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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ.
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS.
FACULDADE DE MATEMÁTICA.
Giovanni Almeida Marques.
INVESTIGAÇÃO HISTÓRICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA: OS NÚMEROS FIGURADOS PLANOS.
BELÉM - PA
2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ.
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS.
FACULDADE DE MATEMÁTICA.
Giovanni Almeida Marques
INVESTIGAÇÃO HISTÓRICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA:
OS NÚMEROS FIGURADOS PLANOS.
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado em Matemática pela Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Pará.
Orientador: Prof. Dr. João Cláudio Brandemberg Quaresma
BELÉM-PA
2014
CERTIFICADO DE AVALIAÇÃO.
GIOVANNI ALMEIDA MARQUES.
INVESTIGAÇÃO HISTÓRICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA: OS NÚMEROS FIGURADOS PLANOS.
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado em Matemática, pela Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Pará, julgado pela seguinte banca examinadora:
________________________________________________
Prof. Dra. Amanda Suellen Sena Corrêa Leão.
Faculdade de Matemática, UFPA.
________________________________________________
Orientador: Prof. Dr. João Cláudio Brandemberg Quaresma.
Faculdade de Matemática, UFPA.
_________________________________________________
Prof. M.Sc. José Augusto Nunes Fernandes.
Faculdade de Matemática, UFPA.
DATA DA AVALIAÇÃO: ____/____/____
CONCEITO: ______________________________
Dedicatória
À Deus, pela força e sabedoria, assim
como a minha estimada família pelo
incentivo e apoio ao longo de
minha trajetória acadêmica.
Agradecimentos
À Deus, pelo dom da vida e por estar ao meu lado em todos os momentos,
me dando força para superar as dificuldades, me concedendo sabedoria e
iluminando sempre meus caminhos.
Ao professor João Cláudio Brandemberg Quaresma, pela amizade, seriedade,
paciência e ao conhecimento que adquiri mediante a orientação deste trabalho.
Aos professores Amanda Suellen Sena Corrêa Leão e José Augusto Nunes
Fernandes, por aceitarem avaliar este trabalho e contribuir para a melhoria do
mesmo.
À minha família, principalmente a minha mãe Denize, minha avó Lourdes e
minha irmã Aline, que sempre me apoiaram e acreditaram em meu potencial, assim
como respeitaram minha vontade de vencer todos os obstáculos para chegar neste
instante tão especial que estou vivenciando.
Aos meus colegas de trabalho, Fábio, Gleisiane, Herculano e Eva que a todo
instante me transmitem uma força positiva, no exercício de nossa profissão nos
laboratórios de ensino do Curso de Enfermagem, na Universidade do Estado do
Pará (UEPA).
À Darciane, minha namorada, pelo o amor, carinho e atenção doada, além de
ser um modelo para mim de estudo e dedicação.
À Universidade Federal do Pará por ter aberto portas e por estar me dando
agora a oportunidade de uma profissão.
À Faculdade de Matemática por oferecer um curso de Licenciatura em
Matemática de grande renome em toda região amazônica, me capacitando ter uma
ótima qualificação.
A todos os colegas e amigos que caminharam comigo nesta importante etapa
de minha vida acadêmica.
A todos os professores da Faculdade de Matemática que contribuíram com a
minha formação ao longo destes cinco anos.
A todos que aqui não citados, mas que estiveram ao meu lado e torceram por
mim para a conclusão deste curso de graduação.
"Todas as coisas são números."
(Pitágoras)
ResumoNeste trabalho, temos como objetivo descrever e apresentar propostas de atividades em sala de aula, com foco na metodologia de investigação histórica no ensino de Matemática. A preocupação central do trabalho está relacionada com a exploração dos conceitos, propriedades e relações fundamentais dos números figurados planos, de forma que leve a uma reflexão da História com a aprendizagem do conteúdo em Matemática, e assim se torne uma importante ferramenta didática. Essas atividades envolvem os alunos em um trabalho dinâmico em que os mesmos têm a oportunidade de formular questões, fazer conjecturas e de compartilhar com os colegas os resultados dos trabalhos. No desenvolvimento do trabalho, o papel do professor é apenas o de mediador e assim, os alunos passam a ser responsáveis pela construção do conhecimento.
Palavras- Chave: atividades, investigação, Matemática, números, alunos
AbstractIn this work, we aim to describe and present proposals for investigative activities in the classroom, focusing on historical research methodology in the teaching of mathematics. The central concern of the work is related to the exploration of the concepts, properties and fundamental relations of numbers figured plans so that leads to a reflection of history with learning mathematics content, and thus become an important teaching tool. These activities involve students in a dynamic work in which they have the opportunity to ask questions, make conjectures and to share with colleagues the results of the work. In developing this work, the teacher's role is only that of a facilitator and so, students become responsible for the construction of knowledge.
Keywords: activities, research, math, numbers, students
Lista de FigurasFigura 1: O tetractys................................................................................................22Figura 2: O surgimento dos números triangulares..................................................25Figura 3: O surgimento dos números quadrados....................................................25Figura 4: O surgimento dos números pentagonais.................................................26Figura 5: Decomposição em dois números triangulares.........................................26Figura 6: Formação do gnomon..............................................................................27Figura 7: Sucessão de gnomons............................................................................29Figura 8: Os cinco primeiros números figurados triangulares................................32Figura 9: O quarto número triangular.....................................................................32Figura 10: O primeiro número triangular................................................................33Figura 11:T 4 e T 5 com o gnomon destacado........................................................33Figura 12: O gnomon de um retângulo..................................................................34Figura 13:Triângulo de Pascal..............................................................................35Figura 14: O interior de T 4e de T 5.........................................................................36Figura 15: Triângulos nos números triangulares...................................................36Figura 16: Número quadrado.................................................................................37Figura 17: Os quatro primeiros números quadrados.............................................37Figura 18: O primeiro número quadrado...............................................................37Figura 19: O gnomon de um número quadrado....................................................38Figura 20:Q5=T 5+T 4.........................................................................................38Figura 21:Q5=2Q4+5........................................................................................39Figura 22: Uma decomposição do quadrado.........................................................40Figura 23: Números retangulares do primeiro tipo.................................................40Figura 24: O gnomon de um número retangular....................................................41Figura 25: Uma decomposição do número retangular...........................................41Figura 26: Números retangulares do segundo tipo................................................41Figura 27: Uma decomposição de R4....................................................................43Figura 28:R4=(Ob)4+4......................................................................................43Figura 29: Pentágonos encaixados........................................................................44Figura 30: O gnomon de um número pentagonal...................................................44Figura 31: Os cinco primeiros números pentagonais.............................................45Figura 32: Decomposição de um número pentagonal............................................45Figura 33: Hexágonos encaixados.........................................................................46Figura 34: Os cinco primeiros números hexagonais..............................................46Figura 35: O gnomon de um número hexagonal....................................................47Figura 36: Uma decomposição de um número hexagonal.....................................48Figura 37: Conjectura geométrica em torno do número hexagonal.......................48Figura 38: Diagrama explicativo............................................................................56Figura 39: Diagrama generalizado ........................................................................57Figura 40: Decomposição de um número pentagonal e suas relações com os números triangulares e quadrados.........................................................................59Figura 41:Quadro demonstrativo com números triangulares e quadrados...........75Figura 42: Representação dos números triangulares, usando latas......................76Figura 43: Representação geométrica de um número triangular, usando bolas de bilhar.......................................................................................................................77Figura 44: Relação entre o número quadrado e o número triangular, usando bolas de gude........................................................................................................................77
Figura 45: Decomposição do número quadrado com bolas de gude................78Figura 46: Número triangular usando tabuleiro de xadrez................................78Figura 47: Número quadrado usando tabuleiro de xadrez................................79Figura 48: Números triangulares com cubinhos de madeira.............................82Figura 49: Números quadrados com cubinhos de madeira..............................82Figura 50: Números triangulares com pontos ligantes.....................................83Figura 51: Números quadrados com pontos ligantes......................................83Figura 52: Observação de propriedade de número quadrado, por meio de pontos ligantes............................................................................................................84Figura 53: Formulário de preenchimento 1 apresentado ao aluno.................85Figura 54: Formulário de preenchimento 2 apresentado ao aluno.................85
Conteúdo
INTRODUÇÃO......................................................................................................... 13
CAPÍTULO 1: A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A HISTÓRIADA MATEMÁTICA...........................................................................................................15
1.1 Panorama Geral .............................................................................................15
1.2 A História da Matemática e sua origem .........................................................16
1.3 A História da Matemática, como uma ferramenta metodológica da Educação Matemática ...............................................................................................................18
CAPÍTULO 2: NÚMEROS FIGURADOS PLANOS..........................................21
2.1 Os números e sua origem grega, segundo a filosofia pitagórica....................21
2.2 O surgimento dos números figurados planos.................................................23
2.3 Não há um teorema de “Pitágoras” e sim triplas pitagóricas..........................28
2.4 Os números pares e ímpares..........................................................................31
2.5 Propriedades Fundamentais dos números figurados planos..........................31
2.5.1 Números Figurados Triangulares..........................................................32
2.5.2 Números Figurados Quadrados............................................................37
2.5.3 Números Figurados Retangulares........................................................40
2.5.4 Números Figurados Pentagonais..........................................................44
2.5.5 Números Figurados Hexagonais...........................................................46
2.6 Relações Fundamentais dos Números figurados............................................48
CAPÍTULO 3: EXPLORANDO OS NÚMEROS FIGURADOS PLANOS POR MEIO DE ATIVIDADES HISTÓRICAS E INVESTIGATÓRIAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA...........................................................................................................65
3.1 A Investigação Histórica no Ensino de Matemática........................................65
3.2 A Utilização de Atividades Investigatórias no Ensino de Matemática............68
3.3 Orientações para a ação docente...................................................................70
3.4 Sugestões de atividades de investigação histórica com os números figurados planos........................................................................................................................72
CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................................86
REFERÊNCIAS........................................................................................................87
Introdução
O processo investigatório possui suas particularidades. Na investigação em
História da Matemática, essa particularidade reside na sua capacidade de
proporcionar a prática reflexiva em Matemática e em educação Matemática.
Em História da Matemática, percebemos que a prática investigatória se
desenvolve em diferentes frentes que apresentam como temas principais: o
desenvolvimento histórico de um conceito matemático, biografia de matemáticos, as
relações da Matemática com outras áreas do conhecimento e a aplicabilidade da
História dentro do contexto de sala de aula. Destacamos que o propósito da
investigação em História da Matemática é segundo Lima Filho (2011, p.5):Obter o máximo de subsídios que contribuam com o processo ensino aprendizagem. Naturalmente a pesquisa histórica resgatará a essência da problemática vivida na antiguidade, como essa problemática mobilizou aquela sociedade e como essa essência do passado pode ser conectada com o pensamento e as necessidades na atualidade.
Esta contribuição da investigação em História da Matemática no processo de
ensino e aprendizagem está ligada ao papel da História da Matemática como fonte
teórica de geração de conhecimento matemático. A investigação permite que as
informações históricas sejam “adaptadas”, de modo a serem utilizadas no contexto
de sala de aula, servindo como facilitador de aprendizagem.
Desta forma, nesse trabalho temos uma pesquisa em torno dos números
figurados planos, visualizando a relação que há entre a geometria e os números,
desenvolvendo uma proposta didática que seja de fácil apresentação e aplicação, e
que leve os alunos a refletir os porquês de alguns conteúdos de Matemática e
possam recorrer a algumas ferramentas que estão inseridas no contexto da História
da Matemática.
No primeiro capítulo deste trabalho, iremos discutir em relação à História da
Matemática como uma tendência importante no contexto da Educação Matemática,
dando ênfase a sua origem e seus objetivos, que levam a um bom êxito no processo
de ensino aprendizagem de Matemática, e assim se tornar uma importante
ferramenta metodológica, que permita levar o aluno a participar mais efetivamente
na busca das soluções de suas dúvidas nessa disciplina.
13
No segundo capítulo, faremos uma retrospectiva dentro da História da
Matemática, para situar o cenário do surgimento dos números figurados planos,
onde Pitágoras, juntamente com outros matemáticos de sua época, contribuíram
para essa descoberta. Não deixando de destacar os matemáticos neoplatônicos e
neopitagóricos, que tiveram suma importância no desenvolvimento de propriedades
e relações fundamentais que os regem, e que nos dias atuais são primordiais para a
compreensão de muitos conteúdos vistos em sala de aula de Matemática, que
muitas vezes, causam curiosidade e levam à busca de certos porquês, que
dificultam o processo de aprendizagem.
No terceiro e último capítulo, o foco é mostrar a importância e o uso de
atividades históricas e investigatórias no ensino de Matemática, explorando o ensino
dos números figurados planos, de modo a responder à seguinte questão: é possível
utilizar recursos pedagógicos e a História da Matemática como meio de construção
do conhecimento matemático escolar?
A História da Matemática pode estar presente na sala de aula em vários
contextos diferentes, e pode ser apresentada de forma contextualizada e integrada
com aos conteúdos de Matemática, visando quebrar os esquemas tradicionais, com
uma “nova” forma de ensinar, e assim oferecer informações que possam solucionar
dúvidas e que estimulem à investigação, a partir de situações problemas, sejam elas
materiais ou não, mas que ampliem o seu domínio cognitivo.
14
CAPÍTULO 1
A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
1.1 – PANORAMA GERAL
A Educação Matemática é considerada uma atividade essencialmente pluri e
interdisciplinar, constituindo-se de estudos e pesquisas dos mais diferentes tipos,
cujas finalidades principais são: desenvolver, testar e divulgar métodos inovadores
de ensino; elaborar e implementar mudanças curriculares além de desenvolver e
testar materiais de apoio para o ensino da Matemática (MENDES, 2009).
As relações entre a História da Matemática e a Educação Matemática vêm se
configurando como um fecundo campo de investigação, evidenciando-se dentre as
diversas tendências da Educação Matemática.
Assim, a História da Matemática na formação do professor de Matemática
apresenta-se, nos dias atuais, como uma das principais preocupações de muitos
educadores matemáticos.
Desta forma, a História da Matemática permite compreender a origem das
idéias que deram forma à cultura e observar também os aspectos humanos do seu
desenvolvimento, como por exemplo, os homens que criaram essas idéias e estudar
as circunstâncias em que elas se desenvolveram.
Segundo Siqueira (2007), a Educação Matemática apresenta algumas
tendências pedagógicas, tais como a Modelagem Matemática, Etnomatemática,
Resolução de Problemas, entre outras, destacamos a História da Matemática, por
ter como finalidade, auxiliar o processo de ensino-aprendizagem e o interesse dos
alunos. Com esse trabalho, temos a perspectiva de auxiliar as instituições de ensino
a romper a ideologia que a Matemática é uma ciência que a maioria das pessoas
não consegue aprender por ser abstrata.
A História da Matemática é um dos elementos fundamentais que envolvem
leitura e Matemática. Segundo Lopes (2010), as leituras de textos em aulas de
15
Matemática buscam fazer com que os alunos construam um novo olhar para a
linguagem Matemática. Um olhar que não seja preso a metodologias que estejam
presas a álgebra pura ou a cálculos que muitas vezes apenas professores e poucos
“bons alunos” conseguem resolver.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática de 5ª a 8ª séries
(1998), indicam o uso da História no ensino da Matemática sendo uma forma dos
alunos aprenderem os conceitos matemáticos por meio do passado e do presente,
compreendendo assim a construção de diversas fórmulas na Matemática.
Verificamos a importância do uso da História no ensino da Matemática, pois
segundo Freire (1996), educar é muito mais que realizar a prática da educação
bancária que apenas treina o educando, mas é acima de tudo buscar novas
metodologias de ensino para que a sala de aula de Matemática torne-se um local de
investigação, produção de conhecimentos e de experiências.
Sendo assim, o uso da História da Matemática é fundamental para as práticas
pedagógicas na sala de aula de Matemática, pelo fato do sentido dos fatos
matemáticos estarem presentes na realidade dos alunos.
1.2 - A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E SUA ORIGEM
A Matemática é uma ciência que está na vida do homem desde os tempos
antigos, assim os conhecimentos em História da Matemática permitem compreender
como chegamos aos conhecimentos atuais e o porquê de se aprender um conteúdo,
como estudar desde as necessidades que levaram o homem de uma época a
pensar sobre um assunto, com o objetivo de atender os seus anseios, até as
aplicações práticas nos dias atuais que leva o aluno a se motivar mais, e ter mais
prazer, pois fica sabendo que surgiu do nada, e é fruto de um processo que supriu a
necessidade do homem antigo e o beneficia até hoje, através das tecnologias. Visto
que nossa sociedade tem uma grande tendência a olhar para o futuro, onde
podemos destacar assuntos emergentes, do tipo como, a exploração do espaço e as
revoluções ocasionadas pela cibernética, assim parece se ter pouco interesse no
passado. Na verdade, pode-se indagar: O que o passado tem a proferir a um futuro
professor de Matemática? Segundo Mendes e Fossa (1996), os professores de
Matemática tendem a agir como se a História da Matemática não fosse importante
16
para a aprendizagem dessa disciplina. A Matemática é um assunto técnico, parece
ser o argumento, e, portanto, basta entender os algoritmos para usá-la
corretamente.
Em contrapartida, os apologistas da História e muitos matemáticos afirmam
que o conhecimento histórico desperta o interesse do aluno e tem o poder de
modificar a sua atitude em relação à disciplina, pois a apresenta sob um ângulo de
visão que tem importância para a sua vida.
Nesse contexto, podemos analisar que as construções dos conceitos
matemáticos prontos e acabados surgiram de um longo processo histórico, e que
como cita Kremer (2011, p.3):Conhecendo a História da Matemática percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes resultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram, que foram desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente.
Com esta análise, o educando vai passar a perceber que a Matemática
passou por diversas transformações ao longo do processo histórico, compostas de
erros e acertos, e não como verdades absolutas. Desta forma, notamos que ela
passa a ser uma disciplina com mais significado na vida cotidiana, concreta e real.
Nessa perspectiva, entendemos que, com a História da Matemática, temos a
possibilidade de buscar outra forma de ver e entender a disciplina, tornando-a mais
contextualizada e integrada com as outras disciplinas.
Conforme explica Fonseca e Cardoso (2005), para poder interpretar os
problemas matemáticos, o aluno precisa, acima de tudo, compreender do que se
trata o texto, em uma linguagem clara e coerente. Para ele, ter esta compreensão é
preciso que a leitura e a compreensão de textos sejam bem trabalhadas nas aulas,
seja ela de Matemática ou de língua portuguesa.
Contudo, constatamos uma escassez de materiais disponíveis para a
compreensão dos textos, assim Mendes (2001), nos fala que os livros didáticos de
Matemática muito pouco ou nada apresentam assuntos em relação a da História da
Matemática, reduzidos a biografia de célebres matemáticos, fato este que comprova
o pouco interesse de muitos autores pelas tendências da Educação Matemática.
Consideramos que a organização da disciplina Matemática deve buscar a
interdisciplinaridade e a contextualização para possibilitar ao aluno uma visão mais
ampla sobre essa disciplina, já que o seu ensino-aprendizagem deve permitir ao
17
aluno dar conta de gerir sua vida pessoal e profissional, tomar decisões, ter
condições de enfrentar múltiplos e complexos desafios da vida contemporânea, e
assim, conduzir o aluno de forma a torná-lo apto a enfrentar as novas
transformações da sociedade, contribuindo para deixá-la mais justa, igualitária e
solidária.
1.3- A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO FERRAMENTA METODOLÓGICA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Ensinar Matemática de forma isolada das demais áreas do conhecimento, e
explorar conhecimentos matemáticos apenas como pré-requisitos para depois
ensinar mais Matemática, não contribui muito para a formação do aluno.
Segundo Cavalcante (2002), a Matemática traz grandes contribuições para o
desenvolvimento do aluno, pois ela tem relações estreitas com diversas áreas do
conhecimento e da atividade humana.
Desta forma, é necessário que a História da Matemática, no processo de
aprendizagem, para que esta ferramenta instigue e possibilite um melhor
entendimento do estudo da Matemática. Há um crescente movimento em busca de
novas metodologias de ensino, e a História da Matemática é uma dessas, pois ela
auxilia na construção do conhecimento e na evolução dos conceitos matemáticos. É
importante frisar que a construção do que é estudado hoje, passou por um longo
processo histórico, até chegar a atualidade, e que muitas descobertas que foram
feitas há muito tempo vem sendo usadas hoje, no entanto, este estudo vem a
mostrar que a Matemática vem inovando seu modo de ensinar, para que professores
tenham novas maneiras de transmitir o conhecimento matemático, demonstrando a
partir desses princípios que a Matemática faz parte do cotidiano ao longo da
evolução histórica da humanidade.
A História da Matemática é fundamental para expor como teorias e práticas
em Matemática foram criadas, e cada uma em seu determinado tempo, contribuindo
para o aprimoramento e a valorização do aprendizado matemático,como também
auxiliando a desenvolver uma motivação maior por parte dos alunos em relação ao
que está sendo estudado. De acordo com Groenwald (2004, p.47).
18
O enfoque histórico é uma proposta metodológica que permite ao aluno descobrir a gênese dos conceitos e métodos que aprenderá em aula. Em outras palavras este enfoque permitirá ao aluno fazer relação das idéias Matemáticas desenvolvidas em sala de aula com suas origens. O conhecimento da História da Matemática proporciona uma visão dinâmica da evolução dessa disciplina, buscando as idéias originais em toda a sua essência.
A dissociação entre a Matemática e sua História é extremamente
desagradável por vários razões, onde aqui mencionaremos algumas. Em primeiro
lugar, o conhecimento matemático, em contraste com o de outras ciências, é de
natureza cumulativa. A Matemática é construída, incessantemente, sobre as bases
já construídas. Em conseqüência, o aluno precisa, no processo de aprendizagem,
repensar o que já foi pensado por outros, ou seja, é necessário que o aluno se
aproprie do que já foi elaborado por matemáticos anteriores. Esse processo de
apropriação é semelhante à atividade de escalar uma montanha, pois o professor
pode indicar quais são as trilhas mais apropriadas ou mais fáceis, mas é o aluno que
tem de subi-la com seus próprios esforços. Em conseqüência, a História da
Matemática é, talvez, mais relevante ao ensino da Matemática do que para a maioria
das outras disciplinas. Em segundo lugar, não queremos alunos que saibam apenas
manipular algoritmos com algum sucesso. Queremos alunos que tenham uma
compreensão profunda e crítica das partes da Matemática que estudam.
Segundo Skemp (1976), estes fatos se classificam em duas distinções, como
compreensão instrumental e compreensão relacional. A compreensão instrumental é
o conhecimento mecanizado, que nos permite executar atividades rotineiras com
muito sucesso, no entanto, não contribui muito ao desenvolvimento da capacidade
de enfrentar situações novas, resolver problemas novos ou avaliar situações
complexas. Para tanto, precisa-se das habilidades críticas e metacognitivas da
compreensão relacional. Um exemplo de compreensão relacional seria a
investigação histórica da Matemática, por ser uma atividade que auxilia o
desenvolvimento das habilidades Matemáticas que queremos que sejam alcançadas
por todos os nossos alunos, sejam eles futuros professores de Matemática ou não.
Devemos ressaltar que muitos alunos consideram interessantes os tópicos da
História da Matemática. Assim, a História pode ser usada como um fator motivador
na apresentação de conteúdo novo, podendo isso ocorrer de duas formas distintas,
onde primeiro, a História da Matemática revela as ligações da Matemática com
19
outros aspectos da cultura humana, como já havíamos mencionado anteriormente, e
segundo, onde se lembra que matemáticos anteriores se interessaram por certos
conceitos e problemas. Assim, vários alunos também acharão os mesmos
problemas empolgantes e desafiantes quando se depararem com os mesmos nos
seus estudos. Infelizmente, muitas das tarefas que nós, professores de Matemática,
lecionamos aos nossos alunos são repetitivas, enfadonhas e sem inspiração. A
História da Matemática é uma fonte rica de problemas interessantes e desafiantes
que podem ser incorporados ao ensino da Matemática, especialmente na forma de
atividades de redescoberta ou de resolução de problemas.
Infelizmente, a História da Matemática é frequentemente usada na sala de
aula como uma mera curiosidade ou, ainda pior, como uma maneira de fugir
temporariamente da Matemática. Seu verdadeiro uso como um instrumento
metodológico, porém, somente ocorre quando conceitos e problemas históricos são
integrados na rotina diária da sala de aula e se tornam parte da experiência
Matemática do aluno. As façanhas do passado, pelo menos na Matemática, não são
monumentos a serem admirados pasmadamente; são possibilidades excitantes a
serem vividas e o aluno precisa lidar com elas, analisando-as, avaliando-as e até
tentando melhorá-las.
20
CAPÍTULO 2
NÚMEROS FIGURADOS PLANOS.
2.1 - Os números e sua origem grega, segundo a filosofia pitagórica
Conforme Roque (2012, p. 108), a ciência era dividida, primeiramente em
duas partes: uma que tratava dos números; outra das grandezas. Cada uma era
subdividida em duas outras partes: a aritmética estudava as quantidades em si
mesmas; a música, as relações entre as quantidades; a geometria, as grandezas em
repouso; e a astronomia, as grandezas em movimento inerente. O conhecimento
sobre esse aspecto da doutrina pitagórica vem da Metafísica de Aristóteles, que
viveu aproximadamente dois séculos depois dos pitagóricos e pretendia usar suas
teses para criticar Platão. Para Aristóteles, a filosofia pitagórica, que teria pontos em
comum com a filosofia platônica, parte de uma semelhança estrutural vagaentre as
coisas e números para afirmar que as coisas imitam os números.
Para compreender a verdadeira natureza das coisas existentes, explica
Aristóteles, os pitagóricos se voltavam para os números e as razões das quais todas
as coisas são feitas. Nada podia ser conhecido sem os números. Tanto as
quantidades quanto as grandezas deviam ser finitas e limitadas a fim de servirem de
objeto para a ciência, uma vez que o infinito e o ilimitado, segundo os pitagóricos,
não convinham ao pensamento.
Ainda segundo Aristóteles, deve-se a algum membro da escola pitagórica a
doutrina da dualidade, listadas a seguir: Limitado – Ilimitado; Ímpar – Par; Um –
Muitos; Esquerda – Direita; Macho – Fêmea; Repouso – Movimento; Reto – Curvo;
Luz- Escuridão; Bom – Mau; Quadrado – Oblongo.
Os primeiros termos da dualidade devem serentendidos como a do “melhor”.
A inclusão do Movimento, como segundo termo em uma das dualidades, deve-se a
tudo que é ilimitado, e ao fato que justifica os segundos termos na dualidade, se
justifica aos princípios que são negativos, ou indefinidos. Esse aspecto da filosofia
pitagórica era destacado por Aristóteles para fundamentar sua conclusão de que há
21
uma linha de continuidade entre os pitagóricos e platônicos. De fato, ele usava essa
dualidade de opostos para criticar a separação binária platônica segundo a qual, de
um lado, temos o igual, imóvel e harmônico e, de outro, o desigual, movente e
desarmônico. Enquanto o ilimitado produziaa progressão ao infinito, o crescimento e
a diminuição, a desigualdade e toda a sorte de diferenças entre as coisas que gera.
Segundo os ensinamentos de Aristóteles, podemos conjecturar que os
triângulos retângulos mereciam destaque na doutrina pitagórica, já que são os
únicos a conter um ângulo reto. Mas existiam práticas Matemáticas independentes
da filosofia que usavam triângulos retângulos na soma das áreas, o que forneceria
uma explicação mais empírica para o estudo dessas formas geométricas. Com o fim
de aproximá-los da filosofia platônica, Aristóteles cita os pitagóricos como os
primeiros a considerar a Matemática a partir de princípios, ou seja, os primeiros a
relacionar Matemática e filosofia. A teoria dos números dessa escola seria produto
de seus estudos matemáticos. No entanto, admite-se atualmente que essa teoria
dos números tinha um grande componente não matemático e não seguia uma
estrutura dedutiva.
SegundoRoque (2012) apud. Burket, essa aproximação entre os pitagóricos e
platônicos foi uma construção de Aristóteles. A fim de contestar essa tese, explica-
se que o núcleo da sabedoria para os pitagóricos derivava do tetractys, constituído
pelos números figurados que podem se associar aos nossos 1, 2, 3 e 4, que somam
10, número representado pelo triângulo perfeito, ou também o número do universo,
por representar a soma de todas as possíveis dimensões geométricas.
Figura 1: O Tetractys. Fonte: ROQUE, 2012, p.111
Pois, segundo Boyer (1996), os pitagóricos levaram ao extremo a adoração
pelos números, onde o número 1 é o gerador dos números e o número da razão; o 2
22
é o primeiro número par,ou feminino, o número da opinião; 3é o primeiro número
masculino verdadeiro, o da harmonia, sendo composto de unidade e diversidade,
enquanto o número 4 é o número da justiça ou retribuição indicando o ajuste de
contas; já o número 5 é o número do casamento, união dos primeiros números
verdadeiros feminino e masculino; e o número 6 é o número da criação.
Para Aristóteles, isso indicaria a presença de seres abstratos. Pois a partir do
tetractys, os pitagóricos teriam obtido as entidades abstratas: ponto, reta, plano e
sólido. No entanto, essa tese estava em franca contradição com outra afirmação do
próprio Aristóteles, a saber, que não havia entre os pitagóricos a noção de ponto, no
sentido geométrico do termo. As unidades, desenhadas como pontos nos números
figurados, possuem espessura, na verdade pedrinhas.
Os pitagóricos não separavam os números do mundo físico, como fez Platão,
pois eles viam os números como a natureza profunda de tudo o que podia ser
percebido e mostrar o poder de tornar compreensível a ordem e a harmonia do
mundo empírico. Eles acreditavam que os números apareciam com maior ocorrência
no contexto dos jogos, acompanhados de interpretação e reverência, do que no de
uma pura teoria, de natureza abstrata, caracterizada por um tratamento dedutivo.
Apesar de ser inseparável do ideal filosófico de explicar o mundo por meio de
números, os números pitagóricos não eram entidades abstratas.
2.2 – O surgimento dos números figurados planos
A Matemática atribuída a Pitágoras é uma aritmética de pontinhos, que não se
sabe ao certo se ela é uma criação realmente do próprio Pitágoras e de integrantes
de uma escola antiga chamada de pitagórica,ou dos neoplatônicos e neopitagóricos
da Antiguidade, como Jâmblico, Nicômaco, Teon de Smyrna e Nicomachus de
Gerasa.
A concepção dos pitagóricos sobre a natureza parte da idéia de que há uma
explicação global que permite simbolizar a totalidade do cosmos, e essa explicação
é dada pelos números. O mundo é determinado, antes de tudo, por um arranjo bem
ordenado e tal ordem se baseia no fato de que as coisas são delimitadas e podem
ser distinguidas umas das outras. Quando se diz que as coisas podem ser
distinguidas não significa que elas não possam ser diferentes, e sim separadas
23
umas das outras, logo as coisas do mundo podem ser contadas. Se isso for viável,
ainda que seja muito difícil contá-las, as gotas de água do mar seriam passíveis de
serem contadas, pois para os pitagóricos todas as coisas que compõem o cosmos
gozavam dessa propriedade, o que os levou a considerar que as coisas consistem
de números. Como uma das características principais das coisas reside no fato de
poderem ser organizadas e distinguidas, as propriedades aritméticas das coisas,
para eles, constituem o seu ser propriamente dito, e o ser de todas as coisas é o
número.
Os pitagóricos, contudo, embora sejam vistos como os primeiros a considerar
o número do ponto de vista teórico, e não apenas prático, não possuíam, de fato,
uma noção de número puro. Diferentemente de Platão, os pitagóricos não admitiam
nenhuma separação entre número e corporeidade, entre seres corpóreos e
incorpóreos. Logo, não é lícito dizer que o conceito pitagórico de número fosse
abstrato. De certo ponto de vista, dado seu caráter espacial e concreto, poderíamos
afirmar que os números pitagóricos não eram os objetos matemáticos que
conhecemos hoje, isto é, entes abstratos. Os números figurados dos pitagóricos
eram constituídos de uma multiplicidade de pontos que não eram matemáticos que
remetiam a elementos discretos: pedrinhas organizadas segundo uma determinada
configuração.
Assim, todos os números, ou seres, teriam evoluído a partir do um, onde este
era ao mesmo tempo par e ímpar, ser bissexuado a partir do qual os outros números
se desenvolveram, visto que o par e o ímpar representavam o limitado e o ilimitado.
Par e Ímpar por serem elementos dos números, e já limitado e ilimitado devido a
oposição cósmica primordial por trás do mundo, expresso em números,e assim da
união do par e ímpar, análoga a um casamento, teria sido responsável pela a origem
do mundo. O limitado, princípio positivo, macho, e o ilimitado, fêmea, que existiam
antes de qualquer coisa, e desse casamento surgiu o um, que não consideravam
como um número.
Os números eram divididos em tipos associados aos diferentes tipos de
coisas. Para cada tipo, havia um primeiro, ou menor número, considerado sua “raiz”.
As relações entre os números não representavam, portanto uma cadeia linear na
qual todas as relações internas eram semelhantes. Cada arranjo designava uma
ordem distinta, com ligações próprias. Daí o papel dos números figurados na
24
Matemática pitagórica. Esses números eram, de fato, figuras formadas por pontos,
como as que encontramos em um dado. Não é uma cifra, como 3, que serve de
representação pictórica para um número, mas a delimitação de uma área constituída
de pontos, como uma constelação.
Os primeiros números figurados são dados pelos números triangulares, nos
quais os pontos formam figuras triangulares que são coleções de bolinhas indicando
pedrinhas:
Figura 2: O surgimento dos números triangulares. Fonte: ROQUE, 2012, p.105
Os números triangulares representados na figura 2 podem ser associados aos
nossos números1 ,3 ,6 ,10 ,15e21, que possuem, respectivamente, a ordem
n=1 ,2 ,3 ,4 ,5 e6. Em linguagem usual, o número triangular de ordem né dado pela
soma da progressão aritmética 1+2+3+…+n=n(n+1)2
.
Em seguida, temos os números quadrados, que, em nosso simbolismo,
podem ser escritos como n2 .
Figura 3: O surgimento dos números quadrados. Fonte: ROQUE, 2012, p.106
As configurações da figura 3, podem ser associadas aos nossos números
quadrados 1 ,4 ,9 ,16=12 ,22 ,32 ,42. Para finalizar, segue o exemplo dos números
pentagonais.
25
Figura 4: O surgimento dos números pentagonais. Fonte: ROQUE, 2012, p.106
Na figura 4, os arranjos corresponderiam. Respectivamente, aos nossos
números 1, 5, 12 e 22. É possível enxergar em tais exemplos, a primeira ocorrência
do estudo das sequências numéricas. No entanto, a concepção de sequências dos
matemáticos pitagóricos partia da observação visual, sendo um tipo particular de
aritmética figurada, distinta da praticada hoje. Os números eram considerados uma
coleção discreta de unidades. Dessas configurações numéricas, os pitagóricos
podiam obter, de forma visual, diversas conclusões aritméticas, como:
a) Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares
sucessivos:
Figura 5: Decomposição em dois números triangulares. Fonte: ROQUE, 2012, p.107
b) É possível passar de um número quadrado a um número quadrado
imediatamente maior adicionando-se a sequência dos números
ímpares. Na figura 6, os números são dados pelos contornos em
forma de L, os gnomons dos pitagóricos:
26
Figura 6: Formação do gnomon. Fonte: ROQUE, 2012, p.107
Apesar de os pitagóricos não atribuírem esse significado a tais conclusões,
poderíamos traduzir os enunciados das figuras 5 e 6, para a linguagem atual, e
teríamos, respectivamente, as regras:
a) n=n(n+1)
2+ (n−1 )n
2
b) 12+3=22
22+5=32
….
n2+(2n+1)=(n+1)2
Até aqui, descrevemos como a Matemática pitagórica concebia os números. É
possível distinguir pelo menos três funções diferentes para essas entidades, sobre
as quais as doutrinas pitagóricas foram construídas: designavam posição ou ordem;
determinavam uma forma espacial através dos números figurados, e finalmente
exprimiam razões que permitiam compreender as leis naturais. Trata-se de noções
distintas, que podem ser associadas a Matemáticas diferentes que conviviam no
seio da escola.
Como vimos, para os pitagóricos, todas as propriedades das coisas, bem
como seus modos e seus comportamentos, podiam ser reduzidas a propriedades
que as coisas têm a sua virtude de serem contáveis, Em seguida essas coisas eram
comparadas por meio da razão (logos) entre seus números. O emprego do termo
27
logos em seu sentido matemático, significando razão, é atribuído a Pitágorase devia
designar a comunicação de algo essencial sobre alguma coisa, por exemplo, a
relação 3:4:5 determinava a forma do triângulo retângulo. Mas não apenas os seres
matemáticos eram definidos por razões. A razão exprimia uma relação entre
números que se encontrava escondida em alguma coisa e por meio dessa relação
tal coisa podia ser descrita.
2.3 - Não há um teorema “de Pitágoras” e sim triplas pitagóricas
O enunciado mais famoso associado ao nome de Pitágoras é o teorema que
estabelece uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo: “O
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.” Hoje se sabe
que essa relação era conhecida por diversos povos mais antigos do que os gregos e
pode ter sido um saber comum na época de Pitágoras. No entanto, não é nosso
objetivo mostrar que os pitagóricos não foram os primeiros na Históriaa estabelecer
essa relação. O objetivo é investigar de que modo esse resultado podia intervir na
Matemática praticada pelos pitagóricos, com as características anteriormente
descritas. A demonstração desse teorema, encontrada nos Elementos de Euclides,
faz uso de resultados que eram desconhecidos na época da escola pitagórica. Não
se conhece nenhuma prova do teorema geométrico que tenha sido fornecida por um
pitagórico e parece pouco provável que ela exista.
Roque (2012) apud. Burket afirma que o teorema “de Pitágoras” era um
resultado mais aritmético que geométrico. Quando falamos de aritmética nos
referimos ao estudo de padrões numéricos que estavam no cerne da Matemática
pitagórica e que dizem respeito aos números figurados. Não deve ter havido um
teorema geométrico sobre o triângulo retângulo demonstrado pelos pitagóricos, e
sim um estudo das chamadas triplas pitagóricas. O problema das triplas pitagóricas
é fornecer triplas constando de dois números quadrados e um terceiro número
quadrado que seja soma dos dois primeiros. Essas triplas são constituídas por
números inteiros que podem ser associados às medidas dos lados de um triângulo
retângulo.
28
Figura 7: Sucessão de gnomons. Fonte: ROQUE, 2012, p.113
Provavelmente, os pitagóricos chegaram a essas triplas por meio do gnomon,
que era sinônimo de números ímpares, formados pelas diferenças entre números
quadrados sucessivos. Os gnomons, que podem ser vistos como esquadros,
forneciam uma técnica para a realização de cálculos. Observando a figura 7,
podemos calcular a sequência dos quadrados com o deslocamento do esquadro,
procedimento equivalente a somar a sequência dos números ímpares. Por exemplo,
para obter o 4 a partir do 1, adicionamos o gnomon de três pontos; para obter o 9 a
partir do 4, adicionamos o próximo gnomon, que é o próximo número impar, 5.
Seguindo esse procedimento, chega-se a uma figura na qual o gnomon também é
um número quadrado, constituído por nove pontinhos. Obtém-se, assim, a igualdade
16 + 9 = 25, que dá origem à primeira tripla pitagórica: (3,4,5).
Esses seriam os procedimentos aritméticos usados para se obter as triplas
pitagóricas. Ou seja, a fórmula de Pitágoras pertenceria ao contexto dos números
figurados. Na tradição, poucas triplas são mencionadas e (3, 4, 5) tem um papel
especial, pois 3 é o macho; 4, a fêmea; e 5, o casamento que os une no triângulo
pitagórico.Essa afirmação também encontramos em Alves (2012)apud. Popper
(1972), onde fornece sua perspectiva pessoal, onde menciona que:[...] ao que parece, o fundador da ordem ou seita pitagórica estava profundamente impressionado com duas descobertas, a de que um fenômeno aparentemente qualitativo, como a harmonia musical, dependia de razões numéricas – 1 : 2; 2 : 3; 3 : 4; e a de que o ângulo “reto” refletia as razões numéricas 3 : 4 : 5 ou 5 : 12 : 13 (os lados de um triângulo retângulo). Estas duas descobertas teriam levado Pitagóras à generalização algo fantástica de que todas as coisas são, em essência, números ou proporções, de que o número é a razão, a essência racional das coisas, da sua natureza real (ALVES apud. POPPER, 1972, p.104).
Segundo Proclus, havia dois métodos para se obter triplas pitagóricas: um de
Pitágoras , outro de Platão. O primeiro começa pelos números ímpares. Associando
um dado número ao menor dos lados do triângulo que formam o ãngulo reto,
tomamos o seu quadrado, subtraímos a unidade e dividimos por 2, obtendo o outro
29
lado, que forma o ângulo reto. Para obter o lado oposto, somamos a unidade
novamente ao resultado. Seja 3, por exemplo, o menor dos lados. Toma-se o seu
quadrado e subtrai-se a unidade, obtendo 8, e extrai-se a metade de 8, que é 4.
Adicionando a unidade novamente, obtemos 5, e o triângulo retângulo que
procuramos é o de lados 3, 4 e 5.
O método platônico começa por um número par, considerando um dos lados
que formam o ângulo reto. Primeiro dividimos esse número por 2 e fazemos o
quadrado da metade. Subtraindo 1 desse quadrado, obtemos o outro lado que forma
o ângulo reto e, adicionando 1, o lado restante. Por exemplo, seja 4 o lado.
Dividimos por 2 e tomamos o quadrado da metade, obtendo 4. Subtraímos 1 e
adicionamos 1, obtendo os lados restantes: 3 e 5.
Chegamos à estranha conclusão de que o famoso teorema “de Pitágoras”
era, para a escola pitagórica, um resultado aritmético e não geométrico, cujo
significado ia além do estritamente matemático. O método usado para encontrar
triplas pitagóricas não é suficiente para assegurar a validade geométrica do teorema
“de Pitágoras” em todos os casos. Tal método permite gerar algumas triplas, como
(3, 4, 5) mas não todas as triplas de números que podem medir os lados de um
triângulo retângulo, sobretudo porque essas medidas não são necessariamente
dadas por números naturais.
Ao que parece, os pitagóricos estavam interessados na relação “aritmética”
expressa pela triplas em um sentido particular. Logo, pelo contexto em que esse
resultado intervém, não é possível dizer que o conhecimento aritmético das triplas
pitagóricas seja o exato correlato do teorema geométrico atribuído a Pitágoras, daí
as aspas empregadas aqui ao falarmos do teorema “de Pitágoras”.
Não se sabe, contudo, se no meio grego da época de Pitágoras eram
conhecidas outras provas a partir de uma teoria das razões e proporções simples.
Os triângulos retângulos podiam ser usados para somar áreas e o resultado
expresso pelo teorema “de Pitágoras” podia ser útil por possibilitar encontrar um
quadrado cuja área fosse a soma das áreas de dois quadrados.
30
2.4 – Os números pares e os ímpares
Conforme, Mendes(2006), a categorização do número como sendo par ou
ímpar é uma das classificações historicamente mais antiga de número. Geralmente
se aprende os conceitos de números pares e ímpares através de definições como
um número par é um número que é divisível por 2 ou um número par é um número
que tem 2 como um fator. Tais definições, para um aluno, claramente pressupõem o
conceito de divisão e, portanto, a princípio, não seriam úteis na apresentação da
referida operação no processo de ensino aprendizagem.
Seguindo Teon e Nicomachus, podemos representar números por coleções
de objetos pequenos, como botões ou até sementes, por exemplo, de feijão. Então,
com base nos ensinamentos desses dois neopitagóricos, números pares são os que
podem ser repartidos em dois grupos iguais. Enquanto, os números ímpares, em
contraste, não podem ser repartidos em dois grupos iguais.
2.5 - Propriedades Fundamentais dos Números Figurados Planos
O historiador e matemático Howard Eves (1969, p.53) explica que “os antigos
gregos faziam a distinção entre o estudo das relações conceituais entre os números
e a arte prática de contagem”. Ele recorda que os pitagóricos falavam de números
que pretensamente possuíam propriedades místicas.
Entretanto, nesta seção, nosso objetivo é o estudo dos números figurados
planos que, de acordo com Eves (1969, p. 54) se originaram com os primeiros
membros da sociedade pitagórica. Em essência, os números figurados
apresentavam as ligações entre a Aritmética e a Geometria.
Conforme os comentários de Alves (2012) apud Popper (1972), observamos
as propriedades que surgem a apartir das disposições geométricas, no qual há o
emprego do raciocínio indutivo em alguns argumentos, todavia, não se aplica o
princípio da Indução Matemática que constitui um dos axiomas de Peano (ALVES,
2012 apud. LIMA, 2010, p.34). Além disso, do ponto de vista histórico, os gregos
desconheciam o modelo de verificação e demonstração Matemática baseado na
Indução Matemática, sistematizado pelo matemático Giuseppe Peano (1858-1932).
31
Assim, podemos falar das várias relações notáveis entre os gnomons dos
números poligonais. Embora não sejam evidentes à primeira vista, são inerentes nas
fórmulas recursivas que veremos a seguir, e mais importante para o aluno, nos
registros escritos que deve elaborar, para que possam compreender as
propriedades e relações entre os números figurados planos.
2.5.1 - Números Figurados Triangulares
Os números figurados triangulares são definidos como o número de pontos
que são necessários para formar uma seqüência de triângulos, necessariamente
dispostos na forma de um triângulo eqüilátero, conforme a figura 8.
Figura 8: Os cinco primeiros números figurados triangulares.
Fonte: MENDES, 2006, p.155
Podemos destacar a relação geométrica, como é mostrada na figura 9, por
ligar os centros dos círculos exteriores ou por circunscrever a figura com um
triângulo eqüilátero.
Figura 9: O quarto número triangular. Fonte: MENDES, 2006, p.155
É possível usar outros tipos de triângulos para obter tipos diferentes de
números triangulares, mas isso fica a cargo do aluno se quiser experimentar
32
com os outros. Caso se fizer, este deverá fazer uma listagem das vantagens e
desvantagens de cada tipo.
Conforme mostrou a figura 8, os primeiros cinco números triangulares.
O número 1 é um caso degenerado e, portanto, talvez seja mais eficaz
apresentá-lo inscrito em um triângulo como na figura 10.
Figura 10: O primeiro número triangular. Fonte: MENDES, 2006, p.155
Será interessante informar ao aluno que os pitagóricos consideraram o
1 como o princípio de tudo. Mais adiante, quando abordarmos os números
quadrados , o 1 pode ser apresentado como inscrito em um quadrado (ver
figura 18) que comparado com a figura 10, o que deve esclarecer o conceito.
Um dos mais notáveis aspectos da figura 8 é que os números
triangulares formam uma sequência. Assim, dado um número triangular, há
um próximo na sequência e, portanto, faz sentido usar a notação T n para
designar o n-ésimo número triangular. É também evidente, da figura 8, que
dado um número triangular, o próximo da sequência terá um lado que é uma
unidade a mais. Isso significa que o “gnomon” de um número triangular é o
lado do triângulo anterior mais 1, como ilustrado na figura 11.
Figura 11: T 4 e T 5 com o gnomon destacado. Fonte: MENDES, 2006, p.156
Recordando, que a palavra “gnomon” foi usada originalmente para se
referir ao “ponteiro” de um relógio de sol, ou seja, à parte que fica em pé e
33
cuja sombra marcava a hora. Assim, foi associada à idéia de
perpendicularidade em geral e, em especial, foi usada para significar a região
de forma L, ver a figura 12, que é acrescentada a um retângulo para obter um
retângulo maior, ou visto de outra maneira, a região retirada para obter um
retângulo menor.
Figura 12: O gnomon de um retângulo. Fonte: MENDES, 2006, p.156
Segundo, um termo técnico da Matemática grega, a palavra “gnomon”
significa simplesmente o que é acrescentado ou retirado de uma figura ou um
número figurado para obter a próxima ou a anteriorà ela. Assim na figura 11, o
gnomon que é acrescentado a T 4 para obter T 5 é um lado de T 5, ou seja, um
conjunto de cinco elementos. Esse resultado é completamente generalizado e
pode ser escrito recursivamente da seguinte forma:
T n+1=T n+(n+1)
ondeT n é o triângulo de ordem n e n é a medida do lado do triângulo, ou seja,
o número de pontos que representam o lado.
Porém, se retirarmos uma unidade do sub-índice de T n+1, podemos
generalizar por:
T n=T n−1+n
Por exemplo, para determinar o triângulo de ordem 3, ou seja, T3 teremos:
T 3=T 3−1+3
Assim,34
T 3=T 2+3=3+3=6.
Logo, T3 é o número triangular construído com 6 pontos, e estes
podem ser encontrados na terceira diagonal do triângulo de Pascal.
Figura 13: Triângulo de Pascal.
Fonte: http://pt.wikibooks.org/wiki/Matemática_divertida/Triângulo_de_Pascal
Observando o triângulo de Pascal, podemos também generalizar, para os 7
primeiros números triangulares.
No entanto, deve-se perceber que na construção da sequência dos números
triangulares, estamos somando sucessivamente os números naturais em
ordem. Logo, o n-ésimo número triangular é a soma dos primeiros n números
naturais, ou seja:
T n=∑i=1
n
i
Porém, não é necessário que o aluno, use esse formalismo. Basta usar
a expressão clara e inteligível aos seus pares, e de fácil entendimento para a
sua compreensão.
Seria ótimo, que muitos alunos investigassem os padrões que se
evidenciam nos números triangulares. Mencionaremos aqui, alguns exemplos,
começando com T 4, a seqüência de números triangulares que parece se
35
repetir no interior dos próprios números triangulares, isto é, o interior de T 4 é
T 1 e o interior de T 5 é T 2.
A figura 14, mostra que alguns números triangulares têm uma pedra
central, enquanto outros não a têm. É possível determinar quais têm e quais
não têm pedra central?
Figura 14: O interior de T 4 e de T 5. Fonte: MENDES, 2006, p.158
Os primeiros 10 números triangulares são 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 34,
45, 55,..., o que indica que a seqüência é ímpar, ímpar, par, par, ímpar, ímpar,
par, par e assim por diante. Será que isto continuará para sempre? Na figura
15, ligamos os centros de círculos adjacentes dos cinco primeiros números
triangulares da seqüência acima citada. No caso de T 1, não há círculos
adjacentes e, portanto, o processo não gera triângulo algum. No caso de T 2, o
processo gera um único triângulo, enquanto para T 3, T 4 e T 5 são gerados,
respectivamente 4, 9, 16 triângulos.
Figura 15: Triângulos nos números triangulares. Fonte: MENDES, 2006, p.158
A quantidade de triângulos gerados parece ser sempre um número
quadrado. Podemos conjecturar que o processo gerará para T n,(n−1)2
36
triângulos. Isso demonstra apenas um processo aritmético que transpassa
pela a geometria e a análise combinatória.
2.5.2 - Números Figurados Quadrados
Os números figurados quadrados são definidos como o número de
pontos necessários para formar uma seqüência de quadrados.
Figura 16: Número quadrado. Fonte: MENDES, 2006, p.159
Note que, a sequência de números quadrados é formada pela soma
consecutiva dos números ímpares, como por exemplo,
1+3=4 ;1+3+5=9 ;1+3+5+7=16.
Figura 17: Os quatro primeiros números quadrados.
Fonte: http://www.alunosonline.com.br/matematica/numeros-figurados.html
Assim como os números triangulares, os números quadrados formam
uma sequência e, portanto, usamos Qn para denotar o n-ésimo número
quadrado. Deve ser claro que Qn=n2. De novo, n=1 é um caso degenerado,
que deve ser apresentado conforme a figura 18.
37
Figura 18: O primeiro número quadrado.Fonte: MENDES, 2006, p.159
Dado um número quadrado, pergunta-se qual o gnomon que produzirá
o próximo número quadrado. Inicialmente, precisamos de um quadrado com
uma linha e uma coluna a mais, que conforme a figura 19, nos mostra
novamente um gnomon em forma de L. Contudo, podemos ainda quebrar o
gnomon em 3 partes, como na figura 19, que nos mostra a fórmula recursiva.
Qn+ 1=Qn+2n+1
Lembramos, no entanto, que Qn+ 1=(n+1)2 e Qn=n2, assim obtemos:
(n+1)2=n2+2n+1
Figura 19: O gnomon de um número quadrado. Fonte: MENDES, 2006, p.159
Em primeiro lugar, como a figura 20 nos mostra, todo número
quadrado, maior do que 1, é a soma de dois números triangulares
consecutivos, ou seja,
Qn+1=T n+1+Tn
38
Figura 20: Q5=T 5+T 4. Fonte: MENDES, 2006, p.160
Se retirarmos uma unidade do sub-índice de Qn+1, podemos generalizar
por:
Qn=T n+T n−1
Novamente, se destacarmos a diagonal, o número quadrado será
decomposto em dois números triangulares iguais e um segmento, resultando
na relação aritmética, conforme a figura 21.
Qn+1=2∙ T n+(n+1)
Figura 21: Q5=2 ∙Q4+5. Fonte: MENDES, 2006, p.160
Esta última relação nos sugere uma analogia geométrica, a
decomposição do quadrado em triângulos congruentes, conforme a figura 22.
Observamos que é apenas uma analogia, pois números figurados são objetos
discretos, enquanto figuras geométricas, como o quadrado, são objetos
contínuos. A diferença deve ser levada à atenção do aluno e a razão da
39
diagonal ao lado do quadrado pode ser aproximada através da mensuração
de quadrados com lados diferentes. Note bem, que o aluno não chegará a
uma compreensão imediata dos números reais , porém o preparará para uma
compreensão mais profunda, posteriormente quando estudar geometria plana
axiomática.
Figura 22: Uma decomposição do quadrado. Fonte: MENDES, 2006, p.161
2.5.3 - Números Figurados Retangulares
Os números figurados retangulares são definidos como o número de
pontos necessários para formar uma sequência de retângulos. Sua
configuração caracterizam os números que não representavam quadrados
perfeitos, chamados também de Oblongos.
Os pitagóricos não somente se interessavam em números poligonais
que correspondiam aos polígonos regulares, mas também investigavam
números figurados que correspondiam a retângulos.Analisando rapidamente
duas sequências de números retangulares, onde a primeira inicia com um
segmento de duas pedras, enquanto a segunda inicia com um segmento de
três pedras.
Denotaremos os elementos da primeira sequência por (Ob)n , advindo
de sua denominação de Oblongo. Como pode ser visto, um segmento inicial
da mesma é dado, conforme a figura 23
40
.
Figura 23: Números retangulares do primeiro tipo.
Fonte: MENDES, 2006, p.166
O gnomon de um número retangular é simplesmente o que tem a forma
de L, já encontrada na figura 12. Eles admitem uma decomposição em fatores
consecutivos, como vemos a seguir.
(Ob)n+1=n ∙(n+1)
.A decomposição desse gnomon sugere a relação recursiva, conforme
a figura 24:
(Ob)n+1=(Ob)n+n+(n+1)+1
¿(Ob)n+2 (n+1 ) paran∈N e n≥1
Sendo no lado menor do retângulo(Ob)ne(n+1) o seu lado maior.
Figura 24: O gnomon de um número retangular. Fonte: MENDES, 2006, p.167
Um número retangular desse tipo pode ser decomposto em dois
números triangulares iguais, como mostra a figura 25.
41
Figura 25: Uma decomposição do número retangular.
Fonte: MENDES, 2006, p.167
E isso, nos leva a relação:
(Ob)n=2∙ T n
Se observarmos, por analogia, um retângulo geométrico é decomposto
em dois triângulos congruentes pela diagonal.
Podemos perceber, por exemplo, que o segundo número retangular da
sequência pode ser determinado por(Ob)2=2∙ T 2. Como T 2=3, então
(Ob)2=2∙3=6. Assim também ocorre, para (Ob)3=2∙ T 3, onde T 3=6 , levando a
(Ob)3=2.
A outra sequência de números retangulares que podemos investigar é
a que começa com um segmento de três pedras, em vez de duas. Os
primeiros elementos dessa sequência, que denotaremos por Rn, são
mostradas a seguir na figura 26.
Figura 26: Números retangulares do segundo tipo.
Fonte: MENDES, 2006, p.167
42
Como se verifica, no caso com números retangulares, o gnomon será
dois lados adjacentes do retângulo, o que nos leva a seguinte relação
recursiva:
Rn+1=Rn+2n+3
onden é o lado menor de Rn
Todo retângulo geométrico é decomposto em dois triângulos
congruentes pela diagonal. Mas esse tipo de número retangular, como mostra a
figura 27, não pode ser decomposto em dois números triangulares iguais, que de
fato, corresponde à diagonal nesse tipo de número retangular.
Figura 27: Uma decomposição de R4. Fonte: MENDES, 2006, p.168
O que nos leva a refletir novamente sobre as diferenças entre números
figurados e figuras geométricas. Do ponto de vista educacional, no entanto, o fato de
que as analogias entre a aritmética e a geometria nem sempre nos levam a
resultados corretos, pois as analogias não proporcionam ao aluno, simples exemplos
rotineiros, mas problemas em abertos, que requerem investigação crítica. Assim,
mais uma vez, vemos que a Históriada Matemática nos conduz a atividades
substanciais, que podem aguçar o interesse do aluno.
Observemos, que apartir da figura 27, isso nos leva a uma relação
interessante:
Rn=2∙ T n+n
Lembrando que (Ob)n=2∙ T n, obtemos a seguinte relação,conforme a figura
28, entre os dois tipos de números retangulares:
43
Rn=(Ob)n+n
Figura 28: R4=(Ob)4+4. Fonte: MENDES, 2006, p.168
Há outros tipos de números retangulares que podem ser investigados pelos
alunos em sala de aula.
2.5.4 - Números Figurados Pentagonais
Os números figurados pentagonais são definidos como o número de
pontos necessários para formar uma sequência de pentágonos.
Segundo as noções de Geometria Plana, os polígonos regulares de
lado n existem para todo número natural maior que 2. Assim, para cada n do
tipo mencionado, podemos construir uma sequência de números n-gonais.
Para enfatizar as analogias geométricas, podemos construir as referidas
sequências, tomando os polígonos encaixados, em que cada ponto está a
uma distância de uma unidade do ponto vizinho, como mostra a figura 29,
para os casos depentágonos. Observe que sempre o primeiro número da
sequência é 1
44
Figura 29: Pentágonos encaixados.
Fonte: http://www.atractor.pt/mat/numeros/pentagonais/
.
Para os pitagóricos, o gnomon dos números pentagonais consistia de 3
lados, e este podia ser decomposto em 4 partes, como mostra a figura 30, o
que nos leva a seguinte relação aritmética:
Pn+ 1=Pn+3 ∙n+1
Figura 30: O gnomon de um número pentagonal. Fonte: MENDES, 2006, p.163
A seguir, temos a sequência dos cinco primeiros números pentagonais,
que são exibidos na figura 31.
Figura 31: Os cinco primeiros números pentagonais. Fonte: MENDES, 2006, p.163
Onde podemos ver, por exemplo, a sequência de números figurados
pentagonais, considerando que o primeiro é dado por um ponto, e o segundo
número dado por:
P2=P1+3 ∙1+1, ou seja, P2=1+4, logo, P2=5
Conforme a figura 32 nos mostra , um número pentagonal pode ser
decomposto em um número quadrado e um número triangular, o que deduz a
relação:
45
Pn+ 1=Qn+1+T n
Lembrando, que os números quadrados são compostos de dois
números triangulares, obtemos:
Pn+ 1=(T ¿¿n+1+T n)+T n=T n+1+2 ∙T n ¿
Figura 32: Decomposição de um número pentagonal. Fonte: MENDES, 2006, p.163
Partindo dos resultados aritméticos, podemos conjecturar, por analogia,
que o pentágono regular pode ser decomposto em um quadrado e um
triângulo, ou em três triângulos. No entanto, cabe então ao aluno investigar a
veracidade dessas conjecturas, onde com o auxílio do professor terá a
oportunidade de definir a diferença entre o discreto e o contínuo, mas também
é uma ocasião para conversar um pouco sobre a noção de demonstração,
para que fique esclarecido essas relações gnomonicais entre os números
figurados.
2.5.5 - Números Figurados Hexagonais
Os números figurados hexagonais são definidos como o número de
pontos necessários para formar uma seqüência de hexágonos.
Como, o primeiro número figurado hexagonal é sempre um, ou seja,
um ponto. O segundo é o número de pontos necessários para construir o
polígono menor. O terceiro é construído a partir do anterior, acrescentando
um ponto a cada lado e, depois, completar até construir o resto do polígono.
46
Figura 33: Hexágonos encaixados.
Fonte: http://www.atractor.pt/mat/numeros/hexagonais/
Qualquer número hexagonal é também um número triangular e, portanto
também são encontrados na terceira diagonal do triângulo de Pascal.
Figura 34: Os cinco primeiros números hexagonais. Fonte: MENDES, 2006, p.164
A figura 34 nos mostra um segmento inicial da sequência dos números
hexagonais.
Figura 35: O gnomon de um número hexagonal.Fonte: MENDES, 2006, p.164
O gnomon desses números é quatro lados, conforme mostra a figura
35, que mostra que o mesmo pode ser decomposto de tal maneira que
descreve a relação aritmética:
H n+1=H n+4 ∙(n+1)–3=H n+4 ∙ n+1;
47
Para passar do número hexagonal de ordem n ao seguinte, H n+1,
precisamos juntar quatro lados de comprimento igual a n+1, não esquecendo
de descontar as três sobreposições nos cantos.
Assim, chegamos a fórmula recursiva:
H 1=1 e H n+1=Hn+(4n+1);
Do mesmo modo, para construir H n, juntamos 4 ∙n−3 bolas ao anterior:
H n=H n−1+4 ∙ n−3
No entanto, um número hexagonal pode ser decomposto em um
número quadrado e dois números triangulares, como mostra a figura 36, e o
que sugere a seguinte relações aritmética:
H n=Q n+1+2∙ T n=(Tn+1+Tn)+2∙ T n=T n+1+3 ∙T n
Figura 36: Uma decomposição de um número hexagonal.
Fonte: MENDES, 2006, p.164
Um fato interessante de investigação histórica e Matemática, seria a
busca de algumas conjecturas geométricas que envolva o número hexagonal.
Um deles, seria de ser levado a perceber que exatamente seis circunferências
cabem ao redor de uma dada circunferência e todas do mesmo raio, e outra
de que, o hexágono regular resulta quando ligamos sucessivamente os
centros das seis circunferências, como também devem perceber que o
hexágono regular é composto de seis triângulos equiláteros congruentes.
48
Figura 37: Conjectura geométrica em torno do número hexagonal.
Fonte: MENDES, 2006, p.165
2.6 - Relações Fundamentais dos Números Figurados Planos
Nesta seção, cabedemonstrar, algumas das proposições,teoremas e
corolários, que determinam relações fundamentais entre os números
triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais, assim como a existência
de números heptagonais e octogonais.
Teorema 2.6.1: Dadon∈N , com n≥1, um número triangular é dado pela
relação T n=n(n+1)
2
Demonstração:
De fato, temos através de um raciocínio indutivo que, T n+1=T n+(n+1),
para n≥1. Todavia, esta fórmula ainda apresenta sérios inconvenientes, uma
vez que, para calcular o número triangular T 100, por exemplo, necessitamos
saber o valor de T 99. Uma maneira eficiente de superar este problema
consiste em observar as somas, que deram origemaos 10 primeiros termos
da sequência dos números triangulares:
T 1=1;
T 2=T 1+(1+1)=1+2=3 ;
T 3=T 2+(2+1)=3+3=6 ;
49
T 4=T 3+(3+1)=6+4=10 ;
T 5=T 4+(4+1)=10+5=15 ;
T 6=T 5+(5+1)=15+6=21 ;
T 7=T 6+(6+1)=21+7=28 ;
T 8=T 7+(7+1)=28+8=36 ;
T 9=T 8+(8+1)=36+9=45 ;
T 10=T 9+(9+1)=45+10=55 ;
Note que;
T 1=1=1∙22
=1∙(1+1)
2;
T 2=3=2 ∙32
=2 ∙(2+1)2
;
T 3=6=3 ∙42
=3 ∙(3+1)2
;
T 4=10=4 ∙52
=4 ∙(4+1)
2;
T 5=15=5 ∙62
=5 ∙(5+1)2
;
T 6=21=6 ∙72
=6 ∙(6+1)2
;
T 7=28=7 ∙82
=7 ∙(7+1)
2;
T 8=36=8∙92
=8 ∙(8+1)
2;
T 9=45=9 ∙102
=9 ∙(9+1)2
;
T 10=55=10 ∙112
=10 ∙(10+1)2
;
50
Também é válido para os demais termos da sequência dos números
triangulares. Note que foi empregado apenas regras axiomáticas permissíveis nos
conjuntos numéricos. Deste modo, suspeitamos a pertinência da seguinte
propriedade, para um n∈IN qualquer.
Assim, temos que:
T n=1+2+3+. . .+n=n (n+1)2
Para verificar a mesma propriedade, e se esta é válida para o conjunto dos
números naturais, definimos um conjuntoH , como minha hipótese de indução, onde
H ∶={n∈N∨Tn=n (n+1)
2}e reparemos que {1 ,2 ,3 , ... }∈H ≠∅. A próxima etapa desta
demonstração por indução Matemática requer à verificação de que se n∈H , logo
tambémn+1∈HContudo, escrevemos, para obter a tese de indução ;
T n+1=1+2+3+…+n+(n+1 )=n(n+1)2
+(n+1)
¿(n+1 )(n+2)
2 =(n+1 )((n+1 )+1)
2
Pelo princípio de indução Matemática, concluímos que
n+1∈H ∶={n∈N∨T n=n (n+1 )
2}∴H=N ∎
Teorema 2.6.2: O único número figurado triangular primoT n é o 3, onden≥1.
Demonstração:
51
De fato, podemos verificar por indução Matemática, utilizando a relação
aritmética recursivaT n=n(n+1)
2, onden∈N .
Se considerarmos,nsendo um número natural par, temosn=2k, comk∈N ,
segue-se que:
T 2k=2k (2k+1 )
2=k (2k+1)
Assim, o único caso em que temos um número primo ocorre na condição em
que k=1ou quando(2k+1 )=1⇒ k=0o que não podeocorrer, segundo nossa
definição inicial.
Assim, só temos a possibilidade parak=1⇒ n=2 ∙1=2.
No entanto, T 2=2(2+1)
2=3
Na outra condição, temosnsendo um número natural ímpar,comn=2k+1, e
k∈N . Daí, escrevemos, T 2k+1=(2k+1 )(2k+2)
2 =(2k+1 )(k+1)
E neste caso, nenhuma das expressões pode ser unidade, ou seja:
(2k+1 )=1ou(k+1 )=1⇔k=0, que novamente não obedece a definição inicial.
Logo, o único número figurado triangular T n é 3.
∎
Teorema 2.6.3: Dado n∈N , com n≥1, um número quadrado é dado pela
relação Qn+ 1=(n+1)2.
Demonstração:
A partir da fundamentação vista na seção 2.2.2, assim assumimos a seguinte
notação para o conjunto dos n primeiros números quadrados,
{Q1 ,Q 2,Q3 ,Q4 ,…}={1,4,9,16 ,…}= {12 ,22 ,32 ,42 ,…} e assim observamos a
propriedade de potências de 2.
52
Tomando como hipótese de indução, escrevemos,Qn=n2, assim Qn+ 1=(n+1)2
todavia,notamos que cada número quadrado pode ser obtido a apartir do seu
antecessor, conforme a propriedade com os números triangulares, dessa
forma, Q2=1+3, Q3=3+6, Q4=6+10=T3+T 4.
Notamos que paran≥1, podemos escrever:
n2=n2
2+ n
2+ n
2
2−n
2=n(n+1)
2+
(n−1 )n2
=Tn+T n−1
Por indução Matemática, estabelecemos:
Qn+1=Qn+(n+1 )+(n+1 )−1=Qn+2n+1=n2+2n+1=(n+1)2
∎
Teorema 2.6.4 (Theon de Smyrna, 100 a.C.) : Todo número quadrado é a
combinação de dois números triangulares.
Demonstração:
Dadon>1, escrevemosQn=n2⇒Q n=T n+T n−1
∎
Teorema 2.6.5 (R.B. Nelsen, 1997) : Dadon≥1, temos a relação
T 2n−1+T
2n=T n2
Demonstração:
Observemos as relações:
T 21+T
22=12+32=10=2∙5=
22(22+1)2
¿T22e
53
T 22+T
23=32+62=9+36=45=90
2=32 ∙10
2=32(32+1)
2¿T 32.
Usando a hipótese de indução, escrevemos T 2n−1+T
2n=T n2, emseguida,
analisamos a seguinte expressão:
T 2n−1+T
2n=(Tn−1+n)
2+(T n+(n+1))2
¿ [T 2n−1+T
2n ]+2n ∙T n−1+n
2+2 (n+1 ) ∙ T n+(n+1)2
¿ [T n2 ]+2n (n−1 )n
2 +n2+2 (n+1 )n(n+1)
2 +(n+1)2
¿ [T n2 ]+n (n−1 )n+n2+ (n+1 )n (n+1 )+(n+1)2
¿ [T n2 ]+ (n−1 )n2+n2+n (n+1)2+(n+1)2
¿n2(n2+1)
2+(n−1 )n2+n2+(n+1 ) (n+1 )2
¿n2[ (n2+1)2
+ (n−1 )+1]+ (n+1 ) (n+1 )2
¿n2[ (n2+1+2n)2 ]+ (n+1 ) (n+1 )2=n2[ (n+1)2
2 ]+ (n+1 ) (n+1 )2
¿(n+1)2[n2 ∙( 12 )+(n+1)]=(n+1)2[ n2+2n+2
2 ]¿(n+1)2[ n2+2n+1+1
2 ]=(n+1)2[ (n+1)2+12 ]=T (n+1 )2
∎
Corolário 2.6.6: Dado, temos as seguintes relações:
a) 8 ∙ Tn+1=Q(2n+1)(Diophantus de Alexandria, 200 a.C.)
b) 8 ∙ Tn−1+4 n=Q2n
Demonstração:
No item (a) temos de imediato que:
54
8 ∙ Tn+1=8 ∙ n(n+1)2
+1
¿4 n (n+1 )+1=4n2+4 n+1=(2n+1)2=Q2n+1
E no item (b) escrevemos:
8 ∙ Tn−1+4 n=8∙ (n−1)n2
+4 n
¿4 n (n−1 )+4n=−4 n+4 n2+4n=Q2n
∎
Segundo Alves (2012) apud. Burton(2006, p.100), temos os seguintes
padrões aritméticos:
13=1=T21 ;
13+23=1+8=9=T22 ;
13+23+33=1+8+27=36=T 23;
13+23+33+43=1+8+27+64=100=T 24;
Observa-se que, do lado direito das identidades, temos o quadrado de
números triangulares. Tal padrão possibilita conjecturar que a soma dosn
cubos de números é igual ao quadrado do n-ésimo número triangular, o que
nos proporciona enunciar o próximo teorema.
Teorema 2.6.7 (Nicomachus, 60 a.C): Dadon≥1, temos que :
13+23+33+…+n3=T 2n.
Demonstração:
Para tal,aconselha olhar as seguintes igualdades e somando-las, e assim
obter relações interessantes como indicamos abaixo:
55
1=13
3+5=23
7+9+11=33
13+15+17+19=43
21+23+25+27+29+31=53
.
.
.
[n (n−1 )+1 ]+ [n (n−1 )+3 ]+…+ [n (n−1 )+(2n−1)]=n3
⟹1+3+5+7+…+[n (n−1 )+(2n−1)]=13+23+33+…+n3
Por outro lado, Alves (2012) apud. Burton (2006, p.100), aconselha observar
que:
[n (n−1 )+1 ]+ [n (n−1 )+3 ]+…+ [n (n−1 )+(2n−1)]
¿ [n2−n+1 ]+[n2−n+3 ]+…+[n2−n+(2n−1 ) ]
¿ [n2−n+1 ]+[n2−n+3 ]+…+[n2+n−1 ]
¿ [n2−n+1 ]+[n2−n+3 ]+…+[n (n+1 )−1 ]
¿2 ∙[n(n−1)2
+1]+ [n2−n+3 ]+…+[n (n+1 )−1]
Conclui-se escrevendo, que:
13+23+33+…+n3=[ n(n+1)2 ]
2
=T2
n
∎
Teorema 2.6.8: Paran∈N , temos:
56
12+22+32+…+n2=n (n+1 )(2n+1)
6
Demonstração:
Desenvolveremos aidéia de Alves (2012) apud. Burton (2006, p.108), que
explica que “o mesmo resultado foi obtido também por Arquimedes (287-212
a.C)” Para o seguinte diagrama que envolve a idéia de somas de números
quadrados que passamos a descrever, conforme a figura 38:
Com esse objetivo, por meio de contagem e completando a figura 38 do lado
esquerdo, imaginamos do lado direito, as seguintes equivalências numéricas:
(12+22+32+42 )+(1+3+6+10 )=(1+2+3+4 ) ∙(4+1)
Figura 38: Diagrama explicativo. Fonte: ALVES, 2012 apud. BURTON, 2006, p.100
onde,
(12+22+32+42 )são os números quadrados;
(1+3+6+10 )são as linhas horizontais;
(1+2+3+4 )é a base do retângulo;
(4+1)é a altura
Em seguida, observa-se que:
(12+22+32+42 )+(1+3+6+10 )=10 ∙5
57
⇔ (12+22+32+42 )=50− (1+3+6+10 )
Ou seja, paran=4, temos:
(12+22+32+42 )=50−20=30=4 ∙5 ∙66 =
4 (4+1 )(2 ∙4+1)6
Em seguida, sugere um diagrama semelhante para prever o comportamento
padrão para a soma de12+22+32+42+52, e usando o mesmo raciocínio,
podemos escrever:
(12+22+32+42+52 )+(1+3+6+10+15 )=(1+2+3+4+5 ) ∙(4+2)
onde,
(12+22+32+42+52 )são os números quadrados;
(1+3+6+10+15 )são as linhas horizontais;
(1+2+3+4+5 )é a base do retângulo;
(4+2)é a altura
No entanto, observa-se que:
(12+22+32+42+52 )+(1+3+6+10+15 )=15 ∙6
⇔ (12+22+32+42 )=90−(1+3+6+10+15 )
Ou seja, paran=5, temos:
(12+22+32+42+52 )=90−35=55=5 ∙6 ∙116 =
5 (5+1 )(2∙5+1)6
58
Figura 39: Diagrama generalizado. Fonte: ALVES, 2012 apud. BURTON, 2006, p.101
Conforme a figura 39, dadon∈N , escreve-se:
S=12+22+32+42+…+n2
Alves (2012) apud. Burton (2006, p.109) observa que as dimensões do
retângulo no n-ésimo passo são de(1+2+3+…+n ) (n+1 ). E que a outra parcela
pode ser descrita por:
(1+3+6+…+ (1+2+…+n ) )=¿
¿ (1+(1+2 )+(1+2+3 )+…+ (1+2+…+n ) )=¿
Ou podemos escrever ainda:
¿( 1 ∙22
+ 2∙32
+ 3 ∙42
+…+n (n+1)
2 )
Agrupando todos os termos e usando a relação generalizada, baseada no
diagrama, temos:
S+(1 ∙22
+ 2∙32
+3 ∙42
+…+n(n+1)
2 )=(1+2+3+…+n ) (n+1 )=¿
¿ S+( 1 ∙22
+ 2∙32
+ 3 ∙42
+…+n (n+1)
2 )=n(n+1)2
∙ (n+1 )⇔
59
⇔S+ 12∙ (1 ∙2+2 ∙3+3 ∙4+…+n ∙ (n+1 ) )=n(n+1)2
2⇔
Ou ainda, reagrupando os termos desta soma:
⇔S+ 12∙ (1 ∙ (1+1 )+2 ∙ (2+1 )+3∙(3+1)+…+n∙ (n+1 ))=n(n+1)2
2
⇔S+ 12∙ (12+22+32+…+n2+(1+2+3+…+n))=n(n+1)2
2
⇔S+ 12∙(S+ n(n+1)
2 )=n(n+1)2
2
⇔S+( S2 +n (n+1)
4 )= n(n+1)2
2
⇔ 3 S2
=n(n+1)2
2−n(n+1)
4
⇔ 3 S2
= (n+1 ) ∙[2n (n+1 )−n]4
⇔ 3 S2
=(n+1 )(2n2+n)
4
Finalmente, conclui-se que:
⇔ 3 S2 =
n (n+1 )(2n+1)4
⇔S=n (n+1 )(2n+1)
6 ∎
Proposição 2.6.9: Dado n ∈IN, com n≥1, um número pentagonal é dado pela
relaçãoPn=n(3n−1)
2 ; e por conseguinte, que Pn=n+3Tn−1
Demonstração:
60
Nossa próxima discussãoenvolve as configurações da figura 40, que
caracterizam os chamados números pentagonais(Eves, 1969, p.55).
Se descrevermosos números pentagonais pelo conjunto dos primeiros termos
de sua seqüência, temos:
{P1 ,P2 , P3 ,P4 ,… }= {1,5,12,22 ,…}.
Figura 40: Decomposição de um número pentagonale suas relações com os
números triangulares e quadrados. Fonte: EVES, 1969, p.56
Mas reparemos que:
P1=1=1 ∙(3 ∙1−1)2
P2=5=1+4=1+(3 ∙2−2)=2 ∙(3 ∙2−1)2
P3=12=1+4+7=1+4+(3 ∙3−2)=3∙(3∙3−1)
2
P4=22=1+4+7+10=1+4+7+(3 ∙4−2)=4 ∙(3 ∙4−1)2
.
.
.
Por indução, conjecturamos que:
61
Pn=1+4+7+…+(3n−2)
No que segue, estabelecemos por indução Matemática que:
Pn=1+4+7+…+ (3n−2 )=n(3n−1)2
Por outro lado, Eves (1969, p.56) observa que:
Pn=n(3n−1)
2=n+3 ∙[ (n−1 )n
2 ]=n+3 ∙ T n−1
Que verifica a sua relação com os números triangulares.
Desta forma, observando a figura40, do lado direito, escrevemos:
T 1+Q 2=P3;T 2+Q3=P3 ;T3+Q4=P4 ;…;T n+Qn+1=Pn+1
Com base nestes resultados, demonstramosa seguir dois teoremas
Teorema 2.6.10: O único número pentagonal primo é o 5.
Demonstração:
Para n≥1, temos:
Pn=n(3n−1)
2
Supondo que n é par, digamos quen=2k; assim:
P2 k=2k (3 ∙2k−1)
2=k (6 k−1)
62
Consideremos os seguintes casos:
Para k=1, assimP2=1 ∙ (6∙1−1 )=5
Para k>1 , assim concluímos que não pode ser primo.
No entanto, analisando o caso em que n=2k+1 ,para que n seja ímpar,
observa-se que:
P2 k+1=(2k+1)(3∙(2k+1)−1)
2 =(2k+1 )(6k+2)
2 =(2k+1)(3k+1)
Chegando, novamente a conclusão que não pode ser primo, assim o único
número pentagonal primo é o 5.
∎
Teorema 2.6.11: Qualquer número pentagonal é um terço de um número
triangular.
Demonstração:
Já vimos que, para n≥1, temos que :
Pn=n(3n−1)
2
Assim, fazendom=3n−1, por equivalência n=m+1
3 , logo:
Pn=(m+1
3 )(3∙(m+13 )−1)
2 =13 ∙m(m+1)
2 =13 ∙Tm∎
63
Proposição 2.6.12: Dado n ∈IN, com n≥1, um número hexagonal é dado pela
relação H n=Pn+T n−1, por conseguinte que, H n=n∙(2n−1)
Demonstração:
Descrevendo os números hexagonais pelo conjunto dos primeiros termos de
sua sequência, temos:
{H 1 ,H 2, H 3 ,H 4 ,… }={1,6,15,28,65 ,…}
A partir dela observamos que:
H 1=1=1∙ (2∙1−1 )
H 2=6=2 ∙ (2 ∙2−1 )
H 3=15=3 ∙ (2 ∙3−1 )
H 4=28=4 ∙ (2∙4−1 )
.
.
.
Por outro lado, para verificar que n+1∈R,empregamos as relações:
H 1=T 1;
H 2=P2+T 1;
H3=P3+T 2;
.
.
.
64
H n=Pn+T n−1=n(3n−1)
2+
(n−1 )n2
=¿
¿ 3n2−n+n2−n2
=2n2−n=n(2n−1)
∎
Teorema 2.6.13: Todo número hexagonal é um número triangular.
Demonstração:
De fato, sabemos que:
H n=n (2n−1 )=n+4 ∙ Tn−1= (n+T n−1)+3∙ T n−1=T n+3∙ T n−1=¿
¿n(n−1)
2+
3n (n−1)2
=4n2−2n2
=(2n−1 )(2n−1+1)
2
Considerando, m=2n−1, temos:
H n=(2n−1 )(2n−1+1)
2 =m(m+1)
2 =Tm
Assim, temos um número triangular de ordem m.
∎
Diante de todas as relações fundamentais que vimos até agora, enunciamos a
proposição a seguir
Proposição 2.6.14: Com relação aos números figurados, temos as seguintes
relações:
a) Pn=n+3 ∙T n−1
b) H n=n+4 ∙ T n−1
65
Demonstração:
No item (a), sabemos que:
Pn=n(3n−1)
2=3n2−n
2=2n+3n2−3n
2=n+3 ∙
(n−1 )n2
=n+3 ∙ Tn−1
No item (b), sabemos que:
H n=n (2n−1 )=2n (2n−1 )2
=4n2−2n2
=4 n2+2n−4n2
=4 n (n−1 )
2+ 2n
2=¿
¿n+4T n−1
Para concluir essa seção, Alves (2012) apud. Conway e Guy (1996, p.39),
descrevem uma maneira analítica e engenhosa de obtermos os números
heptagonais, octogonais, eneagonais, etc.
A partir das relações:
n+T n−1=T n
n+2T n−1=Qn
n+3T n−1=Pn
n+4T n−1=H n
n+5T n−1=Heptn
n+6T n−1=Octn
n+7T n−1=Enen
.
.
.
66
E desta forma, obtemos estas relações acima, a partir de um modelo
generalizado.
CAPÍTULO 3
EXPLORANDO OS NÚMEROS FIGURADOS PLANOS POR MEIO DE ATIVIDADES HISTÓRICAS EINVESTIGATÓRIASNO ENSINO DE MATEMÁTICA
3.1 - A investigação histórica no ensino de Matemática.
De acordo com Ponte et al. (2009), investigar é procurar conhecer o que não
se sabe. Para os matemáticos profissionais, investigar é descobrir relações entre
objetos matemáticos conhecidos ou não, procurando identificar as respectivas
propriedades. Para se trabalhar com essa metodologia, não são necessários
problemas ou questões difíceis, mas sim questões mais abertas e interessantes para
os alunos, provocando-os procurar sua solução.
Assim, a Históriada Matemática deve ser encarada como o princípio
unificador das faces cotidiana, escolar e científica da Matemática, cujo ensino deve
ser praticado por meio de atividades investigatórias focadas em seu
desenvolvimento histórico. Desta forma, pressupõe-se com isso, uma reconstrução
dos aspectos matemáticos a serem abordados na sala de aula, visto que as
informações históricas raramente são utilizadas como elemento gerador da
aprendizagem da Matemática, quer seja na ação pedagógica do professor de
Matemática, quer seja nos livros didáticos adotados por ele. Apenas alguns livros
paradidáticos contêm certas atividades que se aproximam do que proponho para o
ensino da Matemática. É necessário, entretanto, responder questões do tipo: O que
se entende por investigação histórica no ensino da Matemática? O que se entende
por atividade investigatória no ensino da Matemática?
Ensinar por meio da investigação histórica no ensino da Matemática é uma
das tendências atuais em Educação Matemática. De acordo com esta metodologia,
67
no desenvolvimento do trabalho na sala de aula, o aluno é chamado a ser partícipe
do trabalho tornando-se também responsável pelas as atividades. De acordo com
Ponte (2009), temos que:O conceito de investigação Matemática, como atividade de ensino-aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito de atividade genuína, constituído por isso, uma poderosa metáfora educativa.O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentos com seus colegas e professores.(PONTE, 2009,p.23)
Segundo Mendes (2009), a atividade investigatória no ensino da Matemáticaé
como o encaminhamento didático dado ao processo de geração de conhecimento
matemático, que provoca a criatividade e o espírito desafiador do aluno para
encontrar respostas às suas indagações cognitivas e construir suas idéias sobre o
que pretende aprender. Seu uso em sala de aula pode ser orientado direta ou
indiretamente pelo professor, dependendo, para isso dos objetivos e procedimentos
presentes em cada atividade. Tal abordagem de ensino deve concretizar-se de
acordo com as condições ambientais estimuladoras e psicológicas do aluno e
pedagógicas do professor.Enquanto, as atividades investigatórias no ensino de
Matemática devem constituir um processo de construção contínua do conhecimento,
considerando os três modos de representar os conceitos matemáticos: físico/visual,
oral e simbólico, por meio de três níveis de atividades, de desenvolvimento, conexão
e abstração.
As atividades de desenvolvimento são as que permitem ao aluno
experimentar um conceito matemático e familiarizar-se com as condições formais de
descrição desse conceito. As de conexão dão seqüência à aprendizagem do
conceito matemático, desde que conectem as compreensões conceituais
representadas física e oralmente, buscando conduzir o aluno ao processo de
representação simbólica. As de abstração exploram mais profundamente a
representação simbólica de um conceito matemático, tendo em vista explorar a
capacidade do aluno em comunicar amplamente as suas idéias Matemáticas. Elas
são usadas adequadamente quando a exploração dos aspectos físico e oral de um
conceito matemático já tiver sido praticada intensivamente por meio das atividades
de desenvolvimento e conexão.
68
Desta forma, a investigação histórica no ensino da Matemática, adotaessa
expressão para aquelas atividades investigatórias de ensino que conjugadas com o
desenvolvimento histórico da Matemática, trazem um significado mais profundo ao
conhecimento construído na sala de aula. Neste sentido, as informações históricas
devem enfatizar os porquês matemáticos que podem estar implícitos nos problemas
suscitados na atividade ou explícitos nos textos históricos resgatados de fontes
primárias ou secundárias, ou seja, de textos originais ou de livros de Históriada
Matemática.
Conforme Bisognin e Refatti (2010), essas atividades podem ser
manipulativas ou não, de acordo com o nível de complexidade do conhecimento
matemático a ser construído pelo aluno, independentemente do nível escolar em
que se encontra. É adequado, porém, o uso de atividades que favoreçam a
interatividade entre o sujeito e o seu objeto de conhecimento. Além disso, essa
abordagem deve sempre que possível, efetivar-se sob uma perspectiva
contextualizadora que evidencie os aspectos cotidiano, escolar e científico do
conhecimento a ser construído, desde que rearticulados ao longo do processo de
manuseio de qualquer material.
No entanto, uma forma de conceber o uso das informações históricas como
um elemento de geração da Matemática escolar por meio da investigação histórica
em sala de aula, e também tentando responder como as informações históricas
podem contribuir para a melhoria do ensino da Matemática, seria a busca de
respostas para essas questões, assim como outras que surgem, do tipo, se as
atividades históricas são mais eficazes do que as atividades que não usam a
Históriadurante as aulas de Matemática.
Contudo, uma proposta de trabalhar a Matemática em sala de aula, seria o
uso da investigação histórica no ensino da Matemática por meio de atividades que
pressupõe a participação efetiva do aluno na construção de seu conhecimento, que
constitui um aspecto preponderante no procedimento didático do ato de ensinar e
aprender, pois as relações interativas entre professor e alunos e entre alunos,
podem ser integradas na exploração de atividades investigatórias.
Para sustentar a proposta de investigação histórica como uma forma de
abordagem viável para o ensino da Matemática, que serão analisadas algumas
concepções teóricas que defendem o uso da Históriada Matemática como fonte
69
geradora do conhecimento matemático, considerando as contribuições dessas
concepções para a construção da proposta pedagógica pretendida e, além disso, vai
se esclarecer os pressupostos teóricos acerca do uso de atividades no ensino da
Matemática, baseados na investigação histórica da Matemática.
3.2- A utilização de atividades investigatórias no ensino de Matemática
O uso de atividades como recurso para a aprendizagem da Matemática
geralmente se inicia nas primeiras séries do ensino fundamental, devido à
concepção dos professores acerca do processo de construção desse conhecimento
pelos alunos. Entretanto, de acordo com o nível de complexidade do conhecimento a
ser construído pelos alunos, independentemente do nível escolar em que se
encontram, é adequado o uso de atividades que favoreçam a interatividade entre o
sujeito e o seu objeto de conhecimento, sempre em uma perspectiva
contextualizadora que evidencie três aspectos do conhecimento: cotidiano, escolar e
científico, principalmente quando são rearticulados ao longo do processo de
manuseio de qualquer componente da atividade, como o material manipulativo, as
orientações orais e escritas e o diálogo estabelecido durante todo o processo de
ensino e aprendizagem.
Segundo Bisognin e Trevisan (2006), o uso de diagramas, figuras e
esquemas assumem, na Matemática um papel preponderante, pois todos contêm
informações que permitem a visualização dos conceitos e processos matemáticos
envolvidos nas operações. A abordagem visual desempenha um papel importante
no trabalho com os conceitos matemáticos, pois pode gerar significados para a
aprendizagem dos mesmos.
Os métodos possuem um conteúdo visual que permitem uma
representação geométrica, cuja utilização é bastante proveitosa, tanto para a
articulação entre os conceitos e os métodos, quanto para a resolução de
determinadas situações-problema. Portanto, é essencial para a compreensão de um
determinado conceito matemático que se proceda a sua exploração de todas as
formas possíveis. Assim, se proporcionará aos alunos formas variadas de
representação de uma idéia Matemática e será permitido o desenvolvimento de
70
imagens mentais, que contribuem para o desenvolvimento do pensamento
matemático.
Do ponto de vista do ensino e da aprendizagem da Matemática, as
representações feitas pelos alunos sobre determinados conceitos permite ao
professor analisar o modo de pensar e raciocinar e, dessa forma, detectar erros e
corrigi-los.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), a
disciplina de Matemática tem por finalidade:
Desenvolver capacidades para usar a Matemática com o intuito de
interpretar e intervir no mundo real;
Desenvolver capacidades de criar e formular problemas;
Contribuir para uma atitude positiva frente a esta ciência;
Contribuir para o desenvolvimento de atitudes de autonomia e
responsabilidade;
A investigação no ensino de Matemática, enquanto metodologia de
trabalho na sala de aula, permite a criação de um ambiente de aprendizagem que
colabora para o desenvolvimento das capacidades previstas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (1998), e caracteriza-se pela proposição de uma questão,
cujo enunciado está pouco definido e, a partir de um conjunto de dados e
informações, procura-se formular questões mais precisas e propor conjecturas. À
medida que essas conjecturas são testadas, elas ganham credibilidade e, assim,
são validadas, somente então, é que se comunica o resultado da investigação. Esse
processo assume um papel fundamental na aprendizagem do aluno, pois ele se
torna agente participativo pelo trabalho a ser realizado.
De acordo com Pereira (2004), a diferença entre problema e
investigação no ensino de Matemática é pouco evidente. Em um problema, a
pergunta é bem precisa, feita pelo professor e o objetivo é buscar um caminho para
solucioná-lo. Na investigação, a questão é aberta e cabe ao aluno definir a sua
formulação, em que o objetivo é explorar o maior número de caminhos a partir da
mesma situação.
71
Existem quatro etapas que são características de uma investigação no
ensino de Matemática, definidas por Ponte, Oliveira, Brunheira, Varandas e Ferreira
(1999):
Formular a questão de investigação;
Formular conjecturas relativas a essa questão;
Testar as conjecturas e, se preciso, reformulá-las;
Validar e comunicar os resultados;
De acordo com Ponte, Brocado e Oliveira (2003), os exercícios são
tarefas de pouca dificuldade e de estrutura fechada, enquanto que os problemas têm
grau de dificuldade maior, mas também tem uma estrutura fechada, e já as
investigações no ensino de Matemática são tarefas de estrutura aberta e com grau
mais elevado de dificuldade que os anteriores.
Embora as abordagens sejam muito próximas, é importante observar a
diferença de atitude do professor e do aluno perante a resolução de problema e da
realização de tarefa de investigação. No problema, é o professor quem gerencia
todo o trabalho, e na investigação, é o aluno quem orienta todo o processo. O
professor tem um papel de mediador e orientador, fazendo perguntas e levantando
hipóteses.
3.3 -Orientações para a ação docente
Conforme Mendes (2009), o professor deve escolher alguns temas
matemáticos de interesse para o seu trabalho, em nosso caso, os números figurados
planos, e fazer um levantamento do material bibliográfico a esse respeito. Em
seguida, é importante que pesquise a vida dos matemáticos envolvidos, suas
filosofias, convicções, prestando atenção particular às descobertas e contribuições
Matemáticas deles para o desenvolvimento do tema selecionado. Para isso, deve
usar fontes da biblioteca, internet, jornais, entre outras.
O professor deve decidir o nível de orientação a ser encaminhado para cada
atividade, conforme as finalidades previstas e as necessidades da turma,
dependendo do tópico matemático a ser aprendido pelos os alunos. As ilustrações
72
utilizadas nos trabalhos podem ser desenhadas pelos alunos, exploradas por alguns
programas de computador ou extraídas de páginas na internet. Cada um deve
escolher o meio a utilizar, mas nunca deve deixar de mencionar a origem das
imagens, desenhos ou esquemas incluídos no seu trabalho final. Além disso, deve
sempre citar todas as referências utilizadas, pois dará mais valor e veracidade ao
estudo investigativo realizado.
É importante orientar a preparação de um trabalho final escrito, contendo sua
reflexão sobre o tema investigado historicamente, incluir um resumo global dos livros
pesquisados e mostrar o que foi aprendido na preparação e no desenvolvimento da
pesquisa. O trabalho escrito deve, ainda, evidenciar aspectos críticos de seus
autores, pois assim o trabalho final certamente terá muito mais credibilidade de
quem apreciar.
Por isso, a orientação docente deve esclarecer que a investigação histórica
pode mostrar as principais contribuições dos matemáticos e as pessoas que se
envolveram na construção e na evolução da Matemática. Além disso, oferece ampla
possibilidade de se construir um processo de aprendizagem independente, no qual o
aluno explora, descobre, investiga e aprende sobre a Matemática, a sociedade e a
cultura humana. Desse modo, poderá ser possível, ao aluno, fazer conexões entre a
Matemática e as outras disciplinas.
Há entretanto, uma variedade de atividades que poderão surgir durante o
exercício da pesquisa histórica em sala de aula. O professor deve ficar atento para
perceber algumas possibilidades de exploração da criatividade dos alunos, mesmo
que, em determinadas vezes, seja necessário reformular alguns dos temas
apresentados por eles. Para que essa prática se torne possível, é preciso utilizar as
mais diversas modalidades de investigação histórica na sala de aula, como as
atividades manipulativas extraídas diretamente, ou quando não adaptadas da
Históriada Matemática, como também a investigação de problemas históricos e os
estudos de textos históricos extraídos ou adaptados de fontes primárias.
Cada uma dessas modalidades de abordagem da investigação histórica nas
aulas de Matemática requer do professor um pouco de conhecimento do nível de
amadurecimento de seus alunos, do grau de aprofundamento a dar ao assunto a ser
abordado em sala de aula e do nível de autonomia dos alunos com relação à busca
da própria aprendizagem. Além disso, é necessário que se faça um levantamento
73
prévio do material a ser utilizada nas investigações, localização das fontes de
pesquisa ou, se for o caso, seleção de atividades a serem aplicadas em cada turma,
de acordo com o tópico da aprendizagem Matemática tomado como referência para
o desenvolvimento da investigação histórica.
Assim, pode-se concluir, então que a investigação histórica no ensino de
Matemática desenvolverá a perspicácia e o conhecimento do aluno sobre várias
áreas Matemáticas. Além disso, o estudo de vários tópicos matemáticos oferece
múltiplas oportunidades de aprender sobre outras áreas do conhecimento tão
importantes quanto a Matemática e que nem sempre são discutidas pela escola,
principalmente, nas aulas tradicionais de Matemática.
3.4 - Sugestões de atividades de investigação histórica com os números figurados planos
Apresento a seguir, algumas atividades que são de suma importância no
processo de ensino e aprendizagem referentes aos conteúdos da disciplina de
Matemática, com a abordagem dos números figurados planos na construção do
conhecimento acerca do assunto a ser trabalhado em sala de aula.
ATIVIDADE 1: Leitura de livros paradidáticos que mencionam os tópicos da
Históriada Matemática relacionando o conteúdo a ser trabalhado:
É indicado o livro paradidático “Platão Redimido: A Teoria dos números
figurados na Ciência Antiga e Moderna”, onde cada grupo de quatro ou cinco alunos
recebem um capítulo do livro para ler e estudar. Os alunos devem ler e interpretar a
Históriadescrita, refazer as atividades apresentadas pelo o livro e confeccionar um
material prático a partir das abordagens aritméticas que o livro leva. Cada grupo faz
a apresentação para a turma, do que estudou do livro.
ATIVIDADE 2: Projeto de contação de Histórias (da Matemática):
74
Nessa atividade, cada dupla de alunos recebem uma reportagem de
uma revista de circulação mensal, bimestral, trimestral ou quadrimestral, a qual
contenha alguma seção sobre um breve tópico da Históriada Matemática. Após
leitura, interpretação e discussão do texto, os alunos fazem um relato escrito do que
leram e, na seqüência, contam para a turma.
ATIVIDADE 3: Resolução de problemas históricos:
Nessa atividade, podem ser trabalhadas as propriedades e as relações
fundamentais dos números figurados, em forma de “enigmas”, desafios, maratona
ou gincana Matemática. Ao final da atividade, fica proposto aos alunos que
expliquem os seus procedimentos de resolução.
ATIVIDADE 4: Textos históricos para a introdução de um conteúdo:
O professor organiza textos sobre a construção histórica dos conceitos
a serem trabalhados, segundo o plano de ensino da série, como: números
triangulares, números quadrados, números retangulares ou oblongos, números
pentagonais e hexagonais, etc. Como por exemplo: “Construção histórica dos
números triangulares”, apresentado no material didático, distribuídas em folhas de
formato A4 livres e avulsas, produzidos para o 1º ano do ensino médio.
Apresenta-se esse material para leitura, interpretação e debate sobre o
texto temporal e abordando os nomes que contribuíram para que se chegasse ao
atual conceito, fórmulas e métodos para a resolução dos conteúdos trabalhados em
sala de aula.
ATIVIDADE 5: Pesquisa sobre os matemáticos da história:
Efetuada a apresentação do texto histórico, utilizado na atividade 4,
citar os matemáticos que contribuíram para a elaboração de alguns conceitos e
75
fundamentações a respeito dos números figurados, como por exemplo, Jâmblico,
Nicômaco, Teon de Smyrna e Nicomachus de Gerasa.
Em duplas, e numa brincadeira de “amigo secreto”, os alunos
sortearam o nome de um matemático citado no texto da atividade anterior. Cada
dupla deverá fazer uma síntese de sua Históriae depois apresentá-la para a turma.
ATIVIDADE 6: Uma cronologia da Históriada Matemática: “Uma viagem no
túnel do tempo”:
Solicita-se aos alunos que elaborem alguns slides apresentando a
cronologia da Históriada Matemática, possibilitando a observação da presença dos
matemáticos que desenvolveram os conceitos atuais de números figurados planos,
os espaços de tempos compreendidos entre um trabalho e outro em relação à
produção Matemática de nosso século atual.
A leitura e análise da cronologia abriram um leque de questionamentos
que se tornaram passíveis a muitos tipos de pesquisas e discussões. Indica-se que
atividade seja trabalhada com alunos do 3º ano do ensino médio.
ATIVIDADE 7: O uso de materiais manipulativos, esquemas e formulários de
preenchimento para uma redescoberta em torno dos números figurados planos:
Há muitas coisas interessantes que se pode fazer no estudo dos números
figurados no ensino fundamental. Muitos perguntam, "porque estudar números
figurados ?", afinal a maioria dos professores estudou, na sua formação escolar ou
universitária, apenas os números quadrados e cubos perfeitos.
Segundo Bigode (1992), deve-se ter em conta que o estudo de padrões e
regularidades aritméticas, figurais ou algébricas, está sendo proposto como objetivos
a serem atingidos na maioria dos currículos implantados de países de todo o mundo,
o Brasil incluído. Nesses programas curriculares, se almeja que os alunos observem
relações entre variáveis, descrevam e criem uma ampla gama de padrões, com a
finalidade de dar um sentido matemático importante à idéia de generalização.
76
Estudos recentemente apresentados em congressos de Educação
Matemática, comprovam que os alunos aprendem álgebra com mais eficácia e sem
os traumas de outros tempos em que as regras eram aplicadas mecanicamente sem
se saber bem o porquê do que estavam fazendo. O trabalho com números figurados
(triangulares, quadrados, poligonais, piramidais), além de possibilitar uma aplicação
mais interessante de fatos e regras algébricas (produtos notáveis, fatoração,
potências, etc..), desenvolve as capacidades de visualização, argumentação e o
raciocínio algébricos dos alunos e explicita as ricas conexões entre as várias sub-
áreas da Matemática (aritmética, álgebra, geometria, ..). Contribui ainda para
preparar os alunos para o estudo de temas mais complexos que serão estudados no
ensino médio como funções, seqüências, PA, PG.
Como também, ocorre ao trabalhar com turmas de 6º ou 7º anos do ensino
fundamental, observando ou completando algumas configurações figurais,ou quando
não predizendo a quantidade de uma certa configuração figural. Aqui o professor
pode dispor de imagens (desenhos ou fotos) de pilhas de latas em supermercado,
pilhas de laranjas, bolas de gudes, grãos de arroz ou feijão ou melancias na feira,
pilhas de bolas de canhão (desenhos antigos), bolas de bilhar arrumadas no
triângulo de madeira (equilátero), etc..
Depois de observar cada seqüência os alunos são convidados a desenhar a
próxima figura da seqüência, e a próxima após esta, e assim por diante.
Figura 41: Quadro demonstrativo com números triangulares e quadrados.
Fonte: http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_view.asp?cod=38
Uma atividade mais complexa que pode ser proposta a seguir é pedir que os
alunos determinem - sem fazer uso de desenhos - quantas bolinhas (pontos,
77
laranjas, etc.)dependendo de como é composta a figura 41. Qual a configuração de
ordem 10, aquela que ocupa o 10º lugar na seqüência.O professor deve orientar
perguntando e registrando as estratégias que os alunos vão utilizar para responder
esta questão. No entanto, podemos orientar os alunos a resolverem os problemas
recolhendo as várias estratégias engenhosas e que tem relação com o se passou na
Históriada Matemática.
Para os números quadrados, os alunos devem observar que os números
consecutivos da sequência (1 ;4 ; 9;16 ; ...) diferem um do outro respeitando uma
regularidade que forma uma subseqüência dos números ímpares.
(1 ;4 ; 9;16 ; ...)+3 +5 +7 +9
Determinando o próximo termo, somando os termos 16+9=25
Uma parte do grupo pode perceber e enunciar a propriedade multiplicativa
dos quadrados perfeitos
Enquanto que para os números triangulares, não é difícil que os alunos
percebam a relação aditiva entre os termos consecutivos(1 ;3 ;6 ;10 ; ...)
Figura 42: Representação dos números triangulares,usando latas.
Fonte: http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_view.asp?cod=38
(1 ;3 ;6 ;10 ; ...)+2 +3 +4 +5
Assim não é difícil determinar o próximo número triangular somando
10+5=15.
Desta forma, verifica-se que um número triangular a partir de relações
multiplicativas não é muito usual nestas séries.
78
Se achar que o grupo responde satisfatoriamente o professor pode propor um
trabalho de investigação para ser feito casa, determinar o número de pontos da
figura de ordem 100, e isso pode ser facilmente observado, quando os alunos
geralmente fazem ao jogar bolas de gudes ou bolas de bilhar,empilhandoas mesmas
em forma de um triângulo,isto é, um arranjo, segundo a sequência dos números
triangulares planos.
Figura 43: Representação geométrica de um número triangular, usando bolas de bilhar.
Fonte: http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_view.asp?cod=38
Porém, uma atividade bastante fascinante, ao trabalhar com os alunos de 8º e
9º ano do ensino fundamental, seria se dispor de um ferramental algébrico que estão
em condições de justificar as descobertas propostas para os alunos das séries
anteriores e assim, propor que os alunos demonstrem a partir de figuras e da
linguagem algébrica.
a) A fórmula Iterativa: Qn=1+3+5+...+(2n−1)
Figura 44: Relação entre o número quadrado e o número triangular, usando bolas de gude.
Fonte: http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_view.asp?cod=38
Acompanhe a exploração, analisando a figura 44.
79
Considere a seqüência dos n primeiros números ímpares,
1+3+5+7++9+...+(2n−1), se retiramos uma unidade de cada um, geramos a
seqüência 0+2+4+6+8+...+(2n−2). Vamos guardar os n elementos que retirados do
meio do triângulo (aqui representados pela coluna vermelha do triângulo).
Como todos os termos da seqüência obtida são números pares, podemos
escrever desse modo 2 ∙(1+2+3+4+...+(n−1)), na figura 45 está representado
através de dois triângulos (azul claro e azul esverdeado) de ordem (n−1).
Combinando os dois triângulos T n−1 com os n elementos guardados (coluna
vermelha) obtemos, o quadrado Qn=2∙ Tn−1+n=(n−1)∙ n+n=n2−n+n=n2.
Figura 45: Decomposição do número quadrado com bolas de gude.
Fonte: http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_view.asp?cod=38
Confira para o caso de n=8;
T 8=1+3+5+7+9+11+13+15
T 8=2 ∙T (7)+8=2∙28+8=56+8=64
Mostrando, utilizando um tabuleiro de xadrez, como o teorema relativo aos
números triangulares, pode ser feito por um aluno, e este pode observar com mais
clareza como se procede a propriedade em questão.
80
Figura 46: Número triangular usando tabuleiro de xadrez.
Fonte: http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_view.asp?cod=38
Onde;
T ncorresponde ao triângulo com as tampas azuis;
(n+1 )corresponde a fileira das tampas vermelhas;
Pela fórmula Recursiva, temos:
T 1=1
T 2=3⇒T 1+2=1+2=3
T 3=6⇒T 2+3=1+2+3=6
T 4=10⇒T 3+4=1+2+3+4=10
.
.
.
T n+1=T n+(n+1)
Uma demonstração mais simples pode ser explorada, através da propriedade
dos números quadrados, para explorar dos alunos, os conhecimentos de fatoração e
produtos notáveis, com tampinhas de refrigerante ou água mineral, para serem os
pontos no tabuleiro de xadrez de cores diferentes, aqui foram usadas o vermelho e o
azul, dando um destaque de um fundo amarelo ao número quadrado de ordem 6.
Figura 47: Número quadrado usando tabuleiro de xadrez.
81
Fonte: http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_view.asp?cod=38
n2+(2n+1 )=(n+1)2
Onde;
n2corresponde ao quadrado com as tampas vermelhas;
(2n+1 )corresponde ao L com as tampas azuis;
Pela fórmula Recursiva, temos:
Para n=1 :
n2=12=1
(2n+1 )=2 ∙1+1=3
(n+1)2=(1+1)2=22=4
Assim; n2+(2n+1 )=1+3=4=(n+1)2
Para n=2 :
n2=22=4
(2n+1 )=2 ∙2+1=5
(n+1)2=(2+1)2=32=9
Assim; n2+(2n+1 )=4+5=9=(n+1)2
Para n=3 :
n2=32=9
(2n+1 )=2 ∙3+1=7
(n+1)2=(3+1)2=42=16
82
Assim; n2+(2n+1 )=9+7=16=(n+1)2
Para n=4 :
n2=42=16
(2n+1 )=2 ∙4+1=9
(n+1)2=(4+1)2=52=25
Assim; n2+(2n+1 )=16+9=25=(n+1)2
Para n=5 :
n2=52=25
(2n+1 )=2 ∙5+1=11
(n+1)2=(5+1)2=62=36
Assim; n2+(2n+1 )=25+11=36=(n+1)2
.
.
.
Qn+ 1=Qn+(2n+1)
Segundo Chiconello (2013), outra forma de trabalhar a investigação
Matemática sobre os números figurados e as sequências recursivas,
especificamente os números triangulares e quadrados, seria através de uma
83
atividade didática com materiais concretos e formulários de preenchimento, para que
os alunos possam através da redescoberta, identificar as propriedades dos números
figurados em questão.
Onde num primeiro momento a proposta da atividade (lição 1)é utilizar o
material concreto. Amanipulação de objetos nesta atividade com os cubinhos de
madeira é de fácil manuseio,estimula a introdução ao assunto, é bem aceita pelos
alunos e ainda, para os alunos doEnsino Médio, é uma atividade pouco explorada.
Na Parte A, os alunos devem, inicialmente, representar na carteira as
configurações dos cubos que se encontram na folha de lição. Aqui também está
sendo observada a maneira como esses alunos farão a representação física desses
cubinhos na carteira, já que na folha a representação é plana.
Além das representações foram criados três itens ((a), (b) e (c)), tanto para os
números triangulares quanto para os números quadrados, perguntando quantos
cubinhos amais foram colocados em relação à etapa anterior. A atividade convida o
aluno a iniciar opensamento recursivo.
Figura 48: Números triangulares com cubinhos de madeira.
Fonte: CHICONELLO,2013, p.30
84
Figura 49:Números quadrados com cubinhos de madeira.
Fonte: CHICONELLO,2013, p.31
Essa atividade tem o intuito geral de um primeiro contato com números
figurados e que, de modo intencional, explorar o manuseio de cubos de madeira
com a finalidade de usar materiais concretos na sala de aula instigando a percepção
de sequências e da recursividade, conforme as figuras 48 e 49.
Enquanto que atividade a seguir, tem dupla finalidade de estudar
representações algébricas egeométricas. Primeiro, a representação pictográfica no
papel de pontos. Essa atividade ébastante simples. O aluno deve seguir o modelo
proposto tanto para números triangularesquanto para os números quadrados. A
finalidade é fazer o aluno perceber padrões atravésdo apelo visual (geométrico).
85
Figura 50: Números Triangulares com pontos ligantes
Fonte: CHICONELLO,2013, p.32
Figura 51: Números quadrados com pontos ligantes.
Fonte: CHICONELLO,2013, p.33
Embaixo de cada desenho ele deve fazer o trabalho algébrico. Colocar
aquantidade de pontos, como no modelo. Note que, nessa lição, já há um convite
àsimbolização, pois o aluno deve perceber que, por exemplo, T 3=6, representa a
quantidade depontos da terceira configuração dos números triangulares, Q2=4,
representa a quantidade depontos da segunda configuração dos números
quadrados. Importante destacar que essaatividade será aplicada a turmas que já
tiveram uma iniciação ao estudo de sequências etambém ao estudo de Progressões
Aritméticas.
Espera-se que os alunos consigam facilmente passar por essa lição, que
exploraa capacidade de visualização, representação e continuação dos modelos
dados. Quanto à partealgébrica basta, após o desenho, contar o número de pontos
desenhados e apresentar aresposta.
Por fim, a descrição das folhas de atividades encerra-se em última atividade
(lição 8). Essa lição inicia-se novamente com um apelo visual (geométrico). Tomam-
se os três primeiros números quadrados e pede-se que os alunos observem o
segmento de reta que separa os númerosquadrados em duas regiões formadas por
pontos que representam números triangulares. A lição é composta de três partes, A,
B e C. Na parte A, a atividade tem natureza geométrica.
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Figura 52: Observação de propriedade de número quadrado, por meio de pontos
ligantes. Fonte: CHICONELLO,2013, p.44
Figura 53: Formulário de preenchimento 1apresentado ao aluno.
Fonte: CHICONELLO,2013, p.45
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Figura 54: Formulário de preenchimento 2 apresentado ao aluno.
Fonte: CHICONELLO,2013, p.45
Segue os três exemplos dados no modelo, ou seja, separar com um
segmento de reta asregiões. Na parte B, mais algébrica, o aluno deve seguir o
modelo. Espera-se que ele percebaque a soma de dois números triangulares
sucessivos dá um número quadrado de ordem igualao maior triangular.
Na parte C, temos a generalização. Também é colocada a expressão para
onúmero triangular de ordem T n−1e de ordem T ne pede-se para que o aluno realize
asoma e confirme sua conjectura.
Esta última atividade visaconectar os números quadrados aos números
triangulares. Em outras palavras, propõe mostrara existência de uma relação entre
esses números poligonais.
Considerações Finais
Neste trabalho, verificamos que o uso do conteúdo histórico no ensino da
Matemática,como um dos elos da Educação Matemática, deve ser o elemento
provocador de investigação a ser explorado nas discussões de uma sala de aula,
por ser um fator esclarecedor dos porquês matemáticos tão questionados pelos
alunos de todos os níveis de ensino, e que dessas informações, o professor possa
abordar os aspectos cotidiano, escolar e científico da Matemática, desde que os
questionamentos sejam bem explorados e elaborados, de maneira que enfatize os
fatos e problemas que, ao longo da Históriada humanidade, provocaram a
indagação e o empenho humano.
Vale ressaltar, que a preocupação de se explorar os números figurados
planos, ocorreu devido a inter-relação que ocorre entre a geometria e os números,
onde os antigos matemáticos usaram objetos geométricos para modelar as relações
aritméticas mais abstratas, e dessa forma, proporcionam ao aluno modelos
geométricos perspicazes, que ajudam em sua compreensão e manipulação de
idéias mais elaboradas.
E desta forma, que as atividades investigatórias propostas tiveram de ser
apresentadas em uma sequência que preservasse a continuidade da aprendizagem
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dos alunos, de forma a impulsioná-los a explorar e construir seus próprios conceitos
matemáticos,em conjunção com materiais concretos e formulários de orientação e
acompanhamento em sala de aula, onde os resultados a se esperar são atividades
empolgantes que proporcionem exercícios de fixação, não- rotineiros, bem como
atividades que promovam o desenvolvimento do pensamento crítico e as habilidades
metacognitivas, levando-o assim a um desenvolvimento do seu senso de auto-
estima e confiança nos seus próprios poderes de observação e pensamento.
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