Indicando partes da reta
Números reais como pontos da reta
Álgebra e Geometria juntas
O
1 u
• Ponto O, chamado origem;
Reta real ou eixo real
• Orientação (para a direita);
• Unidade de medida (arbitrária).
Podemos corresponder cada ponto da reta a um número real.
O A D C
0 1 √6 4–3 ,5
B
AO mede 1u → corresponde ao real 1OB mede 3,5 u → corresponde ao real a –3,5
Escrevemos P(x) para indicar que o ponto P está associado ao número real x. Dizemos então que x é a abscissa ou a coordenada do ponto P.
O(0) A(1) B(–3,5) C(4) D(√6)
A reta real estabelece uma ordenação para os números reais, expressa por relações de desigualdade. Sendo a e b dois reais distintos, temos:
a< b (a é menor que b) → a está à esquerda de b
a > b (a é maior que b) → a está à direita de b
0 qp
O
Quem é positivo? E negativo? Ou os dois são
positivos ?
p < 0 (p é negativo) q > 0 (q é positivo)
p < 0 < q (0 está entre p e q)
a ≤ b (a é menor que ou igual a b) → a < b ou a = b
a ≥ b (a é maior que ou igual a b) → a > b ou a = b
E os intervalos?
Intervalos reais são partes da reta real (subconjuntos de R)
Suponhamos dois números reais a e b tais que a < b. Os subconjuntos de R definidos a seguir são chamados de intervalos limitados de extremos a e b.
Intervalo fechado a, b
Intervalo aberto a, b
Intervalo aberto em a e fechado em b
Intervalo fechado em ae aberto em b
a b
a b
a b
a b
[a,b] = {x є R / a ≤ x ≤ b}
]a,b[ = {x є R / a < x < b}
]a,b] = {x є R / a < x ≤ b}
[a,b[ = {x є R / a ≤ x < b}
Representações Na reta real
Cada intervalo inclui TODOS os reais entre a e b!!!
Bolinha CHEIA, intervalo fechado, colchetes normais [ ], inclusão do extremo
Bolinha VAZIA, intervalo aberto, colchetes invertidos ] [, exclusão do extremo
E o infinito?
Sendo a um real qualquer, utilizamos os símbolos +∞ (mais infinito) e –∞ (menos infinito) para representarmos intervalos ilimitados.
Intervalo de a aberto até +∞
Intervalo de a fechado até +∞
Intervalo de –∞ até a aberto
Intervalo de –∞ até a fechado
a
a
a
a
]a, +∞[ = {x є R / x > a}
[a, +∞[ = {x є R / x ≥ a }
]–∞, a[ = {x є R / x < a}
]–∞, a] = {x є R / x ≤ a}
Representações Na reta real
Em +∞ ou –∞, o intervalo é sempre ABERTO, que também pode ser indicado por ( )
[–1, 3[ é o mesmo que [–1, 3)]–∞, 5[ é o mesmo que (–∞, 5)
Será que você entendeu?
A = [–3, 5[Reta
–3 5
A= {x є R / –3 ≤ x < 5}
Vamos preencher as lacunas com є ou є
–3 _____ A 5 _____ A –√10 ____ A
0 _____ A 7,2 _____ A √27 ____ A
3,42 _____ A 4,99 _____ A 4,999... _____ A
єє
є
єє
є
єє
є
O intervalo A = [–3, 2[ é igual ao conjunto B = {–3, –2, –1, 0, 1}?
Quantos elementos tem o conjunto B?
E o conjunto A?
Qual é o conjunto universo, nos intervalos reais?
Cinco
Infinitos
R
Operando com intervalos reais
B – A → B menos A: conjunto dos elementos que pertencem a B e NÃO PERTENCEM a A.
EstudarEstar com os amigosLerOuvir música
DormirEstar com os amigos
Tocar guitarraOuvir música
Amanda Bruno
A ∩ B → A interseção B: conjunto dos elementos COMUNS a A e B.
Estar com os amigos Ouvir música
A ∪ B → A união B: conjunto dos elementos que pertencem A PELO MENOS UM dos conjuntos A ou B.
Estudar Estar com os amigos Ler Ouvir música Dormir Tocar guitarra
A – B → A menos B: conjunto dos elementos que pertencem a A e NÃO PERTENCEM a B.
Estudar Ler
Dormir Tocar guitarra
Dados os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +∞[, obter A ∩ B, A ∪ B, A – B:
A = ]–2, 5]
B = ]3, +∞[
A ∩ B
= ]–2, +∞[
= ]–2, 3]
= ]3, 5]
A ∪ B
A – B
– 2
– 2
– 2
5
5
3
3
3
B – A = ]5, +∞]5