1
4O Erro de Medição
Fundamentos de Metrologia
Erro de Medição
mensurandosistema de medição
indicação valor verdadeiro≠
erro de medição
2
Um exemplo de erros...
Teste de precisão de tiro de canhões:Canhão situado a 500 m de alvo fixo;Mirar apenas uma vez;Disparar 20 tiros sem nova chance para refazer a mira;Distribuição dos tiros no alvo é usada para qualificar canhões.
Quatro concorrentes:
A B
CD
4
Tipos de erros
Erro sistemático: é a parcela previsível do erro. Corresponde ao erro médio.
Erro aleatório: é a parcela imprevisível do erro. É o agente que faz com que medições repetidas levem a distintas indicações.
Precisão & Exatidão
São parâmetros qualitativos associados ao desempenho de um sistema.
Um sistema com ótima precisão repete bem, com pequena dispersão.
Um sistema com excelente exatidãopraticamente não apresenta erros.
5
4.2 e 4.3Caracterização e componentes do
erro de medição
Exemplo de erro de medição
1014g0 g1014 g
1
(1000,00 ± 0,01) gE = I - VVC
E = 1014 - 1000
E = + 14 g
Indica a mais do que deveria!
6
Erros em medições repetidas
0 g1014 g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1014 g
1000
1010
1020
1012 g1015 g1018 g1014 g1015 g1016 g1013 g1016 g1015 g
1015 g
1015 g
1017 g
1017 g
erro
méd
io
disp
ersã
o
Cálculo do erro sistemático
VVIEs −= ∞
∞IVVmédia de infinitas indicações
valor verdadeiro conhecido exatamentecondições:
7
Estimativa do erro sistemático
VVCITd −=
Itendência
Td UTd ±
VVC
4.4Erro sistemático, tendência e
correção
8
Algumas definições
Tendência (Td)é uma estimativa do Erro Sistemático
Valor Verdadeiro Convencional (VVC) é uma estimativa do valor verdadeiro
Correção (C)é a constante que, ao ser adicionada àindicação, compensa os erros sistemáticosé igual à tendência com sinal trocado
Correção dos erros sistemáticos
Td C = -Td
9
Indicação corrigida
101410151017101210151018101410151016101310161015
I
121110987654321Nº
1015média
-15-15-15-15-15-15-15-15-15-15-15-15
C
-15
99910001002997100010039991000100199810011000
Ic
1000
-102-303-101-210
Ea
0
995 1000 1005
C = -Td
C = 1000 - 1015IVVCC −=
C = -15 g
4.5Erro aleatório, incerteza padrão e
repetitividade
10
Erro aleatório e repetitividade
I-IEa ii =
-5 0 5O valor do erro aleatório é imprevisível.
A repetitividade define a faixa dentro da qual espera-se que o erro aleatório esteja contido.
Distribuição de probabilidade uniforme ou retangular
1 2 3 4 5 6
probabilidade
1/60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pro
babi
lidad
e (1
/6)
Lançamento de um dado
11
Distribuição de probabilidade triangular
1,51,0 2,52,0 3,53,0 4,54,0 5,55,0 6,0
probabilidade (1/36)
2
4
6
Média de dois dados
Distribuição de probabilidade triangular
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 2 dados
Pro
babi
lidad
e (1
/36)
12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pro
babi
lidad
e (1
/6)
Lançamento de um dado
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
Médi a d e 2 d ado s
Pro
bab
ilid
ade
(1/3
6)
Média de dois dados
13
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7
Médi a d e 3 d ado s
Pro
bab
ilid
ade
(1/2
16)
Média de três dados
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1 2 3 4 5 6 7
Médi a d e 4 d ado s
Pro
bab
ilid
ade
(1/1
296)
Média de quatro dados
14
0500
100015002000250030003500400045005000
0 1 2 3 4 5 6 7
Médi a d e 6 d ado s
Pro
babi
lida
de
(1/4
6656
)Média de seis dados
020000
4000060000
80000100000
120000140000
160000
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 8 dados
Pro
babi
lidad
e (1
/167
9616
)
Média de oito dados
15
“Teorema do sopão”
Quanto mais ingredientes diferentes forem misturados àmesma sopa, mais e mais o seu gosto se aproximará do gosto único, típico e inconfundível do "sopão".
Teorema central do limite
Quanto mais variáveis aleatórias forem combinadas, tanto mais o comportamento da combinação se aproximará do comportamento de uma distribuição normal (ou gaussiana).
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Curva normal
µ
σ σ
pontos de inflexão
assíntotaassíntota
µ = média
σ = desvio padrão
Efeito do desvio padrão
σ > σ > σ
µ
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Cálculo e estimativa do desvio padrão
n
IIn
ii
n
∑=
∞→
−= 1
2)(limσ
cálculo exato:(da população)
1
)(1
2
−
−=
∑=
n
IIs
n
ii
estimativa:(da amostra)
Ii i-ésima indicaçãomédia das "n" indicações
n número de medições repetitivas efetuadasI
Incerteza padrão (u)
medida da intensidade da componente aleatória do erro de medição.corresponde à estimativa do desvio padrão da distribuição dos erros de medição.u = s
Graus de liberdade (ν):corresponde ao número de medições repetidas menos um.ν = n - 1
18
Área sobre a curva normal
2σ 2σ
95,45%
µ
Estimativa da repetitividade(para 95,45 % de probabildiade)
Para amostras infinitas:
Re = 2 . σ
Para amostras finitas:
Re = t . u
Sendo “t” o coeficiente de Student para ν = n - 1 graus de liberdade.
A repetitividade define a faixa dentro da qual, para uma dada probabilidade, o erro aleatório éesperado.
19
Coeficiente “t” de Student
ν t ν t ν t ν t1 13.968 10 2.284 19 2.140 80 2.0322 4.527 11 2.255 20 2.133 90 2.0283 3.307 12 2.231 25 2.105 100 2.0254 2.869 13 2.212 30 2.087 150 2.0175 2.649 14 2.195 35 2.074 200 2.0136 2.517 15 2.181 40 2.064 1000 2.0037 2.429 16 2.169 50 2.051 10000 2.0008 2.366 17 2.158 60 2.043 100000 2.0009 2.320 18 2.149 70 2.036 ∞ 2.000
Exemplo de estimativa da repetitividade
1014g0 g1014 g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1014 g
1012 g1015 g1018 g1014 g1015 g1016 g1013 g1016 g1015 g
1015 g1017 g
112
)1015(u
12
1
2
−
−=
∑=i
iI
média: 1015 g
u = 1,65 g
ν = 12 - 1 = 11
t = 2,255
Re = 2,255 . 1,65
Re = 3,72 g
20
Exemplo de estimativa da repetitividade
1015 10201010
+3,72-3,72 1015
Efeitos da média de medições repetidas sobre o erro de mediçãoEfeito sobre os erros sistemáticos:
Como o erro sistemático já é o erro médio, nenhum efeito é observado.
21
Efeitos da média de medições repetidas sobre o erro de mediçãoEfeitos sobre os erros aleatórios
A média reduz a intensidade dos erros aleatórios, a repetitividade e a incerteza padrão na seguinte proporção:
nReRe I
I =n
uu II =
sendo:
n o número de medições utilizadas para calcular a média
Exemplo
No problema anterior, a repetitividade da balança foi calculada:
Se várias séries de 12 medições fossem efetuadas, as médias obtidas devem apresentar repetitividade da ordem de:
ReI = 3,72 g
gI 07,11272,3Re
12==
22
4.6Curva de erros e erro máximo
Curva de erros
indicação
erro
1015
15
TdTd + Re
Td - ReEmáx
- Emáx
23
Algumas definições
Curva de erros:É o gráfico que representa a distribuição dos efeitos sistemáticos (Td) e aleatórios (Re) ao longo da faixa de medição.
Erro máximo:É o maior valor em módulo do erro que pode ser cometido pelo sistema de medição nas condições em que foi avaliado.
4.7Representação gráfica dos erros
de medição
24
Sistema de medição “perfeito”(indicação = VV)
1000 1020 1040960 980
mensurando
1000 1020 1040960 980indicação
Sistema de medição com erro sistemático apenas
1000 1020 1040960 980
mensurando
1000 1020 1040960 980indicação
+Es
25
Sistema de medição com erros aleatórios apenas
1000 1020 1040960 980
mensurando
1000 1020 1040960 980indicação
±Re
Sistema de medição com erros sistemático e aleatório
1000 1020 1040960 980
mensurando
1000 1020 1040960 980indicação
+Es
±Re
26
4.8Erro ou incerteza?
Erro ou incerteza?
Erro de medição:é o número que resulta da diferença entre a indicação de um sistema de medição e o valor verdadeiro do mensurando.
Incerteza de medição:é o parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a faixa dos valores que podem razoavelmente ser atribuídos ao mensurando.
27
4.9Fontes de erros
sistema de medição
Fontes de erros:
sinal de medição indicação
fatores internos
fatores externos
fatores externos
retroaçãoretroação
operador
mensurando
28
Erros provocados por fatores internos
Imperfeições dos componentes e conjuntos (mecânicos, elétricos etc).Não idealidades dos princípios físicos.
força
alongamento
região linear região não linear
Erros provocados por fatores externos
Condições ambientaistemperaturapressão atmosféricaumidade
Tensão e freqüência da rede elétricaContaminações
29
Erros provocados por retroaçãoA presença do sistema de medição modifica o mensurando.
65 °C
65 °C70 °C
20 °C
Erros induzidos pelo operador
HabilidadeAcuidade visualTécnica de mediçãoCuidados em geralForça de medição
30
Dilatação térmica
Propriedade dos materiais modificarem suas dimensões em função da variação da temperatura.
b b'
c'c
∆b = b' - b∆c = c' - c
∆b = α . ∆T . b∆c = α . ∆T . c
∆T
Temperatura de referência
Por convenção, 20 °C é a temperatura de referência para a metrologia dimensional. Os desenhos e especificações sempre se referem às características que as peças apresentariam a 20 °C.
31
Dilatação térmica:distintos coeficientes de expansão térmica
20°C 40°C 10°C
I = 40,0I = 44,0
I = 38,0
α > α
Dilatação térmica:mesmos coeficientes de expansão térmica
20°C 40°C 10°C
I = 40,0 I = 40,0
I = 40,0
α = α
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Dilatação térmica:
Ci
Ce
Sabendo que a 20°C
Ci = Ce
Qual a resposta certa a 40°C?
(a) Ci < Ce
(b) Ci = Ce
(c) Ci > Ce
(d) NRA
α = α
Dilatação térmica:
(a) Ci < Ce
(b) Ci = Ce
(c) Ci > Ce
(d) NRA
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Micrômetro
Correção devido àdilatação térmica
SM Peça a medir Correção devido à temperaturaMat Temp. Mat Temp.A 20 °C A 20 °C C = 0A TSM ≠ 20 °C A TP = TSM C = 0A TSM A TSM ≠ TP C = αA . L . (TSM - TP)A 20 °C B 20 °C C = 0A TSM ≠ 20 °C B TSM = TP C = (αA - αB). (TSM - 20°C) . LA TSM B TSM ≠ TP C = [αA . (TSM - 20°C) - αB . (TP - 20°C)] . L