Indicando partes da reta

Números reais como pontos da reta

Álgebra e Geometria juntas

O

1 u

• Ponto O, chamado origem;

Reta real ou eixo real

• Orientação (para a direita);

• Unidade de medida (arbitrária).

Podemos corresponder cada ponto da reta a um número real.

O A D C

0 1 √6 4–3 ,5

B

AO mede 1u → corresponde ao real 1OB mede 3,5 u → corresponde ao real a –3,5

Escrevemos P(x) para indicar que o ponto P está associado ao número real x. Dizemos então que x é a abscissa ou a coordenada do ponto P.

O(0) A(1) B(–3,5) C(4) D(√6)

A reta real estabelece uma ordenação para os números reais, expressa por relações de desigualdade. Sendo a e b dois reais distintos, temos:

a< b (a é menor que b) → a está à esquerda de b

a > b (a é maior que b) → a está à direita de b

0 qp

O

Quem é positivo? E negativo? Ou os dois são

positivos ?

p < 0 (p é negativo) q > 0 (q é positivo)

p < 0 < q (0 está entre p e q)

a ≤ b (a é menor que ou igual a b) → a < b ou a = b

a ≥ b (a é maior que ou igual a b) → a > b ou a = b

E os intervalos?

Intervalos reais são partes da reta real (subconjuntos de R)

Suponhamos dois números reais a e b tais que a < b. Os subconjuntos de R definidos a seguir são chamados de intervalos limitados de extremos a e b.

Intervalo fechado a, b

Intervalo aberto a, b

Intervalo aberto em a e fechado em b

Intervalo fechado em ae aberto em b

a b

a b

a b

a b

[a,b] = {x є R / a ≤ x ≤ b}

]a,b[ = {x є R / a < x < b}

]a,b] = {x є R / a < x ≤ b}

[a,b[ = {x є R / a ≤ x < b}

Representações Na reta real

Cada intervalo inclui TODOS os reais entre a e b!!!

Bolinha CHEIA, intervalo fechado, colchetes normais [ ], inclusão do extremo

Bolinha VAZIA, intervalo aberto, colchetes invertidos ] [, exclusão do extremo

E o infinito?

Sendo a um real qualquer, utilizamos os símbolos +∞ (mais infinito) e –∞ (menos infinito) para representarmos intervalos ilimitados.

Intervalo de a aberto até +∞

Intervalo de a fechado até +∞

Intervalo de –∞ até a aberto

Intervalo de –∞ até a fechado

a

a

a

a

]a, +∞[ = {x є R / x > a}

[a, +∞[ = {x є R / x ≥ a }

]–∞, a[ = {x є R / x < a}

]–∞, a] = {x є R / x ≤ a}

Representações Na reta real

Em +∞ ou –∞, o intervalo é sempre ABERTO, que também pode ser indicado por ( )

[–1, 3[ é o mesmo que [–1, 3)]–∞, 5[ é o mesmo que (–∞, 5)

Será que você entendeu?

A = [–3, 5[Reta

–3 5

A= {x є R / –3 ≤ x < 5}

Vamos preencher as lacunas com є ou є

–3 _____ A 5 _____ A –√10 ____ A

0 _____ A 7,2 _____ A √27 ____ A

3,42 _____ A 4,99 _____ A 4,999... _____ A

єє

є

єє

є

єє

є

O intervalo A = [–3, 2[ é igual ao conjunto B = {–3, –2, –1, 0, 1}?

Quantos elementos tem o conjunto B?

E o conjunto A?

Qual é o conjunto universo, nos intervalos reais?

Cinco

Infinitos

R

Operando com intervalos reais

B – A → B menos A: conjunto dos elementos que pertencem a B e NÃO PERTENCEM a A.

EstudarEstar com os amigosLerOuvir música

DormirEstar com os amigos

Tocar guitarraOuvir música

Amanda Bruno

A ∩ B → A interseção B: conjunto dos elementos COMUNS a A e B.

Estar com os amigos Ouvir música

A ∪ B → A união B: conjunto dos elementos que pertencem A PELO MENOS UM dos conjuntos A ou B.

Estudar Estar com os amigos Ler Ouvir música Dormir Tocar guitarra

A – B → A menos B: conjunto dos elementos que pertencem a A e NÃO PERTENCEM a B.

Estudar Ler

Dormir Tocar guitarra

Dados os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +∞[, obter A ∩ B, A ∪ B, A – B:

A = ]–2, 5]

B = ]3, +∞[

A ∩ B

= ]–2, +∞[

= ]–2, 3]

= ]3, 5]

A ∪ B

A – B

– 2

– 2

– 2

5

5

3

3

3

B – A = ]5, +∞]5