View
241
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Lógica MatemáticaLógica Matemática
1
PROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEAN
LÓGICA MATEMÁTICA - CONTEÚDO
� Definição de Termo e Proposição
� Valor Lógico
� Proposição Simples e Proposição Composta
2
� Proposição Simples e Proposição Composta
� Conectivos
� Tabela-Verdade
Definição de um objeto.
TERMO (Palavra) – Definição:
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
Exemplo:
3
Paula
Um filme de terror
Triângulo retângulo
Exemplo:
Todo o conjunto de termos ou símbolos
que exprimem um pensamento
de sentido completo.
PROPOSIÇÃO – Definição:
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
4
de sentido completo.
Todo homem é mortal.
A Lua é um satélite da Terra.
Exemplo:
As PROPOSIÇÕES
transmitem pensamentos,
isto é,
PROPOSIÇÃO
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
5
isto é,
afirmam fatos ou exprimem juízos
que formamos a
respeito de determinados entes.
Lógica Matemática
Adota regras fundamentais do pensamento:
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO:
6
Uma proposição NÃO pode ser
FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo.
O Brasil é pentacampeão de futebol.O Brasil é pentacampeão de futebol.
O Brasil possui pena de morte.O Brasil possui pena de morte.
Verdade (V)Verdade (V)
Falso (F)Falso (F)
Lógica Matemática
Adota regras fundamentais do pensamento:
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO:
7
Toda proposição ou é Verdadeira ou Falsa,
isto é, verifica-se sempre um destes casos
e nunca um terceiro.
LÓGICA BIVALENTELÓGICA BIVALENTE
O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é:
VALOR LÓGICO
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
VERDADE se esta for VERDADEIRA;
8
VERDADE se esta for VERDADEIRA;
FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.
Dos 2 princípios e do valor lógico:
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
VALOR LÓGICO
9
Toda proposição tem um,
e somente um,
dos valores V, F.
Proposição NÃO contém nenhuma outra
proposição como parte integrante
de si mesmo.
PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
10
Minha casa é grande.
Seu olhos são azuis.
Está calor.
São designadas pelas letras latinas
minúsculas p,q,r,s,...,
chamadas letras proposicionais.
PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
11
p: Minha casa é grande.
q: Seu olhos são azuis.
r: Está calor.
Formada pela combinação de 2 ou mais
PROPOSIÇÕES.
PROPOSIÇÃO COMPOSTAS (MOLÉCULAS)
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
12
Minha casa é grande e meu carro é azul.
Seu olhos são azuis ou verdes.
Se está calor então é verão.
São designadas pelas letras latinas
maiúsculas P,Q,R,S,...,
chamadas letras proposicionais.
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÃO COMPOSTAS (MOLÉCULAS)
13
P: Minha casa é grande e meu carro é azul.
Q: Seu olhos são azuis ou verdes.
R: Se está calor então é verão.
Também chamadas de
fórmulas proposicionais ou fórmulas.
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS (MOLÉCULAS)
Notação:
14
Notação:
P(q,r,s) – significa que P
é uma proposição composta das
proposições atômicas q,r e s.
Termos usados para formar novas
proposições a partir de outras.
CONECTIVO – Definição:
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
15
E OU
SE...
ENTÃO... SOMENTE SE...
...SE E
SOMENTE SE...
CONECTIVO – Exemplos:
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
P: Minha casa é grande e meu carro é azul.
Q: Choverá amanhã ou cairá uma ponte.
16
R: Se sou maringaense então sou paranaense.
S: O triângulo é equilátero se e
somente se é equiângulo.
Exibe todos os possíveis valores lógicos da
proposição composta correspondentes a
todas as possíveis atribuições de
valores lógicos às proposições simples componentes.
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
TABELA-VERDADE:
17
valores lógicos às proposições simples componentes.Sejam p e q 2 átomos. Os valores lógicos
possíveis para cada um deles é:
Sejam p e q 2 átomos. Os valores lógicos
possíveis para cada um deles é:
p12
VF
q12
VF
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
Seja P uma molécula: P(p,q).
A tabela-verdade para P é:
Seja P uma molécula: P(p,q).
A tabela-verdade para P é:
TABELA-VERDADE:
p qArranjos
18
p q1 V V2 V F3 F V4 F F
Arranjos
Binários
com
repetição de
2 elementos:
V e F
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
Seja Q uma molécula: Q(p,q,r). Seja Q uma molécula: Q(p,q,r).
TABELA-VERDADE:
Arranjos
p q r1 V V V2 V V F
19
Arranjos
Ternários
com
repetição de
2 elementos:
V e F
2 V V F 3 V F V 4 V F F5 F V V6 F V F7 F F V8 F F F
NOTAÇÃO
LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
V(p): Valor lógico da proposição atômica p.
V(p) = V ou V(p)=F
20
V(P): Valor lógico da proposição molecular P.
V(P) = V ou V(P)=F
Operadores LógicosOperadores Lógicos
Assim como operamos comnúmeros, asproposições tambémpodem ser “operadas”utilizando os operadores lógicos. São eles:
21
�� ConjunçãoConjunção -- EE ((ΛΛ))�� DisjunçãoDisjunção -- OuOu ((VV))�� CondicionalCondicional –– SeSe ...... entãoentão ((��))�� BiBi--condicionalcondicional –– SeSe ee somentesomente sese ((↔↔))
E
p q p ΛΛΛΛ q
V V V
V F F
22
V F F
F V F
F F F
Valor V somente quando ambas as proposições p e q forem iguais a V!!!
p: A neve é branca . (V)
q: 2 < 5 (V)
p ΛΛΛΛ q : A neve é branca e 2 < 5 (V)
p: O enxofre é verde . (F)
23
p: O enxofre é verde . (F)
q: 7 é um número primo . (V)
p ΛΛΛΛ q : O enxofre é verde e 7 é umnúmero primo (F)
OUOU
p q p V q
V V V
V F V
24
V F V
F V V
F F F
Valor F somente quando ambas as proposições p e q forem iguais a F!!!
p: Paris é a capital da França . (V)
q: 9 – 4 = 5 (V)
p V q : Paris é a capital da Françaou 9 – 4 = 5 (V)
p: Roma é a capital da Rússia . (F)p: Roma é a capital da Rússia . (F)
q: ππππ é um número irracional. (V)
p V q : Roma é a capital da Rússia ou ππππ é um número irracional (V)
p: O Jean é cabeludo . (F)
q: O Maradona é gente boa. (F)
p V q : O Jean é cabeludo ou o
26
p V q : O Jean é cabeludo ou oMaradona é gente boa. (F)
CondicionalCondicional
p q p → q
V V V
V F F
27
V F F
F V V
F F V
Valor F somente quando o antecedente (p) for igual a V e o consequente (q) for igual a F!!!
p: Hitler era austríaco . (V)
q: 10 + 3 = 13 (V)
p →→→→ q : Se Hitler era austríacoentão 10 + 3 = 13. (V)
p: O mês de maio tem 31 dias . (V)
28
p: O mês de maio tem 31 dias . (V)
q: A Terra é plana .(F)
p →→→→ q : Se o mês de maio tem 31dias então a Terra é plana . (F)
BiBi--condicionalcondicional
p q p ↔ q
V V V
V F F
29
V F F
F V F
F F V
Valor V somente quando ambas as proposições p e q forem iguais!!!
p: Roma fica na Europa . (V)
q: A neve é branca . (V)
p ↔↔↔↔ q : Roma fica na Europa se esomente se a neve é branca . (V)
p: A Terra é plana . (F)
30
p: A Terra é plana . (F)
q: ππππ é um número racional. (F)
p ↔↔↔↔ q : A Terra é plana se esomente se ππππ é um númeroracional. (V)
NegaçãoNegação
Dada uma proposição p, sua negação serádenotada por ~p (não p).
Se p é verdadeiraentão~p seráfalsa e vice
31
Se p é verdadeiraentão~p seráfalsa e viceversa.
NegaçãoNegação
Ex:
p = Paula está usando tênis preto.
~p = Paula não está usando tênis preto.
33
Ex:
p = Esta frase possui cinco palavras.
NegaçãoNegação
Ex:
p = Paula está usando tênis preto.
~p = Paula não está usando tênis preto.
34
Ex:
p = Esta frase possui cinco palavras.
~p = Esta frase não possui cinco palavras.
Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação
� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”
36
Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação
� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”
� A negação de “nunca” é
37
Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação
� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”
� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”
38
que”
Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação
� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”
� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”
39
que”
� A negação de “p e q” é
Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação
� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”
� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”
40
que”
� A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação
� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”
� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”
41
que”
� A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
� A negação de “p ou q” é
Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação
� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”
� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”
42
que”
� A negação de “todos” é “existe algumquenão”
• A negação de “nenhum” é “existe algumque”
(CESGRANRIO – CAPES/2008) Chama-setautologia à proposição composta quepossui valor lógico verdadeiro, quaisquerque sejam os valores lógicos dasproposições que a compõem. Sejam p e qproposições simples e ~p e ~q as suas
43
proposições simples e ~p e ~q as suasrespectivas negações. Em cada uma dasalternativas abaixo, há uma proposiçãocomposta, formada por p e q. Qualcorresponde a uma tautologia?
a) p ^ q
p q p ^ qV
VV
F
V
F
44
F
FV
F
F
F
Não é uma tautologia, é uma Não é uma tautologia, é uma contingênciacontingência ! !
b) p ^ ~q
p q ~q p ^ ~qV
VV
F
F
V
F
V
45
F
FV
F
F
F
F
V
Não é uma tautologia, é uma Não é uma tautologia, é uma contingênciacontingência ! !
c) (p ^ q) →→→→ (~p ^ q)
p q ~p p ^ q ~p ^ q (p ^ q) →→→→ (~p ^ q)
V V VF F F
46
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
Não é uma tautologia, é uma Não é uma tautologia, é uma contingênciacontingência ! !
d) (p v q) →→→→ (p ^ q)
p q p v q p ^ q (p v q) →→→→ (p ^ q)
V V V V V
47
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
Não é uma tautologia, é uma Não é uma tautologia, é uma contingênciacontingência ! !
e) (p ^ q) →→→→ (p ^ q)
p q p ^ q p ^ q (p ^ q)→→→→ (p ^ q)
V V V V VV
48
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
VV
VV
VV
É uma tautologia! É uma tautologia!
Tabela verdadeTabela verdade
Dada uma composição de proposições,podemos construir sua tabela verdade.A tabela verdade é uma tabela que mostra ovalor lógico da composiçãoa partir do valor
49
valor lógico da composiçãoa partir do valorlógico de suas premissas.
Ex:
(p ΛΛΛΛ (~q v r)) � (~r ↔ q)
Recommended