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MATRIZES
Definição
Chama-se matriz do tipo m x n (m ∈ IN* e n ∈ IN*) a toda tabela M formada por números reais
distribuídos em m linhas e n colunas.
Em uma matriz M de m linhas e n colunas podemos representar seus elementos da seguinte
maneira:
M =
mn5m4m3m2m1m
n22524232221
n11514131211
a...aaaaa.....................
a...aaaaaa...aaaaa
Exemplos:
M =
−5/2013
M =
−
−π−
86016e24230590sen1 o
é uma matriz 2 x 2 é uma matriz 3 x 5
Podemos representar os elementos de uma matriz entre parênteses ou entre colchetes.
Adição de matrizes
Chama-se soma de duas matrizes Am x n e Bm x n a matriz Cm x n , cujos elementos são iguais à
soma dos elementos correspondentes de A e B.
Exemplo:
+ =
=
−+
−
−078384
218015
260391
Produto de número real por uma matriz
Dada a matriz A e o número real k, obtemos o produto de k por A, multiplicando-se todos os
elementos de A por k.
Exemplo: Se A =
−5/2013
e k = 5, então k.A = 5 .
−5/2013
=
−20515
A notação usada a14 indica
que este elemento está na
1ª linha e na 4ª coluna.
Multiplicação de matrizes
Dadas duas matrizes Am x n e Bn x p, chama-se produto, que se indica por A.B, a matriz Cm x p tal
que cada elemento da matriz C é calculado da seguinte maneira
cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ai4 . b4j + ... + ain . bnj
Observação 1: Na multiplicação de matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser
igual ao número de linhas da segunda matriz.
Observação 2: A matriz resultante da multiplicação de A por B terá o número de linhas da
matriz A e o número de colunas de B.
Veja:
A2 x 3 . B3 x 5 = C2 x 5
= Exemplo:
Dadas as matrizes A =
− 521
101 e B =
20
1
obtenha A.B e B.A, se existirem.
A2 x 3 e B3 x 1 , é possível multiplicarmos A por B, pois o número de colunas de A é igual ao
número de linhas de B. A matriz A.B terá 2 linhas e 1 coluna.
Visualização da multiplicação:
A =
− 521
101
++−
++2.50.21).1(
2.10.01.1 = A.B Logo A.B =
93
B =
20
1
B3 x 1 e A2 x 3 não é possível multiplicarmos B por A, pois o número de colunas de A é diferente
do número de linhas de B.
DETERMINANTES
Definição de determinante (n = 3):
Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de
ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz M (e indicamos por det M) o
número que podemos obter operando com os elementos de M da seguinte forma:
1º. Se M é de ordem n = 1, então det M é único elemento de M.
[ ] 1111 aM detaM =⇒=
Exemplo
[ ] 6M det6M =⇒= .
2º. Se M é de ordem n = 2, então det M é o produto dos elementos da diagonal principal
menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
211222112221
1211
2221
1211 aaaaaaaa
M detaaaa
M −==⇒
=
Exemplos
( ) 1041232413M det24
13M =⋅−−⋅=−=⇒
−=
( )yxcosysenxsenycosxcosycosysenxsenxcos
M detycosysenxsenxcos
M +=⋅−⋅=
=⇒
=
3º. Se M é de ordem n = 3, isto é,
=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
M então
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
M det −−−++==
Exemplo:
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 942861753843762951987654321
0
Definição: Seja M uma matriz quadrada de ordem n. O cofator do elemento aij da matriz M é
dado por ijji
ij D)1(A ⋅−= + , onde Dij é o determinante da matriz M quando excluímos sua linha i
e sua coluna j.
Exemplo:
Três dos cofatores da matriz
−−−=613251
702M são:
[ ] 28)230()1)(2(65)1(6125)1(A 211
11 =−+=−−−⋅⋅−=−−⋅−= +
[ ] 0)66()3)(2(61)1(6321)1(A 321
12 =−−=−−−⋅⋅−=−−⋅−= +
[ ] 14)151()3(5)1(1)1(1351)1(A 431
13 −=+−+=−−−⋅⋅−=−−⋅−= +
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada de ordem n (qualquer n natural)
pode ser calculado do seguinte modo:
1) escolha uma linha (ou coluna) da matriz e calcule os cofatores dos elementos dessa linha
(ou coluna).
2) calcule o produto dos elementos dessa linha (ou coluna) pelo seu respectivo cofator.
3) o determinante é dado pela soma dos produtos obtidos.
Observação: Para uma matriz de ordem 3,
=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
M , se escolhermos a primeira
linha, teremos que o determinante será dado por
3231
222113
3331
232112
3332
232211
3231
22211113
3331
23212112
3332
23221111
131312121111
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaa
)1(aaaaa
)1(aaaaa
)1(a
AaAaAaMdet
⋅+⋅−⋅=
=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
=⋅+⋅+⋅=
+++
Exemplo:
344522)1(4)5(11302273
52471501
713502241
=++−=⋅+−⋅−−⋅=⋅+⋅−⋅=
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 4. Atual editora. São Paulo, 2000.
Exercícios sobre matrizes
1) Calcule 2A + 3B para:
a) A =
4531
e B =
−3201
b) A =
−1273
41
e B =
−
−
3423
11
c) A =
− 3153
21
e B =
−
−3017110
2) Dada a matriz A =
−
7541
63
, escreva A na forma A = λ B, com B =
wtzy
x1
e na forma
A = α C, com
=
f1dc
ba
C .
3) Calcule os seguintes produtos:
a) [ ]5120.3
1−
−
b) ( )
− 03
2
11
0
.192
4) Sendo A =
−oo
oo
15cos15sen
15sen15cos , calcule 2(A.A).
Lembrete: sen(2a) = 2sen(a).cos(a) cos(2a) = cos2(a) - sen2(a)
Exercícios sobre determinantes 1) Calcule os determinantes abaixo:
a) 7152
b) 51
ba−
c)
132479
321
d)
144037
021
−
2) Para quais valores de a e b o determinante ba2
a31
a2
pode ser zero?
3) Para que valores de a, o determinante
13a2x11x2x 2
pode se anular? (Considere que x é raiz
real do polinômio de segundo grau correspondente).
4) Utilize o teorema de Laplace para calcular os determinantes abaixo.
Observação: 3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
aaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaa
aaa
⋅+⋅−⋅=
a) 574213752
− b) 741123301
− c)
413312cba
d) 301112kji
−
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO – MATRIZES E DETERMINANTES MATRIZES
1) a)
−171661
b)
−11162015
55
c) Não é possível realizar a operação 2A + 3B, pois
as matrizes A3 x 2 e B2 x 3 não são de mesmo tipo.
2) A = 3
−
3/73/53/43/1
21
A = 5
−
5/715/45/1
5/65/3
3) a)
−−
−153605120
b) ( )318
4)
−31
13
DETERMINANTES 1) a) 9 b)-5a-b c) 32 d) -11. 2) a = 0 ou b = 2/3
3) 613,3469218a ≈+> ou 387,169218a ≈−< . 4) a) 102
b) 52
c) cba1312c43
32b4131a
413312cba
−+=+−=
d) kjikji
kji
+−=−
⋅+−
⋅−⋅=−
730112
3112
3011
301112
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