Equações do 2º Grau
8ª SérieProf. Arthur Bernd
Definição
Uma equação do 2º grau é uma equação do tipo:
A denominação “2º grau” corresponde ao expoente de grau 2 da incógnita.
Assim como no caso das equações do 1º grau, utilizamos as equações do 2º grau com o objetivo de resolver problemas.
.0 e reais números são e , onde
02
acba
cbxax
Alguns exemplos Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, e
destacamos em cada caso os valores de a, b e c.
10 e 2
1 , 1
0102
3 e 1 , 5
035
7 e 2 , 3
0723
2
2
2
cba
xx
cba
xx
cba
xx
1 , 5 , 3
0153
153
0 , 4 , 7
047
047
8 , 0 , 2
082
028
2
2
2
2
2
cba
xx
xx
cba
xx
xx
cba
x
x
Equações completas e incompletas
Dizemos que uma equação é completa quando . Por exemplo:
Dizemos que uma equação é incompleta quando. Por exemplo:
0 e 0 cb
0532 2 xx
0e/ou 0 cb
02
093
05
2
2
2
x
x
xx
Solução de uma equação
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar para qual(is) valor(es) da incógnita a igualdade é verdadeira.
Por exemplo, dada a equação
0126516)1(51 :obtemos 1-por
ossubstituím quando pois solução, é não 1 lado, outroPor
061046252 :obtemos 2por
ossubstituím quando pois solução, é 2 quedizer podemos
065
2
2
2
x
x
x
x
xx
Exercícios
Pág. 46 Exercícios 1, 2 e 4 (a, b, c, d)
Resolução de equações incompletas Incompleta do tipo b=0 Exemplo:
.2 ;2 é solução conjunto O
equação. da soluções são 2 e 2 que significa 2 escritaA
2
4
4
3
12
123
0123
2
2
2
2
S
x
x
x
x
x
x
x
Outro exemplo:
3 ;3
3
3
7
21
217
0217
2
2
2
2
S
x
x
x
x
x
Outro exemplo:
. é solução conjunto o Logo,
IR 9
9
2
18
182
0182
2
2
2
2
x
x
x
x
x
Exercícios: pág. 47 6 (a, b, c, d, e, h, i) 7 (a, f, g, h)
Incompleta do tipo c=0 Exemplo:
5 ;0
5
05
0
:maneira seguinte da seguimos seja,Ou
0. é termo2º oou
0, é termo1º oou 0, é produto um Quando
05
052
S
x
x
x
xx
xx
Outro exemplo:
0 ;2
72
7
72
072
0
072
072 2
S
x
x
x
x
xx
xx
Outro exemplo:
0444
444
4222
42
2
2
22
2
xx
xx
xx
x
0 ;4
4
04
0
04
042
S
x
x
x
xx
xx
Exercícios
Pág. 47 Exercícios 6 (a, c, d, e, i) e 7 (c, f, h)
Pág. 48 Exercícios 10 (a, b, c, e, h, i) e 11
Fórmula de Bhaskara
Para resolver equações do 2º grau completas (e as incompletas também) devemos utilizar a fórmula geral de resolução (conhecida no Brasil como Fórmula de Bhaskara).
A fórmula de Bhaskara pode ser demonstrada (explicada através de argumentos lógicos e matemáticos), e esta demonstração é a seguinte.
a
acbbx
a
acbbax
b
acbbax
acbbax
acbbabxxa
b
acabxxa
a
cbxax
c
cbxax
2
4
:2por membros os ambos Dividmos )7º
42
:membros os ambos de Subtraímos )º6
42
:membros os ambos de quadrada raiz a Extraímos )5º
42
:membro primeiro o Fatoramos )4º
444
:membros os ambos a sAdicionamo )3º
444
:4por membros os ambos mosMultiplica )2º
:equação da (lados) membros os ambos em Subtraímos )º1
, 0grau 2º do equação a Dada
2
2
2
22
2222
2
22
2
2
Então, a fórmula de Bhaskara é a seguinte:
a
acbbx
2
42
acb
a
bx
acb
4 onde
2
:forma seguinte da Bhaskara de Fórmula a osreescrevem Assim,
. grega letra pela darepresenta é e
equação, da ntediscrimina se-chama 4 expressãoA
2
2
Exemplo 1:
9
4049
10147
4
0107
2
2
2
acb
xx
5;2
22
4
2
37
52
10
2
372
3712
97
2
S
x
x
x
x
a
bx
Exemplo 2:
25
2449
3247
4
0372
2
2
2
acb
xx
3;2
12
1
4
2
4
57
34
12
4
574
5722
257
2
S
x
x
x
x
a
bx
Exemplo 3:
0
1616
4144
4
044
2
2
2
acb
xx
2
22
4
2
04
22
4
2
042
0412
04
2
S
x
x
x
x
a
bx
Exemplo 4:
S
reais. raízes possui não dada equação a Portanto,
negativos. números de quadrada raiz a
extrair possível é não reais, números nos que,observar devemos
, 23 exige resolução da passo próximo o Como
23
241
3241
4
032
2
2
2
acb
xx
Exercícios
Pág. 54 Exercícios 13 e 14
Exemplo 4
16
4864
3448
4
0384
03534
3534
2
2
2
2
2
acb
xx
xxx
xxx
2
3;
2
12
1
8
4
8
482
3
8
12
8
488
4842
168
2
S
x
x
x
x
a
bx
Sempre que necessário, devemos
“organizar” a equação, antes de usar a fórmula de Bhaskara
Exemplo 5
36
324
8142
4
082
0533
513
2
2
2
2
acb
xx
xxx
xx
2;4
42
8
2
62
22
4
2
622
6212
362
2
S
x
x
x
x
a
bx
Exercícios
Pág. 55 Exercícios 18 (a, d), 19 (c, e, f) e 20 (a,
d, e)
Número de raízes
Até o momento, já resolvemos uma série de equações do 2º grau, seja pela Fórmula de Bhaskara ou pelos outros métodos anteriores.
Foi possível perceber a existência de 3 situações diferentes, quanto ao número de raízes de uma equação.
Vimos equações com 2 raízes diferentes, com uma única raiz ou com nenhuma raiz.
Iremos, agora, utilizar um método rápido que permite determinar o número de raízes de uma equação qualquer dada.
Para determinar o número de raízes de uma equação do 2º grau, basta analisar o :
reais. raízes possui não equação a então
0 Se
real. raiz única uma possui equação a então
0 Se
distintas. reais raízes duas possui equação a então
0 Se
Exemplos Ex. 1:
reais. raízes possui não equação a Logo
47
7225
6345
:Resolução
0653- b)
distintas. reais raízes duas possui equação a Logo
48
1236
3146
:Resolução
036 a)
:equações seguintes das reais raízes de número o Determine
2
2
2
2
xx
xx
Ex. 2:
28
16
168
168
0816
0244
: temosPortanto,
.0 ter devemos real, raiz uma ter Para
:Resolução
real. raiz única uma possui
042 equação a de valor qual para Determine
2
2
m
m
m
m
m
m
mxxm
312
36
3612
3612
01236
01346
: temosPortanto,
.0 ter devemos reais, raízres ter não Para
:Resolução
reais. raízes possui não
0163 equação a de valoresquais para Determine
2
2
k
k
k
k
k
k
xkxk Ex. 3:
Exercícios
Pág. 59 Exercícios 34 (a, d, f), 35 e 37