Bussab&Morettin Estatística Básica

Capítulo 12 – TESTES DE HIPÓTESES

Problema 01

Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, iremos proceder do seguinte modo: (i) selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a

altura média deles; (ii) se a altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, são

descendentes de A. Os parâmetros das alturas das duas civilizações são: A: µ= 175 e σ = 10; B: µ = 177 e σ = 10. Definimos: Erro de tipo I - dizer que os habitantes da ilha são descendentes de B quando, na

realidade, são de A. Erro de tipo 11- dizer que são de A quando, na realidade, são de B.

(a) Qual a probabilidade do erro de tipo I? E do erro de tipo II? (b) Qual deve ser a regra de decisão se quisermos fixar a probabilidade do erro de tipo I em 5%? Qual a probabilidade do erro de tipo II, nesse caso?

(c) Se σA = 5, como ficariam as respostas de (b) ? (d) Quais as probabilidades do erro de tipo II, nas condições da questão (b), se a média µB = 178 ?

E µB = 180? E µB = 181 ? Coloque num gráfico os pares (µB , P(erro II | µB)).

Solução:

(a)

( )%87,15)1(

1175176

)1;175(~|176A) de são verdadena |B de são queP(dizer I) Erro(

=>=

−

>

=>==

ZPZP

NXXPP

( )%87,15)1(

1177176

)1;177(~|176B) de são verdadena |A de são queP(dizer II) Erro(

=−≤=

−

≤

=≤==

ZPZP

NXXPP

(b)

( )

645,176645,11

175

%51

175%5)1;175(~5I) Erro(

=⇔=−

⇔

⇔=

−>⇔=>⇔=

CC

CC

XX

XZPNX|XXP%P

Regra de decisão: Se 645,176>X , dizer que habitantes da ilha são descendentes de B; caso

contrário, dizer que são descendentes de A.

Cap.12 – Pág.1

Bussab&Morettin Estatística Básica

( )%13,36)355,0(

1177645,176)1;177(~645,176II) Erro(

=−≤=

=

−

≤=≤=

ZP

ZPNX|XPP

(c)

( )

823,175645,15,0175

%55,0175%5)5,0;175(~5I) Erro( 2

=⇔=−

⇔

⇔=

−>⇔=>⇔=

CC

CC

XX

XZPNX|XXP%P

( )%96,11)177,1(

1177823,175)1;177(~645,176II) Erro(

=−≤=

=

−

≤=≤=

ZP

ZPNX|XPP

Bµ

)|II Erro( BµP

178

8,771%

180

0,040%

181

0,001%

(d)

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

177,5 178 178,5 179 179,5 180 180,5 181 181,5

miB

P(er

ro II

| m

iB)

Problema 02

Fazendo o teste Ho:µ = 1.150 (σ=150) contra Hl :µ = 1.200 (σ=200), e n = 100, estabeleceu-se a seguinte região crítica:

RC= [1.170, + ∝),

(a) Qual a probabilidade α de rejeitar Ho quando verdadeira? (b) Qual a probabilidade β de aceitar Ho quando Hl é verdadeira? (c) Qual deve ser a região crítica para que α = β?

Cap.12 – Pág.2

Bussab&Morettin Estatística Básica

Solução:

(a)

( )%12,9)333,1(

1511501170

)15;1150(~|1170a) verdadeirH|Hrejeitar ( 200

=>=

−

>=

=>==

ZPZP

NXXPPα

(b)

( )%68,6)5,1(

2012001170

N(1200;20~X|1170XPa) verdadeiréH|Haceitar ( 2 10

=−<=

−

<=

=<==

ZPZP

Pβ

(c)

( ) ( )

429,1171

201200

151150

201200

151150

)20;1200(~|)15;1150(~| 22

=⇔

⇔−

−=−

⇔

−<=

−>⇔

⇔<=>⇔=

C

CCCC

CC

X

XXXZPXZP

NXXXPNXXXPβα

] [+∞= ;429,1171RC .

Problema 03

Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, Ho, aquela que para você leva a um erro de tipo I mais importante. Descreva quais os dois erros em cada caso. (a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa

estranha na tela, ele deve decidir entre as hipóteses: 1. está começando um ataque; 2. tudo bem, apenas uma leve interferência.

(b) Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são: 1. o acusado é inocente; 2. o acusado é culpado.

(c) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são: 1. a vacina é eficaz; 2. a vacina não é eficaz.

Solução: (a) : Está começando um ataque.

: Está acontecendo uma leve interferência.

0H

1H

Cap.12 – Pág.3

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Erro I: Dizer que está acontecendo uma leve interferência, quando na verdade está começando

um ataque;

Erro II: Dizer que está começando um ataque, quando na verdade está acontecendo uma leve

interferência.

(b) : O acusado é inocente. 0H

: O acusado é culpado. 1H

Erro I: Dizer que o acusado é culpado, quando na verdade é inocente.

Erro II: Dizer que o acusado é inocente, quando na verdade é culpado.

(c) : A vacina não é eficaz. 0H

: A vacina é eficaz. 1H

Erro I: Dizer que a vacina é eficaz, quando na verdade não é eficaz.

Erro II: Dizer que a vacina não é eficaz, quando na verdade é eficaz.

Problema 04

Se, ao lançarmos três vezes uma moeda, aparecerem 3 coroas, decidimos rejeitar a hipótese de que a moeda é "honesta". Quais as probabilidades de erro de tipo I e erro II, se p = 2/3?

Solução:

X: número de coroas em 3 lançamentos.

X ~ Binomial(3;p).

versus . 5,0:0 =pH 5,0:1 ≠pH

%50,12503a) verdadeirH|Hrejeitar ()I Erro( 00 ===== ),|pP(XPP .

%37,7066703falsa) H|Hrejeitar não()II Erro( 00 ==<== ),|pP(XPP .

Problema 05

A variável X, custo de manutenção de um tear, pode ser considerada como tendo distribuição normal de média µ e desvio padrão 20 unidades. Os valores possíveis de µ podem ser 200 ou 210. Para verificar qual dos dois valores é o mais provável, usar-se-á uma amostra de 25 teares. Defina: (a) Uma hipótese a ser testada. (b) Uma regra de decisão e encontre as probabilidades dos erros de tipo I e 11.

Solução:

(a) versus . 2000 =µ:H 2101 =µ:H

(b) Por exemplo: Se 205<X , dizer que . Caso contrário, dizer que . 200=µ 210=µ

Cap.12 – Pág.4

Bussab&Morettin Estatística Básica

%56,10)25,1(4

200205)4;200(~|205a) verdadeirH|Hrejeitar ()I Erro( 2

00

=>=

−

>=

=>==

ZPZP

)NXXP(PP.

%56,10)25,1(4

210205)4;210(~205falsa) H|Hrejeitar não()II Erro( 2

00

=−<=

−

<=

=<==

ZPZP

)NX|XP(PP.

Referência:

Bussab, W. O. & Morettin, P. A. - ESTATÍSTICA BÁSICA, 5a. Edição , Editora Saraiva, 2000

Cap.12 – Pág.5