APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS

1

SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICA Sucessão ou seqüência numérica é todo conjunto de números dispostos numa certa ordem. Uma sucessão pode ser finita ou infinita. Exemplos: - (2; 5; 8; 11) finita - ( -3; -2; -1; ...) infinita Representação genérica de uma sucessão (a1, a2; a3; ...; an-1; an) em que: a1 – 1º termo a2 – 2º termo a3 – 3º termo . . . an – n-ésimo termo Termo geral ou lei de formação de sucessão É a fórmula matemática que determina os termos de uma sequência, em função de sua posição n na sequência. Exemplos: 1) Escreva os 3 primeiros termos da seqüência definida por:

a) an = 3n+2, onde n*Ν∈

Resolução: b) a1 = 2 e an+1 = an + 8 Resolução: Progressão Aritmética (P.A) É toda sequência numérica em que a diferença, a partir do segundo e o seu antecessor se mantém constante. Essa diferença constante r chama-se razão da PA. Então a seqüência (a1, a2; a3; ...; an-1; an) é uma PA, se e somente, se: a2 - a1 = a3 - a2 = an - an-1 = r Exemplos: 1) Verifique se a sequência abaixo é uma PA, em caso positivo, determine a razão: a) ( 2; 5; 8; 11;...) b) ( 19; 14; 9; 4;...)

APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS

2

Resolução: Resolução: c) (7; 7; 7; 7; ...) d) ( 1; 6; 11; 17; ...) Resolução: Resolução: Observações: a) PA crescente, quando r (razão) > 0. b) PA decrescente, quando r (razão) < 0. c) PA constante, quando r (razão) = 0. 2) Determine x, de modo que os números x - 5; 2x + 3 e 5x - 1, formem nessa ordem uma PA. Resolução: Fórmula do termo geral de uma PA Para calcularmos qualquer termo de uma P.A. usamos a fórmula seguinte: an = a1 + (n - 1)r an = representa o termo procurado. a1 = representa o primeiro termo da P.A n = representa o número de termos. r = representa a razão da P.A. Exemplos: 1) Calcule o sétimo termo da P.A (1, 6, 11, ...) Resolução: 2) Determine quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 200. Resolução:

APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS

3

3) Calcule a razão de uma P.A sabendo que a2 = - 11, a12 = 19 . Resolução: 4) Interpole 6 meios aritméticos entre 3 e 17. Resolução: 5) Numa estrada existem dois telefones instalados um no km 10 e outro no km 50. Entre eles serão colocados mais 9 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. determinar em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones. Resolução: Propriedades 1ª) Sendo a, b, c três termos consecutivos de uma P.A, dizemos que o termo b central entre eles é a média aritmética dos outros dois. Exemplo: Sendo 2, x, 18 três termos consecutivos de uma P.A. Calcule o valor de x. 2ª) Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplo: Observe a PA (3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17) 9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20 Soma dos n-primeiros termos de uma PA A soma dos n-primeiros (Sn) termos de uma PA é dada por:

2

).( 1 naaS n

n

+=

, onde: a1→ primeiro termo an→ n-ésimo termo n→ números de termos

APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS

4

Exemplos: 1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2,6, ...) Resolução: 2) O dono de uma fábrica iniciar a produção com 1000 mensais e, a cada mês produzir 200 unidades a mais. Mantidas essas condições, em dois anos quantos unidades a fábrica terá produzido no total ? Resolução: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APREDIZAGEM (PA) 1) Determine as seqüências abaixo: a) an = 2n-1 com n∈Ν* resp: (1,3,5,...)

b)

+==

− ,2

3

1

1

nn aa

a

com n∈Ν, n ≥ 2 resp: (3,5,7,...) 2) Escreva o termo geral das sequências: a) (1,4,9,16,25,...) resp: an=n2 com n∈Ν* b) (3,6,9,12,...) resp: an= 3n com n∈Ν* c) (2,5,8,11,14,...) resp: an = 3n - 1 com n∈Ν*

3) Determine quais da seqüências abaixo são PA. Em caso afirmativo, determine a razão e classifique-as em crescente, decrescente ou constante: a) (1; 1,1; 1,2; 1,3; ...) resp: PA crescente razão r = 0,1 b) (22;18;14;12; ...) resp: Não é PA c) (-3;-5;-7; ...) resp: PA decrescente r = -2 d) (5;5;5; ...) resp: PA constante razão r = 0 e) (1; -2; 3;-4; ...) resp: Não é PA 4) Os números x2, (x+2)2 e (x+3)2 estão em PA nessa ordem. Determine esses números. resp: (1/4;25/4,49/4) 5) Determine o 10º termo da PA (2,8,...). resp: a10=56 6) Determine quantos mútiplos de 5 há entre 21 e 623. resp: 120 7) Um corpo caindo livremente ( desprezando-se a resistência do ar ) tem ao final do 1º segundo, velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo

APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS

5

seguinte; de 29,4 m/s no final do 3º segundo; e assim por diante. Continuando assim, determine qual será a sua velocidade no final décimo segundo. resp: 98m/s 8) No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora está em PA crescente. Em janeiro, a produção foi de 18000 carros e, em junho, foi de 78000 unidades. Determine a produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril e maio. resp: 30000, 42000, 54000 e 66000 9) A figura abaixo indica a distribuição de cadeiras num auditório:

Determine quantas há fila H mantida essa tendência. resp: 38 10) Uma empresa tem o seu organograma uma PA partindo do presidente e a cada nível abaixo dele aumentando 4 funcionários. A forma mais comum de se representar esse organograma é a piramidal

Sabendo que a empresa tem dez níveis hierárquicos, determine quantos empregados ela tem. resp: 190 funcionários 11) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º dia, são colhidas 10 dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante. Quantas laranjas colherá ao final dos doze dias ? resp: 6192 laranjas 12) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado evento aumentava, diariamente , segundo uma PA de razão 15. Sabe-se que no 1º dia compareceram 56 pessoas e que o espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas. Durante quantos dias esse espetáculo ficou em cartaz ? resp: 7 dias