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Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 13

18 de junho de 2010

Aula 13 Pré-Cálculo 1

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

Aula 13 Pré-Cálculo 2

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 3

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 4

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 5

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 6

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 7

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 8

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 9

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 10

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 11

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 12

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 13

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 14

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 15

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

.

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores

= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

Aula 13 Pré-Cálculo 16

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.

(1) A função f é par.

(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 17

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.

(1) A função f é par.

(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 18

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.

(1) A função f é par.

(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 19

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.

(1) A função f é par.

(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 20

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.

(1) A função f é par.

(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 21

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.

(1) A função f é par.

(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 22

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.

(1) A função f é ímpar.

(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 23

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.

(1) A função f é ímpar.

(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 24

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.

(1) A função f é ímpar.

(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 25

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.

(1) A função f é ímpar.

(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 26

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.

(1) A função f é ímpar.

(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 27

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.

(1) A função f é ímpar.

(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Aula 13 Pré-Cálculo 28

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 29

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 30

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 31

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 32

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 33

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 34

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 35

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 36

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 37

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 38

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 39

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 40

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 41

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Aula 13 Pré-Cálculo 42

Revisão: funções da forma x elevado a n

Aula 13 Pré-Cálculo 43

A função raiz n-ésima

Aula 13 Pré-Cálculo 44

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 45

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 46

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 47

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 48

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 49

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 50

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 51

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 52

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 53

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 54

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 55

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 56

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 57

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 58

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 59

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 60

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 61

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 62

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 63

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 64

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 65

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

n√

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se a ∈ R, então n√

a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.

Aula 13 Pré-Cálculo 66

A função raiz n-ésima

(Ir para o GeoGebra)

Aula 13 Pré-Cálculo 67

Cuidado!

Se n é par,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é [0, +∞).

Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é R.

Aula 13 Pré-Cálculo 68

Cuidado!

Se n é par,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é [0, +∞).

Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é R.

Aula 13 Pré-Cálculo 69

Cuidado!

Se n é par,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é [0, +∞).

Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é R.

Aula 13 Pré-Cálculo 70

Propriedades da função raiz n-ésima para n par

Se n é par, ∀a ∈ R,n√

an = |a|.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

√ab

=n√

an√

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

√ab

=n√−a

n√−b

.

A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 71

Propriedades da função raiz n-ésima para n par

Se n é par, ∀a ∈ R,n√

an = |a|.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

√ab

=n√

an√

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

√ab

=n√−a

n√−b

.

A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 72

Propriedades da função raiz n-ésima para n par

Se n é par, ∀a ∈ R,n√

an = |a|.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

√ab

=n√

an√

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

√ab

=n√−a

n√−b

.

A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 73

Propriedades da função raiz n-ésima para n par

Se n é par, ∀a ∈ R,n√

an = |a|.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

√ab

=n√

an√

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

√ab

=n√−a

n√−b

.

A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 74

Propriedades da função raiz n-ésima para n par

Se n é par, ∀a ∈ R,n√

an = |a|.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

√ab

=n√

an√

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

√ab

=n√−a

n√−b

.

A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 75

Propriedades da função raiz n-ésima para n par

Se n é par, ∀a ∈ R,n√

an = |a|.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

√ab

=n√

an√

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

√ab

=n√−a

n√−b

.

A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 76

Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√

an = a.

Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√

a · b = n√

a · n√

b.

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

√ab

=n√

an√

b.

A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 77

Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√

an = a.

Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√

a · b = n√

a · n√

b.

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

√ab

=n√

an√

b.

A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 78

Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√

an = a.

Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√

a · b = n√

a · n√

b.

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

√ab

=n√

an√

b.

A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 79

Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√

an = a.

Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√

a · b = n√

a · n√

b.

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

√ab

=n√

an√

b.

A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 80

Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√

an = a.

Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√

a · b = n√

a · n√

b.

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

√ab

=n√

an√

b.

A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 81

Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√

an = a.

Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√

a · b = n√

a · n√

b.

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

√ab

=n√

an√

b.

A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√

a <n√

b.

Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

b.

Aula 13 Pré-Cálculo 82

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Aula 13 Pré-Cálculo 83

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Aula 13 Pré-Cálculo 84

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Aula 13 Pré-Cálculo 85

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Aula 13 Pré-Cálculo 86

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Aula 13 Pré-Cálculo 87

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Aula 13 Pré-Cálculo 88

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Aula 13 Pré-Cálculo 89

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Aula 13 Pré-Cálculo 90

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

√b

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Aula 13 Pré-Cálculo 91

Mais propriedades

Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√

xm = ( n√

x)m.

Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√

xm = ( n√

x)m.

Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√

m√

x = n m√

x .

Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√

m√

x = n m√

x .

Aula 13 Pré-Cálculo 92

Mais propriedades

Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√

xm = ( n√

x)m.

Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√

xm = ( n√

x)m.

Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√

m√

x = n m√

x .

Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√

m√

x = n m√

x .

Aula 13 Pré-Cálculo 93

Mais propriedades

Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√

xm = ( n√

x)m.

Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√

xm = ( n√

x)m.

Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√

m√

x = n m√

x .

Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√

m√

x = n m√

x .

Aula 13 Pré-Cálculo 94

Mais propriedades

Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√

xm = ( n√

x)m.

Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√

xm = ( n√

x)m.

Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√

m√

x = n m√

x .

Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√

m√

x = n m√

x .

Aula 13 Pré-Cálculo 95

Mais propriedades

Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√

xm = ( n√

x)m.

Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√

xm = ( n√

x)m.

Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√

m√

x = n m√

x .

Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√

m√

x = n m√

x .

Aula 13 Pré-Cálculo 96