Trigonometria - 2011 a 2020 Fuvest, Unesp, Unicamp UERJ e

Trigonometria - 2011 a 2020 Fuvest, Unesp, Unicamp UERJ e UFRJ Prof. Sampaio

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1 [ 122012 ]. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o

ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra,

obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500

km.

O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são

(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km; 3.π = )

a) junho; 7°. b) dezembro; 7°. c) junho; 23°. d) dezembro; 23°. e) junho; 0,3°. 2 [ 115069 ]. (Unesp 2012) O gol que Pelé não fez Na copa de 1970, na partida entre Brasil e Tchecoslováquia, Pelé pega a bola um pouco antes do meio de campo, vê o goleiro tcheco adiantado, e arrisca um chute que entrou para a história do futebol brasileiro. No início do lance, a bola parte do solo com velocidade de 108 km/h (30 m/s), e três segundos depois toca novamente o solo atrás da linha de fundo, depois de descrever uma parábola no ar e passar rente à trave, para alívio do assustado goleiro. Na figura vemos uma simulação do chute de Pelé.

Considerando que o vetor velocidade inicial da bola após o chute de Pelé fazia um ângulo de 30° com a horizontal (sen30° = 0,50 e cos30° = 0,85) e desconsiderando a resistência do ar e a rotação da bola, pode-se afirmar que a distância horizontal entre o ponto de onde a bola partiu do solo depois do chute e o ponto onde ela tocou o solo atrás da linha de fundo era, em metros, um valor mais próximo de a) 52,0.


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b) 64,5. c) 76,5. d) 80,4. e) 86,6. 3 [ 191258 ]. (Unicamp 2020) A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de

comprimento a 5 cm= e um dos ângulos internos igual a ,θ em que cos 3 5.θ =

a) Calcule a área desse triângulo. b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo. 4 [ 189961 ]. (Unesp 2020) Uma das finalidades da Ciência Forense é auxiliar nas investigações relativas à justiça civil ou criminal. Observe uma ideia que pode ser empregada na análise de uma cena de crime. Uma gota de sangue que cai perfeitamente na vertical, formando um ângulo de 90º com a horizontal, deixa uma mancha redonda. À medida que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, a mancha fica cada vez mais longa. As ilustrações mostram o alongamento da gota de sangue e a relação trigonométrica envolvendo o ângulo de impacto e suas dimensões.

Considere a coleta de uma amostra de gota de sangue e a tabela trigonométrica apresentadas a seguir.


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α sen α cos α tg α

31 0,51 0,85 0,60

37 0,60 0,80 0,75

53 0,80 0,60 1,32

59 0,85 0,51 1,66

74 0,96 0,28 3,50

De acordo com as informações, o ângulo de impacto da gota de sangue coletada na amostra foi de a) 37 b) 74 c) 59 d) 53 e) 31

5 [ 191261 ]. (Unicamp 2020) Seja a função 2 senx

f(x) ,2 cosx

+=

+ definida para todo número real x.

a) Mostre que f f f( )f .2 2 4

π π ππ

+ − =

b) Seja θ um número real tal que f( ) 2.θ = Determine os possíveis valores para sen .θ

6 [ 188638 ]. (Uerj 2020) O gráfico a seguir representa a função periódica definida por

f(x) 2 sen (x),= x . No intervalo 5

, ,2 2

π π

A e B são pontos do gráfico nos quais

5f f

2 2

π π =

são valores máximos dessa função.


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A área do retângulo ABCD é: a) 6π b) 5π c) 4π d) 3π 7 [ 189856 ]. (Unicamp 2020) A figura abaixo exibe o triângulo retângulo ABC, em que

AB AM MC.= = Então, tgθ é igual a

a) 1 2.

b) 1 3.

c) 1 4.

d) 1 5.

8 [ 190645 ]. (Fuvest 2020) É dada a função f : [0, ]π → definida por 4 4f(x) sen x cos x,= +

para todo x [0, ].π

a) Apresente três valores x [0, ]π para os quais f(x) 1.=

b) Determine os valores x [0, ]π para os quais 5

f(x) .8

=

c) Determine os valores x [0, ]π para os quais 1 3 5

f(x) sen (2x) .2 8 8

+

9 [ 183421 ]. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz

quadrada de ordem 2,

1 1A .

a b

=


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a) Determine todos os valores de a e b para os quais T TA A AA ,= em que

TA é a transposta

da matriz A.

b) Para a b 2,= = sejam k e θ números reais tais que

cos cosA k .

sen sen

θ θ

θ θ

=

Determine os possíveis valores de tan .θ

10 [ 182187 ]. (Unesp 2019) Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as

seguintes coordenadas geográficas:

Latitude Longitude

P 30 N 45 L

Q 30 N 15 O

Considerando a Terra uma esfera de raio 6.300 km, a medida do menor arco PQ sobre a linha

do paralelo 30 N é igual a

a) 1.150 3 kmπ

b) 1.250 3 kmπ

c) 1.050 3 kmπ

d) 1.320 3 kmπ

e) 1.350 3 kmπ

11 [ 182568 ]. (Unesp 2019) Na figura, as retas AB e C D são paralelas, assim como as retas

AD e BC. A distância entre AB e CD é 3 cm, mesma distância entre AD e BC.

a) Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD, formado pelas intersecções das retas, na

situação em que 60 .α =

b) Considere que S seja a área do paralelogramo ABCD representado na figura. Determine S

em função de α e determine a área mínima do paralelogramo ABCD.

12 [ 184738 ]. (Uerj 2019) Observe no esquema um círculo de raio igual a 3,14 cm. Seu maior

arco, AB, correspondente ao ângulo central ,α tem comprimento de 15,7 cm.


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Calcule, em graus, a medida do ângulo .α

13 [ 182287 ]. (Fuvest 2019) Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C

apoia‐se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa

com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser

uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.

Usando as dimensões indicadas na figura (AB 1= e BC 2),= qual é o comprimento da

trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no

solo novamente?

a) 3

2π

b) 3 3

3π

+

c) 13

6π

d) 3 3

2π

+

e) 8 2 3

3π

+

14 [ 179836 ]. (Uerj 2019) O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano xy e

raio igual a 1. Nele, AP determina um arco de 120 .


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As coordenadas de P são:

a) 1 3

,2 2

−

b) 1 2

,2 2

−

c) 3 1

,2 2

−

d) 2 1

,2 2

−

15 [ 184741 ]. (Uerj 2019) Considere a representação abaixo, de metade da órbita do planeta

Mercúrio em torno do Sol. A distância Mr entre o Sol e Mercúrio varia em função do ângulo ,θ

sendo 0 180 .θ

Para o cálculo aproximado de Mr , em milhões de quilômetros, emprega-se a seguinte fórmula:

M555

r10 2 cosθ

=−

Calcule a distância PA, em milhões de quilômetros.

16 [ 182359 ]. (Unicamp 2019) Sejam k e θ números reais tais que sen θ e cos θ são

soluções da equação quadrática 22x x k 0.+ + = Então, k é um número a) irracional. b) racional não inteiro. c) inteiro positivo. d) inteiro negativo.


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17 [ 182900 ]. (Fuvest 2019) .

Conforme se vê na figura, em um plano, encontram-se:

- duas retas perpendiculares r e s e o ponto O de intersecção dessas duas retas;

- um ponto Q s tal que a medida de OQ é 5;

- uma circunferência c, centrada em Q, de raio 1;

- um ponto P c tal que o segmento O P intersecta c apenas em P.

Denotam-se ˆQOPθ = e ÔQP.β =

a) Calcule sen ,θ no caso em que θ assume o máximo valor possível na descrição acima.

b) Calcule sen ,θ no caso em que 60 .β =

Ainda na figura, encontram-se:

- a reta t contendo Q e P;

- a semirreta u partindo de P e contendo O;

- a semirreta w partindo de P para fora de c de modo que u e w estão em semiplanos distintos

relativos a t.

Supõe-se que os ângulos formados por u e t e por w e t sejam iguais a um certo valor ,α com

0 90 .α Caso w intersecte r (como é o caso da figura), denotam-se R como esse único ponto de

intersecção e ÔRP.γ =

c) Determine a medida de OR, no caso em que 45 .α =

18 [ 175352 ]. (Fuvest 2018)


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Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função f(x) sen (x)= e que a linha

contínua represente o gráfico da função g(x) sen ( x),α β= segue que

a) 0 1α e 0 1.β

b) 1α e 0 1.β

c) 1α = e 1.β

d) 0 1α e 1.β

e) 0 1α e 1.β =

19 [ 175454 ]. (Unesp 2018) A figura indica os gráficos das funções I, II e III. Os pontos A(72 , 0,309), BB(x , 0,309)− e CC(x , 0,309) são alguns dos pontos de intersecção dos

gráficos.

Nas condições dadas, B Cx x+ é igual a

a) 538 b) 488 c) 540 d) 432 e) 460 20 [ 175580 ]. (Unicamp 2018) Seja x um número real tal que sen x cos x 0,2.+ = Logo,

| sen x cos x |− é igual a

a) 0,5.

b) 0,8.

c) 1,1.

d) 1,4.


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21 [ 176391 ]. (Fuvest 2018) Considere as funções f : , 1, 12 2

π π − → −

e g : 0, 1,1π → −

definidas por f(x) sen x= e g(x) cos x.= Sendo f e g bijetoras, existem funções 1f − e 1g−

tais que 1 1f f f f id− −= = e 1 1g g g g id,− −= = em que id é a função identidade.

a) Para 0 1,α mostre que 1 2(g f )( ) 1 .α α− = −

b) Mostre que 1 11 6 2f g .

2 4 4

π− − + + =

22 [ 175579 ]. (Unicamp 2018) Considere que o quadrado ABCD, representado na figura

abaixo, tem lados de comprimento de 1cm, e que C é o ponto médio do segmento AE.

Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a

a) 3 cm.

b) 2 cm.

c) 5 cm.

d) 6 cm.

23 [ 165939 ]. (Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na

figura, tem medida dos lados AB 4, BC 2= = e BF 2.=

O seno do ângulo HAF é igual a

a) 1

2 5

b) 1

5


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c) 2

10

d) 2

5

e) 3

10

24 [ 165858 ]. (Unicamp 2017) Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo,

em que AB 2 cm,= BC 1cm= e CD 5 cm.= Então, o ângulo θ é igual a

a) 15 . b) 30 . c) 45 . d) 60 . 25 [ 165948 ]. (Fuvest 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:

2V(t) log (5 2 sen( t)), 0 t 2,π= +

em que t é medido em horas e V(t) é medido em 3m . A pressão máxima do gás no intervalo

de tempo [0, 2] ocorre no instante

a) t 0,4=

b) t 0,5= c) t 1= d) t 1,5= e) t 2= 26 [ 168995 ]. (Fuvest 2017) O centro de um disco de raio 1 é colocado no ponto C (0,1)= do

plano cartesiano Oxy. Uma das extremidades de um fio de espessura desprezível e

comprimento 3 é fixada na origem O e a outra extremidade está inicialmente no ponto (3, 0).

Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento, enrola-se, no sentido anti-horário,

parte dele em torno do disco, de modo que a parte enrolada do fio seja um arco O P da

circunferência que delimita o disco. A medida do ângulo ÔCP, em radianos, é denotada por .θ

A parte não enrolada do fio é um segmento retilíneo PQ que tangencia o disco no ponto P.

A figura ilustra a situação descrita.


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a) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ for paralelo ao eixo y .

b) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ for paralelo à reta de

equação y x.=

c) Encontre uma expressão para as coordenadas do ponto Q em função de ,θ para θ no

intervalo 0, .2

π

27 [ 159789 ]. (Uerj 2017) No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e

um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.

A medida θ do ângulo CAP pode ser determinada a partir da seguinte identidade

trigonométrica:

tg( ) tg( )tg( )

1 tg( ) tg( )

α βα β

α β

−− =

+

O valor da tangente de θ é igual a:

a) 0,65

b) 0,60

c) 0,55

d) 0,50

28 [ 165857 ]. (Unicamp 2017) Seja x um número real, 0 x 2,π tal que a sequência

(tan x, sec x, 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a

a) 1. b) 5 4.


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c) 4 3.

d) 1 3.

29 [ 167222 ]. (Unicamp 2017) Sabendo que k é um número real, considere a função f(x) k sen x cos x,= + definida para todo número real x.

a) Seja t um número real tal que f(t) 0.= Mostre que f(2 t) 1.= −

b) Para k 3,= encontre todas as soluções da equação 2 2f(x) f( x) 10+ − = para 0 x 2 .π

30 [ 166211 ]. (Uerj 2017) Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um

lago a partir dos pontos A, B e T, um técnico determinou as medidas AT 32 m;= BT 13 m=

e A B 1 ,T 20= representadas no esquema abaixo.

Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B, definidos pelo técnico nas margens

desse lago. 31 [ 166404 ]. (Unesp 2017) Uma lancha e um navio percorrem rotas lineares no mar plano

com velocidades constantes de 80 e 30 km h, respectivamente. Suas rotas, como mostra a

figura, estão definidas por ângulos constantes de medidas iguais a α e ,β respectivamente.

Quando a lancha está no ponto L e o navio no ponto N, a distância entre eles é de 10 km.

Sendo P o ponto em que a lancha colidirá com o navio, demonstre que o ângulo obtuso LPN

será igual a .α β+ Em seguida, calcule a distância entre N e P, considerando

9cos( ) .

16α β+ = −


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32 [ 153943 ]. (Unicamp 2016) Considere o triângulo exibido na figura abaixo, com lados de

comprimentos a, b e c e ângulos ,α β e .γ

a) Suponha que a sequência ( , , )α β γ é uma progressão aritmética (PA). Determine a medida

do ângulo .β

b) Suponha que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica (PG) de razão q 2.=

Determine o valor de tan .β

33 [ 151630 ]. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b)= tangencia as

retas de equações y x= e x 0.= Se P pertence à parábola de equação 2y x= e a 0, a

ordenada b do ponto P é igual a

a) 2 2 2+

b) 3 2 2+

c) 4 2 2+

d) 5 2 2+

e) 6 2 2+

34 [ 151742 ]. (Uerj 2016) Na figura abaixo, observa-se o retângulo ABCD, que contém o

triângulo retângulo DEF, no qual DF 1.=

Considerando os ângulos EDF= e CDE ,= determine o comprimento do lado DA em

função de e .

35 [ 142374 ]. (Uerj 2016) O raio de uma roda gigante de centro C mede CA CB 10 m.= = Do

centro C ao plano horizontal do chão, há uma distância de 11 m. Os pontos A e B, situados

no mesmo plano vertical, ACB, pertencem à circunferência dessa roda e distam,

respectivamente, 16 m e 3,95 m do plano do chão. Observe o esquema e a tabela:


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θ

(graus) senθ

1 5 0,259

30 0,500

45 0,707

60 0,866

A medida, em graus, mais próxima do menor ângulo ACB corresponde a: a) 45 b) 60 c) 75 d) 105

36 [ 151632 ]. (Fuvest 2016) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ÂBC e ÂDC são retos,

AB AD 1,= = BC CD 2= = e BD é uma diagonal.

O cosseno do ângulo ˆBCD vale

a) 3

5

b) 2

5

c) 3

5

d) 2 3

5

e) 4

5

37 [ 136082 ]. (Unesp 2015) A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana.

Fábio (F) e André (A ) vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das

raias. Fábio largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a

chegada em C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que irá de A

até D'.


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Considere os dados:

- ABCD e A 'B'C'D' são retângulos.

- B', A ' e E estão alinhados.

- C, D e E estão alinhados.

- A 'D e B'C são arcos de circunferência de centro E.

Sabendo que AB 10 m,= BC 98 m,= ED 30 m,= ED' 34 m= e 72 ,α = calcule o

comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos

finais 3.π =

38 [ 135921 ]. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa A C

mede 12cm e o cateto BC mede 6cm.

Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a

a) 2

7

b) 3

7

c) 2

7

d) 2 2

7

e) 2 3

7


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39 [ 136350 ]. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia

internamente um setor circular de raio R e ângulo central .θ

a) Para 60 ,θ= determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de cos θ no caso em que R 4r.= 40 [ 135751 ]. (Unesp 2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal

de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P,

localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB 1,5 m= e

PA 1,2 m.= Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto

T, sendo a medida do ângulo PTB igual 60 . Após essa colisão, a bola segue, em trajetória

reta, diretamente até a caçapa D.

Nas condições descritas e adotando 3 1,73, a largura do tampo da mesa, em metros, é

próxima de a) 2,42.

b) 2,08.

c) 2,28.

d) 2,00.

e) 2,56.

41 [ 135924 ]. (Fuvest 2015) Sabe-se que existem números reais A e 0x , sendo A 0, tais

que

0senx 2 cosx A cos(x x )+ = −

para todo x real. O valor de A é igual a


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a) 2

b) 3

c) 5

d) 2 2

e) 2 3 42 [ 135852 ]. (Unicamp 2015) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.

A medida do ângulo θ é igual a a) 105 . b) 120 . c) 135 . d) 150 . 43 [ 137071 ]. (Uerj 2015) Considere a função real f, de variável real x, definida pelo seguinte

determinante:

2cos(x) 2f(x) para 0 x

1 2cos(x)π=

Observe o gráfico da função f .

Determine os valores de x para os quais f(x) 1.=

44 [ 129745 ]. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com

cinco lados com comprimento de 1cm e um lado com comprimento de x cm.


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a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.

45 [ 128433 ]. (Fuvest 2014) O triângulo AO B é isósceles, com OA OB,= e ABCD é um

quadrado. Sendo θ a medida do ângulo ÂOB, pode-se garantir que a área do quadrado é

maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados: tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679

tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317

a) 14 28θ b) 15 60θ c) 20 90θ d) 25 120θ e) 30 150θ 46 [ 128981 ]. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo.

A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto

médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge

a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo

agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da

reflexão. Determine a tangente de α e o seno de .θ

47 [ 132563 ]. (Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.


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Usando a aproximação 3,π = a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo

ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20. 48 [ 132574 ]. (Unesp 2014) Determine o período da função f( )θ dada pela lei de formação

( )( )1 2

f sen 1.5 3 3

πθ θ

− = − −

49 [ 128387 ]. (Unesp 2014) O conjunto solução (S) para a inequação 22 cos x cos(2x) 2, +

em que 0 x ,π é dado por:

a) S x (0, ) | 0 x6

ππ

=

ou 5

x6

ππ

b) 2

S x (0, ) | x3 3

π ππ

=

c) S x (0, ) | 0 x3

ππ

=

ou 2

x3

ππ

d) 5

S x (0, ) | x6 6

π ππ

=

e) S x (0, )π=

50 [ 128171 ]. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x tg x.= O valor de sen x é

a) 3 1

.2

−

b) 1 3

.2

−

c) 5 1

.2

−

d) 1 5

.2

−

51 [ 122023 ]. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com 2 2π α π− e 0 .β π Se

o sistema de equações, dado em notação matricial,


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03 6 tg,

6 8 cos 2 3

α

β

=

−

for satisfeito, então α β+ é igual a

a) 3

π−

b) 6

π−

c) 0

d) 6

π

e) 3

π

52 [ 125108 ]. (Unesp 2013) A caçamba de um caminhão basculante tem 3 m de comprimento

das direções de seu ponto mais frontal P até a de seu eixo de rotação e 1m de altura entre os

pontos P e Q . Quando na posição horizontal isto é, quando os segmentos de retas r e s se

coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela pode girar, no máximo, α

graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura.

Dado cos 0,8,α = a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em relação ao solo, quando o

ângulo de giro α for máximo, é a) 4,8. b) 5,0. c) 3,8. d) 4,4. e) 4,0. 53 [ 121640 ]. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.


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Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km. 54 [ 120061 ]. (Uerj 2013) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias

retilíneas AB CD EF,= = contidas nas retas de maior declive de cada rampa.

Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente,

1 2h , h e 3h , conclui-se que 1 2h h+ é igual a:

a) 3h 3

b) 3h 2

c) 2h3

d) h3

55 [ 121646 ]. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles

semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 .= Portanto, o

comprimento do segmento CE é:

a) 5

a3

b) 8

a3

c) 7

a3

d) a 2


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56 [ 125106 ]. (Unesp 2013) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que

representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e

160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que

representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de

a) 80 2 5 3 +

b) 80 5 2 3 +

c) 80 6

d) 80 5 3 2 +

e) 80 7 3

57 [ 123413 ]. (Unicamp 2013) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.


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a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?

b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( ) 3 / 4.θ = Determine a distância d entre o

ponto C e o satélite.

58 [ 122943 ]. (Unesp 2013) Sabendo-se que ( ) 2 2cos 2x cos x – sen x,= para quais valores de

x a função ( ) ( )1

f x cosx cos 2x2

= + assume seu valor mínimo no intervalo 0 x 2 ?π

59 [ 123412 ]. (Unicamp 2013) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um

plano horizontal, contém água até a altura 3

.4

a Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um

ângulo θ em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo.

a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar,

determine a tangente do ângulo θ .

b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π= calcule o valor

numérico da expressão cos(2 ) sen(2 ).θ θ−

60 [ 122040 ]. (Fuvest 2013) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente,

Dados: 3 1,73; 2 1 cossen .

2 2

θ θ− =

a) 7 m b) 26 m c) 40 m d) 52 m e) 67 m 61 [ 123356 ]. (Fuvest 2013)


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Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos

dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço 1OP tem comprimento 6 e o braço

1 2P P tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor

do que P1 e a distância de O a P2 é 2 10. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do

chão, determine

a) o seno e o cosseno do ângulo 2ˆP OQ entre a reta 2OP e o plano do chão;

b) a medida do ângulo 1 2ÔP P entre os braços do guindaste;

c) o seno do ângulo 1ˆPOQ entre o braço 1OP e o plano do chão.

62 [ 110076 ]. (Unesp 2012) Sejam dois espelhos planos ( 1E e 2E ), posicionados

verticalmente, com suas faces espelhadas voltadas uma para outra, e separados por uma distância d, em centímetros. Suspensos por finas linhas, dois pequenos anéis (A e B) são

posicionados entre esses espelhos, de modo que as distâncias de A e B ao espelho 1E sejam,

respectivamente, a e b, em centímetros, e a distância vertical entre os centros dos anéis seja h, em centímetros, conforme mostra a figura.

Determine o ângulo de incidência , em relação à horizontal, em função de a, b, d e h, para

que um feixe de luz atravesse o anel A, se reflita nos espelhos 1E , 2E e 1E e atravesse o anel

B, como indica o percurso na figura. Admita que os ângulos de incidência e de reflexão do feixe de luz sobre um espelho sejam iguais. 63 [ 117459 ]. (Unesp 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30° e máxima de 45°.


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Nestas condições e considerando 2 1,4, quais deverão ser os valores máximo e mínimo,

em metros, do comprimento desta rampa de acesso?

64 [ 109336 ]. (Fuvest 2012) Na figura, tem-se AE paralelo a CD , BC , paralelo a DE , AE 2= ,

45º = , 75º = . Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AB é igual a

a) 3

b) 2

c) 3

2

d) 2

2

e) 2

4

65 [ 110760 ]. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

Visada Ângulo ^

ACB

^

BCD

^

ABC

a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D.

6π

3π

6π


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66 [ 108900 ]. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.

(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,934 , onde é o ângulo

Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100 , a velocidade média, em km/h, com

que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 67 [ 110410 ]. (Fuvest 2012)

No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15 /5 , o

ângulo interno de vértice C mede α , e o ângulo interno de vértice B mede 2α . Sabe-se,

também, que 2 cos(2 ) 3cos 1 0α α+ + =

Nessas condições, calcule a) o valor de sen α ;

b) o comprimento do lado AC .

68 [ 109333 ]. (Fuvest 2012) O número real x, com 0 x , satisfaz a equação


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3 3log (1 cosx) log (1 cosx) 2− + + = − .

Então, cos2x sen x+ vale

a) 1

3

b) 2

3

c) 7

9

d) 8

9

e) 10

9

69 [ 102010 ]. (Unicamp 2011) Um engenheiro precisa interligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conectar as faixas centrais da

estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de

reta de comprimento x e dois arcos de circunferência de raio r e ângulo interno .

a) Se o engenheiro adotar 45 , = o segmento central medirá x d 2 2r( 2 1).= − − Nesse

caso, supondo que d 72 m,= e r 36 m,= determine a distância y entre as extremidades dos

trechos a serem interligados.

b) Supondo, agora, que 60 ,= r 36 m= e d 90 m,= determine o valor de x.

70 [ 100952 ]. (Fuvest 2011) Sejam x e y números reais positivos tais que x y2

+ = .

Sabendo-se que ( ) 1sen y x3

− = , o valor de 2 2tg y tg x− é igual a

a) 3

2

b) 5

4

c) 1

2

d) 1

4

e) 1

8

71 [ 100550 ]. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às

margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com

o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do


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ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os

ângulos ˆBAC e ˆBCD valem 30 , e o ÂCB vale 105 , como mostra a figura:

A altura h do mastro da bandeira, em metros, é a) 12,5.

b) 12,5 2.

c) 25,0.

d) 25,0 2.

e) 35,0.

72 [ 100949 ]. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que

M é o ponto médio de AB , N é o ponto médio de BC e 14MN4

= .Então, DM é igual a

a) 2

4

b) 2

2

c) 2

d) 3 2

2

e) 5 2

2


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Gabarito: Resposta da questão 1: [A] [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Geografia] Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto:

360 9007,2

2 3 7500θ

= =

A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 21 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer. [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Matemática] Considere a figura.

Como os raios solares são paralelos, segue que AOB= e, portanto,

AB

OA

900

7500

0,12rad

0,12 1807,2 .

3

=

=

=

=


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Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão ocorre no mês de junho nesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho. Resposta da questão 2: [C]

Dados: v0 = 30 m/s; θ= 30°; sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,85 e t = 3 s.

A componente horizontal da velocidade (v0x) mantém-se constante. O alcance horizontal (A) é dado por:

( )( )0x 0A v t A v cos30 t A 30 0,85 3

A 76,5 m.

= = =

=

Resposta da questão 3:

a) Considere o triângulo retângulo pitagórico de lados 3, 4 e 5. Logo, se o cateto de

medida 3 é adjacente a ,θ então 3

cos5

θ = e, portanto, 4

sen .5

θ =

A área do triângulo isósceles cujos lados congruentes têm medida 5cm e formam o ângulo

θ é igual a

2

1 1 4a a sen 5 5

2 2 5

10cm .

θ =

=

b) Seja a medida da base do triângulo isósceles. Assim, pela Lei dos Cossenos, temos

2 2 2

2

2

5 5 2 5 5 cos

325 25 2 5 5

5

50 30

2 5 cm.

θ= + −

= + −

= −

=

Finalmente, pela Lei dos Senos, encontramos

2 52R R

4sen2

5

5 5R cm,

4

θ= =

=

em que R é o raio procurado. Resposta da questão 4: [A] Desde que o seno do ângulo de impacto, ,α é dado pela razão entre a largura e o comprimento

da gota de sangue, temos

1,5sen 0,6.

2,5α = =

Portanto, da tabela, segue que 37 .α

Resposta da questão 5: a) Tem-se que


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2 sen32f

2 22 cos

2

ππ

π

+

= =

+

e

2 sen12

f .2 2

2 cos2

ππ

π

+ −

− = =

+ −

Daí, vem

3 1f f 2.

2 2 2 2

π π + − = + =

Por outro lado, temos

2 senf( ) 2

2 cos

ππ

π

+= =

+

e

22 sen 2

4 2f 1.4 22 cos 2

4 2

ππ

π

+ +

= = =

+ +

Logo, segue que f( )f 2 1 2.4

ππ

= =

A identidade é verdadeira.

b) Se f( ) 2,θ = então

2 2

2 2

2 sen2 2cos sen 2

2 cos

4cos sen 4sen 4

4(1 sen ) sen 4sen 4

sen (5sen 4) 0

4sen 0 ou sen .

5

θθ θ

θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ

θ θ

+= = −

+

= − +

− = − +

− =

= =

Portanto, como os valores obtidos para sen produzem valores compatíveis para cos ,θ segue

o resultado. Resposta da questão 6: [C]

Sendo f 2sen 2,2 2

π π = =

podemos concluir que a resposta é

5(ABCD) 2

2 2

4 .

π π

π

= −

=


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Resposta da questão 7: [B] 1ª Solução:

Como AB AM,= podemos concluir que o triângulo ABM é retângulo isósceles, ou seja,

ABM BMA 45 . = Ademais, AB AM MC= = implica em AC 2AB.= Portanto, do triângulo

ABC, temos

AC tg45 tg 2ABtg(45 )

1 tg45 tgAB AB

1 tg2

1 tg

1tg .

3

θθ

θ

θ

θ

θ

+ + = =

−

+ =

−

=

2ª Solução:

Seja AB AM MC x.= = = Logo, do triângulo ABC, pelo Teorema de Pitágoras, temos

2 2 2 2 2 2BC AB AC BC x 4x

BC x 5.

= + = +

=

Sendo AB AM,= podemos concluir que o triângulo ABM é retângulo isósceles. Daí, vem

BMC 135 .= Portanto, pela Lei dos Senos, temos

MC BC x x 5

sen sen sen135senBMC

10sen .

10

θ θ

θ

= =

=

Sabendo que 2 21 cotg cossec ,θ θ+ = vem

2

2 2101 cotg cotg 9

10

1tg .

3

θ θ

θ

+ = =

=


Reescrevendo a lei de f, encontramos

2 2 2 2 2

2

2

f(x) (sen x cos x) 2sen xcos x

11 (2senxcos x)

2

11 sen 2x.

2

= + −

= −

= −

a) Se f(x) 1,= então


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2 211 sen 2x 1 sen 2x 0

2

sen2x sen0

x k ou x k , k .2

ππ π

− = =

=

= = +

Logo, para x 0, , ,2

ππ temos f(x) 1.=

b) Se 5

f(x) ,8

= então

2 21 5 31 sen 2x sen 2x

2 8 4

3sen2x

2

sen2x sen3

ou

4sen2x sen

3

x k ou x k , k 6 3

ou .

2x k ou x k , k

3 6

π

π

π ππ π

π ππ π

− = =

=

=

=

= + = +

= + = − +

Por conseguinte, para 2 5x , , , ,

6 3 3 6

π π π π temos

5f(x) .

8=

c) Se 21

f(x) 1 sen 2x,2

= − então

21 3 5f(x) sen(2x) 2sen 2x 3sen2x 1 0

2 8 8

12( 1 sen2x) sen2x 0

2

1sen2x 1

2

52x

6 6

5x .

12 12

π π

π π

+ − +

− + − +

Resposta da questão 9: a) Do enunciado, temos:


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( )

( )

2

2 22

2

1 a 1 1 1 1 1 a

1 b a b a b 1 b

2 a b1 a 1 ab

a b a b1 ab 1 b

a 1 2 i

1 ab a b ii

=

+ + + =

+ + + +

+ =+ = +

Da equação (i),

2a 1=

a 1= ou a 1= −

Substituindo a 1= na equação (ii),

1 b 1 b+ = +

Logo, b é um número real qualquer.

Substituindo a 1= − na equação (ii),

1 b 1 b

2b 2

b 1

− = − +

=

=

Assim, temos: a 1= e b é um número real qualquer ou a 1= − e b 1.=

b) Do enunciado, temos:

( ) ( )

( ) ( )

1 1 cos cosk

2 2 sen sen

1 k cos sen 0 icos sen k cos

2 cos 2 sen k sen 2 cos 2 k sen 0 ii

θ θ

θ θ

θ θθ θ θ

θ θ θ θ θ

=

− + =+ =

+ = + − =

Note que o sistema linear nas variáveis sen θ e cos θ é um sistema linear homogêneo com

infinitas soluções, pois se tivesse somente a solução trivial, teríamos sen 0θ = e cos 0,θ =

ou seja, tan θ não estaria definida.

Portanto,

( ) ( )

( )

2

2

1 k 10

2 2 k

1 k 2 k 2 0

2 k 2k k 2 0

k 3k 0

k k 3 0

−=

−

− − − =

− − + − =

− =

− =

k 0= ou k 3=

Substituindo k 0= na equação (i),


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( )cos 1 0 sen 0

sen cos

sen1

cos

tan 1

θ θ

θ θ

θ

θ

θ

− + =

= −

= −

= −

Substituindo k 3= na equação (i),

( )cos 1 3 sen 0

2cos sen 0

sen 2 cos

sen2

cos

tan 2

θ θ

θ θ

θ θ

θ

θ

θ

− + =

− + =

=

=

=

Portanto, os possíveis valores de tan θ são:

tan 1θ = − e tan 2θ =

Resposta:

a) a 1= e b é um número real qualquer ou a 1= − e b 1;=

b) tan 1θ = − e tan 2.θ =

Resposta da questão 10: [C]

Seja r o raio da circunferência de centro C correspondente à latitude 30 N. Logo, temos

rcos30 r 3150 3km.

6300 = =

Portanto, sendo CPQ rad,4 12 3

π π π= + = vem

PQ 3150 3 1050 3km.3

ππ= =

Resposta da questão 11: a) Considere a figura.

Desde que ADF BCD, AFD DEC e =AF DE, podemos afirmar que ADF e DEC são

congruentes por oLAA . Logo, vem =AB AD e, assim, ABCD é losango.

A resposta é, portanto, igual a


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ABCD2p 4 AD

AF4

sen

34

3

2

8 3 cm.

α

=

=

=

=

b) A área de ABCD é dada por

2

(ABCD) CD AF

AFAF

sen

AF.

sen

α

α

=

=

=

Logo, sendo =AF 3cm e 0 90 ,α podemos concluir que a área de ABCD é mínima

quando sen é máximo, ou seja, quando =sen 1.

A resposta é 29cm .

Resposta da questão 12: O primeiro passo é calcular a medida do ângulo α em radianos

15,75 rad

3,14α = =

O próximo passo é transformar 5 radianos em graus.

radπ 180

5 rad

x

x 900

900x

x 286

π

π

=

=

Resposta da questão 13: [C] Considere a figura.

Desde que o triângulo ABC é retângulo em A, temos

AB 1senACB senACB

2BC

ACB rad.6

π

= =

=


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O resultado pedido corresponde à soma dos comprimentos dos arcos 1BB e 1 2BB , isto é,

1 1 1 25

BCB BC B A B AB 2 16 2

13.

6

π π

π

+ = +

=

Resposta da questão 14: [A] Calculando:

3sen 120 sen 60

2

1cos120 cos60

2

= =

= − = −


Para 0 ,θ= temos:

M555 555 555

r (0 )10 2 cos0 10 2 8

= = =− −

Para 180 ,θ = temos:

M555 555 555

r (180 )10 2 cos180 10 ( 2) 12

= = =− − −

Logo, 555 555

AB 115,6258 12

= + milhões de quilômetros.

Resposta da questão 16: [B]

Se senθ e cos θ são soluções, então, pelas Relações de Girard, temos

1sen cos

2θ θ+ = − e

ksen cos .

2θ θ =

Logo, vem

22 2 21 1

(sen cos ) sen 2sen cos cos2 4

k 11 2

2 4

3k .

4

θ θ θ θ θ θ

+ = − + + =

+ =

= −

Por conseguinte, k é um racional não inteiro. Resposta da questão 17:

a) O ângulo é máximo quando O P é tangente à circunferência c. Logo, temos = 90 e,

portanto, do triângulo retângulo OPQ, vem

= =OP 1

sen sen .5OQ


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b) Tomando o triângulo OPQ, pela Lei dos Cossenos, encontramos

2 2 2

2 2 2

2

OP OQ PQ 2 OQ PQ cos

1OP 5 1 2 5 1

2

OP 21

OP 21.

β= + −

= + −

=

=

Em consequência, pela Lei dos senos, obtemos

= =

=

PQ OP 1 21

sen sen sen 3

2

7sen .

14

c) Do triângulo OPQ, pela Lei dos Senos, vem

= = −

=

PQ OQ 1 5

sen sen(180 ) sen sen135

2sen .

10

Ademais, pela Lei dos Cossenos, temos

2 2 2

22 2

2

OQ PO PQ 2 PO PQ cos(180 )

25 PO 1 2 PO 1

2

PO 2 PO 24 0

PO 3 2.

α= + − −

= + − −

+ − =

=

Portanto, sendo 90 POR ,γ θ= − = do triângulo OPR, segue que

PO 2 3 2sen

10OR OR

OR 30.

γ = =

=

Resposta da questão 18: [A]

Vamos supor que α e β sejam reais positivos.

Sabendo que fIm [ 1,1]= − e fP 2 ,π= dos gráficos, temos gIm [ , ],α α= − com 0 1α e

gP 4 .π= Assim, vem 1

0 1.2

β =


O gráfico representa a função cosseno. Os pontos Bx e Cx estão respectivamente no terceiro

e quarto quadrantes. Assim, se cos 72 0,309, = então:


Pбgina 40 de 72

( )

( )B B

C C

3Q cos x 0,309 x 72 180 252252 288 540

4Q cos x 0,309 x 360 72 288

→ = − → = + = + =

→ = → = − =

Resposta da questão 20: [D] Tem-se que

2 2(senx cosx) 0,2 1 2senxcosx 0,04

2senxcosx 0,96.

+ = + =

= −

Logo, sabendo que 2 2| y | y ,= para todo y , vem

2 2| senx cosx| (senx cosx) 1 2senxcosx.− = − = −

Em consequência, encontramos

2| senx cosx | 1 0,96 | senx cosx | 1,96

| senx cosx | 1,4.

− = + − =

− =


a) Tem-se que 1f (x) arcsenx,− = com 1 x 1.− Logo, encontramos

1g(f ( )) cosarcsen .α α− =

Se arcsen ,α β= então sen .β α= Daí, vem 2 2sen ,β α= com ,2 2

π πβ− 1 1α− e

cos 0.β Portanto, desde que 2 2sen cos 1,β β+ = temos

2 2 2cos 1 sen cos 1 .β β β α= − = −

Em consequência, podemos escrever 1 2g(f ( )) cos 1 .α α− = −

b) Sabendo que 1f (x) arcsenx,− = com 1 x 1,− temos

1 1 1f arcsen .

2 2 6

π− = =

Ademais, como 1g (x) arccosx,− = com 1 x 1− e

6 2 3 2 1 2

4 2 2 2 2

cos cos sen sen4 6 4 6

cos4 6

cos ,12

π π π π

π π

π

+= +

= +

= −

=

segue que 1 6 2 6 2g arccos .

4 4 12

π− + += =

Portanto, temos


Pбgina 41 de 72

1 11 6 2f g .

2 4 6 12 4

π π π− − + + = + =


Se o lado do quadrado ABCD mede 1cm, então sua diagonal mede 2 cm. Daí, como C é

ponto médio de AE, vem CE 2cm.= Ademais, sendo ÂCD 45 ,= temos ˆDCE 135= e,

portanto, pela Lei dos Cossenos, encontramos 2 22 2DE 1 ( 2) 2 1 2 cos135 DE 5

DE 5cm.

= + − =

=

Resposta da questão 23: [E]

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

22 2 2 2

ABF y 4 2 y 20 y 2 5

EHF z 4 2 z 20 z 2 5

EHA x 2 2 x 8 x 2 2

Lei dos Cossenos :

z x y 2xy cosa 20 8 20 2 2 2 2 5 cosa

18 10 cosa 8 cosa

10

1 391sen a cos a 1 sen a 1 sen a 1 sen a10 1010 10

→ = + → = → =

→ = + → = → =

→ = + → = → =

= + − → = + −

= → =

+ = → + = → = − = → =

Resposta da questão 24: [C] Calculando:

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 22

AC 2 1 AC 5

AD 2 6 AD 40

5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20

10 2cos cos 45

210 2

θ θ

θ θ θ

= + → =

= + → =

= + − → =

= → = → =

Resposta da questão 25: [D]


Pбgina 42 de 72

Pela equação de Clapeyron (da Química):

PV nRT

P pressão

V volume

n quantidade de matéria (nº mols)

R constante universal dos gases

T temperatura

=

=

=

=

=

=

Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamente proporcionais: a pressão do gás é máxima quando o volume é mínimo. Como a função logarítmica dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando o logaritmando for mínimo. Ou seja:

mín

logaritmando (5 2 sen( t))

f (t) 5 2 sen( t) sen( t) deve ser mínimo

3 3 3t 2k t 2k t 1,5

2 2 2

π

π π

ππ π

→ +

= + →

= + → = + → = =


Sendo rad2

πθ = e CP 1u.c.,= temos

OP CP u.c.2

πθ= =

Em consequência, vem PQ 3 u.c.2

π = −

e, portanto, é fácil ver que Q 1, 4 .2

π = −

b) Em particular, como mostrado em (c), quando P Q é paralelo à reta y x,= temos 4

πθ = e,

assim, vem

Q sen 3 cos ,1 cos 3 sen4 4 4 4 4 4

2 24 ,1 2 .

2 4 2 4

π π π π π π

π π

= + − − + −

= − + −

c) Considere a figura.


Pбgina 43 de 72

Do triângulo CPT, obtemos

PTsen PT sen

CPθ θ= =

e

CTcos CT cos .

CPθ θ= =

Assim, como OC 1,= vem P (sen ,1 cos ).θ θ= −

Por outro lado, de forma análoga ao item (a), sabemos que OP .θ= e, portanto, temos

PQ (3 ).θ= − Logo, do triângulo PSQ, encontramos

QSsen QS (3 )sen

PQθ θ θ= = −

e

PScos PS (3 )cos .

PQθ θ θ= = −

Desse modo, o ponto Q pode ser expresso, em termos do ângulo ,θ como segue

Q (sen (3 )cos ,1 cos (3 )sen ).θ θ θ θ θ θ= + − − + −


3rCÂB tg 1

3r

r 1PÂB tg

4r 4

11 3 4 34tg tg ( ) tg tg 0,61 4 5 51 14

α α

β β

θ α β θ α β θ θ

= → = =

= → = =

−= − → = − = → = → = =

+

Resposta da questão 28: [D] Calculando:


Pбgina 44 de 72

( )1 2 3 2 1 3

2

2 2 2 2

PA a , a , a 2a a a

1 senx2sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cosx 2 sen x 2 2cosx

cosx cosx

sen x 1 cos x

1 cos x 2 2cosx 1 cos x 4 8cosx 4cos x 5cos x 8cosx 3 0

3cosx ou cosx 1 (não convém)

5

5 4sec x ; tgx

3 3

5 4 1PA r r

3 3 3

→ → = +

= + → = + → + = → = −

= −

− = − → − = − + → − + =

= =

= =

→ = − → =


a) Se f(t) 0,= então

cos tk sent cos t 0 k .

sent+ = = −

Desse modo, lembrando que 2 2sen cos 1,α α+ = para todo ,α vem

2 2

2 2 2

2 2

f(2 t) k sen2t cos2t

cost2sentcost cos t sen t

sent

2cos t cos t sen t

(sen t cos t)

1.

= +

= − + −

= − + −

= − +

= −

b) Se k 3,= então f(x) 3senx cosx.= + Logo, sabendo que sen( ) senβ β− = − e

cos( ) cos ,β β− = para todo ,β vem

2 2 2 2

2

f(x) f( x) 10 (3senx cosx) (cosx 3senx) 10

1sen x

2

2senx

2

ou

2senx

2

3x ou x

4 4

ou .

5 7x ou x

4 4

π π

π π

+ − = + + − =

=

=

= −

= =

= =

Portanto, o conjunto solução da equação é 3 5 7S , , , .

4 4 4 4

π π π π=

Resposta da questão 30: Tem-se, pela Lei dos Cossenos, que a resposta é


Pбgina 45 de 72

2 2 2

2 2 2

AB AT BT 2 AT BT cos ATB

1AB 32 13 2 32 13

2

AB 1609

AB 40 m.

= + −

= + − −

=

Resposta da questão 31: Considere a figura.

Os ângulos LPM e ( )α β+ são opostos pelo vértice e, portanto, são congruentes.

Se t é o tempo, em horas, decorrido até o instante do encontro, então NP 30 t= e LP 80 t.=

Daí, vem 8

LP NP.3

= Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo LNP,

encontramos 2 2 2

222

2

LN NP LP 2 NP LP cos( )

8 8 910 NP NP 2 NP NP

3 3 16

100NP 100

9

NP 3km.

α β= + − +

= + − −

=

=


a) Se ( , , )α β γ é uma PA, então a soma de seus termos será 180, pois a soma dos ângulos

internos de um triângulo é sempre 180 . Assim, pode-se escrever:

( )

PA ( , , ) ( r, , r)

r r 3S 180 180 3 60

2

α β γ β β β

β ββ β

= − +

− + + = = = =

b) Se (a, b, c) é uma PG de raiz q 2,= então pode-se escrever:

PG (a, b, c) (a, a 2, 2a) =

Pela lei dos cossenos, tem-se:

( ) ( )2 22 2 2 2 3

a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos4

β β β= + − = − =

Pela relação fundamental:

2 2 2 29 7 7sen cos 1 sen 1 sen sen

16 16 4β β β β β

+ = + = = =


Pбgina 46 de 72

Por fim, calculando a tangente:

7sen 7 4 74tg tg

3cos 4 3 3

4

ββ β

β= = = =


Considere a figura, em que PQ a= e 2OQ b a .= =

Sabendo que y x= é bissetriz dos quadrantes ímpares e O P é bissetriz de SOQ, temos

POQ 22 30'.= Além disso, do triângulo OPQ, vem

PQtgPOQ a cotg22 30'.

OQ= =

Logo, sendo

1 cos45cotg22 30' 2 1,

1 cos45

+ = = +

−

concluímos que a 2 1= + e, portanto, 2b a 3 2 2.= = +


Desde que ADC BAD 90 ,= = temos AFD .=+ Portanto, do triângulo ADF, vem

ADsenAFD AD sen( ).

DF= = +



Pбgina 47 de 72

5 1sen 30

10 2

7,05sen 0,705 45

10

α α

β α

= = =

= = =

Portanto, AOB 30 45 75 .= + =


Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos

2 2 2 2 2AC AD CD AC 1 2

AC 5.

= + = +

=

Desse modo, vem

CD 2cosACD cosACD .

AC 5= =

Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por LAL, segue que BCD 2 ACD= e,

portanto,


Pбgina 48 de 72

2

2

cosBCD 2 cos ACD 1

22 1

5

3.

5

= −

= −

=


Se ABCD e A 'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo

comprimento, então

FB B'C A 'D

2(40 30)

5

12 m.

π

= −

= −


Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem

2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6

AB 108

AB 6 3 cm.

= + = −

=

=

Do triângulo ABM encontramos

BM 3 3tgBAM tgBAM .

6AB 6 3= = =

É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM.= Logo, obtemos

2

2

tgMAC tg(BAC BAM)

2 tgBAM tgBAM

1 2 tgBAM tgBAM

tgBAM

1 2 tg BAM

3

6

31 2

6

3 6

6 7

3.

7

= −

−=

+

=+

=

+

=

=



Pбgina 49 de 72

Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC R,= OB OC r= = e

BAO 30 .= Logo, segue que AO AC OC R r.= − = − Portanto, do triângulo ABO, vem

OB rsenBAO sen30

R rAO

r 1

R 3

= =−

=

Em consequência, a razão pedida é igual a

22

2

r r 26 .

60 R 3R

360

π

π

= =

b) Se R 4r,= então, do triângulo ABO, obtemos

r 1sen sen .

2 R r 2 3

θ θ= =

−

Por conseguinte, vem

2

2

cos 1 2sen2

11 2

3

7.

9

θθ = −

= −

=


Vamos supor que PTB DTC. Assim, do triângulo BPT, vem

BP 1,5tgPTB BT m.

1,73BT=

Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos


Pбgina 50 de 72

CD 2,7tgCTD CT .

1,73CT=

Em consequência, segue que o resultado pedido é

4,2BT CT 2,43 m.

1,73+


1ª Solução: Tomando arbitrariamente x 0,= obtemos

0 02

sen0 2cos0 A cos(0 x ) cos x .A

+ = − =

Por outro lado, fazendo x ,2

π= vem

0 01

sen 2cos Acos x senx .2 2 2 A

π π π + = − =

Por conseguinte, sabendo que A 0 e 2 20 0sen x cos x 1,+ = encontramos

2 21 2

1 A 5.A A

+ = =

2ª Solução: Considere um triângulo retângulo de catetos 1 e 2, em que o ângulo oposto ao

cateto de medida 1 é 0x . Logo, segue que 0

1senx

5= e 0

2cos x .

5= Daí, temos

0 0

0

2 1senx 2cosx 5 cosx senx

5 5

5(cosxcosx senxsenx )

5 cos(x x ).

+ = +

= +

= −

Em consequência, vem A 5.=


Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura.


Pбgina 51 de 72

É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD ED.=

Sabendo que BAE 90 ,= tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE 2.=

Em consequência, sendo ABC 135 ,= concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B.

Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE 3.=

Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem

2 2 2 1( 3) 2 cos cos

2

120 .

θ θ

θ

= + − = −

=

Resposta da questão 43: Desenvolvendo o determinante, temos:

2

2

2

f(x) 4cos x 2

fazendo f(x) 1

1 4cos x 2

4cos x 3

3 5cosx x ou x

2 6 6

π π

= −

=

= −

=

= = =


Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem

2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,= + = + =

2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,= + = + =

2 2 2 2AE AD DE 3 1 4= + = + =

e


Pбgina 52 de 72

2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1

x 5cm.

= + = +

=

b) É imediato que BAC 45 .=

Do triângulo ACD, temos

CD 1tgCAD CAD arctg 45 .

2AC= =

Do triângulo ADE, vem

DE 1tgDAE DAE arctg 30 .

3AD= = =

Do triângulo AEF, segue

EF 1tgEAF EAF arctg 30 .

4AE= =

Portanto, tem-se

BAC CAD DAE EAF

45 45 30 30

150 .

α = + + +

+ + +

=


Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB.

Do triângulo retângulo OMB, obtemos

BM ABtgMOB MO .

MO 2tg2

θ= =

Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1.= Assim,


Pбgina 53 de 72

AB MO 1(AOB) .

24tg

2

θ

= =

A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AO B se

2 1(ABCD) (AOB) 1

4 tg2

1tg 0,25.

2 4

θ

θ

=

Logo, como tg15 0,2679 0,25 e 0 180 ,θ vem que 30 180 .θ Note que

]30 ,150 [ ]30 ,180 [.


Considere a figura, em que P' e Q ' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em

relação a RT, com T pertencente a L.

Como Q e Q ' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do

triângulo PRP'. Logo, RS 2 ST= e, portanto, RT 3 ST.=

Do triângulo PRT, vem

PTtg60 PT 3 3 ST

RT = =

e

PT 3 3 STsen60 PR

3PR

2

PR 6 ST.

= =

=


Pбgina 54 de 72

Do triângulo PST, obtemos

PT 3 3 STtg tg

ST ST

tg 3 3.

α α

α

= =

=

Sabendo que 2 2cossec 1 cotgα α= + e que α é agudo, encontramos

2

2 1 27cossec 1 sen

283 3

3 21sen .

14

α α

α

= + =

=

Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem

PRQR RS 2 ST2

sen sen sen3 21

14

21sen .

7

α θ θ

θ

= =

=


Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, 60 6 66 .α = + =

Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos:

60min 30

54min

β

Logo, 27 ,β = portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.

Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos:

93 2 2031cm (considerando, 3)

360

ππ

= =


Pбgina 55 de 72


2 2

P 32m

3

π ππ= = =


( )

( )

2

2 2 2

2 2 2

2

2cos x cos 2x 2

2cos x cos x – sen x 2

2cos x cos x – 1– cos x 2

4cos x – 3

3 3cosx ou cosx

2

0

2

+

+

+

−

Logo, o conjunto solução será:

5S x (0, ) | 0 x ou x

6 6

π ππ π

=


Sabendo que senx

tgx ,cosx

= com x k2

ππ + e

2 2cos x 1 sen x,= − vem

2

2

2

senxcosx tgx cosx

cosx

cos x senx

sen x senx 1

111senx

42

1 5senx

2 2

5 1senx .

2

= =

=

+ =

− =+

+ =

− =



Pбgina 56 de 72

[B] Efetuando o produto matricial, vem

0 3 tg 6cos 03 6 tg

6 8 cos 2 3 6 tg 8cos 2 3

3 tg 6cos 0

3 tg 4cos 3

2cos 3

3cos

2

rad.6

+ = =

− + = −

+ =

− − =

=

=

=

Desse modo,

3 tg 6cos 0 tg 36

rad3

+ = = −

= −

e, portanto,

rad.3 6 6

+ = − + = −


Sabendo que cos 0,8=α e 2 2sen cos 1,α α+ = obtemos sen 0,6.= Logo, do triângulo QNS,

vem

QSsen QS 0,6 3 1,8 m.

NQα = = =

Por outro lado, do triângulo MPQ, encontramos


Pбgina 57 de 72

MPcos MP 0,8 1 0,8 m.

PQα = = =

Assim, o resultado pedido é dado por

MP QS ST 0,8 1,8 1,2 3,8 m.+ + = + + =

Resposta da questão 53: [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro.

htan 15 h 3,8 tg 15

3,8 = =

Resposta da questão 54: [D] Como sen15 sen(45 30 )

sen45 cos30 sen30 cos45

2 3 1 2

2 2 2 2

6 2

4

= −

= −

= −

−=

Então:

11

h a( 6 2)sen15 h .

a 4

− = =

Além disso,

22

h a 2sen45 h

a 2 = =

Então:

1 2a( 6 2) a 2

h h4 2

a( 6 2).

4

−+ = +

+=


Pбgina 58 de 72

Por outro lado, sen75 sen(45 30 )

sen45 cos30 sen30 cos45

2 3 1 2

2 2 2 2

6 2

4

= +

= +

= +

+=

Então:

33

h a( 6 2)sen75 h .

a 4

+ = =

Portanto, 1 2 3h h h .+ =


2 2 2

2 22

2

a 3 a 2aNo CMB : cos30° x

x 2 x 3

a3 a a2No ENB : cos30° y

y 2 2y 3

ˆCBE 180 30 30 120

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:

CE x y 2.x.y.cos120

4a a 2a a 1CE 2

3 3 23 3

5aCE

Δ

Δ

= = =

= = =

= − − =

= + −

= + − −

=2 2

22

2a

3 3

7aCE

3

7CE a.

3

+

=

=



Pбgina 59 de 72

Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São

Paulo, Guaratinguetá e Campinas.

Sabendo que SPC 60= e CPG 90 ,= vem SPG 150 .= Logo, aplicando a Lei dos Cossenos

no triângulo SPG, encontramos

2 2 2

2 2

SG SP PG 2 SP PG cosSPG

80 160 2 80 160 cos150

36400 25600 2 12800

2

6400 (5 2 3)

= + −

= + −

= + − −

= +

Portanto, SG 80 5 2 3 km.= +

Resposta da questão 57: a) No triângulo assinalado:

R é a medida do raio da terra.

R 1cos 60

R R 2α α= = =

+

Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:

2 R 2 6400 12800km.

3 3 3

π π π = =

b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:

2 2 2

2 2 2

2

d R (2R) 2.R.2R.cos

d 5R 4.R .(3/4)

d 2.R

d R 2

d 6400. 2 km

θ= + −

= −

=

=

=


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( ) ( )

( )2 2

2 2

2

1f x cos x cos 2x

2

1f(x) cos x cos x sen x

2

1f(x) cos x (cos x 1 cos x)

2

1f(x) cos x cos x

2

= +

= + −

= + − +

= + −

Temos uma função do segundo grau na variável cosx. O valor do cosx para que f(x) seja mínimo será dado por:

1 1cos x cos x

2 1 2= − = −

Portanto, para

2 40 x 2 ,a função f(x) assume valor mínimo para x ou x = .

3 3

π ππ =


a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado:


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a a14 4tg

a 2θ

+

= =

b) Se tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π= temos:

2 2

2 2

1 4sen e cos

17 17

Logo, cos2 sen2 cos sen 2.sen .cos

4 1 1 4 16 1 8 72. .

17 17 17 1717 17 17 17

θ θ

θ θ θ θ θ θ

= =

− = − − =

= − − = − − =

Resposta da questão 60: [B] Considere a figura, em que h é a diferença pedida.

Sabendo que 3

cos30 ,2

= vem

2 2

31

30 1 cos30 2sen sen 152 2 2

2 1,73sen15

2

1 27sen15

2 100

1 3 1,73sen15

2 10

sen15 0,26.

− −

= =

−

Portanto, h 100 sen15 100 0,26 26 m.= =



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a) ( )22 1 10

sen P ÔQ .102 10 10

= = =

( )10

103

100

90

100

101

10

101QOPcos

2

2 ==−=

−=

b) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 2 1 2 1ÔPP 90 ,pois OP PP OP= = +

c) 1 2 2 1 2 2ˆ ÔPP OP Q, logo POP P OQΔ Δ α = =

( ) ( )12 6 6 3Êntão, sen POQ sen 2 2sen cos 2 .

10 52 10 2 10α α α= = = = =


x a.tgx k y

tg k d.tga d b

y b.tg

h x 2k y

h a.tg 2.d.tg b.tg

h tg .(a 2d b)

htg

a 2.d b

harctg

a 2.d b

α

α α

α

α α α

α

α

α

=

= = = = =

= + +

= + +

= + +

=+ +

=

+ +


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Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m. Resposta da questão 64: [A]


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No triângulo destacado, temos:

o dsen60

2

3 d

2 2

d 3

=

=

=

Resposta da questão 65: a)

No triângulo ABC assinalado, temos:

2 2 2

2 2

2

2

15 x x 2 x x cos120

1225 2x 2x

2

225 3x

x 75

x 5 3m

= + −

= − −

=

=

=

b)


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No triângulo BDC, temos:

2 2 2

2

y 15 10 2 15 10 cos60

y 225 100 150

y 175

y 5 7m

= + −

= + −

=

=

Resposta da questão 66: [E] Considere a figura.

Sabendo que ET 360km,= ST 320km,= cos 0,934 e que 8 22 3 93,4 215100, pela Lei

dos Cossenos, vem

2 2 2

2 2 2

2 2 2 5

2 8 2

2

ES ET ST 2 ET ST cos

ES 360 320 2 360 320 0,934

ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4

ES 232000 2 3 93,4

ES 232000 215100

ES 16900 ES 130km.

= + −

= + −

= + −

= −

= −

= =

Portanto, como 13

13min h,60

= temos que a velocidade média pedida é dada por


Pбgina 66 de 72

130600km h.

13

60

=

Resposta da questão 67: a) Observe o cálculo a seguir:

2 2

2

2

2

2.cos(2 ) 3.cos 1 0

2.(cos sen ) 3.cos 1 0

2.(2.cos 1) 3.cos 1 0

4cos 3.cos 1 0

25

1cos3 5

cos 48

cos 1(não coném)

1 15logo, sen = 1

4 4

α α

α α α

α α

α α

Δ

αα

α

α

+ + =

− + + =

− + + =

+ − =

=

=− =

= −

− =

b) traçando uma reta r representada na figura, temos:

15 5x

10cosx

15 5x1 10

4 x

10x 4 15 20x

30x 4 15

2 15x

15

α

−

=

−

=

= −

=

=



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3 3

23

2 2

2

2

log (1 cos x) log (1 cos x) 2

log (1 cos x) 2

1 cos x 3

11 cos x

9

8cos x

9

−

− + + = −

− = −

− =

− =

=

Portanto,

2 2

2 2

8 1 1sen x 1 sen x senx (0 x )

9 9 3

Calculando o valor pedido, temos:

8 1 1 10cos2x senx cos x sen x senx

9 9 3 9

= − = =

+ = − + = − + =

π


a) Para d 72 m= e r 36 m,= vem:

x 72 2 2 36 ( 2 1) 72 m.= − − =

Queremos calcular y BC CG GH.= + +

Como os triângulos ABC e DEF são congruentes, FE BC.= Além disso, FE GH,= pois

FE GH. Portanto,

y 2 BC CG

2 r sen x cos

2 36 sen45 72 cos45

2 272 72

2 2

72 2 m.

= +

= +

= +

= +

=

b) Para 60 = e r 36 m,= temos:

1

HI JE DJ DE r r cos60 36 36 18 m.2

= = − = − = − =

Do triângulo CFG, vem:

3

FG HE x sen x sen60 x.2

= = = =


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Portanto, para d 90 m,= segue que

3

d 2 JE HE 90 2 18 x x 36 3 m.2

= + = + =

Resposta da questão 70: [A] Como x e y são arcos complementares senx = cos y , seny = cosx e tgx = 1/tgy

sen (y – x ) = 1

3

seny.cosx – senx.cosy = 1

3

cosx.cosx – senx.cosx = 1

3

cos2x – sen2x = 1

3

cos2x – ( 1- cos2x) = 1

3

2.cos2x = 1

3+ 1

cos2x = 2

3

e sen2x = 1 – cos2x

logo sen2x = 1

3

e tg2x =

113

2 2

3

=

logo, tg2y = 2 Portanto: tg2y – tg2 x = 2 – ½ = 3/2 Resposta da questão 71: [B]

No triângulo ABC ABC 45 ,= aplicando o teorema dos senos, temos:

50 BCBC 2 50 BC 25 2

sen45 sen30= = =

No triângulo BDC, temos:

h 1 hsen30 h 12,5 2

225 2 25 2 = = =



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Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:

2 2 214 1 1 1 1

2. . .cos4 2 2 2 2

= + −

Resolvendo, temos

3cos

4 = − e que cos

o3( 180 )

4 = + =

Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:

( )

( )

222

222

1 1(AD) 1 2. .1.cos

2 2

1 1 3(AD) 1 2. .1.

2 2 4

= + −

= + − −

AD = 1 3

14 4+ −

AD = 2

2


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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 19/09/2020 às 12:58 Nome do arquivo: Trigonometria-2011-2020_Uni_Fuv_Vun_UERJ_UFRJ

Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............. 122012 ..... Média ............ Geografia ...... Fuvest/2013 ......................... Múltipla escolha 2 ............. 115069 ..... Baixa ............. Física............. Unesp/2012 .......................... Múltipla escolha 3 ............. 191258 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2020 ...................... Analítica 4 ............. 189961 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2020 .......................... Múltipla escolha 5 ............. 191261 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2020 ...................... Analítica 6 ............. 188638 ..... Baixa ............. Matemática ... Uerj/2020 ............................. Múltipla escolha 7 ............. 189856 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2020 ...................... Múltipla escolha 8 ............. 190645 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2020 ......................... Analítica 9 ............. 183421 ..... Elevada ......... Matemática ... Unicamp/2019 ...................... Analítica 10 ........... 182187 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2019 .......................... Múltipla escolha 11 ........... 182568 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2019 .......................... Analítica 12 ........... 184738 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2019 ............................. Analítica 13 ........... 182287 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2019 ......................... Múltipla escolha 14 ........... 179836 ..... Baixa ............. Matemática ... Uerj/2019 ............................. Múltipla escolha 15 ........... 184741 ..... Elevada ......... Matemática ... Uerj/2019 ............................. Analítica 16 ........... 182359 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2019 ...................... Múltipla escolha 17 ........... 182900 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2019 ......................... Analítica 18 ........... 175352 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2018 ......................... Múltipla escolha 19 ........... 175454 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2018 .......................... Múltipla escolha 20 ........... 175580 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2018 ...................... Múltipla escolha 21 ........... 176391 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2018 ......................... Analítica 22 ........... 175579 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2018 ...................... Múltipla escolha


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23 ........... 165939 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2017 ......................... Múltipla escolha 24 ........... 165858 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2017 ...................... Múltipla escolha 25 ........... 165948 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2017 ......................... Múltipla escolha 26 ........... 168995 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2017 ......................... Analítica 27 ........... 159789 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2017 ............................. Múltipla escolha 28 ........... 165857 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2017 ...................... Múltipla escolha 29 ........... 167222 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2017 ...................... Analítica 30 ........... 166211 ..... Baixa ............. Matemática ... Uerj/2017 ............................. Analítica 31 ........... 166404 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2017 .......................... Analítica 32 ........... 153943 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2016 ...................... Analítica 33 ........... 151630 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2016 ......................... Múltipla escolha 34 ........... 151742 ..... Baixa ............. Matemática ... Uerj/2016 ............................. Analítica 35 ........... 142374 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2016 ............................. Múltipla escolha 36 ........... 151632 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2016 ......................... Múltipla escolha 37 ........... 136082 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2015 .......................... Analítica 38 ........... 135921 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Múltipla escolha 39 ........... 136350 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2015 ...................... Analítica 40 ........... 135751 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2015 .......................... Múltipla escolha 41 ........... 135924 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Múltipla escolha 42 ........... 135852 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2015 ...................... Múltipla escolha 43 ........... 137071 ..... Elevada ......... Matemática ... Uerj/2015 ............................. Analítica 44 ........... 129745 ..... Elevada ......... Matemática ... Unicamp/2014 ...................... Analítica 45 ........... 128433 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2014 ......................... Múltipla escolha 46 ........... 128981 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2014 ......................... Analítica 47 ........... 132563 ..... Elevada ......... Matemática ... Unesp/2014 .......................... Múltipla escolha 48 ........... 132574 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2014 .......................... Analítica 49 ........... 128387 ..... Elevada ......... Matemática ... Unesp/2014 .......................... Múltipla escolha 50 ........... 128171 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2014 ...................... Múltipla escolha 51 ........... 122023 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2013 ......................... Múltipla escolha


Pбgina 72 de 72

52 ........... 125108 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2013 .......................... Múltipla escolha 53 ........... 121640 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2013 ...................... Múltipla escolha 54 ........... 120061 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2013 ............................. Múltipla escolha 55 ........... 121646 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2013 ...................... Múltipla escolha 56 ........... 125106 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2013 .......................... Múltipla escolha 57 ........... 123413 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2013 ...................... Analítica 58 ........... 122943 ..... Não definida .. Matemática ... Unesp/2013 .......................... Analítica 59 ........... 123412 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2013 ...................... Analítica 60 ........... 122040 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2013 ......................... Múltipla escolha 61 ........... 123356 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2013 ......................... Analítica 62 ........... 110076 ..... Elevada ......... Matemática ... Unesp/2012 .......................... Analítica 63 ........... 117459 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2012 .......................... Analítica 64 ........... 109336 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2012 ......................... Múltipla escolha 65 ........... 110760 ..... Média ............ Matemática ... Unicamp/2012 ...................... Analítica 66 ........... 108900 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2012 .......................... Múltipla escolha 67 ........... 110410 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2012 ......................... Analítica 68 ........... 109333 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2012 ......................... Múltipla escolha 69 ........... 102010 ..... Elevada ......... Matemática ... Unicamp/2011 ...................... Analítica 70 ........... 100952 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2011 ......................... Múltipla escolha 71 ........... 100550 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2011 .......................... Múltipla escolha 72 ........... 100949 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2011 ......................... Múltipla escolha

Documents

Trigonometria - 2011 a 2020 Fuvest, Unesp, Unicamp UERJ e