Resolução e Formulação de Problemas Campo

Multiplicativo

Vídeo: A caixa de tampinhas

• Priscila Monteiro ( Avisa Lá) Nova Escola

RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVORACIOCÍNIO MULTIPLICATIVOSegundo Nunes e Bryant (1997), Nunes et al. (2005) e Correa e Spinillo (2004): P.31.

O aluno que sabe fazer corretamente um algoritmo de multiplicar ou de dividir ele aprendeu a multiplicação ou a divisão?

RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVORACIOCÍNIO MULTIPLICATIVOSegundo Nunes e Bryant (1997), Nunes et al. (2005) e Correa e Spinillo (2004): P.31.

RACIOCíNIO MULTIPLICATIVO: Envolve relações fixas entre variáveis, por exemplo, entre quantidades ou grandezas. Correspondência de um para muitos, distribuição e divisão. A relação entre as variáveis são constante.

SITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕESSITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕES

•Em uma caixa de lápis de cor há 12 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a esta?

A correspondência “um para muitos”, cada caixa correspondem 12 lápis. A quantidade de caixa e lápis

estão relacionadas por um número fixo de lápis por caixa, ou seja, 12 lápis por caixa.

Pensando com o campo conceitual da adição

Com o campo conceitual multiplicativo

Razão e proporção

• 1 polvo = 8 tentáculos

• 2 polvos = 16 tentáculos

• 3 polvos = 24 tentáculos

•

•1 receita = 3 ovos

•2 receitas = 6 ovos

•3 receitas = 9 ovos

Polvo Receita do bolo

A quantidade de tentáculos é fixa, mas pensando na proporção 1 vale 8

3 valem 24, essas são as variáveis, porém número de tentáculos é sempre o

mesmo, sendo a razão inicial

A quantidade de ovos é fixa, mas pensando na proporção 1 vale 3, uma receita equivale

a três ovos, 2 receitas a 6 DOBRO. O número referente a quantidade de receita pode mudar, assim a quantidade de ovos

também, mas todos com a razão 3.

Razão e proporção

• 1 bicicleta = 2 rodas

• 2 bicicletas = 4 rodas

• 3 bicicletas = 6 rodas

Com R$27,00 compro:

Bicicleta Problematizando

QUANTO CUSTA UM CADERNO?

Razão e proporção

Com R$27,00 compro 9 cadernos. Quantos cadernos compro com R$ 72,00?

Problematizando

NESSAS SITUAÇÕES TEMOS DUAS VARIÁVEIS E UMA RELAÇÃO NESSAS SITUAÇÕES TEMOS DUAS VARIÁVEIS E UMA RELAÇÃO PROPORCIONAL QUE É IGUAL AO RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO.PROPORCIONAL QUE É IGUAL AO RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO.

A RAZÃO É UMA CONSTANTE. A RAZÃO É UMA CONSTANTE.

SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃOSITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO

Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber?

É possível distinguir o raciocínio aditivo do multiplicativo analisando o problema anterior: a quantidade de chocolates e de pessoas foi transformada em

chocolates por pessoa, isto é, não se trata de uma relação com elementos de uma mesma natureza, chocolate com chocolate ou pessoas com pessoas,

conforme acontece com as estruturas aditivas.

SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃOSITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO

Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber?

NÃO REALIZOU UMA DIVISÃO EQUITATIVA

GABRIEL QUANDO DEU UM

CHOCOLATE PARA CADA

AMIGO,UTILIZOU UMA ESTRATÉGIA

ADITIVA

SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃOSITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO• Mas, é importante estar alerta para o

fato de que a divisão envolve situações mais complexas do que a distribuição.

• A criança ao realizar a distribuição, pode fazê-lo simplesmente recorrendo a um raciocínio aditivo em que vai acrescentando mais um elemento a cada rodada até que não haja mais elementos para uma nova distribuição. No entanto, dividir, como uma operação multiplicativa, implica que a criança possa também prestar atenção às relações entre as quantidades em jogo. Implica, em outras palavras, poder estabelecer relações de covariação entre os termos envolvidos na operação. (CORREA; SPINILLO, 2004, p. 109-110)

SITUAÇÕES DE DIVISÃO ENVOLVENDO FORMAÇÃO DE SITUAÇÕES DE DIVISÃO ENVOLVENDO FORMAÇÃO DE GRUPOSGRUPOS

• Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em sacolas. Em cada sacola foram colocadas 4 caixas de sapatos. Quantas sacolas foram utilizadas?

• Quantidade a ser dividida: 20 caixas de sapatos• Tamanho do grupo: 4 caixas de sapatos em cada sacola• Número de grupos: ?

SITUAÇÕES DE CONFIGURAÇÃO SITUAÇÕES DE CONFIGURAÇÃO RETANGULARRETANGULAR

• Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7 fileiras com 5 caixas • empilhadas. Quantas caixas de sapatos dona Centopeia organizou?

• Medida conhecida: 7 fileiras• Outra medida conhecida: 5 caixas por fileira• Produto: ?

SITUAÇÕES ENVOLVENDO RACIOCÍNIO SITUAÇÕES ENVOLVENDO RACIOCÍNIO COMBINATÓRIOCOMBINATÓRIO

• Dona Centopeia tem dois chapéus, um branco (B) e outro preto (P) e • três bolsas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C). De quantas maneiras diferentes Dona Centopeia pode escolher seus acessórios para ir passear?

• Conjunto conhecido: 2 chapéus• Conjunto conhecido: 3 bolas• Número de possibilidades: ?

LUCAS CAROLINA

PODEMOS CONCLUIR QUE:PODEMOS CONCLUIR QUE: Para que as crianças possam desenvolver o raciocínio aditivo e multiplicativo é necessário que envolva as crianças em diferentes situações que compõem estes campos conceituais. Com isso estaremos oferecendo situações desafiadoras às crianças e evitando que resolvam problemas a partir da repetição de estratégias já conhecidas.

CADERNO 4CADERNO 4OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO

DE PROBLEMASDE PROBLEMASCAMILA RIBEIRO

ESTIMULAR ESTRATÉGIAS INDIVIDUAIS

SOCIALIZAR AS ESTRATÉGIAS UTILIZADAS

DECIDIR SOBRE AS ESTRATÉGIAS

VIVENCIAR AS SITUAÇÕES MATEMÁTICAS

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA

INTERPRETAR A SITUAÇÃO –PROBLEMA VIVENCIADA.

COMPREENDER O ENUNCIADO DO PROBLEMA

ESTABELECER RELAÇÕES ENTRE O ENUNCIADO E OS CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS

NA RESOLUÇÃO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMANA RESOLUÇÃO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMA O ALUNO PRECISA:O ALUNO PRECISA:

Devemos ficar atentos quando as crianças se valem de indícios linguísticos presentes nos problemas para realizar cálculos que conduzam à solução (palavras –chave).

IMPORTANTE

SITUAÇÕES SITUAÇÕES ADITIVASADITIVAS E E MULTIPLICATIVASMULTIPLICATIVAS

NO CICLO DE NO CICLO DE ALFABETIZAÇÃOALFABETIZAÇÃO

TIRINHAS TIRINHAS

As tirinhas também apresentam ideias matemáticas que se transformam em interessantes problemas. Por exemplo, neste caso, qual foi a brilhante ideia de Magali?

ERA UMA VEZ ... ERA UMA VEZ ... MUITOS PROBLEMAS DE UMA VEZMUITOS PROBLEMAS DE UMA VEZ

QUEM SÃO?

1

ONDE FORAM?

2

O QUE COMPRARAM?

3

QUANTO CUSTOU?

4 5

COMO ACABOU?

6

COMO RESOLVER?

Problemas “sem contas”:

Joana ganhou um gatinho recém-nascido que, em pouco tempo, cresceu e se transformou num belo gato.  Agora, Joana está querendo saber quantos quilos pesa seu bichinho, o problema é que ela não consegue convencer o bicho a ficar quieto sobre a balança da farmácia, foi então que Joana pensou muito e "bolou" um sistema infalível para resolver o problema. E você, como faria para resolvê-lo?

Problemas com excesso de dados

Hemengardos é um “girafo”. Ele adora gravatas-borboleta. Diz que elas valorizam seu pescoço. Hemengardos tem vinte e uma gravatas lisas, quinze de bolinhas, trinta e quatro listradas, oito de estampados diversos, dezesseis floridas e trinta cachecóis. Quantas gravatas Hemengardos têm?

Caderno 1 (p.29)

Problemas “sem perguntas”

CAMILA TEM 19 FIGURINHAS, BRUNO TEM 22. Explorar as possibilidades de criação de situações... Quem tem mais figurinhas?Quantas figurinhas Bruno tem a mais do que Camila?Quem tem menos figurinhas?Quantas figurinhas Camila tem a menos do que Bruno?Quantas figurinhas eles têm juntos?

Só com as “perguntas”

QUANTOS DOCES SOBRARAM?

QUANTOS QUILÔMETROS FALTAM PARA COMPLETAR A VIAGEM?

Construir o enunciado a partir da “resposta”.

TENHO 55 FIGURINHAS.

RECEBI DE TROCO 2 REAIS.

GANHEI 15 PONTOS NO FINAL DO JOGO.

SOBROU METADE DO BOLO.

Completar enunciados.

UMA DOCEIRA FEZ PARA UMA ENCOMENDA _______ BRIGADEIROS. SE ELA COBRA ______ REAIS POR UMA DEZENA DE DOCES. QUANTO ELA RECEBEU PELO TRABALHO?

E não conseguia vendê-las

À tarde

Vendeu ___ toalhas. Ai, o dono abaixou o preço

Uma loja de tecidos tinha Ele vendeu ____

Quantas toalhas Na manhã deste dia,

382Sobraram no estoque?

A notícia se espalhou e

Um estoque de ____toalhas

790 1 700

Problemas em tiras...

Uma loja de tecidos tinha um estoque de ____toalhas1 700

e não conseguia vendê-las.

Ai, o dono abaixou o preço.

Na manhã deste dia, vendeu _____ toalhas.382

A notícia se espalhou e à tarde ele vendeu ______.

Quantas toalhas sobraram no estoque?

790

A Resolução de Problemas e a superação da A Resolução de Problemas e a superação da perspectiva da simples “reprodução de perspectiva da simples “reprodução de

procedimentos”.procedimentos”.

JAMAIS ESQUECER!JAMAIS ESQUECER! Explorar todas as ideias das operações por meio da Resolução de Problemas... Mais problemas e menos operações isoladas e sem significado...Valorizar as estratégias das crianças... Nem tudo o que é para o professor deve ser apresentado ao aluno...

Ettiene Cordeiro GueriosNeila Tonin Agranionih

Tania Teresinha Bruns Zimer

[...]enfatizar o raciocínio não significa deixar de lado o cálculo na resolução de problemas: significa calcular compreendendo as propriedades das estruturas aditivas e das operações de adição e subtração.” (NUNES, CAMPOS, MAGINA E BRYANT, p. 56, 2005)

É importante lembrar que a compreensão dos conceitos próprios das operações requer coordenação com os diferentes sistemas de representação.

Cálculos numéricos estejam conectados ao processo de compreensão progressiva do Sistema de Numeração Decimal.

Valorização da criação de estratégias pessoais na resolução de problemas.

Promoção de sua socialização.

O que se propõe? O que se propõe?

- O cálculo necessário para fornecer o troco de uma compra no valor de R$ 48,00, paga com uma cédula de R$100,00?

Como você resolve?Como você resolve?

- O preço a pagar por 8 metros e meio de fita sendo que o metro custa R$ 1,50.

Por que utilizar estratégias? Por que utilizar estratégias?

Nessa perspectiva, cada cálculo é um problema novo e o caminho a ser seguido é próprio de cada aluno, o que faz com que para uns possa ser mais simples e, para outros, mais complexo.

ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO NÃO ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO NÃO

SURGEM DO NADA.SURGEM DO NADA.

PRECISAM SER TRABALHADAS E PRECISAM SER TRABALHADAS E

ESTIMULADAS EM SALA DE AULA.ESTIMULADAS EM SALA DE AULA.

ESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DE ESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO CÁLCULO

- CONTAGEM-

Procedimento natural e bastante útil na resolução de cálculos pelas crianças.

Algumas contagens importantes:• contar para a frente;• contar para trás;•contar de 2 em 2, de 3 em 3, de 5 em 5, de 10 em 10;•contar a partir de um determinado número

JOGO: COELHINHO PROCURANDO A TOCAJOGO: COELHINHO PROCURANDO A TOCA

MEMORIZAÇÃO DE FATOS NUMÉRICOSMEMORIZAÇÃO DE FATOS NUMÉRICOS

A tabuada pode agilizar processos de cálculos a partir da memorização de resultados entre os fatores, desde que:A memorização deve ser consequência da adoção de estratégias metodológicas que permitam a construção/estruturação de regularidades entre os fatos numéricos e a memorização dos mesmos por caminhos diferentes da “decoreba” destituída de significado

Investigação Matemática na Investigação Matemática na TabuadaTabuadaJoão Pedro da Ponte sugere o desenvolvimento de atividades investigativas, nas quais os alunos são convidados a analisar padrões e regularidades existentes nas operações. Observe: (pág. 51)

Construa a tabuada do 3. O que encontra de curioso nesta tabuada? Prolongue-as calculando 11 × 3, 12 × 3, 13 × 3.... E formule algumas conjecturas.

Pode-se pedir que os alunos façam registros escritos em forma de textos das suas descobertas para que expressem as relacionem com as propriedades do SND.

construção de recursos cognitivos que auxiliam a memorização

estabelecer relações entre os fatos e perceber regularidades por processos investigativos

CONSTRUINDO A TÁBUA DE PITÁGORASCONSTRUINDO A TÁBUA DE PITÁGORASxx 11

  22 33 44 55 66 77 88 99 1010

11  

                          

22  

                          

33  

                          

44  

                          

55  

                          

66  

                          

77  

                          

88  

                          

99  

                          

1010

JOGO: GATOS MALHADOSJOGO: GATOS MALHADOS

REAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENASREAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENAS

Construir sequências de atividades investigativas...

FORMAÇÃO DA CENTENAFORMAÇÃO DA CENTENA

Ettiene Cordeiro GueriosNeila Tonin Agranionih

Tania Teresinha Bruns Zimer

• O algoritmo tradicional das operações permite realizar cálculos de uma maneira ágil e sintética.

• Modos de representar os processos operativos da adição e da subtração pautados nas propriedades do SND.

ALGORITMOS TRADICIONAISALGORITMOS TRADICIONAIS

É importante que a criança tenha se apropriado das características do SND para que compreenda os processos sequenciais dos algoritmos.

O material dourado, o ábaco e o Quadro Valor Lugar (QVL), são recursos que devem ser utilizados, para favorecer a compreensão dos algoritmos tradicionais.

• Historicamente: como o precursor da calculadora .

• Há diferentes modelos de ábaco, todos eles com o mesmo princípio constitutivo do SND que permite o trabalho centrado no valor posicional do número.

• Sugere-se atividades com o ábaco aberto e apenas até a ordem das unidades de milhar.

ÁBACOÁBACO

Material DouradoMaterial DouradoA possibilidade de explorar propriedades do SND,

tais como:a base 10a composição aditiva e multiplicativaexplorar trocas e composição/decomposição

É importante salientar que o valor posicional do algarismo não é tratado de forma explicita neste recurso como o é no QVL e no ábaco.

Para pensar e discutir...Para pensar e discutir...• Agrupamento e desagrupamento.

• Uso de material dourado e ábaco para resolver algoritmos com “números grandes”.

• O cuidado com uso de recursos como o ábaco e o material dourado.

Emerson Rolkouski

ALGUMAS POSSIBILIDADES ... ALGUMAS POSSIBILIDADES ... Em situações reais, em que os números são muito grandes ou muito pequenos, a utilização da calculadora é recomendada. Isso porquê, o que está em jogo é a resolução da situação-problema real e não o uso de algoritmos.

SITUAÇÕES REAIS DE SALA DE AULASITUAÇÕES REAIS DE SALA DE AULAPor exemplo, a tabela a seguir foi construída tendo como ponto de partida dados coletados por crianças que diziam respeito à quantidade de sorvetes que conseguiram vender em uma gincana.

Calculadora para construir e/ou sistematizar fatos Calculadora para construir e/ou sistematizar fatos importantes das operações, ou mesmo para importantes das operações, ou mesmo para

disparar problemas.disparar problemas. - Encontrar o resultado de 4 x 5 sem utilizar a tecla x. - Fazer 20 ÷ 4, sem utilizar a tecla ÷ -Apertei a tecla 8, depois a tecla +, teclei ainda um outro número, o sinal de = e obtive 14. Que número apertei? Quais as possibilidades para obter: a soma 10, ou 100 ou 1000.

VÁRIAS CRIANÇAS RECOLHERAM BOLAS DE TÊNIS EM TRÊS

CAIXAS. SOMANDO A QUANTIDADE DE BOLAS DE DUAS DESSAS

CAIXAS, O TOTAL FOI 78. DESCUBRA ESSAS DUAS CAIXAS E

PINTE-AS:

Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o ábaco.CAIXAS COM BOLINHAS DE TÊNIS

Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o material dourado.

MARIA COMPROU UMA BONECA POR R$ 24,00 E FICOU COM

R$ 17,00 REAIS NA CARTEIRA. QUANTO ELA POSSUIA ANTES

DE FAZER A COMPRA?

Adaptado Repensando Adição e Subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. Sandra Magina, Tânia Maria Mendonça Campos, Verônica Gatirana, Teresinha Nunes .

ELE JÁ COLOU 29 FIGURINHAS.

QUANTAS FIGURINHAS ELE AINDA PRECISA COMPRAR PARA

COMPLETAR SEU ÁLBUM?

JOÃO COLECIONA FIGURINHAS DE FUTEBOL.

O ÁLBUM PARA ESTAR COMPLETO DEVE TER 56 FIGURINHAS.

ELE RESOLVEU COMPRAR TODAS AS FIGURINHAS QUE FALTAM

EM SUA COLEÇÃO.

Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o ábaco.PROBLEMA EM TIRASAdaptado de Kátia Stoco Smole e Maria Ignez Diniz. Ler, escrever e resolver problemas.

Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o material dourado. Completando o enunciado

TV ESCOLA MATEMÁTICA RESOLUÇAO DE

PROBLEMAS

Finalizando...

EM DUPLAS VAMOS ANALISAR AS SITUAÇÕES E DELIMITAR SEUS CAMPOS CONCEITUAIS.

Análise de situações problemas (tabela)

Situação-ProblemaCampo Conceitual

aditivo/multiplicativo

Caracterização da situação analisando: estado inicial, transf,

estado final• Em um vaso há 5 rosas amarelas e 3 rosas vermelhas. Quantas

rosas há ao todo no vaso? A  COMPOSIÇÃO

• Aninha tem 3 pacotes de figurinhas. Ganhou 4 pacotes da sua avó. Quantos pacotes tem agora?

 A  TRANSF. SIMPLES

• Aninha tinha 5 bombons. Ganhou mais alguns bombons de Júlia. Agora Aninha tem 8 bombons. Quantos bombons Aninha ganhou?

 A  TRANSF. COM TRANSF. DESC.

• Em um vaso há 8 rosas, 3 são vermelhas e as outras são amarelas. Quantas rosas amarelas há no vaso?

 A  COMPARAÇÃO PARTE DESC.

• Maria tinha algumas figurinhas. Ganhou 4 figurinhas de Isa. Agora Maria tem 7 figurinhas. Quantas figurinhas Maria tinha?

A  TRANSF. INICIAL DESC.

• Zeca tinha 7 bolinhas de gude. Deu 3 para Luís. Quantas ele tem agora?

 A  TRANSF. SIMPLES

• Zeca tinha 8 bombons. Deu alguns bombons para Luís e ficou com 3. Quantos bombons Zeca deu para Luís?

 A  TRANSF. COM TRANSF. DESC.

• João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos. Quantos carrinhos João tem a mais do que José?

 A  COMPARAÇÃO

Paulo tinha alguns carrinhos. Deu 4 carrinhos para Pedro e ficou com 7. Quantos carrinhos Paulo tinha?

 A  TRANSF. COM INÍCIO DESC.

João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos. Quem tem mais carrinhos?

 A  COMPARAÇÃO

Em uma caixa de lápis de cor há 12 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a esta?

 M  COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕES

Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7 fileiras com 5 caixas empilhadas. Quantas caixas de sapatos dona Centopeia organizou?

 M  CONFIGURAÇÃO RETANGULAR

Dona Centopeia tem dois chapéus, um branco (B) e outro preto (P) e três bolsas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C). De quantas maneiras diferentes Dona Centopeia pode escolher seus acessórios para ir passear?

 M  COMBINATÓRIA

Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em sacolas. Em cada sacola foram colocadas 4 caixas de sapatos. Quantas sacolas foram utilizadas?

 M  DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO