V@R: Overview 2

1

Value-at-Risk:Overview, Parte 2

Análise de Risco (2)R.Vicente

2

ResumoPARTE 1: MEDINDO VaR

Fatores de RiscoValor em Risco (VaR)Profit & Loss (P&L)VaR ParamétricoCalculando o VaR

PARTE 2: ESTIMANDO VOLATILIDADES E CORRELAÇÕESExponentially Weighted Moving Averages (EWMA)Estimando CorrelaçõesGARCH

PARTE 3: VaR DE ATIVOS NÃO-LINEARESLetras “Gregas”Aproximação DeltaAproximação Linear (Delta-Rô-Vega-Teta)Aproximação Delta-GamaAproximação de Cornish-FisherTransformações de Johnson

Bibliografia

3

Parte 1Medindo VaR

4

Fatores de Risco

1 2( , ,..., )NV S S SValor de Mercado de uma carteira depende de uma série de fatores de mercado:

Estes fatores podem ser :

• Preços de mercado;

• Taxas de juro;

• Spreads de crédito;

A Gestão de Risco consiste em monitorar possíveis alterações futuras no valor de mercado de uma carteira em uma janela de tempo definida:

1 2 1 1( , ,..., ) ( ( ),..., ( )) ( ( ),..., ( ))N N NV S S S V S t t S t t V S t S tΔ = +Δ +Δ −Profit & Loss

5

Value at Risk

σMark-to-market

FATOR 1

FATOR 2Janela

de Tempo

Nível de confiança x

%x

VaRα

%

%( ) ( ) 1xVaR

xP V VaR dv p v x−

−∞

Δ <− = = −∫

6

Benchmark Value at Risk

B-VaR x

Retorno Esperado Livre de Risco

( )( ) ( ( )) ( ( )) r t tBV V t t V t e ΔΔ = +Δ −S S S

7

P&L como Combinação Linear dos Fatores de Risco

1

1

1

( ( )) ( ( ) )

( ) ( )N

jj j

Nj

jj j j

Nj

j j j j jjj j

V t t V tVV V SS

SVV SS S

SVS R V RS S

δ δ

=

=

=

+Δ ≈ +Δ∂+Δ ≈ + Δ∂⎛ ⎞Δ∂ ⎟⎜ ⎟⎜Δ ≈ ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ⎜⎝ ⎠

Δ∂≡ ≡ Δ ≈∂

∑

∑

∑

S S S

S S S

Equivalente Delta

8

P&L como Combinação Linear dos Fatores de Risco: Exemplo

( )

( , )A FX A FX

A A FX FX

A A A FXA

FX FX FX AFX

A FX

V S S S SV R R

VS S S VS

VS S S VS

V V R R

δ δ

δ

δ

=Δ ≈ +

∂≡ = =∂

∂≡ = =∂

Δ ≈ +

P&L em Reais de Ação negociada em Dólar:

9

P&L com Benchmark

1

1

( ) ( )

( ) ( )(1 )

r tB

N

B j jj

N

B j jj

V V S S V S e

V V S R V S r t

V R Vr t

δ

δ

Δ

=

=

Δ ≈ +Δ −

Δ ≈ + − + Δ

Δ ≈ − Δ

∑

∑

10

VaR Paramétrico

( ) ( )( )

dS t dt dW tS t

μ σ= +

Suposição I: Fatores de Risco seguem um movimento Browniano geométrico:

onde dW(t) é um processo de Wiener com

( ) ~ (0,1)t tdW t dt Nε ε=

Os log-retornos portanto apresentam o seguinte comportamento:

( ) ( )( )

dS t dt dW tS t

μ σ= +

onde dW(t) é um processo de Wiener com

,

2

2tR t tσμ σεΔ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − Δ + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

11

VaR Paramétrico

Suposição II: Para janelas de tempo suficientemente pequenas os retornos têm valor esperado nulo:

~ (0,1)S S t Nσε εΔ ≈ Δ

O P&L futuro na janela de tempo para um ativo com um único fator de risco é, portanto uma variável aleatória da seguinte forma:

tR tσεΔ = Δ

tΔ

12

VaR ParamétricoUtilizando volatilidade diária e obtemos o P&L potencial para 1 dia como:

S SσεΔ ≈

1tΔ =

( )P ε

0ε=

ε ασ=−

(1-x) %

Empregando a definição de VaR:

VaR Sασ=Confiança

95% 1,645

97,5% 1,960

99% 2,326

α

13

VaR Paramétrico com Benchmark

S S SrασΔ ≈− −

Empregando a definição de VaR:

( )VaR r Sασ= +

A perda potencial considerando o benchmark é:

14

VaR de uma Carteira

0j j k jkR R R C= =

Seja uma carteira cujo valor possa ser decomposto em N fatores de Risco:

Os N fatores de risco acima são amostras de uma distribuição normal multidimensional:

1 1( ) exp22 ( )

pDetπ

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

1R R C RC

Temos que:

15

VaR de uma Carteira

onde é a matriz de covariância. jkC

( )2 22

2

Port

j k j k j jjk j

j k jkjk

V V

R R R

C

σ

δ δ δ

δ δ

= Δ − Δ

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∑ ∑

∑

O VaR da carteira é:Port PortVaR Vασ=

16

VaR de uma CarteiraAlternativamente podemos escrever:

( ) ( )

Port Port

j k jkjk

jkj j k k

jk j k

j jk kjk

VaR V

V C

CV V

VaR VaR

ασ

α δ δ

α σ δ α σ δσ σ

ρ

ρ

=

=

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

=

= ⋅

∑

∑

∑VaR VaR Matriz de

Correlação

17

Parte 2Estimando Volatilidades e Correlações

18

Estimando VolatilidadesMédia Móvel

2

1

1( ) ( )T

MAj

t R t jT

σ=

= −∑

EWMA(Exponentially Weighted Moving Average)

1 2

1

( ) (1 ) ( )T

jEWMA

j

t R t jσ λ λ −

=

= − −∑

19

MA (21 d.u.)

-10%-8%-6%-4%-2%0%2%4%6%8%

10%fe

v-01

mar-0

1

abr-0

1

mai-0

1

jun-0

1

jul-0

1

ago-

01

set-0

1

out-0

1

nov-

01

dez-0

1

jan-0

2

fev-

02

mar-0

2

abr-0

2

mai-0

2

jun-0

2

jul-0

2

ago-

02

EWMA (fator de decaimento=0,97)

-12%-10%

-8%-6%-4%-2%0%2%4%6%8%

10%12%

fev-

01

mar

-01

abr-0

1

mai

-01

jun-

01

jul-0

1

ago-

01

set-0

1

out-0

1

nov-

01

dez-

01

jan-

02

fev-

02

mar

-02

abr-0

2

mai

-02

jun-

02

jul-0

2

ago-

02

Estimando Volatilidades

11 falhas

10 falhas

Intervalo

c/ 98%

20

Estimando VolatilidadesEWMA (fator de decaimento=0,97)

-12%-10%

-8%-6%-4%-2%0%2%4%6%8%

10%12%

fev-

01

mar

-01

abr-0

1

mai

-01

jun-

01

jul-0

1

ago-

01

set-0

1

out-0

1

nov-

01

dez-

01

jan-

02

fev-

02

mar

-02

abr-0

2

mai

-02

jun-

02

jul-0

2

ago-

02

11 falhas

22 falhas

EWMA (fator de decaimento = 0,70)

-12%-10%

-8%-6%-4%-2%0%2%4%6%8%

10%12%

fev-

01

mar

-01

abr-

01

mai

-01

jun-

01

jul-0

1

ago-

01

set-0

1

out-0

1

nov-

01

dez-

01

jan-

02

fev-

02

mar

-02

abr-

02

mai

-02

jun-

02

jul-0

2

ago-

02

21

EWMA: Exponentially Weighted Moving Average

1 2

1

1

1

( )ˆ , 0 1

T

t

t T

R Rττ

τ

τ

τ

λσ λ

λ

−−

=

−

=

−= < <

∑

∑

O estimador EWMA para volatilidades é definido como:

Observando que o fator de normalização é por uma progressão geométrica:

11

1

11

TTτ

τ

λλλ

+−

=

−=−∑

22

EWMA: Exponentially Weighted Moving Average

1 2

11

(1 ) ( )ˆ , 0 1

1

T

t

t T

R Rττ

τλ λ

σ λλ

−−

=+

− −= < <

−

∑

Assim:

Utilizando janelas infinitas teremos:

1 2

1

ˆ (1 ) ( )t tR Rττ

τσ λ λ

∞−

−=

= − −∑

23

EWMA:Forma RecorrenteO estimador pode ser obtido como uma equação de recorrência:

2 1 2

12 2 2 2

1 2 3

2 2 2 2 21 2 3 4

2 1 21 ( 1)

12 2

1 1

ˆ (1 )

(1 )( )

(1 ) (1 )( )

(1 ) (1 )

ˆ(1 )

t t

t t t

t t t t

t t

t t

R

R R R

R R R R

R R

R

ττ

τ

ττ

τ

σ λ λ

λ λ λλ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λσ

∞−

−=

− − −

− − − −∞

−− − −

=

− −

= −

= − + + += − + − + + +

= − + −

= − +

∑

∑

24

EWMA: Janela EfetivaO estimador EWMA atribui pesos maiores a retornos mais recentes. A massa total de retornos ocorridos a mais de K dias passados é:

2

1

(1 )

(1 )(1 )

KK

K K

τ

τλ λ

λ λ λ λ λ

∞∞

=

=

Ω = −

= − + + + =

∑

Se fixarmos esta massa em um valor de confiança (e.g. 99%, 99,5%) podemos calcular a janela efetiva utilizada:

%ln(1 )ln

Kλ

−ϒ=

%ϒ

25

EWMA: Janela EfetivaLambda 95,0% 98,0% 99,0% 99,5%

0,99 298 389 458 5270,98 148 194 228 2620,97 98 128 151 1740,96 73 96 113 1300,95 58 76 90 1030,94 48 63 74 860,93 41 54 63 730,92 36 47 55 640,91 32 41 49 560,90 28 37 44 500,89 26 34 40 450,88 23 31 36 410,87 22 28 33 380,86 20 26 31 350,85 18 24 28 33

Nível de Confiança

26

EWMA: Otimização de Definimos o erro na predição da variância como:

2 211 1ˆtt t t tRε σ++ += −

λ

O parâmetro ótimo é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias:

21

1

( ) ( )T

t tt

E λ ε λ+=

= ∑

27

EWMA: CorrelaçõesO EWMA pode ser generalizado para covariâncias:

1, , ,

1

ˆ (1 )jk t j k ttC R Rτ

τττ

λ λ∞

−−−

=

= − ∑

A versão recorrente é:

, , 1 , , 11ˆ ˆ (1 )jk t jk t j k tt

C C R Rλ λ− −−= + −

28

EWMA: Matrizes Positivas Semi-definidasO método EWMA produz matrizes que são positivas semi-definidas.

Suponha que seja positiva semi-definida, então:

, , 1 , , 11ˆ ˆ (1 )jk t jk t j k tt

C C R Rλ λ− −−= + −

1ˆ

t−C

1ˆ 0t−⋅ ≥ ∀u C u u1ˆ 0t−⋅ ≥ ∀u C u u

Analisando o segundo termo teremos:

( )2

, 1 , 1 , 1,

0j j t k t k j j tj k j

u R R u u R− − −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑

29

EWMA: Matrizes Positivas Semi-definidasCombinações lineares de matrizes positivas semi-definidas são positivas semi-definidas:

( ), , 1 , 1 , 1ˆ ˆ (1 ) 0j jk t k j jk t k j j t k t k

jk jk jk

u C u u C u u R R uλ λ− − −= + − ≥∑ ∑ ∑Assim:

( ) ( )1ˆ ˆ0 0t t−⋅ ≥ ∀ ⇒ ⋅ ≥ ∀u C u u u C u u

Basta então garantirmos que seja positiva semi-definida escolhendo :

1C

,1 ,0 ,0ˆ

jk j kC R R≡

30

EWMA: Matrizes de CorrelaçãoAs correlações são obtidas a partir das covariâncias:

jkjk

jj kk

CC C

ρ =

31

EWMA: Otimização de para Covariância Para garantirmos a produção de matrizes positivas semi-definidas é necessário que seja único. Definimos o erro na predição da covariância como:

, 1 , 1, 1 , 1ˆ

j t k tjk t t jk t tR R Cε + ++ += −

λ

O parâmetro ótimo para o par jk é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias:

2, 1

1

( ) ( )T

jk jk t tt

E λ ε λ+=

= ∑

λ

32

EWMA: Otimização de para Covariância

A prescrição RiskMetrics para o parâmetro único é ponderar

com o inverso do erro mínimo: * *

jk jkj k

λ θ λ≤

=∑Onde:

*

*

1( )

1( )

jk jkjk

jk jk jk

E

E

λθ

λ

= ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

jkλ

λ

33

GARCH Um modelo GARCH(p,q) é definido como:

2 2 20

1 1

p q

t j t j j t jj j

Rσ α α β σ− −= =

= + +∑ ∑

A versão mais simples é o GARCH(1,1):

2 2 20 1 1 1 1t t tRσ α α βσ− −= + +

34

GARCH A versão mais simples é o GARCH(1,1):

2 2 2 2 00 1 1

1 11ασ α ασ βσ σα β

= + + =− −

A variância não-condicional é um ponto fixo da equação acima assumindo que :2 2

1tR σ− =

2 2 20 1 1 1 1t t tRσ α α βσ− −= + +

Para que a volatilidade faça sentido é necessário que: 1 1 1α β+ <

35

GARCH A curtose não-condicional é dada por:

21

2 21 1 1 1

61 3 2

ακα αβ β

=− − −

, ou seja, leptocúrtica como as distribuições reais.

36

GARCH : Determinando Parâmetros

2

22

1( ) exp22

tt t

tt

Rp R σσπσ

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦

O processo GARCH gera retornos independentes com distribuição condicional normal:

2 2 20 1 1 1 1t t tRσ α α βσ− −= + +~ (0,1)t t t tR Nεσ ε=

Dada a trajetória empírica defini-se uma função erro:

Assumindo a dinâmica:

1

T

t tR

=

( )2

20 1 2

1 1

1( , , ) ln ( ) ln 22 2

TTt

t t tt t t

RE p Rα α β σ πσσ= =

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥=− = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑∏

A função erro pode ser minimizada utilizando um algoritmo standard de otimização (e.g. Gradiente Escalonado).

37

GARCH

Volatilidade

0,0000,0200,0400,0600,0800,1000,1200,140

1 56 111

166

221

276

331

386

441

496

551

606

661

716

771

826

881

936

991

38

Parte 3Risco de Ativos Não-Lineares

39

“Gregas”

( , , , )IV S rτ σΔ

O P&L de uma opção é função de variações do ativo objeto, do prazo, da volatilidade implícita e da taxa de juros:

Uma expansão em série de Taylor nos fornece:

( )

( )

22

2

22

2

1( , , , )2

12

I

II

S S r

r t

V V VV S rS S r

V V Vr

σ

τ σ

σ τ

Δ + Δ + Δ

+ Δ + Δ Δ

∂ ∂ ∂Δ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂−∂ ∂ ∂

40

“Gregas”

DELTA

VS

∂Δ=∂

2

2

VS

∂Γ=∂

[ ] $I

Vσ

∂Λ= Λ =∂

22 2

2 [ ] $V Tr

ρ ρ∂′ ′= =∂

[ ] $V Tr

ρ ρ∂= =∂

1[ ] $V Tt

−∂Θ= Θ =∂

TETA

GAMA

RÔ Convexidade RÔ

“VEGA”

41

P&L em função de Retornos

( )

2 2

22

1( , , , )2

12

I S S P

P I t

V S r R S R S R

R Rσσ

ρτ στ

ρτ

+

+ +Λ Δ

Δ Δ Γ−

′+Θ

[ ]( ) ( )

( ) ( )ln ( ) ( )t t

t t

t r t

P t tr r t t

P

eR r r t t re e

Rr

τ τ

τ τ τ τ

τ

+Δ− −Δ −Δ

− Δ Δ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= = − Δ Δ − Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Δ −

Observando o retorno de preços com carregamento:

42

Aproximação Delta

( , , , )I SV S r R Sτ σΔ Δ

~ (0;1)S SR t

Nεσ

ε= Δ

Delta SVaR Sασ= Δ

1 contrato de opção = unidades de ativo objetoΔ

43

Aproximação Delta

44

Aproximação Linear

S S S

P P P

I I

R t

R t

R tσ

ε σ

ε σ

ε σ

= Δ

= Δ

= Δ

( , , , )I S P I tV S r R S R Rσσρτ στ

+Λ ΔΔ Δ− +Θ

~ (0, )S

P

I

N Cεεε

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

Variância-covariância

45

Aproximação Linear

TLinearVaR C tα= −ΘΔW W

I

Sρτ

σ

⎛ ⎞Δ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ Λ⎝ ⎠⎟

W

46

Aproximação Delta-Gama

2 212S SV S R S RΔ = Δ + Γ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4

Cumulantes 1 e 2 Todos Cumulantes

47

Aproximação Delta-Gama

48

Aproximação Delta-Gama

49

Aproximação Delta-Gama Truncada

( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 2 2 2 3 21var var var cov ,4S S S S SV S R S R R S R RΔ = Δ + Γ +ΔΓ

( )2

222 3

2cov , 0

2S

R

S S

S

dRR R R e σ

πσ

−

= =∫

( ) 2 2 2 4 2 41var2S SVaR V S Sα α σ σ≅ Δ = Δ + Γ

( ) ( )2 2var 2 varS SR R=

Truncamento até Segundo Cumulante

50

Aproximação Delta-Gama

2

1 1 1

1 1 1

( ) ( )12

12

n n n

j j kj j kj j k

n n n

j j jk j kj j k

V V VV Vx x xx x x

r r rδ

= = =

= = =

Δ = +Δ −∂ ∂≈ Δ + Δ Δ∂ ∂ ∂

= + Γ

∑ ∑∑

∑ ∑∑

x x x

2

j j jk j kj j k

V Vx x xx x x

δ ∂ ∂= Γ =∂ ∂ ∂

51

Aproximação Delta-Gama

1 1 1

12

n n n

j j jk j kj j k

V r r rδ= = =

Δ = + Γ∑ ∑∑

~ (0, )N C V ϕ⇒Δr ∼

23 4ˆln , , , ,..., nc c cϕ ϕ μ σ⇔ ⇔

Função Geratriz Cumulantes

52

Cumulantes

ˆ ( ) ( )ixww dx e xϕ ϕ= ∫

0

ˆln ( )( )n

nn n

w

wc iwϕ

=

∂= −∂

53

Cumulantes

( )

( )

( )

( ) ( )

22 2

3 33

4 2 4 44

2

1 ( )2

1 ( )2

3 ( )

12 ( ) 3 ( ) 3

1 1( 1)! ! ( )2 2

T

T

T

n n T nn

V Tr C

V C Tr C

c V C C Tr C

c V C C Tr C

c V n Tr C n C C

μ

σ μ δ δ

μ δ δ

μ δ δ σ

μ δ δ−

= Δ = Γ

= Δ − = + Γ

= Δ − = Γ + Γ

= Δ − = Γ + Γ +

⎡ ⎤= Δ − = − Γ + Γ⎢ ⎥⎣ ⎦

~ (0, )N Cr

54

Aproximação de Cornish-Fisher

Densidade arbitrária .ϕ

( ) ( )x

x du uϕ−∞

Φ = ∫O VaR é definido como:

1

( )

( )

VaR

du u p

VaR p

ϕ−

−∞

−

=

= Φ

∫ou

55

Aproximação de Cornish-FisherSeja uma distribuição com forma

analítica e quantis conhecidos (por ex: distribuição gaussiana).

( ) ( )z

F z du f u−∞

= ∫1( )F p−

Cornish-Fisher

1( )p−Φ como função de 1( )F p−

56

Aproximação de Cornish-FisherOs quatro primeiros termos da expansão de Cornish-Fisher para

de é : V μσ

Δ −p percentil−

( ) ( ) ( )2

22 3 33 343 4 3

1 1 11 3 3 2 56 24 36p p p p p p p

c ccα α α α α α ασ σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜≈ + − + − − − − ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

O VaR pode então ser calculado como:pVaR α σ μ= +

57

Transformação de Johnson

( )pVaR f α≈

e tem distribuição similar a ( )f X~ (0,1)X N VΔ

Função monotônica

58

Transformação de Johnson

Transformação com limite inferior:

( ) exp ( )Xf X f Xγ ξ ξδ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ≥⎢ ⎥⎣ ⎦

Transformação com limite superior:

exp ( )( ) ( )

1 exp

X

f X f XX

γ ξ λ ξδ ξ ξ λ

γδ

⎡ ⎤−⎢ ⎥ + +⎢ ⎥⎣ ⎦= ≤ ≤ +⎡ ⎤−+ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

59

Transformação de Johnson

Transformação sem limites:

( ) sinh Xf X γ λ ξδ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

Os parâmetros das distribuições de Johnson podem ser obtido a partir dos quatro primeiros cumulantes.

60

Bibliografia

• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.

• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);

•Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk

•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;

•Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;

Leituras ComplementaresJashke, S.R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma-Normal Approximations

Mina, J. e Ulmer, A., Delta-Gamma Four Ways