Tese_rafael Concreto Estrutural

8/3/2019 Tese_rafael Concreto Estrutural

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RAFAEL ALVES DE SOUZA

CONCRETO ESTRUTURAL: ANLISE E

DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS COM

DESCONTINUIDADES

Tese apresentada Escola Politcnica

da Universidade de So Paulo para

obteno do Ttulo de Doutor em

Engenharia.

So Paulo

2004


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RAFAEL ALVES DE SOUZA

CONCRETO ESTRUTURAL: ANLISE E

DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS COM

DESCONTINUIDADES

Tese apresentada Escola Politcnicada Universidade de So Paulo para

obteno do Ttulo de Doutor em

Engenharia.

rea de Concentrao:

Engenharia de Estruturas.

Orientador:

Prof. Dr. Tlio Nogueira Bittencourt

So Paulo

2004


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Este exemplar foi revisado e alterado em relao verso original, sob

responsabilidade nica do autor e com a anuncia de seu orientador.

So Paulo, de novembro de 2004.

Assinatura do autor ____________________________

Assinatura do orientador _______________________

FICHA CATALOGRFICA

Souza, Rafael Alves deConcreto estrutural : anlise e dimensionamento de ele-

mentos com descontinuidades / Rafael Alves de Souza. --ed. rev. -- So Paulo, 2004.

379 p.

Tese (Doutorado) - Escola Politcnica da Universidade deSo Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas eFundaes.

1. Mtodo das bielas I. Universidade de So Paulo. Escola

Politcnica. Departamento de Engenharia de Estruturas eFundaes II. t.


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Minha vida um barco,

E eu sou o capito.

Na escolha dos meus caminhos,

Sempre h uma boa razo.

Vou at onde der,

Se no der vou at onde estou.

Sem caminho de volta,

Sigo em frente, em frente eu vou.

Nas mars da vida, nas guas sem direo.

Horizonte infinito como um raio de sol

Que se pe como uma flor.

(Rafael Souza)


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AGRADECIMENTOS

Ao estimado amigo e orientador Prof. Dr. Tlio Nogueira Bittencourt. Minha eterna

gratido pela sua orientao, pelo seu companheirismo, pelo seu constante incentivo

e pelas excelentes oportunidades que me proporcionou dentro e fora da Escola

Politcnica da Universidade de So Paulo;

Ao estimado Prof. Dr. Joaquim Azevedo Figueiras. Meus agradecimentos pela sua

imensurvel acolhida e co-orientao na Universidade do Porto, bem como, pela suaenorme disposio em me passar seu profundo conhecimento a respeito dos modelos

de escoras e tirantes e da anlise no-linear;

A CAPES, por me contemplar com bolsa de doutoramento no incio da jornada;

Aos colegas da Universidade Estadual de Maring, instituio da qual fui aluno e na

qual atualmente sou professor. Em especial aos professores Fbio Armando Botelho

Cordovil, Sergio Henrique Demarchi, Romel Dias Vanderlei, Joo Adriano

Rossignolo, Antonio Carlos Peralta e Nara Villanova Menon;

A todos meus amigos da Escola Politcnica, que sempre estiveram de uma forma ou

de outra motivando o desenvolvimento desse trabalho. Em especial, gostaria de

destacar a imensurvel ajuda dos companheiros Leandro Mouta Trautwein, Andr

Lus Gamino e Carlos Henrique Moura da Cunha, sem os quais os caminhos para a

finalizao desse trabalho teriam sido muito mais rduos;

A todos os meus professores na Escola Politcnica, em especial ao Prof. Dr.

Henrique Lindemberg Netto e ao Prof. Dr. Joo Carlos Della Bella. Lhes agradeo

pela constante disposio na troca de idias, pela possibilidade da amizade e pela

maneira com que inspiram os jovens professores da engenharia;


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A todos os funcionrios do Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundaes

da Escola Politcnica. Em especial, gostaria de manifestar o meu sinceroagradecimento Marly Ceclia Negri Coimbra, pela amizade, simpatia, dedicao e

entusiasmo com seu trabalho na ps-graduao;

Ao Prof. Dr. Jorge Bounassar Filho, colega da Universidade Estadual de Londrina,

que gentilmente me presenteou com um exemplar de sua tese de doutoramento,

trabalho este que em vrios momentos serviu de referncia em minhas investigaes;

familia Arena e em especial Luciana, pela companhia e pela fora constante e

imensurvel ao longo dessa jornada;

Aos amigos Leandro Vanalli, Raimundo Srgio Soarez, Luiz Carlos Bulla,

Alexandre Barbeta de Souza, Cristiano Franco e Maycol Alencar;

Enga Laila Valduga, por me conduzirdo Leste da minha juventude para o Oeste

do meu futuro em busca do concreto;

A toda a minha famlia e, em especial aos meus pais Nilson e ngela, a quem dedico

esse trabalho, pelo constante estmulo acadmico e pela dedicao exemplar ao longo

de minha vida. Tambm no posso deixar de destacar os meus irmos Nilson e

Vincius, pelo incentivo e pela amizade, slida como deve ser;

A todos aqueles pesquisadores que descobri e que aprendi a admirar ao longo dessa

estrada, aos grandes escritores e compositores mundiais, e em especial msica e

poesia que sempre serviram de combustvel para o dia-a-dia;

Finalmente, ao meu bom DEUS, sempre presente iluminando e me guiando para os

melhores caminhos.


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RESUMO

A maioria dos elementos utilizados na engenharia estrutural podem ser

dimensionados de maneira simplificada, adotando-se a clssica Hiptese de

Bernoulli, em que a seo permanece plana aps a deformao. No entanto, existem

vrias situaes para as quais esta hiptese simplificadora no pode ser aplicada,

impossibilitando assim a utilizao dos processos correntes de dimensionamento. Nestes casos, aqui denominados de especiais, deve-se recorrer a solues

alternativas de dimensionamento, tais como o Mtodo dos Elementos Finitos, o

Mtodo das Bielas e mais recentemente o Mtodo Corda-Painel. Vrios cdigos

normativos tm recomendado a utilizao desses mtodos, no entanto, as

informaes disponibilizadas ainda so vagas e incompletas, tendo em vista o avano

do assunto apenas nas ltimas dcadas. O objetivo deste trabalho concentra-se na

investigao da aplicabilidade dos mtodos supracitados, de maneira a estabelecer

recomendaes prticas no desenvolvimento racional de projetos estruturais

complexos com qualquer natureza geomtrica. Para tanto, utiliza-se o programa

CAST no desenvolvimento dos Modelos de Escoras e Tirantes, o programa

SPANCAD no desenvolvimento dos Modelos Corda-Painel e os recursos de anlise

linear e no-linear disponveis nos programas ADINA e DIANA, para anlises

utilizando o Mtodo dos Elementos Finitos. Dentro do mbito das estruturas

especiais, procurou-se enfatizar os casos das vigas-parede e dos blocos de fundao

sobre estacas, tendo em vista a grande utilizao e importncia desses elementos nos

projetos correntes. O presente trabalho contribui no atenuamento da utilizao de

solues aproximadas baseadas em empirismos, fornecendo critrios lgicos para o

clculo seguro das denominadas Regies D.


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ABSTRACT

Most of the elements used in the structural engineering can be designed in a

simplified way, adopting the classic Bernoullis Hypothesis. However, there are

several situations for which this hypothesis can not be applied, thus, making the use

of the current dimensioning processes impossible. In these special cases, alternative

solutions for design should be applied, such as the Finite Element Method, the Strut-

And-Tie Model, and more recently the Stringer-Panel Method. Several normative

codes recommend the use of such methods, however, the available information is

still vague and incomplete, taking into account the progress of the subject only in the

last decades. The aim of this study is to investigate the applicability of the above-

mentioned methods, to establish practical recommendations towards the rational

development of complex structural design of any geometric nature. For that, the

CASTprogram is used in the application of Strut-and-Tie Method, the SPANCAD

program in the application of Stringer-Panel Method, and the resources of linear and

non-linear analysis available in the ADINA and DIANA software, for the Finite

Element Method. In the ambit of special structures, it was emphasized the design of

deep-beam and pile caps, considering the great use and importance of those elements

in current design of buildings. This study will contributes in order to lessen the

application of approximate solutions based on empirical studies, supplying logicalcriteria for the safe design of the denominated "D Regions".


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i

SUMRIO

LISTA DE FIGURAS.................................................................................................vi

LISTA DE TABELAS............................................................................................... xv

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS...............................................................xvi

LISTA DE SMBOLOS...........................................................................................xvii

CAPTULO 1 - INTRODUO ................................................................................. 1

CAPTULO 2 ALTERNATIVAS PARA O DIMENSIONAMENTO DE

ELEMENTOS ESPECIAIS DE CONCRETO ............................................................ 5

2.1 Introduo ........................................................................................................ 5

2.2 Alternativas de Dimensionamento.................................................................10

CAPTULO 3 - MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)........................... 17

3.1 Histrico......................................................................................................... 173.2 Fundamentos Bsicos do MEF ......................................................................18

3.3 O Que Dizem os Cdigos Normativos Sobre o MEF? ..................................23

3.4 Anlise de Estruturas de Concreto Utilizando o MEF...................................25

3.5 DIANA ............................................................................................................ 29

3.5.1 Introduo ..............................................................................................29

3.5.2 Modelo de Fissurao Distribuda ......................................................... 29

3.5.3 Modelagem do Concreto Simples.......................................................... 333.5.3.1 Modelos Total Strain..........................................................................33

3.5.3.2 Modelos Incrementais ou Plsticos.................................................... 36

3.5.4 Modelagem das Armaduras.................................................................... 39

3.5.5 Modelagem do Concreto Armado.......................................................... 40

3.5.6 Soluo do Sistema de Equaes No-Lineares .................................... 41

3.5.7 Aspectos Complementares..................................................................... 45

3.6 Verificao da Segurana Utilizando o MEF................................................. 48

3.7 Determinao Automtica de Armaduras para Elementos de Chapa ............ 50


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ii

3.8 Exemplo de Aplicao Utilizando o Modelo de Chapa acoplado ao MEF.... 55

CAPTULO 4 - MTODO CORDA-PAINEL (MCP)..............................................654.1 Histrico.........................................................................................................65

4.2 Fundamentos Gerais do MCP ........................................................................68

4.3 Formulao Matricial do MCP.......................................................................71

4.4 Determinao das Armaduras Resistentes .....................................................73

4.5 O que Dizem as Normas Sobre o MCP?........................................................76

4.6 SPANCAD Programa para Clculo Automtico Utilizando o MCP...........77

4.7 Exemplo de Aplicao do Mtodo Corda-Painel...........................................79

CAPTULO 5 - MTODO DAS BIELAS (MB).......................................................87

5.1 Histrico.........................................................................................................87

5.2 Estgio Atual do Conhecimento.....................................................................92

5.3 O que Dizem as Normas Sobre o Mtodo das Bielas?...................................93

5.4 Princpios Bsicos do Mtodo das Bielas ......................................................95

5.5 Processos de Obteno dos Modelos ...........................................................100

5.5.1 Modelos Padronizados .........................................................................100

5.5.2 Processo do Caminho das Cargas.........................................................101

5.5.3 Anlises Elsticas.................................................................................102

5.5.4 Anlises No-Lineares .........................................................................103

5.5.5 Processos de Otimizao...................................................................... 107

5.5.5.1 Programao Linear ......................................................................... 107

5.5.5.2 Programao No-Linear .................................................................112

5.5.5.3 Otimizao Topolgica ....................................................................114

5.5.5.4 Mtodo das Barras Virtuais.............................................................. 118

5.6 Parmetros Fundamentais do Mtodo das Bielas......................................... 125

5.6.1 Tipos Fundamentais de Escoras de Concreto.......................................126

5.6.1.1 Parmetros de Resistncia das Escoras de Concreto para Casos

Bidimensionais.............................................................................................128

5.6.1.2 Confinamento das Escoras de Concreto...........................................142


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iii

5.6.1.3 Parmetros de Resistncia das Escoras de Concreto para Casos

Tridimensionais............................................................................................ 143

5.6.2 Tipos Fundamentais de Ns ou Regies Nodais.................................. 1475.6.2.1 Parmetros de Resistncia das Regies Nodais ............................... 151

5.6.3 Parmetros de Resistncia dos Tirantes ............................................... 163

5.6.3.1 Ancoragem de Armaduras................................................................ 164

5.6.3.2 Armadura de Controle de Fissurao............................................... 166

CAPTULO 6 - APLICAO DO MTODO DAS BIELAS A CASOS

BIDIMENSIONAIS: VIGAS-PAREDE.................................................................. 1676.1 Introduo .................................................................................................... 167

6.2 Dimensionamento de Viga-Parede Simples.................................................168

6.2.1 Clculo Manual ....................................................................................168

6.2.2 Clculo Automtico Utilizando o Programa CAST.............................. 179

6.2.3 Dimensionamento da Viga-Parede Utilizando um Modelo de Viga.... 182

6.2.4 Comparao Entre as Diversas Alternativas Adotadas para o

Dimensionamento ............................................................................................187

6.3 Dimensionamento de Viga-Parede Complexa .............................................191

6.3.1 Anlise Elstico-Linear da Estrutura ................................................... 193

6.3.2 Dimensionamento Utilizando o Mtodo das Bielas............................. 196

6.3.3 Carga de Escoamento Terica do Tirante Principal............................. 199

6.3.4 Anlise No-Linear do Modelo B Utilizando DIANA......................201

6.3.5 Anlise No-Linear do Modelo B com Armaduras de Fissurao... 207

6.3.6 Discusso a Respeito dos Resultados Obtidos..................................... 212

6.4 Dimensionamento de Viga-Parede Apoiada Indiretamente......................... 215

6.4.1 Anlise No-Linear da Viga-Parede Dimensionada ............................ 221

6.4.2 Cargas Limites Obtidas Atravs de Modelo Analtico ........................ 231

6.4.3 Ensaio Experimental da Viga-Parede Apoiada Indiretamente............. 237

CAPTULO 7 - APLICAO DO MTODO DAS BIELAS A CASOS

TRIDIMENSIONAIS: BLOCOS DE FUNDAO............................................... 251

7.1 Introduo .................................................................................................... 251


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iv

7.2 Classificao dos Blocos em Rgidos e Flexveis ........................................259

7.3 Ensaios Experimentais de BLVOT & FRMY (1967) .............................263

7.4 Dimensionamento de Blocos Rgidos Utilizando o Mtodo das Bielas.......2687.4.1 Dimensionamento de Blocos Sobre Uma Estaca .................................268

7.4.2 Dimensionamento de Blocos Sobre Duas Estacas ............................... 274

7.4.3 Dimensionamento de Blocos Sobre Trs Estacas ................................276

7.4.4 Dimensionamento de Blocos Sobre Quatro Estacas ............................279

7.4.5 Dimensionamento de Blocos Sobre Cinco Estacas.............................. 281

7.4.6 Dimensionamento de Blocos Sobre Nmero Qualquer de Estacas......281

7.5 Comparao Entre o Mtodo das Bielas e o Modelo de Viga para CasoFreqente de Dimensionamento...........................................................................285

7.6 Anlise No-Linear de Bloco Rgido Sobre Duas Estacas .......................... 289

7.6.1 Descrio do Ensaio Experimental de Referncia ............................... 289

7.6.2 Anlise No-Linear do Bloco B1-A Utilizando DIANA ......................293

7.6.3 Modelo Analtico para Anlise do Bloco B1-A...................................307

7.6.4 Discusso a Respeito dos Resultados Obtidos.....................................308

7.7 Investigao Analtica de Blocos Rgidos Sobre Trs Estacas ....................312


7.7.2 Estimativa Analtica das Cargas Fundamentais e Discusso dos

Resultados ........................................................................................................314

7.8 Anlise No-Linear de Blocos Rgidos Sobre Quatro Estacas ....................316


7.8.2 Anlise No-Linear dos Blocos Rgidos Sobre Quatro Estacas

Utilizando o programa DIANA .........................................................................323

7.8.2.1 Anlise No-Linear do Caso A.....................................................325

7.8.2.2 Anlise No-Linear do Caso B.....................................................334

7.8.3 Discusses a Respeito do Problema Investigado .................................343

CAPTULO 8 - CONCLUSES E SUGESTES PARA TRABALHOS

FUTUROS............................................................................................................357


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v

APNDICE A OBTENO AUTOMTICA DE ARMADURAS EM

ELEMENTOS DE CHAPA SUBMETIDOS A ESFOROS DE MEMBRANA... A.1

APNDICE B PROPOSTA DE PRTICA RECOMENDADA DA NBR6118

PARA A ANLISE, DIMENSIONAMENTO, DETALHAMENTO E

VERIFICAO DE ELEMENTOS ESPECIAIS....................................................B.1


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vi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Distribuio linear de deformaes em viga de concreto armado ...........6

Figura 2.2 - Exemplo de estrutura subdividida em Regies B e D..............................8

Figura 2.3 Exemplos de Regies D e seus contornos............................................9

Figura 2.4 Exemplos de Modelos de Escoras e Tirantes.........................................14

Figura 3.1 - Elementos iso-paramtricos utilizados para concreto ........................... 19

Figura 3.2 Energia de fraturamento compresso.................................................. 31

Figura 3.3 - Relaes disponveis para tension-softening no programa DIANA........34

Figura 3.4 - Relaes constitutivas para compresso no programa DIANA...............35

Figura 3.5 - Modelos plsticos disponveis no programa DIANA..............................37

Figura 3.6 - Comparao entre o critrio de Rankine-Von Mises com resultados

experimentais de Kupfer; Gerstle (1973) ...........................................................38

Figura 3.7 Elemento de concreto armado sob trao ..............................................40

Figura 3.8 - Comportamentos de snap-back e snap-through possveis de ser

obtidos no programa DIANA quando utilizando a opo arc lenght method .43

Figura 3.9 - Elemento de concreto armado submetido a estado plano de tenses..... 51

Figura 3.10 Viga-parede comumente classificada como viga comum pelos cdigos

............................................................................................................................56

Figura 3.11 Limites para viga-parede de acordo com ACI-318 (2002)..................57

Figura 3.12 - Tenses xx para a viga-parede utilizando DIANA...............................59

Figura 3.13 - Tenses yy para a viga-parede utilizando DIANA...............................59

Figura 3.14 Resultantes de trao nas sees AA e BB.........................................61

Figura 3.15 Detalhamento de armaduras obtido para a viga-parede utilizando o

MEF....................................................................................................................62Figura 4.1 Modelo Corda-Painel para asa de avio ................................................ 65

Figura 4.2 - Modelo Corda-Painel para viga de concreto armado .............................66

Figura 4.3 Elementos constituintes do Mtodo Corda-Painel.................................68

Figura 4.4 - Comportamento linear das foras normais nas cordas ...........................70

Figura 4.5 - (a) Viga-parede com furo na alma investigada com um Modelo Corda-

Painel e (b) Esforos obtidos na anlise linear do modelo.................................71

Figura 4.6 Elementos bsicos utilizados no Mtodo Corda-Painel.........................72Figura 4.7 Sobreposio de esforos em um elemento de membrana ....................74


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vii

Figura 4.8 Modelo Stringer and Wall recomendado pelo CEB-FIP Model Code

............................................................................................................................ 77

Figura 4.9 Modos de comportamento dos materiais disponveis no SPANCAD ....78Figura 4.10 Viga-parede a ser dimensionada com o Mtodo Corda-Painel ........... 80

Figura 4.11 - Modelo Corda-Painel idealizado para viga-parede .............................. 81

Figura 4.12 - Resultados obtidos da anlise elstica utilizando SPANCAD .............. 81

Figura 4.13 - Distribuio de armaduras no pr-dimensionamento........................... 83

Figura 4.14 Localizao e aberturas de fissuras para as cargas de servio............. 84

Figura 4.15 Carga versus deslocamento obtida de anlise no-linear utilizando

SPANCAD

.......................................................................................................... 85Figura 5.1 Exemplos de aplicao do programa CAST.......................................... 90

Figura 5.2 Modelo de escoras e tirantes idealizado para uma viga-parede.............96

Figura 5.3 - Fluxograma para projeto utilizando Mtodo das Bielas......................... 99

Figura 5.4 Aplicao do caminho de carga em uma viga-parede .........................102

Figura 5.5 (a) Tenses principais de compresso de uma viga-parede contnua

obtida de uma anlise linear, (b) Tenses principais de compresso de uma viga-

parede contnua obtida de uma anlise no-linear ...........................................105

Figura 5.6 - Condies de equilbrio dos ns...........................................................109

Figura 5.7 Exemplo de um modelo cinemtico .................................................... 113

Figura 5.8 Resultados de um modelo cinemtico .................................................114

Figura 5.9 Modelo de escoras e tirantes obtido atravs de otimizao topolgica116

Figura 5.10 Elemento retangular utilizado no modelo de trelia no-linear......... 117

Figura 5.11 Modelo de escoras e tirantes timo obtido com VISTA2002, para uma

viga engastada com carga concentrada aplicada na borda superior................. 119


viga engastada com carga concentrada aplicada na borda inferior..................119


viga contnua submetida a duas cargas concentradas ...................................... 120

Figura 5.14 Modelo de escoras e tirantes timo obtido com VISTA2002, para um

n submetido a um momento fletor de fechamento......................................... 120

Figura 5.15 - Modelo de escoras e tirantes timo obtido com VISTA2002, para uma

viga-parede com cargas pontuais na borda superior ........................................121


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viii

Figura 5.16 - Modelo de escoras e tirantes timo obtido com VISTA2002, para uma

viga-parede com carga pontuais na borda inferior...........................................121

Figura 5.17 - Modelo de escoras e tirantes timo obtido com VISTA2002, para umaviga biapoiada com carga concentrada aplicada no meio do vo ....................122

Figura 5.18 Configuraes tpicas de campos de tenso de compresso..............126

Figura 5.19 Dimensionamento do campo de tenso do tipo garrafa: (a) diagramas

fornecendo taxas de armadura necessrias em funo das relaes b/a,

(b)geometria do campo de tenso (Fonte: Schfer; Schlaich (1988, 1991)).... 128

Figura 5.20 Distribuio de armadura em malha em escoras do tipo garrafa.......139

Figura 5.21 Ensaios realizados por Adebar et al. (2000) para demonstrar ainfluncia da trao transversal ........................................................................ 144

Figura 5.22 Exemplo de ns contnuos e ns singulares em uma Regio "D" .....147

Figura 5.23 Regies nodais possveis no Mtodo das Bielas................................153

Figura 5.24 N N1 de acordo com Schfer; Schlaich (1988, 1991) .....................155

Figura 5.25 N N2 de acordo com Schfer; Schlaich (1988, 1991) ....................155

Figura 5.26 N N3 de acordo com Schfer; Schlaich (1988, 1991) ...................156







Figura 5.33 Altura necessria para ancoragem dos tirantes (a) Tirante nico, (b)

Camadas de tirantes.......................................................................................... 165

Figura 6.1 - Viga-parede a ser dimensionada utilizando o Mtodo das Bielas........ 168

Figura 6.2 Tenses principais de compresso para viga-parede...........................170

Figura 6.3 Tenses principais de trao para viga-parede ....................................171

Figura 6.4 Modelo de trelia idealizado para a viga-parede em anlise ...............171

Figura 6.5 Larguras adotadas para a escora CD e para o tirante AB ....................172

Figura 6.6 Detalhe de armao da viga-parede investigada..................................178

Figura 6.7 Modelo de Escoras e Tirantes analisado utilizando o programa CAST

..........................................................................................................................180


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ix

Figura 6.8 Foras e tenses nos elementos fornecidas pelo CAST....................... 181

Figura 6.9 Detalhe de armao da viga-parede analisada utilizando as

recomendaes da NBR 6118 (2003) .............................................................. 186Figura 6.10 Viga-parede sujeita irregularidades estticas e geomtricas........... 191

Figura 6.11 Malha de elementos finitos utilizada para viga-parede complexa..... 193

Figura 6.12 Tenses principais da viga-parede complexa .................................... 195

Figura 6.13 Modelo A, constitudo de tirantes horizontais, verticais e inclinados

.......................................................................................................................... 196

Figura 6.14 Modelo B, constitudo apenas de tirantes horizontais e verticais .. 196

Figura 6.15 Anlise do Modelo B no programa CAST ........................................ 197Figura 6.16 Panorama final de armao para o Modelo B utilizando CAST.... 199

Figura 6.17 Determinao da fora atuante no tirante N3 ................................... 200

Figura 6.18 - Malha de elementos finitos adotada para viga-parede complexa....... 201

Figura 6.19 Tenso em elementos situados na armadura acima da abertura direita

.......................................................................................................................... 204

Figura 6.20 Tenso na armadura situada esquerda da abertura direita .............. 205

Figura 6.21 Panorama de fissurao da viga-parede na runa............................... 205

Figura 6.22 Evoluo dos deslocamentos para um n situado na face inferior da

viga e na linha de ao do carregamento aplicado...........................................206

Figura 6.23 Fissurao para a carga concentrada de 187,50 kN........................... 208

Figura 6.24 Tenses em elementos do tirante horizontal situado acima da abertura

direita para os passos de carga 23, 24 e 25. ..................................................... 209

Figura 6.25 Tenses principais de compresso antes do escoamento dos tirantes

.......................................................................................................................... 210

Figura 6.26 Tenses principais de trao antes do escoamento dos tirantes ........ 210

Figura 6.27 Tenses em elementos do tirante vertical situado a esquerda da

abertura direita para o passo de carga 28 ......................................................... 211

Figura 6.28 Deslocamento vertical de um n situado na face inferior da viga.... 212

Figura 6.29 - Geometria da viga-parede ensaiada na Universidade do Porto.......... 215

Figura 6.30 Modelo de Escoras e Tirantes para viga-parede apoiada indiretamente

.......................................................................................................................... 216

Figura 6.31 Larguras das escoras e do tirante no modelo desenvolvido...............218


18/441

x

Figura 6.32 Detalhamento final da viga-parede para experimentao.................. 220

Figura 6.33 Fissuras iniciais, ocorridas para a carga concentrada de 65,63 kN....225

Figura 6.34 Tenses mdias para uma srie de elementos situados na segundacamada de armaduras, correspondente s barras de 4,0 mm............................226

Figura 6.35 Tenses principais de trao antes do escoamento do tirante............227

Figura 6.36 Tenses principais de compresso antes do escoamento do tirante...228

Figura 6.37 Panorama de fissurao na runa da viga-parede...............................230

Figura 6.38 Evoluo dos deslocamentos no eixo de simetria da viga-parede.....230

Figura 6.39 Evoluo da fora normal versus deformao para o tirante, sem

considerao do efeito de tension stiffening.................................................234Figura 6.40 Evoluo da fora normal versus deformao para o tirante, com

considerao do efeito de tension stiffening.................................................236

Figura 6.41 Viga-parede instrumentada externamente com clip gages e LVDTs

..........................................................................................................................237

Figura 6.42 Aberturas registradas no clip gage horizontal................................238

Figura 6.43 Deformaes nos extensmetros da terceira camada de armaduras .. 239

Figura 6.44 Deformaes nos extensmetros posicionados no concreto.............. 240

Figura 6.45 Fora nos atuadores versus deslocamento vertical medido no LVDT

..........................................................................................................................240

Figura 6.46 Fora nos atuadores versus deslocamento horizontal medido no LVDT

..........................................................................................................................241

Figura 6.47 Panorama de fissurao da viga-parede momentos antes..................242

Figura 6.48 Comparao entre resultados experimentais e resultados numricos

efetuados aps o ensaio....................................................................................243

Figura 6.49 Aplicao de protenso na viga-parede para nova experimentao .. 244

Figura 6.50 Perdas de protenso registradas para os cabos de 5,0 mm.................245

Figura 6.51 Fora mdia nos atuadores versus deslocamento horizontal (LVDT)245

Figura 6.52 Fora mdia nos atuadores versus deslocamento vertical (LVDT)... 246

Figura 6.53 Configurao de runa para viga reforada com protenso externa...246

Figura 6.54 Evoluo das foras nos cabos protendidos......................................247

Figura 6.55 Evoluo das deformaes nas armaduras da terceira camada do tirante

..........................................................................................................................248


19/441

xi

Figura 7.1 Exemplo de modelo de escoras e tirantes utilizado para o

dimensionamento de um bloco rgido de fundao sobre quatro estacas ........ 253

Figura 7.2 Isotenses para um bloco ensaiado por Ricaldoni (1946) ...................255Figura 7.3 Blocos sobre trs estacas ensaiados por Blvot e Frmy.....................264

Figura 7.4 Blocos sobre quatro estacas ensaiados por Blvot e Frmy ................ 266

Figura 7.5 Bloco de fundao sobre uma estaca ................................................... 268

Figura 7.6 Comprimento de perturbao de um bloco parcialmente carregado ... 269

Figura 7.7 Modelo de Escoras e Tirantes para blocos sobre duas estacas ............ 274

Figura 7.8 - Esquema de armao para blocos sobre trs e quatro estacas de acordo

com Leonhardt; Mnnig (1978)......................................................................276Figura 7.9 Modelo de Escoras eTirantes para bloco sobre trs estacas ................ 277

Figura 7.10 Modelo de Escoras e Tirantes para bloco sobre quatro estacas......... 279

Figura 7.11 Sees de referncia para o clculo de bloco de fundao sobre um

nmero qualquer de estacas de acordo com Alonso (1995)............................. 281

Figura 7.12 Bloco flexvel sobre um nmero qualquer de estacas .......................282

Figura 7.13 Clculo de blocos rgido com relao 0,5 a/d 1,0 sobre um nmero

qualquer de estacas de acordo com Alonso (1995).......................................... 283

Figura 7.14 Caractersticas do bloco a ser dimensionado com o Mtodo das Bielas

e com o Modelo de Viga.................................................................................. 285

Figura 7.15 Configurao dos ensaios experimentais realizados por Mautoni

(1972) ............................................................................................................... 289

Figura 7.16 Configurao geomtrica do bloco B1-A ensaiado por Mautoni (1972)

e fissuras desenvolvidas at a carga de 600 kN ............................................... 291

Figura 7.17 (a) Panorama de fissurao para a carga de 780 kN e (b) panorama de

fissurao para a carga de 800 kN (ruptura) .................................................... 292

Figura 7.18 Condies de contorno e malha de elementos finitos utilizadas na

investigao do bloco B1-A............................................................................. 293

Figura 7.19 Influncia do passo de carga mximo no modelo Fixed Crack Model

.......................................................................................................................... 295

Figura 7.20 Influncia dos mtodos de soluo no modelo Fixed Crack Model

.......................................................................................................................... 296

Figura 7.21 Influncia dos modelos de fissurao na resposta do bloco B1-A .... 297


20/441

xii

Figura 7.22 Tenses na direo x do bloco de fundao para carga de 22,5 kN ..298

Figura 7.23 Primeiras fissuras registradas no bloco de fundao utilizando DIANA

..........................................................................................................................298Figura 7.24 Fissuras desenvolvidas nas faces do bloco no momento da runa .....299

Figura 7.25 Plano de ruptura (fissuras vermelhas) desenvolvido para o bloco B1-A

..........................................................................................................................300

Figura 7.26 Evoluo das fissuras ao longo dos vrios passos de carga...............300

Figura 7.27 Tenses nas armaduras na direo x para a carga de runa ...............301

Figura 7.28 Tenses na direo x para as armaduras intermedirias do bloco B1-A

..........................................................................................................................302Figura 7.29 Deformaes do concreto na direo x ao longo da altura do bloco

..........................................................................................................................302

Figura 7.30 Modelo de elementos finitos com definio de pilar e estacas.......... 303

Figura 7.31 Panorama de fissurao na runa para a situao em que foram

utilizadas rigidezes equivalentes para o pilar e para as estacas........................306

Figura 7.32 - Tenses principais de compresso com valores superiores a 10 MPa

..........................................................................................................................307

Figura 7.33 - Blocos rgidos sobre trs estacas investigados por Miguel et al. (2000)

..........................................................................................................................313

Figura 7.34 - Caractersticas dos blocos ensaiados por Sam; Iyer (1995) ...............317

Figura 7.35 Panorama de fissurao experimental obtido por Sam; Iyer (1995) para

bloco rgido de fundao com armadura em malha .........................................318

Figura 7.36 Panorama de fissurao experimental obtido por Sam; Iyer (1995) para

bloco rgido de fundao com armadura concentrada sobre as estacas ..........319

Figura 7.37 Relao carga-deflexo para os blocos de Sam; Iyer (1995)............. 321

Figura 7.38 Anlise elstica tridimensional do bloco rgido sobre quatro estacas

ensaiado por Sam; Iyer (1995) ......................................................................... 324

Figura 7.39 Tenses em relao ao eixo x para uma seo situada no eixo de

simetria do bloco de fundao ensaiado por Sam; Iyer (1995)........................ 324

Figura 7.40 Deslocamentos em funo do carregamento aplicado para o Caso A

..........................................................................................................................326

Figura 7.41 Localizao das primeiras fissuras para o Caso A ........................328


21/441

xiii

Figura 7.42 Evoluo das fissuras para a base do bloco de fundao Caso A

.......................................................................................................................... 329

Figura 7.43 Evoluo das fissuras para o topo do bloco de fundao Caso A.......................................................................................................................... 330

Figura 7.44 - Tenso nas armaduras para a carga de runa do bloco flexvel .......... 331

Figura 7.45 Tenses na direo x para armadura no eixo de simetria do bloco ... 331

Figura 7.46 - Tenses na direo x para armadura situada no centro da estaca ...... 332

Figura 7.47 - Deformaes no concreto para seo vertical .................................... 333

Figura 7.48 Respostas obtidas para diversas combinaes investigadas .............. 335

Figura 7.49 Localizao das primeiras fissuras para o Caso B ......................... 336Figura 7.50 Evoluo das fissuras para a base do bloco de fundao Caso B

.......................................................................................................................... 337

Figura 7.51 Evoluo das fissuras para o topo do bloco de fundao Caso B

.......................................................................................................................... 338

Figura 7.52 Tenses desenvolvidas nas armaduras na situao de runa do Caso

B ..................................................................................................................... 339

Figura 7.53 Deformaes na direo x da barra 1 (extrema) do Caso B........... 340

Figura 7.54 Deformaes na direo x da barra 2 (intermediria) do Caso B .. 340

Figura 7.55 Deformaes na direo x da barra 3 (intermediria) do Caso B .. 341

Figura 7.56 Deformaes na direo x da barra 4 (extrema) do Caso B........... 341

Figura 7.57 Deformaes na direo x para o concreto ao longo da seo

transversal do Caso B para vrios passos de carga....................................... 342

Figura 7.58 Fissuras iniciais para o Caso B remodelado geometricamente ...... 346

Figura 7.59 Fissuras na runa para o Caso B remodelado geometricamente..... 347

Figura 7.60 Deformaes na direo x da barra 1 (extrema) do Caso B

remodelado geometricamente .......................................................................... 347

Figura 7.61 Deformaes na direo x da barra 2 (intermediria) do Caso B







22/441

xiv

Figura 7.64 Geometria e configurao das fissuras provocadas por puno ........352


23/441


24/441

xvi

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ASCE American Society of Civil EngineersAASTHO American Association of State Higway and Transportation Officials

ACI American Concrete Institute

ADINA Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analyses

CAST Computer Aided Strut and Tie

CEB Comite Euro-Internacional du Beton

CSA Canadian Standards Association

DIANA - Displacement Method Analyser

DIN Deutsches Institut fr Normung

EHE Intruccin de Hormign Estructural

EUROCODE European Code

FEUP Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

FIB International Federation for Structural Concrete

IABSE International Association for Bridge and Structural Engineering

LABEST Laboratrio de Estruturas da Universidade do Porto

LVDT Transdutor Diferencial de Deslocamentos

MCP Modelo Corda-Painel

MB Mtodo das Bielas

MEF Mtodo dos Elementos Finitos

MET Modelo de Escoras e Tirantes

NASTRAN National Aeronautics and Space Administration Structural Analysis

NBR Norma Brasileira

NL-STM Non-Linear Strut-And-Tie Model

NS Norwegian Standard

SPANCAD Stringer Panel Computer Aided Design


25/441

xvii

LISTA DE SMBOLOS

Alfabeto Latino

A rea da seo transversal;

a Largura das escoras, vo de cisalhamento, distncia mnima entre a face do pilar

e o eixo da estaca, dimenso de pilar, distncia entre a seo de referncia o centro

da estaca mais afastada;

As Armadura superior em bloco de fundao;

Ac Seo transversal de concreto;

Ae rea de elemento finito bidimensional;An rea de uma face de uma regio nodal ou seo atravs da regio nodal;

Ap rea de um painel;

As rea da seo transversal de ao;

As,cal Armadura calculada;

As,distribuio Armadura de distribuio;

As,ef Armadura disponibilizada;

As,malha Armadura em malha;

As,min Armadura mnima;

As,pele Armadura de pele;

Asl rmadura longitudinal em bloco de fundao;

Asx, Asy Armaduras necessrias por unidade de largura nas direes x e y;

b largura de viga ou pilar;

B Largura do bloco;

c Cobrimento das armaduras, coeso, distncia entre a face do pilar e o eixo da

estaca mais afastada;

C Fora atuante em escoras, matriz de flexibilidade;

d Altura til de vigas e blocos;

D Dimetro das estacas;

d- Cobrimento de armadura;

dmax Dimetro mximo do agregado;

do Embutimento das estacas;

e Elemento finito, espaamento entre eixos de estacas;


26/441

xviii

E Mdulo de elasticidade longitudinal;

F Foras atuantes;

fc Resistncia caracterstica compresso (ACI, CSA) do concreto;

fbd Resistncia de aderncia de clculo de armadura passiva;

fc Resistncia compresso;

fck - Resistncia caracterstica compresso do concreto;

fck Resistncia compresso do concreto em valor de clculo;

fcm Resistncia mdia compresso do concreto;

fctd Resistncia de clculo do concreto trao;

fctk,inf Resistncia a trao caracterstica inferior do concreto;fctm Resistncia mdia trao do concreto;

fcu Resistncia efetiva compresso do concreto em uma escora ou regio nodal;

fe Tenso efetiva no concreto comprimido;

Fnn Resistncia nominal da face de uma regio nodal;

Fns Resistncia nominal de uma escora;

fsx , fsy - Tenso na armadura nas direes x e y;

ftd Resistncia a trao do concreto em valor de clculo;

Fu Fora normal majorada atuante em uma escora, tirante, apoio ou regio nodal;

fy Resistncia ao escoamento do ao;

fyd Resistncia ao escoamento do ao em valor de clculo;

fyk Resistncia ao escoamento do ao em valor caracterstico;

fym Resistncia mdia ao escoamento do ao;

G Carregamentos acidentais, mdulo de elasticidade transversal;

Gc Energia de fraturamento do concreto na compresso;

Gf Energia de fraturamento do concreto na trao;

gf Energia de fraturamento por elemento da malha;

GFO Energia de fraturamento relacionada ao tamanho mximo do agregado;

GfRC Energia de fraturamento para concreto armado;

h Altura da seo transversal, comprimento equivalente, espessura de chapa;

H Altura do bloco de fundao;

I Momento de inrcia da seo transversal;

k Constante;


27/441

xix

K - Matriz de rigidez da estrutura aps descritas as condies de contorno;

K - Matriz de rigidez do sistema;

K(e)

Matriz de rigidez de um elemento;L Comprimento de bloco de fundao;

l Vo, comprimento;

la Comprimento disponvel para a ancoragem das armaduras (ACI);

lb Largura de um apoio (ACI), comprimento de ancoragem das armaduras;

lb,min Comprimento de mnimo ancoragem;

lo Comprimento de perturbao;

ls Distncia mdia entre fissuras;M Momento fletor;

Md Momento fletor de clculo;

Mx, My, Mxy Esforos associados flexo de uma placa;

N Esforo normal;

n Nmero de camadas de barras, nmero de estacas;

Nc Esforo de compresso no concreto;

Nest Nmero de estacas necessrias;

Nsx, Nsy Esforos absorvidos por armaduras;

Nx, Ny, Nxy Esforos de membrana;

P Carga atuante em pilar;

P(e) Vetor de cargas de um elemento;

Padm Carga admissvel em estacas;

Pk Carga caracterstica;

Pu Carga ltima;

Q Carregamentos permanentes;

r Raio de dobramento da armadura;

Rst Ao atuante em um tirante de ao;

s Espaamento entre armaduras;

T Esforo toror, fora atuante nos tirantes;

t Espessura de um painel;

V Esforo cortante;


28/441

xx

Vc Parcela da fora cortante resistida por mecanismos complementares ao modelo

em trelia;

VRd3 Fora cortante resistente de clculo, relativa runa por trao diagonal;VSd Fora cortante solicitante de clculo;

Vsw Parcela da fora cortante resistida pela armadura transversal;

wt Espessura efetiva de um tirante;

x23 Altura da linha neutra no limite do Domnio 2;

x34 Altura da linha neutra no limite do Domnio 3;

xlimite Valor limite para a altura da linha neutra;

y - Deslocamento vertical relacionado equao da linha elstica;z Brao de alavanca interno;

Z Varivel de otimizao correspondente ao volume de armaduras;

Alfabeto Grego

- ngulo entre os eixos x e y na direo das tenses principais;

h - Fator de modificao para o clculo do comprimento equivalente;v Coeficiente dependente da resistncia caracterstica compresso do concreto;

- Fator de reteno ao cisalhamento;

n Fator que leva em conta o efeito da ancoragem dos tirantes na efetiva resistncia

compresso de uma regio nodal;

s Fator que leva em conta o efeito da fissurao e da armadura de confinamento na

efetiva resistncia compresso de uma escora;

- Deslocamentos; - Deformaes;

- ngulo de atrito interno, fator de reduo de resistncia (ACI, CSA);

- Vetor dos deslocamentos aps descritas as condies de contorno;

- Vetor dos deslocamentos;

s Dimetro de armadura;

c ,s Coeficientes de ponderao do concreto e do ao respectivamente;

i ngulo existente entre o eixo de uma escora e as barras que a cruzam;


29/441

xxi

m Coeficiente de ponderao da resistncia do material;

- Coeficientes para clculo da tenso de aderncia da armadura passiva;

Fator de correo relacionado ao peso especfico do concreto (ACI);

c Fator de carga ltimo esperado;

u Fator de carga ltimo obtido;

- Coeficiente de Poisson, fator de eficincia do concreto;

- ngulo de inclinao de escoras;

- Taxa mecnica de armadura;

- Tenso;

c Tenso de compresso;

c - Tenso principal de compresso no concreto;

t Tenso de trao;

t - Tenso principal de trao no concreto;

xx , yy Tenses normais nas direes x e y;

xy Tenso de cisalhamento em relao aos eixos x e y;


30/441


31/441

2

Normas internacionais como o CEB (1993), o ACI (2002), o EUROCODE (1992), a

CSA (1984, 1994), a EHE (1999), a NS (1992) e a AASTHO (1994, 1998)

recomendam a utilizao de tais mtodos, fornecendo inclusive, uma srie de parmetros para a utilizao adequada de tais modelos. No entanto, apesar desse

recente esforo dos cdigos normativos, ainda observa-se uma grande lacuna em

vrios pontos chaves de aplicabilidade dos processos mencionados.

A NBR 6118 (2003) tambm recomenda a utilizao de tais mtodos para estruturas

especiais, no entanto, ainda no fornece um mnimo de subsdios para o

desenvolvimento de projetos estruturais utilizando tais processos. Tendo em vistaque a incluso desses assuntos nos cdigos normativos ainda bastante recente,

acredita-se que futuramente a norma brasileira deva contemplar informaes mais

aprofundadas a respeito dos assuntos a serem aqui abordados.

A falta de difuso desses assuntos, bem como, a falta de consenso nas normas

especializadas, acabam de certa maneira desmotivando os profissionais da rea na

utilizao dos processos citados anteriormente. Dessa maneira, ainda bastante

freqente encontrar-se no meio prtico solues simplificadas, muitas vezes

inseguras, baseadas em critrios empricos utilizados sem maiores problemas no

passado.

Uma alternativa que tem sido observada com freqncia a da soluo baseada em

critrios de simplificao estrutural. Sem dvida essa alternativa de grande

utilidade e sempre deve ser estudada como uma primeira soluo para casos

complexos de dimensionamento. Essa soluo efetuada quando o engenheiro de

estruturas cria uma concepo estrutural alternativa, que dribla o problema a ser

efetivamente resolvido.

No entanto, levanta-se a seguinte questo: Quais alternativas adotar quando os

processos correntes de dimensionamento no so vlidos e uma soluo atravs do

caminho da simplificao no mais possvel? Foi procurando respostas a essa

pergunta que se moldou o escopo do presente trabalho.


32/441

3

Adicionalmente, levando-se em considerao a boa experincia adquirida em

programa de mestrado com a utilizao de recursos de anlise no-linear, procurou-

se dar continuidade a esta linha de pesquisa, aplicando tais recursos para a anlise edimensionamento de elementos especiais de concreto estrutural, com nfase para o

concreto armado.

Dessa maneira, os objetivos deste trabalho concentram-se na investigao dos

mtodos supracitados, de maneira a estabelecer recomendaes prticas para o

desenvolvimento racional de projetos estruturais complexos. De maneira geral, esta

tese tem como principais objetivos os seguintes tpicos, abaixo relacionados:

Contribuio em futuras revises da NBR 6118 (2003), visando incluirconhecimentos mais aprofundados e especficos a respeito da utilizao do

Mtodo dos Elementos Finitos e do Mtodo das Bielas em projetos estruturais

(no Apndice B apresenta-se uma proposta formal de prtica recomendada);

Contribuio na difuso de metodologias de dimensionamento sistemticas paraelementos especiais, possibilitando ao engenheiro de estruturas mais segurana e

maior clareza na resoluo de problemas complexos que envolvam o concreto

estrutural. Vrios problemas prticos so analisados tomando partido das

metodologias investigadas;

Propostas de parmetros de resistncia efetiva para as escoras e para as regiesnodais (Mtodo das Bielas) em casos bidimensionais e tridimensionais, ajustados

de acordo com o controle de qualidade do concreto recomendado pela NBR 6118

(2003). As propostas so elaboradas a partir de dados existentes na literatura,

bem como, por meio de observaes experimentais e numricas;

Aplicao do programa SPANCAD para a anlise e dimensionamento utilizandoo Mtodo Corda-Painel e aplicao do programa CASTpara aplicao do Mtodo

das Bielas. Os programas so testados buscando-se avaliar criticamente o seu

desempenho e a sua confiabilidade em problemas complexos;


33/441

4

Aplicao dos programas comerciais ADINA e DIANA, utilizando recursos deanlise linear e no-linear, de maneira a verificar os casos de vigas-parede e

blocos de fundao. Esses programas so utilizados para o desenvolvimento deModelos de Escoras e Tirantes, bem como, para a avaliao crtica do

desempenho da anlise no-linear como processo de verificao estrutural;

Propostas de modelos simplificados, seguros e econmicos para blocos defundao sobre estacas, a partir do melhoramento das equaes bsicas

encontradas na literatura e a partir de ensaios computacionais efetuados

utilizando anlises no-lineares tridimensionais;

Nos casos de dimensionamento e aplicao da anlise no-linear, procurou-se apenas

investigar os casos das vigas-parede e dos blocos de fundao sobre estacas, tendo

em vista que estes elementos so efetivamente os casos de estruturas especiais mais

encontrados no meio prtico.

Deve-se observar que o presente trabalho sempre foi conduzido no sentido de seavaliar a aplicabilidade prtica dos recursos investigados nos escritrios de clculo

estrutural. Acredita-se que tal diretriz venha a possibilitar uma ligao slida e

amigvel entre o meio cientfico e o meio prtico, favorecendo a conduo de

projetos mais seguros e econmicos.

De maneira simplificada, o presente trabalho encontra-se organizado da seguinte

maneira: o Captulo 2 apresenta de maneira superficial as alternativas de

dimensionamento do concreto estrutural, enquanto que os Captulos 3, 4 e 5

procuram fazer um aprofundamento em relao aos mtodos disponveis.

O Captulo 6 procura se aprofundar na aplicao do Mtodo das Bielas para casos

bidimensionais enquanto o Captulo 7 apresenta uma abordagem do mtodo para

casos tridimensionais. O Captulo 8 apresenta as concluses do presente trabalho e o

APNDICE B apresenta uma proposta formal de prtica recomendada que reflete os

avanos obtidos com o presente trabalho.


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5

CAPTULO 2 ALTERNATIVAS PARA O DIMENSIONAMENTO DE

ELEMENTOS ESPECIAIS DE CONCRETO

2.1 Introduo

Antes de dar incio a descrio das alternativas disponveis atualmente para o

dimensionamento de elementos especiais de concreto, necessrio previamente

entender o significado do termo descontinuidade. Tal definio resultado da

diviso de uma estrutura em Regies B e Regies D, conforme visto a seguir.

A Hiptese de Bernoulli estabelece que: sees planas perpendiculares ao eixo

neutro de uma barra, permanecem planas depois da ocorrncia da flexo nessa

barra. Esta hiptese decorrncia de uma simples intuio a respeito do

comportamento de um certo elemento estrutural e no baseada em nenhuma

formulao matemtica.

No entanto, de acordo com Ali (1997), ensaios experimentais tm demostrado que a

Hiptese de Bernoulli pode ser aplicada satisfatoriamente para vigas elaboradas de

qualquer espcie de material, especialmente quando o comprimento da viga muito

maior do que a altura da seo transversal.

A Hiptese de Bernoulli facilita muito o dimensionamento de elementos de

concreto armado, pois possvel assumir que a distribuio de deformaes ao longo

da altura da seo transversal do elemento mantida linear, desde o incio do

carregamento at a runa, conforme ilustra a Figura 2.1.

Dessa maneira, a determinao das tenses e deformaes no ao e no concreto so

imediatas, bastando para isso conhecer as relaes constitutivas de ambos os

materiais.


35/441

6

b

h

c

s

Linha Neutra

Figura 2.1 Distribuio linear de deformaes em viga de concreto armado

Na Hiptese de Bernoulli, costuma-se desprezar as deformaes de distoro

provocadas pela fora cortante, o que facilita a soluo da equao diferencial da

linha elstica, definida na equao (2.1):

+=

GA

Vk

dx

d

EI

M

dx

yd2

2

(2.1)

Em que:

y deslocamento vertical;

M momento fletor;

EI rigidez flexo;

GA rigidez ao cisalhamento;

V fora cortante;

k constante.

As solues obtidas sob esta hiptese permitem um dimensionamento funcional e

seguro para as estruturas em que as deformaes devido fora cortante so

desprezveis.

Porm, essa hiptese simplificadora no pode ser estendida para todos os tipos de

elementos estruturais, ou mais especificamente, para todas as regies de um elemento

estrutural, conforme se conclui ao estudar o Princpio de Saint Venant .


36/441

7

O Princpio de Saint Venant estabelece que: se existirem dois sistemas

estaticamente equivalentes de foras sendo aplicados na mesma regio de um

contorno, em corpos diferentes mas geometricamente idnticos, as diferenas

ocorridas nas tenses sero desprezveis em regies suficientemente afastadas da

rea de aplicao das cargas. No entanto, imediatamente abaixo do ponto de

aplicao das cargas, surgiro diferenas significativas de tenso.

Grandes perturbaes de tenso so esperadas nos pontos de aplicao dos

carregamentos, principalmente se a carga for pontual. Por isso, apenas para regies

suficientemente afastadas dos apoios e dos pontos de aplicao de cargasconcentradas, pode-se assumir que a Hiptese de Bernoulli seja vlida, isto , que

a distribuio de deformaes ao longo do elemento estrutural seja linear.

Em pontos de aplicao de cargas concentradas, pode-se demonstrar com o recurso

de mtodos numricos que a regio imediatamente abaixo do ponto de aplicao do

carregamento extremamente perturbada e que existe uma grande variao nos

valores das tenses, impedindo assim a adoo de deformaes bem comportadas,

conforme pressupe a Hiptese de Bernoulli.

Nessa regies de perturbao, as deformaes provocadas pela fora cortante

apresentam valores significativos, obrigando a sua considerao no dimensionamento

do elemento estrutural. Portanto, para estas regies deixa de ser vlida a Hiptese de

Bernoulli e a aplicao dos mtodos convencionais de anlise e dimensionamento

de estruturas pode conduzir a solues inseguras.

O Princpio de Saint Venant pode ser ainda estendido para regies com geometrias

irregulares, que tambm acabam provocando uma quebra na linearidade das

deformaes ao longo da altura do elemento estrutural. Desta maneira, costuma-se

classificar as causas de perturbao nas classes de ordem esttica (causada pela

presena de cargas) e geomtrica (causada por mudanas bruscas na geometria).


37/441

8

De acordo com Schfer; Schlaich (1988, 1991), pode-se dividir uma estrutura em

regies contnuas e descontnuas, seguindo a Hiptese de Bernoulli e o Princpio

de Saint Venant. Assim, o entendimento de qualquer processo moderno de

dimensionamento do concreto estrutural inicia-se a partir da seguinte diviso:

Regies B (Bernoulli ou Beam): so regies contnuas onde a Hiptese deBernoulli aplicvel, isto , regies onde pode-se assumir que a distribuio de

deformaes ao longo da seo transversal seja linear;

Regies D (Disturbed ou Descontinuity): so as regies descontnuas ondea Hiptese de Bernoulli no vlida, isto , regies onde a distribuio de

deformaes ao longo da seo transversal no-linear.

Sugestes aproximadas para a caracterizao das dimenses das Regies B e D,

podem ser encontradas para uma srie de elementos estruturais no relevante trabalho

de Schfer; Schlaich (1988, 1991). Em geral, o comprimento de cada Regio D

aproximadamente igual altura do elemento estrutural, conforme ilustra a Figura 2.2.

Regies D

h

h

Regies B

h h h

h

h

h

h

h

F

F

FF

Figura 2.2 - Exemplo de estrutura subdividida em Regies B e D

(Adaptado de Fu (2001))


38/441

9

Observa-se assim que, de acordo com o Princpio de Saint-Venant, existe uma

regio definida por dimenses da mesma ordem de grandeza da altura da seo

transversal do elemento carregado, na qual se processa a regularizao das tenses.

Em alguns casos a estrutura pode ser considerada no todo como uma Regio D,

sendo ento chamada de zona de descontinuidade generalizada, conforme ilustram

alguns exemplos da Figura 2.3. Essa uma situao tpica de blocos rgidos sobre

estacas, vigas-parede e consolos curtos.

Figura 2.3 Exemplos de Regies D e seus contornos

(Fonte: ACI-318 (2002))

Observa-se, desta maneira, que vigas esbeltas normalmente possuem algumas

Regies D em sua constituio, tais como as regies dos apoios e os pontos de

introduo das cargas concentradas. No entanto, estas regies normalmente no

possuem uma ateno especial no dimensionamento.

De acordo com o ACI-318 (2002), se existe uma Regio B entre Regies D em

um vo de cisalhamento, a resistncia deste vo ser governada pela existncia da

Regio B, se esta possuir condies de geometria e armao semelhantes s

regies com descontinuidade. Isto ocorre porque a resistncia ao cisalhamento de

uma Regio B normalmente muito menor do que a resistncia ao cisalhamento de

uma Regio D equiparvel


39/441

10

No mbito deste trabalho, consideram-se elementos com descontinuidade as

regies de uma estrutura - ou em alguns casos a prpria estrutura como um todo -

que podem ser classificadas como Regies D. Conforme visto, a anlise e

dimensionamento estrutural dessas regies deve ser feito recorrendo a modelos que

levem em conta, mesmo que indiretamente, as deformaes por fora cortante.

Na seqncia, so apresentados os mtodos disponveis atualmente para a anlise e

dimensionamento das Regies D. De maneira geral, costuma-se recorrer aos

mtodos baseados na anlise plstica (Mtodo das Bielas) e aos mtodos numricos

de anlise linear e no-linear (Mtodo dos Elementos Finitos e Mtodo Corda-Painel).

2.2 Alternativas de Dimensionamento

De acordo com Figueiras (1999), o procedimento para a anlise e dimensionamento

das estruturas de concreto, que reconhecido pelas mais diversas regulamentaes e

que faz parte da prtica profissional, pode ser descrito resumidamente nos seguintes

passos:

a) estimativa das dimenses iniciais de todos os elementos estruturais, com base em

regras simplificadas e na experincia acumulada durante anos de prtica profissional.

As dimenses adotadas devem satisfazer s condies arquitetnicas e de execuo,

e assegurar a condio dos estados limites definidos em normas especficas;

b) determinao dos esforos internos associados aos diferentes casos de

carregamento e respectivas combinaes, com base numa anlise elstica linear da

estrutura;

c) dimensionamento das sees transversais, isto , verificao das dimenses

iniciais e quantificao das armaduras para resistir aos esforos internos calculados,

adotando-se leis constitutivas no-lineares para o ao e para o concreto, objetivando-

se determinar a capacidade ltima das sees;


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No entanto, para as Regies D a fora cortante quem comanda o

dimensionamento e os mtodos de clculos correntes so pouco eficientes,

conduzindo a dimensionamentos inseguros. Estruturas como consolos, dentes

Gerber, vigas-parede e blocos rgidos de fundao sobre estacas so exemplos tpicos

de estruturas em que a fora cortante preponderante.

As Regies B, onde a Hiptese de Bernoulli aplicvel, so atualmente

projetadas com uma boa preciso e segurana, sendo que toda a formulao existente

bem difundida e dominada pelo meio profissional. No entanto, os detalhes mais

complexos de uma estrutura, como as Regies D, geralmente so dimensionadoslevando em considerao experincias prticas utilizadas sem maiores problemas no

passado.

Estes detalhes, contudo, tambm tm importncia significativa no comportamento e

na segurana das estruturas e, por isso, tambm devem ser analisados de uma

maneira que leve em considerao modelos fsicos realistas. As deformaes

provocadas pela fora cortante devem ser avaliadas de maneira adequada e modelos

baseados na anlise plstica parecem fornecer, at o presente momento, a melhor

soluo para o dimensionamento dessas regies.

Ultimamente, devido a grande capacidade de processamento dos

microcomputadores, a utilizao de recursos de anlise linear e no-linear tem se

tornado cada vez mais acessvel, possibilitando dessa maneira, anlises mais realistas

dos elementos especiais. Infelizmente, essas ferramentas necessitam de grande

experincia acumulada por parte do usurio e, por isso talvez, ainda encontram-se

pouco difundidas nos escritrios de clculo estrutural.

Com esta evidente evoluo da tecnologia no meio computacional, vrios mtodos

para o dimensionamento de elementos especiais de concreto tm ganhado prestgio,

principalmente no meio cientfico. Entre estes mtodos se destacam o Mtodo dos

Elementos Finitos (MEF) e o Mtodo das Bielas (MB).


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O MEF, concebido na dcada de 50, tem sido utilizado com grande sucesso na

indstria aeronutica e mecnica, em projetos envolvendo materiais metlicos. No

entanto, tem sido pouco utilizado para a resoluo de problemas que envolvam o

concreto estrutural. Conforme muito bem observou Loureno (1992), o projetista de

estruturas encontra-se em uma situao paradoxal, que justifica o uso limitado desse

ferramental disponvel.

De um lado, tem-se o meio cientfico produzindo novos programas de elementos

finitos, dotados de poderosos ps-processadores e avanados modelos constitutivos.

Contudo, apesar de toda essa tecnologia, observa-se que tais programas esto muitodistantes do usurio convencional, tendo em vista o grande nmero de parmetros

envolvidos e a experincia mnima normalmente exigida.

Do outro lado tem-se o mercado, normalmente solicitando resultados a curto prazo

acompanhados de solues estruturais fiveis e viveis economicamente. Esse

processo corriqueiro normalmente acaba impossibilitando uma anlise mais

cuidadosa por parte do calculista, impedindo-o de utilizar recursos sofisticados de

clculo.

Adicionalmente, existem poucas recomendaes quanto ao MEF nos cdigos

vigentes de concreto estrutural, o que gera uma certa insegurana nos projetistas de

estruturas. Alm disso, para o estgio atual do conhecimento, uma abordagem

estrutural real utilizando o MEF requer o levantamento de um nmero substancial de

parmetros, uma anlise cuidadosa das condies de contorno e uma anlise ainda

mais cuidadosa dos resultados obtidos.

Os fatores anteriores, aliados aos custos reduzidos impostos pelo mercado,

desmotivam o projetista de estruturas na utilizao de recursos sofisticados de anlise

estrutural. Dessa maneira, procura-se muitas vezes obter uma soluo simplificada,

por meio da inovao do que por intermdio de uma resoluo propriamente dita. O

engenheiro forado a utilizar a sua experincia adquirida e transpor o problema

atravs de uma soluo alternativa, que pode ser muitas vezes insegura.


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Deixando de lado a problemtica abordada anteriormente, pode-se dizer que com a

utilizao do MEF possvel entender perfeitamente o fluxo de tenses atravs do

elemento estrutural em anlise, bem como, pode-se prever armaduras resistentes para

um perfeito funcionamento do elemento estrutural.

Alm disso, o MEF possibilita fazer simulaes de desempenho da estrutura

dimensionada, fornecendo resultados para uma concluso mais efetiva do elemento

estrutural projetado em relao aos estados limites.

O Mtodo das Bielas tem como idia principal a substituio da estrutura real poruma estrutura resistente na forma de trelia, chamada de Modelo de Escoras e

Tirantes (MET), que acaba por simplificar de maneira sistemtica o problema

original, conforme ilustram os exemplos da Figura 2.4.

Figura 2.4 Exemplos de Modelos de Escoras e Tirantes

(Fonte: Tjhin; Kuchma (2002))

O mtodo se constitui em uma generalizao da Analogia de Trelia, proposta por

Rsch e Mrsch no incio do sculo XX para o dimensionamento de armaduras

transversais em vigas de concreto armado. Tal analogia sem dvida, uma das idias

mais fabulosas criadas no campo de concreto estrutural, e at hoje serve de base parao dimensionamento de vigas submetidas ao momento toror e a fora cortante.


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Atualmente vrios elementos estruturais especiais, tais como consolos, dentes gerber,

vigas com aberturas na alma e blocos de fundao sobre estacas so rapidamente

dimensionados utilizando o Mtodo das Bielas. Particularmente, observa-se grande

aplicabilidade do mtodo nas estruturas de concreto pr-moldado, conforme

demonstram os exemplos de El Debs (2000).

O Mtodo das Bielas tambm pode ser aplicado s estruturas de concreto protendido,

sendo que as regies submetidas a perturbaes de tenso, introduzidas pelo ato da

protenso, so facilmente resolvidas pela adoo de um Modelo de Escoras e

Tirantes.

O mtodo tambm tem sido utilizado com sucesso nas tarefas de recuperao

estrutural e na determinao da capacidade resistente de elementos estruturais

submetidos a processos avanados de deteriorao. Kesner; Poston (2000)

apresentam vrios casos reais onde o mtodo utilizado para a determinao da

capacidade portante de estruturas danificadas e para o desenvolvimento de

estratgias visando a recuperao estrutural.

O mtodo se constitui em uma excelente alternativa para se definir, por exemplo, os

melhores pontos de introduo de foras adicionais estrutura, de maneira a limitar

as aberturas de fissuras j existentes e as altas tenses em certas armaduras. Este o

caso, por exemplo, da aplicao da protenso externa, que visa recuperar elementos

estruturais cuja capacidade resistente encontra-se seriamente comprometida.

Vrias normas correntes recomendam a utilizao do MEF e do MB, no entanto,

poucas fornecem informaes relevantes que servem de auxlio ao projetista de

estruturas em projetos mais complexos. Adicionalmente, existe o problema da falta

de divulgao desses assuntos em revistas mais acessveis e a existncia de algumas

controvrsias em relao aos parmetros de resistncia a serem adotados para as

escoras e para as regies nodais.


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Para alguns tipos de estruturas especiais, como so os casos dos consolos, vigas-

parede e blocos de fundao, j existem alguns modelos otimizados recomendados

por vrios cdigos normativos. No entanto, a validade destes modelos est limitada a

exigncia de manuteno de algumas relaes geomtricas do elemento estrutural.

Deve-se observar que estes modelos padronizados, na maioria das vezes foram

obtidos de extensivos ensaios laboratoriais e de investigaes computacionais

utilizando o MEF e o MB e, sem dvida, prefervel a utilizao destes em relao

s anlises mais sofisticadas, principalmente pela agilidade, simplicidade e rapidez

com que so obtidos os resultados de armao.

Para elementos estruturais que possuem comportamento do tipo parede, uma boa

alternativa de anlise tem sido obtida atravs da utilizao do Mtodo Corda-Painel

(MCP). Esta aproximao leva em conta as condies de equilbrio e de

compatibilidade e tem a grande vantagem de ser um mtodo sistemtico.

Infelizmente, tem-se observado que esse mtodo alm de ser limitado a uma classe

especfica de problemas conduz a altas taxas de armadura.

A seguir procurar-se- apresentar as principais caractersticas, vantagens e

desvantagens, dos principais mtodos disponveis atualmente para a resoluo de

problemas complexos em concreto estrutural. So apresentados exemplos de

dimensionamento utilizando tais mtodos, bem como, os procedimentos bsicos

necessrios para a efetiva utilizao destes processos.


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CAPTULO 3 - MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)

3.1 Histrico

Apesar do nome do mtodo ser bastante recente, seu conceito j vinha sendo

utilizado h vrios sculos. Sabe-se, por exemplo, que matemticos da antigidade

encontravam a circunferncia de um crculo atravs da aproximao matemtica do

permetro de um polgono inscrito ou circunscrito a esse crculo.

O polgono inscrito fornece um limite inferior, enquanto que o polgono circunscrito

fornece um limite superior para a circunferncia real do crculo. Assim, conforme o

nmero de lados do polgono aumenta, os valores aproximados tendem a convergir

para a resposta real da circunferncia. Em termos da linguagem atual, cada lado do

polgono poderia ser definido como um elemento finito.

De acordo com Rao (1999), as idias bsicas do Mtodo dos Elementos Finitos,como so conhecidas atualmente, foram apresentadas nos trabalhos clssicos de

Turner et al. (1956) e de Argyris; Kelsey (1955), sendo que o nome do mtodo viria

a ser citado pela primeira vez no trabalho de Clough (1960).

No trabalho de Turner et al. (1956), considerado um dos trabalhos mais relevantes

para o desenvolvimento do Mtodo dos Elementos Finitos, so apresentadas

aplicaes de elementos finitos simples, tais como elementos de barra e de elementostriangulares, utilizados para a anlise da estrutura de avies.

O uso do mtodo, contudo, s se tornaria vivel aps o surgimento dos

computadores, que puderam fornecer respostas rpidas para o grande nmero de

clculos envolvidos. Assim, com o desenvolvimento da velocidade de processamento

dos computadores, o mtodo tambm pde se desenvolver de maneira

impressionante, sendo aplicado atualmente as mais diversas reas do conhecimento.


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De maneira muito simplificada, o Mtodo dos Elementos Finitos pode ser definido

como um mtodo de anlise em que o problema fsico descrito de forma diferencial

e onde as equaes desenvolvidas so resolvidas numericamente.

3.2 Fundamentos Bsicos do MEF

De acordo com Rao (1999), a idia bsica do Mtodo dos Elementos Finitos

encontrar a soluo de um problema complicado atravs da substituio do problema

inicial por vrios outros problemas de simples resoluo. evidente que a soluo

obtida no exata, mas na falta de um recurso mais poderoso para a anlise do

problema o mtodo passa a ser um procedimento bastante eficaz.

Inicialmente, o problema inicial discretizado em vrios elementos de dimenso

bastante reduzida, denominados de elementos finitos. Os elementos finitos so

interconectados atravs dos ns, que so pontos onde uma soluo aproximada pode

ser adotada e onde equaes de equilbrio podem ser estabelecidas.

Uma vez que os valores dos campos desejados (deslocamentos e tenses) no so

conhecidos no interior do meio contnuo, assume-se que a variao destes campos

variveis dentro dos elementos finitos possa ser aproximada por funes simples,

chamadas de funes de interpolao, que so definidas em termos dos valores dos

campos variveis nos ns.

Quando as equaes de equilbrio para o meio contnuo so definidas e resolvidas,

normalmente atravs de equaes matriciais, os valores nodais dos campos variveis

passam a ser conhecidos. As funes de interpolao so ento utilizadas para

descrever o comportamento de todos os ns da estrutura, obtendo assim uma soluo

aproximada para o meio contnuo.

De acordo com Rao (1999), a soluo geral de um problema esttico da rea de

engenharia de estruturas, utilizando o Mtodo dos Elementos Finitos pode ser obtidaatravs dos seguintes passos:


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Passo 1 Discretizao da estrutura:

O primeiro passo no MEF dividir a estrutura em vrios elementos, sendo que nestaetapa deve-se decidir sobre o nmero, o tipo, o tamanho e o arranjo de cada um dos

elementos. Os elementos disponveis para a discretizao do meio contnuo podem

ser unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais. Os elementos normalmente

utilizados para concreto so do tipo iso-paramtricos, isto , com trs ns ao longo

dos vrios eixos do elemento, conforme ilustra a Figura 3.1.

Figura 3.1 - Elementos iso-paramtricos utilizados para concreto

(Fonte: Kotsovos; Pavlovic (1995))

O tamanho dos elementos tem influncia significativa na convergncia da soluo e,

por isso, deve ser escolhido com bastante cuidado. De maneira geral, recomenda-se

para elementos bidimensionais e tridimensionais uma razo unitria entre a maior e a

menor dimenso do elemento.

Deve-se observar que se o tamanho dos elementos pequeno, a soluo esperada

tende a ser mais precisa. No entanto, deve-se atentar para o fato de que o uso deste

tipo de elemento pode gerar trabalhos computacionais significativos, devido ao

grande nmero de elementos necessrios para descrever o contorno.

O nmero de elementos a ser escolhido geralmente est relacionado com a preciso

desejada. Um acrscimo no nmero de elementos normalmente conduz a uma

melhoria na soluo do problema, no entanto, existe um certo limite para o qual a

resposta no pode ser mais melhorada.


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Onde:

[K] = Matriz de rigidez da estrutura; = Vetor dos deslocamentos atuantes na estrutura;

P = Vetor das foras nodais atuantes na estrutura.

Passo 5 Soluo dos deslocamentos desconhecidos:

As equaes de equilbrio devem ser modificadas para levar em conta as condies

de contorno do problema. Depois da incorporao das condies de contorno asequaes de equilbrio passam a ser expressas de acordo com a equao (3.2):

[K]. = P (3.2)

Para problemas lineares, o vetor pode ser obtido atravs de dois mtodos

disponveis para a resoluo dos sistemas equaes lineares: os mtodos diretos e os

mtodos iterativos.

Os mtodos diretos so aqueles que utilizam um nmero finito de operaes

aritmticas para encontrar a soluo do problema. Devido a erros de truncamento, o

mtodo as vezes no fornece bons resultados. Os mtodos diretos mais utilizados so

o Mtodo de Eliminao Gaussiana e o Mtodo de Cholesky.

Os mtodos iterativos so aqueles que comeam com uma aproximao inicial e aps

sucessivas iteraes convergem para solues cada vez refinadas. So representantes

desta classe o Mtodo de Gauss-Seidel e o Mtodo de Newton.

De acordo com Kotsovos; Pavlovic (1995), em anlises no-lineares o sistema no

pode ser resolvido diretamente e assim, torna-se necessrio o emprego de tcnicas

iterativas baseadas em solues sucessivas de sistemas lineares, at que a

convergncia seja alcanada.


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Os tipos mais freqentes de soluo para sistemas de equaes no-lineares so

obtidos atravs da utilizao do Mtodo Direto (Mdulo Secante ou Rigidez

Varivel) e do Mtodo de Newton-Raphson (Mtodo da Rigidez Tangencial).

O Mtodo Direto tende a ser mais trabalhoso, uma vez que a matriz [K] deve ser

remontada e um novo conjunto de equaes deve ser resolvido a cada iterao. Em

geral, o Mtodo da Rigidez Tangencial converge mais rapidamente e exibe maior

estabilidade que o Mtodo Direto, no entanto, tambm necessrio montar a

matriz [K] a cada nova iterao.

Passo 6 Calculo das tenses e deformaes nos elementos:

A partir dos deslocamentos nodais obtidos do vetor, as deformaes e tenses nos

elementos podem ser calculadas a partir das equaes clssicas da Mecnica dos

Materiais. A apresentao dessa equaes foge do escopo desse trabalho e pode ser

encontrada nos trabalhos de Rao (1999) e Silva (1999).

Para a aproximao utilizando o MEF, que desenvolvida utilizando computadores,

um grande nmero de programas esto disponveis no mercado. Tais programas so

capazes de gerar malhas automaticamente e tambm fornecer resultados grficos

significativos, se comportando como um verdadeiro laboratrio virtual.

Geralmente os programas de elementos finitos so constitudos de um pr-

processador (descrio dos elementos finitos, carregamentos e restries de apoio),

de um processador (resoluo do sistema de equaes) e de um ps-processador

(visualizao dos resultados).

Dentre os programas computacionais baseados no MEF mais procurados no mercado

podem ser citados os seguintes softwares: ADINA, DIANA, NASTRAN,

PASTRAN, ANSYS, ROBOT MILLENIUMe SAP2000, entre tantos outros milhares

de programas existentes.


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Atualmente, tambm pode-se encontrar nos programas baseados no MEF, mdulos

adicionais contendo recursos de Mecnica da Fratura, tais como propagao de

fissuras (discretas e distribudas), e recursos de anlise no-linear, que possibilitamtratar o concreto estrutural de maneira realista. Investigaes utilizando estas

potencialidades de alguns programas foram efetuadas por Souza (2001), Souza;

Sousa (2001) e Souza et al. (2002).

3.3 O Que Dizem os Cdigos Normativos Sobre o MEF?

O CEB-FIP Model Code 1990 (1993), nos seus itens 5.5, 5

Documents

Tese_rafael Concreto Estrutural