Ensino Superior Matemática Básica Unidade 2 – Unidades de Medidas e o Sistema Internacional Amintas Paiva Afonso

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Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 2 – Unidades de Medidas e o Sistema Internacional

Amintas Paiva Afonso

MedirMedir

Medir é o procedimento Medir é o procedimento experimental através do qual o experimental através do qual o valor momentâneo de uma valor momentâneo de uma grandeza física (mensurando) é grandeza física (mensurando) é determinado como um determinado como um múltiplomúltiplo e/ou uma e/ou uma fraçãofração de uma de uma unidadeunidade, , estabelecida por um padrão, e estabelecida por um padrão, e reconhecida internacionalmentereconhecida internacionalmente..

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2.12.1

Um pouco de história das Um pouco de história das unidades de medida...unidades de medida...

Um pouco de história...Um pouco de história...

O desenvolvimento da linguagem ...O desenvolvimento da linguagem ... A necessidade de contar ...A necessidade de contar ... Só os números não bastam ...Só os números não bastam ... Unidades baseadas na anatomia ...Unidades baseadas na anatomia ...

O cúbito do FaraóO cúbito do Faraó

O pé médio da idade médiaO pé médio da idade média

Um pouco de história...Um pouco de história...

O desenvolvimento da linguagem ...O desenvolvimento da linguagem ... A necessidade de contar ...A necessidade de contar ... Só os números não bastam ...Só os números não bastam ... Unidades baseadas na anatomia ...Unidades baseadas na anatomia ... O papel do Faraó e do Rei ...O papel do Faraó e do Rei ... A busca por referências estáveis ...A busca por referências estáveis ... Finalmente, em 1960, a unificação ...Finalmente, em 1960, a unificação ...

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2.22.2

Por que um único sistema de Por que um único sistema de unidades?unidades?

Importância do SIImportância do SI

Clareza de entendimentos Clareza de entendimentos internacionais (técnica, científica) ...internacionais (técnica, científica) ...

Transações comerciais ...Transações comerciais ... Garantia de coerência ao longo dos Garantia de coerência ao longo dos

anos ...anos ... Coerência entre unidades simplificam Coerência entre unidades simplificam

equações da física ...equações da física ...

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2.3.12.3.1

As sete unidades de baseAs sete unidades de base

As sete unidades de baseAs sete unidades de base

GrandezaGrandeza unidade unidade símbolosímbolo

ComprimentoComprimento metrometro mm MassaMassa quilogramaquilograma kgkg TempoTempo segundosegundo ss Corrente elétricaCorrente elétrica ampereampere AA TemperaturaTemperatura kelvinkelvin KK Intensidade luminosaIntensidade luminosa candelacandela cdcd Quantidade de matériaQuantidade de matéria molmol molmol

O metroO metro

1793: décima milionésima 1793: décima milionésima parte do quadrante do parte do quadrante do meridiano terrestremeridiano terrestre

1889: padrão de traços em 1889: padrão de traços em barra de platina iridiada barra de platina iridiada depositada no BIPMdepositada no BIPM

1960: comprimento de onda 1960: comprimento de onda da raia alaranjada do da raia alaranjada do criptôniocriptônio

1983: definição atual1983: definição atual

O metro (m)O metro (m)

É o comprimento do trajeto É o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo458 de segundo

Observações:Observações: assume valor exato para a velocidade assume valor exato para a velocidade

da luz no vácuoda luz no vácuo depende da definição do segundodepende da definição do segundo incerteza atual de reprodução: 10incerteza atual de reprodução: 10-11-11 m m

MedidasMedidas

Medidas de ComprimentoMedidas de ComprimentoMedidas de ComprimentoMedidas de Comprimento

Múltiplos e submúltiplosdo metro

mkm hm dam dm cm mm

Quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

COMPRIMENTOCOMPRIMENTO

Medir faz parte do nosso dia-a-dia.Medir faz parte do nosso dia-a-dia. Entre as medidas mais comuns está a Entre as medidas mais comuns está a

medida de comprimento.medida de comprimento. Metro – mMetro – m Grandes medidas usamos o quilômetro – Grandes medidas usamos o quilômetro –

kmkm 1 km = 1000m1 km = 1000m Centimetro – cm Milímetro – mmCentimetro – cm Milímetro – mm 1 cm = 0,01 m1 cm = 0,01 m 1mm = 0,001m1mm = 0,001m

Comparações ...Comparações ...

Se o mundo fosse ampliado de forma Se o mundo fosse ampliado de forma que que 1010-11-11 m m se tornasse se tornasse 1 mm1 mm:: um glóbulo vermelho teria cerca de um glóbulo vermelho teria cerca de 700 700

mm de diâmetro. de diâmetro. o diâmetro de um fio de cabelo seria da o diâmetro de um fio de cabelo seria da

ordem de ordem de 5 km5 km.. A espessura de uma folha de papel seria A espessura de uma folha de papel seria

algo entre algo entre 10 e 14 km10 e 14 km.. Um fio de barba cresceria Um fio de barba cresceria 200 mm/s200 mm/s..

Transformação de UnidadesTransformação de Unidades

Um mesmo comprimento pode ser Um mesmo comprimento pode ser fornecido em unidades diferentes. Por fornecido em unidades diferentes. Por exemplo, uma pessoa pode dizer que exemplo, uma pessoa pode dizer que mora a 500 m ou 0,5 km da padaria.mora a 500 m ou 0,5 km da padaria.

Vamos ver como se transforma uma Vamos ver como se transforma uma medida de comprimento de uma unidade medida de comprimento de uma unidade para outra.para outra.

Lista das Unidades de comprimentoLista das Unidades de comprimento Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm

TransformandoTransformando

Nessa lista, da esquerda para direita, cada Nessa lista, da esquerda para direita, cada unidade contém 10 vezes a seguinte. unidade contém 10 vezes a seguinte.

Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm

10 x 10 x 10 x 10x 10x 10 10 x 10 x 10 x 10x 10x 10 xx

Por exemplo:Por exemplo: 5,31 dam = 53,1 m5,31 dam = 53,1 m


Se quisermos passar de uma unidade da Se quisermos passar de uma unidade da lista par outra que está duas posições lista par outra que está duas posições adiante, devemos multiplicar por 10 o adiante, devemos multiplicar por 10 o número que indica a medida e, depois número que indica a medida e, depois novamente por 10. Portanto devemos novamente por 10. Portanto devemos multiplicá-lo por 100. Por exemplo:multiplicá-lo por 100. Por exemplo:

0,83 m = 83 cm0,83 m = 83 cmKm – hm – dam – m – dm – cm - Km – hm – dam – m – dm – cm - mmmm

10x 10 x10x 10 x


Para transformar uma certa medida de uma Para transformar uma certa medida de uma unidade para a anterior devemos dividir por unidade para a anterior devemos dividir por 10 o número que indica a medida.10 o número que indica a medida.

Por exemplo:Por exemplo:

75,2 hm = 7,52 km75,2 hm = 7,52 km


:10 :10


É claro que , para voltar duas posições na É claro que , para voltar duas posições na lista, devemos dividir por 100 o número que lista, devemos dividir por 100 o número que indica a medida. Por exemplo:indica a medida. Por exemplo:

232 cm = 2,32 cm232 cm = 2,32 cm


:10 : 10:10 : 10

: 100: 100

EXEMPLO 1EXEMPLO 1

Vamos transformar 0,52 km em centímetrosVamos transformar 0,52 km em centímetrosVeja a lista das unidadesVeja a lista das unidades


1 2 3 4 51 2 3 4 5 A posição desejada está 5 posições à direita A posição desejada está 5 posições à direita

da posição dada. Então multiplicamos o da posição dada. Então multiplicamos o número dado por 100000, ou seja a vírgula número dado por 100000, ou seja a vírgula avança 5 posições para direita.avança 5 posições para direita.0,52 km = 52 000 cm0,52 km = 52 000 cm

EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Vamos transformar 745 mm em metros.Vamos transformar 745 mm em metros.Veja a lista das unidadesVeja a lista das unidades

Km – hm – dam – m – dm – cm – mmKm – hm – dam – m – dm – cm – mm

1 2 31 2 3 A posição desejada ( m) está 3 A posição desejada ( m) está 3

posições à esquerda da posição dada, posições à esquerda da posição dada, por isso dividimos 745 por 1000.por isso dividimos 745 por 1000.745 mm = 0,745 m745 mm = 0,745 m

MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS

Múltiplos e Múltiplos e SubmúltiplosSubmúltiplos SímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação

yottametro Ym 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000

zetta metro Zm 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000

exametro Em 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

terametro Tm 1012 = 1 000 000 000 000

petametro Pm 1015 = 1 000 000 000 000 000

gigametro Gm 109 = 1 000 000 000



megametro Mm 106 = 1 000 000

quilômetro km 103 = 1 000

hectômetro hm 102 = 100

decímetro dm 10 -1 = 0,1

decâmetro dam 10 = 10

centímetro cm 10 -2 = 0,01


Múltiplos e Múltiplos e SubmúltiplosSubmúltiplosSímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação

milímetro mm 10 -3 = 0,001

micrometro um 10 -6 = 0,000 001

nanometro nm 10 -9 = 0,000 000 001

femtometro fm 10 -15 = 0,000 000 000 000 001

picometro pm 10 -12 = 0,000 000 000 001

attometro am 10 -18 = 0,000 000 000 000 000 001



zeptometro zm 10-21 = 0,000 000 000 00 000 000 001

yoctometro ym 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001

CONVERSÃO DE UNIDADESCONVERSÃO DE UNIDADES

mm cm dm m dam hm km

x 10-1 x 10-1x 10-1x 101 x 101x 101

x 102 x 10-2

x 10-3x 103

x 106

x 10-6

O segundo (s)O segundo (s)

é a duração de 9 192 631 770 é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do hiperfinos do estado fundamental do átomo de Césio 133.átomo de Césio 133.

Observações:Observações: Incerteza atual de reprodução: 3 . 10Incerteza atual de reprodução: 3 . 10-14-14 s s

Comparações ...Comparações ... Se a velocidade com que o tempo Se a velocidade com que o tempo

passa pudesse ser desacelerada de tal passa pudesse ser desacelerada de tal forma que forma que 3 . 103 . 10-14-14 ss se tornasse se tornasse 1 s1 s:: um avião a jato levaria pouco mais de um avião a jato levaria pouco mais de 2 2

anosanos para percorrer para percorrer 1 mm1 mm.. o tempo em que uma lâmpada de flash o tempo em que uma lâmpada de flash

ficaria acesa seria da ordem de ficaria acesa seria da ordem de 10 anos10 anos.. uma turbina de dentista levaria cerca de uma turbina de dentista levaria cerca de

20 anos20 anos para completar apenas uma para completar apenas uma rotação.rotação.

um ser humano levaria cerca de um ser humano levaria cerca de 200 200 séculosséculos para piscar o olho. para piscar o olho.

O quilograma (kg)O quilograma (kg)

é igual à massa é igual à massa do protótipo do protótipo internacional do internacional do quilograma.quilograma. incerteza atual de incerteza atual de

reprodução: 10reprodução: 10-9-9 g g busca-se uma busca-se uma

melhor melhor definição ...definição ...

Comparações ...Comparações ... Se as massas das coisas que nos Se as massas das coisas que nos

cercam pudesem ser intensificadas cercam pudesem ser intensificadas de forma que de forma que 1010-9-9 g g se tornasse se tornasse 1 g1 g:: uma molécula d’água teria uma molécula d’água teria 3.103.10-16-16 g g um vírus um vírus 1010-11-11 g g uma célula humana uma célula humana 1 mg1 mg um mosquito um mosquito 1,5 kg1,5 kg uma moeda de R$ 0,01 teria uma moeda de R$ 0,01 teria 8 t8 t a quantidade de álcool em um drinque a quantidade de álcool em um drinque

seria de seria de 24 t24 t

O ampere (A)O ampere (A)

é a intensidade de uma corrente elétrica é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, mantida em dois constante que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular comprimento infinito, de seção circular desprezível, e situados à distância de 1 desprezível, e situados à distância de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre metro entre si, no vácuo, produz entre estes condutores uma força igual a 2 . 10estes condutores uma força igual a 2 . 10-7-7 newton por metro de comprimento.newton por metro de comprimento. incerteza atual de reprodução: 3 . 10incerteza atual de reprodução: 3 . 10-7-7 A A

O kelvin (K)O kelvin (K)

O kelvin, unidade de temperatura O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 1/273,16 termodinâmica, é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da água.ponto tríplice da água.

A candela (cd)A candela (cd)

é a intensidade luminosa, numa é a intensidade luminosa, numa dada direção, de uma fonte que dada direção, de uma fonte que emite uma radiação emite uma radiação monocromática de freqüência monocromática de freqüência 540 . 10540 . 101212 hertz e cuja intensidade hertz e cuja intensidade energética nesta direção é de energética nesta direção é de 1/683 watt por esterradiano.1/683 watt por esterradiano. incerteza atual de reprodução: 10incerteza atual de reprodução: 10-4-4 cd cd

O mol (mol)O mol (mol)

é a quantidade de matéria de um é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades sistema contendo tantas entidades elementares quantos átomos elementares quantos átomos existem em 0,012 quilograma de existem em 0,012 quilograma de carbono 12.carbono 12. incerteza atual de reprodução: 6 . 10incerteza atual de reprodução: 6 . 10-7-7

molmol

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2.3.22.3.2

As unidades suplementaresAs unidades suplementares

C

O radiano (rad)O radiano (rad)

É o ângulo central que subtende um É o ângulo central que subtende um arco de círculo de comprimento igual arco de círculo de comprimento igual ao do respectivo raio.ao do respectivo raio.

R1 rad

C = R

Ângulo SólidoÂngulo Sólido

RA

= A/R2

O esterradiano (sr)O esterradiano (sr)

É o ângulo sólido que tendo vértice É o ângulo sólido que tendo vértice no centro de uma esfera, subtende no centro de uma esfera, subtende na superfície uma área igual ao na superfície uma área igual ao quadrado do raio da esfera. quadrado do raio da esfera. São exemplos de ângulo sólido: o São exemplos de ângulo sólido: o

vértice de um cone e o facho de luz de vértice de um cone e o facho de luz de uma lanterna acesa.)uma lanterna acesa.)

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2.3.32.3.3

As unidades derivadasAs unidades derivadas

Unidades derivadasUnidades derivadas

Grandeza derivada Unidade derivada Símbolo

áreavolumevelocidadeaceleraçãovelocidade angularaceleração angularmassa específicaintensidade de campo magnéticodensidade de correnteconcentração de substâncialuminância

metro quadradometro cúbicometro por segundometro por segundo ao quadradoradiano por segundoradiano por segundo ao quadradoquilogramas por metro cúbicoampère por metroampère por metro cúbicomol por metro cúbicocandela por metro quadrado

m2

m3

m/sm/s2

rad/srad/s2

kg/m3

A/mA/m3

mol/m3

cd/m2

Grandeza derivada Unidadederivada

Símbolo Em unidade

sdo SI

Em termos dasunidades base

freqüênciaforçapressão, tensãoenergia, trabalho, quantidade de calorpotência e fluxo radiantecarga elétrica, quantidade de eletricidadediferença de potencial elétrico, tensão elétrica, força

eletromotivacapacitância elétricaresistência elétricacondutância elétricafluxo magnéticoindução magnética, densidade de fluxo magnéticoindutânciafluxo luminosoiluminamento ou aclaramentoatividade (de radionuclídeo)dose absorvida, energia específicadose equivalente

hertznewtonpascaljoulewattcoulombvolt

faradohmsiemensweberteslahenrylumenluxbecquerelgraysiervet

HzNPaJWCV

FSWbTHlmlxBqGySv

N/m2

N . mJ/sW/AC/VV/AA/V

V . SWb/m2

Wb/Acd/srlm/m2

J/kgJ/kg

s-1

m . kg . s-2

m-1 . kg . s-2

m2 . kg . s-2

m2 . kg . s-3

s . Am2 . kg . s-3 . A-1

m-2 . kg-1 . s4 . A2

m2 . kg . s-3 . A-2

m-2 . kg-1 . s3 . A2

m2 . kg . s-2 . A-1

kg . s-2 . A-1

m2 . kg . s-2 . A-2

cdcd . m-2

s-1

m2 . s-2

m2 . s-2

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2.3.32.3.3

Múltiplos e submúltiplosMúltiplos e submúltiplos

Múltiplos e submúltiplosMúltiplos e submúltiplos

Fator Nome do prefixo

Símbolo Fator Nome do prefixo

Símbolo

1024

1021

1018

1015

1012

109

106

103

102

101

yottazettaexapetateragiga

megaquilohectodeca

YZEPTGMkhda

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

10-21

10-24

decicentimili

micronanopico

femtoatto

zeptoyocto

dcmnpfazy

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2.3.42.3.4

Unidades em uso e unidades Unidades em uso e unidades aceitas em áreas específicasaceitas em áreas específicas

Unidades em uso com o SIUnidades em uso com o SI

Grandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI

tempo

ângulo

volumemassapressãotemperatura

minutohoradiagrauminutosegundolitrotoneladabargrau Celsius

minhd°'"

l, Lt

bar°C

1 min = 60 s1 h = 60 min = 3600 s1 d = 24 h1° = (/180)1' = (1/60)° = (/10 800) rad1" = (1/60)' = (/648 000) rad1 L = 1 dm3 = 10-3 m3

1 t = 103 kg1 bar = 105 Pa°C = K - 273,16

Unidades temporariamente em usoUnidades temporariamente em uso

Grandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI

comprimentovelocidade

massadensidade lineartensão de sistema

ópticopressão no corpo

humanoáreaáreacomprimentoseção transversal

milha náuticanó

carattexdioptre

milímetros de mercúrio

arehectareângstrombarn

tex

mmHg

aháÅb

1 milha náutica = 1852 m1 nó = 1 milha náutica por hora =

(1852/3600) m/s1 carat = 2 . 10-4 kg = 200 mg1 tex = 10-6 kg/m = 1 mg/m1 dioptre = 1 m-1

1 mm Hg = 133 322 Pa

1 a = 100 m2

1 ha = 104 m2

1 Å = 0,1 nm = 10-10 m1 b = 10-28 m2

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2.42.4

A grafia corretaA grafia correta

Grafia dos nomes das unidadesGrafia dos nomes das unidades Quando escritos por extenso, os nomes de Quando escritos por extenso, os nomes de

unidades começam por letra minúscula, unidades começam por letra minúscula, mesmo quando têm o nome de um mesmo quando têm o nome de um cientista (por exemplo, ampere, kelvin, cientista (por exemplo, ampere, kelvin, newton,etc.), exceto o grau Celsius.newton,etc.), exceto o grau Celsius.

A respectiva unidade pode ser escrita por A respectiva unidade pode ser escrita por extenso ou representada pelo seu símbolo, extenso ou representada pelo seu símbolo, não sendo admitidas combinações de não sendo admitidas combinações de partes escritas por extenso com partes partes escritas por extenso com partes expressas por símbolo.expressas por símbolo.

O pluralO plural

Quando pronunciado e escrito por Quando pronunciado e escrito por extenso, o nome da unidade vai para extenso, o nome da unidade vai para o plural (5 newtons; 150 metros; 1,2 o plural (5 newtons; 150 metros; 1,2 metros quadrados; 10 segundos).metros quadrados; 10 segundos).

Os símbolos das unidades nunca vão Os símbolos das unidades nunca vão para o plural ( 5N; 150 m; 1,2 mpara o plural ( 5N; 150 m; 1,2 m22; 10 ; 10 s).s).

Os símbolos das unidadesOs símbolos das unidades

Os símbolos são invariáveis, não sendo Os símbolos são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, seja admitido colocar, após o símbolo, seja ponto de abreviatura, seja "s" de plural, ponto de abreviatura, seja "s" de plural, sejam sinais, letras ou índices.sejam sinais, letras ou índices.

Multiplicação: pode ser formada pela Multiplicação: pode ser formada pela justaposição dos símbolos se não causar justaposição dos símbolos se não causar anbigüidade (VA, kWh) ou colocando um anbigüidade (VA, kWh) ou colocando um ponto ou “x” entre os símbolos (m.N ou m ponto ou “x” entre os símbolos (m.N ou m x N)x N)

Divisão: são aceitas qualquer das três Divisão: são aceitas qualquer das três maneiras exemplificadas a seguir:maneiras exemplificadas a seguir:

W/(sr.m2) W.sr-1.m-2W

sr.m2

Grafia dos números e símbolosGrafia dos números e símbolos

Em português o separador decimal deve Em português o separador decimal deve ser a vírgula.ser a vírgula.

Os algarismos que compõem as partes Os algarismos que compõem as partes inteira ou decimal podem inteira ou decimal podem opcionalmente ser separados em grupos opcionalmente ser separados em grupos de três por espaços, mas nunca por de três por espaços, mas nunca por pontos.pontos.

O espaço entre o número e o símbolo é O espaço entre o número e o símbolo é opcional. Deve ser omitido quando há opcional. Deve ser omitido quando há possibilidade de fraude.possibilidade de fraude.

Alguns enganosAlguns enganos

ErradoErrado Km, KgKm, Kg a gramaa grama 2 hs, 15 seg2 hs, 15 seg 80 KM80 KM 250°K250°K um Newtonum Newton

CorretoCorreto km, kgkm, kg mm o gramao grama 2 h, 15 s2 h, 15 s 80 km/h80 km/h 250 K250 K um newtonum newton

Outros enganosOutros enganos

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