Cap.4 Análise de Sistemas em Tempo Contínuo

(Transformada de Laplace e Transformada de Fourier)

Profª. Fabiana

Transformada de Laplace - Definição

Definição - Laplace

• Aplicando o sinal exponencial complexo , , a um SLIT com resposta ao impulso h(t), tem-se a integral de convolução:

• que é a transformada de Laplace da resposta ao impulso (h(t)) é a função de transferência do sistema.

s jw

( ) stx t e

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t st sy t h x t d h e d e h e d

( ) ( ) sH s h e d

Definição - Laplace

• Generalizando, a transformada de Laplace de um sinal x(t) é:

• E a transformada inversa de X(s) é dada por:

( ) ( ) stX s x t e dt

1( ) ( )2

c jst

c j

x t X s e dtj

Propriedades (Laplace)

Seja: x(t) X(s) e w(t) W(s)

a) Linearidade:

b) Deslocamento no tempo:

Exemplo: Determine a transformada de Laplace do sinal x(t):

( ) ( ) ( ) ( )ax t bw t aX s bW s

00( ) ( ) stex t t X s

x(t)

1

3 1 2 t

4

Seja: x(t) X(s) e w(t) W(s)

c) Deslocamento na frequência:

d) Escalonamento:

e) Convolução (tempo): x(t)*w(t) X(s).W(s)

f) Convolução (freq.): x(t).w(t) X(s)*W(s)

Obs. Outras propriedades na tabela

Exemplo: Determine a transformada de Laplace de

00( ) ( )stex t X s s

1( ) ( )saa

x at X

( ) ( )* ( )at btc t e u t e u t

PDF – “Laplace”

Transformada de Fourier - Definição

Definição – Transf. Fourier

• A transf. de Fourier pode ser considerada um caso especial da transf. de Laplace, onde .

• Logo, a transformada de Fourier é definida por:

onde o gráfico de é o espectro de amplitude e o gráfico de é o espectro de fase de .

s jw

( )( ) ( ) ( ) X jwjjwtX jw x t e dt X jw e

X ( )X jw w

X ( )X jw w

( )X jw

Aplicações

Aplicações - Filtragem

• Em muitas situações práticas é preciso limitar o espectro de um sinal.

• Os filtros ideais permitem que uma faixa (ou banda) de frequência do sinal seja transmitida sem distorção, enquanto rejeita (ou atenua) as restantes.

• Uma transmissão de um sinal (através de um SLIT) é considerada sem distorção se a entrada e a saída possuírem formas de onda idênticas, diferenciando apenas pela amplitude (se for o caso – ganho) e por um atraso no tempo.

Aplicações - Energia

• O espectro de frequência dos sinais se estende até o infinito.

• Porém, como a energia de um sinal é finita, o espectro de amplitude deve tender a zero quando a frequência tente a infinito.

• Pode-se, então, suprimir as frequências acima de que possuem pouco efeito no sinal original.

• A largura de faixa B é chamada largura de faixa essencial.

B (2πB / )Hz rad s

Aplicações - Energia

• A energia de um sinal, no tempo, é dada por:

• E a energia resultante da contribuição de todas componentes de frequência é dada por:

• Assim, a contribuição de energia em um intervalo de frequências é:

2

( ) ( )E t x t dt

2 2

0

( ) ( ) ( )1 12

E jw X jw dw X jw dw

22

1

( ) ( )1w

w

E jw X jw dw