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Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Prof.Rafael Cardoso, Dr.
Anlise de Fourier
2OBJETIVOS
Apresentar os conceitos de anlise em frequncia
baseados na anlise de Fourier.
Descrever a anlise em frequncia para sinais de tempo
contnuo peridicos e no peridicos.
Descrever a anlise em frequncia para sinais de tempo
discreto peridicos e no peridicos.
3 Decompor um sinal em termos de componentes
senoidais (exponenciais complexas).
Representao no domnio da frequncia.
Determinao do espectro de frequncia do sinal.
PRINCPIO DA ANLISE DE FOURIER
4TEMPO SINAL PERIDICO SINAL NO PERIDICO
CONTNUO Srie de Fourier Transformada de Fourier
DISCRETO Srie de Fourier de
Tempo Discreto
Transformada de Fourier de
Tempo Discreto
POSSVEIS REPRESENTAES
SINAIS DE TEMPO CONTNUO
PERIDICOS
SRIE DE FOURIER - FS
6 Considere um sinal peridico com perodo .
Objetiva-se representar o sinal atravs de umacombinao linear de exponenciais harmonicamenterelacionadas da forma
= =
2
que peridica com perodo fundamental = 1 .
A representao (1) denominada de Srie de Fourierde .
SRIE DE FOURIER
(1)
7 Observe que
2 = 2 + 2
onde = 0, 1, 2,
A frequncia determina o perodo fundamental de
enquanto os coeficientes determinam a forma
do sinal.
SRIE DE FOURIER
8 Multiplicando-se (1), em ambos os lados, por 2,onde um inteiro, e integrando-se sobre um perodotem-se:
0
0+
2 = 0
0+
2 =
2
O lado direito resulta em
=
0
0+
2 = =
2
2 0
0+
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
(2)
9 Substituindo-se os limites de integrao, para , oresultado zero.
Se = , tem-se
0
0+
= 0
0+=
Consequentemente, (2) torna-se
0
0+
2 =
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
10
Logo, os coeficientes e Fourier podem ser calculados
por
=1
0
0+
2
Como 0 arbitrrio, pode-se integrar em qualquer
intervalo .Assim,
=1
2
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
11
Teorema de Fourier
Seja peridica com perodo . Adicionalmente,
sejam e seccionalmente contnuas no
intervalo 0, 0 + . Ento,a srie de Fourier de
converge para em todos os pontos onde
contnua e para + +
2 onde descontnua.
CONVERGNCIA DA SRIE DE FOURIER
12
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO CONTNUO PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE =1
2
EQUAO DE SNTESE = =
2
SRIE DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO
CONTNUO
13
Para sinais peridicos reais, e so complexosconjugados, isto ,
= ,
= .
Com isso, a srie de Fourier pode ser representada por
= 0 + 2 =1
2 +
onde 0 real.
OUTRAS REPRESENTAES DA SRIE DE
FOURIER
(3)
14
Outra representao pode ser obtida expandindo-se o
termo cosenoidal de (3)
2 + = 2 2 .
Logo,
= 0 + =1
2 2 ,
0 = 0,
= 2 ,
= 2 .
OUTRAS REPRESENTAES DA SRIE DE
FOURIER
15
Determine a representao de Fourier para o sinal
ilustrado abaixo.
Considere A = 50, = 1 e = 0,5.
EXEMPLO
16
Utiliza-se
=1
2
com limites de integrao de 2 a
2.
Para = 0 (fornece o nvel CC do sinal):
0 =1
2
2
=
EXEMPLO
17
Para 0:
=1
2
2
2 =
2
2
2
2
=
2
=
, k = 1, 2,
EXEMPLO
18
EXEMPLO
Mdulo e fase dos coeficientes de Fourier para =0, 1, , 12.
19
Como os coeficientes so todos reais, pode-se agrupar
a magnitude e a fase em um nico grfico.
EXEMPLO
20
Frequncias presentes no sinal (espectro de
frequncia). Observe que a frequncia fundamental
= 1 .
EXEMPLO
k Frequncia (Hz) Amplitude Fase (graus)
0 CC 25 0
1 1 31,83 0
3 3 10,61 180
5 5 6,37 0
7 7 4,55 180
9 9 3,53 0
11 11 2,89 180
21
Aproximao para = 0, 1, , 12.
EXEMPLO
22
Aproximao para = 0, 1, , 3.
EXEMPLO
23
Aproximao para = 0, 1, , 1500.
EXEMPLO
24
Fica evidente a influncia dos coeficientes na forma do sinal reconstrudo.
Para ilustrar a influncia da frequncia fundamental na
reconstruo do sinal, considere o mesmo sinal
analisado, porm, com perodo = 0,1 .
Adicionalmente, sejam os dois casos j utilizados para a
variao de : = 0, 1, , 12,
= 0, 1, , 3.
EXEMPLO
25
Como a frequncia fundamental = 10 tem-se:
Como a forma da onda a mesma, tem-se os mesmos componentes. Porm, agora, mltiplos de 10 .
EXEMPLO
k Frequncia (Hz) Amplitude Fase (graus)
0 CC 25 0
1 10 31,83 0
3 30 10,61 180
5 50 6,37 0
7 70 4,55 180
9 90 3,53 0
11 110 2,89 180
26
Aproximao para = 0, 1, , 12.
A forma de onda igual ao caso anterior. Porm, o
perodo fundamental, agora, = 0,1 .
EXEMPLO
27
Aproximao para = 0, 1, , 3.
EXEMPLO
SINAIS DE TEMPO CONTNUO
NO PERIDICOS
TRANSFORMADA DE FOURIER
- FT
29
Considere um sinal de tempo contnuo no peridico
:
Deseja-se determinar seu espectro de frequncia.
TRANSFORMADA DE FOURIER
30
Se o sinal fosse peridico, com perodo T, a srie de
Fourier poderia ser aplicada. Para isso, a partir do sinal
, pode-se criar um sinal peridico .
evidente que
= lim
.
TRANSFORMADA DE FOURIER
31
Isso leva ideia de se usar a srie de Fourier para sedeterminar o espectro de considerando-se olimite de .
Inicialmente, considere as equaes da srie de Fourier
para , isto ,
= =
2, =
1
,
=1
2.
TRANSFORMADA DE FOURIER
(4)
(5)
32
TRANSFORMADA DE FOURIER
Como = para
2
2 , (5) podeser reescrita como
=1
2 .
Uma vez que = 0 para > 2 , os limites deintegrao podem ser substitudos por e :
=1
2. (6)
33
Define-se a transformada de Fourier de como
=
2
que funo da varivel contnua e no depende de ou de .
Comparando-se (7) com (6), observa-se que
=1
,
= =
.
TRANSFORMADA DE FOURIER
(7)
(8)
34
Isso significa que os coeficientes de Fourier so
amostras de () tomadas em mltiplos inteiros de e escalonadas por um fator 1 .
Substituindo (8) na equao de sntese (4) fornece
=1
=
2
que ainda diz respeito a um sinal peridico.
TRANSFORMADA DE FOURIER
(9)
35
Para eliminar esta questo, deve-se calcular o limite de
(9) para . Isto ,
lim
= lim
1
=
2.
Para isso, inicialmente, considera-se = 1 . Assim:
= =
2.
TRANSFORMADA DE FOURIER
36
evidente que a medida que , .
Com isso, torna-se o diferencial ;
E k se torna a varivel contnua F.
O somatrio torna-se uma integral em relao a
frequncia varivel .
TRANSFORMADA DE FOURIER
37
Logo,
lim
=
= lim0
=
2.
E a transformada inversa de Fourier de definida por
=
2.
TRANSFORMADA DE FOURIER
(10)
38
TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS
DE TEMPO CONTNUO
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO CONTNUO NO
PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE =
2
EQUAO DE SNTESE =
2
39
Para se expressar as equaes que descrevem atransformada de Fourier em funo da frequncia em/ considera-se = 2. Logo, = 2.
Consequentemente,
=
,
=1
2
.
TRANSFORMADA DE FOURIER
40
Determine a transformada de Fourier do sinal
representado abaixo.
Considere = 50 e = 0,5 .
EXEMPLO
41
Utiliza-se
=
2
que para o sinal em questo pode ser alterada para
=
2 =
.
EXEMPLO
42
Como o espectro de frequncia X(F) real, este pode
ser representado por:
EXEMPLO
43
Considere que o pulso retangular analisado se repetecom perodo .
Mais precisamente, seja A = 50 e = 1 , comoconsiderado no sinal peridico utilizado para aobteno da srie de Fourier.
EXEMPLO
44
Sobrepondo os grficos da transformada de Fourier e
dos coeficientes da srie de Fourier obtm-se:
EXEMPLO
45
Agora, considere que o sinal peridico mantm A =50, = 0,5 mas o perodo foi elevado para =2 .
EXEMPLO
46
O espectro de um sinal no peridico o envelope do
espectro de um sinal peridico (coeficientes de
Fourier) obtido pela repetio do sinal no peridico
com um perodo .
Os coeficientes de Fourier do sinal peridico so
amostras normalizadas de nas frequncias = . Isto ,
=1
=
1
X
.
RELAO ENTRE A TRANSFORMADA E A
SRIE DE FOURIER
SINAIS DE TEMPO DISCRETO
PERIDICOS
SRIE DE FOURIER DE
TEMPO DISCRETO - DTFS
48
Seja uma sequncia peridica com perodo , isto
, = + , para qualquer valor inteiro de
e .
Objetiva-se representar por uma soma ponderada
de exponenciais complexas com frequncias mltiplas
inteiras da frequncia fundamental 2 .
SRIE DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
49
Estas exponenciais complexas tm a forma
= 2 = + ,
onde, +, e a representao em srie de Fourier de
da forma
=1
2
.
Devido a periodicidade da exponencial complexa, para
, tem-se
+ = 2 + =
2 2
= 2
= .
SRIE DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
(11)
50
Portanto, so necessrias somente N exponenciais
complexas com frequncias mltiplas inteiras da
fundamental 2 para representar a sequncia .
Assim, (11) pode ser representada por
=1
=0
1
2
.
SRIE DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
(12)
51
Para sinais de tempo contnuo com perodo : A srie de Fourier possui um nmero infinito de
componentes de frequncia;
O espaamento entre esses componentes 1 ; O espectro de frequncia pode se estender de , .
Para sinais de tempo discreto com perodo : O espectro de frequncia se estende de , ou de
0,2 ; O espaamento entre as componentes de frequncia ser
2 radianos; A srie de Fourier ter, no mximo, componentes de
frequncia.
COMPARAO ENTRE AS SRIES DE
FOURIER DE TEMPO CONTNUO E DISCRETO
52
Para a obteno dos coeficientes de Fourier ,
multiplica-se os dois lados de (12) por 2
e
soma-se de = 0 = 1. Dessa forma,
=0
1
2
= =0
11
=0
1
2
.
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
53
Alterando a ordem do somatrio no lado direito
fornece
=0
1
2
= =0
1
1
=0
1
2
.
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
(13)
54
Considerando a identidade de ortogonalidade
1
=0
1
2
= 1, = , ,0, ,
aplicada ao termo entre colchetes em (13), tem-se
=0
1
2
= .
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
55
Portanto, os coeficientes de Fourier na equao(12) so obtidos a partir do sinal e da relao
= =0
1
2
.
Observe que a sequncia peridica com perodo.
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
56
A periodicidade pode ser verificada atravs de
+ = =0
1
2
+
= =0
1
2
2 = .
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
57
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =0
1
2
EQUAO DE SNTESE =1
=0
1
2
SRIE DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO
DISCRETO
58
Para sinais peridicos reais, e socomplexos conjugados, isto ,
= [] ,
= [] .
Se for par, = 2, a srie de Fourier pode serrepresentada por
[] = 0
+
2
=1
1
2
+ +
1
2
+
Se for mpar, = 1 2 , a srie de Fourier podeser representada por
[] = 0
+
2
=1
2
+
OUTRAS REPRESENTAES DA SRIE DE
FOURIER DE TEMPO DISCRETO
59
Se for par, = 2, e a srie de Fourier tambm podeser representada por
= 0
+
2
=1
1
2
2
+1
2
2
Se for par, = 2, e a srie de Fourier tambm pode
ser representada por
= 0
+
2
=1
2
2
onde
= 2
, = 2
OUTRAS REPRESENTAES DA SRIE DE
FOURIER
60
Determine a representao de Fourier para o sinal de
tempo discreto peridico ilustrado abaixo.
Observe que = 1, = 5 e = 10.
EXEMPLO
61
Utiliza-se
= =0
1
2
.
Isto ,
= =0
1
2
= =0
4
2
= 1
2
1 2
=
(1)
.
EXEMPLO
62
Tem-se, portanto,
=
, = 0,, 2,
1
, .
Substituindo = 1, = 5 e = 10, resulta em
=
5, = 0, , 2,
4
10 2
10
, .
EXEMPLO
63
EXEMPLO
Mdulo e fase dos coeficientes de Fourier .
64
Frequncias presentes no sinal (espectro de
frequncia). Observe que a frequncia fundamental
= 2 10 e que existe um fator 1
associado.
EXEMPLO
k Frequncia (rad) Amplitude Fase (rads)
0 0 0,5 0
1 2 100,6472 -1,2566
3 6 100,2472 -0,6283
5 10 100,1 0
65
Reconstruo do sinal.
EXEMPLO
SINAIS DE TEMPO DISCRETO
NO PERIDICOS
TRANSFORMADA DE FOURIER
DE TEMPO DISCRETO - DTFT
67
A obteno da transformada de Fourier de tempo discreto similar a apresentada para sinais de tempo contnuo.
Para um sinal de tempo discreto no peridico, atransformada de Fourier definida por
= =
Fisicamente, representa as frequncia presentes nosinal , isto , a decomposio de em suascomponentes de frequncia.
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
(14)
68
Devido ao fato de que para qualquer sinal de tempo
discreto a variao de frequncia se d de , ou de0,2 , de se esperar que a transformada de Fourier seja
peridica com perodo 2.
+ 2 =
+2
=
2
=
=
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
69
Para sinais de tempo contnuo:
O espectro de frequncia se estende de , ;
A transformada de Fourier envolve uma integral.
Para sinais de tempo discreto:
O espectro de frequncia se estende de , ou de0,2 ;
A transformada de Fourier envolve um somatrio;
A transformada de Fourier peridica com perodo 2.
COMPARAO ENTRE AS TRANSFORMADAS DE
FOURIER DE TEMPO CONTNUO E DISCRETO
70
Uma vez que peridica em , de se esperar que a
funo tenha expanso em srie de Fourier, desde que a
srie seja convergente.
Na realidade, a definio da transformada de Fourier de
tempo discreto da sequncia , dada por (14), tem
a forma de uma srie de Fourier para um sinal com perodo
2.
Os coeficientes de Fourier nesta expanso so os valores da
sequncia .
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER DE
TEMPO DISCRETO
71
Para demonstrar isso, determina-se a sequncia a
partir de . Para isso, multiplica-se ambos os lados de
(14) por e integra-se no intervalo , , isto ,
=
=
Se o somatrio for convergente, pode-se alterar a ordem da
integrao e do somatrio.Assim,
= =
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER DE
TEMPO DISCRETO
(15)
72
Da ortogonalidade das exponenciais complexas,
= 2, = 0,
Logo,
=
= 2 , = 0,
Combinando, (15) e (16), tem-se o resultado desejado,
=1
2
Esta equao a expresso dos coeficientes de uma srie de
Fourier para uma funo peridica com perodo 2.
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER DE
TEMPO DISCRETO
(16)
73
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO NO
PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =
EQUAO DE SNTESE =1
2 2
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
74
Determine a representao de Fourier para o sinal de
tempo discreto no peridico ilustrado abaixo.
Observe que = 1 e = 5.
EXEMPLO
75
A transformada de Fourier de tempo discreto do sinal
calculada por
= =0
1
= 1
1
=
2 1 2 2
EXEMPLO
76
A magnitude e a fase da transformada de Fourier so dados por
= =
, = 0
2 2
,
=
2 1 +
2 2
EXEMPLO
77
A magnitude e a fase da transformada de Fourier so mostrados na figura abaixo
EXEMPLO
78
Considere que o pulso retangular analisado se repetecom perodo .
Mais precisamente, seja = 10, como consideradono sinal peridico utilizado para a obteno da srie deFourier.
EXEMPLO
79
Sobrepondo os grficos da transformada de Fourier e dos coeficientes da srie de Fourier obtm-se:
EXEMPLO
80
Observa-se que os coeficientes da srie de Fourier tm os valores dados pela avaliao da transformada deFourier em um conjunto de frequncia igualmenteespaadas dado por
=2
, = 0, 1, , 1.
Isto ,
2
=
1
= 0, 1, , 1
que tem a mesma forma da equao dos coeficientes dasrie de Fourier que foi calculada para o sinal retangularperidico.
EXEMPLO
SINAIS DE TEMPO DISCRETO
TRANSFORMADA DISCRETA
DE FOURIER - DFT
82
Em aplicaes prticas, a anlise de frequncia de sinais ,
geralmente, realizada por um processador digital de sinais.
Para sinais de tempo discreto e peridicos, o uso da srie
de Fourier de tempo discreto permite a realizao da
anlise sem maiores problemas pois, ambas as equaes de
anlise e de sntese so discretas.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =0
1
2
EQUAO DE SNTESE =1
=0
1
2
83
Contudo, sinais de tempo discreto no peridicos possuem
um espectro de frequncia contnuo o que dificulta a sua
representao por processadores digitais de sinais.
Adicionalmente, a equao de sntese envolve uma integral,
o que tambm aumenta a complexidade de implementao
digital.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO NO
PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =
EQUAO DE SNTESE =1
2 2
84
Assim, pensando na implementao computacional de um
algoritmo de anlise em frequncia, interessante se dispor
de equaes que sejam de fcil avaliao por um
processador digital de sinais.
Como mencionado, a implementao digital da srie de
Fourier de tempo discreto no problema, mas a
implementao da transformada de Fourier, por esta ser
contnua em merece ateno.
A relao que h entre a transformada de Fourier e os
coeficientes da srie de Fourier o ponto de partida.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
85
A relao que h entre a transformada de Fourier e os
coeficientes da srie de Fourier o ponto de partida.
Considere uma sequncia no peridica que possua
transformada de Fourier .
J foi visto que a amostragem de em frequncias
= 2
, = 0, 1, , 1, fornece os coeficientes da
srie de Fourier de um sinal peridico obtido a partir
da repetio do sinal com um perodo . Isto ,
= = 2
= 2
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
(17)
86
Para se obter uma sequncia peridica a partir da
sequncia de amostras utiliza-se a equao de sntese
da srie de Fourier de tempo discreto (12). Isto ,
=1
=0
1
2
Substituindo a definio da transformada de Fourier
= =
em (17) e, posteriormente, em (18), resulta
=1
=0
1
=
2
2
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
(18)
87
Alterando a ordem dos somatrios resulta em
= =
1
=0
1
2
= =
onde o termo entre colchetes a srie de Fourier de um
trem de impulsos peridico, isto ,
=1
=0
1
2
= =
e, portanto,
= x =
= =
.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
(19)
88
A equao (19) mostra que o sinal reconstrudo a partir das
amostras obtidas a partir de peridico com
perodo e formado por cpias da sequncia
deslocada de mltiplos inteiros de .
Considere o sinal abaixo que tem comprimento 9.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
89
Usando (19) com = 12 resulta em
Usando (19) com = 7 tem-se
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
90
Fica evidente que para que um perodo do sinal peridico
seja igual ao sinal no peridico original, deve-se ter
maior ou igual ao comprimento do sinal no peridico
original.
Nesse caso, pode ser obtido a partir da sequncia
, isto ,
= , 0 10,
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
91
Dessa forma, a partir de uma sequncia no peridica ,
pode-se formar uma sequncia peridica e utilizar a
srie de Fourier de tempo discreto para represent-la.
Posto de outra forma, pode-se a partir da sequncia de
coeficientes de Fourier , se obter a sequncia peridica
, utilizando-se as equaes da srie de Fourier, para,
finalmente, se determinar utilizando
= , 0 10,
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
92
Assim, como o sinal no peridico a ser analisado tem
termos, a relao dos coeficientes de Fourier e a
reconstruo do sinal a partir de uma sequncia peridica
dada por
= =0
1
2
, 0 1
0,
=
1
=0
1
2
, 0 1
0,
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
93
Quando a srie de Fourier de tempo discreto empregada
para a representao de sequncias no peridicas ela
chamada deTransformada Discreta de Fourier (DFT).
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =0
1
2
EQUAO DE SNTESE =1
=0
1
2
94
Determine a DFT para o sinal de tempo discreto no
peridico ilustrado abaixo.
Considere, inicialmente, = 5 e, posteriormente, =
10.
EXEMPLO
95
Para = 5, a sequncia peridica cuja srie deFourier de tempo discreto corresponde a DFT de mostrada abaixo.
EXEMPLO
96
Para, = 1 e = = 5 tem-se:
= = =0
1
2
= =0
4
2
5
= 5, = 0, 5,10,0,
= 5, = 00, 4
EXEMPLO
97
A relao da transformada de Fourier e dos coeficientes da
srie de Fourier mostrada abaixo.
EXEMPLO
98
Para = 10, a sequncia peridica cuja srie deFourier de tempo discreto corresponde a DFT de mostrada abaixo.
EXEMPLO
99
Para, = 1 e = 5 e = 10 tem-se:
= = =0
1
2
= =0
9
2
10
=
5, = 0, 10,20,
4
10 2
10
,
=
5, = 0
4
10 2
10
, 1 9
EXEMPLO
100
A relao da transformada de Fourier e dos coeficientes da
srie de Fourier mostrada abaixo.
EXEMPLO
101
Embora a DFT calculada com pontos seja suficiente para
representar unicamente a sequncia , ela no fornece
detalhes suficientes sobre as caractersticas espectrais de
.
Para se melhorar o detalhamento do espectro de
frequncia, deve-se amostrar mais pontos do espectro
. Isto , deve-se aumentar o valor de em = 2 , onde > . Para isso, se acrescenta zeros na
sequncia .
RESOLUO DA DFT
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