1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES. 2 Sistemas de Equações Lineares

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SISTEMAS DE EQUAÇÕES

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Sistemas de Equações Lineares

2.1 Definições Gerais

Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares

com m equações e n incógnitas:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

3

Sistemas de Equações Lineares

Forma Matricial:

Axb

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nx

x

x

2

1

mb

b

b

2

1

.

Onde:

A matriz dos coeficientes;

x vetor das incógnitas (ou vetor solução); b vetor dos termos independentes.

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Sistemas de Equações Lineares

Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema

B[ Ab]

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211

.

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Definições

Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível (ou sistema impossível – S.I.), se não admite nenhuma solução. Um sistema de equações lineares que admite uma única solução é chamado de compatível determinado (ou sistema possível determinado – S.P.D.). Se um sistema de equações lineares tem mais de uma solução (infinitas soluções) ele recebe o nome de compatível indeterminado (ou sistema possível indeterminado – S.P.I.)

6

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Definições

Discutir um sistema de equações lineares S significa efetuar um estudo visando classificá-lo de acordo com as definições anteriores. Resolver um sistema de equações lineares significa determinar todas as suas soluções. O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema.

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2.2 Interpretação Geométrica de Sistemas

de Equações 2x2 Nesta seção são apresentados três exemplos que ilustram a interpretação geométrica para a solução de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas:

Exemplos

1. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:

63

52

yx

yx Solução: x = 3 e y = -2.

Como o sistema tem solução única, esta é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são: 52 yx e

63 yx .

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Exemplo 1 (continuação)

10

Exemplo 2

Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:

1536

52

yx

yx Solução: S.P.I.

y

yx2

5

2

1

Como o sistema tem infinitas soluções, estas são representadas pela intersecção das retas cujas equações gerais são: 52 yx e 1536 yx (retas coincidentes).

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Exemplo 2 (continuação)

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Exemplo 3

Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:

1036

52

yx

yx Solução: S.I. (Sistema Impossível)

O sistema não tem solução. De fato, as retas cujas equações gerais são: 52 yx e 1036 yx são paralelas (não coincidentes).

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Exemplo 3 (continuação)

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Interpretação Geométrica de Sistemas de

Equações 3x3 Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:

3233232131

2223222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Desta forma os planos 1 , 2 e 3 são os planos definidos pelas equações do sistema. Assim, as soluções do referido sistema pertencem à interseção

321 desses planos.

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Interpretação Geométrica de Sistemas de

Equações 3x3 Se pelo menos dois desses planos são paralelos, ou se dois deles intersectam o terceiro segundo retas paralelas, a interseção

321 é vazia e o sistema é impossível. Se os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se

r 321 , o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema. O sistema é determinado (solução única), quando os três planos se encontram em um único ponto. Existem ao todo, oito posições relativas possíveis para os planos

1 , 2 e 3 . Quatro dessas posições correspondem aos sistemas impossíveis e nas outras quatro, o sistema tem solução.

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Um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer

do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares

2x + 3y = 10 5x - 2y = 6

5x - 2y = 6 2x + 3y = 10

são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução.

Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

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Um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das

equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares

3x + 2y - z = 5 3x + 2y - z = 5

2x + y + z = 7 2x + y + z = 7 x - 2y + 3z = 1 3x - 6y + 9z = 3

  são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi

multiplicada membro a membro por 3.

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Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação do sistema por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante

diferente de zero.

Exemplo: os sistemas

15x - 3y = 22 15x - 3y = 22

5x + 2y = 32 -9y = -74 

são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

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Método de Gauss

Método de Gauss consiste em fazer operações entre linhas deste sistema até chegarmos a um novo sistema (que terá a mesma solução que o inicial) com a forma triangular.

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O Método de Gauss

Partindo do sistema S pode-se chegar a este sistema escalonado equivalente por meio de uma seqüência de operações elementares, que são as seguintes:

1) Trocar a ordem das equações do sistema;

2) Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero; 3) Substituir uma equação do sistema por sua soma com outra equação multiplicada por uma constante diferente de zero.

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Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo

método de Gauss

22

Discutir e resolver o sistema:

13

022

1

zyx

zyx

zyx

1113

0212

1111

133

122

3

2

LLL

LLL

2220

2030

1111

22 3

1LL

23

22203

2010

1111

233 2LLL

3

2200

3

2010

1111

cujo sistema equivalente é

3

22

3

21

z

y

zyx

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Como o número de equações restantes é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determinado (S.P.D.). Resolvendo este sistema de baixo para cima, obtemos:

3

1z ,

3

2y e finalmente 0x . Desta forma, a solução pode ser

dada pela única tripla ordenada:

3

1,

3

2,0,, zyx .

Método de Eliminação de Gauss-Jordan

Este método é uma complementação ao método de Gauss. Ele transforma o sistema dado em um outro diagonal, isto é, onde todos os elementos fora da diagonal são nulos. O método de Gauss exigia apenas que se chegasse à forma triangular.

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Veremos com o exemplo anterior como funciona o método de Gauss-Jordan.

3

22

3

2

1

z

y

zyx

32

321

200

010

111

27

32

321

200

010

111

31100

320103

1101

23

3

211

LL

LLL

31

32

0

:

31100

32010

0001

z

y

x

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311 LLL