Considerações sobre a aprendizagem da equação do 2° grau completa

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO APRENDIZAGEM DA EQUAÇÃO

DO 2° GRAU, NO ENSINO FUNDAMENTAL

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PONTA GROSSA2001

EVA APARECIDA CARVALHO E SILVA

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO APRENDIZAGEM DA EQUAÇÃO

DO 2° GRAU, NO ENSINO FUNDAMENTAL

Monografia apresentada para obtenção doTítulo de Especialista no Curso de Pós-Graduação em Matemãtica: Dimensões Teórico-Metodológicas, da UNIVERSIDADE ESTADUALDE PONTA GROSSA.

Professora Orientadora: Ms Joseli AlmeidaCamargo

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PONTA GROSSA2001

AGRADECIMENTOS

A Deus,

que com seu Santo Espírito,

iluminou a minha mente, para que eu pudesse concluir

esse trabalho.

A todos os professores do curso de especialização,

que contribuíram de alguma maneira,

para ampliar os meus conhecimentos.

Ao ProF Celso Chagas, diretor do Colégio Estadual 31 de Março,

e a assistente administrativa Carmem Lúcia,

que contribuíram com a parte bibliográfica.

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À Prof" Ms Joseli, que aceitou ser minha orientadora,

procurando sempre me incentivar

e conduzindo a orientação com muita dedicação.

Aos meus pais, filhos, esposo e minha amiga Neide,

que sempre me deram apoio,

para vencer todos os obstáculos,

que encontrei no decorrer deste trabalho.

A todos, meus sinceros agradecimentos!

11

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RESUMO

Esta pesquisa realizou-se a partir de fatos históricos sobre o surgimento da Equação

do 2° Grau, abordando as maneiras utilizadas por alguns povos para a sua resolução,

chegando a forma dos tempos atuais. Apresentou-se uma análise de como se

desenvolve o conteúdo da Equação do 2° Grau em livros didáticos da década de 50 a

década de 90. Verificou-se nestas análises que os autores quase não diferem na

introdução da equação, e que a mesma é apresentada na maioria dos livros sempre

seguindo um mesmo roteiro, ou seja, iniciam com uma definição de Equação do 2°

Grau, seguidas das equações completas, as incompletas e a dedução da fórmula, isto

sempre acompanhadas de alguns exercícios resolvidos e outros propostos, sendo

que os problemas são apresentados apenas no término do conteúdo. Após estas

reflexões fez-se uma proposta da utilização do Material Dourado, como sugestão

didática para uma melhor compreensão da resolução de uma Equação do 2° Grau.

111

SUMÁRIO

Resumo iii

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Introdução 01

CAPíTULO 1- REVISITANDO A HISTÓRIA 04

1.1 - Alguns Fatos Históricos Importantes da Equação do 2° Grau 07

1.1.1 - O Surgimento do Zero 12

1.1.2 - O Zero na Equação do 2° Grau 15

1.2 - A Primeira Fórmula Resolutiva da Equação do 2° Grau 17

CAPíTULO 11- OS LIVROS DIDÁTICOS NO CONTEXTO DA SALA DE AUlA. 27

2.1 - Apresentação da Equação do 2° Grau em Livros Didáticos 27

2.1.1- Análise Bibliográfica de Livros que desenvolvem o Tópico de

Equação do 2° Grau 28

2.2. - Análise do Material Proposto 36

CAPíTULO 111- O MATERIAL DOURADO 38

3.1 - Utilização do Material Dourado na Resolução e Compreensão da Equação do

2° Grau 39

Considerações Finais 55

Referências Bibliográficas 57

Anexos ; 60

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IV

INTRODIJÇÃO

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No enfoque tradicional a matemática é desenvolvida a partir de definições,

seguidos de exercícios de fixação, pressupondo assim que o aluno aprende através

da repetição, ZANKOV apud RABELO diz com relação ao ensino tradicional: liA

curiosidade da criança não é satisfeita, a ênfase básica está na memória em

detrimento do raciocínio, e há pouca ou não há motivação interna para se aprender. A

padronização simplificada do processo de estudo impossibilita a manifestação e o

desenvolvimento da individualidade." (1996, p. 54)

A matemática da escola geralmente preocupa-se em formalizar conteúdos,

quase sempre sem levar em consideração os conhecimentos que os alunos já

possuem. Tornando-se assim uma disciplina desvinculada da realidade onde os

alunos vivem.

A criança traz consigo uma curiosidade que na maioria das vezes édesconsiderada pela escola, fazendo com que ela perca o interesse e não

compreenda a relação existente entre os conteúdos escolares. Portanto o ensino da

matemática deve ser repensado e reformulado deixando de lado aquele ensino

centralizado em procedimentos mecanizados sem significados para o aluno.

Pensando nisso deve-se buscar novas metodologias entre outros

procedimentos para atingir a formação de cidadãos críticos e participativos, os quais a

sociedade cada vez mais vem exigindo, por isso a escola deve adotar como objetivo,

estimular nos alunos uma consciência crítica. De acordo com os Parâmetros

Curriculares Nacionais:

o papel fundamental da educação no desenvolvimento das pessoas e das sociedadesamplia-se ainda mais no despertar do novo milênio e aponta para necessidade de se construiruma escola voltada para formação de cidadãos. Vivemos numa era marcada pela competiçãoe pela excelência, em que progressos científicos e avanços tecnológicos definem exigênciasnovas para os jovens que ingressaram no mundo do trabalho. Tal demanda impõe umarevisão dos currículos, que orientam o trabalho cotidianamente realizado pelos professoresespecialista em educação do nosso país. (1998, p. 5)

Refletindo sobre estas questões, esta pesquisa enfoca um conteúdo relevante

no Ensino Fundamental, tendo, portanto como proposta, refletir sobre as dificuldades

que o aluno apresenta no desenvolvimento da Equação do 2° Grau, levando em

2

r

consideração que a matemática não deve ser apenas memorizada, mas sim

compreendida.

Geralmente para resolver uma Equação do 2° Grau é apresentada a fórmula

de Bhaskara, seus termos e alguns exemplos, assim o aluno simplesmente memoriza

a maneira de resolvê-Ia. Mas além de apresentar a fórmula deve-se tornar o ensino-

aprendizagem da Equação do 2° Grau mais significativo no Ensino Fundamental. E

isto depende do docente verificar a alternativa metodológica mais adequada a seus

alunos procurando uma maneira para que os mesmos compreendam essas equações.

Repensando esta forma de tratamento ao desenvolver a Equação do 2° Grau,

propõe-se o uso do material dourado como uma alternativa no ensino destas

equações, pois torna o assunto mais atrativo e permite a melhor visualização por parte

do aluno, além de que, através do mesmo pode-se trabalhar outros conteúdos, como

por exemplo, os produtos notáveis.

Os Objetivos que se buscou atingir com esta pesquisa foram:

Resgatar historicamente a abordagem da equação do 2° Grau; analisar qual o

tratamento dado a Equação do 2° Grau pelos livros didáticos do Ensino Fundamental

nas décadas de 50 a 90 e apresentar a utilização do material dourado como

alternativa eficiente na compreensão da Equação do 2° Grau no Ensino Fundamental.

Partimos do pressuposto que o professor limita-se em apresentar a fórmula

de Bhaskara sem proporcionar aos discentes condições de compreensão do raciocínio

envolvido na resolução de uma Equação do 2° Grau, sendo que o resgate histórico

facilita a elaboração do raciocínio e da resolução e a representação geométrica,

quando bem encaminhada garante a compreensão da Equação do 2° Grau.

Partindo de tais reflexões no primeiro capítulo realizou-se um levantamento

bibliográfico, fazendo um resgate histórico sobre a Equação do 2° Grau, utilizando

alguns livros sobre História da Matemática e trabalhos acadêmicos voltados a esta

problemática.

No segundo capítulo fez-se uma análise dos procedimentos apresentados na

abordagem da Equação do 2° Grau em livros didáticos representantes das décadas de

50 a 90, onde foram analisados alguns livros, escolhidos aleatoriamente. No terceiro

capítulo levantou-se algumas propostas alternativas para a resolução da Equação do

2° Grau, priorizando a interpretação geométrica através do uso do Material Dourado

3

apontando-o como uma boa alternativa na compreensão da resolução dessas

equações no Ensino Fundamental.

O presente trabalho é uma pesquisa descritiva, denominada estudo de caso,

por se tratar de informações pesquisadas sobre a Equação do 2° Grau, pois como cita

TRIVINOS: "a complexidade do estudo de caso está determinada pelos suportes

teóricos que servem de orientação em seu trabalho ao investigador." (1987, p. 134).

Portanto esta pesquisa parte dos conhecimentos existentes sobre o conteúdo

examinado, chegando a análise de alternativas metodológicas para se trabalhar a

Equação do 2° Grau, sendo que uma das alternativas é o uso do Material Dourado.

Este trabalho desenvolver-se-á através de pesquisas bibliográficas, análise

de livros didáticos e utilização do Material Dourado no desenvolvimento da Equação

do 2° Grau no Ensino Fundamental.

4

CAPíTULO I

REVISITANDO A HISTÓRIA

A história da matemática, como um recurso metodológico na educação

matemática, pode contribuir muito no processo de ensino-aprendizagem dessa

disciplina.

Ao mostrar a necessidade do surgimento da matemática no contexto

histórico de diferentes culturas pode-se desenvolver no aluno o interesse pelos

valores e atitudes diante do conhecimento matemático. Segundo os Parâmetros

Curriculares Nacionais os "conceitos abordados em conexão com a história

constituem veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande

valor formativo. A história da matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate

da própria identidade cultural." (1998, p.42)

A partir do momento que o aluno consegue perceber a importância dos

temas matemáticos surgidos pela necessidade de cada cultura e que nada na

matemática foi criado em vão, ele então poderá passar a sentir um maior interesse

em adquirir esses conhecimentos. Embora exista uma curiosidade dos alunos sobre o

surgimento dos temas de matemática estudados, nem sempre essa curiosidade é

sanada, pois existe uma falta de conhecimento dos fatos históricos desses conteúdos

e os alunos ficam esperando por esse esclarecimento a cada ano que passa. Os

anos se sucedem e a curiosidade nem sempre é satisfeita.

Em um de seus artigos MIGUEL, nos apresenta alguns argumentos

levantados por apologistas que tentam reforçar as potencial idades pedagógicas da

história da matemática.

Os argumentos mostrados nesse artigo são os seguintes:

1° - A história é uma fonte de motivação para o ensino aprendizagem daMatemática;2° - A história constitui-se numa fonte de objetivos para o ensino daMatemática;3° - A história constitui-se numa fonte de métodos adequados de ensino daMatemática;

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4° - A história é uma fonte para a seleção de problemas práticos, curiosos,informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de matemática;5° - A história é um instrumento que possibilita a desmistificação damatemática e a desalienação de seu ensino;6° - A história constitui-se num instrumento de [ormalização de conceitosmatemáticos;7° - A história é um instrumento de promoção do pensamento independente ecrítico;8° - A história é um instrumento unificador dos vários campos da matemática;9° - A história é um instrumento promotor de atitudes e valores;10° A história constitui-se num instrumento de conscientlzaçãoepistemológica;11° - A história é um instrumento que pode promover a aprendizagemsignificativa e compreensiva da Matemática. (1997, p.75-94)

Com relação, a utilização da história como motivação, os defensores deste

argumento acreditam que a história desperta o interesse do aluno pelo conteúdo

ensinado, apesar de que a maioria dos professores de história não tem a mesma

visão, pois sentem muitas dificuldades ao resgatar a importância dos fatos históricos

para seus alunos. Segundo MIGUEL: "Um argumento mais especializado contra esse

suposto potencial motivador da história pode ser buscado no terreno da psicologia,

particularmente em uma de suas áreas específicas que tem por objetivo de estudo a

motivação." (1997, p.76)

Os matemáticos que defendem a busca de métodos pedagógicos adequados

na história da matemática acreditam que tais métodos podem auxiliar na abordagem

de alguns conteúdos, como por exemplo, a resolução de equações, de sistema de

equações, determinação da área de um círculo, etc. Pois, segundo MIGUEL, "o ponto

de vista de que a história constitui uma fonte de métodos adequados para a

abordagem pedagógica de certos campos ou tópicos matemáticos já era defendido

pelo menos desde o século XVIII." (1997, p.78)

No argumento em que é defendida a colocação de problemas históricos,

acredita-se que revendo a maneira de como eles eram resolvidos, pode-se despertar

o interesse do aluno através das diferentes soluções apresentadas no passado. E

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que, para SWETZ (1989) apud MIGUEL, os problemas históricos são motivadores

pelos seguintes fatos:

1) Possibilitam o esclarecimento e o reforço de muitos conceitos queestão sendo ensinados;

2) Constituem-se em veículos de informação cultural e sociológica;refletem as preocupações práticas ou teóricas das diferentesculturas em diferentes momentos históricos;

3) Constituem-se em meio de aferimento da habilidade matemática denossos antepassados;

4) Permitem mostrar a existência de uma analogia ou continuidadeentre os conceitos e processos matemáticos do passado e dopresente. (1997, p.81-82)

Com relação ao argumento, onde os matemáticos defendem a história como

um instrumento para promover a aprendizagem significativa e compreensiva da

matemática, MIGUEL cita que ZÚNIGA (1988 p.34) defende este ponto de vista nos

seguintes termos:

a participação da história dos conteúdos matemáticos com recurso didático não só servecomo elemento de motivação, mas também como fator de melhor esclarecimento do sentidodos conceitos e das teorias estudadas. Não se trata de fazer uma referência histórica deduas linhas ao iniciar um capítulo, mas de realmente usar a ordem histórica da construçãomatemática para facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução teórica. Isso écentral. Os conceitos e noções da matemática tiveram uma ordem de construção histórica.Esse decurso concreto põe em evidência os obstáculos que surgiram em sua edificação ecompreensão. Ao recriar teoricamente esse processo (obviamente adaptado ao estado atualdo conhecimento) é possível revelar seu sentido e seus limites. A história deveria servir,então, como instrumento mais adequado para a estru-turação do delineamento mesmo daexposição dos conceitos(. ..) Com isso não se quer dizer que se deve reproduzirmecanicamente a ordem de aparição histórica dos conceitos matemáticos; sem dúvida,todas as ciências possuem certa lógica inter-na que se dá a partir de sínteses teóricasimportantes e que se deve assimilar no ensino-aprendizagem. Só se coloca a necessidadede buscar o equilíbrio verdadeiramente dialético entre essa lógica interna e a história de suaevolução conceptual, enfatizando a importância do segundo. (1997, p.90-91 )

Os matemáticos constituem a este argumento a construção do conhecimento

do aluno através da história, facilitando assim a compreensão dos conteúdos

matemáticos.

Pensando nestas evidências, este trabalho será iniciado com os fatos que

levaram o homem a descobrir a Equação do 2° Grau, mas antes de abordarmos

-

7

,-- sobre a história da Equação, veremos no texto a seguir, um relato citado por

FRAGOSO sobre um aluno da 88 série, de uma determinada escola e que fez as

seguintes perguntas a seu professor de Matemática:

Como surgiu a Equação do 2° Grau?Como descobriram a fórmula de Bháskara?

Obteve como resposta:Sinceramente eu não sei, mas no 2° Grau você obterá a resposta que

deseja.No ano posterior, já na 1a série do 2° Grau, todo entusiasmado,

novamente as perguntas foram feitas ao seu novo professor de Matemática, ea resposta obtida foi:

Não sei! Mas se você continuar seus estudos em Matemática comcerteza encontrará as respostas que deseja, caso contrário, isto não terá amínima importância, além do que, não é matéria de prova.

Depois de ter concluído o 2° Grau, resolveu prestar exames para ocurso de Matemática e, por obra do destino, e de seus esforços, ingressou nocurso de Licenciatura; assim que teve contato com alguns professores fez asperguntas que o acompanham a tantos anos obtendo a devastadora resposta:

Você deveria ter aprendido isso lá no primeiro grau! (2000, p.57)

Analisando este texto, percebe-se que o mesmo talvez contenha um pouco

de exagero, mas será que todos os professores de Matemática iriam conseguir

responder as perguntas feitas por esse aluno?

Então, pensando neste texto, e mais ainda, tentando sanar algumas dúvidas

que muitos possam ter, será feita uma abordagem histórica sobre a Equação do

segundo grau.

1.1 - ALGUNS FATOS HISTÓRICOS IMPORTANTES DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU

Segundo alguns historiadores, como BOYER(1974), GARBI(1997) e EVES

(1997), há aproximadamente 4000 anos, na antiga Babilônia, os aprendizes de

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escriba freqüentavam as escolas do amanhecer ao por do sol, e durante 10 anos

aprendiam a escrever cerca de 700 sinais e a efetuar cálculos matemáticos, pois

nessa época já havia um grande interesse pela Matemática.

Cabia aos escribas o ensino dessa disciplina e a seus aprendizes resolver

quebra-cabeças e participar de competições públicas.

Resolviam também problemas envolvendo cálculos que eram escritos em

forma de textos e suas resoluções eram feitas através de tentativas. Hoje em dia nós

conhecemos esses problemas como a Equação do 2° Grau.

Ao longo dos séculos foram se aperfeiçoando as escritas da Equação do 2°

Grau, bem como, foram aparecendo vários métodos para sua resolução.

Mas vejamos como isso aconteceu desde o Egito antigo, até chegarmos nos

dias atuais.

Com relação ao Egito, os pesquisadores e historiadores matemáticos não

encontraram registros do tratamento da Equação Polinomial do 2° Grau, mas

acredita-se que essa civilização desenvolveu alguma técnica de resolução, pois foi

encontrada no papiro de Kahun 1, a resolução pelo método da falsa posição da

Equação do 2° Grau da forma x?- + l = k, sendo k um número positivo. Segundo

EVES, um dos problemas encontrado em Kahum, por volta de 1950 a.C. é o seguinte:

"Uma dada superfície de 100 unidades de área deve ser representada como a soma de doisquadrados cujos lados estão entre si como 1:3/4". Nesse caso temos x? + l = 100 e x =3y/4. A eliminação de x fornece uma equação quadrática em y. Podemos, porém, resolver oproblema por falsa posição. Para isso tomemos y = 4. Então x = 3 e x2 + l = 25 em vez de100 Por conseguinte devemos fazer a correção de x e y dobrando os valores iniciais, o quedáx=6ey=8 (1997, p.74)

Essa regra da falsa posição consistia em dar um valor falso para y, como

nesse exemplo foi dado o 4 e encontrou-se o valor de x. Mas como a soma do

quadrado de x mais o quadrado de y (32 + 42) é igual a 25, e não 100, precisa-se

dobrar esses valores para obter o resultado de 100 unidades de área. Portanto os

valores de x e y só podem ser 6 e 8.

I Kahun: Segundo EVES é um documento matemático do antigo Egito, que continha problemas. Esse material erafeito de um junco aquático chamado papu. Os talos desse junco eram cortados em longas e delgadas tiras que eramcolocadas lado a lado para formar uma folha. Outra camada de tiras era colocada por cima e a peça era entãoembebida em água, após o que era imprensada e posta a secar ao sol. É provável que devido a uma goma naturalda planta as camadas mantivessem-se unidas. Após a secagem as folhas eram preparadas para a escrita medianteum laborioso processo de alisamento feito com um objeto redondo e rígido. (1997, p.38)

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Na Mesopotâmia, o primeiro registro foi encontrado em uma tábula de argila,

realizada por um escriba, aproximadamente em 1700 a.C., embora a forma e a

resolução retóricas, eram consideradas como uma "receita matemática". Um exemplo

de problema citado por BOYER é o seguinte: "Pede o lado de um quadrado se a área

menos o iado dá 14,30. A solução desse problema, equivalente a resolver x? - x =

870 é expressa assim: Tome a metade de 1, que é 0:30, e multiplique 0,30 por 0;30 o

que dá 0;15; some isto a 14,30, o que dá 14,30;15. Isto é o quadrado de 29;30. Agora

somo 0;30 a 29;30 e o resultado é 30, o lado do quadrado." (1974, p.23)

Segundo FRAGOSO, para resolvermos x?- - x = 870 procede-se da seguinte

maneira: "Receita: Tome a metade de um (coeficiente de x), que é 0,5, e multiplique

0,5 por ele mesmo, o que dá 0,25. Some o resultado a 870 (termo independente), o

que dá 870,25. Isto é, na verdade o quadrado de 29,5 que, somado à metade de um,

vai dar o lado do quadrado, que é igual a 30" (2000, p.58).

Com relação à Grécia acredita-se que a dificuldade com o tratamento dos

números racionais e irracionais, a falta de praticidade do sistema de numeração

grego, que era literal e o gosto natural pela Geometria, levaram essa civilização a

resolver problemas matemáticos geometricamente, mas com apenas uma raiz

positiva. Pois segundo GARBI, "O domínio que os gregos tiveram sobre a Geometria

permitiu-Ihes resolver alguns tipos de equações do segundo grau apenas com régua

e compasso". (1997, p.20)

Uma das equações utilizadas era x?- - ax + b2 = O, onde FRAGOSO cita

EVES (1995, p.111) que para esse tipo de equação a resolução obedecia ao seguinte

procedimento:

Traçamos o segmento AS = a, por P ponto médio de AS, levantamos o segmentoperpendicular PE = b(raiz quadrada de b2

) e, com centro em E e raio PS, traçamos um arcode circunferência que intercepte AS no ponto Q. A raiz desejada será dada pelo valor dosegmento AQ.

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E

EQ = PS

P...:f---a/2 ~ a ----'-----l.~:,,:.••••• x ~;

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10

A raiz positiva encontrada pelos gregos por meio desse processo seria X1 = AQ. Atualmente,sabemos que, o segmento QB fornece o valor da outra raiz, ou seja X2 = QB. (2000, p.58)

A matemática na índia teve grande ênfase, pois foi dentre os hindus, que

destacaram-se grandes personagens, os quais serão citados no decorrer deste

trabalho. Esses personagens talvez tenham se sobressaído porque desde a índia

Antiga havia um passatempo matemático entre os hindus muito popular que era a

solução de quebra-cabeças em competições públicas, onde um competidor propunha

problemas para o outro resolver.

Esses problemas eram em forma de um texto básico, chamado sutra, o qual

o professor repetia várias vezes, até que os alunos decorassem. Esses sutras eram

constituídos de ditos populares, feitos em forma de versos parecidos com este em

que GUELLI relata:

Alegravam-se os macacosDivididos em dois bandos:Sua oitava parte ao quadradoNo bosque brincava.

Com alegres gritos, dozeGritando no campo estão.Sabes quantos macacos háNa manada total?

Hoje, podemos traduzir este quebra cabeça para o idioma da Álgebra,a equação. Pois:

Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: xSua oitava parte ao quadrado no bosque brincava: (xIB)2Com alegres gritos, doze gritando no campo estão 72

Sabes quantos macacos há na manada total? x = (xIB! + 72

Desenvolvendo a equação temos:

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x+ 72x= 64

64x = x2 + 64. 72

64x = x' + 768

x' - 64x + 768 = O (1992, p.7-8)

r

Equações como essas representadas por palavras, embora não usassem

números e fórmulas eram resolvidas por muitos matemáticos hindus.

Embora os árabes, junto com outros povos, tenham sido responsáveis pela

destruição do conhecimento ocidental devido ao incêndio do Museu de Alexandria em

641 d.e., também foram responsáveis pela preservação devido a históricos califas,

pois estes foram responsáveis pela tradução de importantes escritos científicos. Entre

eles destaca-se "O Almagesto" de Ptolomeu e "Os Elementos" de Euclides.

"Os Elementos" é uma obra composta por treze livros, sendo dois deles

dedicados à Álgebra. Porém essa álgebra euclidiana era diferente da que usamos

hoje, pois nela Euclides representava quantidades desconhecidas por segmentos de

retas, quadrados, retângulos e figuras geométricas em geral.

Ao longo dos séculos foram se aperfeiçoando as escritas da Equação do 2°

Grau, bem como foram aparecendo vários métodos para sua resolução, e a invenção

do zero na índia no século VI trouxe um enorme avanço para a matemática. Pois

enquanto o zero ainda não era conhecido, as Equações do 2° Grau tinham somente

uma resposta. Em Bagdá, no século IX, foi fundado um centro científico parecido com

o Museu de Alexandria, onde apareceram vários matemáticos e entre eles destacou-

se Mohamed ibu-Musa AI-Khowârizmí' que toma conhecimento dos avanços

conseguidos na índia, e estabelece um processo para resolver problemas das

Equações do 2° Grau.

Escreve um livro sobre a arte hindu de calcular explicando como eram feitos

os cálculos com aqueles "dez cálculos maravilhosos" (os algarismos), pois GARBI

cita que: "AI-Khowârizmi escrevia com grande preocupação em tornar-se

compreensível por seus leitores. Procurando simplificar a simbologia, trouxe da índia

o sistema de numeração decimal utilizado até hoje, cujos elementos fundamentais

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são os algarismos de zero a nove e seu valor em função da posição ocupada no

número". (1997, p.22)

A partir daí, o zero incorporou-se definitivamente no mundo da matemática,

e a forma de calcular dos homens sofreu uma radical transformação.

1.1.1 - O Surgimento do Zero

Conforme os historiadores, BOYER e EVES os números surgiram da

necessidade dos homens de registrar as contagens, feitas através das comparações.

Segundo matemáticos como BONGIOVANNI, VISSOTO e LAUREANO:

Para saber, por exemplo, se o seu rebanho tinha aumentadoou diminuído,os homensprimitivosprocediamassim: pela manhã,quandosuasovelhas iam pastar,separavamumapedrinhapara cada ovelha. A tarde, procediamda forma inversa, retirandodo monte umapedrinha para cada ovelha que recolhiam. Sobrando pedras, faltavam ovelhas. Nãosobrando, ficava estabelecida uma correspondênciaum a um entre as ovelhas e aspedras.(1997, p.9)

Com o passar dos tempos houve a necessidade de se agrupar as ovelhas

em conjuntos para comparar com as pedras, e esse agrupamento deu origem ao

sistema de numeração. Os números começaram então a ser representados por

símbolos. E essa simbologia estava adaptada as diversas nações, mas ainda não era

suficiente para poder representar as quantias que surgiam, pois a cada mudança de

valores teria que ser inventado um novo símbolo.

Foi então que se fez necessário o surgimento de um símbolo que

representasse a mudança de base e alterasse o valor posicional dos números. Algo

que pudesse representar uma casa vazia, pois segundo BOYER: "os nove símbolos

numéricos já estavam em uso havia algum tempo ... em notação decimal posicional"

(1974,p.155), mas não havia uma representação para o zero.

Segundo VOMERO, esse sistema posicional facilitou os cálculos babilônios,

porém havia números que apresentavam uma posição vazia, como por exemplo, o

401, pois depois do 4, não existe número na casa das dezenas, e se essa ausência

não fosse indicada com o zero, o número 401 se tornaria 41. Sem a existência do

zero os babilônios deixavam um espaço vazio para separar os números, com isso

indicavam que naquela coluna não havia nenhum algarismo, portanto o número 401

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ficaria representado 4_1. Segundo UBIRATAN apud VOMERO: "Os babilônios

tentaram representar graficamente o nada mostrando o abstrato de uma forma

concreta." (2001, p.57)

Com relação aos hindus, esses contavam inicialmente através de sulcos/

feitos na areia, onde eram colocadas pedras para representar as quantias. Segundo

SILVA:

Cada sulco representava uma ordem. Assim, o primeiro, as unidades;

o segundo as dezenas; o terceiro as centenas ...etc.

Cada pedrinha colocada num sulco corresponde à unidade de ordem

do sulco. Assim, uma pedrinha no segundo sulco vale uma unidade de

segunda ordem, ou seja, dez unidades simples.

CENTENA DEZENA UNIDADE

pedras

sulcos feitos na areia

ÁBACO NA AREIA

Então, no ábaco desenhado na figura anterior temos o número 23, ou

seja, 2 dezenas mais 3 unidades.

No ábaco a seguir temos um número 301, que é igual a 3 centenas mais uma

unidade.

2 Sulcos, segundo o dicionário Aurélio, é ruga, prega. (1986, p. 1627) (buraco feito na areia)

14

REPRESENTANDO O N° 301 NO ÁBACO

3 o 1

Observe-se que o sulco vazio do ábaco foi representado pelo símboloO (zero). E foi exatamente este o procedimento dos hindus. Para representar acoluna vazia do ábaco, eles introduziram um símbolo, que chamaram deSunya3.(1969, p.21)

Portanto, segundo esses historiadores, foi dessa maneira que surgiram as

primeiras representações para o zero.

A invenção do zero encontrou uma certa resistência segundo VOMERO, pois

tornaria os cálculos simplificados e naquela época não havia interesse em popularizar

a matemática, pois "os matemáticos da época achavam que popularizar o cálculo era

o mesmo que jogar pérolas aos porcos, e isso causaria uma revolução." (2001, p.57)

Hoje em dia o zero faz parte da nossa vida, e embora ele não signifique

nada, quando está à esquerda do algarismo, já à direita muda totalmente o valor de

um número. Por isso ouvimos muitas vezes a expressão: "zero à esquerda" para

desmerecer alguma coisa ou alguém, mas com certeza essa mesma pessoa gostaria

de obter alguns zeros à direita no seu salário.

3 Segundo EVES: "a palavra zero provavelmente provém da forma latinizada zephirum derivada de sifr que é umatradução para o árabe sunya, que em hindu significa "vazio" ou "vácuo". "(1997, p. 41)

15

1.1.2 - O Zero na Equação do 2° Grau

Com o surgimento do zero, a matemática teve um enorme avanço, pois

algumas equações como esta: x? = 2x, passaram a ser calculadas corretamente,

mesmo sendo expressas através de palavras, e segundo GUELLI, era resolvida da

seguinte maneira:

Primeiro os matemáticos subtraiam 2x dos dois membros da equação:x=- 2x = 2x -2xx 2_ 2X = O

Depois fatoravam a expressão do primeiro membro:x.(x-2) = O

Se o produto de dois números é zero, então um dos fatores é igual azero, ou os dois simultaneamente são iguais a zero:

x=O x-2 =0 x=2

Logo a resposta é O ou 2.Esses dois tipos de equação do 2° Grau eram facilmente resolvidas

pelos matemáticos de todo o mundo, através de duas propriedades dosnumeras:

1°)A operação inversa da potenciaçâo é a radicioção;2°) Se bc = O então b = O ou c = O (1992, p.15)

Os anos foram passando e as tentativas para as resoluções das equações

foram continuando. Em 1303 na China, o matemático Chus Shih-chieh, apresentou

uma técnica especial para a resolução da Equação do 2° Grau, a qual era

solucionada através de aproximações sucessivas, foi denominada como método fan-

fan ou fan-fa e também apresentava uma única raiz positiva com o valor aproximado.

Segundo FRAGOSO, o método fan-fa consistia no seguinte:

Ao solucionarem a equação da forma x2 + 252x - 5292 = O,procediamda seguinte maneira:

16

x2 + 252x = 5292

x,= 79 + x" solução aproximada"(79 = x Y + 252 (79 + x) = 5292

"substituíam o valor de x, da incógnita x da equação original"367 + 38x + x2 + 4788 + 252x = 5292

x2 + 290x = 743

x'=79+ 1431+290

xl=79149"Repetiam o cálculo até que aparecesse (fan-fan) um número cujo

valor não se modificasse (convergência). Sendo esse número a soluçãodesejada."

x2= 79149 + x

x2 + 252x = 5292

(79149 +xY + 252 (79149 + x) = 5292

x2 + 290198x = 0166

x = 79 49 + 0,662 1 1+ 290,98

<: 79149(valor convergente)x e o valor, aproximado, de uma das raizes' da referida equação.

2

(2000,p.59)

o matemático inglês Willian George Horner, em 1819 rebatizou o método

fan-fan como método de Homer, que segundo FRAGOSO: Una realidade é um grande

equívoco, mas que é aceito por muitos matemáticos de nossos dias." (2000, p.59)

Mesmo com muitos métodos para a resolução das equações formadas por

três termos (3~ + 15x + 24 = O), ou seja, as equações completas do 2° grau, os

matemáticos ainda sentiam muitas dificuldades para solucioná-Ias, foi aí que surgiu a

primeira fórmula resolutiva para esses tipos de equações.

4 Segundo FRAGOSO a denominação raiz foi feita pelos árabes para designar a solução de uma equação.(2000,p.59)

17

1.2 - A PRIMEIRA FÓRMULA RESOLUTIVA DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU

Os escribas da Babilônia, depois de muitos estudos, resolviam muitas

equações do 2° Grau que podiam ser expressos na forma: x?- - bx = c, e segundo

GUELLI, a resolução vinha sempre gravada na tabuleta, seguindo esta fórmula:

x ~ ~(~ J+ c + ~ ,obtida do seguinte modo:

x> - bx + (~J~c + (~J( b)2 2

X-2 =c+ (~)

x-~~FW'x = ~(~)' +c + ~

(1992, p.20)

Portanto, segundo GUELLI era esta a fórmula que os escribas se apoiavam

para resolver problemas, como este: "Qual é o lado de um terreno quadrado, se a

área menos o lado é 12".(1992, p.20)

As tentativas para se chegar a uma resolução correta das Equações do 2°

Grau continuaram, e segundo BOYER, al-Khowarizimi escreve seu mais importante

livro AI - jabr Wa'l muqabalah, pois nesse livro existe uma solução para essas

equações, embora sejam realizadas somente com o uso de palavras e sem nenhum

símbolo. (1974, p.166-167)

Segundo GARBI, o nome Álgebra originou-se da palavra AL-Jabr, significa

restauração e se refere a passagem de um termo para o outro lado da equação.

Exemplo: x - 3 = 6, passa a x = 9, significando uma "restauração" de x - 3 de

modo a tornar completa a incógnita x .(1997, p.22)

Para resolver as Equações do 2° Grau, conforme GUELLI, como al-

Khowarizimi não utilizava símbolos em seu livro, ele procedia da seguinte maneira:

----

18

- Ao invés de x', ele escrevia quadrado;No lugar de x, colocava raizes;E por números, entendia os coeficientes das variáveis e os termosindependentes. (1992, p.28)

Segundo GUELLI, no AI-Jabr, al-Khowârizmi separou e classificou as

Equações do 2° Grau em vários tipos:

QUADRADOS IGUAIS A RAíZES X!= 5x

QUADRADOS E NUMEROS IGUAIS AS RAIZES X! + 21 = 10XRAIZES E NÚMEROS IGUAIS A QUADRADOS 3X + 4 = X!

QUADRADOS E RAíZES IGUAIS A NÚMEROS X! + 10X = 39

(1992, p.29)

Mesmo depois de resolver e explicar algumas Equações do 2° Grau, al-

Khowarizmi buscou na geometria, a resposta x = 3, para a equação x2 + 10x = 39.

A representação geométrica para essa equação, segundo GUELLI, foi a

seguinte:

* Primeiro ele desenhou um quadrado, cuja área representa o termo

x

x

* O termo 10x é interpretado como a área de um retângulo de lados10 e x.

10x

19

* AI - Khowarizmi dividiu esse retângulo em quatro retângulos de áreaiguais entre si.

2,52,52,52,5

x

* Aplicou cada um desses novos retângulos sobre os lados doquadrado de área x'.

2,5x

2,5x 2,5x

2,5x

~ Área da figura formada =

= x2 + 4 . 2,5x =

= x2 + 10x~ A equação do 2° grau é x2 + 10x = 39, ou seja, a área

dessa figura é igual a 39.Depois "completou o quadrado".

2,52,5

2,52,5

2,52,5

2,52,5

r'

r'

r'

r'

r'

r'

~

r'

rrr>

r'

r'

r'

r'

r'

r

rrr-

--

20

* A área desse quadrado é igual a:

39 + 4 . (2,5 . 2,5) == 39 + 4 . 6,25 == 39 + 25 = 64

* O lado do quadrado é dado por:

.J64 = 8

• E finalmente al= Khowarizmi deduziu a raiz da equação:

2,5 + x + 2,5 = 8x+ 5 = 8x = 8 - 5

x=3(1992, p.31)

AI-Khowârizmi resolvia sempre as equações completando o quadrado

perfeito. Mas, segundo GUELLI: " AI-khowarizmi não conhecia os números negativos.

Por isso, seus métodos determinavam somente as raízes positivas e o zero". (1992,

p.29)

As buscas atrás de uma fórmula resolutiva para a Equação do 2° Grau foram

continuando, segundo BOYER no século XII, o matemático hindu Bhaskara Akaria,

nascido em 1114, escreve sua obra mais importante o livro Lilavati (nome de sua

filha) seguido de outro livro Vija - Ganita, neles Bhaskara resolve muitos problemas

de Equação do 2° Grau. (1974, p.161-162)

Segundo GUELLI, um dos problemas de Bhaskara encontrado no livro Vija-

Ganita é o seguinte:

Um capital de 700 foi emprestado a uma certa taxa de juro ao ano. O

juro obtido após um ano foi aplicado durante mais um ano. Se o juro total éde 75, qual é a taxa de juro?

21

A resolução apresentada:

*/niciaImente:

Capital = 100

Taxa de juro = x%

*Após um ano:

Capital = 100 + 100. ~=100+x100Juro obtido = x

* Após mais um ano

X x2

Juro total = x + x. -= x+-100 100

* Como o juro total é 75, tem-se:

x2

X + -=75100100x + x2 = 7500

A resposta do problema é a raiz positiva da equação:

x2 + 100x - 7500 = O

(1992, p.35)

Quanto a Bhaskara e outros matemáticos hindus, segundo GUELLI, a regra

formulada para a resolução desse tipo de equação, é a seguinte: "Calcule a metade

do capital ao quadrado, acrescente-a ao produto do juro total pelo capital, extraia a

raiz quadrada e logo diminua a metade do capital".r-

Esta regra pode ser traduzida através da fórmula:

a

(1992, p.36)

22

Mesmo com toda dedicação e talento de Bhaskara, não foi possível deixar

um processo (fórmula) para resoluções da Equação do 2° grau. Esse passo decisivo

não foi dado por um matemático, mas por um jurista, advogado francês, François

Viéte (1540-1603).

Viéte manifestou seus primeiros passos para a criação da Álgebra puramente

simbólica, pois segundo GUELLI: "Decifrar códigos era para Viéte o mesmo que

resolver equações".(1992, p.39)

Pensando na melhor maneira de decifrar esses códigos, Viéte elaborou o

mais genial sistema de símbolos da matemática, no qual, segundo GUELLI, seu

primeiro passo foi representar a incógnita de uma equação através de uma vogal, e

também passou a abreviar algumas palavras:

p Significava mais

m Significava menosO traço sobre a letra é para mostrar, que ela estava sendo utilizada

como um símbolo matemático.As equações passam então a ser expressas por meio de alguns

símbolos:Exemplo:x+9= 12

A p 9 é igual a 12

x2- Sx + 6 = O

A área m AS p 6 é igual a O

Os matemáticos daquela época foram então buscar outros símbolos

para substituir p em.

p Passou a ser representado por +

m Passou a ser representado por -

23

A partir daí, estes dois sinais entraram definitivamente para aMatemática.

Exemplo:

x + 9 = 12

A + 9 é igual a 12

X! - Sx + 6 = O

A área - AS + 6 é igual a O

vlête também representou a palavra vezes pela abreviação in.Portanto vlête ficou conhecido como "O Pai da Álgebra", através de

uma idéia aparentemente simples, pois passou a representar as incógnitas deuma equação por vogais e os coeficientes literais das incógnitas porconsoantes.

Exemplo:ax + b = O

B in A + C é igual a O

ax' + bx + c = O

B in A área + C in A + O é igual a O.

A equação B in A área + C in A + O é igual a O, tem um significadomuito importante, porque foi a primeira vez que um matemático conseguiuexpressar as equações do 2° grau por meio de uma fórmula geral. (1992, p.39-

40)

Não apenas VIETE se apoiou nos matemáticos da antiguidade, como

também os matemáticos posteriores se apoiaram nele. Sendo assim as palavras que

eram escritas por extenso foram sendo substituídas por símbolos.

Um deles, segundo BOYER, foi o inglês RECORDE (1510-1558) que

escreveu: "Porei, como muitas vezes uso no trabalho, um par de retas gêmeas de

mesmo comprimento assim: --, porque duas coisas não podem ser mais iguais."

(1974, p.197).

24

Segundo GUELLI, este sinal foi usado por outro matemático inglês,

HARRIOT (1560-1621), pois foi ele que introduziu o sinal de igualdade, ( = ). E

também adotou uma nova notação para as potências das incógnitas.

A área ~ AA

Exemplo:

x2- 2x = O

AA -A2 = O

x2- Sx + 6 = O

AA -AS + 6 = O

Ax2 + bx + c = O

Bin AA + C in A + O = O

Nessa mesma época o matemático e filósofo francês DESCARTES, (1596-

1650) aperfeiçoou os símbolos criados por Viéte da seguinte maneira:

* Usou o expoente 2 para indicar A área;

* Substituiu In pelo sinal x, depois. ;

Passou a representar as incógnitas de uma equação pelas últimasletras do alfabeto: x,y,z: e os coeficientes literais das incógnitas pelasprimeiras letras: a.b,c. (1992, p.40)

Depois que Viéte expressou uma Equação do 2° Grau por meio da fórmula

geral: B in Área + C in A + D é igual a zero, os matemáticos foram descobrindo outras

propriedades nas equações. Portanto não foi uma única pessoa, nem um único povo

que inventou a fórmula da Equação do 2° Grau.

Por volta do século XVI, após trabalhar em várias propriedades das

equações, matemáticos de muitas regiões do velho Mundo, quase simultaneamente,

acabaram deduzindo uma única fórmula, a qual tornou possível a resolução de

qualquer Equação do 2° Grau.

25

A fórmula descoberta foi x = - b ± .Jb2

- 4ac ,e teve o nome de fórmula de2a

Bhaskara, porque Bhaskara era capaz de resolver equações de 2° grau sem se

prender à figuras. Esta fórmula é amplamente conhecida, segundo GARBI "...seu

encontro fundamentou-se na idéia de buscar uma forma de reduzir o grau da

Equação do 2° Grau para o primeiro, através da extração de raízes quadradas."

(1997, p.23)

Após a descoberta, outros matemáticos desenvolveram várias maneiras para

a representação da Equação do 2° Grau, e entre eles destaca-se DESCARTES, o

qual desenvolveu um método geométrico para obtenção da solução positiva.

Segundo BOYER, "Descartes ia mais longe em sua álgebra simbólica, e na

interpretação geométrica da álgebra, do que qualquer de seus predecessores". (1974,

p.247)

Por esse motivo solucionava geometricamente equações do tipo:

x?- - bx - c2 = 0, com b e c positivos, e segundo FRAGOSO, procedeu da

seguinte forma:

Traçamos um segmento LM de comprimento c e em L levantamos um segmento NL igual a

b/2, perpendicular a LM . Com centro N construímos um círculo de raio b/2 e traçamos a reta

por M e N que cortará o círculo em O e P. Então, X1 = OM é o segmento desejado.

x-----~~ M

Desta forma as raízes são: X1 = OM e Xz = - PM10 (2000, p.60)

26

Também segundo FRAGOSO, o inglês LESLlE e o alemão STAUDT, no

século XVIII, através de eixos cartesianos e de uma circunferência, conseguiram

soluções positivas e negativas da Equação do 2° Grau. (2000, p.60)

Hoje em dia a Equação do 2° Grau é muito popular e milhões de pessoas a

conhecem. Ainda que ela não apareça na TV, está nos livros de Álgebra de muitos

países, inclusive no Brasil, e mesmo que essas equações sejam explicadas de forma

diversificada, ou seja, de acordo com cada autor e cada época, elas fazem parte do

conteúdo disciplinar das oitavas séries.

27

CAPíTULO 11

OS LIVROS DIDÁTICOS NO CONTEXTO DA SALA DE AULA

Há muitos anos vêm se utilizando o livro didático como principal material

didático para se trabalhar não só conteúdos matemáticos como também outros

conteúdos na sala de aula, embora o mesmo tenha sofrido críticas por alguns,

chegando ao ponto, até de uma proposta de extinção. Mas mesmo assim ele continua

sendo, segundo PRADO, "um importante instrumento de trabalho e certamente

permanecerá nessa condição por muito tempo". (2001, p.15)

O livro didático deve conter informações e conceitos apropriados a propostas

curriculares, devendo ser correto e vinculado a ponto de vista das áreas de

conhecimento, e das diferentes propostas curriculares estaduais e municipais em

vigor. E para que haja um bom aproveitamento por parte dos alunos, o mesmo deve

ser utilizado como material de apoio, não se tornando o único recurso dispon ivel.

Normalmente cada autor tem uma forma diferente para tratar os conteúdos,

uns são simples e diretos, outros já se prolongam um pouco, pois segundo PRADO

"cada autor propõe uma abordagem específica, sugere recortes, exemplos, exercícios

e métodos diferentes de transformar conhecimento em pílulas digeríveis para os

estudantes." (2001, p.15)

Cabe ao professor procurar ir além dos conteúdos que o livro traz, pois

muitas vezes podem existir temas importantes não abordados naquele escolhido.

2.1 -APRESENTAÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU EM LIVROS DIDÁTICOS

A Equação do 2° Grau, como já vimos no capítulo anterior, surgiu há milhares

de anos, e a sua resolução sofreu várias modificações para chegar na forma de

resolução que conhecemos atualmente.

Este conteúdo vem sendo apresentado nos livros didáticos da 8a série,

normalmente de forma sistematizada, não existe a preocupação com a construção

da linguagem algébrica, e poucos autores trazem fatos históricos, e quando o fazemr

28

preocupam-se apenas com relatos bibliográficos, esquecendo-se da história como

um todo, não havendo uma articulação com o meio social e cultural da época, para

que tenhamos instrumentos de análise do contexto onde vivemos em relação ao

conteúdo de Equação do 20 Grau.

2.1.1 - Análise Bibliográfica de Livros que Desenvolvem o Tópico de Equação do 2°

Grau

o aspecto metodológico difere na apresentação dos conteúdos nos livrosdidáticos, e isto influencia cada autor na forma de propor esses conteúdos. Devido a

isto foram selecionados alguns livros destacando as décadas de 1950 a 1990 por

considerarmos um período relevante em fatos históricos na Educação que

caracterizaram a eminência de concepções de ensino marcantes para a

compreensão das reflexões feitas na Educação Matemática.

Uma síntese desses momentos históricos, pode ser identificado nodocumento de Fiorentini. (Anexo 1)

Da década de 50 foram analisados três livros escolhidos aleatoriamente,

assim como os demais livros, seguindo uma ordem cronológica da década de 1950 a

1990, conforme supra citado.

O primeiro livro analisado foi o Curso de Álgebra, cujo autor é o Coronel

Sinésio de Farias no ano de 1954, editora Globo- RJ, contendo 1065 páginas.

Esse livro era para o uso dos candidatos à Escola Militar e à Escola de

Aeronáutica. Apresenta a Equação do 2° Grau no capítulo XV, citando as equações

completas, depois as incompletas resolvendo separadamente cada uma delas.

Nas equações incompletas, o autor relata primeiro as formas que elas podem,.-

se apresentar, depois as separa, discutindo suas resoluções, passo a passo.

Na resolução das equações completas apresenta a fórmula como método de

Bhaskara, deduzindo-a. Em seguida o método dos árabes, dizendo que este métodorepresenta apenas uma variante do método de Bhaskara e por último o método de

Viéte que consiste em transformar a equação completa numa equação incompleta

desprovida do 20 termo, mediante a substituição da incógnita por uma outra auxiliar,

ligada a uma constante arbitrária da qual se dispõe para anular o coeficiente do termo

29

do primeiro grau na transformada. Também é apresentada uma observação sobre a

fórmula geral explicando cada coeficiente, depois a aplicação de todas as fórmulas

com exemplos. Após é feita uma discussão da fórmula colocando as seguintes

hipóteses:

18- Quando C<O, pois segundo FARIAS:"o discriminante fica sendo uma

soma aritmética b2 + 4ac e, conseqüentemente é sempre positivo, portanto sua raiz

quadrada é um número real." (1954, p. 444)

28- Quando C>O, segundo FARIAS "o termo conhecido da equação é

positivo. O discriminante fica sendo uma diferença aritmética b2 - 4ac, portanto pode

ser positivo, nulo ou negativo." (1954, p.445)

Nesta hipótese o autor coloca alguns casos especiais, tais como:

• O termo conhecido da equação é nulo;

• O coeficiente do segundo termo da equação é nulo;

• A equação só tem um termo.

Em seguida apresenta um quadro de discussão da fórmula de Bhaskara,

colocando a propriedade das raízes e as aplicações dessas propriedades, com quatro

maneiras distintas de aplicações, as quais são:

• Dadas às raízes de uma equação do 2° grau, formar a equação;

• Achar dois números conhecendo sua soma e seu produto;

• Reconhecer os sinais das raízes da equação do 2° grau, sem resolvê-Ia;

• Dedução da fórmula de resolução da equação geral do 2° Grau.

Após essas maneiras distintas, determina as seguintes funções das raízes:

• Diferença das raízes;

• Soma de potências semelhantes das raízes;

• Soma dos inversos das potências semelhantes das raízes;

• Funções simétricas das raízes.

Antes de encerrar o capítulo o autor cita problemas em que as raízes da

Equação do 2° Grau são sujeitas às condições dadas, e encerra o conteúdo

colocando as equações de raízes comuns em dois problemas: com duas equações

30

com uma raiz comum e com duas raízes comuns. Coloca também a composição da

Equação do 2° Grau e o método das aproximações sucessivas encerrando comproblemas.

Outro livro analisado desta década foi o Curso de Matemática de 1957, cujo

autor é Algacyr Munhoz Maeder, das Edições Melhoramentos - SP, com 233

páginas.

Esse livro traz a Equação do 2° Grau como primeiro assunto, dando uma

definição da equação e depois a resolução das equações incompletas. Nas equações

completas ele cita que elas podem ser resolvidas por vários métodos distintos, mas

devido ao curso será introduzida a dedução da fórmula somente pelo método dos

árabes, pois a fórmula encontrada será a mesma de Bhaskara. Em seguida apresenta

as aplicações da fórmula com dois exemplos, as fórmulas simplificadas com

exemplos e uma lista com 30 exercícios sobre equações. Após o autor mostra a

existência das raízes no campo real e a discussão dessas raízes. Continuando com

um resumo dessas discussões, as relações entre os coeficientes e as raízes, sinal

das raízes, composição da equação dada as raízes. Para encerrar o capítulo

apresenta uma aplicação, exemplificando como encontrar a equação sendo dada a

soma e o produto das raízes, encerrando com uma lista de 20 exercícios onde ele

coloca as raízes para compor as equações.

O último livro desta década analisado, foi o Matemática - 48 Série Ginasial,

1957 cujo autor é Ary Quintella, Editora São Paulo - SP, com 188 páginas.

O primeiro assunto deste livro, também é a Equação do 2° Grau. O autor

emite uma definição de equação, explica a resolução das equações incompletas e em

seguida a resolução das equações completas através da raiz quadrada. Após deduz

a fórmula de uma maneira simplificada, com alguns exercícios.

Menciona também algumas simplificações da fórmula, tais como:

• Quando o coeficiente de x?-é a unidade. Forma p, q;

• Quando o coeficiente de x é um número par;

• Os dois casos anteriores ocorrem simultaneamente.

Por último traz uma discussão das raízes, discriminante, as equações

fracionárias, as relações entre os coeficientes e raízes, aplicações das relações, tais,..... como:

31

• Composição das equações, dadas as raízes;

• Achar dois números sendo dados sua soma e seu produto;

• Resolução de sistemas simples do 2° Grau;

• Raízes sujeitas a uma condição dada.

Encerra o capítulo com uma lista de 110 exercícios, incluindo problemas.

Prosseguindo nossa caminhada, foi feita uma análise de dois livros da

década de 60, sendo um deles o Matemática - Curso Ginasial - 48 Série, cujo autor

é Osvaldo Sangiorgi do ano de1963, Editora Nacional- SP, contendo 232 páginas.

O conteúdo apresentado nesse livro é igual ao de 1958 do mesmo autor,

inicia-se com o conjunto dos números reais, logo em seguida apresenta a Equação

do 2° Grau, dando uma definição de equação. Exibe uma definição da equação

completa e da incompleta, explicando a resolução e deduzindo a fórmula. Segue-se

com exercícios de aplicação resolvidos, e posteriormente uma lista com 40

exercícios.

A resolução da equação completa é retomada após os exercícios, seguida de

mais exercícios de aplicação, depois uma discussão sobre as raízes, também

seguidas de exercícios de aplicação. Nas fórmulas simplificadas apresenta uma lista

de 70 exercícios, prosseguindo com as relações entre os coeficientes e as raízes.

Finaliza com a resolução através da soma e do produto e a determinação dos sinais

das raízes (regra de Descartes), seguidos de exercícios de aplicação, e uma lista com

7 exercícios subdivididos em outros.

Outro livro desta década foi o Matemática - Curso Moderno, cujo o autor é

Osvaldo Sangiorgi do ano de 1969, Editora São Paulo - SP , com 233 páginas.

A Equação do 2° Grau é o segundo assunto nesse livro. O autor apresenta e

explica os termos da equação, cita vários exemplos de equações completas e

incompletas. Em uma pequena observação relata as equações incompletas que

aparecem nos exemplos, em seguida apresenta um teste de atenção com três

exercícios subdivididos, sendo esses para reconhecer as equações. Em um segundo

momento explica como resolver a Equação do 2° Grau através da soma e do produto

dos coeficientes, trazendo outro teste de atenção para determinar o conjunto verdade

das equações com três exercícios subdivididos.

E, em um terceiro momento apresenta a resolução através da fórmula,

deduzindo-a e exemplificando através de exercícios resolvidos das equações

32

completas e incompletas. Segue com uma lista com 50 exercícios de fixação, e

exercícios explorando as raízes reais. Traz também uma discussão das raízes de

uma Equação do 2° Grau no conjunto dos IR, seguidos de exercícios de aplicação

resolvidos e exercícios de fixação. Antes de encerrar o capítulo são feitas às relações

entre os coeficientes e as raízes, as conseqüências das propriedades das raízes de

uma Equação do 2° Grau, em que o autor coloca três momentos:

• Forma Soma e Produto (S, P) de uma equação do 2° Grau;

• Composição de uma equação do 2° Grau, conhecidas as raízes;

• Determinação de dois números dos quais se conhece a soma e o

produto.

Encerra o capítulo com dois exercícios de fixação, subdivididos em outros

exercícios.

Em 1970 foram analisados dois livros sendo um deles o Matemática na

Escola Renovada do ano 1971, de Scipione Di Pierro Netto, Edição Saraiva - SP

com 254 páginas.

Nesse livro a Equação do 2° Grau é apresentada como segundo assunto,

juntamente com as funções. O autor mostra primeiro a equação como função, depois

as raízes da equação incompleta. Em seguida a resolução das equações completas

deduzindo a fórmula e algumas aplicações resolvidas. Prossegue com a discussão

das raízes, seguido de uma lista de exercícios divididos em seis seqüências, e cada

seqüência contendo vários exercícios. Antes do término do capítulo apresenta as

relações entre os coeficientes e as raízes, sendo as seguintes:

• Relação da soma;

• O produto das raízes;

• Composição da equação: a~ + bx + c, quando se conhecem as raízes x'

e x":

• Questões que se resolvem com aplicações das relações entre

coeficientes e raízes da equação: a~ + bx + c = o.Para encerrar o capítulo utiliza uma seqüência de três exercícios,

subdividindo-os em outros.

Também dessa década, foi analisado o livro de Matemática - 8a Série, de

Osvaldo Sangiorgi do ano de 1978, Editora Nacional - SP com 198 páginas.

Nesse livro a Equação do 2° Grau é o segundo assunto. O autor inicia com

uma pequena definição de equação, seguida de alguns exemplos, após o autor

coloca uma explicação de equações incompletas e completas, partindo assim para a

resolução da equação através da soma e do produto, sem se preocupar com a

utilização da fórmula da mesma, segue com alguns exemplos. Logo após, apresenta

a resolução através da fórmula resolutiva e a discussão das raízes com algumas

aplicações. Antes de encerrar o capítulo, traz as propriedades das relações entre

coeficientes e raízes, a forma Soma e Produto (S,P) de uma Equação do 2° Grau,

com as respectivas fórmulas, a composição de uma Equação do 2° Grau, conhecidas

as raízes, determinação de dois números dos quais se conhecem a soma e o

produto. Finaliza com seis problemas de Equação do 2° Grau resolvidos e uma lista

com diversos exercícios subdivididos, incluindo problemas.

Continuando a análise dos livros, na década de 80 foram analisados dois

livros, sendo um deles A conquista da Matemática, de José Ruy Giovanni e

Benedito Castrucci do ano de 1985, da Editora FTO com 192 páginas.

Apresenta a Equação do 2° Grau subdividida em sete unidades. Unidade 3,

4, 5, 6, 7, 8 e 9.

A unidade 3 intitula-se como Equações do 2° Grau. A introdução é feita

através de uma situação problema, de onde é retirada a Equação do 2° Grau. Em

seguida, a definição e os coeficientes da equação. O autor coloca as equações

completas e incompletas juntas, mostra a equação completa como forma normal, ou

seja, a equação propriamente dita (a~ + bx + c = O) e alguns exemplos para

transformação das equações, quando estas não estão na forma normal. Prossegue

com a resolução das equações incompletas, seguidas de uma lista com cinco

exercícios de fixação subdivididos e a resolução de equações completas pela fórmula

resolutiva, seguida de uma lista com vários exercícios, incluindo problemas. Para

encerrar esta unidade o autor traz as equações literais completas, seguidas de

exercícios, sendo os primeiros para a fixação deste assunto e em seguida exercícios

complementares, trazendo as respostas dos exercícios realizados nas páginas

anteriores.

A unidade 4 tem o nome de Relações Entre os Coeficientes e as Raízes da

Equação do 2° Grau. O autor inicia com uma introdução através de um problema para

determinar a soma e o produto das raízes, apresentando duas relações:

34

18 - A soma das raízes é igual a: - b , ou seja, x' + x" = - b .a a

28 - O produto das raízes é igual a : .:..,ou seja, x' . x" = .:...a a

Em seguida o autor traz as aplicações dessas relações através de

problemas, seguidos de exercícios de fixação. Segue com a aplicação das relações

com a formação de uma Equação do 2° Grau, dada as raízes, seguidas de exercícios

de fixação. Para encerrar esta unidade, o autor exibe uma lista com exercícioscomplementares.

Na unidade 5, em que o autor coloca como Equações Sujeitas a Condições

Dadas, inicia calculando o valor de um numeral literal, seguidos de quatro exemplos

resolvidos, exercícios de fixação e encerra a unidade com exercícioscomplementares.

A unidade 6 deste livro, é sobre as Equações Redutíveis ao 2° Grau e

Equações Biquadradas, em que o autor inicia com uma introdução, uma definição,

resolução e exercícios de fixação e complementares.

A unidade 7 é sobre as Equações Irracionais e segue a mesma ordem da

unidade 6.

A unidade 8, é intitulada de Sistemas Simples de Equações do 2° grau, onde

têm uma pequena introdução, resolução e exercícios de fixação.

A última unidade vem a ser sobre Problemas do 2° Grau e segue com

introdução, resolução com três exemplos, e uma lista com 18 problemas.

O outro livro analisado desta década é o Curso de Matemática, de Osvaldo

Marcondes, do ano de 1985, Editora do Brasil - SP, com 208 páginas.

Nesse livro a Equação do 2° Grau é contida em uma unidade, que no início

da mesma, o autor define a Equação do 2° Grau de uma forma geral ou normal, em

seguida coloca que os coeficientes podem ser numéricos ou literais, após as

equações completas e incompletas da forma em que se apresentam, partindo para a

resolução das equações incompletas, exemplificando cada uma.

Depois dos exemplos, o autor coloca uma lista com três exercícios,

subdivididos em um total de 48 exercícios, passando a resolução das equações

completas, através da fórmula de Bhaskara, explicando o discriminante,

exemplificando-os. E em seguida apresenta uma lista com 65 exercícios.

35

Continuando o assunto, o autor coloca as relações entre os coeficientes e as

raízes entre a soma e o produto, seguidos de cinco atividades resolvidas, e uma lista

com 29 exercícios incluindo problemas. Para encerrar o autor estabelece as

condições de existência das raízes, com quatro exercícios resolvidos e uma lista com

10 exercícios.

Para finalizar a análise dos livros, chegamos na década de 90, dela foram

analisados três livros, sendo que o primeiro foi o Matemática na Medida Certa, de

José Jakubovic e Marcelo Lellis, do ano de 1995, Editora Scipione - SP com 208

páginas.

A Equação do 2° Grau nesse livro é desenvolvida no capítulo 2 e é colocada

em forma de problema comparativo entre a Equação do 1° e 2° Graus, com uma

definição. Em seguida, o autor passa alguns exemplos e exercícios. Depois dos

exercícios o autor apresenta a fórmula de 8haskara e as suas resoluções, seguidos

de outra lista de exercícios. Prossegue com as equações incompletas e as resoluções

sem a utilização da fórmula de 8haskara.

Para encerrar apresenta a soma e o produto das soluções da Equação do 2°

Grau e a resolução mental fazendo uma comparação com a fórmula de 8haskara,

seguidos de exercícios.

O segundo livro analisado foi A Conquista da Matemática, de Giovanni

Castrucci e Giovanni Jr., do ano de 1998, da Editora FTD - SP, com 304 páginas.

Nesse livro a Equação do 2° Grau é apresentada no terceiro capítulo, mas

este é subdivido em unidades, e a Equação do 2° Grau inicia na décima sexta

unidade, encerrando na vigésima quinta unidade.

Inicia o capítulo apresentando a equação como uma situação problema, na

qual é colocada uma figura representando a parte de um escritório, e dela ele retira a

Equação do 2° Grau, apresentando uma definição da mesma. Em seguida propõe

alguns exemplos, com os termos da equação, segue com as equações completas e

incompletas e exercícios de fixação. Após esses exemplos e exercícios, o autor

mostra a forma normal, e como reduzi-Ia em uma forma normal. Continua com as

resoluções das equações incompletas, resolvendo separadamente cada uma delas,

com alguns exercícios resolvidos e após apresenta uma lista com exercícios de

fixação.

primeiro o processo do completamento de quadrados seguidos de exercícios e na

seqüência a resolução das equações através da fórmula de Bhaskara, demonstrando-

a, e explicando os casos do discriminante. Os exercícios são colocados separados

dos problemas, pois o livro apresenta um item com o título de Resolvendo Problemas.

O autor finaliza com o estudo das raízes da equação, a relação das raízes e os

coeficientes da equação, equações biquadradas, irracionais e sistema de equações.

O último livro analisado foi Matemática - 88 série, de Luiz Márcio Imenes e

Marcelo Lellis do ano de 1999, Editora Scipione - SP contendo 344 páginas.

Nesse livro, a Equação do 2° Grau é apresentada no capítulo 3 e o autor faz

primeiro uma introdução sobre equações, colocando as idéias básicas de equações

de primeiro, segundo e terceiro graus, com uma lista de exercícios para identificação

das mesmas. Em seguida essas equações são resolvidas através da fatoração,

sendo colocadas também as equações incompletas, porém não é citado que as

mesmas são equações incompletas, e o autor prossegue com uma lista de exercícios.

Depois destes exercícios é apresentado o trinômio quadrado perfeito com mais

exercícios.

Após essas resoluções, o autor demonstra a fórmula de Bhaskara, colocando

a maneira de como aplicá-Ia, seguindo com exercícios propostos. Em seguida faz um

resumo das resoluções de equações e apresenta mais uma lista de exercícios.

Para encerrar, o autor apresenta sistema de equações, com diversos

problemas.

2.2 - ANÁLISE DO MATERIAL PROPOSTO

Observando estas análises, verifica-se que os autores não diferem no

conteúdo da Equação do 2° Grau e que o mesmo desde a década de 50 é

apresentado na 88 série.

Atualmente defende-se a promoção de um trabalho metodológico que torne a

aprendizagem mais significativa, e conseqüentemente o livro didático, enquanto

principal ferramenta, deveria estimular estes procedimentos.

No Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) encontramos:

37

o livro didático de matemática, assim como os de outras disciplinas curriculares, tem tido

grande influência na determinação do saber escolar culturalmente valorizado. Por isso, é

importante que ele incorpore aquilo que é preconizado pelas novas propostas curriculares,

pelas pesquisas e estudos concernentes ao ensino dessa área do conhecimento, que dão

indicação sobre formas adequadas de promover uma aprendizagem mais significativa para

os alunos. (1999, p.235)

No entanto percebemos nas análises dos livros didáticos que desde a

década de 50 até hoje não existe tanta diferença na introdução da Equação do 2°

Grau. É relevante destacar que não queremos cometer o erro de generalizar esta

opinião, pois podem existir livros aqui não analisados que façam uma abordagem

mais significativa da Equação do 2° Grau. Porém ao analisarmos este material, e pela

experiência que já temos em salas de aula concluímos que os livros didáticos

abordam a Equação do 2° Grau de uma maneira linear, pois apresentam as equações

incompletas resolvidas sem o uso da fórmula, e as equações completas através da

fórmula, isto com algumas exceções, pois têm livros que apresentam as resoluções

através da fatoração e outros livros apresentam a dedução da fórmula de Bhaskara,

antes de introduzi-Ia, e outros ainda que raramente apresentam o processo de

completamento de quadrados.

Este processo, segundo GIOVANNI, CASTRUCCl E GIOVANNI JR, "é

baseado na interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)2, o

matemático árabe al-Khowârizmi, no século IX, estabeleceu um processo geométrico

para a resolução de equações de 2° Grau com uma incógnita". (1998, p. 67)

Sendo que este processo pode ser desenvolvido através do uso do Material

Dourado, excelente recurso didático que poderia, e deveria ser mais explorado

durante o desenvolvimento de conteúdos matemáticos na sala de aula.

38

CAPíTULO 111

O MATERIAL DOURADO

Segundo historiadores como BOYER e EVES, há dois mil anos, os

matemáticos não sabiam expressar as sentenças matemáticas através da linguagem

dos sinais e das letras, substituindo-as por números.

Para resolver problemas de matemática e problemas práticos do dia a dia,

utilizavam-se de uma álgebra geométrica. Sendo que uma dessas maneiras usada

para resolução de equação do 2° Grau, por al-Kowarizmi era o completamento dos

quadrados, método em que podemos utilizar o material dourado.

O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela

médica e educadora italiana, Maria Montessori nascida em Chiaravalle, perto de

Ancona, no dia 31 de agosto de 1870 e falecida no dia 06 de maio de 1952 em

Noordewijk, Holanda.

Maria Montessori criadora do método pedagógico Montessoriano, foi a

primeira mulher a se formar em medicina na Itália. Nos anos iniciais do século XX, ela

se dedicou a educação de crianças excepcionais'', com as quais empregava o

método terapêutico de Édouard Séguin, predominantemente pedagógico. Devido ao

bom êxito deste método a doutora Montessori concluiu que métodos semelhantes a

este poderiam ser empregados também com crianças normais da mesma faixa etária.

Um dos materiais utilizados era chamado de material das contas amarelas,

onde a dezena (ou o número 10) era formada por uma barra de dez contas dispostas

em um arame. Esta barra era repetida dez vezes em dez outras barras ligadas entre

si, formando um quadrado, "o quadrado de dez" somando o total de cem. Finalmente

dez quadrados sobrepostos e ligados formavam um cubo "o cubo de dez", isto é,

1000.

Esse material é conhecido hoje como Material Dourado sendo de grande

ajuda na assimilação de conteúdos.

5 Conforme a Enciclopédia Barsa, consideram-se excepcionais as crianças que sofrem de cegueira, surdez,mudez, paralisia, retardamento mental, distúrbios cardíacos ou enfermidades capazes de perturbar qualquer dossentidos. (1973, p.92)

39

o Material Dourado, utilizado nos dias atuais, (Anexo 2) é constituído de

madeira sendo formado por:

• 1 cubo representando o milhar;

• 10 prismas representando as centenas (placas);

• 100 prismas representando as dezenas (barras);

• 1000 cubos representando as unidades.

Através deste material pode-se trabalhar diversos conteúdos, tais como:

• Classe e ordem de um número;

• Composição e decomposição de um número;

• Números pares e ímpares;

• Quatro operações básicas;

• Números decimais e fracionários;

• Áreas;

• Produtos notáveis;

• Equação do 2° Grau, entre outros.

3.1 - UTILIZAÇÃO DO MATERIAL DOURADO NA RESOLUÇÃO E

COMPREENSÃO DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU

Nos livros analisados no capítulo anterior, nota-se que a resolução da

equação do 2° Grau é proporcionada somente de forma algébrica e raramente é

apresentado o processo geométrico para a sua resolução.

Um método geométrico, embora não visto nos livros didáticos, é a utilização

do Material Dourado para a resolução destas equações.

Podemos utilizar o Material Dourado na Equação do 2° Grau, associando à

cartazes representativos.

É importante esclarecer o significado da planificação de objetos

tridimensionais. Pois as peças que compõem o Material Dourado apresentam largura,

espessura e comprimento.

Para fazer este trabalho podemos utilizar a planificação por rotação com as

peças do referido material:

- Cubo do milhar:

··········j··········i··········~··········;··········i····· ····i:::······ ... e- .••..~•." •••;:;:'••.••.•••

~ ~ ! ~ l··········!··········{··········f·········4··········!··········{··· .. ·.·.·.·.·.·.'_i,··.·.·.···· .. ~ :.... ; .•••••.

~ ~ 1 ~ ~ ~..........: : .:. .:. ; :.

!+-IIII-··········i·········· •.··········"'··········)··········j j •.••.••.•• .;.•••••.•••. ) .•••••••• )

~ ~ l ~ ~ ~ ~ l..........i i i l L i. .l L ~ .

:1Jljl;:lr··········!··········{··········t··········}··········i··········~··········i··········~··········!·······,··

~ ~ 1 ~ l ~! l '.;:

41

Representação da planificação por rotação reduzida do cubo do milhar:

Escala: 1: 2,5 cm

- Placa das centenas:

42

/ /

::r:j:rirrri:r..........i ~ i i i ··~·.·; l · i .

i i ~ ! l ! ! 1 j··········t·········t··········!·· ········l··· ..·· 0.0 ~ •••• o-o ···t··········~0'0 0'0 0'° 'l' 0·0· 0·0. 'i' 0'°

·········l::lli···f······j······j·········I········f··....... ............! ! ~++: 0'0 0'0 ~ •• 0'0 •• • •• t.· 0'0 0'0 •• ~ 0'0 ••••••• j , ~ 0·0 0.0

::[111 ••••••11: Ir •••••••··v

Representação reduzida da planificação por rotação da placa das centenas:

Escala: 1: 2 cm

- Barra das dezenas:

43

Representação da planificação por

rotação da barra das centenas:

- Cubo das unidades: Representação da planificação por

rotação do cubo das unidades:

Desta forma o aluno visualiza cada uma das faces que constitui os prismas

(peças do Material Dourado).

r

44

Isto é importante para que o aluno compreenda que quando representamos

no plano as peças do Material Dourado, estaremos representando uma de suas faces

da seguinte maneira:

- o cubo menor será representado por um quadrado de lado medindo 1 cm:

Material Dourado Desenho

D 1 cm

1 cm

- dez cubinhos formam uma barra, que será representada por um retângulo de área x:


x

1 cm

45

- dez barras formam uma placa, que será representada por um quadrado de área x2:


x/

x

A resolução de uma Equação do 2° Grau, através desse método, deve partir

com a introdução da fatoração de polinômios, usando áreas do quadrado e retângulo,

revisando e construindo essas áreas, relembrando também o trinômio quadrado

perfeito e produtos notáveis, para assim chegar a resolução dessas equações, sendo

que o aluno deverá montar formas quadrangulares e/ou retangulares com o Material

Dourado e desenhá-Ias em seu caderno.

Para o cálculo de áreas podemos utilizar os desenhos das faces dos cubos e/

ou dos prismas, onde a criança no desenho poderá visualizar essas áreas contando

os quadradinhos.

46

Exemplo:

Calcular a área da face de um prisma retangular que mede 3 centímetro de

comprimento por 5 centímetros de largura, utilizando o Material Dourado:

Prisma Desenho/ / /

~1, 5 cmIX 5cm

3cm

No desenho a criança contará 15 quadradinhos, que será portanto a área

desse retângulo, que é 15 cm2.

Pode-se solicitar à criança o cálculo de outras faces do mesmo prisma, por

exemplo:

1- Calcular a área da face do prisma retangular que mede 5 cm de

comprimento por 1 cm de largura:

Prisma Desenho

/ / /

5cm

5cm

3cm 1 cm 1 cm

Neste desenho a criança contará 5 quadradinhos, que será a área deste

retângulo, que é igual a 5 cm2.

47

2 - Calcular a área da face do prisma retangular que mede 1 cm de

comprimento por 3 cm de largura:

r- Prisma Desenho

/ / / 1fr-.'1'11 ITIJ~ 1cm~~I~ 3cmr- ~~ 5itJ cm~li

rr> ~3 cm

..•...•.1 cm

Contando os quadradinhos, a criança obterá a área desse retângulo, que é

igual a 3cm2,

Após alguns exercícios desse tipo, a criança notará que para calcularmos a

área do retângulo basta multiplicar a base pela altura. Nestes exemplos temos:

A= bxh A=bxh A=bxh

A=3x5 A = 1 x 5 A = 3 x 1

A = 15 cm2 A = 5 cm2 A = 3 cm2

o cálculo da área é o primeiro passo para se compreender a Equação do 2°

Grau, mas para que o aluno consiga compreender esta equação, deve-se aprender a

fatorar, utilizando o fator comum com o uso do Material Dourado.

Vejamos alguns exemplos:

48

Exemplo 1

Construir um retângulo, usando um quadrado de área x? e três retângulos de

área x:


/ / / / ~

x? 3x

, ,x

~i.I---":":x--~~~:• 3 ~ I~. ~~ x+3

x+3

A área desse retângulo é x2 + 3x.

Os lados do retângulo medem x e (x + 3), conseqüentemente, pela definição

de área do retângulo, área igual base x altura (A = b X h), temos:

x2 + 3x = x . (x + 3)

49

Exemplo 2

Construir um retângulo usando três retângulos de área x e doze quadrados

de área 1 (um):


/ / / / /

i"'!"f--------+--+--+----1f--.v,;~':.3.~f--------+--+--+~f--~·i;:~ ....,f-------------~~~~~

x 4

x+4 x+4

A área desse retângulo é 3x + 12

Os lados do retângulo medem 3 e (x + 4)

Logo: 3x + 12 = 3 . (x + 4)

50

Exemplo 3

Construir um retângulo que tenha área igual à x!- - 2x:


/

x x

~1!~~,~!

x x

No caso deste exemplo as barras da dezena serão sobrepostas sobre a

barra das centenas, para representar menos duas, pois x2 - 2x significa que estamos

diminuindo 2x de x!-, ao contrário da adição, pois como visto nos exemplos anteriores,

as barras são acrescentadas ao lado da barra das centenas.

Após a compreensão de área e fatoração utilizando o Material Dourado,

vejamos como resolver as Equações do 2° Grau.

Exemplo 1

Seja dada a equação: x?-+ 3x +2 = O

/~-----'/"--/"'--"'A .:;;t

Material Dourado

I~I x x + 1

*:~I~l.;:~ .

1--------+----If---f':'H~ .iV

x

x+2

r-----------,-,.---, .

1-----------1-+--1 .....·····1

Desenho

51

x x+1

x

!-----------I_...I..--j .

x+2

Resolução: Para resolver esta situação busca-se valores que tornem a igualdade

verdadeira, portanto:

(x +2) . (x+1) = Ox +2 = O ou x + 1 = O

x=-2S = {-2; -1}

x = -1

Exemplo 2

Dada a equação Xl - 2x + 1 = O

Material Dourado

x

x

52

Desenho

x

x-1~.

'-'

1---+-------; .

x-1

x

Neste caso trata-se também de uma subtração de 2x de x2 e ao mesmo

tempo adicionando mais uma unidade, devido a isto as barras de dezenas estão

sobrepostas a das centenas e do seu lado a unidade adicionada.

Resolução:

(x - 1) . (x - 1) = O

x - 1 = O ou x - 1 = O

x=1 x=1

S = {1}

/~-----/-r------~/------'/r-/-'--/r-/....,."'" .i

,~~

Exemplo 3

Dada a equação: 3x2 + 6x + 3 = O

Material Dourado

••• x x

....---------r--------,r-------....--r---r---. .

x

3x+ 3

Desenho

x

x

x x

L-- --..L- ---J'-- ....L--'---'----' .

x

3x+ 3

53

x+1

1 x + 1

54

,-.. Resolução:

(3x + 3) . (x + 1) = O

3x + 3 = O ou x + 1 = O

3x = -3 x = -1

x = -3/3

x =-1

S = {-1}

Para que haja um melhor desempenho dos alunos nesse trabalho, seria

necessário que o mesmo já tivesse contato com o Material Dourado desde as séries

iniciais para a compreensão da tabuada, das quatro operações, de áreas e outros.

Infelizmente sabemos que nem sempre isso ocorre, mesmo assim vale a

pena o professor tentar resgatar o gosto dos alunos pela matemática utilizando

materiais concretos, e o Material Dourado é um excelente início.

55

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Devido aos relatos de professores com relação às dificuldades encontradas

ao trabalhar a Equação do 2° Grau resolvi propor este trabalho, fazendo um resgate

histórico de sua abordagem, seu surgimento e as diversas maneiras de como estas

equações eram resolvidas, sem a utilização da fórmula de Bhaskara.

Analisando o tratamento dado a Equação do 2° Grau em alguns livros,.-

didáticos da década 50 a década de 90, percebi que os autores não diferem na

abordagem das mesmas e que desde a década de 50 até os tempos atuais, elas são

introduzidas na 88 série e geralmente com a apresentação apenas da fórmula seguida

de exercícios complementares, sendo que os livros mais antigos apresentavam uma

listagem com aproximadamente 50 exercícios, enquanto que os atuais diminuíram a

quantidade dos mesmos.

Ao desenvolver este trabalho, pude notar que se o professor deixar de limitar-

se a propor a Equação do 2° Grau apenas como o livro didático aborda e procurar

trazer a história do surgimento da equação, não se limitando apenas ao relato de

datas e de fatos históricos que constam em alguns livros, ele conseguirá um melhor

desempenho por parte dos alunos. O resgate histórico facilita a elaboração do

raciocínio envolvido na resolução da equação e o aluno percebe que ela não foi

inventada pelo professor e que também não se trata de apenas mais um conteúdo

abordado pelo autor do livro didático.

A proposta da utilização do Material Dourado como alternativa no

aprendizado da Equação do 2° Grau, propicia no aluno a visualização da resolução

destas equações, sem a utilização da fórmula, proporcionando assim a compreensão

destas resoluções, uma vez que o aluno tendo a visualização deste material

apresentará uma maior compreensão do processo através do qual se chega ao

resultado das equações.

Durante este trabalho percebi que a matemática quando vista através de um

material concreto, no qual o aluno visualiza os conceitos matemáticos ou quando o

professor apresenta os conteúdos de maneira significativa, mostrando a sua evolução

através dos tempos, o aluno percebe a importância dos conteúdos que ele está

56

aprendendo e a matemática deixa de ser apenas memorizada, passando a ser

compreendida.

Embora o aluno nem sempre tenha a disponibilidade do Material Dourado

para a resolução das equações, acredito que através da representação geométrica, a

aplicação da fórmula se tornará mais fácil e acessível para o aluno, pois a partir do

momento que ele entender o processo geométrico, poderá conseguir também

entender o raciocínio lógico que o levou a chegar em um determinado resultado.

57

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60

ANEXOS

Anexo 1

r

ESTADO DO PARANASECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

DEPART~~NTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU

TEND~NCIAS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL

Daria FiorentiniCampinas: FE-UNIC~MP

(Notas relativas a uma exposição realizada pelo autor numa mesaredonda em Londrina-PR, em julho/88, por ocasião do 69 SimpósioSul-Brasileiro de Ensino de Ciências e Matemãtica) i

Fazendo uma rãpida e superficial retrospectiva históricadas idéias pedagógicas em Educação Matemãtica que prevaleceram nosdiferentes momentos históricos no Brasil podemos ident:l.ficartgros-so modo, várias correntes ou tendências.

Até 1950, o ensino da Matemãtica se caracterizava pela ên-fase ~s idéias e formas da Matemática Clássica. Matemática estaque é fundamentada na matemática grega, especialmente nos elemen-tos de Euclides. A geometria especulativa e o estudo da lógica ti-nham um lugar de destaque, pois segundo a Escolástica; estas dis-ciplinas eram responsáveis pela "formação do espírito"; Este ensi-no "clássico-humanista", a nível do ensino secundário, erà privi-légio de poucos e destinava-se a formar uma elite nacioriál (geral-mente filhos dos senhores).

Até 1930 a Matemática era dividida em 5 areas estanques:Álgebra, Aritmética, Geometria Plana e Espacial e Trigonometria ..Apartir de 1930, sob a influência do positivismo - para o qual aMatemática é a ciência de relações e estreitamente ligadà e subju-gada ~ lógica e ~s ciências empíricas -, ás cinco áreas unificar-se-iam numa única ciência: a Matemática.

As principais características pedagógicas e metodológicasdo ensino da matemática nesse período foram:

a) Sócio-politicamente: privilégio de poucos e bem "dota-dos". Na verdade, privilegiava-se à classe dominante uma matemáti-ca especulativa e reservava-se aos menos abastados economicamente,uma matemática puramente prática.

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ESTADO DO PARANÁSECRET~~IA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

DEPART~lliNTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU

b) O conteúdo: era a-histórico, sistematizado, constituí-do de verdades prontas e acabadas, considerado valioso "per si "

e não por seu valor instrumental em relação ao trabalho. Dava-seênfase aos cálculos aritméticos e algébricos extensos e comple-xos, às identidades trigonométricas; à demonstração dos teoremasgeométricos, a problemas de longos enunciados.

c) Didaticamente; o ensino era livresco; cer~trado no pro~fessor e no seu papel de ~ransmissor e expositor do conteGdo~ Aaprendizagem do aluno era considerada passiva e consistia rià me-morização e na reprodução precisa das raciocínios e procedimentosditados pelo professor ou pelos iivros.

Ressalva-se de positi~oi no entanto, as exposiç6es de con-- ~ .. . 'cem demonstraçoes compreens~veis sem o formalismo atual e

mecanicismo ped~gógico dos nossos "livros didáticos" d~ ho-te údo

sem oje.

Os professores de matemática tinham formações diversas{en-genheiros, padres, médicos, pedagogos, ou pessoas sem formaçãosuperior). Raramente eram graduados em Física ou Matemática: So-mente em 1934, na USPj surgiria o primeiro bacharelado em Matemá-tica no Brasil. Este quadro contribuiria para que, em gerai; osprofessores fossem autodidatas e se limitassem a repetir o qüeestava nos livros.

Após 1950, em virtude do "Moví.me nt.oInternacional dâ Mà te-mática Moderna", do avanço da psicologia da aprendizagem ei par-ticularmente no Brasil; da realização dos cinco Congressos Brasi-leiros de Ensino de t-1atemática(1955, 1957, 1959, 1961 e 1966) i oensino da Matemática passaria por grandes_ transformações;

No 19 Congresso, em Salvador/1955 , seria apresentado ummanifesto da CIEM~ no qual um grupo de matemáticos e pedagogos(Piaget, Gatenho, Diedoné ...), baseados nas afirmações de í?iagetde que havia um isomorfismo entre as estruturas operatórias dopensamento e as estruturas fundamentais da Matemática (Piãget;1980) I defenderiam a reformulação curricular do ensino dã m~te~mática à nível primário e secundário. A subordinação da Matêmá~

\~ '', .

ESTADO DO PARANÁSECRETARIÀ DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU

tica à ld~ia de estrutural enêontraria na Teoria dos conjuntos; opon t ó de apoio para a construção do "riovo" edifício Matemático;

. Nó 29 Congresso, em Porto iüegre/19 571 já surgiriam al çuns

esforç6s; ainda que isolados; para à introdução da Matem~tica Mo-derna; Neste momento ainda sep~rados; de um lado os psicopêdago-gos e} dê outro~ os matemát.icos (especialmente Sangiorgi); àcéna-vam pará a reforrnuiação curricular.

Às primeiras propostas concretas de implantação surgiriamno 39 êongresso, no Rio/1959, cujos resultados puderam ser apre-sentados no 49 Congresso, em Belém/1961.6~.d..L&z1itd.twJda6:Wca..~.11b1.

Neste mesmo ano, 1961/ seria fundado o GEEM-SP, quê con-tribuiria de maneira decisiva, através de cursos de sensibiliza-ção e de treinamento e da edição de livros textos, para a disse-minação da Matemática Moderna no Brasil.

No entanto, a maneira corno as idéias desse Movimento che-gavam aos professores, e o modo cornoest.as se cruzavam com ascontribuições da psicologia da aprendizagem (Piaget; Rogersi Bru-ner, Skiner, Ausubel), bem corno; as influências do movimento em-pirista oriundo da área de ciências; contribuiriam para; sáivomelhor juízo, configurar três tendências pedagógicas de EdücaçãoMatemática, no Brasil, no período ~e 1950 a 1970.

1) A "Escola-novista" de inspiração psí.co Lôq.l.ca , qlJf! pre-coniza um ensino a partir de atividàdes onde o àiúnd é d'cêflttôda aprendizagem e é ele que; a_partir da mahiptiiaç~ó dê ffiªtªiiàisou da ação, constrói espontaneamente os conceitos matem&tlêôs:.Dienes pode ser considerado o maior disseminàdot dessa pêdàª6~iàno Ensino da Matemática no Brasil. Diene~ não negá à Matêffi~tldaModerna. Pelo contrário; em seu trab~lho "Geometria pelas Trans-formações", mostra cornoo aluno a partir de atividades pr§.t:f.càsou da ação, pode chegar às estruturas formais da ma terná t i dâ i jirl

especial às estruturas algébricas de grupo e corpo. Por~ful §stâproposta não chegaria às escolas públicas. Ficariá restiitâ à ãi-

.-gurnas escolas particulares e r principalmen te; a alg-uns grUpos eo-

.. ,.:: .... /'

mo por exemplo o GEEMPA-RS e o GEPEM-RJ .~'.O aspecto positivo dessa tendência e a vàlorizaç~d di iç~6

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ESTADO 00 PARANASECRET~RIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO


do aluno e do processo de produção do conhecimento. O perigo des-sa tendência é o ativismo e o espontaneismo a que pode ser levadoo ensino da Matem§tica e; além disso, o fato de não questionar aciência matem§tica e sua relação externalista - sócio-cultural.

2) A outra tendência, mais estreitamente articulada ao Mo-vimento da Matem§tica Moderna, é a TECNICISTA-FORMALISTA. Estaprovavelmente tenha sido a mais marcante na década de 60 e, prin-cipalmente, de 70. A maioria dos livros textos de matemática daépoca, em particular os de Sangiorgi e Castrucci, se inserem nes-ta tendência.

A denominação tecnicista se deve ao fato de se enfatizar oemprego de técnicas de ensino, tais como, a instrução programada(estudo através de fichas, módulos instrucionais ...) e auto-ins-trução; porque enfatiza o fazer em detrimento do compreender oudo pensar; porque acredita que a formação e a memorização dos con-ceitos se dá pelo estímulo, pelo reforço, pela repetição sistemá-tica, pela seq~enciação mecânica e pré-determinada de passos.

~ formalista porque enfatiza o produto acabado da Matemá-tica (suas i5rmulas, suas definiç6es, iniciando geralmente porelas ...j em detrimento do processo de construção dos conceitos ede suas aplicaç6esi porque preocupa-se exageradamente com a lin-guagem, com o uso correto da simbologia, com a precisão, com origor metodolégico, com a exatidão dos resultados sem dar atençãoaos processos que os produzem; porque enfatiza o lógico sobre opsicológico, o formal sobre o social, o sistemático estruturadosobre o histórico; porque acredita que a matemática é neutra -dissociada dos aspectos sociais e polític?s e, principalmente,porque reduz a Matemática a um conjunto de técnicas, regras e al-goritmos ...

Ou seja, a tendência tecnicista-formalista não centra-senem no professor (como no ensino tradicional), nem no aluno (co-mo na escola-nova), mas no conteúdo formal e, principalmente, nastécnicas de transmissão/assimilação desse suposto "conteúdo".

- 4 -

3) A outra tendência, é a TECNICISTA-EMPIRISTA. A diferen-ciamos da anterior por se contrapor, em parte, ao movimer.to daMatemática Moderna e por não enfatizar tanto sua estrutura inter-na, mas sim sua relação com as ciências empíricas. Se para a ten-dência formalista a Matemática. Pura e altamente sistematizada é omodelo de matemática a ser privilegiado, para a tendência empi-rista e a Matemática Aplicada o modelo a ser seguido.

Por isso, esta tendência sofre influências dos paradigmasque regem o ensino de Física, Química, Biologia ... O método indu-tivo (entendido cornoo "científico"), através da experimentação(ou de medições, ou de levantamentos de dados ...), é que levará aconstrução das idéias abstratas da matemática entendidas cornomo-delos matemáticos. E, principalmente, com base na psicologia beha-viorista, propiciam o desenvolvimento das habilidades e atitudesdos alunos rªnfase nas habilidades e atitudes cie"tíficas).

A Matemática seria então uma generalização levada a cabopor um processo empírico. Para isso se vale das técnicas de redes-coberta, de projetos ou de resolução de problemas. Por isso partede atividades previamente programadas e que tenham a função de le-var o aluno a generalizar, a concluir resultados, desenvolvendocom isso suas habilidades e atitudes - principalmente aquelas quepermitem integrá-Io socialmente.

Nesta tendência podemos, em parte, situar os materiais pro-duzidos e divulgados pelos Centros de Ciªncias (PROCIRS, FUNBEC ..)e os trabalhos produzidos pelo projeto MEC/lMECC - UNICAMP. Suaprática pôde ser sentida com mais ênfase nos Ginásios Orientadospara o Trabalho, PREMEN ...

As tendências "escola-novista" e "erup í.r-Ls ta=t.ecn.í.cd sta" têmem comum a supervalorização dos processos da aprendizagem da Ma-temática. Metodologicamente propõem um ensino dinâmico, ativo, e"democrático" onde o importante "não é apreender, mas aprender aapreender" .

No entanto, se de um lado enfatiza os aspectos psicopeda-gógicos, de outro, ignora a dimensão sócio-política da EducaçãoMatemática. Ao levar em consideração as diferenças individuaiJ

,~'L·r,c,,'- - 5 -

rESTADO DO PARANASECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO


propoe também um ensino diferenciado. Para as classes popularesum ensino essencialmente prático, centrado em atividades, chegan-do, muitas vezes, a negar os conhecimentos mais sistematizados.E, desta forma, a Educação Matemática contribuiria para a repro-dução da sociedade de classes diferenciadas de forma que se acei-tem em sua diferenças. Ou seja, estas tendências contribuiramfortemente para a alienaçãc do cidadão. A formalista, desempenha-ria, inclusive, o papel de seleção social impedindo a permanênciana escola do aluno menos "dotado".

Em fins da década de 70 entra em crise a Matemática Moder-na (conforme bem mostra M.Klein). Surgem as críticas ao tecnicis-mo e ao formalismo. Ressurgem então (conforme o movimento dosSimpósios Sul-Brasileiros de Ensino de Ciências e Matemática) aspropostas escola-novistas e empírico-tecnicistas.

De outra parte, decorrente de uma postura mais crítica,emergem, no momento, outras duas tendências: a SOCIO-CULTURAL e aCRITICQ-DIALBTICA.

OS adeptos da abordagem Sócio-cultural para o Ensino daMatemática entendem que o cotidiano do aluno deve permear cons-tantemente o ensino da matemática. A linguagem própria do contex-to cultural do aluno, bem como sua exper1encia e principalmenteseu modo prático de trabalhar a matemática (etno-matemática) devemconstituir o ponto de partida e o referencial principal para oensino da matemática. Por isso, enfatizam um ensino da Matemáticasobre situações problemas próprios do contexto da criança. Emboraesta tendência faça uma certa crítica ao ensino tradicional; prin-cipalmente ao que se refere ao aspecto internalista da matemática,mesmo assim tra ta os problemas sociais como coisas "dadas" e "acon-

tecidas" e·não como algo produzido socialmente e que atende aosinteresses econômicos e políticos. Uma educação matemática assim,que se preocupa em adaptar o indivíduo à sociedade, não contribui,como tem ocorrido com as tendências anteriores, para a formaçãode uma consciência histórica e crItica de seu lugar no mundo, le-vando-o, portanto, a alienar-se num contexto social e político

- 6 -'~_I...:O.ICI"'l

,ESTADO DO PARANASECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO


- e

2) A outra corrente entende que o papel sócio-político daEducação Matemática realmente comprometida com a transformaçãosocial é garantir a socialização de conhecimentos vivos e atuali-zados às classes populares. Não deixam de tratar criticamente asociedade capitalista, evitam porém, diluir a política na educa-ção. Ou seja, superam o politicismo puro e simples. Snyders ~in-tetiza muito bem esta corrente quando afirma que "o papel do pro-fessor, cumpre-se, de um lado, a~ viabilizar o acesso do alunoaos conteúdos, ligando-o com a experiência concreta dele - a con-tinuidade; mas, de outro, de proporcionar elementos de análisecrítica que ajudem o aluno a ultrapassar a experiência, os este-riótipos, as pre~sões ãifusas da ideologia dominante - e a ruptu-ra". A questão ~edagógica está ligada à continuidade; a questãopolítica está ligada à ruptura.

Portanto, esta corrente propõe uma pedagogia articuladacom os interesses populares, que valorizam a escola, com conteú-dos ricos e com métodos de ensino eficazes. Métodos esses que su-peram por incorporação as contribuições anteriores.

- 8 -

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ANEXO 2

Peças que compõe o Material Dourado:

- 1000 cubos - Representando as unidades

- 100 prismas - Representando as dezenas

-•

70

- 10 Prismas - Representando as centenas

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- 1 cubo - Representando o milhar

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-

Education

Considerações sobre a aprendizagem da equação do 2° grau completa