de OX |U -módulos

OX |nU Ñ OX |

mU Ñ F Ñ 0

com m e n inteiros positivos.

Vemos pela definição que todo feixe coerente é quasicoerente. Definimos acategoria dos feixes coerentes CohpXq como sendo a subcategoria completa de QCohpXqcujos objetos são os feixes coerentes.

Corolário 2.1.15. (i) Seja u : F Ñ G um morfismo de OX-módulos são quasicoerentes.Então Kerpuq, Cokerpuq e Impuq também são quasicoerentes

(ii) A soma direta de OX-módulos quasicoerentes é quasicoerente.

(iii) O produto tensorial de dois OX-módulos quasicoerentes é quasicoerente. Em particular,M bA N “ pM bA Nq

„

(iv) Se X é um esquema localmente noetheriano então o produto tensorial de feixescoerentes é coerente.


Com o resultado anterior podemos definir o bifuntor

´b´ : QCohpXq ˆQCohpXq Ñ QCohpXq

e se X é localmente noetheriano temos também a restrição desse bifuntor à categoria dosfeixes coerentes. Esses feixes tem uma propriedade homológica muito útil.

Proposição 2.1.16. Seja X um esquema localmente noetheriano. Seja

0 Ñ F2Ñ F Ñ F 1

Ñ 0

uma sequência exata de OX-módulos quasicoerentes. Então F é coerente se e somente seF 1 e F2 são coerentes.

Demonstração. Basta, primeiro, simplificar ao caso em que X é afim porque ser coerente éuma propriedade local e em seguida utilizar do resultado analogo para módulos finitamenteapresentados.

Considere agora que temos um OX-módulo invertível L, um feixe localmentelivre de posto 1. Seja s uma seção global de L e U um aberto de X com triavilizaçãow : L|U Ñ OX |U . Se x é um ponto de U , dizemos que s é invertível em x se wxpsxq éinvertível em OX,x. Podemos ver isso como se spxq “ sxb 1 em Lpxq :“ LxbOX,x

OX,xmx

é não nulo, isso nos mostra que a invertíbilidade da seção s não depende da trivialização.

Definimos o conjunto XspLq :“ tx P X|s é invertível em xu e observamos queé um aberto do esquema X. Se considerarmos L “ OX denotaremos XspOXq por Xs.No caso em que X é um esquema afim SpecA e s é um elemento do anel A temos queXs “ Dpsq.

Teorema 2.1.17. Seja X um esquema quasi-compacto e quasi-separado, L um OX-módulo,s uma seção global de L e um OX-módulo quasicoerente F .

(i) Se t P ΓpX,Fq tal que t|XspLq. Então existe um inteiro positivo n tal que tb sbn “ 0em ΓpX,F b Lbnq.

(ii) Para toda seção t1 P ΓpXspLq,Fq existe um inteiro positivo n e uma seção t emΓpX,F b Lbnq satisfazendo t|XspLq “ t1 b sbn.

Demonstração. Para demonstrar (i) primeiro precisamos observar que estamos analisandoa nulidade da seção, dessa forma, podemos utilizar métodos locais, isto é, analisar anulidade numa cobertura aberta fixa. Portanto, simplificaremos o problema para o casoem que X é afim e L “ OX . Mas nessa situação, (i) descreve a injetividade do mapaΓpX,Fqs Ñ ΓpXs,Fq, que é garantida pelo item (iv) de 2.1.12.


Para (ii), podemos cobrir X por abertos afins trivializantes de L, fixamos essesabertos como Ui e as trivializações como wi : L|Ui

Ñ OX . Seja si “ wips|Uiq. Utilizando

do isomorfismo do item (iv) de 2.1.12 e que L é trivial em Ui temos

ΓpUi,F b Lbnqs » ΓpUi,FqsiÑ ΓpDpsiq,Fq “ ΓpUi XXs,Fq

Isso nos garante que existe um inteiro positivo l tal que tbsbl|UiXXs “ tbsbl|Dpsq pode serextendido a uma seção ti P ΓpUi,F X Lblq, para ver isso usamos também o item (iii) de2.1.15 para trabalhar com o produto tensorial dos OX-módulos em Ui. Seja ti|j a restriçãode ti à Ui X Uj, desta forma pti|j ´ tj|iq|XsXUiXUj

“ 0.

Mas X é quasi-compacto e quasi-separado, portanto vale o resultado de (i).Logo existe um inteiro positivom tal que pti|j´tj|iqbsbm “ 0 para todo i e j. Utilizando dapropriedade de extensão de feixes para FbLbpl`mq nas seções tibsbm P ΓpUiFbLbpl`mqq,obtemos a seção t P ΓpX,F b Lbpl`mqq satisfazendo as condições de (ii).

Em geral não podemos afirmar que se F ,G são quasicoerentes então HompF ,Gqé quasicoerente. Porêm, temos o seguinte resultado que nos permite definir o bifun-tor Homp´,´q : CohpXq ˆ QCohpXq Ñ QCohpXq, que pode ser restrito ao funtorHomp´,´q : CohpXq ˆ CohpXq Ñ CohpXq.

Proposição 2.1.18. Seja F um feixe coerente sobre X e G um feixe quasicoerente sobreX. Então HompF ,Gq é quasicoerente. Se G for coerente, HompF ,Gq também é coerente.

Seja f : pX,OXq Ñ pY,OY q um morfismo de esquemas. O caso da imageminversa é simples uma vez que f˚pOY q “ OX , f˚ é um funtor exato a direita e comuta comsomas diretas. Basta aplicar o funtor imagem inversa à sequência que define os OY -módulose obtemos que este funtor preserva a quasicoerencia. O mesmo vale para feixes coerentes,se X é localmente noetheriano e F é um feixes coerente então f˚pFq é coerente.

O caso da imagem direta já é bem mais complicado, com efeito, para garantirque podemos definir f˚ : QCohpXq Ñ QCohpXq temos que exigir algumas condições definitude em f . Começamos lidando com o caso afim, esse será base para o caso mais geral.

Proposição 2.1.19. Seja f : Xp“ SpecBq Ñ Y p“ SpecAq um morfismo entre esquemasafins e φ : AÑ B o homomorfismo de anéis correspondente.

(i) Seja N um B-módulo e φ˚pNq o módulo N visto como um A-módulo. Então temos oisomorfismo de OY -módulos f˚pNq “ pφpNqq„.

(ii) Seja M um A-módulo então temos um isomorfismo f˚M “ pB bA Mq„ de OX-

módulos.

Demonstração. Para todo g em A temos f´1pDpgqq “ Dpφpgqq e portanto obtemos


ΓpDpgq, f˚pNqq “ ΓpDpφpgqq, Nq “ Nφpgq “ pφpNqqg “ ΓpDpgq, pφpNqq„q.

Essas igualdades são preservadas pelos mapas de restrição para abertos afins,concluimos com isso que isso define um isomorfismo de feixes e portanto (i). Agora, paraa situação (ii) já sabemos que f˚M é um OX-módulo quasicoerente. Temos a seguintesequência de isomorfismos funtoriais em F , resultado das proposições anteriores

Hompf˚pMqpMq,Fq “ HompM, f˚Fq “ HompM, pφpΓpX,Fqq„qqHompM,φpΓpX,Fqqq “ HompB bAM,ΓpX,Fqq “ HomppB bAMq

„,Fq.

E pela funtorialidade do isomorfismo em F e o Lema de Yoneda concluimos aafirmação (ii).

Antes de continuar com a demonstração para o caso geral, precisamos de umresultado sobre morfismos quasi-separáveis. Incluiremos um outro lema sobre morfismosseparáveis que usaremos no Capítulo 3.

Definição 2.1.20. Um morfismo f : X Ñ Y entre esquemas é dito quasi-separado se omorfismo diagonal ∆ : X Ñ X ˆY X é quasi-compacto. E f : X Ñ Y é dito separável seo morfismo diagonal é um mergulho fechado.

Lema 2.1.21. Seja Y “ SpecA um esquema afim e f : X Ñ Y é um morfismo serparável,então a intersecção de dois abertos em X é afim.

Demonstração. Considere δ : X Ñ X ˆY X o morfismo diagonal e U, V dois subesquemasabertos de X. Como o morfismo f é separável, temos que ∆ é uma imersão fechada deesquemas. Sabemos também que ∆´1

pU ˆY V q “ U X V para quaisquer dois subesquemasafins U e V de X. Por ∆ ser uma imersão fechada, sabemos que a restrição ∆|UXV :U X V Ñ U ˆY V também é uma imersão fechada.

Porêm, U ˆY V é um esquema afim e toda imersão fechada é também um mapaafim. Logo, U X V é um esquema afim.

Lema 2.1.22. Se f : X Ñ Y é um morfismo de esquemas quasi-separado e Y é afimentão X é quasi-separado.

Demonstração. Aqui usamos novamente o fato que ∆´1pU ˆY V q “ U X V , no caso em

que U e V são dois subesquemas abertos afins em X e que nessa situação U ˆY V éafim, quasi-compacto, e portanto ∆´1

pU ˆ V q é quasi-compacto também, demonstrando olema.

Teorema 2.1.23. Seja f : X Ñ Y um morfismo quasi-compacto e quasi-separado, e Fum OX-módulo quasicoerente. Então f˚pFq é um OY -módulo quasicoerente.


Demonstração. Podemos assumir que Y é afim, uma vez que podemos verificar o teoremalocalmente. Portanto X é quasi-compacto, isto é, união de um número finito de abertosafins X “ YiUi. Pelo Lema 2.1.22, sabemos que X é quasiseparado e portanto a intersecçãopode ser coberta por um número finito de abertos afins UiXUj “ YkUi,j,k. Seja Fi :“ F |Ui

,Fi,j,k :“ FUi,j,k

, F 1i :“ pf |Ui

q˚Fi, F 1i,j,k :“ pf |Ui,j,k

q˚F 1i,j,k. Sabemos que F 1

i e F 1i,j,k são

quasicoerentes, portanto seus produtos finitos G :“ź

i

F 1 e H :“ź

i,j,k

F 1i,j,k também são

quasicoerentes.

Para todo aberto U de X, pela propriedade de feixe de F temos a sequênciaexata

0 Ñ FpUq Ñź

i

FpU X Uiq Ñź

i,j,k

FpU X Ui,j,kq

em particular, para cada aberto V em Y temos

0 Ñ f˚F Ñź

i

f˚F 1ipV q Ñ

ź

i,j,k

F 1i,j,kpV q.

Isso nos da a sequência exata de OY -módulos

0 Ñ f˚F Ñ G αÝÑ H.

e pelo Corolário 2.1.15 (i), vemos que o Kerpαq é f˚pFq e por isso esse OY -módulo é quasicoerente.

O funtor f˚ não preserva coerência em geral, nem mesmo quando X e Y sãonoetherianos. Mas se assumirmos que f : X Ñ Y é um morfismo próprio entre esquemasnoetherianos temos que f˚pFq é coerente, para todo feixe coerente F . Esse resultado podeser encontrado na Seção 3.2.1 (DIEUDONNÉ; GROTHENDIECK, 1961). Uma versão maisfraca do teorema, para morfismos projetivos, pode ser encontrada em (HARTSHORNE,1977) Proposição 8.8.

Para finalizarmos essa seção estudaremos como definir feixes quasicoerentes(coerentes) sobre uma variedade projetiva e algumas de suas propriedades. Aqui veremosum dos exemplos mais importantes de feixes coerente os OX-módulos Opmq. Veremos queesses feixes formaram uma classe geradora da categoria derivada. Analogo ao caso afim,primeiro estabelecemos as definições para o caso em que X é o ProjS e depois estudamoso caso mais geral de subesquemas fechados de ProjS.

Definição 2.1.24. Seja S um anel graduado e M um S-módulo graduado. Definimoso feixe M sobre ProjS na base de abertos distinguidos de ProjS pelo Spfq-móduloΓpDpfq, Mq “Mpfq, onde f são elementos homogêneos de S e Mpfq (resp. Spfq) é o módulo


(resp. anel) de elementos de grau zero em Mf(resp. Sf). E Mpfq é um Spfq-módulo. Essefeixes M será chamado de feixificação do módulo M .

Isso define um feixe porque Dpfq “ SpecpSpfqq define uma base para a topologiade ProjS.

Proposição 2.1.25. Considerando S um anel graduado e M um S-módulo graduado.Então M é um feixe quasicoerente. E se S é noetheriano e M um S-módulo finitamentegerad então M é coerente.

Se S é um anel graduado e n é um inteiro, definimos o S-módulo graduado Spnqcomo a torção por n do anel S, isto é, os elementos de grau p em Spnq são os elementosde Sp`n.

Definição 2.1.26. Seja S um anel graduado e X “ ProjS. Para todo inteiro n definimosOXpnq “ pSpnqq

„. Se F é um OX-módulo, denotamos por Fpnq o OX-módulo F bOXpnq.

Proposição 2.1.27. Seja S um anel graduado tal que os elementos de grau 1, S1, geramS como S0-módulo e X “ ProjS.

(i) O feixe OXpnq é um OX-módulo invertível em X.

(ii) Para todo S-módulo graduado vale pMpnqq„ “ Mpnq. Em particular, para todo m en inteiros temos OXpmq bOXpnq “ OXpm` nq.

A demonstração dessa proposição pode ser encontrada na demonstração daProposição 5.12 do Capítulo 2 de (HARTSHORNE, 1977).

Seja S um anel graduado, d um inteiro e s P Sd, s define uma seção ems P ΓpX,OXpdqq utilizando que tDpaq|a P S0u forma uma cobertura aberta de ProjS eque podemos definir s1 P Spdqpaq “ ΓpDpaq,OXpdqq, isso define uma seção global porqueestas seções se igualam nas intersecções Dpaq XDpa1q, a e a1 em S0.

Definição 2.1.28. Seja S um anel graduado, X “ ProjS e F um OX-módulo. Definimoso S-módulo associado a F como Γ˚pFq “ ‘nPZΓpX,Fpnqq. Considere uma seção global sem ΓpX,OXpdqq induzida por s P Sd. Definimos o produto de s com uma seção global tem ΓpX,Fpnqq como a imagem de sb t em ΓpX,Fpn` dqq.

Vamos agora mostrar uma aplicação do Teorema 2.1.17

Proposição 2.1.29. Seja S um anel graduado finitamente gerado por S1 como umaS0-algebra e X “ ProjS. Se F é um feixe quasicoerente então existe um isomorfismonatural β : pΓ˚pFqq„ Ñ F .


Demonstração. Começamos notando que X é quasi-compacto e quasi-separado, na verdade,X é noetheriano. Definiremos o mapa β na base de abertos distinguidos Dpfq, com f emS1. Seja s uma seção homogênea de ppΓ˚pFqq„ no aberto Dpfq, s P ‘dPZΓpX,Fpdqqpfq.Considere mfd P ΓpX,Fpdqqpfq um dos somandos de s com d ě 0, podemos ver 1fd podeser visto como um elemento de ΓpDpfq,OXp´dqq. Fazendo o produto tensorial mb 1fd

obtemos uma seção de Fpdq b Op´dq “ F em Dpfq. Definimos a imagem de s por βcomo mb 1fd. Pela naturalidade do isomorfismo Fpdq bOp´dq vemos que isso defineum morfismo de OX-módulos.

Para ver que é um isomorfismo primeiro aplicamos o Teorema 2.1.17, onde f éuma seção global do feixe invertível L “ OXp1q. Combinando (i) e (ii) do Teorema 2.1.17obtemos que ΓpDpfq,Fq » Γ˚pFqpfq e o mapa que realiza esse isomorfismo é exatamenteβDpfq. A conclusão (ii) nos diz que βDpfq é injetivo e (ii) que βDpfq sobrejetivo.

Definição 2.1.30. Seja X um esquema sobre SpecA, um feixe invertível L em X é ditomuito amplo se existe um mergulho i : X Ñ PnA, para alguma inteiro positivo n, tal quei˚pOPn

Ap1qq “ L.

A existência de feixes muito amplos tem implicações muito interessantes tantona teoria dos coerentes quanto na sua categoria derivada. Uma primeira aplicação da suaimportância é no Teorema de Serre para determinar que um feixe coerente, se torcido osuficiente, pode ser gerado por um número finito de seções globais.

Teorema 2.1.31. Seja X um esquema projetivo sobre um anel noetheriano A, Op1q umfeixe muito amplo invertível em X, e F um feixe coerente sobre X. Então existe um inteiropositivo n0 tal que se n ě n0 tal que o feixe Fpnq é finitamente gerado por seções globais,isto é, existe um conjunto finito de seções globais si P ΓpX,Fq tais para todo ponto de X,a imagem dos si em Fpnqx geram esse OX,x-módulo.

A demonstração desse teorema pode ser encontrada no Teorema 5.17 do Capítulo2 de (HARTSHORNE, 1977). Esse resultado é usado no corolário a seguir para mostrarque a categoria dos feixes coerentes tem suficientes projetivos, uma vez que os feixes detorção OXpnq são localmente livres.

Corolário 2.1.32. Seja X um esquema projetivo sobre um anel noetheriano A. Então todofeixe coerente F em X pode ser escrito como um quociente de um feixe E “ ‘iPIOXpniq,onde I é um conjunto finito.

Demonstração. Basta ver que existe n inteiro tal que Fpnq é globalmente gerado, eisso pode ser expresso como a existência de um morfismo sobrejetivo de OX-módulos‘iPIOX Ñ Fpnq Ñ 0. Agora basta aplicar o produto tensorail OXpńq a essa sequência,


considerando que o funtor produto tensorial é exato a direita, e concluimos a demonstração.

2.2 Funtores DerivadosQueremos estudar a categoria derivada dos feixes coerentes Db

pCohpXqq sobreuma variedade projetiva X. Uma forma de fazer isso é extender os funtores de CohpXqpara Db

pCohpXqq. Isso é feito através do conceito de funtores derivados.

Para definir os funtores derivados primeiro precisamos dividir a classe dosfuntores sobre QCohpXq em duas classes, a dos funtores exatos à esquerda e a dos funtoresexatos à direita. Para definir o funtor derivado a direita dos funtores exatos a esquerdaprecisamos que nossa categoria tenha suficientes injetivos, analogamente para os funtoresexatos a direita precisamos de suficientes projetivos para definir os funtores derivados àesquerda.

Os feixes coerentes não possuem resolução injetiva por feixes coerentes, emquanto não podemos esperar que módulos finitamente gerados tenham resoluções injetivaspor módulos também finitamente gerados. Porêm possuem resolução por OX-módulosprojetivos. Dessa forma, para definir os funtores derivados a direita consideraremos os feixescoerentes como feixes quasicoerentes para construir os funtores derivados emD˚pQCohpXqq

e depois mostraremos que em algumas situação os funtores derivados definem um autofuntorsobre Db

pCohpXqq.

A primeira coisa que precisamos saber para construir os funtores derivados sãoas resoluções injetivas (projetivas). Esses objetos nos permitiram achar uma subcategoriadentro de K˚

pAq equivalente à categoria D˚pAq, onde A é uma categoria abeliana.

Definição 2.2.1. Um objeto I em uma categoria abeliana A é dito injetivo se o funtorHomAp´, Iq : A Ñ Ab é exato.

Definição 2.2.2. Um objeto P em uma categoria abeliana A é dito projetivo se o funtorHomApP,´q : A Ñ Ab é exato.

Definição 2.2.3. Uma categoria abeliana A contêm suficientes objetos injetivos (respec-tivamente projetivos) se para todo objeto A em A existe um monomorfismo AÑ I com I

objeto injetivo de A (respectivamente se existe um epimorfismo P Ñ A com P sendo umobjeto projetivo de A).

Uma resolução injetiva de um objeto A em A é uma sequência exata da forma

0 Ñ AÑ I0Ñ I1

Ñ I2Ñ ...


onde os objetos Ik são injetivos para todo inteiro positivo k. Analogamente,definimos uma resolução projetiva pela sequência exata

...Ñ P2 Ñ P1 Ñ P0 Ñ AÑ 0

com P i projetivos para todo inteiro positivo i.

Outra forma de ver essas resoluções é o mesmo que um quasi-isomorfismo deA Ñ I‚, onde I‚ é um complexo em KompAq da forma 0 Ñ I0

Ñ I1Ñ ..., com os Ij

injetivos para todo j positivo e o complexo é exato em todos os elementos menos I0. Damesma forma podemos descrever a resolução projetiva para um objeto de A como umquasi-isomorfismo de complexos.

Proposição 2.2.4. A categoria abeliana QCohpXq possui suficientes injetivos para todoesquema X quasi-compacto e quasi-separado. E no caso em que X é um esquema noetheri-ano temos que CohpXq possui suficientes projetivos.

Demonstração. Para ver que QCohpXq tem suficientes injetivos podemos utilizar o Teo-rema 2.1.11 e observar que QCohpXq é uma categoria de Grothendieck e toda categoria deGrothendieck tem suficientes injetivos. Outra forma de ver isso é utilizando a construçãode Goldement para mostrar que se a categoria abeliana A tem suficientes injetivos, entãoa categoria de feixes sobre A também tem suficientes injetivos, e notar que o passo maisdelicado para verificar que o objeto é de fato quasicoerente é o fato do produto de feixesquasicoerentes ser quasicoerente. A demonstração desse segundo argumento é encontradana demonstração da Proposição 2.2 do Capítulo 3 de (HARTSHORNE, 1977).

Uma propriedade interessante das resoluções injetivas é que se f : AÑ B é ummorfismo em A então podemos extender a um morfismo de resoluções injetivas, fazendo oseguinte diagrama comutar

0 // A //

f

I‚

g

0 // B // I 1‚

onde I‚ e I 1‚ são as resoluções injetivas de A e B, respectivamente. E essemorfismo é único a menos de homotopias definidas no Exemplo 1.2.2. Esse resultado podeser encontrado em qualquer livro de algebra homológica, em especial no (ROTMAN, 1979).

Proposição 2.2.5. Seja A uma categoria abeliana com suficientes injetivos. Então paratodo complexo A‚ em K`

pAq, existe um complexo de objetos injetivos I‚ em K`pAq com

um quasi-isomorfismo A‚Ñ I‚


A demonstração dessa proposição pode ser encontrada na demonstração doTeorema 22.D de (GELFAND; MANIN, 2003). Novamente, podemos demonstrar umresultado analogo para resoluções projetivas na categoria K´

pAq.

Teorema 2.2.6. Seja A uma categoria abeliana com suficientes injetivos, K`pIq a sub-

categoria completa de K`pAq dos complexos I‚, onde Ij são os objetos injetivos em A.

Então a composição K`pIq Ñ K`

pAq Ñ D`pAq é uma equivalência de categorias.

Esse é o Teorema 21 do Capítulo 3 de (GELFAND; MANIN, 2003) e a Propo-sição 2.2.5 é um dos resultados intermediários utilizados na demonstração do Teorema2.2.6. A sua demonstração pode ser encontrada em (GELFAND; MANIN, 2003). A de-monstração do teorema analogo para categorias abelianas com suficientes projetivos é amesma. Enunciaremos ele aqui para referência.

Proposição 2.2.7. Seja A uma categoria abeliana com suficientes projetivos. Então acomposta K´

pPq Ñ K´pAq Ñ D´pAq é uma equivalência.

Usualmente, utilizamos a Proposição 2.2.6 para definir um funtor derivado emD`pAq. Porêm no Capítulo 3 discutiremos a dualidade de Grothendieck-Verdier em suatotal generalidade, e esta envolve funtores derivados em categorias derivadas não limitadas.Para isso precisaremos desenvolver algumas ferramentas para fazer essa definição. Umaforma de fazer essa generalização é usando as tecnicas de (NEEMAN, 1991), descreveremoselas a seguir. A primeira seção do artigo mostra o seguinte resultado.

Proposição 2.2.8. Se A é uma categoria abeliana satisfazendo AB4 então DpAq temsomas diretas. Se A satisfaz AB4˚ então DpAq possui produtos.

Não demonstraremos essa proposição mas sua demonstração e a dos próximosresultados pode ser encontrados no artigo (NEEMAN, 1991).

Exemplo 2.2.9. A categoria QCohpXq satisfaz AB4 e AB4˚ e portanto DpQCohpXqqpossui somas e produtos arbitrários.

Definição 2.2.10. Seja T uma categoria triangulada. Uma subcategoria triangulada Lde T é dita localizadora se toda soma direta de objetos em L está em L e se todo somandodireto de um objeto em L está em L.

Exemplo 2.2.11. A subcategoria H de KpAq dos complexos exatos é localizadora, bastaver que os funtores de cohomologia comutam com somas diretas arbitrárias.

Definição 2.2.12. Seja T uma categoria triangulada e L uma subcategoria localizadora.Um objeto Y é dito L-local se, para todo objeto X em L, temos HompX, Y q “ 0.


Lema 2.2.13. Com T “ KpAq e L a subcategoria dos complexos exatos. Se I é umcomplexo de injetivos limitado inferiormente, então I é L-local.

Lema 2.2.14. Seja T uma categoria triangulada e L uma subcategoria localizadora e Yum objeto L-local. Para todo objeto X em T temos

HomT pX, Y q “ HomT LpX, Y q.

Demonstração. Como vimos no Capítulo 1, um mapa X Ñ Y em T L é um diagrama daforma

X 1

α

~~

X Y

onde α é um quasi-isomorfismo. Isto é, temos um triângulo distinguido

X 1Ñ X Ñ Z Ñ Xr1s

com o objeto Z pertencendo a L. Mas Homp´, Y q é um funtor homológico e portantotemos a sequência exata

0 “ HomT pZr´1s, Y q Ñ HomT pX1, Y q Ñ HomT pX, Y q Ñ HomT pZ, Y q “ 0.

Concluimos com isso que HomT pX1, Y q » HomT pX, Y q e o isomorfismo nos

da um mapa de X Ñ Y em T tal que a composta com α é o mapa, em T , de X 1Ñ Y , o

mapa HomT pX, Y q Ñ HomT LpX, Y q é sobrejetivo.

Mas se f : X Ñ Y é um morfismo em T cuja imagem em T L é nulo então elefatora como X Ñ Z Ñ Y com Z objeto de L, e como Y é L-local temos que Z Ñ Y énulo, concluindo a injetividade do mapa HomT pX, Y q Ñ HomT LpX, Y q.

Lema 2.2.15. Seja T uma categoria triangulada com produtos e L uma subcategorialocalizadora. Então a subcategoria completa de objetos L-locais é localizadora e fechada porprodutos.

Demonstração. Dado um objeto Y em L, o funtor Homp´, Y q : T Ñ Sets comuta comprodutos arbitrários Proposição 1.1.9. Mas numa categoria triangulada coprodutos finitossão também produtos porque toda categoria triangulada é aditiva, ver Corolário 18.2(MITCHELL, 1965). Portanto, o funtor Homp´, Y q comuta com coprodutos finitos, e issoé suficiente para mostrar que a subcategoria completa dos objetos L-locais é localizadorae contêm produtos.

Lema 2.2.16. Seja A uma categoria abeliana satisfazendo AB4˚, X um objeto de DpAqe ...Xn Ñ Xn´1 Ñ ...Ñ X0 uma sequência de morfismos em DpAq, com mapas X Ñ Xi


em DpAq compatíveis com a sequência. Então temos um morfismo X Ñ holimpXnq e separa todo n inteiro positivo, existe i suficientemente grande tal que Hn

pXq Ñ HnpXiq é

um isomorfismo, o morfismo X Ñ holimpXnq é um isomorfismo.

Demonstração. Utilizando que os mapas X Ñ Xi são adaptados à sequência tXiuiě0

vemos que a composição X fÝÑ

ź

n

Xn1´ShiftÝÝÝÝÝÑ

ź

n

Xn é nula. Agora aplicamos o funtor

exato HompX,´q : DpAq Ñ DpAq ao triângulo distinguido que define holimXn e com issoobtemos a sequência exata HompX, holimpXnqq

βÝÑ HompX,

ź

n

XnqαÝÑ HompX,

ź

n

Xnq,

onde α “ HompX, 1´ Shiftq. Mas f está em Kerpαq, e portanto na imagem de β. Sejag : X Ñ holimXn o mapa com βpgq “ f .

Agora suponha que para todo inteiro positivo n, HnpXq Ñ Hn

pXiq é umisomomorfismo para algum i suficientemente grande. Então temos a sequência exata curta

0 Ñ HnpXq Ñ

ź

i

HnpXiq Ñ

ź

i

HnpXiq Ñ 0

mas sabemos que Hn comuta com produtos por A satisfazer AB4˚, logo vemosque Hn

pXq é o núcleo do mapa Hnpź

i

Xiq Ñ Hnpź

i

Xiq. Aplicando o funtor homológico

Hn ao triângulo distinguido que define o limite homotópico holimXi obtemos o diagramacomutativo

HnpXq

Hnpgq

f1

((

Hnpś

iq// HnpholimXiq

f2//

Hnpś

iXiq // Hnpś

iXiq

HnpXq

f166

HnpholimXiq.

f2

==

Neste diagrama, todos os mapas fi são injetivos. Portanto as composições

HnpXq Ñ Hn

pholimXiq Ñ HnpXq e Hn

pholimXiq Ñ HnpXq Ñ Hn

pholimXiq

são iguais a identidade.

Proposição 2.2.17. Seja A uma categoria abeliana satisfazendo AB4˚ com suficientesinjetivos. Então todo objeto em DpAq é quasi-isomorfo a um complexo injetivo.

Demonstração. Considere o funtor těn : DpAq Ñ D`pAq, onde n é um inteiro, que levacomplexos X de DpAq em complexos Xěn da forma


Xj“

$

’

&

’

%

0 se j ă n

cokerpdn´1q se j “ n

Xj se j ą n

Sabemos da Proposição 2.2.5 que para todo inteiro n, existe um complexoinjetivo In em D`pAq e um quasi-isomorfismo Xěn

Ñ In. Obtemos com isso uma sequênciade morfismos rn : In Ñ In`1 em D`pAq entre complexos injetivos. Se considerarmos ascondições de 2.2.13 e aplicar o Lema 2.2.14, obtemos rn : In Ñ In`1 emKompAq realizandoo morfismo rn em D`pAq.Defina as sequências In :“ Iń e Xn “ Xďn. Utilizando doLema 2.2.16 e da "funtorialidade"do limite homotópico obtemos a composição de mapasem DpAq

limÝÑ

XnαÝÑ holimXn

βÝÑ holimIn

mas limÝÑ

Xn “ X porque os mapas que definem o limite injetivo são exatamenteas inclusões de Xěn

Ñ X, como HnpXq

HnpαqÝÝÝÝÑ Hn

pXěnq é um isomorfismo vemos pelo

Lema 2.2.16 que α é um quasi-isomorfismo. Já o mapa β é o limite homotópico de umasequência de quasi-isomorfismos, como o funtor Hn comuta com produtos, pelo axiomaAB4˚, então o mapa induzido

ź

n

Xn Ñź

n

In é um quasi-isomorfismo e portanto β

também é um quasi-isomorfismo pelo lema dos 5.

Resta ver que holimIn é um complexo de objetos injetivos. Para ver issoprecisamos ver que o mapa In Ñ In´1 é realizado em K`

pAq e portanto o calculo doobjeto holimIn pode ser feito nessa categoria, mas nesse caso holimIn “ Cp1´Shiftqr´1s.Sendo assim vemos que Cp1´ Shiftqr´1si “ p

ź

n

Inqi‘ p

ź

n

Inqi´1, mas In são complexos

de objetos injetivos e o produto de objetos injetivos é injetivo, portanto holimIn é umcomplexo de objetos injetivos.

Proposição 2.2.18. Seja A uma categoria abeliana com suficientes injetivos satisfazendoAB4˚ e KpIq a menor subcategoria colocalizadora de KpAq contendo os complexos injetivos.Então a composta dos funtores KpIq Ñ KpAq Ñ DpAq é uma equivalência.

Demonstração. Para ver isso basta combinar a Proposição 2.2.17, o Lema 2.2.14 e aProposição 1.1.10 do primeiro capítulo.

O funtor derivado à direita( resp. à esquerda) possuem uma definição categorica,utilizando uma propriedade universal que os torna únicos. Porêm, essa propriedade universalnão será usada nesse texto e por isso optamos por fazer a definição concreta.


Definição 2.2.19. Seja A uma categoria abeliana com suficientes injetivos satisfazendoAB4˚, B uma categoria abeliana, i : KpIq Ñ DpAq a equivalência descrita na Proposição2.2.18, i´1 : DpAq Ñ KpIq uma das quasi-inversas de i e QB : KpBq Ñ DpBq o funtorde localização. Então se F : A Ñ B é um funtor exato a esquerda, definimos o funtorderivado a direita RF : DpAq Ñ DpBq como a composta RF :“ QB ˝KpF q ˝ i

´1.

Para cada inteiro n temos um funtor de cohomologia Hn : D˚pBq Ñ B,definimos RnF pXq :“ Hn

pRF pXqq. É bastante claro que essa definição pode ser estendidaao funtor derivado RF : D`pAq Ñ D`pAq no caso em que queremos utilizar o Teorema2.2.6 ao invés da Proposição 2.2.18. Outra versão pode ser definida para quando nãotemos o funtor F : A Ñ B e sim o funtor KpF q : KpAq Ñ KpBq, nessa situação definimosRKpF q como a mesma composta que define RF .

A ideia da definição concreta é escolher de maneira funtorial, escolher o i´1, oquasi-isomorfismo X Ñ I‚ onde I‚ é um complexo de injetivos.

Uma definição equivalente pode ser feita para D´pAq Ñ D´pBq no caso emque temos suficientes projetivos.

Definição 2.2.20. Seja A uma categoria abeliana com suficientes projetivos, B umacategoria abeliana, i : K´

pIq Ñ D´pAq a equivalência descrita no Teorema 2.2.6,i´1 : DpAq Ñ KpIq uma das quasi-inversas de i e QB : K´

pBq Ñ D´pBq o funtor delocalização. Então se F : A Ñ B é um funtor exato a direita, definimos LF : DpAq Ñ DpBqcomo a composta LF :“ QB ˝K

´pF q ˝ i´1.

Seguimos o capítulo mostrando como definir os funtores derivados dos funtoresda geometria algébrica clássica. A partir desse ponto até o fim dessa seção consideraremosX como um esquema noetheriano.

Começamos com o funtor Hom : CohpXq ˆQCohpXq Ñ QCohpXq. Sabemosque QCohpXq tem suficientes injetivos( Exemplo 2.2.4) e CohpXq possui suficientesprojetivos. Queremos agora definir o funtor de morfismo entre complexos

Hom‚ : K´pCohpXqq ˆKpQCohpXqq Ñ KpQCohpXqq.

Veremos depois que esse funtor aparece quando tratamos de uma sequência espectral.

Definição 2.2.21. Seja F‚ um complexo limitado superiormente de feixes coerentese G‚ um complexo de feixes quasicoerentes, o complexo Hom‚

pF‚,G‚q é definido porHomi

pF‚,G‚q “ź

p

HompFp,Gpìq, com di “ dG ´ p´1qidF .

Na Proposição 2.1.18 vemos que Hom‚ : K´pCohpXqq ˆ KpQCohpXqq Ñ

KpQCohpXqq está bem definido como um bifuntor, porque produto de feixes quasicoerentes


é também quasicoerente. Podemos restringir KpQCohpXqq à categoria K`pQCohpXqq e

obter o bifuntor Hom‚ : K´pCohpXqq ˆK`

pQCohpXqq Ñ K`pQCohpXqq, isso acontece

porque se i ăă 0 então HipF‚,G‚q “

ź

p

HompFp,Gpìq “ 0.

Esse argumento utilizado para restringir o funtor Hom‚ pode ser usado pararestringir ainda mais, como no caso Hom‚ : Kb

pCohpXqq ˆKbpCohpXqq Ñ Kb

pCohpXqq.Para isso utilizamos a Proposição 2.1.18, novamente, e que se os dois complexos F‚ e G‚

de feixes coerentes são limitados então HomipF‚,G‚q é dado por um produto finito de

feixes coerentes, que também é um feixes coerente.

Lema 2.2.22. Seja E‚ um complexo de OX-módulos injetivos quasicoerentes. Se F‚ ouE‚ são aciclicos então Hom‚

pF‚, E‚q também é aciclico.

Dado um objeto F‚ de K´pCohpXqq definimos

RHom‚pF‚,´q : DpQCohpXqq Ñ DpQCohpXqq

utilizando a Definição 2.2.19. Analogamente para a categoria K´pPq ãÑ K´

pCohpXqq

obtemos o bifuntor RHom : D´pCohpXqq ˆDpQCohpXqq Ñ DpQCohpXqq.

A primeira restrição que podemos fazer a esse funtor é reduzir os complexosdo segundo argumento a complexos limitados inferiormente, definindo assim o bifuntorderivado RHom‚ : D´pCohpXqq ˆ D`pQCohpXqq Ñ D`pQCohpXqq, para fazer essarestrição basta utilizar do Lema 2.2.18 para descer o funtor derivado à categoria K`

pIqe restringir o dominio à K´

pCohpXqq ˆ K`pIq. Para concluir que a imagem está em

K`pQCohpXqq é só utilizar a restrição feita anteriormete ao Lema 2.2.22. Para reduzir

ao caso da categoria dos complexos limitados de feixes coerentes precisaremos de utilizarsequências espectrais e por isso deixaremos esse caso para o final do capítulo.

Proposição 2.2.23. Suponha que A‚ e B‚ complexos sobre uma categoria abeliana Alimitados superiormente e inferiormente, respectivamente. Definimos a i-ésima extensãode dois complexos A‚ e B‚ como o objeto ExtipA‚, B‚q :“ H i

pRHom‚pA‚, B‚qq. Então

ExtipA‚, B‚q “ HomDpAqpA‚, B‚q

Continuamos as definições de funtores derivados definindo a cohomologia de umfeixe quasicoerente, poderiamos definir na categoria de OX-módulos mas não utilizaremosnessa generalidade então não há necessidade. Temos o funtor exato a esquerda de seçõesglobais ΓpX,´q : QCohpXq Ñ ModOXpXq, e utilizando a Definição 2.2.19, definimosRΓpX,´q : DpQCohpXqq Ñ DpModOXpXqq. A cohomologia de feixes quasicoherentesé dada por H i

pX,Fq “ H iRΓpX,Fq. Chamaremos o funtor RΓpX,´q de o funtor decohomologia.


Se X é uma variedade projetiva sobre um corpo k sabemos que OXpXq é um k-espaço vetorial de dimensão finita, e assim obtemos RΓpX,´q : DpQcohpXqq Ñ DpV eckq,onde V eck é a categoria dos espaços vetoriais sobre k. Os seguintes teoremas são muitoimportantes para mostrar que temos complexos finitos.

Teorema 2.2.24. Seja X um esquema noetheriano, então para todo feixe quasicoerentesobre X temos H i

pX,Fq “ 0 se i ą dimpXq.

Teorema 2.2.25. Seja X uma variedade projetiva sobre k e F um feixe coerente entãoH ipX,Fq tem dimensão finita sobre k para todo i.

Assim como o funtor Hom‚ podemos também restringir o funtor RΓpX,´qao funtor RΓpX,´q : D`pQCohpXqq Ñ D`pModOXpXqq e utilizando dos Teoremas 2.2.24e 2.2.25 obtemos, no caso em que X é uma variedade projetiva sobre k, à restriçãoRΓpX,´q : Db

pCohpXqq Ñ DbpV ecFkq, onde V ecFk é a categoria dos espaços vetoriais

de dimensão finita sobre k.

Uma observação importante deve ser feita nessa restrição à categoria derivadados feixes coerentes, a categoria dos feixes coerentes não possui suficientes injetivos e porisso não podemos definir um funtor derivado nessa categoria diretamente. Mas podemoslevar um complexo de feixes coerentes à categoria K`

pQCohpXqq e então definir o funtorderivado aplicado aos feixes coerentes, e apartir dai calcular a imagem do funtor derivadorestrito a Db

pCohpXqq.

As propriedades do funtor de cohomologia serão a base para estudar as propri-edades do funtor derivado do funtor imagem direta, pois sabemos que o funtor de seçõesglobais ΓpX,´q é exatamente o funtor imagem direta no caso f : X Ñ Specpkq, onde X éum esquema noetheriano sobre um corpo k.

Suponha que f : X Ñ Y é um morfismo quasi-compacto e quasi-separado.O funtor imagem direta f˚ : QCohpXq Ñ QCohpXq estende a um funtor na categoriaderivada Rf˚ : DpQCohpXqq Ñ DpQCohpXqq utilizando a Definição 2.2.19. A primeirapropriedade importante desse funtor é a sua relação com o funtor de restrição. Utilizaremosdessa propriedade no Capítulo 3

Lema 2.2.26. Seja f : X Ñ Y um morfismo de esquemas quasi-compacto e quasi-separado.Se U é um aberto de X e i : U Ñ X é a inclusão de U em X então

Rf˚ ˝Ri “ Rpf |Uq˚.

Demonstração. Para isso basta ver que por i˚ possuir uma adjunta a esquerda (i˚) entãose I é um objeto injetivo em QCohpXq concluimos que i˚I é injetivo (basta utilizaro isomorfismo da adjunção e a definição de objeto injetivo). Para todo objeto X em


DpQCoHq temos Rf˚ ˝ Ri˚pXq “ Rf˚pi˚pIqq “ f˚pi˚pIqq “ pf |Uq˚pIq “ Rpf |Uq˚pXq,onde I é uma resolução injetiva do objeto X.

Uma caracteristica importante desse funtor é a sua relação com o funtor decohomologia.

Proposição 2.2.27. Para cada i ě 0 e cada feixe quasicoerente F , Rif˚pFq é o feixeassociado ao préfeixe em Y dado por

V ÞÑ H ipf´1

pV q,F |f´1pV qq

Demonstração. Ver Proposição 8.1 do Capítulo 3 do (HARTSHORNE, 1977).

Juntando essa proposição com o Teorema 2.2.24 para esquemas noetherianosvemos que Rif˚pFq “ 0 para todo i ą dimpXq, onde F é um feixe quasicoerente ef : X Ñ Y é um morfismo de esquemas e X é noetheriano. Portanto podemos restringir ofuntor derivado a Rf˚ : Db

pQCohpXqq Ñ DbpQCohpXqq. O seguinte resultado pode ser

encontrado em (HARTSHORNE, 1977) Proposição 8.8.

Lema 2.2.28. Se f : X Ñ Y é um morfismo projetivo entre esquemas noetherianos,então Rif˚pFq é coerente para para todo F coerente e i ě 0.

Proposição 2.2.29. Seja X um esquema noetheriano. Então o funtor natural induzidopela inclusão Db

pCohpXqq Ñ DbpQCohpXqq define uma equivalência entre Db

pCohpXqq

de X e a subcategoria triangulada DbcohpQCohpXqq dos complexos limitados de feixes

quasicoerentes com cohomologia coerente.

A demonstração dessa proposição pode ser encontrada na Proposição 3.5 de(HUYBRECHTS, 2006).

Como já sabemos que se F‚ é um complexo limitado de feixes coerentes sobreX então Rf˚pF‚

q é um complexo limitado de feixes quasicoerentes, mas sabemos que asua cohomologia é coerente em todo ponto. Pela Proposição 2.2.29 temos que Rf˚F‚ estáem Db

pCohpXqq. Definindo Rf˚ : DbpCohpXqq Ñ Db

pCohpXqq.

O produto tensorial é usualmente definido para a categoria dos feixes coerentes,pois estes possuem suficientes projetivos. Os feixes quasicoerentes não possuem suficientesprojetivos. A definição segue o mesmo ritmo da definição do RHom‚. Começamos definindoo bifuntor ´b‚ ´ : K´

pCohpXqq ˆK´pCohpXqq Ñ K´

pCohpXqq.

Definição 2.2.30. Sejam F‚ e G‚ dois complexos em K´pCohpXqq. Definimos o complexo

F‚b‚ G‚ cujo elemento de indice n é pF‚

b‚ G‚qn “ ‘i`j“nF i

b Gj e os diferenciais sãod “ dF b 1` p´1qi1b dG.


Como estamos lidando com a categoria dos complexos coerentes limitadossuperiormente, vemos que os elementos de F‚

b‚G‚ são somas finitas de produtos tensoriais

de feixes coerentes, que são também feixes coerentes. E é claro também que se escolhermoscomplexos limitados de feixes coerentes, seu produto tensorial é limitado, definindo´b

‚´ : Kb

pCohpXqq ˆKbpCohpXqq Ñ Kb

pCohpXqq.

Como a categoria dos feixes coerentes tem suficientes projetivos e objetosprojetivos formam uma classe adaptada ao produto tensorial, definimos o bifuntor derivadoa esquerda do produto tensorial ´bL ´ : D´pCohpXqq ˆD´pCohpXqq Ñ D´pCohpXqq.Para estender ao caso limitado precisamos do seguinte resultado.

Lema 2.2.31. Se X é regular, então todo complexo limitado de feixes coerentes F‚ possuiuma resolução limitada de feixes localmente livres.

Esse resultado é essencialmente o Teorema de Syzygys de Hilbert. Ele não seráabordado nessa dissertação.

Feixes localmente livres também são projetivos, dessa forma, temos o bifuntorderivado ´b´ : Db

pCohpXqq ˆDbpCohpXqq Ñ Db

pCohpXqq.

O funtor imagem direta é uma composição do produto tensorial com umfuntor exato f´1 e portanto seu funtor derivado é essencialmente o mesmo que o doproduto tensorial. Isto é, se F‚ é um complexo limitado superiormente de feixes coerentes,Lf˚pF‚

q :“ OXbL f´1

pF‚q. Isto é, define Lf˚ : D´pCohpXqq Ñ D´pCohpXqq e podemos

fazer a redução ao caso limitado da mesma forma que fizemos para o produto tensorial.

2.3 Sequências EspectraisNessa seção estudaremos as sequências espectrais sobre uma categoria abeliana

arbitrária, fixando posteriormente para as categorias CohpXq e QCohpXq. Essa ferramentaé utilizada para calcular o funtor derivado de uma composição de funtores entre categoriasabelianas. Uma primeira aplicação é feita para demonstrar que Hom‚ define um funtor deDbpCohpXqq ˆDb

pCohpXqq Ñ DbpCohpXqq. O principal teorema dessa seção é teorema

que define a sequência espectral de Leray, responsável pelo calculo do funtor derivado deuma composição.

Começamos a seção com a definição da sequência espectral arbitrária parauma categoria abeliana A. Em seguida definimos a sequência espectral associada a umafiltração de complexos, e usaremos dessa definição para calcular a sequência espectralde um duplo complexo. Finalizando a seção com o enunciado da sequência de Leray ealgumas aplicações.


Definição 2.3.1. Uma sequência espectral em uma categoria abeliana A é uma coleção deobjetos tEp,q

r | onde p, q P Z e r ě 0 u e morfismos dp,qr : Ep,qr Ñ Ep`r,q´r`1

r , para todo p, qe r onde Ep,q

r está definido, e um complexo E‚ sobre A satisfazendo as seguintes condições

(i) Chamamos a coleção pEp,qr , dp,qr qp,qPZ de r-ésima folha da sequência espectral, denotamos

essa folha por Er.

(ii) Os morfismos dp,qr são definem um complexo, isto é, dp`r,q´r`1r ˝ dp,qr “ 0 para todo

p, q inteiro e r inteiro não negativo.

(iii) Podemos calcular a cohomologia no elemento Ep,qr ,Hp,q

r pErq :“ Kerdp,qr Impdp´r,q`r1q.

E temos que Ep,qr`1 “ Hp,q

r pErq.

(iv) Para todo p, q inteiros, existe r0 inteiro positivo tal que dp,qr “ 0 e dp´r,q`r´1“ 0 para

todo r ě r0. Isto é, Ep,qr “ Ep,q

r0 para todo r ě r0. Denotamos esse objeto por Ep,q8 .

(v) Existe uma filtração descendente ... Ą F pEnĄ F p`1En

Ą ... para cada inteiro n eisomorfismos βp,q : Ep,q

n Ñ F pEp`qF p`1Ep`q. Dizemos que a sequência espectral

pEp,qr , dp,qr qp,q,r converge ao complexo En.

As condições (iv) e (v) são condições de convergencia para sequências espectrais,poderiam ser descritas outras formas de convergência mas essa é a que usaremos ao longodo texto. Relembraremos agora a definição do bicomplexo e em seguida definiremos asequência espectral associada a uma filtração de complexos.

Definição 2.3.2. Um duplo complexo consiste de um conjunto de objetos Ki,j, paratodo i, j inteiro, e morfismos di,jI : Ki,j

Ñ Ki` 1, j e di,jII : Ki,jÑ Ki,j`1. Esse morfismos

satisfazem

d2I “ 0, d2

II “ 0 e dIdII ` dIIdI “ 0.

Denotamos esse duplo complexo por K‚,‚.

A seguinte definição será importante quando formos determinar En, na notaçãoda Definição 2.3.1, na sequência espectral de um duplo complexo K‚,‚. Veremos que ocomplexo totalizante preserva grande parte das propriedades cohomológicas do duplocomplexo.

Definição 2.3.3. Seja K‚,‚ um duplo complexo. O seu complexo totalizante é definidopor TotpK‚,‚

qn :“ ‘i`j“nKi,j com diferenciais dTot “ dI ` dII .

Exemplo 2.3.4. O complexo Hom‚pF‚,G‚q definido na seção anterior pode ser visto

como o complexo totalizante do duplo complexo Ki,j“ HompAí, Bj

q, com diferenciais


dI “ p´1qjí`1dF e dII “ dG . Da mesma forma podemos definir F‚b‚G‚ como o complexo

totalizante do duolo complexo Ki,j“ F i

b Gj, com diferenciais dI “ p´1qjí`1dF b 1 edII “ 1b dG.

Agora estudaremos a sequência espectral associada a uma filtração de umcomplexo. SejaK‚ um complexo sobre uma categoria abeliana A, uma filtração descendentede K‚ é uma sequência de complexos F pK‚ tal que ... Ą F pKn

Ą F p`1KnĄ ..., para todo

p inteiro, e os diferenciais de K‚ restringem a diferenciais em F pK‚.

Definição 2.3.5. Seja K‚ um complexo em KompAq, onde A é uma categoria abeliana,e pF pK‚

qpPZ uma filtração de K‚. Seja Zp,qr “ d´1

pF p`rKp`q`1q X F pKp`q então

Ep,qr “ Zp,q

r pZp`1,q´1r´1 ` dZp´r`1,q`r´2

q

e os morfismos dp,qr : Ep,qr Ñ Ep`r,q´r`1

r são definidos pelo diferencial de K‚. Ocomplexo E‚ é definido como Hn

pK‚q e sua filtração é dada pela imagem do mapa de

inclusão HnpF pK‚

q Ñ HnpKq.

É fácil ver que Ep,qr está bem definido. Para ver que o morfismo está bem

definido basta mostrar que pZp`1,q´1r´1 ` dZp´r`1,q`r´2

q está contido no núcleo do mapad : Zp,q

r Ñ Zp`r,q´r`1r pZp`r`1,q`r´3

r´1 ` dZp`1,q´1r´1 q, onde dpxq é o elemento em Ep`r,q´r`1

representado por dpxq. Podemos ver que dpZp`1,q´1r´1 q “ 0, este é um dos subgrupos que

definem Ep`r,q´r`1r , e que dpdZp´r`1,q`r´2

q “ 0 porque K‚ é um complexo e d2“ 0.

Em seguida precisamo mostrar que a Kerdp,qr Impdp´r,q`r´1r q “ Ep,q

r`1. Paramostrar isso primeiro observamos os isormorfismos

pZp,qr`1 ` Z

p`1,q´1r`1 qpZp`1,q´1

r´1 ` dZp´r`1,q`r´2r´1 q » Kerpdp,qr q e

pdZp´r,q`r´1r ` Zp`1,q´1

r´1 qpZp`1,q´1r´1 ` dZp´r`1,q`r´2

r´1 » Impdp´r,q`r´1r q.

Os detalhes podem ser encontradas na Seção 7 de (GELFAND; MANIN, 2003).

As condições (iv) e (v) da Definição 2.3.1 não acontecem no caso geral,precisamos impor condições extras na filtração para isso. Essas condições acontecem nonosso caso principal, o do complexo duplo. Estudaremos essa situação agora.

A convergência ao complexo En depende de condições extras introduzidas àfiltração.

Para definirmos a sequência espectral associada ao duplo complexo precisamosprimeiro definir uma filtração natural do complexo totalizante. Acontece que o complexototalizante possui duas filtrações canônicas. A combinação das duas sequências espectraisgeradas por essas filtrações formam uma importante ferramenta em geometria algébrica.


Considere o duplo complexo K‚,‚ com diferenciais dI e dII . Os diferenciais di,jIinduzem a cohomologia H i,j

I pK‚,‚q :“ H i

IpK‚,jq “ Kerdi,jI pImd

i´1,jI q. Os diferenciais dII

induzem diferenciais di,jII : H iIpK

‚,jq Ñ H i

IpK‚,j`1

q e portanto temos a cohomologia associ-ada a esses diferenciais é Hj

IIpHiIpK

‚,‚qq :“ Kerdi,jII pImd

i,j´1II q. Analogamente podemos

definir H iIpH

jIIpK

‚,‚qq.

Definição 2.3.6. Seja K‚,‚ um duplo complexo com diferenciais dI e dII , e TotpKqo seu complexo totalizante. Podemos definir as filtrações F p

I pTotpKqq “ ‘i`j“niěp

Ki,j e

F pIIpTotpKqq “ ‘i`j“n

jěpKi,j.

Sabemos que com essas filtrações podemos construir duas sequências espectrais,denotaremos por EI,p,q e EII,p,q as sequências obtidas apartir das filtrações F p

I pTotpKqq eF pIIpTotpKqq, respectivamente. Vamos agora impor a condição que no duplo complexo K‚,‚,Ki,j

“ 0 para i, j ă 0. Esse é chamado duplo complexo no primeiro quadrante. Utilizandoessas filtrações nessa situação não é difícil ver que as sequências espectrais EI,p,q e EII,p,q

satisfazem (iv) e com isso mostrar a sua convergência ao complexo HnpTotpKqq.

Proposição 2.3.7. Ainda na notação utilizada na definição anterior, EI,p,q2 “ Hp

I pHqIIpK

‚,‚qq

e EII,p,q2 “ Hp

IIpHqI pK

‚,‚qq e ambas sequências convergem a Hn

pTotpKqq.

A seguir apresentamos a sequência espectral de Leray.

Teorema 2.3.8. Sejam A e B duas categorias abelianas com suficientes injetivos e Cuma categoria abeliana. Considere também F : A Ñ B e G : B Ñ C são funtores exatos àesquerda. Suponha que se I‚ é um complexo de injetivos em Kom`

pAq e se F pI‚q é exato,então GpF pI‚qq é exato. Então para todo objeto X em A, existe uma sequência espectralcom

Ep,q2 “ RpGpRqF pXqq

convergindo a RnpG ˝ F qpXq.

A ideia da demonstração desse teorema é ao invés de utilizar uma resoluçãopor um complexo de injetivos em um objeto de A para calcular o funtor derivado, massim utilizarmos uma resolução por um duplo complexo de injetivos. Isso é feito por meioda resolução de Cartan-Eilenberg. A demonstração da existência e propriedades funtoriaisda resolução de Cartan-Eilenberg é feita escolhendo as resoluções injetivas de maneiraconveniente de maneira a obter um duplo complexo no primeiro quadrante, e assim utilizarda Proposição 2.3.7 para concluir o teorema. Os detalhes podem ser encontrados na Seção7 do Capítulo 2 de (GELFAND; MANIN, 2003).

Para aplicar essa sequência espectral precisamos adaptar ao caso em que F eG são funtores entre categorias de complexos. Isso é feito na seguinte proposição.


Proposição 2.3.9. Sejam A e B duas categorias abelianas com suficientes injetivos eC uma categoria abeliana. E F : K`

pAq Ñ K`pBq, G : K`

pBq Ñ K`pCq dois funtores

exatos entre categorias triânguladas tais que se I‚ é um complexo injetivo e F pI‚q é exato,então GpF pI‚qq é exato. Então para todo complexo X‚ em K`

pAq, existe uma sequênciaespectral com

Ep,q2 “ RpGpRqF pX‚

qq

convergindo a RnpG ˝ F qpX‚

q.

Podemos utilizar da versão da Proposição 2.3.9 da sequência espectral de Leraypara obter uma sequência espctral bem útil para calcular os grupos de homomorfismos nacategoria derivada.

Exemplo 2.3.10. Sejam A‚ e B‚ dois objetos de DpAq com B‚ sendo limitado inferior-mente e A‚ limitado superiormente e suponha que A tem suficientes injetivos e satisfazAB4˚. Então pela Proposição 2.3.9 para o caso em que F “ Id e G “ Hom‚

pA,´q obtemosuma sequência espectral Ep,q

2 “ RpHom‚pA‚, Hq

pB‚qq convergindo à Rp`qHom‚pA‚, B‚q.

Mas utilizando da proposição 2.2.23 vemos que Ep,q2 “ HomDpAqpA

‚, HqpB‚qrpsq

convergindo a HomDpAqpA‚, B‚rp` qsq.

Exemplo 2.3.11. Utilizando da notação da Proposicão 2.3.9 A “ CohpXq, B “ CohpXq,C “ CohpXq F “ id e G “ Hom‚

pG‚,´q : K`pCohpXqq Ñ K`

pCohpXqq, onde G‚ é umcomplexo de feixes coerentes com Gi

“ 0 se i ă 0. A condição de GpF pI‚qq ser exato, casoF pI‚q “ I‚ seja exato e I‚ um complexo de injetivos, é satisfeita por Hom‚

pG‚,´q ser umfuntor exato.

Portanto podemos aplicar a Proposição 2.3.9. Temos assim, para todo complexoF‚ emK`

pCohpXqq, uma sequência espectral cuja segunda folha éEp,q2 “ Rp

pHompG‚, HqpF‚

qq

e esta converge à cohomologia do complexo Hom‚pG‚,F‚

q.

Uma aplicação interessante de sequências espectrais é a seguinte proposição.Ela será usada na demonstração da dualidade de Serre.

Propriedade 1. Seja A uma categoria abeliana com suficientes injetivos satisfazendoAB4˚. E sejam A‚, B‚ objetos em DpAq com H i

pA‚q “ 0 se i ą 0 e H ipB‚q “ 0 se i ď 0.

Então HDpAqpA‚, B‚q “ 0.

Demonstração. Com a sequência espectral definida no Exemplo 2.3.10 obtemos umasequência Ep,q

2 “ HomDpAqpA‚, Hq

pB‚qrpsq convergindo a HomDpAqpA‚, B‚rp ` qsq. Mas

Ep,q2 “ 0 para q ď 0, para todo inteiro p. Sabemos que uma filtração descendente de

E0“ HomDpAqpA

‚, B‚q gera os objetos Ep,´p8 . Se mostrarmos que Ep,´p

8 “ 0 para todo p


inteiro então E0“ 0. Para p positivo já sabemos que Ep,´p

8 é zero. Se p é negativo entãoEp,´p

2 “ HomDpAqpA‚, H´p

pB‚qrpsq

Mas se substituirmos o objeto H´ppB‚q de A por uma resolução injetiva.Seja

I‚ essa resolução injetiva. H ipI‚q “ 0 se i ď 0. Nesse caso podemos utilizar do Lema 2.2.14

para ver que HomDpAqpA‚, H´p

pB‚qrpsq “ HomKpAqpA‚, H´p

pB‚qrpsq. E é fácil ver quenessas condições, todos os mapas de complexos são nulos.

Para finalizar essa seção introduziremos o conceito de sistema de Postnikovassociado a um complexo X‚ em uma categoria triangulada T , a sequência espectralassociada a uma dupla exata e concluir com a mescla das duas ferramentas. Para essa seçãoutilizamos em grande parte a segunda seção do Capítulo IV do (GELFAND; MANIN,2003), mas algumas notações e lemas vem de outros trabalhos como (ORLOV, 2009) e(KAPRANOV, 1988).

Um complexo finito em uma categoria triangulada T é uma sequencia demorfismos ... Ñ Xn

Ñ Xn`1Ñ Xn`2

Ñ ... tal que as composições são nulas, todacategoria triangulada é também aditiva e portanto possui objeto nulo, e só temos umnúmero finito de X i não nulos. Um sistema de Postnikov a direita associado ao complexoX‚ é um diagrama comutativo da forma

X0rńs

// X1rń` 1s

// ...

// Xn´1r´1s

%%

// Xn

Y 0

AA

Y 1

==

oo ...

GG

oo Y n´1

==

oo Y n “ Xnr1s

„

==

oo

onde os morfismos tracejados tem ordem 1, isto é, f : X 99K Y representa omorfismo f 1 : X Ñ Y r1s em T . Todos os triângulos do Diagrama 2.3 são distinguidos, ouseja,

Xkrn´ ks Ñ Y k`1

Ñ Y kÑ Xk

rn´ k ` 1s

são distinguidos. Dizemos que um objeto T em T é a convolução a direita associada aX‚ se existe um sistema de Postnikov a direita tal que T “ Y 0

rn ´ 1s. Analogamente,definimos um sistema de Postnikov a esquerda associado ao complexo X‚ como umdiagrama comutativo da forma

X0 //

id

X1 //

... //

Xn´1 //

Xn

Z0

EE

Z1oo

FF

...oo

CC

Zn´1oo

BB

Znoo

com os morfismos tracejados tendo ordem 1 e todos os triângulos

ZkÑ Xk`1

Ñ ZkÑ Zk

r1s

são distinguidos. Um objeto T é dito a convolução a esquerda associada a X‚ se existe umsistema de Postnikov a esquerda tal que T “ Zn

rńs.


Proposição 2.3.12. A classe de todas as convoluções a direita e a classe das convoluçõesa esquerda em X‚ coincidem.

A demonstração dessa proposição pode ser vista no item bq da Seção 2 doCapítulo IV do (GELFAND; MANIN, 2003).

Agora descrevemos as duplas exatas e a sequência espectral associada a essaconstrução. As duplas exatas são construidas em cima de categorias abelianas, maisusualmente na categoria de objetos bigraduados de uma categoria abeliana. Definiremos adupla exata para R-módulos para evitar tecnicalidades necessárias para definir em umacategoria abeliana geral. O caso geral pode ser visto no artigo (ECHMANN, 1966). Umadupla exata é uma coleção pD,E, i, j, kq de 2 objetos e 3 morfismso satisfazendo o seguintediagrama comutativo

Di // D

j~~

Ek

``

tal que D Ñi D Ñ

j E ÑkÑ

i é uma sequência exata. Em particular pjkq2 “ 0,e portanto podemos definir a cohomologia HpE, jkq “ KerpjkqImpjkq. Isso nos permitedefinir uma nova dupla exata pD1, E 1, i1, j1, k1q onde D1 “ Impiq, E 1 “ HpE, jkq, i1 e arestrição de i a D1, j1pipxqq “ ¯pjpxqq em HpE, jkq para x em D1 e k1pyq “ kpyq onde yestá em E e jkpyq “ 0. A dupla pD1, E 1, i1, j1, k1q é chamada de dupla exata derivada dadupla exata pD,E, i, j, kq.

Considere agora o caso em que D “ ‘Dp,q e E “ ‘Ep,q são módulos bi-graduados, e i,j e k são morfismos de módulos bigraduaos de ordem p´1, 1q,p0, 0q ep1, 0q, respectivamente. Não é dificil ver que na dupla exata derivada de pD,E, i, j, kq,pD1, E 1, i1, j1, k1q, D1 e E 1 são módulos bigraduados e i,j,k são morfismos de módulos bi-graduados de ordem p´1, 1q,p1,´1q e p1, 0q, respectivamente. Repetindo esse processo dederivação da dupla exata r vezes obtemos uma dupla exata pDr, Er, ir, jr, krq onde Dr eEr são módulos bigraduados e ir,jr e kr são morfismos de módulos bigraduados de ordemp´1, 1q,pr ´ 1, 1´ rq e p1, 0q, respectivamente.

Se considerarmos dr “ jrkr : Er Ñ Er como o diferencial da sequência espec-tral,já que este é um morfismo de módulos bigraduados de ordem pr, 1´ rq, podemos verque Ep,q

r`1 “ Kerpdp,qr qImpdp´r,q`r´1r q. Desta forma para considerarmos pEp,q

r , drq comouma sequência espectral precisamos exibir uma coleção de objetos para os quais essasequência converge. Esse é o conteudo do próximo lema. A demonstração é adaptada dademonstração da Proposição 5.9.6 do (WEIBEL, 1995).

Lema 2.3.13. Seja pD,E, i, j, kq uma dupla exata de módulos bigraduados satisfazendoas seguintes condições


(i) Para cada dupla de inteiros pp, qq existe um inteiro App, qq tal que o homomorfismoi : Dp´r,q`r

Ñ Dp´r´1,q`r`1 é um isomorfismo para todo r ě App, qq.

(ii) Para cada dupla de inteiros pp, qq existe um inteiro Bpp, qq tal que o homomorfismoi : Dp`r`1,q´r´2

Ñ Dp`r,q´r´1 é zero para todo r ě Bpp, qq.

Defina a sequência de módulos G‚ por

Gn“ limÐÝn´p

pDp,n´pq

e temos a filtraçãoF pGn

“ Impπp : Dp,n´pÑ Gn

q

. Para toda dupla de inteiros pp, qq existe r suficientemente grande tal que Ep,qr “ Ep,q

r`1 “

Ep,qr`2 “ ..., definimos Ep,q

8 “ Ep,qr . Esses objetos satisfazem as seguintes condições

(1) F pGnĄ F p`1Gn

(2) F kGn“ 0 para k ě p` App, n´ pq ´ 1 e p arbitrário.

(3) F kGn“ Gn para k ě p´Bpp, n´ pq e p arbitrário.

(4) F pGnF p`1Gn

» Ep,n´p8 .

Demonstração. É importante notar que quando estamos definindo Gn“ limÐÝp

Dp,n´p esta-

mos usando uma ordenação diferente para os objetos, isto é, estamos ordenando utilizandoa segunda coordenada e não a primeira. As conclusões (1), (2) e (3) são diretas dadefinição de Gn e da filtração F pGn.

É fácil ver das condições (i) e (ii) que se r é suficientemente grande então

Ep,qr “ Kerpjp`1,q

r kp,qr qImpjp´r`1,q`r´1r kp´r,q`r´1

r q “

pkp,qr q´1pip,q´1r pDp,q´1

qqjp´r`1,q`r´1r pKerpip´r`1,q`r´1

r qq “

pkp,qr q´1ppip´r,q`r´1

qrpDp´r,q`r´1

qqjp´r`1,q`r´1r pKerpip´r`1,q`r´1

r qq “ pkp,qr q´1p0q.

Portanto Ep,qr “ Ep,q

r`1 “ ... , isso porque o kr é definido recursivamente eKerpkrq “ Kerpkr`1q. Definimos Ep,q

8 “ Ep,qr , onde r é suficientemente grande.

Para demonstrar (4) primeiro vemos que se Kp,n´p é o núcleo de Dp,n´p Ñ Gn,então Kp,n´p

“ YrKerpip,n´pr q isto porque Gn é um limite direto e ip,qr “ pip`r,q´rqr. Logo,

jpKp,n´pq “ YrjpKerpi

p,qr qq “ jpKerpip,qqq “ 0. Aplicando o lema da serpente ao diagrama


0

0 // Kp´1,n´p`1 arccosrdsa // Dp´1,n´p`1 //

i

F p`1Gn //

c

0

0 // Kp,n´p // Dp,n´p // F pGn // 0e obtemos a sequência exata curta

Kerpcq Ñ Cokerpaq Ñ Cokerpiq Ñ Cokerpcq Ñ 0.

Mas Kerpcq “ 0, Cokerpaq “ Kp,n´pA, Cokerpcq “ F pGn

F p`1Gn e

Cokerpiq “ Dp,n´pImpip´1,n´p`1

q “ Dp,n´pKerpjp,n´pq “ jp,n´ppDp,n´p

q,

onde a ultima igualdade é feita aplicando j a Dp,n´p pelo isomorfismo natural de módulos,mas aplicando j ao submódulo Cokerpaq vemos que este é nulo e portanto concluimos que

0 Ñ jpDp,n´pq Ñ F pGn

F p`1Gn.

Finalizamos a demonstração percebendo que

jpDp,n´pq “ Kerpkq “ Kerpkrq “ pk

p,n´pr q

´1p0q “ Ep,n´p

8 .

Com o lema anterior podemos concluir que pEp,qr , dp,qr , Gn

q determinam umasequência espectral no sentido da Definição 2.3.1. Essa sequência espectral será usada noCapítulo 3 para definir uma sequência espectral associada ao sistema de Postnikov.

76

3 Teoria de Hélices e Dualidade

Descreveremos nesse capítulo os dois artigos estudados no final do mestrado. Oartigo Helix Theory de A.L. Gorodentsev e S.A. Kuleshov (GORODENTSEV; KULESHOV,2004) e o artigo The Grothendieck Duality Theorem via Bousfield’s Techniques and BrownRepresentability (NEEMAN, 1996) do Amnon Neeman.

No artigo (GORODENTSEV; KULESHOV, 2004) está estudada a aplicaçãode conceitos dos reticulados de Mukai, Z-módulos livres de dimensão finita equipados comuma forma bilinear satisfazendo o isomorfismo de Reisz M „

ÝÑM˚, às categorias derivadasdo espaço projetivo Db

pCohpPnqq. Essa categoria possui um conjunto de geradores finitose usaremos esse fato para fazer a analogia com os reticulados de Mukai.

No artigo (NEEMAN, 1996) vemos como demonstrar a dualidade de Verdier-Grothendieck para categorias derivadas não limitadas DpQCohpXqq. Usualmente estadualidade é definida para os feixes coerentes sobre uma variedade projetiva ou no máximouma extensão para a categoria Db

pCohpXqq, mas vemos no artigo que sua definição nocaso não limitado vem de maneira natural e utiliza de várias ferramentas importantes doestudo de categorias triânguladas.

3.1 Teoria de HélicesComeçaremos a seção com uma breve definição e descrição das propriedades

dos reticulados de Mukai. Em seguida, entraremos no contexto das categorias derivadascom base finita e faremos as definições e primeiros resultados nessa categoria. Concluimosessa seção com uma aplicação ao caso da categoria Db

pCohpPnqq para demonstrar comoobter a sequência espectral de Bellinson nesse caso.

3.1.1 Reticulados de Mukai

Definição 3.1.1. Um reticulado de Mukai é um Z-módulo livre M de dimensão finitacom um produto bilinear ă ¨, ¨ ą: M ˆM Ñ Z tal que o mapa

MαÝÑM˚,

onde αpmqpxq :“ă m,x ą, é um isomorfismo de Z-módulos.

O produto bilinear de um reticulado de Mukai não precisa ser simétrico nemanti-simétrico. Uma base inteira te1, ..., enu de M é chamada de excepcional se a matrizde Gram pχi,jqi,j :“ pă ei, ej ąqi,j é triangular superior e ă ei, ei ą“ 1.

Capítulo 3. Teoria de Hélices e Dualidade 77

Definição 3.1.2. Seja M um reticulado de Mukai e e um elemento de M tal queă e, e ą“ 1. Escrevemos

Kă e ą:“ tm PM | ă m, e ą“ 0u e ă e ąK:“ tm PM | ă e,m ą“ 0u

para denotar os subespaços ortogonais a esquerda e a direita, respectivamente. Os mapas

MLeÝÑă e ąK ; Lepmq :“ă e,m ą ë´m

MReÝÑ

K

ă e ą ; Repmq :“ă m, e ą ë´m

são chamados de mutações a esquerda e a direita com respeito a e, respectiva-mente.

Esses serão os espaços analogos aos complementos e projeções ortogonais daalgebra linear, levando em consideração a não comutatividade do produto bilinear. Estesespaços K ă e ą e ă e ąK satisfazem as condições de projeção ortogonal, não simétrica,isto é

ă m,x ą“ ´ ă Lem,x ą para todo x em ă e ąK

e

ă x,m ą“ ´ ă x,Rem ą para todo x em Kă e ą.

Dada uma base excepcional de um reticulado de Mukai, podemos utilizar dasfunções de mutação para determinar bases duais à nossa base excepcional. Começamosdefinindo o que são as bases duais de uma base excepcional.

Definição 3.1.3. Seja te0, ..., enu uma base excepecional em um reticulado de Mukai. Asbases excepcionais duais a esquerda e a direita t_e0, ...,

_ enu e te_0 , ..., e_n u são definidaspelas relações

p´1qi ă_ ei, en´j ą“ p´1qn´j ă en´j, e_i ą“ δij

Utilizando das condições de projeção ortogonal das mutações a direita e aesquerda obtemos um método de construir as bases duais t_eiu e te_i u. Temos que

_ei “ RenRen´1...Rení`1ení ; e_i “ Le0Le1 ...Lení´1ení.

A Definição 3.1.2 pode ser generalizada para uma base excepcional de umsubreticulado E de M , de forma a obtermos mutações a direita e a esqueda de forma queM

LEÝÝÑ EK e M RE

ÝÝÑK

E.


3.1.2 Categorias Trianguladas Lineares

Para definirmos estruturas similares às definidas para reticulados de Mukai,primeiro precisamos restringir nossa atenção a um caso mais especifico de categoriastriânguladas. Aqui consideraremos a categoria GrdF a categoria cujos objetos são espaçosvetoriais graduados de dimensão finita e os morfismos as transformações lineares de espaçosvetoriais graduados.

Definição 3.1.4. Uma categoria triangulada T é dita linear se temos um bifuntor

Hom‚ : T ˆ T Ñ GrdF

da bicategoria T ˆ T na categoria dos espaços vetoriais graduados de dimensão finitaesse funtor age nos objetos X, Y em T como Hom‚

pX, Y q :“ ‘iPZHompX, Y risq. E nosmorfismos age como o induzido pelo bifuntor Hom da categoria T .

Nessa seção só consideraremos categorias triânguladas lineares. Se V ‚ é umobjeto de GrdF e X um objeto de uma categoria triangulada T definimos o objeto V ‚bXem T como o representante do funtor de T Ñ GrdF dado por

Y ÞÑ V ‚ bHom‚pY,Xq

O objeto V ‚ b X pode ser determinado, V ‚ b X “ ‘pPZVpb Xr´ps, onde

V pb Xr´ps é a soma direta de dimV p copias de Xr´ps. Isso nos da uma noção de

linearidade para o funtor Hom‚pY,´q. Agora para o caso Hom‚

p´, Xq temos uma anti-linearidade, isto é, Hom‚

pV ‚ b Y,Xq “ V ˆ‚ bHom‚pY,Xq onde V ˆ‚ “ ‘pPZV ˚´p.

Combinando essas duas relações de linearidade e que para objetos V ‚ e W ‚ deGrdF temos o isomorfismo natural V ˆ‚ bW ‚

“ Hom‚pV ‚,W ‚

q, obtemos

EndpHom‚pX, Y qq “ Hom‚

pHom‚pX, Y q bX, Y q “ Hom‚

pX,Homˆ‚pX, Y q b Y q

para quaisquer objetos X e Y em uma categoria triangulada T . Nessa situação,denotamos por j˚pX, Y q : Hom‚

pX, Y q b Y Ñ Y e j˚pX, Y q : X Ñ Homˆ‚pX, Y q b Y

para a imagem da identidade id P EndpHom‚pX, Y qq pelos isomorfismos anteriores.

Dizemos que um objeto E de uma categoria triangulada T é excepcional seHom‚

pE,Eq é uma algebra de dimensão 1 gerada pela identidade. Definimos agora osanalogos as projeções ortogonais da Subseção 3.1.1. Se E é um objeto excepcional e Xé um objeto qualquer de T definimos a mutação a esquerda LEX e a mutação a direitaREX como os objetos que completam o triângulo

LEX Ñ Hom‚pE,Xq b E

j˚ÝÑ X Ñ LEXr1s (3.1)


REXr´1s Ñ XHÝÑ omˆ‚

pX,Eq b E Ñ REX (3.2)

para os morfismos j˚pE,Xq e j˚pX,Eq. Aplicando o funtor Hom‚pE,´q ao

triângulo distinguido (3.1) obtemos Hom‚pE,LEXq “ 0 para todo objeto X de T , pois

Hom é um funtor homológico e Hom‚pE,Hom‚

pE,Xq b Eq » HompE,Xq, sendo esseisomorfismo o responsável por tornar a identidade de EndpHom‚

pE,Xqq em j˚pE,Xq.Utilizando um argumento analogo vemos que Hom‚

pREX,Eq “ 0 para todo X em T .

Definição 3.1.5. Seja S um subconjunto de uma categoria triangulada T . Então definimosa subcategoria dos objetos em T que são ortogonais a direita a S pela subcategoria completaSK dos objetos X, tais que Hom‚

pE,Xq “ 0 para todo objeto E em S. Da mesma formadefinimos KS, isto é, a categoria dos objetos X em T tais que Hom‚

pX,Eq para todoobjeto E em S.

Seja E 1 um objeto de KE e E2 um objeto de EK. Aplicando Hom‚pE 1,´q ao

triângulo (3.1) e aplicando Hom‚p´, E2q ao triãngulo (3.2) obtemos as relações

Hom‚pE 1, Xq “ Hom‚

pE 1, REXr´1sq “ Hom‚pE 1, LEXr1sq “ Hom‚

pLEE1, LEXq

(3.3)

Hom‚pX,E2q “ Hom‚

pLEX,E11r´1sq “ Hom‚

pREX,E2r1sq “ Hom‚

pREX,REE2q

(3.4)

para todo objeto X em T .

Antes de abordarmos o próximo conceito precisamos ver como, dado umconjunto de objetos S em T , construir a menor subcategoria triangulada ă S ą, contendoS. Isso é dado por meio do Lema 3.2.4 do (NEEMAN, 2001). Incluiremos a demonstraçãoporque esta é feita de maneira indutiva e usaremos disso a nosso favor. Uma categoria éessencialmente pequena se é equivalente a uma categoria pequena, isto é, uma categoriacuja coleção de objetos é um conjunto e não uma classe própria.

Lema 3.1.6. Seja S um conjunto de objetos em uma categoria triangulada T . Então amenor subcategoria de T contendo S, denotada por ă S ą é essencialmente pequena.

Demonstração. Seja T1pSq a subcategoria completa cujos objetos são S Y 0. Como S éum conjunto vemos que T1pSq é pequena. Agora definimos TnpSq de maneira indutiva:suponha que já definimos T1pSq, ..., Tn´1pSq e todas essas categorias são pequenas. Paradefinir TnpSq escolhemos para todo morfismo f : X Ñ Y em Tn´1pSq um objeto de T naclasse de isomorfismo de Z, onde Z é um elemento do triângulo distinguido


XfÝÑ Y Ñ Z Ñ Xr1s

Chamamos esse objeto de Cf . Então TnpSq é a subcategoria completa de Tcontendo Tn´1pSq e todos os Cf , para todo morfismo f : X Ñ Y em Tn´1pSq. SejaT pSq “ Y8i“1TipSq. Claramente T pSq é pequena. A categoria de todos os objetos em Tisomorfos a algum objeto de T pSq é triangulada. Denotamos ela por T pSq. É claro queT pSq é equivalente a T pSq e que T pSq “ă S ą.

Corolário 3.1.7. Se tE1, ..., Enu é uma coleção de objetos em uma categoria trianguladaT então ă E1, ..., En ą

K“ tE1, ..., Enu

K e K ă E1, ..., En ą“KtE1, ..., Enu.

Para definirmos as mutações como funtores precisaremos do conceito de subca-tegorias admissíveis de uma categoria triangulada.

Definição 3.1.8. Seja S uma subcategoria triangulada de uma categoria triangulada T .Dizemos que S adimissível a direta se o funtor de inclusão i : S Ñ T possui uma adjuntaa direita. E S é adimissível a esquerda se a inclusão i : S Ñ T possui uma adjunta aesquerda.

O principal lema que relaciona o conceito de adimissíbilidade com o de mutaçãoé o Lema 13.36.3 do Capítulo 13 do Stacks Project (Stacks Project Authors, 2017). Nãoincluiremos a demonstração desse lema.

Lema 3.1.9. Seja T uma categoria triangulada, e S uma subcategoria triangulada de T .As seguintes condições são equivalentes

(i) O funtor de inclusão S Ñ T possui adjunta a direita

(ii) Para todo objeto X em T existe um triângulo distinguido

QÑ X 1Ñ X Ñ Qr1s

onde X 1 é um objeto de S e Q é um objeto de SK

Utilizando a notação do Lema 3.1.6 com S “ă E ą a subcategoria trianguladagerada por E em T obtemos a adjunta a direita π : T Ñ S do funtor de inclusão i : S Ñ T .A imagem da adjunta de um objeto X de T é πpXq “ Hom‚

pE,Xq b E e se f : X Ñ Y

é um morfismo em T usamos o seguinte diagrama comutativo

LEX //

α

Hom‚pE,Xq b E //

πpfq

X //

f

LEXr1s

LEY // Hom‚pE, Y q b E // Y // LEY r1s


e definimos LEf “ α, que existe pelo axioma TR3 de T . A funtorialidadedessa definição vem da funtorialidade de π. Isso nos define um funtor LE : T Ñă E ąK.

Podemos fazer um lema analogo ao Lema 3.1.9 para adimissibilidade a esquerdae com isso definir um funtor RE : T Ñ

Kă E ą. Esse lema é o Lema 13.36.4 do (Stacks

Project Authors, 2017).

Proposição 3.1.10. O funtor T REXr´1sÝÝÝÝÝÑ

K

E é a adjunta a direita da inclusão KE Ñ Te T LEXr1s

ÝÝÝÝÑ EK é a adjunta a esquerda da inclusão EK Ñ T . Alêm disso LERE “ LEr1s,RELE “ REr´1s e as restrições LE|KE e RE|EK são mutualmente inversas.

Demonstração. As equações (3.3) e (3.4) demonstram as relações de adjunções da pro-posição. A naturalidade desses isomorfismos é resultado de sua construção. Como estesfuntores são adjuntos aos funtores de inclusão vemos que estes funtores são exatos. Comessa naturalidade aplicamos a Proposição 1.2.17 do Capítulo 1 para ver que os funtoresLE e RE são exatos. Aplicando o funtor LE ao triângulo (3.2) obtemos um triângulodistinguido e que LEREX “ LEXr1s, analogamente aplicando RE ao triângulo distinguido(3.1) vemos que RELEX “ REXr´1s.

Se E 1 é um objeto de KE então RELEE1“ REE

1r´1s “ E 1, pois se utilizamos

X “ E 1 no triãngulo (3.2) obtemos que REE1r´1s “ E 1. Da mesma forma vemos que se

E2 é um objeto de EK então RELEE2“ LEE

2r1s “ E2.

Proposição 3.1.11. Seja T uma categoria triangulada e X e E dois objetos em T . Temoso isomorfismo funtorial Homˆ‚

pLEX,Eq “ Hom‚pE,REXq.

Agora que definimos os funtores de mutação para o caso de um objeto excepci-onal estamos prontos para lidar com o caso mais geral de um conjunto finito excepcional.

Definição 3.1.12. Dizemos que um conjunto de objetos tE1, ..., Enu em uma categoriatriangulada T é excepcional se Hom‚

pEi, Eiq é uma algebra 1-dimensional gerada pelaidentidade e

Hom‚pEi, Ejq “ 0 se i ą j.

Nessa situação definimos os funtores de mutação para a categoria ă E1, ..., En ą,onde tE1, ..., Enu é um conjunto de objetos excepcionais. Denotaremos por LrE1,...,Ens pelacomposição de funtores LE1˝LE2˝...˝LEn , e porRrE1,...,Ens a composiçãoREn˝REn´1˝...˝RE1 .Aplicando as relações (3.3) e (3.4), sucessivamente obtemos

Hom‚pE 1, Xq “ Hom‚

pE 1, RrE1,...,EnsXrńsq “

Hom‚pE 1, LrE1,...,Ensrnsq “ Hom‚

pLrE1,...,EnsE1, LrE1,...,EnsXq

(3.5)


Hom‚pX,E2q “ Hom‚

pLrE1,...,EnsX,E2rńsq “

Hom‚pRrE1,...,EnsX,E

2rnsq “ Hom‚

pRrE1,...,EnsX,RrE1,...,EnsE2q

(3.6)

para todo objeto X em T , E 1 em Kă E1, ..., En ą e E2 em ă E1, ..., En ą

K.

A seguinte proposição é analoga à Proposição 3.1.10 para o caso de uma coleçãoexcepcional.

Proposição 3.1.13. O funtor LrE1,...,Ensrks : T Ñă E1, ..., En ąK é a adjunta a esquerda

da inclusão ă E1, ..., En ąKÑ T , e o funtor RrE1,...,Ensr´ks : T Ñ

Kă E1, ..., En ą é a

adjunta a direita da inclusão Kă E1, ..., En ąÑ T . Estes funtores satisfazem as relações

RrE1,...,EnsLrE1,...,Ens “ RrE1,...,Ensrns, LrE1,...,EnsRrE1,...,Ens “ LrE1,...,Ensrns e as restriçõesLrE1,...,Ens|KăE1,...,Eną e RrE1,...,Ens|ăE1,...,EnąK são mutualmente inversas.

A demonstração é completamente analoga a demonstração da Proposião 3.1.10e por isso não a faremos novamente. A unicidade das adjuntas nos permitem concluir oseguinte corolário.

Corolário 3.1.14. Os funtores LrE1,...,Ens e RrE1,...,Ens dependem somente da categoriaă E1, ..., En ą e não na escolha dos geradores tE1, ..., Enu.

Considere agora T uma categoria triangulada e tE1, ..., Enu uma coleção ex-cepcional que gera T , isto é, ă E1, ..., En ą“ T . Definimos as coleções t_E1, ...,

_Enu

e tE_1 , ..., E_n u como a base dual a esqueda e a direita, respectivamente. Estes objetossatisfazem a condição

Homkp_En, En´kq “ Homn´k

pEn´k, E_k q “ C

para todo 1 ď k ď n inteiros, e todos os outros j e k inteiros temosHomjp_En, En´kq “

HomjpEn´k, E

_n q “ 0. Chamamos essas condições de condições de ortogonalidade. É pos-

sível construir esses objetos explicitamente utilizando as mutações a direita e a esquerda.Isto é,

E_k “ LrE1,...,En´k´1sEn´k_Ek “ RrEn´k`1,...,EnsEn´k.

Mas para mostrar que as bases duais são únicas, a menos de isomorfismos,precisaremos ver que estes objetos representam um funtor.

Proposição 3.1.15. Se t_E0, ...,_Enu e tE_0 , ..., E_n u satisfazem as condiçoes de ortogo-

nalidade então _Ek representa o funtor covariante Hom‚pEn´k, LrEn´k`1,...,Ensp´qq, e E_k

representa o funtor contravariante Homˆ‚pEn´k, LrEn´k`1,...,Ensp´qq.


Corolário 3.1.16. Seja T uma categoria triangulada gerada pela coleção excepcionaltE0, ..., Enu, T “ă E0, ..., En ą, então temos os seguintes isomorfismos naturais

Hom‚p_En´k, Xrnsq //

Hom‚pEk, LrEk`1,...,EnsXrnsq

Homˆ‚pRrE0,...,Ek´1sX,Ekq// Homˆ‚pX,E_n´kq.

Utilizando da notação do Corolário 3.1.16, podemos definir um espaço vetorialgraduado

V ‚k “ Hom‚p_En´k, Xrnsq “ Hom‚

pEk, LrEk`1,...,EnsXrnsq “

Homˆ‚pRrE0,...,Ek´1sX,Ekq “ Homˆ‚

pX,E_n´kq.

Com este complexo em mãos podemos utilizar dos triângulos distinguidos (3.1) e (3.2)para definir as mutações LrEk,...,EnsX e RrE0,...,EksX de maneira recursiva, isto é,

RrE0,...,EksXr´1s Ñ RrE0,...,Ek´1sX Ñ V ‚k b Ek Ñ RrE0,...,EksX (3.7)

LrEk,...,EnsXrns Ñ V ‚k b Ek Ñ LrEk`1,...,EnsXrns Ñ LrEk,...,EnsXrn` 1s (3.8)

são triângulos distinguidos. Esses triângulos nos permitem escrever dois sistemasde Postnikov associados ao complexo V E‚, onde V Ek

“ V ‚k bEk. Começamos descrevendoo sistema de Postnikov a esquerda

V ‚0 b E0 //

„

%%

V ‚1 b E1 //

%%

...

// V ‚n b En

##

LrE0,...,EnsXrns

99

LrE1,...,EnsXrns

99

oo LrE2,...,EnsXrns

==

oo ...

BB

oo LrEnsXrnsoo

onde os morfismos tracejados tem ordem 1, isto é, um morfismo f : X Ñ Y r1sé representado por f : X 99K Y . Todos os morfismos envolvidos neste sistema de Postnikovsão os respectivos morfismos do triângulo (3.8), e com isso vemos que V E‚ de fato éum complexo. A convolução a esquerda desse sistema é exatamente X. Da mesma formapodemos descrever o sistema de Postnikov a direita

V ‚0 b E0rńs

&&

// V ‚1 b E1rń` 1s

##

// ... //

##

V ‚n b En

Xrń` 1s

99

RE0Xrń` 2soo

77

...oo

II

RrE0,...,En´1sXr´1soo

„

88

onde os morfismos tracejados também tem ordem 1 e todos os morfismosenvolvidos são retirados do triângulo (3.7). A convolução desse sistema também é X.

Esses sistemas nos permitem descrever os complementos ortogonais na situaçãoem que T “ă E0, ..., En ą. Podemos ver do sistema de Postnikov a esquerda que para


todo objeto X em T , a mutação a esquerda LrEk`1,...,EnsX é a convulação a esquerda docomplexo V E‚,k, isto é, do complexo V E‚ truncado a direita até o objeto de ordem k. DaProposição 3.1.13 percebemos que todos os objetos em ă Ek`1, ..., En ą

K são da formaLrEk`1,...,EnsX, para algum X em T , e combinando a construção do Lema 3.1.6, aplicadoao caso em que S “ tE0, ..., Eku, com o sistema de Postnikov truncado concluimos queă Ek`1, ..., En ą

K“ă E0, ..., Ek ą. Podemos utilizar um argumento analogo para o caso

do sistema de Postnikov a direita associado ao complexo V E‚ truncado à esquerda econcluir que KrE0, ..., Eks “ rEk`1, ..., Ens.

Com isso em mãos podemos definir as sequências espectrais associadas aosistema de Postnikov a direita e a esquerda. Faremos para o caso a direita explicitamente,o caso a esquerda é analogo e portanto só enunciaremos seu resultado. Suponhamos queestamos na notação do sistema de Postnikov a direita 3.1.2 e que H : T Ñ V ectF é umfuntor homologico linear, isto é, H é um funtor homologico no sentido da Definição 1.2.4,HqpXq :“ HpXrqsq e Hq

pV ‚ bXq “ ‘p`r“qVpbHr

pXq para todo q inteiro, V ‚ espaçovetorial graduado e X objeto de uma categoria triangulada linear T .

Definimos, portanto, a dupla exata pD,E, i, j, kq de espaços vetoriais bigradu-ados com a graduação Dp,q

“ HqpRrE0,...,Ep´1sXq para p positivo e Dp,q

“ Xrps se p ď 0,Ep,q

“ HqpV ‚p b Epq “ ‘r`s“qV

rp bH

spEpq se p é positivo e Ep,q

“ 0 se p é negativo,

ip,q : Dp`1,q´1Ñ Dp,q, jp,q : Dp,q

Ñ Ep,q e kp,q : Ep,qÑ Ep`1,q

são as imagens dos mapas

RrE0,...,EpsXrq ´ 1s Ñ RrE0,...,Ep´1sXrqs, RrE0,...,Ep´1sX Ñ Vp b Ep eVp´1 b Ep´1 bRrE0,...,Ep´1sX

pelo funtor H, respectivamente. Estes mapas satisfazem as condições do Lema 2.3.13,pois para p suficientemente grande temos Dp,q

“ 0 e para p suficientemente pequeno ei : Dp,q

Ñ Dp´1,q`1 é um isomorfismo porque

Dp,q“ Hq

pXrpsq “ HpXrp` qsq “ HpXrp´ 1` q ` 1sq “ Dp´1,q`1

Portanto a sequência espectral construida para duplas exatas no Capítulo 2com Ep,q

1 :“ Ep,q converge a uma sequência de espaços vetoriais G‚ “ limÐÝs

Ds,‚´s. Uma

propriedade muito importante da coleção G‚ é que Gk“ Hk

pXq. Para ver isso basta verque D0,k

“ HkpRrE0,...,E0´1sXq “ Hk

pXq e é fácil ver que este objeto satisfaz a propriedadeuniversal que define o limite direto Gk, porque a partir de s “ 0 a sequência Ds,n´s

estabiliza. Com isso, obtemos uma sequência espectral

Ep,q1 “ Hq

pVp b Epq “ ‘s`t“qVsp bH

tpEpq ñ Hn

pXq, (3.9)


onde V sp “ Homn`s

p_En´p, Xq, para qualquer objeto X de T e funtor homoló-

gico linear H‚.

Analogamente podemos utilizar o sistema de Postnikov a esquerda associadoa um objeto X em T e um funtor cohomologico H : T Ñ A, onde A é uma categoriaabeliana, para definir uma sequência espectral

Ep,q1 “ ‘s`t“qV

ˆs´p b H

tpE´pq ñ Hn

pXq, (3.10)

onde V ˆs´p “ HomspX,E_n`pq.

Exemplo 3.1.17. Seja T uma categoria triangulada linear, tE0, ..., Enu uma coleçãoexcepcional que gera essa categoria e X um objeto de T . Então Hom‚

pX,´q : T Ñ GrdF

é um funtor homológico linear e portanto podemos aplicar a sequência espectral 3.9. JáHom‚

p´, Xq : T Ñ GrdF é um funtor cohomológico linear e portanto temos a sequênciaespectral 3.10.

Terminamos o capítulo com uma breve discussão sobre a teoria de helices ea dualidade de Serre nesse contexto. Suponha que T é uma categoria triangulada lineargerada por uma coleção excepcional tE0, ..., Enu, então definimos a coleção tEiuiPZ por

Ei`n`1 “ RrEi`1,...,EnsEi (3.11)

eEiń´1 “ LrEiń,...,Ei´1sEi (3.12)

e chamamos ela de hélice de período pn ` 1q com fundação em tE0, ..., Enu.Cada hélice é unicamente determinada por uma coleção tEi, ..., Enì`1u, isto é, dadauma coleção de n ` 1 objetos consecutivos em uma hélice tEiuiPZ então podemos gerarE0, ..., En`1 utilizando as relações (3.11).

Para estudarmos a noção de dualidade de Serre na categoria T precisamosprimeiro ver que se tEiuiPZ é uma hélice de periodo pn` 1q então, aplicando o Corolário3.1.16 duas vezes obtemos a igualdade

Hom‚pEi, Ejq “ Hom‚

pEiń´1, Ejń´1q. (3.13)

Agora considere os objetos F0 “ E´1 “ LrE0,...,EnsEn, Fn “ E0 “ RrEń,...,E´1sEń´1 eFk “ RE´k,...,E´1sE´k´1 “ LrE0,...,En´k´1sEn´k, para todo inteiro k entre 0 e n. A coleçãotF0, ..., Fnu define uma base dual a esquerda à coleção excepcional Eń´1, ..., E´1 e umabase dual a direita à coleção excepcional E0, ..., En.

Agora considere a representação de um objeto X como a convolução a esquerdado sistema de Postnikov a esquerda associado ao complexo

V ‚0 b E0 Ñ V ‚1 b E1 Ñ ...Ñ V ‚n´1 b En´1 Ñ V ‚n b En


, onde V ‚k “ Homˆ‚pX,Fn´kq. Tanto o complexo como a sua convolução são determinados

pelos diferenciais di : V ‚i b Ei Ñ V ‚i`1 b Ei, isto é, por um elemento do conjunto

‘pHompV‚p b Ep, V

‚p`1 b Ep`1q “ ‘p,αHom

´αpV ‚p , V

‚p`1q bHom

αpEp, Ep`1q

“ ‘p,αHom´αpV ‚p , V

‚p`1q bHom

αpEpń´1, Epńq.

(3.14)

Portanto, podemos achar um diferencial natural para a sequência V ‚i bEń´1ì. Definimoso objeto χpXq como a convolução do sistema de Postnikov a esquerda associado a sequênciaV ‚i b Eń´1ì com diferencial obtido pelas igualdades de (3.14).

Proposição 3.1.18. Hom‚pY,Xq “ Homˆ‚

pχpXq, Y rnsq para quaisquer objetos X e Yem T .

Demonstração. Para calcularmos Hom‚pY,Xq podemos utilizar a sequencia espectral 3.9

cuja primeira pagina éEp,q

1 “ ‘αVαp bHom

q´αpY,Epq.

Dualizando essa sequência espectral, e utilizando do Corolário 3.1.16, obtemos umasequência espectral 3.10 de primeira pagina

Ep,q1 “ ‘αV

ˆαbHomn´q`α

pEpń´1, Y q

convergindo a Homˆ‚pχpXq, Y rnsq.

Antes de lidarmos com uma aplicação dessas ferramentas para a teoria dacategoria Db

pCohpXqq precisamos definir os feixes de diferenciais associados a um esquemaseparável.

Definição 3.1.19. Seja π : X Ñ Y um morfismo de esquemas separável. Então o morfismodiagonal δ : X Ñ X ˆY X é um mergulho fechado. Definimos o feixe de 1-fomas, isto é,de diferenciais, como o feixe II2 sobre X onde I é o feixe de ideais que define δ comoum mergulho fechado. Denotamos por ΩXY .

Na teoria de variedades diferenciaveis definimos o espaço tangente como odual do espaço dos diferenciais. Aqui faremos o mesmo, dizemos que T é o feixe tangenterelativo em X se T “ HompΩXY ,OXq. Definimos também os feixes de d-formas como ad-ésima potência exterior do feixe ΩXY , ou seja, Ωd

XY “ ^dΩXY . O ultimo objeto que

precisaremos é o feixe canônico de um esquema suave sobre um corpo k.

Definição 3.1.20. Seja X um k-esquema. Dizemos que X é suave de dimensão n sobrek se é localmente de tipo finito, de dimensão n, e ΩX :“ ΩXSpecpkq é localmente livre deposto n. Definimos o feixe canônico de um k-esquema suave X como sendo ωX :“ ^nΩX .


O feixe canônico de um k-esquema suave é um feixe localmente livre de posto 1,um fibrado de linha. No caso mais simples em que X “ Pn obtemos que ωX “ OXpn´ 1q.

Definição 3.1.21. Um morfismo de esquema f : X Ñ Y é dito plano se para todo x emX, OX,x é flácido sobre OY,fpxq. Ou seja, se o funtor OX,x bOY,fpxq

´ é exato.

Definição 3.1.22. Um morfismo f : X Ñ Y é dito suave com dimensão relativa n se f éplano e se para todo y em Y a fibra no ponto y, X ˆY Specpmym

2yq é um esquema suave

de dimensão n sobre mym2y.

Exemplo 3.1.23. O artigo [Bei] do Alexandeer A. Beilinson mostra que as classes deobjetos tO,Op1q, ...,Opnqu e t^nΩpnq, ...,^1Ωp1q,Ou são classes excepcionais de objetosem Db

pCohpPnqq, onde Ω é o feixe de diferenciais de Pn. Essas classes estão relacionadaspois se considerarmos que Ei “ ^níΩpn´ iq então _Ei “ Opiq.

Considere o funtor de cohomologia Hi : DbpCohpPnqq Ñ CohpPnq que leva

complexos de feixes coerentes na i-ésima cohomologia desse complexo. Se considerarmos ofuntor H‚ : Db

pCohpPnqq Ñ KompCohpPnqq definido pelos funtores de cohomologia, estefuntor é um funtor homológico linear. E se F é um objeto puro de Db

pCohpPnqq, isto é,HipF q “ F se i “ 0 e Hi

pF q “ 0 caso contrário.

Nessa situação, podemos aplicar a sequência espectral associada ao sistema dePostnikov a direita 3.9 onde

Ep,q1 “ ‘α`βV

αp bHβ

pEpq

com V αp “ Homp_En´p, F rn ` αsq “ HompOpn ´ pq, F rn ` alphasq “ HompOX , F pp ´

nqrn` αsq “ Extn`αpOX , F pp´ nqq “ HnàlphapPn, F pp´ nqq. E essa sequência converge

HipF q. Como Ωd

pdq é um objeto puro em DbpCohpPnqq obtemos a sequência espectral

cuja primeira folha é

Ep,q1 “ Hn`q

pPn, F pp´ nqq b Ωn´ppn´ pq

.

3.2 DualidadeNesta seção descreveremos os resultados que achamos interessantes no nosso

estudo do artigo (NEEMAN, 1996). Veremos que a dualidade de Serre sai facilmente comoum corolário da representabildade de Brown e do Teorema 3 do artigo (VERDIER, 1968).É importante notar a diferença de abordagem entre os dois artigos, no primeiro vimos umaabordagem voltada para métodos finitos, utilizando de uma base de objetos excepcionais,e no segundo utilizamos muito mais métodos de existência, sem construir exatamente osobjetos.


Começamos vendo como o funtor Rf˚ se comporta com coprodutos, uma vez queele deverá possuir uma adjunta a direita é necessário que ele comute com tais construções.Em seguida estudamos os complexos perfeitos e sua compacidade. Finalizamos a seçãocom uma demonstração do Teorema de Dualidade de Serre para variedades suaves.

Lema 3.2.1. Seja X um esquema quasi-compacto e separado e Y um esquema. Sejaf : X Ñ Y um morfismo separado. Seja Rf˚ : DpQCohpXqq Ñ DpQCohpY qq o funtorderivado da imagem direta. Então Rf˚ preserva coprodutos.

Demonstração. Seja tTλuλPΛ uma coleção arbitrária de objetos em DpQCohpXqq. Sabemosdo Exemplo 2.2.9 que a categoria DpQCohpXqq possui coprodutos arbitrários e com issovemos que existe o objeto

ž

λ

Tλ em DpQCohpXqq, o objetož

λ

Rf˚pTλq em DpQCohpY qq

e o morfismo g :ž

λ

Rf˚pTλq Ñ Rf˚pž

λ

Tλq, induzido pela propriedade universal do

coproduto e a funtorialidade de Rf˚. Precisamos mostrar que g é um isomorfismo. Masser um isomorfismo é uma propriedade local em Y e portanto podemos assumir que Y éum esquema local.

Portanto X “ Yni“1Ui onde Ui são abertos afins em X. Faremos a demonstração

usando indução. Suponha que X “ Ui, nesse caso f é um morfismo de esquemas fi :Ui “ SpecpSq Ñ Y “ SpecpRq que corresponde a um morfismo de anéis h : R Ñ S.Sabemos do Corolário 2.1.13 que QCohpXq é anti-equivalente à categoria ModS, portantoDpQCohpXqq é anti-equivalente à DpSq :“ DpModSq. Desta forma, se considerarmosDpQCohpXqq “ DpSq então Rf˚ “ Rh e vemos que RhpX‚

q “ hpI‚q “ I‚, visto comoum R-módulo. Claramente Rh preserva coprodutos.

Agora suponha que X “ Yni“1Ui com i ą 1, seja U “ U1 e V “ Yni“2Ui, então

U X V “ Yni“2pU1 XUiq onde U1 XUi são afins, pela Proposição 2.1.21. Portanto ambos Ve U X V são uniões de n´ 1 abertos afins. Pela indução temos que o teorema vale paraf |V , f |UXV e f |U . Sejam iU : U Ñ X, iV : V Ñ X e iUXV : U X V Ñ X as respectivasinclusões. Então se Z é um objeto de DpQCohpXqq então temos o triângulo distinguido

Z Ñ RpiUq˚i˚UZ ‘RpiV q˚i

˚VZ Ñ RpiUXV q˚i

˚UXVZ Ñ Zr1s

Aplicando o funtor aditivo e exato Rf˚ a este triângulo obtemos o triângulodistinguido

Rf˚Z Ñ Rpf˚qpRpiUq˚i˚UZq ‘Rf˚pRpiV q˚i

˚VZq Ñ Rpf˚qpRpiUXV q˚i

˚UXVZq Ñ

RpfastqpZqr1s

Mas sabemos pelo Lema 2.2.26 que Rf˚RpiW q˚ “ Rpf |W q˚, para todo abertoW em X, e que Rpf |Uq˚, Rpf |V q˚ e Rpf |UXV q˚ preservam coprodutos, pela hipótese de


indução. Os funtores i˚U , i˚V e i˚UXV comutam com coprodutos porque possuem uma adjuntaa direita ( Proposição 1.1.9 ). Com isso desenvolvemos o morfismo de triângulosš

λRpf˚qTλ//

α

š

λrRpf˚qpRpiUq˚i˚UTλq ‘Rf˚pRpiV q˚i

˚V Tλqs //

β

š

λrRpf˚qpRpiUXV q˚i˚UXV Tλqs

γ

Rpf˚qpš

λ Tλq// Rpf˚qpRpiUq˚i

˚U

š

λ Tλq ‘Rf˚pRpiV q˚i˚V

š

λ Tλq// Rpf˚qpRpiUXV q˚i

˚UXV

š

λ Tλq

e como β e γ são isomorfismos concluimos que α também é um isomorfismo.

Corolário 3.2.2. Mantendo a notação do Lema 3.2.1, agora com Y “ SpecpZq, istoé, o objeto final da categoria de esquemas. Então Rnf˚pFq “ Hn

pX,Fq para todo feixequasicoerente F sobre X. E portanto Hn

pX,´q preserva coprodutos se X é quasi-compactoe separado.

O próximo para utilizarmos a Representabilidade de Brown para demonstrarque Rf˚ possui uma adjunta a esquerda é mostrar que DpQCohpXqq é compactamentegerado. Isso não será mostrado aqui. Mas temos uma forma de descrever os objetoscompactos dentro de DpQCohpXqq, estes serão os objetos perfeitos. Dizemos que umobjeto C em DpQCohpXqq é perfeito se, C é localmente isomorfo a um complexo limitadode OX-módulos projetivos finitamente gerados.

Lema 3.2.3. Seja X um esquema quasi-compacto e separado. Então os objetos perfeitossão compactos.

Demonstração. Sejaž

λ

Xλ um coproduto em DpQCohpXqq e C um objeto perfeito. Então

RHompC,ž

λ

Xλq é um objeto de DpQCohpXqq, porque C é localmente isomorfo a um

complexo limitado de OX-módulos finitamente gerados projetivos. Precisamos mostrar que

φC : RHompC,ž

λ

Xλq Ñž

λ

RHompC,Xλq

é um isomorfismo. Como isso pode ser verificado localmente podemos assumirque X “ SpecpAq é afim e C é um complexo de OX-módulos projetivos finitamentegerados. Se C “ OXrms, para algum inteiro m, então φC é um isomorfismo. Porque, nessecaso,

ž

λ

RHompC,Xλq “ž

λ

HompC, Iλq “ž

λ

Iλr´ms “ RHompC,ž

λ

Iλq, onde Iλ é

uma resolução injetiva de Xλ. Da mesma forma, para C “ OnXrms, para dois inteiros n e

m, é fácil ver que φC é um isomorfismo. Se φC é um isomorfismo e C “ C 1 ‘ C2, entãoφC1 e φC2 são isomorfismos. Portanto φC é um isomorfismos sempre que C “ M rns paraalgum A-módulo projetivo finitamente gerado.

Agora se


C Ñ C 1 Ñ C2 Ñ Cr1s

é um triângulo distinguido em DpQCohpXqq onde φC1rks e φC2rks são iso-morfismos para todo inteiro k, então aplicando os funtores exatos RHomp´,

ž

λ

Xλq

ež

λ

RHomp´, Xλq obtemos que φCrks é um isomorfismo para todo k inteiro. Concluimos

assim que a categoria dos objetos C tais que φCrks é um isomorfismo para todo k inteiro étriangulada. Portanto contêm complexos de OX-módulos projetivos finitamente gerados.

Agora se C é um complexo perfeito então φC é um isomorfismo. Mas

HomDpQCohpXqpC,ž

λ

Xλq “ H0RHompC,ž

λ

Xλq

“ H0pž

RHompC,Xλq “ž

λ

H0pRHompC,Xλq “

ž

λ

HompC,Xλq.

concluindo o resultado do teorema.

Teorema 3.2.4. Seja X um esquema quasi-compacto e separado. Então a categoriaDpQCohpXqq é compactamente gerada e a classe dos objetos compactos é exatamente aclasse dos objetos perfeitos.

O teorema anterior pode ser visto juntando a Proposição 2.5 e o Corolário 2.3de (NEEMAN, 1996).

Agora que vimos que a categoria DpQCohpXqq é compactamente gerada es-tamos prontos para demonstrar a existência da adjunta a direita de Rf˚, denotado pof !.

Teorema 3.2.5. Seja S uma categoria triangulada compactamente gerada, T uma catego-ria triangulada e F : S Ñ T um funtor triangulado. Se F p

ž

λ

Xλq “ž

λ

F pXλq para todo

coprodutož

λ

Xλ em S. Então F possui uma adjunta a direita.

Demonstração. Seja T um objeto de T e o funtor homológico em S,H : s ÞÑ HompF psq, T q.Então H preserva coprodutos e pelo Teorema 1.2.23 obtemos, para todo objeto T em T ,um objeto GpT q em S tal que

HompF psq, T q “ Homps,GpT qq

e é fácil ver que isso determina um funtor sobre T e que este funtor é a adjuntaa direita de F .

Exemplo 3.2.6. Seja f : X Ñ Y um morfismo separado de esquemas quasi-compactose separados. Então Rf˚ : DpQCohpXqq Ñ DpQCohpY qq possui uma adjunta a direita.Denotamos por f ! : DpQCohpY qq Ñ DpQCohpXqq a adjunta de Rf˚.


A principio não há motivos para que uma adjunta a direita preserve coprodutosarbitrariamente. Mas no caso de f ! para f : X Ñ Y suficientemente regular temos queessa condição é satisfeita e isso nos permite expressar f ! de maneira conveniente.

Teorema 3.2.7. Seja S uma categoria triangulada compactamente gerada, e T umacategoria triangulada qualquer. Seja também F : S Ñ T um funtor triangulado quepreserva coprodutos, e G : T Ñ S a sua adjunta a direita. E seja S uma classe de objetosgerando compactamente S. Então G : T Ñ S preserva coprodutos se e somente se aimagem de qualquer objeto em S por F é um objeto compacto em T .

Exemplo 3.2.8. No artigo (KIEHL, 1972) é mostrado que se f : X Ñ Y é um morfismopseudo-coerente e próprio de esquemas separados e quasi-compactos. E se f tem dimensão-Tor finita, então Rf˚ : DpQCohpXqq Ñ DpQCohpXqq leva objetos perfeitos em objetosperfeitos. E portanto f ! comuta com coprodutos.

Não precisamos entrar na definição de morfismos pseudo-coerentes. Só precisa-mos do Lema 36.49.9 do (Stacks Project Authors, 2017) para mostrar que essa classe demorfismos, no contexto mais concreto, é uma classe simples.

Lema 3.2.9. Seja f : X Ñ Y um morfismo de esquemas. Se S é localmente Noetheriano,então f é pseudo-coerente se e somente se f é localmente de tipo finito.

O seguinte teorema não será demonstrado porque é extremamente técnico,utiliza da definição de funtor derivado do produto tensorial para o caso não limitado e deOX-módulos, que escolhemos evitar por também ser bastante técnico e não muito intrutivo.A demonstração pode ser encontrada no Teorema 5.4 de (NEEMAN, 1996).

Teorema 3.2.10. Seja f : X Ñ Y um morfismo de esquemas. Suponha que Rf˚ possuiuma adjunta a direita f ! que comuta com coprodutos. Suponha que Y é quasi-compacto eseparado. Então temos um isomorfismo natural, tal que se Y é um objeto de DpQCohpY qqentão

f !pY q » pLf˚pY qq bOX

f !pOY q

O seguinte teorema é uma reprodução do Teorema 3 do artigo (VERDIER,1968) como descrito nas notas (LIPMAN, 2009). Infelizmente não foi possível encontraruma cópia desse artigo e por isso não colocaremos a demonstração. Mas podemos encontrarna literatura varias menções a esse teorema.

Teorema 3.2.11. Seja f : X Ñ Y um morfismo suave de dimensão relativa d. Existe umisomorfismo natural

f˚A‚ b ΩdXY rds

„ÝÑ f !

pA‚q


para todo complexo A‚ de feixes quasicoerentes.

Combinando os dois teoremas anteriores obtemos que f !pOY q “ Ωd

XY rds.

Corolário 3.2.12. Seja f : X Ñ Y um morfismo suave de dimensão relativa d. EntãoRf˚ : Db

pCohpXqq Ñ DbpCohpXqq possui uma adjunta a direita

f ! : DbpCohpXqq Ñ Db

pCohpXqq.

Teorema 3.2.13. [Dualiadade de Serre] Seja X um esquema projetivo suave dedimensão n sobre um corpo k. Então existe um feixe ωX tal que temos um isomorfismonatural

ExtipF , ωXq » HnípX,Fq˚

para todo feixe coerente F sobre X.

Demonstração. Como X é suave vemos que o morfismo f : X Ñ Specpkq é um morfismode esquemas suave de dimensão relativa n. Mas o esquema X é noetheriano e quasi-compacto e assim podemos definir Rf˚ : Db

pCohpXqq Ñ DbpCohpSpecpkqqq. Pelo corolário

3.2.12 o funtor Rf˚ : DbpCohpXqq Ñ DpCohpSpecpkqqq possui uma adjunta a direita

f ! : DbpCohpSpecpkqqq Ñ Db

pCohpXqq. Nesse caso f !pOSpecpkqq “ Ωn

rns “ ωX , o feixecanônico de X sobre k e temos o isomorfismo natural

HomDbpCohpXqqpFris, f !pOSpecpkqq “ HomDbpCohpSpecpkqqqpRf˚Fris,OSpecpkqq

para todo feixe coerente F sobre X. Mas CohpSpecpkqq é equivalente a V ectF .Mas DpV ectF q “

ź

iPZV ectF , isto é, todo complexo de espaços vetoriais é isomorfo a

um complexo de espaços vetoriais onde os diferenciais são nulos. É importante no-tar também que por Specpkq só ter um ponto então, utilizando da Proposição 2.2.27,Rif˚F “ pH i

pX,Fqq„ e utilizando da identificação CohpSpecpkqq “ V ectF obtemosRif˚F “ H i

pX,Fq e OSpecpkq “ k.

Como o complexo OSpecpkq está concentrado no indice 0 então os morfismos deum complexo A‚ em Db

pCohpXqq “ DbpV ectF q em OSpecpkq são morfismos de H0

pA‚q emOSpecpkq. Concluimos que

HomDbpCohpSpecpkqqpRf˚Fris,OSpecpkqq “ HomkpH0pRf˚Frisq, kq

“ HomkpRif˚F , kq

“ pH ipX,Fqq˚

Só resta ver que


HomDbpCohpXqqpFris, f !pOSpecpkqq “ HomDbpCohpXqqpF , ωXrn´ isq

“ ExtnípF , ωXrn´ isq

e aqui utilizamos da Proposição 2.1.8, encerrando a demonstração do teorema.

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