Aula 2 - Produtos Notáveis e Fatoração

Efetuar uma multiplicação é obter o produto ExistemEfetuar uma multiplicação é obter o produto ExistemEfetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem alguns produtos muito usuais. É recomendado então alguns produtos muito usuais. É recomendado então

sabêsabê los “de cor”los “de cor”sabêsabê--los de cor .los de cor .

QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA• QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:

(a + b)(a + b)22 == aa22 + 2ab + b+ 2ab + b22(a + b)(a + b) == aa + 2ab + b+ 2ab + b

(a(a –– b)b)22 == aa22 –– 2ab + b2ab + b22(a (a b)b) aa 2ab + b2ab + b•SOMA PELA DIFERENÇA:

(a + b) . (a (a + b) . (a –– b) =b) = aa22 –– bb22

• CUBO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:

(a + b)(a + b)33 == aa33 + 3a+ 3a22b + 3abb + 3ab22 + b+ b33(a + b)(a + b)33 == aa33 + 3a+ 3a22b + 3abb + 3ab22 + b+ b33

(a(a –– b)b)33 == aa33 –– 3a3a22b + 3abb + 3ab22 + b+ b33(a (a –– b)b)33 == aa33 –– 3a3a22b + 3abb + 3ab22 + b+ b33

Fatorar é transformar uma expressão algébrica em umaFatorar é transformar uma expressão algébrica em umaFatorar é transformar uma expressão algébrica em uma Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de fatores. Fatoração é o processo multiplicação de fatores. Fatoração é o processo

inverso dos produtos notáveis.inverso dos produtos notáveis.inverso dos produtos notáveis.inverso dos produtos notáveis.

Veja os retângulos e suas respectivas áreas:

O li ô i á d â l l é A•O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax.•O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay.O li ô i t á d tâ l lh é A•O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az.

Qual polinômio representa a área total?

AATT = = ax + ay + az ax + ay + az = = aa ((x + y + zx + y + z))

Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produtoAo escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produto a (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.

Estudaremos a partir de agora cinco casos de fatoração muito importantes para o desenvolvimento do cálculo

algébrico.

•Fator comum em evidência;Fator comum em evidência;

•Fatoração por agrupamento;ç p g p ;

•Diferença de dois quadrados;

•Trinômio do Quadrado Perfeito;

•Soma ou diferença de dois cubos.

Como já foi dito fatorar significa transformar uma soma em produto de dois ou mais termos.

Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam um fator comum, podemos colocá-lo em evidência.

Por exemplo:

N ã b + f d i•Na expressão ab + ac, o fator a aparece nos dois termos, este é o fator comum.

A forma fatorada é o produto do fator comum por uma expressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelo

fator comumfator comum.

É ÊÉ UMA RECORRÊNCIA DO FATOR

COMUM EM EVIDÊNCIA.

Exemplos:Exemplos:

•x2 – ay +xy – ax = x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y)

+ b +2 + 2b ( + b) + 2( + b) ( + b)( + 2)•ax + by +2a + 2b = x(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(x + 2)

•y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)

Neste processo verificamos que:Neste processo verificamos que:

aa2 2 –– bb2 2 = (a + b).(a = (a + b).(a –– b)b)

aa22 + 2ab + b+ 2ab + b2 2 == (a + b)(a + b)2 2

aa22 –– 2ab + b2ab + b2 2 == (a (a –– b)b)2 2

P h t i ô i é d d f itPara reconhecer se um trinômio é um quadrado perfeito, proceda da seguinte forma:

• Verifique se a expressão tem dois termos que são quadrados perfeitos (a2 e b2);

• Determine as raízes desses quadrados (a e b);

• Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessas raízes (+2ab ou –2ab).

aa33 + b+ b3 3 == (a + b) (a(a + b) (a2 2 –– ab + bab + b22))

aa33 –– bb3 3 == (a (a –– b) (ab) (a2 2 + ab + b+ ab + b22))(( ) () ( ))

FIMFIM!FIMFIM!