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GUIA DOPROFESSOR
MATEMÁTICA 12
MATEMÁTICA A | 12.º ANO
Luzia GomesDaniela Raposo
GUIA DOPROFESSOR
MATEMÁTICA 12
MATEMÁTICA A | 12.º ANO
Luzia GomesDaniela Raposoo
Introdução.............................................................................................................. 5
Apresentação do projeto Matemática 12 ................................................. 7
Proposta de planificação ................................................................................. 8
Propostas de resolução dos exercícios do manual ............................... 13
Tema I – Probabilidades e combinatória ....................................................... 14
Unidade 1 – Conceitos probabilísticos ......................................................... 14
Unidade 2 – Operações com acontecimentos............................................. 15
Unidade 4 – Definição clássica de probabilidade ....................................... 16
Unidade 5 – Definição axiomática de probabilidade .................................. 18
Unidade 6 – Probabilidade condicionada e independência........................ 20
Unidade 7 – Distribuição de frequências relativas e distribuição
de probabilidades .................................................................... 23
Unidade 8 – Modelo normal. Histograma versus função densidade......... 26
Aprende fazendo ...................................................................................... 27
Unidade 9 – Análise combinatória .............................................................. 43
Unidade 10 – Triângulo de Pascal e binómio de Newton ........................... 45
Unidade 11 – Modelo binomial ..................................................................... 47
Aprende fazendo ...................................................................................... 47
Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II................................................ 56
Unidade 1 – Função exponencial da base superior a 1 ................................ 56
Unidade 2 – Função logarítmica de base superior a 1 ................................ 60
Aprende fazendo ...................................................................................... 73
Unidade 3 – Teoria dos limites .................................................................... 86
Unidade 4 – Continuidade ........................................................................... 91
Unidade 5 – Assíntotas do gráfico de uma função .................................... 95
Aprende fazendo ...................................................................................... 101
Unidade 6 – Derivadas ................................................................................. 117
Unidade 7 – Aplicações das derivadas ........................................................ 126
Aprende fazendo ...................................................................................... 142
Tema III – Trigonometria e números complexos........................................... 161
Unidade 1 – Revisões sobre trigonometria ................................................. 161
Unidade 2 – Funções trigonométricas ........................................................ 165
Unidade 3 – Fórmulas trigonométricas: seno, cosseno e tangente da
soma de dois ângulos ............................................................. 168
Unidade 4 – Estudo intuitivo de ................................................ 169
Unidade 5 – Derivadas das funções trigonométricas: seno, cosseno
e tangente ............................................................................... 170
Unidade 6 – Estudo de funções trigonométricas....................................... 173
Aprende fazendo ...................................................................................... 175
Unidade 7 – Números complexos................................................................ 185
Unidade 8 – Números complexos na forma algébrica ............................... 186
Unidade 9 – Representação trigonométrica de um número complexo .... 190
Unidade 10 – Domínios planos e condições em variável complexa ........... 198
Aprende fazendo ...................................................................................... 202
limsen
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xx→
ÍNDICE
Introdução
O projeto Matemática 12 resulta da nossa experiência de sala de aula, do contacto com osalunos, colegas e pais.
Desta nossa experiência como professoras nasceu a convicção de que o aluno tem de seragente ativo no seu processo de aprendizagem. Pensamos que a Matemática se “aprende fa-zendo”; pensamos que tem de haver uma componente prática muito forte que complemente aparte teórica; tem de haver uma orientação muito clara, e costumamos dizer “o exercício certona altura certa”. Além disso, e tendo em conta as características do ensino atual, temos de sercapazes de chegar ao aluno com mais dificuldades, fazer com que o aluno médio vá mais longee estimular o aluno bom. Em resumo, procurámos seguir o lema: “Matemática para todos”.
As Autoras
5Introdução | Matemática 12
Apresentação do projeto Matemática 12
O projeto Matemática 12 contempla os seguintes componentes:
Para o Aluno
– Manual (3 volumes)– Caderno de Testes– Manual Multimédia– www.matematica12.asa.pt
Para o Professor
– Manual (Edição do Professor) – 3 volumes– Guia do Professor– – www.matematica12.asa.pt
Manual (Edição do Aluno e Edição do Professor)
O Manual – Edição do Aluno – encontra-se estruturado da seguinte forma:– A rubrica “Precisas mesmo de saber…” permite, sempre que necessário, recuperar pré-
-requisitos essenciais à compreensão dos conteúdos da unidade que se irá iniciar.– Com as tarefas de introdução pretende-se, sempre que possível, mostrar aplicações signi-
ficativas para a matéria em estudo. Cada unidade começa, sempre que oportuno, com umproblema cuja solução aborda conceitos a desenvolver.
– Ao longo do Manual, na margem, apresentam-se exercícios propostos que acompanhamos conteúdos abordados, tendo em vista a sua consolidação.
– A rubrica “Esquematizando/ Resumindo”, com pequenas sínteses intercalares, é uma pre-sença constante ao longo de todo o Manual.
– A rubrica “Erro Típico”, que constitui um alerta para erros frequentemente cometidos pelosalunos, apresenta exemplos de respostas corretas e incorretas.
– Vasto conjunto de exercícios/problemas na rubrica “Aprende fazendo”; estes exercícios en-contram-se organizados por cores, que caracterizam o grau de dificuldade/exigência dosmesmos. Foi ainda uma constante preocupação a inclusão de itens de seleção (escolhamúltipla) e itens de construção que incluem resolução de problemas, desenvolvimento deraciocínios demonstrativos, uso obrigatório de calculadora gráfica e composição, sendo estesitens de presença comum em todos os Exames Nacionais dos últimos anos. Assim, ao longodo Manual surgem exercícios resolvidos que envolvem o uso da calculadora gráfica (TI-84,TI-nspire e Casio fx-9860GII SD).
– Sempre que oportuno, incluíram-se, na margem, as rubricas “Notas”, “Observações”, “Re-corda” e “Atenção”.
– A rubrica “Contextualização histórica” e/ou “Curiosidades”, com informação sobre históriade conceitos matemáticos e/ou referências a matemáticos.
Na edição do manual do professor encontrará informação exclusiva: soluções de todos osexercícios junto dos respetivos enunciados e remissões para todos os recursos multimédia exis-tentes em .
Relativamente à ordem pela qual elaborámos as unidades temáticas, seguimos as orientaçõesdo programa, com exceção das unidades Continuidade e Assíntotas, que apresentamos por estaordem.
7Apresentação do projeto | Matemática 12
Caderno de Testes
Contempla 7 testes cumulativos (cada um com uma duração previsível de 90 minutos) e 2testes globais.
Cada teste é ainda acompanhado de proposta de resolução, de critérios específicos de classi-ficação, estimulando a autoavaliação do aluno, e ainda de alguns exemplos de respostas corretas,incorretas e das respetivas cotações.
Guia do Professor
Contém a resolução completa e detalhada de todos os exercícios do Manual.
A plataforma possibilita a fácil exploração do projeto Matemática 12, atravésda utilização das novas tecnologias em sala de aula. Trata-se de uma ferramenta inovadora quepermite:
• a projeção e exploração das páginas do manual em sala de aula;
• o acesso a um vasto conjunto de conteúdos multimédia integrados com o manual: � 15 animações – abordam de forma interativa os diversos conteúdos, possibilitando uma
avaliação do aluno através de atividades de consolidação. � 35 aplicações realizadas em GeoGebra – exploram de forma dinâmica diferentes con-
teúdos dos três temas abordados, facilitando a aprendizagem. � 46 testes interativos – banco de testes interativos, personalizáveis e organizados pelas
diversas unidades do manual. � links Internet – endereços para páginas na Internet de apoio às matérias, de forma a
complementar os conteúdos destacados no Matemática 12.
• a avaliação dos alunos: � utilização de testes predefinidos ou criação de novos a partir de uma base de cerca de
300 questões; � impressão de testes para distribuição; � envio, online, de testes para os alunos, com a correção automática; � relatórios de avaliação detalhados que permitem um acompanhamento do progresso
dos alunos.
• a troca de mensagens e a partilha de recursos com os alunos.
Proposta de planificação
Segue-se uma sugestão de gestão temporal do programa.
As indicações metodológicas referem-se apenas aos exercícios propostos na margem lateraldo Manual. O professor poderá fazer uma gestão dos exercícios da rubrica “ Aprende fazendo” deacordo com as suas necessidades, atendendo ao tipo de alunos que tem e ao tempo disponível.
Matemática 12 | Guia do Professor8
9Apresentação do projeto | Matemática 12
UnidadeAulas de 90 min
Sugestões metodológicas
1. Conceitos probabilísticos 1 – Explorar as páginas 12 a 15 do Manual.– Explorar a tarefa da página 10.– Resolver os exercícios propostos 1 a 9.
2. Operações com acontecimen-tos
2 – Explorar as páginas 16 a 19 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 10 a 16.
3. Definição frequencista de pro-babilidade
1 – Explorar as páginas 20 e 21 do Manual.– O professor pode explorar jogos ou utilizar a
calculadora para encontrar valores experi-mentais para a probabilidade de aconteci-mentos que estão a ser estudados.
4. Definição clássica de probabi-lidade
4 – Explorar as páginas 22 a 31 do Manual.– Explorar a tarefa da página 22.– Resolver os exercícios propostos 17 a 36.
5. Definição axiomática de pro-babilidade
3 – Explorar as páginas 32 a 37 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 37 a 46.
6. Probabilidade condicionada eindependência
3 – Explorar as páginas 38 a 55 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 47 a 63.
7. Distribuição de frequências re -lativas e distribuição de pro -babilidades
2 – Explorar as páginas 56 a 75 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 64 a 75.
8. Modelo normal. Histogra maversus função densidade
2 – Explorar as páginas 76 a 83 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 76 a 80.
9. Análise combinatória 7 – Explorar as páginas 104 a 125 do Manual.– Explorar a tarefa da página 104.– Resolver os exercícios propostos 81 a 113.– Sugerir a resolução do Teste nº 1 do Caderno
de Testes.
10. Triângulo de Pascal e binó-mio de Newton
3 – Explorar as páginas 126 a 133 do Manual.– Explorar a tarefa da página 126.– Resolver os exercícios propostos 114 a 120.– Explorar a tarefa da página 132.– Resolver os exercícios propostos 121 a 125.
11. Distribuição binomial 2 – Explorar as páginas 134 a 137 do Manual.– Explorar a tarefa da página 134.– Resolver os exercícios propostos 126 e 127.– Sugerir a resolução do Teste nº 2 do Caderno
de Testes.
Tema I – Probabilidades e combinatória
Matemática 12 | Guia do Professor10
Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II
UnidadeAulas de 90 min
Sugestões metodológicas
1. Função exponencial de basesuperior a 1
3 – Explorar as páginas 8 a 23 do Manual.– Explorar as tarefas da página 6.– Resolver os exercícios propostos 1 a 11.
2. Função logarítmica de basesuperior a 1 4
– Explorar as páginas 24 a 53 do Manual.– Explorar a tarefa da página 24.– Resolver os exercícios propostos 12 a 40.
3. Limites 4 – Explorar as páginas 66 a 89 do Manual.– Explorar as tarefas da página 66.– Resolver os exercícios propostos 41 a 61.– Sugerir a resolução do Teste nº 3 do Caderno
de Testes.
4. Continuidade 3 – Explorar as páginas 90 a 105 do Manual.– Explorar a tarefa da página 90.– Resolver os exercícios popostos 62 a 76.
5. Assíntotas do gráfico de umafunção
4 – Explorar as páginas 106 a 117 do Manual.– Explorar a tarefa da página 106.– Resolver os exercícios propostos 77 a 85.– Sugerir a resolução do Teste nº 4 do Caderno
de Testes.
6. Derivadas 6 – Explorar as páginas 134 a 161 do Manual.– Explorar a tarefa da página 134.– Resolver os exercícios propostos 86 a 96.– Explorar a tarefa da página 150.– Resolver os exercícios propostos 97 a 111.
7. Aplicações das derivadas 6 – Explorar as páginas 162 a 191 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 112 a 132.– Sugerir a resolução do Teste nº 5 do Caderno
de Testes
11Apresentação do projeto | Matemática 12
Tema III – Trigonometria e números complexos
UnidadeAulas de 90 min
Sugestões metodológicas
1. Funções trigonométricas 6 – Explorar as páginas 6 a 31 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 1 a 25.
3. Fórmulas trigonométricas: se -no, cosseno e tangente da so -ma de dois ângulos
1 – Explorar as páginas 32 a 35 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 26 a 29.
4. Estudo intuitivo de1 – Explorar as páginas 36 a 39 do Manual.
– Resolver os exercícios propostos 30 a 33.
5. Derivadas das funções trigo-nométricas: seno, cosseno etangente
3 – Explorar as páginas 40 a 57 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 34 a 40.– Sugerir a resolução do Teste nº 6 do Caderno
de Testes.
7. Números complexos 1 – Explorar as páginas 66 a 68 do Manual.– Resolver o exercício proposto 43.
8. Números complexos na formaalgébrica
4– Explorar as páginas 69 a 87 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 44 a 62.
9. Representação de um númerocomplexo
5 – Explorar as páginas 88 a 113 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 63 a 85.– Sugerir a Resolução doTeste nº 7 do Caderno
de Testes.
10. Domínios planos e condiçõesem variável complexa
3 – Explorar as páginas 114 a 122 do manual.– Resolver os exercícios propostos 86 a 95.– Sugerir a resolução dos Testes Globais 1 e 2.
limsen
0x
xx→
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
DOS EXERCÍCIOS DO MANUAL
Tema I – Probabilidades ecombinatória
Página 10
1.
Assim, na vez seguinte é mais provável que saia umberlinde branco.
2. Nada se pode concluir.
3. É igualmente provável que seja quer o Porto quer oBenfica, dado que a moeda é equilibrada.
Unidade 1 – Conceitos probabilísticos
Página 12
4. Ω = {1, 2, 3, 4}
5.a) Ω = {0, 1, 2, 3}b) Ω = {verde, azul, rosa, amarelo, branco, laranja, ver-
melho}
6.a) N: “sair face nacional” E: “sair face europeia”
Ω = {(N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5), (N, 6), (E, 1), (E, 2), (E, 3), (E, 4), (E, 5), (E, 6)}
b) F: “ser a favor”C: “ser contra”Ω = {(F, F, F), (F, F, C), (F, C, F), (F, C, C), (C, F, F), (C, F, C), (C, C, F), (C, C, C)}
7. A: “ganha o jogador A” B: “ganha o jogador B” Ω = {AA, ABB, ABAA, ABABB, ABABAA, ABABABB,
ABABABAA, ABABABABA, ABABABABB, BB, BAA,BABB, BABAA, BABABB, BABABAA, BABABABB,BABABABAB, BABABABAA}
#Ω = 18
8. N: "sair face nacional" E: "sair face europeia"
a) Ω = {(N, N), (N, E), (E, N), (E, E)}b)b1) Por exemplo, A: "sair face nacional nos dois lança-
mentos".A = {(N, N)}
b2) Seja B: "sair faces diferentes nos dois lançamen-tos". B = ((N, E), (E, N)}
b3) Por exemplo, C: "sair um ás". C = Ø
Constituição inicial da caixa
15 berlindes azuis
15 berlindes brancos
30 berrlindes no total
⎫
⎬⎪
⎭⎪
Constituição da caixaapós a primeira extração
5 berlindes azuis
10 berlindes brancos
15 berllindes no total
⎫
⎬⎪
⎭⎪
Matemática 12 | Guia do Professor14
Moeda DadoResultados possíveis
N
123456
(N, 1)(N, 2)(N, 3)(N, 4)(N, 5)(N, 6)
E
123456
(E, 1)(E, 2)(E, 3)(E, 4)(E, 5)(E, 6)
1.a pessoa 2.a pessoa 3.a pessoaResultadospossíveis
FF
C
FCFC
(F, F, F)(F, F, C)(F, C, F)(F, C, C)(C, F, F)(C, F, C)(C, C, F)(C, C, C)
CF
C
FCFC
AA
BA
B
A
BA
B
A
BA
B
A
BA
B
BA
B
A
BA
B
A
BA
B
A
BA
B
A
B
1.o
jogo2.o
jogo3.o
jogo4.o
jogo5.o
jogo6.o
jogo7.o
jogo8.o
jogo9.o
jogo
1.o lançamento 2.o lançamentoResultados possíveis
NN (N, N)
E (N, E)
EN (E, N)
E (E, E)
b4) Seja D: "sair pelo menos uma face europeia ou umaface nacional". D = Ω
c)c1) {(E, N), (N, E)}c2) {(E, N), (N, E), (E, E)}c3) {(N, N)}c4) {(N, N), (E, E)}d) P(Ω) = { Ø, {(N, N)}, {(N, E)}, {(E, N)}, {(E, E)}, {(N, N),
(N, E)}, {(N, N), (E, N)}, {(N,N), (E, E)}, {(N, E), (E, N)},{(N, E), (E, E)}, {(E, N), (E, E)}, {(N, N), (N, E), (E, N)},{(N, N), (N, E), (E, E)}, {(N, N), (E, N), (E, E)}, {(E, N),(N, E), (E, E)}, Ω}
9.
a) Ω = {(F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M), (M, F, F),(M, F, M), (M, M, F), (M, M, M)}
b)b1) Por exemplo, A: "os três filhos serem rapazes".
A = {(M, M, M)}b2) Por exemplo, B: "ter pelo menos dois rapazes".
B = {(M, M, F), (M, F, M), (F, M, M), (M, M, M)}b3) C: "ter pelo menos um rapaz ou uma rapariga"
C = Ωc)c1) {(F, M, M), (M, F, M), (M, M, F)}c2) {(F, M, M), (M, F, M), (M, M, F), (F, F, M), (F, M, F),
(M, F, F), (F, F, F)}c3) {(M, M, M), (F, M, M), (M, F, M), (M, M, F), (F, F, M),
(F, M, F), (M, F, F)}c4) {(F, F, M), (F, M, F), (M, F, F), (F, F, F)}c5) {(M, M, M)}
Unidade 2 – Operações comacontecimentos
Página 16
10.a) N: "sair face nacional"
E: "sair face europeia"Ω = {N, E}P(Ω) = {Ø, {N}, {E}, {N, E}}
b) Ω = {S, N, T}P(Ω) = {Ø, {S}, {N}, {T}, {S, N}, {S, T}, {N, T}, {S, N, T}}
11.a)a1) Por exemplo, A: "sair o ás de copas".a2) Por exemplo, B: "sair um ás".a3) Por exemplo, C: "sair um treze".a4) Por exemplo, D: "sair uma carta preta ou vermelha".b)b1) R ∪ E: "sair um rei ou uma carta de espadas"b2) R ∩ E: "sair o rei de espadas"c) O acontecimento "sair um rei" é incompatível com
o acontecimento "sair uma dama".
12.a) A ∪ B = {0, 1, 3, 5, 7, 8}b) A ∩ B = {1, 7}c) √A = {2, 3, 4, 5, 6}d) A\B = {0, 8}e) B\A = {3, 5}
13. Opção (C)
14. I. A afirmação é verdadeira. Se dois acontecimentos
A e B de uma mesma experiência aleatória são con-trários, então A ∩ B = Ø e A ∪ B = Ω. Assim, comoA ∩ B = Ø, então A e B são incompatíveis.
II. A afirmação é falsa. Vejamos o seguinte contra exem -plo: Ω = {1, 2, 3, 4}, A = {1} e B = {3, 4}, A ∩ B = Ø, ouseja, A e B são incompatíveis, porém, A ∪ B ≠ Ω,logo A e B não são contrários.
15.a) A ∪ B: "sair soma par ou soma superior ou igual a 7"b) A ∩ B: "sair soma 8 ou 10 ou 12"c) A ∩ √B: "sair soma 2 ou 4 ou 6"d) √A ∩ B: "sair soma 7 ou 9 ou 11"e) √A ∩ √B: "sair soma 3 ou 5"f) √A ∪ B: "sair soma ímpar ou soma superior ou igual a 7"
16.a) A ∩ (B ∪ √A) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ √A)
= (A ∩ B) ∪ Ø = A ∩ B
b) B A B B A B
B A B
B
( ) ( )
( )
(
∪ ∩ = ∩ ∩
= ∩ ∪
= ) ( )
( )
∩ ∪ ∩
= ∩ ∪ ∅
= ∩
=
A B B
B A
B A
A ∩∩ B
15Tema I | Matemática 12
1.o filho 2.o filho 3.o filhoResultadospossíveis
FF
M
FMFM
(F, F, F)(F, F, M)(F, M, F)(F, M, M)(M, F, F)(M, F, M)(M, M, F)(M, M, M)
MF
M
FMFM
Matemática 12 | Guia do Professor16
c)
d)
e)
Unidade 4 – Definição clássica deprobabilidade
Página 22
17. Vejamos as possibilidades que existem para asoma ser 12:
6 + 5 + 1 = 12 → 6 maneiras possíveis 6 + 4 + 2 = 12 → 6 maneiras possíveis 6 + 3 + 3 = 12 → 3 maneiras possíveis 5 + 5 + 2 = 12 → 3 maneiras possíveis 5 + 4 + 3 = 12 → 6 maneiras possíveis 4 + 4 + 4 = 12 → 1 maneira possível
Existem, assim, 25 maneiras diferentes de obtersoma 12.
18.a) P("a face voltada para cima ser vermelha")
= =
b) P("a face voltada para cima não ser vermelha")= P("a face voltada para cima é azul ou verde")
= =
19.a) P("ser um número primo") =
b) P("ser um número múltiplo de 3 e par”) =
20.
a) P("as pontuações obtidas são iguais") = =
b) P("nenhuma pontuação é 2") =
c) P("pelo menos uma pontuação é 3") =
d) P("nenhuma pontuação é 2 e ambas as pontuações
são iguais") =
e) P("nenhuma pontuação é 2 ou ambas as pontuações
são iguais") =
21. # Ω = 100 C: "ver o Preço certo em euros" # C = 46 M: "ver o Quem quer ser milionário" # M = 52 # (C ∩ M) = 20
Opção (A)
22. # Ω = 116 C: "especializar-se em Cardiologia" # C = 56 P: "especializar-se em Pediatria" # P = 50 R: "especializar-se em Reumatologia" # R = 46 # (C ∩ P ∩ R) = 10 # (C ∩ P) = 18 # (C ∩ R) = 16 # (P ∩ R) = 22 # (√P ∩ √R ∩ √C) = 116 – (32 + 20 + 18 + 8 + 10 + 12 +
+ 6) = 10
56 – 8 – 10 – 6 = 3250 – 8 – 10 – 12 = 2046 – 6 – 10 – 12 = 18
A A B A A B A A B
A
( ) ( ) ( )
(
= =
= =
= =
) ( ) ( )
\
A A B A B
A B A B
820
25
1220
35
49 1
9
( ) ( ) ( )
(
B C A B B C A B
B
=
= CC A B
B C A B C
) ( )
[( ) ] [( ) = ]
[ ( )] [ ( )]
((
B
A B C B B C
A
=
= ) ) [( ) ]
(( ) =
B C B B C
A B C)) ( )
(( ) )
(
=
=
C
A B C
A BB C)
( ) ( ) ( ) ( )
(
A B A B A B A B
A
=
= ) ( )
[ ( )] [ (
B A B
A A B B A B= ))]
[( ) ] [( ) ]
( )
=
=
A A B A B B
B [ ( )]
( ) = = =
A B B
A
13
394
959
29
59
C
26 20 32
22
M
Ω
C32 8
6
20
18
1012
10
P
R
Ω
1.a vez 2.a vez Resultados possíveis
1123
(1, 1)(1, 2)(1, 3)
2123
(2, 1)(2, 2)(2, 3)
3123
(3, 1)(3, 2)(3, 3)
# (C ∩ √M) = 46 – 20 = 26# (M ∩ √C) = 52 – 20 = 32# (√C∩ √M) =100 – 26 – 20 – 32 =22
P(√C ∩ √M) = =
§ P(√C ∩ √M) = 22%
# (√C ∩ √M)# Ω
1150
a) A probabilidade pedida é =
b) A probabilidade pedida é = =
c) A probabilidade pedida é =
= =
23.
a) P("exatamente uma das pontuações obtidas ser 6")
= =
b) P("pelo menos uma das pontuações obtidas ser 6")
=
c) P("nenhuma das pontuações obtidas ser 6") =
d)
P("o produto dos números obtidos ser 8") = =
e) P("o produto dos números saídos ser um número
ímpar") = =
f)
P("a soma dos números obtidos ser um número pri-
mo") = =
g) P("a soma dos números obtidos ser 13") = 0h) P("o número máximo obtido ser maior ou igual a 3")
= =
24.
a) P("extrair dois botões verdes") =
b) P("extrair um botão verde e um botão azul, por esta
ordem") =
c) P("extrair dois botões de cor diferente") =
25. C: “comer canja” L: “comer sopa de legumes” P: “comer pescada” F: “comer frango” T: “comer tofu” A: “comer ananás” M: “comer mousse”
a) 12 menús possíveisb) P("comer frango") = =
10116
558
32 + 20 + 18116
3558
70116
6 + 8 + 10 + 12116
3611618
299
29
1036
518
1136
2536
236
118
936
14
512
1536
89
3236
925
625
1225
13
412
17Tema I | Matemática 12
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
× 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
2.a extração
V1 V2 V3 A1 A2
1.aex
traç
ão
V1 (V1, V1) (V1, V2) (V1, V3) (V1, A1) (V1, A2)
V2 (V2, V1) (V2, V2) (V2, V3) (V2, A1) (V2, A2)
V3 (V3, V1) (V3, V2) (V3, V3) (V3, A1) (V3, A2)
A1 (A1, V1) (A1, V2) (A1, V3) (A1, A1) (A1, A2)
A2 (A2, V1) (A2, V2) (A2, V3) (A2, A1) (A2, A2)
Sopa Prato SobremesaEmentas possíveis
C
PA (C, P, A)
M (C, P, M)
FA (C, F, A)
M (C, F, M)
TA (C, T, A)
M (C, T, M)
L
PA (L, P, A)
M (L, P, M)
FA (L, F, A)
M (L, F, M)
TA (L, T, A)
M (L, T, M)
26. DC: “dama de copas” DO: “dama de ouros” RE: “rei de espadas”
P("a Mariana extrair duas vezes o rei") =
27. Presid. Secret. 12 × 11 = 132 maneiras diferentes
28.
= 510 = 9 765 625 chaves possíveis
29.
2 × (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (1 × 1 × 1 × 1 × 1) = 240 manei-ras diferentes
30.a) L1 L2 L3__ __ __
3 × 2 × 1 = 6 modos distintos
b) P1 P2 P3__ __ __5 × 4 × 3 = 60 modos diferentes
31. √2 × √1 × → Lugares da frente
√3 × √2 × √1 → Lugares de trás
2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 12 maneiras diferentes
32. V_ A__ V_ A__ V_ A__ ou A__ V_ A__ V_ A__ V_ 5 × 10 × 5 × 10 × 5 × 10 + 10 × 5 × 10 × 5 × 10 × 5 = 125 000 + 125 000 = 250 000 códigos
33. 8_ 8_ 8_
(1 × 1 × 1 × 3) × 4 = 12 códigos diferentes
34. _4__ __ __ __ ou 4__ __ __ __
3 × 9 × 8 × 7 + 1 × 5 × 8 × 7 = 1512 + 280 = 1792 números
35.
a) 2__ __ __ __ ou_2__ __ __ __
1 × 6 × 8 × 7 + 7 × 9 × 8 × 7 = 3864 números
b) 2__ 4__ __ __ ou 2__ _4__ __ __ ou
_2__ __ __ __
1 × 1 × 7 × 7 + 1 × 3 × 7 × 7 + 4 × 7 × 7 × 7 = 1568 númerosComo se contabilizou o caso 2_ 4_ 0_ 0_, temos que o reti-rar: 1568 – 1 = 1567
c) 2__ __ __ __ ou _2__ __ __ __
1 × 4 × 5 × 4 + 4 × 6 × 5 × 4 = 560 números
36.
copas espadas ou copas espadas12 × 1 × 13 + 13 × 1 × 12
ou copas espadas× 13 × 2 × 13 = 650
Unidade 5 – Definição axiomática deprobabilidadePágina 3237. √52 × √51 = 2652 casos possíveis √R √R ou R √R ou √R √R √48 × √4 + √4 × √48 + √48 × √47 = = 2640 casos favoráveis
P("ambas as cartas não serem reis") = =
38. √10 × √9 = 90 casos possíveis √B √B √7 × √6 = 42 casos favoráveis P("sair pelo menos uma bola branca") = 1 – P("não sair nenhuma bola branca")
= 1 – = =
19
8 + 8 + 8 + x < 27§ x < 27 – 24§ x < 3
0_ou1
ou2
reiouros
ou paus
220221
26402652
reicopas
reiespadas
815
4890
4290
Matemática 12 | Guia do Professor18
1.a extração 2.a extração
DC
DC
DO
RE
DO
DC
DO
RE
RE
DC
DO
RE
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10
5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
5 × 4 × 3 × 2 × 1
1 × 1 × 1 × 1 × 1
Raparigas
Rapazes
5 casais
5 rapazes
5 raparigas
39. P(√A) = 3x, logo P(A) = 1 – 3x. Sabemos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B),
ou seja, 9x = 1 – 3x + – 3x
§ 9x + 6x =
§ 15x = § x = § x = 0,1
40. P({®, ™}) + P({™, }) =
§ P({®}) + P({™}) + P({™}) + P({}) =
{®}, {™}, {} são acontecimentos disjuntos dois adois:
§ P({®}) + P({™}) + P({}) + P({™}) = § P({®, ™, }) + P({™}) =
§ 1 + P({™}) = § P({™}) =
41. a) Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer de um
mesmo espaço de resultados, então:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)Como P(A ∩ B) ≥ 0, então P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).A proposição é verdadeira.
b) A proposição é falsa.Consideremos o espaço de resultados Ω = {1, 2, 3, 4},A = {2, 3} e B = {3, 4} e os resultados elementaressão equiprováveis.Tem-se que P(A) = P(B) = 0,5 ou seja 1 – P(A) = P(B)e A e B não são acontecimentos contrários já que A ∩ B = {3} ≠ ∅ e A ∪ B = {2, 3, 4} ≠ Ω.
c) A proposição é falsa. Consideremos o mesmo con-traexemplo da alínea anterior.
42. P(A ∪ B ∪ C) = P[(A ∪ B) ∪ C} = P(A ∪ B) + P(C) – P[(A ∪ B) ∩ C] = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) + P(C) – P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – [P(A ∩ C) +
+ P(B ∩ C) – P[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)] = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) +
+ P(A ∩ B ∩ C) c.q.d.
43. Como P( √A) = , então P(A) = .
a) Sabemos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B),
ou seja, = + P(B) –
§ P(B) = – + § P(B) =
b) P(A ∩ √B) = P(A) – P(A ∩ B) = – =
c) P(√A ∪ √B) = P(√A√ √∩√ √B) = 1 – P(A ∩ B) = 1 – =
44. R: "o Real Madrid ganha" E: "há um empate" B: "o Barcelona ganha" P(R) = 2 × P(E) e P(E) = 3 × P(B)
a) Designemos P(B) por x. Como R, E e B são aconte-cimentos disjuntos dois a dois e R ∪ E ∪ B = Ω vemque: P(R) + P(E) + P(B) = 1§ 2 P(E) + 3 P(B) + P(B) = 1§ 6 P(B) + 3 P(B) + P(B) = 1§ 6x + 3x + x = 1 § 10x = 1 § x = 0,1 Assim, P(R) = 0,6.
b) P(E) = = 0,3
P(B) = 0,1
45. P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) + P({5}) + P({6}) = 1
§ P({1}) + + + + + = 1
§ P({1}) = 1 – – § P({1}) =
a) P("sair número par") = P({2}) + P({4}) + P({6})
= + + =
b) P("sair face 1 ou 6") = P({1}) + P({6})
= + = =
46.
a)
b)
32
32
330
76
76
76
767
616
edddfdddg
58
38
78
38
14
12
34
14
38
78
18
14
38
34
14
0,62
14
16
16
16
16
112
23
14
712
14
16
16
13
412
14
112
1 – (P B A
P B A P B A
P B
)
( ) ( )
( )
∩
= ∩ = ∪
= + ( ) – ( )
( ) ( ) – [ ( ) –
P A P B A
P B P A P B P
∩
= + (( )]
( ) ( ) – ( ) ( )
B A
P B P A P B P A B
∩
= + + ∩
= PP A P A B( ) ( ) + ∩ c.q.d.
P A P A B P A P A B
P A
( (
(
) ( ) ) ( )
)
+ ∩ = + ∪
= + ) ) – ( )
) – )
P A P B P A B
P A P A
( (
( 1 (
+ ∩
= + ++ ∩
= + ∩ =
) – ( )
) ( )
P B P A B
P B P A B
(
( 1 – PP B P A B
P B P A B
(
( c.q
) ( )
) ( )
+ ∩
= + ∪ ..d.
19Tema I | Matemática 12
Unidade 6 – Probabilidade condicionada eindependência
Página 38
47. Sejam os acontecimentos: R: "ser rapariga" H: "ter hábitos de estudo"
Então, P(H|R) = = .
Opção (C)
48. Para a soma dos números obtidos ser 6, só podeter ocorrido um dos seguintes casos:
(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)__ Assim, a probabilidade de ter saído o mesmo
número nos dois dados, sabendo que a soma dos
números saído foi 6, é de .
49.
a) P(√A|B) = =
= – = 1 – P(A|B) c. q. d.
b) [P((A ∪ C)|B)] =
=
=
= + –
= P(A|B) + P(C|B) – P[(A ∩ C)|B] c. q. d.
50. Sabe-se que P(A|B) = .
Assim: 0,25 = § P(B) = § P(B) = 0,4
Temos também que:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Logo, 0,8 = P(A) + 0,4 – 0,1 § P(A) = 0,5. Assim, P(√A) = 1 – P(A) = 1 – 0,5 = 0,5. Como P(A) = P(√A), temos que A e √A são aconteci-
mentos equiprováveis.
51. No contexto do problema, P(Y|X) significa "proba-bilidade de a pessoa escolhida ser do sexo femini-no, sabendo que a carta retirada foi uma copa".
Ora, se a carta retirada foi uma copa, escolhe-seuma pessoa da turma A, onde existem 15 rapari-gas, num total de 25 alunos.
Assim, e segundo a regra de Laplace, num espaçode resultados com um número finito de elementose cujos resultados elementares são equiprováveis,a probabilidade de um acontecimento é dada peloquociente entre o número de casos favoráveis aesse acontecimento (neste caso 15) e o número decasos possíveis (neste caso 25). A probabilidade
pedida é, então, , ou seja, .
52. Sejam os acontecimentos: A: "haver um assalto" B: "o alarme tocar" Sabe-se que: • P(A) = 0,1 • P(T|A) = 0,95 • P(T|√A) = 0,03 Assim: P(T|A) = 0,95
§ = 0,95
§ P(T ∩ A) = 0,95 × 0,1 § P(T ∩ A) = 0,095
P(T|√A) = 0,03
§ = 0,03
§ P(T ∩ √A) = 0,03 × 0,9 § P(T ∩ √A) = 0,027
a) P(T) = P(T ∩ A) + P (T ∩ √A) = 0,122
b) P(√A|T) = = =
53. Sejam os acontecimentos: J: "ser habitante jovem" F: "ser favorável ao projeto" Do enunciado, tem-se que: • P(F|J) = 0,7 • P(F|√J) = 0,4 • P(J) = 0,45 Assim: P(F|J) = 0,7
§ = 0,7
§ P(F ∩ J) = 0,7 × 0,45 § P(F ∩ J) = 0,315
4370
8601400
15
P(A ∩ B)P(B)
0,1P(B)
0,10,25
1525
35
P(√A ∩ B)P(B)
P(B) – P(A ∩ B)P(B)
P(B)P(B)
P(A ∩ B)P(B)
P[(A ∪ C) ∩ B]P(B)
P[(A ∩ B) ∪ (C ∩ B)]P(B)
P(A ∩ B) + P(C ∩ B) – P[(A ∩ B) ∩ (C ∩ B)]P(B)
P(A ∩ B)P(B)
P(C ∩ B)P(B)
P[(A ∩ C) ∩ B]P(B)
P(T ∩ A)P(A)
P(T ∩ √A)P(√A)
27122
0,0270,122
P(√A ∩ T)P(T)
P(F ∩ J)P(J)
T √T Total
A 0,095 0,1
√A 0,027 0,9
Total 0,122 1
Matemática 12 | Guia do Professor20
P(F|√J) = 0,4
§ = 0,4
§ P(F ∩ √J) = 0,4 × 0,55 § P(F ∩ √J) = 0,22
a) P(F) = P(F ∩ J) + P (F ∩ √J) = 0,315 + 0,22 = 0,535
b) P(J|F) = = ) 0,59
54. Sejam os acontecimentos: M: "ser rapaz" F: "ser rapariga" D: "ser estudante de Direito" E: "ser estudante de Engenharia" A: "ser estudante de Arquitetura" Sabe-se que:
• P(M) =
• P(A) =
• P(F|A) = 80% • P(E|M) = 50% • P(D ∩ M) = P(D ∩ F) Assim: P(F|A) = 80%
§ = 0,8
§ P(F ∩ A) = 0,8 ×
§ P(F ∩ A) =
P(E|M) = 50%
§ =
§ P(E ∩ M) = ×
§ P(E ∩ M) =
• P(A ∩ M) = – =
• P(D ∩ M) = – – =
• P(D ∩ F) =
• P(D) = + =
• P(E) = 1 – – =
• P(F ∩ E) = – =
Pelos cálculos anteriores:
a) P(E) =
b) P(D|F) = = = =
c) Sabe-se que a probabilidade de ser estudante de
Engenharia rapaz é de .
Como estão presentes 10 rapazes de Engenharia,
então = , onde n é o número total de estudan-
tes presentes. Assim, n = 60. Como a probabilidadede ser uma estudante de Arquitetura rapariga é de
, estão presentes na atuação
× 60 = 24 raparigas de Arquitetura.
55. Sejam os acontecimentos: S: "saber a resposta certa" A: "acertar na resposta" Sabe-se que: • P(S) = 0,4 • P(A|S) = 1 • P(A|√S) = 0,5 • P(√A|√S) = 0,5
Assim: P(S|A) = = = =
1312
P(F ∩ A)P(A)
P(E ∩ M)P(M)
12
25
1212
13
16
12
25
110
13
110
16
115
115
115
115
215
1130
215
12
15
16
1130
P(F ∩ √J)P(√J)
0,3150,535
P(J ∩ F)P(F)
1130
110
3302
3
115P(D ∩ F)
P(F)
P M E( ) =1
6
16
10n
2
5
2
5 ( ) P F A =
25
S A → P(S ∩ A) = 0,4
A → P(√S ∩ A) = 0,6 × 0,5 = 0,3√S √A → P(√S ∩ √A) = 0,6 × 0,5 = 0,3
1
0,5
0,5
0,4
0,6
47
0,40,7
0,40,4 + 0,3
P(S ∩ A)P(A)
21Tema I | Matemática 12
D E A Total
M1
1516
110
13
F1
1515
25
23
Total2
151130
12
1
F √F Total
J 0,315 0,45
√J 0,22 0,55
Total 0,535 1
56.a) P(A|B) = 0,6
§ = 0,6
§ = 0,6
§ P(A ∩ B) = 0,18b) P(B|A) = 0,5
§ = 0,5
§ = 0,5
§ P(A) = 0,36P(√A) = 1 – P(A) = 1 – 0,36 = 0,64
c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 0,36 + 0,3 – 0,18 = 0,48
d) P(√A|B) = =
= = 0,4
57.
a)
b)
58.
a) P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = × =
b) P(√A ∩ √B ∩ √C) = P(√A) × P(√B) × P(√C) = × ×
= =
59. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Para A e B serem independentes tem que aconte-
cer P(A ∩ B) = P(A) × P(B): Assim:
0,8 = k + (k + 0,1) – k × (k + 0,1) § 0,8 = 2 k + 0,1 – k2 – 0,1 k § k2 – 1,9 k + 0,7 = 0
§ k = › k =
Como > 1, k só pode admitir o valor .
60. Se A e B são acontecimentos independentes, então P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Se A e B fossem acontecimentos disjuntos (A ∩ B = Ø)teríamos:
0 = P(A) × P(B) § P(A) = 0 › P(B) = 0 § A = Ø › B = Ø, o que contraria as condições
do enunciado. Logo, A e B não são disjuntos.61. Sejam os acontecimentos: V: "a pessoa vê o anúncio" C: "a pessoa compra o jogo" Sabe-se que: • P(√V) = 0,35 • P(C) = 0,45 • P(√V ∩ √C) = 0,2 Assim:
a) P(C|V) = = =
A probabilidade pedida é de, aproximadamente, 46%.b) • P(V ∩ C) = 0,30
• P(V) = 0,65• P(C) = 0,45P(V) × P(C) = 0,2925Como P(V ∩ C) ≠ P(V) × P(C), tem-se que V e C nãosão acontecimentos independentes.
62.
A e B são acontecimentos independentes, logo:
63. P(√A ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B) A e B são acontecimentos independentes, logo: = P(B) – P(A) × P(B) = P(B) (1 – P(A)) = P(B) × P(√A). Como P(√A ∩ B) = P(√A) × P(B), prova-se que √A e B
são acontecimentos independentes.
P A B P A
P B
P A B P A
P B
( ) – ( )
( )
( ) – ( )
( )
∩=
∪
– ( ) – ( )
( )
– ( ) –
=∪
=
1
1
P A B P A
P BP A P(( ) ( ) – ( )
( )
( ) ( )
B P A B P A
P BP A P A
+ ∩
= – + – P A B P B
P BP A B
P B
P
( ) ( )
( )
( )
( ) –
∩
=∩ (( )
( ) ( | ) –
B
P BP A B= 1 c. q. d.
P A B P A B P B P A B P B( | ) – ( | ) ( ) ( | ) ( – ( )× = × 1 ))
( )
( ) ( ) ( ) – (=
∩× = ∩ =
P A B
P BP B P A B P1 AA B
P A B
)
( )
∩
= ∪1 – c. q. d.
14
13
112
34
23
4296
78
716
12
75
75
0,3 – 0,180,3
P(B) – P(A ∩ B)P(B)
P(√A ∩ B)P(B)
12
P(A ∩ B)P(B)
P(A ∩ B)0,3
P(B ∩ A)P(A)0,18P(A)
613
0,300,65
P(C ∩ V)P(V)
P A B P A P B
P A P B P A
( ) ( ) ( )
( ) ( ) – (
∪ + ×
= + ∩∩ + × ) ( – ( )) ( – ( )) B P A P B1 1
= + ( ) (P A P B)) – ( ) ( ) – ( ) – ( )
( )
P A P B P B P A
P A
× + +
+
1
( ) × =P B 1 c. q. d.
Matemática 12 | Guia do Professor22
C √C Total
V 0,30 0,35 0,65
√V 0,15 0,20 0,35
Total 0,45 0,55 1
Unidade 7 – Distribuição de frequênciasrelativas e distribuição de probabilidades
Página 5664.a) Por exemplo, variável aleatória X – “soma da pon-
tuação obtida em cada dado”; variável aleatória Y –”produto da pontuação obtida em cada dado”.
b) Por exemplo, variável aleatória X – “número de vezesque se obteve face nacional”; variável aleatória Y –“número de vezes que se obteve face europeia”.
65.a) X: "maior número de pintas no lançamento dos dois
dados"
Tabela de distribuição de probabilidades de X:
b) Y: "valor absoluto da diferença do número de pintasno lançamento dos dois dados"
Tabela de distribuição de probabilidades de Y:
c) Z: "diferença entre a menor e a maior pontuação, ouzero se as pontuações forem iguais"
Tabela de distribuição de probabilidades de Z:
d) W: "máximo divisor comum das duas pontuações"
Tabela de distribuição de probabilidades de W:
66.a) P(X = xi) = 1
P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1
§ + + a + = 1 § a =
b) P(Y = –1) + P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = 1§ 0,5 + 0,26 + a2 + a = 1§ a2 + a – 0,24 = 0
§ a = › a = –
Como P(Y = 2) = a, a só pode tomar valores positivos
ou nulos. Assim, a = .
i
k
= 1
∑
14
16
14
13
65
15
15
23Tema I | Matemática 12
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 2 3 4 5 6
3 3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 4 5 6
5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 6 6 6
xi 1 2 3 4 5 6
P(X = xi)1
361
125
367
3614
1136
1 2 3 4 5 6
1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 1 2 3 4
3 2 1 0 1 2 3
4 3 2 1 0 1 2
5 4 3 2 1 0 1
6 5 4 3 2 1 0
1 2 3 4 5 6
1 0 –1 –2 –3 –4 –5
2 –1 0 –1 –2 –3 –4
3 –2 –1 0 –1 –2 –3
4 –3 –2 –1 0 –1 –2
5 –4 –3 –2 –1 0 –1
6 –5 –4 –3 –2 –1 0
yi 0 1 2 3 4 5
P(Y = yi)16
518
29
16
19
118
P(Y = 0) = =
P(Y = 1) = =
P(Y = 2) = =
P(Y = 3) = =
P(Y = 4) = =
P(Y = 5) = =
636
16
1036
518
836
29
636
16
436
19
236
118
P(W = 1) =
P(W = 2) =
P(W = 3) =
P(W = 4) =
P(W = 5) =
P(W = 6) =
23367
363
361
361
361
36
P(X = 1) =
P(X = 2) = =
P(X = 3) =
P(X = 4) =
P(X = 5) = =
P(X = 6) =
1363
361
125
367
369
3614
1136
P(Z = 0) = =
P(Z = –1) = =
P(Z = –2) = =
P(Z = –3) = =
P(Z = –4) = =
P(Z = –5) = =
636
16
1036
518
836
29
636
16
436
19
236
118
zi –5 –4 –3 –2 –1 0
P(Z = zi)1
1819
16
29
518
16
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2
3 1 1 3 1 1 3
4 1 2 1 4 1 2
5 1 1 1 1 5 1
6 1 2 3 2 1 6
wi 1 2 3 4 5 6
P(W = wi)2336
736
336
136
136
136
67.a) Seja a = P(X = 1).
P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + + P(X = 6) = 1§ a + 2a + 3a + 4a + 5a + 6a = 1§ 21a = 1
§ a =
Assim, P(X = 1) =
P(X = 2) =
P(X = 3) =
P(X = 4) =
P(X = 5) =
P(X = 6) =
Tabela de distribuição de probabilidades de X:
Representação gráfica:
Representação gráfica:
68. Seja P(Z = 1) = a. P(Z = 1) + P(Z = 2) + P(Z = 3) + P(Z = 4) + P(Z = 5) +
+ P(Z = 6) = 1
§ a + a + a + a + a + a = 1
§ + + + + + =
§ 147a = 60 § a =
§ a =
Assim:
P(Z = 1) = ; P(Z = 2) = × = ;
P(Z = 3) = × = ; P(Z = 4) = × = ;
P(Z = 5) = × = ; P(Z = 6) = × =
Tabela de distribuição de probabilidades de Z:
69. Seja X a variável aleatória que representa a quantiaretirada em euros:
Número de casos possíveis:
× = 6 casos
Número de casos favoráveis: • Para soma 0,7 €: (0,2; 0,5) e (0,5; 0,2), logo
P(X = 0,7) = = .
121
1212
213
214215
21621
F X
X
X
X
( )
=
<
<
<
0 1
1
212
3
213
se
se 1
se 2
66
214
10
215
15
21
se 3
se 4
se 5
<
<
<
X
X
X
6
1 6se X
b)
16
15
14
13
12
6060
10a60
12a60
15a60
20a60
30a60
60a60
6014720
49
1049
2049
12
2049
549
2049
14
20147
2049
13
P(X = xi)
xi1
121
221
321
421
521
621
2 3 4 5 6
F(x)
x10
121
321
621
1021
1521
1
2 3 4 5 6
10147
2049
16
449
2049
15
2.a extração2
1.a extração3
13
26
Matemática 12 | Guia do Professor24
xi 1 2 3 4 5 6
P(X = xi)1
212
213
21421
521
621
zi 1 2 3 4 5 6
P(Z = zi)2049
1049
20147
549
449
10147
• Para soma 1,2 €: (0,2; 1) e (1; 0,2), logo
P(X = 1,2) = = .
• Para soma 1,5 €: (0,5; 1) e (1; 0,5), logo
P(X = 1,5) = = .
Tabela de distribuição de probabilidades de X:
70. Seja R o acontecimento "sair rei" e Y a variávelaleatória que representa o número total de cartasretiradas:
Assim, a variável aleatória Y assume os valores 1,2, 3, 4 e 5, e:
P(Y = 1) = =
P(Y = 2) = × =
P(Y = 3) = × × =
P(Y = 4) = × × × =
=
P(Y = 5) = × × × × + × × ×
× × = =
Tabela de distribuição de probabilidades de Y:
71. a)
Assim, a variável aleatória Y assume os valores 0,1, 2, 3, 4 e 6, e:Y = 0 corresponde ao caso (0, 0), logo:
P(Y = 0) = × =
Y = 1 corresponde aos casos (1, 0) e (0, 1), logo:
P(Y = 1) = × + × =
Y = 2 corresponde ao caso (1, 1), logo:
P(Y = 2) = × =
Y = 3 corresponde aos casos (3, 0) e (0, 3), logo:
P(Y = 3) = × + × =
Y = 4 corresponde aos casos (3, 1) e (1, 3), logo:
P(Y = 4) = × + × =
Y = 6 corresponde ao caso (3, 3), logo:
P(Y = 6) = × =
Assim, a tabela de distribuição de probabilidades de Y é:
b) A probabilidade de um aparelho deste tipo, cada vezque é utilizado, produzir uma descarga de 1 volt
é de , logo em 360 utilizações espera-se que
× 360 = 120 vezes tal aconteça.
72.
a)
13
26
13
26
113
452
16221
451
4852
3765525
450
4751
4852
415 1046 497 400
449
4650
4751
485251 888812 175
448
4549
4650
4751
4852
4448
4549
583 740812 175
224 156 160311 875 200
14
12
12
13
12
13
13
12
19
13
13
16
16
12
12
16
19
16
13
13
16
136
16
16
13
13
4852
4751
4650
p
p
i ii
ii
i
–2 0,15 (–1) 0,25 0 0,3 1 0,05
2 0,2 3 0,05 0,05
– 0,05
–2 – 0,05 0,15 –1 – 0,05 0,25
0 – 0,05 0,3 1 – 0,05 0,05
2 – 0,05 0,2 3 – 0,05 0,05
1,47 (2 c.d.)
1
6
2
1
6
2 2
2 2
2 2
x
x
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= ×
= × + × + × + × +
+ × + × =
= ×
= × + × +
+ × + × +
+ × + ×
=
=
25Tema I | Matemática 12
xi 0,7 1,2 1,5
P(X = xi)13
13
13
452
4852
R
√R
451
4751
R
√R
450
4650
R
√R
449
4549
R
√R
448
4448
R
√R
Y = 1
Y = 2
Y = 3
Y = 4
Y = 5
Y = 5
1.a ext. 2.a ext. 3.a ext. 4.a ext. 5.a ext.
yi 1 2 3 4 5
P(Y = yi)1
1316
221376
552551 888812 175
583 740812 175
Aparelho 2Aparelho 1
0 1 3
0 0 1 3
1 1 2 4
3 3 4 6
yi 0 1 2 3 4 6
P(Y = yi)14
13
19
16
19
136
b) a + 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,2 = 1 § a = 0,2
73. μ = 2a + 3b a + b = 1 = 2a + 3 (1 – a) § b = 1 – a = 2a + 3 – 3a = 3 – a Opção (C)
74. Seja M o acontecimento "sair o rebuçado de mo -ran go" e X a variável aleatória "número de rebuça-dos de mentol que a Vitória come"
Assim, a variável aleatória X assume os valores 0,1, 2, 3 e 4, e:
Tabela de distribuição de probabilidades de X:
75. Com recurso à calculadora:
μ = 7 σ ≈ 2,42
Unidade 8 – Modelo normal. Histogramaversus função densidade
Página 76
76. X1 ~ N (a, b) X2 ~ N (c, d) Como os gráficos são simétricos relativamente à
mesma reta, tem-se que a = c; e como a curva querepresenta a variável X2 é mais achatada, tem-seque, o seu desvio-padrão é maior, isto é, b < d.
Opção (B)
77. X1 ~ N (a, b) X2 ~ N (c, d) Como os gráficos são igualmente achatados,
temos que b = d; e como a curva que representa avariável X2 atinge o seu máximo num ponto maisà direita do que a curva X2, tem-se que o seu valormédio é maior, isto é, c > a.
Opção (D)
, ,
= ×( )= × + × +
=
xi i
i
p1
5
1 0 2 2 0 3 3 , ,
, ,
–
× + × +
+ × =
=
0 2 4 0 1
5 0 2 2 8
xi
,
– , ,
2 8
1 2 8 0 2 2
2
1
5
2
( ) ×
= ( ) × +
=ii
p
–– , ,
– , , –
2 8 0 3
3 2 8 0 2 4 2
2
2
( ) × +
+ ( ) × + ,, ,
– , , ,
8 0 1
5 2 8 0 2 1 4
2
2
( ) × +
+ ( ) × =
P X
P X
P X
( )
( )
(
= =
= = × =
=
01
5
14
5
1
4
1
5
2))
( )
= × × =
= = × ×
4
5
3
4
1
3
1
5
34
5
3
4P X
22
3
1
2
1
5
44
5
3
4
2
3
1
2
( )
× =
= = × × × ×P X 111
5 =
Matemática 12 | Guia do Professor26
15
45
M
√M
14
34
M
√M
13
23
M
√M
12
12
M
√M1
M
X = 0
X = 1
X = 2
X = 3
X = 4
1.a extração 2.a extração 3.a extração 4.a extração
xi 0 1 2 3 4
P(X = xi)15
15
15
15
15
List 1 List 2
21
36
32
36
43
36
54
36
65
36
76
36
85
36
94
36
103
36
112
36
121
36
78. X ~ N (100, 10)
a)
P(X < 100) = 0,5
b)
P(80 < X < 100) = = 0,47725
c)
P(X ≥ 120) = = 0,02275
500 × 0,02 275 = 11,375 Em 500 indivíduos, espera-se que haja 11 diabéti-cos.
79. X ~ N (8, 3)
a)
P(2 < X < 14) ≈ 0,9545
b)
P(X < 11) = 0,5 + = 0,84135
c)
P(11 < X < 14) = 0,5 – 0,34135 – 0,02275 = 0,1359
80. X ~ N (161,3; 4,6) Com recurso à calculadora:
a) P(155 < X < 165) ≈ 0,704
b) P(X > 170) ≈ 0,029
c) P(X > a) = 0,1a = 167 cm
100
1009080
0,95452
100 110 120
1 – 0,95452
852 11 14
852 11 14
0,68272
852 11 14
27Tema I | Matemática 12
= 0,022751 – 0,9545
2= 0,34135
0,68272
Aprende fazendo
Páginas 84 a 103
1. A = {2, 4, 6} B = {2, 3, 5} A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} √A√ √∪√ √B = {1} Opção (B)
2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) § P(A ∪ B) = 0,6 + 0,6 – P(A ∩ B) § P(A ∪ B) = 1,2 – P(A ∩ B) Sabe-se que P(A ∪ B) ≤ 1, logo P(A ∩ B) > 0 e
assim A ∩ B ≠ ∅, logo A e B são acontecimentoscompatíveis.
Opção (C)
3. X__ __ __ __ __ __ __
1 × 6! × 2 = 1440
número de maneiras de sentar a rapariga mais alta numa das2 extremidades
Opção (D)
4. Considere-se os acontecimentos: M: “ser funcionário mulher” F: “ser funcionário fumador” N.o de funcionários que são mulheres e fumadores
Pretende-se P(M|F) = = 0,375 = 37,5%
N.o total de funcionários fumadores
Opção (A)
5. Pretende-se determinar o valor de P(X|Y), ou seja,a probabilidade de, ao escolher um aluno ao acaso,ser escolhida uma rapariga, sabendo que o alunoé da turma B. Ora, na turma B há 12 alunos, sendo
8 raparigas; assim, tem-se que P(X|Y) = = .
Opção (D)
6. Como A e B são acontecimentos independentes,P(A|B) = P(A). Logo, P(A|B) = 0,3.
Opção (C)
7. Sendo P(A) ≤ P(B), P(A ∩ B) ≤ P(A). Assim, de todas as opções apresentadas, o único
valor que P(A ∩ B) pode tomar é 0,3. Opção (D)
3080
812
23
edfdg
8. Sendo P(A) ≤ P(B), P(A ∪ B) ≥ P(B).
Assim, de todas as opções apresentadas, o único
valor que P(A ∪ B) pode tomar é 0,8.
Opção (A)
9. Por definição de acontecimentos incompatíveis
(A ∩ B = ∅), sabe-se que se ocorre A, não pode
ocorrer B.
Assim, a afirmação necessariamente verdadeira é
a (B).
Opção (B)
10. Número de casos possíveis: 5 × 5 = 25
Número de casos favoráveis: 5
Probabilidade pretendida: =
Opção (C)
11. P(A|B) = = =
Cálculo auxiliar:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0,9 = 0,6 + P(B) – 0,1
§ P(B) = 0,4
Opção (C)
12. No contexto da situação descrita P(√B|A) significa
“a probabilidade de não sair bola com número
ímpar na segunda extração, sabendo que saiu bola
azul na primeira extração. Ora, se saiu bola azul na
primeira extração quer dizer que saiu bola com
número par. Assim, e como não houve reposição,
restam no saco 5 bolas, sendo 3 ímpares (verme-
lhas) e 2 pares (azuis). Logo, P(√B|A) = .
Opção (C)
13. Se P(X ≤ 1) = P(X = 4), então:
P(X = 0) + P(X = 1) = P(X = 4)
§ + 2a = a +
§ a = –
§ a =
e P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) +
+ P(X = 4) = 1
§ + 2 × + + b + + = 1
§ b =
Opção (A)
14. Seja X a variável aleatória que representa o com -
primento, em centímetros, de uma certa espécie
de catos.
X ~ N (75, 10)
P(A) = P(X > 75) = 0,5
P(B) = P(65 < X < 85) ≈ 0,6827
P(C) = P(70 < X < 85)
Observa-se que P(C) < 0,6827.
Opção (D)
15. Sendo que X segue uma distribuição normal de
valor médio 5, para se ter P(X < k) = 20%, k terá de
ser um valor inferior a 5. Assim, dos valores apre-
sentados, k só pode ser 3.
Opção (B)
16. Seja X a variável aleatória que representa o peso,
em gramas, de uma certa qualidade de peras de
um pomar. Sabemos que:
X ~ N (100, σ) e P(90 < x < 110) = 0,9545.
Sabemos também que se X ~ N(μ, σ), então
P(μ – 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0,9545 logo, neste caso:
Opção (A)
17. Seja X a variável aleatória que representa o nível
obtido:
15
525
14
0,10,4
P(A ∩ B)P(B)
25
16
112
112
161
12
16
112
15
112
112
310
75
0,5
75
0,6827
65 85
7565 8570
efg
efg
100 – 2σ = 90100 + 2σ = 110
§ σ = 5σ = 5
x = × + × + × +110
2402
40
2403
50
2404
,
× +
+ × =
= ×
100
240
540
2403 5
10
240s ( – , ) ( – , )
1 3 540
2402 3 5
4
2 2+ × + … +
+00
2405 3 5 1 08 22 ( – , ) , ( ) ≈ c.d.
Matemática 12 | Guia do Professor28
Assim, P(∫x – s < X < ∫x + s)
= P(3,5 – 1,08 < X < 3,5 + 1,08)
= P(2,42 < X < 4,58)
= P(X = 3) + P(X = 4)
= +
= 0,625 = 62,5%
Opção (A)
18. Seja Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 6), (2, 1), …,
(6, 6)}
#Ω = 36
X: “no dado D aparece um 1”
X = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
P(X) = =
Y: “a soma dos dois números é igual a 7”
Y = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}
P(Y) = =
Z: “os dois números são iguais”
Z = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
P(Z) = =
X ∩ Y = {(1, 6)}
P(X ∩ Y) =
P(X) × P(Y) = × =
Como P(X ∩ Y) =) P(X) × P(Y), X e Y são aconteci-
mentos independentes.
A opção (A) é falsa.
X ∩ Z = {(1, 1)}
P(X ∩ Z) =
P(X) × P(Z) = × =
Como P(X ∩ Z) = P(X) × P(Z), X e Z são aconteci-
mentos independentes.
A opção (B) é verdadeira.
Y ∩ Z = ∅, logo Y e Z são acontecimentos in com -
patíveis e não são independentes.
P(Y ∩ Z) = 0
P(Y) × P(Z) = × =
As opções (C) e (D) são falsas.
Opção (B)
19. Num conjunto de 6 pessoas, considere-se os acon-
tecimentos:
A: “pelo menos duas pessoas pertencerem aomesmo signo”
Assim: ∫A: “nenhuma pertencer ao mesmo signo” P(A) = 1 – P(∫A)
= 1 –
= 1 –
=
Opção (C)
20. A probabilidade pedida será o quociente entre aárea da estrela e a área do hexágono.
• Determinação da área do hexágono (A1):
• Determinação da área da estrela (A2):
Assim, a probabilidade pedida é:
Opção (A)
100240
50240
16
636
16
636
16
636
136
136
16
16
136
136
16
16
136
16
16
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 712 × 12 × 12 × 12 × 12 × 123851728
13431728
Ap
aptl
l l1
2
2
6
2
3
2
3 3
2 = × = × =
l
3 3
4
3 3
2
1
20 5 50
2
2
, %l
l
= = =
A A A
l l
l
2 1
2 2
2
6
3 3
26
3
8
12 3
–
–
=
= ×
=
Δ
88
6 3
8
6 3
8
3 3
4
2
2 2
–
l
l l= =
(× 4)
A
l l
lΔ
=
×
=
3
222
3
82
29Tema I | Matemática 12
Cálculo auxiliar:Determinação da área de cada triângulosombreado:
21. Seja X a variável aleatória que representa as clas-sificações obtidas a nível nacional no Exame deMatemática. Como X segue uma distribuição nor-mal de valor médio 130, então a curva normal quelhe está associada é da forma:
Tem-se que P(X ≤ 130) = 50% e P(X ≥ 130) = 50%. Sendo P(a ≤ X ≤ b) = 65%, todas as opções apre-
sentadas são excluídas, à exceção da opção (D).Observe-se que:
• Opção (A), P(130 ≤ X < 155) < 50%
• Opção (B), P(110 ≤ X ≤ 130) < 50%
• Opção (C), P(140 ≤ X ≤ 160) < 50%
Opção (D)
22.a) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44,45, 46, 47, 48, 49, 50}
b)
Ω = { (N, N, N, N), (N, N, N, E), (N, N, E, N), (N, N, E, E),(N, E, N, N), (N, E, N, E), (N, E, E, N), (N, E, E, E), (E, N, N, N), (E, N, N, E), (E, N, E, N), (E, N, E, E), (E, E, N, N), (E, E, N, E), (E, E, E, N), (E, E, E, E) }
c) Ω = {0, 1, 2, 3, 4}d) Ω = �e) A: “sentar a Ana” B: “sentar a Berta” C: “sentar o Carlos”
Ω = { (A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B),(C, B, A) }
23. B: “a equipa vencedora ser o Brasil” E: “a equipa vencedora ser a Espanha” H: “a equipa vencedora ser a Holanda” P: “a equipa vencedora ser Portugal”a) Ω = {B, E, H, P}b) “A equipa vencedora ser a China” → acontecimen-
to impossível “A equipa vencedora ser Portugal” → aconteci-
mento elementar “A equipa vencedora ser europeia” → aconteci-
mento composto “A equipa vencedora ser europeia ou de língua por-
tuguesa” → acontecimento certo.c) P(Ω) = { ∅, {B}, {E}, {H}, {P}, {B, E}, {B, H}, {B, P},
{E, H}, {E, P}, {H, P}, {B, E, H}, {B, E, P}, {B, H, P},{E, H, P}, {B, E, H, P} }
24. A = {1, 2, 5} B = {2, 4, 6}a) A ∩ Bb) ∫A∫ ∫∪∫ ∫B ou ∫A ∩ ∫Bc) A\Bd) B\A
25.a) Ω = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3),(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),(4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1),(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
130
130 155
130110
130 140 160
1.o lugar 2.o lugar 3.o lugar Resultados possíveis
AB C (A, B, C)
C B (A, C, B)
BA C (B, A, C)
C A (B, C, A)
CA B (C, A, B)
B A (C, B, A)
1.a moeda 2.a moeda
N
NN
N (N, N, N, N)E (N, N, N, E)
EN (N, N, E, N)E (N, N, E, E)
EN
N (N, E, N, N)E (N, E, N, E)
EN (N, E, E, N)E (N, E, E, E)
E
NN
N (E, N, N, N)E (E, N, N, E)
EN (E, N, E, N)E (E, N, E, E)
EN
N (E, E, N, N)E (E, E, N, E)
EN (E, E, E, N)E (E, E, E, E)
Matemática 12 | Guia do Professor30
3a moeda 4.a moedaResultadospossíveis
b) A = { (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) }
B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2),
(3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6),
(6, 1), (6, 3), (6, 5) }
b1) A ∩ B = A = { (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) }
b2) A ∪ B = B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5),
(3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4),
(5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5) }
b3) B\A = { (1, 2), (1, 6), (2, 1), (2, 5), (3, 4), (3, 6), (4, 3),
(4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5) }
b4) A\B = ∅
26.
a) Ω = { (0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1),
(2, 1, 0) }
b) A = { (1, 0, 2), (2, 0, 1), (2, 1, 0) }
B = { (0, 2, 1), (1, 2, 0), (2, 1, 0) }
C = { (0, 1, 2), (0, 2, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 0) }
b1) A ∩ B = { (2, 1, 0) }
b2) A ∩ C = { (2, 0, 1), (2, 1, 0) }
b3) A ∪ B = { (0, 2, 1), (1, 2, 0), (1, 0, 2), (2, 0, 1), (2, 1, 0) }
b4) ∫B ∪ ∫C = { (0, 1, 2), (1, 2, 0), (1, 0, 2), (2, 0, 1) }
b5) ∫B∫ ∫∪∫ ∫C = { (1, 0, 2) }
b6) B\C = { (1, 2, 0) }
b7) C\B = { (0, 1, 2), (2, 0, 1) }
27.
a) P(“sair uma figura”) = =
b) P(“sair vermelha ou espadas”) = =
c) P(“sair preta e figura”) = =
d) P(“sair rei ou ás”) = =
e) P(“sair nem paus nem figura”) =
f) P(“sair preta e não ás”) = =
28. A: “ser português”
B: “ser homem”
• P(A) = 0,6
• P(B) = 0,36
• P(A ∩ B) = 0,15
P(∫A ∩ ∫B) = 0,19
29.
a) P(A ∩ B) =
b) P(A ∪ B) = =
c) P(∫B) = =
d) P(A \ B) = =
e) P(∫A \ ∫B) =
30.
a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ ∫B) = A ∩ (B ∪ ∫B)
= A ∩ Ω
= A c.q.d.
b) (∫A∫ ∫∪ ∫∫ ∫B) ∪ ∫B = (∫A ∩ B) ∪ ∫B
= (∫A ∪ ∫B) ∩ (B ∪ ∫B)
= (∫A ∪ ∫B) ∩ Ω
= ∫A ∪ ∫B= ∫A∫ ∫∩∫ ∫B c.q.d.
c)
31. P(A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = P(A) × P(A) = (P(A))2
Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), então
P(A ∪ B) = P(A) + P(A) – P(A) × P(A), pois A e B são
acontecimentos equiprováveis e independentes.
§ P(A ∪ B) = 2 P(A) – [P(A)]2
§ P(A ∪ B) = P(A) [2 – P(A)] c.q.d.
310
1240
34
3040
320
640
15
840
2140
920
1840
A
0,45 0,15 0,21
0,19
B
Ω
732
34
2432
12
1632
14
832
932
( ) ( ) =( ) ( )
=[(
A B B A A B B A
A
) ) (( ) )]
=[ ( )]
B B A B A
A B B [ ( )]
=( ) ( )
= (
B A A
A A B
A )
=
\ c.q.d.=
B
A B
A B
31Tema I | Matemática 12
1.a extr. 2.a extr. 3.a extr. Resultados possíveis
01 2 (0, 1, 2)
2 1 (0, 2, 1)
10 2 (1, 0, 2)
2 0 (1, 2, 0)
20 1 (2, 0, 1)
1 0 (2, 1, 0)
Matemática 12 | Guia do Professor32
32.
a) Sejam os acontecimentos:
M: “o doente melhorou”
A: “o doente utilizou medicamento em creme”
B: “o doente utilizou medicamento em comprimido”
a1) P(M) = =
a2) P(∫M|A) = =
a3) P(B|M) = =
33. Sejam os acontecimentos:
B: “comprar o hambúrguer com bebida”
F: “comprar o hambúrguer com batata frita”
Do enunciado, temos que:
• P(B ∩ F) = 40%
• P(∫B ∩ ∫F) = 15%
• P(B) = 65%
Assim:
a) P(B ∩ ∫F) = 25%
P(∫B ∩ F) = 20%
A Maria tem razão. De facto, a probabilidade de um
cliente comprar o hambúrguer com bebida e sem
batata frita (25%) é maior do que a probabilidade
de um cliente comprar o hambúrguer com batata
frita e sem bebida (20%).
b) Pretende-se determinar P(F|B):
P(F|B) = = =
c) P(B) = 0,65
P(F) = 0,60
P(B ∩ F) = 0,40
P(B) × P(F) = 0,65 × 0,60 = 0,39
Como P(B ∩ F) ≠ P(B) × P(F), os acontecimentos
B: “comprar hambúrguer com bebida” e F: “com-
prar hambúrguer com batata frita” não são acon-
tecimentos independentes.
34. No contexto da situação descrita, P(B|A) significa“a probabilidade de a segunda ficha retirada serímpar, sabendo que a primeira ficha retirada foipar”.
Assim, o número de casos possíveis é igual a 9pois, após se ter retirado uma ficha da caixa, estaé de novo introduzida na caixa.
O número de casos favoráveis é igual a 5, pois exis-tem na caixa 5 fichas com um número ímpar (1, 3,5, 7 e 9), que continuam na caixa após a primeiraextração.
Segundo a regra de Laplace, num espaço de resul-tados com um número finito de elementos e cujosresultados elementares são equiprováveis, a pro-babilidade de um acontecimento é dado pelo quo-ciente entre o número de casos favoráveis a esseacontecimento e o número de casos possíveis; por-
tanto, a probabilidade pedida é .
35. No contexto da situação descrita, P(B|L) significa“a probabilidade de o segundo bombom retiradoser de chocolate branco, sabendo que o primeirobombom retirado foi de chocolate de leite”. Ora,
P(B|L) = significa que, no momento da segunda
extração, encontravam-se na caixa tantos bom-bons de chocolate branco, como de chocolate deleite, ou seja, 15 bombons de cada – já que o pri-meiro bombom retirado e comido foi de chocolatede leite – restam na caixa todos os bombons dechocolate branco existentes inicialmente (15) e amesma quantidade de bombons de chocolate deleite.
Conclui-se, assim, que inicialmente existiam nacaixa 16 bombons de chocolate de leite.
36. Sabe-se que: • P(A) = 0,4 • P(A ∪ B) = 0,7 • A e B acontecimentos independentes, logo
P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Assim: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 0,7 = 0,4 + P(B) – P(A) × P(B) § 0,3 = P(B) – 0,4 × P(B) § 0,6 P(B) = 0,3
§ P(B) =
§ P(B) =
3350
66100
725
1450
511
3066
813
0,400,65
P(F ∩ B)P(B)
59
12
0,30,6
12
M ∫M Total
A 36 14 50
B 30 20 50
Total 66 34 100
F ∫F Total
B 40% 25% 65%
∫B 20% 15% 35%
Total 60% 40% 100%
33Tema I | Matemática 12
37. Sejam os acontecimentos: T: “Tomás passar no exame” M: “Malaquias passar no exame” P(T) = 0,6 e P(M) = 0,8 Dispondo os dados num diagrama de árvore:
Assim:a) P(∫T ∩ ∫M) = 0,08b) P(∫T ∩ M) = 0,32c) P(T ∩ ∫M) + P(∫T ∩ M) = 0,12 + 0,32 = 0,44
38. P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1
k + 3 k + k2 + k2 + = 1
§ 2 k2 + 4 k – = 1
§
§ k = ⁄ k = –
Como, por exemplo, P(X = 1) = k, k terá de ser umvalor compreendido entre 0 e 1.
Assim, k = .
39. X – variável aleatória que representa o número defaces nacionais obtidas no lançamento de umamoeda equilibrada duas vezes.
X assume os valores 0, 1 e 2 e:
P(X = 0) = =
P(X = 1) = × 2 = ½
P(X = 2) = = ¼
Distribuição de probabilidades da variável X:
40. Sabendo que X assume os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5,tem-se que:
• P(X ≤ 0) = P(X = 0) = 0,116
• P(X ≤ 1) = 0,428 § P(X = 0) + P(X = 1) = 0,428 § 0,116 + P(X = 1) = 0,428 § P(X = 1) = 0,312
• P(X ≤ 2) = 0,765 § P(X ≤ 1) + P(X = 2) = 0,765 § 0,428 + P(X = 2) = 0,765 § P(X = 2) = 0,337
• P(X ≤ 3) = 0,946 § P(X ≤ 2) + P(X = 3) = 0,946 § 0,765 + P(X = 3) = 0,946 § P(X = 3) = 0,181
• P(X ≤ 4) = 0,995 § P(X ≤ 3) + P(X = 4) = 0,995 § 0,946 + P(X = 4) = 0,995 § P(X = 4) = 0,049
• P(X ≤ 5) = 1 § P(X ≤ 4) + P(X = 5) = 1 § 0,995 + P(X = 5) = 1 § P(X = 5) = 0,005
Assim, a tabela de distribuição de probabilidadesde X é:
41. X – “número de ovos partidos numa caixa”a) E(X) = 0 × 0,80 + 1 × 0,14 + 2 × 0,03 + 3 × 0,02 +
+ 4 × 0,01 + 5 × 0 + 6 × 0 = 0,3 V(X) = (0 – 0,3)2 × 0,8 + (1 – 0,3)2 × 0,14 +
+ (2 – 0,3)2 × 0,03 + (3 – 0,3)2 × 0,02 + + (4 – 0,3)2 × 0,01 + 0 + 0 = 0,51
b) Y – “número de ovos não partidos numa caixa”
Observe-se que: P(Y = 0) = P(X = 6) P(Y = 1) = P(X = 5) P(Y = 2) = P(X = 4) P(Y = 3) = P(X = 3) P(Y = 4) = P(X = 2) P(Y = 5) = P(X = 1) P(Y = 6) = P(X = 0) E(Y) = 0 + 0 + 2 × 0,01 + 3 × 0,02 + 4 × 0,03 +
+ 5 × 0,14 + 6 × 0,8 = 5,7 V(Y) = 0 + 0 + (2 – 5,7)2 × 0,01 + (3 – 5,7)2 × 0,02 +
+ (4 – 5,7)2 × 0,03 + (5 – 5,7)2 × 0,14 + + (6 – 5,7)2 × 0,8 = 0,51
1532
1732
k – – –
=
± × ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
×
4 4 4 217
32
2 2
2
178
18
18
14
1 × 12 × 2
12
1 × 12 × 2
14
1 × 12 × 2
xi 0 1 2 3 4 5
P(X = xi) 0,116 0,312 0,337 0,181 0,049 0,005
yi 0 1 2 3 4 5 6
P(Y = yi) 0 0 0,01 0,02 0,03 0,14 0,80
M → P(T ∩ M) = 0,6 × 0,8 = 0,48
∫M → P(T ∩ ∫M) = 0,6 × 0,2 = 0,12
M → P(∫T ∩ M) = 0,4 × 0,8 = 0,32
∫M → P(∫T ∩ ∫M) = 0,4 × 0,2 = 0,08
T
∫T
0,8
0,2
0,8
0,2
0,6
0,4
xi 0 1 2
P(X = xi)14
12
14
c) Observa-se que E(Y) = 6 – E(X) e V(Y) = V(X). A distribuição de probabilidades da variável Y é
simétrica da distribuição de probabilidades davariável X em relação à reta da equação X = 3.
42. μ = 1,20 σ = 0,30 Sendo X ~ N (1,20; 0,30) tem-se que:a) P(0,9 < X < 1,5) ≈ 0,6827
b) P(X > 0,9) ≈ 1 –
= 0,84135
c)c1) P(X > 1,20) = 0,5, logo em 400 plantas, espera-se
que metade, isto é, 200 plantas meçam mais de1,20 m.
c2) P(1,20 < X < 1,80) = 0,5 – = 0,47725
logo, em 400 plantas, espera-se que 191 plantasmeçam entre 1,20 m e 1,80 m.
43.a) x = 1500 – (312 + 409 + 501) = 1500 – 1222 = 278 Pela Lei dos Grandes Números, a frequência rela-
tiva do acontecimento “sair face 4 na face voltadapara baixo”, quando o número de repetições daexperiência é suficientemente grande é uma boaaproximação do valor da probabilidade do aconte-cimento em causa.
P(“sair o número 4 na face voltada para baixo”)
= =
b) Aumentaria o número de repetições da experiência.
44. Número de casos possíveis: 64 = 1296 Número de casos favoráveis: 54 = 625
P(“nunca sair o número 1”) =
Número de casos possíveis: 64 = 1296 Número de casos favoráveis: 6 × 5 × 4 × 3 = 360
P(“saírem números todos diferentes”) = =
Como > , concluímos que é mais prová-
vel nunca sair o número 1 do que saírem números
todos diferentes.
45. R: “ter praticado rapel”
S: “ter praticado slide”
P(∫R) = 0,55 P(R) = 0,45
P(∫S) = 0,68 P(S) = 0,32
P(R ∩ S) = 0,14
P(R\S) = 0,45 – 0,14 = 0,31
P(S\R) = 0,32 – 0,14 = 0,18
P(∫R ∩ ∫S) = 1 – 0,31 – 0,14 – 0,18 = 0,37
46. 2 azuis
3 brancos
1 castanho
6 no total
a) Número de casos possíveis: 6 × 5 = 30
Número de casos favoráveis:
B B
∫3 × ∫2 = 6
P(“os dois cartões extraídos serem brancos”)
= =
b) Número de casos favoráveis:
B ∫B ou ∫B B
∫3 × ∫3 + ∫3 × ∫3 = 18
P(“um dos cartões saídos ser branco”) = =
c) Número de casos favoráveis:
B ∫B ou ∫B B ou B B
∫3 × ∫3 + ∫3 × ∫3 + ∫3 × ∫2 = 24
P(“pelo menos um dos cartões ser branco”)
= =
d) Número de casos favoráveis:
A A ou B B
∫2 × ∫1 + ∫3 × ∫2 = 8
P(“os dois cartões serem da mesma cor”) = =
e) Número de casos favoráveis:
∫C ∫C ∫5 × ∫4 = 20
P(“nenhum dos cartões ser castanho”) = =
1 – 0,68272
0,9 1,501,20{ {- 0,3 + 0,3
0,9 1,20
1,20 1,50 1,80
1 – 0,95452
139750
2781500
6251296
518
3601296
3601296
6251296
R
0,31 0,14 0,18
S
15
630
35
1830
45
2430
415
830
23
2030
Matemática 12 | Guia do Professor34
47. Número de casos possíveis:
∫5∫2 × ∫5∫1 = 2652
a) Número de casos favoráveis:A R ou R A∫4 × ∫4 + ∫4 × ∫4 = 32
P(“sair um ás e um rei, por qualquer ordem”)
= =
b) Número de casos favoráveis: C C ∫1∫3 × ∫1∫2 = 156
P(“saírem ambos de copas”) = =
c) Número de casos favoráveis:
C ∫C ou ∫C C ou C C∫1∫3 × ∫3∫9 + ∫3∫9 × ∫1∫3 + ∫1∫3 × ∫1∫2 = 1170
P(“sair pelo menos uma carta de copas”)
= =
d) Número de casos favoráveis:
∫C ∫C
∫3∫9 × ∫3∫8 = 1482
P(“não sair copas”) = =
48.a) Número de casos possíveis:
∫1∫2 × ∫1∫2 × ∫1∫2 = 1728Número de casos favoráveis:
∫1∫2 × ∫1 × ∫1 = 12 P(“terem nascido todas no mesmo mês”)
= =
b) Número de casos possíveis:
∫1∫2 × ∫1∫2 × ∫1∫2 = 1728Número de casos favoráveis:
∫1∫2 × ∫1∫1 × ∫1∫0 = 1320 P(“terem nascido todas em meses diferentes”)
= =
c) Número de casos possíveis:
∫1∫2 × ∫1∫2 × ∫1∫2 = 1728Número de casos favoráveis:
M M D
(∫1∫2 × ∫1 × ∫1∫1) × 3 = 396 P(“terem nascido duas e só duas no mesmo mês”)
= =
49. P(A) = 0,4 P(A ∪ B) = 0,5a) P(A ∩ B) = 0 Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), então
0,5 = 0,4 + P(B) – 0 § P(B) = 0,1.b) P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0,4 × P(B) Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), então
0,5 = 0,4 + P(B) – 0,4 P(B) § 0,1 = 0,6 P(B)
§ P(B) =
c) P(A|B) = 0,1 § P(A ∩ B) = 0,1 × P(B) Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), então
0,5 = 0,4 + P(B) – 0,1 P(B) § 0,1 = 0,9 P(B)
§ P(B) =
50. P(∫A|∫B) × P(∫B) – P(∫A)
= × P(∫B) – P(∫A), P(∫B) ≠ 0
= P(∫A ∩ ∫B) – P(∫A) = P(∫A∫ ∫∪∫ ∫B) – [1 – P(A)] = 1 – P(A ∪ B) – 1 + P(A) = 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)] – 1 + P(A)
= P(A ∩ B) – P(B) c.q.d.
51.
52.a)
8663
322652
117
1562652
1534
11702652
1934
14822652
1144
121728
5572
13201728
1148
3961728
16
19
P(∫A ∩ ∫B)P(∫B)
= + + – ( ) – ( ) ( ) – ( )1 1P A P B P A B P A
P A P B
P B AP B A
P A
( ) ( )
( | ) ( )
( )
=
+ = +
=
1 1
PP A P A B
P AP A P A P A
( ) ( )
( )
( ) ( ) – (
+
=+ )
( )
( ) ( ) – ( )
( ),
B
P AP A P B P A B
P A=
+poiis
c.q.d.
( ) ( )
( )
( )
P A P B
P A B
P A
=
=
P A P B A P BP B A
P AP A( ) ( | ) ( )
( )
( ) ( ) × + = × ++
= +
=
( ), ( )
( ) ( )
( ) –
P B P A
P B A P B
P B
0
( ) – ( )
– ( )
(
P A B P B
P A B
P A
+
=
=
1
1
)
( )
B
P A B= c.q.d.
35Tema I | Matemática 12
b) P(A ∩ B) ≥ 1 – P(∫A) – P(∫B) § P(A ∩ B) ≥ 1 – [1 – P(A)] – [1 – (P(B)] § P(A ∩ B) ≥ 1/ – 1/ + P(A) – 1 + P(B) § P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) – 1 § 1 ≥ P(A) + P(B) – P(A ∩ B) § 1 ≥ P(A ∪ B) § P(A ∪ B) ≤ 1 Proposição verdadeira pela axiomática de proba-
bilidades de Kolmogorov.
c)
53.
54. Sejam os acontecimentos: F: “ser do sexo feminino” M: “ser do sexo masculino” E: “ser candidato ao primeiro emprego” Do enunciado, temos que: • P(F) = 0,7 • P(E) = 0,6 • P(M|E) = 0,25 Então, podemos concluir que: P(M|E) = 0,25
§ = 0,25
§ = 0,25
§ P(M ∩ E) = 0,15
Organizando os dados numa tabela, temos:
Pretende-se saber P(F|E).
Assim, P(F|E) = = = 0,75.
55. Sejam os acontecimentos: A: “Ana embrulha o presente” B: “Berta embrulha o presente” C: “Carolina embrulha o presente” T: “o presente ter o preço” Do enunciado, temos que: • P(A) = 0,3 • P(T|A) = 0,03 • P(B) = 0,2 • P(T|B) = 0,08 • P(C) = 0,5 • P(T|C) = 0,05 Donde, podemos concluir que:
P(T|A) =
§ 0,03 =
§ P(T ∩ A) = 0,009
P(T|B) =
§ 0,08 =
§ P(T ∩ B) = 0,016
P(T|C) =
§ 0,05 =
§ P(T ∩ C) = 0,025 Organizando os dados numa tabela:
a) P(T) = P(T ∩ A) + P(T ∩ B) + P(T ∩ C) = 0,05b) Pretende-se determinar P(B|T):
P(B|T) = = = 0,32
P A BP A B
P BP B
P A B
P
( | ) ( )
( ) , ( )
( )
=
=
0
(( )
– ( )
( )
– [ ( ) ( )
BP A B
P BP A P B
=
=+
1
1 –– ( )]
( )
– ( ) – ( ) (
P A B
P BP A P B P A
=+1 BB
P BP B P A P A B
P B
)
( )
( ) – ( ) ( )
( )
=+
= +1PP A B P A
P B
( ) – ( )
( ) c.q.d.
X Y P X Y
P X P Y P
( )
[ ( ) ( )] (
= =
+ ×
§ 0
XX X Y
P X P YP X X
| ( ))
[ ( ) ( )] [ (
= + ×YY
P X Y
P X P YP X
P X
)]
( )
[ ( ) ( ) ] ( )
( )
( )
= + ×1
++ ( ),
( )
( )
( )
P Y
X X Y
X Y
2
1
2
pois
pois e
( )
são incompatíveis
c.q.d.= P X
P(M ∩ E)P(E)
P(M ∩ E)0,6
0,450,6
P(F ∩ E)P(E)
P(T ∩ A)P(A)
P(T ∩ A)0,3
P(T ∩ B)P(B)
P(T ∩ B)0,2
P(T ∩ C)P(C)
P(T ∩ C)0,5
A B C Total
T 0,009 0,016 0,025 0,05
∫T
Total 0,3 0,2 0,5 1
0,0160,05
P(B ∩ T)P(T)
Matemática 12 | Guia do Professor36
F M Total
E 0,45 0,15 0,6
√E 0,25 0,15 0,4
Total 0,7 0,3 1
c) P(T) = 0,05 P(B) = 0,2 P(T ∩ B) = 0,016 P(T) × P(B) = 0,05 × 0,2 = 0,01 Como P(T∩B) ≠ P(T) ×P(B), conclui-se que os acon-
tecimentos T: “o presente embrulhado ter preço” eB: “o presente ser embrulhado pela Carolina” nãosão acontecimentos independentes.
d) P(T) = 0,05 P(C) = 0,5 P(T ∩ C) = 0,025 P(T) × P(C) = 0,05 × 0,5 = 0,025 Como P(T ∩ C) = P(T) × P(C), conclui-se que os
acontecimentos T: “o presente embrulhado terpreço” e C: “o presente ser embrulhado pela Caro-lina” são acontecimentos independentes.
56. Através dos dados do enunciado:
a) P(V|C1) =
b) P(V|C2) =
c) P(V) = P(V ∩ C1) + P(V ∩ C2) = + =
d) P(C1|V) = = =
e) P(C2|B) = = =
f) P(C1|B) = = =
57. Através dos dados do enunciado:
a) P(C1) =
b) P(F) = P(F ∩ C1) + P(F ∩ C2) + P(F ∩ C3)
= + 0 + =
c) P(C3|F) = = =
58. No contexto da situação descrita, P(B|∫A) significa “aprobabilidade de sair um rebuçado de morango,sabendo que não saiu face par no lançamento dodado tetraédrico”. Ora, se não saiu face par, significaque não saiu face 4 e, logo, retira-se, ao acaso, umrebuçado do saco 2. No saco 2 existem 15 rebuça-dos, sendo 4 de morango.
Como segundo a regra de Laplace, num espaço deresultados com um número finito de elementos ecujos resultados elementares são equiprováveis,a probabilidade de um acontecimento é dado peloquociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento (neste caso 4) e o númerode casos possíveis (neste caso 15), temos que
P(B| ∫A) = . Assim, dos três amigos, quem tem
razão é o José.
59. Consideremos os acontecimentos: T1: “Tobias escolher o café Central” T2: “Tobias escolher o café Convívio” T3: “Tobias escolher o café da Esquina”
Sabemos que P(T1) = , P(T2) = P(T3) e que
P(T1) + P(T2) + P(T3) = 1, logo:
+ P(T2) + P(T2) = 1
§ P(T2) = § P(T2) = e P(T3) =
3513
715
16
310
9147
15
310P(C1 ∩ V)
P(V)
588
15
13P(C2 ∩ B)
P(B)
388
15
15P(C1 ∩ B)
P(B)
13
12
16
13
131
2
16P(C3 ∩ F)
P(F)
415
59
59
29
29
15
92
–
37Tema I | Matemática 12
B → P(C1 ∩ B) = × =
V → P(C1 ∩ V) = × =
B → P(C2 ∩ B) = × =
V → P(C2 ∩ V) = × =
12
25
15
12
35
310
12
23
13
12
13
16
C1
C2
25
12
12
3523
13
F → P(C1 ∩ F) =
V → P(C1 ∩ V) = 0F → P(C2 ∩ F) = 0
V → P(C2 ∩ V) =
F → P(C3 ∩ F) =
V → P(C3 ∩ V) =
13
131616
C1
C2
C3
0
13
13
1
1
0
12
12
Cálculo auxiliar:P(B) = P(B ∩ C1) + P(B ∩ C2)
= + =15
13
815
M1: “Malaquias escolher o café Central” M2: “Malaquias escolher o café Convívio” M3: “Malaquias escolher o café da Esquina”
Sabemos que P(M2) = , P(M1) = P(M3) e que
P(M1) + P(M2) + P(M3) = 1, logo:
P(M1) + + P(M1) = 1
§ P(M1) =
§ P(M1) = e P(M3) =
J1: “Jeremias escolher o café Central” J2: “Jeremias escolher o café Convívio” J3: “Jeremias escolher o café da Esquina”
Sabemos que P(J1) = P(J2) = P(J3) = .
a) P(T1 ∩ M1 ∩ J1) = P(T1) × P(M1) × P(J1)
= × ×
=
b) P(T1 ∩ M1 ∩ J1) + P(T2 ∩ M2 ∩ J2) + P(T3 ∩ M3 ∩ J3)
= + × × + × ×
= + +
=
c) Seja A o acontecimento “no máximo dois amigosencontram-se no mesmo café”, então ∫A é o acon-tecimento “todos os amigos se encontram no mes-mo café”.
Assim: P(A) = 1 – P(∫A)
= 1 – (determinado na alínea anterior)
=
60. Sejam os acontecimentos: X: “tomar o analgésico X” Y: “tomar o analgésico Y” A: “sentir-se agoniado” Do enunciado, sabe-se que:
• P(X) =
• P(A|X) = 0,8
• P(Y) =
• P(A|Y) = 0,1
Dispondo os dados num diagrama em árvore:
• P(X|A) = = =
• P(Y|A) = = =
Observe-se que, P(X|A) > P(Y|A), ou seja, sa bendoque, de manhã, quando acorda, a Andreia se sentebastante agoniada, é mais provável ter tomado oanalgésico X.
61. Considera os acontecimentos: N: “sair face nacional” E: “sair face europeia” Seja X a variável aleatória que representa o núme-
ro de face nacionais obtidas. X assume os valores 0, 1, 2, 3 e 4.
P(X = 0) = × × × = (E, E, E, E)
P(X = 1) = × × × × × 4 = =
(N, E, E, E), (E, N, E, E), (E, E, N, E), (E, E, E, N)
P(X = 2) = × × × × 6 = =
(E, E, N, N), (N, N, E, E), (N, E, E, N), (E, N, N, E), (N, E, N, E), (E, N, E, N)
P(X = 3) = × × × × 4 = =
(N, N, N, E), (N, E, N, N), (N, N, E, N), (E, N, N, N)
P(X = 4) = × × × = (N, N, N, N)
Tabela de distribuição de probabilidades da variá-vel X:
17
171
1
72
–
37
37
13
13
37
595
63
13
37
29
13
17
29
563
263
2189
56323
189
23189
166189
14
34
811
0,20,275
P(X ∩ A)P(A)
311
0,0750,275
P(Y ∩ A)P(A)
116
12
12
12
12
14
416
12
12
12
12
12
38
616
12
12
12
12
14
416
12
12
12
12
116
12
12
12
12
A → P(X ∩ A) = × 0,8 = 0,2
∫A → P(X ∩ ∫A) = × 0,2 = 0,05
A → P(Y ∩ A) = × 0,1 = 0,075
∫A → P(Y ∩ ∫A) = × 0,9 = 0,675
1414
3434
Y
X
0,8
14
34
0,2
0,1
0,9
xi 0 1 2 3 4
P(X = xi)1
1614
38
14
116
Matemática 12 | Guia do Professor38
Cálculo auxiliar:P(A) = P(X ∩ A) + P(Y ∩ A) = 0,2 + 0,075 = 0,275
62. P(X = 40) = P(X > 40)
§ 2a – = P(X = 50) § 2a – = a
§ a =
P(X ≤ 10) = 3 P(X = 50)
§ P(X = 0) + P(X = 10) = 3 ×
§ + b = § b =
§ b =
P(X = 0) + P(X = 10) + P(X = 20) + P(X = 30) + + P(X = 40) + P(X = 50) = 1
+ + c + + 2 × – + = 1
§ c =
63. X – “pontuação obtida”a)
b)b1) Y – “soma das pontuações obtidas em dois lança-
mentos do dado”
P(Y = 2) =
P(Y = 3) = =
P(Y = 4) = =
P(Y = 5) = =
P(Y = 6) = =
b2) Com recurso à calculadora: E(Y) ≈ 4,67 σY ≈ 1, 05409 Logo, V(Y) = σY
2 ≈ 1,11
64. Seja X a variável aleatória que representa o tempoque um mecânico demora a substituir num carroas pastilhas dos travões.
X ~N (90, 5)a)
P(X < 85) ≈ = 0,15865, ou seja,
P(X < 85) ≈ 16%b)
P(X > 105) ≈ = 0,00135, ou seja,
P(X > 105) ≈ 0,135%c)
P(95 < X < 100) ≈ 0,5 – –
= 0,1359, ou seja, P(95 < X < 100) ≈ 13,59%
65.a) 1 2 3 4 ∫8 × ∫8 × ∫8 × ∫8 = 84 = 4096
b) 1 2 3 4 ∫8 × ∫8 × ∫8 × ∫1 = 83 = 512
c) 1 2 3 4 ∫8 × ∫7 × ∫6 × ∫5 = 8A4 = 1680
66. Número de casos possíveis: M1 M2 M3 M4 M5
∫5 × ∫5 × ∫5 × ∫5 × ∫5 = 55 = 3125
112
112
112
112
212
312
112
16
112
112
112
14
16
112
13
μ
σ
–
= × + × + × =
=
11
62
1
33
1
2
7
3
17
3
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × +
2 2
1
62
7
3
1
33
7
3 – –
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
= ≈
2
1
2
5
90 745
,
136
19
436
518
1036
13
1236
14
936
85 90 95
1 – 0,68272
90 95 100 105
1 – 0,99732
90 95 100
1 – 0,95452
0,68272
39Tema I | Matemática 12
xi 1 2 3
P(X = xi)16
13
12
yi 2 3 4 5 6
P(Y = yi)1
3619
518
13
14
2.o
1.o1 2 2 3 3 3
1 2 3 3 4 4 4
2 3 4 4 5 5 5
2 3 4 4 5 5 5
3 4 5 5 6 6 6
3 4 5 5 6 6 6
3 4 5 5 6 6 6
Número de casos favoráveis: M1 M2 M3 M4 M5
∫5 × ∫4 × ∫3 × ∫2 × ∫1 = 120
P(“ficarem todos em hotéis distintos”) = =
67. Número de casos possíveis: 510 = 9 765 625 Número de casos favoráveis: 5 P(“saírem todos na mesma paragem”)
= = =
68. |0_____| |0_____| |0_____| |0_____| |0_____| Caixa 1 Caixa 2 Caixa 3 Caixa 4 Caixa 5 Começamos por colocar uma bola em cada uma
das caixas. Restam-nos 2 bolas para colocar nascaixas. As duas bolas podem ficar juntas na mes-ma caixa (5 possibilidades) ou ficarem se pa radas(5C2 = 10 possibilidades). Ou seja, existem 15maneiras diferentes de colocar as bolas.
69. 58 = 390 625
70. Número de casos possíveis: x y z ∫6 × ∫6 × ∫6 = 216a) Número de casos favoráveis: 1 ∫6 × ∫6 × ∫1 = 36 P(“o ponto P pertencer ao plano z = 1”) =b) Número de casos favoráveis: ∫6 × ∫6 × ∫1 = 36 P(“o ponto P pertencer ao plano y = z”) =c) Número de casos favoráveis: ∫3 × ∫6 × ∫6 = 108 P(“o ponto P pertencer ao semiplano x ≤ 3”) =
71. M: “a Vitória apaixonar-se por rapazes morenos” D: “a Vitória apaixonar-se por rapazes desportistas” P(M) = 0,6 P(D) = 0,7 P(∫M ∩ ∫D) = 0,25a) P((M ∩ ∫D) ∪ (D ∩ ∫M)) = P(M ∩ ∫D) + P(D ∩ ∫M) pois (M ∩ ∫D) e (D ∩ ∫M) são acontecimentos disjun-
tos. = P(M) – P(M ∩ D) + P(D) – P(D ∩ M)
P(M ∪ D) = P(M) + P(D) – P(M ∩ D)Então:
0,75 = 0,6 + 0,7 – P(M ∩ D) § P(M ∩ D) = 1,3 – 0,75 § P(M ∩ D) = 0,55 Continuando o cálculo de P[(M ∩ ∫D) ∪ (D ∩ ∫M)]: P(M) – P(M ∩ D) + P(D) – P(D ∩ M) = 0,6 – 0,55 + 0,7 – 0,55 = 1,3 – 1,1 = 0,2
b) P(M|∫D) = = = =
72. A: “a carta extraída ser ás” O: “a carta extraída ser de ouros” P(A) = 0,2 P(O) = 0,6 P(∫A ∩ ∫O) = 0,3a) P(∫A ∩ ∫O) = 0,3 § P(∫A∫ ∫∪∫ ∫O) = 0,3 § 1 – P(A ∪ O) = 0,3 § 1 – 0,3 = P(A ∪ O) § P(A ∪ O) = 0,7 Sabemos que: P(A ∪ O) = P(A) + P(O) – P(A ∩ O) 0,7 = 0,2 + 0,6 – P(A ∩ O) § P(A ∩ O) = 0,8 – 0,7 § P(A ∩ O) = 0,1 Dado que P(A ∩ O) ≠ 0, concluímos que A ∩ O: “a
carta extraída ser o ás de ouros” é um aconteci-mento possível. Tal só pode acontecer se o ás deouros estiver no baralho.
b) P(“ser extraído o ás de ouros”) = 0,1
Logo, é o número de cartas do
baralho incompleto.
c) é o número de cartas de ouros
deste baralho incompleto.
73. P(∫A|B) – P(∫B) × P(∫A|B) = P(∫A|B) [1 – P(∫B)] = P(∫A|B) × P(B)
= × P(B), P(B) ≠ 0
= P(∫A ∩ B) = P(∫A ∪∫ ∫B) = 1 – P(A ∪ ∫B) = 1 – P(∫B ∪ A) c.q.d.
74.a) P(B ∩ ∫C) = P(B) – P(B ∩ C) = P(B) – P(B) × P(C),
pois B e C são acontecimentos indepen-dentes.= P(B) [1 – P(C)] = P(B) × P(∫∫C)
Logo, B e ∫C são acontecimentos independentes.
24625
1203124
11 953 125
159
5510
16
16
12
16
530
0,050,3
P(M ∩ ∫D)P(∫D)
1
10
110 = =
nn§
6
10 106 = =
x x§
P(∫A ∩ B)P(B)
Matemática 12 | Guia do Professor40
Cálculo auxiliar:P(∫M ∩ ∫D) = 0,25 § P(∫M∫ ∫∪∫ D) = 0,25 § 1 – P(M ∪ D) – 0,25 § 0,75 = P(M ∪ D)
b)
pois [(A ∩ B) ∩ C]
e [(A ∩ B) ∩ ∫C] são acontecimentos disjuntos
75. A afirmação é falsa. Se A, B e C são acontecimentos independentes
então P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B) × P(C).
Vejamos o seguinte exemplo: Quatro cartões estão marcados com a, b, c e abc
e colocam-se dentro de uma caixa. Tira-se, ao aca-so, um cartão. Então, Ω = {a, b, c, abc}.
Considera os acontecimentos: A = {a, abc} B = {b, abc} C = {c, abc}
Tem-se que:
• P(A) =
• P(B) =
• P(C) =
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= ×
= P.V.
P(B ∩ C) = P(B) × P(C)
= ×
= P.V.
Contudo: P(A ∩ B ∩ C) = P({abc}) =
P(A) × P(B) × P(C) = × × = ou seja,
P(A ∩ B ∩ C) ≠ P(A) × P(B) × P(C), isto é, A, B e Cnão são independentes.
76. Sejam os acontecimentos: A: “o bolo é fornecido pela empresa A” B: “o bolo é fornecido pela empresa B” i: “o bolo apresenta peso significativamente in fe -
rior ao estabelecido” • P(A) = 3 P(B) • P(i|A) = 0,1 • P(i|B) = 0,15
Pretende-se determinar P(A|i):
P(A|i) = = =
= ) 0,667
Assim, P(A|i) ) 67%.
77. Sejam os acontecimentos: V: “ser dado viciado” S: “sair um num lançamento do dado”
P(S|V) =
P(S|∫V) =
P A B C P C P A B C P C( |( )) ( ) ( |( )) ( )
∩ × + ∩ ×
=PP A B C
P B CP C
P A B[ ( )]
( ) ( )
[ ( ∩ ∩
∩× +
∩ ∩ )]
( ) ( )
[ ( )]
( )
C
P B CP C
P A B C
P B
∩×
=∩ ∩
× PP C( )
poisB e Csão
independentes
� ��� ���
× PP CP A B C
P B P C
B C
( ) [ ( )]
( ) ( )+
∩ ∩
×
Se e sãão independentes,então e também são ind
B Ceependentes.
� ��� ���
×
=∩ ∩
( )
[( ) ]
(
P C
P A B C
P BB
P A B C
P BP A B C
)
[( ) ]
( )
[( ) ]
+∩ ∩
=∩ ∩ + PP A B C
P B
[( ) ]
( )
∩ ∩
P A B C P A
[(( ) ) ((=
∩ ∩ ∪ ) )]
( ),
∩ ∩B C
P B
[( ) ( )]
(=
∩ ∩ ∪P A B C C
P BBP A B
P BP A B
P BP A
)
[( ) ]
( )
( )
( ) ( |
=∩ ∩ Ω
=∩
= BB) c.q.d.
121212
12
12
14
14
14
12
12
14
14
14
14
18
12
12
12
0,0750,1125
0,0750,075 + 0,0375
P(A ∩ i)P(i)
23
1216
41Tema I | Matemática 12
i → P(A ∩ i) = × 0,1 = 0,075
∫i
i → P(B ∩ i) = × 0,15 = 0,0375
∫i
34
14
B
A
0,1
34
14
0,9
0,15
0,85
Cálculo auxiliar:P(A) + P(B) = 1 § 3 P(B) + P(B) = 1
§ 4 P(B) = 1
§ P(B) =14
Assim:
Pretende-se:
78. Sejam os acontecimentos: C: “Maria escrever a carta” S: “não se perder a carta nos correios” E: “o carteiro entregar a carta”
Seja ainda R o acontecimento: “a Rosa recebe acarta”. Pretende-se P(∫C|∫R).
Assim:
79. Face obtida no lançamento do dado: 1 fi X = 2 2 fi X = 1 3 fi X = 6 4 fi X = 2 5 fi X = 10 6 fi X = 3 Como o dado é equilibrado, obtém-se a seguinte
distribuição de probabilidades:
80.
81. No caso do projeto A:
E(X) = 95 000
No projeto B:
No projeto B: E(Y) = 115 000 Sendo que E(Y) > E(X), o diretor financeiro deve
aconselhar como sendo o mais vantajoso o pro-jeto B.
82. X – variável aleatória que representa o tempo queo Tiago demora nos correios.
X ~ N(6; 1,3)
E Z
P Z P Z P Z
( ) ,
( ) ( ) ( )
=
= + = + = +
4 9
2 3 4 PP Z P Z
P Z
( ) ( )
( )
= + = +
+ = =
5 6
7 1
§ , , , 2 0 05 3 0 25 4 5 6 0 1× + × + + + × +a b , ,
, , ,
7 0 3 4 9
0 05 0 25 0 1
× =
+ + + + +a b 00 3 1
4 5 1 35
0 3
,
,
,
=
+ =
+ =§
a b
a b
+ =
=
( , – ) ,
, – §
4 0 3 5 1 35
0 3
b b
a b
+ =
, – ,
________________§
1 2 4 5 1 35b b
=
=
=
§
§
,
, – ,
,
b
a
a
0 15
0 3 0 15
0 115
0 15ba b
, . .
==De facto,
xi 150 000 250 000 –100 000
P(X = xi) 0,5 0,2 0,3
yi 100 000 200 000 –50 000
P(Y = yi) 0,6 0,3 0,1
P V S SP V S S
P S S|
1 2
1 2
1 2
( )( ) = ( )( )
=
1
81
8
1
72
1
85
36
9
10+
= =
P C RP C R
P R( | )
( )
( )
= =
+ +
2
1072
1000
8
100
22
10
2
1044
125
25
44 = =
xi 1 2 3 6 10
P(X = xi)16
26
16
16
16
Matemática 12 | Guia do Professor42
V
∫V
S112
12
12
12
16
56
12
12
∫S1
12
12
S1
16
56
∫S1
16
56
810
210
C
∫C
910
110
S
∫S
910
110
E
∫E
→P(∫C) =2
10
→P(C ∩ ∫S) = × =8
101
108
100
P(C ∩ S ∩ ∫E)
= × × =8
109
101
1072
1000
←
S P V S S2 1 2
1
2
1
2
1
2
1
8= × × =
( )
S P V S S2 1 2
1
2
1
6
1
6
1
72= × × =
( )
∫S2
S2
∫S2
∫S2
S2
∫S2
Pretende-se determinar k tal que: P(X ≤ k) ≥ 0,9545. Através da calculadora e da opção Inv Norm obte-
mos k ≈ 8,20 minutos.
Unidade 9 – Análise combinatória
Página 104
81. 26A’3 = 263 = 17 576
82. 2 + 2A’2 + 2A’3 + 2A’4 = 2 + 22 + 23 + 24 = 30sequências
83. 4A’5 = 45 = 1024 maneiras
84.
a)
b)
c)
85. 12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)! § 12 n! + 5(n + 1) × n! = (n + 2) × (n + 1) × n! § 12 + 5(n + 1) = (n + 2) (n + 1) § 12 + 5n + 5 = n2 + 2n + n + 2 § n2 + 3n – 5n + 2 – 5 – 12 = 0 § n2 – 2n – 15 = 0
§ n =
§ n =
§ n = 5 ⁄ n = –3 Como n ≥ 0, então n = 5.
86.
a)
b)
c)
87.
a) 12 × 11 × 10 × 9 = =
b) 2014 × 2013 × 2012 =
= =
c) (n + 2) × (n + 1) × n =
=
d) n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × (n – 4)
= =
e) n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – p + 1)
=
=
88. 26A3 = 15 600
89. 12A2 = 132
90. Número de casos possíveis: 8! = 40 320
Número de casos favoráveis:
5 × 4 × 6! = 14 400
P = =
91. 6A4 = 360
92.
10
7
10 9 8 7
7720
!
!
!
! =
× × ×=
2013
2012
2013 2012
20122013
!
!
!
! =
×=
20 18
17
20
17
18
17
20 19! !
!
!
!
!
!
+= + =
× × 118 17
17
18 17
176840 18 6
!
!
!
!
×+
+×
= + = 8858
2 4 4 15
2
– (– )± ×
2 ± 82
n
n
n n
nn
!
( – )!
( – )!
( – )!
1
1
1=
×=
( – )!
( )!
( – )!
( ) ( )
n
n
n
n n
1
2
1
2 1+=
+ + nn n
n n n n n
( – )!
( )
1
1
3 2
1
32 3 2=
+ +=
+ ++ 2n
( )! ( – )!
!
( ) !
!
( –n n
n
n n
n
n+ +=
++
1 1 1 )!
( – )!
1
1
11 12
n n
nn
n n
n= + + =
+ +
12!8!
12 × 11 × 10 × 9 × 8!8!
2014!2011!
2014 × 2013 × 2012 × 2011!2011!
(n + 2) (n + 1) n(n – 1)!(n – 1)!
(n + 2)!(n – 1)!
n!(n – 5)!
n(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5)!(n – 5)!
n(n – 1) (n – 2) × … × (n – p + 1) × (n – p)!(n – p)!
n!(n – p)!
14 40040 320
514
A A A
nn
nn
nn
n n n n
n
n n n n
n
n n n
n
n n n n n n
n n
n n n n n
n n n
§
§
§
§
3
3 !
( – 3)! 5
( – 1)!( – 4)!
( – 2)!( – 4)!
3 ( – 1)( – 2) ( – 3)!
( – 3)!
5 ( – 1) ( – 2) ( – 3) ( – 4)!
( – 4)!
( – 2) ( – 3) ( – 4)!
( – 4)!
3 ( – 1) ( – 2) 5 [( – 1) ( – 2) ( – 3)
( – 2) ( – 3)]
3 ( – 1) 5 ( – 1) ( – 3) 5 ( – 3)
3 – 1
3 – 2
2( )× = +
× = +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
×
= +⎡
⎣⎢⎢
+⎤
⎦⎥⎥
= +
+
= +
43Tema I | Matemática 12
Como n – 2 ≥ 2 § n ≥ 4, vem que n = 6.
93.
a) 8A4 = 1680
b) 8! = 40 320
94. (∫4 × ∫3 × ∫2 × ∫1 × ∫4) × 5 ×
× (∫2 × ∫1 × ∫3 × ∫2 × ∫1) × 5C2
= 4! × 4 × 5 × 2! × 3! × 5C2 = 57 600
95.
a) 4! = 24
b) 6! = 720
96.
a) 3! = 6
b) 5! = 120
c) (n – 1)!
97.
6! – 2 × 5! = 480
98. 6! × 4! × 5 = 6! × 5! = 86 400
99.
a) 12! = 479 001 600
b) 6! × 4! × 4! = 414 720
c) 6! × 4! × 2! × 3! = 207 360
100. 5C3 = 10
101. 40C10 = 847 660 528
102. 6C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 31
103. 2C1 × 8C4 × 6C4 × 5C2 = 21 000
104. N.o de casos possíveis: 52C13 × 39C13 × 26C13 ×
× 13C13
N.o de casos favoráveis: 39C13 × 39C13 × 26C13 ×
× 13C13
P = ≈ 0,01
105.a) 4C2 – 4 = 2b) 5C2 – 5 = 5c) nC2 – n
106. 8C3 = 56 planos
107. Pretende-se saber quantos números da forma__9_ __ __ __ existem, com os algarismos todosdiferentes (escolhidos de entre os algarismos de1 a 9) e tal que a soma dos seus quatro algaris-mos seja par. Ora, para que a soma dos quatroalgarismos seja par é necessário que a soma dostrês últimos seja ímpar. Para que a soma destestrês algarismos seja ímpar, dois casos se podemdar: ou são todos ímpares, ou dois deles sãopares e o outro é ímpar.
No primeiro caso, temos de escolher ordenadamentetrês de quatro algarismos ímpares (1, 3, 5 e 7), o quepode ser feito de 4A3 maneiras diferentes.
No segundo caso, temos de começar por escolhera posição do algarismo ímpar, o que pode ser feitode 3 maneiras diferentes. Para cada uma destas,existem 4 maneiras de escolher esse algarismoímpar (1, 3, 5 ou 7). Para cada posição do algarismoímpar e para cada valor deste, existem 4A2 manei-ras diferentes de escolher ordenadamente dois dequatro algarismos pares (2, 4, 6 e 8). Assim, nestesegundo caso, existem 3 × 4 × 4A2 números dife-rentes, nas condições requeridas.
Logo, o número pedido é 3 × 4 × 4A2 + 4A3.
108. 20 sardinhas abaixo do tamanho permitido 30 sardinhas com o tamanho permitido 50 no total Seja X: “número de sardinhas com tamanho abai -
xo do permitido”
P(X = 0) = = =
n n n n n n
n n n n n n
n n
n n
n n
§
§
§
§
§
3 – 3 5 ( – – 3 3) 5 – 15
3 – 5 – 3 5 15 – 5 0
–2 12 0
(–2 12) 0
0 6
2 2
2 2
2
= + +
+ + =
+ =
+ =
= ∨ =
39C1352C13
29140
406019 600
30C350C3
Matemática 12 | Guia do Professor44
P(X = 1) = = =
P(X = 2) = = =
P(X = 3) = = =
109.
a) = 6300
b) = 151 200
c) = 83 160
110. 5 peças vermelhas 7 peças pretas 12 peças no total
N.o de casos favoráveis: 3 × 8C1 × 7C7 = 24 N.o de casos possíveis: 12C5 × 7C7 = 792
P = = =
111.
a) P = = =
b) P = =
c) P = = =
d) P =
=
112.
Como n + 1 ≥ 4 § n ≥ 3, então, vem que n = 5.
113.
Como n ≥ 2, então n = 13. Existem 13 sabores na loja.
Unidade 10 – Triângulo de Pascal ebinómio de Newton
Página 126
114.a) 10C7 = 120 caminhosb) 4C2 × 6C1 = 36 caminhos
115. O segundo elemento é 10, logo n = 10. Assim, osexto elemento dessa linha é 10C5.
Opção (A)
116.a) 20C5 = 20Cm
§ m = 20 – 5 v m = 5 § m = 15 v m = 5
570019 600
20C2 × 30C150C3
114019 600
20C350C3
10!4! 4!
10!2! 3! 2!
11!5! 2! 2!
V V V V
133
24792
3 × 8C112C5
154 145
482 598 760
4C4 × 48C152C5
103 7762 598 960
4C2 × 48C352C5
14959996
388 7002 598 960
26C4 × 26C152C5
4C2 × 48C3 + 4C3 × 48C2 + 4C4 × 48C152C5
108 3362 598 960
57196
57980
87196
870019 600
20C1 × 30C250C3
n nA P C
n
n
( )!
( – )!
+ = ×
+=
1
4 4 2
3
21
3
3§
224
2 2
1 1
! !
! ( – )!
( ) ( – )
× ×
+
n
n
n n n§
(( – ) ( – )!
( – )! !
(
n n
n
n n
2 3
3
3
44= × ×
× – ) ( – )!
( – )!
( ) ( – )
1 2
2
1 1
n
n
n n n§ + (( – ) ! ( – )
( ) (
n n n
n n
2 3 3 1
1
= × × ×
+§ – )
– – –
– –
2 18
2 18 02
2
=
=§
§
n n
n n 220 0
1 1 4 20
21 9
2
– (– )
=
=± ×
=±
§
§
n
n
§§ –n n= ∨ =5 4
nCn
n
n n n
278
2 278
1
!
! ( – )!
( – ) (
= =§
§ – )!
( – )!
– –
2
2156
156 02
n
n n
n
=
=§
§ ==± ×
=±
=
– (– )
1 1 4 156
21 25
213
§
§
n
n –∨ =n 12
45Tema I | Matemática 12
xi 0 1 2 3
P(X = xi)29
14087
19657
19657
980
b) 30Cm + 2 = 30C2m + 4
§ 2 m + 4 = 30 – (m + 2) v m + 2 = 2 m + 4 § 2 m + 4 = 30 – m – 2 v m – 2 m = 4 – 2 § 3 m = 24 v –m = 2 § m = 8 v m = –2
117.a) 100C4 + 100C5 = mC5 § m = 101b) 2m + 2C10 + 2m + 2C11 = 27C11
§ 2 m + 2 = 26 § m = 12
118.a) Se a linha tem 21 elementos, n = 20. Então, o terceiro elemento dessa linha é 20C2 = 190.b) O quinto elemento da linha anterior é 19C4 = 3876.c) O maior elemento dessa linha é o elemento cen-
tral: 20C10 = 184 756d) A soma de todos os elementos dessa linha é
220 = 1 048 576
119. Os elementos 2013C0, 2013C1, 2013C2, 2013C3 e2013C4 são menores que 2013C5 e atendendo àsimetria de cada linha do triângulo de Pascal,temos que existem 10 elementos nestas condi-ções.
Opção (D)
120. Podem ser feitos cocktails com 2, 3, 4, 5, … ou 12bebidas diferentes; assim temos que, o nú me rode cocktails é:
12C2 + 12C3 + 12C4 + 12C5 + 12C6 + … + 12C12
= 212 – 12C0 – 12C1
= 4096 – 1 – 12 = 4083
121.a) (a + 2 b)5
= 5C0 a5 × (2b)0 + 5C1 a4 (2b)1 + 5C2 a3 (2b)2 ++ 5C3 a2 (2b)3 + 5C4 a1 (2b)4 + 5C5 a0 (2b)5
= 1 × a5 × 1 + 5 a4 × 2 b + 10 a3 × 4 b2 + 10 a2 ×× 8 b3 + 5 a × 16 b4 + 1 × 1 × 32 b5
= a5 + 10 a4 b + 40 a3 b2 + 80 a2 b3 + 80 a b4 + 32 b5
b) (√∫x – 2)6
= 6C0 (√∫x)6 × (–2)0 + 6C1 (√∫x)5 × (–2)1 + 6C2 (√∫x)4 ×× (–2)2 + 6C3 (√∫x)3 × (–2)3 + 6C4 (√∫x)2 × (–2)4 ++ 6C5 (√∫x)1 × (–2)5 + 6C6 (√∫x)0 × (–2)6
= 1 × x3 × 1 + 6 × x2 √∫x × (–2) + 15 x2 × 4 + 20 x√∫x ×× (–8) + 15x × 16 + 6 √∫x × (–32) + 1 × 1 × 64
= x3 – 12 x2 √∫x + 60 x2 – 160 x √∫x + 240 x – – 192 √∫x + 64
122.
a)
b)
O coeficiente é .
c)
d) 14C0 + 14C1 + 14C2 + … + 14C14 = 214 = 16 384
123. Os termos do desenvolvimento desão da forma:
Para ser termo independente de x tem de se veri-ficar:
6 – p = 0
§ p = 4 Assim, o termo independente de x é:
124. Os termos do desenvolvimento desão de forma:
T C4
14
3
211
322
1123 364
2 =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × = × ×
x x227
2457
51222 = x
14
4
210
420
1023 1001
281C ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × = × ×
x x
=
81 081
102420x
81 0811024
Termo central
= ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
=
14
7
27
7
23
3432
Cx
× ×
=
=
x
x
14
7
14
22187
7 505 784
128938 2223
1614 x
xx
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
212
1212
12
12
2C
C
p
pp
p
p
–
–
xx
x
( ) ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ( ) ×1
2
–
–
2
2126
1
2
126
p
p
p
pp p
p
C
C
x
x x
x
–= × ×
=
3
2 2p
p×
32
12
4
12 44
44
4
2495
2C
–
xx
xx
( ) ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = × × = 7920
15 2
9
xx +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
9
9
2
9
9
15
1
C
C
p
pp
p p
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × ( )
= + ×
–
–
xx
x
–
5
5
5
2
9 2 9
9
p p
p
p p p
p
p
C
C
×
= × ×
= × ×
+
x
xx33 9p –
Matemática 12 | Guia do Professor46
47Tema I | Matemática 12
Para ser termo independente de x, tem de se veri-
ficar:
3 p – 9 = 0 § p = 3
Assim, o termo independente de x é:
125. Observe-se que nC0 + nC1 + nC2 + … + nCn cor res -
pon de ao desenvolvimento do binómio (a + b)n,
onde a = 1 e b = 1:
nC0 + nC1 + nC2 + … + nCn
= nC0 × 1n × 10 + nC1 × 1n – 1 × 11 +
+ nC2 × 1n – 2 × 12 + … + nCn × 10 × 1n
= (1 + 1)n
= 2n c.q.d.
Unidade 11 – Modelo binomial
Página 134
126. Seja X a variável aleatória que representa o
número de chocolates que se estragam antes de
expirar o prazo de validade.
X ~ B(80; 0,01)
a) P(X = 2) = 80C2 × (0,01)2 × (0,99)78
≈ 0,144
b) P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
= (0,99)80 + 80C1 × (0,01)1 × (0,99)79 + 80C2 ×
(0,01)2 × (0,99)78 + 80C3 × (0,01)3 × (0,99)77
≈ 0,991
127. X: “número de questões corretas”
a)
b)
Aprende fazendo
Páginas 138 a 1501. i i ∫1∫0 × ∫5 × ∫5 × ∫1∫0 = 2500 códigos Opção (C)
2. 5 Não 5 Cons. Cons. ∫1 × ∫9 × ∫1∫0 × ∫1∫0 × ∫1∫8 × ∫1∫8 = 291 600 matrículas Opção (D)
3. 15C6 é o número de maneiras de escolher os 6compartimentos, dos 15, para colocar os 6 refri-gerantes que são iguais entre si.
Opção (A)
4. O segundo elemento é 13, logo n = 13. Assim, osexto elemento dessa linha é 13C5.
Opção (A)
5. O penúltimo elemento é 2012. Assim, n = 2012,logo o décimo elemento dessa linha é 2012C9.
Opção (C)
6. A soma de todos os elementos da linha n do triân-gulo de Pascal é dada por 2n.
Assim, 2n = 16 § n = 4, ou seja, a linha tem 5 ele-mentos.
Opção (B)
7. 2012C300 + 2012C301 = 2013C301
Opção (C)
8. Termo central = 10C5 × x5 × (–2)5
= 252 × x5 × (–32) = –8064 x5
Opção (A)
9. Acontecimento S: “A e B não estarem juntas”, ouseja, estarem separadas.
P(S) = 1 – P(∫S) = 1 – = Opção (C)
10. P = =
Opção (A)
9
3
9 3
23
6
3
15
841
5
C
–
xx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × ( )
= × × × xx6
10 500
=
X B ~ , 81
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
P X C( )
,
= =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈
41
4
3
40 087
8
4
4 4
P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )≥ = = + = + =6 6 7 8
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟8
6
6 2
8
7
7
1
4
3
4
1
4C C ×× +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈
,
3
4
1
40 004
8
8
8
C
� �� ���A B
2! 6! 7× ×
34
2! × 7!8!
29
8C510C5
11. Número de casos possíveis: 1 000 000
Número de casos favoráveis:
P_ P_ P_ I_ I_ I_ 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 6C3
Assim, P = =
Opção (D)
12. A linha tem 50 elementos, logo n = 49.
Assim, o vigésimo elemento da linha seguinte é 50C19.
Opção (B)
13. Se a soma do primeiro, segundo, penúltimo e últi-mo elemento de uma linha é 40, então:
1 + n + n + 1 = 40 § 2n = 38 § n = 19
Assim, o terceiro elemento da linha anterior é 18C2 = 153.
Opção (A)
14. A linha tem 31 elementos, logo n = 30.
Então, o maior valor dessa linha corresponde aoelemento central. Assim, k = 30C15.
Opção (C)
15. Seja X a variável aleatória que representa o númerode vezes que sai face amarela em 5 lançamentos.
Então:
Opção (B)
16. Número de casos possíveis: 9!
__ __ __ __ __ __ __ __ __
Como os homens não podem estar juntos necessi-tamos de 2 mulheres que funcionam como separa-dores. Logo, dos nove lugares disponíveis, retira-mos dois para colocar as mulheres “separadoras”.Assim, restam-nos 7 lugares para os 3 homens.
Número de casos favoráveis: 7C3 × 3! × 6!
P =
Opção (A)
17. Número de casos possíveis: ∫5 × ∫5 × ∫5 × ∫5 × ∫5 = 55 = 3125 Número de casos favoráveis: ∫5 × ∫1 × ∫1 × ∫4 × ∫3 × 5C3 = 600
Assim, a probabilidade pretendida é =
Opção (C)
18. 2310Ω 2 1155 Ω 3 385 Ω 5 77 Ω 7 11 Ω 11 1 Ω
2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 O número de divisores de 2310 é, assim, o número
de subconjuntos que se podem formar com os ele-mentos do conjunto {2, 3, 5, 7, 11}. Assim:
5C0 + 5C1 + 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 25 = 32 Opção (B)
19. Se um dos termos do desenvolvimento de (2π + 5)n é288 000π8, então esse termo é da formanC8 × (2π)8 × 5n – 8. Assim:
Das opções apresentadas: – Se n = 8, 8C8 × 58 – 8 = 1 ≠ 1125 – Se n = 9, 9C8 × 59 – 8 = 40 ≠ 1125 – Se n = 10, 10C8 × 510 – 8 = 1125 – Se n = 11, 11C8 × 511 – 8 = 20 625 ≠ 1125 Opção (C)
20. Os três últimos elementos da linha são 45, 10 e 1;logo, os três primeiros elementos dessa linha são1, 10 e 45; assim, n = 10.
Então, a soma dos 3 primeiros elementos da linhaanterior (n = 9) é 9C0 + 9C1 + 9C2 = 46.
Opção (B)
21.a) 4 × 4 = 16 maneiras distintasb) 4 × 3 = 12 maneiras distintas
516
312 5001 000 000
X B ~ , 51
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
P X C( ) ,= = ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≈3
1
6
5
60 035
3
3 2
22
512
edfdg
Número demaneiras de
escolher orde-nadamente com
repetição 3números paresde entre 5 (0, 2,
4, 6 e 8).
edfdg
Número demaneiras de
escolher orde-nadamente com
repetição 3números ímpa-res de entre 5(1, 3, 5, 7 e 9).
Número demaneiras diferen-
tes de escolheras três posições
de entre seis paracolocar os núme-
ros pares.
Número demaneiras de
formar o grupode 3 amigos
que escolhemo mesmo res-
taurante.
edfdg
Número demaneiras dos
restantes ami-gos escolhe-rem 2 restau-
rantesdiferentes, dos4 ainda dispo-
níveis.
edfdg
Número demaneiras de 3amigos esco-
lherem o mes-mo restaurantede entre 5 pos-
síveis.
24125
6003125
n n
n
C
C
8
88 8
8
8 8
2 5 288 000
2
– π π
π
( ) × =
× ×§ ×× =
× =
–
–
5 288 000
5288 000
8 8
8
8
n
n nC
π
§2256
5 11258
8§ – n nC × =
Matemática 12 | Guia do Professor48
22.a) ∫2∫6 × ∫2∫6 × ∫2∫6 × ∫2∫6 = 456 976b) ∫2∫6 × ∫2∫6 × ∫2∫6 × ∫1∫0 × ∫1∫0 = 1 757 600
23. 30A8 = 235 989 936 000
24. 10C6 × 4C4 = 210
25. 3 × 5A5 = 3 × 5! = 360
26. 5 números e 2 estrelas Número de casos possíveis: 50C5 × 11C2
Número de casos favoráveis: 1 P(“ganhar o Euromilhões”)
= =
27. 16 raparigas 14 rapazes 30 no totala) Número de casos possíveis: 30C4
Número de casos favoráveis: 16C4
P(“todos os bilhetes serem para raparigas”)
= = =
b) Número de casos possíveis: 30C4 = 27 405 Número de casos favoráveis: 16C2 × 14C2 = 10 920 P(“dois bilhetes serem para raparigas e dois bilhe-
tes serem para rapazes”) = =
28.a) 28C5 = 98 280b) 28C5 – 18C5 = 89 712c) 10C5 = 252d) 1 × 9C2 × 18 = 648
29. Se a soma dos dois primeiros elementos é 36,então 1 + n = 36 § n = 35.
a) A linha tem 36 elementos.b) Como a linha tem 36 elementos existem dois ele-
mentos centrais iguais e que representam o maiorvalor dessa linha: 35C17 = 35C18 = 4 537 567 650
c) O quarto elemento da linha anterior é 34C3 = 5984d) 36C9 = 94 143 280
30.a) O desenvolvimento tem 11 (10 + 1) termos:
b)
c)
d) 10C0 + 10C1 + 10C2 + 10C3 + … + 10C10 = 210 = 1024
31. Seja X a variável aleatória que representa o núme-ro de vezes que sai face 2 no lançamento do dadoequilibrado 10 vezes.
a) Assim,
b)
c)
d)
32.
a) ou ou
∫5 + ∫5 × ∫5 + ∫5 × ∫5 × ∫5 = 155
b) ou ou
∫5 + ∫5 × ∫4 + ∫5 × ∫4 × ∫3 = 85
33.
a) ∫9 × ∫9 × ∫8 = 648
b) ∫9 × ∫8 × ∫7 = 504
c) ∫0 ∫0 ∫8 × ∫7 × ∫6 + (∫8 × ∫7 × ∫1) × 3 + (∫8 × ∫1 × ∫7) × 2 =
= 616
1116 531 800
150C5 × 11C2
52783
182027 405
16C430C4
104261
10 92027 405
T C3
10
2
82
8 81717
45 17= × ( ) ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = × × × x y x
y
x yx y
2
6 8 2
8 2
45 17
1 086 190 605
172
= ×
=
Termo médio = × ( ) ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
10
5
55
1717
25
C x y
22 1717
252
5 55
5
5 5
× ×
=
x y
x y
X B ~ , 101
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
P X C( ) ,= = ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≈4
1
6
5
60 0510
4
4 6
44
P X C( ) = = ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛0
1
6
5
6
5
610
0
0 10
⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≈
10
0 162 ,
P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )
≥ = = + = + =
=
8 8 9 10
100
8
8 2
10
9
9
1
6
5
6
1
6C C×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ××
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
6
1
6
5
6
1
10
10
10 0
C ≈≈ , 0 000 02
P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )
≤ = = + = + =
=
2 0 1 2
5
66
1
6
5
6
10
10
1
1 9
10⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + C C
22
2 8
1
6
5
60 775
×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈
,
edfdg
Não incluinem o zeronem o dois.
edfdg
Inclui o dois enão inclui o
zero.
edfdg
Inclui o zero enão inclui o
dois.
49Tema I | Matemática 12
34.a)
b)
c)
35.a) 20C15 = 15 504b) 1 × 1 × 18C13 = 8568c) 2 × 18C14 = 1 × 1× 18C13 = 14 688 d) 10C5 × 10C10 = 10C5 × 1 = 252
36. 5C4 × 30C21 + 5C3 × 30C22 + 5C2 × 30C23 = 150 423 000
37.a) 48 = 65 536
b)
38.a) 12C6 × 28C4 = 18 918 900b) 4C2 × 36C8 + 4C3 × 36C7 + 4C4 × 36C6 = 216 900 552c) 4C4 × 36C6 = 1 947 792
39.a) Número de casos possíveis: 125 = 248 832 Número de casos favoráveis: 12 P(“terem nascido todos no mesmo mês”)
= = =
b) Número de casos possíveis: 125 = 248 832 Número de casos favoráveis: 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 95 040 P(“terem nascido todos em meses diferentes”)
= =
c) Número de casos possíveis: 125 = 248 832 Número de casos favoráveis: 5C3 × 12 × 1 × 1 × 11 × 10 = 13 200 P(“três e só três terem nascido no mesmo mês”)
= =
40. X: “número de cartões verdes extraídos”
P(X = 0) = = =
P(X = 1) = = =
P(X = 2) = = =
41. X: “quantia, em cêntimos, correspondente às duasmoedas retiradas”
a) P(X = 20) = =
P(X = 30) = = =
P(X = 40) = = =
P(X = 60) = =
P(X = 70) = = =
P(X = 100) = =
b) μ = 20 × + 30 × + 40 × + 60 × + 70 ×
× + 100 × = ≈ 51,43
≈ 20,54 μ – σ ≈ 51,43 – 20,54 = 30,89 μ + σ ≈ 51,43 + 20,54 = 71,97 P(μ – σ < X < μ + σ) = P(X = 40) + P(X = 60) + P(X = 70)
= + + =
__ __ __ __ __ __
! ! � �� �� � �� ��
3 3 2× × = 772
F F F
! ! ���
3 3 4 144× × =
C C C1 2 3
2 2 2 3
! ! ! ! × × × = 48
8
4
4 4
1
4
3
4
5670
65 536
283C ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
55
32 768
120 736
1124
12125
55144
95 040248 832
2755184
13 200248 832
512
1536
6C29C2
12
1836
6C1 × 3C19C2
112
336
3C29C2
121
2C27C2
27
621
2C1 × 3C17C2
17
321
3C27C2
421
2C1 × 2C17C2
27
621
3C1 × 2C17C2
121
2C27C2
421
17
27
121
108021
121
27
σ – – =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × +
⎛
⎝20
1080
21
1
2130
1080
21
2
⎜⎜⎞
⎠⎟ × +
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × +
2
2
2
7
401080
21
1
760
– –
–
1080
21
4
21
701080
21
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × +
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × –
2
7100
1080
21
1
21
2
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
1321
27
421
17
xi 0 1 2
P(X = xi)5
1212
112
xi 20 30 40 60 70 100
P(X = xi)1
2127
17
421
27
121
Matemática 12 | Guia do Professor50
42.a) Número de casos possíveis: 12C4 = 495 Número de casos favoráveis: 8C3 × 4C1 = 224
P(“retirar exatamente três cápsulas pretas”) = =
= 0,45b) 20C8 × 12A4 = 1 496 523 600c) Número de casos possíveis: 12! = 479 001 600 Número de casos favoráveis: 8! × 4! × 5 = 4 838 400 P(“as cápsulas pretas ficarem todas juntas”)
= =
43. 4 bolas pretas 3 bolas brancas 2 bolas vermelhas 1 bola dourada 10 no totala) Número de casos possíveis: 10C4 = 210 Número de casos favoráveis: 4C4 = 1
P(“serem todas da mesma cor”) =
b) Número de casos possíveis: 10C4 = 210 Número de casos favoráveis: 4C3 × 6 + 3C3 × 7 + 4C4 = 24 + 7 + 1 = 32 Exatamente 3 da mesma cor ou 4 da mesma cor 4C3 × 6 + 3C3 × 7 + 4C4
P(“pelo menos três bolas serem da mesma cor”)
= =
c) Número de casos possíveis: 4C3 × 6 + 3C3 × 7 = 31 Número de casos favoráveis: 3C3 × 7 = 7 P(“haver 3 bolas brancas sabendo que 3 e só 3 são
da mesma cor”) =
44. 9A4 é o número de maneiras distintas de escolherordenadamente as amigas a quem vai oferecer cadaum dos diferentes colares. Por cada uma destasmaneiras existem 5A3 modos distintos de escolherordenadamente as amigas a quem vai oferecer cadauma das diferentes pulseiras. Assim, 9A4 × 5A3 é onúmero de maneiras diferentes que a Patrícia temde presentear as amigas.
9C7 é o número de maneiras de escolher as 7 ami-gas de entre as 9 amigas que vão ser presentea-das. Por cada uma destas maneiras, existem 7A4
modos distintos de escolher ordenadamente as 4amigas de entre as 7 que vão receber cada um doscolares. Depois de escolhidas as 4 amigas que vãoreceber os colares, existem 3! maneiras diferentesde distribuir as 3 pulseiras pelas 3 amigas.
Ou seja, 9C7 × 7A4 × 3! é uma resposta correta.
45. 10 dadores do grupo O
6 dadores do grupo A
3 dadores do grupo B
1 dador do grupo AB
20 dadores no total
20C4 – 10C4 – 10C1 × 10C3
A resposta correta é a (II).
Se nos 4 dadores escolhidos, pelo menos dois são
do grupo O, então existem 3 possibilidades mutua-
mente exclusivas: exatamente 2 dadores do grupo O;
exatamente 3 dadores do grupo O e 4 dadores do
grupo O.
10C2 × 10C2 é o número de modos distintos de esco-
lher 2 dadores do grupo O e 2 dadores que não são
do grupo O; 10C3 × 10C1 é o número de maneiras
diferentes de escolher 3 dadores do grupo O e 1
dador que não é do grupo O; 10C4 é o número de
modos distintos de escolher 4 da do res do grupo O.
Assim, 10C2 × 10C2 + 10C3 × 10C1 + 10C4 é o número
de maneiras de escolher pelo menos dois dadores
do grupo O.
20C4 – 10C4 – 10C1 × 10C3 também seria uma res-
posta correta.
20C4 é o número de maneiras de escolher 4 dado-
res de entre os 20 sem quaisquer restrições. 10C4
é o número de maneiras de escolher 4 dadores que
não são do grupo O e 10C1 × 10C3 é o número de
modos de escolher um dador do grupo O e 3 que
não são do grupo O.
Se ao número de possibilidades de escolher quais-
quer 4 dadores retirarmos as possibilidades de não
ter nenhum dador do grupo O e exatamente um
dador do grupo O, obtemos as possibilidades de
obtermos pelo menos 2 dadores do grupo O.
46. P(“não escolher nenhum fora do prazo”)
= = =
47. P(“Rui ganhar prémio”) = 1 – =
48. A soma do primeiro, do segundo, do penúltimo e
do último elementos de uma linha do triângulo de
Pascal é 50. Então, 1 + n + n + 1 = 50 § 2n = 48
§ n = 24
a) A linha tem 25(24 + 1) elementos.
224495
199
4 838 4004 790 001 600
1210
16105
32210
731
4170
11 48019 600
42C350C3
88203
27C530C5
51Tema I | Matemática 12
b) Os elementos da linha em questão são do tipo24Ck, k ∈ {0, 1, …, 24}
24C0 = 1 < 300 24C1 = 24 < 300 24C2 = 276 < 300 24C3 = 2024 > 300 Como, em cada linha do triângulo de Pascal, os
elementos equidistantes dos extremos são iguais,conclui-se que são 6 os elementos dessa linhamenores do que 300.
c) Número de casos possíveis: 25C2 = 300 Número de casos favoráveis: 12 (já que a linha
tem 25 elementos e os elementos equidistantesdos extremos são iguais, há 12 casos favoráveis aoacontecimento: “obter dois números iguais”.)
Assim, a probabilidade pretendida é = .
49. Com 1 comprimido podem fazer-se 9C1 soluçõesdistintas; com 2 comprimidos podem fazer-se 9C2
soluções distintas; e assim sucessivamente. Assim, no total, podem ser obtidas: 9C1 + 9C2 + 9C3 + 9C4 + 9C5 + 9C6 + 9C7 + 9C8 + 9C9
= 29 – 1 = 511 soluções distintas
50.
a)
b)
51. Se o desenvolvimento de tem 7 ter-
mos, então n = 6 e os três últimos termos são:
52. Os termos do desenvolvimento de sãoda forma:
a) Para obtermos o termo em x–3 terá que verificar-se
3 – p = – 3 § p = 4
Assim, o termo em x–3 é:
b) Para obtermos o termo independente, terá de veri-
ficar-se 3 – p = 0 § p = 2
Assim, o termo independente é:
125
12300
n
n
n
n
Cn
!
! ( – )!
!
! ( – )!
3 3 2 2� �� �� � �� ��+
=33 2
1
3
1
3 1 3
+
=
=+
+
=
+
( )!
! ( – )!
n
n
C
C
n
n
( )!
( – )!
( ) ( – ) (
n
n
n n n n
+
=+
1
6 2
1 1 – )!
( – )!
( ) ( – )
2
6 2
1 1
6
n
n n n=
+
7
1
7
8
8
8
8
C C P
A
C p
A
A
p p p
p
p
p
p
–
!
+( ) ×=
×
=pp
p
A
A
A
p
p
p
! !
×
= =
8
8
81
31
– ab
n⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
T C ab
ab5
6
4
24
231
15 31
= ( ) ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = × × × –
44
2
4
6
6
5
15
45
31
6
–
=
= ( ) ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ×
a
b
T C ab
(– )
–
–
31
6 3
31
5
5
7
6
6
0
ab
a
b
T C ab
×
=
= ( ) ×⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = × × =
6
6 61 1
1 1
b b
xx3
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
16
6
6
6
1
2
6
1C
C
p
p p
p
–
xx
x
3
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ×( )
–
–
–
–
p
p p
p
p
pC
3
1
3
6
6
31
2
6
×
= × ×
x
x x––
–
– –
p
p p
p p
p
C
C
= × ×
= ×
6
6
31
2
6
6
1
31
3
x
––
–
p
p
× x3
3
2
32
6
4
6 4 4
3
1
159
1
C
–
xx
x
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= × ×xx
x
4
35
3= –
32
6
2
6 2 22
43
115
3C
–
xx
x⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = × ×
1
15
81
5
27
x2
= =
Matemática 12 | Guia do Professor52
53. nC0 – nC1 + nC2 – nC3 + … + (–1)n nCn
= nC0 × 1n × (–1)0 + nC1 1n – 1 × (–1)1 ++ nC2 × 1n – 2 × (–1)2 + nC3 × 1n– 3 × (–1)3 + … ++ nCn × 10 × (–1)n = (1 + (–1))n = 0
54. Seja X a variável aleatória que representa o núme-ro de golos marcados pelo António em 12 rematesà baliza.
X ~ B(12; 0,25)a) P(X = 4) = 12C4 × (0,25)4 × (0,75)8 ≈ 0,1936, ou seja,
P(X = 4) ≈ 19,36%b) P(X ≤ 8) = 1 – P(X > 8) = 1 – [P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)] = 1 – 12C9 × (0,25)9 × (0,75)3 – 12C10 × (0,25)10 ×
× (0,75)2 – 12C11 × (0,25)11 × (0,75)1 – 12C12 ×× (0,25)12 × (0,75)0
≈ 0,9996 ou seja, P(X ≤ 8) ≈ 99,96%
55. – = 360
56. n! m! × (m + 1) = n! × (m + 1)!
57. ∫0 ∫9 × ∫1∫0 × ∫1∫0 × ∫1∫0 → número de 4 algarismos
∫0 ∫9 × ∫9 × ∫8 × ∫7 → números de 4 algarismos todos
distintos 9000 – 4536 = 4464 → números de 4 algarismos
que têm pelo menos 2 algarismos iguais.
58. 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 8! = 40 320
59.a) 10C6 × 4C4 = 10C6 × 1 = 10C6 = 210
b) = = 126
c) = 945
60.
Como n ≥ 2, vem que n = 10. São 10 participantes.
61. Número de casos possíveis: 64 = 1296 Número de casos favoráveis: 6C4 = 15 P(“saírem quatro números por ordem estritamente
crescente”) = =
62.
X: “número de cartas extraídas”
P(X = 1) = =
P(X = 2) = × =
P(X = 3) = × × =
P(X = 4) = × × × + × ×
× ×
=
63. A resposta correta é a (I). 6C3 é o número de maneiras distintas de escolher
3 pontos quaisquer de entre 6. Para que os 3 pontos escolhidos definam um pla-
no, não podem ser os 3 colineares. Assim, pode-mos escolher 2 pontos da aresta [AC] e 1 ponto da
6!3! × 2!
7!3! 2!
10C5
2
10C5 × 5C5
210C2 × 8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C2
5!
n C
n
nn
n
245
2 245
2
!
! ( – )!
!
( – )!
=
=
=
§
§ 990
1 2
290§
( – ) ( – )!
( – )!
n n n
n=
§
§
§
– – 90 = 0
= 1 ± 1 – 4 (–90)
2n n
n×
2
nn
n
n n
= 1 ± 361
= 1 ± 19
2
210
§
§ = ∨ == –9
5432
151296
113
452
16221
451
4852
3765525
450
4751
4852
4751
4852
449
4650
4751
4852
4549
4650
43245525
53Tema I | Matemática 12
452
4852
R
√R
451
4751
R
√R
450
4650
R
√R
449
4549
R
√R
X = 1
X = 2
X = 3
X = 4
X = 4
xi 1 2 3 4
P(X = xi)1
1316
221376
552543245525
aresta [DF] ou escolher 2 pontos da aresta [DF] e1 ponto da aresta [AC].
3C2 é o número de maneiras diferentes de escolher2 vértices da aresta [AC]. E por cada uma destasmaneiras existem 3 hipóteses para escolher umvértice da aresta [DF].
Logo, 3C2 × 3 é o número de maneiras de escolher2 vértices da aresta [AC] e 1 vértice da aresta [DF].
Analogamente, 3C2 é o número de maneiras dife-rentes de escolher 2 vértices da aresta [DF]. E porcada uma destas maneiras existem 3 hipótesespara escolher 1 vértice da aresta [AC].
Ou seja, 3C2 × 3 é o número de maneiras de escolher2 vértices da aresta [DF] e 1 vértice da aresta [AC].
Assim, 3C2 × 3 + 3C2 × 3 é o número de casos favo-ráveis ao acontecimento “os 3 pontos definiremum plano”.
Logo, pela regra de Laplace, a probabilidade de os 3
pontos definirem um plano é .
Uma outra resposta correta para este problema
seria 1 – .
2 × 3C3 é o número de modos distintos de escolher
3 pontos que não definem um plano. Isto é,
é a probabilidade de os 3 pontos escolhidos nãodefinirem um plano. Pela probabilidade do aconte-cimento contrário, vem que a probabilidade de os3 pontos escolhidos definirem um plano é igual a
1 – .
64. 25C15 é o número de modos distintos de colocar as15 cápsulas de café no tabuleiro.
Supondo que as cápsulas ocupam pelo menosuma das diagonais, sobram-nos 10 cápsulas paracolocar em 20 compartimentos, o que pode ser fei-to de 20C10 modos distintos.
Por cada uma destas possibilidades existem 2 dia-gonais possíveis de preencher. Porém, 2 × 20C10
contabilizou o dobro das vezes o caso em que as 2diagonais são preenchidas em simultâneo. Logo,temos que subtrair o número de modos de preen-chidas as 2 diagonais em simultâneo: depois depreencher as 2 diagonais sobram 15 – 9 = 6 cáp-sulas para colocar em 16 compartimentos, o quepode ser feito de 16C6 maneiras distintas. Assim, 2 × 20C10 – 16C6 é o número de maneiras de ocuparpelo menos uma das diagonais.
Pela regra de Laplace, a probabilidade de um acon-tecimento é dada pela razão entre o número decasos favoráveis e o número de casos possíveis,quando os resultados elementares são equiprová-
veis, em número finito, ou seja, é
uma resposta correta a este problema.
65. P = =
66. Sejam a e b o segundo e terceiro elementos, res-petivamente, da linha do triângulo de Pascal, emque 4060 é o quarto elemento.
Sabemos que 1 + a + b + 4060 = 4526, ou seja, a + b = 465 e observe-se que o terceiro elementoda linha seguinte do triângulo de Pascal é a + b:
Assim, o terceiro número da linha seguinte é 465.
67. Dada a simetria de cada uma das linhas do triân-gulo de Pascal, o antepenúltimo elemento é igualao terceiro elemento da linha.
Assim, nC2 = 1225.
Logo, a linha em questão é a linha n = 50 e tem 51elementos.
68.a) 1 + n + n + 1 = 26 § n = 12 Sendo a linha n = 12 do triângulo de Pascal, temos
13 elementos.
3C2 × 3 + 3C2 × 36C3
2 × 3C36C3
2 × 3C36C3
2 × 3C36C3
20C10 × 2 – 16C625C15
10009139
4 × 36C9 × 3 × 27C9 × 2 × 18C9 × 1 × 9C940C10 × 30C10 × 20C10 × 10C10
n C
n
n
n n
21225
2 21225
1
!
! ( – )!
( – )
=
=§
§(( – )!
( – )!
– –
n
n
n n
2
2 21225
24502
=
=§ 00
1 1 4 1 2450
2 1
2
§
§
(– ) – (– )
n =+ ± × ×
×nn n – = =50 49
0�
1
1 1
1 2 1
. . . . . . .
1 a b 4060 1 1
1 1 + a a + b . . . . . . . .
Matemática 12 | Guia do Professor54
55Tema I | Matemática 12
Assim, na extração sucessiva, sem reposição, dedois cartões da caixa, temos:
Número de casos possíveis: 13 × 12 = 156 Número de casos favoráveis: 12 × 1 = 12 (já que, dada a simetria de cada uma das linhas do
triângulo de Pascal, em 13 elementos, apenas um– o central – não tem outro elemento igual a ele.)
Assim, a probabilidade pretendida é P = = .
b) No contexto da situação descrita, P(B|A) significa“a probabilidade de, numa extração sucessiva esem reposição de dois cartões da caixa, os núme-ros escritos nos cartões serem diferentes, sabendoque saiu um cartão correspondente ao elementocentral da linha”.
Ora, dada a simetria de cada uma das linhas dotriângulo de Pascal, em 13 elementos, apenas oelemento central não tem qualquer elemento iguala ele. Assim, sabendo que um dos cartões extraídocorrespondia ao elemento central, então os núme-ros escritos nos dois cartões são concerteza dife-rentes, sendo B|A um acontecimento certo. Por-tanto, P(B|A) = 1.
69. A soma dos coeficientes binomiais (nC0 + nC1 + nC2 + + … + nCn) é 2n. Assim, 2n = 256 § n = 8. Logo, cada termo do desenvolvimento de
é do tipo:
Para o termo ser independente de x terá de se veri-ficar-se:
2 – p = 0 § p =
Como � �0, conclui-se que não existe termo
independente no desenvolvimento de
70.
Como –5 ��, conclui-se que n = 14. Assim, o dese-
volvimento de tem 15 elementos.
71. Seja x a probabilidade de sair face 1 neste dadoviciado e y a probabilidade de cada uma das res-tantes faces:
x + y + y + y + y + y = 1
§ + 5y = 1
§ 5y =
§ y =
Seja X a variável aleatória que representa o núme-ro de vezes que sai face 6, em 10 lançamentosdeste dado viciado.
Assim, pretende-se determinar P(X = 2):
≈ 0,296, ou seja P(X = 2) ≈ 30%.
72.a) Número de casos possíveis: 14C5
Número de casos favoráveis: 8C5 + 6C5
A probabilidade pedida é:
P =
= =
b) Número de casos possíveis: 14C3
Número de casos favoráveis: 6 × 4C3 + 8 × 4C3
A probabilidade pedida é:
P =
= =
113
12156
xx
4
8
1 –
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8 48
81
4
8
1C
C
p
pp
p
p
× ( ) ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= × ( )
–
–
–
xx
x ××
= × × ×
= ×
(– )
(– )
– –
1
182
1
4
8
x
x x
p
p
p
pp p
p
C
C (– ) –
x2
5
4 1p
p×
85
54
85
xx
4
8
1 – .
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
1
2
1
61
2 4 4
1
6
4 6
!
! ( – )!
!
n nC C
n
n
n
=
× = ק66 6! ( – )!n
2 4 4 6 6 ! ( – )! ! ( –n n§ × = × )!
! ( – ) ( – ) ( – )!
6
2 4 4 5 6§ × × =n n n 66 6 6
4 56 6
! ( – )!
( – ) ( – )
× ×
=×
n
n n§!! ( – )!
! ( – )!
– –
×
× ×
n
n
n n
6
2 4 6
52§ 44 20 90
9 70 0
14
2
– –
n
n n
n
+ =
=
=
§
§ –∨ =n 5
xx
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
114
18
78
740
X B ~ , 107
40
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
P X C( ) = = ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2
7
40
33
4010
2
2 8
8C5 + 6C514C5
311001
622002
6 × 4C3 + 8 × 4C314C3
213
56364
Matemática 12 | Guia do Professor56
Tema II – Introdução ao cálculodiferencial II
Página 7
1. Seja un a população de bactérias existente, passa-dos n dias. Assim, se 10 000 é a população inicial,então passado 1 dia teremos:
e un = u1 × rn – 1, onde r = 1 + 0,031. Logo, un = 10 310 × 1,031n – 1. Assim, o número de bactérias passados 10 dias é
u10 = 10 310 × 1,03110 – 1 ) 13 570.
Unidade 1 – Função exponencial de basesuperior a 1
Página 8
2.
3.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
4.a) E(0) = 3,97e–0,9 × 0 = 3,97 × 1 = 3,97 mg/ml
b)
O resultado obtido (–0,96) significa que, durante asegunda hora, a concentração de medicamento nosangue decresceu a uma taxa média de, aproxima-damente, 0,96 mg/ml por hora.
5.a) Q(0) = Q0ek × 0 § 2000 = Q0e0
§ 2000 = Q0 × 1 § Q0 = 2000b) Q(t) = 2000ekt
Pretende-se determinar Q(60). Sabe-se que Q(20) = 6000, ou seja,
2000ek × 20 = 6000 § e20k = 3
Logo,
Assim, após 1 hora existirão 54 000 bactérias.
6.a)
b)b1)
g1(x) = g(x) + 2 = ex + 2 O gráfico de g1 obtém-se a partir do gráfico de g
segundo uma translação associada ao vetor (0, 2).
u1
10 000+10000 0,031 10000(1 +0= × = ,,031)
10310r
��� ��
=
efg
12 = a × b2
24 = a × b3§
efg
ab2 = 12a × b2 × b = 24
efg12b = 24
§
§efg
a × 22 = 12b = 2
efg
a = 3b = 2
§
lim 15 5+ =n
e
n
lim lim 15
21
5
2+ = + =n n
n
n
e e e e5
2 5 2= =
lim – lim (– )
–11
11
n ne
n n
= + = 11 1=
e
lim lim 12
12
3
+ = +n n
n n
= ( ) =
3
23
6 e e
lim lim
1 1 1
1
+ = + ×
+
n n
n n
lim l
+
= + ×
n
n
n
1 iim ( ) 1 1 0+ = × + =n
e e
lim – lim (– )
11
11
2 2
2 2
n n
n n
= + == = –ee
1 1
Cálculo auxiliar:n + 7 | n + 4
–n – 4 1 3
lim
lim
n
n n
n n
+
+= +
+=
7
41
3
4 lim
lim
–
13
4
13
4 4
++
= ++
+
n
n
n
–
41
3
4
4 4
× ++
+n
n
lim
lim
= ++
× ++
+
13
41
34
n n
n
441 0
4
3 4 3= × + =
–
– ( ) e e
t.m.v.[ , ]
– ,
( ) – ( )
–
,1 2
0 92 1
2 1
3 97= =
C C e ×× – ,– ,
– ,
2 0 93 97
10 96
e
Q ek k(60) 2000 2000 e60 20
3
3
= = ×
=
× �
22000 3 540003× =
O
y
x
1
g
O
y
x
1
2
3
g1
b2)
g2(x) = g(x – 1) = ex – 1
O gráfico de g2 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma translação associada ao vetor (1, 0).
b3)
g3(x) = g(x + 1) – 1 = ex + 1 – 1 O gráfico de g3 obtém-se a partir do gráfico de
g segundo uma translação associada ao vetor (–1, –1).
b4)
g4(x) = –g(–x) = –e–x
O gráfico de g4 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma simetria relativamente a Oy, seguidade uma simetria relativamente a Ox.
b5)
g5(x) = g(|x|) – 1 = e|x| – 1 O gráfico de g5 obtém-se a partir do gráfico de g,
mantendo os pontos de abcissa não negativa e efe-tuando uma simetria dos mesmos relativamentea Oy, seguida de uma translação associada aovetor (0, –1).
b6)
g6(x) = –g(x) + 2 = –ex + 2
O gráfico de g6 obtém-se a partir do gráfico de g
segundo uma simetria relativamente a Ox, seguida
de uma translação associada ao vetor (0, 2).
7.
a) Para (0, 2) pertencer ao gráfico de f, terá que:
f(0) = 2 § c × 5k × 0 = 2 § c = 2
Para f ser crescente, k > 0.
b) Para (0, 3) pertencer ao gráfico de f, terá que:
f(0) = 3 § c × 5k × 0 = 3 § c = 3
Para f ser decrescente, k < 0.
8.
a)
b) πx = π0 § x = 0
C.S. = {0}
c)
d) 3x + 2 = 29 § 3x = 27 § 3x = 33 § x = 3
C.S. = {3}
e)
f) 5|x – 2| – 125 = 0 § 5|x – 2| = 125 § 5|x – 2| = 53
§ |x – 2| = 3
§ x – 2 = 3 ⁄ x – 2 = –3
§ x = 5 ⁄ x = –1
C.S. = {–1, 5}
g)
h) 3x × x2 – 3x × x = 0 § 3x (x2 – x) = 0
§ 3x = 0 ⁄ x2 – x = 0
§ x(x – 1) = 0 § x = 0 ⁄ x = 1
C.S. = {0, 1}
O
y
x
1
g2
e-1
O
y
x
1
-1
g3
e-1
O
y
x-1
g4
O
y
x
1
g5
1
O
y
x
g6
2 2 2 21
21
2
1
2x x x= = =
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
§ §
C.S.
1
55 5 5
1
2
1
2
1
2x
x x x – ––= = = =§ § §
C.S. –=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
1
2
91
2433
1
33 3 2 52
5
2 5xx
x x= ( ) = = = –
–§ § §
§ xx –
–
=
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
5
25
2C.S.
x x
x
x
x
x
x
x
x x x
( )
( )= = =
= =
+ = =
=
+ + +
+ +
279
9 3
3 3
33
3
3 3 3 3
3 2 –1
C.S. {–1}
1 3 1
2
23 3
22
3 3 – 2 2 3 2
§ §
§ §
§ §
57Tema II | Matemática 12
���Equação impossível
9.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) 4x + 1 – 9 × 2x = –2 § (22)x + 1 – 9 × 2x = –2 § 22x + 2 – 9 × 2x = –2 § 22 × 22x – 9 × 2x + 2 = 0 § 4 × (2x)2 – 9 × 2x + 2 = 0
Fazendo uma mudança de variável, 2x = y, vem que:
Substituindo y por 2x, vem que:
h) 42x + 1 – 9 × 22x + 2 = 0 § 4 × 42x – 9 × 4x + 2 = 0§ 4 × (4x)2 – 9 × (4x) + 2 = 0
Fazendo uma mudança de variável,4x = y, vem que:
Substituindo y por 4x, vem que
i)
41
82
1
2
2 2
2
3
3
4
2
33
4
2
3
3
4
( ) = ( ) =
=
xx
x
–
§
§
§ xx x – –
–
= =
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
3
4
9
89
8
§
C.S.
22
4 22
2
2 2
22
2
2
31
3
21
2
1
3
5
2
x x x= =
×
=
§ §
§ xx x x= = =
=
–
–
– –
2 2 213
6
1
3
5
2
13
6§ §
C.S. 113
6
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
3 3 3 3 3 3 3 3
3
1
2
1
2
1
2
1
2
+ + = + + =x x§
§ (( )
1 1 1 3 3 3 3
3 3 3
1
2
3
2
+ + = × =
=
x x
x
§
§ §33
2
1
2
3
4
3
3 33
43
4
( ) =
= =
=⎧⎨⎩
⎫
x
x x§ §
C.S. ⎬⎬⎭
8
105
8
2 55
8 5 5 2
x
x
x x
x
x x x
– –
–
=×
=
= × ×
§
§
§
– 8 5 2 2 8
2 2 33
= × =
= =
+x x x x
x x
§
§ §
C.S.. { }= 3
2 2 2 7 2 2 2 21 2 3 2 3x x x x ( ) + + ++ + = + +§ ==
+ + = × = =
( )
7
2 2 4 8 7 2 14 7 2§ § §x x x
–
{– }
–
1
22 2 1
1
1§ §x x= =
=C.S.
2 4 8 16 2 254
21 2
1
–
–
+ + + + … + =
×
n
n
§
– ( – )
– –
2254
2 1 2 254
1 2 12
=
× =
=
§
§
n
n 77 2 128
2 2 7
7
7
{ }
§
§ §
+ = +
= =
=
n
n n
C.S.
soma dos n termos
4 9 2 0
9 81 4 4 2
8
2y y
y
–
–
+ =
=± × ×
§
§ yy y
y y
=±
=±
= =
9 49
8
9 7
8
2
§
§ › 1
4
2 2 21
42 2 2 21 2
x x
x x
x
= =
= =
–
›
§ ›
§ –
{ , – }
= =
=
1 2
1 2
› x
C.S.
4 9 2 0
9 81 4 4 2
8
2y y
y
y
–
–
+ =
=± × ×
§
§
=±
=±
=
9 49
89 7
816
8
§
§ ›
y
y y ==
= =
2
8
21
4§ ›y y
4 2 41
4
4 4 4 4
4
1
x x
x x
x
= =
= =
–
›
§
§
›
== =
= =
–
–4 4 4
1
21
1
2 1›
ݤ
x
x x
C.SS. =⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
, –1
21
5 5 126
5 5 5 5 126
1 2
2
x –x
x x
–
–
+ ++ =
× + × =§
–
0
5 5 51
5126 0
5 5 5
2
2
§
§
× + × =
× +
x
x
x2 ––
) –
126 5 0
126 5 25 02
× =
× × + =
x
x x§ 5 (5
Matemática 12 | Guia do Professor58
S ur
rn
n
= × –
– 1
1
1
59Tema II | Matemática 12
Considerando a mudança de variável 5x = y, vem que:
Substituindo y por 5x, vem que:
10.a) 1 – 3x < –8 § 9 < 3x § 32 < 3x
§ 2 < x § x > 2 C.S. = ]2, +∞[b)
c)
d)
Retomando a resolução da inequação, vem que:
11.
a)
b) pois a função exponencial (de base su-
perior a um) cresce muito mais rapidamente do quequalquer função potência.
c) pois a função exponencial (de base supe-
rior a um) cresce muito mais rapidamente do que qual-quer função potência e está no denominador da fração.
d)
e)
f) pois a função exponen-
cial (de base superior a um) cresce muito mais rapi-damente do que qualquer função potência e está nodenominador da fração.
g)
h)
5 126 25 0
126 15 876 4
2y y
y
–
–
+ =
=± ×
§55 25
10
126 15 376
10126
×
=±
=±
§
§
y
y1124
10
251
5
§ ›y y= =
5 25 51
55 5 5 52 1
x x
x x
= =
= =
–
›
§
§
›
xx x –
{ , – }
= =
=
2 1
2 1
›
C.S.
10 0 01 10 10
3
2 23 3 2
2
x x x x
x x
– – – ,
– –
> >
>
§
§ 22
3 2 0
1 2
2§
§ ›
–
x x
x x
+ >
< >
=C.S. ]]– , [ ] , [∞ ∪ +∞1 2
1
327
1
33
12 2
3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≤
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≤
x
x
x
x
–
–
–
– § §33
1
32 3 2
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≤
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≥
x x
x x
–
– –
3
§ § ≥≥ ≥ ≤
= ∞
– –
]– , – ]
2 1 1
1
x x x§ §
C.S.
81
162 2
2
3 5 33 5
4
9
22
2
x xx x
x
– –
–
–
> ( ) >§
§ 115 4 2
2
2 9 15
9 15
x x x >
x x +
–
–
–> §
§
–4
4 > 0
Cálculo auxiliar:
Cálculo auxiliar:
9 15 4 01
3
4
32x x x x – + > < >§ ›
C.S. – , , = ∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢∪ +∞
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
1
3
4
3
lim lim , x
x
x x
x
→ +∞ → +∞=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = +∞
5
4
5
4poiss lim ,
x
x
→ +∞= +∞ >a a 1
lim , x
x
x→ +∞= +∞
33
lim , x x
x→ +∞
=1000
0e
lim lim lim x
x
x x
x
x x→ +∞ → +∞ → +∞= =
2
3
8
9
3
2
88
90 0
0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
< <
→ +∞
x
x
x , lim ,
pois a
a 1
lim
lim x x x x x
x x x x→ +∞ → +∞
+= +
⎛10 5 10 5
5 5 5⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + =→ +∞ → +∞
lim lim x x x x
x x10 5
5 50 + =0 0
lim lim ,
–
x
x
x xx
x→ +∞ → +∞
×( ) = =ee
77
0
lim lim
–
x
x
x
x
xx→ +∞ → +∞
×( ) = = +∞222
2
lim – lim – x
x
x
x
xx
x→ +∞ → +∞
( ) =⎛
⎝⎜
⎞e 8
8
1ee ⎠⎠
⎟⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= +∞ × = +∞
( ) ( – ) 1 0
9 152x x +
x
–
4 0
15 ± 225 – 4 9
=
=× ×
§44
15 ±
15 ±
18
81
18
9
1824
§ §
§
x x
x
= =
=118
6
184
3
1
3
›
ݤ
x
x x
=
= =
x x x =±
x
2 3 2 02
3
–
+ =×
=
§
§
3 9 – 4 2
±
= =
1
22 1§ ›x x
+
1 2–+
+–
+
13
43
Unidade 2 – Função logarítmica de basesuperior a 1
Página 24
12.a) log2 64 = 6, pois 26 = 64.
b) log2 = –1, pois 2–1 = .
c) log3 √∫3 = , pois
d) log4 = –2, pois 4–2 = .
e) pois
f) log√∫5 25 = 4, pois (√∫5)4 = 25.g) log2012 1 = 0, pois 20120 = 1.h) log2012 2012 = 1, pois 20121 = 2012.i) log12 1210 = 10, pois 1210 = 1210.
j)
13.a) 13 = log2 213 = log2 8192b) 13 = log3 313 = log3 1 594 323c) 13 = log5 513 = log5 1 220 703 125d) 13 = log 1013 = log 10 000 000 000 000e) 13 = ln e13
14.
a) b) c)
d) e)
15.
• •
• Zeros: 1 • Sinal: ln x > 0 § x ∈ ]1, +∞[
ln x < 0 § x ∈ ]0, 1[ • Monotonia: estritamente crescente • Injetividade: é injetiva
• Assíntotas: a reta de equação x = 0 é uma assín-tota vertical
• Continuidade: é contínua
16.
• •
• Zeros: 1 • Sinal:
• Monotonia: estritamente decrescente • Injetividade: é injetiva
• Assíntotas: a reta de equação x = 0 é uma assín-tota vertical
• Continuidade: é contínua
17.a)
b)b1)
O gráfico de g1 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma translação associada ao vetor (0,2).
12
12
12
3 31
2 .=
116
116
log – ,1
2
32 5=1
232
5⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
–
.
3 81381log =
13 2 213 log= 13 3 3
13 log= 13 5 513 log=
13 10 13 log = 13 13 ln = e
y
x
1
1
f (x) = ex
f -1
(x) = ln x
y = x
O
Df – 1 = +� D
f –' 1 = �
• lim ln – lim ln x x
x x→ → +∞+
= ∞ = +∞0
y
x
1
1
f
f -1
y = x
O
Df –' 1 = �D
f – 1 = +�
log ] , [
log ] ,
1
3
1
3
0 0 1
0 1
x x
x x
> ∈
< ∈
§
§ [+∞
• lim log lim log –x x
x x→ →+∞+
= +∞ = ∞0
1
3
1
3
y
x
g
1O
x
y
O 1
g
g1
2
Matemática 12 | Guia do Professor60
b2)
O gráfico de g2 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma translação associada ao vetor (1, 0).
b3)
O gráfico de g3 obtém-se a partir do gráfico de g segundo uma translação associada ao vetor (–1, 0) seguida de uma translação associada aovetor (0, –1).
b4)
O gráfico de g4 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma simetria em relação a Oy seguida deuma simetria em relação a Ox.
b5)
O gráfico de g5 obtém-se a partir do gráfico de gmantendo os pontos da abcissa não negativa e efe-tuando uma simetria dos mesmos em relação aOy, seguida de uma translação associada ao vetor(0, –1).
b6)
O gráfico de g6 obtém-se a partir do gráfico de gmantendo os pontos de ordenada não negativa eefetuando uma simetria dos pontos de ordenadanegativa em relação a Ox, seguida de uma simetriaem relação a Ox, seguida de uma translação asso-ciada ao vetor (0, 2).
c) Dg1= �+ D’g1
= � Equação da assíntota: x = 0 Dg2
= ]1, +∞[ D’g2= �
Equação da assíntota: x = 1 Dg3
= ]–1, +∞[ D’g3= �
Equação da assíntota: x = –1 Dg4
= �– D’g4= �
Equação da assíntota: x = 0 Dg5
= �\{0} D’g5= �
Equação da assíntota: x = 0 Dg6
= �+ D’g6= ]–∞, 2]
Equação da assíntota: x = 0
18.a) ln 125 = ln 53 = 3 ln 5
b)
c)
d)
19.
x
x = 1
y
O 1
g
g2
2
x
y
O 1
g
g3–1
–1
x = –1
x
y
O 1
g
g4
–1
x
y
O 1
g
g5
x
y
O 1
gg62
ln ln – ln
ln – ln
25
525 5
5 521
=
= 22 2 51
25
3
25= = ln – ln ln
ln – ln ln – ln ln 65 2 13 65 1365
13= = = ln 5
ln ln ln + = ×125 125
= ( )
= =
ln
ln ln
5
53
25
31
2
3
2
log – log – log 2 101
3
8
10
3
10( )
= +
–
log log – (log – log )
1
2 101
38 10 log
log log –
+
= +
3
10
21
210
1
3 log log log – log
log
81
310 3 10+ +
= 221
32 3
1
2
1
313 – log log – l+ + + oog
log – log log –
10
23
32 3
1
61= + × = – log
1
63+
61Tema II | Matemática 12
20.
a) Verdadeiro. Por exemplo,
b) Falso. Se a > 0 e b < 0, então nãoexiste.
c) Falso. Se a < 0 e b < 0, então existe.
d) Falso. Por exemplo, se k = –2, f(x) = log (|–2| x) = log(2x) tem domínio �+.
e) Falso. Por exemplo, 2 > 0 e 3 > 0 e log 2 + log 3 ≠log 5
f) Falso. Por exemplo, 2 > 0 e 3 > 0 e log 2 : log 3 ≠
≠ log .
g) Falso. Se a > 0, log √∫a = log (a0,5) e não (log a)0,5.
21.
a)
b)
22. 2x = 3x e como x + y = 2 § y = 2 – x, vem que:
23.a)
f e g não são iguais.
b)
f e g são iguais.c)
f e g são iguais.d)
f e g não são iguais.e)
f e g não são iguais.
a
b
a
b log <
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟0 e
a
b
a
b log >
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟0 e
2
3
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
log log log a
b
b
c
c
a
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= + +
log – log log – log loa b b c gg – log c a = 0
log log log
log
log
log
l
b c aa b c
a
b
b
× ×
= ×oog
log
log
c
c
a× = 1
2 3
2 3 23
32 3 9
22
x y
x x x
x
x x
=
= =
× =
– § §
§ § 66 9
99
66
x
x x
=
= =
log ln
ln § §
O x
y
f
1-1
log – .1
101
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
O x
y
g
1
O x
y
f
O x
y
g
O x
y
f2 log 2
1 4
O x
y
g
1
-2 O x
y
f
O x
y
g
O x
y
f-1-2
O x
y
g
-1
Matemática 12 | Guia do Professor62
24.a)
b) D = {x ∈ �: 4 – x > 0 ‹ 4 + x > 0} = ]–4, 4[
ln (4 – x) + ln (4 + x) = ln [(4 – x) (4 + x)] ‹ x ∈ D = ln (16 – x2) ‹ x ∈ Dc)
d) D = �+
2 log x + 3 = 2 log x + log 1000 ‹ x ∈ D = log x2 + log 1000 ‹ x ∈ D = log (1000 x2) ‹ x ∈ De)
25.a)
b)
c)
d)
D { : }
ln ln (
= ∈ > =
+
+x x� �25 0
4 21
2255
2 25
16
4
x
x x
)
ln ln
ln
= + ∈
= ×
‹ D
55
80
ln
×( ) ∈
= ×( ) ∈
x x
x x
‹
‹
D
D
D
log log – log
log
=
+
= +
+�
x x x
x
5 2
51
2 log – log
log
x x x
x
2
31
‹ ∈
= +
D
227
2
log
log
x x
x x
‹
‹
∈
= ∈
D
D
D { : | | }
{
= ∈ > + >
= ∈
x x x
x
� 0 2 0‹
: – }
]– , [ ] ,
� x x≠ >
= ∪ +
0 2
2 0 0
‹
∞∞
+
=
[
log | | – log ( )
log | | – log
2 22
x x
x ( )
log ( ) – log (
x x
x x
+ ∈
= +
22
‹ D
22
2
2
)
log
‹
‹
x
x
xx
∈
=+
∈
D
D
D { : }
= ∈ > + >
=
x x + x� 3 0 2 5 02 ‹
xx x x : – –
– ,
∈ > >⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= +
�2
3
5
22
3
‹
∞∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
+ = +log ( ) log ( )
6 6
3 2 2 5
3
x x
x§ ++ = + ∈
= ∈
2 2 5
3
x x
x x
‹
ܤ
D
DD
C.S. { }= 3
D { : }
]
= ∈ > + >
=
x x + x x� 1 20 0‹
00, [+∞
Cálculo auxiliar:x2 + x = 0 § x (x + 1) = 0
§ x = 0 › x = –1
x2 + x > 0 § x ∈ ]–∞, –1[ ∪ ]0, +∞[
1
12 2
log ( ) log ( )
+ = +
+
x x x
x
2
§
= + ∈
= ∈
x x x
x x
2
2
‹
ܤ
§
D
D1
( – )
{
x x x= = ∈
=
1 1
1
› ‹ D
C.S. }}
D { : } ,
ln (
= ∈ > = +∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢x x –
x
� 3 5 05
33 – ) ln
–
5 7
3 5 7
3 1
=
= ∈
=
§
§
‹x x
x
D
22
4
4
{ }
‹
ܤ
x
x x
∈
= ∈
=
D
D
C.S.
D { : – = ∈ > >x x – x x� 2 3 – 10 0 2 2‹ }
]– , – [
0
2= ∞
Cálculos auxiliares:
x2 – 3x – 10 > 0 § x ∈ ]–∞, –2 [ ∪ ] 5, +∞[2 – 2x > 0 § 2 > 2x § 1 > x § x ∈ ]–∞, 1[
log ( – – ) log ( –3 10 22 =x x )
– – –
2
3 10 2 22
x
x x x x
x
§
§
‹= ∈ D22 12 0
1 1 4
– –
–
x x
x
= ∈
=±
‹
§
D
××∈
=±
(– )
12
2
1 49
2
‹
ܤ
x
x x
D
∈∈
=±
∈
=
(
D
D§
§ ›
‹x x
x
1 7
24 – )
{– }
x x= ∈
=
3
3
‹ D
C.S.
63Tema II | Matemática 12
+
–1 0–+
x x x =2 3 10 03 9 4 10
2 – –
– –=
± × ( )§
§ xx =
x x
3 7
25 2
–
±
= =§ ›
+
–2 5–+
e)
f)
g)
h) D = {x ∈ �: (x – 1)2 > 0} = �\{1} log5 (x – 1)2 = 2 § (x – 1)2 = 52 ‹ x ∈ D § (x – 1 = 5 ⁄ x – 1 = –5) ‹ x ∈ D § (x = 6 ⁄ x = –4) ‹ x ∈ D C.S. = {–4, 6}
26.a) D = {x ∈ �: x – 2 > 0} = ]2, +∞[ 103log (x – 2) = 125 § 10log (x – 2)3
= 53 ‹ x ∈ D § (x – 2)3 = 53 ‹ x ∈ D § x – 2 = 5 ‹ x ∈ D § x = 7 ‹ x ∈ D C.S. = {7}
b)
c)
D { : } – ,
log
= ∈ + > = +∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢x x� 2 0
1
2
3
1
( )
2 1 4
2 1 3
2
4
x
x x
x
+ =
+ = ∈§
§
‹ D
+ = ∈
= ∈
1 81
2 80
‹
ܤ
x
x x
D
D
§§ ‹
{ }
x x= ∈
=
40
40
D
C.S.
D { : }
– , – –
= ∈ + >
= ∞
x x x� 2 3 0
3 17
4
2 – 1
⎤⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢∪
++∞
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
– ,
3 17
4
+log ( 2 33
x x2 ––x x – x
x
)
1 2
2 3 1 9
2
=
+ = ∈§
§
‹2 D22
– –
+ = ∈
=±
3 10 0
3 9
x – x
x
‹
§
D
44 2 10
4
3 89
4
(– )
–
× ×∈
=±
‹
§
x
x
D
– –
, –
‹ x ∈
=+⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬
D
C.S.3 89
4
3 89
4
⎪⎪
⎭⎪
D { : } = ∈ + > =x x x� �2 5 02 + 4
log ( x22
2 ++ =
+ = ∈
)
5 4 4
2 5 4 24
x +x x + x§ ‹2
D
D§
§
‹2 5 4 16
2 5
x x + x
x
2
2
+ = ∈
+ xx – x
x
– –
12 0
5 25 4
= ∈
=± ×
‹
§
D
22 12
4
5 121
4
(– )
–
×∈
=±
‹
ܤ
x
x
D
–
–
x
x x
x
∈
=±
∈
=
D
D§
§
‹5 11
4
4
– ,
› ‹x x=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ∈
=
3
2
43
2
D
C.S.⎧⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
D { : }
– ,
= ∈ + > >
=
x x x� 3 2 0 0
2
3
2‹
,
log ( ) log
0 0
2 3 25
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ ∪ +∞⎤⎦ ⎡⎣
+ =x55
2
5
2
5
23 2
3
x
x x x§
§
‹ log ( ) log
(
+ = ∈ D
xx x x
x x
)
(
+ = ∈
+ =
2
3 2
2 2 ‹
§ ›
D
– )
( –
3 2
2 2
x x x
x
+ = ∈
=
‹
§ ›
D
44 2
11
2
x x
x x
– )
– –
= ∈
= =
‹
§ ›
D⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ∈
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
–
‹ x D
C.S. 1
2
D { : – – } ]= ∈ > > =x x x� 2 9 0 3 0 3‹ ,, [+∞
Matemática 12 | Guia do Professor64
Cálculo auxiliar:x2 – 9 = 0 § x2 = 9 § x = ±3
x2 – 9 > 0 § x ∈ ]–∞, –3[ ∪ ]3, +∞[
Cálculo auxiliar:
2x2 + 5x + 4 > 0 § x ∈ �
Cálculo auxiliar:
2 3 1 0
3 17
4
2x x
x – ,
–
– –
+ >
∈ ∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢∪§
–– ,
3 17
4
+∞
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢+
2 3 1 03 9 4 2 12x x x –
– – (–+ = =
± × ×§
))
–
4
3 17
4§ x =
±
+–
+
– – 3 17
4
– 3 17
4
+
2 5 4 05 25 4 2 4
4x x + x2
– – + = =
± × ×§
§§ – –
x =±5 7
4Equação impossível
em �
� ��� ����
++
–3 3–+
65Tema II | Matemática 12
d)
e)
f)
g)
h) D = �+
log22 x – log2 x – 2 = 0
Consideremos a mudança de variável log2 x = y,então:
Voltando a substituir y por log2 x, vem que:
i)
D
log log log
log lo
=
+ =
=
+�1
33 5
3
x
x§ gg – log
log log
5 3
5
33
‹
§
x
x
∈
=⎛
⎝
D
⎜⎜⎞
⎠⎟ ∈
= ∈
=
‹
ܤ
§
x
x x
x
D
D3 5
3
5
3125
27
3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ∈
=
‹
ܤ
x
x x
D
∈∈
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
D
C.S. 125
27
D { : }
log
= ∈ + > > = +x x x� �3 0 0‹
(( ) log log
log [ ( )]
x x
x x
+ + =
+ =
3 28
3§ log
log ( ) log
28
3 28
‹
§
x
x x
∈
+ =
D2
‹
ܤ
§
x
x x x
x
∈
+ = ∈
+
D
D2
2
3 28
–
– –
3 28 0
3 9 4
x x
x
= ∈
=± ×
‹
§
D
(– )
–
1 28
2
3 121
2
×∈
=±
‹
ܤ
x
x
D
–
( –
x
x x
x
∈
=±
∈
=
D
D§
§
‹3 11
27 )
{ }
› ‹x x= ∈
=
4
4
D
C.S.
D { : }
log
= ∈ + > > = +x x x� �1 0 0‹
(( ) – log log
log ( ) log
x x
x
+ =
+ =
1 3
1§ log
log ( ) log (
3
1
+ ∈
+ =
x x
x
‹
§
D
33
1 3
x x
x x x
)
–
‹
ܤ
§
∈
+ = ∈
D
D
22 11
2x x x x= ∈ = ∈ – ‹ ‹§D D
C.SS. =⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
1
2
ln ( – ) – ln ( – )
ln ( –
=x x
x
2
2
9 3 0
§ 99 3
9 32
) ln ( – )
– –
= ∈
=
x x
x x
‹
§
D
– –
‹
ܤ
§
x
x x x
x
∈
= ∈
D
D2 6 0
– (– )
=± ×
∈
=±
1 1 4 6
21
‹
§
x
x
D
55
23 2
( – )
‹
‹§ ›
x
x x
∈
= =
D
xx
∈
= ∅
D
C.S.
D { : }
log
= ∈ > > =
+
+x x x
x
� �0 2 0
2
‹
log (
log log (
log
4
22
2
2 4
2
44
x
xx
)
)
=
+ =§
log log (
‹
ܤ
x
xx
x
∈
+ =
D
22
2
24
)∈∈
+ = ∈
log log (
l
D
D§
§
‹2 2 82 2x x x)
oog log (
log 2
2
2
2
2
2 8
2
x x x
x
+ = ∈
×
) ‹
§
D
xx x
x x
[ ] = ∈
=
log ( )
8
2 82
3
‹
ܤ
D
∈
= ∈
=
D
D§
§
‹
‹
2 2
128
3 8
3
x x
x x
∈
= ∈
= { }
D
D§ ‹x x4 2
4 2
3
3C.S.
y y y
y
2 2 01 1 4 2
21
– – – (– )
= =± ×
=
§
§
–±
= =3
22 1§ ›y y
(log log – )
(2 2
2 1x x x= = ∈›
§
‹ D
xx x x
x
)
–= = ∈
=
2 2 12
4
›
§
‹ D
,
› ‹x x=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ∈
=⎧
1
2
41
2
D
C.S. ⎨⎨⎩
⎫⎬⎭
log ( – – ) log ( – )
2 2
23 4 17 2 5 3x x x x2 = +
=D { : – – – x x x x x∈ > +� 3 4 17 0 2 522 ‹ }
– , –
,
3 0
2 55
3
2 55
3
>
= ∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢∪
++∞
⎤⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
Cálculos auxiliares:
3 4 17 0
4 16 4 3 17
2x x
x
– –
– (–
=
=± × ×
§))
6
4 220
6
4 2 55
6
2 5
§
§
§
x
x
x
=±
=±
=± 55
3
220110
5511
1
22511
+–
+
j)
27.a)
b)
log ( – log ( –
2 2
3 4 2 5
3
x x x x2 2 – 17) + 3)=
§ xx x x x x
x
2 2
2
– 17 + 3– –
4 2 5= ∈
+
‹
§
D
– –
x x
x
– 20 = ∈
=± ×
0
1 1 4
‹
§
D
11 20
21 9
2
(– )
–
×∈
=±
‹
ܤ
x
x x
D
( – )
∈
= = ∈
D
D§ › ‹x x x5 4
C.S. == {– , }5 4
log ( (x xx
x + 2) – 7) + log
+ 2
– ×⎡⎣ ⎤⎦
77
+ 2) – 7) >0
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
= ∈
: ( (
2
D x x x� + 2
– 7‹
x
x
]– , – [
>⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= ∞ ∪
0
2 ]] , [7 +∞
log ( (x xx
x + 2) – 7) + log
+ 2
–×⎡⎣ ⎤⎦
7
+ 2) – 7) ( +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
×
log ( (
2
§ x xx 22)
( – 7)
xx
x
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
= ∈
log (
2 ‹
§
D
++ 2) 2
+ 2) 10
2
2 2
= ∈
=
(
‹
§
x
x
D
‹‹
§ ›
(
x
x x
∈
= =
D
+ 2 10 + 2 –10)
8 –12)
(
‹
‹§ ›
x
x x
∈
= =
D
{ , – }
x ∈
=
D
C.S. 8 12
D { : } = ∈ =x x x� – 1 > 0 + 2 > 0 ‹ ]] , [
log ( (
1 +∞
x x – 1) + log + 2) < log 6
§ llog [( ( x x x – 1) + 2)] < log 6 ‹
§
∈ D
–
–
x x x
x x
2
2
2 6
8 0
+ < ∈
+ <
‹
§
D
– – –
‹
ܤ
x
x
∈
+
D
1 33
2
1 33
2 < <
, –
x ∈
=+⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
D
C.S. 11 33
2
D { : = ∈x x x� > 0 + 1 > 0 ‹ ‹ 22 6 0x
x x x
}
{ :
+ >
= ∈ � > 0 > –1 ‹ – }
log (
‹ x
x x
> = +3 �
+ log + 1) < log 2 + 6)
+ 1)] < log
(
log [ ( (
x
x x§ 2xx x
x x x
+ 6)
‹
ܤ
∈
+ < +
D2 2 6 xx
x x x
x
– –
–
∈
< ∈
< <
D
D§
§
‹2 6 0
2
] , [
3
0 3
‹ x ∈
=
D
C.S.
Matemática 12 | Guia do Professor66
Cálculo auxiliar:
Cálculos auxiliares: (x + 2) (x – 7) > 0 § x < –2 ⁄ x > 7
(x + 2) (x – 7) = 0 § x = –2 ⁄ x = 7
x ∈ ]–∞, –2[ » ]7, +∞[
Cálculos auxiliares (cont.):
x x
x
x
2 8 0
1 1 4 8
2
+ =
=± ×
=
–
– – (– )
§
§ – 1 33
2
±
x x
x
2 8 0
1 33
2
1 33
2
+ <
∈+⎤
⎦⎥
⎡ –
– –
, –
§⎣⎣⎢
x
xx x
+ 2
– 7
–
>
< >
0
2 7§ ›
2 5 3 05 25 4 2 3
42x x x–
–
+ = =± × ×
§
§ xx
x x
=±
= =
5 1
43
21§ ›
x –∞ –2 7 +∞
x + 2 – 0 + + +
x – 7 – – – 0 +
x
x
+ 2
– 7+ O – n.d. +
+
1 –+
32
+
–2 7–+
+–
+
– – 1 33
2
– 1 33
2
+
c)
d)
e)
f)
{ : – 1 > 0 13 – > 0}
{ : > 1 13 > } ]1, 13[
log ( – 1) ≤ 5 – log (13 – )
log ( – 1) + log (13 – ) ≤ 5
log [( – 1) ( 13 – )] ≤ 5
log (– 14 – 13) ≤ 5
– 14 – 13 ≤ 2
– 14 – 13 ≤ 32
– 14 – 45 ≤ 0
( ≤ 5 ≥ 9)
C.S. 1, 5 9, 13
2 2
2 2
2
22
2 5
2
2
��
D
D
D
D
D
D
D
D
‹
‹
§ ‹
§ ‹
§ ‹
§ ‹
§ ‹
§ ‹
§ › ‹
x x xx x x
x xx x xx x xx x x
x x xx x xx x xx x x] ] [ [
= ∈
= ∈ =
∈
∈
+ ∈
+ ∈
+ ∈
+ ∈
∈
= ∪
2 3 2 1 22 2
log ( ) – log ( – )
{ :
< +
= ∈
x xxD � 33 2 0 1 2 0x x
x x > –
– }
:
+ > >
= ∈
‹
�2
33
1
2 – ,
lo
‹ x <⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
<
2
3
1
22 gg ( ) – log ( – )
log ( – 2 2
2
3 2 1 2
2 1 2
x xx
+
+§ )) log ( )
log log
< + ∈
+2
2 2
3 2
4
x x‹
§
D
(( – ) log ( )
log [
1 2 3 22
2
x x x< + ∈‹
§
D
44 1 2 3 2
42
( – )] log ( )
x x x< + ∈‹
§
D
––
–
8 3 2
4 2 3 8
x x xx x
< + ∈
< +
‹
§
D
‹
§ ‹
§
xx x
x
∈
< ∈
>
D
D2 11
2
11
,
‹ x ∈
=⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
D
C.S.2
11
1
2
D { : – } ]– , [ ] , [= ∈ > = ∞ ∪ +∞x x x� 2 0 0 1
log ( – ) log
log ( – )
,4
2
0 25
4
2
1
6x x
x x
>⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
§ >>
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
∈ log
log ,
log (
4
4
4
1
60 25
‹
§
x D
xx x x24
4
1
61
– ) log
–
log (
>
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
∈‹
§
D
xx x x
x
2
4
4
2
1
6– ) log
log (
>⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ ∈‹
§
D
–– ) log
–
x xx x
> ∈
>4
2
6
6
‹
§ ‹
D
xxx x x
– –
∈
> ∈
D
D§ ‹2 6 0
§ › ‹ ( – )
]–
x x x< > ∈
= ∞
2 3 D
C.S. ,, – [ ] , [2 3∪ +∞
D { : – }
{
= ∈ > + >
=
x x xx� 2 0 1 0‹
: – } ]– , [
log (
∈ > > =� 2 1 1 2
22
x x‹
–– ) log ( )
log ( – ) log (
,x x
x x< +
<
0 5
22
1
2§ )
log ,
log ( – ) lo
+∈
<
1
0 5
2
2
2
‹
§
x
x
D
gg ( )
–
log ( – ) –lo
2
2
1
12
x x
x
+∈
<
‹
§
D
gg ( )
log ( – ) log
2
2 2
1
21
x x
x
+ ∈
<
‹
§
D
xxx
xx
–
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ∈
<+
1
21
1
‹
§
D
‹‹
§ ‹
( – –
x
xx
x
∈
+< ∈
D
21
10) DD
§ ‹ ( – ) ( ) –
2 1 1
10
x xx
x+
+< ∈ DD
67Tema II | Matemática 12
Cálculo auxiliar:
Cálculo auxiliar:x2 – x = 0 § x(x – 1) = 0 § x = 0 ⁄ x = 1
Cálculo auxiliar:
x x
x
x
2 6 0
1 1 4 6
21
– –
– (– )
=
=± ×
=
§
§
–
±
= =
5
23 2§ ›x x
x x
x
x
x
x x
+ =
=± × ×
=±
=±
= =
– 14 – 45 0
–14 196 – 4 (–1) (–45)
–2
–14 16
–2
–14 4
–2 9 5
2
§
§
§
§ ›
+5 9 ––
+
0 1–+
+
–2 3–+
Cálculo auxiliar:
x x
x
x
2 6 0
1 1 4 6
21
– –
– (– )
=
=± ×
=
§
§
–
±
= =
5
23 2§ ›x x
+
–2 3–+
Matemática 12 | Guia do Professor68
g)
28.
a)
D§ ‹
§
– –
–
x xx
x
x
2 2 1
10
+ +
+< ∈
22 1
10
11
+ +
+< ∈
< <
–
xx
x
x
‹
§
D
––
5
2
1 5
2› ‹x x<
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ∈ D
C.S. =⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢∪
+⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ – ,
–
, 1
1 5
2
1 5
22
D : – –
– , –
= ∈ >⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= ∞⎤
⎦⎥
⎡
x x x� 2 3
40
1
2⎣⎣⎢ ∪ +∞
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ ,
3
2
log – – – log
log
,0 5
2
2
2
2
3
42 5x x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ >
§ – –
log , – log
xx
3
40 5
2 52
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟> ‹
–log – – – log
∈
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ >
D
§2
2
2
3
42 5x x ‹ x ∈ D
log – – – l§ x x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ < +
2
2 3
42 oog
log – –
2
2
2
5
3
4
‹
§
x
x x
∈
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
D
22 5
3
4
2
2
2
log
log – –
< ∈
⎛
⎝⎜
⎞
‹
§
x
x x
D
⎠⎠⎟ + < ∈ log log
log ( –
2 2
2
2
4 5 ‹
§
x
x
D
4 – ) log
– –
4 3 5
4 32
2
x xx x
< ∈‹
§
D
4
– –
< ∈
<
5
4 8 02
‹
§ ‹
xx x x
D
4 ∈ D
§ ‹ –
– , –
1 < <
C.S.
x x2
11
2
∈
=⎤
⎦⎥
D⎡⎡
⎣⎢ ∪
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ ,
3
22
x x > xx x > x
x x < x{ }
= ∈
= ∈
= ∈
= ∞⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
{ : 1 – 2 0 1 + log (1 – 2 ) > 0}
{ : –2 –1 log (1 – 2 ) > –1}
: 12
< 13
– , 13
3
3
‹
‹
‹
�
�
�
D
xx x
x xx x
=
+ = ∈
= ∈
= ∈
log (1 + log (1 – 2 )) 2
1 log (1 – 2 ) 2
log (1 – 2 ) 3
1 – 2 3
2 3
32
3
3
§ ‹
§ ‹
§ ‹
D
D
D
Cálculo auxiliar:
Cálculo auxiliar:
4x2 – 4x – 8 < 0 § x ∈ ]–1, 2[
Cálculo auxiliar:
Cálculo auxiliar:
4 4 8 0
4 16 4 4 8
2x x
x
– –
– (– )
=
=± × ×
§88
4 12
82 1
§
§ ›
–
x
x x
=±
= =
x x
x x
x
2
2
3
40
4 4 3 0
4 1
– –
– –
=
=
=±
§
§66 4 4 3
84 8
83
2
– (– )
× ×
=±
=
§
§ ›
x
x –x = 1
2
–
– – (– )
–
x x
x
2 1 0
1 1 4 1 1
2
+ + =
=± × ×
§
§§
§
–
–
x
x
=±
=±
1 5
2
1 5
2
x –∞ –1 1 5
2
– 1 5
2
+ +∞
–x2 + x + 1 – – – 0 + 0 –
x + 1 – 0 + + + + +
–
x xx
2 1
1
+ +
++ n.d. – 0 + 0 –
–+
–1 5
2
– 1 5
2
+
+
––
+
12
32
+
–1 2–+
x
x x x x
x x x
>
> < > <
< < <
log (1 – 2 ) –1
1 – 2 13
12
–2 –23
12
13
12
13
3
§ ‹ § ‹
§ ‹ §
b)
29.
a)
b)
c)
x xx x
x x
= ∈
= ∈
= ∈
=
1 – 2 27
–2 26
–13
C.S. {–13}
§ ‹
§ ‹
§ ‹
D
D
D
D : – = ∈ + >x x x� 3 5 21 02
Condição universsal� ���� ����
⎧⎨⎩
+ >
log ( – ) ‹2
23 5 21x x 00
Condição universal� ����� ����� �
⎫⎬⎪
⎭⎪=
log (log ( – )) log
log (5 2
2
5
2
2
3 5 21 2
3
x xx
+ =
§ – )
–
5 21 2
3 5 212
x xx x
+ = ∈
+
‹
§
�
–
= ∈
+ =
2
3 5 21 4
2
2
‹
§ ‹
xx x
�
–
xx x x
x
∈
+ = ∈
�
�§ ‹
§
3 5 17 0
5
2
–
–
± × ×∈
±
25 4 3 17
6
5 17
‹
§
x
x
�
99
6Equação
impossível
C.S.
� ��� ���� ‹ x ∈
= ∅
D D
e
e
f f '
–
– –
–
–
–
= =
=
=
�1
3 4
4 3
x
xy
y§
§
– ln
–ln
–e x y
x y
x
=
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
3 –
43 –
4§
§33 –
4
Assim,3 –
4
y
x x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
.
( ) –ln–f 1
⎠⎠⎟
= ∈ >⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= ∞
.
: ]– , –
Df 1
0 3x x�
3 –
4[[
f – : ]– , [
–ln
1 3∞ →⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
�
x x3 –
4
D Dg { : – } – , = ∈ > = ∞
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ =x x� 2 8 0
1
4''
– ln ( – )
ln ( – ) –
–g 1
5 2 8
2 8 5
x yx y
=
=§ –
–
–
–
–
–
§
§
2 8
2
8
5
5
x
x
y
y=
=
e
e
gAssim, 115
1
2
81( )
–
: – ,
–
–
–xx
= =
→ ∞
eD
g
ge �
�11
42
8
5
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
xx
– –
e
D Dh h \{ } '
–
–= =
+ =
=
� 0
10 3
10 3
1
1
1
x
x
y
y§
§11
3
1
3
xy
xy
=
=
log ( – )
log ( – )
–
§
Assim, h 11 1
3
31
( ) log ( – )
.
: – –
xx
x x
=
= ∈ >Dh
� 00 3 0
3 4
log ( – )
] , [ \ { }
‹ x ≠{ }= +∞
Cálculo auxiliar:log (x – 3) = 0 § x – 3 = 1 § x = 4
69Tema II | Matemática 12
Cálculo auxiliar:
Cálculos auxiliares:
3 –
4
x x x x – – – > > > <0 3 0 3 3§ § §
log ( – )
– 2
2
2
3 5 21 0
3
x x xx
+ > ∈‹
§
�
55 21 2
3 5 20
0
2
x xx x
–
+ > ∈
+ >
‹
§
�
00Condição universal� ���� ���� �
‹
§
x ∈
xx
x x x
– –
∈
+ = =± ×
�
3 5 20 05 25 42 §
33 20
6
5 215
6
–
×
=±
§ x
Equação impossívelem�
� ��� ���
3 5 21 05 25 4 3 212x x x –
– + = =
± × ×§
66
5 227
6§
–x = ±
Equação impossível� ��� ���
+
+
Matemática 12 | Guia do Professor70
30.a) Df = {x ∈ �: 10 – x > 0} = ]–∞, 10[
b)
c)
d)
31. • Se o ponto (0, 2) pertence ao gráfico de f, entãof(0) = 2.
• Se o ponto (1, –2) pertence ao gráfico de f–1, entãof(–2) = 1.
Mas –1 ∉ ]1, +∞[, logo a = 2 e b = 4.
32.a) (f ° g) (x) = f(g(x)) = f(e3x + 1) = ln (2 e3x + 1)
= ln 2 + ln e3x + 1
= ln 2 + 3x + 1 = 3x + ln 2 + 1
Df ° g = {x ∈ �: x ∈ Dg ‹ g(x) ∈ Df} = {x ∈ �: x ∈ � ‹ e3x + 1 ∈ �+} = �
b) (g ° f) (x) = g(f(x)) = g(ln (2x)) = e3 ln (2x) + 1 = e3 ln (2x) × e1
= eln(2x)3
× e = (2x)3 × e = 8ex3
Dg o f = {x ∈ �: x ∈ Df ‹ f(x) ∈ Dg} = {x ∈ �: x ∈ �+ ‹ ln (2x) ∈ �} = �+
33.a) t = 0, T(0) = 20 + 60 e–0,11 × 0 = 20 + 60 × e0 = 80 O café é-nos entregue a 80 °C.b)
t ≈ 3,686 3,686 min = 3 min + 0,686 min 0,686 × 60 ≈ 41 s
Quem gosta de beber o café a 60 °C terá de esperar,aproximadamente, 3 minutos e 41 segundos.
c)
Isto significa que, nos dois primeiros minutos, o caféarrefeceu a uma taxa média de, aproximadamente,5,92 °C por minuto, enquanto que nos dois minutosseguintes o café arrefeceu a uma taxa média de,aproximadamente, 4,75 °C por minuto.
Conclui-se, assim, que o arrefecimento do café foimais acentuado nos dois primeiros minutos.
d) Se deixarmos o café arrefecer durante muito tempo,a temperatura do mesmo tenderá a aproximar-seda temperatura ambiente – neste caso 20 °C.
h– : ] , [ \ { } \{ }
1 3 4 0+∞ → �
xx
1
log ( – 3)
f( )
log ( – )
log ( – )
x
x
x
=
+=
0
2 10
30
10
§
§ –
–
–
–
=
= ∈
=
2
10 10
1
10
2§ ‹
§
x x
x
Df
0010 10
999
100
– ]– , [
‹
§ ‹
x
x
∈ ∞
= ]– , [
x∈ ∞ 10
999
100é zero de f
f( )
log ( – )
log ( –
x
x
x
≤
+≤
1
2 10
31
10
§
§ ))
–
–
≤
= ≤ ∈
≤
1
10 10
0
1§ ‹
§
x x
x
Df
]– , [
]– ,
‹
§ ‹
x
x x
∈ ∞
≥ ∈ ∞
10
0 10[[
[ , [ ]– , [ [ , Assim, C.S. = +∞ ∩ ∞ =0 10 0 10[[
D Df f'
log ( – )
log
–=
+=
1
2 10
3Assim,
xy
§ ( – ) –
–
–
10 3 2
10 103 2
x y
x
x
y
=
=
=
§
§ –
, ( ) –
–
– –
10 10
10 10
3 2
1 3 2
y
xxLogo f = e Assim, . ' .–D Df f1 = =� �
Cálculo auxiliar:10 – x > 0 § –x > – 10 § x < 10
efg
f(0) = 2f(–2) = 1
§efg
loga (0 + b) = 2loga (–2 + b) = 1
§efg
b = a2
–2 + b = a
efgb = a + 2
§ §efg
a + 2 = a2
efg
a2 – a – 2 = 0§
efg
a = 2b = 4
§efg
a = –1b = 1
⁄
T e
e
t
t
– ,
– ,
= + =
=
60 20 60 60
40
60
0 11
0 11
§
§
§ – , ln
ln
– ,
0 112
32
30 11
t
t
=⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
§
t.m.v.[ , ]
–
( ) – ( )
–
0 2
2 0
2 0
20 60= =
+T T e 00 11 2
2 4
80
25 92
4
,
[ , ]
–
– ,
( ) –
×
≈
=t.m.v.T T(( )
–
–( – , – ,
2
4 220 60 20 600 11 4 0
=+ +×e e 111 2
24 75
)
– ,
×
≈
lim
( ) – , –
t
te e→ +∞
∞+ = + =20 60 20 60 200 11 + =0 20
71Tema II | Matemática 12
34.a)
b)
Assim, de acordo com este modelo, a terra atingiráa sua capacidade máxima em 2096.
35.a)
b)
À medida que o tempo vai passando, a populaçãomundial tende para 40 biliões.
36. Q(t) = Ae–kt
a)
b)
A semivida da substância é
c)
Por dia, a quantidade Q de massa de einstéinio dimi-nui 10% (aproximadamente).
P t P e
t
t
o
kt( )
=
→ =
→ =
1960 0
1975 15
Q P e P
P
k( )
0 3 3 1 3
3
0= × = × =
=
ק §
§o o
o
Q P e
e
e
k
k
( )
15 4 4
3 4
15
15
1
= × =
× =
ק
§
§
o
55 4
3
154
34
315
k
k
k
=
=⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
ln
ln
§
§
kk ≈ ,0 019
Q t
e
e
t
t
( )
,
,
,
=
× =
=
40
3 40
40
3
0 0
0 019
0 019§
§ 11940
340
30 019
t
t
t
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈
ln
ln
,
§
1136 1960 136 2096 e + =
P tC e
t
t
kt( )
–=
+→ =
→ =
40
11960 0
1975 155
40
13
40
14
0
15
–
–
+=
+=
×
×
C e
C e
k
k
edfdg
edfdg
§P(0) = 3
P(15) = 4
40
13
+=
C
edfdg
§
40
13
0
+=
C e
edfdg
§
C
e k
–
=
+
=
37
340
137
3
415
edfdg
§
edfdg
§
3 + 3c = 40
§
edfdg40 4
148
315 –= + e k
§
edfdge k– 15 27
37=
§
edfdg– ln 15
27
37k =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
§
edfdgk
ln
–=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
27
3715
Assim, eC k , .= ≈37
30 021
P tc e
c e
kt
t kt
( )
lim
–
–
=+
+=
→ +∞
40
140
1
440
1
40
1 0
40
140
–+=
+ ×= =
∞c e c
A
Q
( , )
=
=
30
11 7 10
(miligramas)
(miligramas)) 30
–11,7
– 11,7
–11,7
§
§
§
e
e
k
k
k
× =
=
10
1
3
–11,7
=⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
=
ln
ln
1
31
3§
§
k
klln 3
11,7
Q t e
Q t
e
t
( )
( )
– ln
,
–
=
=
30
30
3
11 7
15
§lln
, –
ln
,
–ln
3
11 7
3
11 7151
2
t t
e= =§
§33
11 7
1
2
1
2
11
, ln ln t t=
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ ק
,,
–ln
, ln
ln
7
311 7 2
3§ t =
11 7 2
3
, ln
ln .
Q t
Q t
A e
A e
t
( )
( )
– ln
, ( )
–
+=
× +
13
11 71
lln
,
–ln
, –
ln
,
ln
3
11 7
3
11 7
3
11 7
t
t
e=+
33
11 7
3
11 7 0 9
1 0 9
,
– ln
, ,
( ) , (
t
e
Q t Q
= ≈
+ ≈ tt
Q t Q t
Q t Q
)
( ) ( – , ) ( )
( ) (
+ ≈ ×
+ ≈
1 1 0 1
1 tt Q t) – , ( )0 1
Matemática 12 | Guia do Professor72
37. log E = 5,25 + 1,44 Ma) log E = 5,24 + 1,44 × 8,3 § log E = 17,192 § E = 1017,192
E ≈ 2 × 1017
b)
38. pH = –log xa) 7 = –log x ‹ x > 0 § x = 10–7 § x = 1 × 10–7
b) • concentrações de iões H3O+ na cerveja 4 = –log x , x > 0 § x = 10–4
• concentrações de iões H3O+ no vinagre 3 = –log x, x > 0 § x = 10–3
A razão entre as concentrações de iões H3O+ nosdois líquidos é de 0,1.
A concentração de iões H3O+ na cerveja é a décimaparte da concentração de iões H3O+ no vinagre.
c)
39. Introduzimos os valores das variáveis nas listas L1e L2:
Escolhemos uma janela de visualização adequada:
Representamos a nuvem de pontos:
Selecionamos a regressão exponencial:
E obtemos:
40.
a)
(nota que: (limite notável)).
b) pois, quando x→+∞, a função potência
x1 x100 cresce muito mais rapidamente do que afunção logarítmica de base 2, e a função potênciaestá em denominador.
c)
d)
Consideremos a mudança de variável 5x = y. Comox→ +∞, então y→ +∞ e temos que:
e)
Consideremos a mudança de variável:
log , ,
, ,
E M
E
E
M
= +
= +
5 24 1 44
105 24 1 44§
(( )
( )
, ,
,
M
E M
M=
+ =
+
+
10
1 10
5 24 1 44
5 24 1,, ( )
, , ( )
( )
44 1
5 24 1 441 10
M
ME M
E M
+
++=
++
+
+ +=
,
, ,
, ,
1 44
5 24 1 44
5 24 1 44 1
10
10
M
M ,, – , – ,
,
44 5 24 1 44
1 4410 28
M
= ≈
10
1010 10 0 1
4
3
4 3 1–
–
– – ,= = =+
–log ( ) – (–log ) –log ( ) log
2 2x x x x= +
= llog – log ( ) log log x xx
x2
2
1
2=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎝⎜⎞
⎠⎟ ≈ – ,0 3
lim
ln
lim
ln
lim
x x
x
x
x x
x
→ +∞ → +∞
→ +∞
= =1 1
lln
x
x
= = +∞+
1
0
lim
ln
x
x
x→ +∞= 0
lim x
x
x→ +∞=
log2
1000
lim ( ln ) lim ln
lim
–
x xx x
x
x→ +∞ → +∞× = =2
2 xx
x
x
x xx
x
→ +∞
→ +∞
×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
ln
lim ln
1
Limitee notável��� ��
lim
× = × =→ +∞x x
10 0 0
lim
ln ( )
lim
ln ( )
x x
x
x
x
x→ +∞ → +∞= ×
⎛
⎝
5 5
55⎜⎜⎞
⎠⎟ = ×
→ +∞ lim
ln ( )
55
5x
x
x
5 5 0 lim
ln × = ×
→ +∞y
y
y
Limitenotável
��� ��== 0
lim
( ln ) lim
ln
x xx x
x
x
→ →+ +× =
0 0 1
1 1
xy x
y = =§
73Tema II | Matemática 12
Como x→ 0+, então y→ +∞ e, temos que:
Aprende fazendo
Páginas 54 a 65
1.
Perímetro = 2 ln a + 2 ln b = 2 (ln a + ln b)= 2 ln (a × b)
Opção (A)
2. Se y é a quantidade após t anos, então após 5 anoshá y = y0 × 0,885 ) 0,5277 y0, ou seja, há, aproxima-damente, 53% da quantidade inicial.
Opção (C)
3.
Opção (B)
4.
Assim, f–1 (x) = ex – 1. Opção (A)
5.
Opção (D)
6. •
•
Opção (A)
7.
Opção (B)
8.
Opção (B)
9.
Opção (B)
10.
Opção (B)
11.
lim
ln
limln ( )
y y
y
y
y
y+ += =
1–1
llim–ln
–limln
–
y
y
y
y
y
y
+
+= = =0 0
ln a
ln b
log log – log – b b b
b
ab a c= = 1
ln ( )
e
e e
e
ee
x y
x
x
x
y
y
y
=
=
=
=
§
§
§ – 1
Cálculos auxiliares:A abcissa de A corresponde ao zero de f:f(x) = 0logk x = 0 § x = 1Logo, ∫AC = 2 (k – 1).f(k) = logk k = 1
AAC f k
k
k
( )
( – )
–
=×
=×
=
22 1 1
21
b b b b bu v u v u v
+ = × = × ( )
= ×
=
3 33
32 5
250
�
12 4
2
2 2 2
bb b
u
u u
– ( ) = = = =
f k fk
( ) ( )
+ = ×
= ×+
x xx x
100
10 10 102§
§ 110 10
2
2
2k
k
k
+ +=
+ = +
=
x x
x x§
§
D e ef { : – } \{= > = +x xx� �0 0‹ 11
0
1
}
–
e e
e e
x
x
x
=
=
=
§
§
log log log
log
a a a
a
a b a b
b
3 3
1
23
3
×( ) = +
= +
= log
+
= + ×
=
1
2
31
25
11
2
ab
ln – ln
ln ln
ln (
a b
a b
a b
=
+ =
×
2
2§
§ ))
=
× =
=
22
2
§
§
a b e
ae
b
edddfdddg
log ( )
log
5
5
2
2 5
5
b
b
b
a
=
=
=
=
x
y
x
x
§
§
§
2e
aa = 5y
Donde:
a b × = × =55
2
5
2y
x x + y
Opção (D)
Limite
notável
�
Matemática 12 | Guia do Professor74
12.
(I) Falsa (II) Falsa Opção (B)
13.
Opção (D)
14.
a)
Significa que, com o decorrer do tempo, passadasmuitas, muitas horas, a concentração de medica-mento no sangue tende a desaparecer.
b) Valor inicial:
A concentração de medicamento no sangue atingemetade do seu valor inicial ao fim de 6 horas.
15.a)
b)
16.a) t = 0, início de 2007 t = 5, início de 2002 N(–5) = 5 + e0,8 × (–5) ) 5 No início de 2002, estariam contaminadas, aproxi-
madamente 5 pessoas.b)
Como podemos concluir que a
primeira vez que o número de casos ultrapassa ummilhar ocorre durante o mês de agosto de 2010
(2002 + 8 = 2010 e 0,628 × 12 ) 7,5).
17.a) 10x + 3 = 0,01 § 10x + 3 = 10–2
§ x + 3 = –2 § x = –5 C.S. = {–5}b) 2x2
= 4 § 2x2
= 22 § x2 = 2 § x = √∫2 ⁄ x = –√∫2 C.S. = {√∫2, –√∫2}c) 2 × 5x + 1 = 10 × 25x § 2 × 5x + 1 = 2 × 5 × 52x
§ 5x + 1 = 52x + 1
§ x + 1/ = 2x + 1/ § 0 = 2x – x § x = 0 C.S. = {0}
18.a)
b) § x + 4 < 2 – 3x, pois a função ex-
ponencial de base é estritamente decrescente
§ x + 3x < 2 – 4 § 4x < –2 § x < –
an
n n
n n
lim –
lim – =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 1
21
1
2
== +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ = = lim
–
–
1
1
2 11
2
ne
e
n
bbe
lim
= =→ +∞x x
x2012
0
Dg= ∈ > = ∞
⎤
⎦⎥⎥
⎡
⎣⎢⎢
{ : | | – } – , – x x� 3 1 01
3∪∪ +∞⎤
⎦⎥⎥
⎡
⎣⎢⎢
=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
,
\ – ,
| | –
1
3
1
3
1
33 1
�
x >>
>
> <
| |
–
0
3 1
3 1 3 1
§
§ ›
§
x
x x
x –> <1
3
1
3› x
lim
( ) –
tC t
→ +∞
∞
= × = × =60 2 60 0 06
C( ) –
0 60 2 60 2 600
6 0= × = × =
C t
t
t
t
( )
–
–
–
=
× =
=
60
2
60 2 30
21
2
6
6
§
§
§66
1
26 1
6
2 log
– (– )
=⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
= ×
=
§
§
t
t
f( ) log ( ) – log
log log –
x x x
x
=
= +
10
10
3
3 log
log – log
log
x
x x
x
= +
= +
1 3
1 2 ,, ∀ ∈ +x �
f( )
log
log
x
x
x
=
+ =
=
11
1 2 11
2 10
§
§
§ llog
x
x
=
=
5
105§
N t e et t( ) , ,> + > >1000 5 1000 9950 8 0 8§ §
§§ § , ln ( ) ln ( )
,0 8 995
995
0 8t t> >
ln ( )
, , ,
995
0 88 628≈
2 2 4 2 3
3
4 2 3x x x x
x x
– –
+ > + >
+
§
§ >>
> >
= +∞⎤
⎦
–
– –
– ,
2 4
4 21
21
2
§ §x x
C.S. ⎥⎥⎡
⎣⎢
1
2
1
2
4 2 3⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ >
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
+x x –
12
12
C.S. – , –= ∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
1
2
J0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F M A M J J A S O N D
c) 2x2
≥ 4 § 2x2
≥ 22 § x2 ≥ 2 § x2 – 2 ≥ 0 § x ≤ –√∫2 ⁄ x ≥ √∫2 C.S. = ]–∞, –√∫2] ∪ [√∫2, +∞[
d) 5x2 – 4 ≥ 1 § 5x2 – 4 ≥ 50 § x2 – 4 ≥ 0 § x ≤ –2 ⁄ x ≥ 2 C.S. = ]–∞, –2] ∪ [2, +∞[
19.a) D = {x ∈ �: x2 – 1 > 0} = ]–∞, –1[ ∪ ]1, +∞[
log2 (x2 – 1) = 2 § log2 (x2 – 1) = log2 4 ‹ x ∈ D § x2 – 1 = 4 ‹ x ∈ D § x2 = 5 ‹ x ∈ D § (x = √∫5 ⁄ x = –√∫5) ‹ x ∈ D C.S. = {–√∫5, √∫5}
b)
c) D = {x ∈ �: x2 – 4x + 3 > 0} = ]–∞, 1[ ∪ ]3, +∞[
20.a) D = {x ∈ �: x2 > 0 ‹ x > 0} = �+
ln (x2) + ln x ≤ 0 § ln (x2 × x) ≤ ln 1 ‹ x ∈ D § x3 ≤ 1 ‹ x ∈ D § x3 – 1 ≤ 0 ‹ x ∈ D § x ≤ 1 ‹ x ∈ D C.S. = ]0, 1]
D { : } – , = ∈ + > = +∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢x x� 3 5 0
3
5
log ( ) log ( ) log1
2
1
2
1
2
3 5 0 3 5 1+ = + =x x§
§
–
3 5 1
5 2
+ = ∈
= ∈
x x
x x
‹
ܤ
D
–
–
D
D§ ‹x x= ∈
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
2
52
5C.S.
log ( – )
log ( – ) l
4
2
4
2
4 31
24 3
x x
x x
+ =
+ =§ oog
– 4
2
2
4 3 2
‹
ܤ
x
x x x
∈
+ = ∈
D
–
D
D§
§
‹x x x
x
2 4 1 0
4 16
+ = ∈
=± –
4 1 1
2
4 12
2
× ×∈
=±
‹
ܤ
x
x
D
x
x x
x
∈
=±
∈
= ±
D
D§
§
‹4 2 3
2
2 3
– ,
‹ x ∈
= +{ }D
C.S. 2 3 2 3
Cálculo auxiliar:x2 – 1 > 0 § x < – 1 ⁄ x > 1x2 – 1 = 0 § x2 = 1 § x = ±1
Cálculo auxiliar:x2 – 4 = 0 § x2 = 4 § x = ±2
Cálculo auxiliar:x2 – 2 = 0 § x2 = 2 § x = ± √∫2
75Tema II | Matemática 12
Cálculo auxiliar:
3 5 0 5 33
5 – –+ > > >x x x§ §
Cálculo auxiliar:
x x x x
x x
2
2
4 3 0 1 3
4
–
–
+ > < >§ ›
++ = =±
=±
×
–
3 0
4 16 4 3
24 2
2
§
§
§
x
x
x x= =3 1›
+
1 3–+
Cálculos auxiliares:
x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1)
1 0 0 –1
1 1 1 1
1 1 1 0 = r
x –∞ 1 +∞
x – 1 – 0 +
x2 + x + 1 + + +
(x – 1)(x2 + x + 1) – 0 +
x3 – 1 ≤ 0 § x ≤ 1
+–
+
– 2 2
+
–2 2–+
+
–1 1–+
Matemática 12 | Guia do Professor76
b) D = {x ∈ �: x2 – 4 > 0 ‹ x + 1 > 0} = {x ∈ �: (x < –2 ⁄ x > 2) ‹ x > –1} = ]2, +∞[
ln (x2 – 4) – ln (x + 1) ≥ 0 § ln (x2 – 4) ≥ ln (x + 1) ‹ x ∈ D § x2 – 4 ≥ x + 1 ‹ x ∈ D § x2 – x – 5 ≥ 0 ‹ x ∈ D
21.a) P(0) = 3000 × e0,3 × 0 = 3000 × e0 = 3000 moscas-
-das-frutasb) P(10) = 3000 × e0,3 × 10 = 3000 × e3 ) 60 257 mos-
cas-das-frutas
c)
Ao fim de 1 dia e 17 horas aproximadamente.
d)
P(t + 1) ) 1,35 × P(t) P(t + 1) ) (1 + 0,35) × P(t) P(t + 1) ) P(t) + 0,35 × P(t) A cada dia que passa a população de moscas-das-
-frutas aumenta a uma taxa de aproximadamente 35%.
22.
a) •
b) •
t ) 19 O número de formigas é igual a 3000 ao fim de 19
dias, aproximadamente.
23. q(t) = 15,3 × 0,886t
a) 2012 + 1 = 2013 anos corresponde a 2,013 milharesde anos.
q(2,013) = 15,3 × 0,8862,013 ) 12 (dmg) Deverá ser encontrada 12 dmg, aproximadamente.
P t
e et t
( )
, ,
=
= =
5000
3000 500050 3 0 3§ §
0000
30005
30 3
5
30 3§ §
§
, ln
,e tt = =
tt t ln
, ln = = ×
5
30 3
10
3
5
3§
tt ,1 703
P t
P t
e
e
t
t
( )
( )
, ( )
,
+= =
+1 3000
3000
0 3 1
0 3
( )
( ) ,
, , – , ,e e
P t
P t
t t0 3 0 3 0 3 0 3
11
+ =
+335
P t
P tt
a b
a
t
( )
( ) , ,
+=
×
+
+
11 1
0
1
�
§××
= =
= ×
, ,
( ) , ,
bb
P t a t
t
t
1 1 1 1
1 1
§
= × =
=
+
( ) , , ,
�0
22 0 605 1 1 0 605P a
a
§
§00 605
1 10 5
1
21 1
2
,
, ,
( ) , ,
§ a
P t t
=
= ×Logo, .+t �0
§ › ‹ –
x x +1 21
2
1 21
2
,
x
=+
+
D
C.S.1 21
2
Cálculo auxiliar:d ____________ h1 ____________ 240,703 ________ xx = 0,703 × 24 = 16,872 h
P t
t
t t( ) , ,
log
= × = =
=
31
21 1 3 1 1 6
1
§ §
§,,1
6
Continuação dos cálculos auxiliares:
+
1–+
Cálculos auxiliares:x2 – 4 > 0 § x < –2 ⁄ x > 2
x2 – 4 = 0 § x2 = 4 § x = ±2
x + 1 > 0 § x > –1
+
–2 2–+
Cálculo auxiliar:
x x x
x
2 5 01 1 4 5
2 – –
– (– )
= =
±
=
ק
§
1 21
2
±
+–
+
1 21
2
– 1 21
2
+
x x x
x
2 1 01 1 4 1
2
1
+ + = =±
=
×
– –
–
§
§ –± 3
2Equação
impossível em �
� ��� ���
y = x – 1
y = x2 + x + 1
b)
1 ___________ 1000 anos 0,504 _______ x x = 504
A idade das sepulturas era de 2504 anos, aproxima-damente.
24. A(p) = –0,52 + 0,55 ln p, e2,3 ≤ p ≤ e4,1
1,3 m corresponde a 130 cm.
a)
b)
A(2p) – A(p) ≈ 0,38 A(2p) ≈ A(p) + 0,38 Quando o peso duplica a altura aumenta 38 cm,
aproximadamente.
25.a) D(0) = 12 e–0,07 × 0 = 12 e D(2) = 12 e–0,07 × 2 ≈ 10,432 A densidade populacional no centro desta cidade é
de 12 milhares de habitantes por km2; e a 2 km docentro a densidade populacional é de, aproximada-mente, 10,432 milhares de habitantes por km2.
b)
Temos de percorrer, aproximadamente, 9,9 km docentro da cidade.
c)
26. Q(t) = 12 + log3 (81 – kt2), t ∈ [0,20] Q(0) = 12 + log3 (81) = 12 + 4 = 16 l → quantidade
de combustível, em litros, existente no depósito noinstante inicial.
27. T(h) = Ta + (37 – Ta) (0,6)h
a)
Choveu há 2 horas e 43 minutos aproximadamente.
b)
Quando h → +∞, a temperatura do corpo da vítimatende a aproximar-se da temperatura do ar noambiente onde se encontra o corpo.
28.
a)
1 3 0 52 0 55
1 3 0 52 0 55
, – , , ln
, , ,
= +
+ =
p
§ lln , , ln
,
, ln
p p
p
§
§
1 82 0 55
1 82
0 55
=
= §§
,
,p e
p
=
≈
1 82
0 55
27 kg
A p A p p( ) – ( ) – , , ln ( ) –
– (– ,
2 0 52 0 55 2
0
= +
552 0 55
0 52 0 55 2 0
, ln )
– , , ln ( )
+
= + +
p
p ,, – , ln
, [ln ( ) – ln ]
52 0 55
0 55 2
0
p
p p=
= ,, [ln ln – ln ]
, ln
55 2
0 55 2
0
+
= ×
≈
p p
,,38
D e
e
( )
– ,
– ,
x x
x
= =
=
12
212 6
1
2
0 07
0 07
§
§ § –– , ln
ln
– ,
0 071
21
20 07
x
x
=⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
§ § ,x ≈ 9 9
D
D
e
e
( )
( )
– , ( )
– ,
x
x
x
x
+=
+1 12
12
0 07 1
0 07
== = + – , – ,
– ,
– , – , e
ee
0 07 0 07
0 07
0 07 0 07x
x
x ,
– , ,
0 07
0 07
x
x= ∀ ∈e �
Q
k
( )
log ( – )
20 14
12 81 400 143
=
+ × =§
§ llog ( – ) –
– 3
81 400 2 81 400 9
81
k k= =§
§ 99 400 72 400
72
4000 18
,
= =
= =
k k
k k
§
§ §
25 21 37 21 0 6
25 21 16
( – ) ,
= + ×
= + ×
h
§ 00 6
4 16 0 61
40 6
0
,
, ,
log,
h
h h§ §
§
= × =
=h66
0 25
2 714
( , )
,h ≈
lim ( – ) ( , )
( h a a
h
a
T T
T→ ∞
+ ×⎡⎣
⎤⎦
= +
37 0 6
37 – ) lim ,
( – )
T
T T
a h
h
a a
×
= + × =→ ∞
0 6
37 0 TTa
Cálculo auxiliar:h min1 –––––––––––––––– 600,714 ––––––––––– xx = 0,714 × 60x ≈ 43 minutos
10100
0 42
, ( – ) m M d=
10100
100 4 1 44 1 452
0 4 2 89, (– , – , ) , (– , = ×d§ ))
– , ,
=
× = =
d
d d
2
2 1 156 2 0 844 2
10010 10 10§ §
§ dd d d
d
,
, ,= > =
≈
10 0 10
3
0 844 0 422pois §
parsec
q t
t t
( ) ,
, , , ,
=
× = =
11 3
15 3 0 886 11 3 0 886§ §111 3
15 3
11 3
15 3
2
0 886
,
,
log,
,
,
,§ t
t
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈ 5504
77Tema II | Matemática 12
b)
29.
a)
A magnitude do terramoto de São Francisco de1906 foi de, aproximadamente, 8 na escala de Rich-ter.
b)
A energia libertada pelo terramoto da Índia de 1993foi de 1014 joules.
c) E = 4,2 × 1017, logo a sua magnitude foi de
na escala
de Richter; logo a sua intensidade será I:
Assim, a intensidade do terramoto de Lisboa de1755 foi de 7 × 108.
30.
a)
Foi em 1963.
b)
31.a)
R ( , ) log ,
,5 96 10
2
3
5 96 10
1016
16
4 4× =
×⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟ ≈ ,8 25
R E
E
E
( ) ,
log ,
log
,
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
6 4
2
3 106 4
4 4§
§110
9 6
1010
10
4 4
4 4
9 6
4
,
,
,
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=
=
§
§
E
E ,, ,
4 9 6
14
10
10
×
=§ E
R( , ) log ,
,4 2 10
2
3
4 2 10
1017
17
4 4× =
×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⎟ ≈ ,8 815
10100
0 410
0 42
2
, ( – )
, ( – ) log
m M d
m Md
=
=§00
0
100
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ >
=
⎛
⎝⎜
⎞
– log
‹
§
d
m M
d⎠⎠⎟
>
= ×
0 40
10
4 100
2
,
– log
‹
§
d
m Md⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ >
= ×
– log ( )
‹
§
d
m M d
0
5
22 – log
– l
100 0
5
22
⎡⎣ ⎤⎦ >
=
‹
§
d
m M oog –
– log
d d
m M
2 0
5
⎡⎣ ⎤⎦ >
=
‹
§ dd d
M m d
–
– log
5 0
5 5
‹
§
>
= + ‹‹
ܤ
( – log )
d
M m d d
>
= +
0
5 1 >> 0
RI
I
I
ln
ln
, ln
ln ln ,
=
=
=
10
8 81510
8
§
§ 8815 10
653 130 552
8 815 10
ln
, ln § I e
I
=
≈ ,,6
I te
p e
kt
kt( )
=
+
3
1
I te
p e
I te
t
t( )
( ) ,
,
,
,
=+
=
3
1
2 53
0 5
0 5
0
§55
0 5
0 5
0 5
12 5
3
12 5
t
t
t
t
ee
e
,
– ,
,
,
,
+=
+§ ==
+=
– , – ,
, ,
,
0
3 2 5 2 5
1
0 5 0 5
0 5§
e e
e
t t
t00
0 5 2 5
10
0 5
0 5
0 5
0 5
§
§
, – ,
,
,
,
,
e
ee
t
t
t
+=
–– , ,2 5 0 1 00 5= + ≠‹ e t
Condição univerrsal em
, , ,, ,
�
� �� ��
§ §0 5 2 520 5 0 5e et t= =
55
0 50 5 5 2 5
2
, , ln ln
ln
§ §
§
t t
t
= = ×
= 55
3 219t ,≈
0 1 2 3 4 5 6
1963
3,219
I
e
p e
e
p e
k
k
k
k
( )
–
1 1
3
11
3
1
=
+=
+§ §
– –
( –
1 0
3 1
10
3
=
+=§
§
e p e
p e
p
k k
k
)) – e p ek k1 0 1 0= + ≠‹Condiçãouniveersal
� �� ��
§
§
§
( – )
–
3 1
1
3
p e
ep
k
k
k
=
=
= lln –
ln ( – )
–l
–
1
3
3 1
p
k p
k
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
=
§
§ nn ( – )
–
3
3 1
p
A e B= =
f
Df
( ) – log ( – )
{ : –
x x
x x
= +
= ∈
2 2 7
2 7� >> = ∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ = } – , ' –0
2
71D
f
Matemática 12 | Guia do Professor78
Cálculo auxiliar:
2 7 0 7 22
7 – – – x x x> > <§ §
b)
Assim,
c)
32. y1 = 3 – ex – 1
y2 = log (x + 4) + 1
A(2,1; 0), B(–3,9; 0), C(1,2; 1,7)
• Base ˚[ABC] = 2,1 – (–3,9) = 6
• Altura ˚[ABC] = ordenada de C = 1,7
33.a) t = 0, p(0) = 0,89(0,01 + 0,99 × 0,85°) = 0,89 Segundo este modelo, a probabilidade de um indi-
víduo recordar a sequência imediatamente apóster sido mostrada é de 89%.
b)
São necessários, aproximadamente, 3,6 segundos.c) p(t) > 0,6 y1 = 0,89 (0,01 + 0,99 × 0,85t) y2 = 0,6
A probabilidade é superior a 60% durante aproxima-damente, 2,46 segundos.
34. C(t) = t × 1,05–At
a)
b) C(t) = t × 1,05–2t
10,2 horas = 10 horas + 0,2 hora 0,2 × 60 = 12 min
10 10
10 10
2 2 7
2
f ( ) – log ( – )
– log
x x=
= ×
+
(( – )
( – )
–
,
2 7
1
1002 7
2 7
100
x
x
xx
= ×
= ∀ – , ∈ ∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
2
7
C.S. – , – , – , = +∞⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢∩ ∞
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ =
8
7
2
7
8
7
22
7
⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
f – : – ,
–
1 2
72 10
7
�
→ ∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
xx + 2
Assim, e + 2
f Df
– ( ) –
.–
1 2 10
71x
x
= = �
– log ( – )
log ( – )
2 2 7
2 7 2
+ =
= +
x y
x y§
§§
§
§
x
x
x
y
y
2 7 10
7 10 2
2
2
–
– –
=
=
=
+
+
22 10
7
2 – y +
f( ) –
– log ( – ) –
log (
x
x
≤
+ ≤
1
2 2 7 1
2
§
§ –– )
–
–
7 1
2 7 10
7
x
x x
x
≤
≤ ∈§ ‹
§
Df
– ,
–
≤ ∈ ∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
≥
82
78
7
‹
§ ‹
x
x – , x ∈ ∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
2
7
y1 y2
O x
y
C
B A
AABC[ ]
,
,=×
=6 1 7
25 1
p tt
( ) ,
, ( , , , ) ,
=
+ × =
0 5
0 89 0 01 0 99 0 85 0 5§
§§
§
, , , ,
,
,
0 01 0 99 0 850 5
0 89
0 85
50
8
+ × =
=
t
t 990 01
0 990 85
1637
2937
0 85
– ,
, ,
log ,
§
§
t
t
=
=11637
29373 6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≈§ ,t
O
0,6
0,89
2,46
1
1 2
p (t)
t
C A( ) , , ,
,
–
–
6 1 86 6 1 05 1 86
1 05
6
6
= × =ק
§ ×× = =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
,
, – log
,
A A
A
1 86
66
1 86
61 05§
§ log
,
–
,1 05
1 86
66
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈A
O
3,8
C
10,2
C (t) = t x 1,05-2t
tO
3,8
C
10,2
C (t) = t x 1,05-2t
t
79Tema II | Matemática 12
Recorrendo à calculadora gráfica, descobrimos quea concentração de Stopdor é máxima 10,2 horasapós a administração do medicamento. Assim, oTobias, tendo tomado o Stopdor às 8 horas, devia tertomado o 2.o medicamento às 18 h 12 min (8 h + 10 h+ 12 min) e não às 15 horas como tomou. Conclui--se, assim, que não cumpriu com as recomendaçõesdo médico.
35. Observe-se que se trata de uma progressão geo-métrica de razão 1,01 e a soma de n termos é dada
por
Assim:
Como log1,01(10 001) ≈ 925,6 e n∈�, é necessáriosomar 926 termos desta progressão.
36.a)
b)
Consideremos a mudança de variável ex = y. Então:
Substituindo y por ex vem que: ex = 3 ⁄ ex = 1 § x = ln 3 ⁄ x = 0 C.S. = {ln 3, 0}
c)
d)
Consideremos a mudança de variável ex = y, tem-seque:
Substituindo y por ex:
e)
Consideremos a mudança da variável ex = y, vemque:
Substituindo y por ex, vem:
Sn
n n
– ,
– ,
– ,
– ,= × =
1 1 01
1 1 011
1 1 01
0 01
Sn
n
– ,
– ,
>
>
1 000 000
1 1 01
0 011 000 000§
§ – , –
– , –
,
1 1 01 10 000
1 01 10 001
1
n
n
<
<§
§ 001 10 001
10 0011 01
n
n
log ( ),
>
>§
10 3 30 3 0
10 3
3 2 1
3 2
–
× × =
×
+ +
+
x x
x§ == × ×
= +
+
+ +
10 3 3
3 3 3 2
1
3 2 2
x
x x x§ §
{ }
= +
= =
=
x
x x
2
2 0 0
0
§ §
C.S.
e e e e
ee
x x x x
x
x
– – –
–
– –4 3 3 4 0
3
= + =
+
§
§ 4 0=
yy
y y
y
y y
– –
–
+ =+
=3
4 04 3
0
4
2
2
§
§ ++ = ≠
=± ×
–
3 0 0
4 16 4 3
2
‹
§
y
y
‹
ܤ
§
y
y y
y
≠
=±
≠
=
0
4 2
20
3( ) › ‹y y= ≠1 0
9
23
9
23 0
9
1 1
–
– – – – +=
+=
e ex x§
§–– –
– – –
– –
–6 3
20
3 31
1
e
e
ex
x
x
+= §
–
– –
– –
–
1
1
1
20
3 3 0+
=
=e
e
x
x§ ‹ – – 2 01+ ≠e x
Condição universal em �� ���� ���
§
§
§
– – l
– –
– –
3 3
1
1
1
1
e
e
x
x
x
=
=
= nn
–
–
{– }
1
0 1
1
1
§
§
x
x
= +
=
=C.S.
e e
e e
2
2
2 8
2 8 0
x x
x x
+ =
( ) + =
– §
y y
y
y
2 2 8 0
2 4 4 8
2
+ =
=± ×
–
– – (– )
§
§ ==±
= =
–
–
2 6
22 4§ ›y y
e ex x= = –2 4›Equação
impossível em �
���� ��
§ ln
{ln }
x =
=
2
2C.S.
e e e
e e e
e
3 2
2
6 5
6 5 0
x x x
x x x
x
– –
( – )
=
+ =§
§ == ( ) – 0 62
Equaçãoimpossível
em �
� › e ex xx
x x
+ =
( ) + =
–
5 0
6 5 02
§ e e
y y
y
y
2 6 5 0
6 36 4 5
26
–
–
+ =
=±
=
ק
§
±
= =
4
25 1§ ›y y
e ex x
x x
= =
= =
ln
5 1
5 0
›
§ ›
C.S.. {ln , }= 5 0
Matemática 12 | Guia do Professor80
37.
a)
C.S. = ]–∞, –V√3] » ]0, V√3]
b)
c) x3 ex ≤ 27ex
§ x3 ex – 27 ex ≤ 0 § ex (x3 – 27) ≤ 0 § x3 – 27 ≤ 0, pois ex > 0, Ax ∈ �
§ x ≤ 3
C.S. = ]–∞, 3]
d)
38.a) D = {x ∈ �: x2 – 7x + 12 > 0} = { x ∈ �: x < 3 ⁄ x > 4} = ]–∞, 3[ ∪ ]4, +∞[
3 27 3 3
3 30
1 3x x x x
xx
xx
–
≤ ≤
≤ ≤
§
§ § § –
x
x
2 30≤
Cálculo auxiliar:x2 – 3 = 0 § x2 = 3 § x = ± √∫3
10 10
2 8
2
2 2 8
2
2
x x
x x
x x
–
+ ≤
+ ≤
+
§
§ 88 0 ≤
4 2
4 2
–
[– , ]
≤ ≤
=
§ x
C.S.
e e e e4 3 1 4 3 13 3 0x x x x – – – – –
≤ ≤§
§ ee e e
e e
x x
x
( – )
– ,
– –
– –
3
3
3 1
3 1
3 0
3 0
≤
≤§ ppois 3 3
e
e e e
x
x x
x> ∀ ∈
≤
,
– –
0
33 1
�
§ § –– ln ( )
–
– ln ( ) –
–3 3
1
1
3 3
≤
≤
e
e
e
§ §3 3x x 33 3
3 3 1
1≤ +
≤ ≤
ln ln ( )
– ln –
–e
§ §3 3x x ln
ln
– , ln
3 2
3
3
2
33
+
≤ +
= ∞+
§ x
C.S.22
3
⎤
⎦⎥
⎤
⎦⎥
x x x x
x x x
log ( – )
log ( – 6
2
6
2
7 12
7 12
+ =
+§ )) –
[log ( –
x x
x x x
= ∈
+
0
7 126
2
‹
§
D
)) – ]
[ log (
1 0
06
= ∈
=
‹
§ ›
x
x
D
xx x x
x
2 7 12 1 0
0
– ) – ]
[
+ = ∈
=
‹
§
D
log ( – ) ] › ‹6
2 7 12 1x x x+ = ∈ D
81Tema II | Matemática 12
+–
+
– 3 3
x –∞ –√∫3 0 √∫3 +∞
x2 – 3 + 0 – – – 0 +
x – – – 0 + + +
– x
x
2 3 – 0 + n.d. – 0 +
Cálculo auxiliar:
x x
x
x
2 2 8 0
2 4 4 8
2
+ =
=±
=
×
–
– – (– )
§
§ –
–
2 6
24 2
±
= =§ ›x x
+
–4 2–+
Cálculo auxiliar:
x x x x3 3 327 0 27 27 3– = = = =§ § §
1 0 0 –27
3 3 9 27
1 3 9 0 = r
Cálculo auxiliar (cont.):
x x x x
x x
3 2
2
27 3 3 9
3 9
– ( – ) ( )
= + +
+ + = 003 9 4 9
2
3 27
2
– –
– –
§
§
x
x
=± ×
=±
Equaçção impossível.
x –∞ 3 +∞
x – 3 – 0 +
x2 + 3x + 9 + + +
(x + 3) (x2 + 3x + 9) – 0 +
Cálculo auxiliar:
x x
x
x
2 7 12 0
7 49 4 12
2
–
–
+ =
=± ×
=
§
§
7 1
24 3
±
= =§ ›x x
+
3 4–+
Matemática 12 | Guia do Professor82
b) D = {x ∈ �: |x + 1| – 3 > 0}
= ]–∞, –4[ ∪ ]2, +∞[
log2 (|x + 1| – 3) = 1 § log2 (|x + 1| – 3) = log2 2 ‹ x ∈ D § |x + 1| – 3 = 2 ‹ x ∈ D § |x + 1| = 5 ‹ x ∈ D § (x + 1 = 5 ⁄ x + 1 = –5) ‹ x ∈ D § (x = 4 ⁄ x = –6) ‹ x ∈ D C.S. = {4, –6}c) D = {x ∈ �: x > 0} = �+
Consideremos a mudança de variável log3 x = y.Então:
Substituindo y por log3 x, tem-se que:
39.a)
b)
§ [[ log ( – ) log ] x x x= + =0 7 12 66
2
6› ‹‹
§ ›
( – )
x
x x x
∈
= + =
D
0 7 12 62
( – )
‹
§ ›
x
x x x
∈
= + =
D
0 7 6 02
–
‹
§ ›
x
x x
∈
= =± ×
D
07 49 4 6
22
07
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ∈
= =±
‹
§ ›
x
x x
D
(
5
20 6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ∈
= =
‹
§ ›
x
x x
D
)
{ , , }
› ‹x x= ∈
=
1
0 1 6
C.S.
D
Cálculo auxiliar: |x + 1| – 3 > 0 § |x + 1| > 3§ x + 1 > 3 ⁄ x + 1 < –3§ x > 2 ⁄ x < –4
log – log
log – log
3
2
9
3
2
3
5 1 0
5
2
x x
x x
+ =
§ + = ∈ +1 0 ‹ x �
y y y y
y
2 25
21 0 2 5 2 0
5
– –
+ = + =
=±
§
§ –
25 4 2 2
4
5 3
4
2
× ×=
±
=
§
§ ›
y
y y =1
2
log log
3 32
1
2x x x
x
= = ∈ +›
§
‹ �
== =( ) ∈
= {+
,
9 3
9 3
› ‹x x �
C.S. }}
D { : = ∈ + >x x� 2 3 0Condição universal
em��
� �� ��
� �
}
{ :
‹ x
x x
+ >
= ∈ ∈
1 0
‹‹ – }
]– , [
x >
= +∞
1
1
log ( ) log ( )
log ( ) 2
2
2
2
2
3 2 1
3
x x
x
+ < + +
+§ << + + ∈ log log ( )
log (2 2
2
4 1x x
x
‹
§
D22
22
3 4 4
3
+ < + ∈
+ <
) log ( )
x x
x
‹
§
D
– –
4 4
4 1 02
x x
x x x
+ ∈
<
‹
ܤ
D
–
∈
< < + ∈
=
D
D§ ‹2 5 2 5x x
C.S. – , 2 5 2 5+⎤⎦ ⎡⎣
D : – – – = ∈ > >{ }x x x x� 2 2 0 2 0‹
= ∈ < > >{ } : ( – ) x x x x� 1 2 2› ‹
== +∞ ] , [2
log ( – – ) – log ( – )
log ( –3
2
3
3
2
2 2 1x x x
x
>
§ – ) log ( – )
log
x x2 1 23
> + ∈‹
§
x D
33
2
3 32 3 2( – – ) log log ( – ) x x x> + ‹ x
log ( – – ) log – )
∈
>
D
§ ‹3
2
32 6x x x(3 x ∈ D
Cálculo auxiliar:
log log
log
log9
3
3
3
9 2x
x x= =
Cálculo auxiliar:
x x x
x
2 4 1 04 16 4
2
4 2
– –
= =± +
=±
§
§00
2
4 2 5
2
2 5
§
§
x
x
=±
= ±
+–
+
2 5 – 2 5 +
Cálculo auxiliar:
x x x
x
2 2 01 1 4 2
2– –
– (– )
= =
±
=
ק
§11 3
22 1
–
±= =§ ›x x
+
–1 2–+
40.a) f(ln 3) = 1 – e1 + 2 ln 3 = 1 – e × e2 ln 3
= 1 – e × eln 32
= 1 – e × 32
= 1 – 9e
b)
Assim,
c)
41.a) f(x) = log2 (x2 – 3x + 2) Df = {x ∈ �: x2 – 3x + 2 > 0}
= {x ∈ �: x < 1 › x > 2} = ]–∞, 1 [ ∪ ]2, +∞[
Dg = {x ∈ �: x > 0 ‹ 1 – log7 x ≠ 0} = ]0, +∞[ \ {7}
Dh = {x ∈ �: x + 1 > 0 ‹ 1 – 2x ≠ 0}= ]–1, +∞[ \ {0}
b)
Equação impossível, logo g não tem zeros.
O ∉ Dh, logo h não tem zeros.
– – –
x> ∈ D§ ‹
§
x x x
x
2
2
2 63
––
(
4 4 0
2
x
x x
+ > ∈
< >
‹
§ ›
x D
22) ‹ x ∈
= ∞
D
C.S. ]2, + [
D D
f e
e
f f '
( ) –
–
–
= =
= +
+
� 1
1
1
1 2
1 2
x x
x ==
=
=
+
+
+
–
y
– y
y
x
x
§
§
§
e
e
1 2
1 2 1
1
– 1
22 1
1
2
x y
xy
=
=
ln ( –
ln ( –
)
) – 1§
f – ( ) ln ( –
.1 1
2x
x=
) – 1
D
ff – { : – } ]– , [
: ]– ,–
1 1 0 11
= ∈ > = ∞
∞
x x�
[
ln ( –
1
1
2
→ �
xx) – 1
D g
gh { : ( ) }
( )
log (
= ∈ ≥
≥
+
x x
x
x
� 0
0
22
§ –– )
log ( – ) –
– –
2 0
2 2
2 22
2
≥
≥
≥
§
§
x
x ‹‹
§ ‹
§
–
x
x x
x
∈
≥ + >
Dg
1
42 2 0
≥≥ >
= +∞⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
, ,
9
42
9
4
‹ x
C.S. logo DDh= +∞⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢ , .
9
4
g( ) – log
xx
=1
17
Cálculo auxiliar:1 – log7 x = 0 § log7 x = 1 § x = 7
h( ) log ( )
– x
x
x=
+3
1
1 2
Cálculo auxiliar:1 – 2x = 0 § 2x = 1 § x = 0
f( )
log ( – )
–
x
x x
x x
=
+ =
+
0
3 2 0
3 22
2
2
§
§ == ∈
+ = ∈
1
3 1 02
–
‹
§ ‹
x
x x x
D
Df
ff
§ › ‹ = 3 – 5 3 + 5
x x2 2
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
x
x x
∈
=
D
f
f
§ › = 3 – 5 3 + 5
te
2 2
mm 2 zeros: = 3 – 5
e3 + 5
x x2 2
=
g( )
– log
x
x
=
=
0
1
10
7
§
h( )
log ( )
–
log (
x
x
x
x
=
+=
+
0
1
1 20
1
3
3
§
§ ))
]
= ∈
= ∈
0 ‹
§ ‹
x
x x
Dh
+ 1 1 –– , [\{ }
]– , [\{ }
1 0
1 0
+∞
= ∈ +∞§ ‹x x 0
Cálculo auxiliar:
83Tema II | Matemática 12
+
1 2–+
x x
x
x
2 3 2 0
3 9 4 2
22
–
–
+ =
=± ×
=
§
§ ›› x = 1
Cálculo auxiliar:
x x
x
x
2
2
4 4 0
2 0
2 0
–
( – )
–
+ =
=
=
§
§
§ xx = 2
+ +
2•
x2 – 4x + 4 > 0 § x < 2 ‹ x > 2
c)
Assim, f é negativa em e em
d)
Assim:
e)
42.
a)
O aumento foi de 3760 unidades, aproximadamente.
b)
c)
t ≈ 5,412 dias 5,412 dias = 5 dias + 0,412 dia 0,412 × 24 ≈ 10 horas
Às 10 h, aproximadamente, do dia 6 de julho.
43.
a)
b)
O pior momento da epidemia ocorreu aos 16,7 dias(aproximadamente) e a percentagem de doentes erade 64,5% (aproximadamente).
c)
f( ) log ( – )
–
x x xx x
< + <
+
0 3 2 0
3 22
2
2
§
§
–
< ∈
+ <
1
3 1 02
‹
§ ‹
xx x x
Df
∈∈
∈+⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
∈
–
,
]–
Df
§
‹
x
x
3 5
2
3 5
2∞∞ ∪ +∞, [ ] , [1 2
3 5
21
– ,
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
23 5
2,
.
+⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
D Dg g'
– log – log
l
–=
= =
1
1
11
7
7xy
yx§
§
1
oog – –
7
1
1 7xy
x y= =1
1
§
g e D Dg g
– –
( ) \{ }, ' –
11
1
7 01x x= = =� logo �� \{ }.0
f g h( ) ( ) ( )
log ( – )
0 49 2
0 0 21
12
+ +
= + +–– log
log ( )
–
–
7
3
249
2 1
1 2
11
1 2
++
= + ++ = + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
– (– ) – –
2
1 41 1
2
3
2
3
P t t
t
( ) , =⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ≥1200
3
20
P
P
( )
( )
0 12003
21200
7 12003
2
0
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
=⎛⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
7
7
7 0 12003
21P P( ) – ( ) – 2200 3760
≈
P t
tt
( ) ,
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = ×
=
12003
21200 1 5
1200
2
ln ,ln ( , )
× ( ) = ×
=
×
e e
k
tt
1 5 2
1 5
21200
lln ( , )
,
( ) ,
1 5
20 203
1200 0 203
k
P t e t
≈
=
1200 3600
3600
1200
0 203
0 203
0 2
,
,
,
e
e
e
t
t
=
=§
§ 003 3
0 203 3
3
0 203
t
t
t
=
=
=
, ln
ln
,
§
§
t 0 1 2 3 4 5 65,412
01/07 02/07 03/07 04/07 05/07 06/07
P t e t t( ) , – ,= 0 5 0 015 2
P e( ) %, – , 0 10 5 0 0 015 0= =× ×
O
64,5
16,7
P (%)
t (dias)
y1= e
0,5 t - 0,015 t2
P t
e t
e
t t
( )
, – ,
<
< >
1
1 00 5 0 015 2
§ ‹
§ 00 5 0 015 02
0
0 5 0 0
, – ,
, – ,
t t e t
t
< ≥‹
§ 115 0 0
0 015 0 5 0
2
2
t t
t t
< ≥
+ <
– , ,
‹
§ ‹
t
t t
≥
< >⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0
0100
3§ › ‹ tt
t
≥
>
0
100
3§
Matemática 12 | Guia do Professor84
Cálculo auxiliar:
x x
x
x
2 3 1 0
3 9 4 1
2
3
–
–
+ =
=± ×
=
§
§––
5
2
3 5
2› x = +
+–
+
3 5
2
– 3 5
2
+
85Tema II | Matemática 12
A epidemia encontra-se erradicada após 33 dias e8 horas do início do estudo da epidemia.
d)
44.
a)
50 chimpanzés.
b)
t ≈ 2,027 anos 2,027 anos = 2 anos + 0,027 ano 0,027 × 12 = 0,324
Em janeiro de 2004.
c)
45. P(t) = a – b ert
Para que seja finito, então ,
ou seja, r terá que ser menor do que zero.
= +100
333
1
3dias dias diaa
1
3horas × =24 8
P e e( ) , – , – ,10 0 5 10 0 015 100 5 1 5= = =× × ee3 5 33, %≈
350
1 60
,
+<
ek
kt
t
ek
=
+=
+= =
×
0
350
1 6
350
1 6
350
750
0
k
e
e
t
– ,
– ,
–
=
+=
+
0 2
350
1 670
350
1 6
0 2
0§
,,
– ,
–
– –
2
0 2
70 0
350 70 420
1 6
t
te
e
=
+§
–– ,
– ,
– ,
–
0 2
0 2
0 2
0
280 420
1 6
t
t
t
e
e
=
+=§ 00
280 420 0 1 60 2 0 2§ ‹ – – , – ,e et t= + ≠≠
=
0
280 4
Condição universal em �
� ��� ���
§ 220
280
4202
3
0 2
0 2
0 2
– ,
– ,
– ,
e
e
e
t
t
t
§
§
§
=
=
–– , ln 0 22
3t =
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
ln
– ,
2
30 2
t
t
=
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
§
§ == ×⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ – ln 5
2
3
0 1
Janeiro Fevereiro
0,324 2 3
��� ���
350
1 650
350
1 6350
1
10 2
1
+= +
+
=
e ek k
y++
= ++
6
50350
1 6
10
2 2
e
e
k
ky
O
y1
y
y2
350,0
109,2
-1,8 -0,1 k
P(0) = 6P(10) = 8lim ( )
tP t
→ +∞= 10 lim ( – )
t
rta b e→ +∞
= 10§
a – b e0 = 6a – b e10r = 8
���
���
lim t
rte→ +∞
= 0lim ( – ) t
rta b e→ +∞
Cálculo auxiliar:
– , ,
(– , , )
0 015 0 5 0
0 015 0 5 0
2t t
t t
+ =
+ =§
§ tt t
t t
– , – ,
= =
=
0 0 015 0 5
0
›
§ › ==
= =
,
,
0 5
0 015
0100
3§ ›t t
– 0 1003
+–
a – b = 6a – b e10r = 8a – b × 0 = 10
§
10 – b = 610 – b e10r = 8a = 10
���
���
10 – 6 = b–––––––––a = 10
§
b = 410 – 4 e10r = 8a = 10
���
���
b = 4–4 e10r = –2a = 10
§
b = 4
e10r = ½
a = 10
12
���
���
b = 410r = ln (0,5)a = 10
§
§
§
§
b = 4
r =
a = 10
ln (0,5)10
���
���
Matemática 12 | Guia do Professor86
46.
a)
b)
c)
Unidade 3 – Teoria dos limites
Página 66
41.a) Seja e (xn) uma qualquer sucessão de
termos pertencentes a Df \ {0} tal que xn → 0.Assim:
isto é, f(xn) → –4, logo
b) Seja e (xn) uma qualquer sucessão de
termos pertencentes a Df tal que xn → +∞.
Assim:
isto é, f(xn) → 0, logo
42.
a) e (xn) uma qualquer
sucessão de termos pertencentes a Dg\{3} e maio-res que 3 tal que xn → 3+. Assim:xn → 3+
g(xn) → 7, logo
b)
e (xn) uma qualquer sucessão de termos pertencen-tes a Dg\{3} e menores que 3, tal que xn → 3–.Assim, xn → 3–
(xn)2 → 9(xn)2 – 2 → 7
isto é, g(xn) → 7, logo
c) Pelas alíneas anteriores logo
existe e
43.
a) Seja e (xn) uma qualquer sucessão
de termos pertencentes a Df\{2} tal que xn → 2.Assim:
isto é, f(xn) → –1, logo
b) Seja e (xn) uma qualquer sucessão
de termos pertencentes a Df tal que xn → +∞. Assim:
isto é, f(xn) → 2, logo
f( ) –
xx
=4
12
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
→
→
→
→
( )
( ) – –
( ) – –
( )
0
0
1 1
1
11
4
2
2
2
22 14
– –→
lim ( ) – . x
x→
=0
4f
f( )–
xx
=4
12
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
→+∞
→+∞
→+∞
→
( )
( ) –
( ) –
(
2
2
2
1
1
10
4
)) –
2 10→
lim ( ) . x
x→ +∞
=f 0
a b a b
b
b ab
a
b
b bln logln
log
ln
,
= ( ) =
=
pois log
ln ln
ln , log ln
×
×
= =
ba
ba
bb
b apoisaa
bb a
ln ln = c.q.d.
log log
log
log
ba
a a
aa
b b= =
1c.q.d.
log log log logn n
nn
n
n nn n
11
1
( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥=
11
3
3
3
1
n
n nnn
( )⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
� �� ��
log log –(( ) = – 3 c.q.d.
Seja g(x) =efg
x2 – 2 se x < 37 se x ≥ 3
lim ( ) . x
x→ +
=3
7g
Seja g(x) =efg
x2 – 2 se < 37 se ≥ 3
lim ( ) . –x
x→
=3
7g
lim ( ) lim ( ) , –x x
x x→ →+
= =3 3
7g g
lim ( ) . x
x→
=3
7glim ( ) x
x→ 3
g
f( ) – –
xx
= 23
1
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
→
→
→
→
→
–
–
–
– –
–
2
1 1
1
11
3
13
3
133
23
11 –
– –
xn
→
lim ( ) – . x
x→
=2
1f
f( ) – –
xx
= 23
1
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
→+∞
→+∞
→
→
–
–
––
– –
1
1
10
3
10
23
12→
lim ( ) . x
x→ +∞
=f 2
c) Seja e (xn) uma qualquer sucessão
de termos pertencentes a Df e maiores que 1, talque xn → 1+.
isto é, f(xn) → –∞, logo
44.a) Dh = {x ∈ �: 4 – x > 0} = ]–∞, 4[
b) Seja h(x) = V√4 – x e (xn) uma qualquer sucessão determos pertencentes a Dh tal que xn → 4.Como Dh = ]–∞, 4[, xn → 4–.Assim, xn → 4–
–xn → –4+
4 – xn → 0+
V√4 – xn → 0isto é, h(xn) →0, logo e como Dh= ]–∞, 4[,
então
45. A definição de limite segundo Heine permite afirmarque se a toda sucessão (xn) de termos
pertencentes a Df \{1} a tender para 1 correspon-der uma sucessão f(xn) de imagens da função atender para 3.No entanto, no enunciado é apenas referido queexiste uma sucessão de números reais convergen-tes para 1 e tal que lim f(un) = 3, o que não é sufi-ciente para afirmar que
46.a) , un → –1–
Por observação do gráfico, quando uma sucessãode objetos tende para –1 por valores à sua esquerda,verificamos que a sucessão das respetivas imagenstende para 3.Opção (C)
b) Pretende-se o termo geral de uma sucessão de
objetos (vn) cuja sucessão de imagens por f tende
para +∞.
Por observação do gráfico, sabe-se que (vn) terá de
tender para 1+.
Na opção (A): n2 → +∞
Na opção (B): –n2 → –∞
Na opção (C): 1 + → 1+
Na opção (D): 1 – → 1–
Opção (C)
47.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
48.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
49.
a)
b) Não existe pois
f( ) – –
xx
= 23
1
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
→
→
→+∞
→+∞
+
+
–
–
–
––
1
1 0
1
1
3
1
3
1→→ ∞
→ ∞
–
– –
–23
1xn
lim ( ) – . x
x→ +
= ∞1
f
Cálculo auxiliar:4 – x > 0 § –x > –4 § x < 4
lim ( ) –x
x→
=4
0h
lim ( ) . x
x→
=4
0h
lim ( ) x
x→
=1
3f
lim ( ) . x
x→
=1
3f
un n= – – 1
12
1n
1n
lim ( – ) – – – –x
x x x→
+ + = + =1
3 24 5 2 4 1 5 2 ––10
lim ( – ) –x
x→ ∞
= +∞2 3
lim
–
–
–
–x
x→ ∞
+=
∞= +∞
3 3
2 2
lim –
x
x
x→= =
0 7
0
70
lim
x
xx→ +∞
+=
+
+∞=+∞
=
1
4
30 3 0
0
lim – –
–
–
x
x
x→= = =
5
2
3 9
10
3 4
10
3 2100
lim ( ) ( ) lim ( ) lim x x x
x x→ +∞ → +∞ →
+ = +f g f++∞
= +∞ + = +∞g( ) x 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim – – –x x x
x x→ ∞ → ∞ → ∞
× = ×f g f gg( ) – – x = × =2 3 6
lim ( ) lim ( )
lim
–
–
x
x
x
xx
→
→
→
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
4
4
4
f
g
f
––( )
g x
=+∞
=2
0
lim ( ) lim ( ) (– ) – –x x
x x→ ∞ → ∞
( ) =( ) = =f f2 2
22 4
lim ( ) lim ( ) – – x x
x x→ →+ +
= = ∞ = ∞4
3
43
3g g
lim ( ) lim ( ) x x
x x→ →
= = =3 3
0 0f f
lim ( ) lim –
–
– –x xx
x
x→ → ++ +=
+=
1 1
5 4
1
9
0f == ∞
=+→ →
–
lim ( ) lim –
– –– –e
x xx
x
x1 1
5 4
1f == = +∞
–
–
9
0
lim ( ) lim ( ). – – –x x
x x→ →+
≠1 1
f flim ( ), –x
x→ 1
f
87Tema II | Matemática 12
50.a)
b)
51.
a)
b)
c)
d)
e)
Cálculo dos limites laterais em x = 2:
•
•
Como não existe e,
portanto, não existe
f)
g)
h)
52.a)
b)
c)
d)
•
•
Como conclui-se que não existe
53.
a)
b)
c)
d)
lim –
– lim
– x x
x
x
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→=
3
2
0
0
3
9
4 12
( 33 3
4 3
3
4
6
43
) )
( – ) lim
(x
x
xx
+=
+=
→==
3
2
lim –
–
lim x x
x x
x x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
+
+
=2
2
2
0
05 6
5
21
→→ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
( – ) – )
( – ) –
2
3 2
21
2
x x
x x
(
llim –
–
–
– x
x
x→
= =2
3
1
2
1
3
2
2
3
lim –
– lim
x x
x x
x
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→
+=
2
2
0
0
2
5 6
2
( x
xx
x
– ) – )
–
lim ( – ) –
3 2
23 2
2
(
= =→
33 1 –=
lim –
– lim
x x
x x
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→
+
( )=
2
2
3
0
0
2
5 6
2
(( (
(
x x
x
x
xx
– ) – )
– )
lim –
( –
3 2
2
3
3
2=
→ )
– –
2
1
02= = ∞
+
lim –
– lim
x x
x x
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→
+
( )=
2
2
2
0
0
2
5 6
2
(( (
(
x x
x
x
xx
– ) – )
– ) lim
–
–
3 2
2
32 2
=→ 2
lim –
–
– –
x
x
x→ ++= = ∞
2
3
2
1
0
lim –
–
–
––x
x
x→= = +∞
2
3
2
1
0
lim –
– lim
–
– ,
–x x
x
x
x
x→ →+≠
2 2
3
2
3
2
lim –
– .
x
x x
x→
+
( )2
2
2
5 6
2
lim –
– x
x
x→ 2
3
2
lim – –
li
( ( ))
xx
x→
× ±∞
( ) ×⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
1
30
11
1mm
– x
x
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
=1
3
0
01
1 –
lim ( ) lim –
–
x xx
x→ +∞ → +∞=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+∞f
3
1
32
lim ( ) lim –
–
=
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞ → +∞
0
23e x x
x xx
g – – = +∞+∞
= +∞ = +∞2
0
lim( )
( )
lim ( )
lim (
x
x
x
x
x
x
x→ +∞
→ +∞
→ +∞
=f
g
f
g ))
lim( )
( )
lim
–
=+∞
=
=→ +∞
→ +∞
00
ex
xx
x
g
f
g(( )
lim ( ) –
–
x
xx→ +∞
=+∞
= ∞f 0
lim ( – ) (
x
x→
=1
1 xx x
x
x xx
2
1
2
1
1
1
3
+ +
=+ +
=→
)
lim
– ( – 1)
– –– –
13=
lim
lim ( x x
xx
x
x
x→
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→+=
0
2
0
21
2 1 2xx
x
xx ) lim
+=
+= =
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→1 2 1
0
10
0
0
0
lim – lim –
( – )
x xx x
x→
+∞ ∞
→+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
0 2 0
1 1
– –
1
1
0
2
0
0
x=
= = ∞
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
+
lim ( ) lim ( ) – x x
x x x→ →
= =2 2
42 6f 4 –3 + 1 ++ = 1 11
lim ( ) lim ( ) l
( – )
x xx x x
→ +∞ → +∞
+∞ ∞
= =f 4 –3 + 1 iim x
x→ +∞
= +∞4
lim ( ) lim ( ) lim – –
( – )
x x xx x x
→ ∞ → ∞
+∞ ∞
→= =f 3 –
–– –
∞= ∞x3
lim ( ): x
x→ 0
f
lim ( ) lim ( ) – –x x
x x x→ →
= =0 0
0f 3 –
lim ( ) lim ( ) x x
x x x +→ →+ +
= =0 0
1f 4 – 3 1
lim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →
≠+0 0
f f
lim ( ). x
x→ 0
f
lim –
–lim
– x x
x
x
x
x→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞=
⎛8 9 8
4 ⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
→ +∞ lim (– ) –
x8 8
lim–
lim – –x x
x x
x→ ∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
+=
2 7 12
2 – 1 ∞∞ → ∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
22 2
x
x x
2
2 lim
–
lim
lim – –x x
x x
x→ ∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
+ +=
3 5 1
3 – 2 ∞∞ → ∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = = +∞
x
xx
x
3
2– lim (– )
–
lim–
lim li x x
x
x
x
x→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞= =
2
3 1
2
3mm x x→ +∞
=+∞
=1 1
0
Cálculo auxiliar:
1 0 0 –1
1 1 1 1
1 1 1 0 = r
Matemática 12 | Guia do Professor88
54.
a)
b)
c)
55.
56.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
57.
a)
Assim,
b)
•
•
Como não existe
lim
lim –
( )
x x
x
x x→ ∞
±∞ ×
→+×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
2 0
3 1
1––
–
lim
∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞
+=
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
x x
x
xx
2
2
2
2
3
3 lim
–=
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ =
→ ∞x
1
3
1
3
lim
lim – –x x
x
xx
x
x→ ∞
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→ ∞
+
+
=
4
1
2 1
42
2
4
0
0 x
x x
x
× +
+=
=
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞
(2
8
4
2 2
1
1
)
( )
lim –
xx x
x x
x
xx
x x
5
4 2
5
4
4+
+= = =
→ ∞ → ∞
lim lim
– –
88 –– ∞
lim
( ) l
( ( ))
x
x
xx
→ +∞
× ±∞
+× +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
2
0
12 iim
lim
x
x
x x
xx
x
→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
+
+=
=
2
2
2
2
1
221 1 lim
= =
→ +∞x
lim –
– lim
– x x
x
x
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→=
3
0
0
3
3
3
3( ))
–
lim – )
x
x x
xx
+( )( ) +( )
=→
3
3 3
33
(
–
lim – )
x
x
x xx
+( )( ) ( )
=+
→
3
3
3 32 2 3
( (( )
= +( ) = + =→
x
xx
–
lim
3
3 3 2 33
3 c..q.d.
lim –
lim
( – )
x
x
x x
x
→ +∞
+∞ ∞
→ +∞
+ +( ) =
=
2 21 2
22 2 2 2
2 2
1 2 1 2
1
+ +( ) × + + +( )+ +
–
x x x
x x ++
=+( ) +( )+ +→ +∞
lim –
2
1 2
1
22
22
2 2x
x x
x x ++
=+
+ + +
=
→ +∞
lim – –
21 2
1 2
2 2
2 2x
x x
x x
llim–
–
( )
– x x x→ +∞ + + +
=+∞ + +∞
=1
1 2
1 12 2 ++∞
= 0
lim – –
lim
x
x
x
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→
=
=
5
0
0
5
2 1
2
2 – 25
– – – x x
x x
1 2 1( ) × +( )×( – 25) 2 + –2 1
– 252
( )
=( )
+→
lim – –
( ) – x
x
x x5
22
2 1
2
lim –
( ) –
14 1
2 15
( )=
+
+(→x
x
x x2 – 25 ))
=+→
lim –
( ) ( ) – x
x
x x x5
5
2 1– 5 + 5 (( )=
+→
lim – ( – )
( ) ( ) x
x
x x x5
5
2– 5 + 5 –
lim –
( ) –
–
11
2 15
( )=
+( )=
→x x x+ 5
11
2 4
1
40( )
–
5+5 +( )=
lim –
– lim
– x x
x
x x
x
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→=
2 2
0
0
2 2
2
2
2
–– lim
–
( – )
lim
2
2
2
1
2
2
x
x
x x
x
x
x
=
=
→
→== = =
1
2
1
2
2
2
lim lim lim x x x
x
x
x
x x
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→ →+ + +=
( )=
0
0
0
0
2
0 xx x
xx= = = +∞
→ ++lim
0
1 1
0
lim –
lim
( ( ))
x xx
x x→
× ±∞
→+×
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
0
01
–
lim
–
0
0
0
0
+
+
=
=+( )
( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→
x
x x
x x x
x xx
lim
–
lim
× +( )
=+( )
( )=
→ →+
x x
x x x
x xx x0 2
2
–
lim
–
0 2
0 1
0
+
+
+( )
=+
=→
x x x
x x
x x
xx
++=
–
0
1 00
lim ( – ) lim –
( – )
x
x x
x
xx
→ +∞
+∞ ∞
→ +∞=2 5 2 1
5
2xx
x
x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= ×⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
⎛
→ +∞lim –
2 1
5
2⎝⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= +∞ × +∞ = +∞ ×
( – ( )) (1 –– ) –∞ = ∞
|x – 3| =efg
x – 3 se x – 3 ≥ 0–x + 3 se x – 3 < 0
efg
x – 3 se x ≥ 3–x + 3 se x < 3
=
lim| – |
– lim
–
– l
x x
x
x
x
x→ →+ += =
3 3
3
3
3
3iim .
x→ +=
31 1
|x – 2| =efg
x – 2 se x – 2 ≥ 0–x + 2 se x – 2 < 0
efg
x – 2 se x ≥ 2–x + 2 se x < 2
=
lim| – |
– lim
–
– l
x x
x
x
x
x→ →+ += =
2 2
2
2
2
2iim
–
–( – ) lim (– ) –
x x
x
x→ →+ += =
2 2
2
21 1
lim| – |
– lim
–
–
– –x x
x
x
x
x→ →=
+=
2 2
2
2
2
2llim
–
– lim
– –x x
x
x→ →
+
+= =
2 2
2
21 1
lim | – |
– .
x
x
x→ 2
2
2lim
| – |
– lim
| – |
– ,
–x x
x
x
x
x→ →+≠
2 2
2
2
2
2
89Tema II | Matemática 12
c)
•
•
Como não existe
58.
a)
b)
c)
•
59.
a)
b)
c)
•
Como então não existe
60.
a)
b)
c)
Considerando a mudança de variável 3x = y, se x→ 0,então y→ 0.
d)
e)
Considerando a mudança de variável x – 5 = y, se x→ 5, então y→ 0.
|x| =efg
x se x ≥ 0–x se x < 0
lim | |
lim
x x
xx
xx ++ +
+=
+= = +
0 0
4 4 4
0
lim | |
lim –
– –– –x x
xx
xx
+= = =
0 0
4 4 4
0
lim | |
. x
xx+
0
4lim
| | lim
| |,
–x x
xx
xx+
+ +0 0
4 4
lim –
| |
lim x x
x xx
xx
x+ =
0
2 2
0
10 22
0
0
0
10
10
–
| |
| |
lim ( – )
xx
xx
x xx
+
=xx
xx x
lim lim ( – )
–
+ = +
=
0 01 10 1
10 ++ = – 1 9
lim | | –
–
–
– –
x
xx
= = =0 2
3
9
0 3
9 0
3
9 –
1
3
lim | | –
–
x
xx
=3 2
0
03
9
|x| =efg
x se x ≥ 0–x se x < 0
lim –
– lim
–
( x x
xx
x=
3 2
0
0
3
3
9
3
33 33
33
) ( – )
lim –
–( ) ( –
+
=+
x xx
x xx 331
31
6
3
)
lim –( )
–
=
+
=
x x
lim ( ) lim –
–
x xx x
x+ +
±
±
= =f2
4 +
( ) +( )+( )
=
lim –
( – ) x
x xx x
2 2
4 2
llim –
( – ) lim
x x
xx x+ +
( )+( )
=
222
4 2
+
+( )=
+=
–
( – )
lim
xx x
xx
4
4 21
2
1
++= 0
lim ( ) lim –
( – )
– –x xx x
x
±
±
= =f3
2
64
4= =lim lim –
– –x x
xx
x3
2
lim ( ) lim–
( – )
– –x xx x
x= =
4 4
3
2
0
064
4f
+ +lim
( – ) ( )
( – ) –x
x x xx4
2
2
4 4 16
4
==+ +
= =lim
– –
––x
x xx4
2 4 16
4
48
0
lim ( ) lim –
–
x xx x
x+ += =
4 4
0
02
4f llim
–
( – )
li
x
x xx x+
( ) +( )+( )
=
4
2 2
4 2
mm–
( – ) lim
– x x
xx x
x+ +
( )+( )
=4
22
4
2
4 2
( – )
lim
4
4 21
2
1
4 24
x x
xx
+( )=
+=
++
=1
4
lim ( ). x
x4
flim ( ) lim ( ), –x x
x x+4 4
f f
lim –
lim –
x
x
x
x
x x=
0
0
0
0
1
3
1
3
1e e
Liimite notável� �� ��
= × =1
31
1
3
lim –
lim –( – )
x
x
x
x
x x=
0
0
0
0
1 1e e – lim
– –
= =
x
x
x0
11
e
Limite notável� �� ��
lim –
lim –
x
x
x
x
x x= ×
0
3
0
0
0
31 1
33
e e=
=
lim –
lim –
31
3
31
0
3
0
x
x
y
yx
e
e
yy = × =3 1 3
lim –
lim –
x x x x
x x= × =
0
0
0
0
4
14
1e e44
1
1
41
14
0
lim –
×
= × =
x
x
xe
lim –
– lim
( – )
–
x
x
x
x
x x=
5
5
5
5 5
5
1e e e e
–
lim –
51
15
0
5 5= × = × =ee
e ey
y
y
Cálculo auxiliar:
1 0 0 –64
4 4 16 64
1 4 16 0 = r
Matemática 12 | Guia do Professor90
f)
Considerando a mudança de variável ln x = y, se x = ey
e se x→ 1, então y→ 0.
g)
Considerando a mudança de variável x + 1 = y, se x = y – 1 e se x→ –1, então y→ 0.
61.a)
b)
c)
Unidade 4 – Continuidade
Página 90
62.a)
b)b1) A função f não é contínua em x = –1, pois não existe
já que
b2) A função f não é contínua em x = 1, pois apesar
de existir
b3) A função f é contínua em x = 2, pois existe
63. • Cálculo de
• f(1) = 5logo a função f não é contínua em x=1.
64. • Cálculo de
• g(0) = 1g não é contínua em x = 0, pois não existe
já que
Verifica-se que logo g é contínua
à direita em x = 0.
65. • Cálculo de
•
Verifica-se que existe logo
h é contínua em x = 0.
66. Para que exista terá que se verificar
isto é:
lim –
ln
x
x
x→→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
1
1 0
0indeterminação
lim –
ln lim
– x y
yx
x y→ →=
1 0
1 1e
Limite notáável� �� ��
= 1
lim ln ( )
–x
x
x→
+
+←
1
2
1
0indeterminação
00
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
lim ln ( )
lim
ln ( – – x y
x
x
y→ →
+
+=
1 0
2
1
1 ) lim
ln ( )
+=
+→
2 10y
y
yy
Limite notável� ���� ���
= 1
lim ( ) lim–
–
–
– –
–
x x
x
xx→ ∞ → ∞
∞
= =∞
=fe e1
6
1 00 10
–
–
∞=
lim ( ) lim–
li x x
x
xx→ +∞ → +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =fe 1
6mm –
lim
x
x
x
x
x x
x
→ +∞
→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ×
e
e6
1
61
6Limmite notável��� ��
– lim ( x x→ +∞
= × +∞1
6
1
6)) –
–
1
0
+∞
= +∞ = +∞
lim ( ) lim–
l x x
x
xx→ →
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
= = ×0 0
0
01
6
1
6f
eiim
–
x
x
x→= × =
0
1 1
61
e
Limite notável� �� ��
11
6
lim ( ) –
lim ( ) –
( ) –
–x
x
x
x→
→
=
=
=
+
1
1
2
2
1 1
f
f
f
lim ( ) –
lim ( )
(– )
–
–
–x
x
x
x→
→
=
=
=
+
1
1
1
1
1
f
f
f 11
lim ( )
lim ( )
( )
–x
x
x
x→
→
=
=
=
+
2
2
0
0
2 0
f
f
f
lim ( ) lim ( – ––x x
x x→ →
≠+1 1
f f ).lim ( ), –x
x→ 1
f
lim ( ), lim ( ( x x
x x→ →1 1
1f f f) ≠ ).
lim ( ) lim ( ) ( x x
x x→ →
=2 2
f f fe 2).
lim ( ): x
x→ 1
f
lim ( ) lim –
–
x xx
x x
x→ →
⎛
⎝
=+
=1 1
2
0
06 5
1f
⎜⎜⎞
⎠⎟
→
→=
lim ( – ) ( – )
– lim (
x
x
x x
x1
1
1 5
1xx – ) – –5 1 5 4= =
lim ( ) ( ), x
x→
≠1
f f 1
lim ( ): x
x→ 0
g
|x| =efg
x se x ≥ 0–x se x < 0
lim ( ) lim| |
lim x x x
xx
x→ →
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→+ += =
0 0
0
0
0g
++ += =
=
→
→ →
x
x
x
x
x x
lim
lim ( ) lim
–
0
0 0
1 1
e g–– – –| |
lim lim (– )
x
x
x
–xx x= =
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
→ →
0
0
0 01 == –1
lim ( ), x
x→ 0
g
lim ( ) lim ( ). –x x
x x→ →+
≠0 0
g g
lim ( ) ( ), x
x→ +
=0
g g 0
lim ( ): x
x→ 0
h
lim ( ) lim –
– –x x x
xx
→ →
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
= = ×0 0
0
03
13h
ellim
–
lim –
–
–
x x
x
x
x
x
→
→
= ×
0
0
1
31
1
e
e
Limite notável� �� ��
= × =
=→ +
lim ( ) li
31
13
0xxh mm log log
log
xx
→ ++( ) = +
= =
0
6 6
3
10 10
10
0
3
h( ) log log log 0 0= + = = =10 10 10 36 6 3
lim ( ) lim ( ) ( ), x x
x x→ →
=0 0
0h h he
lim ( ), x
x→ 1
f
lim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →
=+1 1
f f
91Tema II | Matemática 12
Para existe
67.a) Função f:
• Cálculo de
Como não existe e, por-
tanto, f não é contínua em x = 0.
Função g:• Cálculo de
• g(0) = –1Existe e, portanto, g não
é contínua em x = 0.
b) • Cálculo de
• (f × g) (0) = f(0) × g(0) = –1 × (–1) = 1Verifica-se que existe:
logo f × g é
uma função contínua em x = 0.
68. Por exemplo,
69.
a)
Df = �– No intervalo ]–∞, 1[ a função é contínua visto, nes-
te intervalo, estar definida por uma função afim.– No intervalo ]1, +∞[ a função é contínua, visto nes-
te intervalo estar definida por uma função quadrá-tica.
– Em x = 1:
Existe logo f é contínua em
x = 1.Conclui-se, assim, que a função f é contínua em �.
Dg = �– No intervalo ]–∞, 0[ a função é contínua por, neste
intervalo, estar definida por um quociente de duasfunções contínuas: uma que é a diferença entreuma função exponencial (x 4ex) e uma funçãoconstante (x 4), e outra que é uma função afim(x 8x) que não se anula no intervalo considerado.
– No intervalo ]0, +∞[ a função é contínua visto, nesteintervalo, estar definida por uma função racionalcujo denominador não se anula no intervalo consi-derado.
– Em x = 0:
•
•
• g(0) = 0,5Existe logo g é contínua
em x = 0.Conclui-se assim que a função g é contínua em �.
D = [–3, 3]– No intervalo [–3, 0[ a função é contínua por, neste
intervalo, estar definida pelo quociente de duasfunções contínuas: uma que é a soma de uma fun-ção exponencial (x ex) com uma função afim (x x – 1), e outra que é uma função afim (x x)
lim –
lim ( ln –x
x
xxx
→ →
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = +
+1 1
12
e
kxx)
–
ln
– § §
1
12 1 1
1e
k
e
k
1
×= × + == +
= =
– –
2 0
1 21
2§ §e k k
e
lim ( ) lim ( ) ( ). x x
x x→ →
=1 1
f f fe 1ke
–
=1
2
lim ( ): x
x→ 0
f
lim lim –x xx x→ + →+
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ = = +∞
⎛
0 0
1 1
0
1e
⎝⎝⎜⎞
⎠⎟ = = ∞ – .
–
1
0
lim ( ), x
x→ 0
flim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →+
≠0 0
f f
lim ( ): x
x→ 0
g
lim ( ) lim x x
x x→ →
= =0 0
0g
lim ( ), lim ( ) ( ) x x
x x→ →
≠0 0
0g g g mas
lim ( ) ( ): x
x→
×0
f g
lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x
x x x→ →
× = ×( )0 0
f g f g
== ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
→ →lim lim
x xxx
0 0
11 1
lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x
x x→ →
× × =0 0
f g f ge ( ) ( ), f g× 0
f( )
.xx
=+
1
12
f(x) =efg
x2 + 2x – 3 se x ≥ 1–2x + 2 se x < 1
lim ( ) lim ( – )
lim x x
x x x→ →+ +
= + =1 1
2 2 3 0f
xx xx x
→ →= + =
= –
( ) lim (– )
( ) 1 1
2 2 0
1 0
f
f
lim ( ) lim ( ) ( ), x x
x x→ →
=1 1
1f f fe
b) g(x) =
�
�
�4 4
80
0 5 0
3 2
2
3 2
ex
xx
x
x x
x x x
–
,
se
se
<
=
+
+ +sse x > 0
lim ( ) lim–
lim(
– – –x x
x
xx
x→ → →= =
0 0 0
4 4
8
4g
e exx
x
x
x
x
– )
lim–
–
1
84
8
10
=→
e
Limite notável� ��� ��
= × =1
21
1
2
lim ( ) lim
lim
x xx
x x
x x x→ →+ +=
+
+ +=
0 0
2
3 23 2g
xx
x
x x
x x x
x
x
→
→
+
+
+
+ +
=+
( )
lim
0 2
0
1
3 21
( )
22 3 2
1
2+ +=
x
lim ( ) lim ( ) ( ), x x
x x→ →
=0 0
0g g ge
c) h(x) =
��� ex x
xx
x x
– –
– ln ( )
13 0
2 1 3
+≤ <
+ +
se
see 0 3≤ ≤x
Matemática 12 | Guia do Professor92
que não se anula no intervalo considerado. É con-
tínua à direita em x = –3 visto
– No intervalo ]0, 3] a função é contínua visto, neste
intervalo, estar definida pela soma de duas fun-
ções contínuas: uma função afim (x 2 – x) e uma
composta de uma função logarítmica com uma
função afim (x ln (1 + 3x));É contínua à esquerda em x = 3, pois
– Em x = 0:
h(0) = 2 – 0 + ln 1 = 2
Existe logo h é contínua
em x = 0.
Conclui-se assim que h é contínua no seu domínio,
[–3, 3].
Di = �
– A função i é contínua no intervalo ]–∞, 0[ visto,
neste intervalo, estar definida pelo quociente de
duas funções contínuas: uma que é a diferença
entre a composta de uma função exponencial com
uma função afim (x e2x + 1) e uma função cons-
tante (x e), e outra que é uma função afim (x x)que não se anula no intervalo considerado.
– No intervalo ]0, +∞[ a função i é contínua visto,
neste intervalo, estar definida pelo quociente de
duas funções contínuas: uma que é a composta de
uma função logarítmica com uma função qua -
drática (x ln (x + 1)2) e outra que é uma função
afim (x x) que não se anula no intervalo consi-
derado.
– Em x = 0:
•
Considerando a mudança de variável 2x = y, se x→ 0, então y→ 0.
•
Como não existe logo i
não é contínua em x = 0.Verifica-se que logo a função i é con-
tínua apenas à direita em x = 0.Conclui-se assim que i é contínua em �\{0}.
70. Dh = ]–∞, 2] ∂ [5, +∞[
h é contínua em ]–∞, 2] visto, neste intervalo,estar definida por uma função quadrática; h é tam-bém contínua em [5, +∞[ visto, neste intervalo,estar definida por uma função constante.Pretende-se um extensão de h a � que seja con-tínua em �, por exemplo da forma:
já que uma função afim é contínua em �, então écontínua no intervalo ]2, 5[.Tem agora que ser contínua em x = 2 e em x = 5,
isto é,
Ao gráfico de y = m x + b terá então de pertenceros pontos de coordenadas A(2, –1) e B(5, 10):
lim ( ) (– ). –x
x→ +
=3
3h h
lim ( ) (– ). – –x
x→
=3
3h h
lim ( ) lim–
lim
– –
–
x x
x
x
xx
x→ →
→
=+
=
0 0
0
1h
e
exx
x
x
x
x
x
x
–
lim–
–
1
10
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=→
e
Limite notáável� �� ��
+
= + =
→lim
–x
x
x0
1 1 2
lim ( ) lim – ln ( ) x x
x x x→ →+ +
= + +(0 0
2 1 3h )) = + = – ln 2 0 1 2
lim ( ) lim ( ) ( ), x x
x x→ →
=0 0
0h h he
d) i(x) =
�
�
�e e2 1
2
0
2 0
1
x
xx
x
x
x
–
ln ( )
+
<
=
+
se
se
se xx > 0
lim ( ) lim–
lim
– –x x
x
xx
x→ →
+
→= =
0 0
2 1
0i
e e––
–
( – )
lim–
e e
ee
2
0
2
1
12
x
x
x
x
x= × ×
⎛
⎝⎜
⎞
→ 2 ⎠⎠⎟ = ×
→ lim
– –
ee
y
y
y0
1
Limite notável� �� ��
×
= × × =
2
1 2 2e e
lim ( ) limln ( )
lim x x x
xx
x→ → →+ +=
+=
0 0
21i
00
0
2 1
21
+
+
+
=+
→
ln ( )
limln ( )
x
xx
xx
Limitte notável� ��� ���
= × =2 1 2
lim ( ), x
x→ 0
ilim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →
≠+0 0
i i
lim ( ) ( ), x
x→ +
=0
0i i
h(x) =efg
x2 – 4x + 3 se x ≤ 210 se x ≥ 5
h1(x) =efg
x2 – 4x + 3 se x ≤ 2m x + b se 2 < x < 510 se x ≥ 5
lim ( ) ( ) – lim ( ) x x
x x→ →
= =2 1 1 5 1
2 1h h he == = ( ) . h 5 10
m
b
– (– )
–
–
= =
= +
=
10 1
5 2
11
311
3
111
3
y x
– – –
× + = =
=
2 122
3
25
311
3
b b b§ §
y xx – 25
3
93Tema II | Matemática 12
Assim, uma extensão de h a �que seja contínua em�, pode ser, por exemplo, a função h1, definida por:
71. • f é contínua no intervalo [5, 6] visto tratar-se doproduto de funções contínuas em �+, logo con-tínuas em [5, 6].
• f(5) = e5 × ln 5 ≈ 238,862f(6) = e6 × ln 6 ≈ 722,847ou seja, f(5) < 500 < f(6)
Assim, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, pode-mos concluir que existe pelo menos um númeroreal c ∈ ]5, 6[ tal que f(c) = 500.
72. A função g não é contínua em [a, b].Por exemplo:
a < bg(a) = –1g(b) = 2g(a) × g(b) < 0
e não existe nenhum número real x tal que a < x < be g(x) = 0.Ou, por exemplo:
a < bg(a) = –1g(b) = 2g(a) × g(b) < 0
e não existe nenhum número real x tal que a < x < be g(x) = 0.
73. • h é contínua em [0,3; 0,4] visto tratar-se da dife-rença de duas funções contínuas em � (x 3xe x ln(x2 + 3)), logo contínuas no intervalo [0,3; 0,4].
• h(0,3) = 3 × 0,3 – ln (0,32 + 3) ≈ –0,228h(0,4) = 3 × 0,4 – ln (0,42 + 3) ≈ 0,049ou seja, h(0,3) × h(0,4) < 0.
Assim, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cau-chy, conclui-se que a função h tem pelo menos umzero pertencente ao intervalo ]0,3; 0,4[.
74. Às dez horas de um determinado dia correspondet = 0, logo às onze horas e ao meio-dia do referidodia corresponde t = 1 e t = 2, respetivamente.Sabe-se também que P está expresso em milhõesde bactérias.Assim, pretende-se provar que:$ t ∈] 1, 2 [ : P(t) = 0,5• A função P é contínua em [1, 2] visto tratar-se
do produto de duas funções contínuas em �(t t2 e t e–t), logo contínuas em [1, 2].
• P(1) = 12 × e–1 ≈ 0,368P(2) = 22 × e–2 ≈ 0,541ou seja, P(1) < 0,5 < P(2).Assim, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, conclui--se que existe pelo menos um instante t ∈ ]1, 2[tal que P(t) = 0,5.
75.a) Seja f a função definida por f(x) = ex – x – 2.
Provar que a equação ex = x + 2 tem pelo menosuma solução no intervalo ]–2, –1[ é equivalente aprovar que a função f tem pelo menos um zero nointervalo ]–2, –1[.Assim:• f é contínua em [–2, –1] visto tratar-se da diferença de
duas funções contínuas em � (x ex e x x + 2),logo contínuas no intervalo [–2, –1].
• f(–2) = e–2 + 2 – 2 ≈ 0,135f(–1) = e–1 + 1 – 2 ≈ –0,632ou seja, f(–1) × f(–2) < 0.Pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy con-clui-se que função f tem pelo menos um zero nointervalo ]–2, –1[, isto é:
E c ∈ [–2, –1[ : f(c) = 0§ E c ∈ ]–2, –1[ : ec – c – 2 = 0§ E c ∈ )–2, –1[ : ec = c + 2
b) y1 = ex
y2 = x + 2
O ponto P de interseção do gráfico da função x ex
com o gráfico da função x x + 2, no intervalo ]–2, –1[ tem de coordenadas P(–1,841; 0,159) (comaproximação às milésimas).Assim, x ≈ –1,841.
h1(x) =
�
��
x x x
x x
2 4 3 2
11
3
25
32 5
10
–
–
+ ≤
< <
se
se
see x ≥ 5
O
y
xa b
1
-1
2
O
y
xa
-1
2
O
yy1 y2
x
P 1
2
-2 -1
Matemática 12 | Guia do Professor94
76.a) • No intervalo ]0, 1[ a função f é contínua visto, nes-
te intervalo, estar definida pela soma de duas fun-ções contínuas: uma que é função constante (x1)e outra que é o quociente entre uma função logarít-mica (x ln x) e uma função afim (x4x) que nãose anula no intervalo considerado.
• No intervalo ]1, +∞[ a função f é contínua visto,neste intervalo, estar definida pela soma de duasfunções contínuas: uma que é função constante (x 1) e outra que é o produto entre uma funçãoafim (x x – 1) e a composta de uma função afimcom uma função exponencial (x e2 – x).
• Em x = 1:
Existe logo f é contínua
em x = 1. Conclui-se assim que f é contínua em todoo seu domínio, �+.
b) • Pela alínea anterior, sabe-se que f é contínua em�+, logo, em particular, é contínua em [e–1, 2].
•
ou seja, f(e–1) < 1,5 < f(2).Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy conclui-se que aequação f(x) = 1,5 tem pelo menos uma solução nointervalo ]e–1, 2[.
c) y1 = 1 + para 0 < x < 1
y2 = (x – 1) e2 – x + 1, para x ≥ 1y3 = 1,5
No intervalo ]e–1, 2[, o ponto P de interseção do grá-fico da função f com a reta de equação y = 1,5 temde coordenadas P(1,23; 1,5) (com aproximação àscentésimas).Assim, x ≈ 1,23.
77.
Dh = {x ∈ �: g(x) ≠ 0}Se o domínio de h fosse o intervalo [a, b], signifi-caria que não existia nenhum valor c no intervalo]a, b[ tal que g(c) = 0.No entanto, como g é contínua no intervalo [a, b],g(a) = 4 e g(b) = –2, ou seja, g(a) × g(b) < 0 podeconcluir-se, pelo corolário do Teorema de Bolza-no-Cauchy, que existe pelo menos um númeroreal c ∈ ]a, b[ tal que g(c) = 0.Logo, h não pode ter como domínio o intervalo [a, b].
Unidade 5 – Assíntotas do gráfico de umafunção
Página 106
78. pois sabe-se que a reta de equação
x = 2 é assíntota vertical do gráfico de f e que f épositiva em todo o seu domínio.Assim:
Opção (C)
79. pois sabe-se que a reta de equação
y = 2 é assíntota horizontal do gráfico de f e que Df = �+.Assim:
Opção (D)
80.a) D = {x ∈ �: x + 4 ≠ 0} = �\{–4}
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = –4 é assíntota vertical do grá-fico de f.Como a função f é contínua no seu domínio, �\{–4}, oseu gráfico não admite mais assíntotas verticais.
lim ( ) lim ln
– –x x
xx
x→ →= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1 11
41f ++ = + =
=→ →+ +
ln
lim ( ) lim (
1
41 0 1
1 1x xxf xx x – )
( ) (
– 1 1 0 1 1
1
2 1e e
f
+( ) = × + =
= 11 1 1 12 1 – ) – e + =
lim ( ) lim ( ) ( ), x x
x x→ →
=1 1
1f f fe
f ee
e e( )
ln
(– )
–
–
– –
11
1 11
41
1
4= + = + ≈ 00 320
2 2 1 1 1 22 2 0
,
( ) ( – ) – f e e= + = + =
ln ,
x
x4
O
y
y2
y1
y3
x
P 1
-1 1
2
2e
1,5
hg
( ) ( )
xx
=1
lim ( ) , –x
x→
= +∞2
f
lim( )
lim ( )
–
–
x
xx x→
→
= =+∞
=2
2
1 1 10
f f
lim ( ) , x
x→ +∞
=f 2
lim ( )
lim ( )
x
xx x→ +∞
→ +∞
= =1 1 1
2f f
lim ( ) –
–
–
lim
–
x
x
x→ + +
→
+=
+= = ∞
4
12 7
0
5
0f
–– – ––( )
–
–
4
12 7
0
5
0f x =
+= = +∞
95Tema II | Matemática 12
• Assíntotas horizontais:
A reta de equação y = 3 é assíntota horizontal dográfico de f quando x→ +∞ e x→ –∞.
b) Dg = {x ∈ �: 1 – ex ≠ 0} = �\{0}• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de g.Como a função g é contínua no seu domínio, �\{0}, oseu gráfico não admite mais assíntotas verticais.• Assíntotas horizontais:
A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal do gráfico de g quando x→ +∞ e a reta de equaçãoy = 0 é assíntota horizontal do gráfico de g quandox→ –∞.
c) Dh = {x∈�: x > 0 ‹ ln x + 1 ≠ 0} = ]0, +∞[\{e–1}
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 não é assíntota vertical dográfico de h.
A reta de equação é assíntota vertical do
gráfico de h quando x→ –∞.
Como a função h é contínua no seu domínio,
o seu gráfico não admite mais assín-
totas verticais.
• Assíntotas horizontais:
A reta de equação y = 3 é assíntota horizontal do
gráfico da função h para x→ +∞.
Dado que o domínio da função é limitado inferior-
mente, o seu gráfico não admite assíntota horizon-
tal.
d)
• Assíntotas verticais:
A reta de equação é assíntota vertical do
gráfico da função i.
Como a função i é contínua no seu domínio,
o seu gráfico não admite mais assíntotas verticais.
lim ( ) lim
x xx
x
x→ +∞ → +∞
±∞
±∞
⎛
⎝
=+
+=f
3 7
4
⎜⎜⎞
⎠⎟
→ +∞
→ ∞ →
=
=
lim
lim ( ) lim
– –
x
x x
x
x
x
33
f∞∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞
+
+= =
3 7
4
33
x
x
x
xx
lim
–
lim ( ) lim –
–
x x
x
xx
→ → ++ += = =
0 0 1
1
1 1g
e
e
11
0
1
10 0
–
–
lim ( ) lim –
– –
= ∞
= =→ →x x
x
xxg
e
e 11 1
1
0 –
–= = +∞
+
lim ( ) lim –
x x
x
xx
→ +∞ → +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =ge
e1llim
–
lim
–
x
x
x
x
x
x
x
x
→ +∞
→ +∞= =
e
e
e
e
e
e
1
1
11
–
–
–
lim ( ) li –
1
11
1
0 11
+∞
= =
=→ ∞
ex
xg mm –
–
–x
x
x→ ∞= =
e
e1
0
1 00
Cálculo auxiliar:ln x + 1 = 0 § ln x = –1 § x = e–1
lim ( ) lim ln
ln
x xx
x
x→ →
±∞
+ +=
+
+=
0 0
3 4
1h
±±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +
+lim
ln
ln
ln ln
ln
x
x
x xx
x
0
3 4
ln
lim
ln
ln
+
=+
+
=+
→ +
1
34
11
3
0
x
x
x
x
–
–
4
11
3 0
1 03∞
+∞
=+
+=
lim ( ) limln
x x
xx
→⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ →
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
+ +=
+
1 1
3
e e
h44
1
4
1 1
3 4
0
1 3
ln
ln ( )
–
–
–
x +=
+
+
=+
=
+
+
e
lim ( ) lim
–
1
0
1 1
+
→⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ →
⎛
⎝⎜⎞
= +∞
=x x
x
e e
h
⎠⎠⎟
+
+=
+
+
=
–
ln
ln
ln ( )
–
–
–
x
x
3 1 34
1
4
1 1
e
–– –
– –
3 4
0
1
0
+= = ∞
x =1
e
] , [ \ ,01
+∞⎧⎨⎩
⎫⎬⎭e
lim ( ) lim ln
ln
x xx
x
x→ +∞ → +∞
±∞
=+
+=h
3 4
1
±±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
+lim
ln
ln
ln ln
ln
x
x
x xx
x
3 4
ln
lim
ln
ln
+
=+
+
=+
→ +∞
1
34
11
3
x
x
x
x
4
11
3 0
1 03+∞
++∞
=+
+=
Di= ∈ ≠ =
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
{ : – } \x x� �2 3 03
2
lim ( ) lim| |
– x x
xx
x→
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ →
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
+ +=
3
2
3
2
2i
lim ( ) lim
–
3
3
20
3
2
= = +∞
=
+
→⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ →x x
xi33
2
2 3
3
20⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
= = ∞–
| |
– –
–
x
x
x =3
2
� \ ,3
2
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
Matemática 12 | Guia do Professor96
• Assíntotas horizontais:
A reta de equação é assíntota horizontal do
gráfico de i quando x → +∞ e a reta de equação
é assíntota horizontal do gráfico de i quando
x→ –∞.
81. Df = �+
Por definição da assíntota não vertical do gráficode f vem que:
Opção (B)
82. Dg = �+
Como a reta de equação y = 2x + 4 é assíntota dográfico de g, sabe-se que:
Opção (B)
83.a) Df = {x ∈ �: x2 – 1 ≠ 0} = �\{–1, 1}
• Assíntotas verticais:
Tanto a reta de equação x = 1 como a reta de equaçãox = –1 são assíntotas verticais do gráfico da função f.Como a função é contínua no seu domínio, o gráficode f não admite mais assíntotas verticais.• Assíntotas não verticais:Para x→ +∞:
Os cálculos para x→ –∞ são idênticos e obtém-sedo mesmo modo m = 2 e b = 0.Assim, a reta de equação y = 2x é assíntota oblíquado gráfico de f, para x→ +∞ e para x→ –∞.
b) Dg = {x ∈ �: x ≠ 0} = �\{0}• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de g.Como a função é contínua no seu domínio, �\{0}, nãoexistem mais assíntotas verticais do gráfico de g.• Assíntotas não verticais:
Os cálculos para x→ –∞ são idênticos e obtêm-sedo mesmo modo m = 1 e b = 1.Assim, a reta de equação y = x + 1 é assíntota oblí-qua do gráfico de g para x→ +∞ e para x→ –∞.
c) Dh = {x ∈ �: (x – 1)2 > 0} = �\{1}
lim| |
– lim
–
x x
x
x
x
x→ +∞ → +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
= =2 3 2 3
⎞⎞
⎠⎟
→ +∞ → +∞
→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =lim lim
lim
x x
x
x
x2
1
2
1
2
– –
| |
– lim
–
–
∞ → ∞
±∞
±∞
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
x
x
x
xx2 3 2 3
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞
→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠
lim–
lim –
–
x
x
x
x21
2⎟⎟ = –
1
2
y =1
2
y –=1
2
lim ( ) – ( – )
lim ( )
x
x
x x
x→ +∞
→ +∞
( ) =f
f
1 0
§ –– x +( ) =1 0
mg
b g lim( )
lim ( ) –
= = =→ +∞ → +∞x x
x
xx x2 2e (( ) =
+⎡
⎣⎢
→ +∞
lim ( )
( ) –
4
2Assim,x
x
xx x
gg
⎤⎤
⎦⎥
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
→ +∞ → +∞lim
( ) lim (
x x
x
x
gg
� �� ��xx x) –
2
2 4
6
( )
= +
=
� ��� ���
+
–1 1–+
lim ( ) lim–
li
x xx
x
x→ → ++ += = = +∞
1 1
3
2
2
1
2
0f
mm ( ) lim–
–
lim
–– –x xx
x
x→ →= = = ∞
1 1
3
2
2
1
2
0f
xx xx
x
x→ →+ += = = +∞
– – –( ) lim
–
–
l
1 1
3
2
2
1
2
0f
iim ( ) lim–
–
– – –– –x x
xx
x→ → += = =
1 1
3
2
2
1
2
0f ∞∞
mf
lim( )
lim–
= = =→ +∞ → +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
x x
x
x
x
x x
2 3
3
⎞⎞
⎠⎟
→ +∞
→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =
lim
lim
x
x
x
x
2
2 2
3
3
b f lim ( ) – lim–
–
= ( ) =→ +∞ → +∞x x
x xx
x2
2
1
3
222
2 2 2
1
3 3
2
x
x x x
xx x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=+
=→ +∞ →
lim–
– lim
– lim
+∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞= =
+∞=
2
1
2 20
2
x
x xx
lim ( ) lim x x
xx x→ →+ +
= +( ) = + =0 0
1 1
0g e e0+ ee
g e
+∞
→ →
= +∞
= +( ) =
lim ( ) lim – –x x
xx x0 0
1
0 –+ = =∞e e1
00–
mg e
lim( )
lim
lim
= =+
=→ +∞ → +∞ → +x x
x
x
x
x
x
x
1
∞∞+
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= ++∞
= ++∞
=
x
x x
x
e
e
1
0
1 11
11 0 1 + =
b g e lim ( ) – lim –
= ×( ) = +→ +∞ → +∞x x
xx x x11
lim
x
x
x
( )
= = =→ +∞
e e1
0 1
97Tema II | Matemática 12
Cálculo auxiliar:
+
1
+
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 1 é assíntota vertical do grá-fico de h. Não existem mais assíntotas verticais vistoa função ser contínua no seu domínio �\{1}.• Assíntotas não verticais:x→ +∞
Não existem assíntotas não verticais do gráfico deh nem para x→ +∞ nem para x→ –∞.
d) Di = {x ∈ �: x > 0 ‹ log x – 2 ≠ 0} = �+\{100}
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 não é assíntota vertical dográfico de i.
A reta de equação x = 100 é assíntota vertical do
gráfico da função i.
Não existem mais assíntotas verticais do gráfico de i
visto a função ser contínua no seu domínio.
• Assíntotas não verticais:
Como b ∉ �, conclui-se que o gráfico da função i
não possui assíntotas não verticais para x→ +∞.
Dado que o domínio da função i é limitado inferior-
mente, não faz sentido averiguar a existência de
assíntotas não verticais para x→ –∞.
e) Dj = {x ∈ �: x ≥ 0 ‹ x – 3 ≠ 0} = �+0\{3}
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 3 não é assíntota vertical do
gráfico de j.
Como a função é contínua no seu domínio, o gráfico
de j não admite assíntotas verticais.
lim ( ) lim ln ( – ) ln x x
x x→ →
+= = =1 1
21 0h ––∞
mh
lim ( )
lim ln ( – )
l
= = =→ +∞ → +∞x x
x
x
x
x
1 2
iim ln ( – )
x
x
x→ +∞
2 1
Mudança de variável:ln (x – 1) = y§ x – 1 = ey § x = ey + 1Se x→ +∞, então y→ +∞.
lim
y y
y→ +∞
=+
=21
2e
lim
lim l
×
+
= ×
+
→ +∞
→ +∞
y y
y
y
y y
y
1
1
e
e
1
2
iim
y y→ +∞
= ×+∞ +
= × =1
21
02 0 0
b h lim ( ) – lim ln ( –
= ×( ) =→ +∞ → +∞x x
x x x0 ) –
–
lim ( )
lim –
1 2 = +∞ → ∞
→ ∞
= =→ ∞
x
xx
xxm
hxx
x
x
xx
x
→ ∞
→ ∞=
–
–
ln ( – )
lim ln | – |
1
2 1
2
==+
= ×
→ ∞
→ +∞
lim ln (– )
lim –
–
21
21
x
y
x
xy
ee ey y y
y y
lim
–
= ×
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= ×
→ +∞2
1
21
0
1
– ( )
+∞= 0
Mudança de variável:ln (–x + 1) = y§ –x + 1 = ey § x = 1 – ey
Se x→ –∞, então y→ +∞.
b h lim ( ) – lim ln ( – – –
= ×( ) =→ ∞ → ∞x x
x x x0 ) 1 2 = +∞
Cálculo auxiliar:log x – 2 = 0 § log x = 2 § x = 102
lim ( ) lim log –
– – x x
xx
x→ →+ += =
∞0 0 2
0i
220 =
lim ( ) lim log –
x x
xx
x→ →+ += =
100 100 2
100i
22 2
100
0
100 10
+ +
→ →
= = +∞
=
–
lim ( ) lim –x x
xi00 2
100
2 2
100
0– log –
–
–– –
x
x= = = ∞
mi
lim ( )
lim log – li
= = =→ +∞ → +∞x x
x
x
x
x
x
2 mm log –
–
x x→ +∞
=+∞
=+∞
=
1
2
1
2
10
b i lim ( ) – lim log –
= ( ) =→ +∞ → +∞x x
x xx
x0
2
limlog –
lim
=
= =
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞ →
1
2
1
x x
x
x
log –
limlog
– li
+∞
→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x
x x
x
xx
2
1
mm
x x→ +∞
+= = +∞
2
1
0
lim ( ) lim–
–
l
x xx
x
x→ →
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
= =
=
3 3
0
03
3j
iim –
–
lim
x
x x
x x→
( ) +( )( ) +( )
=
3
3 3
3 3
xx
x
x
x x
x
→
→
( ) ( )( ) +( )
=
–
–
lim
3
2 2
3
3
3 3––
–
lim
3
3 31
3
13
x x
xx
( ) +( )=
+=
+→ 3 33
1
2 3
=
Matemática 12 | Guia do Professor98
• Assíntotas não verticais:
A reta de equação y = 0x + 0, isto é, y = 0 é assíntotahorizontal do gráfico do j para x→ +∞.Dado que o domínio da função j é limitado inferior-mente, não faz sentido averiguar a existência deassíntotas não verticais para x→ –∞.
f)
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 não é assíntota vertical dográfico da função l.Não há assíntotas verticais visto a função ser contí-nua no seu domínio (�+).
• Assíntotas não verticais:
Como m ∉ �, conclui-se que o gráfico da função lnão admite assíntotas não verticais para x→ +∞.Dado que o domínio da função l é limitado inferior-mente, não faz sentido averiguar a existência deassíntotas não verticais para x→ –∞.
84.a) Df = {x ∈ �: |x| ≠ 0} = �\{0}
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de f.Não existem mais assíntotas verticais do gráfico def, pois a função é contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:
A reta de equação y = 4x é assíntota oblíqua do grá-fico de f para x→ +∞.
mj
lim( )
lim–
–
lim
= =
( )
=
→ +∞ → +∞x x
x
x
x
x
x x
3
3
→→ +∞
→
( ) +( )( ) +( )
=
–
–
lim
x x
x x x
x
3 3
3 3
++∞
→ +∞
( ) ( )( ) +( )
=
x
x x x
xx
2 2
3
3 3
3
–
–
lim –
xx x x
x xx
–
lim
3 3
1
3
1
( ) +( )=
+( )=+∞→ +∞ ×× +∞
=+∞
=
( )
1
0
b j lim ( ) – lim–
– = ×( ) =
→ +∞ → +∞x xx x
x
x0
3
33
3 3
3 3=
( ) +( )( ) +( )
=
→ +∞lim
–
–
l
x
x x
x x
iim –
–
lim
x
x
x
x x
x
→ +∞
→ +∞
( ) +( )=
+
3
3 31
3 =+∞
=1
0
De= ∈ > ≠⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= +∞x
xx : ] , �
10 0 0‹ [[
lim ( ) lim ln x x
x xx
x→ →+ +
=⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
0 0
13e ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟ =
=⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
× ±∞( )
→ +
lim ln
( )
0
0
1x
xx
⎜⎜⎞
⎠⎟⎟ +
= + =
→
→ +∞
+ lim
lim ln l
x
y
x
yy
03
10 iim
ln
y
y
y→ +∞
= 0 (limite notável)
ml
lim( )
lim ln
= =
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ +
→ +∞ → +∞x x
x
x
xx
13xx
x
xx=
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= +
→ +∞
+
lim ln
ln
13
0 –3 = ∞
lim ( ) lim
| |
x xx
x
x→ → +=
+= = +∞
0 0
24 1 1
0f
mf
lim( )
lim
| | lim
= =
+
=→ +∞ → +∞x x x
x
x
x
xx
4 12
→→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
+
×=
=
lim
4 1
4
2
2
x
x xx
xx 2== =
→ +∞lim
x4 4
b f lim ( ) – lim
| | = ( ) = +
→ +∞ → +∞x xx x
x
x4
4 12
–
lim –
l
( )
4
4 1 42 2
x
x x
x
x
x
×
→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=+
= iim x x→ +∞
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ =
+∞=
1 10
mf
lim( )
lim
| |
lim
– –= =
+
=
→ ∞ → ∞x x
x
x
x
x
xx
4 12
→→ ∞ → ∞
+
×=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
– –
– lim
–
4 1 4 12 2x
x x
x
xx 2==
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞
→ ∞
lim–
lim (–
–
–
x
x
x
x
4 2
2
44 4) –=
99Tema II | Matemática 12
Cálculo auxiliar:
|x| =efg
x se x ≥ 0–x se x < 0
Mudança de variável:
Se x→ 0+, então y→ +∞.
1 1
xy x
y = =§
A reta de equação y = –4x é assíntota oblíqua do grá-fico de f para x→ –∞.
b) g(x) = {x ∈ �: 2x – 6 ≠ 0} = �\{3}• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 3 é assíntota vertical do grá-fico de g.Não existem mais assíntotas verticais do gráfico deg, pois a função é contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:
A reta de equação é assíntota oblíqua
do gráfico de g para x → +∞ e também para x→ –∞, já que os cálculos para determinação de me l são idênticos:
85.
a) Df = �• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de f.
Não existem mais assíntotas verticais do gráfico def, pois a função é contínua nos restantes pontos doseu domínio, isto é, em �\{0}.
• Assíntotas não verticais:
Como b ∉�, verifica-se que não existem assíntotasnão verticais do gráfico de f para x→ +∞.
A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de f para x→ –∞.
b) Dg = �• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de g.
Não existem mais assíntotas verticais do gráfico deg, pois a função é contínua nos restantes pontos doseu domínio, isto é, em �\{0}.
• Assíntotas não verticais:
b f lim ( ) – (– ) lim
| – –= ( ) = +
→ ∞ → ∞x xx x
x
x4
4 12
||
lim
–
– (– )
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=+
+⎛
⎝→ ∞ ×
4
4 14
2
x
x
xx
x x⎜⎜
⎞
⎠⎟ =
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
→ ∞
→
lim –
–
lim
–
–
x
x
x x
x
4 1 42 2
∞∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+∞=
1 10
–
x
lim
( ) lim
–
–
|– |
x xx
x
x→ → ++ += =
3 3
2 16
2 6
7
0g == = +∞
=
+
→ →
lim ( ) lim–
– – –
7
016
23 3
2
x xx
x
xg
66
7
0
7
0
|– | –
– –= = = ∞
mg
lim
( ) lim
–
– lim
= = =→ +∞ → +∞x x
x
x
x
xx
2 16
2 6xx
x
x
x xx
x
→ +∞
→ +∞=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
–
–
lim li
2
2
16
2 6
2
2
2mm x→ +∞
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ =
1
2
1
2
b g lim
( ) – lim
– =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
→ +∞ → +∞x xx x
x1
2
162
22 6 2
1
3
2
x
x
x
x
x
– –
lim–
( – )
×
→ +∞
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
=66 3
2 6
3 16
2 6
2 –
– lim
–
–
x x
x
x
xx
+= =
→ +∞
±∞∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞ → +∞=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
lim lim x x
x
x
3
2
3
2⎝⎝⎜⎞
⎠⎟ =
3
2
y x = +1
2
3
2
mg
lim ( )
lim
–
– li – –
= = =→ ∞ → ∞x x
x
x
x
xx
2 16
2 6 mm –x
x
x→ ∞=
2
2
1
22
b g lim ( ) – lim–
– –=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
→ ∞ → ∞x xx x
x1
2
12 66
2 6 216 3
2
2 2
x
x
x x xx
– –
lim– –
–
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=+
→ ∞ xx
x
xx– lim
–6
3
2
3
2= =
→ ∞
lim ( ) lim
( )
lim – –x x
x
x
x→ →
= = = =0 0
0 1 0f e e f
→→ →+ += = ∞
( ) lim (ln ) –
0 0f x x
x
mf
lim( )
limln
= = =→ +∞ → +∞x x
x
x
x
x0
b f lim
( ) – lim
ln = ×( ) = =→ +∞ → +∞x x
x x x0 +∞
mf e
b
lim ( )
lim –
– –= = =
∞=
→ ∞ → ∞x x
xx
x x
00
== ×( ) = =→ ∞ → ∞lim ( ) – lim
– –x x
xx xf e0 0
lim
( ) lim
ln
– –
lim
x x
x
xx
x→ → ++ += =
∞= ∞
0 0 0g
→→= =
( ) ( )
–00 0g gx
mg
lim
( ) lim
ln
lim
l
= = =→ +∞ → +∞ → +∞x x x
x
x
x
xx
nn
lim
ln
x
xx
xx
2
Limite notáv
=
=
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
eel��� ��
lim
× = × =→ +∞x x
10 0 0
Matemática 12 | Guia do Professor100
Cálculo auxiliar:
|x2 – 16| =efg
x2 – 16 se x2 – 16 ≥ 0–x2 + 16 se x2 – 16 < 0
=efg
x2 – 16 se x ≤ –4 › x ≥ 4–x2 + 16 se –4 < x < 4
+
–4 – 4
+
A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de g para x→ +∞.
A reta de equação y = x + 2 é assíntota oblíqua dográfico de g quando x→ –∞.
86. Pelo facto de sabemos que a
reta de equação y = x é assíntota oblíqua do gráfico
da função f e, logo,
Averiguemos a existência de assíntotas oblíquasdo gráfico de g quando x→ +∞, já que Dg = �+:
Como m ∉ �, tem-se que o gráfico de g não temassíntotas oblíquas.
Aprende fazendo
Páginas 118 a 133
1. Por observação gráfica, conclui-se que:
Opção (D)
2.a) A sucessão (un) de termo geral 2 – tende para 2,
por valores inferiores a 2, pelo que:
Opção (A)b) A sucessão (vn) de termo geral 2 – n2 tende para –∞,
pelo que
Opção (B)
c) Sabendo que lim g(wn) = –∞, por observação do grá-fico, procura-se uma sucessão (wn) que tende para2, por valores superiores.
Na opção (A): lim(n2 + 2) = +∞
Na opção (B):
Na opção (C):
Na opção (D): , pois:
Opção (B)
3. Na opção (A): não conduz a uma
indeterminação.
Na opção (B): não há dados que indi-
quem se ou
No 1.o caso teríamos
No 2.o ca so teríamos
Na opção (C): conduz a uma inde-
terminação do tipo +∞ × 0.
Na opção (D):
Opção (D)
4. Como a função g é contínua nos intervalos [0, 1], [1, 2], [2, 3] e [–1, 0], basta averiguar em qual destesintervalos as imagens dos extremos são uma infe-rior a 9 e a outra superior a 9.
g(0) = 20 + 30 = 2
g(1) = 21 + 31 = 5
g(2) = 22 + 32 = 13
g(3) = 23 + 33 = 35
Como g(1) = 5 < 9 e g(2) = 13 > 9, então, conclui-seque é no intervalo ]1, 2[ que a equação g(x) = 9 tempelo menos uma solução.
Opção (B)
mg
lim( )
lim – – –
= =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟
→ ∞ → ∞x x
x
x
x
xx
2
2 ⎟⎟⎟ = =
=
→ ∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞
lim –
lim
–
–
x
x
x
x x
2
2 2xx
x x
2
21 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
→ ∞ lim
–
b lim –
– lim – –
= ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
→ ∞ → ∞x x
x
xx
x2
21
22 2 2
2
2
2
–
–
lim – –
x x
x
x
xx
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞==
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞ → ∞lim lim
– –x x
x
x
22 22
lim
( ) – ,x
x x→ +∞
( ) =f 0
lim
( ) .
x
x
x→ +∞=
f1
mg f
lim( )
lim( )
lim
= =+
=→ +∞ → +∞ →x x x
x
x
x x
x
3
( )
lim( )
+∞
→ +∞
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +
f
f
x
x
x
xx
xx
3
��� ��llim
( )
xx
→ +∞
= + +∞ = +∞
2
1
b g lim
( ) – limln
= ×( ) =
→ +∞ → +∞x xx x
x
x0
Limiite notável��� ��
= 0
lim ( ) (– ) lim ( ) – ––x x
x x→ →
= = =+1 1
0 1f f fe 1
1n
lim ( ) lim ( ) . –
g u gn= = +∞
→xx
2
lim ( ) lim ( ) . –
g v gn= =
→ ∞xx 1
lim
lim 2 1
212
2 2
n
n n
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = 22+
lim 2 23
−⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
−π
n
lim (– )
1
0n
n=
(– )
–1
1
1
n
nn
n
nn
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
se ímpar
se par
lim ( )
( )
x
x
x→=+∞
=2
00
h
g
lim( )
( )
–,
x
x
x→=
2
2
0
f
h
lim ( ) x
x→
+=2
0h lim ( ) .
–
xx
→=
20h
lim ( )
( )
– – .
x
x
x→ += = ∞
2
2
0
f
h
lim ( )
( )
– .
–x
x
x→= = +∞
2
2
0
f
h
lim ( ) ( ) x
x x→
×( )2
g h
lim ( ) ( ) – ( ) – . x
x x→
×( ) = × +∞ = ∞2
2f g
g −( ) = + =− −1 2 35
61 1
101Tema II | Matemática 12
Matemática 12 | Guia do Professor102
5.
Nestas condições, e sendo a função contínua em
todo o seu domínio, pode concluir-se que h(x) = 1
tem 2 soluções: uma no intervalo ]–6, –1[ e outra
no intervalo ]–1, 3[.
Opção (C)
6. Para que f seja contínua em �, também tem de o
ser em x = a.
Assim,
Opção (A)
7. Por observação do gráfico, tem-se que:
logo
Opção (C)
8. Sendo f uma função de domínio a equa-
ção de uma assíntota do gráfico de f, então:
Opção (B)
9. por defini-
ção de assíntota não vertical, já que y = –x – 1 é
assíntota do gráfico de f quando x tende para –∞.
Opção (C)
10. A sucessão (xn) de termo geral 1 – n2 tende para
–∞, pelo que
Opção (B)
11.
Opção (B)
12.
Opção (C)
13.
Opção (C)
14.
Assim, se k < 0, Das opções apre-
sentadas, k = –2.Opção (D)
15. Sabendo que f é uma função contínua no intervalo[–2, 2] e que f(–2) = 10 e f(2) = 4, nada se podeconcluir quanto à existência de zeros da funçãono intervalo ]–2, 2[.Assim, as afirmações presentes nas opções (A) e(B) não são necessariamente verdadeiras.Quanto à equação f(x) = ln e7 § f(x) = 7 podegarantir-se a existência de pelo menos uma solu-ção no intervalo ]–2, 2[, pelo Teorema de Bolzano,já que f é contínua em [–2, 2] e f(2) < 7 < f(–2).Opção (D)
16.
lim ( ) lim ( ) ( ). –x x
x→ →
= =+a a
f f a f a
lim ( ) lim ( )
–x x
x x→ →
=
− + = +
+a af f
a a a§ 5 3 4 5 52 2 aa
a
a
§
§
− =−
=
8 4
1
2
lim ( ) , –x
x→
= +∞1
f lim( )
–x
x
x→=
+∞=
1
3 30
f
�+ = –e yx
2
lim ( ) lim – – x x
xx
→ +∞ → +∞=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ∞f
2
lim ( ( ) ) lim ( ( ) – (– – –x x
x x x x→ ∞ → ∞
+ + =f f1 – )) ,1 0=
lim ( ) lim ( ) lim . – –
h h en
x xx x
x= = =→ ∞ → ∞
0
lim lim lim3 1
31
1
31
4 4
n
n n
n n
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = ++
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
1
3
1
1
3
4
n
n
n
n
lim
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟ =( ) = = =
4
1
3
44
3 43 3e e e e e
lim ( ) lim ( )
lim
–
–
–
x
x
x
xx
→
→
→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
0
0
0
f
i
f
ii( )
–
x=
+∞=
10
lim ( ) lim ( )
lim ( ln
–x x
x
x x→ →
→
+
+
=
+
0 0
0
g g
k§ ( )) lim–
ln
–e
e
k
+ =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
→x
xx
x
0
2 1
§ (( ) lim–
–e
e
k
+ = ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
→0
1
22
2 0
2
x
x
x
§ lim–
–
11
22 0
2
=→x
x
x
e
Limite notável� �� ��
××
+ = ×
=
2
1 1 2
1
§
§
k
k
lim ( ) lim –
x xx
x x x
x→ +∞ → +∞=
+ +
+h
k 4 2
3
2 3 4
5 66
5
2
4
3
x
x
xx x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
→ +∞ → +∞
lim lim
k kxx
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
lim – . x
x→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ∞
k
5
lim ( ) lim ( )
lim–
–
–
x x
x
x
x x
x
→ →
→
=+0 0
0
1
g g
ek
§
⎛⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ + lim
ln ( ),
x
x x
x0
2 1kk
e
kk
k
lim–
–
∈
×
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
+
→
�
§x
x
x0
1llim
ln ( )
lim
–
x
x
x
x
x→
→
++
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0
0
21
§
k
ekk
k
k
– lim
ln (
1 12
0x
xx
×
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= +→ +
)+ 1
xLimite notável� ��� ���
x –6 –1 3
Variação de h –2 £ 4 ¢ –3
Opção (B)
17. Como a função f é contínua no intervalo [–1, 3], em
qualquer uma das opções se encontra uma expres-
são de uma função g também ela contínua em [–1, 3]
(soma ou diferença de funções contínuas).
Assim, basta averiguar em qual das expressões
as imagens de –1 e 3 por g mudam de sinal:
Na opção (A): g(x) = x + f(x)
g(–1) = –1 + f(–1) = –1 + 3 = 2 > 0
g(3) = 3 + f(3) = 3 + 8 = 11 > 0
Na opção (B): g(x) = x – f(x)
g(–1) = –1 – f(–1) = –1 – 3 = –4 < 0
g(3) = 3 – f(3) = 3 – 8 = –5 < 0
Na opção (C): g(x) = x2 + f(x)
g(–1) = (–1)2 + f(–1) = 1 + 3 = 4 > 0
g(3) = 32 + f(3) = 9 + 8 = 17 > 0
Na opção (D): g(x) = x2 – f(x)
g(–1) = (–1)2 – f(–1) = 1 – 3 = –2 < 0
g(3) = 32 – f(3) = 9 – 8 = 1 > 0
Opção (D)
18. g(x) = f(x – 1)
O gráfico de f sofre uma translação associada ao
vetor →u(1, 0), assim como a sua assíntota y = 2x + 4,
logo a equação da assíntota do gráfico de g será
y = 2(x – 1) + 4
§ y = 2x – 2 + 4
§ y = 2x + 2.
Opção (C)
19. Sendo f uma função de domínio �+ e y = –5 a equa-
ção da assíntota do gráfico de f, então:
Assim:
Opção (A)
20.
o que indica que a assíntota
oblíqua do gráfico de g tem declive 1.
Das opções apresentadas, y = x é a única que obe-
dece a esta condição.
Opção (A)
21. •
•
• h(0) = 2
Como temos que
a função h é apenas contínua à esquerda em x = 0.
Opção (B)
22. Para a reta de equação x = 6 ser assíntota vertical
do gráfico de f, e como 6 ∈ Df , terá que se verificar
uma das seguintes condições:
Como 6 ∈ Df , f(6) existe e é um número real.
Para f ser contínua em x = 6 terá de satisfazer:
Pelo exposto, tal não se verifica, logo
f é descontínua em x = 6.
Opção (D)
23.
Assim,
Opção (C)
lim ( ) – . x
x→ +∞
=f 5
limln
( )
lim ln
x
xxx
x→ +∞
→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞1 1
f
⎠⎠⎟
= =∞
= +∞
→ +∞
+
lim ( )
ln
–
–
–
xxf
0
5 5
lim( )
lim( )
x
x
x x
xx
x
→ +∞
→ +∞
+=
+⎛
g
g
34
3§⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + =
→ +∞
lim( )
4
3 4§x
x
x
g
li§ mm( )
, x
x
x→ +∞=
g1
lim ( ) lim
x x
xx
x→ → ++ +=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
0 0
2 1 1
0h +∞
lim ( ) lim–
lim
–
– –x x
x x
xx
x→ →=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
0 0h
e e→→
→ →= ×
–
–
–
– –
( – )
lim lim
0
2
0 0
2
1e e
ee
x x
x
x
x
xxx
x
x
x x
– lim
– –
1 1
20
2 0
2
= ×→
ee
Limite notáveel� ��� ���
×
= × × =
2
1 1 2 2
lim ( ) ( ) lim ( ) ( ), –x x
x x→ →
= ≠+0 0
0 0h h h he
lim ( ) ( – )
lim ( )
–
x
x
x
x
→
→
+= +∞ ∞
6
6
f
f
ou
ou:
== +∞ ∞ ( – )ou
lim ( ) ( ). x
x→
=6
6f f
lim –
×→
1
0x
§k
k
ee
k
k
x
x
–
1⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Limite notável� ��� ���
== +
× =
=
2 1
11 3
1
3
§
§
k
k
lim lim
lim ue
e ee
n
n
n n=
−⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = −
1 12nn
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=+∞
− +∞ = ∞
( ) –1
lim ( ) lim ( ) . –
f u fn
= =→ ∞x
x 0
103Tema II | Matemática 12
24.
Opção (A)
25.
Opção (A)
26. Sabendo que f é o tipo f(x) = x2 + bx + c e que admi-te como zeros os valores 3 e –4, então:f(x) = (x – 3) × (x + 4)Assim:
Fazendo uma mudança de variável:y = x – 3 : x → 3 ⇒ y → 0Opção (A)
27.
• pois o gráfico de f(–x) pode obter-
-se do gráfico de f por uma simetria relativamen-te ao eixo Oy e como y = –x é assíntota do gráficode f quando x → –∞, vem que logo
• pois a reta de equação y = 2 é assín-
tota do gráfico de f quando x → +∞.Opção (A)
28.
Opção (B)
29.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
30.
a)
lim log | – |
log x x→ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
1
5
1
0== +∞ = +∞ log ( )
limln
limln
12
12
3
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟n n
n n
Limitee notável� ��� ���
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= ( ) =
3
23
2 (lne )) 3 8=
lim –
( – )( ) lim
–
x
x
x
x
x x→ →+=
3
3
3
1
3 4
e ex
x
x
x x
–
–
– lim
lim
3
3
3
1
3
1
4×
+
=
→
→
e ––
–
– lim
– 3
0
1
3
1
7
1
x yy
y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × =
⎛
⎝⎜
→
e⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ × = × =
Limite notável� �� ��
1
71
1
7
1
77
lim (– ) – ( ) lim x x
x x→ +∞ → +∞
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =f f f
1
2((– ) – lim ( )
–
x x
x
1
21
22
→ +∞
= +∞ × = +∞
f
lim (– ) , x
x→ +∞
= +∞f
lim ( ) , –x
x→ ∞
= +∞flim (– ) .
xx
→ +∞= +∞f
lim ( ) , x
x→ +∞
=f 2
lim( ) ( )
lim( )
lim x x x
x x
x
x
x→ +∞ → +∞ →
+= +
f g f++∞
→ +∞= + = + =
g( )
limln ( )
x
xx
xx
22 0 2 2
lim – – – – – – –x
x x→
+( ) = ( ) + × ( )1
3 23 2
5 3 2 5 1 3 1 2 6=
lim – – – – – – –x
x x→ ∞
+( ) = ∞( ) + × ∞( )5 3 2 5 33 23 2
2 = +∞
lim
– lim
x x
x
x
x→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
3 3
2
33
2
2
3
2
2
–
–
lim–
l
x x
xx
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
→ +∞iim
– – –
x x→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ∞ + = ∞
3
20
lim
x
x
x→ += =
0 4
0
40
lim ( – )
x
x
x→ += = +∞
2 22
2
0
lim –
x
x
x→= = =
1
2
9
2
8
2
2 2
2
2
lim –
– lim
( – ) x x
x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→=
5
2
0
0
5
25
5
5 ( )
– lim ( )
x
xx
x
+= + =
→
5
55 10
5
lim – –
– lim
– x x
x x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
+=
2
2
2
0
0
2
4 4
4
(( – ) ( – )
( – ) ( )
lim –
x x
x x
x
2 2
2 2
2
+
=→
(( – )
x
x
2
2
0
40
+= =
lim
lim
( – –x x
x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
+
+=
+1
3
0
0
1
1
1
11 1
1
1
2
1
2
) ( )
lim ( ) –
x – x
x
x – xx
+
+
= +→
= 3
lim –
lim –
x
x
x
x
x x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→= ×
0
0
0
0
1
4
1
4
1e e
LLimite notável
� �� �� = × =
1
41
1
4
Matemática 12 | Guia do Professor104
Cálculo auxiliar:r é perpendicular à reta de equação
logo é do tipo y = 2x + b, b ∈ �.
Como r é assíntota não vertical do gráfico de
g, então
y x – ,= +1
21
lim( )
. x
x
x→ +∞=
g2
Cálculo auxiliar:
1 0 0 1
–1 –1 1 –1
1 –1 1 0 = r
b)
Considerando a mudança de variável 3x = y:
x → 0 ⇒ y → 0
c)
Considerando a mudança de variável x – 2 = y :
x → 2 ⇒ y → 0
d)
e)
Considerando a mudança de variável: x – 4 = y:
x → 4 ⇒ y = 0
f)
g)
31.
a)
b)
c)
Como não existe
d)
32.
a)
b)
c)
Cálculo dos limites laterais de f em x = 0:
•
•
Como não existe
33. Função a: logo não
existe Assim, a função a não é contínua
em x = 2.
Função b: logo não
existe Assim, a função b não é contínua
em x = 2.Função c: 2 não pertence ao domínio da função c, logonão faz sentido averiguar a continuidade em x = 2.Função d: logo exis-
te Assim, a função d é
contínua em x = 2.
lim –
– lim –
x
x
x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→= ×
0
3
0
0
0
311
e e
– lim –
– li
1
11
33 1 3
0
3
x
xx
x
= × × = ×→
emm
–
–
y
y
y→
= × ×
0
1
1 3
e
Limitenotável
� �� ��
11 3 – =
lim –
– lim
–
–
x
x
y
y
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→=
2
2
0
0
0
1
2
e e 111
y
Limitenotável
� �� �� =
lim –
lim –
x x x x
x x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→= ×
0
0
0
0
5
15
1e e== ×
= × =
→
lim–
51
1
51
15
0x
x
x
e
lim –
– lim
( x
x
x
x x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→=
×4
4
0
0
44
e e e ey
y
x y
–
– )
– lim
– 44
0
1
4
1= ×
→e
e
Limitenottável
� �� ��
= × =e e4 41
lim x
x
x→ +∞= +∞
e4
Limitenotável
��� ��
limln
limln
x x
x
x
x
x x→ +∞ → +∞= ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
4 3
1llim
ln lim
x x
x
x→ +∞ → +×
Limite notável
��� �� ∞∞
= × =
1
0 0 0
3x
lim ( ) lim
x x
xx→ +∞ → +∞
=+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+∞=h
2
11
2 0
lim ( ) lim –
– – –x xx
x x
x→ ∞ → ∞
±
=+
=h2 6 20
25
2
2
∞∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞
→ ∞
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
lim–
lim
–
–
x
x
x
x
2 2
2
–– –2 2( ) =
lim ( ) lim
x x
xx→ →+ +
=+
=+
=0 0
2
11
2
0 11
2h
1112 6 20
250 0
2
lim ( ) lim –
– – –x xx
x x
x→ →=
+h
22
20
25
4
5 – –= =
lim ( ). x
x→ 0
hlim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →+
≠0 0
h h
lim ( ) lim –
– – –x xx
x x
x→ →=
+=
5 5
2
2
2 6 20
25h
00
0
5
2 5 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→=
+ ×lim
( ) ( – )
( – –x
x x
x)) ( )
lim ( – )
–
(– –
52 2
5
25
+
= =×
→
x
x
xx
55 2
5 514
40
7
5
– )
– (– )
–
–= =
lim ( ) lim –
– –
–
x x
x
xx
→ ∞ → ∞
∞
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =f
e
e
e
1 1 –
–
–e ∞= =
0
1 00
lim ( ) lim –
x x
x
xx
→ +∞ → +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =fe
e1
11
1
1
1
lim –
lim – lim
x
x
x
x x x
→ +∞
→ +∞ → +
=
e
e
e ∞∞
=
+∞
= =
–
–
–
1
1
11
1
0 11
lim ( ) lim –
x x
x
xx
→ →= =
0 0 1
1
0f
e
e
lim –
–
– –x
x
x→ ++= = = = ∞
0 1
1
1 1
1
0
e
e
lim –
–
––x
x
x→ += = = = +∞
0 1
1
1 1
1
0
e
e
lim ( ). x
x→ 0
flim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →+
≠0 0
f f
lim ( ) lim ( ) , –x x
x x→ →
= =+2 2
2 3a ae
lim ( ). x
x→ 2
a
lim ( ) lim ( ) – , –x x
x x→ →
= = ∞+2 2
0b be
lim ( ). x
x→ 2
b
lim ( ) – lim ( ) – , –x x
x x→ →
= =+2 2
3 3d de
lim ( ) lim ( ) ( ). x x
x x→ →
=2 2
2d d de
105Tema II | Matemática 12
34.
a) •
•
Como conclui-se que a função f é con-
tínua em x = 4.
b) •
•
• g(2) = 3
Existe lo-
go a função g não é contínua em x = 2.
c) •
•
• h(–1) = 5 – ln 1 = 5
Não existe logo
a função h não é contínua em x = –1.
No entanto, logo a função h é con-
tínua à esquerda em x = –1.
d) •
• i(4) = 2
Existe mas logo
a função i não é contínua em x = 4.
35.
a)
Após 5 segundos da abertura do paraquedas, o para-
quedista encontrava-se a 555 metros de altitude.
b) 1 minuto e 30 segundos corresponde a t = 90 e
1 minuto e 31 segundos corresponde a t = 91.
• h é uma função contínua em [90, 91], visto tratar-
-se da soma de funções contínuas (t 585 – 6t e
t 15e–1,6t) em �, logo contínuas em [90, 91].
• h(90) = 45 > 40 e h(91) = 39 < 40
Pelo Teorema de Bolzano Et ∈ ]90, 91[: h(t) = 40.
36. Df = {x ∈ �: x2 – 4 ≠ 0} = �\{–2, 2}• Assíntotas verticais:
Cálculo dos limites laterais em x = 2:
Logo, a reta de equação x = 2 é uma assíntotavertical do gráfico de f.
Cálculo dos limites laterais em x = –2:
Logo, a reta de equação x = –2 é uma assíntotavertical do gráfico de f.O gráfico de f não possui qualquer outra assín-tota já que a função f é contínua em todos ospontos do seu domínio (�\{–2, 2}).
• Assíntotas horizontais:
Logo, a reta de equação y = 2 é assíntota hori-zontal do gráfico de f para x → +∞.
A reta de equação y = 2 é também assíntota hori-zontal do gráfico de f para x → –∞.
37.a)
Df = �\{–4}b) Por exemplo, para x → +∞:
lim ( ) x
x→
=4
4
4f
e
fe
( ) 4 =4
4lim ( ) ( ),
xx
→=
44f f
lim ( ) lim ( – ) – –x x
x x x→ →
= + =2 2
2 2 4g
lim ( ) lim –
– x xx
x
x→ →+ +=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
2 2
2
0
04
2g
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
→
+
+
=
lim ( – ) ( )
–
lim
x
x
x x
x2
2 2
2 ( )
22 4
++ =x
lim ( ) lim ( ) , lim x x x
x x→ → →
=2 2
4g ge mas22
2 ( ) ( ),g gx ≠
lim ( ) lim ( ) – – –– –x x
x x→ →
= =1 1
5h 5 – ln (– ) ln 1 5=
lim ( ) lim ( )
(– ) – –x x
x x x→ →+ +
= + +
=1 1
2 2 7
1
h
22 2 1 7 6+ × + = (– )
lim ( ), lim ( ) lim – – ––x x x
x x→ → →
≠1 1 1
h hpois++h( ), x
lim ( ) (– ), – –x
x→
=1
1h h
lim ( ) lim –
– x xx
x
x→ →
⎛
⎝
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
4 4
0
04
2i
⎜⎜⎞
⎠⎟
→
+( )( ) +( )
lim ( – )
– x
x x
x x4
4 2
2 2
lim ( – )
–
lim
=+( )
( )=
→ →x x
x x
x4 2
24
4 2
2
( – )
–
lim
x x
x
xx
4 2
4
2 44
+( )
= +( ) =→
+ = + =2 2 2 4
lim ( ) lim ( ) , x x
x x→ →
=4 4
4i ie lim ( ) ( ), x
x→
≠4
4i i
h e( ) – – , 5 585 15 6 5 5551 6 5= + × ≈×
lim ( ) lim –
– x xx
x
x→ →=
2 2
2
2
2 1
4f
lim ( ) x
x→ ++
= = +∞2
7
0f
lim ( ) – ––x
x→
= = ∞2
7
0f
lim ( ) lim –
– – –x xx
x
x→ →=
2 2
2
2
2 1
4f
lim ( ) – – –x
x→ +
= = ∞2
7
0f
lim ( ) – –x
x→ +
= = +∞2
7
0f
lim ( ) lim–
– lim
x x xx
x
x→ +∞ → +∞ → +∞= =f
2 1
4
2
2
222 2
2
2
x
x x lim
= =
→ +∞
lim ( ) lim–
– lim
– – –x x xx
x
x→ ∞ → ∞ → ∞= =f
2 1
4
2
2
222
2
2
x
x =
f( ) – –
–
x
x x
xx
x=
+
+= + +
+
2 2 9
42
1
4
lim ( ( ) – (– ))
lim –
x
x
x x
x
→ +∞
→ +∞
+
= + +
f 2
2
– (– )
lim
1
42
1
4
xx
xx
++
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=+
⎛
⎝→ +∞⎜⎜
⎞
⎠⎟ =
+∞=
10
Matemática 12 | Guia do Professor106
Cálculo auxiliar:
–x2 – 2x + 9+x2 + 4x
2x + 9–2x – 8
1
x + 4–x + 2
107Tema II | Matemática 12
Por definição, a reta de equação y = –x + 2 é assín-tota não vertical do gráfico de f se:
ou
Fica assim provado que y = –x + 2 é assíntota nãovertical do gráfico de f.
38. Por exemplo:
39.
a)
b)
Cálculo dos limites laterais em x = 3:
Logo, não existe
c)
Como não existe
d)
e)
f)
g)
lim ( ( ) – (– )) x
x x→ +∞
+ =f 2 0 lim ( ( ) – (– )) –x
x x→ ∞
+ =f 2 0
O
y
x
y = xf
-1 1
2
lim – –
– li
x
x x x
x x→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+=
3 2
3
3 9 27
9mm lim x x
x
x→ +∞ → +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
3
31 1
lim –
– lim
x x
x x x
x x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
+=
3
3 2
3
0
0
3
3 9
9
(( – )
( – )
x x
x x
2
2
3 9
9
+
lim –
–
–
x
x x
x→ + ++
+= = = +
3
2
2
3 9
9
9
9 9
9
0∞∞
e lim –
–
–
– ––x
x x
x→
+= = =
3
2
2
3 9
9
9
9 9
9
0 –∞
lim –
– .
x
x x x
x x→
+3
3 2
3
3 9
9
lim –
– x
x
x→ 1
1
1
lim –
– lim
–
–
x x
x
x
x
x→ →+ += =
1 1
1
1
1
1llim
lim –
– lim
–
x
x x
x
x
→
→ →
+=
=
1
1
1 1
1
1 11 1
1
1
1
1– –
– lim
–( – )
– lim
–x
x
x
xx
+= =
→ xx→=
–(– ) –
11 1
lim –
– lim
–
– ,
–x x
x
x
x
x→ →+≠
1 1
1
1
1
1
lim –
– .
x
x
x→ 1
1
1
lim –
– lim
– x x
x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→=
16
0
0
16
4
16
4(( ) +( )+( )
=( )
→
( – )
lim –
x
x x
xx
4
16 4
16
2
( – )
lim –
( –
4
16 416
1
2
16
x x
x
xx
+( )=
→ 66 41
41
16 4
1
8
16
)
lim
x
xx
+( )=
+
=+
=
→
lim
lim
–
( – )
–
x
x
x x
x
→ ∞
+∞ ∞
→ ∞
+ +( ) =
=+
2
2
3
33 3
3
2
2
2
–
–
lim
–
+( ) +( )+
=+
→ ∞
x x x
x x
xx
33
33
22
2
2 2
2
( )+
=+
+→ ∞
–
–
lim –
–
x
x xx x
xx 33
3
33
2 – lim
–
– (– )
–x x xx=
+
=+∞ ∞
=
→ ∞
330
+∞=
lim –
– lim
–
( x x
x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→=
2 4
0
0
2
2
16
2
xx
x
x xx
2 2 2
2 2 2
42
4 4
) –
lim –
( – ) ( )
li
=
+
=
→
mm –
( – ) ( ) ( )
lim
x
x
x
x x x→
→
+ +
=
2 2
2
2 2 4
22 2
1
2 4
1
4 8
1
32 ( ) ( )
x x+ +
=×
=
lim ( – ) : –
xx x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
32
0
0
3 21
2
⎠⎠⎟
→= × + ×lim ( – ) ( – )
– xx x x
x
x1
2
21 2
2
1
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=+
→
lim ( – ) ( – )
( – x
x x x x
x1
21 2 2
) ( )
lim ( – )
1 1
2 2
11
2
x
x x x
xx
+
=+
+=
→
0 2
20
×=
|x – 1| =efg
x – 1 se x – 1 ≥ 0–x + 1 se x – 1 < 0
=efg
x – 1 se x ≥ 1–x + 1 se x < 1
Cálculo auxiliar:
Cálculo auxiliar:
1 0 –3 2
1 1 1 –2
1 1 –2 0 = r
h)
i)
40.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
lim – –
– lim
– x x
x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→=
4
0
0
4
5 1
4
5 –– –
( – ) –
lim
1 5 1
4 5 1
( ) × +( )+( )
=→
x
x x
x
– –
( – ) –
lim
4
22
4
5 1
4 5 1
x
x x
x
( )+( )
=→
55 1
4 5 1
4
– –
( – ) –
lim–( –
x
x x
xx
+( )=
→
44
4 5 1
1
5 14
)
( – ) – lim
–
–
l
x x xx+( )=
+
=
→
iim–
–
x→ +=
4
1
1 1
1
2
lim
lim
( ( ))
x xxx
→ +∞
× ±∞
+× +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
312
0
→→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
+
+=
=
+
lim
x
x
xx
x
2
2
1
3
11
22
2
2
3
11
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+=
× +
+
=
→ +∞x
xx
xx lim
llim| |
lim
lim
x x
x
x
x x→ +∞ → +∞
→ +
+× +
=
31
12
∞∞
→ +∞
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × +
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
x
x
x
xx
lim
31 0
11 1 1 lim
= =→ +∞x
lim –
lim ( – )
x
x
x
x
x x→ →=
=
0 0
3 3
2
3 1
23
2
e e
××
= ×
→ lim
–
x
x
x0
1
3
2
e
Limite notável
� �� ��
13
2=
lim –
lim ( – )
x
x
x
x
x x→
+
→=
=
0
4 4
0
4
3
1
3
e e e e
lim –
e e4
03
1×
=
→x
x
xLimite
notável
� �� ��
ee e4 4
31
3 × =
lim –
lim –
x
x
x
x
x x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→= ×
0 3
0
0
0
1 1e e 11
1
2
0
x
xx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=→
lim –
e
Limite notável
� ��� �� lim
× = × = +∞
→ +x x0 2
11
1
0
lim –
lim –
x
x
x
x
x x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→= ×
0 2
0
0
0
1 1 1e e
xx xx
x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
→ lim
– 0
1e
Limitenotável
� �� �� lim
lim
×
= ×
→
→
x
x
x
x
0
0
1
11
�Não existe, pois e
As
lim
lim – .
–
x
x
x
x
→
→
+= +∞
= ∞0
0
1
1
ssim, não existe lim –
. x
x
x→ 0 2
1e
lim –
–
–
–
( – ) x
x
x→= =
2
2 4
2
21
1
1
1
1e
e
e
e
e (( )
–
e
ee
2
2
21
11
+= +
lim –
ln lim
– x y
yx
x y→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→=
1
2
2
0
0
0
1 1e
LLimite notável
� �� �� = 1
Mudança de variável:ln x2 = y § x2 = ey
Se x → 1, então y → 0.
lim ln ( )
lim ln
x x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
+=
0
0
0
0
1
3
1
3
( )
x
x
+= × =
1 1
31
Limite notável
� ��� ���
11
3
lim ln ( )
lim l
x x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
+=
×0
3
0
0
0
1 3 nn ( )
lim ln ( )
x
xx
xx
+
= ×+
→
1
31
0
Limite notável
��� �� = × =3 1 3
lim ln ( )
lim
– –x x
x
x→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
+
+=
2
0
0
2
3
2
lln ( )
lim
ln ( )
x
x
y
yy
+ +
+=
+→
2 1
2
10
Limmite notável
��� �� = 1
Mudança de variável:x + 2 = ySe x → –2, então y → 0.
limln
lim ln x
x
x
x
x x
x→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞= ×
e e
lim limln
(
x
x
x
xx
x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= × =→ +∞ → +∞
e++∞ ×
= +
→ +∞
)
limln
1
x
x
xLimite
notável
��� ��
∞∞ × = +∞ × +∞ = +∞+
( ) 1
0
Matemática 12 | Guia do Professor108
109Tema II | Matemática 12
41.
a)
b)
c)
•
•
Como não existe
42.a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
43.a) Justificar que a reta r interseta a curva c em pelo
menos um ponto, no intervalo [0, 1], é equivalentea provar que a equação f(x) = 5 tem pelo menos umasolução no intervalo [0, 1]:• f é contínua em [0, 1], por se tratar da soma de
duas funções contínuas em � e, portanto, contí-nuas em [0, 1].
• f(0) = 50 + 5 × 0 = 1f(1) = 51 + 5 × 1 = 10Ou seja, f(0) < 5 < f(1).
Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy pode concluir-seque existe pelo menos um número c ∈ ]0, 1[ tal quef(c) = 5, isto é, f(x) = 5 tem pelo menos uma soluçãono intervalo ]0, 1[.
b)
44.a) Para que f seja contínua em t = 60 terá que se verificar:
Para que exista
b) Pretende-se f(t) = 12, para t ≥ 60. Assim:
lim ( ) lim–
–
–
– –x xx
x→ ∞ → ∞= =
+∞=f
3
1
30
lim ( ) lim – –
x xx
x x x
x x→ +∞ → +∞=
+
+f
2 2
2
2 2
2 4 ––
lim lim
6
2
3
2
=
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞x x
x
x →→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = +∞
x
2
lim ( ) x
x→ 1
f
lim ( ) lim–
–
– –
– –x xx
x→ → += = = ∞
1 1
3
1
3
0f
lim ( ) lim – –
x xx
x x x
x→ →+ +=
+
+1 1
3 2
2
2 2
2 4f
xx –
6
0
0
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x x xxlim
( – ) (
1 31
2
=+ +
→ +
22
2 1 3
3 2
21
2
)
( – ) ( )
lim
(
x x
x x
xx
+
=+ +
→ + )
( )
+=
+ +
× += =
3
1 3 2
2 1 3
6
8
3
4
lim ( ). x
x→ 1
flim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →
≠+1 1
f f
lim ( – ) ( ) lim ( ) – lim x x x
x x→ → →
=0 0
f g f00
1 3 2 ( ) – –g x = =
lim ( ) ( ) lim ( ) lim – –x x x
x x→ → →
× = ×1 1
f g f –
( ) ( ) 1
5g x = +∞ × = +∞
lim ( ) lim ( )
lim –
–
x
x
x
xx
→
→
→
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
1g
f
g
–– ( )
1
50
f x=
+∞=
lim ( ) ( ) lim ( ) lim x x x
x x→ +∞ → +∞ → +∞
+ = +f g f gg( ) ( ) x = + +∞ = +∞0
lim ( ) lim ( )
lim –
–
x
x
x
xx
→ ∞
→ ∞
→
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
f
g
f
–( )
∞
=+∞
=g x
00
lim ( ) lim ( )
lim
x
x
x
xx
→
→
→
+
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
1
1f
g
f
11
1
01 0
+
= >
= ∞
g
ff
( )
( ), ( )
–
–xcom
lim ( ) lim ( ) x x
x x→ +∞ → +∞
+= = =f f 0 0
5
10
1
1O
y
1y
2y
x
B
0,53
A
AOA h
OABΔ[ ]
, ,=
×≈
×≈
2
1 0 53
20 3
lim ( ) ( ) t
f t f→
=60
60
lim ( ) : t
f t→ 60
lim ( ) lim ( )
lim (
–t t
t
f t f t→ →
→
+
+
=
+60 60
606§ AA t
t ) lim ( – , ( – )
–× = + ×
→2 20 80 20 05 60
60
–– ,
– , –
)
0 05
0 05 0 06 2 20 80 2
t
A§ + × = + ×× ,,
–
05 60
0 36 2 20 80 2
2
×
+ × = + ×
=
§
§
A
A 00 10 6
24
–
+
=§ A c.q.d.
6 24 2 12
2
0 05 60
0 05 60
– , ( – )
– , ( – )
+ × =t
t§ ==
=
–
– , ( –
– , ( – )
12 6
24
21
4
0 05
0 05 60§
§
t
t 6601
40 05 60 2
2) log
– , ( – ) –
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=§
§
t
t ––
60 40
100
=
=§ t
y x
y
x
1
2
5 5
5
= +
=
Cálculo auxiliar:
1 2 –1 –2
1 1 3 2
1 3 2 0 = r
x x x x x x3 2 22 2 1 3 2+ = + + – – ( – ) ( )
2 4 6 0 1 32x x x x+ = = = – –§ ›
O pudim atinge os doze graus após 100 minutos deter sido confecionado; como esteve 60 minutos aarrefecer na bancada da cozinha, precisa de estar40 minutos no frigorífico para atingir esta tempera-tura.
45.a)
•
•
Como tem-se que f é contínua em
x = 2.
b)
Como não existe e, por-
tanto, g não é contínua em x = 0.Como pode concluir-se que g é con-
tinua à direita em x = 0.
c) •
•
Como tem-se que h é contínua em
x = 2.
d)
Como não existe e, por-
tanto, a função i não é contínua em x = 0.Como conclui-se que i é contínua à
esquerda em x = 0.
46.a) • No intervalo ]–∞, 0[ a função f é contínua visto,
neste intervalo, estar definida pelo quociente deduas funções polinomiais, cuja função que seencontra no denominador não se anula no interva-lo considerado.
• No intervalo ]0, +∞[ a função f é contínua visto, nesteintervalo, estar definida pelo quociente de duas fun-ções contínuas: uma que é a diferença entre a com-posta de funções contínuas (x √ ∫x + 4) e a funçãoconstante (x 2) e outra que é uma função afim(x x) que não se anula no intervalo considerado.
• Em x = 0:
f( ) | – | – x x x= 2 2
lim ( ) lim (| – | – ) | x x
x x x→ →
= =2 2
2 2 2f –– | – –2 2 2 4× =
f( ) | – | – – –2 2 2 2 2 0 4 4= × = =
lim ( ) ( ), x
x→
=2
2f f
lim ( ) lim –
–
– –x x
x
xx x→ →
+∞
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
0 0
1g
e ∞∞( )
→
→=
lim –
– lim –
–
–
x
x
x
x
x
x
0
0
1
1
e
e
Limiteenotável
� �� �� –
lim ( ) lim (
=
=→ →+ +
1
0 0x xxg xx x
xx
– ( )
ln ( ))
lim ln (
10
0
1× + =
=
× ±∞( )
→ +
)
+=
11
xLimite
notável
� ��� ���
lim ( ) x
x→ 0
glim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →
≠+0 0
g g
lim ( ) ( ), x
x→ +
=0
0g g
lim ( ) lim – –
– x xx
x x
x→ →
⎛
⎝⎜
= =2 2
3
0
03 2
2h
⎞⎞
⎠⎟
→=
+( )( )
lim ( – – )
– x
x x x
x x2
3 3 2 2
2
lim ( – – )
–
+( )
=+( )
( )→
2
3 2 22
3
2x
x x x
x 22
2 2 1 2
2
2
2
( )
=+ + +( )
→lim
( – ) ( ) x
x x x x
xx
x x xx
–
lim ( )
(
2
2 1 2
4
2
2= + + +( )
= +
→
) 4 1 2 2 9 2 2 18 2+ +( ) = × =
h( ) 2 18 2=
lim ( ) ( ), x
x→
=2
2h h
lim ( ) lim –
– – –x x
x
xx
→ →=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
0 0 2
0
1
1i
e
e
00
0 2
1
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
lim –
–
li
–x
x
xx
xe
e
mm –
lim –x
x
xx→ →×
0 0
1e
Limite notável� �� ��
––
–
–
lim –
lim
x
x
x
x
xe e2
0
2
2
11
1
1
1
= ×
=
→
xx
x
x
x→
→
×
=×
=
+
–
–
lim
0
2
0
1
22
1
1 2
1
2e
i(( ) limlog
log
–
xxx
= = =∞
=→ ++0
1 1
0
10
lim ( ) x
x→ 0
ilim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →
≠+0 0
i i
lim ( ) ( ), –x
x→
=0
0i i
lim ( ) lim
– – –x xx
x x
x x x→ →
⎛
=+
+=
0 0
2
3 2
0
0
4 4f
⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
→
+
+
=
lim( )
( – )
lim
–x
x
x x
x x x0 2
0
1
4 4
––
–
–
lim
x
x x
x
+
+=
+
+=
1
4 4
0 1
0 0 4
1
42
→→ →
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +=
+=
=
( ) lim
–
lim
0 0
0
04 2f x
x
xx
xx
x x
x x→ +
+( ) + +( )+ +( )
=
–
l
0
4 2 4 2
4 2
iim –
lim
x x
x
x x
x→ →+ +
+( )+ +( )
=0
22
0
4 2
4 2
–
lim
+
+ +( )=
+ +( )→ +
4 4
4 2
4 20
x x
x
x xx lim
=
+ +
=+
=
→ +x x0
1
4 2
1
4 2
1
4
Matemática 12 | Guia do Professor110
Cálculo auxiliar:
1 0 –3 –2
2 2 4 2
1 2 1 0
x3 – 3x – 2 = (x – 2) (x2 + 2x + 1)
111Tema II | Matemática 12
f(0) = 4Existe mas logo f não é con-
tínua em x = 0.A função f é contínua em �\{0}.
b) Dg = �\{3}• No intervalo ]–∞, 2[ a função g é contínua visto,
neste intervalo, estar definida pelo quociente defunções contínuas: uma que é a diferença entre umafunção exponencial (x ex – 2) e uma função cons-tante (x 1) e outra que é uma função polinomialque não se anula no intervalo considerado.
• Em ]2, +∞[\{3} a função g é contínua visto, nesteconjunto, estar definida pelo quociente de funçõescontínuas: uma que é a composta de uma funçãologarítmica com uma função quadrática:(x ln (x2 – 4)) e outra que é uma função afim (x x – 3) que não se anula em ]2, +∞[\{3}.
• Em x = 2:
Como não existe e,
portanto, g não é contínua em x = 2.A função g é contínua em �\{2, 3}.
47.a) Df = {x ∈ �: x2 + x – 2 ≠ 0} = �\{–2, 1}
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 1 é assíntota vertical do grá-fico de f.
A reta de equação x = –2 é assíntota vertical do gráficode f. Não existem mais assíntotas verticais do gráficode f visto a função ser contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:
A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de f quando x → +∞ e quando x → –∞ (obser-ve-se que os cálculos para a determinação de m eb quando x → –∞ são idênticos).
b) Dg = �• Assíntotas verticais:O gráfico de g não tem assíntotas verticais visto tra-tar-se de uma função contínua em � (quociente defunções contínuas).• Assíntotas não verticais:
A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal dográfico de g quando x → +∞.
lim ( ) ( ), x
x→
≠0
0f flim ( ), x
x→ 0
f
lim ( ) lim–
– –
–
– –x x
x
xx x→ →
=+2 2
2
3 2
1
4 9g
e
66 641
8
0
80
0
2
x
xx
–
lim ( ) lim
+
= = =
=→ +
e
gxx
x
x→
+
+= =
∞= +∞
ln ( – )
–
ln
–
–
–
2
2 4
3
0
1 1
lim ( ) x
x→ 2
glim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →
≠+2 2
g g
Cálculo auxiliar:x2 + x – 2 = 0 § x = –2 › x = 1
lim ( ) lim
– lim
x xx
x
x x→ →+ +=
+
+=
1 1 2
4
2f
xx
x
x
x x→
+
+
+
+
= = +∞
( ) ( – )
lim
1
4
2 15
0
→→ → →=
+
+=
– – ( ) lim
– lim
1 1 2
4
2f x
x
x xx x 11
4
2 15
0
–
( ) ( – )
– –
x
x x
+
+
= = ∞
lim ( ) lim
( ) ( – – –x xx
x
x x→ →+ +=
+
+2 2
4
2f
)
(– ) –
lim ( ) lim – –
1
2
0 3
2
=×
= ∞
=
+
→ →x xxf
– ––
( ) ( – )
(– )
2
4
2 1
2
0 3
x
x x
+
+=
×= +∞
mf
lim( )
lim
–
= =
+
+
=
→ +∞ → +∞x x
x
x
x
x xx
4
22
llim
– lim
x x
x
x x x→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
+
+=
4
23 2
xx
x x
x
x
x
3 2
10
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
=
→ +∞
→ +∞
lim
lim ( (
b f )) – ) lim
– 0
4
22× =
+
+=
→ +∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
xx
x xx
⎠⎠⎟
→ +∞ → +∞= = =lim lim
x x
x
x x2
10
mg
e
e lim( )
lim
lim
= =
+
=→ +∞ → +∞ →x x
x
x
x
x
x x
2
++∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
+=
= +
2
2 1
lim
e
e
e
x
x
x x
x
x x
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+∞+
+∞= + =
=→ +∞
lim
2 10 0 0
bx
(( ( ) – ) lim
g
e
ex x
x
x
x0
2× =
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
→ +∞
±∞
±∞
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞ → +∞= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =lim lim
x x
x
x x
2
e
e
e
221
21 0 1 1
ex x lim
+
=+∞
+ = + =
→ +∞
mg e
e lim
( ) lim
lim
– –= =
+=
→ ∞ → ∞ →x x
x
x x
x
x x
2 –
–
lim lim
∞
→ ∞ →
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +
2 1
2
x x
x
x
x x x
e
e –– –
( )
lim
lim
∞ → ∞
× ±∞( )
= + =
=
1 20
2
0
x xx x
x
e
→→ ∞ → +∞ → +∞= =
–
–
lim
– – lim
e e ex
y
y
y
y
x y y2 2
Limmite notável
��� ��
– ( ) –= × +∞ = ∞2
Mudança de variável:–x = y § x = –ySe x → –∞, então y → +∞.
Como m ∉ �, o gráfico de g não tem assíntotas nãoverticais quando x → –∞.
c) Dh = �+
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de h. Não existem mais assíntotas verticais jáque a função é contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:
Como b ∉ �, conclui-se que não há assíntotas nãoverticais do gráfico de h quando x → +∞. Dado odomínio de h ser �+, não faz sentido averiguar aexistência de assíntota não vertical do gráfico quan-do x → –∞.
48.a) Falsa. Por exemplo, a função f definida por
é contínua no seu domínio, �\{2}, e o seu
gráfico admite uma assíntota vertical, a reta deequação x = 2.
b) Falsa. Por exemplo, a função f definida por:
tem domínio �, e o seu gráfico admite uma assíntotavertical, a reta de equação x = 0.
c) Falsa. Se a ∉ Df, então a reta de equação x = a podeser assíntota vertical do gráfico de f e não faz sen-tido falar em descontinuidade num ponto que nãopertence ao domínio.Por exemplo:
d) Falsa. Por exemplo:
Observa-se que a reta de equação x = a é assíntotavertical do gráfico de f e a ∈ Df.
e) Verdadeira. Por exemplo, o gráfico da função f defi-nida por f(x) = tg x tem uma infinidade de assíntotasverticais.
49. É na opção (B) que pode estar representada parte
do gráfico da função .
Se na opção (D) estivesse representado o gráfico da
função não se poderia observar que
mas sim pois
Se na opção (C) estivesse representado o gráfico da
função não se poderia observar
mas sim
Se na opção (A) estivesse representado o gráfico da
função não se poderia observar
mas sim
lim ( ) lim (ln ) ln
–
x x
xx x→ →+ +
= + =0 0
1h e 00 1+ +
= ∞ + = ∞
– –
e
e
mh e
lim( )
limln
–
= =+
=→ +∞ → +∞
±∞
x x
xx
x
x
x
1 ±±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞= lim
ln
x
x
xLimite notável
��� ��++ = +
+∞=
+∞=
=
→ +∞
∞
lim
l
– –
x
x
x
e e
b
1
00
0
iim ( ( ) – ) lim (ln
x xx x x
→ +∞ → +∞× = +h e0 1 ––
–
)
x
= +∞ + = +∞ + = +∞∞e 0
f( ) –
xx
=1
2
O
y
x2
f(x) =efg
1 se x ≤ 0ln x se > 0
O
y
x
1
O
y
xa
f
O
y
xa
1f
lim ( ) , –x
x→
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
0
10
f1f
lim ( ) , x
x→
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = +∞
0
1
f
lim ( ) lim ( ) . –x x
x x→ →
+
+= =
0 00f f
1f
lim ( ) . –x
x→ ∞ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = = +∞
1 1
0f
lim ( ) , –x
x→ ∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
10
f
lim ( ) , –x
x→
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = +∞
1
1
f1f
lim ( ) . –x
x→
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
+∞=
1
1 10
f
Matemática 12 | Guia do Professor112
50.
a)
f tem um único zero: x = 1b) • Assíntotas verticais:
A reta de equação x = –3 é assíntota vertical do grá-fico de f.Não existem mais assíntotas verticais do gráfico def visto a função f ser contínua no seu domínio.• Assíntotas horizontais:
A reta de equação y = e – 1 é assíntota horizontal dográfico de f quando x → +∞ e quando x → –∞.
51.
a)
b)
• Assíntotas verticais:A função I é contínua em �+
0, logo o seu gráfico nãoapresenta assíntotas verticais.
• Assíntotas não verticais:
A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de I.No contexto da situação descrita significa que,quando a profundidade aumenta indefinidamente,a intensidade da luz tende para zero.
52.a) Em
•
•
Existe e logo a função f é
contínua em
Em x = –2:•
• f(–2) = ln 2logo não existe e,
assim, f não é contínua em x = –2.Mas logo f é contínua à esquerda
em x = –2.b) Df = �
Em todos os pontos pertencentes a �\{–2} verifica--se que a função f é contínua, logo o seu gráfico nãoapresenta assíntotas verticais.Em x = –2, apesar da função f não ser contínua nes-te ponto, verifica-se que (ou –∞) e
(ou –∞), logo a reta de equação x = 2
também não é assíntota vertical do gráfico de f.
O gráfico de f não apresenta, assim, qualquer assín-tota vertical.
D
f
e
f= ∈ + ≠ =
=
{ : } \{– }
( )
x x
x
� �3 0 3
0
§xx
x
x
x
x
–
–
–
–
1
3
1
3
1 0
1
+
+
=
=§
§
e
11
31
1 0 3 0xx x
ln
–
+=
= + ≠§ ‹
§ xx x –= ≠1 3‹
lim ( ) lim – – –
–
x x
x
xx→ →
++ +
= ( ) =3 3
1
3 1f e ee
e
f
–
–
–
–
– – –
lim ( )–
4
0
3
1
1 0 1 1
+
= = =∞
→xx lim – –
–
–
–
–
–= ( ) =
=→
+
+
x
x
x
3
1
3
4
01 1e e
e ∞∞ = +∞ = +∞– – 1 1
lim ( ) lim – lim
–
x x
x
xx→ +∞ → +∞
+= ( ) =f e1
3 1xx
x
x
x
→ +∞
+
±∞
±∞
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
→ +∞=
–
lim
–
e
e
1
3 1
xx
x
x
xx
–
lim li
– –
1
3 1 1+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =→ +∞e emm
–
–
– –
lim ( ) lim
x
xx
→ +∞
= =
=→ ∞
1
1
1
1 1e e
fxx
x
x
x
x
x
→ ∞
+
→ ∞
+( ) = –
–
–
–
– lime e1
3
1
31±±∞
±∞
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
→ ∞= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
–
lim
–
–
1
1
3e x
x
x –– – –
–
lim lim – –1 1 1
1
1
= =
=
→ ∞ → ∞e e
e
x x
x
x
11 1 – = e
I I I a e a
ae b
( ) ( ), ( )
–
201
20 0 0
20
= = × =sendo
==
= >
( , )
–
a
e ab
21
2020§
§
pelo enunciado
–– ln
ln
– ,
201
21
220
0 0
b
b
b
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈
§
33
I e DI
( ) , – ,x xx= ≥ =10 00 05
0�++
mI e
lim( )
lim
– ,
= = =×
→ +∞ → +∞x x
xx
x x
10 100 05
lim ( ( ) – )
–
e
b I
∞
→ +∞
+∞=
+∞=
= ×
00
0x
x x == = × =→ +∞
∞lim ( )
– , –
x
x10 10 00 05e e
x – :=1
2
lim ( ) lim – – –
– –
x x
x x→ →
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
2
1
2
3
2
1f
22
3
21
1
2
1
2
2
lim ( ) lim – –
+ =
=→ →
+
+ +
x x
xxf e 112
1
21
0 1( ) = = =× +
–
e e
f e e– – 1
211 1 0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = = =+
lim ( ) – , –x
x→
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
1
2f flim ( )
–x
x→
1
2
f
x – .=1
2
lim ( ) lim ln(– ) ln (–(– )) – –– –x x
x x→ →
= =2 2
2f ln
lim ( ) lim – –
=
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠→ →+ +
2
3
22 2x xx xf ⎟⎟ = + = – –2
3
2
1
2
lim ( ) –x
x→ 2
flim ( ) lim ( ), – ––x x
x x→ →
≠+2 2
f f
lim ( ) (– ), – –x
x→
=2
2f f
lim ( ) – –x
x→
≠ +∞2
f
lim ( ) –x
x→ +
≠ +∞2
f
113Tema II | Matemática 12
c)
O gráfico de f não apresenta quaisquer assíntotashorizontais.
53.
a)
Assim:
b)
b1)
b2)
b3)
•
Como não existe
54.a)
b)
c)
lim ( ) lim ln (– ) ln ( ) – –x x
x x→ ∞ → ∞
= = +∞ = +f ∞∞
= = = +∞→ +∞ → +∞
+ +∞lim ( ) lim
x x
xxf e e2 1
lim lim
lim
–
xn
n n
n
n n=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
11
1⎛⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
–
lim
1
11
nLimite
notável
� ��� ��
n
e⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
–
–
1
1
lim ( ) lim ( ) lim–
( – –f f
ne e
x xx
xx x= =
→ →1 1
3 1
–– )
( ) –
( – )
–
( – )
–
–
–
–
1
1
1
1
1
2
1 3
1 2
3
1= =
e
e
e
e 22
lim ( ) lim–
( – ) – –x xx
x
x→ ∞ → ∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
= =f3
2
1
1
⎞⎞
⎠⎟
→ ∞ → ∞= = ∞lim lim ( ) –
– –x x
x
xx
3
2
lim ( ) lim –
– x xx
x
x→ +∞ → +∞
±∞
±∞
⎛
⎝
=+
=f3 2
1
⎜⎜⎞
⎠⎟
→ +∞=
+( ) + +( )lim
–
( – x
x x
x
3 2 3 2
1))
lim –
( – )
x
x
x xx
+ +( )
=+( )
→ +∞
3 2
3 2
1
22
++ +( )=
+
+ +→ +∞
lim –
( – )
3 2
3 4
1 3x
x
x x 22
1
1 3 2
( )=
+ +( )=
→ +∞
→
lim–
( – )
lim
x
x
x
x x
++∞ + +=
+∞=
1
3 2
10
x
lim ( ) lim–
( – ) – –x xx
x
x→ →
⎛
⎝⎜
⎞
= =1 1
3
2
0
01
1f
⎠⎠⎟
→
+ +
=
lim( – ) ( )
( – )
lim
–x
x
x x x
x1
2
2
1 1
1
→→
+ += = ∞
––
– –
1
2 1
1
3
0
x x
x
lim ( ) lim –
– x xx
x
x→ →
⎛
⎝⎜
+ +=
+=
1 1
0
03 2
1f
⎞⎞
⎠⎟
→=
+( ) + +( )+
lim –
( – ) x
x x
x1
3 2 3 2
1
lim –
( – )
x
x
x xx
+ +( )
=+( )
→ +
3 2
3 2
11
22
lim –
( – )
+ +( )
=+
+→ +
3 2
3 4
1 31x
x
x x ++( )
=+ +
=+
=→ +
lim
2
1
3 2
1
4 2
1
41x x
lim ( ). x
x→ 1
flim ( ) lim ( ), –x x
x x→ →
≠+1 1
f f
lim ( – ln ) lim – ln
–
x
x
x
xx→ +∞
+∞ ∞( )
→ +∞=e e 1
lim lim
xx
x
x
x
e
e
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= ×→ +∞ → +∞
1 –– ln
– limln
x
x
x
x
x
x
e
e
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +∞ × ×→ +∞
1xx
x
x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= +∞ ×⎛
⎝⎜⎜ → +∞
– limln
1
⎞⎞
⎠⎟⎟ ×
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
→ +∞
lim
1
x
x
x
e
= +∞ × ( – 1 0 ) × = +∞ × = +∞0 1
lim ( ln ) lim
( )
–x y
yx x y→
× ±∞( )
→ ∞+× = ×
0
0
e(( ) = ×( )× ±∞( )
→ +∞
0 ( )
lim (– )
z
–z ze
Cálculo auxiliar:• Mudança de variável: ln x = y § x = ey
Se x → 0+, então y → –∞.• Mudança de variável: –y = z § y = –z
Se y → –∞, então z → +∞.
=→ +∞ lim
z
–– –
lim
–
z
z
z
z
ze e= =
→ +∞
1 1
Limitenotável
��� ��
++∞= 0
lim–
– ln lim
– ln
(ln
x
x
yx→ →
+=
3
2
0
2 39
3
e e ) + +y
y
9
Cálculo auxiliar:• Mudança de variável:
x – ln 3 = y § x = ln 3 + ySe x → ln 3, então y → 0.
Matemática 12 | Guia do Professor114
Cálculo auxiliar:
1 0 0 –1
1 1 1 1
1 1 1 0 = r
Limitenotável
���
Limitenotável
���
x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1)
115Tema II | Matemática 12
55. Seja g a função definida por g(x) = f(x) – x.• g é contínua em [a, b] visto tratar-se da diferen-
ça entre duas funções contínuas em [a, b] (a fun-ção f e a função identidade);
• g(a) = f(a) – a < 0, pois como f(a) < a vem que f(a) – a < 0.
• g(b) = f(b) – b > 0, pois como f(b) > b vem que f(b) – b > 0.
Ou seja, g(a) × g(b) < 0.Assim, pelo corolário do Teorema de Bolzano--Cauchy tem-se que:
56. Seja h a função definida por h(x) = f(x) – g(x).• h é contínua em [a, b], visto tratar-se da diferen-
ça de funções contínuas em [a, b].• h(a) = f(a) – g(a) = g(b) – g(a) (pois f(a) = g(b))• h(b) = f(b) – g(b) = g(a) – g(b) (pois f(b) = g(a))Como g(a) ≠ g(b), pode concluir-se que g(b) – g(a)e g(a) – g(b) têm sinais contrários, o que significaque h(a) × h(b) < 0.Assim, pelo corolário do Teorema de Bolzano--Cauchy, conclui-se que:
57.a) Df = {x ∈ �: x – 3 > 0} = ]3, +∞[
• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 3 é assíntota vertical do grá-fico de f.Não existem mais assíntotas verticais, pois a funçãof é contínua no seu domínio.
• Assíntotas não verticais:
Como b ∉ �, não existem assíntotas não verticaisdo gráfico de f quando x → +∞.Dado o domínio de f, ]3, +∞[, não faz sentido averi-guar a existência de assíntotas não verticais do grá-fico de f quando x → –∞.
b) Dg = �• Assíntotas verticais:
Não há assíntotas verticais do gráfico de g visto afunção g ser contínua de domínio � (produto defunções contínuas).
• Assíntotas não verticais:
Como m ∉ �, não existem assíntotas não verticaisdo gráfico de g quando x → +∞.
Considerando a mudança de variável:–x = y § x = –ySe x → –∞, então y → +∞.
A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de g, quando x → –∞.
c) Dh = �• Assíntotas verticais:
Não há assíntotas verticais do gráfico de h visto afunção h ser contínua em � (soma de funções con-
tínuas:
ln
lim
– lim
→
+
→=
+=
y
y
yy
90
2 3 2e00
3 2
0
9 2
2
9
9
–
lim–
ln
ln
e
e e
+
→
+
=× +
y
y
y
y
y==
+
= =
→
→
lim–
lim– ( – )
–
y
y
y
y
y
y
0
2
0
2
9 9
9 19
e
e×× ×
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= ×
→ lim
–
– lim
y
y
y
y0
2
2
1
22
18
e
→→= × =
– –
0
2 1
218 1
e y
y
Limite notável
� �� �� –18
∃ ∈ =
∃ ∈
c a b g c
c a b f c
] , [: ( )
] , [: ( ) –
0
§ cc
c a b f c c
] , [: ( )
=
∃ ∈ =
0
§ c.q.d.
∃ ∈ =
∃ ∈
c a b h c
c a b f c
] , [: ( )
] , [: ( ) –
0
§ gg c
c a b f c g c
( )
] , [: ( ) ( )
=
∃ ∈ =
0
§ c.q.d.
lim ( ) lim –
x x
xx
x→ → ++ += = = +∞
3 3 3
3
0f
mf
lim( )
lim – lim
= = =→ +∞ → +∞ → +∞x x x
x
x
x
xx
3 xx
x x
xx
x
–
lim –
lim
31
3
10= =
+∞=
=
→ +∞
→ +b
∞∞ → +∞
±
× =⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =( ( ) – ) lim
–
f x x
x
xx0
3
∞∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞ → +∞= =lim
– lim
– x x
x
x
x
x
x3
1
3
xx x x
x
2 2
1
1 3
1
0
1
0
lim
–
=
= = = +∞
→ +∞
+ +
mg e
e lim( )
lim lim
= = =→ +∞ → +∞ → +∞x x
x
x
xx
x
x
x== +∞
mg e
e lim( )
lim lim – – –
= = =→ ∞ → ∞ → ∞x x
x
x
xx
x
x
x== 0
b g e lim ( ( ) – ) lim ( ) – –
= × = ×→ ∞ → ∞x x
xx x x0 ==
= = =
∞ ×( )
→ ∞ → +∞
– – lim lim
– – lim
0
x x y
x y
e ey yy y
y→ +∞
=
e
0
x xx x
–
e
ee
2 2
• Assíntotas não verticais:
Como m ∉ �, não existem assíntotas não verticaisdo gráfico de h quando x → +∞.
Como m ∉ �, também não existem assíntotas nãoverticais do gráfico de h quando x → –∞.
58.a) • Assíntotas verticais:
Considerando a mudança de variável: 2x = ySe x → 0–, então y → 0–.
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico da função f.Não existem mais assíntotas verticais visto a funçãoser contínua no seu domínio, �\{0}.• Assíntotas não verticais:
Como b ∉ �, não existem assíntotas não verticaisdo gráfico de f quando x → +∞.
A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal dográfico de f quando x → –∞.
b) Seja g a função definida por g(x) = f(x) + x.• A função g é contínua em [–2, –1] visto ser a so -
ma de funções contínuas: f no intervalo [–2, –1]encontra-se definida pelo quociente de funções
contínuas e x x é a função
identidade e, portanto, também contínua.
•
Isto é, g(–2) × g(–1) < 0.Pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy con-clui-se que:
c)
Assim, x ≈ –1,6.
mh e e
lim( )
lim
–
= =+
=→ +∞ → +∞
±∞
±∞
⎛
⎝
x x
x xx
x x2
⎜⎜⎞
⎠⎟
→ +∞ → +∞
→
+
= ×
lim lim
lim
–
x
x
x
x
x
x x
e e
2 21
2 ( )
+∞+
+∞= × +∞
ex
xLimite
notável
��� ��
0 1
2 + = +∞0
mh e e
lim( )
lim
– –
–
= =+
=→ ∞ → ∞
±∞
±∞
⎛
⎝
x x
x xx
x x2
⎜⎜⎞
⎠⎟
→ ∞ → ∞
∞
= + =∞
+lim lim –
– –
– –
x
x
x
x
x x
e e e
2 2
11
2
0 1
2
lim–
–
– lim
y
y
y
y
y
y
→ +∞
→ +∞=
∞
e
e
Limite nnotável
��� �� – ( ) –= × +∞ = ∞0
1
2
lim ( ) lim–
– –x x
x
xx
x→ →
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=+
=0 0
2
0
01f
ellim
–
lim–
–
–
x
x
x
x
x
x
x→
→
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
0
2
0
2
1
1
2
e
e
xx x y
y
lim lim–
– –×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + = ×
→ →2 1 2
0 0
e 111
2 1 1 3
y
Limite notável
� �� ��
+
= × + =
lim ( ) lim ( – ln ) – x x
x x x→ →+ +
= =0 0
3 2 0 2f ln 0+ = +∞
Mudança de variável:–x = y § x = –ySe x → –∞, então y → +∞.
mf
lim( )
lim – ln
lim
= = =→ +∞ → +∞x x
x
x
x x
x
3 2xx
x x
x
x
x
x→ +∞
→ +∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
– ln
lim – lim
3 2
3 2→→ +∞
= × =
ln –
x
xLimite notável
��� ��3 2 0 3
lim ( ( ) – ) lim ( –
3 3 2b f= =→ +∞ → +∞x x
x x x lln – )
lim (– ln ) –
x x
xx
3
2= = ∞→ +∞
mf e
lim( )
lim–
– –
= =+
=→ ∞ → ∞
±∞
±
x x
xx
x
x
x
2
2
1 ∞∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞
→
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
lim–
lim
–x
x
x
x
x
x
e2
2 2
1
– –
– lim
– ∞ → ∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
e2
2
1 1 0x
xx x
110 0
0
+∞+ =
= × =→ ∞
lim ( ( ) – ) lim –
b fx x
x x→→ ∞
±∞
±∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ ∞
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=
–
–
–
lim
e2 1x
x
x
xee e2 1 1
1x
x xx
x
x
– lim
–
– lim
–
–
–+ =
∞+
→ ∞
∞
→ ∞
–
– =
∞+ = + =
11 0 1 1
xx
x
x
e2 1– +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
g fe
(– ) (– ) (– ) – –
– – –
–
2 2 21 2
22 0
4
= + = ≈ ,,
(– ) (– ) (– ) – –
– –
–
509
1 1 11 1
1
2
g fe
= + = 11 0 865≈ ,
∃ ∈ =
∃ ∈
c g c
c f c
]– , – [: ( )
]– , – [: (
2 1 0
2 1§ ))
]– , – [: ( ) –
+ =
∃ ∈ =
c
c f c c
0
2 1§ c.q.d.
yx
xx
y x
x
1
2
2
10=
+<
=
–
–
ese
y
y1
y2
x
1,6
-1-2-1,6
Matemática 12 | Guia do Professor116
59.
a)
Dg = {x ∈ �: x ≠ 0} = �\{0}b) Função f:
• Assíntotas verticais:
As retas de equação x = –2 e x = 1 são assíntotasverticais do gráfico de f.Não existem mais assíntotas verticais visto a funçãoser contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:Como o domínio da função é limitado, ]–2, 1[, nãoexistem assíntotas não verticais do seu gráfico.Função g:• Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de g.Não há mais assíntotas verticais visto a função sercontínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:
A reta de equação y = –3 é assíntota horizontal dográfico de g, quando x → +∞, e como se verifica queos cálculos são idênticos, quando x → –∞, tem-seque a reta de equação y = –3 também é assíntotahorizontal do gráfico de g quando x → –∞.
c) h é uma função contínua em visto tratar-se
da soma de duas funções contínuas neste intervalo(função f e função g).
•
Ou seja,
Pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy
pode concluir-se que
60. Sendo f uma função de domínio �+ e a reta de equa-ção y = x – 4 uma assíntota do seu gráfico, então:
Como conclui-se assim que a reta de
equação y = 1 é assíntota horizontal do gráfico de g.
Unidade 6 – Derivadas
Página 134
87.
a)
b)
c)
Df :
–
]– , [= ∈
+>
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
=xx
x�
1
20 2 1
lim ( ) lim log –
– –x xx
x
x→ →+ +=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 2
1
2f log
lim ( ) lim –
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = +∞
=
+
→ →
3
0
1x xxf
11
1
2
0
3– log
–
log –
x
x+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+
∞∞
lim ( ) lim – –
–
– –x x
xx→ →
∞= ( ) = =0 0
1
4 4g e e – –
lim ( ) lim –
0 4 4
40 0
1
=
= (→ →+ +x x
xxg e )) = = +∞ = +∞+∞ – – e 4 4
mg e e
lim ( )
lim–
–
= = =
+→ +∞ → +∞x x
xx
x x
104 4
∞∞=
+∞=
= × =→ +∞
–
lim ( ( ) – ) li
30
0b gx
x x mm – – – x
x
→ +∞
( ) = =e e1
04 4 3
1
2
3
4,
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
h f g
h
1
2
1
2
1
22 690
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≈ ,
44
3
4
3
41 248
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≈ – ,f g
h h1
2
3
40
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ < .
∃ ∈⎤
⎦⎥⎥
⎡
⎣⎢⎢
=c h c , : ( ) .1
2
3
40
lim( )
lim ( ( ) – ) – x x
x
xx x
→ +∞ → +∞= =
ff1 4e
lim ( ) lim
( )
x xx
x
x→ +∞ → +∞=
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =g
f
2llim
( )
( )
lim(
x
x
x
x x
x
→ +∞
→ +∞
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
f f
f
2
xx x x
x
x
x
) lim
( )
lim( )
lim
+ = +→ +∞
→ +∞
2 1 2
f fxx
x→ +∞
= ++∞
= + =
( )
f
1
1
21 0 1
lim ( ) , x
x→ +∞
=g 1
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim l
00
0
3 00 0
2
=−
−=
− −=
→ →x x
x
x
x x
xiim
( )
lim( ) –
x
x
x x
xx
→
→
−
= − = − =
0
0
3
3 0 3 3
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
11
11 1
3
=−
−=
−→ →x x
x
x
x xx
x
x x
xx x
x
x
−
−=
−
−
=
→
→
lim
( )
lim(
0
1
1
11
2
1
x
xx x
x
− +
−= + =
→
) ( )
lim( ( ))
1 1
11 1
1×× = 2 2
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
2
2
22 2=
−
−=
+
→ →x x
x
x
x 11
33
21 3 3
2
xx
x xx
−− −
−
=+ + −
→
( )
lim ( )
(( ) ( ) lim
( x x
x x
xx− −=
+ + −
−→3 2
1 3 92 ) ( )
lim
( ) ( )
3 24 8
3 22
x
x
x xx
−
=−
− −=
→llim
( )
( ) ( )
lim
x
x
x
x x
x
→
→
−
− −
=−
2
2
4 2
3 24
–
3
4
2 34=
−=
x –∞ –2 1 +∞
1 – x + + + 0 –
2 + x – 0 + + +
1
2
–
x
x+– s.s. + 0 –
117Tema II | Matemática 12
Matemática 12 | Guia do Professor118
d)
e)
Considerando a mudança de variável: x – 4 = ySe x → 4, então y → 0.
f)
88.a) f’(–2) = 5
b)
89.
a) o que sig-
nifica que no período indicado a cotação das açõesdiminuiu, em média, 0,27 euros por dia.
b)
o que significa que aos 15 dias do mês de setembro,a cotação das ações estava a aumentar à taxa de0,375 euros por dia.
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
33
33
3
=−
−
=+
→
→
x
x
x
x
x 11 4
3
1 2
33
3
lim
lim(
−
−
=+ −
−
=
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x x
+ − × + +
− × + +
) ( )
( ) (
1 2 1 2
3 1 22
1 2
3 1 23
2 2
)
lim( )
( ) ( =
+ −
− × + +→x
x
x x ))
lim
( ) ( )
li
=
+ −
− × + +
=
→x
x
x x3
1 4
3 1 2
mm
( ) ( )
lim
x
x
x
x x
x
→
→
−
− × + +
=
3
3
3
3 1 21
x
+ +
=+
=→
lim
1 21
4 2
1
43
ff f e
'( ) lim( ) ( )
lim
4
4
44 4=
−
−=
−→ →x x
xx
x
lim( )
l
e
e e
e
4
4
4 4
4
41
4
x
xx
x
−
=−
−
= ×
→
−
iim
y
y
y→
−= × =
0
4 411
ee e
Limitenotável
� �� ��
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
ln
55
55 5=
−
−=
→ →x x
x
x
x −−
−=
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
−
=
→
ln
lim
ln
lim
5
5
5
55x
x
xx
y→→ →
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
ln
lim
ln
0 0
5
5 51
y
y
y
y
⎠⎠⎟⎟
=
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
×→y
y
yy lim
ln
0
51
55
lim( ) ( )
lim
( ) x x
x
x
x→ − → −
− −
−=
−2 2 2
2
4
f f f f(( )
( ) ( )
lim( ) ( )
−
− +
=− −
→ −
2
2 2
22
x x
x
xx
f f
++×
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=− −
→ −
lim( ) ( )
2
1
2
22
x
x
xx
f f
xx− −×
−
= ×
−
→ − ( ) lim
'( )
2
1
2
5
2
2
f� ��� ���
11
2 2
5
4− −= −
=→z
lim 00
1 1
51
ln
z
z
+( )× = ×
Limite notável� �� ��
1
5
1
5=
lim( ) ( )
lim(
h
h
h
f h f
f
→
→
− + − −
=− +
0
0
3
2 21
2 ) ( )
lim( ) (
h f
h
f h fh
− −
=
×− + −
→
2
31
1
3
20
−−
=
×
= =
′ −( )
2
1
1
35
1
5
3
3
5
2
)
hf
� ���� ����
t.m.v.2 20
20 2
20 2
5 9,
( ) ( )
,⎡⎣
⎤⎦
=−
−=
−C C 886
180 27 , ,= −
CC C
'( ) lim( ) ( )
lim
1515
1515
15
=−
−
=−
→
→
x
x
x
x00 005 0 225 3 15 3 75
15
3 2, , ,
li
x x x
x
+ − + −
−
= mm, , ,
x
x x x
x→
− + − +
−
=
15
3 20 005 0 225 3 11 25
15
lim( ) ( , , , )
x
x x x→
− − + −15
215 0 005 0 15 0 75
xxx x
x
−= − + − =
→
lim ( , , , )
150 005 0 15 0 75
15
2 ,0 375
Cálculos auxiliares:Considerando a mudança de variável x – 5 = y.Se x → 5, então y → 0.
Considerando a mudança de variável Se y → 0, então z → 0.
yz.
5 =
Cálculo auxiliar:
–0,005 0,225 –3 11,25
15 –0,075 2,25 –11,25
–0,005 0,15 –0,75 0 = r
–0,005x3 + 0,225x2 – 3x + 11,25= (x – 15) (–0,005x2 + 0,15x – 0,75)
90.
a)
b) Seja t a reta tangente definida por y = mx + b, onde
Como pertence à reta t, então:
c) Seja n a reta perpendicular à reta t no ponto
ou seja,.
Assim:
91.a) Seja m o declive da reta tangente ao gráfico de f no
ponto de abcissa 1:
Como m = 0, fica assim provado que a reta tangenteao gráfico de f no ponto de abcissa 1 é uma reta hori-zontal.
b)
92.
a)
Não existe reta tangente ao gráfico de f em x = 0.
b)
conclui-se que f não é derivável em x = 0.
93.
a)
•
Considerando a mudança de variável –x = y,
se x → 0+, então y → 0–.
•
Como , conclui-se que f não é derivávelem x = 0.
b)
ff f
'( ) lim ( ) ( )
lim
3
3
33 3=
−
−=
→ →x x
x
x
11
1
1
43
4 1
4 13
xx
x
xx
+−
−
=
− +
+→
lim
( )
( ) xx
x
x xx
x
−=
− +
+ −
=
→ lim
( ) ( )
lim
3
3
4 1 33
→→ →
− −
+ −=
−
( )
( ) ( ) lim
(3 3
3
4 1 3
1
4
x
x x x xx +
=−
× +=
)
( )
–
11
4 3 1
1
16
m f '( ) .= = −31
16
y x= − + 1
16b
T f( , ( )) , 3 3 31
4=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
4
1
163
1
4
3
16
7
16 = − × + = + =b b b
t
§ §
: y x= − +1
16
7
16
mn
= −
−
= .1
1
16
16T mmn
t
31
4
1, . ,
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = −Então,
1
416 3
1
448
191
4
= × + = − = −b b b
n
§ §
:: y x= −16191
4
m ff f
'( ) lim ( ) ( )
li
= =
−
−=
→1
1
11x
x
xmm
lim
x
x
x x
xx x
→
→
− + −
−
=−
1
3
1
3
3 3 1
13 ++
−=
− + −
−=
→
lim
( ) ( )
2
1
1 2
11
2
x
x x x
xx
llim x
x x→
+ −( ) = + − =1
2 22 1 1 2 0
y
x
1
f
O
ff f
'( ) lim ( ) ( )
lim
0
0
00 0
+
→ →=
−
−=
+ +x x
x
x
x223
0
23
0
2
33
1 1+ −
= = =→ →+ +
lim lim li
x
x
x
x
xx xmm
'( ) lim
x
x
x→ +
−
→
+
−
= = +∞ ∉
=
0
3
0
1 1
0
0
�
ff(( ) ( )
lim
lim
x
x
x
xx
x
−
−=
+ −
=
→ −
f 0
0
1 10
23
→→ → → −− − −= = =
lim lim
0
23
0
2
33
0
31 1
0
x
x
x
x xx x== ∞ ∉ – �
f f'( ) '( ),0 0+ −≠
f(x) =efg
e–x se x > 0x + 1 se x ≤ 0 f(0) = 0 + 1 = 1
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
0
0
00 0
+
→ →=
−
−=
+x x
x
x ++ −
−
−
→
→
−=
−
−
= −−
e e
e
x
y
y
y
y
x y
lim
lim
1 1
1
0
0 yy
Limite notável� �� ��
–= 1
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
0
0
00 0
−
→ →=
−
−=
− −x x
x
x
xx
x
x
xx
+ −= =
→ −
lim
1 11
0
f f'( ) '( )0 0+ −≠
g(x) =efgx x
x
xe
g
−
≠
=
12
0
se 0
se 0 (0) = 0
119Tema II | Matemática 12
Cálculo auxiliar:
1 0 –3 2
1 1 1 –2
1 1 –2 0 = r
x3 – 3x + 2 = (x – 1) (x2 + x – 2)
g é derivável em x = 0 e g’(0) = 0.
94.
a) •
•
f’(1+) = f’(1–) = 3, logo, f’(1) existe e é igual a 3.b) Se uma função é derivável num ponto, então é con-
tínua nesse ponto.Como se verificou na alínea anterior, a função f éderivável em x = 1, logo f é contínua em x = 1.
95.
• m é contínua em x = 3, pois existe
• m não admite derivada em x = 3, pois:m’(3+) ≠ m’(3–):
96.a)
A reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa0 é a reta vertical de equação x = 0.
b) Como Dg = �+0, então:
c) g é contínua em x = 0, pois existe
97.
a)
ou seja, g é derivável em x = 4, logo a função g é con-tínua em x = 4 e, portanto:• a afirmação (I) é verdadeira;• a afirmação (II) é falsa, já que se g é contínua em
x = 4, então
b) Seja t a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcis-sa 4. Uma equação reduzida de t é y = mx + b, onde m = g’(4) = 2, ou seja, y = 2x + b.Como o ponto de coordenadas (4, g(4)) = (4, –3) per-tence à reta t, vem que:–3 = 2 × 4 + b § b = –11t : y = 2x – 11
98. h(t) = 20t – t2
a) Pretende-se h’(0):
A velocidade inicial do projétil é de 20 m/s.
gg g
'( ) lim( ) ( )
lim
0
0
00 0=
−
−=
→ →x x
x
x
xeee
e e
−
→
−
−∞
−=
= = =+
–
lim
1
0
1
1
0
2
20
0
x
x
x
x
f(x) =efg
x3 + 5 se x ≥ 13x + 3 se x < 1 f(1) = 13 + 5 = 6
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
1
1
11 1
3+
→ →=
−
−=
+ +x x
x
x
x ++ −
−
=−
−=
→ →+ +
lim
lim
(
5 6
11
11
3
1
xx
xx x
xx x x
xx x
x
− + +
−= + +
→ +
) ( )
lim (
1 1
11
2
1
2 )) = + + =1 1 1 32
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
1
1
1
31 1
−
→ →=
−
−=
− −x x
x
x
x
xx
xx x
+ −
−
=−
−=
→ →−
lim
lim
3 6
13 3
11 1−− −
−
−= =
→
3 1
13 3
1
( )
lim
x
x x
m(x) = |x – 3| =efg
x – 3 se x ≥ 3–x + 3 se x < 3
lim ( ) ( ): x
x→
=3
3m mlim ( )
xx
→ 3m e
lim ( ) lim | | | | x x
x x→ →
= − = − =3 3
3 3 3m 00 3 ( )= m
mm m
'( ) lim( ) ( )
lim
33
33
3
+
→
→
=−
−
=
+
+
x
x
x
xx −− −
−= =
=
→
−
→
+
−
lim
'( ) lim
3 0
31 1
3
3
3
x
x
xm
mm m( ) ( )
lim
li
x
xx
xx
−
−
=− + −
−=
→ −
3
33 0
33
mm ( ) x→ −
− = −3
1 1
y
x
4
g
O
t
g gg g
'( ) '( ) lim( ) ( )
l
0 0
0
00= =
−
−=+
→ +x
x
xiim
lim lim
x
x x
x
x
x
x
x
→
→ →
+
+ +
+ −
= =×
0
0 0
4 4
xx
x x
x
x x
x
x
x
lim
lim
=
= = = +∞
→
→ +
+
+
0
0
1 1
0
lim ( ) x
x→ 0
g e lim ( ) ( ):
xx
→=
00g g
lim ( ) lim ( ) ( ) x x
x x→ →
= + = =0 0
4 4 0g g
lim( )
lim
( ) ( x x
x
x
x→ →
+
−=
− −4 4
3
42
g g§
33
42
4
44
4
)
lim( ) ( )
'( )
xx
xx
−=
−
−→§
g g
g�� ��� ���
= 2
lim ( ) ( ) x
x→
= = −4
4 3g g
hh h
'( ) lim( ) ( )
lim
0
0
0
200 0
=−
−=
→ →x x
x
x
x −− −
=−
= −→ →
lim( )
lim (
x
xx x
xx x
2
0 0
0
2020 xx) = 20
Matemática 12 | Guia do Professor120
Cálculo auxiliar:
1 0 0 –1
1 1 1 1
1 1 1 0 = r
x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1)
b)
O projétil atinge o solo após 20 s de ter sido lançado.Assim, a velocidade do projétil no momento em quechega ao solo é dada por h’(20):
Conclui-se assim que o projétil atinge o solo a umavelocidade de 20 m/s.
c) Seja t0 ∈ Dh:
A expressão que dá a velocidade em cada instante té h(t) = 20 – 2t.
99.a) Seja f(x) = ax + b, com a, b ∈ � uma função afim e
x0 ∈ Df :
Conclui-se assim que a função derivada da função f definida por f(x) = ax + b é a função f’ definida porf’(x) = a, sendo f’ uma função constante.
b) Seja f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ � e a ≠ 0 umafunção quadrática e x0 ∈ Df :
Conclui-se assim que a função derivada da função fdefinida por f(x) = ax2 + bx + c é a função f’ definidapor f’(x) = 2ax + b, sendo f’ uma função afim.
100.
a)
b)
c)
101.
Conclui-se assim que as funções f’ e g’ são iguais,pelo que é na figura (II) que se encontra a repre-sentação gráfica da função g’.
102.
a)
h t t t t t
t
( ) ( )
= − = − =
=
0 20 0 20 02§ §
§ 0 20› t =
hh h
'( ) lim( ) ( )
lim
20
20
2020 20=
−
−=
→ →x x
x
x
220 0
2020
2
2
20
x x
xx x
xx
− −
−
=− − +
−→
lim( )
0020
20 lim ( )
= − = −
→xx
h th t h t
t tt t
t t
'( ) lim( ) ( )
lim
00
00
0
=−
−
=
→
→
220 20
20
2
0 0
2
0
0
t t t t
t t
tt t
( )
lim
− − −
−
=−
→
tt t t
t t
t t tt t
2
0 0
2
0
2
20
20 20
0
− +
−
=− + −
→
lim
00 0
2
0
0
0
0
0
+
−
=− −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
→
lim( ) (
t
t t
t tt t
tt t
t t
t tt t
)
lim ( )
+ −
−
= − + −→
20
20
0
0
00
== − + − = − t t t0 0 0
20 20 2
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
x
x x
x xx x x00
00
=−
−=
→ → xx
x x
x x
x x
x
0
0
0
0
a b a b
a b
+ − +
−
=+ −
→
( )
lim
lim
( )
lim
a b ax
x x
x x
x xx x
0
0
0
00
−
−=
−
−
=
→
xx x→=
0
a a
ff h f
ha
h
h
'( ) lim( ) ( )
lim(
xx x
x
0 0
0 0
0
=+ −
=
→
→
00
2
0 0
2
0+ + + + − + +
=
) ( ) ( )
lim
h b h c a b c
h
x x x
hh
a h h b bh c a→
+ + + + + −
( ) 0
0
2
0
2
0 02x x x x22
0
0
0
2
0
22
− −
=+ + + −
→
lim
b c
h
a a h ah bh
h
x
x x
lim( )
lim (
a
hh a ah b
ha
h
h
x
x
0
2
0
0
0
2
2
=+ +
=
→
→xx
x
x
0
0
0
2 0
2
+ +
= + +
= +
)
ah b
a b
a b
f
f
f
( )
( ) '
:
x x
x x
x
=
′ = =
′ →
1
� �1
g e
g e
g
( )
'( ) ( )'
':
x x
x x
= +
= + =
→
3
3 1
� �1x
( ) ( ) ( )' ( )' f g e e+ ′ = + + = + =x x x x3 32
:
2
f g+( )′
→� �
x 2
g f f f'( ) ( ( ) )' '( ) ' '( )x x x x= + = + =1 1
f '( ) ' x x= = 1 gg e'( ) ( )' x x= + =3 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )f g f g f g× ′ = ′ × + ×
=
5 5 5 5 5
( )
1 5 5 1
5 5
10
3
3
3
× + + ×
= + +
= +
e
e
e
121Tema II | Matemática 12
Cálculo auxiliar:
–1 20 –20t0 + t20
t0 –t0 20t0 – t20
–1 20 – t0 0 = r
b)
103.
a)
b) A reta tangente ao gráfico da função g no ponto deabcissa x0 tem por declive g’(x0) logo, se a reta éparalela ao eixo das abcissas, então o seu declive énulo e, portanto, g’(x0) = 0:
Prova-se assim que existem dois pontos do gráficode g onde as retas tangentes são paralelas ao eixodas abcissas: os pontos de coordenadas (1, g(1)) e(–1, g(–1)). As suas equações são y = 1 e y = 5, res-petivamente.
104.
a)
b)
c)
105.
a)
b)
c)
( )' ( ) '( ) ( ) ( ) '( )f g f g f g× = × + ×
=
x x x x x
( )
(
1 1
2
3
3
3
× + + ×
= + +
= +
x x
x x
x
e
e
e
f )':
× →
+
g � �
x x2 e3
g( ) x x x= − +3 3 3
g
g
'( )
':
x x
x x
= −
→
−
3 3
3
2
2
� �
3
3 3 0 3 3
1
1
0
2
0
2
0
2
x x
x
x
− = =
=
=
§
§
§ ›0
x0
= −1
′ = − + + = − +
′
f ( ) ( )' x x x x x x4 3 3 25 3 12 4 15 3
ff :
� �
→
− +4x x x3 215 3
g e'( )
x x x x x
x
= + − + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=
3
75
1
3
3
7 4 2
6
π
++ − +
→
+ −
':
202
3
202
3
3
6 3
x x
x x x x
π
g � �
3 ++ π
h'( )
x x x
x x
= ( )′ = ( )′
= =
=
− −
31
3
1
31
2
31
3
1
311
3
1 1
3
0
1
3
2
323
23
': \{ }
× =
→
x x
xx
h � �
f '( )
( )' ( )
xx
x
x x
=+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=× +
5
2 3
5 2 3 −− × +
+
=× +
( ) ( )'
( )
( )
5 2 3
2 35 2 3
2
x x
x
x −− ×
+
=+ −
+
( )
( )
( )
5 2
2 310 15 10
2 3
2
x
x
x x
x 22
2
15
2 3
3
215
2
( )
': \
(
=+
−⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
→
+
x
xx
f � �
33 2)
′ =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=× − ×
=−
g ( )
' '
xx
x x
x
2
2 2
0
2
: \{ }
2 1
2
0
2
2
2
2
×
=−
′ →
−
x
x
xx
g � �
′ =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=
→
h
h
( )
':
xx
x2
1
2
1
2
�
�
x1
2
Matemática 12 | Guia do Professor122
Cálculo auxiliar:
g
g
( )
( ) ( )
1 1 3 1 3 1
1 1 3
3
3
= − × + =
− = − − × (( ) − + =1 3 5
d)
e)
106.
a)
b)
c)
107.
a)
b)
c)
i'( )
( )
xx
x x x
x
=+
− −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=+ ′
2
3 2
2
3
6
3 ×× − − − + × − − ′ ( ) ( ) ( )
(
x x x x x x x
x
3 2 2 3 26 3 633 2 2
3 2 2
6
2 6 3
− −
=× − − − +
)
( ) ( ) ( )
x x
x x x x x ( )
( )
× − −
− −
=− −
3 2 6
6
2 2 12
2
3 2 2
4 3
x x
x x x
x x xx x x x x x
x x
2 4 3 2 2
3 2
3 2 6 9 6 18− − − + −
− −
( – )
( 66
2 2 12 3 2 3 6
2
4 3 2 4 3 2
x
x x x x x x x
)
=− − − + − + + 118
6
15 6 18
3 2 2
4 2
3 2
( )
(
x x x
x x x
x x
− −
=− − + +
− −− )6 2x
Di′
= ∈ − − ≠{ } = − : ( ) \{ , , }x x x x� �3 2 26 0 2 0 3
′ − →
− − + +
i : \{ , , }
(
� �
2 0 3
15 6 184 2
xx x x
x33 2 26− − )x x
′ =−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
= ×−
j ( )
x
x
x
x5
23
3
55
2
5
2
3
2
x
x
x
x
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= ×−
( )' ( ) ( 5
2
5 22
x
x x x
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
− × + − − 55 2
2
35
2
2
2
) ( )'
( )
( )
( )
× +
+
= ×−
+
x
x
x
x 22 2
1 2 5 1
2
3
( ) ( )
( )
(
×× + − − ×
+
=
x x
x
x x x
x
x− + − +
+=
− ) ( )
( )
( )5 2 5
2
3 52
4
2 ××
+
=−
+
( )
( )
( )
7
2
21 5
2
4
2
4
x
x
x
Dj′
= ∈ + ≠{ } = − : ( ) \{ }x x� �2 0 24
′ − →
−
+
j : \{ }
( )
( )
� �
2
21 5
2
2
4x
x
x
f e e'( ) ( )' ( )' ( )' x x x xx x= + = + = +6 6 122 2
:
e
f
e
x
xx x
′ →
+
� �
12
g e
e
'( ) (( ) )'
( )' (
x x x
x x
x
x
= + ×
= + × +
2
2
3
3 xx x
x x x
x
x
2
2
3
2 3 3
+ ×
= + × + + ×
) ( )'
( ) ( )
e
e
( ) ( )
e
e e
x
x xx x x x x= + + + = + +
′
2 3 3 5 32 2
gg
e
:
( )
� �
→
+ +x x xx 2 5 3
he
e e'( )
( )' ( ) (x
x x xx
x x
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=× − ×2 2 2 ))'
( )
( )
( )
e
e e
e
e
x
x x
x
xx x
2
2
2 2 2 2=
× − ×=
−
(( )
:
e e
h
e
x x
x
x
xx
2
2 2
2 2
=−
′ →
−
� �
f '( ) ( ln )' ( )' (ln )'
x x x x x= − + = − +
=
3 32 2
−− +
′ →
− +
+
61
61
xx
x xx
:
f � �
g'( ) ( ln )' ( )' ln (lx x x x x x= × = × + ×3 3 3 nn )'
ln ln
x
x x xx
x x x= × + × = × +31
32 3 2 2
== +
′ →
+
+
( ln )
:
( ln
x x
x x x
2
2
3 1
3 1
g � �
))
′ =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=′ × − ×
he
e
( ) ln
(ln ) ln
xx
x x
x
x ( )
( )
ln
( )
e
e
e e
e
e
x
x
x x
x
x
xx
′
=× − ×
=
2
2
1
1
xxx
xx
x
x x
ln
( )
ln
l
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=−
=−
e e2
1
1 nn
:
ln
x
x
xx x
x
x
x
×
′ →
−
×
+
e
h
e
� �
1
123Tema II | Matemática 12
Cálculo auxiliar:
x x x
x x x
x
3 2
2
6 0
6 0
0
− − =
− − =
=
( )
§
§ ›
x x
x x
2 6 0
0 3
− − =
= =§ › › xx = − 2
d)
108.
a)
b)
109.
a)
b)
Logo,
110.
a)
b)
c)
d)
111.
a)
b)
c)
d)
112.
a)
• f’(x) para x < 2:f’(x) = (x2 – 4)’ = 2x
• f’(x) para x > 2:f’(x) = (4x – 8)’ = 4
• f’(x) para x = 2:
Como f’(2+) = f’(2–) = 4, conclui-se que f’(2) = 4.Assim:
b)
′ = ′ =⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=i ( ) (log ) ln
ln ln
x xx
10
1
110
1
10
1 1
10
(ln )
ln
ln
:
× ′
= × =
′ →+
x
x x
i � ��
xx
ln
1
10
( ) ( ) ( ( )) ( ) fog f g f1 1 4 3 4 5 432= = = × − =
( )' ( ) '( ( )) '( ) '( ) fog f g g f1 1 1 4 2= × = × = 24 2 48× =
( ) ( ) ( ( )) ( )
(fog f g f2 2 2
2 1
4 2= = − =
− +
× − )) =
−
−=
1
8
1
8
( )' ( ) '( ( )) '( ) '( ) fog f g g fx x x x x= × = −2 3 ×× −
= −−
× − =−
( )
( )
( )
2 3
1
4 32 3
32 2
x
x xx
22
4 32 2
x
x x( )−
f '( ) ( )
.x xx x
2
2 23
1
4 3− =
−
f e e e'( ) ( )' ( )' x xx x x= = − =− −2 7 2 7 22 7 2 −− 7
g e e'( ) ( )' ( )' ( )'
x x xx x= + = +
=
− −5 5
5
3 32 2
( )' + − = −− −3 5 62 3 32 2
x xx xe e
h'( ) (ln( ))' ( )'
x x
x
x= + =
+
+=4 5
4 5
4 5
4
44 5x +
i'( ) ( ln( ))'
' ln( )
x x x
x x
= × +
= × + +
2
2
1
1 (ln( ))'
ln( ) (
x x
x xx
× +
= × + + ×
2
22
1
1 1++
+
= + + ×+
=
)'
ln( )
ln(
1
1
12
1
2
2
2
2
x
x xx
x
x ++ ++
)
12
1
2
2
x
x
f '( ) ( )' ( )' l x xx x= = − × ×− −2 2 7 22 7 2 7 nn ln 2 2 2 22 7= × −x
g'( ) ( )'
( )'
x
x x
x x=
= − + ×
− +10
3 4 10
2 3 4
2 xx x
x xx
2
2
3 4
3 4
10
2 3 10
− +
− +
×
= − ×
ln
( ) ×× ln 10
h'( ) (log ( ))' ( )'
(x x
x
x= − + =
− +
− +22 1
2 1
2 )ln
( )ln
1 22
2 1 2=
−
− +x
i'( ) log
xx
x
x
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
11
1××
=−
×
= −
ln
ln
ln
10
1
110
1
10
2x
x
x
f(x) =efg
x2 – 4 se x ≤ 24x – 8 se x > 2
ff f
'( ) lim( ) ( )
lim
2
2
2
42 2
+
→ →=
−
−=
+ +x x
x
x
xx
xx
xx
− −
−
=−
−=
→ +
lim( )
'
8 0
24 2
24
2
f (( ) lim( ) ( )
lim
2
2
22 2
2−
→ →=
−
−=
− −x x
x
x
xf f −− −
−
=− +
−→ −
lim( ) ( )
4 0
22 2
22
xx x
xx== + =
→ −lim ( )
xx
22 4
f’(x) =efg
2x se x ≤ 24 se x > 2 Df’ = �
g(x) =efg
− ≤ −
+ > −
21
5 1
xx
x x
se
se
Matemática 12 | Guia do Professor124
Cálculo auxiliar:
f o f'( ) ( )' , log '( ) x x x= − = = ×3 5 6 4 6 42 == 24
Cálculo auxiliar:
f '( )( )' – ( ) ( )'
xx
x
x x x x=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=+ × + ×1
4
1 4 1 4
(( )– ( ) – –
–
44 1 4
16
4 4 4
16
1
4
2
2 2 2
x
x x
x
x x
x x=
+ ×= =
Cálculo auxiliar:
g( ) 2 2 3 2 22= − × = −
Logo, f '( – ) –( – )
.x xx x
2
2 23
1
4 3=
125Tema II | Matemática 12
• g’(x) para x < –1:
• g’(x) para x > –1:
• g’(x) para x = –1:
Como g’(–1–) ≠ g’(–1+) não existe g’(–1).
c)
• h’(x) para x ≠ 0:
• h’(x) para x = 0:
Considerando a mudança de variável:
Se x → 0+, então y → +∞.
h’(0–) ≠ h’(0+), logo não existe h’(0). Assim:
113.a)
b)
c)
d)
g'( ) ( )' xx
x xx
= −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= − = =− −22 2
21 2
2
g'( ) ( )
( )
x x x
x
= +( )′ = +( )′
= +−
5 5
1
25
1
2
( )'
1
2 5
1
2
1
51
1
2 5
× +
= ×+
× =+
x
x x
gg g
'( ) lim( ) ( )
( ) lim
− =
− −
− −=−
→ − −1
1
11x
x
x xx
x
xx
x
x x
→ −
→ −
−
−
− −
+
=− −
+
lim
(
1
1
22
12 2
1)) lim
( )
( )
lim
=− +
+
=−
→ −
→ −
−
−
x
x
x
x x
x
1
1
2 1
12
=−
−=
2
12
gg g
'( ) lim( ) ( )
( )
lim
− =
− −
− −
=
+
→ − +1
1
11x
x
x
x
→→ −
→ −
+
+
+ −
+
=+ −
lim( ) (
1
1
5 2
1
5 2
x
x
x xx x x
xx
+ +
+ + +
=+
→ − +
)
( ) ( )
lim
5 2
1 5 2
1
55 2
1 5 25
22
1
( ) −
+ + +
=+
→ − +
( ) ( )
lim
x x
xx
( ) ( )
lim
−
+ + +
=+ +→ − +
4
1 5 21
51
x x
xx 22
1
4 2
1
4
=
+=
g’(x) =
21
1 1
2xx
xx
se
1
2 5se
< −
+> − =
′
\{– }D
g�
���
h(x) = e−
≠
=
1
se
0 se
x x
x
0
0
���
h e e'( )
xx
x
x x= ( )′
= −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
×
= ×
− −1 1
2
1
1ee
− 1
x
hh h e
'( ) lim( ) ( )
lim
0
0
00 0
−
→ →=
−
−=
− −x x
x
x
−−− −∞
−
+∞
− −
=
= =+∞
= ∞
( )
–
1
0
0 0
x
x
e
e
hh h
'( ) lim( ) ( )
lim
0
0
00 0
+
→ →=
−
−=
+ +x x
x
x
ee e−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
→ +∞
−
=
lim
1 0
0
1
x
y
y
x
y
1 1
xy x
y = =§
h e
Dh
'( )
\{ }
xx
x=
=
−
′
1
0
2
1
�
f '( ) (( ) )' ( ) ( )x x x x x x x= + = + × +2 3 2 2 25 3 5 5 ''
( ) ( ) ( ) ( = + × + = + +3 5 2 5 6 15 52 2 2x x x x x xx)
2
Df ′
= �
g'( ) ( )' ( )' l x x xx x x x= = + × ×+ +3 5 32 25 2 5 nn
( ) ln
3
2 5 3 32 5= + × ×
=
+
′
x x x
Dg�
e→ +∞=
lim
y
yyy
y
y
y
lim
= =+∞
=
→ +∞
1 1
e
Limitenotável
��� ��
0
h'( ) ln( )
( ln( ))'
xx
xx
=−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=− ×
1 2
1 2 ( ln( )) '
( )' (
x x x
xx
xx
− − ×
=− × −
1 2
2
2
2
11 2 1
2
21 2
2
2
2
ln( ))
ln( )
− ×
=− − +
=−
x
x
x
x
ln( )
+
=′
+
22
x
xD
h�
i'( ) ln
xx
x
x
x=+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
= +
⎛
⎝
11
⎜⎜⎞
⎠⎟
′
+
x
x 1
e)
f)
g)
Unidade 7 – Aplicações das derivadas
Página 162
114.Função f → gráfico f’ é o gráfico IFunção g → gráfico g’ é o gráfico IVFunção h → gráfico h’ é o gráfico IIIFunção j → gráfico j’ é o gráfico II
115.a) Falso.
Por exemplo:
Verifica-se que e f não é decrescente
em todo o intervalo ]1, 4[.
je
'( )
xx x
x=
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
′
= ×+1
3
3
11 1
31
2
2
e ex x
x
x
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ×
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= ×+
( )
(( )
( )' ( ) ( )'
(e
e e
ex
x x
x
x x2
1 1×
+ × − + ×
))
( )
( )
( )
2
2
23
1 1 1= ×
+×
× − + ×x xx
x
e
e ee
e
e
e
x
x
x
xx x
( )
( )
( )
( )
2
2
23
1 1 1= ×
+×
− −
(( )
( )
( )
( )
(
e
e e
x
x x
x x
x x
2
2
2
3 1
3 1
=+
×−
=− + ))
( )
( )
2
3
2
3
3 1
e eD
j
x x
x x=
− +
=′�
ke
e
'( ) ( )
(( ) )'
xx
x
x
x
=+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=+ ×
1
1
3
3 −− + ×
=+ × +
( ) ( )'
( )
( ) ( )
x
x x
x
x
1
3 1 1
3
2
2
e
e
'' ( ) ( )
( )
( ) (
× − + ×
=+
e e
e
e
x x
x
x
x
x
1
1 3
3
2
2 ( ))
( )
( ) ( )
− +
=+ − −
x
x x
x
x
1
1 3 1
2
2
e
e
==+ −
=
( ) ( )
'
x xx
1 22
eD
k�
=
× + − × +x x x x
x
' ( ) ( )'
(
1 1
x
xx x
x
+
+
=× + − ×
+
)
( )
( )
1
11 1 1
1
2
2××
+
=+
=+
= ∈′
( )
:
x
x
x x x x
xx
x
1
1
1
12
Di
�++
>⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= −∞ −⎤⎦ ⎡⎣ ∪ +∞⎤⎦ ⎡⎣
, , 1
0 1 0
le e
'( ) ln
ln
xx x
x x
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝
1
2⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
′
= ×⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ×
−
ln
ln
1
2
1
2e ex x
x x
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= × ×× − ×
ln
( )' ln 1
2
1
e
e ex
x x
x
x (ln )'
(ln )
ln
ln
x
x
x
x
x
x x
2
1
2
= ×× − ×
e
e e
(ln )
ln
ln (ln
1
1
2
2
xx
xx
x
x
x=
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
×
e
e )
: ln
x
x xx
x
2
0 0De
l′= ∈ > >� ‹ ‹ ln
] , [
x ≠⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= +∞
0
1
y
x1 4
f (1)f (4)
O
f f( ) ( )
4 1
4 10
−
−<
Matemática 12 | Guia do Professor126
Cálculo auxiliar:
x –∞ –1 0 +∞
x – – – 0 +
x + 1 – 0 + + +
x
x + 1+ s.s. – 0 +
Cálculo auxiliar:
x 0 1 +∞
ex + + +
ln x – 0 +
ex
xln – s.s. +
b) Falso.Por exemplo, f(x) = x3.
Verifica-se que f’(0) = 0 e f não tem um extremo emx = 0.
c) Falso. Por exemplo, f(x) = |x|.
Verifica-se que f tem um extremo em x = 0 (nestecaso, mínimo absoluto) e f’(0) não existe.
d) Falso. Por exemplo:
Verifica-se que a ∈ Df (à esquerda de a tem-se quef’(x) > 0 e à direita de a f’(x) < 0) e f(a) não é extremoda função.
e) Verdadeiro. Foi provado na unidade anterior que se f é derivávelnum ponto, então é contínua nesse ponto.
116.a)
•
•
f é estritamente crescente em ]–∞, –1] e em [3, +∞[;f é estritamente decrescente em [–1, 3];12 é máximo relativo para x = –1;–20 é o mínimo relativo para x = 3.
b)
Como g’(x) < 0, Ax ∈� \ {1}, conclui-se que g é estri-tamente decrescente em ]–∞, 1[ e em ]1, +∞[ e nãotem extremos.
c)
y
x
f
O
y
xO
f
2
2
1
1
-1-2
f (a)
O
y
x
f
a
f
Df
( )
x x x x= − − +
=
3 23 9 7
�
f
Df
'( ) ( )' x x x x x x= − − + = − −3 2 23 9 7 3 6 9
'' = �
f '( )
x
x x
x x
=
− − =
− − =
0
3 6 9 0
2 3 0
2
2
§
§
§ ( ) ( )
x
x
=± − − × × −
×= −
2 2 4 1 3
2 11
2
§ › x = 3
f( ) ( ) ( ) ( ) − = − − × − − × − + =1 1 3 1 9 1 7 123 2
ff( ) 3 3 3 3 9 3 7 203 2= − × − × + = −
g
Dg
( )
\{ }
xx
x=
+
−=
4
11�
g'( )
( )' (
xx
x
x x
=+
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=+ × −
4
1
4 11 4 1
11
2
) ( ) ( )'
( )
− + × −
−
=− −
x x
x
x x
x x
−
−= −
−
=
( )
( ) \{ }
'
4
1
5
11
2 2
Dg�
h
Dh
( )
xx
x=
+=
2 1�
h'( )
( )
xx
x
x x x
=+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=′ × + − ×
2
2
1
1 ( )
( )
( )
x
x
x x x
x
2
2 2
2
2 2
1
1
1 2
1
+ ′
+
=+ − ×
+==
− +
+
( )
x
x
2
2 2
1
1
Dh′
= �
′ =
− +
+=
− + =
h ( )
( )
x
x
x
x
0
1
10
1 0
2
2 2
2
§
§
‹
§ ›
x
x x
∈
= = −′
Dh
1 1
127Tema II | Matemática 12
x –∞ –1 – 3 +∞
Sinal de f’ + 0 – 0 +
Variação de f £Máx.
12 ¢mín.–20 £
x –∞ –1 1 +∞
–x2 + 1 – 0 + 0 –
(x2 + 1)2 + + + + +
Sinal de h’ – 0 + 0 –
Variação de h ¢ mín. £ Máx. ¢
h é estritamente decrescente em ]–∞, –1] e em [1, +∞[;h é estritamente crescente em [–1, 1];
é mínimo relativo para x = –1;
é máximo relativo para x = 1.
d)
i é estritamente crescente em ]–∞, 3] e estritamen-te decrescente em [3, +∞[;
é máximo relativo para x = 3.
e)
j é estritamente crescente em ]0, 4] e estritamentedecrescente em [4, 8[;ln16 é máximo relativo para x = 4.
f)
h
h
( ) ( )
–
( )
− =−
− +=
=+
=
11
1 1
1
2
11
1 1
1
2
2
2
–1
21
2
i e
Di
( )
x x x=
=
−3
�
′ = ′ = ′ × + × ′
=
− − −i e e e( ) ( ) ( ) ( )x x x xx x x3 3 3
( )3 32 3 2x x x xx x xe e e− − −− = −
Di′
= �
i
e
e
'( )
( )
x
x xx
x
=
× − =
=
−
−
0
3 0
0
2§
§Equaçãoo
impossívelem�
��� › ›x x2 0 3= −
x x
=
= =
0
0 3§ ›
i e
i ee
( )
( )
0 0 0
3 327
3 0
3 3
3
= × =
= × =−
273e
j
Dj
( ) ln( )
:
x x x
x x x
= − +
= ∈ − + >{ }
2
2
8
8 0� == ] , [0 8
′ = − + ′ =− + ′
− +j ( ) (ln( ))
( )
x x x
x x
x x
22
28
8
8==
− +
− +
2 8
82
x
x x
Dj'
] , [= 0 8
′ =
− +
− +=
− + =
j ( )
x
x
x xx
0
2 8
80
2 8 0
2§
§
‹
§
x
x
∈
=′
Dj
4
j( ) ln( ) ln 4 4 8 4 162= − + × =
l e
D el
( ) ln( )
{ : }
x x
x
x
x
= − −
= ∈ − >
−
−
1
1 0� = +�
′ = − − ′ = ′−− ′−
−
l ee
( ) ( ln( )) ( )
x x xxx
11
11
11
1 2
1
−
= −−
=−
−
−
−
−
−
−
ee
e
e
eD
x
x
x
x
x
′′
+=l
�
′ =−
−=
− =
−
−
−
le
ee
( )
xx
x
x
01 2
10
1 2 0
§
§
‹
§ ‹
§
x
xx
x
∈
= ∈′
−
′
−
D
e D
e
l
l2 1
== ∈
− =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
ln
1
21
2
‹
§ ‹
x
x
Dl
xx
x x
x
∈
= −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ∈
′
′
ln
D
D
l
l§ ‹
§
1
2== ln2
Matemática 12 | Guia do Professor128
x 0 ln2 +∞
1 – 2–x n.d. – 0 +
1 – e–x n.d. + + +
Sinal de l’ n.d. – 0 +
Variação de l n.d. ¢ mín. £
x –∞ 0 3 +∞
e–x × x2 + 0 + + +
3 – x + + + 0 –
Sinal de i’ + 0 + 0 –
Variação de i £ i(0) £Máx.i(3) ¢
Cálculo auxiliar:
− + = − + =
=
x x x x
x x
2 8 0 8 0
0
( )
§
§ › == 8
+
-- 80
x 0 4 8
–2x + 8 n.d. + 0 – n.d.
–x2 + 8x n.d. + + + n.d.
Sinal de j’ n.d. + 0 – n.d.
Variação de j n.d. £ Máx. ¢ n.d.
Cálculo auxiliar:
1 0 1 1
1
− > − > − <
− <
− − −e e ex x x
x x
ln
§ §
§ § >> 0
l é estritamente decrescente em ]0, ln2] e estrita-mente crescente em [ln2, +∞[;2ln2 é máximo relativo de l para x = ln2.
117.
a)
significa que à medida que a idade da
fêmea vai aumentando o número médio de indiví-duos gerados por essa fêmea tende para zero.
b)
f é estritamente crescente em e estritamente
decrescente em
0 é mínimo relativo para x = 0,5;
é máximo relativo para
Como então é com 1,4 anos de idade que as
fêmeas geram o maior número de indivíduos.
c)
118.
l e(ln ) ln ln( ) ln ln ln2 2 1 2 12= − − = − −− eeln
ln ln ln ln
1
2
2 11
22 2
( )= − −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = + ln= 2 2
lim ( ) lim, ln( )
x xx
x
x→ +∞ → +∞
⎛
⎝⎜⎜
⎞±∞
±∞
= =f4 6 2 ⎠⎠
⎟⎟
→ +∞× ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ , lim
ln( )
4 6
2
22
x
x
x
Cálculo auxiliar:Considerando a mudança de variável2x = y.Se x → +∞, então y → +∞.
lim ( ) ; x
x→ +∞
=f 0
f
Df
( ) , ln( )
, ;
xx
x=
= +∞⎡⎣ ⎡⎣
4 6 2
0 5
′ =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= ×( )′
f ( ) ,ln( )
, ln( )
xx
x
x
4 62
4 62 ×× − × ′
= ×× −
ln( )
, ln(
x x x
x
xx x
2
4 6
2
22
2
))
, ln( )
×
= ×−
1
4 61 2
2
2
xx
x
′ =
× =
−
f ( )
, – ln( )
ln(
x
x
x
0
4 61 2
0
1 2
§
§
2
xx x
x x
)
ln( )
= ∈
= ∈′
0
2 1
‹
§ ‹
Df
D
e D
e
f
f
′
′= ∈
=
§ ‹
§
2
2
x x
x
f
fe
e
( , ) , ln
,
, ln
0 54 6 1
0 50
2
4 6 2
= =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 22
2
4 6 1
2
9 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=×
=e e e
,
,
0 52
, ; e⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
e
2, ;+∞
⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
x = .e
2
9 2,
ee
21 4≈ , ,
t.m.v. ( ) ( )
, ln
, 2 4
4 2
4 24 6 8
4
⎡⎣ ⎤⎦=
−
−
=
f f
−−
=× − ×
=
, ln
, ln , ln
4 6 4
22
4 61
48 4 6
1
24
2
, ln , ln
,
ln
4 6 8 4 6 4
2
4 6
2
8
4
1
4
1
2
1
4
1
× − ×
= ×22
31
4
2 32
22 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = , ln , ln
22
2
2 3 2 2 31
2
3
4
1
4
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= ( ) =⎛
⎝⎜⎜
⎞−
, ln , ln
⎠⎠⎟⎟ c.q.d.
= × 2 4,, limln
,
6 9 2 0y
y
y→ +∞= ×
Limitenotável
��� �� = 0
R DR
( ) , ( ) , x x x= − = ⎡⎣ ⎤⎦0 00064 120 0 1202
′ = −( )′
= ( )′R ( ) , ( )
,
x x x
x
0 00064 120
0 00064
2
2 ×× − + × ( )′( )=
( ) –
, (
120 120
0 00064 2
2x x x
x 1120 1
0 00064 240 2
2
2
) ( )
,
− + × −( )= − −
x x
x x xx
x x
2
20 00064 240 3
( )= −( ) ,
129Tema II | Matemática 12
x 0,5e
2+∞
4,6(1 – ln(2x)) + + 0 –
x2 + + + +
Sinal de f’ + + 0 –
Variação de f mín. £ Máx. ¢
R é estritamente crescente em[0, 80] e estritamen-te decrescente em [80, 120]; 163,84 é máximo rela-tivo para x = 80. Assim, a taxa de disseminação da epidemia aumen-tou até ao momento em que estavam infetados 80árvores, momento na qual foi atingida a maior taxade disseminação da epidemia, tendo diminuído apartir daí.
119.
• h’(x) para x < 0:
• h’(x) para > 0:
• h’(x) para x = 0:
Assim:
Cálculo dos zeros de h’:
h(0) = 0A função h é estritamente decrescente em todo oseu domínio e não possui extremos.
120.
a)
b)
x = 0 é o único zero de f’’’.
c)
121.
a)
DR′
= ⎡⎣ ⎤⎦ , 0 120
′ =
−( ) =
−
R ( )
,
x
x x
x
0
0 00064 240 3 0
240
2§
§ 33 0
240 3 0
0
2x
x x
x x
( )
=
− =
= =
§
§ › 880
Cálculo auxiliar:R(0) = 0R(120) = 0R(80) = 163,84
h(x) =e – 1 – se
– 1 ln 1 se
x x x
x x x x
<
+ +
( ) ( )
0
≥ 0
���
Dh
= �
′ = − −( )′ = − − = −h e e e( ) x xx x x1 0 1 1
′ = − + × +( )′
= − +
h ( ) ( ) ln( )
(
x x x x1 1
1 1 xx x x x) ln( ) ( ) ln( )′ × + + + × +( )′⎡⎣ 1 1 1⎢⎢
⎤⎦⎥
= − × + + + ×+
ln( ) ( )
1 1 1 11
1x x
xxx
x
ln( )
ln( )
= − + +
= − +
1 1 1
1
′ =−
−=−
→ →− −h
h h e( ) lim
( ) ( )
lim
0
0
00 0x x
x
x
xx
x
x
x
x
x
− − −
=−
→ −
lim
1 0
10
e
Limitenotávell
� �� �� lim
− = = − =
→ −x
x
x
x
x01 1 0
( )′ =+0h llim( ) ( )
lim (
x
x
x
xx
→
→
+
+
−
−
=− +
0
0
0
01
h h
) ln( )
lim lim (
x x
xx
xx x
1 0
10 0
+ −
= −→ →+ +
) limln( )
+ ×
+→ +
xx
xx 0
1
Limite notável� ���� ���
( ) ( ) ,
= − × =
′ = ′ =− +
1 1 1 0
0 0 0h h loogo ( ) .′ =h 0 0
h’(x) =e – 1 se
–ln 1 se
x x
x x
<
+ ≥
( )
0
0
���
′ =
− = <( ) −
h
e
( )
(
x
xx
0
1 0 0§ ‹ › lln( ) )
1 0 0
1
+ = ≥
=
x x
xx
‹
§ ‹e <<( ) + = ≥( )=
0 1 00› ‹
§
x x
x
e
( ) 0 0‹ x <
Condição impossível� ��� ��� ( )
› ‹
§
x x
x
= ≥
=
0 0
0
′ = + −( )′ = +
′′ =
f
f
( )
( )
x x x x x
x
2 3 4 10 6
10
5 2 4
xx x x
x x
4 3
3
6 40 6
40 6
+( )′ = +
′′ →
+
:
f � �
′′′ = +( )′ =
′′′ =
f
f
( )
( )
x x x
x
40 6 120
0 12
3 2
§ 00 0 02x x= = §
f
f
f
IV
V
VI
( )
( )
( )
= ( )′ =
=
( )
( )
x x x
x
120 240
240
2
(( )
x =
=
0
6n
f e D
f e e D
f
f
f
( )
( )
( )
'
x
x
x
x
x x
= =
′ = ( )′ = =
′′
�
�
( )
''
'
= ( )′ = =
′′′ = ( )′ =
e e D
f e e D
f
f
x x
x xx
�
''' = �
Matemática 12 | Guia do Professor130
0 80 120
Sinal de R’ 0 + 0 – –
Variação de R 0 £ Máx. ¢ 0
–∞ 0 +∞
Sinal de h’ – 0 –
Variação de h ¢ h(0) = 0 ¢
b)
122.a) Como se observa pelo gráfico apresentado, f’ é
uma função negativa em todo o seu domínio, logof é estritamente decrescente, pelo que, dos valoresde x assinalados, é em x5 que f assume o menorvalor.
b) Pelo mesmo motivo da alínea anterior, é em x1 quef assume o maior valor.
c) Por observação do gráfico de f’, conclui-se que, dosvalores assinalados, é em x5 que f’ atinge o menorvalor.
d) Pelo mesmo motivo da alínea anterior, dos valoresassinalados, é em x2 que f’ assume o maior valor.
e) Como o gráfico apresentado diz respeito à função f’tem-se que os declives das retas tangentes ao gráficode f’ nos pontos de abcissa x1, x2, x3, x4 e x5 corres-
pondem aos valores de
Assim, e como em x3 e em x5 a reta tangente ao grá-fico tem declive igual e negativo, conclui-se que éem x3 e em x5 que f” assume o menor valor.
f) Pelo mesmo motivo da alínea anterior, conclui-seque, dos valores assinalados, é apenas em x1 que areta tangente ao gráfico de f’ tem declive positivo,logo é em x1 que f” assume o maior valor.
123. Por observação da representação gráfica de g’,sabe-se que:
Completando a tabela anterior, e sendo g’ umafunção contínua, terá de se verificar:
Das opções apresentadas, apenas a representa-ção gráfica que se encontra na opção (A) verificatodas as condições.Opção (A)
124.
O gráfico da função f tem a concavidade voltadapara baixo nos intervalos ]–∞, –2] e [2, +∞[ e tema concavidade voltada para cima em [–2, 2],apresentando dois pontos de inflexão nos pontosde abcissa –2 e 2.Das opções apresentadas, apenas a representa-ção gráfica que se encontra na opção (D) verificaestas características.Opção (D)
125.
a)
f(–1) = 10O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixoem ]–∞, –1] e voltada para cima em [–1, +∞[.Tem um ponto de inflexão de coordenadas (–1, 10).
b)
g D
g D
g
g
g
( ) ln
( ) ln
x x
x xx
= =
′ = ( )′ = =
′′
+
′
+
�
�1
(( )
( )
xx x
xx
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= − =
′′′ = −
′′
+1 1
1
2D
g
g�
22
2
3
32
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= −( )′
= − − = =
−
−
′′′
( )
x
xx
Dg�++
′′( ) ′′( ) ′′( ) ′′( )f f f fx x x x1 2 3 4
, , , e
′′(f x6 )).
′′ = −
′′ = − = =
f
f
( )
( )
x x
x x x
4
0 4 0
2
2§ § − =2 2› x
f D
ff
( )
( )
x x x x
x x
= + − + =
′ = +
2 6 5 1
6 12
3 2
2
�
xx
x x
− =
′′ = + =′
′′
( )
5
12 12
D
f Df
f
�
�
′′ =
+ =
= −
f ( )
x
x
x
0
12 12 0
1
§
§
g D
g
g( ) \{ }
( )
x xx
xx
= + =
′ = +′ × −
40
14
�
441
40
14
2 2
\{ }
( )
× ′= − =
′′ = −
′
x
x x
x
D
g
g�
xx
x x
x2
2
22
04 4
0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
′ × − × ( )′
( )
= −
'
2
−−= =
′′
\{ }
8 80
4 3
x
x xD
g�
131Tema II | Matemática 12
x –∞ a b +∞
Variação de g’ £ Máx. ¢ mín. £
x –∞ a b +∞
Sinal de g” + 0 – 0 +
Variação de g’ £ Máx. ¢ mín. £
x –∞ –2 2 +∞
Sinal de f” – 0 + 0 –
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de f
∩ P.I. ∪ P.I. ∩
x –∞ –1 +∞
Sinal de f” – 0 +
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de f
∩ P.I. ∪
O gráfico de g tem a concavidade voltada para baixoem]–∞, 0[ e voltada para cima em ]0, +∞[.
c)
O gráfico de h tem a concavidade voltada para cimaem ]–∞, 1] e em [2, +∞[ e tem a concavidade voltadapara baixo em [1, 2].Existem 2 pontos de inflexão de coordenadas
d)
O gráfico de i tem a concavidade voltada para cimaem ]0, e] e voltada para baixo em [e, +∞[.Apresenta um ponto de inflexão de coordenadas (e, 1).
e)
O gráfico de j apresenta a concavidade voltada paracima em todo o seu domínio.Não existem pontos de inflexão.
h e D
h
h( )
( )
x x x
x x x
x= + +( ) =
′ = + +
−2
2
2
2
�
(( )′ × + + +( ) × ( )= +( ) ×
− − '
e ex xx x
x
2 2
2 1 ee e
e
− −
−
− + +( )= + − − −
x x
x
x x
x x x
2
2
2
2 1 2(( )= − + −( ) =
′′ = ( )′ ×
−
′
−
( )
e D
h e
h
x
x
x x
x
2 1 �
− + −( ) + ( ) × − + −( )′
= −
−x x x xx
x
2 21 1e
e −− + −( ) + − +( )= − +
−
−
x x x
x x
x
x
2
2
1 2 1
1
e
e
− +( )= − +( ) =−
′′
2 1
3 22
x
x xxe Dh�
′′ =
− +( ) =
=
−
−
h
e
e
( )
x
x xx
x
0
3 2 0
0
2§
§Equaçção
impossível
���
›
§
x x
x
2 3 2 0− + =
=
3 3 4 1 2
2 11
2± −( ) − × ×
×= =§ ›x x 22
h e
h e
( )
( )
1 4
2 8
1
2
=
=
−
−
1 4 2 81 2, , .e e− −( ) ( )e
i D
i
i( ) ln
( ) ln ln
x x
x x x
= ( ) =
′ = ( )( )′=
+2
22
�
×× ( )′ = × =′
+ ln ln x xx
21
Di�
′′ =
×−
=
− =
i ( )
ln
ln
x
x
xx
0
21
0
1 0
2§
§
ln
‹
§ ‹
§
x
x x
x
∈
= ∈′′
′′
D
Di
i1
== e
i e e( ) ln = ( ) =2
1
j D
j
j( ) ln
( ) ln
x x x
x x x x
= − =
′ = −( )′ = −
+2
2
2
2 2
�
( )
21
2 21
× =
′′ = − ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=
′
+
x
x xx
D
j
j�
2 21
22
2
2
− × −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + =′′
+
x
xD
j�
′′ = + =j ( ) xx
0 22
02
§
Equação impossível
emm , logonão tem zeros�
� �� ��
′′j
′′ =
=
′′
g
g
( )
x
x
0
80
3§
Equação impossível,nnão tem zeros
���
′′ =⎛
⎝( )
lnx
x
x
2i ⎜⎜
⎞
⎠⎟
′
= ×( )′ × − ( ) × ′
= ×
ln ln
2
2
1
2
x x x x
x
xxx x
xx
x
ln
ln
× − ×
= ×−
=′′
+
1
21
2
2D
i�
Matemática 12 | Guia do Professor132
x 0 +∞
Sinal de j” n.d. +
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de j
n.d. ∪
x –∞ 0 +∞
Sinal de g” – n.d. +
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de g
∩ n.d. ∪
x –∞ 1 2 +∞
Sinal de h” + 0 – 0 +
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de h
∪ P.I. ∩ P.I. ∪
x 0 e +∞
2(1 – lnx) n.d. + 0 –
x2 n.d. + + +
Sinal de i” n.d. + 0 –
Sentido dasconcavidades dográfico de i
n.d. ∪ P.I. ∩
126.
a)
Como conclui-se que o gráfico de
f tem a concavidade voltada para baixo em todo oseu domínio.
b)
f(10) = 5ln10 – 5f é estritamente crescente em ]0, 10] e estritamen-te decrescente em [10, +∞[; 5ln10 – 5 é máximoabsoluto para x = 10; não tem mínimos relativos.
Conlui-se que
c)
Seja t a reta tangente ao gráfico de f em x = 1 e n areta normal ao gráfico de f em x = 1.
Como então
Assim, a equação da reta n é da forma
Como pertence à reta n, então:
d)
e) • Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 0 e assíntota vertical do grá-fico de f.O gráfico de f não apresenta mais assíntotas verti-cais visto f ser uma função contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:
(calculado na alínea anterior)
Como b ∉ �, conclui-se que não há assíntotas nãoverticais do gráfico de f para x → +∞.
127.
a)
Considerando a mudança de variável x + 3 = y, se x → –3, então y → 0.
b) Seja t a reta tangente ao gráfico de f cujo declive é3e, então t é da forma y = 3ex + b. Para determinarb é necessário conhecer as coordenadas do pontode tangência T.Sabe-se que:
f D
f
f( ) ln
( ) ln
x x x
x x x
= − =
′ = −⎛
⎝
+51
2
51
2
�
⎜⎜⎞
⎠⎟
′
= × − =
′′ = × −
′
+
( )
51 1
2
51
x
xx
D
f
f�
1
25
10
5
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= × −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
= − =′′
x
xD
f��+
′′ < ∀ ∈ +f ( ) , ,x x0 �
′ = − =−
=′
+f Df
( )
xx
x
x
5 1
2
10
2�
′ =−
=
− =
f ( )
xx
xx
010
20
10 0
§
§ ‹ xx
x x
∈
= ∈′
′
D
Df
f§ ‹10
Df
′ = −∞ −⎤⎦ ⎤⎦, ln .5 10 5
P f1 1 11
2, ( ) , ( ) = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
mn
= − = − .1
9
2
2
9m f
t= ′ =
−= ( )
,1
10 1
2
9
2
y x= − + .2
9b
P 11
2, −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− = − × +
= −
= − −
1
2
2
91
5
182
9
5
18
:
b
b
n
§
y x
lim( )
limln
lim x x x
x
x
x x
x→ +∞ → +∞ → +=
−=
f5
1
2∞∞ → +∞
→ +∞
−
=
51
2
5
ln lim
limln
x
x
x
xx
x
x
x
Limitenottável
��� �� lim
− = × − = −
→ +∞x
1
25 0
1
2
1
2
D
f
f=
= −⎛
⎝⎜
⎞
+
→ →+ +
lim ( ) lim ln
�
x xx x x
0 05
1
2 ⎠⎠⎟ =−∞ − × = −∞
1
20
Df=( )+ �
mf
lim( )
= = −→ +∞x
x
x
1
2
b f lim ( ) lim
= − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
→ +∞ → +x xx x
1
2 ∞∞
→ +∞
− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ( ) = +
51
2
1
2
5
ln
lim ln
x x x
xx
∞∞
f e( ) x x= + +1 3 3
′ − =− −
− −=
→ − →f
f f( ) lim
( ) ( )
( ) lim
3
3
33x x
x
x
lim
−
+
→ −
+
+ −
+
=−
3
3
3
3
1 3 4
3
3 3
e
e
x
x
x
x
x xx
x
+=
−( )+→ −
+
lim
3
3 1
33
3e
y
y
=→
lim
30
e −−= × =
13 1 3
y
Limite notável� �� ��
m e f e e e
et= ′ = + =+
+
( )
3 3 0 3 33§ §
§
x x
x
,
3 3 1
2
2 2
= + =
=−
− −( )(
e
T f
§
§
x
x
Assim, )) = − +( ) , .2 1 3e
133Tema II | Matemática 12
x 0 10 +∞
10 – x n.d. + 0 –
2x n.d. + + +
Sinal de f’ n.d. + 0 –
Variação de f n.d. £ Máx. ¢
Cálculo auxiliar:
f e( ) − = + = + =− +3 1 3 1 3 43 3
Logo, como T pertence à reta t de equação y = 3ex + b,vem que:
c) •
•
•
d)
Assim:
128.
a)
Assim, significa que
após 2 semanas do aparecimento do surto de gripeo número de pessoas contagiadas está a aumentarà taxa de 5,6 centenas de pessoas por semana.
b) Para determinar em que momento a doença está aalastrar-se mais rapidamente, é necessário analisarcomo varia a taxa de variação da função Q, isto é,estudar a variação da função Q’:
(determinada na alínea anterior)
1 3 3 2
1 3 6
( )
+ = × − +
= + +
e e b
b e e
b
§
§ == +
= + +
:
9 1
3 9 1
e
t e ey x
D Df f= = ′
− �
1
1 3
1
3
3
3
3
ln
+ =
=−
+ =
+
+
e
e
x
x
y
y
xy
§
§
xy
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
ln
1
31
33§
D
f
f−
−
= ∈−
>⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= +∞1
1
1
30 1 :
] , [
:
xx
�
]] , [
ln
1
1
33
+∞ →
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
�
xx
f e
f e
f
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
= +
′ =
′′ =
+
+
1 3
3
3
3
3
eex + 3
′′ + ′ >
+ >+ +
f f f
e e
( ) ( ) ( )
x x xx x§ 3 3 13 3 ++
>
>
+
+
+
+
3
3 1
31
3
3
3
3
3
e
e
e
x
x
x
x
§
§
§ >>⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
>⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
=
ln
ln
ln
1
3
1
33
1
§ x
C.S. 33
3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − +∞
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ ,
′ =+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=′ × +
−Q t
e t( )
,
80
4 76
80 4
1 2
776 80 4 76
4 76
1 2 1 2
1
e e
e
t t− −
−
( ) − × +( )′
+
, ,
,,
,
,
22
1 20 80 0 76 1 2
t
te
( )
=− × + × −( ) ×( − ))
+( )
=+( )
−
−
−
4 767296
4 76
1 22
1 2
1 2
,
,
,
ee
e
t
t
t22
′ =×
+( )
− ×
− ×
Qe
e( )
,
,
27296
4 76
1 2 2
1 2 22
≈≈ , ;5 6
′ =×
+( )
−
−
Q te
e
t
t
( )
,
,
7296
4 76
1 2
1 22
′′ =×( )′ × +( ) −− −
Q te et t
( ) , ,7296 4 761 2 1 2
2
,
,
,
7296
4 76
4 76
1 2
1 24
1 2
e
e
e
t
t
t
−
−
−
×
+( )
× +( ))( )′
+( )
=− × +
−
−
2
1 24
1 2
4 76
8755 2 4 7
,
,
,
e
e
t
t 66 7296
4 76
2 4
1 22
1 2
1 24
e e
e
t t
t
− −
−
( ) −
+( )
×
, ,
,
++( ) × +( )′
+
− −
−
, ,
,
76 4 76
4 76
1 2 1 2
1 2
e e
e
t t
t(( )
=× +( ) − +− − −
4
1 2 1 24 76 8755 2 4 76
, , ,e e et t 11 2
1 23
4 76
7296 2 0
,
,
t
te
( ) −⎡⎣
+( )− × × −
−
991 2
4 7635
1 2
1 23
1 2
,
,
,
,
e
ee
t
t
t
−
−
−
( )⎤⎦+( )
=× − , ,
,
,
020 8 665 395 2
4 76
1 2
1 23
+ +(
+( )
−
−
e
e
t
t
++
+( )
=
−
−
−
, )
,
,
,
1 330 790 4
4 76
1 2
1 23
1 2
e
ee
t
t
tt te× − + ×( )
+
− , ,
,35 020 8 665 395 2
4 76
1 2
eeD
t
Q
−
′′
+
( )=
1 23
,
�
′′ =
− +− −
Q t
e et
( )
, ,, ,
0
35 020 8 665 395 21 2 1§ 22
1 2
0
0
t
Q
t
t D
e
( ) =
∈
=
′′
−
,
‹
§Equação
imposssível
��� �� ,
,,› e t− =1 2 35 020 8
665 395 22
1 21
191
191
§
§
, ln
ln
,
− =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
t
t22
2 45t ,≈
Matemática 12 | Guia do Professor134
135Tema II | Matemática 12
O máximo de Q’ é atingido quando t ≈ 2,45, o quesignifica que a doença está a alastrar-se mais rapi-damente após 2 semanas (com aproximação às uni-dades) do seu aparecimento.
129.a) Considerando os quadrados dos cantos de lado x,
tem-se que:
Assim, a base da caixa é um quadrado de lado 6 – 2xe a altura da caixa é x, logo o seu volume é dado pelaexpressão:
com os valores de x a pertencer ao intervalo ]0, 3[.
b)
V(1) = 4 – 24 + 36 = 16Conclui-se assim que o volume da caixa é máximoquando x = 1 cm e, nesse caso, o volume é de x = 16cm3.
130. Consideremos a representação gráfica da funçãoy = 1 – x2:
A área de um retângulo nas condições pretendi-das é dada em função de x pela expressão:
O valor máximo da área é atingido quando
e o seu valor é de
131. Consideremos a seguinte representação do pro-blema:
xx
xx
xx
xx
6
6
V
V
( )
( )
x x x
x x x
= −( ) ×
= − +(6 2
36 24 4
2
2§ )) ×
= − +
( )
x
x x x x§V 4 24 363 2
V D D
VV V
( ) ] , [
'( ) '
x x x x
x
= − + = =
=
4 24 36 0 33 2
12 48 362x x− +
V
DV
'( )
'
x
x x x
=
− + = ∈
0
12 48 36 02§ ‹
§§ › ‹
§
( )
'
x x x
x
= = ∈
=
1 3
1
DV
y
y = 1 - x2
1
1-1 xx xO
A
A
( )
( )
x x x
x x x x
= × −( )= −
2 1
2 2
2
3§ com ∈ ] , [0 1
′ = − =A DA
( ) ] , ['
x x2 6 0 12 com
′ = − = ∈
=
A DA
( )
'x x x
x
0 2 6 0
1
2
2
§ ‹
§33
1
3
'
'
‹
§ ‹
§
x
x x
x
∈
= ± ∈
D
D
A
A
== =⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ∈ –
'
3
3
3
3› ‹
§
x x DA
xx =3
3
x = 3
3x = .
4 3
9
Vedação
Veda
ção
Veda
ção
y m
x mx m Parque
AUTOESTRADA
x 0ln
,
1
19
1 2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
−
Sinal de Q” + 0 –
Variação de Q’ £ Máx. ¢
x 0 3
31
Sinal de A’ n.d. + 0 – n.d.
Variação de A n.d. £ Máx. ¢ n.d.
0 1 3
Sinal de V’ n.d. + 0 – n.d.
Variação de V n.d. £Máx.16 ¢ n.d.
Cálculo auxiliar:
A3
3
2 3
31
3
3
2⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
22 3
3
2
3
4 3
9 × =
Seja P a quantidade de vedação usada, em me tros,em função do comprimento e da largura do parque:P = x + x + y = 2x + yComo Área = 5000, vem que:
Logo,
A quantidade mínima de vedação a ser utilizadave rifica-se para x = 50, logo o parque deverá ter de
largura 50 m e de comprimento
132.
A população de roedores é máxima após 6,25semanas do solstício de inverno. Como o tempode inclinação dos ovos de falcão é de 5 semanas,para que o nascimento de filhotes de falcão coin-cida com a época em que a população de roedoresé máxima, os ovos deverão ser postos após 1,25semanas do solstício de inverno.
133.
a)
•
• logo f é
uma função par, ou seja, o seu gráfico é simétricoem relação ao eixo Oy.
•
f tem um único zero: x = 0• Assíntotas:
A reta de equação x = 1 é assíntota vertical do grá-fico de f.Como a função é par, pode concluir-se que a reta deequação x = –1 é também assíntota vertical do grá-fico de f.Não há mais assíntotas verticais, pois verifica-se quea função é contínua no seu domínio.
Como conclui-se
que a reta de equação y = 1 é assíntota horizontal dográfico de f, para x → +∞ e, novamente considerandoo facto de f ser par, conclui-se que para x → –∞ aassíntota é a mesma.
•
x y yx
× = = 50005000
§
P( ) , ] , [.x xx
x= + ∈ +∞25000
0com
′ = +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= + × −⎛
P ( ) x xx x
25000
2 50001
2⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − =−
25000 2 5000
2
2
2x
x
x
′ =
− = ≠
=
P ( )
x
x x
x
0
2 5000 0 0
2
2 2
2
§ ‹
§ 5500
2500
50 50
§
§ ›
x
x x
= ±
= = − ∉ Dp
y = = 5000
50100 m.
R t te D
R t t e
t
R
t
( )
( )
,
,
= =
′ = ′×
− +
−
4
4
0 16
0 16
�
++ × ( )′( )= − ×
−
− −
,
,
, ,
t e
e t e
t
t
0 16
0 16 04 0 16 116
0 164 1 0 16
t
te t
( )= −− ( , ),
′ = − =−
−
R t e t
e
t( ) ( , )
,
,
0 4 1 0 16 0
4
0 16
0 1
§
§ 66 0 1 0 16t = − ,Equação
impossível
� �� �� › tt
t
,
=
=
0
6 25§
f( )
xx
x=
−
2
2 1
Df= ∈ − ≠ = − { : } \{ , }x x� �2 1 0 1 1
f f( )
( ), − =−( )
−( ) −=
−= ∀x
x
x
x
xx x
2
2
2
21 1
∈∈ ,Df
f Df
( )
xx
xx x=
−= = ∈0
10 0
2
2
2§ § ‹
§§ ‹ x x= ∈0 Df
lim ( ) lim
li
x xx
x
x→ → ++ +=
−= = +∞
1 1
2
2 1
1
0f
mm ( ) lim
– –x x
xx
x→ → −=
−= = −∞
1 1
2
2 1
1
0f
lim ( ) lim
lim x x x
xx
x
x
x→ +∞ → +∞ → +∞=
−=f
2
2
2
21 ,= 1
′ =−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=( )′ × −( ) −
f ( )
xx
x
x x x2
2
2 2 2
1
1 ×× −( )′
−( )
=× −( ) − ×
x
x
x x x x
x
2
22
2 2
1
12 1 2
222
22
1
2
1−( )=
−
−( )
x
x
D
ff ′
= −
′ =
− = ∈
\{ , }
( )
� 1 1
0
2 0
x
x x§ ‹ DDf ′
=§ x 0
f( )
00
0 10
2
2=
−=
Matemática 12 | Guia do Professor136
x –∞ –1 0 1 +∞
Sinal de f’ + n.d. + 0 – n.d. –
Variação de f £ n.d. £ M ¢ n.d. ¢
x 0 50 +∞
Sinal de P’ n.d. – 0 +
Variação de P n.d. ¢ mín. £
x 0 6,25 +∞
Sinal de R’ n.d. + 0 –
Variação de R n.d. £ Máx. ¢
f é estritamente crescente em ]–∞, –1[ e em ]–1, 0]e é estritamente decrescente em [0, 1[ e em ]1, +∞[;0 é máximo relativo para x = 0.
•
O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em]–∞, –1[ e em ]1, +∞[ e voltada para baixo em ]–1, 1[.• Representação gráfica:
b) g(x) = ex – e–x
• Dg = �• Zeros:
•
logo, g é uma função ímpar, ou seja, o seu gráficoé simétrico em relação à origem do referencial.
• Assíntotas:A função é contínua em � visto tratar-se da dife-rença de funções contínuas, logo o seu gráfico nãotem assíntotas verticais.
Como m ∉ �, conclui-se que o gráfico de g nãoapresenta assíntotas não verticais para x → +∞ e,visto que a função é ímpar, o mesmo se pode con-cluir para x → –∞.
•
Como conclui-se que g’ é estri-
tamente crescente em todo o seu domínio.
•
O gráfico de g tem a concavidade voltada para baixoem ]–∞, 0] e voltada para cima em [0, +∞[; tem umponto de inflexão de coordenadas (0, 0).• Representação gráfica:
′′ =−
−( )
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=−( )′ × −
f ( )
xx
x
x x
2
1
2
22
2 11 2 1
1
2 1
22
2
24
2
( ) − −( ) × −( )( )′
−( )
=− −
x x
x
x(( ) + × −( ) ×
−( )
=−( ) −
22
24
2
2 2 1 2
1
1 2
x x x
x
x x22 2
24
2 2
1 8
12 2 8
−( ) +⎡⎣ ⎤⎦
−( )
=− + +( )
x
x
x x
x223
2
23
1
6 2
1−( )=
+
−( )
x
x
′′ =
+ =
f ( )
x
x
0
6 2 02§Equação
impossívelem ��
� �� �� ‹ x ∈′′
Df
y
xO 1
1
-1
g e e( ) x x x xx x= = = − =−0 0§ § §
g e e e e e e( )
( )− = − − = − −( )=
− − − − −x x x x x x x§
−− ∀ ∈g Dg
( ), ,x x
mg e e
lim( )
lim
li
= =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
→ +∞ → +∞
−
x x
x xx
x x
mm lim x
x
x
x
x x→ +∞ → +∞
−
−e e
Limitenotável
��� ��
== +∞ −+∞
= +∞ 0
′ = −( )′ = + =− −
′g e e e e D
g( ) x x x x x �
′ > ∀ ∈g ( ) , ,x x0 �
′′ = +( )′ =−
′′g e e D
g( ) x x x �
′′ = − =
=
= −
−
−
g e e
e e
( )
x
x x
x x
x x
0 0§
§
§
§§ x = 0
g e e( ) 0 1 1 00 0= − = − =−
y
xO
g
137Tema II | Matemática 12
x –∞ –1 1 +∞
6x2 + 2 + n.d. + n.d. +
(x2 – 1)3 + n.d. – n.d. +
Sinal de f” + n.d. – n.d. +
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de f
∪ n.d. ∩ n.d. ∪
x –∞ 0 +∞
Sinal de g” – 0 +
Sentido das concavidadesdo gráfico de g
∩ P.I.∪
Matemática 12 | Guia do Professor138
c)
•
•
h tem um único zero: x = ln2• Assíntotas:
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de h.Este não apresenta mais assíntotas verticais já quea função h é contínua no seu domínio.
Assim, conclui-se que a reta de equação y = x éassíntota oblíqua do gráfico de h quando x → +∞.
•
Como então verifica-se que h é
estritamente crescente em todo o seu domínio.
•
Como verifica-se que o gráfico de
h tem a concavidade voltada para baixo em �+.• Representação gráfica:
d)
• Di = �• O gráfico de i não possui assíntotas verticais visto
tratar-se de uma função contínua (soma de fun-ções contínuas) em �.
A reta de equação y = 2x + 1 é assíntota oblíqua dográfico de i quando x → +∞.
D eh
= ∈ − > = + { : } x x� �1 0
Cálculo auxiliar:ex – 1 > 0 § ex > 0 § x > 0
h D
e
e
h( )
ln
x xx
x
= ∈
−( ) =
−
0
1 0
1
‹
§
§
ln
=
=
=
1
2
2
§
§
ex
x
lim ( ) lim ln ln x x
xx→ →
+
+ += −( ) = −
0 01 1 1h e (( ) = = −∞+ ln 0
mh e
= =−( )
=→ +∞ → +∞
⎛
⎝±∞
±∞
lim( )
limln
x x
xx
x x
1⎜⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
lim
ln
lim
x
x
x
x
ee
11
xx
x
x
x→ +∞
+ −⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
ln ln
li
ee
11
mm lim
ln
x x
xx
x→ +∞ → +∞
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +
−⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟1
1
e⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= +−( )
+∞= + =
x
ln
11 0
1 0 1
b h e lim ( ) lim ln
= − ×( ) = −(→ +∞ → +∞x x
xx x1 1)) −( )
= × −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
⎛
⎝⎜
→ +∞
lim ln
x
xx
x
xe
e1
1⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠→ +∞lim ln ln
x
x
xe
e1
1⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ +∞
lim ln
x
xx x
11
e−−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
→ +∞
lim ln ln
x
x x1
11
e−−
+∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = = ln
11 0
′ = −( )( )′ =−( )′
−=
−h e
e
e
e
e( ) ln
x x
x
x
x
x1
1
1
1D
h′
+= �
′ > ∀ ∈h Dh
( ) , ,x x0
′′ =−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=( )′ × −( ) −
he
e
e e e
( )
xx
x
x x
1
1 xx x
x
x x x x
x
× −( )′
−( )
=−( ) − ×
−
e
ee e e e
e
1
11
2
11
1 1
2
2
( )
=− −( )
−( )=
−
−( )e e e
e
e
e
x x x
x
x
x22
′′ < ∀ ∈h Dh
( ) , ,x x0
y
xO
h
ln 2
i e( )
x xx
= + +−
2 1 2
h e( ) ln x x= −( )1
mi e
lim( )
lim
l
= =+ +
=
→ +∞ → +∞
−
x x
x
x
x
x
x
2 1 2
iim
lim
lim
x x
x
x
x
x xx
x
→ +∞ → +∞
−
→ +∞
++
=
2 1
2
2e
++∞
= + =−∞e
2 0 2
b i e lim ( ) lim
= −( ) = + +→ +∞ → +∞
−
x xx x x2 2 1
lim
x
x
x
x2
2
2
1 1 1
−( )
= +( ) = + =→ +∞
−−∞e e + =0 1
mi
lim( )
lim
lim
= =+
+→ −∞ → −∞ → −∞x x x
x
x
x
x
2 1 ee
e
−
→ −∞ → +∞= +
−
lim lim
x
x y
y
xx
x y
2
2
2
•
i é estritamente decrescente em ]–∞, –2 ln4] e estri-tamente crescente em [–2 ln4, +∞[; 5 – 4 ln4 é míni-mo absoluto para x = –2 ln4.
•
logo o gráfico de i tem a concavi-
dade voltada para cima em �.• Representação gráfica:
134.
a)
•
•
Logo, f não tem zeros.• Assíntotas:
A reta de equação é assíntota vertical do
gráfico de f. O gráfico de f não tem mais assíntotasverticais visto tratar-se de uma função contínua noseu domínio.
A reta de equação é uma assíntota oblí-
qua do gráfico de f quando x → +∞.Como para x → –∞ os cálculos são análogos, tem-se
que a reta de equação é também assín-
tota oblíqua do gráfico de f quando x → –∞.
•
′ = + +( )′
= − =− −
′i e e D
i( )
x xx x
2 1 21
22 2 ��
′ = − = =
−
− −
i e e( )
x
x
x x
0 21
20 4
2
2 2§ §
§ ln ln= = −4 2 4§ x
′′ = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= − × −⎛
⎝
−
i e( )
xx
21
20
1
2
1
22 ⎜⎜
⎞
⎠⎟
= =
−
−
′′
e
e Di
x
x
2
21
4�
′′ > ∀ ∈i Di
( ) , ,x x0
y
xO5 - 4ln4
f( )
x
x x
x=
+ +
+
2 1
2 1
Df= ∈ + ≠ = −
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
{ : } \x x� �2 1 01
2
f( )
x
x x
xx x=
+ +
+= + +0
1
2 10 1
22§ §
Equuaçãoimpossível
em�
� �� �� ‹ x ∈ Df
= − l21
2iim (
y
y
y→ +∞= − × +∞
e
Limitenotável
��� ��2
1
2)) = −∞
lim ( ) lim
x x
xx x
x→ − → −
+ +=
+ +
+1
2
1
2
2 1
2 1f
lim ( ) lim
= = +∞
=
+
→ − → −− −
3
40
1
2
1
2
2
x x
xx
f++ +
+= = −∞
−
x
x
1
2 1
3
40
x = − 1
2
mf
lim( )
lim
= =
+ +
+
=
→ +∞ → +∞x x
x
x
x x
xx
2 1
2 1
llim
lim lim
x x
x x
x x
x
x→ +∞ → +∞
+ +
+= =
2
2
21
2 2 xx→ +∞=
1
2
1
2
b f lim ( ) lim
= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+→ +∞ → +∞x x
x xx x1
2
2 ++
+−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=+ +
→ +∞
lim
1
2 1
1
22 2 22
xx
x xx
−− −
+
=+
+=
→ +∞ →
lim
lim
2
4 22
4 2
2x x
xx
xx x ++∞ → +∞=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
x
x x4
1
4
1
4 lim
y x= + 1
2
1
4
y x= + 1
2
1
4
′ =+ +
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=+ +( )
f ( )
xx x
x
x x
2
2
1
2 1
1′′× +( ) − + +( ) × +( )′
+
2 1 1 2 1
2
2x x x x
x 114 4 1 2 2 2
2 1
2
2 2
2
( )
=+ + − − −
+( )=
x x x x
x
2 2 1
2 1
2
2
x x
x
+ −
+( )
139Tema II | Matemática 12
Cálculo auxiliar:Considerando a mudança de variável
Se x → –∞, então y → +∞.Como m ∉ � não existe assíntota nãovertical do gráfico de i quando x → –∞.
− = = −x
y x y2
2 §
x –∞ –2ln4 +∞
Sinal de i’ – 0 +
Variação de i ¢ mín. £
Cálculo auxiliar:
i e−( ) = − × + +
=
−−( )
2 4 2 2 4 12 4
2 ln ln
ln
−− + +
= − + +
= −
4 4 1
4 4 1 4
5 4
4 ln
ln
l
lne
nn4
f é estritamente crescente em e em
é estritamente decrescente em
e em é máximo
relativo para é mí ni mo relativo para
•
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo
em e voltada para cima em não
tem pontos de inflexão.
b)
•
•
g não tem zeros.• Assíntotas:
Df ′
= −⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
\�1
2
′ =
+ −
+( )=
+
f ( )
x
x x
xx
0
2 2 1
2 10
2 2
2
2
2
§
§ xx x
x
− = ∈
=− ± − ×
′
1 0
2 2 4 22
‹
§
Df
( )
× −
×∈
=− −
′
1
2 2
1 3
2
‹
§
x
x
Df
››
x =− +1 3
2
f f− −⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = −
− +⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
1 3
2
3
2
1 3
2
3
2
−∞− −⎤
⎦⎥
⎤
⎦⎥,
1 3
2− +
+∞⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
, ;
1 3
2
− −−
⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢1 3
2
1
2
, −
− +⎤
⎦⎥
⎤
⎦⎥1
2
1 3
2,
;
x =− −
;1 3
2
−3
2
x =− +
.1 3
2
3
2
′′( ) =+ −
+( )
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=
f xx x
x
x
2 2 1
2 1
2
2
2
2 ++ −( )′ × +( ) −
+( )( )− +
2 1 2 1
2 1
2 2
2
22
2
x x
x
x xx x
x
x
−( ) × +( )( )′
+( )( )
=+
1 2 1
2 1
4 2
2
22
(( ) +( ) − + −( ) × ×
+( )×
2 1 2 2 1 2
2 1
22
4
x x x
x
2 1 2
2 14
x
x
+( ) ×
+( )
2 1 4 2 2x x
=+( ) +( ) xx
x
x x
x
+( ) −(
+( )− + −( ) × )
1
2 1
2 2 1 4
2
4
2
++( )
=+ + + − − +( )
18 4 4 2 8 8 4
2
4
2 2x x x x x
x
x
+( )
=+( )
16
2 1
3
3
− +∞⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
1
2, ;−∞ −
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢,
1
2
y
xO
√32
√32
-
12
-
f
g( ) ln
xx
x=
−1
Dg
= ∈ > − ≠ = + { : ln } \x x x� �0 1 0‹ {{ }e
Cálculo auxiliar:1 – ln x = 0 § ln x = 1 § x = e
g
D
( ) ln
xx
xx x
=−
=
= ∈
01
0
0
§
§ ‹gg
Condição impossível� ���� ����
lim ( ) lim ln
ln
x x
xx
x→ → ++ +=
−=
−0 0 1
0
1 0g ==
− −∞
=+∞
=
( )
0
10
0
Matemática 12 | Guia do Professor140
x − −1 3
2
−1
2− +1 3
2
2x2 + 2x – 1 + 0 – n.d. – 0 +
(2x + 1)2 + + + n.d. + + +
Sinal de f’ + 0 – n.d. – 0 +
Variação de f £ Máx. ¢ n.d. ¢ mín. £
x –∞ −1
2+∞
Sinal de f” – n.d. +
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de f
∩ n.d. ∪
A reta de equação x = e é a única assíntota verticaldo gráfico de g. Não existem mais assíntotas verti-cais visto a função ser contínua nos pontos do seudomínio.
Como b ∉ �, conclui-se que o gráfico de g não pos-sui assíntotas não verticais.
•
A função g é estritamente crescente em ]0, e[ e em]e, e2]; é estritamente decrescente em [e2, +∞[; –e2 é máximo relativo de g para x = e2.
•
O gráfico de g tem a concavidade voltada para cimaem ]0, e[ e em [e3, +∞[, e tem a concavidade voltadapara baixo em ]e, e3]; apresenta um ponto de infle-
xão de coordenadas
mg
lim( )
lim ln lim
= = − =→ +∞ → +∞ →x x x
x
x
x
xx
1++∞
→ +∞
−
=− +∞
=
= −
1
11
10
ln
( )
lim ( )
x
xx
b g lim ln
lim
01
1
×( ) =−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
→ +∞
→ +
xx
xx
x ∞∞ → +∞ →+∞
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
−1
1
1 ln
lim limln
x
x x
xx x xx
Limitenotável
��� ��
= =−∞−
1
0
′ =−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=′ × − −
g ( ) ln
( ln )
xx
x
x x x
1
1 x
x
x x
× −( )′
−( )
=− − × −
ln
ln
ln
1
1
1 0
2
11
11 1
1
2
2
x
xx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−( )
=− +
−( )
ln
ln
lnD
′′
+=g
e \{ }�
′ =
−
−( )=
− =
g ( )
ln
ln
ln
x
x
xx
0
2
10
2
2§
§
ln
0
2
‹
§ ‹
§
x
x x
x
∈
= ∈′
′
D
Dg
g
x= ∈′
e Dg
2 ‹
g ee
e
ee2
2
2
22
1 1( ) =
−=
−= −
ln
′′ =−
−( )
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=−
g ( ) ln
ln
ln
xx
x
x
2
1
2
2
(( )′ × −( ) − −( ) ×
−( )( ) ln ln
ln
1 2
1
2
22
x x
x
×× −( )( )′
−( )( )
=− × −
ln
ln
ln
1
11
1
2
22
x
x
xxx x x
x
( ) − −( ) × −( ) ×
−( )
2
4
2 2 1
1
ln ln
ln
×× −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−( )
=− − − +
ln
( ln
1
11
1 4
4
x
x
xx ln )
ln
ln
ln
2
11
3
1
3
3
x
x
xx
x
−( )
=− −( )
−( )′
D′′
+=g
e \{ }�
e g e ee3 3 3
3
2, , .( )( ) = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y
xO ee2 e3
g
=→ →− −lim ( ) lim
x xx
e eg
xx
x
xx
1
10
1 1
10
0 ln
lim ( )
−=
−= =+∞
− +
→ +eg lim
ln
=
−=
−= =−∞
→ + −+x
x
xe 1
10
1 1
10
0
141Tema II | Matemática 12
x 0 e e2 +∞
2 – ln x n.d. + n.d. + 0 –
(1 – ln x)2 n.d. + n.d. + + +
Sinal de g’ n.d. + n.d. + 0 –
Variação de g n.d. £ n.d. £ Máx. ¢
x 0 e e3 +∞
−1
xn.d. – n.d. – – –
lnx – 3 n.d. – n.d. – 0 +
(1 – lnx)3 n.d. + n.d. – – –
Sinal de g” n.d. + n.d. – 0 +
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de g
n.d. ∪ n.d. ∩ ∪
Matemática 12 | Guia do Professor142
Aprende fazendo
Páginas 192 a 208
1. h(x) = eπ
h’(x) = 0Logo, h’(1) = 0.Opção (B)
2. O único gráfico que apresenta mudança de sinal noponto de abcissa 2 é o gráfico da opção (B).Opção (B)
3.
Opção (A)
4.
Opção (A)
5. Sabendo que a primeira derivada de g é negativa em� e a segunda derivada é positiva em �, então tra-ta-se de uma função estritamente decrescente cujográfico tem a concavidade voltada para cima em �.Opção (A)
6.
Opção (B)
7. Seja t a bissetriz dos quadrantes ímpares que se sabeser tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.
Então, mt = f’(4)Opção (B)
8.
Opção (A)
9.
Opção (B)
10.
O gráfico de f tem 2 pontos de inflexão.Opção (B)
11. Sabe-se que:• h(0) = 2;• h’(0) é o declive da reta tangente ao gráfico de h
no ponto de abcissa 0. Como esta é paralela àbissetriz dos quadrantes pares, então o seudeclive é –1; assim, h’(0) = –1;
• h”(0) = 0 pois, em x = 0, o gráfico da função hmuda o sentido das concavidades.
Assim: h(0) + h’(0) + h”(0) = 2 + (–1) + 0 = 1Opção (A)
t.m.v.0 4
4 34 0
4 0, ln
( ) ( )
l
⎡⎣
⎤⎦=
−
−=§
f fnn
ln( ) ln
ln
ln
3
8
43
8
4
4§
§
+ −=
+⎛
⎝⎜
⎞
k k
k
k ⎠⎠⎟ =
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ( )
ln
ln
ln ln
4 3
83
8
4
44
§ §k
k
++⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+= + =
ln
k
k
k
kk k
3
83 8 3§ §
§ k = 4
§ lim( ) ( )
1
4
44=
−
−→x
x
x
f f
′ = ′+( )′
+=
+
f gk
k
k
( ) ( )
x xx
x x
x
§
§
1
1== + =
=
1
0x
x x§
§
k
k
′ =⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′( ) =
′ × −h
g
f
g f g( )
( ) ( ) (1 1
1 1 1)) ( )
× ′
( )( )=
− × − ×= −
f
f
1
1
4 2 3 1
2
11
4
2
2
′′ =
−( ) +( ) −( ) =
−
f ( )
x
x x x
x
0
3 1 2 0
3
2 22
2
§
§ == + = −( ) =
=
0 1 0 2 022
2
› ›
§
x x
x 3 12› x = −Equação
impossívelem �
��� ��
–
›
§ › ›
x
x x
− =
= =
2 0
3 3 xx = 2
x 0 b +∞
Sinal de f 0 – 0 +
Variação de f ¢ mín. £
x 0 a +∞
Sinal de f" – – 0 +
Sentido das concavidades dográfico de f
∩ P.I. ∪
x –∞ +∞
Sinal de h" –
Sentido das concavidadesdo gráfico de h
∩
x –V√3 V√3 2
(x2 – 3) + 0 – 0 + + +
(x2 + 1) + + + + + + +
(x – 2)2 + + + + + 0 +
Sinal de f" + 0 – 0 + 0 +
Sentido das concavidades do gráfico de f
∪ P.I. ∩ P.I. ∪ ∪
12. Por observação do gráfico de g, sabe-se que g(a) < 0,g’(a) < 0 e g”(a) > 0. Assim, g’(a) × g"(a) < 0.Opção (C)
13.
O gráfico da função h” obtém-se do gráfico da fun-ção g” por uma contração vertical segundo o fator
, seguida de uma simetria em relação ao eixo Oxe posteriormente de uma translação associada aovetor →u (0, 1).Opção (A)
14. Por observação do gráfico e das sucessivas retassecantes ao gráfico de f representadas na figura,concluímos que os seus declives são negativos etendem para –∞.
Opção (C)
15. Das opções apresentadas, f(1) é máximo relativode f apenas nas opções (A) e (C); destas, é apenasem (C) que se verifica f’(x) constante se –2 < x < 1.Opção (C)
16.
Logo,
pois f’(1) = mt = 2, onde t: y = 2x + 3 e f(1) = 5, umavez que P(1, f(1)) pertence ao gráfico de f, e simul-taneamente à reta tangente t; então, tem-se queP(1, f(1)) = (1, 2 × 1 + 3) = (1, 5). Opção (C)
17. g(x) = kx2 + 4x + 1 (k ≠ 0)g’(x) = 2kx + 4Logo, o declive da reta tangente ao gráfico de g noponto de abcissa 1 é g’(1) = 2k + 4 e o declive da nor-mal à curva representativa da função g em x = 1 é
Assim:
Opção (B)
18.
a)
b)
c)
19.a) f(x) = x + 1
P(2, f(2)) = (2, 3)y = mx + b, em que m = f’(2) = 1, e como P(2, 3) per-tence à reta vem: 3 = 1 × 2 + b § b = 1A equação da reta tangente ao gráfico de f no pontode abcissa 2 é y = x + 1.
b) g(x) = 3x2 – 2x + 1P(1, g(1)) = (1, 2)y = mx + b, em que m = g’(1) = 4, e como P(1, 2) per-tence à reta, então 2 = 4 × 1 + b § b = –2.
h g
h g
( ) ( )
( ) ( )
x xx
x xx
= − +
′ = − +⎛
⎝
1
2 2
1
2 2
2
2
⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟
′
= − ′ +
= − ′ +
′′
( )
( )
(
1
2
2
2
1
2
g
g
h
xx
x x
x)) ( ) ( ) = − ′ +⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
= − ′′ +1
2
1
21g gx x x
y
xO
2
2
3
s2s1
t1s3
12
′ =⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=× − × ′
gf
f f( )
( )
' ( ) (x
x
x1 1 1 xx
x
x
x
)
( )
( )
( )f
f
f( )= −
′
( )2 2
′ = −′
( )= − = −g
f
f( )
( )
( ) 1
1
1
2
5
2
252 2
−+
1
2 4k .
−+
= − + =
= −
1
2 4
1
22 4 2
1k
k
k
§
§
′ =−
−
=+
→
→
ff f
( ) lim( ) ( )
lim
22
22
2
x
x
x
xx 11 3
22
21
2
lim
−
−
=−
−=
→
xx
xx
′ =−
−=
−→ →
gg g
( ) lim( ) ( )
lim
1
1
1
31 1
2
x x
x
x
x
lim
2 1 2
1
3 2 1
11
2
x
x
x x
xx
+ −
−
=− −
−→==
− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
=
→
→
lim( )
lim
x
x
x x
x1
3 11
31
113
1
34x +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
′ =−
−=
−→ →
hh h
( ) lim( ) ( )
lim
00
00 0
3
x x
x
x
x 55 0
55
2
0
2
0
2
x
xx x x
xx x
x x
−
=−( )
= −(→ →
lim
lim
)) = 0
143Tema II | Matemática 12
t1 → semitangente àdireita em x = 2
Cálculo auxiliar:
3 2 1 0
2 4 4 3 1
6
1
2x x
x
x
– –
– (– )
=
=± × ×
= –› x =1
3
A equação da reta tangente ao gráfico de g no pontode abcissa 1 é y = 4x – 2.
c) h(x) = x3 – 5x2
P(0, h(0)) = (0, 0)y = mx + b, onde m = h’(0), e como P(0, 0) pertenceà reta, então b = 0.A equação da reta tangente ao gráfico de h no pontode abcissa 0 é y = 0.
20. f(x) = x3 – x2
f’(x) = 3x2 – 2xAssim, o declive da reta tangente ao gráfico de f noponto de abcissa 1 é f’(1) = 3 – 2 = 1 logo, a inclina-ção é o ângulo α tal que tg α = 1, com α ∈ [0, 180°[.Então, α = 45°.
21.
a)
A velocidade média do balão nos primeiros 20 minu-tos é de 12 m/min.
b) D’(t) = –0,06t2 + 2tD’(5) = –0,06 × 52 + 2 × 5 = 8,5D’(5) = 8,5 significa que a velocidade instantânea dobalão aos 5 minutos era de 8,5 m/min.
c)
O balão atinge a altura máxima de 377 metros aos33 segundos.
22. Seja f a função definida por e que designa ocusto médio do produto:
O custo médio é mínimo para q = 40 unidades.
23.a)a1) f’(–1) = f(1) = f(3) = 0 logo, em x = –1, x = 1 e x = 3,
o declive das retas tangentes ao gráfico de f éigual e, portanto, as retas são paralelas.
a2) logo, em x = 2 e x = 0, as respetivas
retas tangentes tem declives 1 e –1 e, portanto,são retas perpendiculares.
a3) Para que as retas tangentes ao gráfico de f te -nham inclinação no intervalo ]90°, 180°[, os seusdeclives tem de ser negativos e, como se verificaf’(–2) < 0 e f’(2) < 0, é em x = –2 e x = 2 que tal severifica.
b)b1) Verdadeiro. A função f é contínua em �, visto tra-
tar-se de uma função polinomial.b2) Falso. Como f’ se anula nos pontos de abcissa
x = –1, x = 1 e x = 3, mudando de sinal à esquerdae à direita dos respetivos pontos, tem-se que f tem3 extremos relativos.
b3) Falso. Como se observa pelo gráfico de f’, tem-se quef’(x) < 0, para x ∈ [2, 3[, logo, neste intervalo, a funçãof é estritamente decrescente e, como em x = 3 apre-senta um mínimo relativo, então f(2) > f(3).
b4) Verdadeiro. Como se observa pelo gráfico de f’, hádois pontos onde o declive da reta tangente aográfico de f’ é zero, mudando f” de sinal à esquer-da e à direita desses pontos, logo o gráfico de ftem dois pontos de inflexão.
c)
′ = − + = − +D t t t t t( ) , ( , )0 0 06 2 0 0 06 22§ §
=
= =
0
0100
3§ ›t t
t
D
= ≈
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≈
100
333
100
3377
t.m.v.0 20
20 0
20 0
247,
( ) ( )
⎡⎣
⎤⎦=
−
−=
−D D
7
2012=
C q
q
( )
f qC q
q
q q
qq( )
( )
= =
− += − +
2 15 32002 15
2
( )
3200
2 153200
2
q
f q qq
′ = − +⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
= −−3200
2q
′ =
− =
− =
f q
q
q
( )
0
23200
0
2 3200 0
2
2
§
§ ‹
q
q q
q
2
2
0
1600 0
40
≠
= ≠
=
§ ‹
§ › q = −40
fC
( ) ( )
4040
40145= =
′ = −′
ff
( ) ( )
21
0
Matemática 12 | Guia do Professor144
t 0 100
350
Sinal de D’ 0 + 0 – –
Variação de D
D(0)mín. £
D100
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
¢D(50)mín.
q 0 40 +∞
Sinal de f’ n.d. – 0 +
Variação de f n.d. ¢f(40)mín. £
x –∞ –1 1 3 +∞
Sinal de f’ – 0 + 0 – 0 +
Variação de f ¢ m £ M ¢ m £
Máx.
145Tema II | Matemática 12
c1) Por exemplo:
c2) Por exemplo:
d)d1) y = mx + b, onde m = f’(0) = 1.
Como P(0, f(0)) = (0, 1) pertence à reta tem-seque: 1 = 1 × 0 + b § b = 0Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de fé y = x.
d2) Pelas alíneas anteriores, além do sentido de varia-ção, sabe-se que é em x = –1 e em x = 3 que a fun-ção f admite mínimo relativo.
Como tem-se que
d3) O gráfico da função obtém-se do gráfico
da função f por uma translação associada ao vetor
Como o mínimo de f é , existem dois
zeros da função
24.
a)
b)
c)
d)
e)
Fazendo a mudança de variável 2x = y, se x → 0,então y → 0.
25.a) y = mx + b, onde m = f’(–1) = –5, e P(–1, f(–1)) = (–1, 4)
pertence à reta, logo 4 = –5 × (–1) + b § b = –1.Assim, y = –5x – 1 é a equação reduzida da reta tan-gente ao gráfico de f no ponto de abcissa –1.
b) y = mx + b, onde e
pertence à reta, logo:
f f(– ) ( ) – ,1 33
4= = ′ = − +∞
⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢D
f , .
3
4
f( ) x +3
4
�u 0
3
4, .
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
3
4
f( ) .x +3
4
′ − =− −
− −
=
→ −
→
ff f
( ) lim( ) ( )
( )
lim
11
11x
x
x
x
−−
→ −
+ − −
+
=+ +
1
3 2
1
2
3 2 4
11 2
x x x
xx x x
x
lim( )
−−( )+
= + −( ) = −→ −
lim
4
12 4 5
1
2
xx x
x
y
xO
f
-1 1 2 3
y
xO
f
-1 1 2 3
′ =
−
+−
−=
→g ( ) lim
lim
2
2 1
3
3
522x x
x
xx →→
→
− − −
+
−
=
( )
lim
2
2
10 5 3 9
5 3
2
x x
x
x
x
( ) ( – ) lim
(
7 14
5 3 2
7 22
x
x x
xx
−
+=
−→
))
( ) ( – )
lim( )
5 3 27
5 3
7
52
x x
xx
+
=+
=→ ××
=
5
7
25
′ =−
−=
−
−
=
→ →h
h h( ) lim
( ) ( )lim
2
2
2
1 1
422 2
2
x x
x
xxx
llim lim( )( )
( x x
x
xx
x x
x x→ →
−
−=
− +
−2
2
2
2 2
4
42
2 2
4 2))
lim( )( )
( )lim
( )
=− − +
−=
− +→ →x x
x x
x x
x2 2 2
2 2
4 2
2
444
4 4
1
4
2x
=−
×= −
′ =−
−=
+ −
−
=
→ →i
i i( ) lim
( ) ( )lim
l
3
3
3
1 2
33 3x x
x
x
x
x
iim( )
lim
x
x
x x
x x
x
→
→
+ −( ) + +( )− + +( )
=+
3
3
1 2 1 2
3 1 2
11 2
3 1 21 4
3 1 2
22
3
( ) −
− + +( )=
+ −
− + +→
( )
lim( )
x x
x
x xx (( )=
+ +=
→lim
x x3
1
1 2
1
4
′ =−
−=
−→ →
+
jj j e e
( ) lim( ) ( )
lim
00
00 0
2 3 3
x x
xx
x xx
x xx
x
x
x
=× −( )
= ×−
= ×
→ →lim lim
l
0
3 23
0
2
3
1 1e ee
e
e iim lim x
x
y
y
x y→ →
−×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ×
−0
23
0
1
22 2
1ee
e
Limittenotável
� �� ��
= × =2 1 23 3e e
m g= ='( )27
25
P g( , ( )) ,2 2 23
5=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Cálculo auxiliar:
1 3 –2 –4
–1 –1 –2 4
1 2 –4 0 = r
Assim, é a equação reduzida da reta
tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2.
c) y = mx + b, onde e
pertence à reta, logo:
Assim, é a equação reduzida da reta
tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 2.
d) y = mx + b, onde e P(3, i(3)) = (3, 2) per-
tence à reta, logo
Assim, é a equação reduzida da reta
tangente ao gráfico de i no ponto de abcissa 3.e) y = mx + b, onde m = j’(0) = 2e3 e
pertence à reta, logo e3 = 2e3 × 0 + b § b = e3.Assim, y = 2e3x + e3 é a equação reduzida da retatangente ao gráfico de j no ponto de abcissa 0.
26. Sabe-se que m = tg45° § m = 1Sendo x0 a abcissa do ponto de tangência, tem-seque f’(x0) = m, logo 2x0 – 1 = 1 § x0 = 1
Assim, T(1, t(1)) = (1, –4) são as coordenadas doponto de tangência.
27.
Sendo x0 a abcissa do ponto de tangência, tem-seque f’(x0) = m, logo, 8x0 – 4 = 12 § x0 = 2.Assim, T(2, f(2)) = (2, 9) são as coordenadas doponto de tangência.
28.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
§ § b b= − =3
5
14
25
1
25
3
5
7
252= × + b
y x= +7
25
1
25
m h= = −'( )21
4
P h2 2 21
4, ,( )( ) =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
§ b =3
4
1
4
1
42= − × + b
y x= − +1
4
3
4
m i= ='( )31
42
1
43
5
4= × + =b b .§
y x= +1
4
5
4
P j e0 0 0 3, ,( )( ) = ( )
Cálculo auxiliar:f’(x) = 2x – 1
f '( ) ( )
( )
x x x x
x
= −( )( )′
= − × −( )′
= − × =
2 1 2 2 1 2 1
2 2 1 2
2
88 4x −
′ = − − +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= − −a ( )x x x x x x43
52 7 12
6
523 2 2
′ = − − +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= − −be e
( )x x x x x x xπ π10 7 3 9 6 212 9 10
76
′ = −( )( )′
= −( ) × −( )′
= −
c ( )x x x x
x
2 3 4 2 3 2 3
4 2 3
24
23
2
2(( ) × = −( )32
3
4 16 2 3x x x
′ = −( ) × −( )( )′
= −( )( )′
×
d ( )x x x x x
x x x
4 23
6 5
4 23
6
5 5
5 −−( ) + −( ) ×
× −( )′
= −( ) ×
5 5
5
3 5
5 4 23
6 5
4 22
4
x x x
x x
x x x
−−( )′ × −( ) +
+ −( ) × −( )
=
5 5
5 6 25
3
2 6 5
4 23
5 4
x x x
x x x x
x
44 22
3 6 5
4 23
5
5 4 10 5
5 6
−( ) × −( ) × −( ) +
+ −( ) ×
x x x x x
x x x −−( )25 4x
′ = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × −( )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= −⎛
⎝⎜
⎞
e ( )x x x
x
21
23
21
2
2 3
2
⎠⎠⎟
′
× −( ) + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
× −( )′
= − × −
3 21
2
3
3
3 2
3
x x
x
x x
( ) 33 2 2
4 2 4
21
23
3 63
25
2
( ) + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × −( )
= − + − +
=
x x
x x x x
xx x x4 26 3− −
f '( )
( ) (
xx
x
x x x
=−
+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=−( )′ × + − −
2 5
3 1
2 5 3 1 2 55 3 1
3 1
2 3 1 2 5 3
3 1
2
)
( ) ( – )
× +( )′
+( )=
+ − ×
+( )
x
x
x x
x22 2
2
6 2 6 15
3 117
3 1
=+ − +
+( )
=+( )
x x
x
x
g '( )xx
x
x
x=
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=−
−
⎛
⎝⎜
2 3
43
2 3
42
3
2
⎞⎞
⎠⎟ ×
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
×
2
2
2
2
2 3
4
32 3
4
2
x
x
x
x
x
−−( )′ × −( ) − −( ) × −( )′
−( )
= ×−(
3 4 2 3 4
4
32 3
2 2
22
x x x
x
x ))
−( )×
−( ) − −( ) ×
−( )
=× −(
2
22
2
22
4
2 4 2 3 2
4
3 2 3
x
x x x
x
x )) × − − +( )
−( )
=−( ) − + −
22 2
24
22
2 8 4 6
4
3 2 3 2 6 8
x x x
x
x x x(( )
−( )x24
4
Matemática 12 | Guia do Professor146
h)
i)
j)
k)
29. ; g(–1) = 2 e g’(–1) = 3
a)
b)
c)
30.
a)
b)
c)
d)
h'( )x x x
x x
= +( )′ = +( )( )′
= +( ) × +(−
2 21
2
21
2 2
3 3
1
23 3))′
= ×+
×
=+
1
2
1
32
3
2
2
xx
x
x
i'( )x x x
x
= −( )′ = −( )( )′
= −( ) ×−
2 1 2 1
1
32 1 2
43 41
3
42
3 xx
x
x
x
x
4
423
3
3
423
1
1
3
1
2 1
8
8
3 2 1
−( )′
= ×
−( )×
=
−( )
j'( )xx
x
x
x=
−
+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜2 1
3 1
2 1
3 1
1
2
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
′
= ×−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
1
2
2 1
3 1
2 1
3 1
1
2x
x
x
x
′′
= ×+
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
×−( )′ × +( ) − −
1
2
3 1
2 1
2 1 3 1 2 1
1
2x
x
x x x(( ) × +( )′
+( )
= ×+
−×
+( ) − −
3 1
3 1
1
2
3 1
2 1
2 3 1 2 1
2
x
x
x
x
x x(( ) ×
+( )
= ×+
−×
+ − +
+( )
=
3
3 1
1
2
3 1
2 1
6 2 6 3
3 1
3
2
2
x
x
x
x x
x
xx
x x
+
−×
+( )1
2 1
5
2 3 12
′ =+ +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=′ × + +( ) − × + +( )′
k ( )xx x
x x x x
1
2
1 2 1 2
xx x
x x
x x
+ +( )
=− ′ + +( )( )
′⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+ +( )
=− −
2
0 2
2
1
2
1
2
2
11
22 2
2
1
2
2
× +( ) × +( )′
+ +( )
−
x x
x x
11
2
1
21
=
− − ×+
×
+
x
x x ++( )=
− + −
+
+ +( )
=− + −
+ + +
2
2 2 1
2 2
2
2 2 1
2 2 2
2 2
x
x
x x
x
x x x(( )2
f( )x x= +2 5
f g f g+( )′ − = ′ − + ′ − =−
+ =− +
( ) ( ) ( )1 1 16
63
6 18
6
f g f g f g×( )′ − = ′ − × − + − × ′ −
= − × +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1
6
62 66 3
6
33 6
8 6
3
×
= − + =
fog f g g f( )′ − = ′ −( ) × ′ − = ′ × = × =( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 32
33 2
′ = ( )′ = +( )′ × =+ + +a e e e( ) x xx x x2 1 2 1 2 12 1 2
′ = +( )′ =+( )′
+=
+b ( ) ln( )x x
x
x x2 1
2 1
2 1
2
2 1
c e
e
'( )
ln
x
x x
x x
x x
= +( )′
= × −( )′ × + ′ × ×
= −
−
−
2 2
2 2 2
2
22
44 2 22
x x xe− + × ln
′ = ( )′ =( )′
= =d ( ) ln(ln )ln
ln ln lnx x
x
xxx x x
11
147Tema II | Matemática 12
Cálculos auxiliares:
′( ) = +( )′ = +( )( )′
= +( ) × +(−
f x x x
x x
2 21
2
21
2 2
5 5
1
25 5))′
= ×+
×
=+
1
2
1
52
5
2
2
xx
x
x
Cálculos auxiliares:
′ =+
= =f ( )22
2 5
2
9
2
32
Logo, ′ − =−
−( ) +
=−
= −f ( ) .11
1 5
1
6
6
62
e)
f)
g)
h)
i)
31.
a)
• f’(x) para x > –4:f’(x) = 1
• f’(x) para x < –4:f’(x) = –1
• f’(x) para x = –4:
Assim:
b)
• g’(x) para x < –3 › x > 3:
g’(x) = (x2 – 9)’ = 2x• g’(x) para –3 < x < 3:
g’(x) = (–x2 + 9)’ = –2x• g’(x) para x = 3:
logo não existe g’(3).
• g’(x) para x = –3:
logo não existe g’(–3).
Assim:
c)
• h’(x) para x > 1:
• h’(x) para x < 1:
′ =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=−
e ( ) lnxx
x
x
x11
1
1
1
2
xx
x
x x= − = −
2
1
′ = ( )′
= ( )′ × + ×
f e
e e
( ) log ( )
log ( ) lo
x x
x
x
x x
4
2
4
2
4
3
3 gg ( )
log ( )ln
l
2
4
2
4
4
3
4 33
3 2
4
x
xx
x x
x
( )′
= × + ××
= ×
e e
e oog ( )ln2
4
32
xx
x
+e
′ =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=( )′ × − × ( )′
(g ( )
ln ln (ln )x
x
x
x x x x
x4
4 4
4 ))
=× − ×
=−
=−
2
4 3
8
3
8
5
14
1 4
1 4
xx x x
x
x x
xx
x
ln( ln )
ln
′ = ( )′
= ( )( )′
= ( )−
h ( ) ln( ) ln( )
ln( )
x x x
x
5 5
1
25
1
2
1
2 ×× ( )′
= × × =
ln( )
ln( ) ln( )
5
1
2
1
5
5
5
1
2 5
x
x x x x
′ =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
= ×⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⎛i
e e e( )x
x x x
x x x3 2
3⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= ×( )
×( )′ × − ×
= ×
3
3
2
2 2
2
2
e e e
e e
x x x
x x
x
x x
x
x
'
×× −=
× −
=−
x
x
x
xx
x
x x x
x
e e e
e
2
2
4
3
4
3 1
3 1
( )
( )
f( )x xx x
x x= + =
+ ≥
− − < −4
4
4
se –4
se 44
⎧⎨⎪
⎩⎪= D
f�
′ − =− −
− −=+
→ − → −+ +f
f f( ) lim
( ) ( )
( )lim
4
4
44 4x x
x
x
xx
x
x
xx
+ −
+=
′ − =− −
− −−
→ − −
4 0
41
44
44f
f f( ) lim
( ) ( )
( ))lim
( ) ( ),
=
− − −
+= −
′ − ≠ ′ −
→ −
+ −
−x
x
x4
4 0
41
4 4f f loggo não existe f ′ −( ).4
′ =>
− <
⎧⎨⎪
⎩⎪= −
′f D
f( )
–\{ }x
x
x
1
1 44
se –4
se�
g( )x xx x
x x= − =
− − ≥
− + − <
⎧⎨⎪
⎩⎪2
2 2
2 29
9 9 0
9 9 0
se
se
=− ≤ − ≥
− + < <
⎧⎨⎪
⎩⎪
x x x
x x
2
2
9 3 3
9
se
se –3 3
›D
g== �
g'g g
( ) lim( ) ( )
lim
33
3
9 03 3
2+
→ →=
−
−=
− −+ +x x
x
x
x
x −−
=− +
−= + =
→ →+ +
33 3
33 6
3 3lim
( )( )lim ( )
x x
x x
xx
g'(( ) lim( ) ( )
lim
33
3
9 03 3
2−
→ →=
−
−=
− + −− −x x
x
x
x
x
g g
−−
=− − +
−= − + = −
→ →− −
33 3
33
3 3lim
( )( )lim ( )
x x
x x
xx 66
′ ≠ ′+ −g g( ) ( ),3 3
′ − =− −
− −=+
→ − → −+ +g
g g( ) lim
( ) ( )
( )lim
3
3
33 3x x
x
x
−− + −
+
=− − +
+=
→ − → −+
x
x
x x
xx x
2
3
9 0
33 3
3lim
( )( )lim
33
3
3 6
33
3
+
−
− − =
′ − =− −
− −−
→ −
( )
( ) lim( ) ( )
(
x
x
xxg
g g
))lim
lim( )( )
=− −
+
=− +
+
→ −
→ −
−
−
x
x
x
x
x x
x
3
2
3
9 0
33 3
333 6
3= − = −
→ − −lim ( )
xx
′ − ≠ ′ −+ −g g( ) ( ),3 3
′ =< − >
− < <
⎧⎨⎪
⎩⎪g
D
( )
xx x x
x x
2 3 3
2
se
se –3 3
›
′′= −
g� \ { , }3 3
h( )xx x x
xx
=+ ≥
− <
⎧
⎨⎪
⎩⎪
2 1
11 1
– 3 2 se
se
′ = − +( )′ = −h ( )x x x x2 3 2 2 3
′ = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= −h ( )xx x
11
12
Matemática 12 | Guia do Professor148
• h’(x) para x = 1:
Assim:
d)
• i’(x) para x > –1:
• i’(x) para x < –1:
• i’(x) para x = –1:
logo i’(–1) existe e i’(–1) = –2.Assim:
e)
• j’(x) para x ≠ 0:
• j’(x) para x = 0:
Fazendo a mudança de variável se x → 0+, então y → +∞.
logo não existe j’(0). Assim:
′ =−
−=
− ++
→ →+ +h
h h( ) lim
( ) ( )lim
1
1
1
3 21 1
2
x x
x
x
x x −−
−
=− −
−= −
→ →+ +
0
11 2
12
1 1
xx x
xx
x xlim
( ) ( )lim ( )
== −1
′ =−
−=
− −−
→ →− −h
h h( ) lim
( ) ( )lim
1
1
1
11 0
1 1x x
x
xx
x −−
=
−
−=
− −
−
=
→ →− −
11
1
1
11 1lim lim
( )
( )
li
x x
x
xx
x
x x
mm x x→ −
−= −
1
11
′ = ′ = − ′ = −+ −h h h( ) ( ) , ( ) .1 1 1 1 1logo
′ =− ≥
− <
⎧
⎨⎪
⎩⎪
=′
h Dh
( )xx x
xx
2 3 1
11
2
se
se�
i e( )
xx
x x
x
= ≥ −
< −
⎧⎨⎪
⎩⎪
−2 1
2
1
1
se
se
′ = ( )′ = −( )′ =− − −i e e e( ) x x xx x x2 2 21 2 1 11 2
′ = ( )′ =i ( )x x x2 2
′ − =+
=
+
→ −
−
→ −
−
+
+
ie
e
( ) lim–
lim
11
11
1
1
2
2
x
x
x
x
x
( )( )( )
lim
1
1
1
1 11
2
−
+ −× −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=→ −
−
+
x xx
x
xe
( )
lim
1
2
0
1
11
1
−
−× −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=−
→
xx
yy
ye
Limitennotável
� �� ��× − = × − −
= −
→ −lim ( ) ( )
xx
11 1 1 1
2
′ − =− −
− −=−
→ − → −− −i
i i( ) lim
( ) ( )
( )lim
1
1
11 1x x
x
x
xx
x
x x
xx
x x
2
1 1
1
11 1
1
−
+
=− +
+=
→ − → −− −lim
( )( )lim (
−− = −1 2)
′ − = ′ −+ −i i( ) ( ),1 1
′ = ≥ −
<
⎧⎨⎪
⎩⎪
−
i e( )–
x x x
x x
x2 1
2 1
2 1 se
se
je
( )xx
x
x=
+
≠
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
1
1
0
0 0
1se
se
′ =
+
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
′
=′ × +( ) − × +( )
′
j
e
e e( )x
x
x x1
1
1 1 1 11
1 1
11
0 01
1
12
1
12
+( )
=
− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
+( )=
e
e
e
x
x
x
x−− −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
+( )
=
+( )
1
1
1
2
1
12
1
21
2
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
′( ) =−
−= +
−
+
→ →+ +j
j j e00
0
1
10 0
1
lim( ) ( )
lim x x
xx
x
00
1 1
1 10 1
x
x xy y
xx
y
=
+
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
=
+→
→ +∞
+lim
lim
e eyy
y y
y
y y
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
→ +∞ → +∞
1
1lim lim
e
Liimitenotável
� �� ��
=+ +∞
=+∞
=1
0
10
( )
1 1
xy x
y= = ,§
′( ) =−
−= +
−
−
→ →− −j
j j e00
0
1
10 0
1
lim( ) ( )
lim x x
xx
x
00
1
1
1
0 1
1
0 1 0
0 1
x
xx
x
=
+( )=
+( )
=× +
=
→ − −∞
−
−lim
( )
ee
11
0−= −∞
′ ≠ ′+ −j j( ) ( ),0 0
′ =
+( )=
′j
e
e
Dj
( ) ; \ { }x
x
x
x
1
21
2
1
0�
149Tema II | Matemática 12
Matemática 12 | Guia do Professor150
32.a)
Seja t a reta da equação y = mx + b, onde
pertence à reta t, logo:
Assim, y = 3x é a equação reduzida da reta tangenteao gráfico de f no ponto de ordenada 1.Seja n a reta de equação y = mx + b, onde
pertence à reta n, logo:
Assim, é a equação reduzida da nor-
mal à curva representativa da função f no ponto deordenada 1.
b)
• Em x = 2:Seja t a reta de equação y = mx + b, onde
P(2, 0) pertence à reta t, logo:
Assim, é a equação reduzida da
reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2.Seja n a reta de equação y = mx + b, onde:
P(2, 0) pertence à reta n, logo:
Assim, é a equação reduzida da
normal à curva representativa da função g no pontode abcissa 2.• Em x = –2:Seja t a reta de equação y = mx + b, onde:
P(–2, 0) pertence à reta t, logo:
Assim, é a equação reduzida da
reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa –2.Seja n a reta de equação y = mx + b, onde:
P(–2, 0) pertence à reta n, logo:
Assim, é a equação reduzida da
nor mal à curva re pre sentativa da função g no pontode abcissa –2.
33.a)
A criança perde a consciência após 49 segundos deter caído ao lago.
b) Pretende-se determinar T’(0,811).
Assim,
′ = ( )′ =− −f e e( ) x x x3 1 3 13
f e( ) x x= −3 1
m f e= ′⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
× −1
33 3
31
31
.
P1
31,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 31
30= × + =b b §
m
f
= −
′⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −1
1
3
1
3.
P1
31,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
11
3
1
31
1
9
10
9= − × + = + =b b b § §
y x= − +1
3
10
9
g
Dg
( )
log
x
x
x x
x
=
−( ) =
− = ∈
=
0
3 0
3 1
2
2
2
§
§ ‹
§ 44
2 2
( )
‹
§ › ‹
x
x x x
∈
= = − ∈
D
Dg
gg
′ = −( )( )′ =−( )′
−( ) ×
=−
g ( ) logln
x xx
xx
x
22
2
2
33
3 102
33 10( )ln
m g= ='( )ln
.24
10
04
102
8
10= × + = −
ln
lnb b§
y x= −4
10
8
10ln ln
mg
= − = −1
2
10
4'( )
ln
010
42
10
2= − × + =
ln
lnb b§
y x= − +ln ln10
4
10
2
m g= ′ − = −( )ln
24
10
04
102
8
10= − × − + = −
ln( )
lnb b§
y x= − −4
10
8
10ln ln
mg
= −′ −
=1
2
10
4( )
ln
010
42
10
2= × − + =
ln( )
lnb b§
y x= +ln ln10
4
10
2
T t e
e
t
t
( )
,
,
,
= =
=
−
−
−
27 35 27
27
35
0 32
0 32
0 32
§
§
§ tt
t
t
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−≈
ln
ln
,,
27
3527
350 32
0 811
§
00 811 60 49, × ≈
′ = ( )′ = × − × = −− −T t e et t( ) ( , ) ,, ,35 35 0 32 11 20 32 0 32 ee t−0 32,
′ = − × ≈ −− ×T e( , ) , ,, ,0 811 11 2 8 60 32 0 811
Cálculos auxiliares:
f
e
P
( )
,
x
x
x
x
=
=
− =
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
1
1
3 1 0
1
3
1
31
3 1§
§
§
No momento em que atingiu 27 °C, ou seja após0,811 minutos de ter caído ao lago, a temperaturacorporal da criança estava a descer à taxa de 8,6 °Cpor minuto.
34.
a)
b)
Observa-se que a função é estritamente crescenteem [0, 2] e estritamente decrescente em[2, +∞[,logo, são necessárias 2 horas, após a ingestão doálcool, para que o nível no sangue comece a decres-cer.
c)
O nível de álcool no sangue atinge 0,04 em doismomentos: após, aproximadamente, 0,41 horas eapós, aproximadamente, 5,67 horas de ter sido inge-rido.
Como C’(0,41) ≈ 0,08, conclui-se que, após 0,41horas do álcool ter sido ingerido, o nível de álcoolno sangue está a aumentar a uma taxa de 0,08 porhora.Como C’(5,67) ≈ –0,01, conclui-se que, após 5,67horas do álcool ter sido ingerido, o nível de álcool no sangue está a diminuir a uma taxa de 0,01 porhora.
35.
a)
significa que, 1 ano após
ter sido posta em prática essa política de proteção,o número de indivíduos da espécie em causa, estavaa crescer à taxa de 2 indivíduos por ano.
significa que, 20 anos
após ter sido posta em prática a política de proteção,o número de indivíduos da espécie em causa, estavaa crescer à taxa de 3 indivíduos por ano.
b)
logo, a função N é estritamentecrescente, o que significa que a população destaespécie está sempre a aumentar.
c)
Supondo que se mantém válido o modelo, o númerode indivíduos esperado desta espécie, daqui a mui-tos muitos anos, tende a ser 600 indivíduos.
′ = ( )′
= ′ × + × ( )′
− − −
C t te t e t et t t
( ) , ,
0 12 0 122 2 2
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + × −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
− −
0 121
22 2,
e t et t
00 12 11
22,
× −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
e tt
′ =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=
−
−
C t
e t
e
t
t
( )
,
,
0
0 12 11
20
0 12
2
2
§
§ 00 11
20
Equaçãoimpossível
� ��� ���
›
§
− =t
t == 2
y
y1
2
2
0 12
0 04
=
=
−
,
,
tet
y1
y2
C (t)
t
0,04
0,41 5,67
′ =+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=′ × +(
−
−
N te
e
t
t
( ),
,
600
1 3
600 1 3
0 02
0 02 )) − × +( )′
+( )
=− × +
−
−
600 1 3
1 30 600 0 3
0 02
0 022
e
e
t
t
,
,
×× −( )+( )
=+
−
−
−
( , ) ,
,
,
0 02
1 336
1
0 02
0 022
0 02
e
ee
t
t
t
33 0 022
e t−( ),
′ =+( )
≈−
−
Ne
e( ) ,
,
,
136
1 32
0 02
0 022
′ > ∀ ∈ +N t t( ) ,00�
lim ( ) lim ,t t t
N te→ +∞ → +∞ −
=+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
600
1 3
600 02
00
1 3600
1 0600
+
=+
=
−∞e
′ =+( )
≈− ×
− ×
Ne
e( ) ,
,
,
2036
1 33
0 02 20
0 02 202
′ =+( )
=−
−
−
N te
ee
t
t
( )
,
,
,
036
1 30
3
0 02
0 022
0 0
§
§ 22
00t t= ∈ +
Equaçãoimpossível
� �� �� � ‹
151Tema II | Matemática 12
x 0 2 +∞
0 12 2,
et
− + + + +
11
2− t + + 0 –
Sinal de C’ + + 0 –
Variação de C mín. £ Máx. ¢
36.a) Pretende-se calcular
Assim:
Quando t = 10, a planta 1 está a crescer à taxa de1,556 centímetros por dia.
Assim:
Quando t = 10, a planta 2 está a crescer à taxa de0,466 centímetros por dia.
b)
Após, aproximadamente, 21 dias de terem sido plan-tadas, as duas plantas atingiram a mesma altura,que foi de aproximadamente 20 cm.
c) As duas plantas atingiram a mesma altura no ins-tante t = 21:
Como conclui-se que, no momento
em que as duas plantas atingiram a mesma altura, eraa planta 1 que estava a crescer mais rapidamente.
37.
a)
e – 1 ≈ 1,7É aproximadamente aos 2 anos de idade que a crian-ça atinge a sua maior capacidade de aprendizagem.
b)
P1
10 1 556′ ≈( ) ,
P te
e
t
t
2 0 6
0 6
20
1 17
20 1 17
′ =+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=× +(
−
−
( )
'
,
, )) − × +( )′
+( )
=− × × −
−
−
20 1 17
1 170 20 17
0 6
0 62
e
e
t
t
,
,
( 00 6
1 17
204
1 17
0 6
0 62
0 6
0 6
, ) ,
,
,
,
e
e
e
e
t
t
t−
−
−
−+( )=
+ tt( )2
P2
10 0 466′ ≈( ) ,
P1P2
P
t
1,11
20,00
0,81
20,71
Pe
e1
0 3 21
0 3 212
21157 5
1 250′ =
+( )≈
− ×
− ×
( ),
,,
,
226439
21204
1 172
0 6 21
0 6 21
Pe
e
′ =+( )
− ×
− ×
( ),
, 22
0 00069≈ ,
P P1 2
21 21′ > ′( ) ( ),
′ =+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=+( )′ × + −
R tt
t
t t
( )ln( )
ln( ) ( ) ln
1
1
1 1 (( ) ( )
( )
( ) ln( )
( )
t t
t
tt t
t
+ × + ′
+
= +× + − +
+
1 1
11
11 1
1
2
22 2
1 1
1=
− +
+
ln( )
( )
t
t
P te
e
t
t
1 0 3
0 3
21
1 25
21 1 25
′ =+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=× +(
−
−
( )
'
,
, )) − × +( )′
+( )
=− × + ×
−
−
21 1 25
1 250 21 0 25
0 3
0 32
e
e
t
t
,
,
((– , )
,
,
,
,
0 3
1 25157 5
1 2
0 3
0 32
0 3
e
ee
t
t
t
−
−
−
( )+( )
=+ 55 0 3
2
e t−( ),
P P1 2
10 10′ ′( ) ( ).e
′ =− +
+( )=
+ =
R tt
tt
( ) ln( )
– ln( )
01 1
10
1 1 0
2§
§ ‹‹
§ ‹
§
[ , ]
ln( ) [ , ]
t
t t
t
∈
+ = ∈
+
0 5
1 1 0 5
11 0 5
1 0 5
= ∈
= − ∈
e t
t e t
[ , ]
[ , ]
‹
§ ‹
′′ =− +
+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′
=− +( )
R tt
t
t
( )ln( )
( )
ln( )
1 1
1
1 1
2
′′× + −
+( )− − +( ) × +( )′
( )
( )
ln( ) ( )
(
t
t
t t
t
1
1
1 1 1
2
22
2
++( )
=−
+× + − − +( ) × +
+
1
1
11 1 1 2 1
22
2
)
( ) ln( ) ( )
(t
t t t
t 11
1 2 1 1 1
11 2 2
4
4
)
( ) ( ) ln( )
( )l
=− + − + − +( )
+
=− − +
t t t
tnn( )
( )
ln( )
( )
t
t
t
t
+
+=
− + +
+
1
1
3 2 1
13 3
′′ =− + +
+=
− + +
R tt
tt
( ) ln( )
( ) ln( )
03 2 1
10
3 2 1
3§
§ == ∈
+ = ∈
0 0 5
13
20
[ , ]
ln( ) [ ,
‹
§ ‹
t
t t 55
1 0 5
1
3
2
3
2
]
[ , ]
§ ‹
§ ‹
t e t
t e
+ = ∈
= − tt ∈ [ , ]0 5
Matemática 12 | Guia do Professor152
t 0 e – 1 5
1 – ln(t + 1) + + 0 – –
(t + 1)2 + + + + +
Sinal de R’ + + 0 - -
Variação de R mín. £ Máx. ¢ mín.
Como o máximo de R’ é atingido em t = 0, isto significaque, para este modelo, o momento em que a capa-cidade de aprendizagem está a aumentar mais rapi-damente é logo após o momento do nascimento.
38.a) Por exemplo:
b) Por exemplo
39. Da análise do gráfico de f, decorre que, esta funçãoé decrescente no intervalo ]–∞, –a] e no intervalo[a, +∞[ e é crescente em[–a, a]. Logo, f’ é negativapara x < –a e para x > a e é positiva entre –a e a. Portanto, o gráfico de f’ está representado na figu-ra 3.O gráfico de f tem a concavidade voltada paracima para x entre –b e 0 e para x > b, tem a con-cavidade voltada para baixo para x < –b e para xentre 0 e b. Logo, f” é positiva para x entre –b e 0e para x > b, e negativa para x < –b e para x entre0 e b. Portanto, o gráfico de f” está representadona figura 2.
40.a) • Assíntotas verticais:
A reta de equação x = 1 é assíntota vertical do grá-fico de f.Como a função f é contínua em �+\{1} o seu gráficonão admite mais assíntotas verticais.• Assíntotas não verticais:
A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de f quando x → +∞.
b) f é contínua em ]1, +∞[ pois, neste intervalo, é defi-nida pelo produto de duas funções contínuas (umaque é uma função afim e a outra que é a compostade uma função exponencial com uma função afim);em particular, f é contínua em [4, 5].
Cálculos auxiliares:R’(0) = 1R’(5) ≈ –0,02
1 2
y
xO
f
y
xO
f
-1 1 2 3
y
xO 1
lim ( ) limln
lim (
x x
x
xx
x
x
→ →
→
+ +
−
= =−∞
=0 0
1
3 00f
f )) limln
= = = −∞→ −−x
x
x1
3 3
0
y x x
x
xx x
= + ∈ → +∞
= =→ +∞ → +
m b m b
mf
, , ( )
lim( )
lim
�
∞∞
−
→ +∞
−= =x
x
x
x
xee
33 0
lim
b f e= −⎡⎣ ⎤⎦ = =→ +∞ → +∞
−lim ( ) lim lim
x x
x
xx x x0 3
→→ +∞ −
→ +∞ −= ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ×
lim lim
x
x
x
x x x
e
e ee
3
3
31→→ +∞ → +∞
→ +∞
= ×
= × =
lim
lim
x
x
x
x x x
x
x
ee
e
ee
e
3
3 3
1
1××
+∞= × =
10 03e
f ee
f ee
( ) ,
( ) ,
4 44
1 472
5 55
0 6
3 4
3 5
2
= × = ≈
= × = ≈
−
− 777
13
1
3
1
31 104−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −−
= ≈fe
e
e
ee
f
ln
,
(( ) ( )51
4< −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ <f
ef
153Tema II | Matemática 12
t 0 e3
2 1− 5
–3 + 2 ln(t + 1) - - 0 + +
(t + 1)3 + + + + +
Sinal de R" - - 0 + +
Variação de R’Máx.
1 ¢ mín. £Máx.–0,02
Matemática 12 | Guia do Professor154
Logo, pelo teorema de Bolzano-Cauchy, concluímosque:
c)
Como o si-
nal de f’ depende apenas do sinal de (ln x – 1).
logo, f é estritamente decrescente em ]0, 1[.
d)
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixoem ]1, 2] e tem a concavidade voltada para cima em[2, +∞[. 2 é abcissa do ponto de inflexão.
e) Seja y = mx + b a equação reduzida da reta tangenteao gráfico da função f no ponto de abcissa 3.
O ponto (3, f(3)) = (3, 3) pertence à reta, logo:3 = –2 × 3 + b § 3 = –6 + b § 9 = b
Assim, y = –2x + 9 é uma equação da reta tangenteao gráfico da função f no ponto de abcissa 3.
41.
a)
g’(x) = –e1 – x
g’(a) = –e1 – a é o declive da reta r.y = –e1 – a x + bComo (a, g(a)) = (a, e1 – a) pertence à reta r, vem que:
Assim, r : y = –e1 – e x + e1 – a (1 + a).Logo, M(0, e1 – a (1 + a)).Sabemos, então, que:
Logo:
b)
logo, o sinal de A’ depende ape-
nas do sinal de –a2 + 2.
∃ ∈ = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∃ ∈
4, 5
4, 5
c f c fe
c f
] [: ( )
] [: (
1
§ cc fe
) +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
10
Em 0, 1 ] [, ( )ln
.
( )ln ln
f
f
xx
x
xx x x x
=
′ =( )′ − (
3
3 3 ))′=
× − ×
( )
=−
(ln )
ln
ln (ln )
(ln
x
x xx
xx
x
2 2
3 31
3 1
))2
(ln ) , ] , [ , ] , [x x x2 0 0 1 3 0 0 1> ∀ > ∀ ∈e
ln , ] , [, ( ) , x x x x− < ∀ ∈ ′ < ∀ ∈1 0 0 1 0isto é, f ] , [0 1
Em ]1, [, ( )
( ) '
( 1) (1 )
( ) (1 ) 1
(1 ) ( 1)
(1 – 1) (2 )
3
3 3
3 3 3
3 3
3 3
3 3
f e
f e
e e e
f e e
e e
e e
x x
x x e x
x x
x x x x
x
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
( )
( ) ( )
( )
( )
+∞ =
′ = +′
= + × − × = −
′′ =′
× − + × −′
= − × − + × −
= − + = − × −
−
− −
− − −
− −
− −
− −
( ) 0 1
– (2 ) 0 1
( 0 2 0) 1
2 1
Equaçãoimpossível
3
3 � �� ��
‹
§ ‹
§ › ‹
§ ‹
f
e
e
x x
x x
x x
x x
x
x
′′ = >
− = >
− = − = >
= >
−
−
m f e e
b
= ′ = − = − × = −
= − +
−( ) ( ) 3 1 3 2 2
2
3 3 0
y x
y
xO r
gN
PM
a
AMO PN
ONMNOP[ ] =
+×
2
e e a b e e a b
e
a a a a1 1 1 1
1
− − − −= − × + + × =§
§ −− + = ( )a a b1
MO e a
PN e
ON a
a
a
= +
=
=
−
−
1
1
1
( )
A ae a e
a
A ae a
a a
a
( )( )
( )(
=+ +
×
=+
− −
−
1 1
1
1
21
§++
×
=+
=
−
−
1
22
2
1
1 2
)
( )( )
( )(
a
A ae a a
A ae a
a
a
§
§++ 2
2
a)c.q.d.
′ = × ( )′ +( ) + +( )′⎡
− −A a e a a e a aa a( ) 1
22 21 2 1 2⎣⎣
⎤⎦
= × − +( ) + +( )⎡⎣ ⎤⎦
=
− −1
22 2 2
1
2
1 2 1e a a e a
e
a a
1 2
1 2
2 2 2
1
22
−
−
− − + +( )
= − +( )
a
a
a a a
e a
1
201e aa , ,− +> ∀ ∈ �
′ = − +( ) = ∈
−
− +A a e a a
a
a( )
01
22 01 2
2
§ ‹
§
�
++ = ∈
= ∈
= ±( )
+
+
2 0
2
2
2
‹
§ ‹
§
a
a a
a
�
�
‹ §a a∈ =+� 2
x 1 2 +∞
–e3 – x – – –
2 – x + 0 –
Sinal de f" 0 +
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de f
∩ P.I. ∪
A é estritamente crescente em ]0, V√2] e é estrita-mente decrescente em [V√2, +∞[.
é o valor máximo que a
área do trapézio [MNOP] pode assumir.
42.
a) é o valor do declive da assíntota não verti-
cal do gráfico de f quando x → +∞, ou seja
.
Os pontos (1, 0) e (2, 2) pertencem à assíntota
y = mx + b; então, .
Ou seja, .
b) y = 2x + bComo o ponto (1, 0) pertence à reta, vem que:0 = 2 × 1 + b § 0 = 2 + b § –2 = by = 2x – 2 é uma equação de assíntota.
c)c1)
c2)
c3)
43.a)
b)
f(1) = ln1 – ln2 = –ln2f é estritamente crescente em ]0, 1];f é estritamente decrescente em [1, +∞[;f(1) = –ln2 é máximo relativo(absoluto) de f.
44. Seja f uma função par, isto é,
Provamos que
Ou seja, f’ é ímpar.
45. Seja f uma função ímpar, isto é,
Provamos que ou seja, f épar.
+
-- - 2√ 2√
Ae
e22 2 2
21 2
1 21 2( ) =
+( )= +( )
−−
A e2 1 21 2( ) = +( )−
lim( )
x
xx→ +∞
f
lim( )
x
xx→+∞
=f
m
m =−
−= =
2 0
2 1
2
12
lim( )
x
xx→ +∞
=f
2
′ = = − =
= −
f ( )
{ , }
x x x0 2 1
2 1
§ ›
C.S.
f f
f f
( ) ( )
( ) ( )
x xx x× ′ >
> ∧ ′ >⎡⎣ ⎤⎦
0
0 0§ › ff f( ) ( )
]
x xx x
< ∧ ′ <⎡⎣ ⎤⎦
> − < <
=
0 0
1 2 0§ ›
C.S. −− ∪ +∞2 0 1, [ ] , [
′ × ′′ <
′ < ′′ >⎡⎣ ⎤⎦
f f
f f
( ) ( )
( ) ( )
x xx x
0
0 0§ ‹
( ) ( )
›
‹
§ ›
′ > ′′ <⎡⎣ ⎤⎦
< <
f fx xx
0 0
0 1
] , [ ] , [
x < −
= − ∞ − ∪
2
2 0 1C.S.
( ) ln2
ln ln 1 ln2
ln ln2 ln 1
ln ln 2 2
2 2
2 2 0
2
2
2
2
2
�
�
�
�
�
f
§ ‹
§ ‹
§ ‹
§ ‹
§ ‹
xx x xx x xx x x
x x xx x x
( )
( )
( )
=
− + = ∈
= + + ∈
= + ∈
= + ∈
− + − = ∈
+
+
+
+
+
′ = ( )′ − +( )⎡⎣ ⎤⎦′
= −+
=+ −
f ( ) ln ln
x x x
xx
xx2
2
2
1
1 2
1
1 22 12
3
2
3
xx x
xx x+
=− +
+
D
ff ′
+=
′( ) =
− + = + ≠
�
xx x x
0
1 0 02 3
§ ‹ ‹ xxx x x xx
∈
− = − +( ) ≠ ∈
+
+
�
�§ ‹ ‹
§
2 21 1 022 1 0
1 1
= ≠ ∈
= − =
+
( )
‹ ‹
§ ›
x xx x
�
‹ x ∈ +�
f f Df
( ) ( ), − = ∀ ∈x x x
′ =+ −
=− − −
→ →f
f h f
h
f h fh h
( ) lim( ) ( )
lim( ) (
x x x x
0 0
–– )
lim((– ) (– )) (– )
(– )
x
x x xh
f h f
hf
h= −
+ −
−= − ′
→ 0
′ = − ′
′ = − ′ ∀ ∈′
f f
f f Df
( ) (– )
(– ) ( ),
x xx x x§
1 1 4 ( 2) (–2)
4
1 –15
4
Equação impossível em
C.S.
�
�
�
§ ‹
§ ‹
x x
x x
=− ± − × − ×
−∈
=− ±
−∈
= ∅
+
+
f f Df
( ) ( ), − = − ∀ ∈x x x
′ =+ −
=− − +
→ →f
f h f
h
f hh h
( ) lim( ) ( )
lim( (
x x x x
0 0
))) ( )
lim(( ) ( )) ( )
(
+ −
=− + − − −
−= ′ −
→
f
hf h f
hf
h
x
x x0
xx)
′ = ′ ∀ ∈′
f f Df
( ) (– ), ,x x x
155Tema II | Matemática 12
x 0 1 +∞
– x2 + 1 n.d. + 0 –
x(x2 + 1) n.d. + + +
Sinal de f’ n.d. + 0 –
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de f
n.d. £Máx.f(1) ¢
a 0 V√2 +∞
Sinal de A’ n.d. + 0 –
Monotonia de A n.d. £Máx.A(V√2) ¢
46. Para que a bissetriz dos quadrantes pares, reta deequação y = –x, seja tangente ao gráfico de f, teráde existir um ponto de abcissa x0 tal que f’(x0) = –1. Assim, f’(x) = 3x2 – 12x + 8 e f’(x0) = –1.
Existem dois pontos do gráfico de f que admitemcomo tangentes retas de declive –1: os pontos Pe Q de coordenadas, respetivamente, P(1, f(1)) eQ(3, f(3)).Mas, P(1, f(1)) = (1, 3) não pertence à bissetriz dosquadrantes pares e Q(3, f(3)) = (3, –3) pertence àbissetriz dos quadrantes pares logo, é esse o pon-to de tangência pretendido.
A bissetriz dos quadrantes pares interseta o gráfico de f em dois pontos, o ponto de tangênciaQ(3, –3) e a origem O(0, 0).
47. Sabendo que a reta tangente ao gráfico de f noponto de abcissa 1 tem inclinação 135°, ou sejadeclive igual a tg 135° = –1, pretende-se determi-nar k tal que f’(1) = –1. Assim:
Logo:
48. A concentração máxima de antibiótico ocorre pas-sadas 2 horas de ter sido administrado logo, nessemomento, a taxa de variação é nula, isto é, C’(2) = 0.
Como
vem que:
Como também se sabe que a concentração máxi-ma é de 10 microgramas por mililitro de sangue,para t = 2, vem que:
49. Se f admitir derivada finita em x = 1, então f teráde ser contínua em x = 1, e tal só se verifica se
Assim:
Para k = –6, temos que:
e trata-se de uma função contínua.Averiguemos, então, se neste caso, f’(1) existe:
′ = −
− + = −
− + =
f ( )
x
x x
x x
x
0
0
2
0
0
2
0
1
3 12 8 1
3 12 9 0
§
§
§00 0
3 1= = › x
f( ) –x x
x x x x
x x x
x x x
=
− + = −
− + =
− +(
3 2
3 2
2
6 8
6 9 0
6 9
§
§
)) =
= − + =
= =
0
0 6 9 0
0 3
2§ ›
§ ›
x x x
x x
′ =+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=+( )′ × + − +
fk
k
k k k
( )
( ) ( )
xx
x
x x x
1
2
1 2 1 ×× +( )′
+( )
=+ − + ×
+( )
=
2
22 1 2
22
2
2
x
xx x
xx
k
kk k k
k
( ) ( )
kk k k
k
k
k
+ − −
+( )=
−
+( )
2
2
2
2
2 2
2
2
2
x
x x
′ = −−
× +( )= −
− = − +( )
fk
k
k k
( )
1 12
2 11
2 2
2
2
22
§
§
‹
§ ‹
§
2 0
2 4 4 2
2
2 2
+( ) ≠
− = − − − ≠ −
k
k k k k
22 4 2 0 2
1 2
2k k k
k k
k
+ + = ≠ −
= − ≠ −
=
‹
§ ‹
––1
′ = ( )′
= ′ × + × ( )′( )= +
−
− −
−
C t Ate
A t e t e
A e
kt
kt kt
kt
( )
tt k e
Ae kt
kt
kt
× − ×( )= −
−
−
( )
( )1
C
Ae k
Ae
k
k
'( )
( )
2 0
1 2 0
0
2
2
=
− =
=
−
−
§
§Equação
imposssível
� �� ��
›
§
1 2 0
1
2
− =
=
k
k
C
A e
Ae
A e
(2) 10=
× × =
=
=
− ×
−
§
§
§
2 10
10
25
1
22
1
lim ( ) ( ). x
x→
=1
1f f
lim ( ) lim ( ) ( )
lim (
x x
x
x x
x→ →
→
− −
+
= = =1 1
2
1
1 1f f
f )) lim
lim (
= + +( ) = + + = +→
→
+
−
x
x
x x
x1
2
1
3 4 3 4 7k k k
fe )) lim ( )
= = +
= −→ +x
x1
1 7
6
f k
k
§
§
f( )xx x
x x x=
≤
− + >
⎧⎨⎪
⎩⎪
2
2
1
3 6 4 1
se
se
′ =−
−=
−
−−
→ →− −f
f f( ) lim
( ) ( )lim
1
1
1
1
11 1
2
x x
x
x
x
x
==− +
−= + =
′
→ →− −lim
( )( )lim ( )
(
x x
x x
xx
1 1
1 1
11 2
e
f 111
1
3 6 41 1
2+
→ →=
−
−=
− + −+ +
) lim( ) ( )
lim x x
x
x
x xf f 11
1
3 1
13 1 0
1
2
1
x
x
xx
x x
−
=−( )−
= − =→ →+ +lim lim ( )
Matemática 12 | Guia do Professor156
Como f’(1–) ≠ f’(1+), não existe f’(1).Conclui-se, então, que não existe k ∈ � tal que fadmite derivada em x = 1.
50. Se existir derivada finita de g em x = 1, então a fun-ção g terá de ser contínua em x = 1, e tal só se veri-fica se
Assim:
Se a = – b, tem-se que:
Para que g’(1) exista g’(1–) = g’(1+):
Como se pretende que g’(1–) = g’(1+), então:
De (1) e (2) vem que:
51. Por exemplo:
52.
a)
g é estritamente decrescente em e es tri-
tamente crescente em
é mínimo absoluto de g.
lim ( ) ( ). x
x→
=1
1g g
lim ( ) lim
lim
x x
x
x
x→ →
+ +
→
− −= ( ) =
1 1g e ea b a b
11 11 1 1 1
1 1
+ += + = + ×
= =→
g
g
e
( ) lim ( log ) log
( )
l
x x x
x
iim ( ) lim ( )
x xx x
→ →
+
− +=
=
+ =
1 1
1
0
g g
e
a b
a b§
§
§ ( )a b= − 1
gb b
( )log
x e xx x x
x=
<
+ ≥
⎧⎨⎪
⎩⎪
− + se
se
1
1 1
′ =−
−=−
→ →
− +
− −g
g g e b
( ) lim( ) ( )
lim
11
11 1x x
xxx
bb
be e
−
−
=−
−=
− →
− −
→
1
11
11 0
1
0
x
xx
x
ylim lim
( )
−−
− →
−
−
=−
−× −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
b
b
be
bb
y
y
yy
y
1
10
lim ( )
lim
zz
z
z→
−× −
= × − = −
( )
( )
0
1
1
eb
bLimite notável� �� ��
bb
(1 ) lim( ) (1)
1
lim1 log 1
1
limlog
1
lim( 1)log( 1)
lim( 1) limlog( 1)
1 limln ( 1)
(ln(10))
11
ln(10)lim
ln( 1)
11
ln(10)1
1ln(10)
Limite notável
1
1
– 1 0
0
0 0
0
0� ��� ���
gg gxxx xx
x xx
y yy
y yy
yyyy
x
x
x
y
y y
y
y
′ =−
−
=+ −
−
=−
=+ +
= + ×+
= ×+
×
= × ×+
= × × =
+
→
→
→
→
→ →
→
→
+
+
–1ln(10)
1ln(10)
–1ln(10)
§a b
b
a
b
= −
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
=
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
y
xO-1 1 3
3
g e D
g e
g
g( )
( )
( )
x x
x
x
x
x
= − + =
′ = −
′ =
−
−
1
11
2
0
2
2
�
§ 111
20
1
21 2
2
2
2 2
− =
− = − =
− =
−
− −
e
e e
x
x x
x
§ §
§ lln ln
ln
2 2 2
1
4
§
§
x
x
= −
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
–1
ln(10)1
ln(10)(2)§b b= =
g eln ln
ln
1
4
1
41
1
4⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − +
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
22
41
21
41
1
41 4
1
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − + ( )
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − + =
ln
ln ln
lne
441
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−∞⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎤
⎦⎥
⎤
⎦⎥, ln
1
4
ln , ;1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +∞
⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
g ln ln 1
4
1
41
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
157Tema II | Matemática 12
x –∞ ln1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +∞
Sinal de g’ – 0 +
Variaçãode g ¢
mín.
g ln1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ £
b)
logo, o gráfico de g tem a conca-vidade voltada para cima em todo o seu domínio (�).O gráfico de g não admite pontos de inflexão.
c) • Assíntotas verticais:Dado que g é contínua em �, o seu gráfico não admi-te assíntotas verticais.• Assíntotas não verticais:(y = mx + b, m ∈ �, b ∈ �) (x → +∞)
A reta de equação y = x – 1 é assíntota oblíqua dográfico de g quando x → +∞.
Consideremos Como x→ –∞, então y→ +∞.
Como o valor obtido não é um número real, o gráficode g não admite assíntota não vertical quando x→ –∞.Logo, o gráfico da função g admite apenas uma úni-ca assíntota.
d) g é contínua em � por se tratar da soma de duasfunções contínuas (uma que é uma função afim e aoutra que é a composta de uma função exponencialcom uma função afim; em particular, é contínua em[–3, –2].
Pelo corolário de Teorema de Bolzano-Cauchy, con-cluímos que isto é, a funçãog tem pelo menos um zero em ]–3, –2[.Pela alínea a), sabemos que g é estritamente decres-
cente em em particular, é estritamente
decrescente em [–3, –2], logo, o zero é único.
53.
a)
b)
′′ > ∀ ∈g ( ) , ,x x0 �
mg
e
=
=− +
=
→ +∞
→ +∞
−
→ +
lim( )
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
1 2
∞∞
−
− +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= − ++∞
= − + =
11
1 00
1 0 0 1
2
x x
x
e
b g e= −⎡⎣ ⎤⎦ = − + −( )
=
→ +∞ → +∞
−
lim ( ) lim
x x
x
x x x x1 2
llim
x
x
→ +∞
−
− +( ) = − + = −1 1 0 12e
( )
lim( )
lim
li
x
x
x
x
x
x
x
x
→ −∞
=
=− +
=
→ −∞
→ −∞
−
mg
e1 2
mm
lim – lim
x
x
x x
x x→ −∞
−
→ −∞
− +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
=
11
1
2e
→→ −∞ → +∞
−
×
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
– lim
–
1
2
1
2
2
x xx
x
e
− =x
y2
.
′′ = − × −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × = ×
− −
g e e( )
xx x1
2
1
2
1
42 2
g e e
g e
( ) ,
( )
− = − − + = − + ≈
− = − − + = −
3 3 1 4 0 482
2 2 1 3
3
2 3
2
2 ++ ≈
− × − <
e
g g
– ,
( ) ( )
0 282
3 2 0
∃ ∈ =–3, –2c g c ] [ : ( ) ,0
- , ln1
4∞
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎤
⎦⎥
⎤
⎦⎥;
′ =× +( ) − +( )′
+
− −
P te e
e
t t
( )' , ,8 1 8 1
1
4 0 4 4 0 4
4 ,
,
,
( , )
−
−
−
( )
=− × − ×
+(
0 42
4 0 4
4 0 4
8 0 4
1
t
t
t
e
e ))
=×
+( )∀ ∈
−
−
+
2
4 0 4
4 0 42 0
3 2
1
,,
,
,
e
et
t
t
� c.q.d..
= −1 0 −−
= − × +∞
→ +∞
1
2
11
2
lim
( )
y
y
y
e
Limitenotável
��� ��
–= ∞
′′ =( )′ +( ) −− −
P te e et t
( ), , , ,3 2 1 3 24 0 4 4 0 4
24 ,
,
,
−
−
−
( ) ×
+( )
× +( )⎡
0 4
4 0 44
4 0 42
1
1
t
t
t
e
e⎣⎣⎤⎦′
+( )
=× − × +
−
−
1
3 2 0 4 1
4 0 44
4 0 4
e
e e
t
t
,
,, ( , ) 44 0 42
4 0 44
4 0 4
13 2 2
,
,
,– , (
−
−
−
( ) −
+( )× × −
t
t
t
ee 00 4 1
1
1 28
4 0 4 4 0 4
4 0 44
4
, )
,
, ,
,
e e
e
e
t t
t
− −
−
+( )
+( )
=− , , ,,− − −+( ) + ( ) ×
+
0 4 4 0 42
4 0 42
1 2 56
1
t t te e
e44 0 44
4 0 4
4 0 44
1
1
,
,
,
−
−
−
( )× +( )
+( )
=
t
t
t
e
e
e44 0 4 4 0 4 4 0 41 1 28 1 , , ,,− − −+( ) − +( ) +⎡⎣
t t te e⎢⎢
+( )
+⎤⎦
+
−
−
−
1
2 56
1
4 0 44
4 0 4
4 0 4
e
e
e
t
t
,
,
,
,
tt
t te e e
( )
=+( ) − +− − −
4
4 0 4 4 0 4 41 1 28 1 28 , , , , 00 4
4 0 44
1
,
,
t
te
( )
+( )−
Matemática 12 | Guia do Professor158
Dado que
e o sinal de P" depende
apenas do sinal de
O dia em que a taxa de aumento do nível da água nocanal foi mais elevada foi o correspondente a t = 10.
54.a) • Em ]0, +∞[ g é contínua, por se tratar do produto
entre duas funções contínuas: uma que é uma fun-ção a fim e a outra que é uma função logarítmica.
• Em x = 0:
Consideremos . Como x → 0+, então y → +∞.
g(0) = 0
Como concluímos que g é contínua
à direita em x = 0 logo, g é contínua em �+0.
b) • Assíntotas verticais:Dado que g é contínua em �+
0 o seu gráfico não admi -te assíntotas verticais.• Assíntota não vertical(y = mx + b, m ∈ �, b ∈ �)
Como o valor obtido não é um número real, concluí-mos que o gráfico de g não admite assíntota nãovertical.Logo, o gráfico de g não tem assíntotas.
c) • Em ]0, +∞[:g’(x) = x’ lnx + x(lnx)’ = lnx + x × = lnx + 1• Em x = 0:
logo, g não é derivável em x = 0.
g’(x) = 1 + lnx Dg’ = �+
g é estritamente decrescente em e estrita-
mente crescente em 0 é máximo relativo
para x = 0 e é mínimo absoluto para
d) g’(x) = lnx + 1 Dg’ = �+
Dg" = �+
logo, , o que nos
leva a concluir que o gráfico de g tem a concavidadevoltada para cima em �+ e não tem pontos de inflexão.
e)
e tt4 0 4
00 , , ,− +> ∀ ∈ �
1 04 0 4+( ) > ∀ ∈− +e tt , , �− + −1 28 1 28 4 0 4, , . ,e t
− + =
=
−
−
1 28 1 28 0
1 28 1 28
4 0 4
4 0 4
, ,
, ,
,
,
e
e
t
t§
§ ,
,
,e t
t t
t4 0 4 1 4 0 4 0
0 4 4 10
− = − =
= =
§
§ §
lim ( ) lim ( ln ) limln
x x xx x x x
→ → →+ + += =
−⎛
⎝0 0 0
1
g⎜⎜
⎞
⎠⎟
1
x
1
xy=
= − = − =→ +∞lim
ln y
y
y
Limitenotável
��� ��0 0
lim ( ) ( ), x
x→ +
=0
0g g
( )
lim( )
lim ln
lim
x
x
xx x
x
x
x
x
→ +∞
=
=
=
→ +∞
→ +∞
→
mg
++∞
= +∞
ln x
1
x
g'g g
( ) lim( ) ( )
lim ln
0
0
00 0
+
→ →=
−
−=
=
+ +x x
x
x
x x
xllimln
xx
→ += −∞ ∉
0�
g’( ) ln
ln –
x x x
x x
= + = >
=
0 1 0 0
1
§ ‹
§ ‹ >>
= >
0
10§ ‹ x x
e
ge e e e
1 1 1 1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −ln
01
, e
⎤
⎦⎥
⎤
⎦⎥
1
e, ;+∞
⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
x =1
e.–
1
e
g"( )xx
=1
′′ > ∀ ∈ +g ( ) , x x0 �1
0x
x> ∀ ∈ +, ,�
y
xO1
1
e
1e
-
Em �+
=
=
=
:
( )
ln
ln
g x
x x
x x
0
0
0
§
§ › ==
= =∉ +
0
0 1§ ›x x��
159Tema II | Matemática 12
x 0 10 +∞
Sinal de P" + + 0 –
Variação de P mín. £ Máx. ¢
x 01
e+∞
Sinal de g’ n.d. – 0 +
Variaçãode g
Máx.0 ¢
mín.
−1
e£
55.a) I ≥ 100 § 170 + 10logP ≥ 100
§ 10logP ≥ –70 § logP ≥ –7 § P ≥ 10–7
Devem ser utilizados meios de proteção auditiva a partirde um valor de potência superior ou igual a 10–7.
b) I = 170 + 10 logP § I – 170 = 10logP§ 0,1 I – 17 = logP§ P = 100,1 I – 17
Seja I a intensidade de som de potência P. Então, é a intensidade do som de potência P1.Temos, então:
c) I = 170 + 10logPSeja I a intensidade do som de potência P. Seja I1 aintensidade do som de potência 103 × P. Então:
Provamos, assim, que quando a potência cresce emprogressão geométrica de razão 103, a intensidadecresce em progressão aritmética de razão 30.
d)
d1)
Como o valor obtido não é um número real, con-cluímos que o gráfico de I não admite assíntotasnão verticais.
d2)
Logo, não há um valor P0 tal que I’(P0) = I"(P0).
56.
Seja d a distância entre o ponto P e o ponto (0, 2),em função da abcissa do ponto P.
O ponto que está mais próximo do ponto (0, 2) é o
ponto e a distância entre os dois pontos é:
I
2
P
P
I
I
I
1
2
0 1 17
0 12
172
0 110
10
10
( )=
( )=
−
× −
,
,
,
,
, ,
−
−
− − += =
17
0 1 34
0 1 17 0 1 34
10
10 1
I
I I 0017 c.q.d.
I I P P1
3170 10 10 170 10
170 10
− = + ×( ) − +( )= +
log log
logg log log
log
10 170 10
170 10 3 17
3 +⎡⎣ ⎤⎦ − −
= + +( ) −
P P
P 00 10
30 10 10 30
−
= + − =
log
log log
P
P P
lim( )
limlog
lim
P P
P
I P
P
P
P→ +∞ → +∞
→ +∞
=+
=
170 10
177010 0
P
P
PP+ × = +
→ +∞lim
log
Limite notável� �� ��
110 0 0× =
lim ( ) lim log P P
I P P→ +∞ → +∞
−⎡⎣ ⎤⎦ = +⎡⎣ ⎤⎦
=
0 170 10
1770 10+ × +∞ = +∞( )
′ = × =
′′ =− × ′
= −
′ = ′
I PP P
I PP
P P
I P
( )
( )
( )
101 10
10 102 2
′′ = − + =
+
I PP P P P
P
P P
( )
§ §
§
10 10 10 100
10 10
2 2
2 2==
+=
+ = ≠
= −
010 10
0
10 10 0 0
2
2
§
§ ‹
§
P
PP P
P 11Equação
impossíveldado que > 0P
��� ‹ P ≠ 0
2
y
xO
P (x, x2) , x > 0
d
d
( ) ,
( ) ,
x x x x
x x x x x
= −( ) + −( ) >
= + − + >
0 2 0
4 4 0
22
2
2 2 2
dd
d'
( ) ,
( )
x x x x
x x x
= − + >
= × − +( ) ×−
4 2
4 21
2
3 4 0
1
23 4 4xx x
x x
x x
3
3
4 2
6
4 6
2 3 4
−( )
=−
− +
d'( )
x
x x x x
x x
=
− = − + ≠
−
0
4 6 0 2 3 4 0
4
3 4 2
2
§ ‹
§ 66 0 3 4 04 2( ) = − + ≠ ‹ x xCondição universal� ���� ���
�
§ ›
§ ›
x x
x xx
= =
= =∉
03
2
0
2
D
33
2
3
2
› x
x
= −
∉ D��� ��
3
2
3
2,
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
d3
2
9
43
3
24
9
4
9
24
9 18 16
4
7
2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = − × + = − +
=− +
=
Matemática 12 | Guia do Professor160
x 0 3
2+∞
Sinal de d’ n.d. – 0 +
Variação de d n.d. ¢ mín. £
Cálculo auxiliar:
x
x
2
2
3 9 4 4
2
3 7
2
=± − ×
=± −
§
Equaçãoimpossível
em��
��� ��
161Tema III | Matemática 12
Tema III – Trigonometria enúmeros complexos
Unidade 1 – Revisões sobre trigonometria
Página 6
1.
a)
b)
2.
A largura do rio é aproximadamente de 57,3 m.
3. α° + 540° = α° + 360° + 180°
Se α ∈ 1.o Q, então α + 540° ∈ 3.o Qα° - 450° = α° - 360° - 90°
Se α ∈ 1.o Q, então α° – 450° ∈ 4.o Q- α° + 630° = - α° + 360° + 270°
Se α ∈ 1.o Q, então - α° + 630° ∈ 3.o Q
Se α ∈ 1.o Q, então - 90° – α° ∈ 3.o QOpção (C)
4.a)
b) (sen x + cos x) (sen x – cos x) = sen2 x – cos2 x= sen2 x – (1 – sen2 x) = sen2 x – 1 + sen2 x = –1 + 2 sen2 x c.q.d.
c)
d)
5.a)
AD = BE = xsen 30°=
x14
§12=
x14
§142
= x § x =7 u.c.
cos 30°=EC14
§3
2=
EC14
§14 3
2= EC
§EC =7 3 u.c.
tg �=147
§ tg �=2§�= tg�1(2)§� � 63,43˚
α
A B
E
14
7
tg 40°=AD55
§ AD =55� tg40°
tg 62°=BD55
§BD =55� tg62°
AB =BD – AD =55� tg62°–55� tg40° � 57,3 m
P[ ABCD ] = AD+DE +EC+CB+BA
=7+14+7 3 +14+14=49+7 3 u.c.
O O
α
y
x
α
α + 540°
y
x1 1
O O
α
y
x
α
α – 450°
y
x1 1
O O
α
– α
y
x
– α + 630°
y
x1 1
O O
α
– α
y
x
– 90° – α
y
x1 1
(sen x +cos x)2 = sen2 x+2sen xcos x+cos2 x= sen2 x +cos2 x
1� ��� ��� +2 sen xcos x
= 1+2 sen xcos xc.q.d.
sen4 x�cos4 x = (sen2 x�cos2 x)(sen2 x+cos2 x)
= 1� ��� ���
= sen2 x�cos2 x = sen2 x�(1�sen2x)
= sen2 x�1+sen2x =2 sen2 x�1 c.q.d.
tg x (sen2x �cos2 x)= tg x (1�cos2 x�cos2 x)= tg x (1�2cos2 x)= tg x �2tg x�cos2 x= tg x�2�
sen xcos x �cos2 x = tg x �2sen x cos x c.q.d.
A(x)= sen2x+(1+cosx)2
= sen2x+1+2cosx+cos2 x= sen2x+cos2 x
= 1� ��� ��� +1+2cosx
= 1+1+2cosx=2+2cosx=2(cosx+1)
Matemática 12 | Guia do Professor162
b)
Como α ∈ 4.o Q, então . Logo:
6.a)
b)
1+ tg2� =1
cos2�
1+ �13
�
��
�
�
2
=1
cos2�
§ 1+19=
1cos2�
§109
=1
cos2�
§ cos2� =9
10
§ cos� =±9
10
§ cos� =±3 10
10
cos�=3 10
10
A(�)= 2�3 10
10+1
�
���
�
�=
3 105
+2
sen�4
�
��
�
��+ tg
5�4
�
��
�
��+cos
3�4
�
��
�
��cos(10�)
= sen�4
�
��
�
��+ tg
�4
�
��
�
��cos
�4
�
��
�
��cos(10�)
=2
21
22
1
=2
O
y
x
5ππ
44
1
–
O
y
x
3π π4 4
1 O
y
x10π
5π2
O
y
x O
y
x
π4
π4
-O
y
x
π4
7-
O
y
x7π
π
6
6
7π2
O
y
x
3π2
O
y
x
-
O
y
x83π
π
6
1
79π6
6
O
y
x3π
π
4
4
1
-
1O
y
x17 π
π
3
3
1O
y
x101π
=0sen�4
�
��
�
��+cos
�4
�
��
�
��+ tg
�6
�
��
�
��(1)
=2
2+
22
+3
3+ 1=
=3
3+ 1
cos5�2
�
��
�
��+sen
�4
�
��
�
��+cos
7�4
�
��
�
��+ tg
7�6
�
��
�
��sen
7�2
�
��
�
��
4sen3
2cos
79
6tg
83
6– – + + +
+ +
–
co
2tg3
4
sen17
3 42 ss(101 )
= × + + cos – 4 16
tg6
2tg4
+ +
+ ×
=
–
sen3
4 (–1)
4 + 3
2
2
–
3
32 1
3
24
23
4
3
6
2
+ × +
= + + = +11
4
3
6
c)
79�6
= 13�+�6
83�6
= 13�+5�6
sen (���)+cos (3�+�)+sen (3�+�)++ tg(�+�)� tg(��+�)
= sen � �cos�� sen � + tg ��(�tg �)=�cos�+ tg �+ tg �=�cos�+2 tg �
b)
O
y
x3
1π + α
π – α α
O
y
x1
–α + π
–α
α
α + π
5sen�2��
�
��
�
�+cos
3�2
+��
��
�
�+2 sen �
�2��
�
��
�
�
=5cos�+sen ��2cos�=3cos�+sen �
7.a)
O
y
x
π α
α
2
1
–
1O
y
x
π α
α
23 +
1O
y
x
π α
α
2--
c)
8.a)
b)
9.a)
b)
c)
d)
10.a)
163Tema III | Matemática 12
2 sen2 x�sen x =0
§ sen x (2 sen x�1)=0
§ sen x =0 › sen x = 12
§ sen x =0 ›
sen x = sen 6
�
��
�
�
§ x = k › x = 6+2k › x = 5
6+2k, k �
sen 3x+�2
�
��
�
��= sen
�5
�
��
�
��
§3x+ �2=�5+2k� ›
3x+�2= �
�5+2k�, k �
§3x = �5�2+2k� › 3x = 4�
5�2+2k�, k �
§3x =3�10
+2k� › 3x = 3�10
+2k�, k �
§ x = �10
+2k�
3› x = �
10+
2k�3
, k �
O
y
xπ x
x
2+
1
7
O
y
xπ2
--
x
x
1
O
y
x
π - π7
π7
1
O
y
x
π - π5
π5
1
O
y
x
π - π6
π6
1
O
y
x
2013 π αα-
1
O
y
x
π - π3
π3
1
O
y
x -
π10
π10
1
O
y
x
x
x3π + 1
5
O
y
x–x xπ
1
O
7
y
xx
x
1
π2
+
O
y
x
xxπ -
1
5
O
y
xx
x
3π + 1 O
y
xx
xπ2 --
1
A(x)= cos7�2+ x�
��
�
���sen (5� x)
tg2(3�+ x)+ sen2 x �2
�
��
�
��
= sen x�sen x tg2x+(cos x)2
= sen2x+cos2 x tg2x= 1 tg2x
cos(2013���)=23
§�cos� =23§ cos� =�
23
A(�)= 1� tg2�
1+ tg2� =1
cos2�
1+ tg2� =1
�23
�
��
�
�
2 § 1+ tg2� =149
§ 1+ tg2� =94§ tg2� =
54
A(�)= 1�54=
44�
54=�
14
sen x = sen�7
�
��
�
��
§ x =�7+2k� ›
x = ��7+2k�, k �
§ x =�7+2k� › x =
6�7
+2k�, k �
sen (2 x)= 32
§ sen (2 x)= sen �3
�
��
�
��
§2x = �3+2k� ›
2 x = 2�3
+2k�, k ��
§ x = �6+k� › x = �
3+k�, k ��
cos(3x)= cos�
10
�
��
�
��
§3x = �10
+2k� ›
3x =� �10
+2k�, k ��
§ x = �30
+2k�
3› x =� �
30+
2k�3
, k ��
cos7�2
+ x�
��
�
�� �sen (5�� x)� tg(3�+ x)+
+ sen2 �x� �2
�
��
�
2
� = sen x �sen x� tg x+(�cos x)2
= sen2x� tg x+cos2 x= 1� tg x
Matemática 12 | Guia do Professor164
b)
c)
d)
11.a)
b)
12.a)
O
y
x -
π4
π4
1 1O
y
x -
π4
π4
3
π43
1
π4
O
1
y
x
1O
y
x
- - π3
3√
1π4
O
y
x
-1-
O
y
x1
O
y
x
2π
1 12
12
π33
-
1
3π 2
O
y
x
cos2 x = 1§ cosx = 1 › cosx =�1§ x =2k� › x = � +2k�, k ��§ x = k�, k ��
12
cosx = 1§ cosx =2 Equação impossível. C.S.=O
2cos2(2x)= 1§ cos2(2x)=12
§ cos (2x)=12
› cos (2x)=�12
§ cos (2x)=2
2› cos (2x)=�
22
§ cos (2x)= cos �4
�
��
�
� › cos (2x)= cos ��
�4
�
��
�
�
§2x = �4
+ 2k� › 2x =� �4
+ 2k� ›
2x = 3�4
+ 2k� › 2x =�3�4
+ 2k�, k ��
§ x = �8
+ k� › x =� �8
+ k� ›
x = 3�8
+k� › x =�3�8
+ k�, k ��
§ x = �8
+ k�2
› x = 3�8
+ k�2
, k ��
tg (2x)= tg x+ �5
�
��
��
§2x = x+�5+k�, k �§ x = �
5+k�, k �
tg2x�1=0§ tg2x = 1
§ tg x = 1 › tg x =�1
§ x = �4+k� › x =� �
4+k�, k ��
2cosx tg x =�tg x§2cosx tg x+ tg x =0
§ tg x(2cosx+1)=0
§ tg x =0 › 2cosx =�1
§ tg x =0 › cosx =�12
§ tg x =0 › cosx = cos2�3
�
��
�
�
§ x = k� › x = 2�3
+2k� ›
x =�2�3
+2k�, k ��
Para x � 0,2��� � :
k =-1 1 x =-�� 0, 2��
�� ��
��� › x = -4�3
� 0, 2����
��
��� ��› x = -8�
3� 0, 2��
�� ��
��� ��
k =0 1 x =0 › x = 2�3
› x = -2�3
� 0, 2����
��
��� ��
k = 1 1 x = � › x = 8�3
� 0, 2����
��
���› x = 4�
3
k =2 1 x =2� › x = 14�3
� 0, 2����
��
��� ��› x = 10�
3� 0, 2��
�� ��
��� ��
Em 0,2��� � as soluções são: 0,2�3
, �,4�3
,2�
�3sen 2x+�5
�
��
�
�=3
§ sen 2x+�5
�
��
�
�=�1
§2x+ �5=
3�2
+2k�, k ��
§2x = 3�2
��5+2k�, k ��
§2x = 13�10
+2k�, k ��
§ x = 13�20
+k�, k ��
Para x � ��,2�� � :
k =�2 1 x = 13�20
�2� =�27�20
� ��,2�� �
k =�1 1 x = 13�20
�� =�7�20
k =0 1 x = 13�20
k = 1 1 x = 33�20
k =2 1 x = 13�20
+2� � ��,2�� �
Em ��,2�� � as soluções da equação são:
�7�20
,13�20
,33�20
.
tg x =� 3
§ tg x = tg ��3
�
��
�
�
§ x =� �3+k�, k ��
b)
c)
1O
y
x
165Tema III | Matemática 12
α
A
π 2
0,785
0,5
y1
cos(2x)=�cos x§ cos(2x)= cos(�� x)§2x = � – x+2k� › 2x = –�+ x+2k�, k ��§3x = �+2k� › x = –�+2k�, k ��
§ x = �3+
2k�3
› x = –�+2k�, k ��
Para x � ��, ��� �� :k =�2 11 x =�� › x =�5�
� ��,���
��
��� ��
k =�1 1 x =� �3
› x =�3�� ��,��
���
��� ��
k =0 1 x = �3
› x =��k = 1 1 x = �
� ��,���
��
� › x = �� ��,��
���
�
Em ��, ��� �� as soluções de equação são: ��,��3
,�3
A(�)=OR�ordenada de P
2cos� =abcissa de Psen � =ordenada de POR =2cos�
A(�)=2 cos��sen�
2= sen��cos�
y1 = sen��cos� �� 0,�2
�
��
�
Df =�f(x)= (1�sen x)2 �(sen x+1)(sen x�1)
= 12 �2sen x+sen2x �(sen2x�12)
= 1�2sen x+ sen2x � sen2x +1=2�2sen x
c.q.d.
A área máxima é de 12
quando � �0,785 rad.
1O
y
x
Df =�D'f : –1≤ sen x ≤ 1
–2≤2sen x ≤2–2≤ –2sen x ≤20≤2�2sen x ≤4
D'f = 0,4�� ��
f (x)=0§2�2 sen x =0§–2 sen x =–2
§ sen x = �2�2
§ sen x = 1
§ x = �2+2k�, k ��
f(x)= cos2(3x)�12
Df =�D'f : –1≤ cos(3x)≤ 1
0≤ cos2(3x)≤ 1
0�12≤ cos2(3x)�
12≤ 1�
12
�12≤ cos2(3x)�
12≤
12
D'f = �12
,12
�
���
��
Para x � 0,2��� �� :k =0 11 x =0 › x =�2�
0,2���
���
��� ��
k = 1 1 x = 4�3
› x =2�
k =2 1 x = 8�3
0,2���
���
��� › x =6�
0,2���
���
���
Em 0,2��� �� as soluções da equação são: 0,4�3
, 2�
sen x2
�
��
�
��=�sen x
§ sen x2
�
��
�
��= sen(� x)
§ x2=� x+2k ›
x2= + x+2k, k �
§ x2
+ x =2k › x2� x = +2k, k �
§ 3x2
=2k › � x2= +2k, k �
§ x = 4k3
› x =�2+4k, k �
c)
d)
Unidade 2 – Funções trigonométricas
Página 18
13.a)
b)
14.a)
b)
c)
16.a)
15. Sabemos que a tangente é negativa no 2.o e 4.o qua-drantes e que o cosseno é negativo no 2.o e 3.o qua-drantes. Assim, o quadrante é o segundo.α, β ∈ 2.o Qα < β ± sen α > sen βNo 2.o quadrante, o seno é decrescente e positivo.Opção (C)
O
y
xαβ
Matemática 12 | Guia do Professor166
y
x1
4π
O
O
y
x O
y
x
xx
x+
+
1
5
1
72π +
xπ-
O
y
xx
O
y
xx
x
+ –
- -
1 1
2
xππ
+-3
f(x)=0§ cos2(3x)�12=0§ cos2(3x)=
12
§ cos(3x)=±12§ cos(3x)=±
1
2
§ cos(3x)=2
2› cos(3x)=�
22
§3x =�4+2k� › 3x =�
�4+2k� ›
3x =3�4
+2k� › 3x =�3�4
+2k�
3 , k ��
§ x =�
12+
2k�3
› x =��
12+
2k�3
›
x =�4+
2k�3
› x =��4+
2k�3
, k ��
5� cos2(3�0)�12
���
��� cos2 3�
6
�
��
�
��
12
�
��
�
�+
+ cos2 3�101( )�12
���
��
=5cos2 0�52�cos2
2
���
��+
12+cos2 303( )�
12
=5�12 �52�0+cos2 =5�
52+(�1)2
=5�52+1=6�
52=
122�
52=
72
f�3
�
��
�
��= cos2 3�
3
�
��
�
��
12= cos2 �( ) 1
2
=2425
12=
4850
2550
=2350
Cálculo auxiliar : sen2�+cos2�= 1
§ 15
�
��
�
��
2
+cos2�= 1§1
25+cos2�= 1
§ cos2�= 11
25
§ cos2�=2525
1
25§ cos2�=
2425
A�=b�h
2=
1� tg x2
=
sen xcos x
21
=sen x
2cos x
A(x)= cos7�2
+ x�
��
�
��sen(5� x)� tg2(�3�+ x)+
+sen2 �x� �2
�
��
�
�
= sen x�sen x� tg2 x+(�cosx)2
= sen2x� tg2x+cos2 x= sen2x+cos2 x� tg2x= 1� tg2x c.q.d.
DA = x �� : x � �2
���
+k�, k �����
tg2x ≥0,Ax �DA
§– tg2x ≤0,Ax �DA
§ 1– tg2x ≤ 1,Ax �DA
A x( )≤ 1,Ax �DA
D'A = – �, 1�� ��
A(x)=0§ 1� tg2x =0§ tg2x = 1§ tg x =± 1 § tg x =±1§ tg x = 1 ›
tg x =�1§ tg x = tg�4
�
��
�
� ›
tg x = tg ��4
�
��
�
�§ x = �
4+k� ›
x =� �4+k�, k ��§ x = �
4+
k�2
, k ��
f1(x)=0§2sen x =0§ sen x =0§ x = k�, k ��
f2(x)=0§ sen x� �4
���
��=0§ x� �
4= k�, k ��
§ x = �4+k�, k ��
f3(x)=0§– sen x =0§ sen x =0§ x = k�, k ��
f4(x)=0§ sen(�x)=0§� x = k�, k ��§ x =�k�, k ��
f5(x)=0§ sen(2x)=0§2x = k�, k ��
§ x = k�2
, k ��
�1≤ sen x ≤ 1 § �2≤2sen x ≤2 D'f1=[�2,2]
�1≤ sen x� �4
�
��
�
�� 1 D'f2
=[�1, 1]
�1≤ sen x ≤ 1��1≤ �sen x � 1 D'f3=[�1, 1]
O
y
x O
y
x√ 1 122
√22
b)
c)
d)
17.a)
18.a)
b)
c)
19.a)
b)
167Tema III | Matemática 12
c) f1, f3, f4 e f5 têm período positivo mínimo 2π (partindodo gráfico de f(x) = sen x, cujo período positivo mí-nimo é 2π, as transformações não envolvem dilata-ções nem compressões horizontais e por isso operíodo mantém-se). O gráfico de f2 e f6 sofre uma
compressão horizontal segundo o fator . Logo, o
período positivo mínimo é .
22a1) Dilatação vertical segundo o fator 4.a2) Compressão horizontal segundo o fator .
a3) Dilatação horizontal segundo o fator 2.
a4) Dilatação horizontal segundo o fator 4; dilataçãovertical segundo o fator 5; translação verticalsegundo o vetor (0, 1).
b) f1→ π f2→ f3→ 2π f4→ 4π
13
14
π4
2π3
�1≤ cosx ≤ 1§�3≤3cosx ≤3 D'f1=[�3,3]
�1≤ cos 3x( )≤ 1 D'f2=[�1, 1]
�1≤ cos x+ �5
�
��
�
�≤ 1 D'f3
=[�1, 1]
�1≤ cosx ≤ 1§�1≤ �cosx ≤ 1 D'f4=[�1, 1]
�1≤ cos(�x)≤ 1 D'f5=[�1, 1]
�1≤ cos(3x��)≤ 1§�2≤2cos(3x��)≤2§�3≤2cos(3x��)�1≤ 1 D'f6
=[�3, 1]
f x+ 2�a
�
��
�
��= cos a x+ 2�
a
�
��
�
��
�
�
�
= cos(ax+2�)= cos(ax)= f(x)
Logo, 2�a
é período de f .
g x+ 2�a
�
��
��= sen a x+ 2�
a
�
��
��
�
�
�+cos a x+ 2�
a
�
��
��
�
�
�
= sen(ax+2�)+cos(ax+2�)= sen ax( )+cos(ax)= g (x)
logo,2�a
éperíodo de g.
f(x)=2tg(0,5x+3)�1
=2tg12
(x+6)�
��
���1
Df = x �� :0,5x+3��2+k�, k ��
���
�
= x �� :12x � �
2�3+k�, k ��
���
�
= x �� : x � ��6+2k�, k ��{ }D'f =�
3cosx =0§ cosx =0§ x = �2+k�, k ��
§ cos 3 x( )=0§3 x = �2+k�, k ��
§ x = �6+
k�3
, k ��
cos x+ �5
�
��
��=0§ x+ �
5=�2+k�, k ��
§ x = �2x5( )
��5x2( )
+k�, k ��
§ x = 5�10
�2�10
+k�, k ��§ x = 3�10
+k�, k ��
�cosx =0�cosx =0§ x = �2+k�, k ��
cos(�x)=0§� x = �2+k�, k ��� x =� �
2+k�, k ��
2cos(3x��)�1=0§2cos(3x��)= 1
§ cos(3x��)=12§ cos(3x��)= cos
�3
�
��
�
�
§3x�� = �3+2k� › 3x�� =� �
3+2k�, k ��
§3x = �+ �3+2k� › 3x = �� �
3+2k�, k ��
§3x = 4�3
+2k� › 3x = 2�3
+2k�, k ��
§ x = 4�9
+2k�
3› x = 2�
9+
2k�3
, k ��
Compressão horizontal segundo o fator ; trans-
lação horizontal segundo o vetor ; dilatação
vertical segundo o fator 2; translação vertical se -gun do o vetor (0, –1).
�3
,0�
��
�
��
13
c) Translação horizontal segundo o vetor .
d) Simetria em relação ao eixo Ox.
e) Simetria em relação ao eixo Oy.
f)
��5
, 0�
��
�
�
f6(x)=2cos(3x��)�1=2cos 3 x� �3
�
��
�
�
�
���1
21.a)
b)
23.a)
b)
24.
a)
�1≤ sen �x( )≤ 1 D'f4=[�1, 1]
�1≤ sen (2x)≤ 1 D'f5=[�1, 1]
c) 2π é o período positivo mínimo das funções f1, f2, f3
e f4. Partindo de f(x) = senx chega-se ao gráfico def5(x) = sen(2x) com uma compressão horizontalsegundo o fator . Assim, o período positivo
20.a) Dilatação vertical segundo o fator 3.
b) Compressão horizontal segundo o fator .13
12
mínimo passa de 2π para = π.2π2
Matemática 12 | Guia do Professor168
c) Dilatação horizontal segundo o fator 2;translação horizontal segundo o vetor (–6, 0);dilatação vertical segundo o fator 2;translação vertical segundo o vetor (0, –1).
25. Procuramos uma função f do tipo:f(x)= c sen(a x – b) + d, a, b, c e d ∈ �Sabemos que o mínimo da função é 4 e o máximo é12; assim, a amplitude é:
Também conseguimos determinar o valor do parâ-metro d através do conhecimento dos extremos:
Tanto a maré alta como a maré baixa se repetem de12 em 12 horas, o que significa que o período dofenómeno é de 12 horas. Logo:
Sabemos que f(0) = 10, logo:
Perante estas duas possibilidades, temos que ter emconsideração que às 2 horas ocorre a maré alta, isto é:
c =12�4
2=
82=4
d =12+4
2=
162
=8
2�a
= 12§2�12
=a §�6=a
4sen�6�0�b
�
��
��+8= 10
§ sen(�b)=12
§�b =�6+2k� › �b =
5�6
+2k�, k ��
§b =��6+2k� › b =�
5�6
+2k�, k ��
f (x+2�)=2tg(0,5(x+2�)+3)�1
=2tg(0,5x+�+3)�1
=2tg(0,5x+3+�)�1
=2tg(0,5x+3)�1
= f (x) c.q.d.
f (2)= 12§4sen�6�2�b
�
��
�
+8= 12
§ sen�3�b
�
��
�
�= 1
§�3�b =
�2+2k�, k ��
§�b =�2��3+2k�, k ��
§�b =�6+2k�, k ��
§b =��6+2k�, k ��
Então, concluímos que b =��6
, por exemplo.
Assim, f(x)=4sen�6x+ �
6
�
��
�
�+8.
cos�
12
�
��
�
��= cos
�3 �4
�
��
�
��
= cos�3
�
��
�
��cos
�4
�
��
�
��+sen
�3
�
��
�
��sen
�4
�
��
�
��
=12
22
+3
2
22
=2
4+
64
=2+ 6
4
(sen x+cosx)2 = sen2x+2sen xcosx� �� �� +cos2 x= sen2x+cos2 x� ��� ��� +sen(2x)
= 1 +sen(2x) c.q.d.
cos(2x)= cos2 x�sen2x = 1�sen2x�sen2x= 1�2sen2x c.q.d.
1� tg2x1+ tg2x =
1�sen2xcos2 x1
cos2 x
= 1�sen2xcos2 x
�
��
�
��cos2 x
= cos2 x�sen2x = cos(2x) c.q.d.
Perímetro= AB+BC+AC
=2+1
cos(2�)+
1cos(2�)
=2cos(2�)+2
cos(2�)
=2(cos2��sen2�)+2
cos(2�)
=2cos2��2sen2�+2
cos(2�)
=2cos2��2(1�cos2�)+2
cos(2�)
=2cos2�� 2 +2cos2�+ 2
cos(2�)
=4cos2�cos(2�)
c.q.d.
2
1
A B
C
2α
sen(2x)+sen x =0
§2sen xcosx+sen x =0
§ sen x(2cosx+1)=0
§ sen x =0 › 2cosx+1=0
§ x = k�, k �� › cosx =�12
§ x = k� › x = 2�3
+2k� › x =�2�3
+2k�, k ��
b) Unidade 3 – Fórmulas trigonométricas:seno, cosseno e tangente da soma de doisângulos
Página 32
26.
27.a)
b)
c)
28. cos(2�)=1
AC§ AC =
1cos(2�)
29.a)
169Tema III | Matemática 12
2y2 �5y+2=0
§ y = 5± 25�4�2�22�2
§ y = 5+34
› y = 5�34
§ y =2 › y = 12
Substituindo y por cos x, vem que:
cos x =2Equação
impossível
��� �� › cos x = 12
§ cos x = cos�3
�
��
�
��
§ x = �3+2k� › x =� �
3+2k�, k ��
limx��
sen xx =
sen��
=0�=0
limx��
cosxx =
cos��
=�1�
Cálculo dos limites laterais :
limx�0+
cosxx =
10+
=+�
e limx�0�
cosxx =
10�
=��
�
��
��
limites lateraisdiferentes
Conclui�se que limx�0
cosxx não existe.
�1≤ sen x ≤ 1,�x ��Assim, quando x >0:
�1x ≤
sen xx ≤
1x
Como limx�+�
�1x
�
��
�
=0 e lim
x���
1x =0, então
limx�+�
sen xx =0
limx�0
sen3xx =
00
�
��
�
��
limx�0
3�sen(3x)3x
��
�
��=3� lim
y�0 sen y
ylimitenotável� �� ��
=3� 1=3
Considerando a mudança de variável 3x = y, tem-se que x�0 y�0.
limx�0
4xsen x =
00
��
�
��
4� limx�0
xsen x =4�
1
limx�0
sen xx
=4�11=4
O
y
x1
limx�0
sen(2x)�5x =
00
�
��
�
�
�15
limx�0
sen(2x)x =�
15� lim
x�0
sen(2x)2x �2
�
��
�
�
= �25
limx�0
sen(2x)2x =�
25
limy�0
sen yy =�
25�1=�
25
Considerando a mudança de variável 2x = y, tem-sex�0� y�0.
limx�0
sen(2x)sen(3x)
=
00
��
�
��
limx�0
sen(2x)x �
xsen(3x)
��
�
��
= limx�0
sen(2x)x � lim
x�0
xsen(3x)
= limx�0
sen(2x)2x �2
��
�
���
1
limx�0
sen(3x)x
=2limy�0
sen yy �
1
limx�0
sen(3x)3x �3
sen xcosx = 12
§2sen xcosx = 1
§ sen(2 x)= 1
§2x = �2+2k�,k ��
§ x = �4+k�, k ��
3 cosx+sen x =�2
§3
2cosx+ 1
2sen x =�1
§ sen�3
�
��
�
�cosx+cos
�3
�
��
�
�sen x =�1
§ sen�3+ x�
��
�
�=�1
§�3+ x =� �
2+2k�, k ��
§ x =�5�6
+2k�, k ��
5cosx�3= cos(2x)§ cos(2x)�5cosx+3=0§ cos2 x�sen2x�5cosx+3=0§ cos2 x�(1�cos2 x)�5cosx+3=0§2cos2 x�5cosx+2=0
b)
c)
d)
Considerando a mudança de variável y = cosx, vemque:
30.a)
Unidade 4 – Estudo intuitivo de
Página 36
limx→ 0
senxx
b)
limx� 3�
4
tg2x = tg2 3�4
�
��
= (�1)2 = 1
limx� �
2
�
��
+ tgx = tg
�2
�
��
+
=��
limx�0
cosxx =
cos00
=10
c)
d)
e)
31.a)
32.a)
b)
c)
d)
Matemática 12 | Guia do Professor170
Considerando a mudança de variável 2x = y, tem-se x�0 y�0.
=2�1�1
3� limz �0
sen zz
Considerando a mudança de variável 3x = z, tem-se x�0 z �0.
=2�1�1
3�1
=23
limx�0
sen xx3
=
00
��
�
��
limx�0
sen xx �
1x2
��
�
��
= limx�0
sen xx � lim
x�0
1x2
= 1�1
0+
=+
limx�0
sen xx2
=
00
�
��
�
��
limx�0
sen xx
1x
�
��
�
��
= limx�0
sen xx lim
x�0
1x = 1
10
Cálculo dos limites laterais :
limx�0+
sen xx2
= limx�0+
sen xx
1x
�
��
�
��= 1
10+
=+
e limx�0�
sen xx2
= limx�0�
sen xx
1x
�
��
�
��= 1
10�
=�
�
��
���
limiteslaterais
diferentes
Conclui-se que não existe limx�0
sen xx2
.
limx�0
x5tgx =
00
��
�
��
limx�0
x5sen xcosx
= limx�0
xcosx5sen x
= limx�0
xsen x
cosx5
��
�
��= lim
x�0
xsen x lim
x�0
cosx5
=1
limx�0
sen xx
15=
11
15=
15
limx� �
sen xx�� =
00
�
��
�
�
limy0
sen y+�( )y = lim
y0
�sen yy
Considerando a mudança de variável x�� = y,vem que : x�� = y§ x = y+�e x� y0
=�1� limy0
sen yy =�1�1=�1
= limh0
1�cos2 hh(1+cosh)
= limh0
sen2hh 1+cosh( )
= limh0
sen hh
�sen h
1+cosh
�
��
�
�
= limh� 0
sen hh
� limh�0
sen h1+cosh
= 1�0
1+1=0
limh�0
1�coshh
=
00
�
��
�
�
limh�0
(1�cosh)(1+cosh)h (1+cosh)
(multiplicando ambos os termos da fração por 1+cos h)
lim n sen�n
�
��
�
��
�
��
�
�� =
(0)
limsen
�n
�
��
�
��
1n
= limsen
�n
�
��
�
��
�n
�
= limx�0
sen xx �
�
��
�
��= 1� = �
n ��, n�+
Considerando a mudança de variável �n= x, vem que:
n�+ x�0
f '(x)= (3sen x +4)'= (3sen x)'+4'=3cosxf '(x)= (x2 �cosx)'= (x2)'�(cosx)'=2x+sen xf '(x)= sen(5 x+�)( )'= (5x+�)'cos(5x+�)
=5cos(5x+�)
f '(x)=cos(2x)
x�
��
�
��'=
cos(2x)( )'� x cos(2x)( )� x'
x2
=2sen 2x( )� xcos 2x( )
x2
=2xsen 2x( )+cos 2x( )
x2
f '(x)=cosxsen x�
��
�
��'=
(cosx)'�sen x(cosx)�(sen x)'sen2x
=sen x�sen xcosx�cosx
sen2x =sen2xcos2 x
sen2x=
1sen2x
f '(x)= sen3 (5x)( )'=3sen2(5x)� sen(5x)( )'=3sen2(5x)�5�cos(5x)= 15sen2(5x)cos(5x)
f '(x)= (sen x+cosx)'= cosx�sen x
e)
f)
g)
h)
i)
33.
Unidade 5 – Derivadas das funçõestrigonométricas: seno, cosseno e tangente
Página 40
34.a)
b)
c)
d)
35.a)
e)
b)
171Tema III | Matemática 12
sen x = h1
2§h1 =2sen x
sen�2� x�
��
�
�=
y2
§ y =2cosxh2 =2� y =2�2cosx
A ABPD�� ��= A� APB�� ��
+A� APD�� ��
=2�h1
2+
2�h2
2=h1 +h2
=2sen x+2�2cosx=2(1+sen x�cosx) c.q.d.
P ABPD�� ��= AB+AD+BP+PD
=2+2+2+ 12�8cosx�8sen x=6+ 4 (3�2cosx�2sen x)
=6+2 3�2cosx�2sen x c.q.d.
Cálculo de PD :
PD2=h2
2 +(2�h1)2
§PD2= (2�2cosx)2 +(2�2sen x)2
§PD2=4�8cosx+4cos2 x+4�8sen x+4sen2x
§PD2=8�8cosx�8sen x+4 (cos2 x+sen2x)
1� ��� ���
§PD = 12�8cosx�8sen x , PD >0
f(0)= 1 f�4
�
��
�
��= 2 f
5�4
�
��
�
��= 2 f(2�)= 1
f é estritamente crescente em 0,�4
�
�� e em 5�
4,2�
�
��;
f é estritamente decrescente em �4
,5�4
�
��;
1 é mínimo relativo para x =0;
2 é máximo absoluto para x = �4
;
� 2 é mínimo absoluto para x = 5�4
;
1 é máximo relativo para x =2�.
g'(x)=1
tg x�
��
�
��'=
1'� tgx�1�(tgx)'tg2x =
�1cos2 xtg2x
=�1
cos2 x� sen2xcos2 x
=�1
sen2x
g'(x)=0§�1
sen2x =0
Equação impossível,logo, g' não tem zeros. Como �
1sen2x <0,Ax � 0, ��� �� \
�2
�
��
, conclui-se
que g é estritamente decrescente em
0, ��� �� \�2
��
��
e não tem extremos.
limx�0�
f(x)= limx�0�
e�x
x�
��
�
�=
10�
=��
e limx�0+
f(x)= limx�0+
(sen(2x)�cosx)=�1= f (0)
f '(x)= (sen x+cosx)'= cosx�sen xf '(x)=0
§ cosx�sen x =0§ cosx = sen x§ x = �
4+k�, k ��
Em 0,2��� �� os zeros de f ' são: �4
e5�4
x 0π4
5π4
2π
Sinal de f’ + + 0 – 0 + +Variaçãode f
m £ M ¢ m £ M
f '(x)= (tg x�sen x)'= (tg x)'�sen x+(tg x)�(sen x)'
=1
cos2 x �sen x+tg x�cosx
=sen xcosx �
1cosx +sen x
cosx �cosx
=tg x
cosx +tg x�cosx
= tg x 1cosx +cosx�
��
�
�
f '(x)= cos(x2)�3sen2x( )'= cos(x2)( )'�3�(sen2x)'
=�(x2)'sen(x2)�3�2sen x�(sen x)'=�2x sen (x2)�6sen xcosx
f '(x)= (tg(2x)+ x)'=2
cos2(2x)+1
f '(x)= tg3(5x)( )'=3tg2(5x)� tg(5x)( )'
=3 tg2(5x)�5
cos2(5x)=
15sen2(5x)cos4(5x)
f '(x)=5
tg x �cos1x
�
��
�
��
�
��
�
��'
=5' tg x�5(tg x)'
tg2x +1x
�
��
�
��'sen
1x
�
��
�
��
=�5
1cos2 x
tg2x +1' x�1 x'
x2sen
1x
�
��
�
��
=�5
cos2 x sen2xcos2 x
�1x2
sen1x
�
��
�
��
=�5
sen2x �1x2
sen1x
�
��
�
��
c)
d)
e)
f)
g)
36.a)
P
A B
CD
2
2
2
2 -
h2
h1
h1
x
y
-xπ2
b)
37.a)
b)
38.a)a1)
Matemática 12 | Guia do Professor172
y
xO-1-1
-4
-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6
P1
P2
P3
Em ��,0�� �� : f(x)=0§e�x
x =0§ e�x =0Equação
impossível
��� ‹ x �0
Conclui-se que em ��,0�� �� f não tem zeros.
Em 0,+��� �� : f(x)=0§ sen(2x)�cosx =0§2sen x cosx�cosx =0§ cosx (2sen x�1)=0§ cosx =0 › 2sen x�1=0
§ x = �2+k�, k �� › sen x = 1
2
§ x = �2+k� › x = �
6+2k� › x = 5�
6+2k�, k ��
Se k =0, x = �2› x = �
6› x = 5�
6
Se k = 1, x = 3�2
� 0,3���
���
���› x = 13�
6� 0,3�
�����
��� ��› x = 17�
6� 0,3�
�����
��� ��
Tem-se assim que, no intervalo �3,3�� ��, a função f tem 3 zeros : �
6,�2
e5�6
y1 =e�x
x ,�6≤ x <0
y2 = sen(2x)�cosx,0≤ x ≤6y3 = x�4
Conclui-se que a reta da equação x = 0 é uma assín-tota vertical do gráfico da função. Não existemoutros assíntotas verticais do gráfico de f, pois a fun-ção é contínua em ]– ∞, 0[ (visto estar definida peloquociente de funções contínuas) e f é também con-tínua em ]0, +∞[ (visto estar definida pela diferençade funções contínuas).
a2) Em ��,0�� �� : f '(x)=e�x
x�
�
� '=
e�x( )'� x�(e�x )� x'
x2
=�e�x � x�e�x
x2
x –∞ –1 0
Sinal de f’ + 0 – n.d.
Variação de f
£M
f(–1)¢ n.d.
f '(x)=0§�e�x � x�e�x
x2=0
§�e�x(x+1)=0 ‹ x2 �0§ (� e�x =0
Condiçãoimpossível
��� v x+1=0) ‹ x �0
§ x =�1 ‹ x �0
f (�1)=e�(�1)
�1=�e
a3)
b)
Em [–6, 6]:Considerando os pontos de interseção do gráficode f com a reta de equação y = x – 4, tem-se queas suas coordenadas, com aproximação às cen-tésimas, são: P1(–3,08; –7,08), P2(–0,32; –4,32) eP3(4,53; 0,53)Assim, verifica-se que f (x) > x – 4 em ]–3,08; –0,32[ eem[0; 4,53[ logo, as soluções inteiras de f (x) > x – 4em[–6, 6] são: –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 e 4
39. Considere-se x a abcissa do ponto A.Pretende-se determinar x tal que f’(x) = 2.
f ' (x)= x ex +cos(2x)( )'= x'ex + x�(ex )'�(2x)'sen(2x)= ex + x ex �2sen(2x)
Na calculadora:y1 = ex + x ex – 2sen(2x)y2 = 2
Assim, a abcissa do ponto A, arredondada às cen-tésimas, é 0,80.
40.a) h(0) = 30 × e0 × cos0 + 50 = 30 + 50 = 80
O Filipe saltou de uma altura de 80 metros.
b) As soluções da equação h (t) = 50 representam osinstantes em que o Filipe se encontra a 50 metrosdo solo.
y
y2
xO
y1
0,7989 1
173Tema III | Matemática 12
• A função é periódica, de período positivo mínimo 2π.f(x + 2π) = f (x), Ax ∈ Df.Assim, basta estudar a função num intervalo deamplitude 2π, como, por exemplo, ]0, 2π[.
• Pontos de interseção do gráfico de f com oseixos coordenados:Com o eixo Ox:
f(x) = 0 § = 0
Equação impossível logo, f não interseta o eixo Ox,isto é, f não tem zeros.
Com o eixo Oy:O gráfico de f não interseta o eixo Oy já que 0 ∉ Df.
• Assíntotas:Assíntotas não verticais:Como basta estudar a função no intervalo ]0, 2π[,atendendo à periodicidade da função, não faz sentidoa análise da existência de assíntotas não verticais.
Assíntotas verticais (em ]0, 2π[: Df = R\{x = kπ, k ∈ Z}
A reta da equação x = 0 é uma assíntota vertical dográfico de f. Atendendo à periodicidade da função,pode concluir-se que as retas de equação x = 2kπ, k ∈ Z são assíntotas do gráfico de f.
1sen x
c) Consideremos, por exemplo, o intervalo .
Como a função h é contínua em todo o seu domínio(soma de funções contínuas), também o é no inter-valo .
Assim, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, pode
concluir-se que:
Portanto, existe pelo menos um instante em que oFilipe esteve a 60 metros do solo.
0,32
�
���
��
limt �+�
h (t)= limt�+�
30 e�0,2t cos�t3
�
��
�+50
�
��
�
=30 limt �+�
e�0,2t �cos�t3
�
��
�
��
�
��
0� ���� ����
+50
=30�0+50=50
Observe-se que limt �+�
e�0,2t �cos�t3
�
��
�
�
��
�=0,
pois limt� +�
e�0,2t =0 e – 1≤ cos�t3
�
��
�≤ 1,At ��0
+.
f(x)=1
sen x•Df = x �� : sen x �0}{ =� \ x = k�, k ��}{
• f(�x)=1
sen(�x)=
1�sen x =�
1sen x =�f(x),Ax �Df
ou seja, f é ímpar.
(1) limx�0+
f(x)= limx�0+
1sen x =
10+
=+�
(2) limx��+
f(x)= limx��+
1sen x =
10�
=��
e limx���
f(x)=1
0+=+�
• Variação def :
f '(x)=1
sen x�
��
�
��'=
1'�sen x1�(sen x)'(sen x)2
=cosxsen2x
f '(x)=0 ‹ x Df
§cosxsen2x =0 ‹ x Df
§ cosx =0 ‹ x � k�, k �
§ x = �2+k�, k � ‹ x � k�, k �
No intervalo 0,2� � � :
h (t)=50
§30 e�0,2t �cos�t3
�
��
�
�+50=50
§ e�0,2t cos�t3
�
��
�
�=0
§ e�0,2t =0Condiçãoimpossível
��� �� › cos�t3
�
��
�
��=0
§�t3
=�2+k�, k ��0
§t3=
12+k, k ��0
§ t =32+3k, k ��0
h (0)=80>60 e h32
�
��
�
��=50<60
Et � 0,32
�
���
��: h (t)=60
d)
Unidade 6 – Estudo de funçõestrigonométricas
Página 54
41.
A reta de equação x = π é uma assíntota vertical dográfico de f. Mais uma vez, atendendo à periodici-dade da função, pode concluir-se que as retas deequação x = π + 2kπ, k ∈ Z são assíntotas do gráficode f.Assim, de (1) e (2) temos que as retas de equaçãox = kπ, k ∈ Z são assíntotas do gráfico de f.
0,32
�
���
��
Matemática 12 | Guia do Professor174
• Assíntotas:Assíntotas não verticais:Como basta estudar a função no intervalo ]0, 2[, aten-dendo à periodicidade da função, não faz sentido a aná-lise da existência de assíntotas não verticais.
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do gráficoda função f. Atendendo à periodicidade da função, podeconcluir-se que as retas de equação x = 2kπ, k ∈ Z são assíntotas do gráfico de f.
m = f�2
�
��
�
�=
1
sen �2
�
��
�
�
= 1
M = f3�2
�
��
�
�=
1
sen 3�2
�
��
�
�
=1
f apresenta um mínimo relativo igual a 1 para
x = �2+2k�, k � e um máximo relativo igual a 1
para x = 3�2
+2k�, k �.
• Sentido das concavidades do gráfico de f :
f ''(x)=�cosxsen2x
�
��
�
��'=
(�cosx)'sen2x�(�cosx)(sen2x)'(sen2x)2
=sen x sen2x+cosx2 sen x cosx
sen4 x
=sen2x+2cos2 x
sen3x
x 0π2
π3π2
2π
Sinal de f’ n.d. – 0 + n.d. + 0 – n.d.Variaçãode f
n.d. ¢ m £ n.d. £ M ¢ n.d.
x 0 π 2π
Sinal de f’’ n.d. + n.d. – n.d.
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de f
n.d. n.d. n.d.
f ''(x)=0 ‹ x �Df
§sen2x+2cos2 x
sen3x =0 ‹ x � k�, k ��
§ sen2x+2cos2 x =0 ‹ x � k�, k ��
§ sen2x =�2cos2 xEquaçãoimpossível,
logo f ''não temzeros
� ��� ��� ‹ x � k�, k ��
Em 0,2��� �� :
•Df = x �� : 1�cosx �0}{ =� \ 2k�, k ��}{
Cálculo auxiliar: 1�cosx =0§ cosx = 1§ x =2k�, k ��
•f(�x)=sen (�x)
1�cos(�x)=
�sen x1�cosx
=�sen x
1�cosx
=�f(x),Ax �Df , ou seja, f é ímpar.
• A função f é periódica, de período positivo mínimo 2�:f(x+2�)= f(x),Ax �Df
Assim, basta estudar a função num intervalo de am- plitude 2�, por exemplo, 0,2��� ��.
• Pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados :Com o eixo Ox :
f (x)=0
§sen x
1�cosx=0
§ sen x =0 ‹ x �Df
§ x = k�, k �� ‹ x �2k�, k ��§ x = �+2k�, k ��
Os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox são ospontos da forma(�+2k�,0), k ��.
Com o eixo Oy :
O gráfico de f não interseta o eixo Oy já que 0�Df .
Assíntotas verticais em 0,2��� ��( ) :
Df =� \ 2k�, k ��}{
limx�0+
f(x)= limx�0+
sen x1cosx =
00
��
��
limx�0+
sen x�(1+cosx)(1cosx)(1+cosx)
= limx�0+
sen x(1+cosx)1cos2 x = lim
x�0+
sen x(1+cosx)sen2x
= limx�0+
1+cosxsen x =
1+cos 0+
sen0+=
20+
=+�
42.
f não apresenta pontos de inflexão.
• Representação gráfica:
y
xO
-1
1
- π π 2π 3π2
5π2
- π2
• D’f = ]-∞, –1] ∪ [1, +∞[
175Tema III | Matemática 12
Aprende fazendo
Páginas 58 a 65
1. O seno é crescente e negativo no 4.o quadrante eneste quadrante o seno é negativo e o cosseno épositivo, logo o produto é negativo.Opção (C)
2.
3.
4.
5.
6.
x 0 π 2π
Sinal de f’’ n.d. + 0 – n.d.
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de f
n.d. P.I. n.d.
Os pontos de inflexão são os pontos da forma(π + 2kπ, 0), k ∈ Z.
y
xO- 4π - 3π - 2π - π π 2π 3π 4π
• Representação gráfica
D'f = R
sen x� 11�2
�
��
�
��2cos(x+7�)
= cosx�(�2cosx)
= cosx+2cosx=3cosxOpção(B)
sen3�2
+�
��
�
�=�cos
cos(�+�)=�cos
sen3�2
+�
��
�
�= cos(�+�), A��
Opção(D)
Asombreada = A círculo�A triângulo
= ��12 �b�h
2
= ��2sen x�2cosx
2= ��2sen x cosx= ��sen(2x)
Opção(A)
sen x = b2
§b =2sen x
cosx = h2
§h=2cosx
Comprimento do arco de circunferência AP =C(�)
=����
=�
Opção(A)
D = x �� : sen(2x)�0{ }= x �� : x � k�2
, k �����
��
Cálculo auxiliar :
sen(2x)=0§2x = k�, k ��§ x = k�2
, k ��
Opção(C)
• Variação de f :
f '(x)=sen x
1�cosx
�
��'=
(senx)'�(1�cosx)�senx�(1�cosx)'(1�cosx)2
=cosx(1�cosx)�sen x (sen x)
(1�cosx)2
=cosx�cos2 x�sen2x
(1�cosx)2
=cosx�1
(1�cosx)2=�
1�cosx(1�cosx)2
=�1
1�cosxf '(x)<0,Ax � 0,2�� ��, logo f é estritamente decrescente e não tem extremos.
• Sentido das concavidades do gráfico de f :
f ''(x)=�1
1�cosx
�
�
��'=
(�1)'� (1�cosx)�(�1)�(1�cosx)'(1�cosx)2
=sen x
(1�cosx)2
f "(x)=0 ‹ x �Df
§sen x
(1�cosx)2=0 ‹ x 2k�, k ��
§ sen x =0 ‹ x 2k�, k ��§ x = k�, k �� ‹ x 2k�, k ��§ x = �+2k�, k ��
Em 0,2� � � :
O
y
xx + 7π
2
1
+ x 11π
x -
O
y
x
+ α
α
1
2 3π
xh
b
2
O
Matemática 12 | Guia do Professor176
Se x = �3
:
– na opção (A): cos 3�3
�
��
�
�+sen 3
�3
�
��
�
�=0
§ cos�+sen� =0
§�1+0=0
§�1=0 P.F.
– na opção (B) : cos�3��3
�
��
�
�= sen 3
�3
�
��
�
�
§ cos0= sen�
§ 1=0 P.F.
– na opção (C) : 1�sen2 �3
�
��
�
�=
14
§ 1�3
2
�
���
�
�
2
=14
§ 1�34=
14
§14=
14
P. V. , �3
é a solução
– na opção (D): cos�3+�3
�
��
�
�=�sen
�3��3
�
��
�
�
§ cos2�3
�
��
�
�=�sen0
§�12=0 P.F.
Opção(C)
7.
8.
9.
11.
10.
12.
13.a)
b)
4sen2x =4
§ sen2x = 1
§ sen x = 1 › sen x =�1
§ x = �2+2k� › x =� �
2+2k�, k ��
§ x = �2+k�, k ��
Opção(C)
limx�0�
f(x)= limx�0+
f(x)
§ limx�0�
sen(5x)x
�
��
��= lim
x�0+(cosx +ex +k)
§ lim5x�0�
sen(5x)�55x
�
��
��= cos 0+e0 +k
§5� lim5x�0�
sen(5x)5x� ��� ���
= 1+1+k
§5 � 1 =2+k
§ k =3
Opção(A)
� é o período positivo mínimo, pois:
f(x+�)= f(x), Ax ��
f(x+�)=6cos 2(x+�)( )�3
=6cos(2x+2�)�3
=6cos(2x)�3
= f(x), Ax ��Opção(A)
limx���
(10x )=0 e �1≤ cos(3x)≤ 1,Ax ��,
logo, limx���
(cos(3x)�10x )=0.
Opção(B)
limx�3�
sen xx�3�
=
00
�
��
�
�
limy�0
sen(y+3�)y
Mudança de variável :
x�3� = y§ x = y+3� e x�3�§ y�0
= limy�0
�sen yy
=�limy�0
sen yy =�1
A[PSRQ ] =SP+RQ
2�QT
Cálculos auxiliares :
•sen x = QT4
§QT =4sen x
•cosx =TP4
§TP =4cosx
• SP = 1+TP = 1+4cosx
=1+4cosx+1
2�4sen x
=4sen x (1+2cosx) c.q.d.
A�2
�
��
�
��=4sen
�2
�
��
�
�� 1+2cos
�2
�
��
�
��
�
��
�
��
=41(1+20)
=4 cm2
Quando x = �2
, o trapézio retângulo da figura
corresponde ao retângulo [RSTQ] de área 4�1=4 cm2.
Opção (A)
177Tema III | Matemática 12
Pretende-se os valores de x para os quais A(x) < 3y1 = 4 sen x (1 + 2 cos x)y2 = 3
Verifica-se que, os valores de x para os quais A(x) < 3 são os valores do intervalo [0; 0,26[.
y
y = 3
xO 0,26 2
3
5
π
c)
14.a)
b)
A(x)=0
§4sen x(1+2cosx)=0
§4sen x =0 › 1+2cosx =0
§ sen x =0 › cosx =�12
§ x = k� › x =2�3
+2k� › x =�2�3
+2k�, k ��
Se k =0, x =0 › x =2�3
› x =�2�3
Se k =�1, x =�� › x =�4�3
� ��, 2����
���
��� ��› x =�
8�3
� ��, 2����
���
��� ��
Se k =�2, x =�2�� ��, 2��
�����
��� �� › x =�10�
3� ��, 2��
�����
� �� ��› x =�
14�3
� ��, 2����
���
� �� ��
Se k = 1, x = � › x =8�3
� ��, 2����
���
���› x =
4�3
Se k =2, x =2�� ��, 2��
�����
��� › x =14�
3� ��, 2��
�����
�›
10�3
� ��, 2����
���
�
Em ��,2��� ��as soluções são ��,�2�3
,0,2�3
, �,4�3
�
� �
.
Df =�; Dg =� e Dh = x �� :x
3��2+k�, k ��
���
�
= x �� : x �3�2
+3k�, k �����
�
Zeros de f : f(x)=0
2cosx+sen(2x)=0
§2cosx+2sen xcosx =0
§2cosx(1+sen x)=0
§2cosx =0 › 1+sen x =0
§ cosx =0 › sen x =�1
§ x = �2+k� › x = 3�
2+2k�, k ��
§ x = �2+k�, k ��
Zeros de g : g(x)=0
§ sen x =0
§ sen x =0
§ x = k�, k ��Zeros de h : h(x)=0
§ 1+ tgx3
�
��
��=0
§ tgx3
�
��
��=�1
§ x3=�
�4+k�, k ��
§ x =�3�4
+3k�, k ��
•2� é período da função f , pois:
f(x+2�)= f(x), Ax �Df
f(x+2�)=2cos(x+2�)+sen 2(x+2�)( )=2cosx+sen(2x+4�)
=2cosx+sen(2x)
= f(x),Ax ��
•� é período de g, pois:
g(x+�)= g(x), Ax �Dg
g(x+�)= sen(x+�) = –sen x = sen x = g(x), Ax ��
•3� é período de h, pois:
h(x+3�)= 1+ tgx+3�
3
�
��
�
�= 1+ tg
x
3+
3�3
�
��
�
�
= 1+ tgx
3+�
�
��
�
�= 1+ tg
x
3
�
��
�
�=h(x), Ax �Dh
Os gráficos de f e de g não admitem assíntotas ver-ticais, na medida em que são funções contínuas dedomínio R: f é a soma de funções contínuas (x 1 2cos x e x 1 sen(2x)) e g é a composta de duasfunções contínuas (x 1 |x| e x 1 senx).
d)
h(x)= 1+ tgx3
�
��
�
��
Dh = x �� : x 32
+3k, k ����
���
Por exemplo:
limx� 3
2
�
��
�
���
h(x)= limx� 3
2
�
��
�
���
1+ tgx3
�
��
�
��
�
��
�
��= 1+ tg
2
�
��
�
���
= 1+(+�)
c)
= +∞, logo a reta de equação é uma assín-tota vertical do gráfico de h.
x = 3�2
d)
Matemática 12 | Guia do Professor178
E atendendo ao período positivo mínimo da função(3π), conclui-se que as retas de equação
são as assíntotas verticais do
gráfico de h. Não há quaisquer outras assíntotasverticais, pois a função h é contínua em todos ospontos do domínio.
x = 3�2
+3k�, k ��
f '(x)=x
sen x�
��
�
��'=
x'�sen x� x�(sen x)'(sen x)2
=sen x� x�cosx
sen2xDf' = x �� : sen2x �0{ }= x �� : x � k�,k ��{ }
f '(x)= x+cos(4x)( )'= x'�(4x)'sen(4x)= 1�4sen(4x)
Df' =�
17.a)
18.a)
b)
c)
b)
b)
c)
d)
e)
16.a)
f '(x)=2sen xcosx
�
��
�
��'
= (2tgx)'=2�1
cos2 x=
2cos2 x
Df ' = x � : cos2 x 0{ }= x � : x �2+k�, k �
� �
���
f '(x)= (tgx+5x)2( )'=2(tgx+5x)�(tgx+5x)'
=2(tgx+5x)�1
cos2 x +5�
��
�
��
Df '= x �� : x 2+k, k ��
��
���
f '(x)=x
sen(2x)
�
��
�
��'=
x '�sen(2x) x� sen(2x)( )'sen(2x)( )2
=sen(2x)2xcos(2x)
sen2(2x)
Df' = x � : sen2(2x)�0{ }= x � : x �k�2
, k � ��
���
Cálculo auxiliar :
sen2(2x)=0§ sen(2x)=0§2x = k�, k �
§ x =k�2
, k �
(1�cos2�)(1+ tg2�)= (1�cos2�)�1
cos2�
=1�cos2�
cos2�
=sen2�cos2�
= tg2� c.q.d.
tg2�+sen2� =sen2�cos2�
+sen2� =sen2�+sen2�cos2�
cos2�
=sen2�(1+cos2�)
cos2�=
(1�cos2�)(1+cos2�)cos2�
=1�cos4 �
cos2� c.q.d.
sen(5x)=3
2
§ sen(5x)= sen�3
�
��
�
��
§5x = �3+2k� › 5x = 2�
3+2k�, k ��
§ x = �15
+2k�
5› x = 2�
15+
2k�5
, k ��
tg x� cosx� 22
�
���
�
�=0
tg x =0 › cosx� 22
=0
� tg x =0 › cosx = 22
� x = k� › x = �4+2k� › x =� �
4+2k�, k ��
cosx2+�5
�
��
�
��=0
§x2+�5=�2+k�, k �
§x2=�2��5+k�, k �
§x2=
3�10
+k�, k �
§ x = 6�10
+2k�, k �
§ x = 3�5
+2k�, k �
k =0 1 x = 3�5
k = 1 1 x = 13�5
Em 0,3��� � : x = 3�5
› x = 13�5
limx �0
sen(5x)x
=
00
�
��
�
��
limx �0
sen(5x)5x
�5
��
�
��
=5� limx �0
sen(5x)5x
Considerando a mudança de variável 5x = y, temosx �0 y�0, ou seja, tem-se:
5� limy�0
sen y
y nota que: lim
y�0
sen y
y= 1
��
(limitenotável))=5�1=5
O
y
x
2 π 3 3
1
π
2 3 √
1 O
y
x
4 π
2 2
4 π
√
-
1 O
y
x
15.a)
179Tema III | Matemática 12
O
y
xx - π
x
1
limx�0
sen(x��)x =
00
�
�
�
limx�0
�sen xx
=�limx�0
sen xx
=�1 sen(x – �)=–sen x
nota que: limx�0
sen xx = 1 (limite notável)
�
�
�
b)
c)
d)
e)
f)
g)
19.a)
h)
limx�0
senx2x =
00
��
�
��12� lim
x�0
sen xx =
12�1=
12
nota que: limx�0
sen xx = 1 (limitenotável)
��
�
��
limx�1
sen(x�1)2x�2
=
00
�
��
�
�
limx�1
sen(x�1)2(x�1)
=12lim
x�1
sen(x�1)x�1
Seja y = x�1. Como x�1, y�0. Tem-se:
12lim
y�0
sen yy =
121=
12
nota que: limy�0
sen yy = 1 (limite notável)
�
��
�
�
limx�1�
sen(x�1)2x2 �2
=
00
�
��
�
�
limx�1�
sen(x�1)2(x2 �1)
=12 lim
x�1�
sen(x�1)x�1
1
x+1
�
��
�
�
=12
limx�1�
sen(x�1)x�1
limx�1�
1x+1
=12 lim
y�0�
sen yy
12
(Considerando y = x�1, como
x�1�, y�0�)
=121
12
nota que: limy�0�
sen yy = 1
�
��
�
�
=14
limx�0
tg(3x)sen(8x)
= limx�0
tg(3x)x
xsen(8x)
�
��
�
��
= limx�0
tg(3x)3x 3
��
�� lim
x�0
8xsen(8x)
18
��
��
=3limx�0
tg(3x)3x
18
limx�0
1sen(8x)
8x=
38 lim
x�0
sen(3x)cos(3x)3x lim
u �0
1sen u
uConsiderando 8x =u, como x�0,u�0.
=38 lim
x�0
1cos(3x)
limx�0
sen(3x)3x
11
nota que: limu �0
sen uu
= 1
��
��
=38
11 lim
v �0
sen vv
1(Considerando 3x =v, como
x�0, v�0)
=38111
=38
limx �0
sen x
ex �1=
00
�
��
�
�
limx �0
sen xx
ex �1x
=limx �0
sen xx
limx �0
ex �1x
=11= 1
(nota que : limx �0
sen x
x= 1 e lim
x �0
ex �1x
= 1
(são limitesnotáveis))
limx�+�
x2sen2 1x
�
��
�
�
�
��
��= lim
x�+�
sen2 1x
�
��
�
�
1x2
= lim1x �0
sen1x
�
��
�
�
1x
�
�
����
�
����
2
Seja1x = y. Como x�+� y�0. Então, tem-se
que : limy�0
sen yy
�
��
�
�
2
= limy�0
sen yy
�
��
��
2
= 12 = 1
nota que : limy�0
sen yy = 1 (limitenotável)
�
��
�
�
limx�0
f (x)= limx�0
3sen xex �1
=3� limx�0
sen xx
ex �1x
=3�1=3
nota que: limx�0
sen xx = 1 e lim
x�0
ex �1x = 1
��
�
f(0)=3
Como limx�0
f(x)= f(0), f é contínua em x =0.
Logo, f é contínua em�.
• Em R\{0} a função f é contínua por se tratar, emR\{0}, do quociente entre funções contínuas: umaque é o produto de uma função constante por umafunção trigonométrica e a outra que é a diferençaentre uma função exponencial e uma função cons-tante, que não se anula em R\{0}.
• Continuidade em x = 0:
Matemática 12 | Guia do Professor180
20.a) f)
g)
h)
i)
j)
22.a)
21.a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
2tg x1+ tg2x =
2tg x1
cos2 x
, x � �2+k�, k ��
=2sen xcosx cos2 x, x � �
2+k�, k ��
=2sen xcosx, x � �2+k�, k ��
= sen(2x), x � �2+k�, k ��
c.q.d.
cos(2x)= cos2 x�sen2x, Ax ��
= cos2 x�(1�cos2 x), Ax ��
= cos2 x+cos2 x�1, Ax ��
=2cos2 x�1, Ax �� c.q.d.
cosx = cos2 x2
�
��
�
���sen2 x
2
�
��
�
��, Ax �
= cos2 x2
�
��
�
��� 1�cos2 x
2
�
��
�
��
�
��
�
��, Ax �
= cos2 x2
�
��
�
��+cos2 x
2
�
��
�
���1, Ax �
=2cos2 x2
�
��
�
���1, Ax �
a'(x)= sen 3x� 5�4
�
��
�
�
�
��
��'= 3x 5�
4
�
��
�
�'cos 3x 5�
4
�
��
�
�
=3cos 3x 5�4
�
��
�
�
b'(x)= (x2)'�cos x+ x2 �(cosx)'
=2xcosx� x2sen x
c'(x)= (sen x+cosx)2�� ��'
=2(sen x+cosx)1 �(sen x+cosx)'
=2(sen x+cosx)�(cosxsen x)
=2(cos2 xsen2x)
d '(x)= (tg x x)'cosx+(tg x x)(cosx)'
=1
cos2 x 1�
��
�cosx+(tg x x)(sen x)
=1
cosx cosxsen x tg x+ xsen x
e'(x)=(sen x)'� x �sen x� x '
x2=
cosx� x �sen x
x2
f '(x)=(1cosx)'�(1+cosx)(1cosx)�(1+cosx)'
(1+cosx)2
=sen x�(1+cosx)(1cosx)�(�sen x)
(1+cosx)2
=sen x+ sen x�cosx +sen x sen x�cosx
(1+cosx)2
=2sen x
(1+cosx)2
g'(x)=(tg x)'�(1+ x2) tg x�(1+ x2)'
(1+ x2)2
=
1+ x2
cos2 x 2x� tg x(1+ x2)2
=1
cos2 x�(1+ x2)
2x� tg x(1+ x2)2
h'(x)=(cosx+1)'cosx+1
=sen x
cosx+1
i '(x)= (x+sen x)'�ex+sen x = (1+cosx)�ex+sen x
j '(x)= x+2( )'�cos x+2( )=
12�(x+2)
�12 �cos x+2( )
=1
2 x+2�cos x+2( )
=cos x+2( )
2 x+2
Determinação de p – período positivo mínimo da
função d :
d(t+p)=d(t), At � D
40�10cos�(t+p)
2
�
��
�
�=40�10cos
�t2
�
��
�
�
§ cos�t+�p
2
�
��
�
�= cos
�t2
�
��
�
�
§�t+�p
2=�t2+2k� ›
�t+�p2
=��t2+2k�, k ��
§ �t+�p = �t+4k� › �t+�p =��t+4k�, k ��§ �p =4k� › �p =�2�t+4k�, k ��§ p =4k › p =�2t+4k
p depende de t� �� �� , k ��
Se k = 1, p =4 período positivo mínimo
Como, no contexto do problema, o período positivomínimo é 4 segundos, então num minuto (60 segun-dos) a bola faz 15 oscilações.
181Tema III | Matemática 12
a = 1 ; A(θ) = sen(2θ)Pretende-se determinar os valores de θ para osquais A(θ) = 0,5.
y1 = sen(2θ)y2 = 0,5
Os valores de θ, com aproximação às centésimas,para os quais A(θ) =0,5 são θ ≈0,26 rad e θ ≈ 1,31 rad.
d(t)=45
§4010cost2
�
��
�=45
§ cost2
�
��
�=
12
§t2=
23
+2k ›t2=
43
+2k, k ��0
§ t =43
+4k › t =83
+4k, k ��0
§ t =43+4k › t =
83+4k, k ��0
Quando k =0, t =43
.
O primeiro instante em que a bola atingiu 45 cm de
distância ao solo foi aos43
s.
Pretende-se determinar d '(9) :
d '(t)= 4010cos�t2
�
��
�
�
�
��
�
�'= 10
�t2
�
��
�
�'sen
�t2
�
��
�
�
= 10��2�sen
�t2
�
��
�
�
d '(9)=5�sen9�2
�
��
�
�=5��1=5�
Quando t =9 s, a velocidade da bola é de 5� cm/s.
Cálculo auxiliar :
�1≤ cos�t2
�
��
�
��≤ 1, At ��
§�10≤ �10cos�t2
�
��
�
�≤ 10, At ��
§30≤40�10cos�t
�
��
�
�≤50, At ��
§�1≤ cos�t8
�
��
�
��≤ 1, At ��
§�15≤ �15cos�t8
�
��
�
�≤ 15 At ��
§25≤40�15cos�t8
�
��
�
�≤55 At ��
b) 23.a)
b)
c2)
c3)
c)c1)
c)
No instante inicial a bola que se encontrava maisperto do chão era a bola da Alice, já quem(0) =40 – 15cos 0 =25 cm e d(0) =40 – 10cos 0 =30 cm.Apesar disso, depois de se iniciar o movimento, é abola da Alice que atinge uma maior altura, 55 cm, poisD'm = [25, 55], enquanto que a bola da Anabela atin-ge uma altura máxima de 50 cm, pois D'd = [30, 50].(Ver cálculo auxiliar).Quanto à bola que mais oscilações realizou, conclui --se que foi a bola da Anabela, pois esta realizou, comose viu na primeira alínea, 15 oscilações durante o pri-meiro minuto (já que o período positivo mínimo da fun-ção d é de 4 s), enquanto que a bola da Alice realizouquase 4 oscilações completas, pois, como o períodopositivo mínimo da função m é de 16 s, vem que
= 3,75 oscilações.6016
A[ABCD ] =BD�AC
2
=2a sen�� 2a cos�
2
=a22 sen� cos �� ��� ���
=a2 sen(2�) c.q.d.
Cálculos auxiliares :
• sen�=
BD2a
§BD =2a sen�
• cos �=AC2
§ AC =2a cos �
A�4
�
��
�
��=a2 sen 2
�4
�
��
�
��=a2sen
�2
�
��
�
��=a2 1=a2
Quando =�4
, o losango [ABCD] adquire a forma de
um quadrado de lado a.
A(x)= sen x§ sen(2x)= sen x§2sen xcosx�sen x =0
§ sen x(2cosx�1)=0
§ sen x =0 › cosx = 12
§ x = k� › x = �3+2k� › x =� �
3+2k�, k ��
P�2
, A�2
�
��
�
��
�
��
�
��, ou seja, P
�2
,0�
��
�
��
A'()= sen(2)( )'=2cos(2�)
A'�2
�
��
�
�=2cos 2
�2
�
��
�
�=�2
O π θ
0,5
0,26 1,312
A
A
d)
Matemática 12 | Guia do Professor182
24.a)
b)
c)
d)
e)
Assim, o declive da reta tangente ao gráfico de A
no ponto de abcissa �2
é�2.
Logo, o declive da reta normal ao gráfico da função
de A no ponto de abcissa �2
é 12
.
y = 12x+b
P�2
,0�
��
�
� � reta: 0=
12�2+b
§b =��4
Equação da reta normal pretendida: y = 12x� �
4
f(x)= sen4x�cos4 x= (sen2x�cos2 x)(sen2x+cos2 x)
1� ��� ���
= sen2x�cos2 x = sen2x�(1�sen2x)
=2sen2x�1 c.q.d.
f(x)=0
§2sen2x�1=0
§ sen2x = 12
§ sen x =± 1
2
§ sen x = 22
› sen x =� 22
§ x = �4+2k� › x = 3�
4+2k� ›
x =� �4+2k� › x = 5�
4+2k�, k ��
§ x = �4+
k�2
, k ��
sen�2+ x�
��
�
��=
53
§ cosx = 53
Pela Fórmula Fundamental da Trigonometria,tem-se que, sen2x+cos2 x = 1.Logo:
sen2x+ 53
�
���
�
���
2
= 1
§ sen2x = 1�59
§ sen2x = 49
Assim, f(x)=2sen2x�1=249�1=�
19
.
f '(x)= 2sen2x�1( )'=2�2sen x�(sen x)'
=4sen x�cosx =2sen(2x)
f '(x)=0 §2sen(2x)=0 § sen(2x)=0 §2x = k�, k ��
§ x = k�2
, k ��
Em 0,2��� � :
Se k =0, x =0� 0,2��� �
Se k = 1, x = �2
Se k =2, x = �Se k =3, x = 3�
2Se k =4, x =2�� 0,2��� �
f�2
�
��
�
��=2sen2 �
2
�
��
�
��1=21= 1
f(�)=2sen2(�)1=01=1
f3�2
�
��
�
��=2sen2 3�
2
�
��
�
��1=21= 1
f é estritamente crescente no intervalo 0,�2
��
�� e em
�,3�2
��
��; f é estritamente decrescente em
�2
, �
��
�� e em
3�2
,2�
��
��; f tem um máximo: 1, para x = �
2 e para x = 3�
2.
f tem um mínimo: – 1, para x = �.
x 0π2
π3π2
2π
Sinal de f’ n.d. + 0 – 0 + 0 – n.d.
Variação de f
n.d. £M1
¢-1m
£M1
¢ n.d.
f ''(x)= 2sen(2x)( )'=2�(2x)'�cos(2x) =4cos(2x)
f ''(x)=0§4cos(2x)=0§ cos(2x)=0
§2x = �2+k�, k ��
§ x = �4+
k�2
,k ��
Em 0,2��� �� :
Se k =0, x = �4
183Tema III | Matemática 12
Se k = 1, x = 3�4
Se k =2, x = 5�4
Se k =3, x = 7�4
Se k =4, x = 9�4
� 0,2��� ��
O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima
nos intervalos 0,�4
�
���
��,
3�4
,5�4
���
��, e
7�4
,2�
��
��;o gráfico
de f tem a concavidade voltada para baixo nos
intervalos �4
,3�4
���
�� e
5�4
,7�4
���
��; os pontos de
inflexão são os pontos de coordenadas : �4
,0
�
�
�,
3�4
,0
�
�
� ,
5�4
,0
�
�
� e
7�4
,0
�
�
�
f(x)=2sen2x�1
f '(x)=2sen (2x) P�4
, f�4
�
��
�
�
�
��
�
�=
�4
,0�
��
�
�
Seja m o declive da reta tangente ao gráfico de f no
ponto de abcissa �4
: m = f '�4
�
��
�
�=2sen
2�4
�
��
�
�=2
y =2x+b e como P�4
,0�
��
�
� pertence à reta tangente,
tem-se: 0 = 2�4+b §b =�
�2
Assim, equação da reta pretendida é y =2x� �2
.
f'(0)= limx�0
f(x)� f(0)x�0
= limx�0
2sen2x�1�(�1)x
= limx�0
2sen2 x� 1 + 1x =2lim
x�0
sen2xx
=2limx�0
sen xx
limitenotável� �� ��
� limx�0
sen x =2�1�0=0
x 0π
4
3π
4
5π
4
7π
42π
Sinal de f’’ n.d. + 0 – 0 + 0 – 0 + n.d.
Sentido das
concavidades
do gráfico de f
n.d.P.I.
0
P.I.
0
P.I.
0
P.I.
0n.d.
Determinação dos zeros de f'' na calculadora:
Assim, a abcissa do ponto P é aproximadamente0,60.
A abcissa do ponto P é um zero de f''. Pretende-se determinar a solução da equação
f''(x)=0 ‹ x � 0,�2
�
���
��.
f' (x) = (x2 cosx)'= (x2)'cosx+(x2)(cosx)'=2xcosx x2 sen x
f''(x)= (2xcosx x2 sen x)'= (2xcosx)'(x2 sen x)'=2cosx 2xsen x 2xsen x x2 cosx=2cosx 4x sen x x2 cosx
y1 =30+8cos�t+10�
12
�
��
�
��; y2 = 30
f)
25.
26.
g)
O
y
x0,60 π2
23,1
30
38
8 14 20 24
y2
y1
= 30
A
O primeiro dia de férias começou com uma tempe-ratura de aproximadamente 23,1 °C, logo às 0 h des-se dia, tendo aumentado até às 14 h, altura em queatingiu o máximo de 38 °C.A partir dessa hora a temperatura começou a dimi-nuir, até às 24 h, momento em que atingiu a tempe-ratura com a qual o dia tinha iniciado: aproximada-mente, 23,1 °C.Durante este dia, a temperatura foi superior a 30 °Cdas 8 h às 20 h. Assim, o Joaquim tinha razão quan-do afirmava que durante toda a tarde a temperaturafoi superior a 30 °C.
Matemática 12 | Guia do Professor184
sen x �cos x = 2
Elevando ambos os membros da igualdade ao
quadrado obtém-se:
(sen x �cosx)2 = 2( )2
§ sen2x �2sen x cosx+cos2 x =2
§ sen2x+cos2 x� ��� ��� �2sen xcosx =2
§
1
�2sen x cosx =2
§�2sen x cosx = 1
§ sen x cosx =�12
c.q.d.
1+cos(3x)
cosx = 1+cos(x+2x)
cosx= 1+
cosxcos(2x)�sen x sen(2x)cosx
= 1+cosx cos(2x)�sen x2sen x cosx
cosx= 1+cos(2x)�2sen2x= 1�sen2x� �� �� �sen2x+cos(2x)
= cos2 x�sen2x� ��� ��� +cos(2x)
= cos(2x) + cos(2x)
=2cos(2x) c.q.d.
27.a)
28.a)
30.
29.
a)
b)
c)
d)
O
y
xπ - 0,526
-1,903
y1
y2
I-
f(x)=x+ tg x
x se x <0
(x+1)e�x se x ≥0
���
��
limx�0�
f(x)= limx�0�
x+ tg xx = lim
x�0�1+
tg xx
�
��
�
�
= limx�0�
1+sen x
cosx x�
��
�
�= 1+ lim
x�0�
sen xx lim
x�0�
1cosx
= 1+111
nota que: limx�0�
sen xx = 1
�
��
�
�
= 1+1=2limx�0+
f(x)= limx�0+
x+1( )e�x�� �= 0+1( )e0 = 1
limx�0�
f(x) limx�0+
f(x), ou seja, E limx�0
f(x).
f é descontínua em x =0.limx�0�
f(x)= 1= f(0), f é contínua à direita em x =0.
Em �+, f(x)= (x+1)e�x
Assim, f '(x)= (x+1)'e�x +(x+1)(e�x )'= e�x +(x+1)(�1)(e�x )= e�x( 1 � x� 1 )=�xe�x
Como e�x >0, Ax �� e � x <0, Ax ��+, entãof '(x)<0, Ax ��+, logo f é estritamente decrescenteem �+.
Seja y =m x+b a equação reduzida da reta pretendida.m = f '(��)
Em��, f '(x)=(x+ tg x)'� x �(x+ tg x)� x '
x2
=1+
1cos2 x
�
��
�
�� x � x � tg x
x2
=x +
xcos2 x
� x � tg x
x2
=1
x�cos2 x�
tg x
x2
f '(��)=1
���(�1)2�
0
��( )2 =�1�
y =�1�
x+b
•Cálculo de b :
f (��)=��+ tg(��)
��= 1
Como (��, 1) pertence à reta tangente, vem que:
1 = –1��(��)+b § 1= 1+b §b =0
Assim, y =�1�
x é a equação reduzida da reta
tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ��.
Em ��,0�� �, f(x)=1x§
x+ tg xx =
1x
y1 =x+ tg x
xy2 =
1x
As coordenadas do ponto I , com aproximaçãoàs milésimas, são (�1,903;�0,526).
y1 =x+ tg x
xy2 =
1x
g(x)=cosx
1�sen x
Dg =[0,2�]\�2
���
���
O
y
x
185Tema III | Matemática 12
Assíntotas verticais :
limx �
2
�
��
�
�
g(x)= limx �
2
�
��
�
�
cosx1sen x
=
00
�
��
�
�
limx �
2
�
��
�
�
cosx(1+sen x)1sen2x = lim
x �2
�
��
�
�
cosx(1+sen x)cos2 x
= limx �
2
�
��
�
�
1+sen xcosx =
1+10+
=20+
=+�
limx �
2
�
��
�
�+
g(x)= limx �
2
�
��
�
�+
cosx1sen x = lim
x �2
�
��
�
�+
cosx(1+sen x)1sen2x
= limx �
2
�
��
�
�+
cosx(1+sen x)cos2 x = lim
x �2
�
��
�
�+
1+sen xcosx =
1+10
=20
=�
A reta de equação x = �2
é uma assíntota vertical do
gráfico de g. Como g é contínua no seu domínio (por se tratar do quociente entre duas funções contínuas), então o gráfico de g não admite mais assíntotas verticais.
g'(x)=(cosx)'(1�sen x)�cosx(1�sen x)'
(1�sen x)2
=�sen x(1�sen x)�cosx(�cosx)
(1�sen x)2
=�sen x+sen2x+cos2 x
(1�sen x)2
=1�sen x
(1�sen x)2=
11�sen x
a) Assíntotas não verticais:Como o domínio de g é limitado, o seu gráfico nãotem assíntotas não verticais.
b)
c)
d)
43.a)
b)
O
y
x
g''(x)=�(1�sen x)'(1�sen x)2
=cosx
(1�sen x)2
Como (1�sen x)2 >0,Ax � 0,2��� ��\�2
�
��
o sinal de
g'' depende apenas do sinal de cosx.
voltada para baixo em�2
,3�2
�
���
��;
3�2
,0�
��
� é ponto de inflexão.
O gráfico de g tem a concavidade voltada para cima
em 0,�2
�
��
�e em
3�2
,2��
��
��e tem a concavidade
g'(x)=1
1�sen x
Sejam mr e ms os declives das retas r e s, respetivamente.
mr = g'(a)=1
1�sen a
ms = g'(b)=1
1�sen bComo a+b = �, então b = ��a, pelo que:
ms = g'(b)=1
1�sen b
=1
1�sen(��a)
=1
1�sen a= g'(a)=mr
Logo, as retas são paralelas.
x 0π2
3π2
2π
Sinal de g’’ + + n.d. – 0 + +
Sentido dasconcavidadesdo gráfico de g
n.d. P.I.
Unidade 7 – Números complexos
Página 66
2x2 +3x+4 =0
§ x = �3± 32 �42422
§ x = �3± �234
§ x = �3± 23i4
§ x =�34+
234
i › x =�34�
234
i
C.S. = �34+
234
i , �34�
234
i���
��
���
��
x3 +16x =0
§ x(x2 +16)=0
§ x =0 › x2 =16
§ x =0 › x =± 16
§ x =0 › x =±4 i
§ x =0 › =4 i › x =4i
C.S.= 0,4 i,4 i{ }
O
y
x
π - a a
sen(π - a) = sen a
Matemática 12 | Guia do Professor186
45.a)
b)
47.a)
b)
48.a)
c)
46.a)
c)
44.a)
b)
c)
d)
e)
Unidade 8 – Números complexos naforma algébrica
Página 69
3x3 +2x2 + x =0
§ x(3x2 +2x+1)=0
§ x =0 › 3x2 +2x+1=0
§ x =0 › x = 2± 22 43123
§ x =0 › x = 2± 86
§ x =0 › x = 2±2 2i6
§ x =0 › x =13+
23
i › x =13
23
i
C.S.= 0,13+
23
i,13
23
i���
��
��
�
Re(z)=2 e Im(z)=3
Re(z)= 1 e Im(z)=1
Re(z)=0 e Im(z)=2013
z =5i2 =5(1)=5 Re(z)=5 e Im(z)=0
z = 1 8i2
=12
2 2i2
=12 2i
Re(z)= 12
e Im(z)= 2
z = k2 +(p1) i
z =2+5 i
k2 +(p1) i =2+5 i
§k2 =2 ‹ p1=5
§ k = 2 › k = 2( ) ‹ p =6
z = k2 +(p1) i é um número real se Im(z)=0, ou seja,
(p1)=0§p = 1 e k um qualquer número real.
z = k2 +(p1) i é um imaginário puro se
Re(z)=0 ‹ Im(z)�0, ou seja, k2 =0 ‹ p1�0
§k =0 ‹ p � 1
Seja z =a+bi.
z =5 Re(z)=2 §Im(z)<0
�
��
��
a2 +b2 =5
a =2
b <0
�
���
���
§
22 +b2 =25
a =2
b <0
�
��
��
Assim: z =2� 21i
z =23i
z = 1+ i
z =2013i
z =5i2 =5, logo z =5.
z =12 2i, logo z =
12+ 2i
z =2+5i
z =25i
z =25i
z =2+5i
Sejam P1, P2, P3 e P4 as imagens geométricasde z, z , z e z , respetivamente.
z =2+5i1P1(2,5)z =25i1P2(2,5)z =25i1P3(2,5)z =2+5i1P4(2,5)
0 2
P√21-
Eixoimaginário
Eixo real
b)
c)
d)
e)
P4
P3 P2
P1
Eixoimaginário
Eixo real0 2-2
5
-5
187Tema III | Matemática 12
c)
b)
b)
c)
c)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
c)
c)
d)
b)
55.a)
d)
b)
b)
53.a)
54.a)
d)
49.a)
52.a)
50.a)
51.a)
P1P2P3P4�� ��é um retângulo de largura 4 e
comprimento 10, logo de área 40.
z1 + z2 = (4+ i)+(5i)=4+6i
z1 + z3 = (4+ i)+ 212
i�
��
�
��=6+
12
i
z2 z3 =5i 212
i�
��
�
��=2+5i+
12
i =2+112
i
z1 + z3 = (4+ i)+ 2+12
i�
��
�
��=6+
32
i
Seja z =a+bi.
Para z+ z =2 : (a+bi)+(abi)=2
§2a =2
§a = 1
Por exemplo, z = 1+7i.
Para z+ z =0: (a+bi)+(abi)=0
§2a =0
§a =0
Por exemplo, z =5i.
Para z z =0: (a+bi)(abi)=0
§2bi =0
§2b =0
§b =0
Por exemplo, z =3.
3i�(2�4i)=6i �12i2 = 12+6i
12� i
�
��
�
��(2+3i)= 1+
32
i �2i �3i2 = 1+3�12
i =4�12
i
2+ i( )2= 2+ i( )� 2+ i( )=2+ 2i+ 2i+ i2
= 1+2 2i
i� 6�7i( ) = i� 6+7i( )=6i+7i2 =7+6i
3i24i
=3i(2+4i)
(24i)(2+4i)=
6i+12i2
22 (4i)2=12+6i4+16
=12+6i
20=
1220
+6
20i =
35+
310
i
1 i1+ i
=(1 i)(1 i)(1+ i)(1 i)
=1 i i+ i2
12 i2=
12i 11+1
=2i2=i
3 + i2i
=3 + i( )� i
2i� i=
3i+ i2
2i2=�1+ 3i
�2
=12�
32
i
15 i
=5+ i
(5 i)(5+ i)=
5+ i52 i2
=5+ i26
=5
26+
126
i
i101 = i1 = i 101 4 1 25
i2014 = i2 =1 2014 4 2 503
i23 � i6 +5i11( )= i3 � i2 +5i3( )=i 15i( )= i+5i2 =5+ i
2i4n+ 1 3i4n+3 +(2i)8 =2 i1 3i3 +256i8
=2i+3i+256=256+5i
(26i)2 =424i+36i2 =43624i =3224i
(1+ i)5 =5 C015 i0 +5 C114 i1 +5 C213 � i2 +5 C312 � i3 +
+5C4 �11 � i4 +5 C510 � i5
= 1+5i+10i2 +10i3 +5i4 + i5
= 1+5i �10�10i+5+ i
=�4�4i
(1+ i)5 =1
(1+ i)5=
144i
(pelos cálculos efetuados na
alínea anterior)
=(4+4i)
(44i)(4+4i)=
4+4i(4)2 (4i)2
=4+4i16+16
=4
32+
432
i =18+
18
i
(3 i)4 =1
(3 i)4=
1
(3+ i)2( )2 =1
96i+ i2( )2 =1
86i( )2
=1
6496i+36i2=
12896i
=28+96i
(2896i)(28+96i)
=28+96i
282 (96i)2=
28+96i784+9216
=28
10000+
9610000
i
=7
2500+
6625
i
i é uma raiz quarta de 1, pois i4 = 1.
2+ i é uma raiz quadrada de 3+4i, pois (2+i)2=3+4i.
(2+ i)2 =22 +4i+ i2 =4+4i 1=3+4i
Matemática 12 | Guia do Professor188
56. 59.a)
b)
c)
d)
e)
60.a)
b)
57.
As raízes quadradas de z =2i são os númeroscomplexos w =a+bi tais que w2 = z, isto é:
(a+bi)2 =2i§a2 +2abi+(bi)2 =2i§a2 +2abi+b2i2 =2i§ a2 b2( )+2abi =2i
§a2 b2 =02ab =2���
§a2 =b2
ab = 1���
§a =bab = 1{ ›
a =bab = 1{
§a =ba2 = 1���
›a =bb2 = 1���
Condiçãoimpossívelem�
��� ��§
a =ba2 = 1���
§a =ba = 1{ ›
a =ba =1{
§b = 1a = 1{ ›
b =1a =1{
As raízes quadradas de 2i são os númeroscomplexos 1+i e 1 i.
z = 1+ iiz = i (1+ i)= i+ i2 =1+ ii2z = i2(1+ i)=1(1+ i)=1 ii3z =i(1+ i)=i i2 = 1 i
Sejam P, P1, P2 e P3 as imagens geométricasde z, iz, i2z e i3z, respetivamente.
P(1, 1) ; P1(1, 1) ; P2(1,1) e P3(1,1)
b) O polígono [PP1P2P3] é um quadrado de lado 2, logoa sua área é 4.
58. A multiplicação de um número complexo por –icorresponde à rotação centrada na origem do vetorque é a sua imagem vetorial segundo um ângulode amplitude –90°.Assim, das opções apresentadas, a imagem geo-métrica de –iz é z4.Opção (D)
z1
z2
=1+ i4i
=(1+ i)� i
4i� i=
i+ i2
4i2=1+ i4
=14
14
i
(z1)3 � z3 = (1+ i)3 �(2�3i)= (1+ i)2(1+ i)(23i)
= (1+2i+ i2)(1+ i)(23i)
=2i�(1+ i)(23i)= (2i+2i2)(23i)
= (2+2i)(23i)=4+6i+4i 6i2
=4+10i+6=2+10i
z2 z3
i=
(4i)(23i)i
=4i 2+3i
i=2 i
i
=(2 i) i
i2=2i i2
1=
12i1
=1+2i
z2 +z3
5i8n+3=4i+
2+3i5� i3
=4i+2+3i�5i
=4i+(2+3i)� i�5i� i
=4i+2i+3i2
�5i2=4i+
�3+2i5
=4i �35+
25
i
=�35+
225
i
z1 iz3
= 1+ i i
23i= 1+ i
i(2+3i)(23i)(2+3i)
= 1+ i 2i+3i2
22 (3i)2= 1+ i
3+2i4+9
= 1+ i+313
2
13i =
1613
+1113
i
z = k+ ik i
=(k+ i)�(k+ i)(k i)(k+ i)
=k2 +2ik+ i2
k2 i2=
(k2 1)+2kik2 +1
=k2 1k2 +1
+2k
k2 +1i
Para que z seja um número real terá de se verificar:
Im(z)=0
Assim:2k
k2 +1=0§2k =0 ‹ k2 +1�0
Condiçãouniversalem�
� �� ��
§k =0
Para que z seja um imaginário puro, terá que se
verificar:
Re(z)=0 ‹ Im(z)�0
Assim:
k2 �1k2 +1
=0 ‹2k
k2 +1�0
§k2 �1=0 ‹ k2 +1�0Condiçãouniversalem�
� �� �� ‹ 2k �0
§k2 = 1 ‹ k �0
§k = 1 › k =�1
Eixoimaginário
Eixo realP2 P3
PP1
0 1
1
-1
-1
189Tema III | Matemática 12
4z3 +13z =17 (1 é uma das soluções)
§4z3 +13z+17 =0
§(z+1)(4z2 4z+17)=0
§ z+1=0 › 4z2 4z+17 =0
§ z =1 › z =4± (4)2 4417
24
§ z =1 › z =4± 256
8
§ z =1 › z =4+16i
8› z =
416i8
§ z =1 › z =12+2i › z =
122i
C.S.= 1,12+2i,
122i
���
��
61.a)
f)
b)
c)
d)
e)i+ i2z = i4z+1
§ i z = z+1§2z =1 i
§ z =12
12
i
C.S.= 12
12
i���
���
(3� i)+(1+ i)z =5i
§(1+ i)z =5i �3+ i
§ z = �3+6i1+ i
§ z = (�3+6i)(1� i)(1+ i)(1� i)
§ z = �3+3i+6i �6i2
12 � i2
§ z = 3+9i1+1
§ z = 32+
92
i
C.S.=32+
92
i���
���
z� iz = 2� i3i
§ z(1� i)= 2� i3i
§ z = 2� i3i(1� i)
§ z = 2� i3i �3i2
§ z = 2� i3+3i
§ z = (2� i)(3�3i)(3+3i)(3�3i)
§ z = 6�6i �3i+3i2
32 �(3i)2
§ z = 6�3�9i18
§ z = 16�
12
i
C.S.=16�
12
i���
���
z2 +8=0
§ z2 =�8
§ z = 8i › z =� 8i
§ z =2 2i › z =�2 2i
C.S.= �2 2i, 2 2i{ }
z2 �2z =�4
§ z2 �2z+4 =0
§ z = 2± (�2)2 �4�1�42
§ z = 2± �122
§ z = 2+ 12i2
› z = 2� 12i2
§ z = 1+ 3i › z = 1� 3i
C.S.= 1+ 3i, 1� 3i{ }
μ 4 0 13 17
–1 –4 4 –17
4 –4 17 0 = r
AB = z1 + z3 =4+4 =8
Cálculo auxiliar :
z1 = z3 = 22 + �2 3( )2= 4+12 =4
62. Como i50 = i2 = –1, tem-se que z3 = i50 × z1 = –z1,isto é, z3 é o simétrico de z1 e, portanto, a sua ima-gem geométrica, B, será simétrica da imagem geo-métrica de z1, A, em relação à origem do referencial.Portanto:
Eixoimaginário
Eixo real0 2
A
B
√32
√32
-
2-
Cálculo auxiliar:
Matemática 12 | Guia do Professor190
Unidade 9 – Representaçãotrigonométrica de um número complexo
Página 88
63.a)
64.a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
b)b1)
b2)
e2�i = cos(2�)+ i sen(2�)= 1+ i�0= 1
eix+ e-ix
2=
cosx+ i sen x+cos(�x)+ i sen(�x)2
=cosx+ i sen x+cosx� i sen x
2
=2cosx
2= cosx c.q.d.
eix �e�ix
2=
cosx+ i sen x� cos(�x)+ i sen(�x)( )2i
=cosx+ i sen x�(cosx� i sen x)
2i
=cosx+ i sen x�cosx+ i sen x
2i
=2isen x
2i= sen x c.q.d.
z = 1+ i = 2 cis�4
�
��
�
��
z =2�2i =2 2cis ��4
�
��
�
�
• z = 22 +(�2)2 = 8 =2 2
• tg=�22
‹ 4.°Q
tg=�1 ‹ 4.°Q
=��4
, por exemplo.
Eixoimaginário
Eixo real0 1
1
Eixoimaginário
Eixo real0 2
-2
0
Eixoimaginário
Eixo real2013
0
Eixoimaginário
Eixo real
4
z =2013=2013 cis(0)
z =4i =4 cis�2
�
��
�
��
z =�5=5 cis(�)
z =�10i = 10 cis3�2
�
��
�
��
z =3+ i+3i2 =3+ i �3= i = cis�2
�
��
�
��
z =� 2+ 6i =2 2 cis2�3
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
i z = � 2( )2+ 6( )
2= 8 =2 2
i tg=6
� 2‹ 2.°Q
tg=� 3 ‹ 2.°Q
=2�3
, por exemplo.
z =�3� 3i =2 3 cis7�6
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
i z = (�3)2 + � 3( )2
= 12 =2 3
i tg=� 3�3
‹ 3.°Q
tg=3
3‹ 3.°Q
=7�6
, por exemplo.
z =� 12+2i =4 cis5�6
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
i z = � 12( )2+22 = 16 =4
i tg=2
� 12‹ 2.°Q
tg=�2
2 3‹ 2.°Q
tg=�3
3‹ 2.°Q
=5�6
, por exemplo.
0
Eixoimaginário
Eixo real-5
0
Eixoimaginário
Eixo real
-10
0
Eixoimaginário
Eixo real
1
0
Eixoimaginário
Eixo real
√
√ 2
6
-
0
Eixoimaginário
Eixo real√
-3
3-
0
Eixoimaginário
Eixo real
2
√ 12-
191Tema III | Matemática 12
65.a)
68.a)
69.a)
b)
c)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
b)
66.a)
67.
cis�3
�
��
�
��= cos
�3
�
��
�
��+ i sen
�3
�
��
�
��=
12+
32
i
2cis�4
�
��
�
��= 2 cos
�4
�
��
�
��+ i sen
�4
�
��
�
��
�
��
�
��= 2
22
+2
2i
�
���
�
���
= 1+ i
4 cis ��6
�
��
�
�=4 cos �
�6
�
��
�
�+ i sen
��6
�
��
�
�
�
��
�
�=4
32
�12
i�
���
�
�
=2 3 �2i
3 cis�2
�
��
�
��=3i
8 cis(2014�)=8 cis (0)=8
8 cis(2013�)=8 cis (�)=�8
9 cis3�2
�
��
�
��=9i
cis7�4
�
��
�
��= cos
7�4
�
��
�
��+ i sen
7�4
�
��
�
��=
22
2
2i
z =3 ‹ arg(z)=� �6
w =3 ‹ arg(w)=11�
6=�
�6+2�
z ew são iguais, pois têm módulos iguais e osargumentos diferem de 2�.
z = 8 =2 2 e arg(z)= �3
w =2 2 e arg(w)=13�
3=�3+4�
z ew são iguais, pois têm módulos iguais e osargumentos diferem de 4�.
z =� cis �+�3
�
��
�
e w = 1+ i = 2 cis
�4
�
��
�
z =w
§� cis �+�3
�
��
�
= 2 cis
�4
�
��
�
§�= 2 ‹ �+�3=�4+2k�, k �
§�= 2 ‹ �=��
12+2k�, k �
z =2 cis�4
�
��
�
��
z =2 cis �4
�
��
�
��
z =2 cis�4+�
�
��
�
��
=2 cis5�4
�
��
�
��
z = cis ��3
�
��
�
�
z = cis�3
�
��
�
�
�z = cis ��3+�
�
��
�
�
= cis2�3
�
��
�
�
z =3i =3 cis�2
�
��
�
��
z =3 cis �2
�
��
�
��
z =3 cis�2+�
�
��
�
��
=3 cis3�2
�
��
�
��
=3 cis �2
�
��
�
��
z =4 =4 cis(0)z =4 cis (0)�z =4 cis (�)
Eixoimaginário
Eixo real0 1
1
Eixoimaginário
Eixo real0
A
BC
4π
45π
-
4π
Eixoimaginário
Eixo real0
A
BC
3π
32π
-
3π
-3
A
B C
2
3
π-
2π
=
Eixoimaginário
Eixo real0
4
A B =C -4
π
Eixoimaginário
Eixo real0
Sejam A, B e C as imagens geométricas de z, e –z,respetivamente:
z
cos�� i sen�= cos �+ i sen(��)
= cos(��)+ i sen(��)
= cis(��)
�cos�� i sen�=�(cos�+ i sen�)
=�cis�
= cis(�+�)
sen�� i cos�= cos ��2+�
�
��
�
+ i sen �
�2+�
�
��
�
= cis ��2+�
�
��
�
Matemática 12 | Guia do Professor192
d)
70.a)
72.a)
b)
c)
d)
73.a)
b)
c)
71.
b)
c)
d)
e)
4π-
4π
21
2
A
B
Eixoimaginário
Eixo real0
Eixoimaginário
Eixo real05π5π
31
3
A
B
-
Eixoimaginário
Eixo real
0
2π
101 -
2
10
π
A
B
Eixoimaginário
Eixo real0 B
4 41
A
1+cos�+ i sen�1+cos�� i sen�
=1+cos�+ i sen�( ) 1+cos�+ i sen�( )1+cos�� i sen�( ) 1+cos�+ i sen�( )
=1+cos�+ i sen�( )2
1+cos�( )2� i sen�( )2
=1+cos�( )2
+2 1+cos�( )i sen�+ i sen�( )2
1+cos�( )2+sen2�
=1+cos�( )2
+ i2 sen2�+2 1+cos�( )sen� i
1+2cos�+cos2�+sen2�1
� ��� ���
=1+cos�( )2
�sen2�+2 1+cos�( )sen� i
2+2cos�
=1+2cos�+cos2��sen2�
2(1+cos�)+
2(1+ cos�)sen� i2(1+ cos�)
=cos2�+cos2�+2cos�
2 1+cos�( )+ i sen�
=2cos2�+2cos�
2(1+cos�)+ i sen�
=2 cos� ( cos�+1 )
2( 1+cos� )+ i sen�
= cos�+ i sen�
= cis(�)
z1 � z2 =2cis�8
�
��
�
��3cis
�4
�
��
�
�=2�3cis
�8�4
�
��
�
�
=6cis �8
�
��
�
�
z1 � z2 =2cis�8
�
��
�
��3cis
�4
�
��
�
�=6cis
�8+�4
�
��
�
�=6cis
3�8
�
��
�
�
z2 � z2 =3cis ��4
�
��
�
�3cis �
�4
�
��
�
=9cis �
2�4
�
��
�
=9cis �
�2
�
��
�
z1 � z3 =2cis�8
�
��
�
�� 5i( )=2cis
�8
�
��
�
��5cis
�2
�
��
�
��= 10cis
5�8
�
��
�
��
z1 � z2 � z3 =6cis ��8
�
��
�
�5cis
�2
�
��
�
=30cis
3�8
�
��
�
Seja z =�cis� um qualquer número complexo.z� z = (� cis �)� � cis (��)( )
=��� cis �+(��)( )= �2 cis (0)( )=�2 = z 2
Sejam A e B as imagens geométricas de z e1z ,
respetivamente :
z =2cis�4
�
��
�
��
1z =
12
cis �4
�
��
�
��
z = 13
cis ��5
�
��
�
�
1z =3cis
�5
�
��
�
�
z = 10 i = 10 cis�2
�
��
�
��
1z =
110
cis �2
�
��
�
��
z = 14=
14
cis (0)
1z =4 =4 cis (0)
z1
z2
=2cis
3�5
�
��
�
��
6cis �
10
�
��
�
��
=26
cis3�5
�
10
�
��
�
��
�
��
�
��
=13
cis7�10
�
��
�
��
z1
z2
=2cis
3�5
�
��
�
��
6cis�
10
�
��
�
��
=26
cis3�5
�
10
�
��
�
��=
13
cis5�10
�
��
�
��
=13
cis�2
�
��
�
��
3z2
=3cis 0
6cis ��
10
�
��
�
�
=36
cis 0� ��
10
�
��
�
�
�
��
�
�=
12
cis�
10
�
��
�
�
193Tema III | Matemática 12
�6 iz2
=6cis �
�2
�
��
�
�
6cis ��
10
�
��
�
�
=66
cis ��2� �
�10
�
��
�
�
�
��
�
�= 1cis �
4�10
�
��
�
�
= cis �2�5
�
��
�
�
3cis2�5
�
��
�
��
�
��
�
��
5
=35cis 52�5
�
��
�
��=243 cis(2�)=243 cis(0)
�1� 3i( )4= 2cis
4�3
�
��
�
�
�
��
�
�
4
=24cis 44�3
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :Seja z =�1� 3i.
i z = (�1)2 + � 3( )2= 4 =2
itg�=� 3�1
‹ ��3.°Q
tg�= 3 ‹ ��3.°Q
�=4�3
, por exemplo,
z =2cis4�3
�
��
�
�
= 16cis16�
3
�
��
�
�= 16cis
4�3
�
��
�
�
1+ i1� i
�
��
�
��
8
= i8 = 1= cis (0)
Cálculo auxiliar :1+ i1� i
=(1+ i)(1+ i)(1� i)(1+ i)
=1+2i+ i2
12 � i2=
2i2= i
3+ i( )2
2� i�2=
9+6i+ i2
2� i�2=
(8+6i)(2+ i)(2� i)(2+ i)
�2
=16+8i+12i+6i2
22 � i2�2=
10+20i5
�2=2+4i �2
=4i =4cis�2
�
��
�
�
74.a)
75.a)
76.a)
b)
b)
b)
c)
d)
e)
f)
c)
d)
Eixoimaginário
Eixo real0
π43
2
Eixoimaginário
Eixo real0-1
12√
Eixoimaginário
Eixo real0-33
3i+(2� i)3 �8i43
1� i=3i+
(2� i)2(2� i)�8� i3
1� i
=3i+(4�4i+ i2)(2� i)+8i
1� i=3i+
(3�4i)(2� i)+8i1� i
=3i+6�3i �8i+4i2 +8i
1� i=3i+
2�3i1� i
=3i+(2�3i)(1+ i)(1� i)(1+ i)
=3i+2+2i �3i �3i2
12 � i2
=3i+5� i
2=
52�
12
i+3i =52+
52
i =5 2
2cis
�4
�
��
�
Cálculos auxiliares :
i=52
�
��
�
2
+52
�
��
�
2
=254+
254
=502
=5 2
2
i tg�=
5252
‹ �� 1.°Q
tg�= 1 ‹ �� 1.°Q
tg�=�4
, por exemplo.
z1 =2cis�5
�
��
�
�� e
z2 =1+ i = 2cis3�4
�
��
�
��
z1 z2 =2cis�5
�
��
�
�� 2cis
3�4
�
��
�
��
=2 2cis�5+
3�4
�
��
�
��=2 2cis
19�20
�
��
�
��
1z2
=1
2cis3�4
�
��
�
��
=1
2cis
3�4
�
��
�
��=
22
cis – 3�4
�
��
�
��
�z1 =�2cis�5
�
��
�
�=2cis �+
�5
�
��
�
�=2cis
6�5
�
��
�
�
(z1)3
z2
=
2cis�5
�
��
�
��
�
��
�
��
3
2cis3�4
�
��
�
��
=23cis
3�5
�
��
�
��
2cis3�4
�
��
�
��
=8cis
3�5
�
��
�
��
2cis3�4
�
��
�
��
=8
2cis
3�5
3�4
�
��
�
��=
8 22
cis 3�20
�
��
�
��=4 2cis
3�20
�
��
�
��
z1 �1z1
=2cis ��5
�
��
�
�
1
2cis�5
�
��
�
=2cis ��5
�
��
�
�
12
cis ��5
�
��
�
= cis �2�5
�
��
�
(z1)5 + z2 + i11 = 2cis�5
�
��
�
��
�
��
�
��
5
+(1+ i)+ i3
=25cis5�5
�
��
�
��1+ i i =32 cis (�)1
=321=33=33 cis (�)
Matemática 12 | Guia do Professor194
77.a)
78.
79.a)
b)
b)b1)
b2)
z =2cis4�3
�
��
�
��=2 cos
4�3
�
��
�
��+ i sen
4�3
�
��
�
��
�
��
�
��
=2 12
32
i�
���
�
���=1 3i
z =2cis 4�3
�
��
�
��
Assim:
zz+1
=2cis
4�3
�
��
�
��
1 3i+1=
2cis 4�3
�
��
�
��
3i
=2cis
4�3
�
��
�
��
3cis �2
�
��
�
��
=2
3cis
4�3
+�2
�
��
�
��
=2 3
3cis
5�6
�
��
�
��
w2 = z
(�cis �)2 =2cis4�3
�
��
�
§�2cis(2�)=2cis4�3
�
��
�
§�2 =2 ‹ 2�=4�3
+2k�, k �
§�= 2
�>0��� ‹ �=
2�3
+k�, k �
wz =
� cis �
2cis4�3
�
��
�
=�2
cis �4�3
�
��
�
Para wz ser um número real negativo terá que
argwz
�
��
�
= �+2k�, k ��.
Assim:
�4�3
= �+2k�, k ��
�=7�3
+2k�, k ��
e � um qualquer número real maior que 0.
1+ i é uma raiz índice 8 de 16 se (1+ i)8 = 16 :
(1+ i)8 = 2cis�4
�
��
�
��
�
��
�
��
8
= 2( )8cis
8�4
�
��
�
��=24cis(2�)
= 16 c.q.d.
z4 =�1
�1= cis(�)
São soluções desta equação as raízes
quartas de 1cis(�), isto é, zk tais que :
zk = 14 cis�+2k�
4
�
��
�
�, k � 0, 1,2,3{ }
§ zk = cis�4+
k�2
�
��
�
�, k � 0, 1,2,3{ }
Se k =0, z0 = cis�4
�
��
�
�
Se k = 1, z1 = cis3�4
�
��
�
�
Se k =2, z2 = cis5�4
�
��
�
�
Se k =3, z3 = cis7�4
�
��
�
�
C.S.= cis�4
�
��
�
�, cis
3�4
�
��
�
�, cis
5�4
�
��
�
�, cis
7�4
�
��
�
�
��
��
z5 =32 cis 6
�
��
�
��
São soluções desta equação as raízes quintas de
32 cis 6
�
��
�
��, isto é, os números complexos zk , tais que :
zk = 325 cis
6+2k
5
�
�
���
�
�
���, k � 0, 1,2,3,4{ }
§ zk =2cis
30+
2k 5
�
��
�
��, k � 0, 1,2,3,4{ }
Se k =0, z0 =2cis
30
�
��
�
��
Se k = 1, z1 =2cis13 30
�
��
�
��
Se k =2, z2 =2cis25 30
�
��
�
��=2cis
5 6
�
��
�
��
Se k =3, z3 =2cis37 30
�
��
�
��
Se k =4, z4 =2cis49 30
�
��
�
��
C.S.= 2cis
30
�
��
�
��,2cis
13 30
�
��
�
��,2cis
5 6
�
��
�
��,2cis
37 30
�
��
�
��,
��
2cis49 30
�
��
�
�� ��
195Tema III | Matemática 12
z3 =�2 3 +6i
Cálculos auxiliares:
Sejaw =�2 3 +6i.
i w = �2 3( )2+62 = 48
i tg�=6
�2 3‹ ��2.°Q
§ tg�=� 3 ‹ ��2.°Q
�=2�3
,por exemplo.
§ z3 = 48cis2�3
�
��
�
São soluções desta equação as raízes cúbicas
de 48cis2�3
�
��
�
��, isto é, os números complexos zk
tais que :
zk = 483 cis
2�3
+2k�
3
�
�
���
�
�
���, k � 0, 1,2{ }
§ zk = 486 cis2�9
+2k�
3
�
��
�
��, k � 0, 1,2{ }
c)
b)
Se k =0, z0 = 486 cis2�9
�
��
�
��
Se k = 1, z1 = 486 cis8�9
�
��
�
��
Se k =2, z2 = 486 cis14�
9
�
��
�
��
C.S.= 486 cis2�9
�
��
�
��, 486 cis
8�9
�
��
�
��, 486 cis
14�9
�
��
�
��
�
� �
3 � i =2cis �6
�
��
�
�
As raízes cúbicas de 2cis �6
�
��
�
� são os números
complexos zk tais que :
zk = 23 cis�6+2k
3
�
�
���
�
�
, k � 0, 1,2{ }
§ zk = 23 cis �
18+
2k3
�
��
�
�, k � 0, 1,2{ }
Se k =0, z0 = 23 cis �
18
�
��
�
�
Se k = 1, z1 = 23 cis1118
�
��
�
�
Se k =2, z2 = 23 cis2318
�
��
�
�
�81=81 cis(�)
As raízes quartas de 81 cis(�) são os números
complexos zk , tais que :
zk = 814 cis�+2k�
4
�
��
�
�, k � 0, 1,2,3{ }
§ zk =3cis�4+
k�2
�
��
�
�, k � 0, 1,2,3{ }
Se k =0, z0 =3cis�4
�
��
�
�
Se k = 1, z1 =3cis3�4
�
��
�
�
Se k =2, z2 =3cis5�4
�
��
�
�
Se k =3, z3 =3cis7�4
�
��
�
�
80. As imagens geométricas das raízes índice 4 de wsão vértices de um quadrado centrado na origem.Das opções apresentadas apenas a (B) reúne estascondições.Opção (B)
Eixoimaginário
Eixo real0
A
B
C
Cálculos auxiliares :
i�= 3( )2+(�1)2 = 4 =2
i tg�=�1
3‹ ��4.°Q
§ tg�=�3
3‹ ��4.°Q
�=��6
, por exemplo.
Sejam A, B e C as imagens geométricas dos núme-ros complexos z0, z1 e z2, respetivamente.[ABC] é um triângulo equilátero centrado na origem.
81.a)
Matemática 12 | Guia do Professor196
Sejam A, B, C, D, E e F as imagens geométricas dosnúmeros complexos z0, z1, z2, z3, z4 e z5, respetiva-mente:
[ABCDEF] é um hexágono regular centrado na ori-gem.
Sejam A, B, C e D as imagens geométricas dos nú-meros complexos z0, z1, z2 e z3, respetivamente.
[ABCD] é um quadrado centrado na origem.
A, B e C são as imagens geométricas dos númeroscomplexos z0, z1 e z2, que são raízes cúbicas de umdeterminado número complexo.Assim:
82.
83.
c) i = 1cis�2
�
��
�
��
As raízes índice 6 de i são os números complexos
zk tais que :
zk = 16 cis
�2+2k�
6
�
�
���
�
�
���, k 0, 1,2,3,4,5{ }
§ zk = cis�
12+
k�3
�
��
�
��, k 0, 1,2,3,4,5{ }
Se k =0, z0 = cis�
12
�
��
�
��
Se k = 1, z1 = cis5�12
�
��
�
��
Se k =2, z2 = cis9�12
�
��
�
��= cis
3�4
�
��
�
��
Se k =3, z3 = cis13�12
�
��
�
��
Se k =4, z4 = cis17�12
�
��
�
��
Se k =5, z5 = cis21�12
�
��
�
��= cis
7�4
�
��
�
��
z =3cis2�3
�
��
�
��
z1 =3cis2�3
+�3
�
��
�
��=3cis(�)
z2 =3cis �+�3
�
��
�
��=3cis
4�3
�
��
�
��
z3 =3cis4�3
+�3
�
��
�
��=3cis
5�3
�
��
�
��
z4 =3cis5�3
+�3
�
��
�
��=3cis
6�3
�
��
�
��=3cis(2�)
z5 =3cis 2�+�3
�
��
�
��=3cis
7�3
�
��
�
��=3cis
�3
�
��
�
��
z2 =3cis ��2
�
��
�
�1 Ponto C(0,�3)
z0 =3cis ��2+
2�3
�
��
�
�
=3cis�6
�
��
�
�
=3 cos�6
�
��
�
�+ i sen
�6
�
��
�
�
�
��
�
�
=33
2+ i
12
�
���
�
�
=3 3
2+
32
i1 Ponto B3 3
2,32
�
���
�
�
z1 =3cis�6+
2�3
�
��
�
�
=3cis5�6
�
��
�
�
=3 cos 5�6
�
��
�
�+ i sen 5�
6
�
��
�
�
�
��
�
�
=3 �3
2+
12
i�
���
�
�
=�3 3
2+
32
i1 Ponto A �3 3
2,32
�
���
�
�
Eixoimaginário
Eixo real0
D
AB
C
Eixoimaginário
Eixo real0
D
E
F
A
B
C
Os módulos de qualquer raiz índice 6 de w sãoiguais; neste caso, |z| = 3 e os argumentos das raízescorrespondentes a valores de k consecutivos for-mam uma progressão aritmética de diferença
neste caso, = .
Assim, se é uma raiz índice 6 de w,
então as restantes 5 raízes são:
2πn
2π6
π3
z =3cis2�3
�
��
�
��
197Tema III | Matemática 12
�6� �
�6
�
��
�
�=
2�n
§2�6
=2�n
§n=6
Como z1 =2cis ��6
�
��
�
� e z2 =2cis
�6
�
��
�
�, então as
restantes raízes indíce 6 de z são :
z3 =2cis�6+
2�6
�
��
�
�=2cis
3�6
�
��
�
�=2cis
�2
�
��
�
�
z4 =2cis�2+
2�6
�
��
�
�=2cis
5�6
�
��
�
�
z5 =2cis5�6
+2�6
�
��
�
�=2cis
7�6
�
��
�
�
z6 =2cis7�6
+2�6
�
��
�
�=2cis
9�6
�
��
�
�=2cis
3�2
�
��
�
�
z6 +2z3 �8=0
Considerando a mudança de variável w = z3 vem:
w2 +2w �8=0
§w =�2± 22 �4�1�(�8)
2�1§w =2 › w =�4
Assim:
z3 =2 › z3 =�4
zk = 23 cis0+ 2k�
3
�
��
�
��, k 0, 1, 2{ }
§ zk = 23 cis2k�
3
�
��
�
��, k 0, 1, 2{ }
Se k =0, z0 = 23 cis 0( )
Se k = 1, z1 = 23 cis2�3
�
��
�
��
Se k =2, z2 = 23 cis4�3
�
��
�
��
• As raízes cúbicas de �4 =4cis (�)são os números
complexos wk tais que:
wk = 43 cis�+2k�
3
�
��
�
�, k 0, 1, 2{ }
§wk = 43 cis�3+
2k�3
�
��
�
�, k 0, 1, 2{ }
Se k =0, w0 = 43 cis�3
�
��
�
�
Se k = 1, w1 = 43 cis �( )
Se k =2, w2 = 43 cis5�3
�
��
�
�
C.S.= 23 cis 0( ), 23 cis2�3
�
��
�
�
��
, 23 cis4�3
�
��
�
�, 43 cis
�3
�
��
�
�,
43 cis �( ), 43 cis5�3
�
��
�
����
z3 = i14 + i15 + i16
§ z3 = i2 + i3 + i4
§ z3 =�1� i+1
§ z3 =�i
As soluções da equação são as raízes cúbicas de
�i = 1cis ��2
�
��
�
�, ou seja, os números complexos
zk tais que:
zk = 13 cis��2+2k�
3
�
�
���
�
�
, k 0, 1, 2{ }
§ zk = cis ��6+
2k�3
�
��
�
�, k 0, 1, 2{ }
Se k =0, z0 = cis ��6
�
��
�
�
Se k = 1, z1 = cis�2
�
��
�
�
Se k =2, z2 = cis7�6
�
��
�
�
C.S.= cis ��6
�
��
�
�, cis
�2
�
��
�
�, cis
7�6
�
��
�
�
��
���
Como z1 e z2 são duas raízes consecutivas de umcerto número complexo, então os seus argumen-
tos diferem de .
Assim:
2πn
As soluções da equação z6 + 2z3 – 8 = 0 são as raízescúbicas do número complexo 2 e as raízes cúbicasdo número complexo –4:• As raízes cúbicas de 2 = 2cis (0) são os númeroscomplexos zk tais que:
84.
85.a)
b)
(1+ i)z5 =3i
§ z5 =3i
1+ i
§ z5 =3i (1� i)
(1+ i)(1� i)
§ z5 =3i �3i2
12 � i2
§ z5 =3+3i
2
§ z5 =32+
32
i
c)
Matemática 12 | Guia do Professor198
Cálculo auxiliar :
i�=32
�
��
�
��
2
+32
�
��
�
��
2
=94+
94=
182
=3 2
2
i tg�=
3232
‹ � 1.°Q
§ tg�= 1 ‹ � 1.°Q
�=4
,por exemplo.
32+
32
i =3 2
2cis
4
�
��
�
��
As soluções da equação são as raízes quintas de3 2
2cis
�4
�
��
�
��,ou seja, os números complexos zk
tais que :
zk =3 2
25 cis
�4+2k�
5
�
�
���
�
�
���, k � 0, 1, 2, 3, 4{ }
§ zk =3 2
25 cis
�20
+2k�
5
�
��
�
��, k � 0, 1, 2, 3, 4{ }
Se k =0, z0 =3 2
25 cis
�20
�
��
�
��
Se k = 1, z1 =3 2
25 cis
9�20
�
��
�
��
Se k =2, z2 =3 2
25 cis
17�20
�
��
�
��
Se k =3, z3 =3 2
25 cis
25�20
�
��
�
��=
3 22
5 cis5�4
�
��
�
��
Se k =4, z4 =3 2
25 cis
33�20
�
��
�
��
C.S.=3 2
25 cis
�20
�
��
�
��
��
�,
3 22
5 cis9�20
�
��
�
��,
3 22
5 cis17�20
�
��
�
��,
3 22
5 cis5�4
�
��
�
��,
3 22
5 cis33�20
�
��
�
�� �
�
§
� �2 �3( )=0
�=2k��4
,k ��
�
�
§
�=0
�=k�2
,k ��
�
�
›
�= 3, �>0
�=k�2
, k ��
�
�
�=0,logoz=0éasoluçãodaequação
� ��� ���
z 3�3z =0§ z 3=3zConsiderando z =� cis � vem que :
� cis(��)( )3=3� cis �
§�3 cis(�3�)=3� cis �
§�3=3�
�3�=�+2k�, k ��
��
§�3�3�=0
�4�=2k�, k ��
��
( )�
Atribuindo a k os valores 0, 1, 2 e 3 obtemos as
restantes soluções:
Se k =0, z0 = 3cis(0)= 3
Se k = 1, z1 = 3cis�2
�
��
�
��= 3i
Se k =2, z2 = 3cis(�)= 3
Se k =3, z3 = 3cis3�2
�
��
�
��= 3i
C.S.= 0, 3, 3i, 3, 3i{ }
d)
86.a)
Representa a circunferência de centro na imagemgeométrica de z1 = 3 + 2i e raio 3.
Eixoimaginário
Eixo real0
C2
3
Representa o interior do círculo de centro na ima-gem geométrica de z1 = –3 – 2i e raio 3.
Eixoimaginário
Eixo real0
C-2
-3
z+3+2i <3§ z�(�3�2i) <3
z�3�2i =3§ z�(3+2i) =3
b)
Unidade 10 – Domínios planos econdições em variável complexa
Página 114
C(3, 2)
C(–3, –2)
199Tema III | Matemática 12
Representa a interseção do exterior da circunferên-cia (incluindo a fronteira) de centro na imagem geo-métrica de z1 = –5i e raio 1, com o círculo com omesmo centro e raio 3.
C
-2
-5
-8
Eixoimaginário
Eixo real0
4π
Eixoimaginário
Eixo real0
P1
22
1
π
Eixoimaginário
Eixo real0
1
1
-2
-2P2
P1
Eixoimaginário
Eixo real0
1-1
P1
P2
Eixoimaginário
Eixo real0
2
2
4
-5
P2
P1
Eixoimaginário
Eixo real0
1≤ z+5i ≤3§ z�(�5i) ≥ 1 ‹ z�(�5i) ≤3c)
z1 = 1+ 7i raio=3
z0 =0
z1 � z0 = 1+ 7i �0 = 12 + 7( )2= 1+7 = 8
z+ i = z�1 § z�(�i) = z�1
z�2�4i = z+5�2i § z�(2+4i) = z�(�5+2i)
1+ i � z < z+2+2i
§ z�(1+ i) < z�(�2�2i)
arg(z)= �4
arg(z�1�2i)=�2§ arg(z�(1+2i))=
�2
��4≤ arg(z+1+3i)≤
�4
§��4≤ arg z�(�1�3i)( )≤ �
4
87.
Como , então a imagem geométrica de z1
encontra-se no interior da circunferência de centrona origem e raio 3.
z1 � z0 <3
88.a)
Representa a mediatriz do segmento de reta [P1P2]que tem como extremos as imagens geométricas dez1 = – i e z2 = 1.
Representa a mediatriz do segmento da reta [P1P2]cujos extremos são as imagens geométricas dez1 = 2 + 4i e z2 = –5 + 2i.
Representa o semiplano aberto definido pela media-triz de [P1P2] e que contém o ponto P1, onde P1 e P2
são as imagens geométricas de z1 = 1 + i e z2 = –2 –2i,respetivamente.
b)
c)
89.a)
Representa a semirreta com origem em O e que faz
um ângulo de rad com o semieixo real positivo.π4
Representa a semirreta com origem na imagemgeométrica de z1 = 1+ 2i e que faz um ângulo de
rad com o semieixo real positivo.π2
b)
c)
P1(1, 2)
C(0, –5)
P1(2, 4)P2(–5, 2)
P1(1, 1)P2(–2, –2)
P1(0, –1)P2(1, 0)
Matemática 12 | Guia do Professor200
-1
-3P1
4π
4π-
Eixoimaginário
Eixo real0
Representa o ângulo do vértice na imagem geomé-trica de z1 = –1 – 3i (P1) cujos lados origem e extre-midade são as semirretas de origem em P1 e que
fazem um ângulo de – e rad, respetivamente,
com o semieixo real positivo.
π4
π4
P1(–1, –3)
C(–2, –1)
Re(z)>3 › Im(z)≥6
�2<Re(z)<3 ‹1z <
13
Cálculo auxiliar :
1z <
13§
1z <
13
§ z >3
z+2+ i ‹ Im(z)≥0
��4≤ arg(z�1+ i)≤+
�4
‹ z�1+ i ≤ 1
z ≤4 ‹ Re(z)≤0 ‹ z+1 ≤ z+ i
A=38���42 =6�
z�(3�3i) ≤2 ‹ ��4≤ arg(z)≤0
z� 72+3i
�
��
�
�� =3 ‹
2≤ arg z� 7
2+3i
�
��
�
��
�
��
�
��≤
90.a) Re(z) = 2 representa a reta vertical que passa no
ponto das coordenadas (2, 0).
Im(z) = –5 representa a reta horizontal que passa noponto das coordenadas (0, –5).
2
Eixoimaginário
Eixo real0
b)
c)
91.a)
b)
c)
Observe-se que o conjunto de pontos que a condiçãoem variável complexa |z + 1| = |z + i| representa cor-responde, em R2, à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Assim, a área a sombreado é da área do círculode centro na origem e raio 4:
38
92.a)
93.a)
b)
c)
d)
0≤ arg z�(2�4i)( )≤ �5
‹ Re(z)≤6
1≤ z� i ≤2 ‹ 1≤ z+ i ≤2
-5
Eixoimaginário
Eixo real0
6
3
Eixoimaginário
Eixo real0
3
3
-3
-3 -2
Eixoimaginário
Eixo real0
1
-3
-2 -1 -1
Eixoimaginário
Eixo realC
0
1
-1 P14π
4π-
Eixoimaginário
0
P(1, 1)
A(–1, 0)
B(0, –1)A
B
4
4-4
-4
-1
Eixoimaginário
Eixo real0
201Tema III | Matemática 12
2 z�1 = z+2
Sendo z = x+ yi :
2 (x+ yi)�1 = (x+ yi)+2
§2 (x�1)+ yi = (x+2)+ yi
§2 (x�1)2 + y2 = (x+2)2 + y2
§ 2 (x�1)2 + y2( )2
= (x+2)2 + y2( )2
§4(x2 �2x+1+ y2)= x2 +4x+4+ y2
§4x2 �8x+4+4y2 = x2 +4x+4+ y2
§3x2 +3y2 �12x =0
§ x2 �4x+ y2 =0
§ x2 �4x+22 + y2 =22
§ (x�2)2 + y2 =4
Re(z)�Im(z)≤5
Sendo z = x+ yi:
Re(x+ yi)�Im(x+ yi)≤5
§ x� y ≤5
§� y ≤ �x+5
§ y ≥ x�5
z� z ≤4Re(z)Sendo z = x+ yi :
(x+ yi)�(x� yi)≤4Re(x+ yi)
§ x2 �(yi)2 ≤4x§ x2 + y2 ≤4x§ x2 �4x+22 + y2 ≤22
§ (x�2)2 + y2 ≤4
z� z =�z� zSendo z = x+ yi :
(x+ yi)�(x� yi)=�(x+ yi)�(x� yi)
§ x2 �(yi)2 =�x� yi � x+ yi
§ x2 + y2 =�2x§ x2 +2x+1+ y2 = 1
§ (x+1)2 + y2 = 1
Im1
z+2
�
��
�
��≥ 1
Sendo z = x+ yi :
Im1
x+ yi+2
�
��
�
��≥ 1
§ Im1
(x+2)+ yi
�
��
�
��≥ 1
§ Im(x+2)� yi
(x+2)+ yi( ) (x+2)� yi( )�
���
�
���≥ 1
§ Im(x+2)� yi
(x+2)2 �(yi)2
�
��
�
��≥ 1
§ Imx+2
(x+2)2 + y2�
y(x+2)2 + y2
i�
��
�
��≥ 1
§�y
(x+2)2 + y2≥ 1
§� y ≥ (x+2)2 + y2 ‹ (x, y) (�2,0)
§ (x+2)2 + y2 + y ≤0 ‹ (x, y) (�2,0)
§ (x+2)2 + y2 + y+ 12
�
��
�
��
2
≤12
�
��
�
��
2
‹ (x, y) (�2,0)
§ (x+2)2 + y+ 12
�
��
�
��
2
≤14
94.a)
Representa uma circunferência de centro no pontode coordenadas (2, 0) e raio 2.
95.a)
5
-5
Eixoimaginário
Eixo real0
42C
Eixoimaginário
Eixo real0
b)
c)
d)
-1-2
Eixoimaginário
Eixo real0
-2 -112-
Eixoimaginário
Eixo real0
C –2, –12
�
��
�
��
Raio12
Matemática 12 | Guia do Professor202
Aprende fazendo
Páginas 123 a 131
Atendendo a que :
i3 =�i
i6 = i2 =�1
cis�2
�
��
�
�= i
cis3�2
�
��
�
�=�i
O número complexo i6 =�1 não é um imaginário
puro, mas sim um número real.
Opção (B)
z = 3i18 + i27 = 3i2 + i3 =� 3 � i
z = � 3( )2+(�1)2 = 3+1 =2
Opção (B)
Se arg(z)=� �7
, então arg z( )=� ��7
�
��
�
�=
�7
.
Opção (A)
i i2 =�1 e (�1)2 = 1
i (�i)2 =�1 e 12 = 1
i (2+2i)2 =4+8i+4i2 =8i e
(2�2i)2 =4�8i+4i2 =�8i
i (�2+2i)2 =4�8i+4i2 =�8i e (2�2i)2 =�8i
logo, �2+2i e 2�2i são raízes quadradas do
mesmo número complexo.
Opção (D)
z+2 =3 define uma circunferência no plano
complexo de centro na imagem geométrica
de z1 =�2 e raio 3.
Opção (A)
Seja z =a+bi, com b �0. Então:z�1= (a+bi)�1= (a�1)+bi = (a�1)�bi
= (a�bi)�1= z �1
Opção (B)
z7 = (bi)7 =b7i7 =b7 �(�i)=�b7i
Como b <0, então �b7 >0, logo a imagem
geométrica de z7 encontra-se na parte positiva
do eixo imaginário.
Opção (B)
Seja z = x+ yii z� z =0
§ (x+ yi)�(x � yi)=0
§2yi =0
§ y =0
Condição que define o eixo real
i Re(z)=0
§Re(x+ yi)=0
§ x =0
i z =0
x+ yi =0
§ x2 + y2 =0
§ x2 + y2 =0
i z+ z =0
(x+ yi)+(x � yi)=0
§2x =0
§ x =0
Opção (A)
Seja w = x+ yi um número complexo não nulo.
w�w2
=(x+ yi)�(x� yi)
2=x2 + y2
2��+, logo
a imagem geométrica de w�w2
encontra-se
na parte positiva do eixo real.
Opção (A)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Seja z =� cis � com 0< �<�2
.
Então,2z =2� cis � e 0< �<�2
.
Opção (A)
Na opção (A): ii= i � i
1=0 Proposição falsa
Na opção (B) : ii= i
i1= i Proposição verdadeira
Na opção (C): arg(i)=0�2=0 Proposição falsa
Na opção (D) : i2 = i�1= i Proposição falsa
Opção (B)
203Tema III | Matemática 12
Seja z =� cis �.
Então,2z =2� cis �.
Logo, arg(2z)=�.
Opção (D)
A região sombreada contém os pontos do plano
complexo que pertencem à interseção dos dois
círculos representados e cujo coeficiente da
parte imaginária é negativo ou nulo :
z ≤ 1 ‹ z�1 ≤ 1 ‹ Im(z)≤0
Opção (B)
•z
w=
a+bi1+ i
=(a+bi)(1� i)(1+ i)(1� i)
=a�ai+bi �bi2
12 � i2
=a+b+(�a+b)i
2=
a+b2
+b�a
2i
Assim,Rez
w
�
��
�
��=
a+b2
e Imz
w
�
��
�
��=
b�a2
.
• z�w = (a+bi)(1+ i)=a+ai+bi+bi2
= (a�b)+(a+b)i
Assim,Im(z�w)=a+b.
• z2 = (a+bi)2 =a2 +2abi+(bi)2 =a2 �b2 +2abi
Assim, Re(z2)=a2 �b2.
Opção (C)
w = 1cis�
wn +1
wn= (cis�)n +
1(cis�)n
= cis(n�)+1
cis(n�)
= cis(n�)+11
cis(�n�)
= cos(n�)+ i sen(n�)+cos(�n�)+ i sen(�n�)
= cos(n�)+ i sen(n�) +cos(n�)� i sen(n�)
=2cos(n�)
Opção (B)
12.
13.
14.
15.
Como w tem a sua imagem geométrica na parte
negativa do eixo imaginário, então w é do tipo
w =� cis ��2
�
��
�
�. Logo, as raízes cúbicas de w são os
valores wk tais que:
wk = �3 cis��2+2k�
3
�
�
��
�
�
, k 0, 1,2{ }
Se k =0, w0 = �3 cis ��6
�
��
�
�
Se k = 1, w1 = �3 cis�2
�
��
�
�
Se k =2, w2 = �3 cis7�6
�
��
�
�
Seja z =3+4i =5cis �, onde �� 1.°Q, já que a imagem
geométrica de z pertence ao 1.° Q.
Assim, as raízes quadradas de z são os valores zk
tais que zk = 5cis�+2k
2, k � 0, 1{ }
Assim:
Se k =0, z0 = 5cis�2
��
�
��
Se k = 1, z1 = 5cis�2+�
�
��
�
�
Assim, como � 1.°Q, temos que a imagem geomé-
trica de z0 pertence também ao 1.°Q e a de z1 ao 3.°Q.
Das opções apresentadas, a única que verifica estas
condições é a opção (A).
Opção (A)
z = 1�2i ; w =4+5i
z+w = (1�2i)+(4+5i)= (1+4)+(�2+5)i =5+3i
3z�2w =3(1�2i)�2(4+5i)=3�6i �8�10i =�5�16i
z�w = (1�2i)�(4+5i)=4+5i �8i �10i2 =4+10�3i
= 14�3i
zw
=1�2i4+5i
=(1�2i)(4�5i)(4+5i)(4�5i)
=4�5i �8i+10i2
42 �(5i)2
=4�13i �10
16+25=�6�13i
41=�
641
�1341
i
1z =
11�2i
=1+2i
(1�2i)(1+2i)=
1+2i12 �(2i)2
=1+2i1+4
=15+
25
i
16.
17.
18.
a)
b)
c)
d)
e)
Observe-se que a imagem geométrica de w1 perten-ce à parte positiva do eixo imaginário logo, dasopções apresentadas, apenas a opção (B) satisfazesta condição.Opção (B)
Matemática 12 | Guia do Professor204
z2 �i
z= (1�2i)2 �
i1+2i
= 1�4i+4i2 �i(1�2i)
(1+2i)(1�2i)
= 1�4i �4�i �2i2
12 �(2i)2=�3�4i �
2+ i1+4
=�3�4i �25�
15
i =�175
�215
i
cis�6
�
��
�
��= cos
�6
�
��
�
��+ i sen
�6
�
��
�
��=
32
+12
i
2cis ��4
�
��
�
�= 2 cos �
�4
�
��
�
�+ i sen �
�4
�
��
�
�
�
��
�
�
= 22
2+ �
22
�
���
�
�i
�
���
�
�= 1� i
2cis5�3
�
��
�
��=2 cos
5�3
�
��
�
��+ i sen
5�3
�
��
�
��
�
��
�
��=2
12
32
i�
���
�
���
= 1 3i
4cis�2
�
��
�
��=4 cos
�2
�
��
�
��+ i sen
�2
�
��
�
��
�
��
�
��=4(0+ i)=4i
5cis (�)= 5(cos�+ i sen �)= 5(�1+0i)=� 5
16
cis7�2
�
��
�
��=
16
cos7�2
�
��
�
��+ i sen
7�2
�
��
�
��
�
��
�
��=
16
(0 i)=16
i
f)
19.a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) cis (0)= cos 0+ i sen0= 1+0i = 1
i = cis�2
�
��
�
��
1= cis(0)
� 11 = 11cis(�)
�4i =4cis ��2
�
��
�
�
1� i = 2cis ��4
�
��
�
�
Cálculo auxiliar :
z = 12 +(�1)2
= 2
14+
14
i =2
4cis
�4
�
��
�
��
Cálculo auxiliar :
z = 14
�
��
�
��
2
+14
�
��
�
��
2
=1
16+
116
=2
16
=2
4
1� 3i =2cis ��3
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
• z = 12 + � 3( )2= 4 =2
• tg=� 3
1‹ �4.°Q
tg=� 3 ‹ �4.°Q
=��3
, por exemplo.
20.a)
b)
� 2 � 6i =2 2cis4�3
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
• z = � 2( )2+ � 6( )
2
= 8 =2 2
• tg�=� 6
� 2‹ ��3.°Q
tg�= 3 ‹ ��3.°Q
�=�3+� =
4�3
, por exemplo.
c)
d)
e)
f)
g)
h)
π2
1
Eixoimaginário
Eixo real0
1
Eixoimaginário
Eixo real0
π
11-√
Eixoimaginário
Eixo real0
-4
π2-
Eixoimaginário
Eixo real0
π4--1
1
Eixoimaginário
Eixo real0
π4
14
14
Eixoimaginário
Eixo real0
1
3√
Eixoimaginário
Eixo real0 π3
-
-
6
2-
-
√
√
Eixoimaginário
Eixo real0
π34
205Tema III | Matemática 12
� 3 + i =2cis5�6
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
• z = � 3( )2+12 = 4 =2
• tg�=1
� 3‹ ��2.°Q
tg�=�3
3‹ ��2.°Q
�=5�6
, por exemplo.
z =3cis 7
�
��
z =3cis � 7
�
��
�z =3cis + 7
�
��=3cis
8 7
�
��
1z =
13
cis � 7
�
��
z = 2cis ��3
�
��
�
�
z = 2cis�3
�
��
�
�
�z = 2cis ��3+�
�
��
�
�= 2cis
2�3
�
��
�
�
1z =
1
2cis
�3
�
��
�
�
z =3i =3cis 2
�
��
z =3cis � 2
�
��
�z =3cis 2+
�
��=3cis
3 2
�
��
1z =
13
cis � 2
�
��
z = (�1� i)2 = 1+2i+ i2 =2i =2cis�2
�
��
�
�
z =2cis ��2
�
��
�
�
�z =2cis�2+�
�
��
�
�=2cis
3�2
�
��
�
�
1z=
12
cis ��2
�
��
�
�
z1 + i23 +52� i
=2cis
�4
�
��
�
�+ i3 +5
2� i=
(1+ i)� i+52� i
=6(2+ i)
(2� i)(2+ i)=
12+6i22 � i2
=12+6i
5=
125+
65
i
z1 � z2 = 2cis�4
�
��
�
�
�
��
�
�� 2cis
5�6
�
��
�
�
�
��
�
�=2 2cis
�4+
5�6
�
��
�
�
=2 2cis13�12
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
z2 = 3 + i =2cis5�6
�
��
�
�
• z2 = 3( )2+12 = 4 =2
• tg�=1
3‹ ��2.°Q
tg�=3
3‹ ��2.°Q
�=5�6
, por exemplo.
w =�1= 1cis ()As raízes cúbicas de w são os valores de wk tais que :
wk = 13 cis+2k
3
�
��
�
�, k 0, 1,2{ }
§wk = cis3+
2k3
�
��
�
�, k 0, 1,2{ }
Se k =0, w0 = cis3
�
��
�
�
Se k = 1, w1 = cis33
�
��
�
�= cis ()
Se k =2, w2 = cis53
�
��
�
�
z2 �4z+5=0
§ z =4± �4( )2
�4�1�5
2�1
§ z = 4± �42
§ z = 4+2i2
› z = 4�2i2
§ z =2+ i › z =2� i
C.S.= 2+ i,2� i{ }
i)
21.a)
b)
c)
d)
22.a)
b)
23.
24.a)
1
- 3√
Eixoimaginário
Eixo real0
π65
-
1
3√
Eixoimaginário
Eixo real0
π65
Matemática 12 | Guia do Professor206
z6 +64 =0§ z6 =�64As soluções desta equação são as raízes índice6 do número complexo –64=64cis (�),ou seja, os valores zk tais que :
zk = 646 cis�+2k�
6
�
��
�
�, k 0, 1,2,3,4,5{ }
§ zk =2cis�6+
k�3
�
��
�
�, k 0, 1,2,3,4,5{ }
Assim:
Se k =0, z0 =2cis�6
�
��
�
�
Se k = 1, z1 =2cis3�6
�
��
�
�=2cis
�2
�
��
�
�
Se k =2, z2 =2cis5�6
�
��
�
�
Se k =3, z3 =2cis7�6
�
��
�
�
Se k =4, z4 =2cis9�6
�
��
�
�=2cis
3�2
�
��
�
�
Se k =5, z5 =2cis11�
6
�
��
�
�
C.S.= 2cis�6
�
��
�
�
�
,2cis�2
�
��
�
�,2cis
5�6
�
��
�
�,
2cis7�6
�
��
�
�,2cis
3�2
�
��
�
�,2cis
11�6
�
��
�
����
z3 +2z =0
§ z(z2 +2)=0
§ z =0 › z2 =�2§ z =0 › z = 2i › z =� 2i
Observa-se que, as soluções da equação z2 =�2
são as raízes quadradas do número complexo
�2=2cis (�), ou seja, 2i e � 2i.
C.S.= 0, 2i,� 2i{ }
b)
c)
z =12�
32
i = 1cis ��3
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
• z =12
�
��
�
�
2
+ �3
2
�
���
�
�
2
=14+
34= 1 = 1
• tg=�
32
12
‹ �4.°Q
tg=� 3 ‹ �4.°Q
=��3
, por exemplo.
Se z = 1cis ��3
�
��
�
� é uma raiz cúbica de w, então as
restantes serão :
z1 = 1cis ��3+
2�3
�
��
�
�= cis
�3
�
��
�
�e
z2 = 1cis ��3+2�
2�3
�
��
�
�= cis
3�3
�
��
�
�= cis(�)
Como z é uma raíz cúbica de w, então z3 =w.
Assim, w = cis ��3
�
��
�
�
�
��
�
�
3
= cis �3�3
�
��
�
�= cis(��)=�1
z�2 ≥ 1 ‹ z�2 ≤2§ 1≤ z�2 ≤2
z�(�3+ i) ≤ z�(2�2i)
§ z+3� i ≤ z�2+2i
z ≤2
z�2i = z�2
arg(z)= �3
Im(z)=2
25.a)
b)
b)
27.a)
b)
c)
d)
26.a)
-2
-2
2
2
Eixoimaginário
Eixo real0
2
2A
B
Eixoimaginário
Eixo real0
π3
Eixoimaginário
Eixo real
2
Eixoimaginário
Eixo real0
--
32√
12
Eixoimaginário
Eixo real0 π3
207Tema III | Matemática 12
w =i
5�10i=
i(5+10i)(5�10i)(5+10i)
=5i+10i2
52 �(10i)2
=�10+5i25+100
=�10
125+
5125
i
=�2
25+
125
i
Re(w)=�2
25e Im(w)=
125
b)
Seja z1 = i3 z.
i3z = i3 �2+12i1�3i
=�i� �175+
95
i�
��
�
� (pelos cálculos efetuados
na alínea a))
=175
i �95
i2
=95+
175
i
Re i3z( )= 95
e Im i3z( )= 175
z = 3 � 3i = 6cis ��4
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
• z = 3( )2+ � 3( )
2= 3+3 = 6
• tg=� 3
3‹ �4.°Q
tg=�1 ‹ �4.°Q
=��4
, por exemplo.
w =�3
2�
12
i = cis7�6
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
• w =� 3
2
�
���
�
�
2
+ �12
�
��
�
�
2
=34+
14=
44= 1
• tg =�
12
�3
2
‹ �3.°Q
tg =1
3‹ �3.°Q
=�6+�
=7�6
, por exemplo.
z�w = 6cis ��4
�
��
�
��cis
7�6
�
��
�
�
= 6cis ��4+
7�6
�
��
�
�
= 6cis11�12
�
��
�
�
zw
=6cis �
�4
�
��
�
�
cis7�6
�
��
�
�
= 6cis ��4�
7�6
�
��
�
�
= 6cis �17�12
�
��
�
�
z�1 =1z =
1
6cis ��4
�
��
�
�
=1
6cis
�4
�
��
�
�
=6
6cis
�4
�
��
�
�
z4 +1= 6cis ��4
�
��
�
�
�
��
�
�
4
+1= 6( )4
cis �4�4
�
��
�
�+1
=36cis(��)+1=�36+1=�35=35cis(�)
wi15
=cis �
76
�
��
�
�
cis �2
�
��
�
�
= cis �76
+2
�
��
�
�= cis �
46
�
��
�
�
= cis �23
�
��
�
�
Cálculo auxiliar :
i15 = i3 =�i
= cis �2
�
��
�
�
c)
29.a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
z = 2+12i1�3i
=(2+12i)(1+3i)(1�3i)(1+3i)
=2+6i+12i+36i2
12 �(3i)2
=2+18i �36
1+9
=�3410
+1810
i =�175+
95
i
Re(z)=�175
e Im(z)= 95
28.a)
3√
π4
-
3√
-
Eixoimaginário
Eixo real0
2
2
3
1
7√-
-
Eixoimaginário
Eixo real0
π6
Matemática 12 | Guia do Professor208
z1 =�2 3 �2i =4cis7�6
�
��
�
�
Cálculos auxiliares :
• z1 = �2 3( )2
+(�2)2 = 12+4 = 16 =4
• tg�=�2
�2 3‹ �3.°Q
tg�=3
3‹ �3.°Q
�=7�6
, por exemplo.
Assim:
(z1)3 = 4cis7�6
�
��
�
�
�
��
�
�
3
=43cis 37�6
�
��
�
�=64cis
7�2
�
��
�
�
z2 =1� i1+ i
=(1� i)(1� i)(1+ i)(1� i)
=1�2i+ i2
12 � i2=�2i2
=�i
= cis ��2
�
��
�
�
As raízes quadradas de z2 = cis ��2
�
��
�
� são os valores
zk tais que:
zk = 1cis��2+2k�
2
�
�
���
�
�
, k 0, 1{ }
§ zk = cis ��4+k�
�
��
�
�, k 0, 1{ }
Se k =0, z0 = cis ��4
�
��
�
�= cos �
�4
�
��
�
�+ i sen �
�4
�
��
�
�=
22
�2
2i
Se k = 1, z1 = cis3�4
�
��
�
�= cos
3�4
�
��
�
�+ i sen
3�4
�
��
�
�
=�2
2+
22
i
Raízes quadradas de z2 :2
2�
22
i e �2
2+
22
i
30.a)
b)
z1
z3
=4cis
7�6
�
�
��
cis�2+�
�
�
��
=4cis7�6
�2�
�
�
��
Paraz1
z3
ser um imaginário puro terá que :
§� =�6+k�, k �
§� =�6+k�, k �
w = 1+ i = 2cis�4
�
�
��
As raízes índice 4 de w = 2cis�4
�
�
�� são os valores
wk tais que:
wk = 24 cis
�4+2k�
4
�
�
�
��, k � 0, 1,2,3{ }
§wk = 28 cis�
16+
k�2
�
�
��, k � 0, 1,2,3{ }
Assim:
Se k =0, z0 = 28 cis�
16
�
�
��
Se k = 1, z1 = 28 cis9�16
�
�
��
Se k =2, z2 = 28 cis17�16
�
�
��
Se k =3, z3 = 28 cis25�16
�
�
��
z� iz =0
§ z2 � i =0 ‹ z �0 i = cis�2
�
��
�
�
§ z2 = i
As soluções desta equação são as raízes quadradas
do número complexo i, isto é, os valores de zk que
satisfazem:
zk = 1cis
�2+2k�
2
�
�
��
�
�
, k 0, 1{ }
§ zk = cis�4+k�
�
��
�
�, k 0, 1{ }
Se k =0, z0 = cis�4
�
��
�
�
Se k = 1, z1 = cis5�4
�
��
�
�
C.S.= cis�4
�
��
�
�, cis
5�4
�
��
�
�
� �
���
c)
31.
32.a)
-2
3√-2
Eixoimaginário
Eixo real0
argz1
z3
�
�
��=
�2+k�, k �
Assim:7�6
�2� =
�2+k�, k �
1
1
Eixoimaginário
Eixo real04π
209Tema III | Matemática 12
z3 = zSendo z =� cis �
(� cis �)3 =� cis(��)§�3cis(3�)=� cis(��)
� �
§�3 =�3�=��+2k�, k �����
§�3 ��=04�=2k�, k �����
§
�(�2 �1)=0
�=2k�
4, k ��
���
��
§
�=0
�=k�2
,k ��
���
��›
�= 1
�=k�2
,k ��
���
��
z=0é uma das soluções� ��� ���
d)
Atribuindo a k os valores 0, 1, 2 e 3 obtemos as
restantes soluções:
Se k =0, z0 = cis (0)= 1
Se k = 1, z1 = cis�2
�
��
�
��= i
Se k =2, z2 = cis (�)=1
Se k =3, z3 = cis3�2
�
��
�
��=i
C.S.= 0, 1, i,1, i{ }
Seja z =4 3 +4i
Cálculos auxiliares :
• z = 4 3( )2
+42 = 64 =8
• tg�=4
4 3‹ �� 1.°Q
§ tg�=3
3‹ �� 1.°Q
�=�6
, por exemplo.
As raízes quartas do número complexo z =8cis�6
�
��
�
��
são os valores zk tais que:
zk = 84 cis
�6+2k�
4
�
�
��
�
�
��, k � 0, 1,2,3{ }
§ zk = 84 cis�
24+
k�2
�
��
�
��, k � 0, 1,2,3{ }
Se k =0, z0 = 84 cis�
24
�
��
�
��
Se k = 1, z1 = 84 cis13�24
�
��
�
��
Se k =2, z2 = 84 cis25�24
�
��
�
��
Se k =3, z3 = 84 cis37�24
�
��
�
��
33.a)
z3 + 1+ 3i( )z =0
§ z z2 +1+ 3i( )=0§ z =0 › z2 =�1� 3i
Cálculos auxiliares :
w =�1� 3i =2cis4�3
�
��
�
• w = �1( )2+ � 3( )2
= 1+3 =2
• tg=�3
�1‹ �3.°Q
tg= 3 ‹ �3.°Q
=4�3
, por exemplo.
As soluções da equação z2 =�1� 3i são as raízes
quadradas do número complexo 2cis4�3
�
��
�
, isto é,
os números complexos zk tais que :
zk = 2cis
4�3
+2k�
2
�
�
��
�
, k 0, 1{ }
§ zk = 2cis2�3
+k��
��
�
, k 0, 1{ }
Se k =0, z0 = 2cis2�3
�
��
�
Se k = 1, z1 = 2cis5�3
�
��
�
C.S.= 0, 2cis2�3
�
��
�
, 2cis
5�3
�
��
�
��
���
z3 � iz2 � z+ i =0
§ (z� i)(z2 �1)=0
§ z = i › z2 = 1
§ z = i › z = 1 › z =�1
C.S.= i,�1, 1{ }
b)
c)
μ 1 –i –1 i
i i 0 –i
1 0 –1 0 = r
Cálculo auxiliar:
-1
3√-
Eixoimaginário
Eixo real0
4π3
4
4 3√
Eixoimaginário
Eixo real0
Matemática 12 | Guia do Professor210
Se A� AOB�� ��= 12, então
AB�42
= 12§ AB =6.
Assim: A �4,3( ) e B �4,�3( ), logo z =�4+3i.
z1 = 16cis3�4
�
��
�
��
Se z1 é solução da equação, então verificai z1 =z1 :
i 16cis3�4
�
��
�
��=16cis
3�4
�
��
�
��
1cis �2
�
��
�
�� 16cis
3�4
�
��
�
��= 16cis �( ) cis
3�4
�
��
�
��
16cis �2+
3�4
�
��
�
��= 16cis �
3�4
�
��
�
��
16cis�4
�
��
�
��= 16cis
�4
�
��
�
�� P.V.
As raízes quartas de z1 = 16cis3�4
�
��
�
�� são os valores
zk , tais que :
zk = 164 cis
3�4
+2k�
4
�
�
��
�
�
��, k � 0, 1,2,3{ }
§ zk =2cis3�16
+k�2
�
��
�
��, k � 0,1,2,3{ }
As imagens geométricas destas 4 raízes quartas
(A, B,C e D) são vértices de um quadrado de diagonal 4.
Assim, sendo l o lado do quadrado, vem que :
l2 + l 2=42
§2l 2= 16
§ l 2=8
Logo, A ABCD�� � =8.
A é a imagem geométrica de z =2cis3�16
�
��
�
��.
O círculo representado tem centro O e raio 2, visto que
z =2. Sendo o hexágono regular e centrado na origem,então os seis vértices são imagens geométricas dasraízes índice 6 de um certo número complexo e os
seus argumentos diferem de 2 6
= 3
.
Assim, uma condição que defina o conjunto de pontosa sombreado é :
z ≤2 ‹ 5≤ arg(z)≤ 13
15
Cálculo auxiliar :
�5+2�
�3=
13�15
Cálculo do raio da circunferência :
r2 =22 +22
§ r2 =8
§ r2 = 8, r >0
§ r =2 2
z >2 2 ‹ z�2 = z�2i
z =�zSeja z = x+ yi. Então, x� yi =�(x+ yi)§ x� yi =�x� yi§2x =0§ x =0 Condição que define todo o eixo
imaginário
z ≤3 ‹ Im(z)≤0 ‹ Re(z)≤0
Re(z) ≤2 ‹ Im(z) ≤2 ‹ z > 1
§�2≤Re(z)≤2 ‹ �2≤ Im(z)≤2 ‹ z > 1
�4≤ arg(z)≤ �
2› Im(z)≤0
�
��
��‹ z ≥2
z =�4+ yi
34.a)
b)
35.a)
b)
36.a)
b)
c)
-4
A
B
Eixoimaginário
Eixo real0
b2)
b1)
A
C
D
BEixoimaginário
Eixo real02
2
22
Eixoimaginário
Eixo real0
-3
-3
3
3
Eixoimaginário
Eixo real0
-1-2
-1
-2
1 2
1
2
Eixoimaginário
Eixo real0
-2
-2
24
2
π
Eixoimaginário
Eixo real0
d)
211Tema III | Matemática 12
1+ 2+ i
1+ 2 � i=
1+ 2+ i( ) 1+ 2+ i( )1+ 2 � i( ) 1+ 2+ i( )
=1+ 2+ i( )
2
1+ 2( )2� i2
=1+ 2( )
2+2 1+ 2( )i+ i2
1+ 2( )2+1
=1+2 2+2�1+ 2+2 2( )i
1+2 2+2+1
=2 2+2( ) 1+ i( )
2 2+4=
2 2+2( ) 2 2 �4( )2 2+4( ) 2 2 �4( )
(1+ i)
=4 4 �8 2+4 2 �8
2 2( )2�42
(1+ i)=�4 2
4�2�16(1+ i)=
�4 2�8
(1+ i)
=2
2(1+ i)=
22
+2
2i = cos
�4
�
��
�
�+ i sen
�4
�
��
�
�= cis
�4
�
��
�
�
cos �� i sen�sen�+ i cos �
�
��
�
9
•Representação de cos �� i sen� na forma
trigonométrica:
cos �� i sen�= cos(��)+ i sen(��)= cis(��)
•Representação de sen�+ i cos � na forma
trigonométrica:
sen�+ i cos�= cos2��
�
��
�
+ i sen
2��
�
��
�
= cis2��
�
��
�
Assim:cos�� i sen�sen�+ i cos�
�
��
�
9
=cis(��)
cis�2��
�
��
�
�
�
���
�
9
= cis ����2+�
�
��
�
�
��
�
9
= cis ��2
�
��
�
�
��
�
9
= cis �9�2
�
��
�
= cos �9�2
�
��
�
+ i sen �
9�2
�
��
�
=0+ i(�1)=�i
39.
40.a)
w =�1+ i
i21=�1+ i
i=
(�1+ i)�(�i)i�(�i)
=i � i2
�i2
=1+ i
1= 1+ i = 2cis
�4
�
��
�
•w � z1 pois arg(w)=�4+2k�, k �� e um
argumento de z1 é �5
.
•w � z2, pois w = 2 e z2 =2.
Seja z2 =2cis � e z1 =� cis�5
�
��
�
.
z1 z2 = (2cis �) � cis�5
�
��
�
�
��
�
=2� cis �+
�5
�
��
�
Para que z1 z2 seja um imaginário puro, tem queacontecer : arg(z1 z2)=
�2+k�, k ��
Assim:
�+�5=�2+k�, k ��
§ �=�2��5+k�, k ��
§ �=3�10
+k�, k ��
Seja z = 12 �2i.
Cálculos auxiliares :
• z = 12( )2+ �2( )2
= 16 =4
• tg�=�2
12‹ ��4.°Q
§ tg�=�2
2 3‹ ��4.°Q
§ tg�=�3
3‹ ��4.°Q
§ �=��6
, por exemplo.
z =4cis ��6
�
��
�
�
zn = 4cis ��6
�
��
�
�
�
��
�
�
n
=4ncis �n�6
�
��
�
�
Para zn ser um número real positivo, então
arg(zn)=2k�, k ��, ou seja:
�n�6=2k�, k ��
§�n� = 12k�, k ��§n=�12k, k ��Se k =0, n=0�Se k = 1, n=�12�Se k =�1, n= 12, 12 é o menor número natural
tal que zn é um número real positivo.37.a)
b)
38.
z�3i ≥ z�2 ‹ z�2� i ≤2
A(0,3)
B(2,0)
C(2, 1)
M 1,32
�
��
��
A
B
C
2
1
3
Eixoimaginário
Eixo real0
12
-2
√
Eixoimaginário
Eixo real0 π6-
e)
Matemática 12 | Guia do Professor212
22
+2
2i
�
���
�
���
2013
�2
2+
22
i�
���
�
���
2014
Cálculo auxiliar :
22
+2
2i = cis
�4
�
��
��
= cis�4
�
��
��
�
��
��
2013
cis�4
�
��
��
�
��
��
2014
= cis2013�
4
�
��
��cis
2014�4
�
��
��
cos5�4
�
��
��+ i sen
5�4
�
��
��cis
3�2
�
��
��
=2
2
22
i (i)
=2
2+
22
+1�
���
���i
Sendo P1 o ponto de coordenadas (0,2), o número
complexo do qual P1 é imagem geométrica é
z1 =2 i =2cis�2
�
��
��.
As restantes raízes cúbicas são :
z2 =2cis�2+
2�3
�
��
��=2cis
7�6
�
��
��=2
32
12
i�
���
���= 3 i
z3 =2cis7�6
+2�3
�
��
��=2cis
11�6
�
��
��=2
32
12
i�
���
���= 3 i
e Im(z2)= Im(z3)=1
Assim, uma condição que defina o domínio plano é :
z ≤2 ‹ Im(z)≤ 1
O lado do quadrado é 2, logo o raio é2
2.
z ≥ 22
‹ ��4≤ arg(z+1)≤
�4
‹
‹3�4≤ arg(z�1)≤
5�4
w4 +2i15
=
2cis�3
�
��
�
��
�
��
�
��
4
+2
i3=
2( )4
cis4�3
�
��
�
��+2
i
=
4 cos4�3
�
��
�
��+ i sen
4�3
�
��
�
��
�
��
�
��+2
i=
4 12
32
i�
��
�
��
i
=22 3i+2
i=2 3i ii i
=2 3i2
i2=+2 3
1
=2 3
2 3 é um número real c.q.d.
Seja z =�1+ i = 2cis3�4
�
��
�
�.
Cálculos auxiliares :
• z = (�1)2 +12 = 2
• tg=1�1
‹ �2.°Q
§ tg=�1 ‹ �2.°Q
=3�4
, por exemplo.
Como z = 2, 2 é o raio da circunferência
representada.
As raízes cúbicas de w = 2cis�3
�
��
�
� são os valores
zk tais que :
wk = 23 cis
�3+2k�
3
�
�
��
�
�
, k � 0, 1,2{ }
Se k =0, w0 = 26 cis�9
�
��
�
�
Assim, arg(w0)=�9
.
Logo, uma condição em � que defina a região
assinalada é :
z ≤ 2 ‹�9≤ arg(z)≤
3�4
i11 � z3 = z2 � z1( )2
Cálculos auxiliares :
z1 = 1+ 3i
• z1 = 12 + 3( )2
= 4 =2
• tg�= 3 ‹ �� 1.°Q
�=�3
, por exemplo.
z1 =2cis�3
�
��
�
��
z1 =2cis ��3
�
��
�
��
i3 � z3 = 2cis�6
�
��
�
��
�
��
�
��� 2cis �
�3
�
��
�
��
�
��
�
��
��
�
��
2
§� i� z3 = 4cis�6��3
�
��
�
��
�
��
�
��
2
§� i� z3 = 4cis ��6
�
��
�
��
�
��
�
��
2
§ z3 =16cis �
2�6
�
��
�
��
�i� �
b)
41.a)
b)
42.a)
b)
43.a)
213Tema III | Matemática 12
Im z� z( )> z� z ‹ z� z =4
Seja z = x+ yi :
Im (x+ yi)�(x� yi)( )> (x+ yi)�(x� yi) ‹
‹ (x+ yi)�(x� yi) =4
§ Im(2yi)> x2 �(yi)2 ‹ 2yi =4
§2y > x2 + y2 ‹ (2y =4 › 2y =�4)
§ x2 + y2 �2y <0 ‹ (y =2 › y =�2)
§ x2 + y2 �2y+1< 1 ‹ (y =2 › y =�2)
§ x2 +(y�1)2 < 1 ‹ (y =2 › y =�2)
Não existe nenhum ponto do plano complexo
que satisfaça a condição pretendida.
b)
z1
z2
�
��
�
��
2n
=2cis
�3
�
��
�
��
2cis�6
�
��
�
��
�
�
����
�
�
����
2n
=22
cis�3��6
�
��
�
�
�
��
�
�
2n
=22
cis�3��6
�
��
�
�
�
��
�
�
2n
= cis�6�2n
�
��
�
��= cis
�3
n�
��
�
��
Para que z1
z2
�
��
�
��
2n
seja um número real positivo, então
argz1
z2
�
��
�
��
2n�
�
��
�
�
��=2k�, k ��, ou seja, �
3n=2k�, k ��
§n=6k, k ��.
Para k = 1, n=6 é o menor valor natural de n que
verifica o pretendido.
b)
a�3=b�4
(a�3)2 +(b�4)2 =25�2
���
��§
a =b�1
(b�4)2 +(b�4)2 =50
���
§a =b�1
2(b�4)2 =50
���
§______
(b�4)2 =25
���
§a =b�1
b�4 =5
���
›a =b�1
b�4 =�5
���
§a =a =9�1
b =9
���
›a =�1�1
b =�1
���
§a =8
b =9
���
›a =�2
b =�1
���
Assim, z3 =8+9i › z3 =�2� i.
zi<3 ‹ arg(z)= k�
2,k ��
§zi<3 ‹ arg(z)= k�
2,k ��
z <3 ‹ arg(z)= k�2
,k ��
Se k =0, arg(z)=0
Se k = 1, arg(z)= �2
Se k =2, arg(z)= �
Se k =3, arg(z)= 3�2
w =a+bi+ 1�4i+(2i)2( )=a+bi+1�4i �4
= (a�3)+(b�4) i
Como a imagem geométrica de w pertence àbissetriz dos quadrantes ímpares Re(w)= Im(w),ou seja, a�3=b�4.
Como w =5 2 tem-se que (a�3)2 +(b�4)2 =5 2.
c)
44.a)
As soluções da equação são as raízes cúbicas do
número complexo 16cis�6
�
��
�
��, isto é, os números
complexos zk tais que:
zk = 163 cis
�6+2k�
3
�
�
���
�
�
���, k 0, 1,2{ }
§ zk = 163 cis�
18+
2k�3
�
��
�
��, k 0, 1,2{ }
Se k =0, z0 = 163 cis�
18
�
��
�
��
Se k = 1, z1 = 163 cis13�18
�
��
�
��
Se k =2, z2 = 163 cis25�18
�
��
�
��
C.S.= 163 cis�
18
�
��
�
��, 163 cis
13�18
�
��
�
��, 163 cis
25�18
�
��
�
��
��
��
§ z3 =16cis �
�3
�
��
�
cis ��2
�
��
�
§ z3 = 16cis ��3+�2
�
��
�
§ z3 = 16cis�6
�
��
�
-3
-3
3
3
Eixoimaginário
Eixo real0
2
–2
1
Eixoimaginário
Eixo real0
Matemática 12 | Guia do Professor214
0≤ arg(z�2�3i)≤�4
‹ Re(z)≤6�
���
�
› ��3≤ arg(z)≤0 ‹ Im(z)≥ �3 ‹ Re(z)≤6
�
���
�
�3≤ arg(z+3i)≤
2�3
‹ z ≤ z�6i�
���
�›
› �2�3≤ arg(z�3i)≤ �
�3
‹ z ≤ z+6i�
���
�
-3
26
3 4π
3π-
Eixoimaginário
Eixo real
P
0
c)
d)
A(0, –3)B(0, 3)C(0, 6)D(0, –6)
A
B
-3
-6
3
6Eixoimaginário
Eixo real0
- 2π3
- π3
2π3
π3
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