Embed Size (px)
Citation preview
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE
VOLU
ME I
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional
Eni de Paula
ALGEOMETRIZANDO: A Geometria na Resolução de Problemas Algébricos
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA ORIENTADOR: Prof. Josnei Francisco Peruzzo
ÁREA CURRICULAR: Matemática
PONTA GROSSA 2010
2
ALGEOMETRIZANDO: A Geometria na Resolução de Problemas Algébricos
ALGEOMETRIZANDO: Geometry in Problem Solving Algebraic
Eni de Paula1 Josnei Francisco Peruzzo2
Resumo O homem na busca da sobrevivência criou formas de comunicação na resolução dos problemas cotidianos. Buscando a articulação dos conteúdos estruturantes da matemática, desenvolvendo-os de forma flexível e significativa. Os educandos que interromperam seus estudos na 7ª série do Ensino Fundamental, ao ingressarem no PROEDUSE do Centro de Sócio Educação de Ponta Grossa na modalidade da EJA, têm direito em realizar aproveitamento de estudos. Estes pressupostos nos fizeram pensar: por que os alunos que pararam de estudar na 7ª série do Ensino Fundamental apresentam dificuldades em desenvolver situações problemas que envolvam as operações com polinômios, especialmente os produtos notáveis, fatoração e a resolução geométrica da equação do 2º grau? Conteúdos estes, referentes ao Bloco 5 ou seja, 5º registro de nota da Fase II do Ensino Fundamental na modalidade de Educação de Jovens e Adultos. Nesta problemática, a geometria foi usada na construção de material manipulável para a resolução de problemas algébricos do contexto social e da história da matemática. A percepção visual possibilitou a concretização dos conceitos geométricos, algébricos e seus significados. Visando que os educandos adquiram o hábito e gosto pelo ensino da matemática, desenvolvendo o raciocínio lógico, um espírito crítico e criativo, redimensionando seu pensar matemático. Palavras-Chave: Geometria; Representação Geométrica; Produtos Notáveis; Equação do 2º grau; Resolução de Problemas. Abstract The man in search of survivors has created forms of communication in solving everyday problems. Looking for the articulation of structuring content in mathematics, developing them in a flexible and meaningful. The students who interrupted their studies in the 7th grade on, to join the PROEDUSE Center Education Partner of Ponta Grossa in the mode of EJA, have the right to make use of studies. These assumptions led us to think: why the students who left school in seventh grade of elementary school have difficulties in developing problem situations involving operations with polynomials, especially the remarkable products, factoring and solving geometric equation of second degree? These contents, referring to the Block 5 or 5 th grade registration of Phase II of Basic Education in the form of Youth and Adults. In this problem, the geometry was used in building material manipulated to solve algebraic problems of social context and history of mathematics. Visual perception has enabled the realization of geometric concepts, algebraic and their meanings. Aimed that the students acquire the habit and taste for the teaching of mathematics, developing the logical reasoning, critical thinking and a creative, reshaping their mathematical thinking. Key Words: Geometry; Geometric Representation; Notable Products; Equation of second degree; Problem Solving.
1 Professora da Secretaria da Educação do Estado do Paraná – E.mail: [email protected] 2 Professor Orientador da Universidade Estadual de Ponta Grossa – E.mail:[email protected]
3
1. INTRODUÇÃO
Na nossa vivência como professora de matemática do Ensino
Fundamental, coletamos vários questionamentos, dentre eles, por que o ensino de
certos conteúdos não pode ser transmitido de uma forma mais prática e
agradável? Também perguntas formuladas por nossos alunos, como “Para que
estudar álgebra?”, “Por que estudar todas essas fórmulas e regras?”, “Onde vou
usar na minha vida?”.
Todas estas questões nos levaram a refletir sobre o modelo posto
do ensino da matemática desenvolvido de forma estanque. Sendo nas séries
iniciais a aritmética para que os alunos aprendam os números e suas operações,
nas séries finais à álgebra como um instrumento para resolver problemas que
envolvem equações, ficando sempre para o final de cada série a geometria,
limitado apenas ao reconhecimento das figuras planas e espaciais.
Ao direcionarmos o olhar para a articulação dos conteúdos
estruturantes da matemática no seu desenvolvimento de forma mais significativa,
com a garantia do direito de aproveitamento de estudos aos educandos que
interromperam seus estudos na 7ª série do Ensino Fundamental. Estes alunos ao
ingressarem no PROEDUSE do Centro de Sócio de Educação de Ponta Grossa
na modalidade da EJA, precisam desenvolver os conteúdos referente aos Blocos
5 e 6, ou seja, as avaliações do 5º e 6º registro de nota para a conclusão da
disciplina de matemática da Fase II do Ensino Fundamental na modalidade da
Educação de Jovens e Adultos.
4
Todos estes pressupostos nos fizeram pensar: por que os alunos
do PROEDUSE que pararam de estudar na 7ª série do Ensino Fundamental
apresentam dificuldades em desenvolver situações problemas que envolvam as
operações com polinômios, especialmente os produtos notáveis, fatoração e a
resolução geométrica da equação do 2º grau? Como torná-los mais
significativos? Conteúdos estes, referente ao Bloco 5, ou seja, 5º registro de nota
da Fase II do Ensino Fundamental na modalidade de Educação de Jovens e
Adultos.
Objetivando a ampliação e a construção de novos significados
geométricos e algébricos para a resolução de problemas algébricos que envolvam
operações com polinômios, especialmente os produtos notáveis, fatoração e a
resolução geométrica da equação do 2º grau. Utilizamos a geometria plana como
ferramenta na construção de material manipulável para a resolução de problemas
algébricos do contexto social e da análise de alguns problemas da história da
matemática, para desenvolver um ensino matemático mais significativo e que
atenda as Diretrizes curriculares do Estado do Paraná.
5
2. FUNDAMENTAÇÃO
Ao iniciarmos esta reflexão sentimos a necessidade de revisitar a
organização curricular da rede estadual de ensino. O qual é fundamentado pelas
Diretrizes Curriculares da Secretaria de Estado da Educação do Estado do Paraná
– SEED, organizadas por disciplinas e níveis de ensino.
As Diretrizes Curriculares da Educação de Jovens e Adultos
norteiam o trabalho pedagógico da escola, sendo que, cada disciplina deve
entrecruzar os encaminhamentos metodológicos da EJA com as Diretrizes
Curriculares da disciplina e níveis de ensino.
Desta forma, o plano de trabalho docente para a EJA deve
atender os pressupostos das Diretrizes Curriculares da Educação de Jovens e
Adultos do Estado do Paraná, na qual
A EJA deve ter uma estrutura flexível e ser capaz de contemplar inovações que tenham conteúdos significativos. Nesta perspectiva, há um tempo diferenciado de aprendizagem e não um tempo único para todos. Os limites e possibilidades de cada educando devem ser respeitados: portanto, é desafio destas Diretrizes é apresentar propostas viáveis para que o acesso, a permanência e o sucesso do educando nos estudos estejam assegurados. (DCEs-EJA, 2006, p.28),
como também as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática do
Estado do Paraná – DCEs-Matemática, onde
[...] a seleção do conhecimento, que é tratado, na escola, por meio dos conteúdos das disciplinas concorrem tanto os fatores ditos externos, como aqueles determinados pelo regime sócio-político, religião, família, trabalho quanto as características sociais e culturais do público escolar, além dos fatores específicos do sistema como os níveis de ensino, entre outros. (DCEs-Matemática, 2009, p.19).
6
O que diferencia na estrutura curricular do ensino regular e no
ensino da EJA é sua logística. O ensino regular é organizado por série/ano e a
EJA por disciplina com sua respectiva carga horária. A carga horária do Ensino
Fundamental é igual para ambos, de 1.440 h/a. A disciplina de matemática, no
Ensino Fundamental de 5ª a 8ª séries e/ou 6º a 9º anos, no ensino regular é de 4
séries/anos e na EJA o aluno deve cumprir uma carga horária de 272 h/a, as quais
são distribuídas em 6 blocos com os conteúdos específicos a serem atingidos e
avaliados em 6 registros de nota.
A estrutura curricular das DCEs – Matemática tem a finalidade
de organizar o fazer pedagógico. A qual está dividida em conteúdos estruturantes
e conteúdos básicos.
Entende-se por Conteúdos Estruturantes os conhecimentos de grande amplitude, conceitos, teorias ou práticas, que identificam e organizam os campos de estudos de uma disciplina escolar, considerados fundamentais para a compreensão de seu objeto de estudo/ensino. Esses conteúdos são selecionados a partir de uma análise histórica da ciência de referência (quando for o caso) e da disciplina escolar, sendo trazidos para a escola para serem socializados, apropriados pelos alunos, por meio das metodologias críticas de ensino-aprendizagem. (DCEs-Matemática, 2009, p.25)
Sendo que os conteúdos estruturantes são desdobrados e dão
origem aos conteúdos básicos.
Entende-se por Conteúdos Básicos os conhecimentos fundamentais para cada série da etapa final do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio, considerados imprescindíveis para a formação conceitual dos estudantes nas diversas disciplinas da Educação Básica. (DCEs-Matemática, 2009, p.76).
Os conteúdos estruturantes propostos nas DCEs – Matemática,
para a Educação Básica da Rede Pública Estadual, são Números e Álgebra,
Grandezas e Medidas, Geometrias, Funções e Tratamento da Informação.
7
Vejamos os desdobramentos dos conteúdos estruturantes no
Ensino Fundamental, em conteúdos básicos:
• Números e Álgebra – conjuntos numéricos e operações; equações e inequações; polinômios; proporcionalidade.
• Grandezas e Medidas – sistema monetário; medidas de
comprimento; medidas de massa; medidas de tempo; medidas derivadas: áreas e volumes; medidas de ângulos; medidas de temperatura; medidas de velocidade; trigonometria: relações métricas no triângulo retângulo e relações trigonométricas nos triângulos.
• Geometrias – geometria plana; geometria espacial;
geometria analítica; noções básicas de geometrias não-euclidianas.
• Funções – função afim; função quadrática.
• Tratamento da Informação – noções de probabilidade;
estatística; matemática financeira; noções de análise combinatória.
Os conteúdos básicos são desdobrados em conteúdos específicos,
conforme a série ou nível de ensino.
No plano de Trabalho Docente, os Conteúdos Básicos terão abordagens diversas a depender dos fundamentos que recebem de cada conteúdo estruturante. Quando necessário, serão desdobrados em conteúdos específicos, sempre considerando-se o aprofundamento a ser observado para a série e nível de ensino. (DCEs-Matemática, 2009, p.76).
A execução desse plano de trabalho docente para EJA, contempla
a articulação entre os conteúdos estruturantes, os conteúdos específicos e as
metodologias aplicadas visando o processo de ensino e aprendizagem na sua
totalidade.
8
Pensamos que
[...] todos os campos da matemática previstos no currículo oficial devem ser ensinados, e mais, de modo integrado. Se concordarmos com as vantagens do ensino interdisciplinar, com mais forte razão devemos professar o ensino intradisciplinar, o qual pode ser reduzido, sinteticamente, ao ensino integrado da aritmética, geometria e álgebra. Assim fazendo, os alunos irão perceber a harmonia, coerência e beleza que a matemática encerra, apesar de suas várias partes possuírem diferentes características, tal qual uma orquestra. (LORENZATO, 2006, p. 60)
Deste modo, tomamos como base a grade curricular apresentada
nas DCEs-Matemática e os conteúdos específicos para o ensino da matemática
que constam na proposta pedagógica da EJA e, obedecendo os critérios das duas
DCEs, montamos o anexo I com uma grade curricular para o ensino da
matemática na EJA, com seus conteúdos estruturantes e específicos distribuídos
em suas respectivas avaliações. Desta forma, os conteúdos básicos sobre as
operações com polinômios, mais especificamente os Produtos Notáveis,
Fatoração e a resolução geométrica da Equação do 2º Grau estão elencados no
Bloco 5, ou seja, 5º registro de nota das avaliações da Fase II do Ensino
Fundamental na modalidade de Educação de Jovens e Adultos.
2.1. Resgate Histórico da Álgebra
Tomamos conhecimento neste resgate que a célebre biblioteca de
Alexandria foi destruída em dois momentos diferentes, primeiro no séc. IV d.C.
por vândalos cristãos e a outra no séc. VII d.C. por fanáticos muçulmanos.
Em consequência dessas destruições, inúmeras obras-primas de literatura e da
9
ciência grega desapareceram, foram apenas preservadas aquelas traduzidas para a
língua árabe. Os árabes tinham muito interesse pelas culturas orientais, assim
como pelas numerações alfabéticas: grega e judia, adaptadas para as 28 letras de
seu próprio alfabeto.
Conforme Ifrah (1989, p. 298) “[...] os árabes não se
contentaram em conservar as fundações das culturas grega, babilônica e hindu,
trazendo também sua própria e considerável contribuição para o edifício.”,
como vimos, os árabes não se limitaram apenas a traduzir as obras, mas
acrescentaram nelas vários comentários, misturando os métodos gregos com os
hindus e combinando-os com os procedimentos babilônicos, enriquecendo desta
forma a obra matemática.
Com um admirável espírito de síntese, eles conseguiram aliar o rigor da sistematização dos matemáticos e filósofos gregos ao aspecto essencialmente prático da ciência hindu, levando a um progresso admirável a aritmética, a álgebra, a geometria, a trigonometria e a astronomia. (IFRAH, 1989, p.298)
Depois da morte de Maomé os árabes foram governados pelos
Califas, estes, pelo seu desejo de conquistar, converter o mundo e expandir o seu
território fizeram com que a configuração original da ciência tivesse uma
dimensão universal.
Dentre os diversos matemáticos arábico-islâmicos da época de
ouro, destacamos o samânida Mohammed Ibn Mussa al-Khowarizmi que viveu
aproximadamente em 780-850 d.C., ele era bibliotecário da corte do califa
Abassida al-Ma’mun, considerado um célebre matemático pelas suas duas obras
10
que contribuíram para a socialização dos métodos de cálculo e os procedimentos
algébricos de procedência hindu no mundo árabe e no mundo ocidental cristão.
O nome “Álgebra” é uma tradução latina da palavra árabe al-jabr,
utilizada no título da obra Hisab al-jabr w’al-muqabalah escrita em Badgá por
volta do ano 825 d.C. por Mohammed Ibn Mussa al-Khowarizmi, a qual continha
um tratado de álgebra. Como nos diz Baumgart (1992, p.1) “Uma tradução
literal do título completo do livro é ‘ciência da restauração (ou reunião) e
redução’, mas matematicamente seria melhor ‘ciência da transposição e
cancelamento’ [...]”. Os critérios elencados tornam o trabalho extremamente
didático, pois ensina como resolver problemas algébricos cotidianos. Utilizando a
palavra al-jabr que significava a reunião de partes quebradas, sendo assim, na
restauração ou transposição, acontece o transporte dos termos de um membro
para o outro e na redução ou cancelamento, o cancelamento de termos
semelhantes em membros opostos da equação, utilizando o método geométrico
de completar o quadrado, para a comprovação de sua solução.
Desta forma, Al-Khowarizmi é considerado o fundador da
álgebra como a conhecemos hoje, seria justo dedicar-lhe o título de Pai da
Álgebra, mas esse título foi historicamente outorgado a Diofanto de Alexandria.
Na Índia encontramos Aryabhata (séc. V d.C.), o qual foi o
primeiro matemático a trabalhar com a resolução das equações completas do
segundo grau, tendo como aluno o ilustre matemático Brahmagupta (598 – 665
d.C.) o qual trabalhou a álgebra sincopada, isto é, estilo introduzido por Diofanto,
que se refere a escrever as equações.
11
12355 −+xy
ya
ka
5
bha
k(a) 35
ru . 12
x y 5 produto Irracional
35
Número
“puro”
-12
Tabela montada com dados retirados de: (BAUMGART, 1992, p. 10)
Também se preocupou com as resoluções das equações indeterminadas ou
Diofantinas.
Equações INDETERMINADAS ou Diofantinas: Chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de : y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1. Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala ( ou pulverizador )
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html - acessado 08/2009.
Mas, foi Bhaskara (1114 – 1185 d. C.) quem mais contribuiu para
com a Álgebra Hindu, dando continuidade aos estudos de Brahmagupta,
recorrendo aos conhecimentos de sua época, escreveu dois livros, um o
Siddhanta-siromani, que tratava de assuntos astronômicos, a outra o Bijaganita
um livro sobre Álgebra, nome este que significa, Bija = Outra e ganita =
matemática, ou seja, a outra matemática, pois nasceu depois da matemática
tradicional dos cálculos aritméticos e geométricos, resolvendo as equações
quadráticas completando quadrados, admitindo a existências de duas raízes reais,
como a álgebra grega.
12
2.2. História da Álgebra Grega
Acreditamos que o processo da alfabetização matemática começa
com a vida, desta forma, somos favoráveis à exploração dos conhecimentos
matemáticos resgatados na história da matemática aplicados no cotidiano através
da resolução de problemas, para que os educandos percebam o binômio de que a
matemática faz parte de suas vidas e do currículo escolar.
Refletindo sobre a problemática, por que os alunos que pararam
de estudar na 7ª série do Ensino Fundamental apresentam dificuldade em
desenvolver situações-problema que envolvam as operações com polinômios,
especialmente os produtos notáveis, fatoração e a resolução geométrica da
equação do 2º grau? Conteúdos estes, referente ao Bloco 5, ou seja, 5º registro de
nota da Fase II do Ensino Fundamental na modalidade de Educação de Jovens e
Adultos. Como torná-los mais significativos? Resolvemos então, buscar
diferentes metodologias para tentar minimizar este dilema.
Esta busca nos remeteu a história da álgebra grega,
Originalmente, nos círculos pitagóricos, as grandezas eram representadas por pedrinhas ou cálculos, de onde vem nossa palavra calcular, mas na época de Euclides surge completa mudança de ponto de vista. As grandezas não são associadas a números ou pedras, mas a segmentos de reta. (BOYER, 1994, p. 56)
Com o desenvolvimento sócio-político das cidades-estado da
Grécia e o aparecimento da dialética houve a necessidade de uma base racional
para os estudos, especialmente a matemática grega passou por modificações na
13
época de Platão, pois teve a influência dos argumentos de Zeno e a descoberta da
incomensurabilidade, no que se refere à dedução, seja ela provida da lógica ou da
própria dialética.
Estas modificações propiciaram que a álgebra geométrica
assumisse o lugar da antiga álgebra aritmética, acontecendo assim,
A dicotomia entre número e grandezas contínuas exigia um novo método para tratar a álgebra babilônia que os pitagóricos tinham herdado. (BOYER, 1994, p. 57)
Desta forma, na álgebra geométrica não se podia mais somar segmentos com
áreas, áreas com volumes. Como por exemplo, nos antigos problemas
babilônicos, onde era dada a soma e o produto de dois lados de um retângulo se
pediam as suas dimensões. Deveria se observar à homogeneidade dos termos,
operando cada unidade de medida com os seus respectivos.
Em uma equação deveria haver estrita homogeneidade dos
termos conforme as formas normais mesopotâmicas, xy = A, x ± y = b, as quais
deviam ser interpretadas geometricamente. Significando a construção de um
retângulo de altura desconhecida x sobre um segmento dado b e a sua área A.
Quando pensamos em Os elementos de Euclides muitas vezes, só
pensamos em geometria, mas Euclides dedicou uma parte de sua obra para tratar
da álgebra geométrica, principalmente na construção da solução das equações
quadráticas, através do processo conhecido como “a aplicação de áreas” no
desenvolvimento dos conteúdos algébricos.
14
2.3. A Interface da Álgebra com a Geometria
Visitando os teóricos matemáticos, percebemos que a álgebra
geométrica grega poderia ser utilizada como uma importante ferramenta, pois
propicia uma interessante interface entre a Álgebra e a Geometria.
Acreditamos que
No momento que o aluno faz a leitura do problema e traduz para o desenho ou montagem, ele está desenvolvendo as regras e as fórmulas sem precisar delas, resolvendo apenas pelo cálculo geométrico, [...] pois é, neste momento, que o aluno percebe o significado de cada regra ou fórmula, tendo assim um aprendizado por inteiro da álgebra.
(PAULA, 1998, p. 190)
A utilização de figuras planas como materiais manipuláveis para
representar concretamente o cálculo de área, perímetro, dimensões na resolução
de situações-problema que envolva as operações com polinômios, especialmente
os produtos notáveis, fatoração e a resolução geométrica da equação do 2º grau,
vem corroborar com o processo ensino-aprendizagem.
Vemos que
[...] Através da álgebra geométrica podemos integrar os conteúdos de 7ª e 8ª séries do 1º grau, dando aos aluno condição de resolver um problema que envolva produtos notáveis, por exemplo, que por sua vez, vai resultar em um equação do2º grau, que será resolvida pelo cálculo geométrico [...]. (PAULA, 1998, p. 191)
Ao sistematizarmos a álgebra geométrica grega como ferramenta
na resolução de problemas, sentimos a necessidade de estruturar de uma forma
diferenciada a idéia subtrativa nos diversos cálculos algébricos, para deixar a sua
representação geométrica mais clara e significativa para o aluno.
15
3. DESENVOLVIMENTO METODOLÓGICO
Na matemática como em outras áreas um elemento importante para
o seu desenvolvimento é a criatividade. Uma pessoa é considerada criativa
quando ela tem a capacidade de imaginar, pensar sobre as formas para resolver as
diversas situações-problemas sejam elas matemáticas ou não. Para os gregos a
resolução de problema significava 'pensar sobre o pensamento', como por
exemplo, quando vamos jogar um game temos que pensar nas estratégias a serem
utilizadas. Este pensar, planejar as estratégias é a metodologia empregada.
Almejando a articulação entre os conteúdos estruturantes das
Geometrias e da Álgebra experimentamos uma nova postura na sala de aula,
assumindo um novo paradigma. Somos sabedores que toda mudança merece um
tempo de amadurecimento das idéias, reformulação de caminhos, reorganização
de materiais, adoção de diferentes metodologias, sem perder de vista os
pressupostos da Educação de Jovens e Adultos.
Desenvolvemos uma pesquisa composta pelas dimensões do
princípio científico e do princípio educativo.
Na condição de princípio científico, pesquisa apresenta-se como a instrumentalização teórico-metolodógica para construir conhecimento. Como princípio educativo, pesquisa perfaz um dos esteios essenciais da educação emancipatória, que é o questionamento sistemático crítico e criativo. (DEMO, 1996, p. 33)
Acreditamos que a História da Matemática instrumentaliza
teórico-metodologicamente a construção do conhecimento oportunizando
16
momentos de reflexão e investigação exploratória sobre o conhecimento e as
experiências vivenciadas e acumuladas pela humanidade.
A História da Matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação das situações-problema, na busca de referências para compreender melhor os conteúdos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos. (DCEs-MATEMÁTICA, 2009, p. 66)
Nesta perspectiva aplicamos a metodologia da Resolução de
Problemas, trabalhando com os alunos situações-problema envolvendo operações
com polinômios, especialmente os produtos notáveis, fatoração e a representação
geométrica da equação do 2º grau. Visando desenvolver o hábito da analise das
situações de seu cotidiano, tornando-os protagonista do saber.
O trabalho todo, se resume, em ler o problema apresentado, traduzir para a representação geométrica, através da leitura gráfica, montar o cálculo geométrico, resolvendo e analisando os resultados, levando em consideração a situação apresentada. (PAULA, 1998, p. 191)
Este protagonismo requer um ensino matemático mais
significativo, que segundo das DCEs-Matemática (2009, p.45) no qual “[...]
consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e
construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de
estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar”. Demonstrando
apropriação do conhecimento desenvolvido, compreensão dos conceitos
geométricos e algébricos necessários para a realização das situações-problema.
Trabalhamos com a concepção da resolução de problema
apresentada nas DCE-s de Matemática por Dante e Polya,
17
[...] Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a resolver a questão proposta. [...] As etapas da resolução de problemas são: compreender o problema; destacar informações, dados importantes do problema, para a sua resolução; elaborar um plano de resolução; executar o plano; conferir resultados; estabelecer nova estratégia, se necessário, até chegar a uma solução aceitável. (DCEs-MATEMÁTICA, 2009, p. 63)
George Polya3 (1897 – 1985) nascido na Hungria, um dos mais
importantes do século XX, devido à situação política da Europa na época da
segunda guerra mundial tornou-se pesquisador da Universidade de Stanford nos
Estados Unidos. Pesquisou vários campos da matemática e fez várias
publicações, sempre voltado à heurística da resolução de problemas matemáticos.
Ele considerava a Matemática uma Ciência Observacional, onde a observação e a
analogia são fundamentais no processo criativo os quais vêem corroborar com o
processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
No Brasil, o Professor Dr. Luiz Roberto Dante, nos diz “[...] um
caminho bastante razoável é preparar o aluno para lidar com situações novas,
quaisquer que sejam elas.”, ele é autor de várias obras como também da Didática
da Resolução de Problema.
Segundo Polya e Dante a resolução de problemas se desenvolve em
quatro etapas.
� 1ª etapa – Compreensão do problema;
� 2ª etapa – Construção de uma estratégia de resolução;
� 3ª etapa – Executando a estratégia;
� 4ª etapa – Revisando a solução.
3- Texto parafraseado do Artigo: Problemas matemáticos: caracterização, importância e estratégias de resolução. www.ime.usp.br/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf-Similares - pesquisado em 08/02/2010.
18
Aplicando estas etapas na sala de aula, podemos dizer que a
resolução de problemas matemáticos também propicia a desenvoltura na
resolução de problemas do cotidiano, pois, sempre estamos analisando,
planejando estratégias, buscando soluções para as situações que se apresentam
em nossas vidas.
Para a elaboração do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola,
do Material Didático-Pedagógico = Unidade Didática para a implementação na
escola, recorreremos a História da Matemática, em outras bibliografias, nesta
ação de pensar o pensado fizemos os recortes necessários para fundamentar e
estruturar o nosso objeto de estudo.
4. IMPLEMENTAÇÃO NA ESCOLA
Realizamos a implementação do nosso Projeto de Intervenção na
Escola com alunos do PROEDUSE do Centro de Sócio Educação de Ponta
Grossa uma APED/Especial do CEEBJA “Prof. Paschoal Salles Rosa” – Ensino
Fundamental e Médio na modalidade de Educação de Jovens e Adultos.
A implementação aconteceu em 8 encontros com 4 horas/aula cada
um, num total de 32 horas/aula. Em cada encontro desenvolvemos uma ação
referente aos conteúdos propostos suas atividades, em todos os momentos
19
ocorreram a avaliação diagnóstica objetivando o resgatar dos conceitos não
compreendidos, houve também momentos dedicados para a avaliação avaliativa.
Na Ação 1 – Linguagem Algébrica: Conceitos geométricos e
algébricos. O desenvolvimento desta ação se fez necessária para suprir a
defasagem curricular dos alunos que tinham parado de estudar a algum tempo.
Deste modo, organizamos duas atividades complementares. A primeira chama
Conceitos Geométricos, na qual desenvolvemos os conceitos de perímetro, área e
dimensões das figuras planas. A segunda chama Conceitos Algébricos, tratando
da linguagem algébrica básica, como termos, grau das sentenças algébricas,
classificação algébrica fazendo uma correlação com a classificação silábica da
Língua Portuguesa. Na contextualização exploramos o significado de palavras
com o prefixo mono, di, bi, tri, poli, sempre remetendo a classificação das
sentenças algébricas.
Na Ação 2 – Oficina do Algeoplan. Solicitamos aos alunos que
desenhassem em uma folha de sulfite dois quadrados de tamanhos diferentes. Um
maior e outro menor. Em seguida, pedimos que desenhassem um retângulo com
o comprimento igual a medida do quadrado maior e a largura com a medida do
quadrado menor. Aproveitamos para trabalhar os significados geométricos do
quadrado e do retângulo. Depois das peças desenhadas, passamos a codificar
algebricamente cada uma delas, destacando que o seu valor é igual a sua área.
Por medida de segurança levamos já recortados as peças em EVA que compõem
o algeoplan para que os alunos codificassem cada uma delas. Ressaltando que a
denominação Algeoplan é o resultado da adição das iniciais das palavras:
20
álgebra+geometria+plana. Em seguida trabalhamos as ideias aditiva e subtrativa
que nortearam todo o trabalho da manipulação do algeoplan nas operações com
polinômios e suas representações geométricas.
Na Ação 3 – Os Produtos Notáveis no Algeoplan. Trabalhamos os
conceitos do quadrado da soma, do quadrado da diferença e o produto da soma
pela diferença, ressaltando as ideias aditiva e subtrativa e os significados
geométricos e algébricos nas representações geométricas. Na atividade
Sistematizando os Produtos Notáveis trabalhamos com a formação das regras
utilizando sua representação geométrica.
Na Ação 4 – Resolução de Problemas envolvendo produtos
notáveis. Na atividade Multiplicando Binômios buscamos desenvolver a
propriedade distributiva. Nas situações-problema envolvendo os produtos
notáveis em sua resolução, os alunos utilizaram o algeoplan na construção de sua
representação geométrica, cálculo geométrico, como também aplicação da
propriedade distributiva e regras. Buscando na comparação dos resultados os
seus significados. Nesta ação ocorreu a avaliação avaliativa sobre os produtos
notáveis, onde os alunos além de resolver situações-problemas escolhendo na sua
resolução a utilização do algeoplan, aplicação da propriedade distributiva e
regras. Eles tiveram a oportunidade de elaborar uma situação-problema sobre o
objeto de estudo.
Na Ação 5 – A Fatoração no Algeoplan. Destacamos o significado
do termo fatoração = divisão. Nesta ação o aluno deve separar as peças do
algeoplan correspondente aos termos da sentença algébrica e montar um
21
quadrado ou um retângulo para descobrir as sentenças algébricas que
representam à medida de seu lado e ou a medida de suas dimensões
respectivamente.
Na Ação 6 – Resolução de Problemas envolvendo Fatoração.
Desenvolvemos divisão a polinômios por binômios. Nas situações-problema
envolvendo a fatoração em sua resolução os alunos utilizaram o algeoplan na
construção de suas representações geométricas e cálculos geométricos das
sentenças algébricas que representam à medida do lado do quadrado e da medida
das dimensões do retângulo, conforme a situação-problema proposta. Nesta ação
ocorreu a avaliação avaliativa sobre Fatoração, onde os alunos além de resolver
situações-problemas. Tiveram a oportunidade de elaborar uma situação-problema
sobre o objeto de estudo.
Na Ação 7 – A Equação do 2º Grau no Algeoplan. Retomamos as
ações anteriores, enfatizando a importância da representação no algeoplan das
ideias aditiva e subtrativa. Nesta atividade trabalhamos com os conceitos da
Equação do 2º grau, destacando a diferença entre variável e incógnita, o
significado de coeficiente, a fórmula geral da equação do 2º grau. E a fatoração
para determinar as sentenças algébricas que representam a medida de seu lado e
ou a medida de suas dimensões. A busca de par de fatores com produto igual
área da figura envolvida. Igualando-os com as sentenças algébricas que
determinar a raiz positiva da equação do 2º grau. Com o valor de x determinar a
medida de seu lado e ou a medida de suas dimensões.
22
Na Ação 8 – Resolução de Problemas envolvendo a Resolução
Geométrica da Equação do 2º Grau. Elaboramos situações-problema envolvendo
a resolução geométrica da equação do 2º grau, os alunos com auxílio do
algeoplan desenvolveram as situações-problema executando o passo a passo da
resolução geométrica da equação do 2º grau. Nesta ação ocorreu a avaliação
avaliativa sobre a resolução geométrica da equação do 2º grau, os alunos além de
resolver situações-problemas, tiveram a oportunidade de elaborar uma situação-
problema sobre o objeto de estudo.
Acreditamos que a interface entre os conceitos geométricos:
medidas das dimensões das figuras planas, cálculo de perímetro e área com os
conceitos algébricos: as operações com polinômios, especialmente os produtos
notáveis, fatoração e a resolução geométrica da equação do 2º grau, pode
colaborar para a construção de uma aprendizagem significativa.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Podemos dizer que o desenvolvimento e execução desse projeto
de intervenção na escola teve dois momentos importantes. O primeiro na
realização da fundamentação teórica tivemos a oportunidade de sistematizar uma
grade curricular para o ensino da matemática da fase II do Ensino Fundamental
23
na modalidade da EJA. O segundo a elaboração da Unidade Didática para o
desenvolvimento do objeto de estudo.
Ao adiantarmos a resolução geométrica da Equação do 2º Grau
para o Bloco 5 da Fase II da modalidade da EJA, ou seja, a 7ª série do ensino
regular do Ensino Fundamental, vemos um salto qualitativo no processo ensino-
aprendizagem, pois permite ao aluno a visualização da continuidade do ensino da
matemática, integrando os seus diversos conteúdos estruturantes e diferenciando
operação algébrica, de expressão algébrica, de equação algébrica.
Esta nossa afirmação está embasada nas respostas e resoluções
dos alunos participantes da implementação do projeto de intervenção na escola,
faz se necessário ressaltar que houve momentos de discussão entre os alunos e a
professora sobre esse ir e vir dos conteúdos matemáticos. Onde um dos alunos
perguntou “Professora! a operação com polinômios dá uma expressão ou
equação algébrica?”, outro completou “Se temos uma equação algébrica
podemos chegar nos polinômios”, houve aquele que disse “Professora, eu vou
usar todos esses cálculos, pois a senhora está falando de área, eu quero ser
engenheiro, então, tenho que aprender bem!”
Lançamos mão das seguintes questões: Por que quando falamos
de expressões temos que citar se elas são aritméticas ou algébricas? Será que
existem equações aritméticas?
Em vários momentos retomamos essas discussões, objetivando a
fixação dos conceitos desenvolvidos e suas relações. E quando estávamos
24
discutindo: O que é uma equação? Um dos alunos falou “Professora! As
equações é o fim, né”.
Sentimos a necessidade de montar o esquema abaixo no quadro
de giz, para ilustrar a continuidade da aritmética e da álgebra.
A corrente da aritmética.
Para sistematizarmos esses conceitos utilizamos os elos de uma
corrente para representar a continuidade de suas ligações. Procurando deixar
claro que esta corrente ainda não acabou. Colocando assim, o elo da função.
A corrente da álgebra
Oportunizamos aos alunos momento de elaboração de situação-
problema envolvendo o conteúdo avaliado. No qual se saíram bem.
Concluímos a intervenção na escola considerando os resultados
muito positivo, pois foi visível a desenvoltura dos alunos com a manipulação do
algeoplan na resolução das situações-problema propostas e das situações-
problema por eles elaboradas. Dentre todos os alunos consideraram como
situação-problema mais difícil aquela que tratou da multiplicação e soma de dois
Termos
x², –3x, 5,...
Operação 2(x – 3)=
Expressão algébrica x² – 3x =
Equação algébrica x² – 3x =10
Função algébrica y = x² – 3x
Operação (x + 2)( x – 3)=
Expressão algébrica x² – x – 6 = Equação algébrica
x² – x – 6 =14 Função algébrica y = x² – x – 6
Números 1,2,3,...
Operação 1 + 1 = 2
Expressão Aritmética 2 X 3 – 1 =
Resultado 2 X 3 – 1 = 5
25
números, pois tivemos que elaborar uma tabela no quadro de giz para sua melhor
compreensão.
Pensamos que o objetivo geral desse projeto foi atingido,
especialmente com o desempenho dos alunos e seus comentários durante as
atividades, “Olha Professora, eu não preciso mais do algeoplan, já aprendi a
montar a representação geométrica, não gostei das regras” e outro “Eu montei
só para mostrar para a professora que ficou diferente dos outros. Ficou diferente
né Professora”. Uma das características que temos percebido nos alunos em
privação de liberdade é a baixa estima, a carência afetiva e que um elogio para
eles é muito importante, sentir que são capazes de superar as suas limitações.
Sempre digo para os meus alunos, sou uma professora caçadora
de olhos, pois, o sorriso dos olhos fortifica a alma. E ao darmos à oportunidade
para que eles se expressem, se mostrem, que tenham a coragem de ousar mesmo
na resolução de uma situação-problema de matemática, recebemos em troca
“Professora, viu! eu montei o algeoplan e resolvi sozinho, entendi tudo”, e seus
olhos estão sorrindo com duas estrelas no firmamento, é muito gratificante. Desta
forma, ousamos dizer ocorreu uma aprendizagem significativa.
Encerramos este Programa de Desenvolvimento Educacional com
saldo positivo de conteúdos teórico metodológico e afetivo, pois acreditamos que
o redimensionamento do olhar desses alunos nunca será o mesmo.
26
6. AGRADECIMENTOS
Agradeço a Secretaria de Estado da Criança e Juventude na
pessoa de sua Secretaria Thelma Alves de Oliveira pela autorização para a
implementação deste projeto de intervenção na escola, com alunos do
PROEDUSE do Centro Sócio Educação de Ponta Grossa.
Agradeço a equipe administrativa, pedagógica da Unidade do
Centro Sócio Educação de Ponta Grossa na pessoa de sua Diretora Gláucia
Cordeiro Renna por ter proporcionado condições de segurança e trabalho para a
realização desta implementação.
Agradeço a equipe administrativa, pedagógica e docente do
PROEDUSE do Centro Sócio Educação de Ponta Grossa pela colaboração nesta
implementação.
Agradeço ao Prof. Josnei Francisco Peruzzo pela sua dedicação
na orientação do nosso PDE.
Agradeço a toda equipe do Núcleo Regional de Ponta Grossa,
especialmente nas pessoas do Prof. Adriano Onuki, Profa. Elisabete Feld, Profa.
Lucimara Gomes Garcia que andaram de mãos dadas conosco, nos incentivando
dando apoio para a realização das atividades.
Agradeço a toda a equipe do PDE da Universidade Estadual de
Ponta Grossa, na pessoa da Profa. Jeane Silvane Eckert Mons pela organização
dos eventos e costumeira atenção dispensada.
27
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BAUMGART J. K., Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula - História da Álgebra. São Paulo: Atual, 1992. BOYER, C. B., História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974. DANTE, L. R., Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2002. DEMO, P. Pesquisa e construção do conhecimento. Rio de Janeiro: Tempo Brasileiro, 1996. IFRAH, G., Os números: A história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1989. HOWARD, E., Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.
LORENZATO, S., Para aprender matemática. Campinas: Autores Associados, 2006. PAULA, E., Álgebra Geometrizada. VI Encontro Nacional de Educação Matemática. São Leopoldo: SBEM, 1998. POLYA, G., A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. SEED - Secretaria de Estado da Educação do Paraná. DCEs-Matemática Diretrizes Curriculares da rede pública de Educação Básica do Estado do Paraná. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/portal/diretrizes/pdf/t_matematica.pdf - Acesso em 29/09/2009. SEED - Secretaria de Estado da Educação do Paraná. DCEs-EJA Diretrizes Curriculares da Educação de Jovens e Adultos do Estado do Paraná. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/portal/diretrizes/pdf/t_eja.pdf - Acesso em 29/09/2009.
28
SITE – Texto sobre Bhaskara. Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html - Acessado em 21/08/2009. SITE – Texto sobre Resolução de Problemas Matemáticos em: www.ime.usp.br/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf-Similares - Acessado em 08/02/2010.
