DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7 Cadernos PDE VOLUME I I. ... os produtos notáveis, fatoração e a resolução geométrica da equação

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional Universidade Estadual de Ponta Grossa

ENI DE PAULA

ALGEOMETRIZANDO: A GEOMETRIA

NA RESOLUÇÃO DE P ROBLEMAS ALGÉBRICOS

PONTA GROSSA 2010

ENI DE PAULA

ALGEOMETRIZANDO: A GEOMETRIA

NA RESOLUÇÃO DE P ROBLEMAS ALGÉBRICOS

Produção Didático-Pedagógica – Unidade Didática desenvolvida como avaliação parcial no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE. Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG. Área: Matemática – Modalidade de Ensino: Educação de Jovens e Adultos – Fase II do Ensino Fundamental. Professor Orientador: Prof. Josnei Francisco Peruzzo

PONTA GROSSA

2010

SUMÁRIO

1. IDENTIFICAÇÃO 4

2. A INTERFACE DA ÁLGEBRA COM A GEOMETRIA 5

3. OFICINA DO ALGEOPLAN 6

3.1. Construção do Algeoplan 6

3.2. Codificação do Algeoplan 6

3.3. Montagem do Algeoplan 7

3.4. ATIVIDADE: Oficina do Algeoplan 10

4. SISTEMATIZANDO OS PRODUTOS NOTÁVEIS 12

4.1. ATIVIDADE: Produtos Notáveis 16

5. FATORAÇÃO 18

5.1. A fatoração no Algeoplan 18

5.2. Sistematizando o cálculo da Fatoração 20

5.3. ATIVIDADE: Fatoração 21

6. EQUAÇÃO DO 2º GRAU 23

6.1. A Resolução Geométrica da Equação do 2º Grau no Algeoplan 24

6.2. Sistematização da Resolução Geométrica da Equação do 2º Grau 28

6.3. ATIVIDADE: Representação Geométrica da Equação do 2º Grau 30

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 33

4

1. IDENTIFICAÇÃO

ÁREA: Matemática

PROFESSOR PDE - TITULADA: Eni de Paula

FORMAÇÃO: Mestrado em Filosofia

PROFESSOR ORIENTADOR IES: Josnei Francisco Peruzzo

NRE: Ponta Grossa

IES: Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG

ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: PROEDUSE – Centro de

Sócio Educação de Ponta Grossa – APED/Especial do CEEBJA – “Prof.

Paschoal Salles Rosa” – Ensino Fundamental e Médio de Ponta Grossa.

PÚBLICO OBJETO DA INTERVENÇÃO: Alunos do

PROEDUSE do Centro Sócio Educação de Ponta Grossa da Fase II do Ensino

Fundamental, na modalidade de Educação de Jovens e Adultos. Alunos estes,

que tenham aproveitamento de estudos por terem cursado a 7ª série do Ensino

Fundamental Regular, ou aqueles que estiverem no Bloco 5, ou seja, 5º registro

de nota da Fase II do Ensino Fundamental na modalidade de Educação de Jovens

e Adultos.

5

2 . A INTERFACE DA ÁLGEBRA COM A GEOMETRIA

Visitando os teóricos matemáticos, percebemos que a álgebra

geométrica grega poderia ser utilizada como uma importante ferramenta, pois

propicia uma interessante interface entre a Álgebra e a Geometria.

A utilização de figuras planas como materiais manipuláveis para

representar concretamente o cálculo de área, perímetro, dimensões na resolução

de situações-problema que envolva as operações com polinômios, especialmente

os produtos notáveis, fatoração e a resolução geométrica da equação do 2º grau,

vem corroborar com o processo ensino-aprendizagem.

Acreditamos que

No momento que o aluno faz a leitura do problema e traduz para o desenho ou montagem, ele está desenvolvendo as regras e as fórmulas sem precisar delas, resolvendo apenas pelo cálculo geométrico, [...] pois é, neste momento, que o aluno percebe o significado de cada regra ou fórmula, tendo assim um aprendizado por inteiro da álgebra. [...] Através da álgebra geométrica podemos integrar os conteúdos de 7ª e 8ª séries do 1º grau, dando aos aluno condição de resolver um problema que envolva produtos notáveis, por exemplo, que por sua vez, vai resultar em um equação do2º grau, que será resolvida pelo cálculo geométrico [...]. (PAULA, 1998, p. 190 e 191)

Ao sistematizarmos a álgebra geométrica grega como ferramenta

na resolução de problemas, sentimos a necessidade de estruturar de uma forma

diferenciada a idéia subtrativa nos diversos cálculos algébricos, para deixar a sua

representação geométrica mais clara e significativa para o aluno.

Autora

6

3. OFICINA DO ALGEOPLAN

A denominação Algeoplan é o resultado da adição das iniciais das

palavras: álgebra + geometria + plana. A sua montagem acontece como se

fossem um quebra cabeça. Ela deve ser registrada, esse registro “desenho” nós

chamaremos de representação geométrica.

3.1. Construção do Algeoplan

Com auxílio de lápis e régua, desenhe em uma placa de EVA as

figuras propostas abaixo e recorte:

• 5 quadrados com 10 cm de lado = quadradão;

• 100 quadrados com 1 cm de lado = quadradinho;

• 20 retângulos com 10 cm de comprimento e 1 cm de largura = tira.

Guarde as peças de seu algeoplan em um pacote.

3.2. Codificação do Algeoplan

Na codificação do algeoplan utilizaremos como código o valor da

área ou superfície de cada figura plana que o compõem.

Quadradão – quadrado com medida x de lado, com área ou superfície igual a x².

Tira – retângulo com medida x de comprimento e 1 de largura, com área ou

superfície igual a x.

Quadradinho –quadrado com medida 1 de lado, com área ou superfície igual a 1.

7

3.3. Montagem do Algeoplan

Na montagem do algeoplan desenvolve-se o cálculo geométrico.

Essa montagem se dá com a aplicação da ideia aditiva, a ideia subtrativa, a ideia

aditiva e a ideia subtrativa simultaneamente dependendo da situação-problema.

Nessa montagem do algeoplan a primeira camada sempre será positiva, a

segunda negativa, a terceira positiva e assim por diante, deixando bem claro,

quais são os termos positivos e os termos negativos. Em toda situação-problema

deve acontecer o registro dessa montagem, ou seja, a sua representação

geométrica. A solução da situação-problema proposta se dá pelo cálculo

geométrico, ou seja, a soma algébrica das áreas das figuras utilizadas, compondo

assim a sua expressão algébrica.

Ideia aditiva – as peças que representam os termos positivos

devem ser posicionadas uma do lado da outra. O registro da representação

geométrica é o desenho, que deve expressar a mesma disposição da montagem. A

quantidade de peças utilizadas é igual ao coeficiente de cada termo da operação.

Ideia subtrativa – primeiramente posicionam-se as peças que

representam os termos positivos, uma do lado da outra. Em seguida, posicionam-

se as peças que representam os termos negativos, as quais devem sobrepor às

peças que representam os termos positivos, para representar a diminuição da área

ocupada. Observe na montagem do algeoplan que a primeira camada é positiva, a

segunda negativa, a terceira positiva.

8

Como por exemplo: Aplicando a Ideia Aditiva:

Um terreno tem de comprimento x + 3 e de largura x + 2.

a) Com auxílio do algeoplan, represente geometricamente esse terreno.

b) Faça a representação geométrica da montagem do algeoplan.

c) Utilize o cálculo geométrico para determinar a área desse terreno?

Solução

a) Montagem do algeoplan.

b) Representação Geométrica do Algeoplan.

c) Área do terreno.

O cálculo geométrico da área total se dá pela soma algébrica dos termos

semelhantes e a organização da expressão algébrica de forma decrescente.

Logo, a área desse terreno é de x² + 5x + 6.

x

1

x² x

x

x

1

x

1

x 1

x 1 1 1

1 1 1

1

x + 3

x + 2

+3x

+2x

x²

+6

9

Como por exemplo: Aplicando a Ideia Subtrativa:

Um terreno tem de comprimento x – 3 e de largura x – 2.




Solução

a) Montagem do algeoplan.

b) Representação Geométrica do Algeoplan.

Para fazer o esboço (desenho) da montagem do Algeoplan. Desenhe o quadradão

maior para poder deixar uma borda ao desenhar as tiras negativas horizontais ou

verticais no seu interior

c) Área desse terreno.

O cálculo geométrico da área total se dá pela soma algébrica dos termos

semelhantes e a organização da expressão algébrica de forma decrescente.

Logo, a área desse terreno é de x² - 5x + 6.

x²

x

x - 3

-3x

-2x +6

x - 3

x - 2

x²

+6 -2x

-3x

10

3.4. ATIVIDADE: Oficina do Algeoplan

1) Um terreno tem de comprimento x – 3 e de largura x + 2.




d) Qual idéia foi utilizada na sua resolução? Argumente.

2) Resolva as operações utilizando a representação geométrica e o cálculo

geométrico.

A) (x + 2)² =

B) (a + b)² =

C) (x – 2)² =

D) (a – b)² =

E) (x + 2) (x – 2) =

F) (a + b) (a – b) =

3) Discutindo as operações realizadas no exercício 2.

Antes de responder, observe as representações geométricas/cálculos geométricos.

a) Cite as figuras geométricas foram utilizadas nas representações geométricas

com suas áreas respectivamente.

11

b) Complete a tabela abaixo com a classificação das expressões algébricas.

Ex.1 Expressão Algébrica Classificação algébrica

A

B

C

D

E

F

c) O que representa o número 2 sobrescrito fora dos parênteses nas questões A,

B, C e D?

d) Qual operação que está representada entre os parênteses das questões E e F?

e) O que significa elevado ao quadrado?

f) Qual figura geométrica representa a potência 2?

h) Quais figuras geométricas representam a expressão algébrica das questões do

exercício 2?

i) Em quais questões do exercício 2, a figura do quadrado representa o seu

cálculo geométrico?

12

4. SISTEMATIZANDO OS PRODUTOS NOTÁVEIS

Na multiplicação de binômio por binômio podemos obter como

produto um binômio ou um trinômio. Quando a figura plana que representa a

expressão algébrica de uma área for um quadrado, dizemos que estamos

trabalhando com um quadrado perfeito, neste caso esta expressão algébrica se

classifica como um trinômio, isto é, um Trinômio do Quadrado Perfeito.

Existem alguns cálculos que apresentam certa regularidade, os

Produtos Notáveis. Dentre eles:

• o quadrado da soma;

• o quadrado da diferença;

• o produto da soma pela diferença.

Quadrado da Soma – É a multiplicação de um binômio do tipo

(a + b) por ele mesmo e a figura plana que representa a sua área total na

representação geométrica é um quadrado.

Faça a representação geométrica de (a + b)² =

Vamos discutir essa representação geométrica.

a) Qual foi o procedimento na montagem da representação geométrica do

primeiro termo?

b) Qual figura geométrica representa esse procedimento?

13

c) Qual foi o procedimento na montagem da representação geométrica do

segundo termo?

d) Qual figura geométrica representa esse procedimento?

e) Qual foi o próximo procedimento?

f) Qual figura geométrica representa esse procedimento?

Acabamos de desenvolver o conceito do Quadrado da Soma, para

sistematizarmos esse conceito basta escrevermos os procedimentos de sua

montagem, transformando-os na seguinte regra:

“O Quadrado da Soma é igual ao quadrado do primeiro termo

mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado do

segundo termo”.

Vamos testar os seus conhecimentos?

Resolva as operações algébricas, aplicando a regra do quadrado da soma:

1) (x + 3)² =

2) (a + 2)² =

3) (2x + 4)² =

Quadrado da Diferença – É a multiplicação de um binômio do

tipo (a - b) por ele mesmo e a figura plana que representa a sua área total na

representação geométrica é um quadrado.

Faça a representação geométrica de (a - b)² =

14



primeiro termo?



segundo termo?




Acabamos de desenvolver o conceito do Quadrado da Diferença,

para sistematizarmos esse conceito basta escrevermos os procedimentos de sua

montagem, transformando-os na seguinte regra:

“O Quadrado da Diferença é igual ao quadrado do primeiro

termo menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado

do segundo termo”.



4) (x - 3)² =

5) (a - 2)² =

6) (2x - 4)² =

15

Produto da Soma pela Diferença - É a multiplicação de um

binômio do tipo (a + b) por outro do tipo (a - b) e a figura plana que representa a

sua área total na representação geométrica é um retângulo.

Faça a representação geométrica de (a + b) (a - b) =



primeiro termo?



segundo termo?




Acabamos de desenvolver o conceito do Produto da Soma pela

Diferença, para sistematizarmos esse conceito basta escrevermos os

procedimentos de sua montagem, transformando-os na seguinte regra:

“O Produto da Soma pela Diferença é igual ao quadrado do

primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.



7) (x + 3) ( x - 3) =

8) (a + 2) (a - 2) =

9) (2x + 4) (2x - 4) =

16

4.1. ATIVIDADE: Produtos Notáveis

1) Para montarmos um laboratório de informática necessitamos de uma sala

quadrada.

a) Com auxílio do algeoplan, faça sua representação geométrica.

b) Qual deve ser a medida dos lados dessa sala?

2) Gostaria de aumentar em 3m a medida do lado de um jardim de forma

quadrada.


b) Qual é a expressão algébrica que representa a sua área?

c) Aplique a propriedade distributiva nas dimensões desse jardim?

d) Esta situação problema pode ser classificada como produtos notáveis?

( ) Não ( ) Sim Qual?

e) Aplique a sua regra nas dimensões desse jardim?

f) Compare e justifique as soluções das questões 'b', 'c', 'e'.

3) Em um barracão de exposição existe um espaço central vazio, de forma

quadrada. Gostaria de aproveitá-lo, montando uma sala de exposição de

artesanato. Preciso deixar um corredor de 2 m de largura em cada lado para a

circulação dos visitantes.


b) Qual é a expressão algébrica que representa a sua área?

c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida do lado dessa

sala?

17

d) Aplique a propriedade distributiva nas dimensões dessa sala?

e) Esta situação problema pode ser classificada como produtos notáveis?


f) Aplique a sua regra nas dimensões desse jardim?

g) Compare e justifique as soluções das questões 'b', 'd', 'f'.

4) Uma costureira tem um pedaço de tecido quadrangular para fazer uma toalha

de mesa retangular, desta forma, ela corta uma tira de um lado do tecido e costura

no outro.


b) Quais são as expressões algébricas que representam as medidas de suas

dimensões?

c) Qual é a expressão algébrica que representa a sua área?

d) Aplique a propriedade distributiva nas dimensões dessa toalha?

e) Esta situação problema pode ser classificada como produtos notáveis?


f) Aplique a sua regra nas dimensões dessa toalha?

g) Compare e justifique as soluções das questões 'c', 'd', 'f'.

5) Uma sala de espera tem área igual a (x² - 4).


b) Qual é a figura plana que representa a sua área?

c) Qual expressão algébrica que representa a medida de seu lado?

d) Qual é a área dessa sala se x for igual a 10 m?

18

5. FATORAÇÃO

Fatoração = divisão. Operação inversa da multiplicação.

Na multiplicação, temos as medidas das dimensões da figura plana

que são os fatores, ao efetuarmos o seu produto, obteremos uma expressão

algébrica que representa a sua área.

Na fatoração a expressão algébrica representa a área da figura plana

e precisamos determinar as medidas das dimensões dessa figura.

5.1 A fatoração no Algeoplan

Agora temos uma expressão algébrica que representa a área da

figura a ser montada no algeoplan.

Para utilizar o algeoplan na fatoração:

1º) Separe as peças referente a expressão algébrica citada na

situação-problema.

2 º) Monte com estas peças uma figura plana, que pode ser um

quadrado ou um retângulo.

� O segundo termo da expressão algébrica é a soma algébrica das áreas

referentes as tiras horizontais (linhas) e as tiras verticais (colunas).

� O terceiro termo da sentença algébrica é o resultado do preenchimento

com quadradinhos das tiras horizontais (linhas) e das tiras verticais

19

(colunas), isto é, o produto das linhas pelas colunas, sejam elas positivas

ou negativas. Precisamos trabalhar com esses dois termos juntos.

3º) Verifique as sentenças algébricas que representam suas

dimensões.

Vamos visualizar este processo.

Como por exemplo:

Uma horta com área x² - x - 6. Quanto mede as suas dimensões?

Trabalhando com o algeoplan.

Separe as peças que representam os termos desse trinômio;

� pegue um quadradão que tem área de x².

Discussão do segundo termo do trinômio (-x).

� Esse termo representa a soma algébrica das tiras horizontais (linhas) e

das tiras verticais (colunas) utilizadas, ele é negativo, isto é, indica que

temos dois valores algébricos com sinais diferentes, sendo que o maior

é negativo;

Discussão do terceiro termo do trinômio é (-6),

� Esse termo representa a quantidade de quadradinhos necessária para o

preenchimento das tiras horizontais (linhas) e o das tiras verticais

(colunas), isto é, o produto das linhas pelas colunas.

� Preencha as linhas e colunas com quadradinhos. Quantos

quadradinhos serão necessários para completar as linhas e colunas?

20

� O contorno representa a área dessa horta.

Verifique a medidas de suas dimensões?

A solução é representada pelas medidas das dimensões desse

retângulo.

Solução: O seu comprimento mede (x+2) e a sua largura tem como medida (x-3).

5.2. Sistematizando o cálculo da Fatoração

Pense em dois números que multiplicados dá (-8) e somados dá (+2). Quais são

esses números?

Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.

Interpretando o enunciado: Pense em dois números ...

� Esses dois números são valores desconhecidos, então, para representá-los

vamos utilizar o quadradão de lado x.

� A soma algébrica dos números é representada pelas tiras, neste caso,

precisamos duas quantias onde a sua soma algébrica seja (+2), de forma

que o maior seja positivo.

x² +x

-x

-x

-x

+x

-1 -1

-1 -1

-1 -1

x + 2

x - 3

21

� E o produto dos números é representado pela quantidade necessária de

quadradinhos para completar essa figura, isto é, para um produto igual a

(-8), um deles deve ser negativo.

Testando os valores encontrados:

� Então:

+=−++−=−+

)2()2()4(

)8()2).(4(

Solução: Esses números são (-2); (+4). Ou simplesmente S = { -2; +4}.

5.3. ATIVIDADE: Fatoração

1) Um cartaz com área igual x² + 4x + 4.

a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.

b) Qual figura plana representa a sua área?

c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida de suas

dimensões?

2) Uma quadra de esportes tem uma área de x² - 7x + 12.



x + 4

x - 2

x² +x

-x

-x

+x

-1 -1

-1 -1

+x +x

-1

-1 -1

-1

22


dimensões?

3) Uma placa de publicidade tem uma área de x² - 3x - 10.




dimensões?

4) Uma sala tem área igual: x² – 4.


b) Qual é a forma da sala e a expressão que representa as suas dimensões?

c) Qual será a área da sala se x for 10 m?

5) Dividindo a área de um retângulo por sua largura, vamos obter o seu

comprimento.

Se o polinômio (2x² + 7x - 15) indica a sua área e (x – 5) a sua largura.

a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica?

b) Qual é o polinômio que representa a medida de seu comprimento?

6) Pense em dois números que multiplicados dá (-15) e somados dá (-8). Quais

são esses números?


b) Quais são esses números?

23

6. EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Quando utilizamos o termo montão para representar certa quantia

ou certa quantidade, normalmente na álgebra representamos por uma letra. A

letra mais utilizada é o x, isso não quer dizer, que não possamos utilizar outra

letra qualquer ou mesmo outro símbolo.

Estas letras ou símbolos dependendo do contexto elas são

chamadas de variáveis ou incógnitas.

Variáveis ou Incógnitas

Vamos utilizar uma pergunta bastante costumeira e que para

algumas pessoas se torna desagradável.

� Quantos anos você tem?

Muitas pessoas não gostam de responder esta pergunta.

Pessoa 1 – Se você é uma dessas pessoas, sugiro que responda por

a estimativa, veja a idade da pessoa que lhe fez a pergunta e acrescente x.

� Suponha que a pessoa tenha uns 17 anos, então diga:

“Eu tenho 17 anos mais x”.

Com certeza se sua idade for visivelmente maior do que esta vai

ser uma risada só, em seguida, pergunte a pessoa: Será que eu nunca tive 17

anos? E acrescente: o x fica por sua conta.

24

Neste caso, temos uma sentença algébrica e o valor desconhecido

é uma variável, pois, x pode assumir mais do que um valor.

Pessoa 2 – Se você é uma pessoa que não se incomoda em revelar a

sua idade, e gosta de fazer o seu interlocutor pensar, lhe sugiro que responda

utilizando a estimativa da idade da pessoa que lhe fez a pergunta acrescentando x

igualando a sua idade real.

� Suponha que a pessoa tenha uns 17 anos, então diga:

“Eu tenho 17 anos mais x igual a cinquenta”

Neste caso, temos uma equação algébrica e o valor desconhecido

é uma incógnita, pois, x só pode assumir um valor, aquele que satisfaça a

equação algébrica.

Como já vimos às sentenças algébricas são classificadas, quanto a

sua quantidade de termos e o grau. Logo, uma sentença algébrica de 2º grau

dependendo do contexto será uma expressão algébrica de 2º grau ou uma

equação algébrica do 2º grau.

6.1. Resolução Geométrica da Equação do 2º Grau no Algeoplan

Toda a equação do 2º grau do tipo ( ax² + bx + c = 0), tem duas

soluções para x, ou seja, duas raízes, uma positiva e outra negativa. Agora,

vamos trabalhar apenas com a raiz positiva.

Para calcularmos esse valor precisamos fatorar = decompor

separadamente os membros dessa equação do 2º grau.

25

02 =++ cbxax

1º membro 2º membro

Fatorar o 1º membro – com o auxílio do algeoplan, faça a

representação geométrica da expressão algébrica que representa a área da figura

proposta, determinado assim, as sentenças algébricas que representam as suas

dimensões.

Fatorar o 2º membro – significa encontrar os pares de fatores que

tenha como produto o valor da área da figura proposta.

Em seguida, igualar as sentenças algébricas que representa suas

dimensões com cada um dos pares dos fatores que representam o valor da sua

área. Determinando assim, os valores de x ou a raiz positiva dessa equação do 2º

grau.

A solução da situação-problema será dada pela substituição do

valor de x nas expressões algébricas que representam as suas dimensões.

Observação importante: Quando no enunciado da situação-

problema não citar o valor da área, nos igualamos à equação do 2º grau a zero.

Como por exemplo:

Um canteiro de girassóis é representado pela expressão x² + x – 6.

Considerando que sua área é igual a 14 m².

a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse

canteiro?

26

b) Iguale essa expressão algébrica com a área dada.

c) Essa igualdade transforma a expressão algébrica em:

d) Qual é o grau dessa equação algébrica?

e) Então, ela se chama:

f) Faça a representação geométrica do 1º membro.

Vamos resolver juntos?

Faça a montagem do seu algeoplan, ao ler o texto.

O coeficiente de x² é (+1), então, precisamos de 1 quadradão para

representá-lo.

O coeficiente de x é (+1) e o termo independente é (-6).

Então, precisamos encontrar dois números que somados de (+1) e

multiplicados (-6).

Logo, esses números devem ter sinais diferentes e o maior ser

positivo.

Com auxílio do algeoplan, podemos montar a figura por tentativas,

isto é, precisamos ter uma soma algébrica (+1), ou seja, uma tira positiva.

Relembrando, na soma algébrica uma tira negativa anula uma tira

positiva. E os quadradinhos servem para completar as linhas e colunas da figura.

Desta forma, vamos colocando tiras positivas e tiras negativas até

precisarmos completar as linhas e colunas com 6 quadradinhos, os quais

representam o termo independente (-6), isto significa, a multiplicação entre a

quantia de tiras horizontais (linhas) pela quantia de tiras verticais (colunas).

27

Analisando a representação geométrica do 1º membro. Utilizamos:

� um quadradão que representa x²

� os 3 tiras positivas e 2 tiras negativas, sendo:

� +3x -2x = +x

� (+3).(-2) = (-6)

Completamos assim, representação geométrica do 1º membro.

g) Quais são as sentenças algébricas que representam as suas

dimensões?

h) Qual é o valor que representa a área desse canteiro?

i) Quais são os pares de fatores que tem como produto a área desse

canteiro?

Você deve estar pensando: “Até aqui eu sei tudo.”

Então, preste atenção! Vamos dar continuidade ao

desenvolvimento do conhecimento algébrico.

j) Calcule as dimensões desse canteiro.

Para calcular as dimensões desse canteiro, precisamos descobrir o

valor para x, ou seja, a raiz positiva dessa equação do 2º grau.

x

-1

x²

-x

x + 3

x - 2

x x

-1 -1

-x -1 -1 -1

28

Então, iguale as sentenças algébricas que representam as dimensões

do canteiro com cada um dos pares dos fatores que tem como produto a sua área.



6.2. Sistematização da Resolução Geométrica da Equação do 2º Grau

Vamos retomar a situação-problema para sistematizar o processo.

Um canteiro de girassóis é representado pela expressão x² + x – 6.

Considerando que sua área é igual a 14 m².

j) Calcule as dimensões desse canteiro.

� Fatorar separadamente o 1º e o 2º membro da Equação do 2º

grau.

1º membro

Sentença algébrica que representa a área do

canteiro.

2º membro

Área do canteiro

x² + x – 6 = 14

Com auxílio do algeoplan faça a representação

geométrica para determinar as sentenças

algébricas que representam suas dimensões.

Encontre os pares de

fatores como produto

igual a área.

Comprimento (x + 3)

Largura (x – 2)

(14, 1)

(1,14)

(2,7)

(7,2)

� Igualar as sentenças algébricas que representa as dimensões do

canteiro com cada um dos pares dos fatores obtidos.

29

(14,1) (1,14)

Comprimento Largura Comprimento Largura

x + 3 = 14

Subtraindo 3 em

ambos os membros,

temos:

x + 3 – 3 = 14 – 3

x = 11

x – 2 = 1

Adicionando 2 em

ambos os membros,

temos:

x – 2 + 2 = 1 + 2

x = 3

x + 3 = 1

Subtraindo 3 em

ambos os membros,

temos:

x + 3 – 3 = 1 – 3

x = (-2)

x – 2 = 14

Adicionando 2 em

ambos os membros,

temos:

x – 2 + 2 = 14 + 2

x = 16

Solução: Falsa Solução: Falsa

(2,7) (7,2)

Comprimento Largura Comprimento Largura

x + 3 = 2

Subtraindo 3 em

ambos os membros,

temos:

x + 3 – 3 = 2 – 3

x = (-1)

x – 2 = 7

Adicionando 2 em

ambos os membros,

temos:

x – 2 + 2 = 7 + 2

x = 9

x + 3 = 7

Subtraindo 3 em

ambos os membros,

temos:

x + 3 – 3 = 7 – 3

x – 2 = 2

Adicionando 2 em

ambos os membros,

temos:

x – 2 + 2 = 2 + 2

Solução: Falsa Solução: Verdadeira

De posse do valor de x, ou seja, a raiz positiva da Equação do 2º

Grau pode calcular as dimensões do canteiro de girassóis. Substitua o valor de x

nas sentenças algébricas que representam as dimensões do canteiro.

Comprimento (x +3) para x = 4 Largura (x – 2) para x = 4

C = x +3

Substituindo na equação o valor de x

C = 4 + 3

L = x – 2

Substituindo na equação o valor de x

L = 4 – 2

x = 4 x = 4

L = 2m C = 7m

30

Analisando a validação dos valores encontrados para as dimensões.

Geometria Álgebra

Calcule a área da figura. Substitua o valor de x na equação do 2º Grau.

A = C . L

A = 7 . 2

x² + x - 6 = 14

4² + 4 - 6 = 14

16 + 4 - 6 = 14



Solução: As dimensões desse canteiro são de 7m de comprimento e 2 m de

largura.

6.3. ATIVIDADE: Representação Geométrica da Equação do 2º Grau

1) Uma casa tem a área representada pela expressão algébrica (x² + 8x + 16).

Sendo que sua área é de 64 m².


b) Qual figura geométrica que representa a sua área?

c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida de seu lado?

d) Quais são os pares de fatores que tem como produto a sua área.

e) Calcule x para esta equação do 2º grau.

f) Qual é a medida do lado dessa casa?

A = 14 m² 14 = 14

31

2) Uma sala tem a área representada pela expressão algébrica (x² - 5x + 6). Sendo

que sua área é de 30 m².



c) Quais são as expressões que representam as medidas de suas

dimensões?



f) Quanto vale as suas dimensões?

3) Um terreno tem a área representada pela expressão algébrica (x² - 9). Sendo

que sua área é de 81 m².



c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida de seu lado?



f) Qual é a medida do lado desse terreno?

4) Um jardim tem a área representada pela expressão algébrica (x² + 4x - 21).

Sendo que sua área é de 60 m².



32


dimensões?



f) Quanto vale as suas dimensões?

5) Uma faixa de publicidade tem a área representada pela expressão (x² + 5x).




dimensões?

d) Calcule x para esta equação do 2º grau.

e) Quais são as medidas de suas dimensões?

6) Uma tampa de uma caixa tem como medidas de suas dimensões (x - 3) de

comprimento e (x + 2) de largura. Sabendo que sua área é de 24 cm².



c) Qual é a expressão algébrica que representa a sua área?

d) Calcule x para esta equação do 2º grau.

e) Quais são as medidas de suas dimensões?

33

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BAUMGART J. K., Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula - História da Álgebra. São Paulo: Atual, 1992. BOYER, C. B., História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974. DANTE, L. R., Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2002. DEMO, P. Pesquisa e construção do conhecimento. Rio de Janeiro: Tempo Brasileiro, 1996. IFRAH, G., Os números: A história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1989. HOWARD, E., Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.

LORENZATO, S., Para aprender matemática. Campinas: Autores Associados, 2006. PAULA, E., Álgebra Geometrizada. VI Encontro Nacional de Educação Matemática. São Leopoldo: SBEM, 1998. POLYA, G., A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. SEED - Secretaria de Estado da Educação do Paraná. DCEs-Matemática Diretrizes Curriculares da rede pública de Educação Básica do Estado do Paraná. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/portal/diretrizes/pdf/t_matematica.pdf - Acesso em 29/09/2009. SEED - Secretaria de Estado da Educação do Paraná. DCEs-EJA Diretrizes Curriculares da Educação de Jovens e Adultos do Estado do Paraná. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/portal/diretrizes/pdf/t_eja.pdf - Acesso em 29/09/2009.

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SITE – Texto sobre Bhaskara. Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html - Acessado em 21/08/2009. SITE – Texto sobre Resolução de Problemas Matemáticos em: www.ime.usp.br/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf-Similares - Acessado em 08/02/2010.

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