Um Estudo sobre Derivadas Fuzzy e Condições de … · UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS InstitutodeMatemática,Estatísticae ComputaçãoCientíﬁca NILMARADEJESUSBISCAIAPINTO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DECAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica

NILMARA DE JESUS BISCAIA PINTO

Um Estudo sobre Derivadas Fuzzy e Condiçõesde Otimalidade para Problemas de

Programação Não Linear Fuzzy

Campinas2017

Nilmara de Jesus Biscaia Pinto

Um Estudo sobre Derivadas Fuzzy e Condições deOtimalidade para Problemas de Programação Não Linear

Fuzzy

Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científicada Universidade Estadual de Campinas comoparte dos requisitos exigidos para a obtençãodo título de Mestra em Matemática Aplicada.

Orientador: Estevão Esmi LaureanoCoorientador: Laecio Carvalho de Barros

Este exemplar corresponde à versãofinal da Dissertação defendida pelaaluna Nilmara de Jesus Biscaia Pintoe orientada pelo Prof. Dr. EstevãoEsmi Laureano.

Campinas2017

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES, 1475698

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaAna Regina Machado - CRB 8/5467

Pinto, Nilmara de Jesus Biscaia, 1992- P658e PinUm estudo sobre derivadas fuzzy e condições de otimalidade para

problemas de programação não linear fuzzy / Nilmara de Jesus Biscaia Pinto. –Campinas, SP : [s.n.], 2017.

PinOrientador: Estevão Esmi Laureano. PinCoorientador: Laecio Carvalho de Barros. PinDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

Pin1. Otimização fuzzy. 2. Condições de otimalidade. 3. Derivadas interativas.

4. Derivadas por projeções. I. Estevão, Esmi,1982-. II. Barros, Laecio Carvalhode,1954-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática,Estatística e Computação Científica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: On fuzzy derivatives and optimality conditions for fuzzy nonlinearprogramming problemsPalavras-chave em inglês:Fuzzy optimizationOptimality conditionsInteractive derivativesDerivatives via projectionsÁrea de concentração: Matemática AplicadaTitulação: Mestra em Matemática AplicadaBanca examinadora:Estevão Esmi Laureano [Orientador]Aurelio Ribeiro Leite de OliveiraLucelina Batista dos SantosData de defesa: 13-03-2017Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

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Dissertação de Mestrado defendida em 13 de março de 2017 e aprovada

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof.(a). Dr(a). ESTEVÃO ESMI LAUREANO

Prof.(a). Dr(a). AURELIO RIBEIRO LEITE DE OLIVEIRA

Prof.(a). Dr(a). LUCELINA BATISTA DOS SANTOS

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros

encontra-se no processo de vida acadêmica do(a) aluno(a).

Aos meus pais

“Nunca deixe que lhe digam que não vale a pena acreditar no sonho que se tem.”(Renato Russo)

Agradecimentos

A Deus, por todas as pessoas que, carinhosamente, foram colocadas na minhavida.

Aos meus pais, que são minha vida, deram-me asas para voar, e sempre são oninho para onde voltar.

Aos meus antigos amigos, que mesmo distantes são presentes. São presentes eabraços distantes.

Aos novos amigos que, bem-humoradamente, tornaram as pressões suportáveis.

Aos professores, em particular, Lucelina Batista dos Santos, Estevão EsmiLaureano e Laecio Carvalho de Barros, pelos ensinamentos e salvamentos.

A CAPES, pelo apoio financeiro.

ResumoO trabalho se propõe a investigar as condições de otimalidade para o problema deprogramação não linear sob incertezas. Para tanto, são descritas as condições de Karush-Kuhn-Tucker para o problema clássico, e analisados os aspectos sob os quais é possívelexportar tais resultados para o caso fuzzy, isto é, o caso em que a função objetivo eas restrições de desigualdade são dadas por funções que tomam valores no conjunto denúmeros fuzzy. Fez-se necessário o estudo de conceitos de conjuntos fuzzy, dentre elesordem parcial, limites e derivadas de Hukuhara, Hukuhara generalizada e interativa. Foramobtidas condições KKT em termos das derivadas parciais interativas da função fuzzyobjetivo. Diante da dificuldade de calcular derivada para funções fuzzy, buscou-se umanova abordagem via limites de soluções de problemas de otimização.

Palavras-chave: Otimização fuzzy. Derivada interativa. Derivada por projeções. Condiçõesde otimalidade.

AbstractThis work aims to investigate optimality conditions for the nonlinear programming problemunder uncertainties. We analyze the theoretical aspects of the Karush-Kuhn-Tucker first-order conditions for the classical problem in order to obtain similar conditions for thefuzzy case, that is, the case where the objective function and the inequality constraintsare given by fuzzy-number-valued functions. To this end, we review some basic conceptsof fuzzy calculus such as partial order, limits, and (Hukuhara, generalized Hukuhara, andinteractive) derivatives. In particular, we develop the KKT conditions in terms of thepartial interactive derivative of the objective fuzzy-number-valued function. Finally, weintroduce a new approach to define a derivative for fuzzy-number-valued function basedon limits of solutions of optimization problems.

Keywords: Fuzzy optimization. Interactive derivative. Derivative via projection. Opti-mality conditions.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Exemplos de conjuntos fuzzy sobre a reta real . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 2 – Conjunto de nível para α arbitrário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 3 – Conjuntos de nível encaixantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 4 – Exemplo de função fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 5 – Exemplo de função fuzzy sem limite em um ponto . . . . . . . . . . . . 29Figura 6 – Exemplo de função fuzzy descontínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Figura 7 – Existência da Derivada de Hukuhara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 8 – Não existência da diferença de Hukuhara generalizada . . . . . . . . . 36Figura 9 – Distribuição de possibilidade conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 10 – Números fuzzy completamente negativamente correlacionados . . . . . 39Figura 11 – Função diferenciável convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 12 – Condições de Karush-Kuhn-Tucker em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . 53Figura 13 – Comparação entre dois números fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Figura 14 – Números fuzzy não comparáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 15 – Restrição de desigualdade satisfeita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 16 – Não ocorrência de mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Figura 17 – Diagrama de composição da função auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 18 – Função fuzzy convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Lista de símbolos

χA Função característica do conjunto A

cltAu Fecho do conjunto A

Bpx, εq Bola aberta de centro em x e raio ε

FpXq Conjunto de conjuntos fuzzy sobre X

pa, b, cq Número fuzzy triangular para a ď b ď c

pa, b, c, dq Número fuzzy trapezoidal para a ď b ď c ď d

RF Conjunto de números fuzzy

RnF Produto cartesiano de n conjuntos RF

FJpRnq Família de todas as distribuições de possibilidade de Rn

‘ Soma via extensão de Zadeh

d Produto por escalar via extensão de Zadeh

^ Ínfimo

rf Função que assume valores no conjunto de números fuzzy

rfLα Extremo inferior do conjunto de nível α de rf

rfUα Extremo superior do conjunto de nível α de rf

intpΩq Interior do conjunto Ω

∇ Gradiente

∇2 Hessiana

vt Transposto de v

dF Distância no conjunto de números fuzzy

C1 Espaço de funções continuamente diferenciáveis

J Distribuição de possibilidade

C Distribuição de possibilidade conjunta para números fuzzy completa-mente correlacionados

aH Diferença de Hukuhara

DH Derivada de Hukuhara

∇H Gradiente com respeito a derivada de Hukuhara

agH Diferença de Hukuhara generalizada

DgH Derivada de Hukuhara generalizada

∇gH Gradiente com respeito a derivada de Hukuhara generalizada

aJ Diferença interativa

DJ Derivada interativa

aC Diferença correlacionada

DC Derivada correlacionada

∇C Gradiente com respeito a derivada correlacionada

Ipxq Conjunto de restrições ativas no ponto x

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 CONCEITOS BÁSICOS DE CONJUNTOS FUZZY . . . . . . . . . 171.1 Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Conjuntos fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Números fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Princípio de extensão de Zadeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Cálculo para funções fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 DERIVADAS PARA FUNÇÕES FUZZY . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1 Derivada de Hukuhara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Derivada de Hukuhara generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Interatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.1 Números fuzzy interativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.2 Princípio de extensão para conjuntos fuzzy interativos . . . . . . . . . . . . 392.3.3 Derivada interativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.1 Derivada parcial de Hukuhara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.2 Derivada parcial de Hukuhara generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.3 Derivada parcial interativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 CONDIÇÕES DE OTIMALIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1 Condições de otimalidade para problemas de programação não linear 493.2 Condições de otimalidade para problemas de programação não li-

near fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.1 O problema de programação linear fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.2 Ordem parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.3 Função auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.4 Condições de otimalidade considerando a derivada de Hukuhara . . . . . . 583.2.4.1 Condições necessárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.4.2 Condições suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 CONDIÇÕES DE OTIMALIDADE POR DERIVADAS INTERATI-VAS E UMA INTRODUÇÃO A DERIVADA POR PROJEÇÕES . . 63

4.1 Condições de otimalidade considerando a derivada interativa . . . . 634.2 Derivada como solução de problemas de projeção . . . . . . . . . . . 64

Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

15

Introdução

A programação não linear consiste de problemas nos quais se pretende otimizar– minimizar – uma função real não linear, sujeita a restrições também descritas porfunções reais. A fim de garantir a existência e unicidade de soluções para o problema,são estabelecidas as condições de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) (KUHN;TUCKER, 1950), que também fornecem critérios para procurar tais soluções, desde queas funções sejam diferenciáveis.

Há diversas maneiras de abordar problemas de programação não linear conside-rando que as funções envolvidas – no objetivo e nas restrições – tem intrínseca imprecisão.Uma delas é usando variáveis aleatória para, através da teoria de probabilidades, fazerotimização estocástica (BIRGE; LOUVEAUX, 1997). Outra possibilidade é considerarque as funções utilizadas são intervalares, cujos resultados são dados pela otimizaçãointervalar (HANSEN; WALSTER, 2004). Há também a possibilidade de modelar incertezare subjetividades fazendo uso da teoria de conjuntos fuzzy.

Os conjuntos fuzzy foram definidos por Lofti A. Zadeh em 1965 (ZADEH, 1965).Inicialmente houveram muitas críticas ao seu trabalho, mas após mais artigos terem sidopublicados, foi crescendo a adesão de engenheiros e matemáticos à essa nova noção deconjunto – e à lógica subjacente. Isto porque notou-se o potencial dessa teoria, que procuraexpressar em termos matemáticos adjetivos comuns à fala e ao pensamento humano, ouseja, carregados de inexatidão. Por consequência disto, as aplicações se dão em diversasáreas, como em redes neurais, controladores e tomadas de decisão (PEDRYCZ; GOMIDE,2007), e em modelagem biomatemática (BARROS; BASSANEZI, 2015).

Para o problema de programação não linear fuzzy, encontrar suas condiçõesde otimalidade inclui estudar diferencibilidade para funções que assumem valores fuzzy.Baseado no proposto por (WU, 2008) e (PATHAK; PIRZADA, 2011), revisa-se aquia derivada de Hukuhara, de Hukuhara generalizada e a derivada interativa (BARROS;PEDRO, 2016). Procurando entender como estender as condições encontradas pelo primeiro,para o caso que as funções fuzzy envolvidas são interativas e diferenciáveis segundo aderivada interativa.

Nota-se que a dificuldade encontrada ao definir derivada para funções fuzzyse dá porque a operação diferença entre conjuntos não atende a exigências intuitivas.Buscando evitar tal operação, propõe-se uma nova interpretação da derivada, que recorrea soluções de problemas de projeção, ainda sem resultados conclusivos.

Para tais fins, o Capítulo 1 destina-se a introduzir os conceitos básicos deconjuntos fuzzy, e em particular, de números fuzzy, com os resultados relativos aos

Introdução 16

conjuntos de nível. São estabelecidas a métrica, e noções estendidas de cálculo.

São estudadas, no Capítulo 2, as derivações simples e parciais de Hukuhara, Hu-kuhara Generalizada e Interativa, procurando estabelecer resultados quanto aos conjuntosde nível de tais operadores.

No Capítulo 3 enuncia-se o problema de programação não linear em sua versãoclássica e o Teorema KKT, segundo (MANGASARIAN, 1934), para depois dissecar aversão para o problema fuzzy usando a derivada de Hukuhara, escolhendo uma ordemparcial adequada e uma função auxiliar que permite relacionar os problemas clássico efuzzy, segundo os resultados de (WU, 2008) e (PATHAK; PIRZADA, 2011).

O Capítulo 4 traz as contribuições deste trabalho para o estudo de problemasde otimização fuzzy e de derivadas para funções fuzzy. Usando procedimento análogoao analisado no Capítulo 3, condições de KKT são enunciadas e provadas considerandofunções fuzzy que possuem derivada interativa. Em seguida, propõe-se uma nova forma deexplorar a derivada fuzzy, evitando a utilização do operador de diferença entre conjuntos,e apelando para limites de soluções de problemas de minimização, a saber, o problema deprojeção.

17

1 Conceitos Básicos de Conjuntos Fuzzy

Um passo importante na tentativa de formular um modelo matemático (BAS-SANEZI, 2004) que descreva um fenômeno observado pela comunidade acadêmica, ounão, é procurar simplificar as informações que se tem a respeito. Ou seja, retirar o quese considera supérfluo para a análise do processo envolvido. Faz-se então uma primeiraaproximação e, em seguida, uma comparação com os dados reais. A partir das falhasapresentadas nesse teste, procura-se aperfeiçoar o modelo, buscando encontrar relações,equações e resultados mais verossímeis.

Este esforço, todavia, pode levar a modelos matemáticos inviáveis, ou porqueainda não há técnicas para estudar analiticamente o modelo, ou porque a implementaçãocomputacional é dispendioso em demasia. Contenta-se então com modelos parciais, nosentido de que são descritas apenas parte dos fatos, e através de análises estatísticas,analisa-se a frequência com que o modelo falha.

Em tradução literal, Albert Einstein disse “Quando as leis matemáticas sereferem a realidade, não estão exatas. E quando estão exatas, não se referem a realidade”(EINSTEIN, 1921). É dessa tentativa de tornar os modelos matemáticos mais próximos àrealidade que surge e toma força a teoria de conjuntos fuzzy. Sua intrínseca capacidade delidar com objetos subjetivos e imprecisos fez com que os receios iniciais à esse nova teoriadessem lugar a uma ampla utilização de sistemas de base de regras fuzzy e controladoresfuzzy por pesquisadores e indústrias de diversos setores.

A formalização de conjunto fuzzy, feita por Zadeh em 1965 (ZADEH, 1965),junto com os demais resultados básicos são as ferramentas que usaremos para tratar aincerteza em problemas de otimização não linear. Para tal fim, primeiramente, são feitasalgumas considerações sobre conjuntos parcialmente ordenados e funções monótonas, quedarão base suficiente para a continuidade dos demais capítulos. E depois destrinchamos asnoções de número fuzzy e α-nível. Por fim, introduzida uma métrica baseada na distânciade Hausdorff, trataremos de reconstruir definições usuais do cálculo – limite e continuidade– para o caso em que as funções são fuzzy.

1.1 Conjuntos parcialmente ordenadosIniciamos essa seção definindo alguns conceitos básicos de teoria de reticulados

(BIRKHOFF, 1979).

Definição 1.1. Um conjunto X dotado de uma relação binária ď (ou ě) reflexiva,antissimétrica e transitiva é chamado de conjunto parcialmente ordenado. Se, para todos

Capítulo 1. Conceitos Básicos de Conjuntos Fuzzy 18

x, y P X, temos x ď y ou y ď x, então X é dito um conjunto totalmente ordenado, ouuma cadeia.

A relação estrita ă (ou ą) é obtida quando x ď y (ou x ě y), mas x ‰ y, ouseja, é excluída a possibilidade de x e y serem iguais.

Exemplo 1.1. Um exemplo de cadeia é o conjunto de números reais R com a ordem usual.

Mais a frente veremos que é possível ordenar números fuzzy segundo ordensparciais convenientes.

Definição 1.2. Seja Y um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado X, dizemosque y P Y é elemento minimal de Y se não existe outro elemento z P Y tal que z ă y. Deforma semelhante, y P Y é elemento maximal de Y se não existe z P Y tal que z ą y.

Usando relação de ordem, podemos caracterizar a monotonicidade de funções.

Definição 1.3. Sejam X e Y dois conjuntos parcialmente ordenados, segundo as relaçõesďX e ďY respectivamente. Uma função f : X Ñ Y é crescente se para todos x, z P X comx ďX z, tem-se fpxq ďY fpzq. Caso x ăX z implique fpxq ăY fpzq, f é dita estritamentecrecente.

A função é entendida como sendo decrescente se para x ďX z, sempre ocor-rer que fpxq ěY fpzq; caso x ăX z implique fpxq ąY fpzq, a função é estritamentedecrescente.

Como X e Y podem ter estruturas bem distintas, é importante ter claro queexiste a possibilidade de suas ordens parciais ser diferentes, aqui dadas por ďX e ďY .

Proposição 1.1. Seja f : X Ñ Y uma função estritamente crescente em Z, se fpzq éelemento minimal de fpZq, então z P Z é elemento minimal de Z .

Demonstração. Tomemos z P Z tal que fpzq é elemento minimal de fpZq, e suponhemosque z não é elemento minimal de Z, isto é, existe x P Z tal que x ă z. O fato de que f éestritamente crescente garante que teremos fpxq ă fpzq, o que é uma contradição com ahipótese assumida de que fpzq é elemento minimal de fpZq. Assim, z é elemento minimalde Z.

Definição 1.4. Um elemento x P X é dito limitante inferior (ou superior) do conjuntoparcialmente ordenado Y Ď X se x ď y (x ě y) para todos y P Y .

Sejam y, z P Y , se y ď w e w ď z para quaisquer w P Y , então y é dito omínimo, e z o máximo elemento de Y . Caso o conjunto de limitantes inferiores de Ytenha máximo, digamos y, ele é chamado ínfimo de Y . Da mesma forma, se y é o mínimoelemento do conjunto de limitantes superiores de Y , ele é dito supremo de Y .


Um conjunto parcialmente ordenado L tal que todos subconjuntos finitos Y temínfimo, sinalizado por ^Y , e supremo, _Y , em L é nomeado um reticulado. Se todosos subconjuntos – finitos ou não – tem supremo e ínfimo, então temos um reticuladocompleto.

Em particular, todo conjunto totalmente ordenado é um reticulado. Comoexemplo de reticulado completo temos os intervalos fechados, com a ordem usual.

Os conjuntos fuzzy, que serão apresentados a seguir, podem ser parcialmenteordenados de diversas formas, uma delas será apresentada no Capítulo 3.

1.2 Conjuntos fuzzyA comunicação entre as pessoas se dá, constantemente, por expressões e afir-

mações de caráter subjetivo, que a teoria de conjuntos clássica não consegue reproduzir. Ateoria de conjuntos fuzzy, por sua vez, procura abarcar situações que podem ser represen-tadas por valores lógicos distintos de – apenas – 0 e 1.

Definição 1.5. (ZADEH, 1965) Um conjunto fuzzy u sobre X, o conjunto universo, quenesse texto será sempre um espaço topológico, é totalmente determinado por sua funçãograu de pertinência µu : X Ñ r0, 1s que representa o grau de pertinência de x P X a u.

Para facilitar a notação, usaremos apenas µupxq “ upxq, @ x P X.

Definido dessa forma, o conceito de conjunto fuzzy estende o conceito clássicode conjuntos, dados por sua função característica χA : X Ñ t0, 1u, em que são permitidosapenas dois valores lógicos, χApxq “ 0 correpondente a não pertinência de x a A, eχApxq “ 1, caso x pertença a A. Para conjuntos fuzzy, considera-se o grau com que xsatisfaz as características descritas em u. Dessa forma, consegue captar a essência subjetivae imprecisa de conceitos como “bom”, “alto” ou “suficiente”, por exemplo.

O conjunto fuzzy vazio é aquele cujo grau de pertinência é nulo para todos oselementos de X. E dizemos que todo o universo X é o conjunto fuzzy constante igual a 1.

Tal formulação abrange e expande, também, a lógica matemática a ser utilizadaa fim de raciocinar com tais conjuntos. Operações entre conjuntos, relações fuzzy e produtocartesiano serão abordados mais a frente.

Exemplo 1.2. Algumas das funções de pertinências mais utilizadas são as que seguem,ilustradas na Figura 1.

(a) Função de pertinência do conjunto fuzzy triangular pa, b, cq:


upxq “

$

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

%

0, se x ď ax´ a

b´ a, se x P ra, bs

c´ x

c´ b, se x P rb, cs

0, se x ě c

.

(b) Função de pertinência do conjunto fuzzy trapezoidal pa, b, c, dq:

upxq “

$

’

’

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

’

’

%

0, se x ď ax´ a

b´ a, se x P ra, bs

1, se x P rb, csd´ x

d´ c, se x P rc, ds

0, se x ě d

.

(c) Função de pertinência gaussiana: upxq “ e´kpxáq2 , para k ě 1.

(d) Função de pertinência exponencial: upxq “ 11` kpx´ aq2 , para k ě 1.

(e) Função de pertinência Γ-função: upxq “

$

&

%

0, se x ď akpx´ aq2

1` kpx´ aq2 , se x ą a.

(f) Função de pertinência sigmóide: upxq “ 11` ećpxáq .

Notação 1.1. Denotaremos o conjunto de conjuntos fuzzy sobre X por FpXq.

Naturalmente, dois conjuntos fuzzy são iguais se, e somente se, suas funções depertinência são iguais para cada elemento x de X.

Um conceito importante é o de α-nível, que traduz a informação do conjuntofuzzy em termos de subconjuntos crisp1 – clássicos – de X.

Definição 1.6. Para a função de pertinência u : X Ñ r0, 1s, o α-nível é o conjunto

rusα “ tx P X;upxq ě αu, para todo α P p0, 1s.

O conjunto de nível para α “ 0 é rus0 “ cltx P R;upxq ą 0u, em que cltAu é ofecho do conjunto crisp A, conhecido como o suporte de u.

Graficamente tem-se que o intervalo vermelho tracejado é o α-nível do conjuntofuzzy da Figura 2.1 Não é comum traduzir esta expressão “conjunto crisp” para o português, seria possível, entretanto,

entendê-la como “conjunto nítido”, ou ainda, “conjunto preciso”.


Figura 1 – Exemplos de conjuntos fuzzy sobre a reta real

(a) Triangular (b) Trapezoidal

(c) Gaussiana (d) Exponencial

(e) Γ-função (f) Sigmóide

Representação gráfica da função de pertinência dos conjuntos fuzzy do Exemplo 1.2. Fonte:própria autora.

Figura 2 – Conjunto de nível para α arbitrário

Representação gráfica da Definição 1.6. O intervalo trajeçado em vermelho corresponde aoα-nível do conjunto fuzzy apresentado. Fonte: própria autora.

Agora tratamos de investigar algumas características dos conjuntos de nível dasfunções grau de pertinência. Esta primeira proposição dá uma sugestão de como usá-los a


fim de comparar dois conjuntos fuzzy.

Proposição 1.2. Sejam u e v dois conjuntos fuzzy definidos sobre o mesmo conjuntouniverso X, então u “ v se, e somente se, rusα “ rvsα, para todo α P r0, 1s.

A proposição seguinte, seguindo a Representação de Negoita-Ralescu (NE-GOITA; RALESCU, 1975), garante a caracterização de um conjunto fuzzy através de seusα-níveis, mediante a garantia de que seja possível ordená-los convenientemente.

Teorema 1.1. (PURI; RALESCU, 1983) Seja trusα;α P r0, 1su uma família de conjuntosde nível de u P FpXq, com X um conjunto clássico. Então

(i) rus1 Ď rusβ Ď rusα Ď rus0, para todo 0 ď α ď β ď 1, como pode ser visto na Figura3; e

(ii) Se panq é uma sequência não decrescente em r0, 1s, convergente para α, então

rusα “8č

n“1rusan .

Figura 3 – Conjuntos de nível encaixantes

Representação gráfica do Teorema 1.1. Para β ě α, temos rusβ Ď rusα. Fonte: própriaautora.

Seja Y “ tAα Ď X;α P r0, 1su uma família de subconjuntos de X tal queA0 “ X e Aα satisfaz as condições (i) e (ii), então existe um único conjunto fuzzyu P FpXq tal que rusα “ Aα para todo α P r0, 1s. Além disso, o conjunto u é definido daseguinte maneira:

upxq “ suptα P r0, 1s;x P Aαu.


Dadas tais caracterizações dos conjuntos fuzzy por seus conjuntos de nível,partimos para definição de número fuzzy, que pretende estender a noção de número real,isto é, considerar o conjunto de números reais próximos a um valor x P R específico.

1.3 Números fuzzyDoravante nosso interesse será nos conjuntos fuzzy da seguinte forma.

Definição 1.7. (DIAMOND; KLOEDEN, 2000) Entende-se por número fuzzy um sub-conjunto fuzzy dos números reais u : RÑ r0, 1s que satisfaz:

(i) Normalidade: u é normal quando existe x P R tal que upxq “ 1;

(ii) Convexidade da função de pertinência: para quaisquer x, y P R e t P r0, 1s tem-seque

uptx` p1´ tqyq ě mintupxq, upyqu;

(iii) Função de pertinência semicontínua superior: quando rusα “ tx P R | upxq ě αu éfechado em R para cada α P p0, 1s, ou ainda, se

@ ε ą 0, D δ ą 0 tal que upxq ´ upx0q ă ε, quando |x´ x0| ă δ; e

(iv) O fecho do suporte de u, cltx P R | upxq ą 0u, é compacto.

O conjunto de números fuzzy sobre R será denotado por RF, sendo este umsubconjunto dos conjuntos fuzzy sobre R, RF Ď FpRq.

Esta definição garante que trabalharemos com conjuntos fuzzy cujos α-níveissão intervalos compactos (NEGOITA; RALESCU, 1975).

Notação 1.2. Escrevemos rusα “ ruLα, uUα s, em que uLα é o extremo inferior e uUα é o extremosuperior do α-nível.

O Teorema 1.1 leva a próxima afirmação.

Proposição 1.3. (PURI; RALESCU, 1983) Se u, v P FpXq, então ru ` vsα “ rusα `

rvsα, @ α P r0, 1s.

Outra visão do Teorema 1.1 é o teorema seguinte, que permite fornece condiçõesde encaixe para que um conjunto de intervalos corresponda aos α-níveis, de modo a construirum número fuzzy.

Teorema 1.2. (NEGOITA; RALESCU, 1975) Dada uma família de subconjuntos tMα :α P r0, 1su que satisfaz as condições:


(i) Mα é intervalo fechado não vazio para todo α P r0, 1s;

(ii) Se 0 ď α1 ď α2 ď 1, então Mα2 ĎMα1;

(iii) Para qualquer sequência pαnq não decrescente, convergente para α P p0, 1s temos8č

n“1Mαn “Mα; e

(iv) Para qualquer sequência pαnq não crescente, convergente para 0 temos

cl

˜

8ď

n“1Mαn

¸

“M0.

Então existe um único u P RF tal que uα “Mα, para qualquer α P r0, 1s.

Demonstração. Mostraremos esse teorema, segundo a prova exibida em (BEDE, 2012),definindo o conjunto u dado por

upxq “

$

&

%

0, se x RM0

suptα P r0, 1s | x PMαu, se x PM0

e provando que u é número fuzzy, cujos α-níveis são uα “Mα, para α P p0, 1s, e u0 ĎM0.Vejamos:

(a) u é normal.

M1 é não vazio, logo D x PM1 tal que upxq “ 1.

(b) u tem função de pertinência convexa.

Fixemos x P ra, bs ĎM0. Supondo que$

&

%

upaq “ αa “ suptα|a PMαu

upbq “ αb “ suptr|b PMαu

e que upaq ď upbq, isto é, αa ď αb, temos, pela hipótese (ii), que Mαb ĎMαa . Assim,a PMαa e b PMαb ĎMαa . Como Mαa é intervalo fechado, ra, bs ĎMαa , logo

upxq ě αa “ upaq “ mintupaq, upbqu.

Obtemos o mesmo resultado, de modo análogo, para upbq ď upaq.

(c) uα “Mα.

Provemos, primeiramente, que uα ĚMα. Seja α0 P r0, 1s fixado, porém arbitrário ex PMα0 . Temos que α0 P tα P r0, 1s|x PMαu, logo

upxq “ suptα P r0, 1s|x PMαu ě α0 ñ x P uα0 ñMα0 Ď uα0 .


A outra inclusão provamos tomando x P uα0 ô upxq ě α0. Supondo que upxq ą α0,isto implica que

suptα P r0, 1s|x PMαu ą α0 e existe α1 ě α0 tal que x PMα1 e Mα1 ĎMα0 .

Consequentemente, x PMα0 .

Agora, sendo upxq “ α0 “ suptα P r0, 1s|x P Mαu, existe uma sequência pαnq nãocrescente que converge para α0, tal que x PMαn , n ě 1. E, do item (iii), temos que

x P8č

n“1Mαn “Mα0 ñ uα0 ĎMα0 .

(d) Semicontinuidade superior.

Notemos que uα “ Mα é intervalo fechado para todos os α P r0, 1s, logo o seucomplemento, Rzuα “ tx P R|upxq ă αu é aberto, assim temos u semicontínuasuperior.

(e) Suporte compacto.

u0 “ cltx|upxq ą 0u “ cl

˜

8ď

n“1tx|upxq ě αnu

¸

“ cl

˜

8ď

n“1Mαn

¸

“M0.

EM0 é fechado e limitado. Como se trata de um intervalo real, é, portanto, compacto.

Temos, assim, que tal família tMαu de intervalos constitui a família de α-níveisde u, um número fuzzy.

Uma consequência deste teorema é a proposição a seguir.

Proposição 1.4. (SEIKKALA, 1987) Seja raLα, aUα s, 0 ă α ď 1, uma família de intervalosnão vazios. Se

(i) raLα, aUα s Ą raLβ , aUβ s, @ 0 ă α ď β, e

(ii) Para pbkq uma sequência não decrescente convergindo para α P p0, 1s, com”

limkÑ8

aLbk , limkÑ8

aUbk

ı

“ raLα, aUα s,

então a família raLα, aUα s, 0 ă α ď 1 representa os α-níveis de um número fuzzy a.

Reciprocamente, se raLα, aUα s, 0 ă α ď 1, são os α-níveis de um números fuzzya, então valem as afirmações (i) e (ii).

Esses resultados nos dão uma ideia de como encontrar soluções para o problemaproposto no Capítulo 4, pois estabelecem as condições para reconstruir um número fuzzydado um conjunto de intervalos, que serão os respectivos α-níveis.


1.4 Princípio de extensão de ZadehO Princípio de extensão de Zadeh consiste de um método matemático que

estende uma função f : X1 ˆX2 ˆ . . .ˆXn Ñ Y para o caso fuzzy.

Princípio 1 (de Extensão de Zadeh). Seja f : X1ˆ . . .ˆXn Ñ Y , em que X1ˆ . . .ˆXn

são universos arbitrários quaisquer. O Princípio de extensão de Zadeh da função f é afunção rf : FpX1qˆ. . .ˆFpXnq Ñ FpY q, dada para cada pu1, . . . , unq P FpX1qˆ. . .ˆFpXnq

por

rfpu1, . . . , unqpyq “

$

&

%

suppx1,...,xnqPf´1pyq

u1px1q ^ . . .^ unpxnq , se f´1pyq ‰ H

0 , se f´1pyq “ H

,

para y P Y , ou seja, f´1pyq “ tpx1, . . . , xnq P X1 ˆ . . .ˆ Xn; fpx1, . . . , xnq “ yu.

Aqui usaremos o símbolo ^ para denotar o operador mínimo.

Proposição 1.5. (NGUYEN, 1978), (BARROS, 1997),(ROMÁN-FLORES; BARROS;BASSANEZI, 2001) Seja f : X Ñ Y , com X e Y espaços topológicos. Se f é uma funçãocontínua, então

rfpAqsα “ fprAsαq, @ α P r0, 1s.

Podemos, então, afirmar como se somam dois números fuzzy, e como se multi-plica um número fuzzy por escalar.

Adição: Sejam u, v P RF, para somá-los basta utilizar o princípio de extensão para afunção

f : X ˆ X Ñ X

px1, x2q ÞÝÑ fpx1, x2q “ x1 ` x2,

obtendo:

Čpu‘ vqpxq “ supx1`x2“x

upx1q ^ vpx2q.

Por consequência, caso u e v sejam números fuzzy, os α-níveis desta soma são(como visto na Proposição 1.3):

rru‘ rvsα “ rruLα ` rvLα , ru

Uα ` rvUα s.

Multiplicação por escalar: Desta vez usaremos o princípio para a função

f : R x X Ñ X

pλ, xq ÞÝÑ fpλ, xq “ λx,


com λ ‰ 0 constante.

Temos entãopČλd uqpxq “ sup

λx“yχλpλq ^ upxq,

em que χλptq “#

1 , se t “ λ

0 , se t ‰ λ, ou seja, χλpλq “ 1, o que leva a pČλd uqpxq “ u

ý

λ

¯

.

Para números fuzzy, os α-níveis da multiplicação (PURI; RALESCU, 1983) são

rλd rusα “ rλruLα, λru

Uα s, para λ ą 0 e rλd rusα “ rλru

Uα , λru

Lαs, para λ ă 0.

Sabendo operar números fuzzy, vamos agora procurar uma forma de medirdistância entre eles. Partimos da distância usual entre conjuntos crisp.

Tradicionalmente distância de ponto a conjunto é definida como sendo

dpa,Bq “ infta´ b ; b P Bu.

Usada para calcular a separação de Hausdorff (HAUSDORFF, 1978):

d˚HpA,Bq “ suptdpa,Bq; a P Au.

A distância entre dois números fuzzy é definida a partir da métrica de Hausdorff,que faz uso dessa separação.

Definição 1.8. (HAUSDORFF, 1978) Seja K a classe dos conjuntos compactos de umespaço normado X. A distância de Hausdorff é dada por

dHpA,Bq “ maxtd˚HpA,Bq, d˚HpB,Aqu, para todos A,B P K. (1.1)

Nota-se que dHpA,Bq “ dHpB,Aq.

Proposição 1.6. (DIAMOND; KLOEDEN, 2000) Esta distância é, de fato, uma métricaem K.

Podemos assim definir uma distância para o conjunto de números fuzzy. Parara,rb P RF,

dF pra,rbq “ sup0ďαď1

tdHpraα,rbαqu.

Como consequência direta da definição de distância de Hausdorff (DIAMOND;KLOEDEN, 2000) e do item (i) do Teorema 1.2, tal métrica é dada por

dF pra,rbq “ sup0ďαď1

maxt|raLα ´rbLα|, |raUα ´

rbUα |u.


Observação 1.1. O espaço métrico de números fuzzy com a métrica de Hausdorff pRF, dF q

é completo. Porém a bola fechada

Br0, 1s “ tra P RF | dF pra,r0q ď 1u,

em que r0 é o número fuzzy com função de pertinência 1 para o número 0, e função depertinência nula para os demais números reais, não é fechada, nem separável. Assim,pRF, dF q não é separável, tampouco compacto (BEDE, 2012).

Definição 1.9. Definimos, a partir dessa métrica, a norma de um número fuzzy ru comosendo

ruF “ dF pru, 0q, @ ru P RF. (1.2)

Tendo uma métrica para o conjunto de números fuzzy, ou seja, uma forma demedir o quão parecidos são dois números fuzzy, podemos resgatar conceitos de cálculo,desta vez para funções fuzzy.

1.5 Cálculo para funções fuzzyNesta seção serão definidos limite e continuidade para funções que assumem

valores fuzzy, buscando recuperar os resultados usuais – para funções reais.

Definição 1.10. (WU, 2004) Uma função fuzzy rf é uma função que leva elementos deum espaço vetorial X ao espaço dos números fuzzy, isto é,

rf : X Ñ RF.

Um exemplo de função fuzzy é o que consta na Figura 4. Neste caso, a cadax0 P R obtemos um número fuzzy destacado pela curva roxa.

Observação 1.2. Os extremos dos α-níveis de tais funções, rfLα pxq “rfLpα, xq e rfUα pxq “

rfUpα, xq, são funções reais para cada α P r0, 1s, e é este fato que nos permitirá chegar aosresultados desejados.

Agora podemos definir algumas noções importantes, o que será feito em analogiacom as funções reais.

Definição 1.11. Seja rf : RnÑ RF, diz-se que rL é o limite de rf quando x tende a x0 se

para cada ε ą 0 existe δ “ δpx0, εq ą 0 tal que

dF p rfpxq, rLq ă ε, @ x P Rn com›

›x´ x0›› ă δ.

Notação 1.3. Escrevemos limxÑx0

rfpxq “ rL.


Figura 4 – Exemplo de função fuzzy

Representação gráfica de um exemplo de função fuzzy, segundo a Definição 1.10, paraX “ R. Ao valor x0 está associado o número fuzzy em destaque – a curva roxa. Fonte:própria autora.

Figura 5 – Exemplo de função fuzzy sem limite em um ponto

Representação gráfica de um exemplo de função fuzzy que não possui limite, segundo aDefinição 1.11 em x0. A superfície azul é a função fuzzy à direita de x0 e a roxa, à esquerdado ponto. Fonte: própria autora.

A Figura 5 contém uma função fuzzy cujo limite em x0 não existe. Isto se deveao fato de que o limite à direita de x0, observado pela parte azul da função fuzzy, diferedo limite à esquerda de x0, calculado em cima da superfície roxa.

A proposição a seguir permite expressar limites de uma função fuzzy em termosdos limites das funções reais que compõem os extremos dos conjuntos de nível.


Proposição 1.7. Seja rL limite de rf quando x tende a x0, então se tem que, para todoα P r0, 1s,

limxÑx0

rfLα pxq “rLLα e lim

xÑx0rfUα pxq “

rLUα . (1.3)

Demonstração. Seja rL o limite de rf quando x tende a x0, então para todo ε ą 0 existeδ ą 0 tal que dF p rfpxq, rLq ă ε, para todo x P Rn, com

›

›x´ x0›› ă δ.

Mas tal distância é dada por

dF p rfpxq, rLq “ sup0ďαď1

maxt| rfLα pxq ´ rLLα|, |rfUα pxq ´

rLUα |u.

Logo, para todo α P r0, 1s, | rfLα pxq ´ rLLα| ă ε e | rfUα pxq ´ rLUα | ă ε, para cadax P Rn tal que

›

›x´ x0›› ă δ. Portanto a proposição é verdadeira.

De modo natural é possível definir o conceito de continuidade.

Definição 1.12. Seja rf : RnÑ RF. Diz-se que rf é contínua em c P Rn se para cada ε ą 0

existe δ “ δpc, εq ą 0 tal que

dF p rfpxq, rfpcqq ă ε, @x P Rn com x´ c ă δ.

Se rf for contínua para todos os pontos do domínio, dizemos simplesmente que é rf écontínua.

Figura 6 – Exemplo de função fuzzy descontínua

Representação gráfica de uma função fuzzy sobre R que em x0 não corresponde à Definição1.12, isto é, não é contínua em x0. A curva em branco corresponde ao limite a esquerdae a direita de rfpxq quando x Ñ x0 e a curva em roxo, ao número que a função de fatoassume nesse ponto, isto é, rfpx0q. Fonte: própria autora.


A Figura 6 é o gráfico de uma função fuzzy não contínua no ponto x0.

Por consequência dessa definição, valem as propriedades análogas às de limitenos α-níveis.

Proposição 1.8. Se rf é contínua em c, então as funções reais nos extremos dos α-níveisrfLα e rfUα também são contínuas em c, para todo α P r0, 1s.

Demonstração. É totalmente análoga à demonstração da Proposição 1.7.

Com essa Proposição encerramos o Capítulo 1, destacando a conveniência douso da métrica de Hausdorff para números fuzzy. Foi através dela que pudemos afirmarque o limite e a continuidade de funções fuzzy implicam no limite e continuidade dasfunções reais dos conjuntos de nível. Estamos, portanto, prontos para definir derivadapara funções a valores fuzzy, o que será feito no Capítulo 2.

32

2 Derivadas para Funções Fuzzy

Procuramos nesse capítulo entender, primeiro, como derivar funções fuzzyvaluadas, depois como derivar parcialmente. Mais uma vez em análogia ao cálculo defunções reais, pretendemos estender a definição de derivada através do limite:

limhÑ0

fpx` hq ´ fpxq

h.

Precisamos, portanto, de uma ferramenta viável que permita calcular a diferençaentre dois conjuntos fuzzy, a saber, rfpx0 ` hq e rfpx0q.

Notemos que as operações usuais de soma entre dois conjuntos e multiplicaçãopor escalar são feitas como segue.

Para A, B Ă Rn, A, B ‰ H e γ P R, a soma é dada por A`B “ ta` b | a PA, b P Bu, e o produto por um escalar é γA “ tγa | a P Au. A operação de diferençanatural é, portanto, A´B “ ta´ b | a P A, b P Bu.

No entanto isto é, de certo modo, contra-intuitivo. Tomemos A “ r0, 1s, entãoÁ “ r´1, 0s, logo A`pÁq “ r´1, 1s, enquanto que a resposta esperada seria AÁ “ t0u.

Como pretendemos definir derivada tomando como base as noções usuais dederivada, faz-se minimamente necessário garantir que a derivada de uma função constanteseja nula. Para tanto, exigimos que a diferença rfpxq ´ rfpxq seja igual a zero. E justamentepor isso que a diferença usual não será adequada.

A fim de buscar uma operação que seja compatível com o desejável, definimostrês diferenças ao longo do trabalho. Cada uma delas dará origem a uma noção específicade derivação para funções a valores fuzzy. Em seguida, definimos derivada parcial deHukuhara, Hukuhara generalizada e interativa.

2.1 Derivada de HukuharaA primeira noção de derivação estudada aqui é a que faz uso da noção de

diferença de Hukuhara entre conjuntos.

Definição 2.1. (HUKUHARA, 1967), (PURI; RALESCU, 1983) Sejam A e B subcon-juntos não vazios de Rn. Se existe C ‰ H tal que A “ B ` C, então C “ AaH B é ditoa diferença de Hukuhara entre A e B.

Exemplo 2.1. A` t0u “ A, logo AaH A “ t0u para todo A Ă Rn.

Capítulo 2. Derivadas para Funções Fuzzy 33

Embora esta definição satisfaça a noção intuitiva, ela é restritiva, afinal taldiferença nem sempre existe.

Um contra-exemplo é t0u aH r0, 1s, haja vista que não existe conjunto C talque C ` r0, 1s “ t0u.

Esta proposição garante casos de existência dessa diferença.

Proposição 2.1. (DIAMOND; KLOEDEN, 1994) Sejam A e B intervalos reais. Se existeuma translação de B por d tal que B ` tdu Ď A, então AaH B existe e é única.

Nota 1. Para A, B Ă R, esta proposição afirma que é necessário que o diâmetro de B sejamenor ou igual ao diâmetro de A.

Para o caso de números fuzzy, ra, rb P RF, se existe rc satisfazendo ra “ rb ‘ rc,então raaH rb “ rc, em que rc tem α-níveis da forma:

rrcsα “ rraLα ´

rbLα,raUα ´

rbUα s.

Dada a diferença de Hukuhara, podemos definir a derivada de Hukuhara,motivada pela definição de derivada lateral para funções a valores reais.

Definição 2.2. (HUKUHARA, 1967), (PURI; RALESCU, 1983) Seja X Ă R. Umafunção rf : X Ñ RF é dita H-diferenciável em x0

P X se

limhÑ0`

1hd

”

rfpx0` hq aH rfpx0

q

ı

e limhÑ0`

1hd

”

rfpx0q aH

rfpx0´ hq

ı

(2.1)

existem e são iguais. Neste caso denotamos o limite acima por D rfpx0q, chamado de

H-derivada de rf em x0.

Notemos que nos casos em que as diferenças de Hukuhara rfpx0` hq aH rfpx0

q

ou rfpx0q aH

rfpx0´ hq não existem, rf não é H-diferenciável em x0.

Exemplo 2.2. Considere a função fuzzy rf : R Ñ RF tal que r rfpxqsα é um intervalo realdado na Figura 7, onde a linha azul representando rfL0 e a linha vermelha representandorfU0 , ou seja, a região entre as linhas se trata do suporte de rf . Tomando x0 na regiãoquadriculada (à direita), existirá a derivada de rf em x0; porém se x0 estiver na regiãoxadrez (à esquerda), não haverá derivada de Hukuhara em x0.

Exemplo 2.3. A função rf : p0, 2πq Ñ RF com α-níveis definidos da seguinte maneira

r rfpxqsα “ p1´ αqp2` senxqr´1, 1s, @ α P r0, 1s

não é H-diferenciável em x0“π

2 .


Figura 7 – Existência da Derivada de Hukuhara

Representação gráfica do Exemplo 2.2. Vista superior do α-nível de uma função fuzzy rf ,para α P r0, 1s fixado. Para este α a curva superior, em azul, corresponde à rfLα , e a curvainferior, em vermelho, diz respeito à rfUα . A região xadrez corresponde aos valores de x P Xpara os quais há a derivada de Hukuhara. A região quadriculada diz respeito aos valoresde x para os quais não existe derivada de Hukuhara. Fonte: própria autora.

De fato, de acordo com a Nota 1, diam”

rf´π

2 ` h¯ı

αdeve ser maior ou igual que

diam”

rf´π

2

¯ı

α. Entretanto diam

”

rf´π

2 ` h¯ı

α“ 2p1´ αqp2` coshq e diam

”

rf´π

2

¯ı

α“

6p1´ αq, logo não existe rf´π

2 ` h¯

aHrf´π

2

¯

.

Seguindo a ideia da Proposição 1.7, enunciamos o seguinte resultado.

Proposição 2.2. (SEIKKALA, 1987), (BARROS; BASSANEZI; LODWICK, 2017),(PATHAK; PIRZADA, 2011) Se rf é H-derivável em x0, então rfLα e rfUα também sãodiferenciáveis em x0, @ α P r0, 1s. E vale que pD rfqαpx

0q “ rD rfLα px

0q, D rfUα px

0qs.

Demonstração. Seja rf H-derivável em x0, ou seja, existem os limites dados por (2.1) e sãoiguais. Pela Proposição 1.7, tem-se, então, que os α-níveis de D rf em x0 são intervaloscujos limites, dados em (1.3), do extremo inferior rfLα px

0q existem e são iguais, e do mesmo

modo para a extremidade superior rfUα px0q do α-nível. Portanto, vale a proposição.

Esta Proposição afirma que para derivar uma função fuzzy (H-derivável) bastasaber derivar as funções reais que compõem os extremos dos conjuntos de nível. Istosignifica que a derivada de Hukuhara implica na derivada de Seikkala (SEIKKALA, 1987).Para que elas sejam equivalentes, pede-se que a função seja continuamente diferenciávelem relação a variável x (BEDE, 2012).

2.2 Derivada de Hukuhara generalizadaNa tentativa de preencher a lacuna deixada pelo fato de que a diferença de

Hukuhara existe apenas em casos específicos, outra diferença entre dois conjuntos é definidaagora.


Definição 2.3. (STEFANINI, 2010), (BEDE; STEFANINI, 2013) Para A e B conjuntoscrisp não vazios. A diferença de Hukuhara generalizada C “ A agH B é definida, casoexista, como sendo o conjunto C tal que

(i) A “ B ` C, ou

(ii) A “ B ´ C.

Esta diferença também não existe para todos quaisquer conjuntos A e B. Noentanto, quando a diferença de Hukuhara existe, é igual a diferença generalizada deHukuhara, de tal modo que esta nova diferença se trata sim de uma extensão da primeira.

Para números fuzzy definimos a diferença de Hukuhara generalizada de modoanálogo ao feito para conjuntos crisp.

Definição 2.4. (STEFANINI, 2010), (BEDE; STEFANINI, 2013) Para ra e rb númerosfuzzy. A diferença de Hukuhara generalizada rc “ ra agH rb é definida, caso exista, comosendo o conjunto rc tal que

(i) ra “ rb` rc, ou

(ii) ra “ rb´ rc.

Em se tratando de números fuzzy com α-níveis rrasα “ rraLα,raUα s e rrbsα “ rrbLα,rbUα s,quando tal diferença existe seus α-níveis são dados por (STEFANINI, 2010):

rraagH rbsα “”

mintraLα ´rbLα,raUα ´

rbUα u,maxtraLα ´rbLα,raUα ´

rbUα uı

. (2.2)

Exemplo 2.4. Tal diferença não é possível ser calculada, por exemplo, para os númerosfuzzy ra “ p2, 3, 5, 6q e rb “ p0, 4, 8q, pois caso existesse seria dada por (2.2), o que geraria ográfico (b) da Figura 8.

Naturalmente, usando essa definição, encontramos uma nova noção de diferen-ciabilidade, a de Hukuhara generalizada.

Definição 2.5. (STEFANINI; BEDE, 2009),(BEDE; STEFANINI, 2013) Uma funçãorf : X Ñ RF é dita gH-diferenciável em x0

P X Ă R se

limhÑ0

1hd

”

rfpx0` hq agH rfpx0

q

ı

existe. Chamamos tal limite – quando existe – de derivada de Hukuhara generalizada emx0 e denotamos por DgH

rfpx0q P RF.

Teorema 2.1. (BEDE; STEFANINI, 2013) Seja rf : X Ñ RF. Se rfLα e rfUα são funçõesreais uniformemente diferenciáveis em α P r0, 1s, então a função rf é gH-diferenciável emx0P X se, e somente se, um dos seguintes casos vale:


Figura 8 – Não existência da diferença de Hukuhara generalizada

(a) ra é dado pela linha contínua e rb é dado pela linha tracejada

(b) Resultado da tentativa de subtrair ra e rbpela diferença de Hukuhara generalizada

Representação gráfica do Exemplo 2.4. Fonte: própria autora.

(i) D rfLα px0q é crescente e D rfUα px

0q é decrescente, como funções de α, e

D rfL1 px0q ď D rfU1 px

0q, ou

(ii) D rfLα px0q é decrescente e D rfUα px

0q é crescente, como funções de α, e

D rfU1 px0q ď D rfL1 px

0q.

E temos, @ α P r0, 1s,”

DgHrfpx0

q

ı

α“

”

mintD rfLα px0q, D rfUα px

0qu,maxtD rfLα px

0q, D rfUα px

0qu

ı

.

Observação 2.1. Os α-níveis da gH-derivada são da forma”

DgHrfpx0

q

ı

α“

”

D rfLα px0q, D rfUα px

0q

ı

ou”

DgHrfpx0

q

ı

α“

”

D rfUα px0q, D rfLα px

0q

ı

. (2.3)

Não pode acontecer que para alguns α vale a primeira expressão de (2.3), e para os demais,a segunda expressão.


Assim como a derivada de Hukuhara, a derivada de Hukuhara generalizadatambém tem limitações. É possível definir uma derivada que é sempre calculável, a derivadageneralizada (STEFANINI; BEDE, 2009), contudo sua interpretação e seu cálculo sãocomplicados, logo ela será omitida neste texto. Procederemos introduzindo ferramentasque permitirão definir a derivada interativa.

2.3 InteratividadeProcessos interativos são comuns em fenômenos biológicos (BAETENS; BA-

ETS, 2009), (CABRAL; BARROS, 2015), de tal modo que é razoável considerar estacaracterística no cálculo das derivadas. Isso é feito através do conceito de interatividadefuzzy, a ferramenta que descreve a correlação entre rfpx0

` hq e rfpx0q.

2.3.1 Números fuzzy interativos

Números fuzzy podem ser encarados, em analogia a distribuições de probabili-dade, como distribuições de possibilidade.

Definição 2.6. (ZADEH, 1978) Uma distribuição de possibilidade em Rn é um subcon-junto fuzzy J de Rn com função de pertinência J : Rn

Ñ r0, 1s normal, isto é, existex P Rn qual que Jpxq “ 1.

Aqui Jpxq é interpretado como a possibilidade de que a sentença “x é J” sejaverdadeira.

Usaremos FJpRnq para denotar a família de todas as distribuições de possibili-

dade de Rn.

Definição 2.7. (ZADEH, 1978) Sejam rai P RF, i “ 1, . . . , n, e J P FJpRnq. J é dita a

distribuição de possibilidade conjunta de todos os rai se vale

suppx1,...,xnqPRn,xi“y

Jpxi, . . . , xnq “ raipyq, @ y P R, i “ 1, . . . , n.

rai é a projeção de J no i-ésimo eixo, chamada de distribuição de possibilidademarginal.

Em particular, para ra,rb P RF, J é a distribuição de possibilidade conjunta dera e rb se temos

maxy

Jpx, yq “ rapxq e maxx

Jpx, yq “ rbpyq, @ x, y P R.

Exemplo 2.5. Baseada no artigo (ESMI et al., 2015), a Figura 9 ilustra um exemplo noqual C é a distribuição de possibilidade conjunta para os números fuzzy triangulares ra e rb.


Figura 9 – Distribuição de possibilidade conjunta

Exemplo de distribuição de possibilidade conjunta C para os números fuzzy ra e rb. Fonte:própria autora.

Definição 2.8. (ZADEH, 1978) Dada uma distribuição de possibilidade J para os númerosfuzzy ui, i “ 1, . . . , n, dizemos que eles são não interativos quando J é dada por

Jpu1, . . . , unq “ mintu1px1q, . . . , unpxnqu, @ x1, . . . , xn P R.

Caso contrário, u1, . . . , un são ditos interativos.

Definição 2.9. (CARLSSON; FULLÉR et al., 2004) Dois números fuzzy u e v são ditoscompletamente correlacionados caso existam q, r P R, com q ‰ 0, tais que a distribuiçãode possibilidade conjunta C de u e v é dada por:

Cpx, yq “ upxq.χtqx`r“yupx, yq “ vpyq.χtqx`r“yupx, yq (2.4)

em que χtqx`r“yu é a função característica da reta real de coeficiente angular q e coeficientelinear r: tpx, yq P R2

|qx` r “ yu.

Se q ą 0, ra e rb são ditos completamente positivamente correlacionados. E seq ă 0, são chamados completamente negativamente correlacionados.

Os únicos elementos de C que têm grau de pertinência não nulos são aquelesque estão sobre a reta y “ qx` r.

Notemos que os α-níveis são dados por

rCsα “

px, qx` rq P R2|x “ p1´ tqraLα ` traUα , t P r0, 1s

(

,

e que rrbsα “ qrrasα ` r para qualquer α P r0, 1s.


A Figura 10 exemplifica o caso em que ra e rb são completamente negativamentecorrelacionados através de C. O intervalo em vermelho representa α-nível de C para umdado α P r0, 1s.

Figura 10 – Números fuzzy completamente negativamente correlacionados

Representação gráfica da distribuição de possibilidade conjunta C, para ra erb completamentecorrelacionados através da reta qx` r “ y, com q ă 0. Fonte: própria autora.

2.3.2 Princípio de extensão para conjuntos fuzzy interativos

Seja J uma distribuição de possibilidade conjunta com distribuições marginaisra1, . . . ,ran P RF e seja f : Rn

Ñ Rm uma função. A extensão de f via J é a função rfJ cujafunção de pertinência é dada por (FULLÉR; MAJLENDER, 2004)

rfJpra1, . . . ,ranqpyq “

$

&

%

suppx1,...,xnqPf´1pyq

Jpx1, . . . , xnq, , se f´1pyq ‰ H

0 , se f´1pyq “ H

Caso ra e rb sejam números fuzzy completamente correlacionados, com distribui-ção de possibilidade conjunta dada por (2.4), e f : RˆRÑ R definida por fpx, yq “ x`y,a extensão de f via C é a função

rfC : RF ˆ RF Ñ RF

pra,rbq ÞÝÑ rfCpra,rbq

cuja função de pertinência é

rfCpra,rbq “ supz“x`y

Cpx, yq “ supz“x`y

rapxq.χtqx`r“yupx, yq.


Os α-níveis da soma interativa desses dois números fuzzy correlacionados atravésda reta y “ qx` r são dados por

rA‘C Bsα “ pq ` 1qrAsα ` r.

Quando q “ ´1, temos rBsα “ ´rAsα` r, @ α P r0, 1s e a soma de A e B é umnúmero real: rA‘C Bsα “ r P R, @ α P r0, 1s, isto é, perde-se a característica de incerteza,pois se obtém um número real – crisp.

Assim, a soma interativa pode ser diferente da soma não-interativa, pois nocaso anterior temos

supz“x`y

Cpx, yq ‰ supz“x`y

mintApxq, Bpyqu.

Em geral, segue que A‘C B Ď A‘ B, pois pA‘C Bqpyq ď pA‘ Bqpyq, paratodos y P R.

E, em particular, para números fuzzy completamente correlacionados, q ą 0,segue que

A‘C B “ A‘B.

2.3.3 Derivada interativa

Sejam A,B P RF e J a distribuição de possibilidade conjunta de A e B. Adiferença segundo a distribuição J é dada pelo princípio de extensão:

pAaJ Bqpzq “ supxý“z

Jpx, yq.

Observemos agora o que ocorre caso os números fuzzy A e B completamentecorrelacionados sejam subtraídos através da extensão interativa da função g : Rˆ RÑ Rdada por gpx, yq “ fpx,ýq “ x´ y.

Obtemos rgCpA,Bqpzq “ pAaC Bqpzq “ supz“xý

Cpx, yq, sujos α-níveis são:

rAaC Bsα “ p1´ qqrAsα ´ r, @ α P r0, 1s.

Observação 2.2. Interessante notar que

(i) Caso A e B sejam negativamente completamente correlacionados, isto é, q ă 0,tem-se que AaC B “ A´B, a diferença clássica discutida no começo da seção 2.1;

(ii) Se A e B forem positivamente correlacionados, tem-se AaCB “ AagHB (BARROS;PEDRO, 2016);

(iii) E, em particular, se A e B foram correlacionados com q ě 1, recuperamos a diferençade Hukuhara: AaC B “ AaH B (BARROS; PEDRO, 2016).


Uma propriedade importante que esta diferença interativa possui é que

AaC A “ 0,

obtida se a distribuição de possibilidade conjunta C é dada pela equação (2.4), com q “ 1e r “ 0.

Os α-níveis dessa diferença são dados através da próxima proposição.

Proposição 2.3. (BARROS; PEDRO, 2016) Sejam A e B números fuzzy completamentecorrelacionados, isto é, rBsα “ qrAsα ` r, cujos α-níveis são rAsα “ raLα, aUα s e rBsα “rbLα, b

Uα s então a diferença interativa é dada nos conjuntos de nível por:

rBaCAsα “

$

’

’

’

&

’

’

’

%

rbLα ´ aLα, b

Uα ´ a

Uα s “ rpq ´ 1qaLα ` r, pq ´ 1qaUα ` rs, se q ě 1

rbUα ´ aUα , b

Lα ´ a

Lαs “ rpq ´ 1qaUα ` r, pq ´ 1qaLα ` rs, se 0 ă q ă 1

rbLα ´ aUα , b

Uα ´ a

Lαs “ rqa

Lα ` r ´ a

Uα , qa

Uα ` r ´ a

Lαs, se q ă 0

(2.5)

Sabendo subtrair números fuzzy podemos definir derivada para números fuzzyinterativos, primeiramente para o caso em que J é qualquer distribuição de possibilidadeconjunta de rfpx0

` hq e rfpx0q.

Definição 2.10. (BARROS; PEDRO, 2016) Seja X Ă R um aberto e uma funçãorf : X Ñ RF. Para cada h suficientemente pequeno, seja J a distribuição de possibilidadeconjunta de rfpx0

` hq e rfpx0q, com x0

P X. A função rf é dita J-diferenciável em x0 seexiste um número fuzzy DJ

rfpx0q tal que

DJrfpx0

q “ limhÑ0

1h

”

rfpx0` hq aJ rfpx0

q

ı

.

Em particular, quando rfpx0` hq e rfpx0

q são completamente correlacionados,para cada h suficientemente pequeno, isto é, rfpx0

` hq “ qphq rfpx0q ` rphq, definimos a

derivada interativa correlacionada.

Definição 2.11. (BARROS; PEDRO, 2016) Seja X Ă R um aberto e uma funçãorf : X Ñ RF. Para cada h suficientemente pequeno, sejam rfpx0

`hq e rfpx0q números fuzzy

completamente correlacionados, com distribuição de possibilidade conjunta C. A função rf

é dita C-diferenciável em x0 se existe um número fuzzy DCrfpx0

q tal que

DCrfpx0

q “ limhÑ0

1h

”

rfpx0` hq aC rfpx0

q

ı

.

Dizemos que DCrfpx0

q é a derivada fuzzy completamente correlacionada de rf em x0.

Sabendo que essa operação de subtração é dada, segundo o valor de qphq, por(2.5), podemos enunciar o teorema a seguir, segundo o qual é possível encontrar os α-níveisda derivada interativa sabendo apenas as derivadas dos extremos dos α-níveis.


Teorema 2.2. (BARROS; PEDRO, 2016) Seja rf : X Ñ RF uma função fuzzy C-diferenciável em x0

P X, um conjunto aberto de R, então rfL e rfU são diferenciáveis emx0, e seja β “ th P R|0 ă |h| ă δ e x0

` h P Xu para algum δ ą 0, tem-se:

”

DCrfpx0

q

ı

α“

$

’

’

’

&

’

’

’

%

(a) rD rfLα px0q, D rfUα px

0qs, se qphq ě 1, @ h P β

(b) rD rfUα px0q, D rfLα px

0qs, se 0 ă qphq ă 1, @ h P β

(c) rD rfLα px0q, D rfLα px

0qs, se qphq ă 0, @ h P β.

em que DCrfpx0

q é a C-derivada de rf em x0P X.

Demonstração. Se qphq ě 1 temos, pela Observação 2.2 piiiq, que

rfpx0` hq aC rfpx0

q “ rfpx0` hq aH rfpx0

q,

para todo h suficientemente pequeno. Assim, pela Proposição 2.2 concluímos o caso (a).

Agora, se rfpx0`hq e rfpx0

q são positivamente correlacionados com 0 ă qphq ă 1,o segundo item da Proposição 2.3 garante o caso (b).

Para provar o caso (c), em que qphq ă 0, notemos que a existência de DCrf em

x0 garante, em particular, a existência do limite

limhÑ0`

rfLα px0 ` hq ´ rfUα px

0q

h,

que implica emlimhÑ0`

rfLα px0` hq ´ rfUα px

0q “ 0.

Como rfpx0` hq e rfpx0

q são completamente correlacionados, encontramoslimhÑ0`

rfLα px0` hq “ rfLα px

0q, e consequentemente rfLα px

0q “ rfUα px

0q, para qualquer x0

P X

fixado.

Noutras palavras, temos que se rf é C-derivável, então rf é real, com α-níveisda forma r rf sα “ r rfLα , rfLα s. Naturalmente, sua derivada é rD rf sα “ rD rfLα s.

As condições de otimalidade costumam fazer uso de gradientes, para tantofaz-se necessário o estudo das derivadas parciais para funções fuzzy.

2.4 Derivadas parciaisPara definir derivada parcial procederemos de modo análogo ao que é feito

com funções de várias variáveis que assumem valores reais. Inicialmente faremos para aderivada de Hukuhara.


2.4.1 Derivada parcial de Hukuhara

Definição 2.12. Sejam rf : X Ñ RF com X um aberto do Rn e x0“ px0

1, . . . , x0nq P X

fixado. Dizemos que i-ésima H-derivada parcial de rf em x0 existe quando os limites

limhÑ0`

fpx0 ` eihq aH fpx0q

he lim

hÑ0`

fpx0q aH fpx0 ´ heiq

h(2.6)

existem e são iguais, sendo ei “ p0, . . . , 1, . . . , 0q, o i-ésimo vetor canônico. E denotamos

por DHirfpx0

q, ou BHrf

Bxipx0q.

Sobre a H-diferenciabilidade, temos a seguinte caracterização, motivada peladefinição de diferenciabilidade para funções do tipo f : Rn

Ñ R (APOSTOL, 1963).

Definição 2.13. Uma função fuzzy valuada rf : X Ñ RF é dita H-diferenciável em x0 setodas as H-derivadas parciais existem em x0.

Dizemos que rf é H-diferenciável em X se o for em cada x0P X.

Notação 2.1. O gradiente de rf em x0 é denotado por ∇H : X Ñ RnF, em que Rn

F é oproduto cartesiano RF ˆ RF ˆ . . .ˆ RF com n fatores. É definido por

∇Hrfpx0

q “ pDH1rfpx0

q, . . . , DHnrfpx0

qq.

Como os resultados obtidos serão com base nos α-níveis, vamos a esta definiçãoe à proposição que segue.

Definição 2.14. Os conjuntos de nível de ∇ rfpx0q são dados por

p∇Hrfpx0

qqα “ ppDH1rfpx0

qqα, . . . , pDHnrfpx0

qqαq, @ α P r0, 1s.

Proposição 2.4. (PATHAK; PIRZADA, 2011) Seja rf : X Ñ RF H-diferenciável em x,com X um aberto do Rn. Então rfLα e rfUα também são diferenciáveis para todo α P r0, 1s,sendo, para cada x P X e para cada i “ 1, . . . , n, Di

rfpx0q é um número fuzzy com α-níveis

pDHirfpxqqα “ rDi

rfLα pxq, DirfUα pxqs, i “ 1, . . . , n.

Demonstração. A Proposição 2.2 garante que uma i-ésima derivada das funções dosextremos dos α-níveis em x0 existe, para todos i “ 1, . . . , n.

A próxima definição estende o conceito usual de uma função (real) ser derivávelcom derivada contínua, isto é, f P C1.

Definição 2.15. Uma função fuzzy valuada é dita continuamente H-diferenciável em x0

se as H-derivadas parciais BHrf

Bxi, para i “ 1, . . . , n existem em alguma vizinhança de x0 e

são contínuas em x0.

Dizemos que rf é continuamente H-diferenciável em X se o for em cada x0P X.


Proposição 2.5. (PATHAK; PIRZADA, 2011) Seja rf : X Ñ RF continuamente H-diferenciável em X um aberto de Rn. Então rfLα e rfUα também são continuamente diferen-ciáveis em X, para todo α P r0, 1s.

Demonstração. Decorre imediatamente das Proposições 1.8 e 2.2.

As proposições desta seção mostraram que basta saber como se comportam asfunções dos extremos dos α-níveis, para tratar de derivação de funções fuzzy valuadas.

2.4.2 Derivada parcial de Hukuhara generalizada

Nesta Subseção discutiremos brevemente a derivada parcial de Hukuharageneralizada. Sua definição surge, naturalmente, como extensão da derivada de Hukuharageneralizada estabelecida em (STEFANINI; BEDE, 2009) e (BEDE; STEFANINI, 2013).


1, . . . , x0nq P X

fixado. A i-ésima gH-derivada parcial de rf em x0 é definida quando o limite

limhÑ0

fpx0 ` eihq agH fpx0q

h(2.7)

existe. Usamos como notação DgHi

rfpx0q ou BgH

rf

Bxipx0q.

Sobre a gH-diferenciabilidade, motivados pela Definição 2.5, temos a seguintecaracterização.

Definição 2.17. Uma função fuzzy valuada rf é dita gH-diferenciável em x0 se todas asH-derivadas parciais existe em x0.

Dizemos que rf é gH-diferenciável em X se o for em cada x0P X. Neste caso,

gradiente de rf em x0 é denotado por

∇gHrfpx0

q “ pDgH1

rfpx0q, . . . , DgH

nrfpx0

qq.

Definição 2.18. Os conjuntos de nível de ∇ rfpx0q são dados por

p∇gHrfpx0

qqα “ ppDgH1

rfpx0qqα, . . . , pD

gHn

rfpx0qqαq, @ α P r0, 1s.

A exemplo do que foi feito para a derivada parcial de Hukuhara, podemosmostrar, dessa vez para a derivada parcial de Hukuhara generalizada, como é a forma dosconjuntos de nível da i-ésima gH-derivada parcial. Enunciando um resultado análogo aoTeorema 2.1 de (BEDE; STEFANINI, 2013).

Teorema 2.3. Seja rf : X Ñ RF. Se rfLα e rfUα são funções reais uniformemente diferenciá-veis em α P r0, 1s, então a função rf tem i-ésima gH-derivada em x0

P X se, e somente se,um dos seguintes casos vale:


(i) DirfLα px

0q é crescente e Di

rfUα px0q é decrescente, como funções de α, e

DirfL1 px

0q ď Di

rfU1 px0q, ou

(ii) DirfLα px

0q é decrescente e Di

rfUα px0q é crescente, como funções de α, e

DirfU1 px

0q ď Di

rfL1 px0q.

E temos, @ α P r0, 1s,´

DgHi

rfpx0q

¯

α“

”

mintDirfLα px

0q, Di

rfUα px0qu,maxtDi

rfLα px0q, Di

rfUα px0qu

ı

.

Uma função ser C1, segundo a derivada de Hukuhara generalizada, é sinônimoda definição a seguir.

Definição 2.19. Uma função fuzzy valuada é dita continuamente gH-diferenciável em x0

se as gH-derivadas parciais BgHrf



Dizemos que rf é continuamente gH-diferenciável em X se o for em cadax0P X.

Novamente, a partir do comportamento das derivadas parciais das funções quecompom os extremos dos conjuntos de nível, obtemos informações a cerca da derivadaparcial de Hukuhara generalizada.

2.4.3 Derivada parcial interativa

Para a derivada interativa, o conceito de derivada parcial fica como segue.


1, . . . , x0nq P X

fixado. A i-ésima C-derivada parcial de rf em x0 é definida quando temos rfpx0` hq e

rfpx0q completamente correlacionados e existe o limite

limhÑ0

fpx0 ` eihq aC fpx0q

h. (2.8)

Neste caso a C-derivada parcial é o resultado do limite que denotaremos aqui

por DCirfpx0

q ou BCrf

Bxipx0q.

Caracterizamos C-diferenciabilidade através da próxima definição.


Definição 2.21. Uma função fuzzy valuada rf : X Ñ RF, com X um aberto de Rn, é ditaC-diferenciável em x0 se cada uma das C-derivadas parciais existe em x0.

Dizemos que rf é C-diferenciável em X se o for em cada x0P X. Nesse caso, o

gradiente de rf em x0 é denotado por

∇Crfpx0

q “ pDC1rfpx0

q, . . . , DCnrfpx0

qq.

Definição 2.22. Os conjuntos de nível de ∇Crfpx0

q são dados por

p∇Crfpx0

qqα “ ppDC1rfpx0

qqα, . . . , pDCnrfpx0

qqαq, @ α P r0, 1s.

Definição 2.23. Sejam rf : RnÑ RF e x P Rn tais que ∇C

rfpxq existe. E sejam qiphq, riphq

os respectivos parâmetros para as correlações de rfpx` eihq e rfpxq, para i “ 1, . . . , n. Seexiste δ ą 0 tal que para cada i “ 1, . . . , n, ocorre um dos casos:

i) qiphq ě 1, @ h P p´δ, δq;

ii) 0 ă qiphq ď 1, @ h P p´δ, δq;

iii) qiphq ă 0, @ h P p´δ, δq,

dizemos que rf não tem pontos de troca em uma δ-vizinhança de x. Caso contrário, dizemosque rf tem pontos de troca nessa vizinhança de x.

Interessante observar que se ∇Crfpxq existe e rf não tem pontos de troca em

determinada δ-vizinhança de x, então a i-ésima C-derivada de rf em x será dada por umdos casos apresentados no Teorema 2.2.

Teorema 2.4. Para X um aberto de Rn, seja rf : X Ñ RF uma função fuzzy C-diferenciávelem x0 que não tenha pontos de troca em alguma δ-vizinhança de x0, com δ ą 0, então rfL

e rfU são diferenciáveis em x0, e vale

”

DCirfpx0

q

ı

α“

$

’

’

’

&

’

’

’

%

(a) rDirfLα px

0q, Di

rfUα px0qs, se qiphq ě 1, @ h ă β

(b) rDirfUα px

0q, Di

rfLα px0qs, se 0 ă qiphq ă 1, @ h ă β

(c) rDirfLα px

0q, Di

rfLα px0qs, se qiphq ă 0, @ h ă β.

Demonstração. Este teorema é consequência direta da definição de C-diferenciabilidade edo Teorema 2.2.

Definição 2.24. Uma função fuzzy valuada é dita continuamente C-diferenciável em x0

se as C-derivadas parciais BCrf



Dizemos que rf é continuamente C-diferenciável em X se o for em cada x0P X.


Analogamente ao que é feito com as derivadas parciais de Hukuhara, aquipodemos garantir que a C-diferenciabilidade contínua, em certo sentido, se reflete nosconjuntos de nível. Mais precisamente, temos a Proposição que segue.

Proposição 2.6. Se função de um aberto X de Rn no conjunto de números fuzzy écontinuamente C-diferenciável, então as funções que compõem os extremos dos conjuntosde nível são de classe C1.

Como desejado, além de apresentar as derivadas de Hukuhara, Hukuharageneralizada e interativa, buscamos entender como derivar parcialmente uma função avalores fuzzy.

Ainda, notamos a intrínseca simplicidade da derivada interativa, além de suasemelhança com as duas primeiras derivadas. Foi tal patente similaridade que motivou oestudo das condições de otimalidade que serão apresentadas no Capítulo 3.

48

3 Condições de Otimalidade

Problemas de otimização, aqueles em que se procura minimizar ou maximizaruma função, aparecem em diversas áreas do conhecimento e setores da sociedade. Elessão classificados de acordo com as características das funções envolvidas (HILLIER;LIEBERMAN, 2001). Pode ser um problema sem restrições – irrestrito – ou sujeito arestrições. Caso as funções sejam lineares, o problema é quantitativamente estudado atrávesda programação linear.

É comum, porém, que alguma das funções, que pode estar apenas nas restrições,seja não lineares (BRACKEN; MCCORMICK, 1968). Neste caso o problema é dito nãolinear e a programação não linear sugere possibilidades para resolvê-lo a partir das condiçõesde otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker (KKT).

Este Capítulo destina-se a encontrar condições análogas às de KKT para proble-mas de otimização não-linear fuzzy, isto é, aquele em que as funções envolvidas assumemvalores imprecisos – funções fuzzy. Solucionar este problema significa encontrar pontosque minimizam uma função a valores fuzzy – a função objetivo –, e que simultaneamentesatisfaçam, para n P N qualquer, n restrições de desigualdade dadas por funções fuzzy,segundo uma ordem parcial adequada.

Inicialmente, na Seção 3.1, estabeleceremos o problema clássico de programaçãonão linear irrestrito, seguido de suas condições de otimalidade, e depois o problema comrestrições de desigualdade, junto às condições KKT.

Em sequência, na Seção 3.2, procuraremos entender problema de programaçãonão linear em sua versão fuzzy, esclarecendo qual a noção de solução aqui utilizada.Baseada na escolha de uma ordem parcial conveniente ĺ, encontramos o critério para quea função fuzzy satisfaça as restrições de desigualdade, e conseguimos relacionar o mínimodo problema fuzzy, com o mínimo das funções que compõem os extremos dos conjuntos denível da função objetivo.

Seguindo o encadeamento de ideias proposto por Wu em 2008 (WU, 2008) eseguido por Pathak e Pirzada em 2011 (PATHAK; PIRZADA, 2011), definiremos umafunção auxiliar estritamente crescente, que na prática funciona como um defuzzificador1

da função objetivo, ou seja, um operador que associa um número fuzzy a um número real(LEEKWIJCK; KERRE, 1999). Transformaremos o problema de otimização fuzzy em umproblema de otimização clássico, para os quais já temos condições de otimalidade bemestabelecidas.1 Tal expressão não costuma ser traduzida para o português, contudo pode ser interpretada como uma

forma de destituir de incerteza um conjunto fuzzy.

Capítulo 3. Condições de Otimalidade 49

Para tanto consideraremos apenas funções fuzzy continuamente H-diferenciáveis,para as quais o gradiente e suas propriedades foram descritos no Capítulo 2. Dessa formaa função auxiliar terá derivadas parciais e as condições serão consistentes.

3.1 Condições de otimalidade para problemas de programação nãolinear

Primeiramente enunciamos as condições de otimalidade para o caso do problemade programação não-linear (PG) cujas funções envolvidas são reais e diferenciáveis.

Minimizar fpxqsujeito a x P Ω.

(PG)

Em que f : RnÑ R é a função objetivo e Ω é um subconjunto não vazio de Rn

chamado conjunto factível.

Definição 3.1. Dizemos que o ponto x P Ω é uma solução local ou ponto de mínimo localdo problema (PG) se não existe x˚ P Bpx, εq X Ω, x˚ ‰ x, tal que fpx˚q ă fpxq, em queBpx, εq denota a bola aberta de centro em x e raio ε.

Este é a forma geral do problema de programação não linear e as condiçõesde otimalidade dependem do formato do conjunto factível. O primeiro caso consideradoé aquele dito irrestrito (PI), que recebe este nome pelo fato de Ω se assemelhar ao Rn

inteiro, ou ainda, tomar x no interior de Ω.

Minimizar fpxqsujeito a x P intpΩq.

(PI)

Para esse problema encontramos condições necessárias e suficientes para aexistência de soluções. Elas podem ser de primeira ordem, que impõem critérios a cercado gradiente da função objetivo, ou de segunda ordem, que propõem critérios atráves dahessiana da função.

Proposição 3.1. Seja x P intpΩq. As seguintes afirmações são válidas:

(a) Se f é continuamente diferenciável em uma vizinhança de x e se x é um mínimolocal de f , então ∇fpxq “ 0. Se f é de classe C2 em alguma vizinhança de x, então∇2fpxq é semidefinida positiva.

(b) Sendo f é de classe C2 em uma vizinhança de x, se ∇fpxq “ 0 e ∇2fpxq é definidapositiva, então x é mínimo local de f .


Nota-se que tais condições fornecem alguns métodos simples de busca e ve-rificação de soluções, outros métodos podem ser encontrados em (RIBEIRO; KARAS,2013).

Outra possibilidade é o problema de nosso interesse, denotado simplesmentepor (P). No qual o conjunto factível é dado por um conjunto de restrições de desigualdade

Minimizar fpxqsujeito a fipxq ď 0, i P I.

(P)

Sendo I “ t1, 2, . . . , nu, o conjunto de índices das restrições.

Para estabelecer as condições KKT, em geral, definem-se três conjuntos:

(a) o polar P de um conjunto qualquer S:

P pSq “ tP P Rn| ptx ď 0, @ x P Su;

(b) o cone viável linearizado D do conjunto factível Ω “ x P X | fipxq ď 0 em torno dex:

Dpxq “ td P Rn|∇fipxqtd ď 0, se i P Ipxqu,

em que Ipxq é o conjunto de restrições ativas do problema (P), isto é, o conjunto deíndices i para os quais fipxq “ 0;

(c) o cone tangente como sendo o conjunto que contém toas as direções d tangentes aΩ no ponto x P Ω, isto é, o vetor nulo e aqueles pontos para os quais existe umasequência pxnq Ď Ω de pontos factíveis tal que xn Ñ x e

xn ´ x

xn ´ xÑ

d

d.

Ipxq é o conjunto de restrições ativas do problema (P), isto é, o conjunto de índicesi para os quais fipxq “ 0.

O Teorema de KKT será válido para os pontos x P Ω tais que

P pT pxqq “ P pDpxqq. (3.1)

Para simplificar a verificação dessa hipótese (3.1), foram definidas condiçõesde qualificação, para as quais vale o Teorema KKT. Aqui escolhemos a condição deMangasarian-Fromovitz (MANGASARIAN; FROMOVITZ, 1967), que pede a existênciade um vetor v P Rn tal que

∇fipxqtv ă 0, @ i P Ipxq. (3.2)


Mais detalhes sobre condições de qualificação podem ser encontrados em(RIBEIRO; KARAS, 2013).

As condições aqui apresentadas são as de Karush-Kuhn-Tucker, que tomaramfama com o artigo (KUHN; TUCKER, 1950), e que mais tarde se descobriu terem sidoescritas em 1939 na dissertação não publicada de William Karush (COTTLE, 2012).

Teorema 3.1 (Condições necessárias (KUHN; TUCKER, 1950)). Seja x P Ω e o problema(P) satisfazendo uma condição de qualificação. Se x é solução ótima local de (P), entãoexistem multiplicadores de Lagrange λi P R, @ i P I, tais que

∇f0pxq `ÿ

iPI

λi∇fipxq “ 0, (3.3)

λi ě 0, i P I, (3.4)

λifipxq “ 0, i P I. (3.5)

Um ponto que satisfaz as condições (3.3), (3.4) e (3.5) é dito um ponto KKT.As condições de qualificação são impostas a fim de garantir que tais pontos KKT existam.

A recíproca deste teorema necessita da noção de função convexa.

Definição 3.2. Um função real f : rc, ds Ñ R é dita convexa se para todos x, y P rc, dstem-se

fptx` p1´ tqyq ď tfpxq ` p1´ tqfpyq, @ t P r0, 1s.

A exigência que as funções que constam no problema sejam convexas tem afinalidade de permitir o uso de alguns resultados sobre suas derivadas.

Proposição 3.2. (BAZARAA; SHERALI; SHETTY, 2006) Seja X um subconjunto nãovazio de Rn aberto e convexo, e seja f : X Ñ R diferenciável em X. Então f é convexase, e somente se, para qualquer x P X temos

fpxq ě fpxq `∇fpxqtpx´ xq, para todo x P X.

A Figura 11 baseada em (ZUBEN; ATTUX, 2017) sugere uma interpretaçãopara esta Proposição, no caso em que f tem domínio em R.

Proposição 3.3. (BAZARAA; SHERALI; SHETTY, 2006) Seja X um subconjunto nãovazio de Rn aberto e convexo, e seja f : X Ñ R função duas vezes diferenciável em X.Então f é convexa se, e somente se, a matriz hessiana ∇2fpxq é semidefinida positivapara cada x P X.

Estes dois resultados sobre a convexidade de uma função diferenciável permitemprovar as condições suficientes de KKT.


Figura 11 – Função diferenciável convexa

Representação gráfica da Proposição 3.2 para f : RÑ R convexa e diferenciável. Fonte:própria autora.

Teorema 3.2 (Condições suficientes (KUHN; TUCKER, 1950)). Sejam x P Ω, e f0 e ficontinuamente diferenciáveis. E mais, f0 é convexa, para i P Ipxq, e fi são convexas, paratodos i P I. Se existem λ1, λ2, . . . , λn P Rn satisfazendo as equações (3.3), (3.4) e (3.5) doTeorema 3.1, então x é solução ótima global de (P).

Esse Teorema segue em consequência da caracterização de funções convexasdiferenciáveis, feita na Proposição 3.3.

Exemplo 3.1. Uma interpretação geométrica dessas condições de otimalidade KKT em R3

(STEWART, 2010) pode ser observada na Figura 12. Pretende-se minimizar a função fexigindo que a solução esteja nos planos p e q, cujas equações denotaremos simplesmentepor ppxq “ 0 e qpxq “ 0. Como procuramos nesse caso por um ponto x factível, temos oproblema:

minimizar fpxq

sujeito a g1pxq “ ppxq ď 0g2pxq “ ´ppxq ď 0g3pxq “ qpxq ď 0g4pxq “ ´qpxq ď 0

(3.6)

Procuramos, então, o ponto de mínimo x tal que o gradiente da função objetivoseja combinação linear não nula dos gradientes das restrições.

As condições descritas por estes dois últimos teoremas serão as utilizadasna próxima seção, haja vista que procuramos analisar o problema com restrições de


Figura 12 – Condições de Karush-Kuhn-Tucker em R3

Representação gráfica do Exemplo 3.1. As superfícies p e q representam as restrições doproblema de programação não linear (3.6), e a curva destacada, o conjunto de soluçõesfactíveis Ω. Fonte: própria autora.

desigualdade.

3.2 Condições de otimalidade para problemas de programação nãolinear fuzzy

Nosso interesse é em tratar problemas de programação não linear em que asfunções envolvidas – a objetivo e as das restrições – tomam valores no conjunto de númerosfuzzy.

3.2.1 O problema de programação linear fuzzy

Supondo rf0 : X Ñ RF e rfi : X Ñ RF, i P I “ t1, 2, ...,mu, continuamentediferenciáveis em X, um aberto do Rn. Pretende-se

Minimizar rf0pxq

sujeito a rfipxq ĺ r0, i P I “ t1, . . . , nu,(rP)

em que r0 representa o número crisp 0 P RF: r0prq “ 1 se r “ 0, e r0prq “ 0 caso contrário.

A expressão “continuamente diferenciáveis” é um abuso de linguagem, pois anoção de diferenciabilidade dependerá da derivada fuzzy utilizada.


Esse problema será abordado fazendo uso das funções reais rfLα e rfUα . Entende-remos na próxima seção como a ordenação de números fuzzy vai implicar na ordenaçãodessas funções reais.

3.2.2 Ordem parcial

Será necessário escolher um modo de comparar números fuzzy. Há váriasmaneiras de fazer isso (BORTOLAN; DEGANI, 1985), sendo que cada uma depende dosinteresses do observador na tomada de decisão. Aqui usaremos a noção de ordem parcialque segue.

Definição 3.3. Sejam ra,rb P RF tais que:

piq ra ĺ rbô raLα ďrbLα e raUα ď rbUα , @ α P r0, 1s; e

piiq ra ă rbô

#

raLα ărbLα

raUα ďrbUα

ou#

raLα ďrbLα

raUα ărbUα

ou#

raLα ărbLα

raUα ărbUα

, @ α P r0, 1s.

No caso piq dizemos que ra é menor que o número fuzzy rb, já no caso piiq, raé dito estritamente menor que rb. Caso não valha nenhum dos casos, ra e rb são ditos nãocomparáveis.

A Figura 13 mostra o número fuzzy em verde estritamente menor que o númerofuzzy em marrom.

Figura 13 – Comparação entre dois números fuzzy

Representação gráfica da Definição 3.3. O número fuzzy à esquerda, em verde, é estritamentemenor que o número fuzzy à direita, em marrom. Fonte: própria autora.

Trata-se, de fato, de uma ordenação parcial, pois nem todos os números sãocomparáveis. A exemplo de casos como o observado na Figura 14, que possui α P r0, 1spara o qual as condições da Definição 3.3 não são satisfeitas. Os números fuzzy ra em rosae rb em azul são não comparáveis.


Figura 14 – Números fuzzy não comparáveis

O número fuzzy ra em rosa está, para alguns α P r0, 1s, à esquerda do número em fuzzy rbem azul, e para outros valores, à direita. Fonte: própria autora.

Para o problema (rP), usar esta ordem parcial significa tomar funções derestrições cujos valores fuzzy estejam totalmente à esquerda o eixo das ordenadas. Issosignifica que as restrições do problema são da forma

´

rfUi

¯

0ď 0, em que

´

rfUi

¯

0“ rfUi0 é o

extremo superior do α-nível, para α “ 0, da i-ésima restrição de desigualdade. Na Figura15 temos uma representação gráfica de uma restrição de desigualdade sendo satisfeita noponto x, isto porque rfUi0 “ d ă 0.

Figura 15 – Restrição de desigualdade satisfeita

Representação gráfica da i-ésima restrição de desigualdade do problema de programaçãonão linear fuzzy sendo satisfeita para x P X, pois rfipxq ă r0. Fonte: própria autora.

Sabendo comparar números fuzzy, podemos agora caracterizar pontos de mínimolocal de uma função a valores fuzzy. Isto é feito em analogia com o caso clássico. Para tantoolhemos para as restrições do problema (rP) como sendo o conjunto Ω “ tx P X| rfipxq ĺ

r0, @ i “ 14, . . . , nu.

Definição 3.4. Dizemos que o ponto x P Ω é uma solução local ou ponto de mínimo localdo problema (rP) se não existe x˚ P Bpx, εq X Ω, x˚ ‰ x, tal que rfpx˚q ă rfpxq.


Os pontos de mínimo dos problemas clássico (P) e fuzzy (rP) são relacionadosatravés da seguinte proposição.

Proposição 3.4. Um ponto x é mínimo local de rf P RF se, e somente se, x é um mínimolocal das funções rfLα e rfUα para todo α P r0, 1s.

Demonstração. Vamos supor, por contradição, que x não é ponto de mínimo local de rfLα pxq

ou rfUα pxq para algum α P r0, 1s. Sem perda de generalidade, suporemos que x não é mínimolocal de rfLα pxq para α P r0, 1s. Então existe x˚ P Bpx, εq XX tal que rfLα px

˚q ă rfLα pxq, o

que contradiz a definição de mínimo local de rf . De modo análogo, concluímos que x émínimo local de rfUα pxq.

Para provar a recíproca, tomemos x mínino local de rfUα e rfLα , para todosα P r0, 1s. A fim de chegar a uma contradição, suporemos que esse ponto não é mínimolocal de rf , isto é, existe x˚ P Bpx, εq XX tal que rfpx˚q ĺ rfpxq. Neste caso, então, paraalgum α˚ P r0, 1s, teríamos rfUα˚px

˚q ď rfUα˚pxq ou rfLα˚px

˚q ď rfLα˚pxq, o que constata a

contradição esperada.

É importante notar que esse x é mínimo de rfLα e rfUα simultaneamente, o quenão ocorre na Figura 16, por exemplo. Neste caso o ponto x1 é o mínimo da função rfLα ,mas não é o mínimo da função rfUα .

Figura 16 – Não ocorrência de mínimo

Visão superior de uma função fuzzy que não possui mínimos, porque x1 é mínimo de rfLα ,mas o mínimo de rfUα é x2. Fonte: própria autora.

3.2.3 Função auxiliar

Usamos a Proposição 3.4 para converter o problema fuzzy (rP) em um problemade programação não linear real, segundo o que foi feito por (WU, 2008) e (PATHAK;PIRZADA, 2011), fazendo uso das funções auxiliares construídas nesta subseção.


Como toda função real monótona em um intervalo é Riemann integrável nesteintervalo (RUDIN, 1976), podemos afirmar que para cada x0 as funções reais rfLα px

0q e

rfUα px0q são Riemann integráveis em α no intervalo r0, 1s. Assim podemos definir, usando

integrais de Riemann em α, as funções GL e GU , as quais comporão a função auxiliarutilizada para analisar as condições de otimalidade pretendidas:

GLpraq “

ż 1

0raLαdα e GU

praq “

ż 1

0raUαdα. (3.7)

para cada ra P RF.

A soma das duas funções nos leva a uma função G : RF Ñ R definida naequação (3.8), através da qual será possível enunciar as condições de otimalidade para oproblema fuzzy.

Gpraq “ GLpraq `GU

praq, (3.8)

para cada ra P RF.

Teorema 3.3. A função G : RF Ñ R dada por (3.8) é estritamente crescente.

Demonstração. Sejam ra,rb P RF tais que ra ă rb, isto é, raLα ď rbLα e raUα ďrbUα para todos

α P r0, 1s e existe α‹ P r0, 1s tal que raLα‹ ă rbLα‹ ou raUα‹ ărbUα‹ .

Assumimos, sem perda de generalidade, que raLα‹ ărbLα‹ . Se α‹ ą 0, existe

0 ă δ ă α‹ de modo que raLα ă rbLα para todos α P ra “ α‹ ´ δ, b “ α‹s, pois raL e rbL sãocontínuas a esquerda em α‹ – dado que tratamos de números fuzzy.

Caso α‹ “ 0, existe δ ą 0 tal que raLα ă rbLα para todos α P ra “ 0, b “ δs, poisraL e rbL são contínuas a direita em α “ 0.

Usando essas observações concluimos que

Gprbq ´Gpraq “

ż 1

0prbLα ´ raLαqdα `

ż 1

0prbUα ´ raUα qdα

ě

ż 1

0prbLα ´ raLαqdα

ě

ż b

a

prbLα ´ raLαqdα ą 0,

pois temos prbLα ´ raLαq ě 0 e prbUα ´ raUα q ě 0 para todos α P r0, 1s, e prbLα ´ raLαq ą 0 para todosα P ra, bs Ď r0, 1s. A última desigualdade é consequência do Teorema do Valor Médio.

Consequentemente, Gpraq ă Gprbq.

A Figura 17 mostra a construção da função auxiliar F : X Ñ R através dacomposição de G com rf .


Figura 17 – Diagrama de composição da função auxiliar

X

RF

R

rf G

F

Diagrama com a função fuzzy rf : X Ñ RF, a função G : RF Ñ R e a função auxiliarF : X Ñ R resultante da composição de G e rf . Fonte: própria autora.

Para cada x P X, com X Ď Rn,

F pxq “

ż 1

0

rfLα pxqdα `

ż 1

0

rfUα pxqdα.

Corolário 3.1. Dado o problema de otimização fuzzy (rP), considere o seguinte problemade programação não linear clássico:

Minimizar F pxqsujeito a p rfUi q0pxq ď 0, com i P I “ t1, . . . , nu,

(3.9)

em que p rfUi q0pxq é o extremo superior do α-nível, para α “ 0, da i-ésima restrição fuzzyrfi do problema (rP), calculada no ponto x P X, com X Ď Rn.

Segue que o conjunto factível de (rP) e de (3.9) são iguais. Além disso, se x émínimo local de (3.9), então x é mínimo local de (rP).

Demonstração. A Proposição 3.4 garante que os mínimos do problema (rP) serão os mesmosmínimos de rfLα e rfUα , e provado que G é estritamente crescente, a Proposição 1.1 garante,então, que os pontos que minimizam F também minimizarão rf .

Estabelecemos aqui os resultados que permitirão encontrar as condições KKTpara o problema fuzzy.

3.2.4 Condições de otimalidade considerando a derivada de Hukuhara

Nesta seção abordaremos o problema de programação não linear fuzzy (rP)utilizando a derivada de Hukuhara, segundo a abordagem feita por Wu (WU, 2008) ePathak e Pirzada (PATHAK; PIRZADA, 2011).


Queremos garantir que as derivadas parciais de FL e FU existam e tenhamderivadas parciais. Faremos isso através da próxima proposição que pode ser encontradaem (HÖNIG, 1977).

Proposição 3.5. Seja φ uma função a valores reais definida em I ˆ ra, bs, sendo I umintervalo de R, que satisfaz as seguintes condições:

(i) Para cada x P I a função real hpyq “ φpx, yq é Riemann integrável em ra, bs.

Escrevemos fpxq “ż b

a

φpx, yqdy;

(ii) Seja x0P intpIq, o interior de I. Para cada ε ą 0, existe δ ą 0 tal que

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Bφ

Bxpx, yq ´

Bφ

Bxpx0, yq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ă ε

para todo y P ra, bs e para todo x P px0´ δ, x0

` δq.

Então BφBxpx0, yq é Riemann integrável em ra, bs, f 1px0

q existe e

f 1px0q “

ż b

a

Bφ

Bxpx0, yqdy.

Uma consequência é este resultado sobre as funções FL e FU .

Proposição 3.6. Seja rf : X Ñ RF, com X um aberto de Rn. Se rf é continuamenteH-diferenciável em alguma vizinhança de x0, então as funções reais FL e FU são continu-amente diferenciáveis em x0 e

BFL

Bxipx0q “

ż 1

0

B rfLαBxi

px0qdα e BF

U

Bxipx0q “

ż 1

0

B rfUαBxi

px0qdα (3.10)

para cada i “ 1, . . . , n.

Demonstração. Como rf é continuamente H-diferenciável em alguma vizinhança de x0, asfunções reais rfLα e rfUα também o são, para cada α P r0, 1s, e pela Proposição 3.5, mostra-seque vale a equação (3.10). Basta provar que vale a condição (ii), pois a condição (i) ésatisfeita.

De fato, como BrfL

Bxié continuamente diferenciável em x0, para cada ε ą 0 existe

δ ą 0 tal que

||x´ x0|| ñ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

B rfLαBxi

pxq ´B rfLαBxi

px0q

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ă ε, @ α P r0, 1s. (3.11)


Mostremos que BFL

Bxié contínua para todo i “ 1, . . . , n.

Tomando ||x´ x0|| ă ε, temos

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

BFL

Bxipx0q ´

BFL

Bxipxq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż 1

0

«

B rfLαBxi

px0q ´

B rfLαBxi

pxq

ff

dα

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

ż 1

0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

B rfLαBxi

px0q ´

B rfLαBxi

pxq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dα ă ε

De modo análogo, prova-se o mesmo para BFU

Bxi. As hipóteses da Proposição

3.5 são satisfeitas, logo as equações em (3.10) são verdadeiras.

A equação (3.11) exprime a necessidade de tratar com funções cujas derivadasparciais sejam continuamente diferenciáveis.

Temos, portanto, as ferramentas necessárias para formular as condições deotimalidade para o problema de programação não linear fuzzy (rP).

3.2.4.1 Condições necessárias

O foco aqui é provar um Teorema que estabeleça de condições de otimalidadepara o problema de programação não linear fuzzy, em analogia com o Teorema KKT 3.1.Essas condições são encontradas a partir de uma transformação do problema fuzzy (rP).

Teorema 3.4. Seja x satisfazendo uma condição de qualificação. Se x é solução ótimalocal de (rP), então existem λi P R, @i P I, tais que

∇F pxq `ÿ

iPI

λi∇p rfUi q0pxq “ 0, (3.12)

λip rfUi q0pxq “ 0, i P I. (3.13)

Demonstração. Sendo x um mínimo local, então rfpxq ĺ rfpxq para todo x P Xztxu, logoF pxq ď F pxq.

Denominando o conjunto de soluções factíveis por Ω “ tx P X; rfipxq ĺ r0, i P Iu,obtemos, pela definição de ordem parcial considerada e pelo item (i) apresentado naProposição 1.1, que Ω “ tx P X; rfUi0 pxq ď 0, i P Iu.

Sabendo que x satisfaz a condição de qualificação adaptada de (3.2), ou seja,existe v P Rn tal que

∇p rfUi q0pxqtv ă 0, @ i P Ipxq, (3.14)

sendo, neste caso, Ipxq correspondente ao conjunto de índices i para os quais p rfUi q0pxq “ 0.

Assim temos um problema clássico de programação não linear com restriçõesde desigualdade.


Queremos minimizar F pxq sujeita a rfUi0 pxq ď 0. O Teorema 3.1 de Karush-Kuhn-Tucker leva às equações (3.12) e (3.13).

A função auxiliar F assume valores reais, cujo gradiente pode ser calculadosabendo apenas os gradientes das funções rfLα e rfUα . Da mesma forma procederemos paraencontrar as condições suficientes.

3.2.4.2 Condições suficientes

Para investigar as condições suficientes, consideraremos funções fuzzy valuadasconvexas, as quais são definidas de modo natural.

Definição 3.5. Uma função a valores fuzzy é convexa em x se

rfpλx` p1´ λqxq ĺ pλd rfpxq ‘ p1´ λq d rfpxqq,

para cada λ P p0, 1q e cada x P X.

Essa classe de funções é interessante, pois novamente sua propriedade se refletenos conjuntos de nível. Mais precisamente temos o que segue.

Proposição 3.7. Uma função rf : X Ñ RF é convexa em x se, e somente se, rfLα e rfUα sãoconvexas, para cada α P r0, 1s.

Demonstração. É resultado da adição e multiplicação por escalar encontradas através doPrincípio de Extensão de Zadeh 1, e da ordem parcial utilizada neste trabalho.

A Figura 18 mostra em tons de vermelho (curvas superiores) as funções rfUα eas curvas inferiores, em tons de azul, as funções rfLα para diferentes valores de α, a saber,0, 0.25, 0.5, 0.75 e 1. Neste caso, a função, cujos conjuntos de nível são dados por estegráfico, é convexa.

Agora podemos estabalecer as condições suficientes de otimalidade, com basenos resultados obtidos até então.

Teorema 3.5. Se rfi : X Ñ R, i “ 0, ...,m, são todas convexas e existem x ponto factívelque satisfaz as equações (3.12) e (3.13), então x é solução de (rP).

Demonstração. Sob estas hipóteses, vale o Teorema 3.2, desta vez para a função objetivoF pxq e restrições rfUi0 pxq ď 0. Portanto, x é, de fato, solução do problema fuzzy.

Foram estabelecidas as condições de otimalidade partindo da suposição de queas funções envolvidas no problema (rP) eram continuamente H-deriváveis. Como visto


Figura 18 – Função fuzzy convexa

Visão superior de uma função fuzzy convexa, com destaque para os α-níveis 0, 0.25, 0.5,0.75 e 1. As curvas superiores, em tons de vermelho, correspondem à rfUα , e as inferiores,em tons de azul, à rfLα . Fonte: própria autora.

no Capítulo 2, esta exigência restringe, portanto, a classe de problemas que podem sertratados através das condições de KKT exibidas nessa Seção.

No Capítulo 4 apresentaremos novas condições necessárias e suficientes parao problema de programação não linear fuzzy, dessa vez considerando que as funções doproblema fuzzy são continuamente C-diferenciáveis.

63

4 Condições de Otimalidade por DerivadasInterativas e uma Introdução a Derivadapor Projeções

Neste capítulo daremos nossa contribuição para o estudo de problemas deprogramação não linear fuzzy. Tendo notado, no Capítulo 2, que a derivada interativa parafunções que assumem valores fuzzy completamente correlacionados é apropriada para umaclasse de funções que por vezes não possui derivada de Hukuhara; propomos condições deotimalidade para o problema (rP) em que as funções envolvidas são diferenciáveis segundoa C-derivada definida anteriormente, como será visto na Seção 4.1.

A Seção 4.2 pode ser entendida como um projeto para futuros estudos. Nelaserá proposto um nova ótica para o estudo de derivadas para funções fuzzy. Em queprimeiramente se produz os conjuntos de nível da derivada, para depois remontar o númerofuzzy correspondente a ela.

4.1 Condições de otimalidade considerando a derivada interativaAs condições de otimalidade até então enunciadas consideram, para o problema

fuzzy (rP), que a função objetivo é derivável segundo Hukuhara, porém isso é deverasrestritivo, como foi visto no Exemplo 2.3.

A classe de funções que assumem valores completamente correlacionadosabrange funções fuzzy que não possuem derivada de Hukuhara, contudo são C-deriváveis.Para este caso, enunciaremos aqui resultados novos, que explicitam condições de otimalidadedo tipo KKT para problemas de programação linear com função objetivo C-diferenciável.

O Teorema 2.4 dá expressões simples para os α-níveis da C-derivada de umafunção. E sugere que a função auxiliar H : X Ñ R seja, dessa vez, dada por

Hpxq “

$

’

’

&

’

’

%

ż 1

0

rfLα pxqdα `

ż 1

0

rfUα pxqdα, para qphq ą 0, eż 1

0

rfLα pxqdα, para qphq ă 0.(4.1)

E temos o Teorema com condições análogas às que (WU, 2008) e (PATHAK;

Capítulo 4. Condições de Otimalidade por Derivadas Interativas e uma Introdução a Derivada porProjeções 64

PIRZADA, 2011) propuseram para o problema fuzzy

Minimizar rf0pxq

sujeito a rfipxq ĺ r0, i P I “ t1, . . . , nu,(rP)

Teorema 4.1. Sejam rfj : X Ñ RF, para j “ 0, 1, . . . , n e X Ď R, continuamente C-diferenciáveis em alguma vizinhança de x, a qual não possui pontos de troca. Se x é mínimodo problema (rP) e satisfaz a condição de qualificação (3.14), então existem multiplicadoresde Lagrange λi P R, @i P I tais que valem

∇Hpxq `ÿ

iPI

λi∇p rfUi q0pxq “ 0, (4.2)

λip rfUi q0pxq “ 0, i P I. (4.3)

Por outro lado, se existe x P X que satisfaz às equações (4.2) e (4.3), então xé mínimo local do problema de programação não linear fuzzy.

Demonstração. Tomando uma função rf continuamente C-diferenciável, há a garantia, pelaProposição 2.6, de que rfLα e rfUα são continuamente diferenciáveis.

Caso a correlação entre rfpxq e rfpx` hq, para h P Rn, seja positiva, em algumavizinhança do tipo β “ th P Rn

|0 ă h ă δu, com δ ą 0, que não possui pontos de troca,tomamos o primeiro caso de (4.1). Dessa forma será possível calcular o gradiente de H,e retornamos ao problema de minimizar a função auxiliar (3.8) F sujeito às restriçõesrfUi0 pxq ď 0. Vale, então, o Teorema.

Sendo, porém, para algum conjunto β a correlação negativa, as derivadasparciais serão dadas pelo item pcq do Teorema 2.4. Tomamos a versão de (4.1) paraqphq ă 0, e chegamos às condições (4.2) e (4.3).

Até agora o problema de otimização fuzzy (rP) foi estudado de maneira conven-cional. A partir de uma derivada previamente definida, e fazendo uso de suas propriedades,constrói-se uma função real através da qual são obtido critérios de otimalidade, viautilização da função auxiliar G definida na Equação (3.8).

Nossa próxima abordagem é totalmente inovadora, no sentido de que a funçãofuzzy que corresponde à derivada é construída de modo que os conjuntos de nível tenhamderivadas que satisfaçam propriedades de otimalidade, por se tratarem de minimizadoresdo problema de projeção em um subespaço de Hilbert.

4.2 Derivada como solução de problemas de projeçãoEm se tratando da teoria de conjuntos fuzzy, sempre busca-se estender os

conceitos usuais de conjuntos tradicionais para conjuntos fuzzy, estendendo também as


propriedades originais. Em particular, para funções a valores fuzzy, define-se diferenci-abilidade de modo análogo ao feito para funções reais, isto é, como limite da diferençaentre valores que a função assume em uma vizinhança pequena, dividida pelo raio dessavizinhança.

A dificuldade consiste em definir diferenças entre fpx0` hq e fpx0

q que exis-tam e sejam calculáveis. Diferente destas abordagens, aqui vamos introduzir brevementeuma proposta para se definir derivada de funções fuzzy valuadas através de critérios deotimalidade, a saber, limites de coeficientes de certas projeções.

Dado f : RÑ R, é possível encarar a derivada desta função real no ponto x0

como sendo o limite de coeficientes de sucessivas projeções de f restrita à rx0, x0 ` δs noconjunto vetorial das funções lineares. Na sequência elucidaremos essa ideia com maisrigor matemático.

Seja H um espaço de Hilbert equipado com produto interno ă ¨, ¨ ą. Relembreque a norma em um espaço de Hilbert é dada por ‖ x ‖“

?ă x, x ą para todo x P H.

Seja tyi P H; i P Iu, com I um conjunto de índices qualquer, um conjunto ortogonal elinearmente independente. Os coeficientes da projeção de x P H em Y “ spantyi P H; i P Iusão calculados resolvendo o seguinte problema de minimização

minαiPR,iPI

12 ‖ x´

ÿ

iPI

αiyi ‖2 (4.4)

cuja solução é dada porα˚i “

xyi, xy

xyi, yiy, yi P Y.

Em particular, vamos considerar o espaço de Hilbert das funções definidas nointervalo ra, bs cujo quadrado é Riemann integrável

L2ra, bs “

"

f : ra, bs Ñ R;ż b

a

fpxq2dx ă 8

*

, a ă b,

equipado com produto interno xf, gy “ż b

a

fpxqgpxqdx, @ f, g P L2ra, bs e, consequente-

mente, ‖ f ‖“

d

ż b

a

fptq2dt para todo f P L2ra, bs. Assim o problema (4.4) é dado por

minαiPR,iPI

12

ż b

a

˜

fptq ´ÿ

iPI

αiyi

¸2

dt. (4.5)

Seja Y “ spantxu e f P L2r0, hs contínua, diferenciável, com fp0q “ 0, a

projeção de f em Y é a função

fphq1 pxq “

ˆ

3h3

ż h

0tfptqdt

˙

x “ aphq ¨ x


onde aphq “ 3h3

ż h

0tfptqdt. Utilizando a regra de L’Hopital junto com o fato de f ser

diferenciável em 0 e fp0q “ 0, podemos concluir que

limhÑ0`

aphq “ limhÑ0`

fphq ´ fp0qh

“ f 1`p0q “ f 1p0q.

Para considerar o caso geral – fora da origem – basta considerar g : R Ñ R tal quefpxq “ gpx` tq ´ gptq, @ x P R, assim

limhÑ0

aphq “ f 1p0q “ g1ptq.

Ao reproduzir esse raciocínio – de encontrar derivadas a partir de limites decoeficientes de projeção – para caso fuzzy, podemos, de maneira natural, investigar o limiteaphq minimizador de

minaphq

12

ż h

0r rfpx` tq´ rfptqáphqxs2dx. (4.6)

onde f são funções fuzzy valuadas. Vejamos que os entes destacados em vermelho naequação (4.6) são subproblemas, pois precisamos integrar, subtrair e elevar números fuzzyao quadrado. Assim, a aplicação dessa estratégia para encontrar derivada de funções fuzzyvaluadas não é única, uma vez que não há uma única maneira de se calcular as operaçõescitadas acima.

Definição 4.1. (DIAMOND; KLOEDEN, 2000) Uma função rf : ra, bs Ñ RF é ditafortemente mensurável se para todo α P r0, 1s as funções de nível r rfpxqsα são mensu-ráveis, segundo a métrica de Hausdorff dada pela equação (1.1). Tal função é chamadaintegravelmente limitada se existe uma função h : ra, bs Ñ R tal que

|| rfpxq||F ď hpxq, @ t P ra, bs,

em que .F é uma norma de Hausdorff para número fuzzy, segundo a Definição 1.9.

Definição 4.2. (RALESCU; ADAMS, 1980), (AUMANN, 1965) Uma função rf : ra, bs ÑRF fortemente mensurável e integravelmente limitada é dita integrável. E sua integral deAumann é dada através de seus α-níveis

„

pFAq

ż b

a

rfpxqdx

α

“

ż b

a

”

rfpxqı

αdx “

„ż b

a

rfLα pxqdx,

ż b

a

rfUα pxqdx

, α P r0, 1s. (4.7)

Uma estratégia frequente ao lidarmos com números fuzzy é recorrer ao Teorema1.1 de representação por α-níveis e, então, tratar as manipulações matemáticas nos mesmos.O problema deste tipo de abordagem é que uma vez feito os cálculos nos α-níveis, para queo resultado gerado represente um número fuzzy, é necessário que seja possível “empilhar”– de modo conveniente – os intervalos, isto é, que as condições do Teorema 1.2 sejamsatisfeitas.


Utilizando tal abordagem, podemos reescrever o problema (4.6) considerandoum problema de minimização separado para cada extremo de cada α-nível:

minaphqα

12

ż h

0r rfLα px` tq ´

rfLα ptq ´ aphqα xs2dx;

e

minbphqα

12

ż h

0r rfUα px` tq ´

rfUα ptq ´ bphqα xs2dx.

Sabemos que limhÑ0

aphqα “ D rfLα pxq e limhÑ0

bphqα “ D rfUα pxq, se rfLα e rfUα foramdiferenciáveis. Assim, a pergunta que surge aqui é sob que condições esses minimizadoressão capazes de representar um número fuzzy, ou ainda, quais as exigências que precisamser feitas para que seja possível empilhar esses intervalos.

Notemos que se aphqα ă bphqα , @ α P r0, 1s, então podemos definir os intervalosraphqα , bphqα s e pelo limite teremos rD rfLα pxq, D

rfUα pxqs, recuperando, a derivada de Hukuharase esta família de intervalos satisfaz as condições do Teorema 1.2.

Podemos ainda obter a derivada de Hukuhara generalizada se a família de inter-valos rmintD rfLα pxq, D

rfUα pxqu,maxtD rfLα pxq, DrfUα pxqus satisfizer as condições do Teorema

1.2.

De maneira similar, se a diferença adotada em (4.6) for a interativa paranúmeros fuzzy completamente correlacionados junto com a integral de Aumann (4.7),então, sob as condições da Proposição 2.5 e do Teorema 2.2, obtemos para cada α umintervalo dado por um dos três casos listados no Teorema 2.2. Assim, se essa famíliade intervalos satisfizer as hipóteses do Teorema 1.2, então o número fuzzy resultantecorresponde à C-derivada de rf em x.

A proposta de se definir derivada por meio de certos limites de soluções deproblemas de minimização se mostra um caminho promissor para a definição de novasderivadas para funções fuzzy valuadas. Contudo, deixaremos uma investigação maisprofunda deste tema para trabalhos futuros.

68

Considerações Finais

Foram revisados conceitos básicos da teoria de conjuntos fuzzy, sobretudocaracterísticas de números fuzzy e seus conjuntos de nível. Embasado em uma escolhaadequada de métrica, a de Hausdorff, definiu-se limite para funções que assumem valoresno conjunto de números fuzzy, juntamente com a noção de continuidade. E foi possívelobservar que tais comportamentos são refletidos nos conjuntos de nível.

Notada a dificuldade em operar a diferença entre conjuntos, buscou-se naliteratura algumas formas de definir diferenças. Utilizando a diferença de Hukuhara, foiintroduzida a primeira definição para derivada fuzzy. Mediante suas restrições, sugere-se adiferença de Hukuhara generalizada e a derivada fuzzy oriunda dela.

Baseado na distribuição de possibilidade conjunta, tem-se o princípio de ex-tensão sup´J que considera a interatividade entre números fuzzy. A partir disso, foidefinida uma diferença interativa, e em particular, uma diferença para números fuzzycompletamente correlacionados, e as respectivas derivadas.

Revisado o clássico Teorema de Karush-Kuhn-Tucker, procurou-se formularuma versão do problema de programação não linear para o caso em que as funções objetivoe restrições são fuzzy. A partir de uma conveniente relação de ordem parcial para númerosfuzzy, definiu-se solução para o problema fuzzy. Essa solução é a mesma do problemaclássico obtido através da aplicação de uma função auxiliar, cujo uso é profícuo apenasquando a função objetivo possui derivada fuzzy contínua.

Para funções diferenciáveis por Hukuhara, já haviam sido provadas condiçõesKKT para o problema fuzzy (WU, 2008) e (PATHAK; PIRZADA, 2011). Resgatandoo procedimento usado pelos autores, foram propostas condições de otimalidade para oproblema no qual as funções envolvidas no problema de minimização são diferenciáveissegundo a derivada para números fuzzy completamente correlacionados.

Para as demais derivadas fuzzy existentes, em particular a de Hukuhara genera-lizada e a derivada generalizada, tais condições de otimalidade ainda não foram sugeridas,e serão alvo de trabalhos futuros.

As abordagens para derivação que utilizam de diferenças entre conjuntos fuzzytem se mostrado deficientes, ou por não serem aplicáveis a casos comuns, ou por teremexpressões, nos conjuntos de nível, difíceis de serem computadas. Assim, examinar esseoperador de outro ponto de vista se mostra promissor, a exemplo do que foi introduzidoneste trabalho.

O próximo passo se constitui em entender sob quais condições é possível

Considerações Finais 69

“empilhar” os conjuntos de nível, a fim de recuperar o número fuzzy correspondente aalguma das derivadas já conhecidas na literatura. E, quiçá, escolhendo uma base adequadapara o espaço de Hilbert, gerar derivadas de ordem superior.

70

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