- 1. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas O
problema Um grupo de exatamente 1 000 consumidores entraram em uma
loja durante um dia. Foi reportado que 420 consumidores eram
mulheres, 525 abriram credirio na loja, 325 fizeram alguma compra,
40 mulheres abriram credirio, mas no fizeram compras, 150
consumidores compraram e abri ram credirio, 30 mulheres fizeram
compras, mas no abriram credirio e 50 mulheres abriram credirio e
compraram algum produto. Pode-se concluir que as mulheres visitam
mais as lojas sem inteno de comprar? Ou de outra forma, as mulheres
vo s lojas e compram menos ou no abrem tanto credirio quanto os
homens? Explorando o problema A resposta a este tipo de problema
est diretamente relacionada cons truo de conjuntos e operaes de
conjuntos no contexto da Teoria dos Conjuntos. Uma forma de
resolver o problema por meio da construo de Diagramas de Venn. A
teoria dos conjuntos serve como um dos pilares da moderna Matem
tica. No somente fornece o veculo para o desenvolvimento de
definies precisas para importantes conceitos de relaes e funes como
tambm serve como uma aritmtica poderosa para manipular conjunto de
objetos. Assim, a teoria dos conjuntos ajuda na anlise de um nmero
significativo de problemas nas reas ambientadas em negcios que no
so adaptveis a
tcnicasalgbricasconvencionais.Almdisso,umconhecimentodosconcei tos
fundamentais da teoria de conjuntos pode pavimentar o caminho para
a compreenso de probabilidade e de mtodos de inferncia estatstica.
Os conjuntos podem ser apresentados de forma analtica, como o con
junto N dos nmeros naturais que pode ser apresentado como j vimos,
da seguinte forma: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Esse material
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2. 58 Mtodos Quantitativos Matemticos Ou, alternativamente,
atravs do chamado Diagrama de Venn: 1 2 3 6 ... 4 5 Essa
representao atravs do Diagrama de Venn ser muito utilizada na
discusso acerca das relaes e das funes. Aquelas discutidas ainda
neste captulo e estas em captulo subseqente. A soluo do problema
acima pode facilmente se dar com noes bsicas da Teoria dos
Conjuntos e com a utilizao de Diagramas de Venn. Nas discusses
sobre relaes e funes, alm desses instrumentos j ci tados, sero
fundamentais a construo de grficos a partir do plano carte- siano,
que tambm ser objeto de estudo neste captulo. Equacionando o
problema Um conjunto uma coleo bem definida de distintos objetos.
No pro blema colocado temos um primeiro importante conjunto,
chamado de conjunto dos consumidores. Dele fazem parte todas as
pessoas, mulheres e homens, que freqentaram uma determinada loja em
certo dia. No proble ma, esse conjunto foi relatado como tendo 1
000 elementos. Um conjunto , portanto, formado por elementos que
tenham uma ca racterstica de interesse em comum. No caso, so
pessoas que entraram na loja naquele dia. Se esses elementos podem
ser divididos por caractersticas comuns entre eles, em distintos
novos conjuntos, esses novos conjuntos so parte do con junto
original e so chamados de subconjuntos. Os consumidores podem ser
divididos em vrios novos subconjuntos, como o subconjunto dos
homens e o subconjunto das mulheres; o subcon junto dos que
compraram alguma mercadoria e o dos que no compraram nada; e ainda
o subconjunto dos que abriram um credirio e o dos que no o abriram.
Cada um dos trs grupos de subconjuntos apresentados acima divide o
conjunto original, tambm chamado de conjunto universo (U), em duas
partes excludentes; homens e mulheres; compradores e
no-compradores; Esse material parte integrante do Aulas
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www.aulasparticularesiesde.com.br 3. Tpicos em teoria dos conjuntos
e relaes matemticas 59 e aqueles que abriram credirio e os que no o
abriram. Cada um desses subconjuntos, dois a dois, no tm elementos
em comum. O subconjunto das mulheres s tem mulheres e o subconjunto
dos homens s tem homens. Esses subconjuntos so tambm chamados de
conjuntos disjuntos. Sua representao grfica atravs do Diagrama de
Venn pode ser apresentada como abaixo: U Mulheres Homens No
entanto, como as caractersticas desses trs grupos de subconjuntos
so diferentes, pode haver interseo entre eles. Mulheres podem
comprar ou no, tambm elas podem abrir credirio ou no. Assim uma
representao completa do problema pode ser feita atravs do seguinte
Diagrama de Venn: A C M H U = 1 000 40 Cada um dos espaos dentro do
diagrama tem um significado. Por exem plo, as mulheres que no
compraram, mas abriram credirio (40) esto repre sentadas no
diagrama pela cor azul. Conceitos e regras Teoria dos conjuntos O
conceito de um conjunto, subconjunto e seus elementos Um conjunto
uma coleo bem-definida de objetos distintos. Ns esta mos todos
familiarizados com tais noes de umconjuntode pratos ou um conjunto
de clubes de futebol. Mas os objetos contidos em um conjunto Esse
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Mtodos Quantitativos Matemticos no precisam ser to concretos como
os dos exemplos mencionados. Con ceitos abstratos como todos os
inteiros positivos, todos os pontos em um intervalo [a, b] de uma
reta, e todos os nmeros racionais no-negativos tambm podem ser
encontrados em um conjunto. Os itens que pertencem a um conjunto,
ento, podem ser de qualquer tipo: pessoas, coisas, localizaes
geogrficas, figuras geomtricas, resulta dos de pesquisas. Cada
objeto de um conjunto chamado de elemento ou membro do conjunto.
Para se formar um conjunto, a coleo de objetos deve encontrar dois
requerimentos. Primeiro, o agregador deve estar bem-definido. Os
itens individuais devem ter uma caracterstica ou caractersticas que
os faam pertencer a um conjunto particular. Uma regra ou mtodo deve
existir para que seja possvel determinar se um objeto, seja ele
qual for, ou no membro do conjunto em questo. Segundo, os elementos
de um conjunto so distintos. Nenhum con junto pode ter o mesmo
elemento duas vezes. Quando um objeto j es tiver listado como
elemento de um conjunto este no poder mais ser repetido. O conjunto
de letras da palavra CURITIBA, ento, no um con junto que contm oito
letras mas sim um conjunto com sete letras distin tas:
c,u,r,i,t,B,a. A seqncia que os elementos so listados quando so
enumerados insignificante. Notao dos conjuntos Normalmente as
letras maisculas tais como A, B, X e Y so usadas para denotar os
conjuntos, enquanto as letras minsculas tais como a, b, x e y so
usadas para representar os elementos individuais de um conjunto. Os
conjuntos podem ser descritos de duas formas: 1. Listagem dos
elementos. Todos os elementos do conjunto so lista dos, separados
por vrgulas e fechados por chaves. 2. Regra. A regra que pode ser
usada para determinar se um objeto per tence ou no a um conjunto
iniciada e encerrada por chaves. Esse material parte integrante do
Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes
www.aulasparticularesiesde.com.br 5. Tpicos em teoria dos conjuntos
e relaes matemticas 61 Assim, o conjunto A, que contm os inteiros
entre 5 e 10, pode ser escrito como A = {6, 7, 8, 9} Essa notao
lida,O conjunto A cujos elementos so 6, 7, 8 e 9. O mesmo conjunto
pode ser denotado pela regra como A = {x|x um inteiro e est entre 5
e 10} Essa notao pode ser lida,A um conjunto de todos os as tal que
a seja um inteiro entre 5 e 10. Elementos de um conjunto Na notao
de conjunto, o smbolo significa um elemento de, ou pertence a, ou
um membro de um conjunto. J o smbolo significa no um elemento deou
no pertence aum conjunto. Exemplo 1 O conjunto X = {x|x um inteiro
positivo menor que 10 e x exatamente divisvel por 4}. Ento, 8 X mas
7 X. Exemplo 2 A letra a representa o Sr. Costa e a letra B
representa o conjunto de di retores do Banco do Brasil. Ento a B
indica que o Sr. Costa um membro da diretoria do Banco; a B indica
que o Sr. Costa no um membro da diretoria do banco. Conjuntos
finitos e infinitos
Seumconjuntotemumnmerodefinidodeelementos,estechamadode conjunto
finito. perfeitamente possvel que um conjunto tenha um nmero
exageradamente grande de elementos e ainda seja um conjunto finito.
Se o nmero de elementos de um conjunto no tem limite, o conjunto
dito como um conjunto infinito. Um exemplo simples de um conjunto
infi nito o conjunto de nmeros inteiros positivos. Conjuntos
finitos e infinitos enumerveis so chamados de conjuntos discretos.
Um conjunto contnuo um conjunto infinito no-enumervel. Esse
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Mtodos Quantitativos Matemticos Conjuntos iguais
DoisconjuntosAeB,soditosiguaisseesomentesecadaumdelescontiver
exatamente os mesmos elementos. A igualdade entre conjuntos
simbolizada da seguinte forma A = B ou B = A. Se um dos conjuntos
tiver pelo menos um elemento que no pertena ao outro conjunto ento
os dois conjuntos no so iguais. Esta desigualdade simbolizada da
seguinte forma A B ou B A. Conjunto universo Em qualquer anlise,
quando a teoria dos conjuntos empregada, um con junto bsico que
contm todos os elementos a serem considerados naquela investigao
est tacitamente assumido de existir. Este conjunto chamado de
conjunto universo e denotado pelo smbolo U. Todos os outros
conjuntos considerados na investigao so definidos neste conjunto
bsico. Observe que um conjunto universo diferente definido para
cada pro blema ou investigao diferente. O conjunto vazio O conjunto
que no contm elementos chamado de conjunto vazio e denotado pelo
smbolo ou por { }. Exemplo 3 O conjunto de todos os corredores que
regularmente fazem 100 metros em menos de 5 segundos um exemplo de
conjunto vazio. Subconjuntos Se todos os elementos do conjunto A so
tambm elementos do conjun to B, A chamado de subconjunto de B. A
relao simbolizada por A B, e se lA subconjunto de BouA est contido
em B. Tambm A B indica que todo elemento que pertencente ao
conjunto A tambm um elemento de B. Todos os elementos de B podem ou
no estar includos em A para que a sentenaA um subconjunto de Bseja
verdadeira. Exemplo 4 Dado A = {1,2}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3,
4}. O conjunto A um subconjunto do conjunto B, mas A no subconjunto
de C. Isto , A B mas A C. Esse material parte integrante do Aulas
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www.aulasparticularesiesde.com.br 7. Tpicos em teoria dos conjuntos
e relaes matemticas 63 Representao Grfica de Conjunto Quando
consideramos o conjunto universo e seus subconjuntos, til fazer uma
representao geomtrica desses conjuntos e as relaes entre eles.
Diagramas de Venn so usados para ilustrar de forma descritiva os
conjuntos. Um grande retngulo comumente empregado para simbolizar o
con junto universo U, enquanto os crculos ou as elipses ou outras
formas simples so desenhadas dentro do retngulo para descrever
subconjuntos de U. A nica condio que os smbolos usados para
representar os subcon juntos devem estar dentro da caixa que
representa o conjunto universo. O tamanho e a forma das configuraes
no tem nenhuma influncia direta com o nmero de elementos do
conjunto e dos subconjuntos. A figura 1 mostra os subconjuntos A, B
e C definidos em um conjunto universo U e ilustra que B A, A B e B
C. A B C Figura 1 Diagrama de Venn. Nmero de subconjuntos de um
conjunto Uma vez que o conjunto universo U tenha sido definido em
uma anlise particular, todos os conjuntos que podem ser formados de
elementos de U so conhecidos como subconjuntos de U. O nmero total
de possveis sub conjuntos depende do nmero de elementos de U. Um
conjunto com n elementos tem 2n possveis subconjuntos. Assim, um
conjunto com 3 elementos tem 23 = 8 possveis subconjuntos; um
conjunto com 10 elementos tem 210 = 1 024 subconjuntos. Esse
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Mtodos Quantitativos Matemticos Produto cartesiano de conjuntos Um
par ordenado um par de objetos no qual a seqncia em que os objetos
aparecem deve ser considerada. A notao (a, b) usada para repre
sentar um par ordenado em que a o primeiro componente e b o segundo
componente. O par ordenado (a, b) muito diferente do conjunto {a,
b} que contm dois elementos a e b. No conjunto {a, b} no existe
oprimeiro componente porque a ordem na qual os elementos do
conjunto so listados irrelevante. Assim, apesar do conjunto {a, b}
ser igual ao conjunto {b, a} , o par ordenado (a, b) no igual ao
par ordenado (b, a). Dois pares ordenados so iguais se e somente se
seus primeiros e segundos componentes forem os mesmos. Sempre que
tivermos dois conjuntos, podemos formar pares ordenados pegando o
primeiro componente dos elementos de um conjunto e o segun do
componente dos elementos do segundo conjunto. Se A e B so dois
conjuntos, o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro
componente pego do conjunto A e o segundo componente pego do
conjunto B chamado de produto cartesiano de A por B (refe rncia ao
matemtico Ren Descartes) e denotado A x B, normalmente lido comoA
por B. Em notao simblica: A x B = {(a, b)| a A e b B}. Se A e B so
conjuntos finitos tal que A contenha m elementos a1 , a2 , ..., am
e B contm n elementos b1 , b2 , ... , bn , A x B um conjunto que
contm os seguintes m x n elementos: (a1 , b1 ) (a1 , b2 ) ... (a1 ,
bn ) (a2 , b1 ) (a2 , b2 ) ... (a2 , bn ) (am , b1 ) (am , b2 ) ...
(am , bn ) Se o primeiro elemento do par ordenado pego do conjunto
B e o se gundo elemento do conjunto A, o conjunto produto
cartesiano ser B por A, denotado B x A. Exemplo 1 Seja o conjunto A
que representa os resultados dos lanamentos de uma moeda, A = {C,
K} onde C cara e K coroa. Seja o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
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9. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 65 os
possveis resultados do lanamento de um dado. Os conjuntos que
seguem so alguns dos conjuntos de produtos cartesianos que podem
ser formados: A x B = {(C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C,
6), (K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4), (K, 5), (K, 6)} B x A = {(1,
C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, K), (2, K), (3, K),
(4, K), (5, K), (6, K)} A x A = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}
Este conceito pode ser estendido para o produto cartesiano de n con
juntos. Se A, B e C forem conjuntos, vrias construes podem ser
feitas. O produto cartesiano A x B pode ser usado para formar um
novo conjunto, o qual pode ser combinado com C para formar (A x B)
x C. Ou B e C podem ser combinados para formar B x C e uma segunda
combinao (B x C) x A pode ser feita e assim por diante. Relaes A
relao entre o conjunto A e o conjunto B, denotado por R, qualquer
subconjunto do produto cartesiano A x B. O nmero de relaes em qual
quer produto cartesiano depende do nmero de pares ordenados naquele
conjunto em particular. Se o nmero de pares ordenados for p, o
nmero de relaes ser 2p . Exemplo 2 Se A = {a1 , a2 } e B = {b1 , b2
} , o conjunto produto cartesiano A x B =Y contm 2.2 = 4 pares
ordenados, como segue: Y = A x B = {(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 ,
b1 ), (a2 , b2 )} Todo subconjunto de pares ordenados deste produto
cartesiano uma relao. Aqui temos 24 = 16 relaes, como segue: R1
={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 )} R2 ={(a1 , b1 ),
(a1 , b2 ), (a2 , b1 )} R3 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b2 )} R4
={(a1 , b1 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ),} R5 ={(a1 , b2 ), (a2 , b1 ),
(a2 , b2 )} Esse material parte integrante do Aulas Particulares
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www.aulasparticularesiesde.com.br 10. 66 Mtodos Quantitativos
Matemticos R6 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 )} R7 ={(a1 , b1 ), (a2 , b1
)} R8 ={(a1 , b1 ), (a2 , b2 )} R9 ={(a1 , b2 ), (a2 , b1 )} R10
={(a1 , b2 ), (a2 , b2 )} R11 ={(a2 , b1 ), (a2 , b2 )} R12 ={(a1 ,
b1 )} R13 ={(a1 , b2 )} R14 ={(a2 , b1 )} R15 ={(a2 , b2 )} R16 =
Exemplo 2 Um dado branco e um dado preto so lanados. B representa
os poss veis resultados do dado branco e P os possveis resultados
do dado preto. Ento B = P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No conjunto produto
cartesiano B x P existiro 6 .6 = 36 elementos que so pares
ordenados. O produto pode ser denotado simbolicamente como: X = B x
P = {(b, p)| b B e p P} Existem 236 possveis relaes. Exemplos
especficos para essas relaes que podem ser de especial interesse
so: R1 = {(b, p)| b = p e (b, p) B x P} Os pares ordenados desta
relao so: R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Ou
ns podemos estar especialmente interessados na relao R2 = {(2, 1),
(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1) (5, 2), (5, 3), (5,
4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} O conjunto acima
representa os pares ordenados em que os valores do dado branco so
sempre maiores que os valores do dado preto. Esse material parte
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dos conjuntos e relaes matemticas 67 Domnio e contradomnio de uma
relao O domnio da relao R o conjunto de todos os primeiros
elementos dos pares ordenados em R. O contradomnio da relao R o
conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados em R.
Funes Uma funo um caso especial de uma relao. Qualquer subconjunto
de AxB uma relao. A relao uma funo de A para B onde para cada
elemento do conjunto A existe um nico elemento do conjunto B. Em
outras palavras, se cada elemento do domnio estiver associado com
um elemento no contradomnio a associao chamada de funo. Observe,
ento, que o nmero de pares ordenados em uma funo igual ao nmero de
elementos no conjunto A, o conjunto que fornece o primeiro componen
te dos pares ordenados. Exemplo 3 Ns vimos no Exemplo 2 que se A =
{a1 , a2 } e B = {b1 , b2 } temos 16 relaes (ou subconjuntos)
possveis no conjunto de produto cartesiano A x B. Dessas relaes
somente quatro esto em conformidade com a definio de uma funo.
Essas quatro funes so: R7 = {(a1 , b1 ), (a2 , b1 )} R8 = {(a1 , b1
), (a2 , b2 )} R9 = {(a1 , b2 ), (a2 , b1 )} R10 = {(a1 , b2 ), (a2
, b2 )} Cada uma dessas funes consiste em dois pares ordenados, ou
n (A) pares ordenados. a1 aparece como o primeiro elemento uma vez
e a2 apare ce como primeiro elemento uma vez em cada funo. No h
distintos pares ordenados de uma funo que tm a mesma primeira
coordenada. Operaes com conjuntos Como os nmeros podem ser
combinados pelas operaes bsicas da Matemtica adio, subtrao,
multiplicao e diviso para formar um novo nmero, os conjuntos tambm
podem ser combinados para formar um novo conjunto. Esse material
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Quantitativos Matemticos Todos os conjuntos envolvidos na combinao
so subconjuntos do mesmo conjunto universo. O novo conjunto formado
ser tambm subcon junto do mesmo conjunto universo. As operaes
bsicas usadas com conjuntos so: complemento, inter seo e unio entre
conjuntos. Complemento de conjuntos O complemento do conjunto A em
relao ao conjunto universo U o conjunto que contm todos os
elementos de U que no esto em A. Exemplo 1 Suponha que o conjunto
universo U tenha como seus elementos todas as 23 letras do
alfabeto. Se A o subconjunto de U que contm todas as vogais, ento
todas as consoantes formam outro subconjunto, tambm um subcon junto
de U que conhecido como o complemento de A com relao a U. O smbolo
Ac , que se lno Aouo complemento de A, usado para represen tar o
complemento de A (ver figura 2). A relao pode ser simbolizada Ac =
{x|x U e x A} A Ac U Figura 2. Exemplo 2 O complemento do conjunto
de todos os nmeros racionais com relao ao conjunto universo de
todos os nmeros reais o conjunto de todos os nmeros irracionais.
Exemplo 3 O complemento do conjunto de empregados da Companhia XYZ
que tem 45 anos de idade ou mais com relao ao conjunto universo de
todos Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line
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conjuntos e relaes matemticas 69 os empregados da Companhia XYZ o
conjunto cujos elementos so aqueles empregados da Companhia XYZ que
tem menos de 45 anos de idade. Exemplo 4 O complemento do conjunto
universo com relao a ele mesmo o con junto vazio e o complemento do
conjunto vazio com relao ao conjun to universo o prprio conjunto
universo U. Interseo A interseo de dois conjuntos A e B, denotada
por A B, l-seA interse o com BouA inter B, o conjunto dos elementos
que pertencem a ambos os conjuntos A e B. Simbolicamente, A B =
{x|x A e x B} A interseo de dois conjuntos mostrada na figura 3. A
B (a interseo de A e B mostrada pela rea pintada). U B A A B B A A
B U Figura 3. Exemplo 5 Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {3, 4, 7} , ento
A B = {4}. Esse material parte integrante do Aulas Particulares
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Matemticos Exemplo 6 Se o conjunto A um conjunto cujos elementos so
todos os carros ama relos estacionados em um estacionamento
particular e os elementos do conjunto B so todos os da marca M
estacionados no mesmo estacionamen to, a interseo de A e B, A B o
conjunto de todos os carros da marca M e amarelos estacionados no
estacionamento particular. Exemplo 7 Se o conjunto A contm todos os
carros amarelos estacionados em um determinado estacionamento e o
conjunto B contm todos os carros da marca M estacionados no mesmo
estacionamento, ento Bc contm todos os carros que no so da marca M
e A Bc contm todos os carros amarelos exceto os da marca M e
amarelos. (ver figura 4). B A U Figura 4. A notao da interseo pode
facilmente ser generalizada a situaes que envolvem mais de dois
conjuntos. Assim, a interseco dos conjuntos A1 , A2 , ... , An ,
escrito A1 A2 ... An o conjunto dos elementos comuns a todos os
conjuntos A1 , A2 , ... , An. Exemplo 8 Definimos um conjunto
universo U cujos elementos so todos mem brosda fora de trabalho. No
conjunto A esto os elementos que so empre gados daCompanhia XYZ, no
conjunto B esto todos os membros femininos da fora de trabalho e no
conjunto C esto todos os membros da fora de trabalho que possuem
menos de 25 anos. A interseco desses conjuntos A B C ser o conjunto
de mulheres empregadas na companhia XYZ que tm menos de 25 anos.
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15. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 71 Conjuntos
disjuntos Se dois conjuntos A e B no tiverem elementos em comum, A
B = os conjuntos so ditos conjuntos disjuntos. Em um Diagrama de
Venn, como mostrado na figura 5, os conjuntos disjuntos so
mostrados como no tendo nenhuma rea sobreposta. U A B Figura 5.
Exemplo 9 Se o conjunto universo U contm 52 cartas de um baralho e
se dois sub conjuntos forem definidos como R = {cartas vermelhas} e
B ={cartas pretas} Ento R B = . Os conjuntos R e B so conjuntos
disjuntos. Unio A unio de A e B (denotada por A B) quando A e B so
dois conjuntos definidos em um conjunto universo U, contm aqueles
elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. A B = {x|x A ou x B}
A B (a unio de A e B mostrada na rea pintada) Esse material parte
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Quantitativos Matemticos U B B A A U Figura 6. Exemplo 10 Se A =
{1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, ento A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
Exemplo 11 Se o conjunto A contm todos os carros amarelos de um
estacionamento e o conjunto B contm todos os carros da marca M
deste estacionamento, a unio de A e B, A B, contm todos os carros
amarelos mais os carros da marca M de outras cores do
estacionamento. A notao de unio pode ser estendida para os casos
que envolvem mais do que dois conjuntos. A unio dos conjuntos A1 ,
A2 , ..., An , denotada como A1 A2 ... An , o conjunto de elementos
que esto pelo menos em um dos conjuntos A1 , A2 , ..., An . Exemplo
12 Considere os seguintes conjuntos definidos em um conjunto
universo U cujos elementos so todos os moradores de Curitiba. A =
{x|x um professor universitrio} B = {x|x uma pessoa casada} C =
{x|x tem menos de 35 anos} Ento o conjunto A B C representa todos
os moradores de Curitiba que so ou professores ou casados ou abaixo
de 35 anos. (ver figura 7A). O conjunto de moradores que so
casados, professores e abaixo de 35 anos denotado da seguinte
forma: A B C (ver figura 7B). Esse material parte integrante do
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conjuntos e relaes matemticas 73 O conjunto de moradores que so ou
professores ou casados, mas so abaixo de 35 anos pode ser descrito
pela seguinte notao: (A B) C (ver figura 7C). Ou o conjunto de
moradores que so professores, no so casados, mas esto acima dos 35
anos de idade pode ser simbolizado por: A (Bc Cc ) (ver figura 7D).
A B C A B C U B C U A B C A Figura 7A. Figura 7B. (A B) C A (Bc Cc
) U U Figura 7C. Figura 7D. B C A B C A Partio Uma coleo de
subconjuntos dita exaustiva se sua unio contiver cada um dos
elementos no conjunto universo em que eles esto definidos. Um grupo
de conjuntos que so mutuamente excludentes e exaustivos chama do de
uma partio. Tal partio est mostrada na figura 8. Esse material
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Quantitativos Matemticos U B C A D Figura 8. Exemplo 13 Dado um
conjunto universo U = [1, 2, 3, 4, 5], a coleo de subconjuntos A =
[1, 2], B = [3] e C = [4, 5] formam uma partio de U. Um conjunto
universo U pode ser particionado de diferentes modos, claro. Por
exemplo: a coleo de subconjuntos D = [1], E = [3, 5] e F = [2, 4]
tambm forma uma partio do conjunto universo dado acima. Dados dois
conjuntos A e B, que no so disjuntos, o conjunto A pode ser
particionado em dois subconjuntos disjuntos (A B) e (A Bc ). Alm
disso, a unio dos dois conjuntos, A B, pode ser particionada em trs
subconjuntos disjuntos (A Bc ), (A B), (Ac B), conforme ilustrado
na figura 9. A = (A B) U (A Bc ) e (A U B) = (A Bc ) U (A B) U (Ac
B) U BA A B Ac BA Bc Figura 9. Esse material parte integrante do
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conjuntos e relaes matemticas 75 Nmero de elementos em grupos de
conjuntos finitos O nmero de elementos em qualquer conjunto A pode
ser denotado por n(A). Por exemplo, se A = {1, 2 , 3 , 4} ento n(A)
= 4. Ns estamos freqentemente interessados em saber o nmero de ele
mentos em vrias combinaes dos conjuntos finitos. As observaes que
seguem sero teis em tais situaes. 1. O conjunto nulo no contm
elementos, isto : n() = 0. 2. Um conjunto no-vazio no pode ter um
nmero negativo de ele mentos, isto : n(A) > 0 se A no for vazio.
3. Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, eles no tm elementos em
comum, e o conjunto A B um conjunto vazio, isto : n(A B) = 0 se A e
B forem conjuntos disjuntos. 4. Se A e B forem dois conjuntos
disjuntos, o nmero de elementos em A B igual ao nmero de elementos
em A mais o nmero de elemen tos em B, isto : n(A B) = n(A) + n(B)
se A B = . 5. Para qualquer um dos dois conjuntos A e B, o nmero de
elementos em A B igual ao nmero de elementos em A mais o nmero de
elementos em B menos o nmero de elementos que so comuns aos dois
conjuntos, isto : n(A B) = n(A) + n(B) n(A B). 6. Para qualquer
dois conjuntos A e B que no sejam disjuntos, o conjun to A pode ser
particionado em dois conjuntos disjuntos A B e A Bc . (ver figura
10). Assim: n(A) = n(A B) + n(A Bc ). Esse material parte
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Quantitativos Matemticos A = A B A Bc ; da n(A) = n(A B) + n(A Bc )
U BA A BA Bc Figura 10. 7. Para qualquer conjunto universo U em que
os conjuntos A e B so de finidos, o conjunto universo pode ser
particionado em dois conjuntos disjuntos A B e (A B)c (ver figura
11). Assim: n(U) = n(A B) + n(A B)c U = (A B) (A B)c ; da, n(U) =
n(A B) + n(A B)c U BA (A B)c AB Figura 11. 8. O conjunto (A B)c e o
conjunto (Ac Bc ) so iguais porque eles con tm precisamente os
mesmos elementos (ver figura 12). Assim: n(Ac Bc ) = n(A B)c E,
como n(U) = n(A B) + n(A B)c , n(Ac Bc ) = n(U) n(A B) Esse
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Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 77 A B U(Ac Bc )
= (A B)c A B UBc U A B Ac Figura 12 Exemplo 1 Dado A = {1, 2, 3, 4,
5} e B = {6, 7, 8}, ento n(A) = 5 e n(B) = 3. Podemos perceber que
A e B no possuem elementos em comum. Assim, A B = e n(A B) = 0.
Tambm, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e n(A B) = n(A) + n(B) = 5 +
3 = 8. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line
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www.aulasparticularesiesde.com.br 22. 78 Mtodos Quantitativos
Matemticos Exemplo 2 Dado A = {2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6} , ento
n(A) = 4 e n(B) = 3. Neste caso, A B = {2, 4} e n(A B) = 2. O
conjunto A B = {2, 3, 4, 5, 6} e n(A B) = 5. Quando A e B no forem
disjuntos, o nmero de elementos de A B no ser a soma de n(A) e n(B)
mas sim, n(A B) = n(A) + n(B) n(A B). Da 5 = 4 + 3 2. Os Diagramas
de Venn so muito teis para se determinar o nmero de elementos nas
combinaes de conjuntos finitos, como mostrar o exemplo seguinte.
Exemplo 3 Em um dia, 325 pessoas pararam em bancas de jornal.
Dessas, 185 compra ram o Jornal A, 150 compraram o Jornal B e 95
compraram ambos. Quantas
pessoasnocompraramnenhumjornal?QuantaspessoascompraramoJornal A,
mas no compraram o Jornal B? Quantas pessoas compraram o Jornal B
mas no o A? Quantas pessoas compraram pelo menos um dos jornais? O
Diagrama de Venn, na figura 13, nos ajudar a responder a essas ques
tes. Primeiro vamos definir o conjunto A que contm todos os
compradores do Jornal A e o conjunto B que contm todos os
compradores do Jornal B. Ento, cuidadosamente, rotulamos as regies
no Diagrama deVenn. Usando a informao que 95 pessoas compraram
ambos jornais isto , n(A B) = 95 ns colocaremos este nmero na regio
que corresponde a A B. Depois, como n(A) = n(A B) + n(A Bc ) da n(A
Bc ) = 185 95 = 90; ento colocaremos esse na regio apropriada.
Tambm,n(B)=n(AB)+n(Ac B)datemosquen(Ac B)=15095=55. Novamente,
colocaremos esse nmero na regio apropriada. Para se determinar o
nmero de pessoas que no compraram jornal, ns particionaremos o
conjunto universo U em dois conjuntos disjuntos, isto : U = (A B)
(A B)c Da, ns temos: n(U) = n(A B) + n(A B)c Esse material parte
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dos conjuntos e relaes matemticas 79 Alm disso, temos que: (A B) =
(A Bc ) (A B) (Ac B) Ento, nesse caso: n(A B) = 90 + 95 + 55 = 240
A partir desse resultado obteremos: n(A B)c = 325 240 = 85. Em
resumo, ns determinamos que 85 pessoas no compraram nenhum dos dois
jornais, 90 compraram somente o Jornal A, 55 compraram somente o
Jornal B. Alm disso, 90 + 55 = 145 compraram exatamente um dos dois
jornais; 325 85 = 240 compraram pelo menos um dos dois jornais. U A
B 95 Ac B 55 A Bc 90 A B (A B)c 85 Figura 13. Ampliando seus
conhecimentos Augustos de Morgan nasceu em 1806, na ndia, e morreu
em 1871. Foi matemtico e professor na Inglaterra, um dos fundadores
da BAAS (Bri
tishAssociationfortheAdvancementScience).EstudounoTrinityCollege,eno
entrou para Cambridge e Oxford por se recusar a participar do exame
religioso. Era cego de um olho e teve muitos problemas durante sua
vida profissional em virtude de posies radicais em defesa da
liberdade religiosa, intelectual e acadmica. Escreveu trabalhos
sobre fundamentos de lgebra, clculo diferencial, lgica e teoria das
probabilidades. Tambm foi um dos responsveis pela cria o da lgica
simblica moderna. (Disponvel em: .) Esse material parte integrante
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www.aulasparticularesiesde.com.br 24. 80 Mtodos Quantitativos
Matemticos Atividades de aplicao 1. Escreva em smbolos: a) O Brasil
(b) est na Amrica do Sul (A). b) Angola (a) no est na Amrica do Sul
(A). c) A Venezuela (v) no pertence s regies brasileiras (R). d) O
Nordeste (n) pertence s regies brasileiras (R). 2. Classifique de
falso ou verdadeiro: a) Equador Amrica do Sul. b) Sudeste regies
brasileiras. c) Frana regies brasileiras. d) Centro-Oeste Amrica do
Sul. 3. Escreva que o conjunto x um nmero mpar descrevendo os seus
elementos e pela regra. 4. Escreva a regra que descreve o conjunto
M = {3, 4, 5, 6, 7 ...}. 5. Diga se o conjunto A = {d, c, a, e, b}
igual ou diferente do conjunto B = {a, b, c, d, e}. 6. Sejam os
conjuntos A= {5, 6}, B = {5, 6, 7, 8} e C= {5, 7, 8}. A afirmao A B
mas A C falsa ou verdadeira? 7. Conjunto unitrio o conjunto que s
tem um elemento. Classifique os seguintes conjuntos como conjunto
vazio ou conjunto unitrio. a) A = {polgonos que possuem trs lados}.
b) B = {x | x um nmero natural maior que 5 e menor que 6}. c) C =
{x | x um nmero par maior ou igual a 3 e menor que 5}. 8. Diga se a
afirmao falsa ou verdadeira: O conjunto B pertence ao conjunto A. A
B Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do
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25. Tpicos em teoria dos conjuntos e relaes matemticas 81 9. Seja o
conjunto A = {letras da palavra CONJUNTO}. Quantos possveis
subconjuntos possuem o conjunto A. 10.A afirmaoO conjunto vazio no
subconjunto do conjunto univer so porque no tem nenhum elemento
falsa ou verdadeira? 11.Se A e B so dois conjuntos, ento o produto
cartesiano A x B nunca ser igual ao produto cartesiano B x A. Falso
ou verdadeiro? 12.Se B o conjunto que representa o lanamento de um
dado branco e P o conjunto que representa um dado preto, quantos
elementos ter o produto cartesiano B x P? 13.Com base no problema
anterior diga se o conjunto PxB igual ao con junto B x P. 14.Ainda
com base no problema 12, quantas relaes podem ser constru das do
produto cartesiano B x P? 15.Cada relao tem como elemento um par
ordenado. Quais so as rela es unitrias do produto cartesiano B x P?
16.Descreva como caracterizar quais das relaes do produto
cartesiano B x P podem ser definidas como funo? 17.As funes
definidas acima so casos especiais de relaes.Verdadeiro ou falso?
18.Na relao B x P definida no problema acima quem o domnio da
relao? 19.O conjunto vazio subconjunto de todo conjunto. O conjunto
vazio subconjunto dele mesmo? 20.Qual o menor produto cartesiano
possvel? 21.Seja I o conjunto das pessoas idosas, ou seja pessoas
com 60 anos de idade ou mais. Defina o seu complemento Ic .
22.Represente o conjunto I e o conjunto Ic em um Diagrama de Venn.
23.Sejam A = {5, 7, 9} e B o conjunto dos nmeros menores do que 9 e
maiores ou iguais a 5. Detemine a interseo de A com B.
24.Represente o resultado acima em um Diagrama de Venn. Esse
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Mtodos Quantitativos Matemticos 25.Se O so as cartas de ouros de um
baralho de 52 cartas e V as cartas vermelhas. Determine O V.
26.Represente o conjunto O V em um Diagrama de Venn. 27.Dois
conjuntos disjuntos tm como complemento de sua unio o con junto
vazio. Falso ou verdadeiro? 28.Determine a unio dos conjuntos do
exerccio 23. 29.Determine a unio dos conjuntos do exerccio 25.
30.Dado o conjunto universo U = {1, 2, 3}, quantas parties desse
con junto podem ser construdas? Dado A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2,
4, 6, 8}: 31.Determine n(A) e n(B). 32.Determine n(A B).
33.Determine n(A B). Dado A = {1,2, 3, 4, 5} e B = {1, 5, 7}:
34.Determine n(A B). 35.Determine n(A B). 36.Determine o nmero de
elementos de cada um dos conjuntos do pro blema exposto no incio do
captulo referente ao nmero de homens e mulheres que visitaram a
loja durante um dia. Represente o resultado atravs de um Diagrama
de Venn. Esse material parte integrante do Aulas Particulares
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