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Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano
Por que utilizar vetores?
Para determinar outras grandezas, entretanto, são necessárias mais informações, como sua direção e sentido.
deslocamentovelocidadeforçaaceleraçãotorque
Existem grandezas físicas perfeitamente definidas por seu tamanho e sua unidade.
comprimentomassatempotemperaturapressão
Inúmeras leis da física são expressas em termos de operações vetoriais.
Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano
O que são vetores?Antes de definir vetores, vamos falar sobre SEGMENTOS ORIENTADOS
Dois pontos no espaço definem:A) Um segmento de reta, onde estão contidos os extremos A e B, bem como todos os pontos entre A e B; A
B
B) Um segmento de reta orientado de origem no ponto A e extremidade no ponto B, indicado por AB e representado por uma flecha de A para B;
A
B
C) Um segmento de reta orientado de origem no ponto B e extremidade no ponto A, indicado por BA e representado por uma flecha de B para A. A
B
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SEGMENTOS ORIENTADOSOs segmentos orientados são caracterizados e diferenciam-se uns dos outros por apresentarem:
Comprimento: é a sua medida em relação a uma unidade de medida pré-fixada.
u.m.A B
Direção e sentido: dois segmentos orientados tem a mesma direção se forem paralelos. Os sentidos de dois segmentos orientados só podem ser comparados se eles tiverem a mesma direção
A
B
C
DDireções diferentesNão podemos comparar sentidos
XY
P QMesma direçãoSentidos contrários M
N L
K
Mesma direçãoMesmo sentido
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SEGMENTOS ORIENTADOS EQUIPOLENTESDois segmentos orientados são eqüipolentes quando tiverem a mesma medida, mesma direção e mesmo sentido.
A
B
C
D
OBS: não são IGUAIS, pois os pontos formadores de cada segmento são diferentes.
AB CDPodemos escrever:
A
B C
D
Propriedades:
A B
1) Se AB CD então AC BD
DC
Propriedades:
E
BA
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C D
F
2) Se AB CD e CD EF então AB EF
AB CDCD EFAB EF
3) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe e é único, um ponto D tal que AB CD
BA
C
AB CD
D
= outro vetor
B
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Consideremos um conjunto de n segmentos orientados eqüipolentes entre si.
VETORES: Definição
A = 1 vetor
A este conjunto denominamos de 1 vetor, o qual será indicado por um representante do conjunto.
Portanto, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB.Desta forma, o vetor fica caracterizado como sendo um vetor livre.
Nomenclatura: AB ou v ou (B-A)
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VETORES
Vetores iguaisDois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB CD
Vetor nuloOs segmentos nulos (extremidade coincide com a origem), por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por 0 .
Vetores opostosDado um vetor v = AB , o vetor BA é um vetor oposto a AB, indicado por – AB ou – v .
|AB|=|CD|;
AB e CD tem mesma direção;
AB e CD tem mesmo sentido.
Vetores unitários ou versoresÉ um vetor cujo módulo (ou comprimento) é igual a 1.O versor de um vetor v é indicado por v , e apresenta mesma direção e sentido de v . v
v
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OPERAÇÕES ELEMENTARES COM VETORES
1) Produto de um número real por um vetorDado um vetor v e um número “a” qualquer, o produto a v resulta num outro vetor p com as seguintes características :
Exemplos:
p
v
p = 2 v r = -3 w
w r
A direção do vetor p é a mesma do vetor v ; O módulo (comprimento) do vetor p é o módulo do vetor v vezes o módulo do número real “a” ;
se a > 0, p e v tem mesmo sentido
se a < 0, p e v tem sentidos contrários
O sentido do vetor p depende do sinal do número real “a”:
u.m.d = - 4,5 e
de
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2) Soma de vetoresUma das maneiras de se somar dois vetores é através do método gráfico. Cada vetor a ser somado é transladado de maneira que o final de um coincida com o início do próximo. O vetor resultante é obtido unindo-se o início do primeiro com o final do último.
p
v
s = v + p
s
v
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Propriedades
v + p = p + v (propriedade comutativa)a)
p s
s = v + p = p + v
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v w
p
Propriedades
s = v + p + w = v + w + p = w + p + v (propriedade comutativa)a)
s
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Propriedades
s = ( v + p ) + w = v + ( p + w ) (propriedade associativa)b)
v w
p
s
v + p
p + w
2) “Subtração” de vetoresNão se define a “subtração” para vetores. Ao invés disso, realiza-se a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo
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d = v – p = v + ( – p )
v
– p
p d
d
2) “Subtração” de vetores
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d = r – u = r + ( – u )
r
d
u
u
DESVANTAGENS DO MÉTODO GRÁFICO
Qual o módulo (intensidade), direção e sentido do vetor soma?É necessário uma construção geométrica, medida de ângulos....
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
A = v + h
Av
h
h
v
| v |=| A | sen
| h |=| A | cos
| v |=| A | cos
| h |=| A | sen
Podemos escrever que: E também que:
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
A = ax + ay
B
A
ax
ay
bx
by
B = bx + by
ax = A cos ay = A sen
bx = B cos by = B sen
S = A +BS = ( ax + ay ) + ( bx + by )
S = ( ax + bx ) + ( ay + by )
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
B
A
ax
ay
bx
by
S = Sx + Sy
S Quem é o vetor S ?
módulodireçãosentido
Sx = ax + bx
Sy = ay + by
S = ( Sx )2 + ( Sy )2
Sx
Sy
Módulo:Direção e Sentido:
= tg – 1 (Sy / Sx)
= tg – 1 (Sx / Sy)
S = A +BS = ( ax + ay ) + ( bx + by )
S = ( ax + bx ) + ( ay + by )
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
B
A
i
j
ax i
ay j
bx i
by j
S = ( ax i + ay j ) + ( bx i + by j )
S = ( ax + bx ) i + (ay + by ) jS = Sx i + Sy j
S = ( Sx )2 + ( Sy )2 = tg – 1 (Sy / Sx)
S = ( ax + ay ) + ( bx + by )S = A +B
Vamos determinar:
Definindo os versores das direções horizontal e vertical:
S
Sx
Sy
B
A
60°
EXEMPLO 1: S = A +BVamos determinar
30°
| A |= A = 12 cm
| B |= B = 6 cm
ij
Lembrando que:
bx ( -i )
by j
ax i
ay j
ax = 12 cos(60°) = 6 cm ay = 12 sen(60°) = 10,4 cm
bx = 6 cos(30°) = 5,2 cm by = 6 sen(30°) = 3 cm
S = A + B = ax i + ay j + bx (-i ) + by j
S = 6 i + 10,4 j + 5,2 ( i ) + 3 j
S = 6 i + 10,4 j 5,2 i + 3 j S = (6 5,2) i + (10,4+3) j S = 0,8 i + 13,4 j
S
Sx
Sy
= tg –1 ( 13,4 / 0,8 )= 86,6°
S = ( Sx )2 + ( Sy )2S = (0,8)2 + (13,4)2S = 13,42 cm
EXEMPLO 2:Um avião percorre 209 Km em linha reta, fazendo um ângulo de 22,5° a nordeste. A que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida?
N
S
O L
22,5° DDy
Dx | D |= D = 209 Km
D = Dx + Dy
Dx é a distância que o avião viajou ao leste
Dy é a distância que o avião viajou ao norte
Dx = 209 sen(22,5°) = 80 Km Dy = 209 cos(22,5°) = 193 Km
O avião viajou 193 Km ao norte e 80 Km ao leste desde seu ponto de partida.RESPOSTA:
EXEMPLO 3:Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 Km. A partir de então ele passa a viajar para o norte, andando 47 Km até parar. Encontre o vetor que indica a localização do carro
N
S
O L
D Dy
Dx
D = Dx + Dy
| Dx |= Dx = 32 Km
| Dy|= Dy = 47 Km
D é o vetor que indica a localização do carro
Quem é o vetor D ?
módulodireçãosentido
D = ( Dx )2 + ( Dy )2D = (32)2 + (47)2D = 56,9 Km
tg = ( Dx / Dy )= ( 32 / 54 ) = 0,593
= tg –1 (0,593)= 30,7°
ay j
az k
ax i ij
k
x
y
zEm três dimensões
Podemos dizer que: A = ax i + ay j + ay k
A