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1- Encontre a equação da linha elástica para a
viga engastada com carga concentrada vista na
figura ao lado.
Solução:
P
L
A B
L
A B
x
VA
MA
y
P
Cálculo das reações de apoio:
LPM0LPM0M
PV0PV0V
AA
AA
Equação dos momentos fletores:
Lx0LxP)x(MMxV)x(M AA
Equação diferencial da linha elástica:
Lx0LxP)x(''EIy
Integrando uma vez:
Lx0C
2
LxP)x('EIy 1
2
Integrando Mais uma vez:
Lx0CxC
6
LxP)x(EIy 21
3
Condições de contorno:
6
LPC0y(0)
2
LPC0(0)y'
3
2
2
1
Portanto a equação da linha elástica fica assim:
Lx0xL3EI6
xP)x(y
ou
Lx06
LPx
2
LP
6
LxP)x(EIy
2
323
e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é:
EI3
LPL2
EI6
LPLL3
EI6
LP)L(y
322
max
EI3
LP 3
max
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2- Encontre a equação da linha elástica para a
viga engastada com carga distribuída
triangular vista na figura ao lado.
Solução:
q0
L
A B
x
VA
MA
y
q0
L
A B
Cálculo das reações de apoio:
3
LqM0
3
L2)
2
Lq(M0M
2
LqV0)
2
Lq(V0V
2
0
A
0
A
0
A
0
A
Equação dos momentos fletores:
Lx0L6
xqMxV
3
x
L2
xqMxV)x(M
3
0AA
2
0AA
Equação diferencial da linha elástica:
Lx0L6
xqMxV)x(''EIy
3
0AA
Integrando uma vez:
Lx0CL24
xqxM
2
xV)x('EIy 1
4
0A
2
A
Integrando Mais uma vez:
Lx0CxCL120
xq
2
xM
6
xV)x(EIy 21
5
0
2
A
3
A
Condições de contorno:
0C0y(0)
0C0(0)y'
2
1
Portanto a equação da linha elástica fica assim:
Lx0L20xL10xEIL120
xq)x(y
Lx0L120
xq
2
x
3
Lq
6
x
2
Lq)x(EIy
ouL120
xq
2
xM
6
xV)x(EIy
323
2
0
5
0
22
0
3
0
5
02
A
3
A
e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é:
32
03232
0
max L11EIL120
LqL20LL10L
EIL120
Lq)L(y
EI120
Lq11 4
0max
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3- Encontre a equação da linha elástica para a
viga engastada com carga distribuída triangular
vista na figura ao lado.
Solução: q0
L
A B
x
y
q0
L
A B
Equação dos momentos fletores (origem dos eixos em A):
Lx0L6
xq
3
x
L2
xq
3
x
2
L
xq)x(
)x(M3
0
2
0
0
Equação diferencial da linha elástica:
Lx0L6
xq)x(''EIy
3
0
Integrando uma vez:
Lx0CL24
xq)x('EIy 1
4
0
Integrando Mais uma vez:
Lx0CxCL120
xq)x(EIy 21
5
0
Condições de contorno:
30
LqC0y(L)
24
LqC0(L)y'
4
02
3
01
Portanto a equação da linha elástica fica assim:
Lx0L4xL5xEIL120
q)x(y
ou30
Lqx
24
Lq
L120
xq)x(EIy
5450
4
0
3
0
5
0
e a flecha máxima, max, e declividade máxima, max, na extremidade livre (A) é:
EI24
Lq
EIL24
0q)0('y
LEIL30
qL4
EIL120
qL40L50
EIL120
q)0(y
3
0
4
0
max
50505450
max
EI30
Lq 4
0max
EI24
Lq 3
0max
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4- Encontre a equação da linha elástica para a
viga biapoiada com carga distribuída retangular
vista na figura ao lado.
Solução:
q
L
B A
x
VA
y
VB
q
L
B A
Cálculo das reações de apoio:
2
LqV0LqVV0V
2
LqV0
2
L)qL(LV0M
ABA
BB
Equação dos momentos fletores:
Lx02
xqx
2
Lq)x(M
2
Equação diferencial da linha elástica:
Lx0xLx2
q)x(''EIy 2
Integrando uma vez:
Lx0C3
x
2
Lx
2
q)x('EIy 1
32
Integrando Mais uma vez:
Lx0CxC12
x
6
Lx
2
q)x(EIy 21
43
Condições de contorno:
24
qLC0LC
12
L
6
L
2
q0y(L)
0C0y(0)
3
11
44
2
Portanto a equação da linha elástica fica assim:
Lx0xLx2LEI24
qx)x(y
Lx0x24
qL
12
x
6
Lx
2
q)x(EIy
323
343
e a flecha máxima, max, no centro do vão L é:
EI384
qL52/L2/LL2L
EI24
2/Lq2/Ly
4323
max
EI384
qL5 4
max
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5- Encontre a equação da linha elástica para a
viga biapoiada com carga concentrada vista na
figura ao lado.
Solução: Reações de apoio:
L
PaV0PVV0F
L
)aL(PV0)aL(PLV0M
BBAy
AA)B(z
P
L
B
a
As equações de momentos fletores são:
Lxa)ax(PxL
)aL(P)x(M
ax0xL
)aL(P)x(M
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
Lxa)ax(PxL
)aL(P)x(''yEI
ax0xL
)aL(P)x(''yEI
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
LxaC2
)ax(P
2
x
L
)aL(P)x('yEI
ax0C2
x
L
)aL(P)x('yEI
2
22
2
1
2
1
Segunda integração:
LxaCxC6
)ax(P
6
x
L
)aL(P)x(yEI
ax0CxC6
x
L
)aL(P)x(yEI
42
33
2
31
3
1
As condições de contorno para a viga são:
3
12
2
33
22
43311
4321
2121
)aL(L6
P)aL(
6
PLCC
0LC6
)aL(P
6
L
L
)aL(P)L(yEI0)L(y
0CC0C)0(yEI0)0(y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y
A linha elástica é:
Lxax)aL(L6
P)aL(
6
PL
6
)ax(P
6
x
L
)aL(P)x(yEI
ax0x)aL(L6
P)aL(
6
PL
6
x
L
)aL(P)x(yEI
333
2
33
1
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6- Encontre a equação da linha elástica para a
viga engastada com carga distribuída
retangular vista na figura ao lado
Solução:
L
A B
q
L
A B
x
VA
MA
y
q
Cálculo das reações de apoio:
2
qLM0
2
LLqM0M
LqV0LqV0V
2
AA
AA
Equação dos momentos fletores:
Lx02
qx
2
qLqLx)x(M
2
qxMxV)x(M
222
AA
Equação diferencial da linha elástica:
Lx0qLx2
qL
2
qx)x(''EIy
22
Integrando uma vez:
Lx0C2
qLx
2
xqL
6
qx)x('EIy 1
223
Integrando mais uma vez:
Lx0CxC6
qLx
4
xqL
24
qx)x(EIy 21
3224
Condições de contorno:
0C0y(0)
0C0(0)y'
2
1
Portanto a equação da linha elástica fica assim:
Lx06
qLx
4
xqL
24
qx)x(EIy
3224
e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é:
EI8
qL
EI
6
LqL
4
LqL
24
qL
)L(y4
3224
max
EI8
qL4
max
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7- Calcule o máximo deslocamento entre A e B da viga biapoiada com balanços,
feita de madeira (E=12,5 GPa) com seção transversal retangular vista ao lado da
mesma:
B A
3 kN
6,0 m
12 cm
30 cm
2,0 m
C
3 kN
2,0 m
D
246
4443
26
mkN3375107,2105,12IE
m00027,0cm27000cm12
3012I
m/kN105,12MPa12500GPa5,12E
Solução:
Vamos calcular as reações de apoio:
kN3V033VV0F
kN3V023836V0M
BBAy
AA)B(z
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
m10x8)8x(3)2x(3x3)8x(V)2x(Vx3M
m8x2)2x(3x3)2x(Vx3M
m2x0x3M
BA3
A2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
m10x8)8x(3)2x(3x3)x(''yIE
m8x2)2x(3x3)x(''yIE
m2x0x3)x(''yIE
3
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
m10x8C2
)8x(3
2
)2x(3
2
x3)x('yIE
m8x2C2
)2x(3
2
x3)x('yIE
m2x0C2
x3)x('yIE
3
222
2
2
22
2
1
2
1
Segunda integração:
m10x8CxC6
)8x(3
6
)2x(3
6
x3)x(yIE
m8x2CxC6
)2x(3
6
x3)x(yIE
m2x0CxC6
x3)x(yIE
63
333
2
52
33
2
41
3
1
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As condições de contorno para a viga são:
44CCC44C
24CCC24C
04C2C82
6
2
804C28C
2
6
2
8
0C8C6
)28(3
6
83)8(yIE0)8(y
4C2C0C2C6
23)2(yIE0)2(y
CC)8(y)8(y
CC)8('y)8('y
CC)2(y)2(y
CC)2('y)2('y
6544
3212
22
33
12
33
52
33
2
1441
3
1
6521
3232
5421
2121
Então:
m10x844x246
)8x(3
6
)2x(3
6
x3)x(yIE
m8x244x246
)2x(3
6
x3)x(yIE
m2x044x246
x3)x(yIE
333
2
33
2
3
1
O deslocamento entre A e B (centro, x=5m) é:
m008,03375
27
IE
27)5(y2744524
6
)25(3
6
53)5(yIE 2
33
2
Resposta: O deslocamento entre A e B é de 8 mm para cima.
8- Encontre a equação da linha elástica para a viga biapoiada e carga concentrada,
conforme mostra a figura abaixo. Encontre, também, o deslocamento vertical em C.
Considere as seções transversais de inércia EJ=250 kN.m2 constante ao longo de todo
o comprimento da viga.
B A
1 kN
1 m 1 m
C
1 m
Solução: Vamos calcular as reações de apoio:
kN5,0V01VV0F
kN5,0V0112V0M
BBAy
AA)B(z
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
m3x2)2x(5,0)1x(1x5,0M
m2x1)1x(1x5,0M
m1x0x5,0M
3
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
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m3x2)2x(5,0)1x(1x5,0)x(''yIE
m2x1)1x(1x5,0)x(''yIE
m1x0x5,0)x(''yIE
3
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
m3x2C)2x(25,0)1x(5,0x25,0)x('yIE
m2x1C)1x(5,0x25,0)x('yIE
m1x0Cx25,0)x('yIE
3
222
3
2
22
2
1
2
1
Segunda integração:
m3x2CxC)2x(3
25,0)1x(
3
5,0
3
x25,0)x(yIE
m2x1CxC)1x(3
5,0
3
x25,0)x(yIE
m1x0CxC3
x25,0)x(yIE
63
333
3
52
33
2
41
3
1
As condições de contorno para a viga são:
6521
3232
5421
2121
CC)2(y)2(y
CC)2('y)2('y
CC)1(y)1(y
CC)1('y)1('y
25,0C25,0C25,0C0CC25,0
0C2C)12(3
5,0
3
225,0)2(yIE0)2(y
0C0C0C0)1(y
31252
52
33
2
654
Então:
m3x2x25,0)2x(3
25,0)1x(
3
5,0
3
x25,0)x(yIE
m2x1x25,0)1x(3
5,0
3
x25,0)x(yIE
m1x0x25,03
x25,0)x(yIE
333
3
33
2
3
1
O deslocamento em C (x=3m) é:
m001,0250
25,0
IE
25,0)3(y
325,0)23(3
25,0)13(
3
5,0
3
325,0)3(yIE
3
333
3
Resposta: O deslocamento em C é de 1 mm para cima.
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9- Calcule o deslocamento vertical em C após encontrar a equação da linha elástica
para a viga biapoiada e carga concentrada, conforme mostra a figura abaixo.
Considere as seções transversais de inércia EI=2500 kN.m2 constante ao longo de
todo o comprimento da viga.
B A
2 kN
2 m 1 m
C
2 m
D
Solução:
Vamos calcular as reações de apoio:
kN2
5V02VV0F
kN2
1V0124V0M
BBAy
AA)B(z
B A
2 kN
2 m 1 m
C
2 m
VA VB Vamos encontrar as equações de momento fletor (o eixo x inicia-se em A):
m5x4)4x(2
5x
2
1)x(M
m4x0x2
1)x(M
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
m5x4)4x(2
5x
2
1)x(''yEI
m4x0x2
1)x(''yEI
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
m5x4C4
)4x(5
4
x)x('yEI
m4x0C4
x)x('yEI
2
22
2
1
2
1
Segunda integração:
m5x4CxC12
)4x(5
12
x)x(yEI
m4x0CxC12
x)x(yEI
42
33
2
31
3
1
As condições de contorno para a viga são:
4321
2121
CC)4(y)4(y
CC)4('y)4('y
3
4C04C
12
4)4(yEI0)4(y
0C0C0)0(y
11
3
11
431
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Então:
m5x4x3
4
12
)4x(5
12
x)x(yEI
m4x0x3
4
12
x)x(yEI
33
2
3
1
O deslocamento em C (x = 2 m) é:
m0008,02500
2
EI
2)2(y
223
4
12
2)2(yEI
1
3
1
Resposta: O deslocamento em C é de 0,8 mm para cima.
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10- Encontre a equação da linha elástica para a viga biapoiada com carga
concentrada, conforme mostra a figura abaixo. Encontre, também, o maior
deslocamento vertical entre A e B. Considere a inércia à flexão EI=250 kN.m2
constante ao longo de todo o comprimento da viga.
B A
2 kN
1 m 1 m
Solução:
Cálculo das reações de apoio:
kN1V02VV0F
kN1V0122V0M
BBAy
AA)B(z
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
m2x1)1x(2x1M
m1x0x1M
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
m2x1)1x(2x)x(''yIE
m1x0x)x(''yIE
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
m2x1C2
)1x(2
2
x)x('yIE
m1x0C2
x)x('yIE
2
22
2
1
2
1
Segunda integração:
m2x1CxC6
)1x(2
6
x)x(yIE
m1x0CxC6
x)x(yIE
42
33
2
31
3
1
As condições de contorno para a viga são:
4321
2121
CC)1(y)1(y
CC)1('y)1('y
2
1C
2
1C02C
6
)12(2
6
2)2(yIE0)2(y
0C0C0)0(y
122
33
2
43
Então:
m2x12
x
3
)1x(
6
x)x(yIE
m1x02
x
6
x)x(yIE
33
2
3
1
O deslocamento vertical máximo logo abaixo da força, ou seja, em x = 1 m é:
m00133,0750
1
2503
1
IE3
1)1(y
3
1
2
1
6
1)1(yIE 1
3
1
Resposta: O deslocamento máximo é de 1,33 mm.
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11- Encontre a linha elástica e o deslocamento em C da viga biapoiada com balanço
(EI=constante) vista abaixo:
Solução:
Solução:
Vamos calcular as reações de apoio:
2
P3V0PVV0F
2
PV0aPa2V0M
BBAy
AA)B(z
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
a3xa2)a2x(2
P3x
2
P)x(M
a2x0x2
P)x(M
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
a3xa2)a2x(2
P3x
2
P)x(''vEI
a2x0x2
P)x(''vEI
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
a3xa2C2
)a2x(
2
P3
2
x
2
P)x('vEI
a2x0C2
x
2
P)x('vEI
2
22
2
1
2
1
Segunda integração:
a3xa2CxC6
)a2x(
2
P3
6
x
2
P)x(vEI
a2x0CxC6
x
2
P)x(vEI
42
33
2
31
3
1
As condições de contorno para a viga são:
4321
2121
CC)a2(v)a2(v
CC)a2('v)a2('v
3
PaC
3
PaC0)a2(C
3
Pa2
0)a2(C6
)a2(
2
P)a2(vEI0)a2(v
0C0C0)0(v
2
2
2
11
3
1
3
1
431
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Então:
a3xa2x3
Pa)a2x(
4
P
12
Px)x(vEI
a2x0x3
Pa
12
Px)x(vEI
23
3
2
23
1
O deslocamento em C (x=3a) é:
EI
Pa)a3(v
Pa123312
Paa3
3
Pa)a2a3(
4
P
12
)a3(P)a3(vEI
3
2
3332
33
2
Resposta: O deslocamento em C é EI
Pa3
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12- A viga de madeira está submetida à carga mostrada. Determinar a equação da
linha elástica. Supondo Emad = 12 GPa, determinar também a deflexão e a inclinação
na extremidade B.
Solução:
Vamos encontrar as equações de momento fletor (adotando a origem do eixo x em B):
m6x32
)3x(2)5,1x(4x6)x(M
m3x5,1)5,1x(4x6)x(M
m5,1x0x6)x(M
2
3
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
m6x3)3x()5,1x(4x6)x(''yIE
m3x5,1)5,1x(4x6)x(''yIE
m5,1x0x6)x(''yIE
2
3
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
m6x3C3
)3x()5,1x(2x3)x('yIE
m3x5,1C)5,1x(2x3)x('yIE
m5,1x0Cx3)x('yIE
3
322
3
2
22
2
1
2
1
Segunda integração:
m6x3CxC12
)3x(
3
)5,1x(2x)x(yIE
m3x5,1CxC3
)5,1x(2x)x(yIE
m5,1x0CxCx)x(yIE
63
433
3
52
33
2
41
3
1
As condições de contorno para a viga são:
6532
3232
5421
2121
CC)3(y)3(y
CC)3('y)3('y
CC)5,1(y)5,1(y
CC)5,1('y)5,1('y
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5,661CCC
5,157CCC
5,661C0C65,15712
)36(
3
)5,16(26)6('yIE0)6(y
5,157C0C3
)36()5,16(263)6('yIE0)6('y
654
321
66
433
3
33
322
3
Então, as inclinações são:
m6x35,1573
)3x()5,1x(2x3)x('yIE
m3x5,15,157)5,1x(2x3)x('yIE
m5,1x05,157x3)x('yIE
322
3
22
2
2
1
E as deflexões são:
m6x35,661x5,15712
)3x(
3
)5,1x(2x)x(yIE
m3x5,15,661x5,1573
)5,1x(2x)x(yIE
m5,1x05,661x5,157x)x(yIE
433
3
33
2
3
1
A rigidez EI é:
236
43493
2
6
2
m.kN12800100667,110×12EI
m100667,1mm100667,112
400200I
m
kN 10×12 =
mm
kN 12 = GPa 12 = E
A inclinação em B é:
o
B1
2
1
705,0rad0123,012800
5,157)0('y
5,1575,15703)0('yIE
O deslocamento máximo (em B) é:
mm6,51m0516,012800
5,661y0y
5,6615,66105,15700yIE
max1
3
1
Resposta: A deflexão e a inclinação na extremidade B são, respectivamente, B = –0,705o e
yB = 51,6 mm.
51,6 mm
–0,705o
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13- Após determinar a equação da linha elástica da viga abaixo, especificar quantas
vezes a deflexão máxima é maior que a deflexão no centro do vão L (distância entre
A e B). Considerar EI constante e, também, a = L/4.
Solução:
Reações de apoio:
L
PaV0PVV0F
L
)aL(PV0)aL(PLV0M
BBAy
AA)B(z
As equações de momentos fletores são:
Lxa)ax(PxL
)aL(P)x(M
ax0xL
)aL(P)x(M
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
Lxa)ax(PxL
)aL(P)x(''yEI
ax0xL
)aL(P)x(''yEI
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
LxaC2
)ax(P
2
x
L
)aL(P)x('yEI
ax0C2
x
L
)aL(P)x('yEI
2
22
2
1
2
1
Segunda integração:
LxaCxC6
)ax(P
6
x
L
)aL(P)x(yEI
ax0CxC6
x
L
)aL(P)x(yEI
42
33
2
31
3
1
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As condições de contorno para a viga são:
3
12
2
33
22
43311
4321
2121
)aL(L6
P)aL(
6
PLCC
0LC6
)aL(P
6
L
L
)aL(P)L(yEI0)L(y
0CC0C)0(yEI0)0(y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y
E a deflexão no centro é:
22
2/L
2
33
2
a4L3EI48
Pay
2
LC
6
)a2
L(
P2
L
L6
)aL(P
2
LyEI
Ou, com a = L/4
4
11
EI484
PL
4
13
EI484
PL
16
L4L3
EI484
PL)4/L(4L3
EI48
)4/L(Py
332222
2/L
EI768
PL11y
3
2/L
E a deflexão máxima ocorre onde y2’(x)=0, ou seja:
0)aL(L6
P)aL(
6
PL
2
)ax(P
2
x
L
)aL(P)x('yEI 3
22
2
com a = L/4
L
4
54x
Assim:
3
2 PL768
55L
4
54yEI
EI768
PL55y
3
max
Então:
0164,111
55
EI768
PL11
EI768
PL55
y
y3
3
2/L
max
Resposta: A deflexão máxima é apenas 1,64% maior que a deflexão no centro.
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14- Encontre a deflexão em C na viga biapoiada de aço vista na figura abaixo.
Considere as seções transversais de inércia constante EI constante ao longo de todo o
comprimento, 2a, da viga.
Adotando o eixo x iniciando-se em A, as equações de momentos fletores para a viga acima são:
a2xa2
axawxaw
4
3)x(M
ax02
xwxaw
4
3)x(M
2
2
1
Solução:
E as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho) são:
a2xa2
axawxaw
4
3)x(''yEI
ax02
xwxaw
4
3)x(''yEI
2
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
a2xaC2
ax
2
aw
2
xaw
4
3)x('yEI
ax0C6
xw
2
xaw
4
3)x('yEI
2
22
2
1
32
1
Integrando mais uma vez:
a2xaCxC2
ax
6
aw
6
xaw
4
3)x(yEI
ax0CxC24
xw
6
xaw
4
3)x(yEI
42
33
2
31
43
1
As condições de contorno para a viga são:
0)a2(y0)0(yayaya'ya'y 212121
Resolvendo, as constantes são:
24
waC;0C;wa
48
17C;wa
16
3C
4
43
3
2
3
1
O deslocamento em C ocorre em x=a:
4343
C1
343
1
wa48
5awa
16
3
24
aw
6
aaw
4
3EI)a(yEI
xwa16
3
24
xw
6
xaw
4
3)x(yEI
Assim:
EI48
aw5 4
C
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15- Encontre a deflexão em C da extremidade direita (seção abaixo da carga de 20
kN) da viga de aço A-36 (E=200 GPa) biapoiada com balanços vista na figura abaixo.
Considere as seções transversais de inércia constante EI ao longo de todo o
comprimento da viga. Adote o momento de inércia da seção transversal da viga
I = 3628,125 cm4.
Equação diferencial da linha elástica (origem do eixo x na extremidade esquerda):
m0,6x5,4120x20)x(''EIy
m5,4x5,1875,4x75,7)x(''EIy
m5,1x0,0x3)x(''EIy
3
2
2
1
Integrando uma vez:
3
2
3
2
2
2
1
3
1
Cx120x10)x('EIy
Cx875,4x875,3)x('EIy
Cx)x('EIy
Solução:
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
segunda integração:
63
23
3
52
23
2
41
4
1
CxC2
x120
3
x10)x(EIy
CxC2
x875,4
3
x875,3)x(EIy
CxC4
x)x(EIy
As condições de contorno para a viga são:
0)5,4(y0)5,1(y
5,4y5,4y5,4'y5,4'y
5,1y5,1y5,1'y5,1'y
21
3232
2121
2
48
2
8
m.kN25,7256EI
m10125,3628m
kN102EI
Resolvendo, as constantes são:
457,3125C35,859375;C36,421875;C
;304,125C;23,15625C;25,125C
654
321
O deslocamento na extremidade direita ocorre em x = 6 m:
25,7256
5625,725625,723125,457)6(304,125
2
6120
3
610EI)6(yEI
3125,457x304,1252
x120
3
x10)x(EIy
C
23
C3
23
3
Assim:
m01,0C
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16- A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é I e
de BC é 2I. Determinar a deflexão máxima da haste devido ao carregamento. O
módulo de elasticidade do material da haste é E.
P
As equações de momentos fletores são:
Lx2
LxP)x(M
2
Lx0xP)x(M
2
1
As condições de contorno para a viga são:
2
Ly
2
Ly
2
L'y
2
L'y
0)L(y
0)L('y
21
21
2
2
Solução:
E as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho) são:
Lx2
LxP)x(''yEI2
2
Lx0xP)x(''yEI
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
Lx2
LC
2
x
2
P)x('yEI
2
Lx0C
2
xP)x('yEI
2
2
2
1
2
1
Integrando mais uma vez:
Lx2
LCxC
6
x
2
P)x(yEI
2
Lx0CxC
6
xP)x(yEI
42
3
2
31
3
1
Resolvendo, as constantes são:
6
PLC;
16
PL3C;
4
PLC;
16
PL5C
3
4
3
3
2
2
2
1
A deflexão máxima, A, ocorre na extremidade do balanço em x = 0:
16
PL3
16
PL30
16
PL5
6
0PEI)0(yEI
16
PL3x
16
PL5
6
xP)x(yEI
2223
A1
223
1
Assim:
EI16
PL3 2
A
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17- A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é I e
de BC é 3I. Determinar a deflexão máxima da haste devido ao carregamento. O
módulo de elasticidade é E.
P
Solução:
As equações de momentos fletores são:
Lx2
L)
2
Lx(P)x(M
2
Lx00)x(M
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
Lx2
L)
2
Lx(P)x(''yEI3
2
Lx00)x(''yEI
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
Lx2
LC
2
2
Lx
P)x('yEI3
2
Lx0C)x('yEI
2
2
2
11
Segunda integração:
Lx2
LCxC
6
2
Lx
P)x(yEI3
2
Lx0CxC)x(yEI
42
3
2
311
As condições de contorno para a viga são:
144
PL5C
2
Ly
2
Ly
24
PLC
2
L'y
2
L'y
48
PL5C0)L(y
8
PLC0)L('y
3
321
2
121
3
42
2
22
O deslocamento máximo (extremidade livre, x = 0) é:
144
PL5y)0(y
144
PL5
96
PL50
24
PL)0(yEI
144
PL5x
24
PL)x(yEI
3
max1
332
1
32
1
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18- Após determinar a equação da linha elástica da viga abaixo, especificar a
inclinação em A e a deflexão máxima. Considerar EI constante.
Solução:
Reações de apoio:
PV0PPVV0F
PV0Pa)aL(PLV0M
BBAy
AA)B(z
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
Lx)aL()aLx(P)ax(PPxM
)aL(xa)ax(PPxM
ax0PxM
3
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
Lx)aL()aLx(P)ax(PPx)x(''yIE
)aL(xa)ax(PPx)x(''yIE
ax0Px)x(''yIE
3
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
Segunda integração:
Lx)aL(CxC6
)aLx(P
6
)ax(P
6
xP)x(yIE
)aL(xaCxC6
)ax(P
6
xP)x(yIE
ax0CxC6
xP)x(yIE
63
333
3
52
33
2
41
3
1
As condições de contorno para a viga são:
6532
3232
5421
2121
CC)aL(y)aL(y
CC)aL('y)aL('y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y
Lx)aL(C2
)aLx(P
2
)ax(P
2
xP)x('yIE
)aL(xaC2
)ax(P
2
xP)x('yIE
ax0C2
xP)x('yIE
3
222
3
2
22
2
1
2
1
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)aL(2
PaC)aL(
2
PaC
)aL(2
PaC
0LC6
)aLL(P
6
)aL(P
6
LP)L(yIE0)L(y
0C0C0CC)0(yIE0)0(y
21
3
3
333
3
65441
Então, as inclinações são:
Lx)aL()aL(2
Pa
2
)aLx(P
2
)ax(P
2
xP)x('yIE
)aL(xa)aL(2
Pa
2
)ax(P
2
xP)x('yIE
ax0)aL(2
Pa
2
xP)x('yIE
222
3
22
2
2
1
E as deflexões são:
Lx)aL(x)aL(2
Pa
6
)aLx(P
6
)ax(P
6
xP)x(yIE
)aL(xax)aL(2
Pa
6
)ax(P
6
xP)x(yIE
ax0x)aL(2
Pa
6
xP)x(yIE
333
3
33
2
3
1
A inclinação em A é:
)aL(2
Pa)aL(
2
Pa
2
0P)0('yIE
2
1
EI2
)aL(Pa)0('y A1
O deslocamento máximo (centro, x=L/2) é:
2
L)aL(
2
Paa
2
L
6
P
2
L
6
P
2
LyIE
33
2
)a4L3(EI24
Pay
2
Ly 22
max2
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19- O eixo suporta as cargas das três polias mostradas. Determinar a deflexão em seu
centro e sua inclinação em A e B. Os mancais exercem apenas reações verticais sobre
ele e EI é constante.
2 Solução:
Reações de apoio:
P2VP2V BA
As equações de momento fletor são:
a4xa3)a3x(P2)a2x(P2)ax(P2Px)x(M
a3xa2)a2x(P2)ax(P2Px)x(M
a2xa)ax(P2Px)x(M
ax0Px)x(M
4
3
2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
a4xa3)a3x(P2)a2x(P2)ax(P2Px)x(''EIy
a3xa2)a2x(P2)ax(P2Px)x(''EIy
a2xa)ax(P2Px)x(''EIy
ax0Px)x(''EIy
4
3
2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
a4xa3C2
)a3x(P2
2
)a2x(P2
2
)ax(P2
2
xP)x('EIy
a3xa2C2
)a2x(P2
2
)ax(P2
2
xP)x('EIy
a2xaC2
)ax(P2
2
xP)x('EIy
ax0C2
xP)x('EIy
4
2222
4
3
222
3
2
22
2
1
2
1
Segunda integração:
a4xa3CxC6
)a3x(P2
6
)a2x(P2
6
)ax(P2
6
xP)x(EIy
a3xa2CxC6
)a2x(P2
6
)ax(P2
6
xP)x(EIy
a2xaCxC6
)ax(P2
6
xP)x(EIy
ax0CxC6
xP)x(EIy
84
3333
4
73
333
3
62
33
2
51
3
1
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As condições de contorno para a viga são:
8743
4343
7632
3232
6521
2121
CC)a3(y)a3(y
CC)a3('y)a3('y
CC)a2(y)a2(y
CC)a2('y)a2('y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y
0Ca3C6
)a2a3(P2
6
)aa3(P2
6
)a3(P)a3(EIy
0CaC6
aP)a(EIy
73
333
3
51
3
1
das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C5=C7) vem que:
3
8765
2
4321
a6
P5CCCC
PaCCCC
A deflexão no centro (centro, x=2a) é:
3233
2 a6
P5a2Pa
6
)aa2(P2
6
)a2(P)a2(EIy
EI6
Pay)a2(y
3
a22
As inclinações em A e B são:
A1
22
1 )a('yPa2
aP)a('EIy
EI2
aP 2
A
B33
222
3 )a3('yC2
)a2a3(P2
2
)aa3(P2
2
)a3(P)a3('EIy
EI2
aP 2
B
20- O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas. Determinar a deflexão na
extremidade livre. Os mancais exercem apenas reações verticais sobre ele e a rigidez
EI é constante.
5P P Solução:
Reações de apoio:
P2VP4V BA
As equações de momento fletor são:
Resistência dos Materiais Engenharia Civil – UNIDERP
Linha Elástica 27 www.profwillian.com
a3xa2)a2x(P4)ax(VPx)x(M
a2xa)ax(VPx)x(M
ax0Px)x(M
A3
A2
1
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
a3xa2)a2x(P4)ax(VPx)x(''EIy
a2xa)ax(VPx)x(''EIy
ax0Px)x(''EIy
A3
A2
1
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
a3xa2C2
)a2x(P4
2
)ax(V
2
xP)x('EIy
a2xaC2
)ax(V
2
xP)x('EIy
ax0C2
xP)x('EIy
3
22
A
2
3
2
2
A
2
2
1
2
1
Segunda integração:
a3xa2CxC6
)a2x(P4
6
)ax(V
6
xP)x(EIy
a2xaCxC6
)ax(V
6
xP)x(EIy
ax0CxC6
xP)x(EIy
63
33
A
3
3
52
3
A
3
2
41
3
1
As condições de contorno para a viga são:
6532
3232
5421
2121
CC)a2(y)a2(y
CC)a2('y)a2('y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y
0Ca3C6
)a2a3(P5
6
)aa3(P4
6
)a3(P)a3(EIy
0CaC6
aP)a(EIy
63
333
3
41
3
1
das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C4=C6) vem que:
3
654
2
321
a4
PCCC
a12
PCCC
A deflexão na extremidade (x = 0) é:
4
Pa)0(y
4
Pa0
12
Pa0
6
P)0(EIy
4
Pax
12
Pax
6
P)x(EIy
3
.ext1
323
1
323
1
Resposta: A deflexão na extremidade livre é –Pa3/4.