OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · de símbolos em expressões, resoluções de equações e sistemas de equações lineares e não lineares, cálculos matriciais,

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

1. Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica -

Turma 2013

Título: Uma Abordagem Computacional no Ensino de Funções.

Autor: Alexandre Pacheco de Souza

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Profº. Malvino de Oliveira Ensino Fundamental, Médio e Profissional

Município da escola: Porecatu

Núcleo Regional de Educação: Londrina

Professor Orientador: Prof. Drª. Luciana Gastaldi Sardinha Souza

Instituição de Ensino Superior: UEL – UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

Relação Interdisciplinar:

(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)

Artes, Mídias Tecnológicas e Software Matemático

Resumo:

Com uma abordagem computacional no conteúdo de funções, este trabalho propõe uma análise de construção das principais funções contempladas no Ensino Médio. Também realiza a construção de figuras planas utilizando estes mesmos gráficos de funções matemáticas. Todas estas ações são obtidas utilizando o software Geogebra.

Palavras-chave: funções; Geogebra; desenho; mídias tecnológicas; Artes

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público: Alunos do primeiro ano do Ensino Médio do

Colégio Profº Malvino de Oliveira da cidade

de Porecatu

UNIDADE DIDÁTICA

Uma Abordagem Computacional no Ensino de Funções

2. Apresentação

O ensino de Matemática na última década passa por vários questionamentos

no que se refere aos seus objetivos finais. Uma discussão fervorosa toma conta dos

professores de matemática quando o assunto é como se ensinar matemática hoje no

ensino básico do Brasil. Com intuito de buscar métodos alternativos para melhorar o

ensino da Matemática, o presente trabalho visa melhorar as aprendizagem do

conteúdo de funções dos alunos do ensino médio da cidade de Porecatu-Pr

investigando as suas dificuldades e implementando metodologias alternativas como,

por exemplo, o uso de tecnologias e modelagem matemática.

Trabalho por vários anos com este conteúdo com os alunos, e percebo uma

grande dificuldade quando precisamos aplicar o que estudamos na resolução de

situações problema do cotidiano. Por exemplo, quando temos que resolver uma

situação na qual o crescimento é exponencial e temos que representar graficamente

esta situação, há uma grande dificuldade em visualizar o traço desta função no

plano cartesiano e se a função é crescente ou decrescente, ou então quando

precisamos encontrar as raízes e o vértice de uma equação quadrática, identificar

seu ponto de máximo ou ponto de mínimo, ou até mesmo para reconhecer

algebricamente a equação de uma determinada função a partir de seu gráfico. Foi

pensando em situações como estas que propomos elaborar um projeto que

contemple o conteúdo de funções, o qual seja trabalhado com apoio das mídias

tecnológicas, mais precisamente com o software livre chamado Geogebra.

3. Problematização

Diante dos avanços tecnológicos ocorridos nas últimas décadas, as mídias

tecnológicas têm invadido as escolas. A escola que antes era detentora exclusiva de

todo conhecimento produzido, agora tem compartilhar a fonte dos conhecimentos

com as mídias tecnológicas. Os alunos fascinados por essas tecnologias estão cada

vez mais antenados e conectados às redes sociais, à internet, aos jogos digitais, à

mensagens de texto e de voz, aos livros digitais e aos celulares. Frente a todas

essas fontes de informação, esses alunos estão cada vez mais atraídos por essas

mídias que mostram imagens, sons variados e que possibilitam a comunicação a

todo instante com seus pares. Neste cenário tecnológico, o ambiente tradicional

da sala de aula com apenas quadro negro e giz não mais atrai esta geração

conectada ao mundo digital. Sendo assim, este trabalho pretende promover um

ambiente de aprendizagem atraente para aprendizagem de funções utilizando o

software Geogebra.

4. Fundamentação Teórica

Segundo D’Ambrósio (1993), a disciplina de Matemática deve ser abordada

em uma perspectiva investigativa na qual o aluno possa compreender a sua

importância para uma leitura dos fenômenos que acontecem no cotidiano. O

professor deve conceber a Matemática como uma ciência em constante evolução

que se molda no seu tempo, resolvendo problemas oriundos das inquietudes do ser

humano. A Matemática deve ser capaz de investigar problemas e apontar soluções,

levando os alunos a uma experiência de descoberta, buscando no entendimento

das demonstrações matemáticas a contribuição para o seu desenvolvimento

intelectual e, consequentemente, para a construção do conhecimento científico.

Neste sentido, a essência do processo de aprendizagem está na ação ativa do

aluno, desde a identificação do problema, passando por todo o processo de pensar

matematicamente a estratégia para a resolução e chegando na conclusão que será

a resposta. Para que isto ocorra, o professor não pode privar o aluno de participar do

ansioso processo investigativo que dará início à busca da solução de tal problema.

Deste modo, o aluno passa a experimentar toda aquela situação envolvente e

necessária para a resolução do seu problema, ou seja, o aluno participa

efetivamente da construção da solução desse, diferentemente do que acontece no

ensino tradicional de Matemática, no qual o aluno apenas reproduz a resolução de

um exercício baseando-se em fórmulas e exemplos de exercícios similares.

A fim de promover a participação interativa do aluno, o professor deve

incentivar o uso de materiais didáticos que facilitem a abordagem do problema, o

auxilio das mídias tecnológicas, motivando, desse modo, o trabalho em grupo e

fortalecendo o debate e a investigação. D’Ambrósio (1989) comenta a respeito da

metodologia de investigação:

Acredita-se que metodologia de trabalho desta natureza tem o poder de dar ao aluno a autoconfiança na sua capacidade de criar e fazer matemática. Com essa abordagem a matemática deixa de ser um corpo de conhecimentos prontos e simplesmente transmitidos aos alunos e passa a ser algo em que o aluno faz parte integrante no processo de construção de seus conceitos. (D’Ambrósio, 1989, p.5)].

Marcelo C. BORBA e Miriam G. PENTEADO (2003) comentam a história das

mídias e a necessidade que a humanidade sempre teve de estender a sua memória.

Para explicar esta necessidade, o autor remete em uma perspectiva histórica a três

grandes técnicas associadas ao conhecimento: a oralidade, a escrita, e a

informática. Por meio da primeira, a oralidade, o conhecimento era guardado por

meio de mitos, ou seja, era necessário passar tal conhecimento por meio de

histórias contadas. Com o advento da escrita, surgem os primeiros livros e a

memória se estende um pouco mais. Desta forma, a humanidade ganha uma técnica

importantíssima para o arquivamento e também para a divulgação do conhecimento.

É importante salientar que o surgimento desta nova técnica não extinguiu a primeira,

pelo contrário, ela apenas completou uma dificuldade que a oralidade apresentava

no arquivamento do conhecimento. O mesmo acontece com o surgimento da

tecnologia informática, esta permite que a memória se amplie ainda mais, fazendo

com que o conhecimento seja investigado com novas formas de abordagem que

envolvam simulações e experimentações e que apontam para uma nova

interpretação do problema estudado. Neste sentido, o autor diz que:

A perspectiva histórica, a qual abraçamos, sugere que os seres humanos são constituídos por técnicas que estendem e modificam seu raciocínio e , ao mesmo tempo, esses mesmos seres humanos estão constantemente transformando essas técnicas.[...]. Mais ainda, entendemos que o conhecimento só é produzido com uma determinada mídia, ou tecnologia da inteligência. É por isso que adotamos uma perspectiva teórica que se apoia na noção de que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por-seres-humanos-com-mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias [...]. (BORBA E PENTEADO, 2003, p.48).

O papel do computador não é o de substituir o ser humano, mesmo porque

ele não teria condições para isto. A função do computador nesta perspectiva é de

reorganizar o trabalho pensante do sujeito, permitindo ao mesmo uma flexibilidade

maior na abordagem de determinada situação problema. Por exemplo, quando se

vai desenhar uma planta de uma casa utilizando um computador com software

específico, o engenheiro pode observar e trabalhar detalhes com uma agilidade

muito maior do que se o mesmo tivesse que elaborar esta planta com lápis, papel,

réguas e pranchetas.

As Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (DCEs)

destacam vários conteúdos a serem trabalhados na disciplina de Matemática, entre

eles o de funções, os quais abordam os seguintes tipos de funções: função afim,

função quadrática, função polinomial, função exponencial, função logarítmica, função

trigonométrica e função modular. Segundo as Diretrizes,

As abordagens do Conteúdo Funções no Ensino Médio devem ser ampliadas e aprofundadas de modo que o aluno consiga identificar regularidades, estabelecer generalizações e apropriar-se da linguagem matemática para descrever e interpretar fenômenos ligados à Matemática e a outras áreas do conhecimento. O estudo das Funções ganha relevância na leitura e interpretação da linguagem gráfica que favorece a compreensão do significado das variações das grandezas envolvidas. (PARANÁ, 2008, p.59)

O Geogebra é um software de código aberto (livre), multiplataforma (pode ser

instalado no sistema operacional Windows, Linux ou Mac Os), criado por Markus

Hohenwarter em 2002 (GEOGEBRA, 2002) durante a sua pesquisa de mestrado.

Desenvolvido para o ensino de Matemática, é um software bastante interativo,

permitindo ao usuário várias formas de entrada de dados, seja referente ao

conteúdo de geometria, álgebra ou cálculo. O Programa apresenta uma interface

com múltiplas janelas, permitindo uma visualização dinâmica do conteúdo estudado.

A construção de polígonos, linhas, pontos, vetores, seções cônicas e funções são

apresentados tanto na janela de Álgebra como também na janela de visualização

gráfica, na qual pode-se colocar eixos (abscissa e ordenada) do plano cartesiano.

Um ponto, por exemplo, pode ser determinado utilizando o ícone da barra de

ferramentas, ou no campo de entrada via teclado ou também pode ser apontado

diretamente com o mouse na janela de visualização. Na Figura 1, é possível

observar o ponto “A” na janela de álgebra escrito na forma de par ordenado e na

janela gráfica com suas coordenadas cartesianas.

Figura 1 – Janela de Álgebra e Janela Gráfica

O Geogebra possui uma janela disponível chamada CAS (Computer Álgebra

System ou Sistema Algébrico Computacional) que permite a construção de algumas

rotinas computacionais para:

cálculos aritméticos, simplificações de expressões algébricas, substituições de símbolos em expressões, resoluções de equações e sistemas de equações lineares e não lineares, cálculos matriciais, cálculos de derivadas e integrais, resoluções de equações diferenciais ordinárias e parciais. (BOTOLOSSI et. All.2012, p.1)

Para o trabalho de geometria, é possível obter uma janela - janela de

geometria - para o desenho das mais variadas formas geométricas: círculos, elipses,

hipérboles, ângulos, segmentos e outros. Outra janela disponível é a planilha, na

qual pode-se inserir valores para uma posterior análise de dados, seja para a

construção de gráficos ou para fazer operações tais como: somas, médias e outras.

Permite também a elaboração de tabelas e matrizes. Elaborado para ser um

software educacional de ampla abordagem de conteúdos matemáticos, o Geogebra

qualifica-se parceiro das novas estratégias de ensino-aprendizagem, nas quais

professores e alunos podem explorar todos esses conteúdos na obtenção de um

conhecimento matemático mais significativo.

5. Estratégias de Ação

Esta intervenção pedagógica pretende abordar o conteúdo de funções para

os alunos do ensino médio, utilizando a metodologia de mídias tecnológicas. O

laboratório de informática da escola possui computadores equipados com o software

Geogebra e projetor multimídia. Neste ambiente, será montada uma oficina realizada

com os alunos do primeiro ano do Ensino Médio do colégio Estadual Prof. Malvino

de Oliveira. Esta oficina terá duração de 32h/a trinta e duas horas-aulas, distribuídas

durante o primeiro semestre de 2014.

A sequência das atividades que contemplam esta intervenção didático-

pedagógica é:

1. Avaliação diagnóstica

2. Apresentação do software Geogebra

3. Construção das funções: Quadrática, Modular, Exponencial, Logarítmica e Seno.

4. Construções de Figuras planas.

5. Atividades que envolvam o conteúdo abordado.

6. Avaliação diagnóstica

A avaliação diagnóstica trata-se de uma avaliação na qual pode-se verificar o

conhecimento prévio dos alunos em determinado assunto. Lembrando que o objetivo

do trabalho é o ensino de funções utilizando o computador, vamos investigar qual é

a habilidade que os alunos têm com o computador. (Conforme anexo I)

7. Aprendendo com Geogebra

Neste tutorial vamos comentar sobre os comandos básicos do software

Geogebra1. Vamos fazer uma apresentação do programa, começando pela barra de

Menus, barra de Ferramentas, janela de Álgebra, janela de Visualização e

finalizando com o Campo de Entrada via teclado. O Geogebra possui outras janelas,

mas neste tutorial vamos comentar somente sobre as janelas citadas anteriormente.

Para iniciar, vamos aprender como instalar o software no computador. Como

se trata de um software livre, não há necessidade de pagamento pela sua licença, o

Geogebra pode ser baixado gratuitamente da internet. Recomendamos o site do

Geogebra que se encontra neste endereço (http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/).

Escolha o link referente ao sistema operacional do seu computador, geralmente é o

Windows, e clique sobre ele para fazer o download do programa. Após baixar o

programa, vá até a pasta foi salvo e clique sobre o arquivo Geogebra para que o

programa seja instalado. Concluída a instalação, vamos inicializar o programa

clicando no link Geogebra que está na área de trabalho do computador. Uma tela

como ilustrado na Figura 2 irá aparecer. Para maiores detalhes de como instalar o

software Geogebra assista o vídeo “Instalação2 do Geogebra” no YouTube.

1

2 Vídeo: “http://www.youtube.com/watch?v=swYHNtmODG8&feature=c4-overview-

vl&list=PL4Setj2LURCLy9YOyqTK-DpiG1BT1DGUW”

http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/

http://www.youtube.com/watch?v=swYHNtmODG8&feature=c4-overview-vl&list=PL4Setj2LURCLy9YOyqTK-DpiG1BT1DGUW

http://www.youtube.com/watch?v=swYHNtmODG8&feature=c4-overview-vl&list=PL4Setj2LURCLy9YOyqTK-DpiG1BT1DGUW

Figura 2 – Área de trabalho do Geogebra

Com o programa já instalado e inicializado, vamos entender a sua vista de

trabalho. A barra de Menus mostrada na Figura 3 está situada na parte superior das

janelas, possui sete menus; menu Arquivo, menu Editar, menu Exibir, menu Opções,

menu Ferramentas, menu Janela e menu Ajuda.

Figura 3 – Barra de Menus

Posicionando o cursor sobre o menu desejado e clicando uma vez, abre-se a

janela de comandos referente a este menu como mostra a Figura 4. Estes

comandos serão explicados à medida de sua utilização.

Figura 4 – Menu Editar

Logo abaixo da barra de menus, podemos visualizar a barra de Ferramentas,

na qual encontramos todos os comandos para a construção do objeto desejado.

Esta barra permite um acesso rápido a todos os comandos de construção.

Figura 5 – Barra de Ferramentas

Observe a Figura 5, no canto inferior direito de cada ícone na barra de

Ferramentas, existe um pequeno triângulo que nos permite estender ainda mais a

lista de comandos da barra de ferramentas. A Figura 6 mostra a expansão dos

comandos que estão agrupados no ícone da segunda seção da Barra de

Ferramentas.

Figura 6 – Seção da Barra de Ferramentas

Esta ação pode ser realizada com quaisquer ícones desta barra, apenas

posicionando o cursor no pequeno triângulo e clicando sobre ele.

Logo abaixo da barra de Ferramentas, o Geogebra apresenta as janelas na

quais podemos visualizar as atividades realizadas. Para o nosso curso, vamos

precisar da Janela de Álgebra e a Janela de Visualização que são apresentadas na

Figura 7. Estas janelas nos permitem visualizar o conteúdo trabalhado na forma

algébrica e na forma geométrica respectivamente. Clicando uma vez com o botão

direito do mouse em qualquer área da janela de Visualização, abre-se uma caixa

chamada “janela de Visualização” na qual podemos exibir ou esconder os “eixos” do

plano cartesiano, exibir ou esconder a “Malha” do plano cartesiano, alterar o zoom,

alterar a proporção dos Eixos e assim por diante.

Figura 7- Janela de Visualização e Janela de Álgebra

Outra forma de comandar este programa dá-se por meio do “Campo de

Entrada” posicionado na parte inferior da tela do Geogebra. Este comando acontece

via teclado e deve ser digitado corretamente no campo indicado como observamos

na Figura 8 a seguir.

Figura 8 – Campo de Entrada

O ícone ajuda posicionado no canto inferior direito, pode nos orientar na

forma correta de escrita para este comando de entrada. Por exemplo, se desejamos

decompor um número em fatores primos e não lembramos qual é o comando a ser

escrito na caixa de entrada, basta clicar no ícone ajuda conforme a Figura 9 e

procurarmos pelo comando.

Figura 9 – Ícone de Ajuda

Para entender melhor o que foi comentado sobre o programa até agora,

vamos realizar, com ajuda do Geogebra, a execução de atividades simples que

podem nos ajudar a entender alguns comandos.

Primeira atividade: Construir dois pontos distintos, “A” e “B”. Em seguida

construir uma circunferência com centro em “A” e que passa pelo ponto “B”.

Para iniciarmos esta construção, vamos abrir a interface do Geogebra e

escolher na barra de Ferramentas a opção “novo ponto” . Com esta ferramenta

selecionada leve o cursor até a janela de Visualização, onde se deseja colocar o

ponto e dê um clique, construindo o ponto “A”. Ainda com a opção “novo ponto”

selecionada, posicione o cursor em outra parte da região da janela de Visualização e

dê um clique, construindo o ponto “B”.

Figura 10 – Construindo Círculo dado o centro e um de seus pontos

Observe na Figura 10, que os pontos “A” e “B” aparecem na janela de

Visualização e suas coordenadas cartesianas aparecem na janela de Álgebra. Para

inserir a circunferência selecione o ícone “círculo dado centro e um de seus

pontos” na sexta seção da barra de Ferramentas e leve o cursor até o ponto “A”

clicando uma vez sobre ele, em seguida leve o cursor até o ponto “B” e clique

novamente. A circunferência é criada e aparece na Janela de Visualização como

mostra a Figura 11.

Figura 11 - Circunferência

Segunda atividade: Utilizando a primeira atividade como referência, vamos

construir uma reta “a” passando pelo ponto “B” e tangente à circunferência “c”.

Partindo da primeira atividade, na qual temos os pontos “A” e “B” e a

circunferência “c”, vamos selecionar a ferramenta “reta tangente” que se

encontra na quarta seção da barra de Ferramentas, no quinto ícone. Para encontrá-

lo clique sobre o pequeno triângulo selecionado na parte inferior direita deste ícone

como mostra a Figura 12 a seguir.

Figura 12 – Ícones da quarta seção

Com esta ferramenta selecionada, leve o cursor até a janela de Visualização,

dê um clique sobre o ponto “B”, em seguida leve o cursor sobre a circunferência “c”

até que ela fique negritada, segure o cursor nesta posição e clique uma vez. Assim a

reta tangente “a” é construída conforme mostra a Figura 13.

Figura 13 – Reta Tangente à Circunferência

Terceira atividade: Construir dois pontos, “A” e “B”, tal que, suas

coordenadas no plano cartesiano sejam e . Em seguida, construa uma

parábola que passa pelos pontos “A” e “B”, sabendo que os pontos “A” e “B” são

raízes da equação que descreve esta parábola.

Para realizar esta atividade, vamos ativar a malha e os eixos cartesianos na

janela de Visualização. Para isto, posicione o cursor na janela de visualização e

aperte o botão direito do mouse. Vai aparecer uma janela com várias opções.

Marque a opção eixos e em seguida marque a opção malha .

Para construir o ponto “A” cuja coordenada é , vamos digitar na caixa de

entrada a coordenada “A=(-2,0)” e teclar “Enter”. Repita o processo

com o ponto “B”, digitando sua coordenada “B=(2,0)” e confirmando

com a tecla “Enter”. Para desenhar a parábola, vamos utilizar a função

, digitando no Campo de Entrada “f(x)=(x-2)*(X+2)”

e teclando “Enter”. Assim o gráfico da parábola foi criado

e os pontos “A” e “B” são raízes de , como podemos observar no gráfico que

aparece na Figura 14.

Perceba que qualquer função do tipo com

cria parábolas com raízes e .

Figura 14 – Gráfico de

8. Construindo Funções no Geogebra.

8.1. Análise da função Quadrática

Para , observamos o gráfico

com concavidade para cima e seu

vértice no ponto .

Para , observamos o gráfico

com concavidade para baixo e seu vértice

no ponto .

Para , observamos que a

concavidade da parábola se fecha em

relação ao gráfico da função .

Para , observamos que a

concavidade da parábola se fecha em


Para

, observamos que a

concavidade da parábola se abre em


Para

, observamos que a

concavidade da parábola se abre em


Para , observamos um

deslocamento do gráfico de 3 pontos

no sentido positivo do eixo y em



deslocamento do gráfico de 3 pontos no

sentido positivo do eixo y em relação ao

gráfico da função .



no sentido negativo do eixo y em




sentido negativo do eixo y em relação ao

gráfico da função .

Para observamos um


no sentido positivo do eixo x em

relação ao gráfico da função

Para observamos um


sentido positivo do eixo x em relação ao

gráfico da função

Para observamos um


no sentido negativo do eixo x em




sentido negativo do eixo x em relação ao

gráfico da função

Para observamos

um deslocamento do gráfico de 3

pontos no sentido negativo do eixo x

e um deslocamento do gráfico de 2

pontos no sentido positivo do eixo y,

ambos em relação ao gráfico da

função

Para observamos

um deslocamento do gráfico de 3 pontos

no sentido negativo do eixo x e um


sentido positivo do eixo y, ambos em


Tabela 1 – Gráficos de Funções Quadráticas

Tendo verificado o comportamento dessas funções e seus respectivos

gráficos, vamos construir uma função quadrática genérica da forma

na qual, os coeficientes são números reais com . Esta forma de

escrever a função Quadrática é interessante para o nosso trabalho, pois ela permite

um posicionamento do gráfico da parábola no plano cartesiano a partir de seu

vértice dado pelo ponto de coordenadas Assim a posição deste gráfico no

plano cartesiano pode ser previamente estabelecida, permitindo que o professor

escolha a região do plano ele deseja desenhar o gráfico. Para entendermos melhor,

vamos colocar esta função Quadrática no Geogebra e construir o seu gráfico.

1ª Etapa: Estabelecer os valores dos coeficientes , utilizando o

comando “controle deslizante”. Posicione o cursor na décima primeira seção da

barra de Ferramentas e selecione o ícone controle deslizante.

Em seguida, clique na janela de

Visualização, na posição que você

deseja que fique o controle deslizante.

Em seguida vai abrir a janela do controle

deslizante – Figura 15 - para que seja

editada. Verifique o nome “a” e na aba

“intervalo” determine “-10” para valor

mínimo, “10” para valor máximo e

incremento de “0,1. Clique em “aplicar” e

estará estabelecido os valores para o coeficiente “a”.

Repita o processo da primeira etapa alterando o nome para “b”, na aba

intervalo defina para valor mínino (min) “-10”, para valor máximo (max) “10” e para o

incremento “0,1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará definido os valores para

o coeficiente .

Repita novamente o processo da primeira etapa alterando o nome para “c”,

na aba intervalo defina para valor mínino (min) “-10”, para valor máximo (max) “10”

e para o incremento “0,1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará definido os

valores para o coeficiente .

2ª Etapa: Vamos definir a função quadrática e

determinar as coordenadas de seu vértice como .Digite no Campo de Entrada

“f(x)=a*(x-b)^2+c” e tecle “Enter” para concluir. Posicione o cursor

novamente no Campo de Entrada e digite “V=(b,c)” e tecle “Enter” para

concluir.

Altere a cor do gráfico posicionando o cursor sobre ele e clicando com o

botão direito do mouse. Na janela que abrir clique em “propriedades” e em seguida

na aba “cor” selecione a cor (vermelha) desejada clicando sobre ela. A Figura 16

ilustra este procedimento.

Figura 15 – Controle Deslizante

Figura 16 – Janela de Preferências da Função

Feche esta janela e estará concluída a construção da função Quadrática.

Verifique o comportamento da parábola alterando os valores de seus

coeficientes “ ” utilizando o comando “controle deslizante”. Para alterar esses

valores, clique no ícone “mover” na primeira seção da Barra de Ferramentas e

em seguida clique e arraste sobre o controle que deseja alterar.

Posicione o cursor sobre o controle deslizante “a” e clique, segure e arraste para os

lados. Observe que o gráfico apresenta uma dilatação ou uma compressão da

concavidade da parábola. Podemos perceber também que para valores positivos a

parábola apresentará concavidade para cima e para valores negativos, concavidade

para baixo.

Alterando os valores do coeficiente “b” podemos verificar um movimento de

translação horizontal da parábola.

Alterando os valores do coeficiente “c” podemos verificar um movimento de

translação vertical da parábola.

Esses movimentos de translação horizontal e vertical podem ser muito úteis

quando queremos posicionar a Parábola em certa região do plano Cartesiano, pois

eles estão diretamente ligados com os valores das coordenadas do vértice da

parábola .

Outra forma de escrever a função Quadrática, sempre apresentada nos livros

didáticos, é a forma . Com o intuito de comparar as duas formas,

vamos construí-la também.

1ª Etapa: Definir os valores dos coeficientes . Para definir tais valores,

posicione o cursor na décima primeira seção da barra de Ferramentas e clique sobre

o ícone “controle deslizante” ”. Em seguida, leve o cursor na janela de

Visualização e dê um clique, vai abrir uma janela chamada “controle deslizante” com

mostra a Figura 17.

Nesta janela defina o nome como “a”, na

aba intervalo defina para valor mínino

(min) “-10”, para valor máximo (max)

“10” e para o incremento “0,1”. Para

finalizar, clique em “aplicar” e estará

definido os valores para o coeficiente “a”.


intervalo defina para valor mínino (min) “-10”, para valor máximo (max) “10” e para o

incremento “0,1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará definido os valores para

o coeficiente “b”.



e para o incremento “0,1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará definido os

valores para o coeficiente .

2ª Etapa: Definir a função quadrática , digitando no Campo

de Entrada “f(x)=a*x^2+b*x+c” e tecle “Enter” para concluir.

Altere a cor do gráfico posicionando o cursor sobre ele e clicando com o botão

direito do mouse. Na janela que abrir clique em “propriedades” e em seguida na aba

“cor” selecione a com desejada clicando sobre ela. A Figura 18 ilustra este

procedimento.


Figura 18 – Janela de Preferências da Função

Feche a janela para concluir.

3ª Etapa: Construir o ponto “A” com as coordenadas do vértice da parábola

f(x). Sabemos que o vértice da parábola é dado por ⁄ ,

portanto, no Campo de Entrada digite “A=(-b/(2*a),-(b^2-(4a*c))/(4a))”

Desta forma está construída a parábola da função quadrática com os valores

dos coeficientes determinados pelos controles deslizantes. Para verificar o

comportamento da parábola, vamos alterar os valores de seus coeficientes no

controle deslizante. Para alterar esses valores, clique no ícone “mover” na

primeira seção da Barra de Ferramentas e em seguida clique e arraste sobre o

controle que deseja alterar.

Alterando os valores de “a“ podemos perceber uma alteração na abertura

(dilatação ou compressão) da concavidade da parábola, percebemos também que

para valores positivos a parábola está com concavidade para cima e para valores

negativos a parábola está com concavidade para baixo.

Alterando os valores de “c” podemos verificar um movimento de translação

da parábola na direção vertical do plano cartesiano.

Até aqui não observamos diferenças entre o comportamento do gráfico da

função escrita na forma e da forma .

Para verificar o comportamento da parábola

alterando o coeficiente “b”, vamos primeiramente

habilitar o rastro do ponto “A” (vértice da parábola).

Para isto, clique sobre o ponto “A” com o botão direito

do mouse e na caixa que abrir - Figura 19 - selecione

a opção “Habilitar Rastro”. Em seguida, leve o cursor

sobre o controle deslizante “b” e clique com o botão

direito, na caixa que abrir - Figura 20 - selecione a

opção “animar”. Observe que o rastro deixado por “A”

vai mostrar um caminho parabólico produzido pela

parábola .

Neste exemplo, vamos adotar , e como

dissemos, o valor de “b” variando de a . Ao

passo que “b” vai tomando esses valores, o gráfico

da vai caminhando no plano cartesiano em um

deslocamento parabólico como descreve o rastro do

ponto “A” no gráfico apresentado na Figura 21.

Figura 19 – Habilitar Rastro

Figura 20 - Animar

Figura 21 – Rastro do Vértice da função

Observe que quando a função quadrática está escrita na forma

o deslocamento do seu vértice é parabólico quando alterado o coeficiente

“b”. Já no exemplo anterior, quando a função Quadrática está escrita na forma

, o seu movimento é apenas na direção do eixo “x”

apresentando um movimento de translação horizontal.

8.2. Construção da Função Modular

Construir a função modular | | , com os coeficientes

sendo .

1ª Etapa: Criar os valores de “a”, “b” e “c”

utilizando o comando “controle deslizante”.

Posicione o cursor na décima primeira seção

da barra de Ferramentas e selecione a

opção “controle deslizante”. Clique na

área de visualização para criar o seletor de

controle, neste momento vai abrir a janela

“controle deslizante” – Figura 22 -para ser

editada. Verifique se na caixa “nome” está “a”, na aba intervalo coloque “-5” para

valor mínimo, “5” para valor máximo e incremento de “0.1”. Clique em aplicar e

estará construído o primeiro controle deslizante. Coloque o cursor sobre o ponto do

controle deslizante e arraste-o até o valor 2.

Repita está primeira etapa alterando somente o nome “b” para criar o

segundo controle deslizante. . Coloque o cursor sobre o ponto do controle

deslizante e arraste-o até o valor 3.

Repita novamente está primeira etapa alterando somente o nome “c” para

criar o terceiro controle deslizante. . Coloque o cursor sobre o ponto do

controle deslizante e arraste-o até o valor 1.

2ª Etapa: Construir a função modular. Digite no Campo de Entrada

“M(x)=a*(abs(x-b))+c” e tecle “Enter”. A função foi criada e o

gráfico aparece na área de visualização. Observe na Figura 23, que esta função

que aparece na visualização está definida como M | | , pois foram

definidos os seguintes valores: .


Figura 23 – Gráfico da Função Modular

Com o cursor sobre o controle deslizante altere o valor “a” ,clicando e

arrastando, e observe que o gráfico da M sofre uma dilatação ou uma

compressão, dependendo dos valores que estão sendo alterados.

Com o cursor sobre o controle deslizante “b” e alterando seu valor, podemos

perceber uma translação horizontal do gráfico da no plano cartesiano em

relação ao eixo “x”. Se alterarmos o valor do controle deslizante “c”, observaremos

uma translação vertical do gráfico da no plano cartesiano em relação ao eixo

“y”.

Outra observação interessante verificamos no vértice “R”, suas coordenadas

são dadas pelo valor de abcissa “b” e ordenada “c”, sendo definido como .

8.3. Construção da Função Exponencial

Construir uma função exponencial de base “b”, sendo “b” um número

positivo. Esta função será escrita na forma , com o coeficiente

“a” diferente de zero.

1ª Etapa: Definir os valores dos coeficientes . Para definir tais

valores, posicione o cursor na décima primeira seção da barra de Ferramentas e

clique sobre o ícone “controle deslizante” ”. Em seguida, leve o cursor na janela

de visualização e dê um clique, vai abrir uma janela chamada “controle deslizante”

como mostra a Figura 24.

Nesta janela defina o nome como “a”, na

aba intervalo defina para valor mínino (min)

“-1”, para valor máximo (max) “1” e para o

incremento “0.1”. Para finalizar, clique em

“aplicar” e estará definido os valores para o

coeficiente “a”.


intervalo defina para valor mínino (min) “0.1”, para valor máximo (max) “10” e para o

incremento “0.1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará definido os valores para

o coeficiente “b”



e para o incremento “0.1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará definido os

valores para o coeficiente “c”.

Repita novamente o processo da primeira etapa alterando o nome para “d”,



valores para o coeficiente “d” .

2ª Etapa: Definir a função Exponencial . Digite no Campo

de Entrada “E(x)=a*b^(x+c)+d” e tecle “Enter” para concluir.

Verifique o comportamento do gráfico da função alterando os valores de

seus coeficientes. Para alterar esses valores, clique no ícone “mover” na


controle que deseja alterar. Observe que quando alteramos o valor

da base “b” o gráfico é crescente para os valores e decrescente para os


valores . Um caso particular da função Exponencial é quando o valor de

sua base vale . Este número irracional é chamado de Número de

Euller e sua notação é .

O coeficiente “c” permite um movimento de translação do gráfico na direção

do eixo “x”.

O coeficiente “d” permite um movimento de translação do gráfico na direção

do eixo “y”.

O coeficifiente “a” altera o comportamento da função em relação ao eixo “y”,

modificando o valor da imagem da função original, fazendo com que o gráfico se

alongue ou se comprima.

Observe na Figura 25 o gráfico da função Exponencial

para os valores de respectivamente .

Figura 25 – Gráfico da Função Exponencial

8.4. Construção da Função Logarítmica

Construir a função logarítmica de base “b”, sendo “b” um número positivo

e diferente de um . Escreveremos esta função utilizando os

coeficientes “(a, b, c, d)” da seguinte forma, , com o

coeficiente “a” diferente de zero .

1ª Etapa: Definir os valores dos coeficientes . Para definir esses

valores, leve o cursor na décima primeira seção da barra de Ferramentas e clique

sobre o ícone “controle deslizante” ”. Em seguida, posicione o cursor na janela

de visualização e dê um clique, vai abrir uma janela chamada “controle deslizante”

como mostra a Figura 26.

Nesta janela, defina o nome como “a”, na

aba intervalo defina para valor mínino (min)

“-1”, para valor máximo (max) “1” e para o

incremento “0.1”. Para finalizar, clique em

“aplicar” e estará definido os valores para o

coeficiente “a”.

Repita o processo da primeira etapa

alterando o nome para “b”, na aba intervalo

defina para valor mínino (min) “0.1”, para valor máximo (max) “10” e para o

incremento “0.1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará definido os valores para

o coeficiente “b”. Como “b” é o valor da base, não podemos deixar este coeficiente

com valor um, pois não existe logaritmo de base um, portanto pocisione o curso

neste ícone e o leve para outros valores, como por exemplo “b” igual a 2.

.




valores para o coeficiente “c”. .

Repita novamente o processo da primeira etapa alterando o nome para “d”,



valores para o coeficiente “d”. .

2ª Etapa: Definir a função Logarítmica . Digite no

Campo de Entrada “L(x)=a*log(b,(x+c))+d” e tecle “Enter”

para concluir. Como sabemos, a função logarítmica não está definida para valores

Figura 26 - Controle Deslizante

com a base “b” igual a um. Portanto verifique se o controle deslizante criado para os

valores de “b” está em um. Se estiver, deslize ele para outros valores.

Verifique o comportamento do gráfico da função L alterando os valores de

seus coeficientes. Para alterar esses valores, clique no ícone “mover” na


controle que deseja alterar. Observe que quando alteramos os

valores da base “b” temos que a função será decrescente para valores de “b”

e crescente para valores de “b” maiores que um .

Alterando os valores de “c” temos um movimento de translação do gráfico na

direção horizontal e alterando os valores de “d” temos um movimento de translação

vertical do gráfico em relação ao plano cartesiano.

Adotando valores para com sendo respectivamente

temos a função logarítmica escrita da forma e seu gráfico

é apresentado na Figura 27.

Figura 27 – Gráfico da Função Logarítmica

8.5. Construção da Função Seno

Vamos verificar a relação da Função Seno no círculo trigonométrico com o

seu gráfico no plano cartesiano, construindo o círculo trigonométrico juntamente com

o gráfico da função seno. Antes de iniciarmos propriamente esta construção, vamos

configurar as coordenadas cartesianas, utilizando para o eixo “x” a unidade radianos.

Para fazer esta configuração clique com o botão direito do mouse sobre a

janela de visualização, na caixa que abrir clique no último item chamado “janela de

visualização”. Vai abrir uma nova janela chamada “preferências”, clique sobre a aba

“Eixo x” e selecione a opção “Distância” e marque ⁄ . Em seguida clique sobre a

aba “Básico” e verifique se a opção “Eixo X : Eixo Y” está “1 : 1” na proporção um

para um. A Figura 28 ilustra este procedimento. Feche a janela de preferências.

Figura 28 – Preferências dos Eixos Cartesianos

1ª Etapa: Marcar o centro da circunferência com o ponto “A”. Este deve estar

na interseção dos eixos cartesianos. Selecione na barra de ferramentas o segundo

ícone e clique sobre o pequeno triângulo que aparece no canto inferior direito .

Vai abrir uma caixa com vários comandos, selecione a opção “interseção de

dois objetos”. Em seguida clique no eixo “x” e depois no eixo “y”. O Ponto “A” é

criado na interseção dos eixos.

2ª Etapa: Construir a circunferência de centro em “A” e raio unitário.

Selecione na Barra de Ferramentas o sexto ícone e clique sobre o pequeno triângulo

que aparece no canto inferior direito , na caixa de comandos que abrir

selecione a opção “círculo dado centro e raio”. Em seguida posicione o cursor

sobre o Ponto “A” e clique uma vez, na caixa que abrir digite o valor “um” para o raio

e dê “ok”. A circunferência está construída.

3 Etapa: Construir o ponto “B” na interseção do eixo “x” com a circunferência

“c”. Selecione na Barra de Ferramentas a opção “interseção de dois objetos” e

clique no ponto “B” e depois clique na circunferência “c”. O ponto “B” é construído.

4 Etapa: Construir o ponto “C” sobre a circunferência “c”. Selecione na Barra

de Ferramentas, na segunda seção, a opção “ponto em objeto” e clique sobre a

circunferência “c”. O ponto “c” está criado sobre a circunferência.

5 Etapa: Construir o ângulo BÂC. Selecione na Barra de Ferramentas, na

oitava seção, a opção “ângulo” e clique sobre os pontos “B”, “A” e “C”

respectivamente. O ângulo “α” ou BÂC foi criado.

6ª Etapa: Construir uma reta passando pelo ponto “C” e que seja paralela ao

eixo “x”. Selecione na barra de ferramentas, na quarta seção, a opção “reta

paralela” e clique sobre o ponto “C” e, em seguida, no eixo “x”. A reta “a” está

construída.

7ª Etapa: Criar um ponto de interseção entre a reta “a” e o eixo “y”. Selecione

na barra de ferramentas, na segunda seção, a opção “interseção de dois

objetos” e clique na reta “a”, depois clique no eixo “y”. O ponto “D” é criado.

8ª Etapa: Construir um segmento de reta ligando os pontos “A” e “D”.

Selecione na barra de ferramentas, na terceira seção, a opção “segmento

definido por dois pontos” e clique sobre os pontos “A” e “D”. O segmento “b” foi

criado. Altere a cor deste segmento, clicando sobre ele com o botão direito do

mouse, em seguida clique em “propriedades”, vai abrir uma janela de preferências,

clique na aba “cor” e selecione a cor desejada (vermelho). Feche a janela de

preferências.

9 Etapa: Construir a função . Digite esta função no Campo de

Entrada e tecle “Enter”.

Antes de partirmos para a décima etapa, vamos verificar se está tudo de

acordo com o que foi descrito até aqui. Analise a Figura 29 e verifique o que já foi

construído.

Figura 29 – Construção do Gráfico da Função Seno

10ª Etapa: Criar o ponto “P” sobre o gráfico da função seno, com suas

coordenadas .

Figura 30 – Campo de Entrada

Posicione o cursor no Campo de Entrada digite o

valor das coordenadas de “P”. Para digitar o alfa no

Campo de Entrada, posicione o cursor no Campo de

entrada e dê um clique sobre o ícone posicionado

logo à frente, como mostra a Figura 30, quando abrir a

caixa de símbolos mostrada na Figura 31, clique sobre o alfa. Dê “Enter” e o ponto

“P” estará criado.

11ª Etapa: Criar um ponto “Q” que caminha sobre o eixo “x” e tenha o

mesmo valor da abscissa de “P”. Utilizando o Campo de Entrada, digite as

coordenadas “Q=(x(P),0)” para determinar o ponto.

12ª Etapa: Construir um segmento de reta entre os pontos “P” e “Q”.

Selecione na Barra de Ferramentas, na terceira seção, a opção “segmento definido

por dois pontos” e clique sobre os pontos “P” e “Q” respectivamente, criando

assim o segmento “d”. Altere a cor deste segmento, clicando sobre ele com o botão

Figura 31 – Tabela de Símbolos

direito do mouse, em seguida clique em “propriedades”, vai abrir uma janela de

preferências, clique na aba “cor” e selecione a cor desejada (vermelho). Feche a

janela de preferências. O gráfico está concluído e está apresentado na Figura 32.

Figura 32 – Gráfico da Função Seno de x

Observe que quando deslocamos o ponto “C” na circunferência, o ponto “Q”

descreve a mesma distância no plano cartesiano.

Vamos animar o ponto “C”, fazendo com que ele

caminhe sobre a circunferência. Para fazer esta animação,

clique com o botão direito do mouse sobre o ponto “C” e

escolha na caixa que abrir a opção “animar” como mostrado

na Figura 33. O ponto “C” começa a caminhar sobre a

circunferência e podemos relacionar este deslocamento com

o deslocamento do ponto “Q” sobre o eixo “x”. A medida da

distância em radianos que percorre o ponto “C” pode ser

verificada com o ponto “Q” percorrendo o eixo “x”.

9. Construindo Figuras Planas a partir dos Gráficos de Funções.

9.1. Paisagem

Construir uma paisagem que tenha o mar como primeira vista, as montanhas

distantes e o Sol no fim da tarde.

Figura 33 - Animar

1ª Etapa: Na construção da primeira etapa, vamos utilizar a função

, que representará o mar e as ondas das águas. Para construir o gráfico

desta função, posicione o cursor no campo de Entrada e digite

.

. Em seguida é necessário colorir a área abaixo do gráfico f(x).

Para realizar esta ação, vamos digitar no campo de Entrada a expressão:

. . Assim, toda a área abaixo do gráfico é colorida.

Em seguida, vamos alterar a cor deste preenchimento posicionando o cursor sobre a

região colorida e clicando com o botão direito do mouse. Na janela que abrir, clique

em “propriedades” e em seguida na aba “cor”. Selecione a cor azul, no ícone

“transparência” posicione em 80. A Figura 34 ilustra este procedimento.

Figura 34 – Construção do Mar

Feche a janela para concluir esta etapa.

2ª Etapa: Iniciando a segunda etapa, vamos construir uma parábola com

concavidade voltada para baixo para representar a montanha. A função utilizada é

. Digitando no Campo de Entrada “g(x)=-(x+2)^2+8”,

construimos o gráfico desta parábola. Em seguida, vamos

colorir a área que está abaixo de g(x) e acima de f(x) fazendo a interseção destas

duas regiões. Note que, a inequação representa a região abaixo

da parábola e a inequação ⁄ representa a região acima da senóide.

Portanto, fazendo a interseção dessas duas regiões temos a região desejada. Sendo

assim, no Campo de Entrada, digite a seguinte expressão: “(y≥1/2sen(2x))∧(y≤-

(x+2)^2+8)” para colorir a área demarcada na

interseção das duas inequações. Agora, vamos alterar a cor dessa região clicando

sobre ela com o botão direito do mouse, na caixa que abrir clique em “propriedades”,

em seguida selecione a aba “cor” e escolha a cor desejada (cinza), no ícone

“transparência” coloque em 100, selecione a aba “estilo” e no ícone “espessura da

linha” coloque em zero. Para finalizar esta construção, posicione o cursor na janela

de Álgebra sobre o ícone da função e clique neste

ícone para desmarcar a função. Assim o gráfico da função desaparece da tela.

Observe na Figura 35 como ficou a construção da primeira montanha.

Figura 35 – Construção da primeira Montanha

Para desenhar a segunda montanha, vamos utilizar a função

, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo.

Para construir este gráfico, digite no Campo de Entrada a expressão: “h(x)=-0.1(x-

5^2+6” e tecle “Enter”. Mais uma vez, precisamos colorir a

região interna ao gráfico da parábola até a função seno. Então vamos repetir o

procedimento da parábola anterior fazendo a interseção da inequação

com a inequação ⁄ . Sendo assim digite no Campo de

Entrada a expressão: “(y≤-0.1(x-5)^2+6)∧(y≥1/2sen(2x))”

. Em seguida posicione o cursor sobre a região

interna da parábola colorida, clique com o botão direito do mouse, na caixa que abrir

clique em “propriedades”, em seguida selecione a aba “cor” e escolha a cor

desejada (cinza), no ícone “transparência” coloque em 100. Para finalizar esta

construção, selecione a aba “estilo” e no ícone “espessura da linha” coloque em

zero. Posicione o cursor na janela de Álgebra sobre o ícone da função h

e clique neste ícone para desmarcar a função. Assim o

gráfico da função desaparece da tela. Assim, o desenho da segunda montanha

estará concluído, como mostra a Figura 36.

Figura 36 – Construção da segunda Montanha

Para desenhar a terceira montanha vamos utilizar uma função logarítmica

. Digite no Campo de Entrada “L(x)=0.6*ln(x-11)+1”

e tecle “Enter”. Vamos colorir a região entre os gráficos de

e fazendo a interseção entre as inequações e

⁄ . Sendo assim, digite no Campo de Entrada a expressão

“(y≥1/2sen(2x))˄(0.6*ln(x-11)+1)” e tecle

“Enter”. Em seguida posicione o cursor sobre a região interna do gráfico logarítmico

colorido, clique com o botão direito do mouse, na caixa que abrir clique em

“propriedades”, em seguida selecione a aba “cor” e escolha a cor desejada (cinza),

no ícone “transparência” coloque em 100. Para finalizar esta construção, selecione a

aba “estilo” e no ícone “espessura da linha” coloque em zero. Posicione o cursor na

janela de Álgebra sobre o ícone da função L e clique

neste ícone para desmarcar a função. Assim o gráfico da função desaparecerá

da tela e estará concluída a construção da terceira e última montanha. Observe na

Figura 37 como está o desenho até aqui.

Figura 37 – Construção da terceira Montanha

3ª Etapa: Construir o Sol se deslocando no céu. Este deslocamento será

descrito pela parábola com restrição de domínio, ou seja,

o domínio de será o intervalo fechado . Para determinar esta função com

restrição de domínio, digite no Campo de Entrada “função[-0.05(x-8)^2+10,1,19]”

e tecle “Enter”.

Para desenhar o Sol vamos precisar da equação da circunferência. É bom

lembrar que a equação da circunferência não faz parte do conteúdo de funções por

não satisfazer a definição de função. Esta equação é definida como uma cônica

, na qual e são as coordenadas do centro da

circunferência e r é o valor do raio.

Para construí-la vamos primeiramente determinar o seu centro que será dado

pelo ponto “A” e que necessariamente tem que estar sobre a parábola . Para

criar o ponto “A”, clique na segunda seção da Barra de Ferramentas, no ícone

“Ponto em Objeto” e em seguida clique sobre o gráfico da parábola , criando

o ponto “A”.

Para construir o círculo do Sol, vamos utilizar a equação que descreve a

circunferência de centro em e raio √ . Note que, as coordenadas do ponto

“A” são “x” e “y” pois o ponto “A” vai deslocar toda a circunferência sobre a parábola

. Portanto, vamos escrever a inequação que descreve o círculo do Sol em

função das coordenadas do ponto , como sendo

Digite no Campo de Entrada a expressão ”(x-x(A))^2+(y-y(A))^2≤2”

e tecle “Enter”. Em seguida posicione o cursor sobre a

região do círculo, clique com o botão direito do mouse, na caixa que abrir clique em

“propriedades”, em seguida selecione a aba “cor” e escolha a cor desejada (laranja),

no ícone “transparência” coloque em 100. Para finalizar esta construção, selecione a

aba “estilo” e no ícone “espessura da linha” coloque em 100. Feche esta caixa e o

desenho.

Para concluir a construção do Sol,

vamos ocultar o gráfico da parábola e o

ponto “A” para que eles não apareçam no

desenho. Para isto, clique com o botão

deireito do mouse sobre o gráfico e na

caixa que aparecer - Figura 38 -, clique em

“Exibir Objeto” para desmarcar esta opção.

Repita a operação clicando sobre o

ponto “A” e em seguida em “exibir Objeto”

para ocultar também o ponto “A”.

4ª Etapa: Vamos colorir na cor ‘azul céu’ toda a área branca da janela de

visualização. Para esta ação, posicione o cursor na Barra de Ferramentas, na

primeira seção, e clique no ícone “mover” , em seguida leve o cursor para a área

branca da janela de visalização e nesta área branca clique com o botão direito do

mouse.

Na caixa que abrir, mostrada na Figura 39, clique em “janela de visualização”, vai

abrir outra janela chamada “Preferências” – Figura 40 – nesta janela clique na aba

Figura 38 – Exibir Objeto

“Básico” e leve o cursor até o ícone “cor de fundo”, clique sobre ele e altere a cor

para azul. Em seguida clique em “ok” e feche a janela “Preferências”.

Figura 40 – Preferências da Janela de Visualização

Para concluir o desenho, vamos ocultar os eixos cartesianos que aparecem

na janela de visualização. Clique sobre um dos eixos com o botão direito do mouse

e na caixa que abrir, desmarque a opção “eixos” . Seu desenho está

concluído. A Figura 41 apresenta o desenho construído e colocado em uma

moldura.

Figura 39 – Janela de Visualização

Figura 41 - Paisagem

Agora é hora de animar o Sol para para que ele percorra sua trajetória

durante o dia. Para fazer esta animação, clique com o botão direito do mouse sobre

as coordenadas do ponto “A” que estão descritos na Janela de Álgegra . Na

caixa – Figura 42 - que abrir escolha a opção “animar” e o Sol vai começar a se

mover.

Figura 42 – Comando Animar

Quando quiser parar o Sol, clique no ícone situado no canto inferior

esquerdo da Janela de Visualização ou repita o procedimento anterior, como

mostrado na Figura 42.

9.2. Barco à Vela

1ª Etapa: Construir o casco do barco utilizando parábolas .

Vamos utilizar o comando “Função[]”

para restringir o domínio de

nossas funções.

Digite no Campo de Entrada a expressão ”s(x)=Função[0.05*x^2-2,-9,9]”

e tecle “Enter” para criar uma parte desse casco. Em

seguida digite a segunda expressão “r(x)=Função[0.01*x^2+1.2,-9,9]”

e tecle “Enter” para criar a parte de cima do casco.

Vamos colorir o casco pintando a área entre essas funções. Digite no Campo de

Entrada “ (y≥s(x))˄(y≤r(x))“ e tecle “Enter” para concluir.

Vamos alterar a cor do casco do barco, posicionando o cursor sobre a parte que

desejamos colorir, clicar com o botão direito do mouse. Na caixa que abrir, clique em

“propriedades”, vai abrir a janela de preferências, selecione a aba “cor” conforme

mostra a Figura 43 e escolha a cor

vermelha clicando sobre ela, em seguida

posicione o cursor no ícone

“transparência” e arraste-o para o valor

100. Leve o cursor até a aba “Estilo” e

clique sobre ela, posicione o cursor no

ícone “Espessura de linha” e arraste-o

para o valor zero, como mostra a

Figura 44. Feche a janela de preferências

para concluir.

Para construir a parte inferior do

casco, vamos utilizar as funções modular

| | e constante

. Começando com a função modular, digite no Campo de Entrada a expressão

Figura 43 – Preferências de Cor

“f_1(x)=Função[3.02*abs(x)-25,-8.9,8.9]”

e tecle

“Enter”. Depois a função constante: digite no

Campo de Entrada “f_2(x)=Função[y=-4,-7,7]”


Em seguida, vamos colorir a região

acima da função constante , abaixo da parábola e limitadas nas

extremidades pela função modular . Para colorir essa região digite no Campo

de Entrada a expressão “((y≤s(x))∧(y≥f_2(x)))∧(y≥f_1(x))”


Para alterar a cor da região delimitada pelas três funções, posicione o cursor

sobre esta região e clique com o botão direito do mouse. Na caixa que abrir, clique

em “propriedades”, vai abrir a janela de preferências, selecione a aba “cor” e escolha

a cor cinza escuro clicando sobre ela, em seguida posicione o cursor no ícone

“transparência” e arraste-o para o valor 100. Leve o cursor até a aba “Estilo” e clique

sobre ela, posicione o cursor no ícone “Espessura de linha” e arraste-o para o valor

zero. Feche a janela de preferências.

Para concluir a construção do casco, vamos esconder a função . Para

isto, posicione o cursor sobre o ícone da função que aparece na janela de

Álgebra e dê um clique, assim o ícone fica desmarcado e a

função não aparece na janela de Visualização.

2ª Etapa: Construir o mastro do nosso barco. Como queremos um mastro

retangular, vamos digitar a seguinte expressão “((x≥0)∧(x≤0.5))∧((y≥1.2)∧(y≤11))”

e teclar “Enter” para confirmar. Observe que

construímos quatro retas: duas horizontais e duas veticais. Clique na região interna

com o botão direito do mouse para alterar a cor. Na caixa que abrir, clique em

“propriedades”, vai abrir a janela de preferências, selecione a aba “cor” e escolha a

cor cinza escuro clicando sobre ela, em seguida posicione o cursor no ícone



zero. Feche a janela de preferências para concluir.

Figura 44 – Preferências de Estilo

3ª Etapa: Construir a vela presa ao mastro. Vamos iniciar com a função

constante restringindo o seu domínio entre e . Digite no Campo de

Entrada a expressão “v_1(x)=Função[y=2,-8,0] “ e tecle

“Enter”.

A próxima função a ser utilizada para a construção da vela é a exponencial

( ) com a restrição do seu domínio entre e 0. Portanto

digite no Campo de Entrada a expressão “v_2(x)=Função[5* (1.4^(x + 1.3)) + 1.5, -8,

0]” e tecle “Enter”. Para demarcar a

região comprendida entre a reta , a função e a função , digite no

Campo de Entrada a expressão “((y≤v_2(x))∧(y≥v_1(x)))∧(x≤0)”

e tecle “Enter”. Clique na região construída com o

botão direito do mouse para alterar a cor. Na caixa que abrir, clique em

“propriedades”, vai abrir a janela de preferências, selecione a aba “cor” e escolha a

cor vermelha clicando sobre ela, em seguida posicione o cursor no ícone



zero. Feche a janela de preferências para concluir.

4ª Etapa: Para concluir o

desenho, vamos mudar a cor de fundo

da janela de Visualização e esconder

os eixos cartesianos.

Para mudar a cor de fundo,

selecione na barra de Ferramentas o

ícone “mover” e em seguida clique

com o botão direito do mouse sobre a

região da janela de Visualização que

queremos alterar. Na janela que abrir,

clique sobre “janela de visualização”.

Vai abrir outra janela, chamada

“preferências”, nesta janela, na parte

inferior, clique sobre o ícone “cor de fundo” e escolha a cor azul céu. Clique em “ok”

e feche a janela e preferências.

Para ocultar os eixos cartesianos, selecione na barra de Ferramentas o ícone

“mover” e em seguida clique com o botão direito do mouse sobre a região da

janela de Visualização. Na janela que abrir, desmarque a opção “Eixos”

clicando sobre ele.

A Figura 45 mostra o desenho Barco à Vela construído a partir de gráficos de

funções.

Figura 45 – Barco à Vela

10. Atividades envolvendo funções e utilizando o Geogebra.

a) Construa a Função Linear com e .

b) Construa a Função Seno , com e

c) Construa um barco à vela navegando

d) Construa a Função Cosseno , com e

.

e) Construa a Função Tangente T , com e

f) Construa uma Função por partes que tenha a Função Quadrática

definida no domínio a , tenha a Função Exponencial

definida no domínio a , tenha a Função Constante

definida no domínio a e tenha a Função linear

definida no domínio a . Obs: Utilize o comando de restrição de

domínio: “Função[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ]”

g) Construa uma árvore de Natal utilizando Funções.

11. Referências

D'AMBROSIO Beatriz S. Formação de Professores de Matemática para o

Século XXI: o Grande Desafio – Revista Pró-posições / UNICAMP. 1993 - acesso

17/06/2013

http://www.proposicoes.fe.unicamp.br/~proposicoes/textos/10-artigos-d%5C'ambrosiobs.pdf

D’AMBROSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? Temas e

Debates. SBEM. Ano II. N2. Brasília. 1989. Acesso 17/06/2013

http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Beatriz.pdf

BORBA, Marcelo de Carvalho / PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e

Educação Matemática. 3ª edição. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares de Matemática para as Séries Finais do

Ensino Fundamental e Ensino Médio do Estado do Paraná. Paraná. 2008.

BORTOLOSSI, Humberto José. PESCO, Dirce Uesu. REZENDE,

Wanderley Moura. Computação Simbólica no Ensino Médio como Software

Gratuito Geogebra. Universidade Federal Fluminense/Instituto GeoGebra do Rio de

Janeiro. Brasil. 2012. Acesso: 18/06/2013.

http://www.geogebra.org.uy/2012/actas/22.pdf

http://www.proposicoes.fe.unicamp.br/~proposicoes/textos/10-artigos-d%5C'ambrosiobs.pdf

http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Beatriz.pdf

http://www.geogebra.org.uy/2012/actas/22.pdf

Anexo I

Avaliação diagnóstica

a) Você utiliza o computador?

Sim

Não

b) Com que frequência você utiliza o

computador?

Nunca utilizo o computador.

Uma vez por mês.

Uma vez por semana.

Três a quatro vezes por semana.

Todos os dias.

c) Se utiliza o computador, marque as

operações que você consegue

realizar?

Abrir arquivos no computador.

Criar pastas no computador.

Editar textos no computador.

Nenhuma das anteriores

d) Das operações avançadas, quais

você realiza?

Instalar e desinstalar programas.

Detectar e remover vírus.

Compactar arquivos


e) Em relação a internet, você

consegue.

Acessar a internet

Baixar vídeos.

Baixar músicas.


f) Das seguintes tarefas, quais você já

realizou.

Alterar o plano de fundo na área

de trabalho.

Alterar a hora e data do

computador.

Criar um atalho para o arquivo.

Nenhuma das anteriores.

g) Você utiliza algumas dessas mídias

digitais em suas aulas:

TV pendrive

Computador

Tablet

Computador-com-projetor

h) Em relação ao programa educacional

Geogebra, você;

Já o utilizou nas suas aulas.

Apenas ouviu falar dele.

Não o conhece.

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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · de símbolos em expressões, resoluções de equações e sistemas de equações lineares e não lineares, cálculos matriciais,