Teoria de Sistemas Lineares I - labspot.ufsc.braguinald/ensino/eel6001/sl1.pdf · Teoria de Sistemas Lineares I Objetivos e importaˆncia do curso Objetivos e importˆancia do curso

Teoria de Sistemas Lineares I


Prof. Aguinaldo S.e SilvaUniversidade Federal de Santa Catarina


Apresentacao do curso

Apresentacao do curso

1 Objetivos do curso

2 Plano de aulas

3 Criterio de avaliacao

4 Pacotes de simulacao

5 Bibliografia

6 Ementa detalhada


Objetivos e importancia do curso

Objetivos e importancia do curso

1 Curso basico para diversas areasEngenharia e sistemas: automacao, controle, robotica,sistemas de potencia, eletronica de potencia,telecomunicacoes, biomedica, etc.

2 ObjetivosEstudar aspectos quantitativos e qualitativos de sistemasfısicos descritos (ou aproximados) por modelos matematicoslineares. Em particular:

• Representacao de estados• Relacao entrada-saıda. Extensao para o caso multivariavel• Estabilidade, controlabilidade e observabilidade• Vantagens das diferentes representacoes• Estudo da solucao da equacao de estados


Pre requisito e plano de aulas

Plano de aulas

Livro texto: 2022 C.T.Chen - Linear System Theory and Design (3rd Edition) - Holt, Rinehalt and Wilson, 1999Sugere-se a leitura do capıtulo correspondente antes de cadaaula.Aulas

1 Apresentacao do curso. Introducao geral.

2-3 Descricao matematica de sistemas.

4-8 Revisao de algebra linear

9-10 Solucao de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI)

11-12 Solucao de sistemas lineares variantes no tempo (LTV)

13-15 Estabilidade

15-17 Controlabilidade e observabilidade

18-20 Realizacoes irredutiveis


Pacotes de simulacao

Pacotes de simulacao

1 Matlab + Simulink

2 Vissim

3 Scilab


Bibliografia

Bibliografia

• Livro Texto

1 C.T.Chen - Linear System Theory and Design (3 rd Edition) -Holt, Rinehalt and Wilson, 1999

• Bibliografia Suplementar

1 C.T.Chen - Linear System Thoery and Design - Holt, Rinehaltand Wilson, 1984

2 T. Kailath - Linear Systems, Prentice Hall Inc, 19803 G. Strang - Linear Systems and Its Applications (third edition),

Harcourt Brace Jovanovich Publishers, 19864 B. Noble, J. W. Daniel - Applied Linear Algebra (third

edition), Prentice-Hall, 19885 F. R. Gantmacher - The Theory of Matrices, Vols. 1 e 2, New

York, Chelsea, 19596 R. Bellman - Introduction to Matrix Analysis, New York

McGraw Hill, 1960


Ementa Detalhada

Ementa detalhada

1 Apresentacao do Curso• Calendario• Planejamento das aulas• Criterio de avaliacao• Bibliografia

2 Introducao• Introducao a aplicacao de sistemas lineares a engenharia

eletrica• Fundamentos matematicos• Problema da modelagem


Ementa Detalhada

3 Equacoes diferenciais lineares (Apenas apresentacao detopicos)

• Sistema autonomo de 1a e 2a ordem• Modos proprios• Resposta ao degrau e ao impulso• Transformada de Laplace• Equacoes a diferencas

4 Descricao matematica de sistemas• Linearizacao. Sistema linearizado• Representacao por variaveis de estado• Representacao entrada e saıda• Sistemas SISO e MIMO, contınuos e discretos• Propriedades• Funcao e matriz de transferencia• Resposta ao impulso


Ementa Detalhada

5 Revisao de algebra linear• Autovalores e autovetores. Formas de Jordan• Funcoes matriciais• Conceitos basicos de matrizes• Traco, determinante e inversa• Propriedades e formulas• Autovalores e autovetores


Ementa Detalhada

6 Solucao de sistemas LTI• Sistemas lineares invariantes no tempo• Resposta a entrada nula• Discretizacao• Equacao discreta e solucao• Equacoes dinamicas equivalentes, formas canonicas

7 Realizacoes

8 Solucao de sistemas LTV• Sistemas lineares variantes no tempo• Solucao da equacao homogenea• Matriz fundamental de transicao de estados• Sistemas discretos• Equacoes equivalentes• Transformacoes• Realizacoes


Ementa Detalhada

9 Estabilidade de sistemas Lineares• Criterios do tipo entrada-saıda• Criterio de Lyapunov• Sistemas discretos

10 Controlabilidade e observabilidade• Independencia linear de funcoes temporais• Teorema de controlabilidade e de observabilidade.• Sistemas discretos no tempo• Decomposicao canonica• Realizacao mınima

11 Realizacoes irredutıveis de matrizes de transferencia• Independencia linear de funcoes temporais• Polinomio caracterıstico e grau de uma matriz racional propria• Realizacoes irredutıveis de funcoes racionais proprias


Introducao a aplicacao de sistemas lineares a engenharia

Introducao a aplicacao de sistemas lineares a engenhariaeletrica

• Formulacao linear dos modelos mesmo quando os sistemas saonao-lineares

• Analise de desempenho e projeto usam entao a teoria desistemas lineares

• Amplo uso em engenharia eletrica em varias areas• Sistemas de controle• Processamento de sinais• Sistemas eletricos de potencia• Eletronica de potencia• Biomedica

• Teoria de sistemas lineares e formalizada usando conceitosmatematico, especialmente da algebra linear

• Metodos avancados usam muitos destes conceitos


Fundamentos matematicos

Fundamentos matematicos

• Estudo de sistemas fısicos descritos por modelos lineares

• Aspectos qualitativos e quantitativos

• Projeto da acao para alterar o desempenho

• Muitos sistemas fısicos sao lineares em determinadas faixas deoperacao

• O estudo de modelos lineares pode ser sistematizado (algebralinear)

• Ponto de partida para o estudo de sistemas fısicos nao lineares

• Uso intensivo do computador para analise e projeto(capacidade crescente de calculo e de memoria)


Problema de modelagem

Descricao Matematica

• Uma vez definido um modelo para um sistema fısico(chamado doravante de sistema), aplicam-se as leis da fısicapara se obter uma descricao matematica do sistema

• A modelagem pode ser:

1 Fısica: baseada nas Leis de Newton (sistemas mecanicos), Leisde Kirchhoff (tensao e corrente em cirtuitos eletricos), leis daTermodinamica, etc.

2 Experimental: baseada em relacoes entrada-saıda

• Um mesmo sistema pode ter diferentes descricoesmatematicas




Considere o sistema massa-mola com atrito viscoso:

m1 m2

x

u b

k

z

As equacoes do movimento podem ser obtidas pela Lei de Newton:

F = ma

F : forcas que agem sobre o corpoa: aceleracao relativa a uma referencia inercialm: massa do corpo



Sistema de equacoes diferenciais

x +b

m1(x − z) +

k

m1(x − z) =

u

m1

z +b

m2(z − x) +

k

m2(z − x) = 0

As molas e amortecedores foram modelados como elementoslineares.

Com as equacoes, pode-se determinar o comportamento dosistema (isto e, as posicoes x , z e as velocidades x , z) paraqualquer forca externa u aplicada.



Descricao por Variaveis de Estado

Definindo: x1 = x , x2 = x , z1 = z e z2 = z tem-se as equacoeslineares vetoriais de primeira ordem:

x1

x2

z1

z2

=

0 1 0 0

− km1− b

m1

km1

bm1

0 0 0 1km2

bm2

− km2− b

m2

x1

x2

z1

z2

+

+

01

m1

00

u



Descricao por Funcao de Transferencia

Aplicando a Transformada de Laplace (com condicoes iniciaisnulas) tem-se

s2X (s) +b

m1s(X (s)− Z (s)) +

k

m1(X (s)− Z (s)) =

1

m1U(s)

s2Z (s) +b

m2s(Z (s)− X (s)) +

k

m2(Z (s)− X (s)) = 0

e obtem-se as relacoesX (s)

U(s)e

Z (s)

U(s)



Metodos empıricos

• Aplicacao de varias entradas e observacao das saıdas

• Ajuste e alteracao dos parametros ou conexao comcompensadores para melhorar o desempenho

• Baseado em tentativa e erro e experiencia do projetista

• Inviavel para sistemas grandes ou complexos

SistemaVariaveis Saıda



Metodos analıticos

• Modelagem

• Descricao Matematica

• Analise do Modelo

• Projeto



Modelagem

• Distincao entre sistemas fısicos e modelos

Circuitos e sistemas de controle estudados em cursos de graduacaosao modelos.Resistor linear com resistencia constante (modelo valido dentro decertos limites de potencia)

0

i

v

i

+

v

−



A maior parte dos sistemas lineares e invariante no tempo, isto e,A, B , C e D nao dependem da variavel tempo t

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

Descricao externa

y(t) =

∫ t

0G (t − τ)u(τ)dτ



Para sistemas lineares invariantes no tempo, a transformada deLaplace e uma importante ferramenta de analise e de projeto.

Y (s) = G (s)U(s)

U(s): transformada de Laplace de u(t)Y (s): transformada de Laplace de y(t)G (s): matriz de transferenciaQuando u = 0 o sistema e chamado autonomo



Analise do Modelo

• Baseia-se em descricoes do tipo

Y (s) = G (s)U(s)

G (s) : Matriz de Transferencia do Sistemaou entao em um conjunto de equacoes diferenciais de primeiraordem

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

x , u, y : variaveis de estado, controle e saıda do sistemaA, B , C e D : matrizes de dimensoes apropriadas



• Dois aspectos basicos na analise do modelo:

Quantitativo: calculo das respostas para determinadas entradas;verificacao da acuidade do modeloQualitativo: propriedades gerais do sistema como estabilidade,controlabilidade e observabilidade; permite o desenvolvimento detecnicas de projetoO uso de mais de uma descricao matematica as vezes e necessariopara uma analise completa



Projeto

• Se o comportamento do sistema, embora fiel ao modelodescrito, e insatisfatorio tendo em vista certas especificacoesde desempenho, torna-se em geral necessario projetar umcompensador ou controlador que leve o sistema a apresentaras caracterısticas desejadas.

• Conceito de Realimentacao

u = Kx : Realimentacao de Estado

u = Ky : Realimentacao de Saıda

K : Matriz de Ganho


Revisao de equacoes diferenciais e a diferenca

Equacoes Diferenciais

• Sistemas lineares invariantes no tempo podem ser descritospor equacoes diferenciais ordinarias a coeficientes constantes.

• Em geral, a ordem da equacao esta associada ao numero dearmazenadores de energia


Sistemas Autonomos

Sistemas Autonomos

• Equacao de Primeira Ordem:x + τ x = 0 , τ constante de tempoModo proprio: x(t) = K exp(λt)

Equacao caracterıstica: λ +1

τ= 0

Solucao: x(t) = K exp(−t

τ)


Sistemas Autonomos

• Equacao de Segunda Ordem: x + 2αx + ω20x = 0

α: coeficiente de amortecimentoω0: frequencia natural de oscilacaoDois modos proprios do tipo: x(t) = K exp(λt)

Equacao caracterıstica: λ2 + 2αλ + ω20 = 0

Solucao: (λ1 6= λ2): x(t) = K1 exp(λ1t) + K2 exp(λ2t)(λ1 = λ2 = λ): x(t) = K1 exp(λt) + K2t exp(λt)


Sistemas Nao Autonomos


• Metodo dos Coeficientes a Determinar (sistema de ordem n)

x(t) =

n∑

i=1

cipi (t) +

m∑

j=0

bj fj(t)

⇑ ⇑transitoria forcada

A solucao e uma combinacao linear dos n modos proprios pi (t) edas m + 1 derivadas linearmente independentes fj(t) da entrada(por definicao, f0(t) = f (t)).

Os coeficientes bi sao calculados substituindo-se o termo “forcado”na equacao, e os coeficientes ci sao determinados ajustando-se asolucao as condicoes iniciais.



Modos Proprios: Conjunto de n funcoes linearmenteindependentes que constituem uma base para a solucao da equacaohomogenea de um sistema linear com n armazenadores de energia.

• Sistematizacao

1) Calcular os modos proprios (raızes da equacao caracterıstica).2) Substituir a componente forcada na equacao para obter os seuscoeficientes.3) Com as condicoes iniciais, obter os demais coeficientes.



Exemplo

x + 5x = t + 10 ; x(0) = −10

5λ + 1 = 0 =⇒ λ = −0.2

xf = k1t + k

=⇒ k1t+k+5k1 = t+10 ; k1 = 1 ; k = 5 =⇒ xf = t+5

x(t) = k0 exp(−0.2t) + t + 5 ; x(0) = −10 =⇒ k0 = −15

Portanto x(t) = −15 exp(−0.2t) + t + 5



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−10

−5

0

5

10

15

20

25

x(t)

t + 5

t



Exemplo

x + 3x + 2x = t3 ; x(0) = 5 , x(0) = −2

λ2 + 3λ + 2 = 0 =⇒ λ1 = −1 , λ2 = −2

xf = k3t3 + k2t

2 + k1t + k

=⇒ k3 = 0.5 , k2 = −2.25 , k1 = 5.25 , k = −5.625

x(t) = a1 exp(−t) + a2 exp(−2t) + 0.5t3 − 2.25t2 + 5.25t − 5.625

x(0) = 5 , x(0) = −2 =⇒ a1 = 14 ; a2 = −3.375



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

x(t)

xf (t)

t


Algumas funcoes de entrada

Funcao Degrau Unitario u(t)

• Definicao: uǫ(t)

t

1

uǫ(t)

ǫ



uǫ(t) ,

0 , t < 0

(1/ǫ)t , 0 < t < ǫ

1 , t > ǫ

u(t) , limǫ→0+

uǫ(t)

u(t)

1

t



Funcao Impulso Unitario δ(t)

• Definicao: δǫ(t)

t

1/ǫ

δǫ(t)

ǫ



δǫ(t) ,d

dtuǫ(t) =

0 , t < 0

1/ǫ , 0 < t < ǫ

0 , t > ǫ

δ(t) , limǫ→0+

δǫ(t)

t

1

δ(t)

δ(t) =d

dtu(t)



• Propriedade:

∫ +∞

−∞

f (t)δ(t)dt = f (0) , ∀ f (t) contınua em t = 0

Prova:

I =

∫ +∞

−∞

f (t)δ(t)dt = limǫ→0+

∫ +∞

−∞

f (t)δǫ(t)dt =

= limǫ→0+

∫

ǫ

0

1

ǫf (t)dt



Teorema do Valor Medio:

∫ b

a

f (t)dt = f (c)(b − a) , c ∈ (a, b)

a bc

=⇒ I = limǫ→0+

1

ǫf (y)(ǫ− 0) , y ∈ (0, ǫ)

I = limǫ→ 0+

y ∈ (0, ǫ)

f (y) = f (0)

f (·) =⇒ Funcao Contınua =⇒ f (0−) = f (0) = f (0+)



• Resumo:

∫ +∞

−∞

f (t)δ(t)dt = f (0) ,

∫ +∞

−∞

f (t)δ(t − a)dt = f (a)

• Corolario: para f (t) = 1

∫ +∞

−∞

δ(t)dt = 1 =⇒ Area Unitaria

• Propriedade: δ(t) e uma “funcao” par

∫ +∞

−∞

f (t)δ(−t)dt = f (0)

fazendo ζ = −t,



= −

∫

−∞

+∞

f (−ζ)δ(ζ)dζ =

∫ +∞

−∞

f (−ζ)δ(ζ)dζ =

=

∫ +∞

−∞

f (−t)δ(t)dt = f (−0) = f (0)

pois f (·) e contınua.

=⇒ δ(−t) = δ(t)



Exemplo

• Entrada em Degrau

e

Ri

C

++

−−

v

e(t) = Eu(t) =

E , t > 0

0 , t < 0



e(t)

E

t

Como a funcao degrau vale zero no intervalo (−∞, 0), e o circuitoe dissipativo, a tensao no capacitor em t = 0 e nula.

Assim, a resposta a entrada em degrau pode ser estudada a partirda resposta a uma entrada constante E com condicoes iniciaisnulas.



Resolucao de equacoes diferenciais

Metodo dos coeficientes a determinar

vf (t) = AE , t > 0

vf + τ vf = e =⇒ AE = E =⇒ A = 1

v(t) = K exp(−t

τ) + E

v(0) = 0, =⇒ K = −E ,

v(t) = E[

1− exp(−t

τ)]

, t > 0 e v(t) = 0 , t < 0

v(t) = E[

1− exp(−t

τ)]

u(t)



v(t)

E

τt



v(t)

E

τt

dv

dt=

E

τexp(−

t

τ)u(t) + E

[

1− exp(−t

τ)]

δ(t)



Dado o carater amostrador do impulso, so interessa o valor dafuncao que o multiplica em t = 0.

∫ +∞

−∞

f (t)δ(t)dt = f (0)

Como E[

1− exp(−t

τ)]

= 0 para t = 0

dv

dt=

E

τexp(−

t

τ)u(t)

Em t = 0+,

dv

dt(0+) =

E

τ



• Resposta ao Impulso , h(t): (Entrada e(t) = δ(t))=⇒ Condicoes Iniciais Nulas (v(0) = 0)

δ(t) ,d

dtu(t)

h(t) =d

dt[ resposta ao degrau ]

Poish(t) + τ h(t) = δ(t)

v(t) + τ v(t) = u(t)

=⇒ h(t) = v(t)

=⇒ h(t) =d

dt

[

1− exp(

−t

τ

)]

u(t)



h(t) =1

τexp

(

−t

τ

)

u(t) +[

1− exp(

−t

τ

)]

δ(t)

Em t = 0,[

1− exp(

−t

τ

)]

= 0

h(t) =1

τexp

(

−t

τ

)

u(t)



Transformada de Laplace

• f (t) funcao no tempo, nula para t < 0

F (s) ,

∫

∞

0f (t) exp(−st)dt

s , σ + jω: frequencia complexa

Notacao: F (s) = L[f (t)]




• Propriedades

• L[Kf (t)] = KF (s) , K constante

• L[f1(t)± f2(t)] = F1(s)± F2(s)

• L[d

dtf (t)] = sF (s)− f (0)

• L[exp(−at)f (t)] = F (s + a) , a constante

• Alguns Pares f (t) ↔ F (s) = L[f (t)]

δ(t) ↔ 1

u(t) ↔1

s, u(t) funcao degrau

Ku(t) ↔K

s, K constante



Ktu(t) ↔K

s2, K constante

sin(ωt)u(t) ↔ω

s2 + ω2

exp(−at)u(t) ↔1

s + a, a constante



Pode ser aplicada na solucao de equacoes integro-diferenciais comcoeficientes constantes:

• Torna algebricas as equacoes diferenciais.

• Simplifica o calculo da resposta impulsiva.

Seja V (s) = L[v(t)] (v(t) vale zero para t < 0)

• L[v(t)] = sV (s)− v(0)

• L[v(t)] = s2V (s)− sv(0)− v(0)



Exemplo

x + 2x + 2x = 0 ; x(0) = 5 , x(0) = −2

(s2 + 2s + 2)X (s) = (s + 1)x(0) + x(0)

X (s) =5(s + 1)

s2 + 2s + 2+

−2

s2 + 2s + 2; x(t) = L−1[X (s)]

Fracoes Parciais

X (s) =2.5

s + 1− j+

2.5

s + 1 + j+

j

s + 1− j+

−j

s + 1 + j

x(t) = (2.5 + j) exp[(−1 + j)t] + (2.5 − j) exp[(−1− j)t]



0 1 2 3 4 5 6−1

0

1

2

3

4

5

x(t)

t



Resposta ao impulso

x + 2x + 2x = δ(t) ; x(0) = x(0) = 0

(s2 + 2s + 2)X (s) = 1

X (s) =1

s2 + 2s + 2; x(t) = L−1[X (s)]

Fracoes Parciais

X (s) =0.5j

s + 1− j+−0.5j

s + 1 + j

x(t) = −0.5j exp[(−1 + j)t] + 0.5j exp[(−1− j)t]



0 1 2 3 4 5 6−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x(t)

t



Expansao em Fracoes Parciais

Objetivo: facilitar o calculo da Transformada Inversa de Laplace.

Seja a funcao racional em s descrita porN(s)

D(s)Caso 1: Grau de N(s) < Grau de D(s)

a) D(s) nao tem raızes multiplas.

s + 1

s3 + s2 − 6s=

s + 1

s(s − 2)(s + 3)

=A

s+

B

s − 2+

C

s + 3



A = sN(s)

D(s)

∣

∣

∣

∣

s = 0= −

1

6

B = (s − 2)N(s)

D(s)

∣

∣

∣

∣

s = 2=

3

10

C = (s + 3)N(s)

D(s)

∣

∣

∣

∣

s = −3= −

2

15

• Alternativamente, e possıvel usar identidade polinomial para ocalculo das constantes a determinar.



b) D(s) com raızes multiplas.

s + 1

s(s − 2)3=

A

s+

B

(s − 2)+

C

(s − 2)2+

D

(s − 2)3

A = sN(s)

D(s)

∣

∣

∣

∣

s = 0= −

1

8

D = (s − 2)3N(s)

D(s)

∣

∣

∣

∣

s = 2=

3

2

C =d

ds

[

(s − 2)3N(s)

D(s)

]∣

∣

∣

∣

s = 2=

d

ds

[

s + 1

s

]∣

∣

∣

∣

s = 2= −

1

s2

∣

∣

∣

∣

s = 2= −

1

4

pois



d

ds

[

A(s − 2)3

s+ B(s − 2)2 + C (s − 2) + D

]∣

∣

∣

∣

s = 2= C

2B =d2

ds2

[

(s − 2)3N(s)

D(s)

]∣

∣

∣

∣

s = 2=

2

s3

∣

∣

∣

∣

s = 2=

1

4

pois

d2

ds2

[

A(s − 2)3

s+ B(s − 2)2 + C (s − 2) + D

]∣

∣

∣

∣

s = 2= 2B



Caso 2: Grau de N(s) ≥ Grau D(s)

Reduzir ao caso anterior atraves de Divisao de Polinomios.

(s + 2)3

(s + 1)= As2 + Bs + C +

D

s + 1

(s + 2)3

(s + 1)=

s3 + 6s2 + 12s + 8

s + 1



s3 + 6s2 + 12s + 8 / s + 1

s3 + s2 s2 + 5s + 7

5s2 + 12s + 85s2 + 5s

7s + 87s + 7

+ 1

(s + 2)3

s + 1= s2 + 5s + 7 +

1

s + 1



Tabela de Transformadas de Laplace

Funcao no Tempo Transformada

f (t)u(t) F (s) ,

∫ +∞

0f (t) exp(−st)dt

δ(t) 1

δ(n)(t) sn

u(t) 1/s

tn

n!u(t)

1

sn+1

exp(−at)u(t)1

s + a

tn

n!exp(−at)u(t)

1

(s + a)n+1

cos(ωt)u(t)s

s2 + ω2

sin(ωt)u(t)ω

s2 + ω2

exp(−at) cos(ωt)u(t)s + a

(s + a)2 + ω2

exp(−at) sin(ωt)u(t)ω

(s + a)2 + ω2

Obs. A multiplicacao de uma funcao f (t) por u(t) (degrauunitario) indica que f (t) = 0 para t < 0.



Equacao a Diferencas

• Primeira ordem

x(k + 1) = ρx(k) , x(0) = 1

x(k) = Aλk

=⇒ Aλk+1 = Aρλk =⇒ λ = ρ

x(0) = 1 =⇒ x(k) = ρk

• Segunda ordem

x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = 0 ; x(0) = 1 , x(1) = 2

x(k) = Aλk modo proprio



=⇒ Aλk(λ2 + 3λ + 2) = 0 ; λ1 = −1 , λ2 = −2

x(k) = A1(−1)k + A2(−2)k ; A1 = 4 , A2 = −3

x(k) = 1, 2,−8, 20,−44, 92, . . . sequencia

• Coeficientes a determinar



Transformada Z

Vamos supor que a entrada e a saıda de um dado sistema discretopossuem o mesmo perıodo amostragem. Seja u a entrada de umsistema e y a saıda, entao:

u(k) , u(kT )

y(k) , y(kT )

ond T e o perıodo de amostragem e k um inteiro.Seja f (k) funcao definida nos instantes k = 0, 1, 2, · · · ,∞, e nulapara k < 0

Z[f (k)] = F (z) ,

∞∑

k=0

f (kT )z−k

Notacao: G (z) = Z[f (k)]



• Pode ser aplicada na solucao de equacoes a diferencas comcoeficientes constantes:

• Torna algebricas as equacoes diferencas.



Propriedades da Transformada Z

v(k) V (z)

Av(k); A:cte AV (z)

v1(k) + v2(k) V1(z) + V2(z)

v((k + 1)T ) zV (z)− zv(0)

kv(k) −TzdV (z)

dz

e−akv(k) V (zeaT )



Tabela de Transformadas Z

f (t) F (s) F (z)

δ(t) 1 1

δ((k − 1)T ) e−kTs z−k

u(t) 1/sz

z − 1

t 1/s2 Tz

(z − 1)2

e−at 1

s + a

z

z − e−aT

1− e−at 1

s(s + a)

(1− e−aT )z

(z − 1)(z − e−aT )

cos(ωt)s

s2 + ω2

z(z − cos ωT )

z2 − 2z cos ωT + 1

sin(ωt)ω

s2 + ω2

z sinωT

z2 − 2z cos ωT + 1

e−at cos(ωt)s + a

(s + a)2 + ω2

z2 − ze−aT cos ωT

z2 − 2ze−aT cos ωT + e−2aT

e−at sin(ωt)ω

(s + a)2 + ω2

ze−aT sinωT

z2 − 2ze−aT cos ωT + e−2aT

Obs. Nas transformadas apresentadas acima pressupoe-se quef (t) = 0 para t < 0.


Descricao matematica de sistemas


Objetivo: O objetivo deste capıtulo e apresentar as descricoesentrada-saıda e a representacao por variaveis de estados desistemas fısicos.

Topicos relacionados

• Modelagem de sistemas fısicos

• Linearizacao

• Integral de convolucao

• Transformada de Laplace e funcao de transferencia

• Representacao por variaveis de estado



De uma maneira geral vamos considerar sistemas representadospor:

Sistemau(t) y(t)




Sao considerados sistemas tendo entradas e saıdas como.Assume-se que para uma certa excitacao (entrada) uma unicaresposta (saıda) e obtida. Matematicamente dizemos que osistema satisfaz a condicao de Lipschitz.Dependendo do numero de entradas e saıdas temos:

• 1 entrada e 1 saıda: sistema monovariavel ou SISO (Singleinput - single output)

• Varias entradas ou varias saıdas: sistema multivariavel ouMIMO (Multiple input - multiple output)

· · ·· · ·

u1

u2

up

y1

y2

yq



u′ =[

u1 u2 · · · up

]

; y ′ =[

y1 y2 · · · yq

]

• Sistemas Contınuos no Tempou = u(t) ; y = y(t) : funcoes do tempot ∈ (−∞,∞)

• Sistemas Discretos no Tempou = u(k) ; y = y(k) : sequencias k ∈ Z

• Sistema sem MemoriaUm sistema e instantaneo ou sem memoria se a saıda dosistema y(t1) depende apenas da entrada no instante t1 (naodepende do que ocorreu antes de t1 nem do que ocorreradepois).Exemplo: circuito composto apenas por resistores



• Sistema CausalUm sistema e causal ou nao antecipativo se a saıda dosistema no instante t depende das entradas passadas e daentrada no instante t (mas nao depende de entradas aplicadasapos o instante t).

Um sistema nao causal pode prever ou antecipar os sinais futuros(nenhum sistema fısico tem essa capacidade). A causalidade e umacondicao necessaria para um sistema existir ou ser implementado.



Estado de um sistema

Definicao: O estado x(t0) de um sistema no instante t0 e aquantidade de informacao em t0 que junto com u(t), t ≥ t0determina de maneira unica a saıda y(t) do sistema para todot ≥ t0.

De certa forma, o estado resume a informacao do passado queafeta as saıdas futuras.Conhecendo o estado x(t0):

x(t0)u(t), t ≥ t0

→ y(t), t ≥ t0




Exemplo

R1

R2

C1 C2

u2u1

y

x1 x2

x3

L

++

+

+

−−

−

−



Conhecendo-se as tensoes nos capacitores x1(t0) e x2(t0) e acorrente no indutor x3(t0), para qualquer entrada u(t) aplicada apartir de t0 a saıda y(t) e unicamente determinada para t ≥ t0.

• Estado do Circuito

x(t0) =

x1(t0)x2(t0)x3(t0)

x : variavel de estado

• Sistema com parametros concentrados (numero finito devariaveis de estado)• Sistema com parametros distribuıdos (numero infinito devariaveis de estado)




Sistemas com parametros distribuıdos

• Estruturas mecanicamente flexıveis

• Sistemas termicos

• Linhas de transmissao

• Sistema atraso unitario

y(t) = u(t − 1)



u(t)

y(t)

0 t01 t

Estado: u(t), t0 − 1 ≤ t < t0 (infinitos pontos)



Sistemas Lineares

Para quaisquer dois pares i = 1, 2 de entradas e condicoes iniciais

xi (t0)ui (t), t ≥ t0

→ yi (t), t ≥ t0

x1(t0) + x2(t0)u1(t) + u2(t), t ≥ t0

→ y1(t) + y2(t), t ≥ t0 aditividade

αxi (t0)αui (t), t ≥ t0

→ αyi (t), t ≥ t0 ; i = 1, 2 homogeneidade

α1x1(t0) + α2x2(t0)α1u1(t) + α2u2(t), t ≥ t0

→ α1y1(t)+α2y2(t), t ≥ t0 superposicao

Sistema nao-linear: o princıpio da superposicao nao se aplica




Sistemas Lineares

Se u(t) ≡ 0, t ≥ t0: resposta a entrada nula

Se x(t0) = 0: resposta ao estado nulo

x(t0)u(t) ≡ 0, t ≥ t0

→ yent. nula(t), t ≥ t0

x(t0) = 0u(t), t ≥ t0

→ yest. nulo(t), t ≥ t0



Descricao Entrada-Saıda

• assume que antes da aplicacao de qualquer entrada o sistemaesta relaxado ou em repouso

• a saıda do sistema e influenciada apenas e unicamente pelaentrada aplicada apos o instante de referencia

ui → yi

Sistemas Lineares: para quaisquer α e ui , i = 1, 2:

u1 + u2 → y1 + y2 ; αui → αyi



Sistemas SISO — Funcao Impulso

• Funcao Pulso

t1 t1 + ∆

∆

t

1/∆

δ∆(t−t1) =

0 , t < t11/∆ , t1 ≤ t < t1 + ∆

0 , t ≥ t1 + ∆

δ(t−t1) , lim∆→0

δ∆(t−t1) : funcao impulso ou Delta de Dirac



• Propriedades

∫ +∞

−∞

δ(t − t1)dt =

∫ t1+ǫ

t1−ǫ

δ(t − t1)dt = 1 , ∀ ǫ > 0

∫ +∞

−∞

f (t)δ(t − t1)dt = f (t1) , ∀ f (t) contınua em t1



ti

u(ti)

u(ti )δ∆(t − ti )∆

t

u(t)

u(t) ∼=∑

i

u(ti)δ∆(t − ti)∆



Resposta ao pulso

Considere gδ(t, ti) a saıda no instante t do sistema excitado pelopulso u(t) = δ∆(t − ti) aplicado no instante ti . Entao

δ∆(t − ti)→ gδ(t, ti )

δ∆(t − ti)u(ti )∆→ gδ(t, ti)u(ti )∆ (homogeneidade)

∑

i

δ∆(t − ti)u(ti )∆→∑

i

gδ(t, ti)u(ti )∆ (aditividade)

Quando ∆→ 0 o pulso δ∆(t − ti) tende ao impulso aplicado emti , denotado δ(t − ti), e a saıda correspondente e dada por g(t, ti )



Resposta ao Impulso

y(t) =

∫ +∞

−∞

g(t, τ)u(τ)dτ

• Sistema Causal ⇐⇒ g(t, τ) = 0 para t < τ

• Sistema Relaxado em t0 ⇐⇒ x(t0) = 0

Sistemas causais e relaxados em t0

y(t) =

∫ t

t0

g(t, τ)u(τ)dτ



Sistema MIMO

y(t) =

∫ t

t0

G (t, τ)u(τ)dτ

Gq×p(t, τ) =

g11(t, τ) g12(t, τ) · · · g1p(t, τ)g21(t, τ) g22(t, τ) · · · g2p(t, τ)

......

...gq1(t, τ) gq2(t, τ) · · · gqp(t, τ)

Sistema com p entradas e q saıdasgij (t, τ) : resposta no instante t na i -esima saıda devida aoimpulso aplicado no instante τ na entrada j

G (·, τ) : matriz de resposta ao impulso



Descricao no Espaco de Estados

• Sistema. linear com parametros concentrados descrito por:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)y(t) = C (t)x(t) + D(t)u(t)

• Equacoes Dinamicas Nao-Lineares (representacao por variaveisde estados tambem para sistemas nao-lineares):

x(t) = h(

x(t), u(t), t)

Equacao de Estado

y(t) = g(

x(t), u(t), t)

Equacao de Saıda

x1(t) = h1

(

x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t), t)

x2(t) = h2

(

x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t), t)

......

xn(t) = hn

(

x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t), t)



y1(t) = g1

(

x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t), t)

y2(t) = g2

(

x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t), t)

......

yq(t) = gq

(

x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t), t)

x(t): estado ; u(t): controle ; y(t): saıda

Se hi (·) edhi

dxjsao funcoes contınuas para todo t e

i , j = 1, 2, . . . , n, a equacao de estados possui solucao unica paraquaisquer x(t0) e u(t), t ≥ t0 dados.

Entrada Saıda

u(t), t ≥ t0; x(t0)

→

x(t); y(t), t ≥ t0

Um par entrada-saıda e admissıvel se o sistema e capaz de gerarx(t), y(t), t ≥ t0, dados x(t0), u(t), t ≥ t0.



Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

x(t0)u(t), t ≥ t0

→ y(t), t ≥ t0

Para qualquer T

x(t0 + T )u(t − T ), t ≥ t0 + T

→ y(t−T ), t ≥ t0 (deslocamento no tempo)



ttt1 t1 + α

se a entrada e deslocada de α, a saıda tambem sera deslocada deα; a forma da saıda nao se altera.




g(t, τ) = g(t + T , τ + T ) = g(t − τ, 0) = g(t − τ)

Integral de Convolucao

y(t) =

∫ t

0g(t − τ)u(τ)dτ =

∫ t

0g(τ)u(t − τ)dτ

g(t): resposta ao impulso aplicado em t = 0

Sistema causal invariante no tempo: g(t) = 0 para t < 0



Matriz Funcao de Transferencia


Y (s) , L[y(t)] =

∫

∞

0y(t) exp(−st)dt

• integrais de convolucao sao substituıdas por equacoes algebricas

Y (s) =

∫

∞

0

(

∫

∞

0G (t − τ)u(τ)dτ

)

exp(−st)dt

=

∫

∞

0

(

∫

∞

0G (t − τ) exp[−s(t − τ)]dt

)

u(τ) exp(−sτ)dτ

=

∫

∞

0G (v) exp(−sv)dv

∫

∞

0u(τ) exp(−sτ)dτ , G (s)U(s)



G (s): Transformada de Laplace de G (t) (Matriz resposta aoimpulso)

• Se p = q = 1 (SISO) → Funcao de Transferencia

• Exige que o sistema esteja relaxado em t = 0

• Nem sempre e uma funcao racional em s (apenas funcoesracionais em s serao estudadas neste curso)

L[δ(t − T )] = exp(−sT )



Exemplo

Circuito RLC serie

u(t)

R

i

L

C++

−−

y

Ri + Ldi

dt+ y = u(t) , i = C

dy

dt



Com condicoes iniciais nulas (y(0) = y(0) = 0)

LCs2Y (s) + RCsY (s) + Y (s) = U(s)

Y (s)

U(s)=

1

LCs2 + RCs + 1

R = 3Ω ; L = 1H ; C = 0.5F

Y (s)

U(s)=

2

(s + 1)(s + 2)=

2

s + 1−

2

(s + 2)= G (s)

Resposta ao Impulso:

g(t) = 2 exp(−t)− 2 exp(−2t)



Para uma entrada qualquer,

y(t) =

∫ t0

−∞

g(t − τ)u(τ)dτ +

∫ t

t0

g(t − τ)u(τ)dτ , t ≥ t0

∫ t0

−∞

g(t − τ)u(τ)dτ =

2exp(−t)

∫ t0

−∞

exp(τ)u(τ)dτ − 2 exp(−2t)

∫ t0

−∞

exp(2τ)u(τ)dτ

= 2exp(−t)c1 − 2 exp(−2t)c2 , t ≥ t0

Determinacao de c1 e c2

y(t0) = 2 exp(−t0)c1 − 2 exp(−2t0)c2

y(t0) = −2 exp(−t0)c1 + 4exp(−2t0)c2



Se y(t0) (tensao no capacitor) e Cy(t0) (corrente no indutor)forem conhecidas, entao a saıda pode ser unicamente determinadapara t ≥ t0 mesmo que o sistema nao esteja relaxado em t0.

y(t0), y (t0) , c1, c2 → Estado do Circuito em t0

Note que a informacao (estado) necessaria para determinarunicamente a resposta do sistema nao e unica, e que pode haverredundancia.

O estado nao necessariamente tem interpretacao fısica nem precisaser representado por um numero finito de valores.



Funcao racional em s

G (s) =N(s)

D(s)

N(s): polinomio numerador ; D(s): polinomio denominador• G (s) propria

⇔ grau de D(s) ≥ grau de N(s)• G (s) estritamente propria

⇔ grau de D(s) > grau de N(s) ⇔ G (∞) = 0• G (s) bipropria

⇔ grau de D(s) = grau de N(s) ⇔ G (∞) = constante 6= 0

• G (s) impropria⇔ grau de D(s) < grau de N(s) ⇔ | G (∞) | = ∞



Polos e zeros de funcao de transferencia

• p ∈ C e um polo de G (s) =N(s)

D(s)se | G (p) | =∞

• z ∈ C e um zero de G (s) =N(s)

D(s)se | G (z) | = 0

Se D(s) e N(s) sao coprimos (isto e, nao possuem fatores comunsde grau 1 ou maior), todas as raızes de N(s) sao zeros de G (s) etodas as raızes de D(s) sao polos de G (s).

G (s) = k(s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)

(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)



Matriz racional G (s)

• Propria: G (∞) constante

• Estritamente Propria: G (∞) = 0

• Bipropria: G (s) quadrada, G (s) e G (s)−1 proprias.



Polos e zeros de matriz de funcoes de transferencia

• p e um polo de G (s) se ele e um polo de algum elemento deG (s)

• Varias definicoes de zero (p. ex. zeros de transmissao)



Sistema Dinamico Linear Invariante no Tempo

Equacao no Espaco de Estados

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

p entradas, q saıdas e n estados

A (n × n), B (n × p), C (q × n) e D (q × p)


X (s) = (sI− A)−1x(0) + (sI− A)−1BU(s)

Y (s) = C (sI− A)−1x(0) + C (sI− A)−1BU(s) + DU(s)



Dados x(0) e U(s), pode-se computar algebricamente X (s) eY (s). A transformada inversa de Laplace fornece x(t) e y(t).Note as duas parcelas da resposta de um sistema linear: respostaao estado inicial nulo e resposta a entrada nula.

Se x(0) = 0

Y (s) = [C (sI− A)−1B + D]U(s) = G (s)U(s)

• Recomenda-se o uso de Matlab e Simulink ou Scilab e Scicospara descrever sistemas, simular (para varias condicoes iniciais eentradas), passar de uma representacao a outra, etc.



Linearizacao

x(t) = h(

x(t), u(t), t)

y(t) = g(

x(t), u(t), t)

O sistema nao linear acima pode ser aproximado (sob certascondicoes) por um sistema linear.Supondo que para certas condicoes iniciais e para uma certaentrada u0(t), a solucao do sistema e x0(t), ou seja

x0(t) = h(

x0(t), u0(t), t)



Para alguns sistemas nao lineares, se a entrada e ligeiramenteperturbada u0(t) + u(t), a solucao difere apenas um poucox0(t) + x(t) com x(t) pequeno para todo t.

x0(t) + ˙x(t) = h(

x0(t) + x(t), u0(t) + u(t), t)

=

= h(

x0(t), u0(t), t)

+∂h

∂xx +

∂h

∂uu + · · ·

Para h =[

h1 h2 h3

]

′

, x =[

x1 x2 x3

]

′

e u =[

u1 u2

]

′

Jacobianos:

A(t) ,∂h

∂x=

∂h1/∂x1 ∂h1/∂x2 ∂h1/∂x3

∂h2/∂x1 ∂h2/∂x2 ∂h2/∂x3

∂h3/∂x1 ∂h3/∂x2 ∂h3/∂x3

B(t) ,∂h

∂u=

∂h1/∂u1 ∂h1/∂u2

∂h2/∂u1 ∂h2/∂u2

∂h3/∂u1 ∂h3/∂u2



Sistema Linearizado

˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

No caso geral, A e B podem ser funcoes do tempo (computadosao longo das trajetorias de x0(t) e u0(t)).

A equacao linearizada e obtida desprezando-se as potenciasmaiores de x e u

Procedimento similar pode ser aplicado para y(t) = f (x(t), u(t), t)

• A linearizacao nem sempre se aplica: para alguns sistemas naolineares, uma diferenca infinitesimal nas condicoes iniciais podegerar solucoes completamente diferentes (hipersensibilidade ascondicoes iniciais, caos).



Exemplo: mola

Forca

rompimentoy

y

y = 0

y1

y2

Comportamento linear para deslocamentos no intervalo [y1, y2]



Exemplo

u

y

m

f

k

ma = F



md2y

dt2=

forca aplicada − forca de reacao da mola − forca de reacaodevido ao atrito

md2y

dt2= u − ky − f

dy

dt

k : constante da molaf : coeficiente de atrito viscoso


Y (s) =1

ms2 + fs + kU(s)

y(t) =

∫ t

0g(t − τ)u(τ)dτ ; g(t) = L−1

[

1

ms2 + fs + k

]



Descricao por Variaveis de Estado

Sejam x1 = y (posicao da massa m) e x2 = y (velocidade damassa m) ⇒ Estado

[

x1

x2

]

=

[

0 1−k/m −f /m

] [

x1

x2

]

+

[

01/m

]

u

y =[

1 0]

[

x1

x2

]

A =

[

0 1−k/m −f /m

]

; B =

[

01/m

]

C =[

1 0]

; D = 0



Por exemplo: m = 1, f = 3, k = 2

Resposta ao Impulso: g(t) = L−1

[

1

s2 + 3s + 2

]

= L−1

[

1

s + 1−

1

s + 2

]

= exp(−t)− exp(−2t)

y(t) =

∫ t

0(exp[−(t − τ)]− exp[−2(t − τ)]) u(τ)dτ



Exemplo: Sistema Massa-Mola

u1 u2

y1 y2

k1 k2k3

m1 m2

Assumindo que nao ha atrito:

m1y1 = u1 − k1y1 − k2(y1 − y2)

m2y2 = u2 − k3y2 − k2(y2 − y1)

Escrevendo de maneira combinada:[

m1 00 m2

] [

y1

y2

]

+

[

k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

] [

y1

y2

]

=

[

u1

u2

]



Definindo: x1 , y1, x2 , y1, x3 , y2, x4 , y2 (equacoes deestado):

x ,[

x1 x2 x3 x4

]

′

x =

0 1 0 0

−k1+k2m1

0 k2m1

0

0 0 0 1k2m2

0 −k3+k2m2

0

x +

0 01/m1 0

0 00 1/m2

[

u1

u2

]

y ,

[

y1

y2

]

=

[

1 0 0 00 0 1 0

]

x



Descricao Entrada Saıda

• Aplicando a Transformada de Laplace (condicoes iniciais nulas):

m1s2Y1(s) + k1Y1(s) + k2(Y1(s)− Y1(s)) = U1(s)

m2s2Y2(s) + k3Y2(s) + k2(Y2(s)− Y1(s)) = U2(s)

Matriz de Transferencia:

Y1(s)

Y2(s)

=1

d(s)

m2s2 + k3 + k2 k2

k2 m1s2 + k1 + k2

U1(s)

U2(s)



d(s) , (m1s2 + k1 + k2)(m2s

2 + k3 + k2)− k22

• Se k2 = 0 =⇒ dois sistemas desacoplados (matriz detransferencia bloco-diagonal).

Y1(s) =1

m1s2 + k1U1(s) ; Y2(s) =

1

m3s2 + k3U2(s)

• A matriz de transferencia pode ser obtida elemento a elemento,fazendo-se inicialmente U1(s) = 0 e depois U2(s) = 0 (princıpio dasuperposicao)



Exemplo: Carro com Pendulo Invertido

H

V

θ

u

y

l

M

m

mg

Assume-se que o movimento se da no plano e desprezam-se oatrito e a massa da haste. O objetivo e manter o pendulo naposicao vertical.



H,V : forcas horizontal e vertical exercidas pelo carro no pendulo

Massa M: Md2y

dt2+ H = u

Massa m:

md2

dt2

(

y + l sin(θ))

= H Horizontal

mg = md2

dt2

(

l cos(θ))

+ V Vertical

=⇒ H = my + ml θ cos θ −ml θ2 sin θ=⇒ mg − V = −ml θ sin θ −ml θ2 cos θ

Movimento rotacional da massa m:

ml2θ = mgl sin θ + Vl sin θ − Hl cos θ



• Sao equacoes nao lineares; no entanto, pode-se assumir que θ eθ sao pequenos (pendulo na posicao vertical).

sin θ ∼= θ ; cos θ ∼= 1 ; θ2, θ2, θθ, θθ → 0

H = my + ml θ ; V = mg

My = u −my −ml θ

ml2θ = mglθ + mglθ −(

my + ml θ)

l

Re-arranjando:

(

M + m)

y + ml θ = u

2l θ − 2gθ + y = 0



Transformada de Laplace (condicoes iniciais nulas):

(

M + m)

s2Y (s) + mls2Θ(s) = U(s)

(

2ls2 − 2g)

Θ(s) + s2Y (s) = 0

Gyu(s) =Y (s)

U(s)=

2ls2 − 2g

s2[

(2M + m)ls2 − 2g(M + m)]

Gθu(s) =Θ(s)

U(s)=

−1

(2M + m)ls2 − 2g(M + m)



Definindo x1 = y , x2 = y , x3 = θ, x4 = θ

x ,[

x1 x2 x3 x4

]

′

Resolvendo as equacoes para y e θ:

y = −2gm

2M + mθ +

2

2M + mu

θ =2g(M + m)

(2M + m)lθ −

1

(2M + m)lu



Equacoes de Estado

x =

0 1 0 0

0 0−2mg

2M + m0

0 0 0 1

0 02g(M + m)

(2M + m)l0

x +

0

2

2M + m

0

−1

(2M + m)l

u

y =[

1 0 0 0]

x

• Livros de analise linear (graduacao e pos): outros modelos• Enfase do curso: modelos de circuitos eletricos



Exemplo: circuito eletrico

u(t)

R

i

LC1

C2

v1

v2+

+ ++

−

− −− y

Um bipolo (dispositivo contendo 2 terminais condutores) secaracteriza pela relacao tensao-corrente.Resistor, Capacitor e Indutor lineares (convencao de receptor):

replacements

iR iC iL++ +

−−−

vRvC vLR LC



Fontes de Tensao e de Corrente (convencao de gerador):

replacements

ii

v v

+

+

+

−

−

−

uv (t) ui(t)

v = uv (t) i = ui(t)



Convencao Utilizada: em geral, a convencao de receptor e utilizadapara os bipolos passivos e a de gerador para as fontes.

No: Um ponto de ligacao entre 2 ou mais bipolos.

• Lei das Correntes ou 1a Lei de Kirchhoff: a soma algebrica dascorrentes que saem de um no e nula.

Laco: Qualquer percurso fechado formado por bipolos que naopasse duas vezes pelo mesmo no.

• Lei das Tensoes ou 2a Lei de Kirchhoff: a soma algebrica dastensoes nos bipolos pertencentes a um laco e nula.



Em um circuito com b bipolos e n nos tem-se:

2b variaveis (tensoes e correntes nos bipolos)b equacoes de bipolosn − 1 equacoes de correnteb − (n − 1) equacoes de tensao.



Circuito

u(t)

R

i = C2v2

(u − v1)/R

C1v1

L

N

C1

C2

v1

v2

+

+

++

−

−

−− y = vL = L

di

dt

• No N:u − v1

R= C1v1 + C2v2 = C1v1 + i

• Laco da direita: v1 = v2 + Ldi

dt



Definindo x1 = v1, x2 = v2 e x3 = i obtem-se as equacoes deestado:

x1 = −1

RC1x1 −

1

C1x3 +

1

RCu

x2 =1

C2x3 ; x3 =

1

L(x1 − x2)

Equacao de saıda: y = Lx3 = L(x1 − x2)

x =

−1/RC1 0 −1/C1

0 0 1/C2

1/L −1/L 0

x +

1/RC1

00

u

y =[

1 −1 0]

x



Breve historico: Entrada-Saıda × Variaveis de Estado

• Entrada-Saıda (anterior a 1960)

- descreve apenas a relacao entrada-saıda do sistema;- aplica-se somente a sistemas relaxados;- pode ser obtida atraves de medidas diretas:

· resposta ao ‘impulso’;

· resposta em frequencia.

• Variaveis de Estado (posterior a 1960)

- inclui a representacao interna do sistema;- aplica-se a sistemas com condicoes iniciais quaisquer;- pode ser de difıcil determinacao para sistemas complexos;- essencial no estudo de problemas de Controle Otimo;- solucao facilmente implementada em computador.



Descricao Matematica de Sistemas Compostos

a) Conexao em paralelo

+u

u1

u2

S1

S2

y1

y2

y = y1 + y2



b) Conexao em cascata

S1 S2

u1 y2

y1 = u2



c) Conexao com realimentacao

S1

S2

u1 y1

y2

y+

−

u

u2



Representacao em Variaveis de Estado

S1

x1 = A1x1 + B1u1

y1 = C1x1 + E1u1

S2

x2 = A2x2 + B2u2

y2 = C2x2 + E2u2

a)

[

x1

x2

]

=

[

A1 00 A2

] [

x1

x2

]

+

[

B1

B2

]

u

y =[

C1 C2

]

[

x1

x2

]

+ (E1 + E2)u



b)

[

x1

x2

]

=

[

A1 0B2C1 A2

] [

x1

x2

]

+

[

B1

B2E1

]

u

y =[

E2C1 C2

]

[

x1

x2

]

+ E2E1u



c)

[

x1

x2

]

=

[

A1 − B1Y2E2C1 −B1Y2C2

B2Y1C1 A2 − B2Y1E1C2

] [

x1

x2

]

+

+

[

B1Y2

B2Y1E1

]

u

y =[

Y1C1 −Y1E1C2

]

[

x1

x2

]

+ Y1E1u

Y1 , (I + E1E2)−1 ; Y2 , (I + E2E1)

−1

Y1, Y2 devem existir ∀ t



Representacao na frequencia

G1(s) ←→ S1 ; G2(s) ←→ S2

a) G1 + G2

b) G2G1

c) Sejam G1 e G2 matrizes racionais proprias de S1 e de S2. Entao,se det(Iq + G1G2) 6= 0 (condicao necessaria para a conexao)

G = G1(Ip + G2G1)−1 = (Iq + G1G2)

−1G1


Sistemas discretos

Definicoes

u[k] = u(k T )

y [k] = y(k T )

onde k ∈ Z e T e o perıodo deamostragem.

Sistema causal

A saıda atual depende apenas da entrada atual e anteriores.

Estado no instante k0, x(k0)

E a informacao no instante k0, que com a entrada u[k], k ≥ k0,determina a saıda y [k], k ≥ k0.

Sistema a parametros concentrados e distribuıdos

Se o numero de variaveis de estado for finito entao o sistema e aparametros concentrados. Caso contrario e a parametrosdistribuıdos.


Sistemas discretos

Sistemas com retardo

Todo sistema com retardo e distribuıdo no caso de sistemascontınuos.Para sistemas discretos, se o retardo for um multiplo inteiro doperıodo de amostragem T entao e a parametros concentrados.


Sistemas discretos

Sistemas discretos lineares

O sistema discreto e linear se as propriedades de aditividade ehomogeneidade se aplicam.A resposta de um sistema discreto linear e obtida como:

Resposta total

Resposta = resposta ao estado zero + resposta a entrada zero


Sistemas discretos

Descricao entrada-saıda

• Seja δ[k] a sequencia de impulsos

δ[k −m] =

1 se k = m

0 se k 6= m

• Esta sequencia, ao contrario do caso contınuo, pode sergerada facilmente.

• Seja u[k] a sequencia de entrada. Entao

u[k] =

∞∑

m=−∞

u[m] δ[k −m]


Sistemas discretos

Expressao da saıda

• Seja g [k,m] a saıda no instante k excitada por um impulsoaplicado no instante m.

• Entao:

δ[k −m] → g [k,m]δ[k −m] u[m] → g [k,m] u[m] homogeneidade

∑

m δ[k −m] u[m] →∑

m g [k,m] u[m] aditividade

• Entao a resposta y [k] excitada por uma entrada u[k] e:

y [k] =

∞∑

m=−∞

g [k,m] u[m]


Sistemas discretos

Resposta para sistemas causais

• g [k,m] e a sequencia de resposta ao impulso.

• Em um sistema causal g [k,m] = 0 para k < m.

• Se o sistema for relaxado em k0:

y [k] =k∑

m=k0

g [k,m] u[m]

• Se o sistema for invariante no tempo, entao o deslocamentono tempo e valido (k0 = 0):

y [k] =

k∑

m=0

g [k −m] u[m] =

k∑

m=0

g [m] u[k −m]


Sistemas discretos

Convolucao discreta

• Seja a transformada z y(z) , Z [y [k]] ,∑

∞

k=0 y [k] z−k

• Entao

y(z) =

∞∑

k=0

(

∞∑

m=0

g [k −m] u[m]

)

z−(k−m) z−m =

=

∞∑

m=0

(

∞∑

k=0

g [k −m] z−(k−m)

)

u[m] z−m =

=

(

∞∑

l=0

g [l ] z−l

)(

∞∑

m=0

u[m] z−m

)

= g(z) u(z)

onde l = k −m

• g [l ] = 0 para l < 0 (ou seja para k < m ) e daı o limite l = 0.


Sistemas discretos

Funcao de transferencia discreta

• Entao:y(z) = g(z) u(z)

• g(z) e a funcao de transferencia discreta

• g(z) e a transformada z da sequencia de resposta ao impulsog [k].


Sistemas discretos

Exemplo

Seja o sistema com retardo de tempo de um perıodo deamostragem

y [k] = u[k − 1]

Entao g [k] = δ[k − 1], ou seja, a sequencia de resposta ao impulsoaplicado em k = 0 para k = 0, 1, 2, . . . e 0, impulso em k = 1,0, 0, . . . .A funcao de transferencia e

g(z) = Z [δ(k − 1)] = z−1 =1

z

Esta e uma funcao racional de z , que corresponde a parametrosconcentrados.


Sistemas discretos

Exemplo

Σ a Retardo unitarior [k] u[k] y [k]+

−

Σ a z−1r [k] u[k] y [k]+

−

Portanto:

g(z) =a z−1

1− a z−1=

a

z − a

que e funcao racional de z


Sistemas discretos

Outra forma

Transformada z da sequencia de resposta ao impulso:

y [k] = a δ[k − 1] + a y [k − 1]

y [k − 1] = a δ[k − 2] + a y [k − 2]

y [k − 2] = a δ[k − 3] + a y [k − 3]

Portanto

y [k] = a δ[k − 1] + a2 δ[k − 2] + a[3] δ[k − 3] + . . .

ou

y [k] =

∞∑

m=1

am δ[k −m]


Sistemas discretos

A resposta ao impulso e gf [k] =∑

∞

m=1 am δ[k −m]Desde que Z [δ[k −m]] = z−m

gf (z) = Z [gf [k]] = a z−1 + a2 z−2 + a3 z−3 + · · · =

= a z−1∞∑

m=0

(

a z−1)m

=a z−1

1− a z−1


Sistemas discretos

Funcoes de transferencia irracionais

• Seja

g [k] =

[

0 para k ≤ 01k

para k = 1, 2, . . .

• Desde que Z [g [k]] =∑

∞

m=0 g [k] z−k

g(z) = z−1 +1

2z−2 +

1

3z−3 + · · · = −ln(1− z−1)

• Entao g(z) = −ln(1− z−1) e irracional


Sistemas discretos

Funcoes proprias ou improprias

• Funcoes de transferencia discretas podem ser proprias ouimproprias

• Exemplo: Sejay(z)

u(z)=

z2 + 2 z − 1

z − 0.5

y [k + 1]− 0.5 y [k] = u[k + 2] + 2 u[k + 1]− u[k]

y [k + 1] = 0.5 y [k] + u[k + 2] + 2 u[k + 1]− u[k]

• Logo o sistema e nao causal


Sistemas discretos

Causalidade no caso contınuo

• Seja g(s) = s. Entao y(t) =du(t)

dt• Se a defivada for definida como:

y(t) =du(t)

dt= lim

∆→0

u(t + ∆)− u(t)

∆

entao y(t) depende de u(t + ∆) e a derivada e nao causal.

• Se a derivada for definida como

y(t) =du(t)

dt= lim

∆→0

u(t)− u(t −∆)

∆

entao a diferenciacao e causal. No entanto, ruıdos(componentes de alta frequencia) serao amplificados.


Sistemas discretos

Equacoes de estado

• O sistema discreto e representado por:

x[k + 1] = A[k] x[k] + B[k] u[k]

y [k] = C[k] x[k] + D[k] u[k]

• Pra sistemas invariantes no tempo:

x[k + 1] = Ax[k] + B u[k]

y[k] = Cx[k] + D u[k]


Sistemas discretos

Funcao de transferencia

Seja

x(z) = Z [x[k]] =

∞∑

k=0

x[k] z−k

Entao

Z [x[k + 1]] =

∞∑

k=0

x[k + 1] z−k = z

∞∑

k=0

x[k + 1] z−(k+1) =

= z

[

∞∑

l=1

x[l ] z−l + x(0) − x(0)

]

= z (x(z)− x(0))


Sistemas discretos

Funcao de transferencia

Nas equacoes de estado

z x(z)− z x[0] = A x(z) + B u(z)

y(z) = C x(z) + D u(z)

Entao

x = (z I− A)−1 z x[0] + (z I− A)−1 B u(z)

y(z) = C (z I− A)−1 z x[0] + C (z I− A)−1 B u(z) + D u(z)


Sistemas discretos

• Se x[0] = 0

y(z) =[

C (z I)−1 B + D]

u(z)

• Funcao de transferencia

G (z) = C (z I)−1 B + D

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