Superintendência Regional de Ensino de ItuiutabaSuperintendência Regional de Ensino de Ituiutaba
IXº Encontro – PNAIC MatemáticaIXº Encontro – PNAIC Matemática
““O Ensino de Combinatória e Probabilidade O Ensino de Combinatória e Probabilidade
Nos Primeiros Anos Escolares” Nos Primeiros Anos Escolares”
28 de março de 201528 de março de 2015
O ENSINO DE COMBINATÓRIA NOO ENSINO DE COMBINATÓRIA NOCICLO DE ALFABETIZAÇÃOCICLO DE ALFABETIZAÇÃO
Cristiane Cristiane Azevedo dos Santos PessoaAzevedo dos Santos Pessoa
Uma das primeiras aprendizagens matemáticas da criança consiste em contar os elementos de diferentes conjuntos e enumerá-los para determinar quantos são. Conhecida como a arte de contar, a Combinatória, como um tipo de contagem, exige que seja superada a ideia de enumeração de elementos isolados para se passar à contagem de grupos de objetos, tendo como base o raciocínio multiplicativo.
(Caderno 7 p.39)
Quantas blusas e quantas calças estilo corsárioGinger separou para colocar na mala?
Quantas combinações de blusa e calça Ginger pode fazer com estas roupas?
Resposta:
Na resolução de problemas pelas crianças observa-se que uma das maiores dificuldades maiores dificuldades é a contagem de todas as possibilidadesé a contagem de todas as possibilidades. Isso ocorre porque o trabalho com a Combinatória exige organização dos dados de modo particular. Essa organização é realizada em níveis diferenciados de abstração. Sabendo disso, podemos auxiliar as crianças na sistematização de suas estratégias e no desenvolvimento de ferramentas que podem ser úteis.
Maiores dificuldades das Maiores dificuldades das crianças...crianças...
Observações importantes para os Professores Observações importantes para os Professores do Ciclo da Alfabetizaçãodo Ciclo da Alfabetização
Uso de materiais manipulativos;Situações com contextos próximos das vivências das crianças;O estimulo às diversas estratégias de resolução, tais como desenhos, listagens ou árvores de possibilidades;Trabalho com problema que tenha número total de possibilidades pequeno.
É uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos
sem precisar de enumerá-los.
A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais
como: lançamento de dados, jogos de cartas, etc...
Análise Combinatória
Tipos de Problemas Combinatórios
Os problemas combinatórios normalmente trabalhados
na Educação Básica são de quatro tipos:
Arranjo Combinação Permutação Produto Cartesiano
Uma característica comum a todos os tipos de problemas
é a necessidade de esgotar todas as possibilidades para
se chegar à resposta.
ARRANJODe quantas maneiras diferentes pode ser o resultado de uma corrida – 1º e 2º lugares – se três crianças (Ana, Felipe e Paula) estão correndo?
Esse tipo de problema caracteriza-se por ter apenas um conjunto a partir do qual os elementos são escolhidos (no caso, o conjunto das crianças) e a ordem de disposição dos elementos determina possibilidades distintas. No problema citado há seis possibilidades diferentes (AF, FA, FP, PF, AP e PA), considerando- -se que, por exemplo, Ana em primeiro lugar e Felipe em segundo (AF) é diferente de Felipe em primeiro lugar e Ana em segundo (FA).
(Texto: Salto para o Futuro p.7)
Ana Felipe Paula
Resolvendo o problema:
De quantas maneiras diferentes pode ser o resultado de uma corrida – 1º e 2º lugares – se três crianças (Ana, Felipe e Paula) estão correndo?
1º Lugar 2º Lugar 1º Lugar 2º Lugar 1º Lugar 2º Lugar
1º Lugar 2º Lugar 1º Lugar 2º Lugar 1º Lugar 2º Lugar
Características do ARRANJO
Um único conjunto
Elementos são escolhidos
A ordenação gera novas possibilidades
1º Lugar 2º Lugar
1º Lugar 1º Lugar2º Lugar 2º Lugar
≠
Fórmula do Arranjo Simples
Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos
distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer
à seguinte fórmula:
A = n! (n-p)!
No problema apresentado teríamos: n= 3 p=2A = 3! = 3 x 2x1 = 6 = 6 (3-2)! 1! 1
n,pn,pn,p
3,2
Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e
representamos por n!.
Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.
5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a
3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.
Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.
COMBINAÇÃODe quantas maneiras diferentes pode-se escolher duplas a partir de um grupo com cinco crianças (Bárbara, Carlos, Marisa, Gustavo e Luiza)?
Nesse tipo de problema, a escolha também é a partir de um conjunto único (como nos arranjos), mas a ordem de disposição dos elementos não determina possibilidades distintas: a dupla Bárbara e Gustavo (BG) é igual à dupla Gustavo e Bárbara (GB), por exemplo. Tem-se, nesta situação, dez possibilidades: BC, BG, BM, BS, CG, CM, CS, GM, GS e MS.
(Texto: Salto para o Futuro p.7)
Bárbara Carlos Marisa Gustavo Luiza
Resolvendo o problema:De quantas maneiras diferentes pode-se escolher duplas a partir de um grupo com cinco crianças (Bárbara, Carlos, Marisa, Gustavo e Luiza)?
Bárbara Carlos Marisa Gustavo Luiza
Características da Combinação
Um único conjunto
A ordenação não gera novas
possibilidades
=
Fórmula da Combinação SimplesAo trabalharmos com combinações simples, com n elementos
distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à
seguinte fórmula:
C = n! p!(n-p)!
No problema apresentado teríamos: n= 5 p=2C = 5! = 5! = 5x4x3! = 20 = 10 2!(5-2)! 2!x3! 2! x 3! 2 x 1
n,pn,pn,p
5,2
Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e
representamos por n!.
Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.
5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a
3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.
Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.
PERMUTAÇÃOPermutação: De quantas maneiras diferentes três livros (de História, Matemática e Ciências) podem ser colocados em pé numa prateleira?
A permutação é um caso particular de arranjo. As escolhas são feitas a partir de um conjunto único, com a diferença de que todos os elementos do conjunto são utilizados, sendo a ordem diferenciada, o que identifica cada possibilidade. Nesse caso, há seis maneiras distintas de colocar os três livros em uma prateleira: HMC, HCM, MHC, MCH, CHM e CMH.
(Texto: Salto para o Futuro p.7)
História Matemática Ciências
Resolvendo o problema:De quantas maneiras diferentes três livros (de História, Matemática e Ciências) podem ser colocados em pé numa prateleira?
História
Matemática Ciências
Matemática
Ciências História
Ciências História
Matemática
História
Matemática Ciências
Matemática
Ciências História
Matemática
Ciências História
Ciências História
Matemática
Características da Permutação
Um único conjunto
Todos os elementos do conjunto são
utilizados
A ordenação gera novas possibilidades
Ciências
História Matemática Ciências
Ciências História
Matemática
Ciências História
Matemática
História
Matemática
≠
Fórmula da Permutação Simples A cada um dos agrupamentos que podemos formar com
certo número de elementos distintos, tal que a diferença
entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança
de posição entre seus elementos, damos o nome de
permutação simples.
Neste caso o agrupamento de livros ( matemática, história,
ciências ), difere do agrupamento ( história, ciências,
matemática ), pois embora os elementos de ambos os grupos
sejam os mesmos, há mudança no posicionamento de ao
menos um dos seus elementos.
Para resolver este problema podemos recorrer à fórmula:
P = n!
No problema apresentado teríamos: n = 3
P = 3! P = 3x 2x 1 P = 6
n 3 3
n
PRODUTO CARTESIANO
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B são todos os pares ordenados (x, y), sendo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.
O produto cartesiano de A por B é igual a: AxB
Vejamos um problema que envolve análise combinatória com Produto Cartesiano
De quantas maneiras diferentes posso escolher um lanche e um suco, se na lanchonete há quatro tipos de lanche (coxinha, empada, pizza e sanduíche) e dois tipos de suco (laranja e abacaxi)? Nesse tipo de problema, as escolhas são efetuadas a partir de distintos conjuntos de elementos (no caso, o conjunto de lanches e o conjunto de sucos)
Resolvendo o problema:
De quantas maneiras diferentes posso escolher um lanche e um suco, se na lanchonete há quatro tipos de lanche (coxinha, empada, pizza e sanduíche) e dois tipos de suco (laranja e abacaxi)?
A B
A x B = 2 x 4 = 8
Características do PRODUTO CARTESIANO
Dois conjuntos distintos
Combinar todos elementos de um grupo com os do outro
grupo
A ordenação dos elementos não gera novas possibilidades
A = Sucos B = Lanches
A x B = 2 sucos x 4 lanches = 8 combinações de suco - lanche
=
TIPO DE PROBLEMA CARACTERISTICAS
Produto Cartesiano
• 2 conjuntos distintos• Combinar todos elementos de um grupo com
todos do outro grupo• A ordenação dos elementos não gera novas
possibilidades
Arranjo• Um único conjunto • Elementos são escolhidos• A ordenação gera novas possibilidades
Combinação• Um único conjunto• A ordenação não gera novas possibilidades
Permutação• Um único conjunto• Todos os elementos do conjunto são utilizados• A ordenação gera novas possibilidades
Pessoa e Borba (2009) realizaram uma pesquisa de sondagem com alunos da Educação Básica, observando o desempenho de educandos do 2º e 3º Anos ao resolverem dois problemas combinatórios de cada tipo (Arranjo; Combinação; Permutação e Produto Cartesiano). Essa pesquisa demonstrou que estas crianças conseguem perceber características dos problemas combinatórios. Porém, os alunos do 2º Ano ainda apresentam dificuldade em esgotar todas as possibilidades. Já os alunos do 3º Ano conseguem chegar ao final das resoluções, mesmo quando os resultados são maiores que 20.
(PNAIC, Caderno 7 – Educação Estatística, p. 42)
Se problemas variados de Combinatória forem trabalhados desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, por meio de representações simbólicas apropriadas e que possibilitem uma gradual construção de procedimentos mais formais, aumenta-se a possibilidade de se chegar ao uso consciente das fórmulas de Análise Combinatória no Ensino Médio.
(PNAIC, Caderno 7 – Educação Estatística, p.50)
Onde quer que haja mulhes e homens,Há sempre o que fazer,Há sempre o que ensinar,Há sempre o que aprender.
Paulo Freire