Aula sobre Espaço de Estados

Espaco deEstados

Joao V. C.Fontes

Resposta deSistemas de 1GDL

Sistemas dePrimeira Ordem

Sistemas deSegunda Ordem

Espaco deEstados

Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL

Espaco de Estados

Joao V. C. Fontes

Escola de Engenharia de Sao CarlosUniversidade de Sao Paulo

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL

Organizacao

1 Resposta de Sistemas de 1 GDLSistemas de Primeira OrdemSistemas de Segunda Ordem

2 Espaco de EstadosSistema de 1 GDLSistema de N GDL

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL

Sistemas de 1 GDL

Sistema SISO (Single Input, Single Output)Exemplo: Massa-mola-amortecedor

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL

Resposta de Sistemas

• Resposta transiente

• Dinamica do sistema• Resposta homogenea

• Resposta em regime

• Entrada do sistema• Resposta particular

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL

Sistemas de 1 GDL

Podem ser representados totalmente por uma FuncaoTransferencia

Definicao

Funcao transferencia e a representacao matematica darelacao entre a saıda e a entrada de um sistema

Ordem do sistema depende do maior ındice da derivada doGDL presente na equacao dinamica

Y (s)

U(s)=

(bnsn + bn−1s

n−1 + . . .+ b1s+ b0)

(ansn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0)

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL

Resposta ao Degrau: 1◦ Ordem

Y (s)

U(s)=

K

(τs+ 1)

K=2;tau=1;

Planta = tf([K],[tau 1])

hold onstep(Planta)

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL


Y (s)

U(s)=

K

(τs+ 1)

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

X: 1.993Y: 0.6309

X: 1.993Y: 1.262

X: 0.9967Y: 1.262

Step Response

Am

plitu

deK=2; Tau=1K=2; Tau=2K=1; Tau=2

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL


Variacao de wn

Y (s)

U(s)=

K1w2

ns2 + 2ζ

wns+ 1

K=1;wn=1;zeta=0.1;

Planta = tf([K],[1/wnˆ2 2*zeta/wn 1])

subplot(3,1,1)step(Planta)

axis([0 80 0 2])

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL


Y (s)

U(s)=

K1w2

ns2 + 2ζ

wns+ 1

0 10 20 30 40 50 60 70 800

1

2Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 10 20 30 40 50 60 70 800

1

2Step Response

Time (sec)A

mpl

itude

0 10 20 30 40 50 60 70 800

1

2Step Response

Time (sec)

Am

plitu

dewn=3

wn=2

wn=1

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL


Variacao de ζ

Y (s)

U(s)=

K1w2

ns2 + 2ζ

wns+ 1

K=1;wn=1;zeta=0.1;

Planta = tf([K],[1/wnˆ2 2*zeta/wn 1])

hold onstep(Planta)

axis([0 20 0 2])

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL


Y (s)

U(s)=

K1w2

ns2 + 2ζ

wns+ 1

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

dezeta=0.1zeta=0.3zeta=0.5zeta=1.0zeta=1.3

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Sistema de NGDL

Espaco de Estados

Teoria de Controle Moderno

• Entradas e saıdas multiplas

• MIMO: Multiple Input, Multiple Output

• Abordagem no domınio do tempo

• Possibilidade de lidar com sistemas nao-lineares

• Base no conceito de estado

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Sistema de NGDL

Definicoes

Estado

Menor conjunto de valores de variaveis independentes dosistema que determinam completamente o comportamento dosistema

Variaveis de estado

Variaveis independentes que descrevem completamente osistema

Vetor de estado

Formado pelas variaveis de estado

Espaco de Estado

Espaco vetorial formado pelo vetor de estado

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL

Analise em Espaco de Estados

Envolve tres tipos de variaveis

• Variaveis de entrada

• Variaveis de saıda

• Variaveis de estado

Supondo um sistema com:

• r entradas: u1(t), u2(t), . . . , ur(t)

• m saıdas: y1(t), y2(t), . . . , ym(t)

• n variaveis de estado: x1(t), x2(t), . . . , xn(t)

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Sistema de NGDL

Equacoes do Espaco de Estados

O sistema pode ser escrito como:

x1 = f1(x1, x2, . . . , xn;u1, u2, . . . , ur; t)

x2 = f2(x1, x2, . . . , xn;u1, u2, . . . , ur; t)...

xn = fn(x1, x2, . . . , xn;u1, u2, . . . , ur; t)

y1 = g1(x1, x2, . . . , xn;u1, u2, . . . , ur; t)

y2 = g2(x1, x2, . . . , xn;u1, u2, . . . , ur; t)...

ym = gm(x1, x2, . . . , xn;u1, u2, . . . , ur; t)

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Sistema de NGDL


Definindo os vetores de entrada, saıda e de variaveis de estado,podemos escrever todas as funcoes na forma vetorial

x(t) =

x1(t)x2(t)

...xn(t)

; y(t) =

y1(t)y2(t)

...ym(t)

; u(t) =

u1(t)u2(t)

...ur(t)

f(x,u, t) =

f1(x,u, t)f2(x,u, t)

...fn(x,u, t)

; g(x,u, t) =

g1(x,u, t)g2(x,u, t)

...gm(x,u, t)

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Sistema de NGDL


Equacao de Estado

x(t) = f(x,u, t)

Equacao de Saıda

y(t) = g(x,u, t)

Se as funcoes f ou g forem dependentes explicitamente dotempo t, entao e dito que o sistema e variante no tempo

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Sistema de NGDL


Colocando em evidencia os vetores de variaveis de estado e deentrada, a equacao de estado e a equacao de saıda podem serreescritas na forma:

Equacao de Estado

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)

Equacao de Saıda

y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)

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Sistema de NGDL

Representacao Diagrama de Blocos

Representacao no diagrama de blocos do espaco de estados

A: Matriz de estado C: Matriz de saıdaB: Matriz de entrada D: Matriz de transmissao direta

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)19 / 32

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Funcao Transferencia

Considerando a Transformada de Laplace

sX(s) = AX(s) +BU(s)

Y(s) = CX(s) +DU(s)

Isolando X

X(s) = (sI−A)−1BU(s)

Substituindo na equacao de saıda e fazendo a relacao de saıdapela entrada

G(s) =Y(s)

U(s)= C(sI−A)−1B+D

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Sistema de NGDL

Sistema de 1 GDL

X(s)

F (s)=

1

ms2 + cs+ k

A =

[0 1

− km − c

m

]B =

[01

]C =

[1 0

]D =

[0]

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Sistema de NGDL

Sistema de 1 GDL (MATLAB)

m=2; tfs=C*inv(s*I−A)*B+Dk=1; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)c=0.1;

tol=1e−6;A=[0 1;−k/m −c/m]; num(num>0 & num<tol)=0B=[0;1/m]; ft=tf(num,den)C=[1 0]; ft2=tf([1],[m c k])D=0;

step(tfs)Planta=ss(A,B,C,D); figure

step(ft2)I=eye(2);s=tf([1 0],[1]);

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Sistema de NGDL


X(s)

F (s)=

1

2s2 + 0.1s+ 1

0 50 100 150 200 2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

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Sistema de 1GDL

Sistema de NGDL

Sistema de 2 GDL

m1x1 + c1x1 + k1x1 + c2(x1 − x2) + k2(x1 − x2) = F1

m2x2 + c2(x2 − x1) + k2(x2 − x1) = F2

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Sistema de NGDL

Sistema de 2 GDL

Reescrever equacoes na forma matricial

m1x1 + c1x1 + k1x1 + c2(x1 − x2) + k2(x1 − x2) = F1

m2x2 + c2(x2 − x1) + k2(x2 − x1) = F2

[m1 00 m2

] [x1x2

]+

[c1 + c2 −c2−c2 c2

] [x1x2

]+

[k1 + k2 −k2−k2 k2

] [x1x2

]=

[F1

F2

]

M x+ Cx+Kx = F

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Sistema de NGDL

Sistema de 2 GDL

X =

x1x2x1x2

M x+ Cx+Kx = F

x =M−1F −M−1Cx−M−1Kx

X =

x1x2x1x2

=

0 0 1 00 0 0 1

−M−1K −M−1C

x1x2x1x2

+

0 00 0M−1

[F1

F2

]

Y =

[y1y2

]=

[1 0 0 00 1 0 0

]x1x2x1x2

+

[0 00 0

] [F1

F2

]

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Sistema de NGDL

Sistema de 2 GDL

x1x2x1x2

=

0 0 1 00 0 0 1

−M−1K −M−1C

︸︷︷︸

A

x1x2x1x2

+

0 00 0M−1

︸︷︷︸

B

[F1

F2

]

[y1y2

]=

[1 0 0 00 1 0 0

]︸︷︷︸

C

x1x2x1x2

+

[0 00 0

]︸︷︷︸

D

[F1

F2

]

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Sistema de NGDL


m1=1; m2=2;k1=1; k2=2; c1=0.1; c2=0.2;

M=[m1 0;0 m2];C=[c1+c2 −c2; −c2 c2];K=[k1+k2 −k2; −k2 k2];

A=[0 0 1 0; 0 0 0 1; −inv(M)*K, −inv(M)*C];B=[0 0; 0 0; inv(M)];C=[1 0 0 0;0 1 0 0]; D=zeros(2);

planta=ss(A,B,C,D);

I=eye(4); s=tf([1 0],[1]);

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Sistema de NGDL


tfs=C*inv(s*I−A)*B+D

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);tol=1e−6;num(num>0 & num<tol)=0;num(num<0 & num>−tol)=0;ft11=tf(num(1,:),den)ft12=tf(num(2,:),den)

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2);num(num>0 & num<tol)=0;num(num<0 & num>−tol)=0;ft21=tf(num(1,:),den)ft22=tf(num(2,:),den)

step(tfs)

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x1F1

=s2 + 0.1s+ 1

s4 + 0.4s3 + 4.01s2 + 0.2s+ 1

x2F1

=0.1s+ 1

s4 + 0.4s3 + 4.01s2 + 0.2s+ 1

x1F2

=0.1s+ 1

s4 + 0.4s3 + 4.01s2 + 0.2s+ 1

x2F2

=0.5s2 + 0.15s+ 1.5

s4 + 0.4s3 + 4.01s2 + 0.2s+ 1

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Sistema de NGDL


0

0.5

1

1.5

2

2.5From: In(1)

To:

Out

(1)

0 100 200 300 4000

1

2

3

To:

Out

(2)

From: In(2)

0 100 200 300 400

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

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