Certa vez, estávamos, eu e meu amigo, atravessando o deserto. De repente meu amigo percebeu uma forma intrigante confundindo-se com o horizonte. Era a imagem de um homem envolto na areia arremessada pela tempestade e o som inquieto do vento entre as dunas. A princípio achávamos que não passava de mais uma miragem produzida pelo calor e o cansaço. No entanto, ao nos aproximarmos o homem pediu-nos um pouco de água e comida para que pudesse se recompor. Aproximei-me de meu camelo e peguei os cinco pães que lá estavam, por sua vez, meu amigo trouxe os três pães que possuía. Decidimos, então, junta-los e dividi-los em três partes iguais. Ao decorrer da viajem cada um de nós comeu o

equivalente à do pão que

dispúnhamos. Ao chegarmos a uma esplêndida cidade, a uns dois dias de viagem, ficamos encantados com tamanha beleza. Por sua vez, quando estávamos indo embora, fomos abordados por um guarda do palácio que nos disse:

- O príncipe Felipe II deseja vê-los imediatamente no palácio. Olhamos-nos, estranhando tal convite, e fomos imediatamente até o palácio. Foi então, que descobrimos que o homem que salvamos da morte no deserto era na realidade Príncipe Felipe II. Ele, aproximando-se de nós, disse: -Soldado de ao matemático 5 barras de ouro e ao seu amigo 3. -Sim, meu príncipe. O guarda respondeu. -Meus caros amigos estás recompensa que lhes dou é proporcional ao que vocês me deram de comer no deserto.

Vendo tal equivoco contestei-o: - Não, meu senhor, está recompensa é proporcional ao que tínhamos, e não ao que lhe demos. -É, meu senhor, o matemático tem razão. No

deserto eu tinha 3 pães e comi o que é quase três.

A história acima nos mostra que o conceito de proporção tem uma importância muito grande. Mas as ideais de proporção não são utilizadas somente em matemática, nós frequentemente empregamos proporção em nosso dia-a-dia,

embora sem utilizar os símbolos matemáticos. Quando fazemos crítica sobre uma estátua, dizemos que "ela tem uma cabeça muito grande, se comparado com o corpo". Por isso, o estudo de proporções é de inestimável valor para nós, já que vários temas da matemática, a serem desenvolvidos, são baseados nas proporções. Por isso estudaremos mais a fundo os conceitos que consta na história que você acabou de ler.

RAZÕES:

Razão do número a para o número b (diferente de zero)

é o quociente de a por b.

Indicamos:

ou a : b (lemos: a para b)

Os números a e b são os termos da razão. O valor de a é chamado de antecedente e b, consequente da razão. RAZÕES DE DUAS GRANDEZAS:

Razão de duas grandezas, dadas em

certa ordem, é a razão entre a

medida da primeira grandeza e a

medida da segunda.

Se as grandezas são de mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro.

PROPORÇÃO: Dados quatro números (15,3, 20 e4), como razão entre os dois primeiros números (15 e 3) é igual à razão entre os últimos (20 e 4), isto é:

Dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões:

Assim:

Dados, em certa ordem, quatro

números (a, b, c, e d) diferentes de

zero, dizemos que eles formam uma

proporção quando a razão entre os

dois primeiros (a e b) é igual à razão

entre os dois últimos.

Simbolicamente representamos uma proporção como:

E lemos: "a está para b, assim como c está para d".

ELEMENTOS: a, b, c, d são termos

a e c são antecedentes

b e d são consequentes

a e d são extremos

b e c são meios

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL:

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual

ao produto dos meios.

SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS: Considere as razões:

Vemos que todas são iguais a 2. Logo, podemos escrever:

Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporções múltiplas. Em símbolos:

NOTA: A proporção é um caso particular em que a série de razões se reduz a duas razões. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL:

Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para

a soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está

para o seu respectivo consequente. Agora temos condições de determinar qual deverão ser as verdadeiras recompensas do matemático e seu amigo. Vamos lá? Vamos chamar de x a recompensa do matemático e vamos chamar de y a recompensa de seu amigo. Como as recompensas são diretamente proporcionais ao que deram de pão ao príncipe, ou seja:

O matemático tinha 5 pães e comeu , logo deu ao príncipe o equivalente

à:

O amigo do matemático tinha 3 pães e comeu logo deu ao príncipe o

equivalente à:

Sendo assim temos:

Note que

Note que a soma das recompensas deverá ser igual à quantidade de pães que possuíam, ou seja:

De (1), (2) e (3) obtemos a seguinte divisão proporcional é:

Portanto, o matemático receberá 7 barras de ouro, enquanto o amigo do matemático recebeu 3 barras de ouro.

Obs.: o teorema acima admite recíproca.