1. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas O problema Um grupo de exatamente 1 000 consumidores entraram em uma loja durante um dia. Foi reportado que 420 consumidores eram mulheres, 525 abriram credirio na loja, 325 fizeram alguma compra, 40 mulheres abriram credirio, mas no fizeram compras, 150 consumidores compraram e abri ram credirio, 30 mulheres fizeram compras, mas no abriram credirio e 50 mulheres abriram credirio e compraram algum produto. Pode-se concluir que as mulheres visitam mais as lojas sem inteno de comprar? Ou de outra forma, as mulheres vo s lojas e compram menos ou no abrem tanto credirio quanto os homens? Explorando o problema A resposta a este tipo de problema est diretamente relacionada cons truo de conjuntos e operaes de conjuntos no contexto da Teoria dos Conjuntos. Uma forma de resolver o problema por meio da construo de Diagramas de Venn. A teoria dos conjuntos serve como um dos pilares da moderna Matem tica. No somente fornece o veculo para o desenvolvimento de definies precisas para importantes conceitos de relaes e funes como tambm serve como uma aritmtica poderosa para manipular conjunto de objetos. Assim, a teoria dos conjuntos ajuda na anlise de um nmero significativo de problemas nas reas ambientadas em negcios que no so adaptveis a tcnicasalgbricasconvencionais.Almdisso,umconhecimentodosconcei tos fundamentais da teoria de conjuntos pode pavimentar o caminho para a compreenso de probabilidade e de mtodos de inferncia estatstica. Os conjuntos podem ser apresentados de forma analtica, como o con junto N dos nmeros naturais que pode ser apresentado como j vimos, da seguinte forma: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br

2. 58 Mtodos Quantitativos Matemticos Ou, alternativamente, atravs do chamado Diagrama de Venn: 1 2 3 6 ... 4 5 Essa representao atravs do Diagrama de Venn ser muito utilizada na discusso acerca das relaes e das funes. Aquelas discutidas ainda neste captulo e estas em captulo subseqente. A soluo do problema acima pode facilmente se dar com noes bsicas da Teoria dos Conjuntos e com a utilizao de Diagramas de Venn. Nas discusses sobre relaes e funes, alm desses instrumentos j ci tados, sero fundamentais a construo de grficos a partir do plano carte- siano, que tambm ser objeto de estudo neste captulo. Equacionando o problema Um conjunto uma coleo bem definida de distintos objetos. No pro blema colocado temos um primeiro importante conjunto, chamado de conjunto dos consumidores. Dele fazem parte todas as pessoas, mulheres e homens, que freqentaram uma determinada loja em certo dia. No proble ma, esse conjunto foi relatado como tendo 1 000 elementos. Um conjunto , portanto, formado por elementos que tenham uma ca racterstica de interesse em comum. No caso, so pessoas que entraram na loja naquele dia. Se esses elementos podem ser divididos por caractersticas comuns entre eles, em distintos novos conjuntos, esses novos conjuntos so parte do con junto original e so chamados de subconjuntos. Os consumidores podem ser divididos em vrios novos subconjuntos, como o subconjunto dos homens e o subconjunto das mulheres; o subcon junto dos que compraram alguma mercadoria e o dos que no compraram nada; e ainda o subconjunto dos que abriram um credirio e o dos que no o abriram. Cada um dos trs grupos de subconjuntos apresentados acima divide o conjunto original, tambm chamado de conjunto universo (U), em duas partes excludentes; homens e mulheres; compradores e no-compradores; Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 3. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 59 e aqueles que abriram credirio e os que no o abriram. Cada um desses subconjuntos, dois a dois, no tm elementos em comum. O subconjunto das mulheres s tem mulheres e o subconjunto dos homens s tem homens. Esses subconjuntos so tambm chamados de conjuntos disjuntos. Sua representao grfica atravs do Diagrama de Venn pode ser apresentada como abaixo: U Mulheres Homens No entanto, como as caractersticas desses trs grupos de subconjuntos so diferentes, pode haver interseo entre eles. Mulheres podem comprar ou no, tambm elas podem abrir credirio ou no. Assim uma representao completa do problema pode ser feita atravs do seguinte Diagrama de Venn: A C M H U = 1 000 40 Cada um dos espaos dentro do diagrama tem um significado. Por exem plo, as mulheres que no compraram, mas abriram credirio (40) esto repre sentadas no diagrama pela cor azul. Conceitos e regras Teoria dos conjuntos O conceito de um conjunto, subconjunto e seus elementos Um conjunto uma coleo bem-definida de objetos distintos. Ns esta mos todos familiarizados com tais noes de umconjuntode pratos ou um conjunto de clubes de futebol. Mas os objetos contidos em um conjunto Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 4. 60 Mtodos Quantitativos Matemticos no precisam ser to concretos como os dos exemplos mencionados. Con ceitos abstratos como todos os inteiros positivos, todos os pontos em um intervalo [a, b] de uma reta, e todos os nmeros racionais no-negativos tambm podem ser encontrados em um conjunto. Os itens que pertencem a um conjunto, ento, podem ser de qualquer tipo: pessoas, coisas, localizaes geogrficas, figuras geomtricas, resulta dos de pesquisas. Cada objeto de um conjunto chamado de elemento ou membro do conjunto. Para se formar um conjunto, a coleo de objetos deve encontrar dois requerimentos. Primeiro, o agregador deve estar bem-definido. Os itens individuais devem ter uma caracterstica ou caractersticas que os faam pertencer a um conjunto particular. Uma regra ou mtodo deve existir para que seja possvel determinar se um objeto, seja ele qual for, ou no membro do conjunto em questo. Segundo, os elementos de um conjunto so distintos. Nenhum con junto pode ter o mesmo elemento duas vezes. Quando um objeto j es tiver listado como elemento de um conjunto este no poder mais ser repetido. O conjunto de letras da palavra CURITIBA, ento, no um con junto que contm oito letras mas sim um conjunto com sete letras distin tas: c,u,r,i,t,B,a. A seqncia que os elementos so listados quando so enumerados insignificante. Notao dos conjuntos Normalmente as letras maisculas tais como A, B, X e Y so usadas para denotar os conjuntos, enquanto as letras minsculas tais como a, b, x e y so usadas para representar os elementos individuais de um conjunto. Os conjuntos podem ser descritos de duas formas: 1. Listagem dos elementos. Todos os elementos do conjunto so lista dos, separados por vrgulas e fechados por chaves. 2. Regra. A regra que pode ser usada para determinar se um objeto per tence ou no a um conjunto iniciada e encerrada por chaves. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 5. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 61 Assim, o conjunto A, que contm os inteiros entre 5 e 10, pode ser escrito como A = {6, 7, 8, 9} Essa notao lida,O conjunto A cujos elementos so 6, 7, 8 e 9. O mesmo conjunto pode ser denotado pela regra como A = {x|x um inteiro e est entre 5 e 10} Essa notao pode ser lida,A um conjunto de todos os as tal que a seja um inteiro entre 5 e 10. Elementos de um conjunto Na notao de conjunto, o smbolo significa um elemento de, ou pertence a, ou um membro de um conjunto. J o smbolo significa no um elemento deou no pertence aum conjunto. Exemplo 1 O conjunto X = {x|x um inteiro positivo menor que 10 e x exatamente divisvel por 4}. Ento, 8 X mas 7 X. Exemplo 2 A letra a representa o Sr. Costa e a letra B representa o conjunto de di retores do Banco do Brasil. Ento a B indica que o Sr. Costa um membro da diretoria do Banco; a B indica que o Sr. Costa no um membro da diretoria do banco. Conjuntos finitos e infinitos Seumconjuntotemumnmerodefinidodeelementos,estechamadode conjunto finito. perfeitamente possvel que um conjunto tenha um nmero exageradamente grande de elementos e ainda seja um conjunto finito. Se o nmero de elementos de um conjunto no tem limite, o conjunto dito como um conjunto infinito. Um exemplo simples de um conjunto infi nito o conjunto de nmeros inteiros positivos. Conjuntos finitos e infinitos enumerveis so chamados de conjuntos discretos. Um conjunto contnuo um conjunto infinito no-enumervel. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 6. 62 Mtodos Quantitativos Matemticos Conjuntos iguais DoisconjuntosAeB,soditosiguaisseesomentesecadaumdelescontiver exatamente os mesmos elementos. A igualdade entre conjuntos simbolizada da seguinte forma A = B ou B = A. Se um dos conjuntos tiver pelo menos um elemento que no pertena ao outro conjunto ento os dois conjuntos no so iguais. Esta desigualdade simbolizada da seguinte forma A B ou B A. Conjunto universo Em qualquer anlise, quando a teoria dos conjuntos empregada, um con junto bsico que contm todos os elementos a serem considerados naquela investigao est tacitamente assumido de existir. Este conjunto chamado de conjunto universo e denotado pelo smbolo U. Todos os outros conjuntos considerados na investigao so definidos neste conjunto bsico. Observe que um conjunto universo diferente definido para cada pro blema ou investigao diferente. O conjunto vazio O conjunto que no contm elementos chamado de conjunto vazio e denotado pelo smbolo ou por { }. Exemplo 3 O conjunto de todos os corredores que regularmente fazem 100 metros em menos de 5 segundos um exemplo de conjunto vazio. Subconjuntos Se todos os elementos do conjunto A so tambm elementos do conjun to B, A chamado de subconjunto de B. A relao simbolizada por A B, e se lA subconjunto de BouA est contido em B. Tambm A B indica que todo elemento que pertencente ao conjunto A tambm um elemento de B. Todos os elementos de B podem ou no estar includos em A para que a sentenaA um subconjunto de Bseja verdadeira. Exemplo 4 Dado A = {1,2}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4}. O conjunto A um subconjunto do conjunto B, mas A no subconjunto de C. Isto , A B mas A C. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 7. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 63 Representao Grfica de Conjunto Quando consideramos o conjunto universo e seus subconjuntos, til fazer uma representao geomtrica desses conjuntos e as relaes entre eles. Diagramas de Venn so usados para ilustrar de forma descritiva os conjuntos. Um grande retngulo comumente empregado para simbolizar o con junto universo U, enquanto os crculos ou as elipses ou outras formas simples so desenhadas dentro do retngulo para descrever subconjuntos de U. A nica condio que os smbolos usados para representar os subcon juntos devem estar dentro da caixa que representa o conjunto universo. O tamanho e a forma das configuraes no tem nenhuma influncia direta com o nmero de elementos do conjunto e dos subconjuntos. A figura 1 mostra os subconjuntos A, B e C definidos em um conjunto universo U e ilustra que B A, A B e B C. A B C Figura 1 Diagrama de Venn. Nmero de subconjuntos de um conjunto Uma vez que o conjunto universo U tenha sido definido em uma anlise particular, todos os conjuntos que podem ser formados de elementos de U so conhecidos como subconjuntos de U. O nmero total de possveis sub conjuntos depende do nmero de elementos de U. Um conjunto com n elementos tem 2n possveis subconjuntos. Assim, um conjunto com 3 elementos tem 23 = 8 possveis subconjuntos; um conjunto com 10 elementos tem 210 = 1 024 subconjuntos. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 8. 64 Mtodos Quantitativos Matemticos Produto cartesiano de conjuntos Um par ordenado um par de objetos no qual a seqncia em que os objetos aparecem deve ser considerada. A notao (a, b) usada para repre sentar um par ordenado em que a o primeiro componente e b o segundo componente. O par ordenado (a, b) muito diferente do conjunto {a, b} que contm dois elementos a e b. No conjunto {a, b} no existe oprimeiro componente porque a ordem na qual os elementos do conjunto so listados irrelevante. Assim, apesar do conjunto {a, b} ser igual ao conjunto {b, a} , o par ordenado (a, b) no igual ao par ordenado (b, a). Dois pares ordenados so iguais se e somente se seus primeiros e segundos componentes forem os mesmos. Sempre que tivermos dois conjuntos, podemos formar pares ordenados pegando o primeiro componente dos elementos de um conjunto e o segun do componente dos elementos do segundo conjunto. Se A e B so dois conjuntos, o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro componente pego do conjunto A e o segundo componente pego do conjunto B chamado de produto cartesiano de A por B (refe rncia ao matemtico Ren Descartes) e denotado A x B, normalmente lido comoA por B. Em notao simblica: A x B = {(a, b)| a A e b B}. Se A e B so conjuntos finitos tal que A contenha m elementos a1 , a2 , ..., am e B contm n elementos b1 , b2 , ... , bn , A x B um conjunto que contm os seguintes m x n elementos: (a1 , b1 ) (a1 , b2 ) ... (a1 , bn ) (a2 , b1 ) (a2 , b2 ) ... (a2 , bn ) (am , b1 ) (am , b2 ) ... (am , bn ) Se o primeiro elemento do par ordenado pego do conjunto B e o se gundo elemento do conjunto A, o conjunto produto cartesiano ser B por A, denotado B x A. Exemplo 1 Seja o conjunto A que representa os resultados dos lanamentos de uma moeda, A = {C, K} onde C cara e K coroa. Seja o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 9. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 65 os possveis resultados do lanamento de um dado. Os conjuntos que seguem so alguns dos conjuntos de produtos cartesianos que podem ser formados: A x B = {(C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4), (K, 5), (K, 6)} B x A = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K)} A x A = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)} Este conceito pode ser estendido para o produto cartesiano de n con juntos. Se A, B e C forem conjuntos, vrias construes podem ser feitas. O produto cartesiano A x B pode ser usado para formar um novo conjunto, o qual pode ser combinado com C para formar (A x B) x C. Ou B e C podem ser combinados para formar B x C e uma segunda combinao (B x C) x A pode ser feita e assim por diante. Relaes A relao entre o conjunto A e o conjunto B, denotado por R, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. O nmero de relaes em qual quer produto cartesiano depende do nmero de pares ordenados naquele conjunto em particular. Se o nmero de pares ordenados for p, o nmero de relaes ser 2p . Exemplo 2 Se A = {a1 , a2 } e B = {b1 , b2 } , o conjunto produto cartesiano A x B =Y contm 2.2 = 4 pares ordenados, como segue: Y = A x B = {(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 )} Todo subconjunto de pares ordenados deste produto cartesiano uma relao. Aqui temos 24 = 16 relaes, como segue: R1 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 )} R2 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 )} R3 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b2 )} R4 ={(a1 , b1 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ),} R5 ={(a1 , b2 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 )} Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 10. 66 Mtodos Quantitativos Matemticos R6 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 )} R7 ={(a1 , b1 ), (a2 , b1 )} R8 ={(a1 , b1 ), (a2 , b2 )} R9 ={(a1 , b2 ), (a2 , b1 )} R10 ={(a1 , b2 ), (a2 , b2 )} R11 ={(a2 , b1 ), (a2 , b2 )} R12 ={(a1 , b1 )} R13 ={(a1 , b2 )} R14 ={(a2 , b1 )} R15 ={(a2 , b2 )} R16 = Exemplo 2 Um dado branco e um dado preto so lanados. B representa os poss veis resultados do dado branco e P os possveis resultados do dado preto. Ento B = P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No conjunto produto cartesiano B x P existiro 6 .6 = 36 elementos que so pares ordenados. O produto pode ser denotado simbolicamente como: X = B x P = {(b, p)| b B e p P} Existem 236 possveis relaes. Exemplos especficos para essas relaes que podem ser de especial interesse so: R1 = {(b, p)| b = p e (b, p) B x P} Os pares ordenados desta relao so: R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Ou ns podemos estar especialmente interessados na relao R2 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1) (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} O conjunto acima representa os pares ordenados em que os valores do dado branco so sempre maiores que os valores do dado preto. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 11. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 67 Domnio e contradomnio de uma relao O domnio da relao R o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados em R. O contradomnio da relao R o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados em R. Funes Uma funo um caso especial de uma relao. Qualquer subconjunto de AxB uma relao. A relao uma funo de A para B onde para cada elemento do conjunto A existe um nico elemento do conjunto B. Em outras palavras, se cada elemento do domnio estiver associado com um elemento no contradomnio a associao chamada de funo. Observe, ento, que o nmero de pares ordenados em uma funo igual ao nmero de elementos no conjunto A, o conjunto que fornece o primeiro componen te dos pares ordenados. Exemplo 3 Ns vimos no Exemplo 2 que se A = {a1 , a2 } e B = {b1 , b2 } temos 16 relaes (ou subconjuntos) possveis no conjunto de produto cartesiano A x B. Dessas relaes somente quatro esto em conformidade com a definio de uma funo. Essas quatro funes so: R7 = {(a1 , b1 ), (a2 , b1 )} R8 = {(a1 , b1 ), (a2 , b2 )} R9 = {(a1 , b2 ), (a2 , b1 )} R10 = {(a1 , b2 ), (a2 , b2 )} Cada uma dessas funes consiste em dois pares ordenados, ou n (A) pares ordenados. a1 aparece como o primeiro elemento uma vez e a2 apare ce como primeiro elemento uma vez em cada funo. No h distintos pares ordenados de uma funo que tm a mesma primeira coordenada. Operaes com conjuntos Como os nmeros podem ser combinados pelas operaes bsicas da Matemtica adio, subtrao, multiplicao e diviso para formar um novo nmero, os conjuntos tambm podem ser combinados para formar um novo conjunto. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 12. 68 Mtodos Quantitativos Matemticos Todos os conjuntos envolvidos na combinao so subconjuntos do mesmo conjunto universo. O novo conjunto formado ser tambm subcon junto do mesmo conjunto universo. As operaes bsicas usadas com conjuntos so: complemento, inter seo e unio entre conjuntos. Complemento de conjuntos O complemento do conjunto A em relao ao conjunto universo U o conjunto que contm todos os elementos de U que no esto em A. Exemplo 1 Suponha que o conjunto universo U tenha como seus elementos todas as 23 letras do alfabeto. Se A o subconjunto de U que contm todas as vogais, ento todas as consoantes formam outro subconjunto, tambm um subcon junto de U que conhecido como o complemento de A com relao a U. O smbolo Ac , que se lno Aouo complemento de A, usado para represen tar o complemento de A (ver figura 2). A relao pode ser simbolizada Ac = {x|x U e x A} A Ac U Figura 2. Exemplo 2 O complemento do conjunto de todos os nmeros racionais com relao ao conjunto universo de todos os nmeros reais o conjunto de todos os nmeros irracionais. Exemplo 3 O complemento do conjunto de empregados da Companhia XYZ que tem 45 anos de idade ou mais com relao ao conjunto universo de todos Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 13. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 69 os empregados da Companhia XYZ o conjunto cujos elementos so aqueles empregados da Companhia XYZ que tem menos de 45 anos de idade. Exemplo 4 O complemento do conjunto universo com relao a ele mesmo o con junto vazio e o complemento do conjunto vazio com relao ao conjun to universo o prprio conjunto universo U. Interseo A interseo de dois conjuntos A e B, denotada por A B, l-seA interse o com BouA inter B, o conjunto dos elementos que pertencem a ambos os conjuntos A e B. Simbolicamente, A B = {x|x A e x B} A interseo de dois conjuntos mostrada na figura 3. A B (a interseo de A e B mostrada pela rea pintada). U B A A B B A A B U Figura 3. Exemplo 5 Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {3, 4, 7} , ento A B = {4}. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 14. 70 Mtodos Quantitativos Matemticos Exemplo 6 Se o conjunto A um conjunto cujos elementos so todos os carros ama relos estacionados em um estacionamento particular e os elementos do conjunto B so todos os da marca M estacionados no mesmo estacionamen to, a interseo de A e B, A B o conjunto de todos os carros da marca M e amarelos estacionados no estacionamento particular. Exemplo 7 Se o conjunto A contm todos os carros amarelos estacionados em um determinado estacionamento e o conjunto B contm todos os carros da marca M estacionados no mesmo estacionamento, ento Bc contm todos os carros que no so da marca M e A Bc contm todos os carros amarelos exceto os da marca M e amarelos. (ver figura 4). B A U Figura 4. A notao da interseo pode facilmente ser generalizada a situaes que envolvem mais de dois conjuntos. Assim, a interseco dos conjuntos A1 , A2 , ... , An , escrito A1 A2 ... An o conjunto dos elementos comuns a todos os conjuntos A1 , A2 , ... , An. Exemplo 8 Definimos um conjunto universo U cujos elementos so todos mem brosda fora de trabalho. No conjunto A esto os elementos que so empre gados daCompanhia XYZ, no conjunto B esto todos os membros femininos da fora de trabalho e no conjunto C esto todos os membros da fora de trabalho que possuem menos de 25 anos. A interseco desses conjuntos A B C ser o conjunto de mulheres empregadas na companhia XYZ que tm menos de 25 anos. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 15. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 71 Conjuntos disjuntos Se dois conjuntos A e B no tiverem elementos em comum, A B = os conjuntos so ditos conjuntos disjuntos. Em um Diagrama de Venn, como mostrado na figura 5, os conjuntos disjuntos so mostrados como no tendo nenhuma rea sobreposta. U A B Figura 5. Exemplo 9 Se o conjunto universo U contm 52 cartas de um baralho e se dois sub conjuntos forem definidos como R = {cartas vermelhas} e B ={cartas pretas} Ento R B = . Os conjuntos R e B so conjuntos disjuntos. Unio A unio de A e B (denotada por A B) quando A e B so dois conjuntos definidos em um conjunto universo U, contm aqueles elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. A B = {x|x A ou x B} A B (a unio de A e B mostrada na rea pintada) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 16. 72 Mtodos Quantitativos Matemticos U B B A A U Figura 6. Exemplo 10 Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, ento A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} Exemplo 11 Se o conjunto A contm todos os carros amarelos de um estacionamento e o conjunto B contm todos os carros da marca M deste estacionamento, a unio de A e B, A B, contm todos os carros amarelos mais os carros da marca M de outras cores do estacionamento. A notao de unio pode ser estendida para os casos que envolvem mais do que dois conjuntos. A unio dos conjuntos A1 , A2 , ..., An , denotada como A1 A2 ... An , o conjunto de elementos que esto pelo menos em um dos conjuntos A1 , A2 , ..., An . Exemplo 12 Considere os seguintes conjuntos definidos em um conjunto universo U cujos elementos so todos os moradores de Curitiba. A = {x|x um professor universitrio} B = {x|x uma pessoa casada} C = {x|x tem menos de 35 anos} Ento o conjunto A B C representa todos os moradores de Curitiba que so ou professores ou casados ou abaixo de 35 anos. (ver figura 7A). O conjunto de moradores que so casados, professores e abaixo de 35 anos denotado da seguinte forma: A B C (ver figura 7B). Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 17. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 73 O conjunto de moradores que so ou professores ou casados, mas so abaixo de 35 anos pode ser descrito pela seguinte notao: (A B) C (ver figura 7C). Ou o conjunto de moradores que so professores, no so casados, mas esto acima dos 35 anos de idade pode ser simbolizado por: A (Bc Cc ) (ver figura 7D). A B C A B C U B C U A B C A Figura 7A. Figura 7B. (A B) C A (Bc Cc ) U U Figura 7C. Figura 7D. B C A B C A Partio Uma coleo de subconjuntos dita exaustiva se sua unio contiver cada um dos elementos no conjunto universo em que eles esto definidos. Um grupo de conjuntos que so mutuamente excludentes e exaustivos chama do de uma partio. Tal partio est mostrada na figura 8. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 18. 74 Mtodos Quantitativos Matemticos U B C A D Figura 8. Exemplo 13 Dado um conjunto universo U = [1, 2, 3, 4, 5], a coleo de subconjuntos A = [1, 2], B = [3] e C = [4, 5] formam uma partio de U. Um conjunto universo U pode ser particionado de diferentes modos, claro. Por exemplo: a coleo de subconjuntos D = [1], E = [3, 5] e F = [2, 4] tambm forma uma partio do conjunto universo dado acima. Dados dois conjuntos A e B, que no so disjuntos, o conjunto A pode ser particionado em dois subconjuntos disjuntos (A B) e (A Bc ). Alm disso, a unio dos dois conjuntos, A B, pode ser particionada em trs subconjuntos disjuntos (A Bc ), (A B), (Ac B), conforme ilustrado na figura 9. A = (A B) U (A Bc ) e (A U B) = (A Bc ) U (A B) U (Ac B) U BA A B Ac BA Bc Figura 9. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 19. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 75 Nmero de elementos em grupos de conjuntos finitos O nmero de elementos em qualquer conjunto A pode ser denotado por n(A). Por exemplo, se A = {1, 2 , 3 , 4} ento n(A) = 4. Ns estamos freqentemente interessados em saber o nmero de ele mentos em vrias combinaes dos conjuntos finitos. As observaes que seguem sero teis em tais situaes. 1. O conjunto nulo no contm elementos, isto : n() = 0. 2. Um conjunto no-vazio no pode ter um nmero negativo de ele mentos, isto : n(A) > 0 se A no for vazio. 3. Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, eles no tm elementos em comum, e o conjunto A B um conjunto vazio, isto : n(A B) = 0 se A e B forem conjuntos disjuntos. 4. Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, o nmero de elementos em A B igual ao nmero de elementos em A mais o nmero de elemen tos em B, isto : n(A B) = n(A) + n(B) se A B = . 5. Para qualquer um dos dois conjuntos A e B, o nmero de elementos em A B igual ao nmero de elementos em A mais o nmero de elementos em B menos o nmero de elementos que so comuns aos dois conjuntos, isto : n(A B) = n(A) + n(B) n(A B). 6. Para qualquer dois conjuntos A e B que no sejam disjuntos, o conjun to A pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A B e A Bc . (ver figura 10). Assim: n(A) = n(A B) + n(A Bc ). Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 20. 76 Mtodos Quantitativos Matemticos A = A B A Bc ; da n(A) = n(A B) + n(A Bc ) U BA A BA Bc Figura 10. 7. Para qualquer conjunto universo U em que os conjuntos A e B so de finidos, o conjunto universo pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A B e (A B)c (ver figura 11). Assim: n(U) = n(A B) + n(A B)c U = (A B) (A B)c ; da, n(U) = n(A B) + n(A B)c U BA (A B)c AB Figura 11. 8. O conjunto (A B)c e o conjunto (Ac Bc ) so iguais porque eles con tm precisamente os mesmos elementos (ver figura 12). Assim: n(Ac Bc ) = n(A B)c E, como n(U) = n(A B) + n(A B)c , n(Ac Bc ) = n(U) n(A B) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 21. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 77 A B U(Ac Bc ) = (A B)c A B UBc U A B Ac Figura 12 Exemplo 1 Dado A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8}, ento n(A) = 5 e n(B) = 3. Podemos perceber que A e B no possuem elementos em comum. Assim, A B = e n(A B) = 0. Tambm, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e n(A B) = n(A) + n(B) = 5 + 3 = 8. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 22. 78 Mtodos Quantitativos Matemticos Exemplo 2 Dado A = {2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6} , ento n(A) = 4 e n(B) = 3. Neste caso, A B = {2, 4} e n(A B) = 2. O conjunto A B = {2, 3, 4, 5, 6} e n(A B) = 5. Quando A e B no forem disjuntos, o nmero de elementos de A B no ser a soma de n(A) e n(B) mas sim, n(A B) = n(A) + n(B) n(A B). Da 5 = 4 + 3 2. Os Diagramas de Venn so muito teis para se determinar o nmero de elementos nas combinaes de conjuntos finitos, como mostrar o exemplo seguinte. Exemplo 3 Em um dia, 325 pessoas pararam em bancas de jornal. Dessas, 185 compra ram o Jornal A, 150 compraram o Jornal B e 95 compraram ambos. Quantas pessoasnocompraramnenhumjornal?QuantaspessoascompraramoJornal A, mas no compraram o Jornal B? Quantas pessoas compraram o Jornal B mas no o A? Quantas pessoas compraram pelo menos um dos jornais? O Diagrama de Venn, na figura 13, nos ajudar a responder a essas ques tes. Primeiro vamos definir o conjunto A que contm todos os compradores do Jornal A e o conjunto B que contm todos os compradores do Jornal B. Ento, cuidadosamente, rotulamos as regies no Diagrama deVenn. Usando a informao que 95 pessoas compraram ambos jornais isto , n(A B) = 95 ns colocaremos este nmero na regio que corresponde a A B. Depois, como n(A) = n(A B) + n(A Bc ) da n(A Bc ) = 185 95 = 90; ento colocaremos esse na regio apropriada. Tambm,n(B)=n(AB)+n(Ac B)datemosquen(Ac B)=15095=55. Novamente, colocaremos esse nmero na regio apropriada. Para se determinar o nmero de pessoas que no compraram jornal, ns particionaremos o conjunto universo U em dois conjuntos disjuntos, isto : U = (A B) (A B)c Da, ns temos: n(U) = n(A B) + n(A B)c Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 23. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 79 Alm disso, temos que: (A B) = (A Bc ) (A B) (Ac B) Ento, nesse caso: n(A B) = 90 + 95 + 55 = 240 A partir desse resultado obteremos: n(A B)c = 325 240 = 85. Em resumo, ns determinamos que 85 pessoas no compraram nenhum dos dois jornais, 90 compraram somente o Jornal A, 55 compraram somente o Jornal B. Alm disso, 90 + 55 = 145 compraram exatamente um dos dois jornais; 325 85 = 240 compraram pelo menos um dos dois jornais. U A B 95 Ac B 55 A Bc 90 A B (A B)c 85 Figura 13. Ampliando seus conhecimentos Augustos de Morgan nasceu em 1806, na ndia, e morreu em 1871. Foi matemtico e professor na Inglaterra, um dos fundadores da BAAS (Bri tishAssociationfortheAdvancementScience).EstudounoTrinityCollege,eno entrou para Cambridge e Oxford por se recusar a participar do exame religioso. Era cego de um olho e teve muitos problemas durante sua vida profissional em virtude de posies radicais em defesa da liberdade religiosa, intelectual e acadmica. Escreveu trabalhos sobre fundamentos de lgebra, clculo diferencial, lgica e teoria das probabilidades. Tambm foi um dos responsveis pela cria o da lgica simblica moderna. (Disponvel em: .) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 24. 80 Mtodos Quantitativos Matemticos Atividades de aplicao 1. Escreva em smbolos: a) O Brasil (b) est na Amrica do Sul (A). b) Angola (a) no est na Amrica do Sul (A). c) A Venezuela (v) no pertence s regies brasileiras (R). d) O Nordeste (n) pertence s regies brasileiras (R). 2. Classifique de falso ou verdadeiro: a) Equador Amrica do Sul. b) Sudeste regies brasileiras. c) Frana regies brasileiras. d) Centro-Oeste Amrica do Sul. 3. Escreva que o conjunto x um nmero mpar descrevendo os seus elementos e pela regra. 4. Escreva a regra que descreve o conjunto M = {3, 4, 5, 6, 7 ...}. 5. Diga se o conjunto A = {d, c, a, e, b} igual ou diferente do conjunto B = {a, b, c, d, e}. 6. Sejam os conjuntos A= {5, 6}, B = {5, 6, 7, 8} e C= {5, 7, 8}. A afirmao A B mas A C falsa ou verdadeira? 7. Conjunto unitrio o conjunto que s tem um elemento. Classifique os seguintes conjuntos como conjunto vazio ou conjunto unitrio. a) A = {polgonos que possuem trs lados}. b) B = {x | x um nmero natural maior que 5 e menor que 6}. c) C = {x | x um nmero par maior ou igual a 3 e menor que 5}. 8. Diga se a afirmao falsa ou verdadeira: O conjunto B pertence ao conjunto A. A B Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 25. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 81 9. Seja o conjunto A = {letras da palavra CONJUNTO}. Quantos possveis subconjuntos possuem o conjunto A. 10.A afirmaoO conjunto vazio no subconjunto do conjunto univer so porque no tem nenhum elemento falsa ou verdadeira? 11.Se A e B so dois conjuntos, ento o produto cartesiano A x B nunca ser igual ao produto cartesiano B x A. Falso ou verdadeiro? 12.Se B o conjunto que representa o lanamento de um dado branco e P o conjunto que representa um dado preto, quantos elementos ter o produto cartesiano B x P? 13.Com base no problema anterior diga se o conjunto PxB igual ao con junto B x P. 14.Ainda com base no problema 12, quantas relaes podem ser constru das do produto cartesiano B x P? 15.Cada relao tem como elemento um par ordenado. Quais so as rela es unitrias do produto cartesiano B x P? 16.Descreva como caracterizar quais das relaes do produto cartesiano B x P podem ser definidas como funo? 17.As funes definidas acima so casos especiais de relaes.Verdadeiro ou falso? 18.Na relao B x P definida no problema acima quem o domnio da relao? 19.O conjunto vazio subconjunto de todo conjunto. O conjunto vazio subconjunto dele mesmo? 20.Qual o menor produto cartesiano possvel? 21.Seja I o conjunto das pessoas idosas, ou seja pessoas com 60 anos de idade ou mais. Defina o seu complemento Ic . 22.Represente o conjunto I e o conjunto Ic em um Diagrama de Venn. 23.Sejam A = {5, 7, 9} e B o conjunto dos nmeros menores do que 9 e maiores ou iguais a 5. Detemine a interseo de A com B. 24.Represente o resultado acima em um Diagrama de Venn. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 26. 82 Mtodos Quantitativos Matemticos 25.Se O so as cartas de ouros de um baralho de 52 cartas e V as cartas vermelhas. Determine O V. 26.Represente o conjunto O V em um Diagrama de Venn. 27.Dois conjuntos disjuntos tm como complemento de sua unio o con junto vazio. Falso ou verdadeiro? 28.Determine a unio dos conjuntos do exerccio 23. 29.Determine a unio dos conjuntos do exerccio 25. 30.Dado o conjunto universo U = {1, 2, 3}, quantas parties desse con junto podem ser construdas? Dado A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 8}: 31.Determine n(A) e n(B). 32.Determine n(A B). 33.Determine n(A B). Dado A = {1,2, 3, 4, 5} e B = {1, 5, 7}: 34.Determine n(A B). 35.Determine n(A B). 36.Determine o nmero de elementos de cada um dos conjuntos do pro blema exposto no incio do captulo referente ao nmero de homens e mulheres que visitaram a loja durante um dia. Represente o resultado atravs de um Diagrama de Venn. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 27. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 28. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br