Aula - 2 - Equação Diferencial Exata

Equação diferencial

Prof. Sandro

Aula 1 – Equação diferencial exata.

Objetivos:

Apresentar os conceitos de Equações

Diferenciais Exatas e aplicar a teoria em

exercícios práticos.

“Aço e plástico são forjados no fogo”

1) EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA SOLUÇÃO

Teorema de Picard: ),( yxfdx

dy 00 )( yxy

Se a função f(x,y) e a derivada parcial de f(x,y) em

função de y são contínuas numa vizinhança do ponto

(x0,y0), existe uma solução que é única:

g(x) y

em certa vizinhança do ponto (x0,y0) que verifica a

condição inicial g(x0) = y0.

Obs. Se f ou f’ são descontínuas, o teorema simplesmente não é

aplicável. Outras formas de avaliar a solução devem ser

consideradas.

“Aço e plástico são forjados no fogo”

1) EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA SOLUÇÃO

Exemplo - 1: Resolva a equação diferencial abaixo e

identifique o tipo de solução e o intervalo onde a é única.

y

x

dx

dy

“Aço e plástico são forjados no fogo”

2) Equação diferencial

de 1ª ordem

Forma normal,...),(

,...),(,...),('

yxN

yxMyxfy

ds

dy

Forma diferencial dxdx

dhdh

0)()()(

)( dyyNdxxM

yN

xM

dx

dy

Exemplo: y

x

dx

dy Forma normal

0 ydyxdx Forma diferencial

“Aço e plástico são forjados no fogo”

0)()()(

)( dyyNdxxM

yN

xM

dx

dy

Equação diferencial separável.

M,N funções de uma variável.

Se M,N são funções de mais de uma variável, como

encontrar a solução?

2) Equação diferencial

de 1ª ordem

“Aço e plástico são forjados no fogo”

2.1) Equação diferencial

Exata de 1ª ordem

0),(),( dyyxNdxyxMForma diferencial

0),(),(

),(

dy

y

yxFdx

x

yxFyxFSolução é

y

yxFyxN

x

yxFyxM

),(),(;

),(),(

F(x,y) é a solução procurada.

Como saber se a solução é exata ou não?

“Aço e plástico são forjados no fogo”

Uma equação diferencial é considerada exata

quando:

x

yxN

y

yxM

),(),(

Exemplo:não exata

exata

022 xdyyydxx

022 ydyxxdxy

2.1) Equação diferencial

Exata de 1ª ordem

“Aço e plástico são forjados no fogo”

Exemplo - 2: Verifique se as equações diferenciais

abaixo são exatas.

02)

0535)

1)

0)2()1(2)

2

2

dyyxdxyxd

xdydxyc

dx

dy

xy

xb

dyxxdxxya

“Aço e plástico são forjados no fogo”

3) Verifique se o seguinte problema de valor de

contorno:

0432 2 dyyxdxxy 21 y

é representado por uma equação diferencial exata.

A

10 y

4) Determine o valor de A na equação abaixo para com condição

de contorno:

043 22 dyyAxdxxyx

se torne um problema dado por uma equação diferencial

exata.

Exemplo - 2: cont...

“Aço e plástico são forjados no fogo”

2.2) Equação diferencial

Exata de 1ª ordem

y

yxFyxN

x

yxFyxM

),(),(;

),(),(

xx

yxMyxFyxM

x

yxF

),(),(),(

),(

dxdx

yxdMyxF

),(),(

)(),(

),( ydxdx

yxdMyxF

O trabalho consiste

em integrar e

encontrar a função

(y).

“Aço e plástico são forjados no fogo”

2.2) Equação diferencial

Exata de 1ª ordem: Solução

0)22()23( 2 dyyxdxyx

5) Encontre a solução da equação diferencial abaixo e

classifique a solução.

“Aço e plástico são forjados no fogo”

6) Verifique se as equações diferenciais abaixo são

exatas e resolva-as.

Exercícios

0)cos(cos)

0)2()1(2)

0)1()

0)1()

2

dyxyxdxxyyd

dyxxdxxyc

dyxdxb

dxxdya