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Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 2012/2013
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I
3º Teste de avaliação – versão2
Grupo I
1. Num referencial o.n. Oxy, o simétrico, em relação ao eixo das abcissas, do ponto R de
coordenadas 3,0 , é o ponto R' de coordenadas:
(A) 0,3 (B) 0, 3 (C) 3,0 (D) 3,0
2. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um sólido
constituído por 3 cubos geometricamente iguais.
As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos coordenados
ou lhes são paralelas.
O ponto M tem coordenadas 4,4,4 .
A condição y 0 z 8 representa:
(A) a reta LJ (B) a reta IH
(C) a reta HL (D) a reta IJ
3. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma
circunferência de centro no ponto ( ). Qual das condições
seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?
(A) ( ) ( ) ⋀
(B) ( ) ( ) ⋀
(C) ( ) ( ) ⋀
(D) ( ) ( ) ⋀
As cinco questões deste grupo são de escolha mqa2últipla.
Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.
Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.
Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita
for ilegível.
Não apresente cálculos ou justificações.
Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
x
y
z
H
I J
L
N
Q
ME
P
G
OC'
F
B A
Professora: Rosa Canelas 2 Ano Letivo 2012/2013
4. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz,
um cubo de aresta 2. Sabe-se que:
A face [ABCD] está contida no plano xOy
A aresta [DC] está contida no eixo Oy
O ponto D tem coordenadas (0,2,0)
Os pontos (2,2,0) e (0,4,0) são vértices do cubo.
Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices?
(A) ABC (B) ACG (C) BDH (D) BCF
5. Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, a reta r, que
interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 3 e o eixo Oy no ponto de
ordenada 3.
Qual é a equação reduzida da reta r
(A) (B)
(C) (D)
Grupo II
1. Num referencial o.n. O,e,f , considere A 1,3 , B 0, 2 , C 5,1 e o vetor u 2e f .
1.1. Calcule AB e u .
1.2. Verifique se os vetores u e AC são colineares.
1.3. Determine as coordenadas do ponto médio de AC .
1.4. O quadrilátero ABCD é um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D.
1.5. Escreva uma equação da circunferência que tem centro em C e passa por B.
1.6. Escreva uma equação da reta que contém A e tem a direção de u .
2. Na figura está representado um paralelepípedo, em referencial o.n. do espaço.
O vértice O é a origem do referencial.
As faces do paralelepípedo são paralelas aos planos coordenados.
O ponto E tem coordenadas (4, 6,3)
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,
pretende-se sempre o valor exato.
Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 2012/2013
O ponto M é o ponto médio da aresta [BC]
2.1. Determine o vetor usando as letras
da figura.
2.2. Determine o perímetro da secção produzida no
paralelepípedo pelo plano ADM.
2.3. Utilize as letras da figura para identificar duas retas
não complanares, mas perpendiculares.
2.4. Determine os valores de a e b de forma que e
( ) sejam colineares.
2.5. Determine uma condição que defina a esfera de diâmetro [GB].
3. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGH] (o ponto H não
está representado na figura)
3.1. Preencha cada um dos espaços seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um
vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras.
Copie as afirmações obtidas para a sua folha de respostas.
3.2. Admita agora que:
O ponto A tem coordenadas ( )
O ponto E tem coordenadas ( )
O ponto F tem coordenadas ( )
3.2.1. Determine a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG.
3.2.2. Escreva uma equação vetorial da reta que contém o ponto B e é paralela ao eixo
Oz.
4. No referencial o.n. da figura está um trapézio
retângulo [ABCD], P e Q são os pontos médios de
[AD] e [AB], respetivamente.
Mostre que , utilizando operações com
vetores e conclua sobre a posição relativa dos
segmentos de reta [DB] e [PQ].
FIM
x
y
z
M
ED
BA
FG
CO
y
x
Q
C
D
P
AO
B
Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 2012/2013
Cotações
Grupo I
Questão 1 2 3 4 5
Cotação 10 10 10 10 10
Grupo II
Questão 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2.1 3.2.2 4
Cotação 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Formulário
Geometria
Perímetro do círculo: 2 r , sendo r o raio do círculo
Áreas
Paralelogramo: base altura
Losango: diagonal maior diagonal menor
2
Trapézio: base maior base menor
altura2
Polígono regular: perímetro
apótema2
Círculo: 2r , sendo r o raio do círculo
Superfície esférica: 24 r , sendo r o raio da esfera
Volumes
Prismas e cilindro: área da base altura
Pirâmide e cone: 1
área da base altura3
Esfera: 34r
3 , sendo r o raio da esfera
Álgebra
Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma
2ax bx c 0 : 2b b 4ac
x2a
Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 2012/2013
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I
3º Teste de avaliação – versão2 – proposta de resolução
Grupo I
1. (C) Num referencial o.n. Oxy, o simétrico, em relação ao eixo das abcissas, do ponto R de
coordenadas 3,0 , é o ponto R' de coordenadas 3,0 porque R pertence ao eixo das
abcissas:
2. (B) Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um
sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais.
As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos
coordenados ou lhes são paralelas.
O ponto M tem coordenadas 4,4,4 .
A condição y 0 z 8 representa a reta IH
3. (D) Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma
circunferência de centro no ponto ( ). A condição das
seguintes que define a região sombreada, incluindo a fronteira é
( ) ( ) ⋀
4. (C) Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta 2. Sabe-se que:
A face [ABCD] está contida no plano xOy
A aresta [DC] está contida no eixo Oy
O ponto D tem coordenadas (0,2,0)
Os pontos (2,2,0) e (0,4,0) são os vértices A e C do cubo.
O plano mediador do segmento de reta [AC] é BDH
5. (B) Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, a reta r, que interseta o eixo Ox no
ponto de abcissa 3 e o eixo Oy no ponto de ordenada 3.
A equação reduzida da reta r porque o declive da reta que
passa nos pontos ( ) e ( ) é
e a ordenada na
origem que é a ordenada do ponto onde a reta interseta o eixo das
ordenadas é 3.
x
y
z
H
I J
L
N
Q
ME
P
G
OC'
F
B A
Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 2012/2013
Grupo II
1. Num referencial o.n. O,e,f , considere A 1,3 , B 0, 2 , C 5,1 e o vetor u 2e f .
1.1. Calculemos AB e u .
2 2
AB 1 0 3 2 26
22u 2 1 5
1.2. Verifiquemos se os vetores u 2, 1 e AC 5 1,1 3 4, 2 são colineares:
2 2 1 4 4 4 P.V.. Como os vetores verificam a condição de colinearidade
podemos concluir que são colineares.
1.3. Determinemos as coordenadas do ponto médio de AC .
AC
1 5 3 1M , 3,2
2 2
1.4. O quadrilátero ABCD é um paralelogramo. Determine as
coordenadas do ponto D.
Observando a figura concluímos que:
D C BA D 5,1 1,5 6,6
1.5. Vamos escrever uma equação da circunferência que tem centro em C e passa por B.
Para escrever a equação precisamos de conhecer o centro C 5,1 e o raio
2 2r CB 5 3 34 : A equação é 2 2
x 5 y 1 34 .
1.6. Vamos escrever uma equação da reta que contém A e tem a direção de u podemos
optar por uma equação vetorial: x,y 1,3 k 2, 1 ,k IR
2. Na figura está representado um paralelepípedo, em referencial o.n. do espaço.
O vértice O é a origem do referencial.
As faces do paralelepípedo são paralelas aos planos coordenados.
O ponto E tem coordenadas (4, 6,3)
O ponto M é o ponto médio da aresta [BC]
2.1. Determinemos o vetor .
2.2. Determinemos o perímetro da secção produzida no paralelepípedo
pelo plano ADM.
Esta secção é um retângulo em que um lado é [AD] e sabemos que
AD 3 , outro é [DM] cujo comprimento podemos calcular por
y
x
D
C
B
A
O
x
y
z
M
ED
BA
FG
CO
Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 2012/2013
aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo [ABM]: 2 2 2
AB BM AM ou seja
2
2 26 2 AM AM 40 AM 2 10 e o perímetro é P 6 4 10
2.3. Duas retas não complanares, mas perpendiculares são, por exemplo AB e DG.
2.4. Determinemos os valores de a e b de forma que ( ) e ( ) sejam
colineares. Terá de ser então
1 a 1 b 3 34a 6 4b 3 a b
4 6 4 3 2 4
2.5. Determinemos uma condição que defina a esfera de diâmetro [GB]. Sabendo que
G 0,0,3 e B 4,6,0 podemos calcular o centro, ponto médio de [GB]:
GB
0 4 0 6 3 0 3M , , 2,3,
2 2 2 2 e podemos ainda calcular o raio
2 2 20 4 0 6 3 0GB 16 36 9 61
r2 2 2 2
uma condição que defina a esfera de diâmetro [GB]:
22 2 3 61
x 2 y 3 z2 4
3. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGH] (o ponto H não
está representado na figura)
3.1. Preencha cada um dos espaços seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um
vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras.
3.2. Admita agora que:
O ponto A tem coordenadas ( )
O ponto E tem coordenadas ( )
O ponto F tem coordenadas ( )
3.2.1. Determinemos a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG. Esta secção é
o retângulo [ABGH] que tem um lado igual à aresta do cubo e outra igual à diagonal
facial. Calculemos 2 2 2
AB EF 10 8 8 5 6 0 4 9 36 49 7 e
podemos então saber que a diagonal facial é BG 7 2 .
a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG é A 7 7 2 49 2
3.2.2. Vamos escrever uma equação vetorial da reta que contém o ponto B e é paralela
ao eixo Oz. Precisamos de conhecer o ponto B e um vetor com a direção do eixo Oz:
Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 2012/2013
B é tal que B A EF 11, 1,2 2,3,6 13,2,8
um vetor director do eixo Oz é 3e 0,0,1
Uma equação da reta é x,y,z 13,2,8 k 0,0,1 ,k IR
4. No referencial o.n. da figura está um trapézio retângulo [ABCD], P e Q são os pontos médios
de [AD] e [AB], respetivamente.
Mostre que , utilizando operações com vetores e conclua sobre a posição relativa
dos segmentos de reta [DB] e [PQ].
Hipótese:
[ABCD] é um trapézio retângulo
P é ponto médio de [AD]
Q é ponto médio de [AB]
Tese:
Demonstração:
DB DA AB
PQ PA AQ
DA 2PA
AB 2AQ
Então DB 2PA 2AQ 2 PA AQ 2PQ
Como DB 2PQ podemos concluir que os vetores DB e PQ são colineares e assim os
segmentos de reta [DB] e [PQ] são paralelos.
y
x
Q
C
D
P
AO
B
Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 2012/2013
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I
3º Teste de avaliação – versão1 – critérios de classificação
Grupo I (50 pontos)
Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0
(zero) pontos.
1 2 3 4 5
C B D C B
Grupo II (150 pontos)
1. 60
1.1. 10
Calcular AB 5
Calcular u 5
1.2. 10
Calcular AC 3
Aplicar a condição de colinearidade 5
Concluir 2
1.3. 10
1.4. 10
Figura 2
Encontrar a relação para calcular D 3
Calcular D 5
1.5. 10
Calcular o raio 5
Escrever a equação pedida 5
1.6. 10
2. 50
2.1. 10
2.2. 10
Calcular o comprimento 5
Calcular a largura 2
Calcular o Perímetro 3
Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 2012/2013
2.3. 10
2.4. 10
Calcular GB 5
Aplicar a condição de colinearidade 5
2.5. 10
Calcular as coordenadas de G e B 2
Calcular o centro 3
Calcular o raio 3
Escrever a condição 2
3. 25
3.1. 10
Completar a expressão 1 3
Completar a expressão 2 3
Completar a expressão 3 4
3.2. 20
3.2.1. 10
Identificar a secção 3
Calcular a aresta 2
Calcular a diagonal 3
Calcular a área 2
3.2.2. 10
Calcular o ponto 4
Identificar o vetor 3
Escrever a equação 3
4. 10
Total ………………………………………………………………………………………………… 200