Torção em Eixos de Seção Retangular 26 de setembro … · Torção em Eixos de Seção...

Preview:

Citation preview

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Momento torsorTorção em Eixos de Seção Retangular

26 de setembro de 2016

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Torção em Eixos de Seção Retangular

Quando um torque é aplicado a um eixo de seção transversal circular,as deforamções por cisalhamento variam linearmente de zeronalinha central a máxima na superficie externa. Além disso, devido àuniformidade das deformações por cisalhamento em todos os pontosde mesmo raio, a seção transversal não se deforma; mais exatamente,ela permanece plana após a torção do eixo.

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Todavia, a seções transversais de eixos cujas seções não sãocircularesficarão abauladas ou entortarão quando torcidos. O aspecto de umeixo deformado é ilustrado na Figura abaixo.

Figura :Eixo de seção maciça deformado devido a torção

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Considerando uma seção transversal retangular de baseb e alturaa,pode-se determinar a tensões nos pontosA e B por meio dasexpressões 1 e 2.

τA = τmax =T

αab2(1)

τB = ητmax (2)

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

τA = τmax =T

αab2

τB = ητmax

a/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282η 1 0,859 0,82 0,795 0,766 0,753 0,745

a/b 6 8 10 ∞

α 0,299 0,307 0,313 0,333η 0,743 0,742 0,742 0,742

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Momento torsorTorção em tubos de paredes delgadas

26 de setembro de 2016

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Torção em tubos de paredes delgadas

Pode-se mostrar que as tensões cisalhantes sãodiretamanteproporcionais à distância ao centro da seção

e→ espessura (constante ou variável)→ pequena com relação àsdimensões da seção

τ→ constante na espessura, podendo variar ao redor da seção.

T

T T τ

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Elemento de volume de espessurae1 e e2 e dimensões elementaresdx(longitudinal) eds (transversal).

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

τ1 eτ2→tensões nas faceslongitudinais do elemento

infinitesimal.⇓

Constantes na seção

F1 = τ1 e1 dx

F2 = τ2 e2 dx

→ Condição equilíbrio escreve-se

F1 = F2⇒ τ1 e1 = τ2 e2

f = τe

f → fluxo de cisalhamento

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

f = τe

f → fluxo de cisalhamento

e constante→ τ constantee máximo→ τ mínimoe mínimo→ τ máximo

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Equilíbrio do elementoem relação ao ponto A (variação

linear de espessura)

τ3(e1+ e2)

2ds dx = τ1 e1 dx ds

τ3(e1+ e2)

2= f

Tomando-se a resultante de forças na face 3 do volume infinitesimalobtém-se:

F3 =

f︷ ︸︸ ︷

τ3(e1+ e2)

2ds = f ds

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Equilíbrio entre forças externas e internas numa seção de tubo deparedes finas=⇒ somatório ao longo da linha média da espessura (Lm) dos torqueselementares resultantes (dT = F3r) num comprimentods do sólidoinfinitesimal

rf ds

ds

T

O

T =∫ Lm

0 dT

T =∫ Lm

0 F3r

=⇒ T =∫ Lm

0 r f ds

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

rf ds

ds

T

O

T =∫ Lm

0 dT

T =∫ Lm

0 F3r

=⇒ T =∫ Lm

0 r f ds

T = f

2Am︷ ︸︸ ︷∫ Lm

0r ds = 2 Am f

τ = T2 e Am

Esta equação é conhecida como primeira fórmula de Bredt.

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Demonstra-se igualando a energia de deformação com o trabalhoefetuado pelo torqueT que o angulo de torçãoθ para umcomprimentoL de tubo é:

θ =T LG I{ I =

4 A2m

∫ Lm

odse

Para tubos de espessura constante tem-se:

I =4 A2

m e

Lm=⇒ θ =

τ︷ ︸︸ ︷

T2 e Am

L Lm

2 Am G=

τ L Lm

2 G Am

θ =τ L Lm2 G Am

Esta equação é conhecida como segunda fórmula de Bredt.

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

Exercícios

(1) Um tubo de alumínio (G = 28 GPa) de 1,0 m de comprimento eseção retangular 60 mm x 100 mm (dimensões externas) está sujeito aum torqueT = 3 kNm. Determinar a tensão de cisalhamento em cadauma das paredes do tubo e o ângulo de torção, se:

a) a espessura é constante, igual a 4 mm

b)devido a um defeito de fabricação duas paredes adjacentes têmespessura 3 mm, e as outras duas têm espessura de 5 mm.

Resposta:a) τ = 69,75 MPa eθ = 0,07044 radb) τmax = 93 MPa,τmin = 55,80 MPa eθ = 0,07513 rad.

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

(4) Um eixo de uma liga de alumínio com seção transversal mostradana Figura abaixo está submetido a um torqueT. Dados:T = 2kNm eG = 28GPa. Pede-se:a) A tensão cisalhante máxima.b) O ângulo de torção em um eixo de comprimentoL = 2m.Resposta:τ = 80,2MPa;θ = 6,840.

Momento torsor

Torção em Eixos de Seção RetangularTorção em tubos de paredes delgadas

Exercícios

(10) Calcular o torque máximo admissivel em um tubo de paredesfinas de espessura constante de 1,5 mm e seção representada naFigura (dimensões externas dadas em mm) para uma tensãoadmissivel ao cisalhamento de 2,5 MPa.Resposta: 10,89 Nm.

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

50

20

50

20

Momento torsor

Recommended