MATRIZES

Definição

Chama-se matriz do tipo m x n (m ∈ IN* e n ∈ IN*) a toda tabela M formada por números reais

distribuídos em m linhas e n colunas.

Em uma matriz M de m linhas e n colunas podemos representar seus elementos da seguinte

maneira:

M =

mn5m4m3m2m1m

n22524232221

n11514131211

a...aaaaa.....................

a...aaaaaa...aaaaa

Exemplos:

M =

−5/2013

M =

−

−π−

86016e24230590sen1 o

é uma matriz 2 x 2 é uma matriz 3 x 5

Podemos representar os elementos de uma matriz entre parênteses ou entre colchetes.

Adição de matrizes

Chama-se soma de duas matrizes Am x n e Bm x n a matriz Cm x n , cujos elementos são iguais à

soma dos elementos correspondentes de A e B.

Exemplo:

+ =

=

−+

−

−078384

218015

260391

Produto de número real por uma matriz

Dada a matriz A e o número real k, obtemos o produto de k por A, multiplicando-se todos os

elementos de A por k.

Exemplo: Se A =

−5/2013

e k = 5, então k.A = 5 .

−5/2013

=

−20515

A notação usada a14 indica

que este elemento está na

1ª linha e na 4ª coluna.

Multiplicação de matrizes

Dadas duas matrizes Am x n e Bn x p, chama-se produto, que se indica por A.B, a matriz Cm x p tal

que cada elemento da matriz C é calculado da seguinte maneira

cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ai4 . b4j + ... + ain . bnj

Observação 1: Na multiplicação de matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser

igual ao número de linhas da segunda matriz.

Observação 2: A matriz resultante da multiplicação de A por B terá o número de linhas da

matriz A e o número de colunas de B.

Veja:

A2 x 3 . B3 x 5 = C2 x 5

= Exemplo:

Dadas as matrizes A =

− 521

101 e B =

20

1

obtenha A.B e B.A, se existirem.

A2 x 3 e B3 x 1 , é possível multiplicarmos A por B, pois o número de colunas de A é igual ao

número de linhas de B. A matriz A.B terá 2 linhas e 1 coluna.

Visualização da multiplicação:

A =

− 521

101

++−

++2.50.21).1(

2.10.01.1 = A.B Logo A.B =

93

B =

20

1

B3 x 1 e A2 x 3 não é possível multiplicarmos B por A, pois o número de colunas de A é diferente

do número de linhas de B.

DETERMINANTES

Definição de determinante (n = 3):

Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de

ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz M (e indicamos por det M) o

número que podemos obter operando com os elementos de M da seguinte forma:

1º. Se M é de ordem n = 1, então det M é único elemento de M.

[ ] 1111 aM detaM =⇒=

Exemplo

[ ] 6M det6M =⇒= .

2º. Se M é de ordem n = 2, então det M é o produto dos elementos da diagonal principal

menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

211222112221

1211

2221

1211 aaaaaaaa

M detaaaa

M −==⇒

=

Exemplos

( ) 1041232413M det24

13M =⋅−−⋅=−=⇒

−=

( )yxcosysenxsenycosxcosycosysenxsenxcos

M detycosysenxsenxcos

M +=⋅−⋅=

=⇒

=

3º. Se M é de ordem n = 3, isto é,

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

M então

332112322311312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

M det −−−++==

Exemplo:

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 942861753843762951987654321

0

Definição: Seja M uma matriz quadrada de ordem n. O cofator do elemento aij da matriz M é

dado por ijji

ij D)1(A ⋅−= + , onde Dij é o determinante da matriz M quando excluímos sua linha i

e sua coluna j.

Exemplo:

Três dos cofatores da matriz

−−−=613251

702M são:

[ ] 28)230()1)(2(65)1(6125)1(A 211

11 =−+=−−−⋅⋅−=−−⋅−= +

[ ] 0)66()3)(2(61)1(6321)1(A 321

12 =−−=−−−⋅⋅−=−−⋅−= +

[ ] 14)151()3(5)1(1)1(1351)1(A 431

13 −=+−+=−−−⋅⋅−=−−⋅−= +

Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada de ordem n (qualquer n natural)

pode ser calculado do seguinte modo:

1) escolha uma linha (ou coluna) da matriz e calcule os cofatores dos elementos dessa linha

(ou coluna).

2) calcule o produto dos elementos dessa linha (ou coluna) pelo seu respectivo cofator.

3) o determinante é dado pela soma dos produtos obtidos.

Observação: Para uma matriz de ordem 3,

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

M , se escolhermos a primeira

linha, teremos que o determinante será dado por

3231

222113

3331

232112

3332

232211

3231

22211113

3331

23212112

3332

23221111

131312121111

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaa

)1(aaaaa

)1(aaaaa

)1(a

AaAaAaMdet

⋅+⋅−⋅=

=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=

=⋅+⋅+⋅=

+++

Exemplo:

344522)1(4)5(11302273

52471501

713502241

=++−=⋅+−⋅−−⋅=⋅+⋅−⋅=

Bibliografia:

1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São

Paulo, 2002.

2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 4. Atual editora. São Paulo, 2000.

Exercícios sobre matrizes

1) Calcule 2A + 3B para:

a) A =

4531

e B =

−3201

b) A =

−1273

41

e B =

−

−

3423

11

c) A =

− 3153

21

e B =

−

−3017110

2) Dada a matriz A =

−

7541

63

, escreva A na forma A = λ B, com B =

wtzy

x1

e na forma

A = α C, com

=

f1dc

ba

C .

3) Calcule os seguintes produtos:

a) [ ]5120.3

1−

−

b) ( )

− 03

2

11

0

.192

4) Sendo A =

−oo

oo

15cos15sen

15sen15cos , calcule 2(A.A).

Lembrete: sen(2a) = 2sen(a).cos(a) cos(2a) = cos2(a) - sen2(a)

Exercícios sobre determinantes 1) Calcule os determinantes abaixo:

a) 7152

b) 51

ba−

c)

132479

321

d)

144037

021

−

2) Para quais valores de a e b o determinante ba2

a31

a2

pode ser zero?

3) Para que valores de a, o determinante

13a2x11x2x 2

pode se anular? (Considere que x é raiz

real do polinômio de segundo grau correspondente).

4) Utilize o teorema de Laplace para calcular os determinantes abaixo.

Observação: 3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaa

aaa

⋅+⋅−⋅=

a) 574213752

− b) 741123301

− c)

413312cba

d) 301112kji

−

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO – MATRIZES E DETERMINANTES MATRIZES

1) a)

−171661

b)

−11162015

55

c) Não é possível realizar a operação 2A + 3B, pois

as matrizes A3 x 2 e B2 x 3 não são de mesmo tipo.

2) A = 3

−

3/73/53/43/1

21

A = 5

−

5/715/45/1

5/65/3

3) a)

−−

−153605120

b) ( )318

4)

−31

13

DETERMINANTES 1) a) 9 b)-5a-b c) 32 d) -11. 2) a = 0 ou b = 2/3

3) 613,3469218a ≈+> ou 387,169218a ≈−< . 4) a) 102

b) 52

c) cba1312c43

32b4131a

413312cba

−+=+−=

d) kjikji

kji

+−=−

⋅+−

⋅−⋅=−

730112

3112

3011

301112