Séries de Taylor e de Maclaurin

Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin

Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em x = a é

...)(!

)(...)(

!2

)´´())(´()()(

!

)( )(2

0

)(

+−++−+−+=−∑∞

=

nn

k

k

k

axn

afax

afaxafafax

k

af

A série de Maclaurin gerada por f é

∑∞

=

+++++=0

)(2

)(

...,!

)0(...

!2

)0´´()0´()0(

!

)0(

k

nn

kk

xn

fx

fxffx

k

f

a série de Taylor gerada por f em x = 0.

Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n

Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio

.)(!

)(...)(

!

)(...)(

!2

)´´())(´()()(

)()(2 n

nk

k

n axn

afax

k

afax

afaxafafxP −++−++−+−+=

Resto de um Polinômio de Taylor

Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por

)()()( xRxPxf nn +=

O valor absoluto )()()( xPxfxR nn −= é chamado de erro associado à aproximação.

Teorema de Taylor

Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que

),()(!

)(...)(

!2

)´´())(´()()( )(

)(2 xRax

n

afax

afaxafafxf n

nn

+−++−+−+=

onde

.)()1(

)()( 1

)1(+

+

−+

= nn

n axn

cfxR

Teorema da Estimativa do Resto

Se existirem constantes positivas M e r tais que 1)1( )( ++ ≤ nn Mrtf para todo t entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade

.)!1(

)(11

+−

≤++

n

axrMxR

nn

n

Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).

Combinando Séries de Taylor

Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.

Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x.

Séries de Fourier

∑∞

=

++=

1

0 .sencos2

)(n

nn L

xnb

L

xna

axf

ππ (1)

Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L).

Coeficientes na Expansão em Série de Fourier

1) ∫− =L

Ldx

L

xn0cos

π

2) ∫− =L

Ldx

L

xn0sen

π

3) ∫−

=≠

=L

L nmL

nmdx

L

xm

L

xn

,

,0coscos

ππ

4) ∫− =L

Ldx

L

xm

L

xn0cossen

ππ

5) ∫−

=≠

=l

L nmL

nmdx

L

xm

L

xn

,

,0sensen

ππ

Cálculo de a0

Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter

∫ ∑ ∫∑ ∫∫−

∞

=−

∞

=−−

++=L

Ln

L

Lnn

L

Ln

L

Ldx

L

xnbdx

L

xnadx

adxxf

11

0 .sencos2

)(ππ

(2)

Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,

.22

)( 000 La

L

Lxadx

adxxf

L

L

L

L=

−== ∫∫ −−

Então, obtemos a0:

∫−=L

Ldxxf

La .)(

10

Cálculo de am

Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/cos( Lxmπ , m > 0, e integramos o resultado de – L a L:

∑ ∫

∑ ∫

∫ ∫

∞

=−

∞

=−

− −

+

+

=

1

1

0

.cossen

coscos

cos2

cos)(

n

L

Ln

n

L

Ln

L

L

L

L

dxL

xm

L

xnb

dxL

xm

L

xna

dxL

xmadx

L

xmxf

ππ

ππ

ππ

(4)

A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação para

∫ ∫− −==

L

L

L

L mm LadxL

xm

L

xmadx

L

xmxf .coscoscos)(

πππ

Portanto,

∫−=L

Lm dxL

xmxf

La .cos)(

1 π

Cálculo de bm

Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/sen( Lxmπ , m > 0, e integramos o resultado de – L a L:

∑ ∫

∑ ∫

∫∫

∞

=−

∞

=−

−−

+

+

=

1

1

0

.sensen

sencos

sen2

sen)(

n

L

Ln

n

L

Ln

l

L

L

L

dxL

xm

L

xnb

dxL

xm

L

xna

dxL

xmadx

L

xmxf

ππ

ππ

ππ

Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos

∫ ∫− −==

L

L

L

L mm LbdxL

xm

L

xmbdx

L

xmxf

πππsensensen)(

Portanto,

∫−=L

Lm dxL

xmxf

Lb .sen)(

1 π (6)

A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.

Definição – Séries de Fourier

A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é

∑∞

=

++=

1

0 .sencos2

)(n

nn L

xnb

L

xna

axf

ππ

∫−=L

Ldxxf

La .)(

10

∫−=L

Ln dxL

xnxf

La .cos)(

1 π

∫−=L

Ln dxL

xnxf

Lb .sen)(

1 π

Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/sen( Lxmπ , m > 0, e integramos o resultado de – L a L:

∑ ∫

∑ ∫

∫∫

∞

=−

∞

=−

−−

+

+

=

1

1

0

.sensen

sencos

sen2

sen)(

n

L

Ln

n

L

Ln

l

L

L

L

dxL

xm

L

xnb

dxL

xm

L

xna

dxL

xmadx

L

xmxf

ππ

ππ

ππ

Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos

∫ ∫− −==

L

L

L

L mm LbdxL

xm

L

xmbdx

L

xmxf

πππsensensen)(

Portanto,

∫−=L

Lm dxL

xmxf

Lb .sen)(

1 π (6)

A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.

Definição – Séries de Fourier

A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é

∑∞

=

++=

1

0 .sencos2

)(n

nn L

xnb

L

xna

axf

ππ

∫−=L

Ldxxf

La .)(

10

∫−=L

Ln dxL

xnxf

La .cos)(

1 π

∫−=L

Ln dxL

xnxf

Lb .sen)(

1 π