aulatema Eletromagnetismo

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 1/108

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Tópicos

1 Introdução

2 Método das Diferenças Finitas

3 Método dos Momentos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Tópicos

1 Introdução

2 Método das Diferenças Finitas

3 Método dos Momentos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Tópicos

1 Introdução

2 Método das Diferenças Finitas

3 Método dos Momentos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

I d

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

I t d ã

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas

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Introdução

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

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ç

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

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ç

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos

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Introdução

Mé d d Dif Fi i

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos

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Introdução

Mét d d Dif Fi it

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos

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Introdução

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

subtraindo a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i 

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

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ç

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

subtraindo a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i 

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

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ç

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

subtraindo a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i 

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

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Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

subtraindo a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i 

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Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

subtraindo a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i 

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Mé d d M

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Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

subtraindo a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i 

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Mét d d M t

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Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

somando a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i 

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

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Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

somando a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i 

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Método dos Momentos

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Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

somando a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i 

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Método dos Momentos

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Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

somando a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i 

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Método dos Momentos

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Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

somando a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i 

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

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Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 22

f (x ) + h 33!

f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

somando a 1a  expansão da 2a  obtemos

f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i 

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

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Método das Diferenças Finitas

das expansões anteriores temos as fórmulas das

derivadas da função f (x )

f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h 

f 

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

se for uma função de duas

variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?

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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

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Método das Diferenças Finitas

das expansões anteriores temos as fórmulas das

derivadas da função f (x )

f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h 

f 

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

se for uma função de duas

variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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Método das Diferenças Finitas

das expansões anteriores temos as fórmulas das

derivadas da função f (x )

f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h 

f 

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

se for uma função de duas

variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

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Método das Diferenças Finitas

das expansões anteriores temos as fórmulas das

derivadas da função f (x )

f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h 

f 

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

se for uma função de duas

variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

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Método das Diferenças Finitas

das expansões anteriores temos as fórmulas das

derivadas da função f (x )

f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h 

f 

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

se for uma função de duas

variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

consideremos a região mostrada na figura

temos valores desconhecidos do potencial em cinco

pontos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

consideremos a região mostrada na figura

temos valores desconhecidos do potencial em cinco

pontos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

consideremos a região mostrada na figura

temos valores desconhecidos do potencial em cinco

pontos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

se a região é livre de cargas e é homogênea temos

·  D = 0 e ·  E = 0

a partir destas equações temos

∂ E x ∂ x 

+ ∂ E y ∂ y 

= 0

aproximamos as derivadas

usando as expressões

∂ E x 

∂ x 

a 

=E 1 − E 0

h 

∂ E y 

∂ y 

b 

=E 2 − E 0

h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 44/108

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

se a região é livre de cargas e é homogênea temos

·  D = 0 e ·  E = 0

a partir destas equações temos

∂ E x ∂ x 

+ ∂ E y ∂ y 

= 0

aproximamos as derivadas

usando as expressões

∂ E x 

∂ x 

a 

=E 1 − E 0

h 

∂ E y 

∂ y 

b 

=E 2 − E 0

h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

se a região é livre de cargas e é homogênea temos

·  D = 0 e ·  E = 0

a partir destas equações temos

∂ E x ∂ x 

+ ∂ E y ∂ y 

= 0

aproximamos as derivadas

usando as expressões

∂ E x 

∂ x 

a 

=E 1 − E 0

h 

∂ E y 

∂ y 

b 

=E 2 − E 0

h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Mé d d Dif Fi i

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

se a região é livre de cargas e é homogênea temos

·  D = 0 e ·  E = 0

a partir destas equações temos

∂ E x ∂ x 

+ ∂ E y ∂ y 

= 0

aproximamos as derivadas

usando as expressões

∂ E x 

∂ x 

a 

=E 1 − E 0

h 

∂ E y 

∂ y 

b 

=E 2 − E 0

h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Mét d d Dif Fi it

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

se a região é livre de cargas e é homogênea temos

·  D = 0 e ·  E = 0

a partir destas equações temos

∂ E x ∂ x 

+ ∂ E y ∂ y 

= 0

aproximamos as derivadas

usando as expressões

∂ E x 

∂ x 

a 

=E 1 − E 0

h 

∂ E y 

∂ y 

b 

=E 2 − E 0

h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Mét d d Dif Fi it

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

se a região é livre de cargas e é homogênea temos

·  D = 0 e ·  E = 0

a partir destas equações temos

∂ E x ∂ x 

+ ∂ E y ∂ y 

= 0

aproximamos as derivadas

usando as expressões

∂ E x 

∂ x 

a 

=E 1 − E 0

h 

∂ E y 

∂ y 

b 

=E 2 − E 0

h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Mét d d Dif Fi it

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

se a região é livre de cargas e é homogênea temos

·  D = 0 e ·  E = 0

a partir destas equações temos

∂ E x ∂ x 

+ ∂ E y ∂ y 

= 0

aproximamos as derivadas

usando as expressões

∂ E x 

∂ x 

a 

=E 1 − E 0

h 

∂ E y 

∂ y 

b 

=E 2 − E 0

h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

se a região é livre de cargas e é homogênea temos

·  D = 0 e ·  E = 0

a partir destas equações temos

∂ E x ∂ x 

+ ∂ E y ∂ y 

= 0

aproximamos as derivadas

usando as expressões

∂ E x 

∂ x 

a 

=E 1 − E 0

h 

∂ E y 

∂ y 

b 

=E 2 − E 0

h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

a relação  E = −V  aplicada na equação

∂ E x 

∂ x +

∂ E y 

∂ y = 0

leva a equação de Laplace

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2= 0

aproximando as derivadas de 2a  ordem obtemos

∂ 2V 

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x  a −

∂ V ∂ x  c 

h  =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y 

b − ∂ V 

∂ y 

d 

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

a relação  E = −V  aplicada na equação

∂ E x 

∂ x +

∂ E y 

∂ y = 0

leva a equação de Laplace

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2= 0

aproximando as derivadas de 2a  ordem obtemos

∂ 2V 

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x  a −

∂ V ∂ x  c 

h  =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y 

b − ∂ V 

∂ y 

d 

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

a relação  E = −V  aplicada na equação

∂ E x 

∂ x +

∂ E y 

∂ y = 0

leva a equação de Laplace

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2= 0

aproximando as derivadas de 2a  ordem obtemos

∂ 2V 

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x  a −

∂ V ∂ x  c 

h  =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y 

b − ∂ V 

∂ y 

d 

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

a relação  E = −V  aplicada na equação

∂ E x 

∂ x +

∂ E y 

∂ y = 0

leva a equação de Laplace

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2= 0

aproximando as derivadas de 2a  ordem obtemos

∂ 2V 

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x  a −

∂ V ∂ x  c 

h  =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y 

b − ∂ V 

∂ y 

d 

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

a relação  E = −V  aplicada na equação

∂ E x 

∂ x +

∂ E y 

∂ y = 0

leva a equação de Laplace

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2= 0

aproximando as derivadas de 2a  ordem obtemos

∂ 2V 

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x  a −

∂ V ∂ x  c 

h  =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y 

b − ∂ V 

∂ y 

d 

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

a relação  E = −V  aplicada na equação

∂ E x 

∂ x +

∂ E y 

∂ y = 0

leva a equação de Laplace

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2= 0

aproximando as derivadas de 2a  ordem obtemos

∂ 2V 

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x  a −

∂ V ∂ x  c 

h  =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y 

b − ∂ V 

∂ y 

d 

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

a relação  E = −V  aplicada na equação

∂ E x 

∂ x +

∂ E y 

∂ y = 0

leva a equação de Laplace

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2= 0

aproximando as derivadas de 2a  ordem obtemos

∂ 2V 

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x  a −

∂ V ∂ x  c 

h  =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y 

b − ∂ V 

∂ y 

d 

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

na figura temos os potenciais nos pontos

∂ 2V 

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

o potencial num ponto

é definido em termos dos

potenciais nos pontos

em torno deste

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

na figura temos os potenciais nos pontos

∂ 2V 

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

o potencial num ponto

é definido em termos dos

potenciais nos pontos

em torno deste

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

na figura temos os potenciais nos pontos

∂ 2V 

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

o potencial num ponto

é definido em termos dos

potenciais nos pontos

em torno deste

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 61/108

étodo das e e ças tasCálculo de Potencial

na figura temos os potenciais nos pontos

∂ 2V 

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

o potencial num ponto

é definido em termos dos

potenciais nos pontos

em torno deste

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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çCálculo de Potencial

na figura temos os potenciais nos pontos

∂ 2V 

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V 

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

o potencial num ponto

é definido em termos dos

potenciais nos pontos

em torno deste

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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çCálculo de Potencial

combinando as duas expressões obtemos

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2≈

V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2

= 0

V 0 ≈ 14 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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çCálculo de Potencial

combinando as duas expressões obtemos

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2≈

V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2

= 0

V 0 ≈ 14 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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çCálculo de Potencial

combinando as duas expressões obtemos

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2≈

V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2

= 0

V 0 ≈ 14 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças Finitas

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Cálculo de Potencial

combinando as duas expressões obtemos

∂ 2V 

∂ x 2+

∂ 2V 

∂ y 2≈

V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2

= 0

V 0 ≈1

4 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

que é mais precisa quanto

menor for o passo h 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCá o

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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

dada a seção reta de uma calha quadrada com os lados ebase no potencial zero e o topo no potencial de 100 V ,

determine a distribuição de potencial na calha

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCál l d P t i l l d li ã o 1

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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

dada a seção reta de uma calha quadrada com os lados ebase no potencial zero e o topo no potencial de 100 V ,

determine a distribuição de potencial na calha

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCál l d P t i l l d li ã o 1

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 69/108

Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

usaremos o método iterativono primeiro passo fazemos todos os potenciais

desconhecidos iguais a zero depois aplicamos

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial exemplo de aplicação no 1

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

usaremos o método iterativono primeiro passo fazemos todos os potenciais

desconhecidos iguais a zero depois aplicamos

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial exemplo de aplicação no 1

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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

usaremos o método iterativono primeiro passo fazemos todos os potenciais

desconhecidos iguais a zero depois aplicamos

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial exemplo de aplicação no  1

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http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 72/108

Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação n 1

1a 

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 73/108

Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação n 1

1a 

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 74/108

Cálculo de Potencial exemplo de aplicação n 1

2a 

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 75/108

Cálculo de Potencial exemplo de aplicação n 1

2a 

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

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Cálculo de Potencial exemplo de aplicação n 1

3a 

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

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á a p ap açã

3a 

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

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http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 78/108

p p ç

4a 

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no  1

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p p ç

4a 

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 80/108

é uma técnica numérica para resolver equações integrais

e equações diferenciais

aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver

equações integrais

equação integral é uma equação em que a incógnita está

na integral

exemplos

 E = v 

ρv dv 

4 π ε0 R 2 a R  V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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é uma técnica numérica para resolver equações integrais

e equações diferenciais

aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver

equações integrais

equação integral é uma equação em que a incógnita está

na integral

exemplos

 E = v 

ρv dv 

4 π ε0 R 2 a R  V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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é uma técnica numérica para resolver equações integrais

e equações diferenciais

aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver

equações integrais

equação integral é uma equação em que a incógnita está

na integral

exemplos

 E = v 

ρv dv 

4 π ε0 R 2 a R  V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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é uma técnica numérica para resolver equações integrais

e equações diferenciais

aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver

equações integrais

equação integral é uma equação em que a incógnita está

na integral

exemplos

 E = v 

ρv dv 

4 π ε0 R 2 a R  V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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é uma técnica numérica para resolver equações integrais

e equações diferenciais

aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver

equações integrais

equação integral é uma equação em que a incógnita está

na integral

exemplos

 E = v 

ρv dv 

4 π ε0 R 2 a R  V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r 

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Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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aplicaremos uma técnica de integração numérica que éum caso particular do método dos momentos

consideremos um fio condutor fino de raio a e

comprimento L (L a )

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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aplicaremos uma técnica de integração numérica que éum caso particular do método dos momentos

consideremos um fio condutor fino de raio a e

comprimento L (L a )

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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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aplicaremos uma técnica de integração numérica que éum caso particular do método dos momentos

consideremos um fio condutor fino de raio a e

comprimento L (L a )

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

l d fi

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em um ponto qualquer do fio temos

V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r → V 0 =

 L

0

ρl dl 

4 π ε0 r 

em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos

V 0 =1

4 π ε0

 L0

ρl (y )dy 

|y k − y |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

t l d fi t

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 89/108

em um ponto qualquer do fio temos

V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r → V 0 =

 L

0

ρl dl 

4 π ε0 r 

em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos

V 0 =1

4 π ε0

 L0

ρl (y )dy 

|y k − y |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

t l d fi t

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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em um ponto qualquer do fio temos

V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r → V 0 =

 L

0

ρl dl 

4 π ε0 r 

em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos

V 0 =1

4 π ε0

 L0

ρl (y )dy 

|y k − y |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

em um ponto qualquer do fio temos

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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em um ponto qualquer do fio temos

V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r → V 0 =

 L

0

ρl dl 

4 π ε0 r 

em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos

V 0 =1

4 π ε0

 L0

ρl (y )dy 

|y k − y |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

em um ponto qualquer do fio temos

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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em um ponto qualquer do fio temos

V  =

 v 

ρv dv 

4 π ε r → V 0 =

 L

0

ρl dl 

4 π ε0 r 

em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos

V 0 =1

4 π ε0

 L0

ρl (y )dy 

|y k − y |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, édeterminar uma área

se δy  é pequeno, a integração de

V 0

=1

4 π ε0 

L

0

ρl (y )dy 

|y k − y |=

1

4 π ε0 

L

0

f (y ) dy 

no intervalo 0 < y  < L será

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =N 

k =1

f (y k ) ∆y 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

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Método dos Momentos

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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, édeterminar uma área

se δy  é pequeno, a integração de

V 0 =1

4 π ε0 

L

0

ρl (y )dy 

|y k − y |=

1

4 π ε0 

L

0

f (y ) dy 

no intervalo 0 < y  < L será

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =N 

k =1

f (y k ) ∆y 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, édeterminar uma área

se δy  é pequeno, a integração de

V 0 =1

4 π ε0 

L

0

ρl (y )dy 

|y k − y |=

1

4 π ε0 

L

0

f (y ) dy 

no intervalo 0 < y  < L será

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =

N k =1

f (y k ) ∆y 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, édeterminar uma área

se δy  é pequeno, a integração de

V 0 =1

4 π ε0 

L

0

ρl (y )dy 

|y k − y |=

1

4 π ε0 

L

0

f (y ) dy 

no intervalo 0 < y  < L será

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =

N k =1

f (y k ) ∆y 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, é

determinar uma área

se δy  é pequeno, a integração de

V 0 =1

4 π ε0 

L

0

ρl (y )dy 

|y k − y |=

1

4 π ε0 

L

0

f (y ) dy 

no intervalo 0 < y  < L será

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =

N k =1

f (y k ) ∆y 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, é

determinar uma área

se δy  é pequeno, a integração de

V 0 =1

4 π ε0 

L

0

ρl (y )dy 

|y k − y |=

1

4 π ε0 

L

0

f (y ) dy 

no intervalo 0 < y  < L será

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =

N k =1

f (y k ) ∆y 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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aplicando

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =N 

k =1

f (y k ) ∆y 

obtemos

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+

· · ·+ρN ∆

|y k − y N |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método dos Momentos

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aplicando

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =N 

k =1

f (y k ) ∆y 

obtemos

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+

· · ·+ρN ∆

|y k − y N |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método dos Momentos

li d

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aplicando

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =

N k =1

f (y k ) ∆y 

obtemos

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+

· · ·+ρN ∆

|y k − y N |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método dos Momentos

li d

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aplicando

 L0

f (y )dy  = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y  =

N k =1

f (y k ) ∆y 

obtemos

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+

· · ·+ρN ∆

|y k − y N |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método dos Momentos

como temos N pontos, aplicando

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

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p , p

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+· · ·+

ρN ∆

|y k − y N |

para cada ponto obtemos o sistema de equações lineares

4 π ε0 V 0 = ρ1 ∆|y 1 − y 1|

+ ρ2 ∆|y 1 − y 2|

+ · · · ρN ∆|y 1 − y N |

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y 2 − y 1|+

ρ2 ∆

|y 2 − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y 2 − y N |

.

..

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y N − y 1|+

ρ2 ∆

|y N − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y N − y N |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método dos Momentos

como temos N pontos, aplicando

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 104/108

p , p

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+· · ·+

ρN ∆

|y k − y N |

para cada ponto obtemos o sistema de equações lineares

4 π ε0 V 0 = ρ1 ∆|y 1 − y 1|

+ ρ2 ∆|y 1 − y 2|

+ · · · ρN ∆|y 1 − y N |

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y 2 − y 1|+

ρ2 ∆

|y 2 − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y 2 − y N |

.

..

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y N − y 1|+

ρ2 ∆

|y N − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y N − y N |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método dos Momentos

como temos N pontos, aplicando

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http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 105/108

p p

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+· · ·+

ρN ∆

|y k − y N |

para cada ponto obtemos o sistema de equações lineares

4 π ε0 V 0 = ρ1 ∆|y 1 − y 1|

+ ρ2 ∆|y 1 − y 2|

+ · · · ρN ∆|y 1 − y N |

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y 2 − y 1|+

ρ2 ∆

|y 2 − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y 2 − y N |

.

..

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y N − y 1|+

ρ2 ∆

|y N − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y N − y N |

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método dos Momentos

escrevendo na forma matricial

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[A][ρ] = [B ]

em que

[A] =

A11 A12 · · · A1N 

A21 A22 · · · A2N ...

...

AN 1 AN 2 · · · ANN 

,

Ann 

= 2 ln ∆a 

Amn  =∆

|y m −y n |

[B ] = 4 π ε0 V 0

1

1...

1

[ρ] =

ρ1

ρ2...

ρN 

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Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método dos Momentos

escrevendo na forma matricial

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 107/108

[A][ρ] = [B ]

em que

[A] =

A11 A12 · · · A1N 

A21 A22 · · · A2N ...

...

AN 1 AN 2 · · · ANN 

,

Ann 

= 2 ln ∆a 

Amn  =∆

|y m −y n |

[B ] = 4 π ε0 V 0

1

1...

1

[ρ] =

ρ1

ρ2...

ρN 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Método dos Momentos

escrevendo na forma matricial

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 108/108

[A][ρ] = [B ]

em que

[A] =

A11 A12 · · · A1N 

A21 A22 · · · A2N ...

...

AN 1 AN 2 · · · ANN 

,

Ann 

= 2 ln ∆a 

Amn  =∆

|y m −y n |

[B ] = 4 π ε0 V 0

1

1...

1

[ρ] =

ρ1

ρ2...

ρN 

Carvalho Eletromagnetismo Computacional