Polinômios de
Legendre
LOM 3253 - Física Matemática
Utilização de Polinômios Legendre e Associados de Legendre:
Determinação das funções de onda dos elétrons nas órbitas
de um átomo;
Determinação das funções potenciais na geometria
esfericamente simétrica, etc. (Veja livros textos de
Mecânica Quântica e Eletrodinâmica);
Em física de reatores nucleares, polinômios de Legendre
tem uma importância extraordinária para as soluções de
equações de transporte de nêutrons e definição das funções
de espalhamento adequadas de nêutrons. (*) (**)
(*) P.F. Zweifel, Reactor Physics, McGraw-Hill Inc., New York (1973)
(**) Fikret Anli , Süleyman Gungor, Some useful properties of Legendre
polynomials and its applications to neutron transport equation in slab
geometry, Appl. Math. Modelling, 31 (4) 2007, p. 727–733.
Equação de
Bessel Esférica
Equação Associada
de Legendre
A separação de variáveis da ED de Helmholtz em coordenadas
esféricas resulta nas 3 equações:
l inteiro e positivo
Na equação de Legendre Associada
fazemos uma mudança de variável:
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔
1 − 𝑥2𝑑2Θ
𝑑𝑥2− 2𝑥
𝑑Θ
𝑑𝑥+ 𝑛2 −
𝑚2
1 − 𝑥2Θ = 0
A equação diferencial resultante, para Q = n2, é:
Para m = 0
𝟏 − 𝒙𝟐𝒅𝟐𝑷
𝒅𝒙𝟐− 𝟐𝒙
𝒅𝑷
𝒅𝒙+ 𝒏𝟐𝑷 = 𝟎
Equação de Legendre
Relação de Recorrência
Procurando solução por Séries de
Potências (Método de Frobenius):
Para = 0, a1 e a2 não nulos
Convergência (teste da razão)
𝑎𝑗+2
𝑎𝑗= 𝑗 𝑗+1 −𝑛2
(𝑗+1)(𝑗+2)𝑥2
A equação de Legendre tem soluções limitadas
no intervalo -1 x +1 (-1 cos +1), se e
somente se
n2=l(l+1)
Sendo que l pode assumir somente valores
inteiros e positivos, l = 0, 1, 2, 3, 4, ...
Desta forma, a equação de Legendre admite
soluções na forma de séries de potências, ou
seja, na forma polinomial.
Chega-se assim ao Polinômios de Legendre:
Onde: [l/2] =l/2 para n par e [l/2] =(l-1)/2 para n ímpar
Onde x = cos
C
Função geratriz – G(x,t)
G(x,t) é a função desenvolvida em série de
potências para t < 1, sendo os polinômios de
Legendre os coeficientes da expansão.
Relações de Recorrência
obtidas a partir de G(x,t)
As fórmulas de recorrência podem ser obtidas pela
derivação da função geratriz em relação a x e t.
𝑙𝑃𝑙−1 𝑥 − 2𝑙 + 1 𝑥𝑃𝑙 𝑥 + 𝑙 + 1 𝑃𝑙+1 𝑥 = 0
𝑥𝑃𝑙′ 𝑥 − 𝑃𝑙−1
′ 𝑥 = 𝑙𝑃𝑙(𝑥)
𝑃𝑙 𝑥 − 2𝑥𝑃𝑙′ 𝑥 − 𝑃𝑙+1
′ 𝑥 = 𝑃𝑙−1′ 𝑥
𝑥2 − 1 𝑃𝑙′ 𝑥 = 𝑥𝑙𝑃𝑙 𝑥 − 𝑙𝑃𝑙−1 𝑥
𝑃𝑙+1′ 𝑥 − 𝑥𝑃𝑙
′ 𝑥 = (𝑙 + 1)𝑃𝑙 𝑥
Ortogonalidade dos
Polinômios de Legendre
−∞
+∞
𝑷𝒍 𝒙 . 𝑷𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =𝟐
𝟐𝒏 + 𝟏𝜹𝒍,𝒏 𝛿𝑙,𝑛 =
1 𝑠𝑒 𝑛 = 𝑙0 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 𝑙
𝑷𝒍 𝒙 =𝟐𝒍 + 𝟏
𝟐
𝟏𝟐
𝑷𝒍 𝒙
−∞
+∞
𝑷𝒍 𝒙 . 𝑷𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝜹𝒍,𝒏
FORMULA DE RODRIGUES
para a funções de Legendre
Expansão de uma função
em polinômios de Legendre
Seja f(x) uma função definida e contínua no intervalo -1 x 1.
Esta função pode ser expandida numa série de
polinômios de Legendre e a série converge no intervalo.
Observe que não tem nada a ver com a função Geratriz:
EXEMPLO: Em eletrostática e gravitação, vemos
potenciais escalares do formato:
r
Fazendo:
l (l+1)
Equação de Laplace - Coordenadas
esféricas
Associada de Legendre
Polinômios de Legendre Associados - m0
𝟏 − 𝒙𝟐𝒅𝟐𝜣
𝒅𝒙𝟐− 𝟐𝒙
𝒅𝜣
𝒅𝒙+ 𝒏𝟐 −
𝒎𝟐
𝟏 − 𝒙𝟐𝜣 = 𝟎
𝒄𝒐𝒎 𝑸 = 𝒏𝟐 = 𝒍(𝒍 + 𝟏)
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
Procurar soluções do tipo:
𝜣 𝒙 = 𝑨(𝟏 − 𝒙𝟐)𝒎𝟐𝒇(𝒙)
𝟏 − 𝒙𝟐𝒅𝟐𝒇
𝒅𝒙𝟐− 𝟐(𝒎+ 𝟏)𝒙
𝒅𝒇
𝒅𝒙+ 𝒍 −𝒎)(𝒍 +𝒎+ 𝟏 𝒇 = 𝟎
Para m = 0 a equação diferencial acima é a Equação de
Legendre e a solução é f(x) = Pl(x).
Se diferenciarmos a equação acima m vezes
𝟏 − 𝒙𝟐𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐− 𝟐 𝒎+ 𝟏 𝒙
𝒅
𝒅𝒙+ [𝒍 −𝒎)(𝒍 +𝒎 + 𝟏)]
𝒅𝒎𝑷𝒍
𝒅𝒙𝒎= 𝟎
Ou seja:
𝜣𝒍𝒎 𝒙 = 𝑨 𝟏 − 𝒙𝟐
𝒎𝟐 ×
𝒅𝒎𝑷𝒍
𝒅𝒙𝒎= 𝑨𝑷𝒍
𝒎(𝒙)
𝒇 𝒙 =𝒅𝒎𝑷𝒍
𝒅𝒙𝒎
Na parte angular podemos escrever:
Θ 𝜃 Φ 𝜑 = 𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝜑) = 𝐴𝑙
𝑚𝑃𝑙𝑚(𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒𝑖𝑚𝜑
Harmônicos Esféricos
Padrões de radiações emitidas por antenas
Distribuição de campo elétrico ao redor de uma molécula, que é a soma de monopolos, dipolos, quadrupolos, etc
Orbitais dos elétrons
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
−𝟏 ≤ 𝒎 ≤ 𝟏
−𝟐 ≤ 𝒎 ≤ 𝟐
−𝟑 ≤ 𝒎 ≤ 𝟑
s
p
d
f