PGMEC · Simulações computacionais têm um papel importante no projeto de trocadores de calor e o estudo da convecção forçada em canais tem uma série de aplicações tanto em

PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR

VOLUMES FINITOS PARA

CONVECÇÃO FORÇADA EM CANAIS

DE TROCADORES DE CALOR

DIANA NOGUEIRA

SETEMBRO DE 2009

DIANA NOGUEIRA

ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR VOLUMESFINITOS PARA CONVECÇÃO FORÇADA EM

CANAIS DE TROCADORES DE CALOR

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção do tí-tulo de Mestre em Ciências em Engenharia Me-cânica

Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, SETEMBRO DE 2009

ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR VOLUMESFINITOS PARA CONVECÇÃO FORÇADA EM

CANAIS DE TROCADORES DE CALOR

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

(Orientador)

Maria Laura Martins Costa (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Leonardo Santos de Brito Alves (Ph.D.)Instituto Militar de Engenharia – IME

Agradecimentos

Primeiramente, gostaria de manifestar meus sinceros agradecimentos ao meu orien-

tador, o Professor Leandro Alcoforado Sphaier, por sua orientação, suporte e grande

contribuição, sem os quais a realização deste trabalho não teria sido possível.

Gostaria também de agradecer a Professora Maria Laura Martins Costa por seu

incentivo e motivação, desde que ingressei no programa de pós-graduação da Univer-

sidade Federal Fluminense.

Também gostaria de agradecer ao Professor Leonardo Santos de Brito Alves por

aceitar o convite para participar do comitê de julgamento deste trabalho.

Agradeço especialmente ao Rafael, meu marido e companheiro, por seu apoio, pela

compreensão com minha ausência durante os longos períodos de estudos e, por fim,

por sua torcida para que eu obtivesse sucesso neste projeto.

Agradeço a minha família por me proporcionar as bases necessárias para que eu

chegasse até aqui, especialmente aos meus pais.

Aos meus colegas da Universidade Federal Fluminense, Marcos José Moraes e

Gilberto Risi, agradeço pelas varias vezes que abriram mão de seus fins de semana e

feriados para estudarmos.

iv

Resumo

Simulações computacionais têm um papel importante no projeto de trocadores de calor

e o estudo da convecção forçada em canais tem uma série de aplicações tanto em recu-

peradores como em regeneradores. Apesar da relevância para o projeto de trocadores,

a grande maioria de simulações, em geral, são baseadas em formulações simplifica-

das, as quais utilizam valores constantes para o número de Nusselt. O problema é

que esta situação hipotética só é válida em regiões onde o escoamento é termicamente

desenvolvido; no entanto, existem diversas situações onde o escoamento não pode ser

tratado como tal. Neste contexto, o principal objetivo deste trabalho foi estudar a

convecção forçada em canais de placas paralelas sem considerar o escoamento termi-

camente desenvolvido. Para que a análise servisse para recuperadores e regeneradores,

ambos regimes permanente e transiente foram considerados. Para atingir este objetivo,

as equações de transporte foram resolvidas numericamente, utilizando o Método de

Volumes Finitos associado ao Método das Linhas. Grande parte do trabalho desen-

volvido foi focado na análise de diferentes estratégias de solução a fim de determinar

a alternativa mais adequada para o problema. Os resultados obtidos foram suficientes

para gerar uma ferramenta computacional robusta para o cálculo do número de Nusselt

em regiões em desenvolvimento térmico permanente e transiente. Esta ferramenta foi

utilizada para estudar o comportamento de Nusselt para diferentes números de Péclet,

e sua variação com a posição axial e o tempo foram determinadas para condições de

temperatura constante na parede. Os resultados mostraram que, para poder entender

completamente o comportamento de Nusselt em canais de trocadores, ainda existe a

necessidade de investigar o efeito de outras condições de aquecimento. Entretanto,

com a ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho, a inclusão de diferentes

condições de aquecimento na parede poderão ser facilmente obtidas.

Palavras-chave: Trocador de Calor, Simulação Numérica, Volumes Finitos, Escoa-

mento Interno

v

Abstract

Numerical simulations play an important role in heat exchanger design and the study

of forced convection within channels have several applications in recuperators as well

as regenerators. In spite of the relevance of heat exchanger design, the majority of

simulations, in general, are based on simplified formulations, those of which employ

constant values for the Nusselt number. The problem with this hypothetical situation is

that it is only valid in regions wherein the flow is thermally developed; however, there

are several circumstances under which the flow cannot be treated as such. In this con-

text, the main objective of this work was to study the forced convection within parallel

plates channels without considering thermal development. In order to make the analy-

sis applicable to recuperators and regenerators, both steady-state and transient regimes

were considered. In order to achieve the proposed objective, the transport equations

were numerically solved by employing the Finite Volumes Method associated with the

Method of Lines. For the sake of determining the most adequate implementation alter-

native, a large amount of this work was focused on analyzing different solution stra-

tegies. The obtained results were sufficient for producing a robust computational tool

for calculating Nusselt number in thermally developing regions of steady and transient

flows. This tool was employed for studying the behavior of the Nusselt number for dif-

ferent Péclet numbers and its variation with axial position and time were determined

for isothermal wall conditions. The results showed that, in order to fully understand

the behavior of the Nusselt number in heat exchanger channels, there is still a need

for investigating other wall heating conditions. Nevertheless, with the computational

tool herein developed, the inclusion of different wall heating conditions can be easily

handled.

Key-words: Heat Exchanger, Numerical Simulation, Finite Volumes, Internal Flow

vi

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Aplicações de trocadores de calor recuperativos e regenerativos . . . . 2

1.2 Trocadores de calor recuperativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Trocadores de calor regenerativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Tipos de trocadores regenerativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1.1 Regenerador de matriz fixa . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1.2 Regenerador rotativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1.3 Trocadores regenerativos com troca de calor latente . 13

1.4 Objetivo do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Modelagem do transporte em canais de trocadores de calor . . . . . . . 17

2.1.1 Equações de balanço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1.1 Balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1.2 Balanço de momentum linear . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1.3 Simplificação para desenvolvimento hidrodinâmico . 19

2.1.2 Equações para escoamento em canais de placas paralelas . . . 19

2.2 Coeficiente convectivo e temperatura de mistura . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Condição de contorno na parede sólida . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1.1 Temperatura da parede constante . . . . . . . . . . . 21

vii

Sumário viii

2.3.1.2 Fluxo de calor constante . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1.3 Armazenamento de energia na parede sólida . . . . . 22

2.3.2 Condição de contorno na entrada do canal . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3 Condição de contorno no centro do canal . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.4 Condição de contorno na saída do canal . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.4.1 Temperatura constante na parede do canal . . . . . . 25

2.3.4.2 Fluxo de calor constante na parede do canal . . . . . 27

2.3.4.3 Armazenamento de energia na parede sólida . . . . . 27

2.3.5 Condição inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Adimensionalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Variáveis adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Adimensionalização das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Equação da energia para o fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.2 Condição de contorno na parede . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2.1 Temperatura constante na parede . . . . . . . . . . . 32

3.3.2.2 Armazenamento na parede . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.3 Condição de contorno na entrada do canal . . . . . . . . . . . . 34

3.3.4 Condição de contorno no centro do canal . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.5 Condição de contorno na saída do canal . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.5.1 Temperatura constante na parede . . . . . . . . . . . 34

3.3.5.2 Armazenamento de energia na parede . . . . . . . . . 35

3.3.6 Condição Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Discretização por Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 Integração das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.2 Aproximação das integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.3 Regras de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Sumário ix

4.1.4 Regras de interpolação para o acoplamento convecção-difusão 43

4.1.5 Condições de contorno nas coordenadas do MVF . . . . . . . . 45

4.1.5.1 Entrada do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.5.2 Saída do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.5.3 Centro do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.5.4 Parede do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.6 Equação para os volumes internos . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.7 Equação para os volumes adjacentes ao centro do canal . . . . 49

4.1.8 Equação para os volumes adjacentes à parede do canal . . . . . 49

4.1.9 Equação para os volumes adjacentes à entrada do canal . . . . 49

4.1.10 Equação para os volumes adjacentes à saída do canal . . . . . . 50

4.1.11 Equação para os volumes adjacentes à parede e à entrada do

canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.12 Equação para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal 51

4.1.13 Equação para os volumes adjacentes à parede e à saída do canal 51

4.1.14 Equação para o volume adjacente ao centro e à saída do canal . 52

4.1.15 Equações para a temperatura da parede . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Discretização unidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1 Discretização transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.2 Discretização axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5. Implementação Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1 Soluções com discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1 Solução transiente: integração numérica . . . . . . . . . . . . . 58

5.1.2 Solução transiente: integração analítica . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.3 Solução em regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Solução permanente com discretização transversal apenas . . . . . . . 66

5.2.1 Solução com integração numérica em ξ . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.2 Solução numérica para Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.3 Solução analítica com o método do tiro . . . . . . . . . . . . . . 68

Sumário x

5.2.4 Solução analítica para Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Solução com discretização axial apenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.1 Solução com integração numérica em η . . . . . . . . . . . . . 71

5.4 Cálculo de Nusset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6. Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1 Solução analítica para slug-flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7. Resultados da solução permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.1 Análise de convergência da temperatura no escoamento . . . . . . . . . 82

7.2 Análise de convergência de Nusselt para CDS e HDS . . . . . . . . . . 91

7.2.1 Esquema de diferenças centradas – CDS . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.2 Esquema híbrido – HDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.2.3 Análise da solução com Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3 Resultados para a discretização apenas longitudinal . . . . . . . . . . . 104

7.4 Análise da influência de ξmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.4.1 Resultados com Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.4.2 Resultados para demais valores de Péclet . . . . . . . . . . . . . 108

7.5 Evolução de Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.6 Verificação da ordem do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8. Resultados para Regime Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.1 Análise de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.1.1 Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 2 . . . . . . . . 135

8.1.2 Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 1 . . . . . . . . 140

8.1.3 Número de Nusselt para Péclet 10 e ξmax = 1 . . . . . . . . . . 144

8.2 Evolução transiente da distribuição espacial de Nusselt . . . . . . . . . 148

9. Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Sumário xi

A. Demais resultados para regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.1 Slug-Flow com discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.2 Slug-Flow para Peclet grande com discretização bidirecional . . . . . . 163

A.3 Slug-Flow para Peclet grande com discretização em uma direção . . . 166

A.4 Resultados de temperatura para Péclet grande (CDS) . . . . . . . . . . 168

A.5 Resultados de Temperatura para HDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

B. Resultados de estudo preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Lista de Figuras

1.1 Economia de combustível devido ao preaquecimento do ar para a com-

bustão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Trocador recuperativo tipo duplo tubo. (a) Passse simples com esco-

amento em contra corrente; e (b) passe multiplo com escoamento em

contra corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Regenerador tipo válvula dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Aquecedor de ar regenerativo. Partes Principais: 1 Matriz estacionaria,

2 Proteção rotativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Regenerador rotativo. (a) Tipo disco e cilindro; (b) Arranjo ilustrativo

da matriz e (c) duas formas alternativas de regenerador rotativo tipo

disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Regenerador Rotativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Mini-canal de regeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Mini-canal de regeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Descrição de uma célula genérica bidimensional pelo metodo de volu-

mes finitos notação discretizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 mapa computacional das celulas para um mini-canal pelo metodo dos

volumes finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1 Domínio computacional para um mini-canal. . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.1 Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 10 e

Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2 Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 1 e


7.3 Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 0.1 e


xii

Lista de Figuras xiii

7.4 Evolução de Nusselt com a posição axial: PeH = 10 (preto), PeH = 1

(azul), PeH = 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . 114

7.5 Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre

diferentes valores de Péclet (escala menor). . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.6 Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre

diferentes valores de Péclet (escala menor ainda). . . . . . . . . . . . . 115

8.1 Variação transiente de Nusselt para PeH grande. . . . . . . . . . . . . . 148

8.2 Variação transiente de Nusselt para PeH = 10. . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.3 Variação transiente de Nusselt para PeH = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.4 Variação transiente de Nusselt para PeH = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . 149

Lista de Tabelas

5.1 Transformação das coordenadas cardeais para o domínio computacional. 58

6.1 Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 10, discretização bidi-

recional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2 Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 1, discretização bidire-

cional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 0.1, discretização bidi-

recional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.4 Número de Nusselt para slug-flow, com número de PeH grande, dis-

cretização em duas direções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5 Número de Nusselt para slug-flow com número de PeH grande, discre-

tização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.1 Temperatura com PeH = 10 em η= 0.99 para discretização bidirecional

CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.2 Temperatura com PeH = 10 em η = 0 para discretização bidirecional

CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3 Temperatura com PeH = 1 em η= 0.99 para discretização bidirecional

CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.4 Temperatura com PeH = 1 em η= 0 para discretização bidirecional CDS. 87

7.5 Temperatura com PeH = 0.1 em η= 0.99 para discretização bidirecio-

nal CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.6 Temperatura com PeH = 0.1 em η = 0 para discretização bidirecional

CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.7 Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional CDS. 92

7.8 Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional CDS. 93

7.9 Número de Nusselt com PeH = 0.1 para discretização bidirecional CDS. 94

7.10 Valores do parâmetro α para o esquema HDS. . . . . . . . . . . . . . . 96

xiv

Lista de Tabelas xv

7.11 Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional HDS. 97

7.12 Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional HDS. 98

7.13 Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional CDS. 100

7.14 Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional HDS. 101

7.15 Tempo computacional para HDS e CDS para discretização bidirecional

em diferentes malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.16 Número de Nusselt para PeH grande e discretização bidirecional UDS. 103

7.17 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas. . . . . . . . 104

7.18 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas — solução

analítica com exponenciais de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.19 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas com Péclet

grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.20 Número de Nusselt com PeH grande com J = 400. . . . . . . . . . . . . 107

7.21 Número de Nusselt com PeH grande com J = 800. . . . . . . . . . . . . 107

7.22 Número de Nusselt com PeH = 10 com ∆ξ= 1/100 e J = 400. . . . . . . 108




7.26 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ= 1/25 e J = 400. . . . . . . 110

7.27 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ= 1/50 e J = 400. . . . . . . 110

7.28 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ= 1/100 e J = 400. . . . . . 110

7.29 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ= 1/200 e J = 400. . . . . . 110

7.30 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS. . . 117

7.31 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS. . . 118

7.32 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS. . . 119

7.33 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS. . . 120

7.34 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS. . 121

7.35 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS. . 122

7.36 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS. . . 123

Lista de Tabelas xvi

7.37 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS. . . 124

7.38 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS. . . 125

7.39 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS. . . 126

7.40 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. 127

7.41 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. 128

7.42 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. 129

7.43 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. 130

7.44 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. 131

7.45 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. 132

7.46 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grande com

discretização em uma direção apenas- HDS. . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.1 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 136

8.2 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1. . . . . . . . . . . . . . 137

8.3 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.4 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10. . . . . . . . . . . . . . . 139

8.5 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1. . . . . . 140

8.6 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1. . . . . . 141

8.7 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1 com ξmax = 1. . . . . . . 142

8.8 Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10 com ξmax = 1. . . . . . . 143

8.9 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1. . . . . . . 144

8.10 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1. . . . . . . . 145

8.11 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 1 com ξmax = 1. . . . . . . . . 146

8.12 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 10 com ξmax = 1. . . . . . . . 147

A.1 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0.99, discretiza-

ção bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.2 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0, discretização

bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Lista de Tabelas xvii

A.3 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η= 0.99, discretização

bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.4 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0, discretização

bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

A.5 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1 em η = 0.99, discretiza-

ção bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A.6 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1, em η= 0, discretização

bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A.7 Temperaturas para Slug-Flow em com número de PeH grande, em η=0.99, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

A.8 Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0,

discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

A.9 Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η =0.99, discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

A.10 Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0,

discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A.11 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em

η= 0.99, discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A.12 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em

η= 0, discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

A.13 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0.99, dis-

cretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

A.14 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0, discre-

tização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A.15 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η = 0.99, dis-

cretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

A.16 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η= 0, discreti-

zação bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

B.1 Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 3. . . . . . 177

Lista de Tabelas xviii




Nomenclatura

A Área superficial

cp Calor especifico à pressão constante

cs Calor especifico da perede sólida

H Distância entre as paredes do canal

h Coeficiente de transferência de calor por convecção

I Número de volumes na direção axial

J Número de volumes na direção transversal

k Condutividade térmica

k0 Condutividade térmica de referência

L Dimensão caracteristica na direção x

m,m Massa e taxa de transferência de massa

p Pressão termodinâmica

P Perímetro do canal

x, y, z Coordenadas cartesianas

t Tempo

t f Tempo característico de referência

T Temperatura

Tm Temperatura média de mistura

u Velocidade escalar na direção de x

u Velocidade escalar na direção de y

u Velocidade escalar na direção de z

u Velocidade escalar média na direção x

V Volume

W Largura do canal

xix

Nomenclatura xx

Vetores e tensores

n Vetor normal

q′′ Fluxo de calor por difusão

v Velocidade

Parâmetros Adimensionais

Bi Número de Biot

Cr Taxa de de capacidade térmica da matriz

C taxa de capacidade térmica do fluido

Fo Número de Fourier

K Fração de área entre a parede sólida e o canal

Ntu Número de unidades de transferência

Nu Número de Nusselt

Pe Número de Péclet

R∗ Razão entre resistências térmicas de condução transversal

Símbolos Gregos

α Difusividade térmica

δ Espessura da parede sólida

εm Efetividade para transferência de massa

εi Efetividade para transferência de entalpia ou energia

η coordenada transversal adimensional

Θ temperatura adimensional

Θi Temperatura adimensional discretizada

µ Viscosidade dinâmica

ν Viscosidade cinemática

ξ coordenada longitudinal adimensional

ξmax Comprimento adimensional máximo do canal

Nomenclatura xxi

τ tempo adimensional

Φ Função arbitrária

φ Função arbitrária

Subscritos

H Grandeza baseada no espaçamento entre as paredes do canal

i n Refere-se a grandeza na entrada do canal

m Refere-se à grandeza média

out Refere-se a grandeza na saída do canal

s Refere-se a superfície sólida

0 Propriedade de referencia

∗ Quantidade adimensional

Capítulo 1

Introdução

O estudo da transferência de calor por convecção forçada em dutos e canais tem uma

série de importantes aplicações em engenharia. Provavelmente a mais importante des-

tas aplicações está relacionada ao projeto de trocadores de calor.

Diferentes tipos de trocadores de calor são utilizados de acordo com o tipo de

aplicação requerida, podendo haver uma grande variedade de opções. No entanto, as

aplicações práticas deste trabalho servirão principalmente para trocadores de contato

indireto onde não há mistura entre as correntes, com destaque para os utilizados com

a finalidade de recuperação de energia. Mesmo neste grupo restrito, ainda resta uma

variedade significativa de trocadores de calor. De uma forma geral, estes podem ser

divididos, de acordo com forma que o calor é trocado, em recuperadores e regenera-

dores [1].

Devido à importância de trocadores de calor para indústria, diversos trabalhos so-

bre a formulação da transferência de calor em trocadores são encontrados na literatura.

Estudos antigos como [2–4] podem ser encontrados. Em especial, o trabalho de Chase

Jr. et al. [5] apresenta uma metodologia analítica simplificada para o cálculo de Nus-

selt em canais de regeneradores. Alguns estudos um pouco mais recentes são também

encontrados na literatura. Monte [6] estudou a resposta térmica cíclica de trocado-

res regenerativos de matrizes fixas em escoamento contra-corrente. Saastamoinen [7]

estudou a transferência de calor em regeneradores estacionários de correntes cruza-

1

1. Introdução 2

das. Scofano-Neto e Cotta [8] utilizaram a técnica das equações integrais acopladas

para desenvolver uma formulação para trocadores de calor duplo tubo. Shen e Wo-

rek [9] estudaram o efeito da condução axial na matriz de regeneradores, propondo

em seguida, uma correlação trocadores regenerativos que levasse em consideração a

condução axial [10]. Em [11], os mesmos autores fizeram uma otimização de regene-

radores acordo com a segunda lei da termodinâmica, incluindo os efeitos de condução

na matriz.

1.1 Aplicações de trocadores de calor recuperativos e

regenerativos

O drástico aumento dos preços da energia tornou a recuperação de calor mais atrativa

ao longo das últimas décadas. Os processos industriais são grandes consumidores

de energia e boa parte desta energia é desperdiçada nos gases de exaustão (gases de

combustão) à alta temperatura, na forma de calor. A recuperação do calor através

de trocadores de calor pode aumentar a eficiência da planta como um todo e serve

para reduzir a demanda nacional de energia e preservar as reservas de combustíveis

fósseis [12].

Várias aplicações para recuperação de calor podem ser citadas, tais como: a pro-

dução de vidro e cimento, a metalurgia primária e secundária, o processamento de pe-

tróleo, desumidificadores para aplicações em ar condicionado, processos de separação

criogênica, e em reatores químicos não catalíticos, processo de produção de acetileno

e etileno, motores de turbinas a gás veiculares para transporte primários ( locomotivas,

navios, aviões a turboélice), geração de vapor, etc.

Atualmente, o interesse nos regeneradores do tipo armazenador tem sido renovado

devido às suas aplicações em recuperação de calor, armazenamento de calor e proble-

mas relacionados a energia geral.

O objetivo desta seção é mostrar os vários tipos de regeneradores, os detalhes cons-

trutivos, o projeto térmico e mecânico. Além disso, alguns mecanismos para recupera-

ção de calor industrial e recuperação de calor residual são discutidos.

1. Introdução 3

• Princípio de regeneração

Por muitos anos, o princípio de regeneração tem sido aplicado para a recuperação

de energia, utilizando pré-aquecedores de ar em alto-fornos e geração de vapor.

A regeneração é alcançada forçando a passagem periódica e alternada de uma

corrente quente e uma corrente fria através de uma matriz. Durante o período

de escoamento da corrente quente, a matriz recebe energia dos gases quentes e

durante o escoamento da corrente fria, a matriz transfere a energia para os gases

frios, aquecendo-os. O fluxo das duas correntes pode ser paralelo ou contra

corrente, entretanto, o fluxo contra corrente é preferido por sua maior efetividade

térmica.

• Regeneração em ciclos termodinâmicos

A inclusão de um pré-aquecedor de ar em uma planta de geração de energia a

vapor aumenta a eficiência e o desempenho da planta. Regeneradores são usados

como desumidificadores para aplicações em ar condicionado, processos de se-

paração criogênica, e em reatores químicos não catalíticos, tais como o processo

Wisconsin para a fixação de nitrogênio e processos de pirólise de hidrocarbone-

tos na produção de acetileno e etileno.

• Ciclo de turbina a gás com regeneração

Uma das áreas importantes na aplicação de regeneradores é em motores de tur-

binas a gás veiculares. Em 1950, iniciou-se uma intensa pesquisa sobre plantas

de geração de energia com turbinas a gás, que incluía regeneradores rotativos.

Regeneradores tipo cilindro e disco foram desenvolvidos pela General Motors

e outros fabricantes de motores de turbinas a gás. O programa de desenvolvi-

mento destas máquinas trouxe significativos avanços em vários sentidos para a

tecnologia de regeneradores, tais como melhoria dos modelos, das superfícies de

transferência de calor da matriz, do projeto das selagens e dos materiais empre-

gados.

Uma planta simples de turbina a gás consiste apenas de um compressor e uma

1. Introdução 4

câmara de combustão, e a turbina têm a vantagem de ser mais leve e compacta.

Entretanto, é conhecida pelo alto consumo específico de combustível, quando

comparada com as modernas plantas de geração a vapor e motores de combus-

tão interna. A única melhoria na planta de turbina a gás, que dá um excelente

incremento na eficiência térmica da planta, é a adição de um regenerador para

transferir a energia térmica dos gases quentes exaustos da turbina para o ar admi-

tido no compressor, especialmente quando é empregado um conjunto de resfria-

dores intermediários durante a compressão. Esta melhoria resulta em um plano

de economia que é altamente desejável para alguns tipos de transporte primário,

tais como as locomotivas de turbinas a gás, navios com turbina a gás e os aviões

a turboélice.

• Aplicações em recuperação de calor residual

Substanciais ganhos na eficiência do combustível podem ser obtidos por recupe-

ração de calor contido nos gases de combustão, por estes três meios: processo

de aquecimento da carga (matéria-prima) , geração de vapor e preaquecimento

do ar para combustão.

O preaquecimento da carga é freqüentemente mais apropriado para fornos com

escoamento continuo contra-corrente. Aplicações para este método são freqüen-

temente limitados pelo grande espaço requerido e pelo alto custo de investi-

mento.

A geração de vapor é um meio efetivo de recuperação de calor quando a demanda

por vapor equivale à disponibilidade dos gases de combustão. Um método típico

de geração de vapor inclui um ciclo simples de recirculação forcada e recupera-

ção do calor dos gases exaustos com um economizador, conjugado ou não com

um superaquecedor.

O preaquecimento do ar para a combustão é o mais adaptável para sistemas de

recuperação de calor, porque requer modificações mínimas no sistema existente.

Este método aumenta a eficiência do sistema, e os preaquecedores do ar frio para

1. Introdução 5

a combustão reduzem a quantidade de combustível requerido.

Na figura 1.1 a economia teórica de combustível, devido ao preaquecimento do

ar para a combustão, é exibida em função de três parâmetros: temperatura dos

gases exaustos (gases da combustão), temperatura do ar preaquecido para com-

bustão e efetividade do preaquecedor.

Fig. 1.1: Economia de combustível devido ao preaquecimento do ar para a combustão.

1.2 Trocadores de calor recuperativos

O Recuperador é um tipo de trocador de calor de transferência direta onde os dois

fluidos são separados por uma parede condutora, através da qual é feita a transferência

de calor. Os fluidos escoam simultaneamente e permanecem separados. O recuperador

não tem partes móveis. Alguns exemplos de recuperadores de calor são os tubulares,

mostrados na figura 1.2, os de placas finas, e trocadores de superfície estendida [13].

Recuperadores de calor são usados quando os gases são limpos e não contaminados.

Os recuperadores têm algumas vantagens, tais como:

1. São de fácil construção.

1. Introdução 6

Fig. 1.2: Trocador recuperativo tipo duplo tubo. (a) Passse simples com escoamentoem contra corrente; e (b) passe multiplo com escoamento em contra corrente.

2. São de natureza estacionária.

3. Tem distribuição de temperatura uniforme e, portanto menor choque térmico.

4. Ausência de problemas de selagem.

Entretanto, seu uso é limitado pela resistência dos materiais à alta temperatura,

devido a radiação dos gases de combustão. Além disso, recuperadores são sujeitos

a degradação no desempenho de recuperação de calor pela sujeira proveniente dos

voláteis e resíduos (pó) gerados na combustão dos gases.

1.3 Trocadores de calor regenerativos

O regenerador consiste em uma matriz, através da qual a corrente quente e a cor-

rente fria escoam periódica e alternadamente. Primeiro o fluido quente cede calor para

o regenerador. Depois, o fluido frio escoa pela matriz através da mesma passagem,

recebendo o calor armazenado. Desta maneira, pela reversão regular, a matriz é alter-

nadamente exposta às correntes quente e fria, e as temperaturas do conjunto e do gás

1. Introdução 7

oscilam com o tempo, na mesma posição. Do ponto de vista da modelagem de transfe-

rência de calor, recuperadores podem ser tratados como estando operando em regime

permanente. Já em regeneradores, por mais que as correntes de processo que passam

pelo mesmo estejam trocando calor em regime permanente, localmente, o regime de

transferência de calor em um regenerador é transiente e periódico, visto que uma cor-

rente passa o calor para a matriz que em seguida passa o calor para a outra corrente na

segunda parte do ciclo.

1.3.1 Tipos de trocadores regenerativos

Visto que a matriz é alternadamente aquecida pelo fluido quente e resfriada pelo fluido

frio, a matriz deve permanecer estacionária e os gases podem passar através dela al-

ternadamente, ou a matriz deve girar entre as passagens dos gases quentes e dos gases

frios. Os regenerados podem ser classificados de acordo com esta condição em dois

tipos: Regenerador de Matriz Fixa ou Regenerador Rotativo.

1.3.1.1 Regenerador de matriz fixa

O regenerador de matriz fixa, ou tipo armazenador, é um mecanismo de transferência

de calor com escoamento periódico, com matriz de alta capacidade térmica, através

da qual a corrente de fluido quente e a corrente de fluido frio passam alternadamente.

Para alcançar o escoamento contínuo são necessárias pelo menos duas matrizes, como

mostrado na figura 1.3. O escoamento através das matrizes é controlado por vávulas.

De acordo com o número de matrizes empregadas o regenerador é classificado como

matriz simples ou matriz de válvula dupla. Inicialmente, enquanto a matriz A é aque-

cida pelo fluido quente a matriz B é resfriada pelo fluido frio. Depois de um intervalo

de tempo, as válvulas são operadas de forma a inverter o escoamento, então o fluido

quente escoa pela matriz B transferindo calor para a mesma, enquanto o fluido frio

escoa pela matriz A e é aquecido. A inversão do processo continua periodicamente.

Alguns exemplos de aplicações de trocadores de calor recuperativos são os preaquece-

dores de ar para combustível de auto-fornos, fornos para a indústria de vidro e fornos

1. Introdução 8

de núcleo aberto.

Fluido Quente

Fluido Quente

Fluido Frio

Matriz

Fluido Frio

TQ2

TF1 TQ1

TF2

TF1 e TF2 Temperatura do Fluido Frio, na entrada e na saída TQ1 e TQ2 Temperatura do Fluido Quente, na entrada e na saída

Fig. 1.3: Regenerador tipo válvula dupla.

Abaixo são descritas algumas vantagens dos regeneradores de matriz fixa:

1. Os materiais empregados na matriz não tem expansão térmica, portanto a tensão

térmica é baixa.

2. Este tipo de regenerador é facilmente montado, então os materiais da matriz

podem ser removidos para a limpeza e remontados.

3. Diferentemente dos recuperadores, a sujeira não reduz a capacidade de troca

térmica do regenerador, apenas aumenta a resistência ao escoamento (perda de

carga).

4. Ausência de problemas de selagem.

A maior desvantagem dos regeneradores de matriz fixa é a complexidade e os cus-

tos associados com dispositivo de inversão do processo.

1. Introdução 9

1.3.1.2 Regenerador rotativo

O regenerador rotativo consiste em uma matriz rotativa, através da qual as correntes

de fluido quente e frio escoam continuamente, como mostrado na figura 1.4. O re-

generador rotativo é também chamado de trocador de calor de escoamento periódico,

visto que uma parte da matriz, por causa da rotação continua é sempre exposta ao

escoamento regular e contínuo das correntes de fluido quente e frio. O principio da

regeneração rotativa é alcançado por dois meios: o escoamento através da matriz é

revertido periodicamente pela rotação da mesma, ou a matriz é mantida estacionária

enquanto os dutos são girados continuamente.

Os regeneradores rotativos de escoamento periódico são caracterizados pelos se-

guintes fatores:

1. São mais compactos.

2. Os poros da matriz promovem uma longa e tortuosa passagem e portanto uma

grande área de contato durante o escoamento dos fluidos.

3. Não há uma separação do escoamento com tubos ou placas, mas um sistema de

selagem para e evitar a mistura das correntes, devido ao diferencial de pressão.

4. A presença de partes móveis, em vez da abertura e fechamento das válvulas

existentes nos regeneradores de matriz fixa.

5. Pode ser obtida alta efetividade, desde que a matriz possa ser aquecida a uma

temperatura próxima da temperatura dos gases de combustão.

6. Para alcançar uma efetividade muito alta, a capacidade térmica da matriz deve

ser grande, comparada à dos fluidos de trabalho. Este requisito restringe o uso

de regeneradores exclusivamente a aplicações gasosas.

7. A selagem entre as correntes fria e quente são um problema. Vazamentos da

corrente fria a alta pressão para a corrente quente a baixa pressão podem ocorrer,

carreando parte do fluido de uma corrente para a outra. Todavia, o problema de

vazamento é menor em desumidificadores para aplicações em ar condicionado.

1. Introdução 10

Fig. 1.4: Aquecedor de ar regenerativo. Partes Principais: 1 Matriz estacionaria, 2Proteção rotativa.

8. Aplicação em altas temperaturas para serviços como turbinas a gás, fornos de

fusão e recuperação de calor em plantas de geração de energia a vapor.

9. Aplicações em médias pressões para turbinas a gás, e aplicações em baixas pres-

1. Introdução 11

sões para desumidificação e recuperação de calor residual.

10. Os regeneradores possuem características de auto-limpeza por causa do esco-

amento das correntes de gases quentes e frios em direções opostas periodica-

mente, através da mesma passagem.

11. Normalmente prevalece à condição de escoamento laminar, devido ao pequeno

diâmetro hidráulico.

Regeneradores rotativos são usados em turbinas a gás, fornos de processo em refi-

narias de petróleo e como desumidficadores em aplicações de ar condicionado.

Os dois tipos mais comuns de regeneradores rotativos são o tipo cilindro e o tipo

disco, como mostrado na figura 1.5. O regenerador com matriz tipo disco consiste de

placas metálicas finas, alternadas entre corrugadas e planas, montadas em torno de um

cubo central, ou de material cerâmico prensado em forma de disco. Em circunstân-

cias ideais sem má distribuição, o projeto com disco único é favorecido pelo menor

comprimento da selagem e menor vazamento pela selagem. O regenerador com matriz

tipo cilindro consiste de um material condutor de calor montado na forma de cilindro

oco. Os gases escoam radialmente através do cilindro. Os custos para a fabricação do

regenerador tipo cilindro são muito maiores, comparados ao regenerador tipo disco,

portanto o regenerador tipo cilindro não é utilizado em muitas aplicações.

A Figura 1.6 ilustra esquematicamente um trocador regenerativo. O rotor (ou ma-

triz rotativa) é ciclicamente exposto a duas correntes de processo. Estas correntes

chegam ao regenerador, separadas, através de dois dutos, portanto, dividindo o rege-

nerador em duas seções: uma para a corrente de processo I e a outra para a corrente

II. A matriz é composta por inúmeros mini-canais, paralelos ao eixo de rotação. Desta

forma, uma fração dos canais está exposta à corrente I enquanto a outra é exposta à cor-

rente II. Dependendo da corrente que chega a um canal em um determinado instante,

ele é dito estar no período de operação I ou II. Como a matriz gira constantemente,

a posição de cada canal na roda varia fazendo com que este seja alternado entre os

períodos I e II. Independente do período de operação do fluido no canal, o mesmo é

1. Introdução 12

Fluido Frio

Fluido Quente

Saída gás Resfriado

Fluxo Axial Fluxo Radial

Entrada gás Frio

Entrada gás Quente

Saída gás Aquecido

Saída gás Aquecido

Entrada gás

Quente

Saída gás Frio

Entrada gás Frio

Matriz estacionaria

Proteção Rotativa

Matriz Rotativa

Fig. 1.5: Regenerador rotativo. (a) Tipo disco e cilindro; (b) Arranjo ilustrativo damatriz e (c) duas formas alternativas de regenerador rotativo tipo disco.

simplesmente referenciado como corrente de processo.

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seção I��

seção II��*

Fig. 1.6: Regenerador Rotativo.

1. Introdução 13

Para simplificar a análise, a modelagem matemática do problema é feita conside-

rando o transporte de calor (e massa, no caso mais geral) em único canal, o qual é

alternado entre as correntes de processo I e II. Desta forma o canal pode ser analisado

de forma estacionária, desde que um sistema de coordenadas apropriado, fixo a um

canal representativo seja escolhido. O fluido de processo é ar úmido, ou seja, uma

mistura de ar e vapor d’água. As paredes de cada canal (parede sólida, na figura 2.1)

podem ser compostas por diferentes materiais, dependendo do tipo de trocador. No

caso de trocadores de calor sensível, materiais metálicos e ou cerâmicos são comu-

mente utilizados.

-6

x

y

parede sólida

corrente de processo

parede sóliday = H/2

y = H/2+δ

Fig. 1.7: Mini-canal de regeneradores.

1.3.1.3 Trocadores regenerativos com troca de calor latente

Um caso especial de trocadores regenerativos é o de dispositivos capazes de proporci-

onar troca de calor sensível e latente entre duas correntes de processo. Estes trocadores

são denominados regeneradores de calor e massa, e tem se mostrado importantes em

diversas aplicações industriais envolvendo desumidificação e recuperação de energia.

A capacidade de trocar calor latente (associado à transferência de vapor d’água), é re-

sultado da utilização de materiais higroscópicos (adsorventes com alta afinidade com

vapor d’água) na construção destes trocadores, que são comumente encontrados na

forma de rodas entálpicas (possuindo alta velocidade de rotação e baixa quantidade

de material adsorvente), ou rodas dessecantes (com baixa velocidade de rotação e alta

quantidade de adsorvente). Para projetar estes regeneradores de maneira eficiente, é

1. Introdução 14

necessário ter-se um bom entendimento da transferência de calor e massa acoplada

que ocorre durante a operação destes dispositivos.

Os mecanismos de transporte presentes em regeneradores de calor e massa, são

complexos, envolvem transferência calor e massa acoplada e adsorção física. Portanto,

vários estudos relacionados à simulação da transferência de calor e massa foram re-

alizados. Entre aplicações de regeneradores na forma de rodas entálpicas, devem-se

mencionar [14–17]. Tratando-se de rodas dessecantes, devem-se mencionar os estu-

dos [18–25]. Embora haja considerável pesquisa dedicada individualmente a rodas

dessecantes e rodas entálpicas, formulações unificadas válidas para ambos os tipos

de trocadores também foram propostas [26–34]. Apesar do número de formulações

propostas para o estudo da transferência de calor e massa, a grande maioria de estudos

baseia-se em modelos onde o escoamento através dos canais de regeneradores é tratado

de forma global (i.e. utilizando parâmetros concentrados) e coeficientes convectivos

(para transferência de calor e massa1) constantes.

1.4 Objetivo do trabalho

A grande maioria de formulações para trocadores de calor (regenerativos ou recupera-

tivos), sejam estes trocadores de calor sensível apenas ou trocadores de calor sensível

e latente, em geral, são baseadas em formulações globais, utilizando velocidades, tem-

peraturas e concentrações médias na seção transversal ao escoamento. Além disto, os

coeficientes convectivos utilizados são considerados constantes, o que só seria válido

em regiões onde o escoamento é completamente desenvolvido (momentum, tempera-

tura e concentração). Entretanto, existem diversas situações onde o escoamento não

pode ser tratado como completamente desenvolvido, e coeficientes convectivos cons-

tantes não podem ser utilizados.

Em fluidos com número de Prandtl altos (óleos por exemplo) a condição de de-

senvolvimento térmico é dificilmente atingida em trocadores [35]. Em gases, esta

1 onde naturalmente a transferência de massa (na forma de vapor d’água) só ocorre no caso de rege-neradores com materiais higroscópicos

1. Introdução 15

condição também não é atingida para baixos números de Reynolds. Desta forma, em

recuperadores, podem existir diversos casos onde coeficientes de transferência de calor

por convecção não devem ser considerados constantes.

Em regeneradores, os fluidos de processo são em geral gases, o que poderia per-

mitir a utilização de coeficientes convectivos constantes, de acordo com a observação

acima, para valores de Reynolds não tão baixos. Todavia, neste tipo de trocadores

considerações adicionais devem ser observadas, sendo estas:

1. Não há uma condição de transferência de calor (e/ou massa) uniforme da parede

dos canais para o escoamento;

2. Regeneradores operam em um regime semi-estácionário, ou seja, periódicos, de

tal forma que haverá sempre uma dependência temporal no problema.

Desta forma, mesmo em trocadores regenerativos operando com valores de Reynolds

não tão baixos, não se deve automaticamente, assumir que a condição de desenvolvi-

mento térmico está satisfeita.

Neste contexto, o objetivo principal deste trabalho é estudar o problema da con-

vecção forçada em canais sem considerar o escoamento termicamente desenvolvido e

considerando regimes transiente e permanente. Para tal, as equações de transporte para

escoamento em dutos necessitam ser resolvidas. A solução do problema será abordada

de maneira numérica utilizando o Método de Volumes Finitos. A fim de determinar

uma solução numérica mais adequada para o problema, grande parte do trabalho será

focada no desenvolvimento e avaliação de diferentes estratégias de soluções numéri-

cas, todas estas utilizando o MFV. Uma vez que diferentes soluções forem testadas,

o comportamento do coeficiente de transferência de calor por convecção adimensio-

nal (número de Nusselt) será avaliado para diferentes valores de Prandtl e Reynolds

(para simular a utilização de diferentes fluidos e escoamentos). Ainda, serão consi-

deradas soluções em regime permanente (tendo aplicações em recuperadores) e em

regime transiente (tendo aplicação em regeneradores). Todavia, como gases em geral

são utilizados em regeneradores, apenas os casos relativos a escoamentos com este tipo

de fluido (em geral com valores maiores de Péclet) são analisados.

1. Introdução 16

O desenvolvimento deste trabalho envolverá a produção de uma ferramenta capaz

de determinar a variação espacial e temporal do coeficiente de transferência de calor

por convecção em canais de trocadores de calor. Com esta será possível determinar se a

hipótese da utilização de coeficientes convectivos constantes é válida, e em que condi-

ções esta poderia ser considerada. Ainda, esta ferramenta possibilitará, indiretamente,

comparar o impacto da utilização de coeficientes convectivos variáveis e constantes

sobre os valores das efetividades de trocadores de calor.

Deve-se mencionar, que no início do desenvolvimento deste trabalho, um estudo

preliminar [36] que apenas considera a variação dos coeficientes convectivos adimen-

sionais (Nusselt e Sherwood) na região de entrada do escoamento nos canais de um

regenerador de calor e massa foi conduzido.2 Os resultados indicaram que a influência

dos comprimentos de entrada será relevante apenas para razões de aspecto fora do nor-

malmente encontrado em regeneradores rotativos. Todavia, este estudo não é capaz de

determinar se o escoamento é de fato termicamente desenvolvido (e conseqüentemente

se os coeficientes convectivos serão constantes) após a região de entrada, tornando ne-

cessários os desenvolvimentos posteriores feitos nesta dissertação.

2 Resultados deste estudo podem ser encontrados no apêndice B

Capítulo 2

Formulação do Problema

Neste capítulo são definidas as hipóteses para o escoamento em canais de trocadores de

calor e a modelagem matemática do problema a partir do balanço de energia e balanço

de momentum. Também neste capítulo, são estabelecidas as condições de contorno e

condição inicial para o problema.

2.1 Modelagem do transporte em canais de trocadores de calor

2.1.1 Equações de balanço

Para a modelagem do problema de escoamento em canais de trocadores de calor, foram

consideradas as hipóteses a seguir:

• O fluido de processo é newtoniano e o escoamento é laminar e incompressível;

• Não há geração de energia ou aquecimento por dissipação viscosa durante o

processo;

• Não há mudança de fase do fluido de processo;

• A transferência de calor por radiação é desprezada;

• A variação de temperatura é tal que variações das propriedades termo-físicas do

17

2. Formulação do Problema 18

fluido são pequenas. Desta foma, as propriedades termo-físicas serão considera-

das constantes;

• Os fluidos considerados são gases ideais ou líquidos, com propriedades termofí-

sicas constantes;

• O escoamento é hidrodinamicamente desenvolvido

2.1.1.1 Balanço de energia

O balanço de energia, desprezando efeitos da compressibilidade, dissipação viscosa, e

geração de energia é dado por:

ρ cp

(∂T

∂t+ v·∇T

)+ ∇·q′′ = 0 (2.1)

onde v = (u,v ,w).

O fluxo de calor é obtido a partir da Lei de Fourier:

q′′ = −k ∇T (2.2)

onde k é a condutividade térmica do fluido. Substituindo, a equação da energia é

escrita na forma:

ρ cp

(∂T

∂t+ v·∇T

)= ∇·(k ∇T ) (2.3)

2.1.1.2 Balanço de momentum linear

O balanço de momentum linear é dado pelas equações de Navier-Stokes (escritas na

forma vetorial), considerando o escoamento incompressível e com viscosidade dinâ-

mica constante:

ρ

(∂v

∂t+ v·∇v

)= −∇p + µ∇2v (2.4)


2.1.1.3 Simplificação para desenvolvimento hidrodinâmico

Como o problema envolve o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido em um

duto cilíndrico (de área transversal constante), a velocidade v só tem componente na

direção axial (u), e a equação de momentum é simplificada, fornecendo:

dp

dx= µ∇2u, (2.5)

e as demais equações de conservação são simplificadas para:

∂u

∂x= 0, (2.6)

ρ cp

(∂T

∂t+ u

∂T

∂x

)= ∇·(k ∇T ) (2.7)

2.1.2 Equações para escoamento em canais de placas paralelas

A figura (2.1) ilustra um mini-canal genérico de um trocador de calor, considerando as

hipóteses apresentadas anteriormente, onde o escoamento é simplificado para canais

de placas paralelas. O canal ilustrado na figura é simétrico.

-6

x

y

parede sólida

corrente de processo

parede sóliday = H/2

y = H/2+δ

Fig. 2.1: Mini-canal de regeneradores.

As equações de balanço para o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido em


coordenadas cartesianas são escritas na forma abaixo:

dp

dx= µ

(∂2u

∂y2+ ∂2u

∂z2

), (2.8)

ρcp

(∂T

∂t+ u

∂T

∂x

)= ∂

∂x

(k∂T

∂x

)+ ∂

∂y

(k∂T

∂y

)+ ∂

∂z

(k∂T

∂z

)(2.9)

Em canais de placas paralelas, não há dependência em z:

dp

dx= µ

d2u

dy2, (2.10)

ρcp

(∂T

∂t+ u

∂T

∂x

)= ∂

∂x

(k∂T

∂x

)+ ∂

∂y

(k∂T

∂y

)(2.11)

Considerando a condutividade térmica do fluido constante, a equação (2.11) pode

ser simplificada para:∂T

∂t+ u

∂T

∂x= α

(∂2T

∂x2+ ∂2T

∂y2

)(2.12)

Onde α é a difusividade térmica do fluido.

A solução para a equação de momentum (2.10) é a tradicional forma de Hagen-

Poiseuille, que resulta no perfil de velocidade parabólico [37]:

u

u= 3

2

(1−

( y

H/2

)2)

, (2.13)

onde a velocidade média na seção transversal é dada por:

u = 1

Ax

∫Ax

u dA = 2

H

∫ H/2

0u dy (2.14)

2.2 Coeficiente convectivo e temperatura de mistura

O fluxo de calor convectivo na interface entre o fluido e a parede dos canais1 é escrito

em função da Lei de Resfriamento de Newton:

q ′′s→ f = h(Ts −Tm) = − q ′′

f →s (2.15)

1 a seta indica o sentido do fluxo de calor, sendo portanto q ′′s→ f o fluxo da parede sólida para o fluido.


onde Ts é a temperatura na parede, Tm a temperatura média de mistrura e h o coefici-

ente de transferência de calor por convecção, dado por:

h =

(k ∂T∂y

)y= H

2

Ts −Tm(2.16)

A temperatura média de mistura para um escoamento incompressível entre placas

planas paralelas é dada por:

Tm = 1

u Ax

∫Ax

T u dA = 2

u H

∫ H/2

0T u dy (2.17)

O número de Nusselt (baseado no diâmetro hidráulico), sendo uma forma adimen-

sional comumente utilizada para o coeficiente de transferência de calor por convecção,

é definido como:

Nu = 2 H h

k(2.18)

onde 2 H é o diâmetro hidráulico para canais de placas paralelas.

2.3 Condições de contorno

2.3.1 Condição de contorno na parede sólida

Existem três possibilidades para esta condição de contorno, descritas a seguir.

2.3.1.1 Temperatura da parede constante

A temperatura na parede sólida T0 é conhecida e considerada constante para este caso.

T (x, H/2, t ) = T0 (2.19)


2.3.1.2 Fluxo de calor constante

O fluxo de calor fornecido para o fluido pelas paredes solidas , q ′′0 é conhecido e cons-

tante ao longo do canal. (k∂T

∂y

)y=H/2

= q ′′0 (2.20)

2.3.1.3 Armazenamento de energia na parede sólida

Esta condição de contorno será relevantes para trocadores de calor regenerativos. Nesta,

o fluxo de calor q ′′f →s deve ser determinado de uma balanço de energia na parede só-

lida. (k∂T

∂y

)y=H/2

= −q ′′f →s (2.21)

Balanço de energia na parede sólida

O balanço de energia na parede sólida é feito em um volume infinitesimal, onde a taxa

de calor que entra, menos a taxa de calor que sai, equivale à taxa de variação da energia

do volume considerado, resultando na equação abaixo:

Ax(q ′′x − q ′′

x+dx) + dAs(q ′′f →s) = ρs cs

∂Ts

∂tdV (2.22)

Utilizando uma Série de Taylor, tem-se:

(q ′′x − q ′′

x+dx) = −∂q ′′x

∂xdx + ·· · (2.23)

onde os termos de ordem superior foram desprezados.

Pela Lei de Fourier:

q ′′x = −ks

∂Ts

∂x(2.24)

Sabe-se também que:

dV = Ax dx = δW dx (2.25)

dAs = Px dx = 2W dx (2.26)


onde W é a largura do canal, Px é o perímetro do canal e δ é a espessura da parede do

canal.

Substituindo na equação (2.22), obtém-se a equação da energia para a temperatura

constante na parede:

ρs cs∂Ts

∂t= ks

∂2Ts

∂x2+ 2

δ(q ′′

f →s) (2.27)

Introduzindo a difusividade térmica da parede sólida:

αs = ks

ρs cs(2.28)

Obtém-se:1

αs

∂Ts

∂t= ∂2Ts

∂x2+ 2

δks(q ′′

f →s) (2.29)

Condição de contorno resultante

Pela equação (2.29), o fluxo de calor q ′′f →s é dado por:

q ′′f →s = δks

2

(1

αs

∂Ts

∂t− ∂2Ts

∂x2

)(2.30)

desta forma (k∂T

∂y

)y=H/2

= −δks

2

(1

αs

∂Ts

∂t− ∂2Ts

∂x2

)(2.31)

Reconhecendo que a temperatura do fluido na parede (em y = H/2) tem que ser

igual à temperatura do sólido, tem-se:

k∂T

∂y= δks

2

(∂2T

∂x2− 1

αs

∂T

∂t

)(2.32)

Lembrando que as equações acima são válidas para y = H/2.


2.3.2 Condição de contorno na entrada do canal

Na entrada do canal a condição de contorno é dada pela temperatura de entrada (Ti n):

T (0, y, t ) = Ti n (2.33)

2.3.3 Condição de contorno no centro do canal

Devido a condição de simetria, a derivada da temperatura no centro do canal é nula.

(k∂T

∂y

)y=0

= 0 (2.34)

2.3.4 Condição de contorno na saída do canal

Assumindo que a condição de desenvolvimento térmico é atingida em uma posição

longe da entrada do canal, tem-se:

∂

∂x

(T − Ts

Tm − Ts

)= 0, x > xeT , (2.35)

onde xeT é o comprimento de entrada térmica, e Ts é a temperatura da parede, dada

por:

Ts = T (x, H/2, t ) (2.36)

Para a saída do canal, considerando a condição de desenvolvimento térmico, serão

consideradas três possibilidades para as condições de contorno, as quais dependem da

condição de aquecimento na parede dos canais (em y = H/2).

Para obter a condição de contorno na saída do canal, faz-se um balanço de energia

em regime permanente, para depois estender a análise para o regime transiente:

−q ′′f →s Px dx = ρ cp u Ax dTm (2.37)

Sabe-se que:

Ax = H W (2.38)


Px = 2W (2.39)

Substituindo-se na equação (2.37), tem-se:

ρ cp u H W dTm = −q ′′f →s 2W dx (2.40)

Rearrumando:dTm

dx= −

2 q ′′f →s

ρ cp u H(2.41)

Introduzindo a difusividade térmica do fluido:

α = k

ρ cp(2.42)

Obtém-se a equação:dTm

dx= −

2α q ′′f →s

k u H(2.43)

2.3.4.1 Temperatura constante na parede do canal

Para a temperatura constante na parede do canal, tem-se:

Ts = T0 (2.44)

Considerando a condição de desenvolvimento térmico:

∂

∂x

(T − T0

Tm − T0

)= 0, para x > xeT (2.45)

resultando em:

∂T

∂x

(1

Tm − T0

)−

(T − T0

(Tm − T0)2

)dTm

dx= 0, para x > xeT (2.46)

Desta forma, para a região termicamente desenvolvida, tem-se:

∂T

∂x=

(T − T0

Tm − T0

)dTm

dx, para x > xeT (2.47)


Para temperatura constante na parede, o fluxo de calor na parede é dado por:

q ′′f →s = h (Tm − T0) (2.48)

Substituindo na equação (2.43), tem-se:

dTm

dx= − 2αh

k u H(Tm − T0), (2.49)

Substituindo na equação (2.47), obtem-se a condição de contorno na saída, para o caso

com temperatura constante na parede do canal:

∂T

∂x= − 2αh

k u H(T − T0), para x > xeT (2.50)

A solução para a equação (2.49) fornece uma exponencial negativa:

Tm(x)−T0 = (Ti n −T0)exp

(−2α h0−x

k u Hx

)(2.51)

onde h0−x é o coeficiente de transferência de calor médio da entrada até uma posição

x qualquer. Como h0−x é constante na região termicamente desenvolvida, fica claro

que, em regime permanente, Tm → T0 para x →∞. Em regime transiente, como ini-

cialmente o fluido encontra-se à mesma temperatura da parede, a condição Tm → T0

ocorrerá para valores de x menores que o limite considerado. Em outras palavras, se

for considerado que Tm ≈ T0 para um valor grande de x, o caso mais crítico para esta

aproximação é o regime permanente.

Considerando a aproximação anterior Tm ≈ T0, a condição na parede pode ser sim-

plificada para:∂T

∂x≈ 0, para x > xeT (2.52)

onde o valor para a aproximação será exato para x À xeT , ou seja:

∂T

∂x= 0, para x →∞ (2.53)


2.3.4.2 Fluxo de calor constante na parede do canal

Para o fluxo de calor constante na parede do canal (para região termicamente desen-

volvida), tem-se:

Tm −Ts = cte, para x > xeT (2.54)

o que implica em:dTm

dx= dTs

dx, para x > xeT (2.55)

∂

∂x

(T − Ts

Tm − Ts

)=

(∂T

∂x− ∂Ts

∂x

)1

Tm − Ts= 0 (2.56)

resultando em:∂T

∂x= dTs

dx(2.57)

Sabe-se que o fluxo de calor na interface do canal é dado por:

−q ′′f →s = q ′′

s→ f = q ′′0 (2.58)

Substituindo na equação de balanço de energia para o fluido (2.43), tem-se:

dTm

dx= 2α q ′′

0

k u H, (2.59)

obtém-se a condição de contorno na saída, para o fluxo de calor constante na parede

do canal:∂T

∂x= dTs

dx= 2α q ′′

0

k u H= cte, para x > xeT (2.60)

2.3.4.3 Armazenamento de energia na parede sólida

Para a condição de armazenamento de calor na parede sólida, a condição de saída se

assemelha à condição utilizada para o caso com temperatura constante na parede, con-

tudo, como a temperatura da parede também varia com o escoamento, se aproximando

da temperatura do fluido à medida que x cresce, a consideração de uma derivada axial

nula é mais adequada que no caso com temperatura constante na parede. Todavia, para


este caso, não existirá uma condição de desenvolvimento térmico, como nos casos tra-

dicionais de fluxo e temperatura constante. Apesar disto, pode-se considerar, para um

valor razoavelmente grande de x, que a derivada axial é desprezível. Ou seja:

(∂T

∂x

)xÀ0

≈ 0, (2.61)

A aproximação anterior torna-se exata para o caso assintótico:

(∂T

∂x

)x→∞

= 0, (2.62)

2.3.5 Condição inicial

A temperatura inicial é conhecida e constante:

T (x, y,0) = T0 (2.63)

Capítulo 3

Adimensionalização

Neste capítulo é feita a adimensionalização das equações obtidas no capítulo anterior,

a fim de facilitar a solução numérica e a analise do problema. Também são adimensi-

onalizadas as condições de contorno e condição inicial. Para isto, previamente, serão

definidos os parâmetros adimensionais e as variáveis dependentes e independentes uti-

lizadas na adimensionalização das equações.

3.1 Parâmetros adimensionais

O número de Nusselt, baseado no espaçamento entre as placas, é definido em termos

do coeficiente de transferência de calor por convecção (h), e da condutividade térmica

do fluido:

NuH = h H

k, (3.1)

O número de Fourier é definido em termos da espessura da principal direção de

condução de calor (H/2), do tempo final (t f ) e da difusividade térmica do fluido (α):

Fo = α t f

(H/2)2(3.2)

O número de Péclet baseado no espaçamento H , é definido em termos da veloci-

29

3. Adimensionalização 30

dade média (u) e da difusividade térmica do fluido:

PeH = u H

α(3.3)

O número de Fourier para a parede sólida é similar ao do fluido, porém a espessura

e a difusividade térmica consideradas são as do sólido:

Fos = αs t f

(δ/2)2(3.4)

e o número de Biot é definido em termos do coeficiente de transferência de calor por

convecção, e da espessura e condutividade térmica da parede sólida:

Bi = h (δ/2)

ks(3.5)

A fração de área transversal entre a parede sólida e o canal (área de escoamento) é

dada por:

K = δ

H(3.6)

e a razão entre as resistências térmicas de condução na direção transversal é definida

como:

R∗ = k (δ/2)

ks (H/2)= 2

Bi

NuH(3.7)

3.2 Variáveis adimensionais

As variáveis independentes são as dimensões nos eixos longitudinal e transversal e o

tempo:

η = y

H/2, ξ = x

L, τ = t

t f(3.8)

onde L é escrito em termos do número de Péclet baseado no espaçamento entre as

placas:

L = H

2PeH , (3.9)


Desta forma as seguintes relações podem ser escritas:

y = ηH

2, x = ξL, t = τ t f (3.10)

A única variável dependente é a temperatura do fluido, adimensionalizada por:

Θ = T − Tmin

Tmax − Tmin, (3.11)

Consequentemente, e a temperatura média de mistura, e as temperaturas inicial e de

entrada são adimensionalizadas por:

Θm = Tm − Tmin


Θ0 = T0 − Tmin


Θi n = Ti n − Tmin


Onde, naturalmente, se a temperatura mínima for T0 então Θ0 = 0, e se a temperatura

máxima for Ti n então Θi n = 1, e assim por diante.

Com a adimensionalização utilizada, as seguintes relações podem ser escritas:

T = [Θ (Tmax − Tmin)+Tmin], Tm = [Θm (Tmax − Tmin)+Tmin] (3.15)

Lembrando que Tmin e Tmax são constantes e que a temperatura média Tm foi definida

pela equação (2.17).

3.3 Adimensionalização das equações

Nesta seção as equações governantes, incluindo as condições de contorno são adimen-

sionalizadas.

3.3.1 Equação da energia para o fluido

Substituindo as variáveis dependentes na equação (2.12), tem-se:


∂Θ

∂t+ u

∂Θ

∂x= α

(∂2Θ

∂x2+ ∂2Θ

∂y2

)(3.16)

Em seguida, substituindo as variáveis independentes tem-se a equação de energia

adimensionalizada:

1

t f

∂Θ

∂τ+ u∗ u

1

L

∂Θ

∂ξ= α

L2

∂2Θ

∂ξ2+ α

(H/2)2

∂2Θ

∂η2(3.17)

onde a velocidade adimensional é dada por:

u∗ = u

u= 3

2

(1−η2) , (3.18)

Rearrumando, obtém-se:

(H/2)2

α t f

∂Θ

∂τ+ (H/2)2

L

u

αu∗ ∂Θ

∂ξ= (H/2)2

L2

∂2Θ

∂ξ2+ ∂2Θ

∂η2(3.19)

Finalmente, introduzindo a definição dos parâmetros adimensionais chega-se à

forma:

Fo−1 ∂Θ

∂τ+ 1

2u∗ ∂Θ

∂ξ= Pe−2

H∂2Θ

∂ξ2+ ∂2Θ

∂η2(3.20)

3.3.2 Condição de contorno na parede

Este seção descreve as diferentes possibilidades (de acordo com as diferentes condi-

ções de aquecimento) de condição de contorno na parede, isto é, na interface entre o

fluido e a parede dos canais, η= 1.

3.3.2.1 Temperatura constante na parede

Para esta condição de contorno tem-se:

Θ(ξ,1,τ) = Θ0 (3.21)


3.3.2.2 Armazenamento na parede

Substituindo as variaveis dependentes na equação (2.32), tem-se:

k∂Θ

∂y= δks

2

(∂2Θ

∂x2− 1

αs

∂Θ

∂t

)(3.22)

Em seguida, substituindo as variáveis independentes

k

(H/2)

∂Θ

∂η= δks

2

(1

L2

∂2Θ

∂ξ2− 1

αs t f

∂Θ

∂τ

)(3.23)

e rearrumando, tem-se:

k (δ/2)

ks (H/2)

∂Θ

∂η= (δ/2)2

L2

∂2Θ

∂ξ2− (δ/2)2

αs t f

∂Θ

∂τ(3.24)

Introduzindo os parâmetros adimensionais:

k (δ/2)

ks (H/2)

∂Θ

∂η= δ2

H 2Pe−2

H∂2Θ

∂ξ2− Fo−1

s∂Θ

∂τ(3.25)

chega-se a forma final da condição de contorno para o caso com armazenamento de

energia na parede sólida:

R∗ ∂Θ∂η

= K 2 Pe−2H∂2Θ

∂ξ2− Fo−1

s∂Θ

∂τ(3.26)

lembrando que esta condição de contorno é válida em η= 1. Neste ponto vale comen-

tar a equação anterior. Enquanto o segundo termo do lado direito desta representa o

armazenamento de energia na parede, o primeiro termo representa a condução axial

na parede. Note portanto que para casos com K 2 Pe−2H /R∗ ¿ 1 a condução na parede

poderia ser desprezada.


3.3.3 Condição de contorno na entrada do canal

Na entrada do canal, conforme já visto, a temperatura é conhecida, e a condição de

contorno adimensionalizada é dada por:

Θ(0,η,τ) = Θi n (3.27)

3.3.4 Condição de contorno no centro do canal

No centro do canal, devido à simetria, a seguinte derivada da temperatura é nula:

(∂Θ

∂η

)η=0

= 0 (3.28)

3.3.5 Condição de contorno na saída do canal

A condição de contorno na saída do canal dependerá da condição imposta na parede

(η= 1). Independente da condição na saída, uma forma generalizada é utilizada:

(∂Θ

∂ξ

)= Φ, para ξ> ξeT (3.29)

onde Φ=Φ(η,τ) pode assumir valores diferentes, dependendo da condição imposta na

parede. A seguir os valores de Φ são determinados para as diferentes possibilidades de

aquecimento na parede.

3.3.5.1 Temperatura constante na parede

Para a temperatura constante na parede, a condição de contorno na saída do canal é

dada pela equação (2.50):

∂T

∂x= − 2αh

k u∗ H(T − T0), para x > xe

Introduzindo as variáveis adimensionais na equação (2.50) e rearrumando, obtém-


se:

∆T∂Θ

∂ξ= −2Lαh (Θ−Θ0)

k u H∆T, para ξ> ξeT (3.30)

e como L é escrito em função do número de Péclet, tem-se

∂Θ

∂ξ= −2(H/2)PeH αh (Θ−Θ0)

k u H, para ξ> ξeT (3.31)

Introduzindo a definição dos número de Nusselt e número de Péclet, obtém-se:

∂Θ

∂ξ= −2NuH (Θ−Θ0), para ξ> ξeT (3.32)

Desta forma:

Φ = −2NuH (Θ−Θ0) (3.33)

Como para x →∞ a derivada axial tende a zero, de acordo com a equação (2.53),

pode-se escrever:∂Θ

∂ξ= 0, para ξ → ∞ (3.34)

ou seja,

Φ = 0, para ξ → ∞ (3.35)

3.3.5.2 Armazenamento de energia na parede

Para a condição de armazenamento de calor na parede, a condição de contorno na

saída do canal é dada pelas equações (2.61, 2.62). Adimensionalizando estas equações,

chega-se a:

(∂Θ

∂ξ

)ξ>ξeT

≈ 0,

(∂Θ

∂ξ

)ξ→∞

= 0, (3.36)

3.3.6 Condição Inicial

A condição inicial também é adimensionalizada, fornecendo:

Θ(ξ,η,0) = Θ0. (3.37)

Capítulo 4

Discretização por Volumes Finitos

A proposta deste trabalho é resolver as equações de transporte definidas anteriormente,

utilizando o método de volumes finitos. Para isso, neste capítulo é feita a discretização

bidirecional e unidirecional (transversal e axial) do problema, considerando os regimes

permanente e transiente. Inicialmente as equações são discretizadas para fornecer uma

equação genérica, válida para todos os volumes do canal. Em seguida, a equação é

particularizada para cada volume do canal, considerando suas respectivas condições de

contorno e condição inicial. As formas de aquecimento consideradas são a temperatura

constante e o armazenamento de energia na parede.

O sistema a ser resolvido na forma adimensional, é dado por:

• Equação de energia admensionalizada para o fluido (3.20):

Fo−1 ∂Θ

∂τ+ 1

2u∗ ∂Θ

∂ξ= Pe−2

H∂2Θ

∂ξ2+ ∂2Θ

∂η2

• Perfil de velocidade do fluido admensionalizado:

u∗ = 3

2

(1−η2) ,

• Bem como Condições de Contorno e Condições iniciais.

36

4. Discretização por Volumes Finitos 37

4.1 Discretização bidirecional

A discretização do problema é feita utilizando o método dos volumes finitos. Para

localização dos volumes na malha, será usado o sistema de coordenadas conforme

indicado na figura 4.1.

u

u

u

u

u

u

u

u

u

r rr

rP EW

N

S

ew

n

s

Fig. 4.1: Descrição de uma célula genérica bidimensional pelo metodo de volumesfinitos notação discretizada.

Onde:

• P - É o centro do volume analizado, sendo P = P(ξ,η).

• N (Norte) - É o centro do volume imediatamente acima do volume analizado;

• S (Sul) - É o centro do volume imediatamente abaixo do volume analizado;

• E (Leste) - É o centro do volume imediatamente a direita do volume analizado;

• W (Oeste) - É o centro do volume imediatamente a esquerda do volume anali-

zado;

4.1.1 Integração das equações

A equação (3.20) pode ser reescrita na forma conservativa:

Fo−1 ∂Θ

∂τ+ 1

2

∂

∂ξ

(u∗Θ

) = Pe−2H∂2Θ

∂ξ2+ ∂2Θ

∂η2(4.1)


Integrando no volume, tem-se:

∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

(Fo−1 ∂Θ

∂τ+ 1

2

∂

∂ξ

(u∗Θ

))dξdη =

∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

(Pe−2

H∂2Θ

∂ξ2+ ∂2Θ

∂η2

)dξdη (4.2)

Onde:

ηn = ηP + ∆η

2, ηs = ηP − ∆η

2, ξe = ξP + ∆ξ

2, ξw = ξP − ∆ξ

2(4.3)

4.1.2 Aproximação das integrais

Para aproximar os termos da equação (4.2) avaliados nas faces do volume central, as

seguintes aproximações de segunda ordem são utilizadas:

• Primeiro Termo da Equação

O primeiro termo da equação é escrito na forma:

∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

(Fo−1 ∂Θ

∂τ

)dξdη = Fo−1 d

dτ

[∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

Θdξdη

](4.4)

Utilizando uma aproximação de segunda ordem [38]:

∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

Θdξdη ≈ Θ∆η∆ξ (4.5)

A equação (4.4) é reescrita na forma:

∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

(Fo−1 ∂Θ

∂τ

)dξdη ≈ Fo−1 dΘP

dτ∆η∆ξ (4.6)

• Segundo Termo da Equação

O segundo termo da equação pode ser escrito como:

∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

(1

2

∂

∂ξ

(u∗Θ

))dξdη = 1

2

∫ ηn

ηs

(u∗Θ)∣∣∣ξe

ξw

dη =

= 1

2

∫ ηn

ηs

[(u∗Θ)

∣∣∣ξe

− (u∗Θ)∣∣∣ξw

]dη (4.7)


Onde:

(u∗Θ)∣∣ξe

= (u∗Θ)e , (u∗Θ)∣∣ξw

= (u∗Θ)w (4.8)

Utilizando uma aproximação de segunda ordem em η:

∫ ηn

ηs

[(u∗Θ)

∣∣ξe

− (u∗Θ)∣∣ξw

]dη ≈ [

(u∗Θ)e − (u∗Θ)w]∆η (4.9)


∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

(1

2

∂

∂ξ

(u∗Θ

))dξdη ≈ 1

2

[(u∗Θ)e − (u∗Θ)w

]∆η (4.10)

• Terceiro Termo da Equação

O terceiro termo da equação pode ser escrito como:

∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

Pe−2H

(∂2Θ

∂ξ2

)dξdη = Pe−2

H

∫ ηn

ηs

[∂Θ

∂ξ

]ξe

ξw

dη =

= Pe−2H

∫ ηn

ηs

[(∂Θ

∂ξ

)∣∣∣ξe

−(∂Θ

∂ξ

)∣∣∣ξw

]dη (4.11)

Onde: (∂Θ

∂ξ

)∣∣∣ξe

=(∂Θ

∂ξ

)e

,

(∂Θ

∂ξ

)∣∣∣ξw

=(∂Θ

∂ξ

)w

(4.12)

Utilizando uma aproximação de segunda ordem em η:

∫ ηn

ηs

[(∂Θ

∂ξ

)∣∣∣ξe

−(∂Θ

∂ξ

)∣∣∣ξw

]dη ≈

[(∂Θ

∂ξ

)e−

(∂Θ

∂ξ

)w

]∆η (4.13)


∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

Pe−2H

(∂2Θ

∂ξ2

)dξdη ≈ Pe−2

H ∆η

[(∂Θ

∂ξ

)e−

(∂Θ

∂ξ

)w

](4.14)

• Quarto Termo da Equação


O quarto termo da equação pode ser escrito como:

∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

(∂2Θ

∂η2

)dξdη =

∫ ξe

ξw

∫ ηn

ηs

(∂2Θ

∂η2

)dηdξ =

=∫ ξe

ξw

[∂Θ

∂η

]ηn

ηs

dξ =∫ ξe

ξw

[(∂Θ

∂η

)∣∣∣ηn

−(∂Θ

∂η

)∣∣∣ηs

]dξ (4.15)

Onde: (∂Θ

∂η

)∣∣∣ηn

=(∂Θ

∂η

)n

,

(∂Θ

∂η

)∣∣∣ηs

=(∂Θ

∂η

)s

(4.16)

Utilizando uma aproximação de segunda ordem:

∫ ξe

ξw

[(∂Θ

∂η

)∣∣∣ηn

−(∂Θ

∂η

)∣∣∣ηs

]dξ ≈

[(∂Θ

∂η

)n−

(∂Θ

∂η

)s

]∆ξ (4.17)


∫ ηn

ηs

∫ ξe

ξw

(∂2Θ

∂η2

)dξdη ≈

[(∂Θ

∂η

)n−

(∂Θ

∂η

)s

]∆ξ (4.18)

Substituindo as aproximações para as integrais na equação (4.1):

[Fo−1 dΘP

dτ∆η∆ξ

]+

[1

2∆η

((u∗Θ)e − (u∗Θ)w

)]=

=(Pe−2

H ∆η

[(∂Θ

∂ξ

)e−

(∂Θ

∂ξ

)w

])+

(∆ξ

[(∂Θ

∂η

)n−

(∂Θ

∂η

)s

])(4.19)

e dividindo por ∆ξ∆η tem-se a equação de energia integrada em um volume finito com

as aproximações integrais substituídas:

Fo−1 dΘP

dτ+ 1

2∆ξ

((u∗Θ)e − (u∗Θ)w

)=

= Pe−2H

1

∆ξ

[(∂Θ

∂ξ

)e−

(∂Θ

∂ξ

)w

]+ 1

∆η

[(∂Θ

∂η

)n−

(∂Θ

∂η

)s

](4.20)


Todavia, como a velocidade não varia na direção axial pode-se simplificar a equação

anterior para:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2∆ξ

(Θe − Θw

) == Pe−2

H1

∆ξ

[(∂Θ

∂ξ

)e−

(∂Θ

∂ξ

)w

]+ 1

∆η

[(∂Θ

∂η

)n−

(∂Θ

∂η

)s

](4.21)

onde u∗P é o perfil de velocidade discretizado. Esta equação é valida para todos os

pontos do mini-canal, conforme ilustrado na figura 4.2.

η= 1

η= 0

Fluido

Parede do Canal

· · · · · ·

· · · · · ·

· · · · · ·

......

...

......

...

1 32

54 6

97 8

Fig. 4.2: mapa computacional das celulas para um mini-canal pelo metodo dos volu-mes finitos.

Onde os números da figura representam os seguintes volumes:

• 1 - Volume adjacente à entrada e ao centro do canal;

• 2 - Volumes adjacentes ao centro do canal;

• 3 - Volume adjacente à saída e ao centro do canal;

• 4 - Volumes adjacentes à entrada do canal;

• 5 - Volumes internos do canal;

• 6 - Volumes adjacentes à saída do canal;

• 7 - Volume adjacente à entrada e à interface da parede do canal;


• 8 - Volumes adjacentes à interface da parede do canal;

• 9 - Volume adjacente à saída e à interface da parede do canal;

4.1.3 Regras de interpolação

Para aproximar os termos difusivos (derivadas de segunda ordem) avaliados nas fa-

ces do volume central, as seguintes aproximações centradas de segunda ordem, são

utilizadas:

(∂Θ

∂η

)n≈ ΘN − ΘP

∆η(4.22)(

∂Θ

∂η

)s≈ ΘP − ΘS

∆η(4.23)(

∂Θ

∂ξ

)e≈ ΘE − ΘP

∆ξ(4.24)(

∂Θ

∂ξ

)w

≈ ΘP − ΘW

∆ξ(4.25)

Para calcular quantidades nas faces do volume finito em termos de pontos cen-

trais, e vice-versa, também utilizam-se as seguintes regras de interpolação de segunda

ordem:

( f )P ≈ 1

2

(( f )s + ( f )n

)≈ 1

2

(( f )w + ( f )e

)(4.26)

( f )n ≈ 1

2

(( f )P + ( f )N

)(4.27)

( f )s ≈ 1

2

(( f )S + ( f )P

)(4.28)

( f )e ≈ 1

2

(( f )P + ( f )E

)(4.29)

( f )w ≈ 1

2

(( f )W + ( f )P

)(4.30)

Utilizando as relações anteriores, diferenças atrasadas e avançadas podem ser escritas


para determinar quantidades no contorno em função de pontos internos apenas:

( f )n ≈ 2( f )P − ( f )s ≈ 1

2

(3( f )P − ( f )S

)(4.31)

( f )s ≈ 2( f )P − ( f )n ≈ 1

2

(3( f )P − ( f )N

)(4.32)

( f )e ≈ 2( f )P − ( f )w ≈ 1

2

(3( f )P − ( f )W

)(4.33)

( f )w ≈ 2( f )P − ( f )e ≈ 1

2

(3( f )P − ( f )E

)(4.34)

Relações para calcular pontos no centro de volumes adjacentes em relação a pontos

no volume considerado também podem ser escritas:

( f )E ≈ 2( f )e − ( f )P (4.35)

( f )W ≈ 2( f )w − ( f )P (4.36)

( f )N ≈ 2( f )n − ( f )P (4.37)

( f )S ≈ 2( f )s − ( f )P (4.38)

4.1.4 Regras de interpolação para o acoplamento convecção-difusão

Para aproximar a primeira derivada axial, pode-se utilizar o esquema de diferenças

centradas (CDS):

Θe ≈ 1

2

(ΘP + ΘE

)(4.39)

Θw ≈ 1

2

(ΘW + ΘP

)(4.40)

Todavia, enquanto esta aproximação é bastante apropriada para termos difusivos, ela

pode levar a certas instabilidades numéricas em termos convectivos. Para remediar tal

problema existe a opção de aproximar a derivada convectiva utilizando um esquema

upwind (UDS), que leva em consideração o sentido da velocidade:

Θe ≈ ΘP e Θw ≈ ΘW, para u∗ > 0 (4.41)

Θe ≈ ΘE e Θw ≈ ΘP, para u∗ < 0 (4.42)


Uma desvantagem do esquema acima é que este introduz difusão numérica, levando a

resultados errôneos, especialmente em malhas pouco refinadas. Uma forma de evitar as

instabilidades trazidas pelos esquema CDS e minimizar a difusão numérica introduzida

pelo UDS, é a de combinar as duas aproximações, chegando a um esquema híbrido:

Θe ≈ ΘP + ω(ΘE −ΘP

)(4.43)

Θw ≈ ΘW + ω(ΘP −ΘW

)(4.44)

onde o parâmetro ω dita o tipo de mistura de CDS com UDS utilizada, seguindo a

regra abaixo:

0 ≤ω≤ 1/2, para u∗ > 0 (4.45)

1/2 ≤ω≤ 1, para u∗ < 0 (4.46)

Desta forma, quando ω = 1/2 o esquema CDS é obtido, e quando ω = 0 ou ω = 1 o

esquema upwind é obtido. Como o esquema híbrido é uma combinação de UDS e

CDS a ordem este esquema é superlinear, ou seja, entre 1 e 2.

O parâmetro ω é extraído da solução analítica para o problema linear de difusão-

convecção na direção axial apenas [39]

1

2u∗ dΘ

dξ= Pe−2

Hd2Θ

dξ2(4.47)

cuja solução fornece:

Θ = c1 + c2 exp(Pe2

H /2(ξ−ξP))

(4.48)

Com isto, as relações Θ(ξE) =ΘE, Θ(ξW) =ΘW e Θ(ξP) =ΘP levam ao seguinte valor

para o parâmetro ω:

ω = exp(u∗ Pe2

H /4)−1

exp(u∗ Pe2

H /2)−1

(4.49)


Os limites anteriores são atingidos para u∗ PeH = 0 (resultando emω= 1/2) e u∗ PeH →±∞ (resultando em ω = 0 para u∗ > 0 e ω = 1 para u∗ = 1). Desta forma para valo-

res grandes de u∗ PeH (onde convecção é predominante) um esquema de diferenças

upwind será utilizado, enquanto para valores pequenos de u∗ PeH o esquema de di-

ferenças centrais será utilizado. Levando em consideração que u∗ varia com η, o

parâmetro ω também irá variar verticalmente, contemplando localmente a razão entre

os efeitos convectivos e difusivos.

De uma forma geral a derivada convectiva é escrita como:

1

∆ξ

[(u∗Θ)e − (u∗Θ)w

]= u∗

P

∆ξ

(Θe − Θw

)= u∗

P

∆Θew

∆ξ(4.50)

onde ∆Θew será determinado da aproximação híbrida dada pelas equações (4.43) e

(4.44). Para pontos em volumes fora do contorno em ξ esta aproximação resulta em:

∆Θew

∆ξ≈ 1

∆ξ

(ωΘE + (1−2ω)ΘP − (1−ω)ΘW

)(4.51)

para volumes adjacentes à entrada ou saída do canal as condições de contorno devem

ser utilizadas.

4.1.5 Condições de contorno nas coordenadas do MVF

4.1.5.1 Entrada do canal

A condição de contorno para a entrada do canal (ξ= 0) é dada pela equação (3.27), a

qual é escrita em termos das coordenadas do MVF como:

Θw = Θi n (4.52)

Utilizando as regras de interpolação a derivada axial na entrada do canal pode ser

escrita em relação à temperatura de entrada:

(∂Θ

∂ξ

)w

≈ ΘP − ΘW

∆ξ=≈ ΘP − (2Θw −ΘP)

∆ξ≈ 2

Θi n − ΘP

∆ξ(4.53)


No entanto, para determinar a derivada convectiva, o esquema híbrido UDS-CDS, dado

pela equação (4.43) é utilizado, levando à:

∆Θew

∆ξ≈ 1

∆ξ

(ωΘE + (1−ω)ΘP − Θi n

)(4.54)

4.1.5.2 Saída do canal

Para especificar uma condição de contorno para a saída, foi necessário estipular que

esta estivesse localizada a uma posição além da entrada térmica (ou ξÀ 0 em geral).

Foi visto também que para uma posição suficientemente grande uma condição de de-

rivada nula de temperatura acaba sendo atingida. Para especificar a saída do canal de

uma maneira geral, é estipulado que a saída estará localizada em uma posição ξ= ξmax.

Naturalmente, este valor deve ser escolhido de forma que a uma variação em ξmax não

altere a solução. A condição de contorno em ξ= ξmax é dada pela equação (3.29), que

em coordenadas do MVF é: (∂Θ

∂ξ

)e= Φe (4.55)

Utilizando a condição de contorno acima, pode-se escrever:

ΘE ≈ ΘP + ∆ξΦe (4.56)

Utilizando as regras de interpolação é possível determinar a temperatura para o

ponto de saída:

Θe ≈ 2ΘP − Θw ≈ 2ΘP − 1

2(ΘW +ΘP) = 3ΘP − ΘW

2(4.57)

Entretanto, a derivada convectiva, é determinada utilizando a equação (4.44), junto

com a condição de contorno acima, levando a:

∆Θew

∆ξ= 1

∆ξ(1−ω) (ΘP − ΘW) + ωΦe (4.58)

Observando a equação acima, fica claro que para posições onde a convecção é domi-


nante (ω≈ 0) a condição de saída não tem influência sobre o problema.

4.1.5.3 Centro do canal

No centro do canal (η= 0), devido a condição de simetria, a derivada da temperatura é

nula, conforme equação (3.28), desta forma tem-se:

(∂Θ

∂η

)s= 0 (4.59)

A temperatura na posição central pode ser calculada utilizando as regras de interpola-

ção:

Θs ≈ 2ΘP − Θs ≈ 2ΘP − 1

2(ΘS +ΘP) = 3ΘP − ΘS

2(4.60)

4.1.5.4 Parede do canal

Utilizando as regras de interpolação a derivada transversal na parede pode ser escrita

em relação à temperatura da parede na forma:

(∂Θ

∂η

)n≈ ΘN − ΘP

∆η≈ (2Θn −ΘP) − ΘP

∆η≈ 2

Θn − ΘP

∆η(4.61)

O valor de Θn irá depender da condição de contorno aplicada na parede sólida. Para

parede isotérmica, tem-se

Θn = Θ0 (4.62)

e a equação (4.61) é facilmente modificada.

Para armazenamento de calor na parede, a derivada da temperatura é dada em fun-

ção da equação de armazenamento de energia na parade admensionalizada, conforme

a equação (3.26), que em termos das coordenadas do MVF é escrita como:

(∂Θ

∂η

)η=ηn

= 1

R∗

[K 2 Pe−2

H∂2Θ

∂ξ2− Fo−1

s∂Θ

∂τ

]η=ηn

(4.63)


Integrando em ξ:

∫ ξe

ξw

(∂Θ

∂η

)η=ηn

dξ = 1

R∗

[K 2 Pe−2

H

[(∂Θ

∂ξ

)e−

(∂Θ

∂ξ

)w

]− Fo−1

s

∫ ξe

ξw

(∂Θ

∂τ

)dξ

]η=ηn

(4.64)

e utilizando aproximações de segunda ordem para as integrais:

(∂Θ

∂η

)n= 1

∆ξR∗

[K 2 Pe−2

H

((∂Θ

∂ξ

)ne

−(∂Θ

∂ξ

)nw

)]− 1

R∗

[Fo−1

s

(∂Θ

∂τ

)n

](4.65)

Para este caso, a temperatura na coordenada n é uma incógnita, e portanto, modifica-se

a notação da última equação, escrevendo:

(∂Θ

∂η

)n= 1

∆ξR∗

[K 2 Pe−2

H

((∂Θn

∂ξ

)e−

(∂Θn

∂ξ

)w

)]− 1

R∗ Fo−1s∂ΘnP

∂τ(4.66)

ondeΘn é a incógnita a ser determinada. Introduzindo a equação (4.61) e rearrumando,

chega-se à seguinte equação para Θn:

Fo−1s∂ΘnP

∂τ= −2R∗ ΘnP − ΘP

∆η+ K 2 Pe−2

H

∆ξ

((∂Θn

∂ξ

)e−

(∂Θn

∂ξ

)w

)(4.67)

onde, para determinar as derivadas axiais de Θn nas faces e e w utiliza-se as regras de

interpolação, e as condições de contorno na entrada e saída, quando necessárias.

4.1.6 Equação para os volumes internos

Os volumes internos do canal são representados pelo número 5 na figura (4.2). Substi-

tuindo as regras de interpolação na equação (4.21) tem-se a equação discretizada para

os volumes internos do canal:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

HΘE − 2ΘP + ΘW

∆ξ2+ ΘN − 2ΘP + ΘS

∆η2(4.68)

onde ∆Θew é dado pela equação (4.51), fornencendo:

∆Θew ≈ ωΘE + (1−2ω)ΘP − (1−ω)ΘW (4.69)


4.1.7 Equação para os volumes adjacentes ao centro do canal

Os volumes adjacentes ao centro canal são representados pelo número 2 na figura 4.2.

Substituindo as regras de interpolação, a condição de contorno e na equação (4.21),

obtém-se a equação discretizada para os volumes adjacentes ao centro do canal:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

HΘE − 2ΘP + ΘW

∆ξ2+ ΘN − ΘP

∆η2(4.70)

com ∆Θew sendo dado pela equação (4.69).

4.1.8 Equação para os volumes adjacentes à parede do canal

São todos os volumes adjacentes à interface entre o fluido e a parede sólida do canal,

e que não estejam na entrada ou na saída do canal, representados pelo número 8 na

figura 4.2. Para estes volumes, pontos acima de n não estão disponíveis, de modo que

a derivada transversal é dada pela equação (4.61). Utilizando esta relação e as demais

regras de interpolação na equação (4.21) fornece:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

HΘE − 2ΘP + ΘW

∆ξ2+ 2ΘnP − 3ΘP − ΘS

∆η2(4.71)

onde ∆Θew é dado pela equação (4.69).

4.1.9 Equação para os volumes adjacentes à entrada do canal

Os volumes adjacentes à entrada do canal são todos os volumes representados pelo

número 4 na figura 4.2. Substituindo as regras de interpolação e a condição de contorno

(4.53) na equação (4.21), chega-se à equação discretizada para os volumes da entrada

do canal:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

HΘE + 2Θi n − 3ΘP

∆ξ2+ ΘN − 2ΘP + ΘS

∆η2(4.72)


onde ∆Θew é dado pela equação (4.54), que fornece:

∆Θew = ωΘE + (1−ω)ΘP − Θi n (4.73)

4.1.10 Equação para os volumes adjacentes à saída do canal

Os volumes adjacentes à saída do canal são todos os volumes representados pelo nú-

mero 6 na figura 4.2. Para estes volumes, pontos à direita de e não estão disponíveis, e

portanto a equação (4.21) é escrita utilizando as regras de interpolação apenas para as

faces n, s e w :

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

H

(1

∆ξ

(∂Θ

∂ξ

)e− ΘP − ΘW

∆ξ2

)+ ΘN − 2ΘP + ΘS

∆η2(4.74)

A condição de contorno (4.55) é substituída, resultando em:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

H

(Φe

∆ξ− ΘP − ΘW

∆ξ2

)+ ΘN − 2ΘP + ΘS

∆η2(4.75)

onde ∆Θew é dado pela equação (4.58), resultando em:

∆Θew = (1−ω) (ΘP − ΘW) + ωΦe∆ξ (4.76)

4.1.11 Equação para os volumes adjacentes à parede e à entrada do canal

O volume adjacente à interface da parede e à entrada do canal é volume representado

pelo número 7 mostrado na figura 4.2. Tomando a equação (4.21) e substituindo as

regras de interpolação para as faces e e s obtém-se:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ=

= Pe−2H

1

∆ξ

[ΘE − ΘP

∆ξ−

(∂Θ

∂ξ

)w

]+ 1

∆η

[(∂Θ

∂η

)n− ΘP − ΘS

∆η

](4.77)


Substituindo as equações das condições de contorno (4.53) e (4.61) obtém-se a equação

discretizada para o volume adjacente à interface da parede e à entrada do canal:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

HΘE − 3ΘP + 2Θi n

∆ξ2+ 2ΘnP − 3ΘP − ΘS

∆η2(4.78)


4.1.12 Equação para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal

O volume adjacente ao centro e à entrada do canal é o volume 1, mostrado na figura

4.2. Utilizando a equação (4.21) com as regras de interpolação substituídas apenas

para as faces e e n obtém-se:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ=

= Pe−2H

1

∆ξ

[ΘE − ΘP

∆ξ−

(∂Θ

∂ξ

)w

]+ 1

∆η

[ΘN − ΘP

∆η−

(∂Θ

∂η

)s

](4.79)

Substituindo as condições de contorno (4.53) e (4.59), tem-se a equação discretizada

para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2


∆ξ2+ ΘN − ΘP

∆η2(4.80)


4.1.13 Equação para os volumes adjacentes à parede e à saída do canal

O volume adjacente à parede e à saída do canal é o volume 9 mostrado na figura 4.2.

Tomando a equação (4.21) com as regras de interpolação substituídas apenas para as

faces w e s chega-se a:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ=

= Pe−2H

1

∆ξ

[(∂Θ

∂ξ

)e− ΘP − ΘW

∆ξ

]+ 1

∆η

[(∂Θ

∂η

)n− ΘP − ΘS

∆η

](4.81)


Substituindo as equações das condições de contorno (4.55) e (4.61) obtém-se a equação

discretizada para o volume adjacente à interface da parede e à saída do canal:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

H

(Φe


∆ξ2

)+ 2ΘnP − 3ΘP − ΘS

∆η2(4.82)


4.1.14 Equação para o volume adjacente ao centro e à saída do canal

O volume adjacente ao centro e à saída do canal é dado pelo volume 3 mostrado na

figura 4.2. Utilizando a equação (4.21) substituindo as regras de interpolação apenas

para as faces w e n chega-se a:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ=

= Pe−2H

1

∆ξ

[(∂Θ

∂ξ

)e− ΘP − ΘW

∆ξ

]+ 1

∆η

[ΘN − ΘP

∆η−

(∂Θ

∂η

)s

](4.83)

Substituindo as condições de contorno (4.55) e (4.59), tem-se a equação discreti-

zada para os volumes adjacentes ao centro e à saída do canal:

Fo−1 dΘP

dτ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

H

(Φe


∆ξ2

)+ ΘN − ΘP

∆η2(4.84)


4.1.15 Equações para a temperatura da parede

Para a condição de temperatura constante na parede ΘnP é sempre conhecido, sendo

dado por pela condição de contorno (4.62). Agora, quando há armazenamento de

energia na parede, ΘnP irá variar, e a equação (4.67) é utilizada. Para volumes que

não envolvam a entrada ou saída do canal, a equação para a temperatura da parede é

dada por:

Fo−1s

dΘnP

dτ= −2R∗ ΘnP − ΘP

∆η+ K 2 Pe−2

H

∆ξ2 (ΘnE −2ΘnP +ΘnW) (4.85)


Para volumes adjacentes à entrada do canal, a equação para a temperatura da parede

é dada pela interpolação (4.61), fornecendo:

Fo−1s

dΘnP


∆η+ K 2 Pe−2

H

∆ξ2 (ΘnE −3ΘnP +2Θi n) (4.86)

Para volumes da parede adjacentes à saída do canal, utiliza-se uma condição de

contorno de derivada nula que resulta em:

Fo−1s

dΘnP


∆η+ K 2 Pe−2

H

∆ξ2 (ΘnW −ΘnP) (4.87)

4.2 Discretização unidirecional

4.2.1 Discretização transversal

Se apenas a direção transversal (η) for discretizada, as equações resultantes são bem

mais simples, como apresentado nesta seção. A equação (3.20) é integrada em um

volume de controle de altura ∆η:

Fo−1 ∂

∂τ

∫ ηn

ηs

Θdη + 1

2

∂

∂ξ

∫ ηn

ηs

(u∗Θ) dη = Pe−2H

∂2

∂ξ2

∫ ηn

ηs

Θdη +(∂Θ

∂η

)∣∣∣∣ηn

ηs

. (4.88)

Então, utilizando as aproximações para integrais e regras de interpolação de segunda

ordem, como discutido na discretização bidirecional, chega-se à seguinte equação:

Fo−1∂ΘP

∂τ+ 1

2u∗

P∂ΘP

∂ξ= Pe−2

H∂2ΘP

∂ξ2+ ΘN −2ΘP +ΘS

∆η2, (4.89)

válida para volumes não conectados com o contorno em η (isto é, o centro do canal e

a parede). Para o volume adjacente ao centro do canal (η= 0), tem-se:

Fo−1∂ΘP

∂τ+ 1

2u∗

P∂ΘP

∂ξ= Pe−2

H∂2ΘP

∂ξ2+ ΘN − ΘP

∆η2, (4.90)


enquanto para o volume adjacente à parede (η= 1), têm-se:

Fo−1∂ΘP

∂τ+ 1

2u∗

P∂ΘP

∂ξ= Pe−2

H∂2ΘP

∂ξ2+ 2Θn − 3ΘP + ΘS

∆η2, (4.91)

A condição inicial é dada por:

ΘP(ξ,0) = Θ0 (4.92)

e as condições de contorno são dadas por:

ΘP(0,τ) = Θi n ,

(∂ΘP

∂ξ

)ξ=ξmax

= Φ (4.93)

Para regime permanente, as três equações anteriores tomam a seguinte forma:

1

2u∗

PΘ′P = Pe−2

H Θ′′P + ΘN −2ΘP +ΘS

∆η2, (4.94)

1

2u∗

PΘ′P = Pe−2

H Θ′′P + ΘN − ΘP

∆η2, (4.95)

1

2u∗

PΘ′P = Pe−2

H Θ′′P + 2Θn − 3ΘP + ΘS

∆η2(4.96)

onde Θ′ e Θ′′ representam as derivadas dΘ/dξ e d2Θ/dξ2. A condição de contorno de

armazenamento de energia na parede é uma condição transiente, portanto, para regime

permanente considera-se apenas a condição de temperatura constante na parede, onde

Θn =Θ0.

4.2.2 Discretização axial

Se apenas a direção axial (ξ) for discretizada, as equações resultantes são bem mais

simples. A equação (3.20) é integrada em um volume de controle de altura ∆ξ:

Fo−1 ∂

∂τ

∫ ξe

ξw

Θdξ + (u∗Θ

)∣∣ξeξw

= Pe−2H

(∂Θ

∂ξ

)∣∣∣∣ξe

ξw

+ ∂2

∂η2

∫ ξe

ξw

Θdξ (4.97)


Em seguida, utilizando as aproximações para integrais e regras de interpolação de se-

gunda ordem, como discutido na discretização bidirecional, chega-se à equação:

Fo−1∂ΘP

∂τ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

HΘE −2ΘP +ΘW

∆ξ2+ ∂2ΘP

∂η2, (4.98)

∆Θew = αΘE + (1−2α)ΘP − (1−α)ΘW (4.99)

válida para volumes não conectados com o contorno em ξ (isto é, a entrada e a saída).

Para o volume adjacente à entrada do canal (ξ= 0), tem-se:

Fo−1∂ΘP

∂τ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2


∆ξ2+ ∂2ΘP

∂η2, (4.100)

∆Θew = αΘE + (1−α)ΘP − Θi n (4.101)

enquanto para o volume adjacente à saída (ξ= ξmax), têm-se:

Fo−1∂ΘP

∂τ+ u∗

P

2

∆Θew

∆ξ= Pe−2

H

(Φe


∆ξ2

)+ ∂2ΘP

∂η2, (4.102)

∆Θew = (1−α) (ΘP − ΘW) + αΦe∆ξ (4.103)

A condição inicial é dada por:

ΘP(η,0) = Θ0 (4.104)

e as condições de contorno são dadas por:

(∂ΘP

∂η

)η=0

= 0, ΘP(1,τ) = Θn (4.105)

Para temperatura constante na parede, Θn é conhecida. Todavia, para armazena-

mento de energia na parede a temperatura na parede deve ser calculada das equações


discretizadas para a parede:

Fo−1s∂ΘnP

∂τ= −R∗

(∂Θ

∂η

)η=1

+ K 2 Pe−2H

∆ξ2 (ΘnE −2ΘnP +ΘnW) (4.106)

Fo−1s∂ΘnP

∂τ= −R∗

(∂Θ

∂η

)η=1

+ K 2 Pe−2H

∆ξ2 (ΘnE −3ΘnP +2Θi n) (4.107)

Fo−1s∂ΘnP

∂τ= −R∗

(∂Θ

∂η

)η=1

+ K 2 Pe−2H

∆ξ2 (ΘnE −ΘnP) (4.108)

válidas para volumes internos (não adjacentes à entrada e saída), volumes na entrada,

e volumes na saída, respectivamente.

Para regime permanente apenas a condição de temperatura constante na parede é

considerada e as equações discretizadas para o fluido tomam a seguinte forma:

u∗P

2

αΘE + (1−2α)ΘP − (1−α)ΘW

∆ξ= Pe−2

HΘE −2ΘP +ΘW

∆ξ2+ Θ′′

P, (4.109)

u∗P

2

αΘE + (1−α)ΘP − Θi n

∆ξ= Pe−2


∆ξ2+ Θ′′

P, (4.110)

u∗P

2

(1−α) (ΘP − ΘW)

∆ξ+ α

u∗PΦe

2= Pe−2

H

(Φe


∆ξ2

)+ Θ′′

P, (4.111)

onde Θ′′ representa a derivada d2Θ/dη2.

Capítulo 5

Implementação Computacional

Este capítulo apresenta diferentes implementações computacionais, a fim de determi-

nar a melhor alternativa para resolver o problema. Neste capítulo as variáveis discretas

são denotadas com acento circunflexo, como por exemplo Θ e u.

5.1 Soluções com discretização bidirecional

Utilizando as equações discretizadas do capítulo anterior, esta seção mostra a imple-

mentação computacional para a solução do problema utilizando o Método dos Volumes

Finitos em ambas as direções. Para poder transcrever as equações na forma apresen-

tada no capítulo anterior para um formato passível de implementação computacional

define-se um domínio computacional, baseado em um parâmetro k que numera dentro

do domínio físico como mostrado na figura 5.1

Para transformar a notação das equações discretizadas em termos das coordena-

das multi-dimensionais cardeais (N , S, E e W ), define-se, de acordo com o domínio

computacional, regras de mapeamento, apresentadas na tabela 5.1. A primeira coluna

indica o ponto nas coordenadas cardeais, a segunda indica a posição em termos das

coordenadas no domínio físico e a terceira representa a relação entre os índices i e j

do domínio físico com o índice k do domínio computacional. A última coluna indica a

posição relativa, no domínio computacional, de um ponto cardeal em termos do ponto

57

5. Implementação Computacional 58

η= 1

η= 0

Parede do Canal

· · · · · ·

· · · · · ·

· · · · · ·

......

...

......

...

1 Ii

( j −1)I + i( j −1)I +1 j I

I J(J −1)I +1 (J −1)I + i

Fig. 5.1: Domínio computacional para um mini-canal.

central P . Com base nestas regras, as seções seguintes apresentam a implementação

computacional utilizada para o problema em regime transiente e permanente, com di-

ferentes metodologias de solução.

Tab. 5.1: Transformação das coordenadas cardeais para o domínio computacional.ponto (ξ,η) k(i , j ) k(kP )

P (ξi ,η j ) ( j −1)I + i kN (ξi ,η j+1) ( j −1)I + i + I k + IS (ξi ,η j−1) ( j −1)I + i − I k − IE (ξi+1,η j ) ( j −1)I + i +1 k +1

W (ξi−1,η j ) ( j −1)I + i −1 k −1

5.1.1 Solução transiente: integração numérica

O sistema de equações discretizadas para todos os volumes finitos no fluido pode ser

escrito em forma compacta como:

Fo−1 dΘk

dτ= Fk (τ), para k = 1,2, . . . ,K (5.1)

onde K = I J é o número de volumes utilizados no domínio do fluido. Para situações

onde for necessário determinar a temperatura da parede, inclui-se no sistema anterior,


mais um conjunto de equações discretizadas:

Fo−1s

dΘk

dτ= Fk (τ), para k = K +1,K +2, . . . ,K + I (5.2)

de modo que as equações para a temperatura da parede são numeradas com k > K para

facilitar a implementação computacional. As condições iniciais para o sistema anterior

são dadas por:

Θk (τ= 0) = Θ0 para k = 1,2, . . . ,K + I (5.3)

As funções de discretização, Fk (τ), que carregam toda informação sobre a discre-

tização, são dadas por:

• para k = 1 (entrada/centro do canal):

Fk (τ) = −u∗PαΘE + (1−α)ΘP −Θi n

2∆ξ+ ΘE −3ΘP +2Θi n

∆ξ2 Pe2H

+ ΘN − ΘP

∆η2 , (5.4)

• para 1 < k < I (centro do canal):

Fk (τ) = −u∗PαΘE + (1−2α)ΘP − (1−α)ΘW

2∆ξ+

+ ΘE −2ΘP + ΘW

∆ξ2 Pe2H

+ ΘN − ΘP

∆η2 , (5.5)

• para k = I (saída/centro do canal):

Fk (τ) = −u∗P

(1−α) (ΘP − ΘW )

2∆ξ+ −ΘP + ΘW

∆ξ2 Pe2H

+ ΘN − ΘP

∆η2 , (5.6)

• para k = ( j −1) I +1 e 1 < j < J (entrada do canal):


2∆ξ+

+ ΘE −3ΘP +2Θi n

∆ξ2 Pe2H

+ ΘN −2ΘP + ΘS

∆η2 , (5.7)


• para k = j I e 1 < j < J (saída do canal):

Fk (τ) = −u∗P

(1−α) (ΘP − ΘW )

2∆ξ+ −ΘP + ΘW

∆ξ2 Pe2H

+ ΘN −2ΘP + ΘS

∆η2 , (5.8)

• para k = (J −1) I +1 (entrada/parede do canal):


2∆ξ+

+ ΘE −3ΘP +2Θi n

∆ξ2 Pe2H

+ 2ΘnP −3ΘP + ΘS

∆η2 , (5.9)

• para k = (J −1) I + i e 1 < I < I (parede do canal):

Fk (τ) = −u∗PαΘE + (1−2α)ΘP − (1−α)ΘW

2∆ξ+

+ ΘE −2ΘP + ΘW

∆ξ2 Pe2H

+ 2ΘnP −3ΘP + ΘS

∆η2 , (5.10)

• para k = I J (saída/parede do canal):

Fk (τ) = −u∗P

(1−α) (ΘP − ΘW )

2∆ξ+ −ΘP + ΘW

∆ξ2 Pe2H

+ 2Θ0 −3ΘP + ΘS

∆η2 , (5.11)

• para todas as demais combinações k = (J −1) I + i (volumes internos):

Fk (τ) = −u∗PαΘE + (1−2α)ΘP − (1−α)ΘW

2∆ξ+

+ ΘE −2ΘP + ΘW

∆ξ2 Pe2H

+ ΘN −2ΘP + ΘS

∆η2 . (5.12)

As equações anteriores referem-se a pontos no domínio fluido. Para os pontos

relativos às temperaturas da parede as funções de discretização são dadas por:

• para k = I J +1 (parede na entrada):

Fk (τ) = −2R∗ ΘnP − ΘP

∆η+ K 2 ΘnE −3ΘnP +2Θi n

∆ξ2 Pe2H

(5.13)


• para I J + i , 1 < i < I (volumes internos na parede ):


∆η+ K 2 ΘnE −2ΘnP + ΘnW

∆ξ2 Pe2H

(5.14)

• para k = I J + I (parede na saída):


∆η− K 2 ΘnP − ΘnW

∆ξ2 Pe2H

(5.15)

onde ∆ξ= ξmax/I e ∆η= 1/J .

A solução do sistema diferencial ordinário dado pelas equações (5.1), (5.2) e (5.3)

pode então ser obtida através de integração numérica. Para tal, a rotina de solução nu-

mérica de sistemas de equações diferenciais ordinárias NDSolve do programa Mathe-

matica é utilizada.

5.1.2 Solução transiente: integração analítica

Uma solução alternativa para o sistema de equações (5.1, 5.2, 5.3) pode ser feita uti-

lizando integração analítica. Para tal, escreve-se o sistema de equações diferenciais

ordinárias na forma:

Fo−1k Θ

′k (τ) =

K+I∑l=1

Mk,l Θl (τ) + bk , para k = 1,2, . . . ,K + I , (5.16)

onde:

Fok =

Fo, para 1 ≤ k ≤ K

Fos , para K +1 ≤ k ≤ K + I(5.17)

e os coeficientes Mk,l e bk são definidos abaixo:


• para k = 1 (entrada/centro do canal):

Mk,k = −u∗j

(1−α j )

2∆ξ− 3

∆ξ2Pe2H

− 1

∆η2, (5.18)

Mk,k+1 = −u∗j

α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, Mk,k+I = 1

∆η2, (5.19)

bk = u∗jΘi n

2∆ξ+ 2Θi n

∆ξ2 Pe2H

, (5.20)

• para 1 < k < I (centro do canal):

Mk,k = −u∗j

(1−2α)

2∆ξ− 2

∆ξ2Pe2H

− 1

∆η2, (5.21)

Mk,k+1 = −u∗j

α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, (5.22)

Mk,k−1 = u∗j

1−α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, (5.23)

Mk,k+I = 1

∆η2, bk = 0, (5.24)

• for k = I (saída/centro do canal):

Mk,k = −u∗j

1−α j

2∆ξ− 1

∆ξ2Pe2H

− 1

∆η2, Mk,k+1 = 0, (5.25)

Mk,k−1 = u∗j

1−α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, Mk,k+I = 1

∆η2, bk = 0, (5.26)

• para k = ( j +1) I +1 e 1 < j < J (entrada do canal):

Mk,k = −u∗j

1−α j

2∆ξ− 3

∆ξ2Pe2H

− 2

∆η2, Mk,k−1 = 0, (5.27)

Mk,k+1 = −u∗j

α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, Mk,k−I = 1

∆η2, (5.28)

Mk,k+I = 1

∆η2, bk = u∗

jΘi n

2∆ξ+ 2Θi n

∆ξ2 Pe2H

, (5.29)


• para k = j I e 1 < j < J (saída do canal):

Mk,k = −u∗j

1−α j

2∆ξ− 1

∆ξ2Pe2H

− 2

∆η2, (5.30)

Mk,k−1 = u∗j

1−α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, Mk,k+1 = 0, (5.31)

Mk,k−I = 1

∆η2, Mk,k+I = 1

∆η2, bk = 0, (5.32)

• para k = (J −1) I +1 (entrada/parede do canal):

Mk,k = −u∗j

1−α j

2∆ξ− 3

∆ξ2Pe2H

− 3

∆η2, Mk,k−1 = 0, (5.33)

Mk,k+1 = −u∗j

α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, Mk,k−I = 1

∆η2, (5.34)

Mk,k+I = 2

∆η2, bk = u∗

jΘi n

2∆ξ+ 2Θi n

∆ξ2 Pe2H

, (5.35)

• para k = (J −1) I + i e 1 < I < I (parede do canal):

Mk,k = −u∗j

1−2α j

2∆ξ− 2

∆ξ2Pe2H

− 3

∆η2, (5.36)

Mk,k−1 = u∗j

1−α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, (5.37)

Mk,k+1 = −u∗j

α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, Mk,k−I = 1

∆η2, (5.38)

Mk,k+I = 2

∆η2, bk = 0, (5.39)

• para k = I J (saída/parede do canal):

Mk,k = −u∗j

1−α j

2∆ξ− 1

∆ξ2Pe2H

− 3

∆η2, (5.40)

Mk,k−1 = u∗j

1−α j

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, Mk,k−I = 1

∆η2, (5.41)

Mk,k+I = 2

∆η2, bk = 0, (5.42)


• e para qualquer outra combinação k = ( j +1) I + i (volumes internos):

Mk,k = −u∗j

1−2α j

2∆ξ− 2

∆ξ2Pe2H

− 2

∆η2, (5.43)

Mk,k−1 = u∗j

1−α2∆ξ

+ 1

∆ξ2 Pe2H

, (5.44)

Mk,k+1 = −u∗jα

2∆ξ+ 1

∆ξ2 Pe2H

, (5.45)

Mk,k−I = 1

∆η2, Mk,k+I = 1

∆η2, (5.46)

bk = 0, (5.47)

Para os pontos relativos às temperaturas da parede os coeficientes M e b são dados por:

• para k = I J +1 (parede na entrada):

Mk,k = −2R∗

∆η− 3K 2

Pe2H ∆ξ

, Mk,k+1 = K 2

Pe2H ∆ξ

, (5.48)

Mk,k−I = 2R∗

∆η, bk = 2K 2Θi n

Pe2H ∆ξ

, (5.49)

• para I J + i , 1 < i < I (volumes internos na parede ):

Mk,k = −2R∗

∆η− 2K 2

Pe2H ∆ξ

, Mk,k−1 = K 2

Pe2H ∆ξ

, (5.50)

Mk,k+1 = K 2

Pe2H ∆ξ

, Mk,k−I = 2R∗

∆η, bk = 0 (5.51)

• para k = I J + I (parede na saída):

Mk,k = −2R∗

∆η− K 2

Pe2H ∆ξ

, Mk,k−1 = K 2

Pe2H ∆ξ

, (5.52)

Mk,k−I = 2R∗

∆η, bk = 0 (5.53)

Os demais coeficientes Mk,l são nulos.


Para proceder com a integração analítica, o sistema (5.16) é escrito na forma veto-

rial abaixo:

Θ′(τ) = M Θ(τ) + b, (5.54)

onde M e b são dados por:

M = F M , b = F b (5.55)

e o tensor F é uma matriz diagonal contendo os números de Fourier:

Fk,l = Foδk,l para 0 ≤ k ≤ K , (5.56)

Fk,l = Fos δk,l para K + 1 ≤ k ≤ K + I . (5.57)

onde δk,l é o Delta de Kronecker.

Uma solução analítica para este sistema pode ser escrita na forma:

Θ(τ) = C(Θ0 + M

−1b)− M

−1b, com C = C (τ) = exp(M τ), (5.58)

onde C é uma exponencial matricial [40]. Os coeficientes Θ0 são os valores discretos

da condição inicial, dados pela equação (5.3).

5.1.3 Solução em regime permanente

Para regime permanente, o sistema (5.16) é reduzido à forma mais simples:

K+I∑l=1

Mk,l Θl (τ) + bk = 0, para k = 1,2, . . . ,K + I , (5.59)

o qual é escrito em forma vetorial como:

M Θ + b = 0, (5.60)


Como para regime permanente a única condição de aquecimento na parede é a de

temperatura constante a matriz M é simplificada pois os elementos relativos às tempe-

raturas da parede são dados:

Mk,l = δk,l para k > K . (5.61)

O sistema algébrico (5.60) é resolvido numericamente utilizando a função Linear-

Solve do programa Mathematica, onde a matriz M é definida como uma matriz esparsa

utilizando a função SparseArray. Uma solução direta, em função da inversa da matriz

M , também pode ser escrita na forma:

Θ(τ) = −M−1

b. (5.62)

Todavia, esta solução também necessitaria de um procedimento numérico para inverter

a matriz.

5.2 Solução permanente com discretização transversal apenas

Para as soluções em regime permanente a condição de contorno na parede é sempre de

temperatura constante, portanto, valerá sempre a relação:

Θn = Θ0 (5.63)

5.2.1 Solução com integração numérica em ξ

Uma solução alternativa para o problema em regime permanente pode ser implemen-

tada utilizado discretização apenas na direção η. Discretizando em apenas uma dire-

ção, há uma relação direta entre as coordenadas cardinais e o índice j , utilizado para

esta direção. Desta forma o sistema discretizado é escrito a partir das equações (4.93),


(4.94), (4.95) e (4.96) abaixo:1

−Pe−2H

d2Θ j

dξ2+ 1

2u∗

j

dΘ j

dξ= F j (ξ),

Θ j (0) = Θi n ,

(dΘ j

dξ

)ξ=ξmax

= Φe , (5.64)

Para j = 1,2, . . . , J . As funções de discretização F , para este caso, são dadas por:

• para j = 1 (volume adjacente ao centro do canal):

F j (ξ) = Θ j+1 − Θ j

∆η2, (5.65)

• para 1 < j < J (volumes internos):

F j (ξ) = Θ j+1 −2Θ j + Θ j−1

∆η2, (5.66)

• para j = J (volume adjacente à parede do canal):

F j (ξ) = 2Θn −3Θ j + Θ j−1

∆η2, (5.67)

Este sistema é resolvido numericamente usando a rotina NDSolve do software Mathe-

matica.

5.2.2 Solução numérica para Péclet grande

Para casos com número de Péclet grande, o sistema anterior (5.64) é simplificado pela

eliminação do termo envolvendo a segunda derivada. Considerando estes casos, a

equação discretizada para todos os volumes é escrita na forma compacta:

dΘ j

dξ= 2

u∗j

F j (ξ), for j = 1,2, . . . , J

Θ j (0) = Θi n , (5.68)

1 o termo Φe foi incluído aqui seguindo a notação do capítulo anterior; todavia, como também des-crito anteriormente, este foi aproximado por zero para as soluções numéricas aqui implementadas.


Este problema de valor inicial é resolvido numericamente usando a rotina NDSolve do

software Mathematica.

5.2.3 Solução analítica com o método do tiro

Há outras soluções alternativas para o problema, como por exemplo a solução palo

método do tiro, mostrada abaixo.

As equações do sistema (5.64) podem ser escritas na forma matricial:

Θ′′

(ξ) − B Θ′(ξ) − D Θ(ξ) = −g ,

Θ(0) = Θi n , Θ′(ξmax) = Φe , (5.69)

onde o vetor independente g é dado por:

g = (0,0, . . . ,0,2Θn/∆η2), (5.70)

o vetor Θi n é dado por

Θi n = (Θi n ,Θi n , . . . ,Θi n ,Θi n

), (5.71)

e as matrizes B e D são dadas por:

B j ,k = 1

2Pe2

H u∗j δ j ,k , D j ,k = − Pe2

H

∆η2A j ,k (5.72)

onde A j ,k são os coeficientes de uma matriz tri-diagonal, dados por:

• para j = 1 (centro do canal):

A j , j = −1, A j , j+1 = 1, (5.73)


• para 1 < j < J (volumes internos):

A j , j−1 = 1 A j , j = −2, A j , j+1 = 1, (5.74)

• para j = J (parede do canal):

A j , j−1 = 1 A j , j = −3, (5.75)

e os coeficientes remanescentes são zero. Os coeficientes u∗j representam o perfil de

velocidade discretizado, sendo dados por:

u∗j = 3

2

(1−η2

j

), com η j =

(j − 1

2

)∆η. (5.76)

O problema de valor de contorno pode ser convertido para um problema de valor

inicial de primeira ordem se as condições de contorno em ξmax forem substituídas por

uma condição inicial e uma nova variável for introduzida:

Θ′(0) = p , Θ′(ξ) = φ(ξ), (5.77)

produzindo:

d

dξ

φ

Θ

=

B D

I 0

φ

Θ

−

g

0

(5.78)

onde I é a matriz identidade, e 0 é a matriz zero. Introduzindo a matriz Q:

Q =

B D

I 0

, (5.79)

uma solução analítica para as temperaturas discretizadas pode ser obtida em termos de


uma matriz exponencial:

φ

Θ

= C

p

Θi n

− Q−1

g

0

, com C = exp(Q ξ

)(5.80)

Com a forma analítica anterior, o Método do Tiro é utilizado para o calcular iterati-

vamente o valor apropriado de p que satisfaça a condição de contorno em ξ = ξmax,

dado pela equação (5.69). O Método do Tiro é implementado utilizando a função Fin-

dRoot do software Mathematica, que consiste em uma rotina para resolver sistemas

de equações algébricas lineares e não lineares (que neste caso utiliza o Método de

Newton-Raphson para sistemas de equações algébricas).

5.2.4 Solução analítica para Péclet grande

A fim de obter uma solução analítica para o sistema discretizado, a equação (5.68) é

escrita na forma matricial, como mostrado abaixo:

Θ′(ξ) = Q Θ(ξ) + g , (5.81)

Θ(0) = Θi n , (5.82)

onde o vetor independente g é dado por:

g = (0,0, . . . ,0,4Θn/(∆η2 u∗

J )), (5.83)

e os coeficientes de Q são dados por:

• para j = 1 (entrada/centro do canal):

Q j , j = − 2

u∗j ∆η

2 , Q j , j+1 = 2

u∗j ∆η

2 , (5.84)


• para 1 < j < J (entrada do canal):

Q j , j−1 = 2

u∗j ∆η

2 , Q j , j = − 4

u∗j ∆η

2 , Q j , j+1 = 2

u∗j ∆η

2 , (5.85)

• para j = J (entrada/parede do canal):

Q j , j−1 = 2

u∗j ∆η

2 , Q j , j = − 6

u∗j ∆η

2 , (5.86)

E os coeficientes restantes de Q j ,k são zero.

A solução analítica para a temperatura adimensional nos pontos discretos, pode ser

escrita da seguinte forma:

Θ(ξ) = CΘi n + Q−1

g , com C = exp(Q ξ

). (5.87)

5.3 Solução com discretização axial apenas

5.3.1 Solução com integração numérica em η

Outra solução para o problema em regime permanente pode ser implementada utilizado

discretização apenas na direção ξ. Discretizando em apenas ξ há uma relação direta

entre as coordenadas cardinais e o índice i , fazendo com que o sistema discretizado,

obtido a partir das equações (4.98; 4.100; 4.102 e 4.105), seja escrito na forma

d2Θi

dη2= Fi (η), (5.88)(

dΘi

dη

)η=0

= 0, Θi (1) = Θn , (5.89)

Para i = 1,2, . . . , I . As funções de discretização F , para este caso, são dadas por:

• para i = 1 (entrada/centro do canal):

Fi (η) = u∗

2

αΘi+1 + (1−α)Θi − Θi n

∆ξ− Θi+1 + 2Θi n − 3Θi

Pe2H ∆ξ

2(5.90)


• para 1 < i < I (centro do canal):

Fi (η) = u∗

2

αΘi+1 + (1−2α)Θi − (1−α)Θi−1

∆ξ− Θi+1 −2Θi + Θi−1

Pe2H ∆ξ

2(5.91)

• para i = I (saída/centro do canal):

Fi (η) = u∗

2

(1−α) (Θi − Θi−1)

∆ξ+ α

u∗Φe

2− Pe−2

H

(Φe

∆ξ− Θi − Θi−1

∆ξ2

)(5.92)

onde u∗ é função de η. Este sistema é resolvido numericamente utilizando a função

NDSolve do Mathematica. O parâmetro α, como dado pela equação (4.49) também

dependerá de η, pois u∗ depende de η. Isto impossibilita uma solução analítica deste

sistema, como feito nas outras soluções fornecidas até agora. Ainda, mesmo com uma

solução numérica, ao utilizar o valor de α dado por esta equação, a solução computa-

cional torna-se bem mais complicada, devido ao auto custo computacional necessário

para avaliar exponenciais.

5.4 Cálculo de Nusset

Usando as soluções encontradas, o número de Nusselt é calculado pela equação

NuDH = 4(∂Θ/∂η)η=1

Θs −∫ 1

0 u∗Θdη, (5.93)

onde as derivada e integrais são calculadas numericamente. As derivadas são calcu-

ladas interpolando as soluções obtidas com a função Interpolation do Mathematica

(utilizando interpolações lineares) e diferenciando analiticamente os resultados obti-

dos com a função D. Todas integrações numéricas são feitas utilizando a função NIn-

tegrate.


5.5 Comentários finais

Como comentários finais deve-se dizer que, para todos os casos de soluções apresen-

tadas, soluções simplificadas para slug-flow podem ser obtidas para velocidade u∗ = 1,

pois para o caso com escoamento slug-flow a velocidade é igual a média.

Capítulo 6

Validação

O objetivo deste capítulo é verificar que a solução calculada pelo algoritmo numérico

converge para o valor dado pela solução analítica.

6.1 Solução analítica para slug-flow

Para situações onde o escoamento é do tipo slug-flow, soluções analíticas para o pro-

blema em regime permanente podem ser encontradas, como descrito em [41]. Para o

caso com valores grandes de Péclet, o campo de temperatura adimensional pode ser

calculado analiticamente por:

Θ(ξ, η) =Θ0 +∞∑

n=1

bn exp(−2µ2

n ξ)

Yn(η)

N (µn)(6.1)

onde as autofunções Yn e os autovalores µn , assim como a norma N (µn), são dados

por:

Yn(η) = cos(µn η), (6.2)

µn =(n − 1

2

)π, para n = 1,2,3, . . . (6.3)

N (µn) =∫ 1

0Y 2

n (η) dη = 1

2. (6.4)

74

6. Validação 75

e os coeficientes bn são calculados de:

bn =∫ 1

0(Θi n −Θ0)Yn(η) dη, (6.5)

Já para outros valores de Péclet, a solução é dada por:

Θ(ξ, η) =ΘF (η) +∞∑

n=0

Θ∗n(ξ)Yn(η)

N (µn), (6.6)

onde as funções Θ∗n(ξ) são definidas por:

Θ∗n(ξ) = bn exp

(Pe2

H ξ

4

)4βn cosh(βn(ξmax−ξ)) + Pe2

H sinh(βn(ξmax−ξ))

4βn cosh(βn ξmax) + Pe2H sinh(βn ξmax)

(6.7)

e os coeficientes βn são dados por:

βn = PeH

4

√Pe2

H +16µ2n (6.8)

6.2 Resultados

A primeira coluna das tabelas indica o número de volumes em que o canal foi divi-

dido em cada uma das direções (ξ e η) para compor a malha necessária para obter a

convergência. O grau de convergência é mensurado em termos de número de dígitos

convergidos, ou seja, quando os resultados não variam mais até n digitos diz-se ter n

digitos convergidos. Esta comparação é feita considerando o refinamento da malha em

I e em J . A solução completamente convergida foi calculada pela solução analítica an-

teriormente descrita e foi incluída como resultado exato para comparação. As tabelas

6.1 e 6.2 e 6.3 mostram os valores de Nusselt obtidos para slug-flow, para diferentes

números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1).

A tabela 6.4 mostra os valores de Nusselt obtidos para slug-flow, para número

de Péclet grande. Comparando os valores de Nusselt obtidos para número de Péclet

grande e número PeH = 10 é possivel observar que o comportamento das soluções é

6. Validação 76

Tab. 6.1: Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 10, discretização bidirecional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 144.614 113.466 -23.2099 9.8330612 25 299.720 229.898 -70.0798 9.8517912 50 598.030 454.055 -159.489 9.8606712 100 1194.67 902.511 -337.928 9.8651312 200 2387.08 1799.00 -694.682 9.8696012 400 4773.64 3593.01 -1407.94 9.8696025 12 140.616 79.3671 11.0194 9.8594925 25 289.916 146.083 10.9712 9.8645525 50 577.146 275.382 10.9624 9.8670625 100 1151.69 534.677 10.9603 9.8683425 200 2300.00 1053.50 10.9598 9.8696025 400 4598.28 2091.69 10.9597 9.8696050 12 134.770 44.5090 10.8198 9.8667750 25 272.773 42.8670 10.7881 9.8680650 50 538.332 41.0815 10.7817 9.8688250 100 1069.81 39.9545 10.7802 9.8692450 200 2132.99 39.3385 10.7798 9.8696050 400 4258.85 39.0187 10.7797 9.86960100 12 128.980 37.5839 10.7749 9.86909100 25 246.909 1.62527 10.7453 9.86918100 50 470.410 -72.1648 10.7392 9.86938100 100 918.199 -216.200 10.7378 9.86949100 200 1814.98 -500.757 10.7374 9.86960100 400 3609.37 -1067.70 10.7373 9.86960200 12 126.856 46.5914 10.7623 9.86979200 25 221.883 38.4751 10.7332 9.86951200 50 375.093 33.5345 10.7273 9.86954200 100 672.631 32.4336 10.7258 9.86957200 200 1270.65 32.4396 10.7255 9.86960200 400 2470.75 32.5771 10.7254 9.86960400 12 127.669 47.1367 10.7591 9.86998400 25 214.309 39.4662 10.7302 9.86961400 50 298.072 35.7842 10.7242 9.86959400 100 382.843 35.1938 10.7228 9.86959400 200 528.749 35.0944 10.7224 9.86960400 400 830.244 35.0712 10.7223 9.86960800 12 128.793 47.2297 10.7582 9.87003800 25 219.733 39.3946 10.7294 9.86963800 50 294.869 35.7538 10.7235 9.86960800 100 259.234 35.1931 10.7220 9.86961800 200 26.8611 35.0915 10.7217 9.86960800 400 -473.831 35.0680 10.7216 9.869601600 12 129.372 47.2498 10.7580 9.870051600 25 224.467 39.3541 10.7292 9.869641600 50 320.136 35.7211 10.7233 9.869611600 100 353.901 35.1755 10.7218 9.869611600 200 311.740 35.0756 10.7215 9.869601600 400 273.757 35.0524 10.7214 9.86960

exata 267.383 35.0385 10.7213 9.86960

6. Validação 77

Tab. 6.2: Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 1, discretização bidirecional.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 145.868 126.595 35.106 10.323712 25 300.286 238.568 6.00708 10.308312 50 596.650 448.451 -52.9306 10.305312 100 1189.43 868.720 -167.625 10.304612 200 2375.14 1710.78 -394.107 10.304512 400 4746.74 3396.01 -845.314 10.304425 12 145.627 125.128 42.9731 10.339925 25 297.025 213.950 36.6179 10.323825 50 582.802 341.543 33.4288 10.320525 100 1151.79 576.749 32.7729 10.319725 200 2289.91 1048.73 32.6544 10.319625 400 4566.93 1998.52 32.6289 10.319550 12 145.715 126.447 43.3002 10.343350 25 296.023 211.825 36.3833 10.327050 50 570.839 282.865 33.1725 10.323750 100 1100.19 305.040 32.6639 10.322950 200 2148.96 295.649 32.5736 10.322750 400 4247.24 282.969 32.5527 10.3227100 12 145.832 127.653 43.4034 10.3442100 25 296.423 218.791 36.3752 10.3278100 50 567.219 299.010 33.1692 10.3245100 100 1055.20 274.021 32.6809 10.3237100 200 1954.31 39.1622 32.5918 10.3235100 400 3715.45 -489.800 32.5712 10.3234200 12 145.909 128.121 43.4276 10.3444200 25 296.974 222.296 36.3634 10.3280200 50 569.074 317.830 33.1587 10.3247200 100 1043.83 351.482 32.6787 10.3239200 200 1798.21 301.340 32.5905 10.3237200 400 3032.83 253.257 32.5700 10.3236400 12 145.951 128.207 43.4336 10.3444400 25 297.332 222.898 36.3598 10.3281400 50 571.365 320.542 33.1555 10.3247400 100 1052.75 358.556 32.6778 10.3239400 200 1775.45 312.456 32.5898 10.3237400 400 2585.90 273.140 32.5694 10.3237800 12 145.972 128.229 43.4351 10.3444800 25 297.520 223.048 36.3589 10.3281800 50 572.771 321.210 33.1547 10.3248800 100 1061.96 360.085 32.6776 10.3239800 200 1818.64 313.304 32.5897 10.3237800 400 2637.25 273.517 32.5692 10.32371600 12 145.980 128.234 43.4354 10.34441600 25 297.600 223.086 36.3586 10.32811600 50 573.388 321.376 33.1545 10.32481600 100 1066.49 360.451 32.6775 10.32391600 200 1848.64 313.380 32.5896 10.32371600 400 2800.77 273.375 32.5692 10.3237

exata 2559.61 264.323 32.5625 10.3237

6. Validação 78

Tab. 6.3: Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 0.1, discretização bidirecional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 147.891 145.804 127.603 60.420212 25 306.429 296.270 218.315 49.077512 50 609.300 566.739 303.887 43.902712 100 1208.440 1047.380 303.579 43.146312 200 2394.700 1901.140 135.953 43.006612 400 4759.160 3536.830 -249.111 42.974125 12 147.898 145.874 127.914 60.716825 25 306.482 296.806 220.587 49.430025 50 609.514 569.179 315.764 44.140325 100 1207.610 1044.400 351.967 43.359425 200 2376.980 1774.220 309.567 43.216325 400 4664.900 2833.960 272.922 43.183050 12 147.901 145.909 127.970 60.783150 25 306.512 297.104 220.968 49.507450 50 609.715 571.220 317.404 44.191750 100 1208.470 1054.740 355.283 43.406050 200 2374.490 1785.040 309.601 43.262250 400 4601.490 2554.190 270.711 43.2288100 12 147.903 145.925 127.984 60.7997100 25 306.528 297.254 221.064 49.5267100 50 609.837 572.353 317.828 44.2044100 100 1209.280 1062.570 356.235 43.4176100 200 2378.020 1829.010 309.981 43.2737100 400 4593.370 2697.330 270.659 43.2402200 12 147.904 145.931 127.988 60.8039200 25 306.537 297.305 221.088 49.5315200 50 609.904 572.754 317.933 44.2076200 100 1209.770 1065.520 356.466 43.4205200 200 2381.300 1848.740 310.021 43.2765200 400 4608.300 2808.970 270.554 43.2431400 12 147.904 145.932 127.989 60.8049400 25 306.541 297.315 221.094 49.5327400 50 609.937 572.831 317.960 44.2084400 100 1210.040 1066.070 356.523 43.4212400 200 2383.270 1852.230 310.027 43.2772400 400 4621.530 2826.350 270.522 43.2438800 12 147.904 145.932 127.989 60.8052800 25 306.543 297.318 221.095 49.5330800 50 609.954 572.850 317.966 44.2086800 100 1210.17 1066.21 356.538 43.4214800 200 2384.29 1853.11 310.028 43.2774800 400 4629.11 2830.66 270.514 43.24401600 12 147.905 145.932 127.989 60.80521600 25 306.544 297.319 221.095 49.53311600 50 609.961 572.855 317.968 44.20861600 100 1210.22 1066.24 356.541 43.42151600 200 2384.71 1853.32 310.029 43.27751600 400 4632.38 2831.74 270.512 43.2440

exata 25478.1 2556.15 261.653 43.2331

6. Validação 79

muito semelhante e os resultados estão muito próximos, exceto na região da entrada do

canal (ξ= 0.001 e ξ= 0.01). Na saída do canal (ξ= 1) os resultados obtidos para Péclet

grande e PeH = 10 são iguais a solução exata com 6 digitos. Observa-se também que

os valores de Nusselt para Péclet grande são menores que os valores encontrados para

PeH = 10 e também são menores que os resultados encontrados para os demais valores

de Péclet estudados.

Com base nos resultados é possível observar que para o cáculo dos valores de

Nusselt para escoamento slug-flow a convergencia melhora a medida em que aumenta

o valor de Péclet.

A tabela 6.5 mostra os valores de Nusselt obtidos para slug-flow, para número de

Péclet grande com discretização em uma direção apenas. Os resultados mostram que

os valores do número de Nusselt obtidos com número de Péclet grande para discre-

tização em uma direção apenas e discretização em duas direções também são muito

semelhantes.

6. Validação 80

Tab. 6.4: Número de Nusselt para slug-flow, com número de PeH grande, discretizaçãoem duas direções.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 144.631 113.452 -27.0209 9.8031412 25 299.849 230.746 -76.2482 9.8373012 50 598.367 456.493 -170.360 9.8534012 100 1195.410 908.081 -358.299 9.8614912 200 2388.640 1810.81 -734.116 9.8696012 400 4776.840 3617.29 -1485.51 9.8696025 12 140.351 76.1515 10.3346 9.8463725 25 289.937 144.225 10.3168 9.8582325 50 577.681 275.824 10.3132 9.8638925 100 1153.210 539.407 10.3124 9.8667525 200 2303.480 1066.610 10.3121 9.8696025 400 4605.670 2121.460 10.3121 9.8696050 12 132.804 28.6382 10.1253 9.8594950 25 271.374 27.2600 10.1152 9.8645550 50 538.117 26.4724 10.1131 9.8670650 100 1071.760 26.0465 10.1125 9.8683450 200 2138.450 25.8261 10.1124 9.8696050 400 4273.270 25.7141 10.1124 9.86960100 12 120.257 4.6605 10.0700 9.86504100 25 237.229 -35.790 10.0612 9.86723100 50 462.927 -110.712 10.0593 9.86840100 100 914.906 -258.774 10.0588 9.86901100 200 1818.700 -553.969 10.0587 9.86960100 400 3627.480 -1143.75 10.0587 9.86960200 12 102.931 20.4474 10.0546 9.86761200 25 180.788 19.0001 10.0462 9.86846200 50 331.837 18.8493 10.0443 9.86902200 100 635.789 18.8800 10.0439 9.86931200 200 1244.870 18.9179 10.0438 9.86960200 400 2463.470 18.9419 10.0437 9.86960400 12 86.4928 20.0732 10.0507 9.86885400 25 106.103 19.3482 10.0423 9.86906400 50 142.241 19.2416 10.0405 9.86932400 100 219.119 19.2173 10.0400 9.86946400 200 376.358 19.2113 10.0399 9.86960400 400 692.820 19.2098 10.0399 9.86960800 12 80.5174 19.7942 10.0497 9.86945800 25 52.1268 19.1775 10.0413 9.86935800 50 -15.6181 19.0792 10.0395 9.86946800 100 -143.748 19.0565 10.0391 9.86953800 200 -393.184 19.0510 10.0390 9.86960800 400 -887.971 19.0496 10.0389 9.869601600 12 82.8151 19.7178 10.0494 9.869751600 25 67.9506 19.1286 10.0411 9.869501600 50 58.3883 19.0328 10.0393 9.869541600 100 56.1435 19.0106 10.0388 9.869571600 200 55.7555 19.0052 10.0387 9.869601600 400 55.7203 19.0038 10.0387 9.86960

exata 53.1445 18.9877 10.0386 9.86960

6. Validação 81

Tab. 6.5: Número de Nusselt para slug-flow com número de PeH grande, discretizaçãoem uma direção.

I ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 13 25.5106 20.6058 10.2319 9.810475 38.7817 22.1256 10.1079 9.87219

10 58.7782 19.7022 10.0587 9.8749620 59.5184 19.1415 10.0441 9.8716140 54.2935 19.0251 10.0400 9.8701680 53.4099 18.9970 10.0390 9.86975100 53.3129 18.9936 10.0389 9.86977200 53.1862 18.9892 10.0387 9.86964250 53.1710 18.9886 10.0386 9.86963300 53.1629 18.9884 10.0386 9.86962400 53.1549 18.9881 10.0386 9.86962500 53.1511 18.9879 10.0386 9.86961600 53.1491 18.9879 10.0386 9.86961700 53.1478 18.9878 10.0386 9.86961800 53.1471 18.9878 10.0386 9.86961900 53.1465 18.9878 10.0386 9.869611000 53.1461 18.9877 10.0386 9.869601100 53.1458 18.9877 10.0386 9.869611200 53.1456 18.9877 10.0386 9.869611300 53.1454 18.9877 10.0386 9.869611400 53.1454 18.9877 10.0386 9.869601500 53.1452 18.9877 10.0386 9.869611600 53.1451 18.9877 10.0386 9.869601700 53.1450 18.9877 10.0386 9.869601800 53.1450 18.9877 10.0386 9.869601900 53.1449 18.9877 10.0386 9.869612000 53.1449 18.9877 10.0386 9.869602100 53.1449 18.9877 10.0386 9.869602200 53.1448 18.9877 10.0386 9.869602300 53.1448 18.9877 10.0386 9.869602400 53.1448 18.9877 10.0386 9.869602500 53.1447 18.9877 10.0386 9.869602600 53.1447 18.9877 10.0386 9.869602800 53.1447 18.9877 10.0386 9.869603000 53.1446 18.9877 10.0386 9.869603200 53.1446 18.9877 10.0386 9.869603400 53.1446 18.9877 10.0386 9.869603600 53.1446 18.9877 10.0386 9.869603800 53.1446 18.9877 10.0386 9.869604000 53.1446 18.9877 10.0386 9.869604200 53.1446 18.9877 10.0386 9.869604400 53.1445 18.9877 10.0386 9.869604600 53.1445 18.9877 10.0386 9.869604800 53.1445 18.9877 10.0386 9.86960exata 53.1445 18.9877 10.0386 9.86960

Capítulo 7

Resultados da solução permanente

Neste capítulo são calculados os valores de temperatura e Nusselt para o escoamento

tipo Hagen-Poiseuille para regime permanente por diferentes metodos de solução com

o objetivo de verificar a solução desenvolvida e determinar o melhor método a ser uti-

lizado para calcular a transferência de calor. Isto também servirá como indicação de

qual metodologia será mais apropriada para executar a solução transiente. Para tal,

também são apresentadas algumas soluções alternativas para o problema. O resultados

apresentados são calculados para diferentes números de Péclet, com discretização bidi-

recional e em uma direção apenas, para diferentes posições de ξ e η, variando também

o comprimento máximo do canal.

7.1 Análise de convergência da temperatura no escoamento

A primeira análise feita tem o objetivo de estudar o comportamento da convergência

em diferentes posições (longitudinais e axiais) no escoamento. Para fazer esta aná-

lise, o campo de temperatura adimensional é calculado utilizando diferentes malhas

para diferentes combinações de ξ e η. Para estas comparações iniciais o esquema de

diferenças centradas (CDS) é utilizado. As tabelas 7.1 e 7.2 mostram os valores de

temperaturas adimensionalizadas obtidos para o número de Péclet PeH = 10 e valo-

res de η = 0.99 e η = 0, respectivamente. Em geral, a convergência é pior próximo à

82

7. Resultados da solução permanente 83

entrada do canal.

Tab. 7.1: Temperatura com PeH = 10 em η= 0.99 para discretização bidirecional CDS.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.323176 0.231609 -0.0286699 0.00043806112 25 0.603197 0.424877 -0.0712198 0.00043669312 50 0.964517 0.674406 -0.1259220 0.00043637512 100 1.157220 0.807494 -0.1550900 0.00043629412 200 0.964511 0.674353 -0.1259860 0.00043627312 400 0.964511 0.674350 -0.1259890 0.00043626825 12 0.312743 0.153380 0.0135170 0.00049928825 25 0.581386 0.261229 0.0135101 0.00049771325 50 0.928118 0.401261 0.0135076 0.00049734925 100 1.113050 0.475969 0.0135069 0.00049725725 200 0.928068 0.400869 0.0135067 0.00049723425 400 0.928065 0.400849 0.0135067 0.00049722850 12 0.297607 0.0758945 0.0134219 0.00052415650 25 0.544776 0.0721540 0.0134174 0.00052251550 50 0.864004 0.0693143 0.0134154 0.00052213750 100 1.034250 0.0677701 0.0134147 0.00052204150 200 0.863634 0.0672255 0.0134145 0.00052201850 400 0.863616 0.0671204 0.0134145 0.000522012100 12 0.282343 0.06151090 0.0134099 0.000532669100 25 0.491201 0.00117281 0.0134054 0.000531031100 50 0.757633 -0.0800874 0.0134034 0.000530651100 100 0.899224 -0.1242440 0.0134027 0.000530555100 200 0.755200 -0.0857729 0.0134026 0.000530531100 400 0.755075 -0.0860622 0.0134025 0.000530525200 12 0.276496 0.0839658 0.0134067 0.000535098200 25 0.440418 0.0710265 0.0134023 0.000533471200 50 0.617270 0.0652269 0.0134003 0.000533093200 100 0.704079 0.0646110 0.0133996 0.000532997200 200 0.604448 0.0646999 0.0133995 0.000532973200 400 0.603746 0.0646958 0.0133994 0.000532967400 12 0.278670 0.0856408 0.0134059 0.000535733400 25 0.425533 0.0735890 0.0134016 0.000534113400 50 0.512223 0.0689084 0.0133996 0.000533735400 100 0.513095 0.0681638 0.0133989 0.000533640400 200 0.470897 0.0680051 0.0133988 0.000533616400 400 0.468134 0.0679660 0.0133987 0.000533610800 12 0.281781 0.0859627 0.0134057 0.000535894800 25 0.437144 0.0736990 0.0134014 0.000534276800 50 0.512622 0.0690283 0.0133994 0.000533898800 100 0.462171 0.0682963 0.0133988 0.000533803800 200 0.455905 0.0681376 0.0133986 0.000533779800 400 0.450467 0.0680984 0.0133985 0.0005337731600 12 0.283396 0.0860365 0.0134057 0.0005359351600 25 0.447126 0.0736903 0.0134014 0.0005343171600 50 0.549417 0.0690210 0.0133994 0.0005339391600 100 0.526569 0.0682997 0.0133987 0.0005338441600 200 0.497948 0.0681423 0.0133985 0.0005338201600 400 0.493368 0.0681035 0.0133985 0.000533814


Tab. 7.2: Temperatura com PeH = 10 em η= 0 para discretização bidirecional CDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 0.999830 0.996447 0.831760 0.038370912 25 0.999767 0.995850 0.828237 0.038296112 50 0.999753 0.995718 0.827449 0.038279312 100 0.999750 0.995686 0.827251 0.038275112 200 0.999749 0.995678 0.827202 0.038274012 400 0.999749 0.995676 0.827190 0.038273825 12 1.00036 1.00068 0.838349 0.036694525 25 1.00034 1.00042 0.834674 0.036616725 50 1.00034 1.00036 0.833848 0.036599125 100 1.00033 1.00035 0.833641 0.036594725 200 1.00033 1.00035 0.833589 0.036593625 400 1.00033 1.00035 0.833576 0.036593450 12 0.999981 0.997867 0.843198 0.036371350 25 0.999974 0.997690 0.839494 0.036292550 50 0.999972 0.997655 0.838660 0.036274750 100 0.999972 0.997646 0.838452 0.036270250 200 0.999972 0.997644 0.838400 0.036269150 400 0.999972 0.997644 0.838387 0.0362688

100 12 0.999818 0.996717 0.844694 0.0363031100 25 0.999805 0.996512 0.840989 0.0362241100 50 0.999803 0.996470 0.840154 0.0362063100 100 0.999802 0.996460 0.839945 0.0362018100 200 0.999802 0.996457 0.839893 0.0362007100 400 0.999802 0.996456 0.839880 0.0362004200 12 0.999766 0.996405 0.845106 0.0362878200 25 0.999751 0.996190 0.841402 0.0362089200 50 0.999748 0.996145 0.840568 0.0361910200 100 0.999748 0.996134 0.840359 0.0361865200 200 0.999747 0.996132 0.840307 0.0361854200 400 0.999747 0.996131 0.840294 0.0361851400 12 0.999745 0.996341 0.845212 0.0362842400 25 0.999729 0.996124 0.841509 0.0362052400 50 0.999726 0.996079 0.840675 0.0361874400 100 0.999725 0.996068 0.840466 0.0361829400 200 0.999725 0.996065 0.840414 0.0361818400 400 0.999725 0.996065 0.840401 0.0361815800 12 0.999736 0.996325 0.845239 0.0362833800 25 0.999719 0.996108 0.841536 0.0362043800 50 0.999716 0.996063 0.840702 0.0361865800 100 0.999715 0.996052 0.840493 0.0361820800 200 0.999715 0.996049 0.840441 0.0361809800 400 0.999715 0.996048 0.840428 0.03618061600 12 0.999732 0.996321 0.845246 0.03628301600 25 0.999715 0.996104 0.841543 0.03620411600 50 0.999712 0.996059 0.840709 0.03618621600 100 0.999711 0.996047 0.840500 0.03618181600 200 0.999711 0.996045 0.840448 0.03618061600 400 0.999711 0.996044 0.840435 0.0361804

A tabela 7.1 mostra resultados atípicos em relação aos demais resultados na região

próxima a entrada do canal, nas posições de ξ = 0.001 e ξ = 0.01, onde os valores da


temperatura aumentam com J = 100 e depois diminuem, voltando a convergir. Além

disso, é observado que os valores da temperatura ficam negativos com I = 100 e voltam

a convergir com I = 200. Este comportamento atípico é explicado pela descontinuidade

da condição de contorno da entrada do canal, onde a temperatura dá um salto do valor

na parede para o valor do esocoamento não em contato com a mesma.

As tabelas 7.3 e 7.4 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obti-

dos para o número de Péclet PeH = 1 e valores de η= 0.99 e η= 0, respectivamente. Na

tabela 7.3, os resultados apresentam o mesmo comportamento atípico apresentado na

tabela 7.1, onde os valores da temperatura aumentam e em seguida diminuem, voltando

a convergir normalmente. Na tabela 7.4, os resultados mostram boa convergência, já

na entrada do canal, mesmo com malha grosseira (12×12) apresentando 4 dígitos con-

vergidos.

As tabelas 7.5 e 7.6 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obti-

dos para o número de Péclet PeH = 0.1 e valores de η= 0.99 e η= 0, respectivamente.

Na tabela 7.5, os resultados apresentam comportamento atípico nas mesmas regiões

que os resultados da tabela 7.1 e também em uma região mais afastada da entrada

(ξ= 0.1), onde os valores da temperatura aumentam e em seguida diminuem, voltando

a convergir normalmente. Na tabela 7.6, os resultados estão todos convergidos já na

entrada do canal com malha grosseira (12×12), com 6 dígitos. No entanto, é possível

verificar que quase não houve variação dos valores da temperatura em relação a tem-

peratura na entrada do canal. Isto ocorre porque para valores de Péclet muito baixos

a difusão axial é predominante em relação a difusão transversal, fazendo com que a

informação sobre a temperatura da parede (θ0 = 0) dificilmente chegue à região central

do escoamento.

Comparando os resultados de temperatura obtidos, de modo geral, a convergencia é

melhor na saída do canal e é melhor em η= 0 do que em η= 0.99, quando comparados

em relação as posições (ξ e η). Analisando os resultados em relação aos diferentes

números de Péclet considerados, os resultados obtidos para PeH = 10 apresentaram

melhor convergencia em η= 0.99. No entanto, para valores de Péclet pequenos (PeH =


Tab. 7.3: Temperatura com PeH = 1 em η= 0.99 para discretização bidirecional CDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 0.328403 0.278602 0.0661544 0.0092653512 25 0.608794 0.475051 0.0215595 0.0092418712 50 0.969774 0.721531 -0.0388090 0.0092367512 100 1.162170 0.851866 -0.0716990 0.0092354812 200 0.969338 0.717657 -0.0439599 0.0092351612 400 0.969316 0.717457 -0.0442216 0.0092350825 12 0.327880 0.275611 0.0809299 0.0093298925 25 0.602574 0.429835 0.0698129 0.0093059625 50 0.949850 0.573377 0.0651523 0.0093007525 100 1.133100 0.634967 0.0642780 0.0092994525 200 0.947282 0.553310 0.0640965 0.0092991325 400 0.947134 0.552161 0.0640520 0.0092990450 12 0.328102 0.278734 0.0816273 0.0093441950 25 0.600781 0.426912 0.0696434 0.0093201750 50 0.933970 0.500145 0.0649598 0.0093149450 100 1.100660 0.474989 0.0642133 0.0093136450 200 0.925744 0.449345 0.0640533 0.0093133250 400 0.925108 0.445563 0.0640139 0.00931323100 12 0.328384 0.281519 0.0818415 0.00934775100 25 0.601619 0.440310 0.0696842 0.00932372100 50 0.929809 0.525291 0.0650009 0.00931848100 100 1.079530 0.480136 0.0642715 0.00931718100 200 0.919134 0.471878 0.0641135 0.00931685100 400 0.917555 0.466378 0.0640745 0.00931677200 12 0.328566 0.282596 0.0818923 0.00934864200 25 0.602703 0.446962 0.0696794 0.00932460200 50 0.932631 0.550929 0.0649968 0.00931937200 100 1.077710 0.528387 0.0642747 0.00931806200 200 0.930019 0.500130 0.0641176 0.00931774200 400 0.927696 0.495539 0.0640788 0.00931766400 12 0.328665 0.282796 0.0819048 0.00934886400 25 0.603401 0.448110 0.0696773 0.00932482400 50 0.935809 0.554710 0.0649950 0.00931959400 100 1.083780 0.533887 0.0642748 0.00931829400 200 0.938562 0.504720 0.0641180 0.00931796400 400 0.935035 0.500129 0.0640793 0.00931788800 12 0.328714 0.282846 0.0819079 0.00934892800 25 0.603768 0.448396 0.0696767 0.00932488800 50 0.937728 0.555642 0.0649945 0.00931964800 100 1.088770 0.535168 0.0642748 0.00931834800 200 0.940172 0.505923 0.0641181 0.00931802800 400 0.936399 0.501339 0.0640794 0.00931793

1600 12 0.328734 0.282859 0.0819087 0.009348931600 25 0.603922 0.448468 0.0696766 0.009324891600 50 0.938567 0.555874 0.0649943 0.009319661600 100 1.091120 0.535482 0.0642748 0.009318351600 200 0.940069 0.506228 0.0641181 0.009318031600 400 0.936649 0.501647 0.0640794 0.00931795

0.1) a convergencia é melhor em η= 0, isto também pode ser pelo fato de que nos casos

com valores de Péclet pequenos, o problema é predominado pela difusão axial.


Tab. 7.4: Temperatura com PeH = 1 em η= 0 para discretização bidirecional CDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 0.999417 0.994141 0.938956 0.56187712 25 0.999411 0.994079 0.938334 0.56224212 50 0.999410 0.994066 0.938196 0.56232312 100 0.999409 0.994062 0.938162 0.56234412 200 0.999409 0.994062 0.938154 0.56234912 400 0.999409 0.994061 0.938152 0.56235025 12 0.999412 0.994090 0.938840 0.56156925 25 0.999406 0.994028 0.938220 0.56193425 50 0.999405 0.994015 0.938084 0.56201625 100 0.999404 0.994011 0.938050 0.56203725 200 0.999404 0.994011 0.938041 0.56204225 400 0.999404 0.994010 0.938039 0.56204350 12 0.999409 0.994061 0.938826 0.56150150 25 0.999403 0.994000 0.938207 0.56186650 50 0.999402 0.993986 0.938071 0.56194850 100 0.999401 0.993983 0.938037 0.56196850 200 0.999401 0.993982 0.938028 0.56197350 400 0.999401 0.993982 0.938026 0.561974100 12 0.999408 0.994047 0.938823 0.561483100 25 0.999401 0.993985 0.938204 0.561849100 50 0.999400 0.993972 0.938068 0.561930100 100 0.999400 0.993968 0.938034 0.561951100 200 0.999400 0.993968 0.938025 0.561956100 400 0.999400 0.993967 0.938023 0.561957200 12 0.999407 0.994042 0.938822 0.561479200 25 0.999401 0.993980 0.938203 0.561844200 50 0.999399 0.993967 0.938067 0.561926200 100 0.999399 0.993963 0.938033 0.561946200 200 0.999399 0.993963 0.938024 0.561952200 400 0.999399 0.993962 0.938022 0.561953400 12 0.999406 0.994041 0.938821 0.561478400 25 0.999400 0.993979 0.938203 0.561843400 50 0.999399 0.993966 0.938067 0.561925400 100 0.999399 0.993962 0.938033 0.561945400 200 0.999398 0.993962 0.938024 0.561951400 400 0.999398 0.993961 0.938022 0.561952800 12 0.999406 0.994041 0.938821 0.561478800 25 0.999400 0.993979 0.938203 0.561843800 50 0.999399 0.993966 0.938067 0.561925800 100 0.999398 0.993962 0.938033 0.561945800 200 0.999398 0.993961 0.938024 0.561950800 400 0.999398 0.993961 0.938022 0.561952

1600 12 0.999406 0.994041 0.938821 0.5614781600 25 0.999400 0.993979 0.938203 0.5618431600 50 0.999399 0.993966 0.938067 0.5619251600 100 0.999398 0.993962 0.938033 0.5619451600 200 0.999398 0.993961 0.938024 0.5619501600 400 0.999398 0.993961 0.938022 0.561951


Tab. 7.5: Temperatura com PeH = 0.1 em η= 0.99 para discretização bidirecional CDS.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.333797 0.328796 0.285552 0.132877012 25 0.622661 0.602193 0.445861 0.109651012 50 0.992757 0.930493 0.539035 0.100704012 100 1.187090 1.077690 0.503526 0.099348312 200 0.991782 0.921234 0.487887 0.099053012 400 0.991585 0.919438 0.482703 0.098980025 12 0.333813 0.328959 0.286265 0.133531025 25 0.622763 0.603235 0.450189 0.110382025 50 0.993072 0.934014 0.555371 0.101247025 100 1.187070 1.079690 0.534002 0.099856925 200 0.993257 0.933995 0.504835 0.099555225 400 0.992941 0.931328 0.500235 0.099480750 12 0.333822 0.329039 0.286393 0.133677050 25 0.622822 0.603812 0.450917 0.110543050 50 0.993348 0.936814 0.557685 0.101366050 100 1.187630 1.085910 0.537011 0.099968750 200 0.994088 0.939793 0.507792 0.099665650 400 0.993557 0.936020 0.503202 0.0995908

100 12 0.333826 0.329078 0.286426 0.1337140100 25 0.622853 0.604101 0.451100 0.1105830100 50 0.993516 0.938351 0.558281 0.1013950100 100 1.188070 1.090060 0.537823 0.0999965100 200 0.994253 0.940411 0.508567 0.0996930100 400 0.993655 0.936767 0.503983 0.0996181200 12 0.333828 0.329091 0.286434 0.1337230200 25 0.622870 0.604200 0.451146 0.1105930200 50 0.993606 0.938894 0.55842 0.1014030200 100 1.188320 1.091580 0.538024 0.1000030200 200 0.994240 0.940321 0.508763 0.0996999200 400 0.993671 0.936925 0.504181 0.0996250400 12 0.333829 0.329094 0.286436 0.1337250400 25 0.622878 0.604220 0.451157 0.1105950400 50 0.993651 0.938999 0.558466 0.1014050400 100 1.188460 1.091870 0.538074 0.1000050400 200 0.994210 0.940325 0.508812 0.0997016400 400 0.993675 0.936964 0.504231 0.0996267800 12 0.333830 0.329094 0.286436 0.133726800 25 0.622882 0.604225 0.451160 0.110596800 50 0.993674 0.939025 0.558476 0.101405800 100 1.18852 1.09194 0.538086 0.100006800 200 0.994192 0.940326 0.508824 0.0997020800 400 0.993676 0.936974 0.504243 0.09962711600 12 0.333830 0.329095 0.286436 0.1337261600 25 0.622883 0.604226 0.451161 0.1105961600 50 0.993683 0.939032 0.558478 0.1014051600 100 1.18855 1.09196 0.538089 0.1000061600 200 0.994184 0.940327 0.508828 0.09970221600 400


Tab. 7.6: Temperatura com PeH = 0.1 em η= 0 para discretização bidirecional CDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999912 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000012 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000012 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000012 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000012 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999925 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999950 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999100 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999200 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999400 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999800 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.9999991600 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.000001600 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.000001600 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.000001600 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.000001600 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000


Com o objetivo de verificação e comparação de resultados, os campos de tempera-

tura para o escoamento tipo slug-flow também foram calculados, e encontram-se nos

apêndices A.1, A.2 e A.3. Os resultados mostram que a convergência das soluções para

os dois tipos de escoamento é muito semelhante, em relação ao número de Péclet, em

relação as diferentes posições no escoamento (dadas pelos valores de ξ e η) e também

em relação as malhas utilizadas; todavia a convergência dos campos de temperatura é,

em geral, um pouco melhor para o escoamento slug-flow. O mesmo o comportamento

atípico apresentado em alguns casos da solução com escoamento Hagen-Poiseuille

(anteriormente mencionado) foram obtidos para o caso com slug-flow para os mesmos

números de Péclet, mesmas posições e mesmas malhas. Algumas poucas exceções fo-

ram observadas como é o caso da tabela A.2, com número de Péclet PeH = 10 em η= 0,

onde os resultados apresentaram comportamento atípico para slug-flow em posições e

malhas ligeiramente diferentes dos apresentados para Hagen-Poiseuille.

Comparando os valores de θ obtidos para slug-flow e Hagen-Poiseuille, é possível

observar algumas diferenças na distribuição de temperatura para os diferentes tipos

de escoamentos. As temperaturas para o escoamento Hagen-Poiseuille, de modo ge-

ral, são ligeiramente maiores que os valores de temperatura para slug-flow na saída do

canal. Este resultado está associado à diferença nos perfis de velocidade para os dois

tipos de escoamento. Com o perfil de escoamento reto do slug-flow haverá maior trans-

ferência de calor junto a parede, fazendo com que a temperatura caia mais rapidamente

com a posição axial (ξ), resultando em menores temperaturas na saída.


7.2 Análise de convergência de Nusselt para CDS e HDS

O objetivo desta seção é comparar os resultados das soluções com a discretização

baseada no esquema de diferenças centradas (CDS) com a discretização baseada no

esquema de diferenças híbrido (HDS), para o cálculo do número de Nusselt com o

escoamento Hagen-Poiseuille.

7.2.1 Esquema de diferenças centradas – CDS

Esta seção apresenta os resultados para a solução em regime permanente, utilizando

discretização em duas direções, considerando a condição de contorno de temperatura

constante na parede do canal. O esquema de discretização baseado em diferenças cen-

tradas para o termo convectivo (CDS) foi utilizado. O número de Nusselt foi calculado

para diferentes posições e diferentes valores de número de Péclet.

As tabelas 7.7, 7.8 e 7.9 mostram os valores de Nusselt, para diferentes números de

Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). Os resultados apresentam um comportamento

atípico na região da entrada do canal (ξ = 0.01), onde resultados começam a apresen-

tar convergência, porém quando a malha é refinada para I = 100 os resultados ficam

negativos e voltam a convergir ao refinar a malha para I = 200. Este comportamento é

observado para número de PeH = 1 e PeH = 10.

Comparando os resultados em diferentes posições axiais, verifica-se que a conver-

gência é muito pior nas posições próximas da entrada do canal (pequenos valores de ξ).

Além disso, a redução do número de Péclet diminui a convergência, como observado

na tabela 7.9 e 7.8. Para menores valores de Péclet (PeH = 0.1 e PeH = 1), nenhum

dígito apresenta convergência, mesmo para malha mais refinada utilizada, próximo à

entrada do canal (ξ= 0.001).


Tab. 7.7: Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional CDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 142.762 107.173 -20.8444 7.7367312 25 297.397 219.275 -57.1762 7.7586912 50 594.589 434.854 -126.822 7.7669912 100 1188.880 866.008 -266.010 7.7707712 200 2377.440 1728.32 -544.336 7.7743112 400 4754.480 3452.93 -1100.96 7.7743325 12 138.154 70.5440 8.25530 7.7796825 25 286.594 133.459 8.25791 7.7904125 50 571.951 255.049 8.25796 7.7938225 100 1142.620 498.577 8.25787 7.7952125 200 2283.950 985.823 8.25783 7.7963825 400 4566.560 1960.41 8.25782 7.7964050 12 131.320 33.5192 8.16864 7.7718650 25 268.013 32.1138 8.17273 7.7792450 50 530.943 30.9288 8.17298 7.7811550 100 1056.990 30.2176 8.17295 7.7818450 200 2109.230 29.8355 8.17293 7.7822550 400 4213.780 29.6383 8.17293 7.78226100 12 124.318 26.3604 8.15113 7.75112100 25 240.174 -7.20932 8.15516 7.75768100 50 460.594 -74.3350 8.15541 7.75912100 100 902.173 -205.750 8.15538 7.75952100 200 1786.320 -465.961 8.15536 7.75971100 400 3555.260 -984.789 8.15535 7.75973200 12 121.577 37.0201 8.14622 7.73862200 25 213.013 30.6256 8.15028 7.74506200 50 362.802 26.9930 8.15054 7.74637200 100 655.213 26.2346 8.15051 7.74670200 200 1242.910 26.2734 8.15049 7.74680200 400 2421.900 26.3936 8.15049 7.74682400 12 122.538 37.7968 8.14498 7.73378400 25 204.593 31.9331 8.14906 7.74022400 50 283.688 29.2716 8.14932 7.74150400 100 365.713 28.8534 8.14929 7.74181400 200 508.964 28.7825 8.14927 7.74189400 400 804.824 28.7659 8.14926 7.74191800 12 123.951 37.9440 8.14467 7.73227800 25 210.603 31.9672 8.14875 7.73872800 50 280.516 29.3177 8.14901 7.73999800 100 242.552 28.9124 8.14898 7.74029800 200 14.2330 28.8384 8.14897 7.74037800 400 -475.662 28.8212 8.14896 7.740391600 12 124.687 37.9775 8.14459 7.731851600 25 215.905 31.9558 8.14868 7.738291600 50 307.048 29.3076 8.14894 7.739571600 100 338.681 28.9122 8.14891 7.739871600 200 298.107 28.8392 8.14889 7.739951600 400 261.858 28.8221 8.14888 7.73996


Tab. 7.8: Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional CDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 144.438 123.545 30.9689 8.4504212 25 298.694 233.484 4.57372 8.4391712 50 594.554 439.571 -48.4931 8.4369312 100 1186.24 852.247 -151.747 8.4364312 200 2369.72 1679.08 -355.683 8.4363712 400 4736.78 3333.82 -762.009 8.4363425 12 144.190 122.079 38.4667 8.4624225 25 295.355 208.840 32.7172 8.4505425 50 580.491 333.474 29.8808 8.4480925 100 1148.14 563.546 29.2981 8.4475025 200 2283.56 1025.35 29.1925 8.4473725 400 4555.12 1954.67 29.1697 8.4473450 12 144.287 123.483 38.7984 8.4647450 25 294.343 206.831 32.5424 8.4527450 50 568.416 275.704 29.6815 8.4502550 100 1096.25 296.966 29.2280 8.4496450 200 2142.07 287.711 29.1471 8.4494950 400 4234.42 275.353 29.1283 8.44946100 12 144.413 124.753 38.9017 8.46529100 25 294.764 213.912 32.5456 8.45326100 50 564.791 291.872 29.6871 8.45076100 100 1051.16 266.854 29.2510 8.45015100 200 1947.31 37.1027 29.1711 8.44999100 400 3702.74 -479.736 29.1525 8.44996200 12 144.495 125.246 38.9261 8.46542200 25 295.336 217.470 32.5376 8.45338200 50 566.692 310.593 29.6798 8.45088200 100 1039.82 343.126 29.2509 8.45027200 200 1791.34 294.025 29.1718 8.45012200 400 3021.41 247.072 29.1533 8.45008400 12 144.540 125.338 38.9321 8.46545400 25 295.707 218.081 32.5350 8.45341400 50 569.023 313.298 29.6775 8.45091400 100 1048.82 350.119 29.2505 8.45030400 200 1768.74 304.978 29.1716 8.45015400 400 2575.70 266.582 29.1532 8.45011800 12 144.562 125.361 38.9336 8.46546800 25 295.902 218.234 32.5343 8.45342800 50 570.452 313.963 29.6769 8.45092800 100 1058.09 351.632 29.2504 8.45030800 200 1812.00 305.826 29.1716 8.45015800 400 2627.15 266.967 29.1532 8.450111600 12 144.572 125.366 38.9340 8.465461600 25 295.984 218.272 32.5342 8.453421600 50 571.079 314.129 29.6767 8.450921600 100 1062.65 351.995 29.2504 8.450311600 200 1842.04 305.906 29.1716 8.450151600 400 2790.44 266.832 29.1532 8.45012


Tab. 7.9: Número de Nusselt com PeH = 0.1 para discretização bidirecional CDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 146.666 144.444 125.215 57.013212 25 305.317 294.738 214.366 46.101412 50 608.178 564.566 298.058 41.203212 100 1207.17 1043.77 297.429 40.484612 200 2393.08 1894.82 133.074 40.351412 400 4756.75 3525.30 -244.069 40.320425 12 146.674 144.518 125.538 57.304825 25 305.371 295.289 216.654 46.441725 50 608.396 567.046 309.837 41.434125 100 1206.34 1040.86 345.046 40.692325 200 2375.35 1768.21 303.355 40.555825 400 4662.39 2824.14 267.417 40.524150 12 146.678 144.554 125.595 57.370150 25 305.402 295.595 217.038 46.516550 50 608.599 569.112 311.466 41.484150 100 1207.21 1051.27 348.321 40.737850 200 2372.87 1779.14 303.409 40.600750 400 4598.96 2545.35 265.268 40.5688

100 12 146.679 144.571 125.610 57.3864100 25 305.419 295.748 217.135 46.5351100 50 608.724 570.258 311.887 41.4965100 100 1208.02 1059.13 349.261 40.7491100 200 2376.42 1823.14 303.787 40.6118100 400 4590.87 2688.30 265.222 40.5799200 12 146.680 144.577 125.614 57.3904200 25 305.428 295.801 217.159 46.5398200 50 608.791 570.663 311.992 41.4996200 100 1208.52 1062.09 349.489 40.7520200 200 2379.72 1842.86 303.827 40.6146200 400 4605.83 2799.73 265.120 40.5827400 12 146.681 144.578 125.614 57.3915400 25 305.432 295.811 217.165 46.5409400 50 608.825 570.741 312.018 41.5003400 100 1208.79 1062.65 349.546 40.7527400 200 2381.70 1846.36 303.833 40.6153400 400 4619.08 2817.09 265.089 40.5834800 12 146.681 144.579 125.615 57.3917800 25 305.434 295.814 217.166 46.5412800 50 608.842 570.761 312.025 41.5005800 100 1208.92 1062.78 349.560 40.7529800 200 2382.71 1847.23 303.835 40.6155800 400 4626.68 2821.39 265.081 40.58351600 12 146.681 144.579 125.615 57.39181600 25 305.435 295.815 217.167 46.54131600 50 608.849 570.766 312.026 41.50061600 100 1208.97 1062.82 349.564 40.75291600 200 2383.14 1847.45 303.835 40.61551600 400


Comparando os resultados obtidos nesta seção com os obtidos na validação com o

escoamento slug-flow (tabelas 6.1 , 6.2 e 6.3), observa-se que a convergência é melhor

para slug-flow. Para este tipo simplificado de escoamento é obtida uma convergência

com seis dígitos, com malhas relativamente grosseiras, na posição ξ= 1, para valores

de PeH = 1 e PeH = 10. Já para o escoamento do tipo Hagen-Poiseuille, é necessário

um refinamento muito maior da malha para obter a mesma precisão obtida em posições

similares para slug-flow. De fato, para o escoamento do tipo Hagen-Poiseuille, em

nenhum caso foi obtida a convergência com seis dígitos. Entretanto, para posições

próximas da entrada do canal e para número de Péclet PeH = 0.1, não foi observada

convergência superior para o escoamento slug-flow.

Comparando os valores de número de Nusselt obtidos para os dois de tipos de

escoamento é possível observar que o comportamento das soluções é muito semelhante

e os resultados estão muito próximos, sendo que os valores do número de Nusselt para

slug-flow são um pouco maiores que os valores obtidos para Hagen-Poiseuille. Este

resultado pode estar associado à diferença dos perfis de velocidade para os dois tipos

de escoamento, onde o perfil de velocidade reto do slug-flow contribui para a melhor

transferência de calor junto a parede, conforme mencionado anteriormente.


7.2.2 Esquema híbrido – HDS

Esta seção apresenta os resultados para a solução HDS em regime permanente, dis-

cretizada em duas direções, com o objetivo de comparar os resultados obtidos para

solução numérica CDS desenvolvida, considerando a condição de contorno de tempe-

ratura constante na parede do canal.

Antes de apresentar resultados calculados com o esquema de diferenças híbrido

HDS (combinação de diferenças centradas e upwind) valores do parâmetro ω em fun-

ção do número de Péclet são avaliados e mostrados na tabela 7.10.

Tab. 7.10: Valores do parâmetro α para o esquema HDS.u∗ PeH 0 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 5.0 10ω 0.5000 0.4994 0.4844 0.4378 0.3630 0.2689 0.0019 0.0000

Como pode-se observar desta tabela, para valores de Péclet ≤ 0.1 os valores de ω

(ω≈ 0.5) estarão resultando num esquema praticamente apenas CDS. Portanto, resul-

tados para HDS com Péclet igual a 0.1 não serão apresentados, pois estes levariam a

praticamente aos mesmos resultados calculados com o esquema CDS. Para PeH = 10

pode-se dizer que o esquema é praticamente UDS, todavia, como perto da parede a ve-

locidade cai para zero, nestas posições a difusão é dominante e o esquema aproxima-se

do CDS.

O número de Nusselt foi calculado para diferentes posições longitudinais (ξ =0.001, 0.01, 0.1 e 1) variando o valor de número de Péclet (PeH = 10 e PeH = 1).

A critério de verificação, valores de Nusselt com PeH = 0.1 foram também calculados

com o esquema HDS, todavia, como esperado os mesmos resultados obtidos com o

esquema CDS foram obtidos. As tabelas 7.11 e 7.12 mostram os valores de Nusselt

obtidos para diferentes números de Péclet.1 Comparando os valores de Nusselt obtidos

para os dois esquemas, CDS E HDS, é possível observar que o comportamento das so-

luções é muito semelhante e os resultados estão muito próximos, sendo que em alguns

casos os resultados são exatamente iguais para os dois esquemas, tanto para PeH = 10

1 Valores para as temperaturas adimensionais em diferentes posições no escoamento também foramcalculados pelo esquema HDS, e são apresentadas no apêndice A.5.


quanto para PeH = 1.

Tab. 7.11: Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional HDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 143.068 109.340 -22.8937 7.6172112 25 298.060 223.938 -61.9008 7.6347912 50 595.937 444.315 -136.672 7.6402712 100 1191.60 885.064 -286.103 7.6424512 200 2382.90 1766.57 -584.909 7.6443012 400 4765.42 3529.56 -1182.50 7.6443225 12 138.430 71.6251 8.44427 7.6707825 25 287.207 135.776 8.44838 7.6822725 50 573.213 259.762 8.44861 7.6853225 100 1145.18 508.091 8.44852 7.6863825 200 2289.10 1004.94 8.44848 7.6871425 400 4576.91 1998.74 8.44847 7.6871650 12 131.489 33.6142 8.29824 7.7033850 25 268.412 32.1817 8.30302 7.7119650 50 531.786 30.9765 8.30332 7.7139850 100 1058.73 30.2558 8.30328 7.7145950 200 2112.74 29.8691 8.30325 7.7149250 400 4220.85 29.6696 8.30324 7.71494100 12 124.380 26.4031 8.22668 7.71720100 25 240.359 -7.31182 8.23106 7.72452100 50 460.996 -74.7231 8.23133 7.72608100 100 903.017 -206.685 8.23129 7.72650100 200 1788.05 -467.977 8.23127 7.72667100 400 3558.76 -988.958 8.23126 7.72669200 12 121.570 37.2120 8.18668 7.72266200 25 213.081 30.7628 8.19092 7.72951200 50 362.942 27.1298 8.19118 7.73089200 100 655.497 26.3749 8.19115 7.73124200 200 1243.49 26.4146 8.19113 7.73134200 400 2423.09 26.5349 8.19112 7.73136400 12 122.520 37.9217 8.16586 7.72603400 25 204.615 32.0247 8.17002 7.73268400 50 283.736 29.3654 8.17028 7.73400400 100 365.772 28.9489 8.17025 7.73432400 200 509.053 28.8783 8.17023 7.73441400 400 804.979 28.8616 8.17022 7.73443800 12 123.952 38.0151 8.15527 7.72842800 25 210.616 32.0195 8.15939 7.73497800 50 280.542 29.3711 8.15965 7.73626800 100 242.573 28.9667 8.15962 7.73657800 200 14.2337 28.8928 8.15960 7.73665800 400 -475.701 28.8756 8.15959 7.736671600 12 124.698 38.0153 8.14993 7.729921600 25 215.922 31.9836 8.15403 7.736421600 50 307.066 29.3359 8.15429 7.737701600 100 338.698 28.9409 8.15426 7.738011600 200 298.123 28.8679 8.15425 7.738081600 400 261.874 28.8509 8.15424 7.73810


Tab. 7.12: Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional HDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 144.439 123.549 30.9700 8.4480112 25 298.695 233.491 4.57483 8.4367912 50 594.556 439.585 -48.4919 8.4345612 100 1186.24 852.274 -151.746 8.4340612 200 2369.73 1679.14 -355.682 8.4340012 400 4736.80 3333.92 -762.007 8.4339725 12 144.190 122.080 38.4660 8.4612725 25 295.355 208.843 32.7168 8.4494125 50 580.492 333.478 29.8806 8.4469725 100 1148.14 563.554 29.2979 8.4463825 200 2283.57 1025.37 29.1923 8.4462525 400 4555.13 1954.70 29.1695 8.4462150 12 144.287 123.483 38.7978 8.4641650 25 294.343 206.832 32.5420 8.4521750 50 568.417 275.706 29.6813 8.4496950 100 1096.25 296.967 29.2278 8.4490850 200 2142.08 287.712 29.1469 8.4489350 400 4234.42 275.354 29.1281 8.44889100 12 144.413 124.754 38.9014 8.46500100 25 294.765 213.913 32.5454 8.45297100 50 564.792 291.872 29.6870 8.45048100 100 1051.16 266.854 29.2508 8.44987100 200 1947.31 37.1027 29.1709 8.44971100 400 3702.74 -479.736 29.1524 8.44967200 12 144.495 125.246 38.9260 8.46528200 25 295.336 217.470 32.5375 8.45324200 50 566.692 310.593 29.6797 8.45074200 100 1039.82 343.126 29.2508 8.45013200 200 1791.34 294.025 29.1717 8.44997200 400 3021.41 247.072 29.1532 8.44994400 12 144.540 125.338 38.9321 8.46538400 25 295.707 218.081 32.5349 8.45334400 50 569.023 313.298 29.6775 8.45084400 100 1048.82 350.119 29.2505 8.45023400 200 1768.74 304.978 29.1716 8.45008400 400 2575.70 266.582 29.1532 8.45004800 12 144.562 125.361 38.9336 8.46543800 25 295.902 218.234 32.5343 8.45339800 50 570.452 313.963 29.6769 8.45089800 100 1058.09 351.632 29.2504 8.45027800 200 1812.00 305.826 29.1715 8.45012800 400 2627.15 266.967 29.1532 8.450081600 12 144.572 125.366 38.9340 8.465451600 25 295.984 218.272 32.5341 8.453411600 50 571.079 314.129 29.6767 8.450901600 100 1062.65 351.995 29.2504 8.450291600 200 1842.04 305.906 29.1715 8.450141600 400 2790.44 266.832 29.1532 8.45010


Os resultados apresentados mostram que a convergência das soluções para os dois

esquemas é muito semelhante em relação ao número de Péclet, em relação às coorde-

nadas (ξ e η) e em relação as malhas utilizadas. O mesmo o comportamento atípico

apresentado em alguns casos da solução para CDS foram obtidos para HDS, para os

mesmos números de Péclet, mesmas coordenadas e mesmas malhas.

Os resultados mostram que aparentemente a convergência para CDS é melhor do

que para HDS. É muito provável que a ordem do erro esteja influenciando na con-

vergência, visto que para CDS o erro é da ordem de ∆ξ2 enquanto que para UDS

(diferença avançada ou atrasada) o erro é da ordem de ∆ξ. Porém, o tempo computaci-

onal também deve ser comparado. Tal comparação é apresentada no final desta seção,

na tabela 7.15.

7.2.3 Análise da solução com Péclet grande

Com o objetivo de verificar importância da difusão axial, a solução com Pe → ∞ é

calculada. As soluções com discretização bidirecional CDS e HDS são utilizadas. As

tabelas 7.13 e 7.14 mostram os valores de Nusselt obtidos para diferentes malhas para

a discretização CDS e HDS, respectivamente. Como pode-se observar, os resultados

obtidos são muito semelhantes aos resultados obtidos para a solução com número de

PeH = 10. O mesmo o comportamento atípico apresentado em alguns casos da solução

para número de PeH = 10 foram obtidos também para a solução com número de Péclet

grande, nas mesmas coordenadas e nas mesmas malhas, tanto para a discretização CDS

quanto para HDS.

Valores para a temperatura adimensional também foram calculados com a discre-

tização CDS, em diferentes posições, e são apresentados no apêndice A.4, mostrando

um comportamento, em geral, similar ao de Nusselt. Comparando os valores de tem-

peratura obtidos para número de Péclet grande e número PeH = 10, é possível observar

que o comportamento das soluções é muito semelhante e os resultados estão muito

próximos.


Tab. 7.13: Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional CDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 142.783 107.121 -23.9407 7.4826012 25 297.551 220.177 -61.7740 7.5171612 50 594.989 437.504 -134.483 7.5297512 100 1189.770 872.107 -279.890 7.5354112 200 2379.300 1741.290 -570.701 7.5406612 400 4758.280 3479.630 -1152.32 7.5406925 12 137.816 66.6339 7.74537 7.5086825 25 286.610 131.117 7.75708 7.5296825 50 572.583 255.190 7.75905 7.5360225 100 1144.440 503.336 7.75945 7.5385525 200 2288.130 999.622 7.75954 7.5406625 400 4575.430 1992.190 7.75956 7.5406950 12 128.642 14.1349 7.65403 7.5176650 25 266.067 13.9271 7.66508 7.5339850 50 530.244 13.8901 7.66698 7.5381750 100 1058.530 13.8821 7.66738 7.5396350 200 2115.060 13.8803 7.66747 7.5406650 400 4228.120 13.8799 7.66749 7.54069100 12 111.802 -13.5763 7.62853 7.52162100 25 227.498 -48.8065 7.63942 7.53588100 50 450.116 -115.994 7.64129 7.53912100 100 895.337 -250.266 7.64170 7.54010100 200 1785.770 -518.788 7.64178 7.54066100 400 3566.590 -1055.83 7.64180 7.54069200 12 83.4941 11.9306 7.62141 7.52349200 25 160.456 12.0700 7.63224 7.53677200 50 309.350 12.0930 7.63411 7.53957200 100 607.277 12.0969 7.63451 7.54032200 200 1203.150 12.0976 7.63459 7.54066200 400 2394.900 12.0978 7.63462 7.54069400 12 44.2133 12.0230 7.61958 7.52440400 25 62.4122 12.0846 7.63039 7.53721400 50 100.5570 12.0921 7.63226 7.53978400 100 177.4140 12.0931 7.63266 7.54043400 200 331.2370 12.0932 7.63274 7.54066400 400 638.9060 12.0932 7.63277 7.54069800 12 13.0182 11.9694 7.61912 7.52485800 25 -21.8185 12.0281 7.62993 7.53742800 50 -82.0234 12.0353 7.63180 7.53989800 100 -201.189 12.0362 7.63220 7.54048800 200 -439.274 12.0363 7.63228 7.54066800 400 -915.396 12.0364 7.63230 7.540691600 12 25.4184 11.9540 7.61900 7.525071600 25 25.1331 12.0119 7.62981 7.537531600 50 25.3401 12.0190 7.63168 7.539941600 100 25.3787 12.0199 7.63208 7.540511600 200 25.3846 12.0201 7.63216 7.540661600 400 25.3855 12.0201 7.63218 7.54069


Tab. 7.14: Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional HDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 143.211 110.202 -27.5848 7.5078612 25 298.477 226.828 -69.8078 7.5292912 50 596.872 451.013 -150.950 7.5358212 100 1193.56 899.327 -313.222 7.5384512 200 2386.92 1795.94 -637.760 7.5406612 400 4773.55 3589.12 -1286.84 7.5406925 12 138.356 68.7065 7.90618 7.5176625 25 287.804 135.733 7.91869 7.5339825 50 575.033 264.703 7.92070 7.5381725 100 1149.40 522.642 7.92109 7.5396325 200 2298.11 1038.52 7.92118 7.5406625 400 4595.46 2070.25 7.92120 7.5406950 12 129.202 13.7268 7.75764 7.5216250 25 267.387 13.5027 7.76894 7.5358850 50 533.029 13.4629 7.77081 7.5391250 100 1064.24 13.4545 7.77119 7.5401050 200 2126.65 13.4526 7.77128 7.5406650 400 4251.41 13.4521 7.77130 7.54069100 12 112.199 -14.8794 7.68727 7.52349100 25 228.677 -51.0801 7.69821 7.53677100 50 452.808 -120.100 7.70006 7.53957100 100 901.056 -258.033 7.70044 7.54032100 200 1797.53 -533.873 7.70053 7.54066100 400 3590.47 -1085.55 7.70055 7.54069200 12 83.3424 12.1301 7.65258 7.52440200 25 160.904 12.2729 7.66342 7.53721200 50 310.973 12.2993 7.66527 7.53978200 100 611.260 12.3037 7.66566 7.54043200 200 1211.86 12.3045 7.66574 7.54066200 400 2413.05 12.3047 7.66576 7.54069400 12 42.9604 12.1550 7.63559 7.52485400 25 61.3214 12.2264 7.64641 7.53742400 50 99.7686 12.2352 7.64826 7.53989400 100 177.260 12.2363 7.64866 7.54048400 200 332.358 12.2365 7.64874 7.54066400 400 642.579 12.2365 7.64876 7.54069800 12 10.8804 12.0560 7.62723 7.52507800 25 -24.0756 12.1199 7.63804 7.53753800 50 -84.7076 12.1278 7.63990 7.53994800 100 -204.673 12.1288 7.64030 7.54051800 200 -444.349 12.1290 7.64038 7.54066800 400 -923.650 12.1290 7.64040 7.540691600 12 26.2917 12.0029 7.62308 7.525191600 25 25.1710 12.0636 7.63389 7.537581600 50 25.3752 12.0710 7.63575 7.539971600 100 25.4206 12.0720 7.63615 7.540521600 200 25.4277 12.0721 7.63624 7.540661600 400


Comparando os valores de apresentados para o número de Nusselt, observa-se que

o caso com Péclet grande aproxima-se de PeH = 10, em posições longe da entrada do

canal. Os resultados são notavelmente diferentes próximo a entrada do canal; porém,

os valores de Nusselt são sempre maiores para o caso com PeH = 10. Este fenômeno,

novamente, deve-se ao fato de haver mais difusão axial em PeH = 10 (de fato, para a

aproximação com Péclet grande não existe difusão axial).

Para completar a comparação dos esquemas HDS e CDS, o tempo computacional

(em segundos) associado à solução do problema para diferentes malhas e diferentes

valores de Péclet é apresentado na tabela 7.15. Como pode ser observado, o tempo

computacional com o esquema HDS é notadamente menor do que com o esquema

CDS, principalmente para PeH = 1, onde o tempo computacional gasto para HDS é

menos que a metade do CDS.

Tab. 7.15: Tempo computacional para HDS e CDS para discretização bidirecional emdiferentes malhas.

PeH →∞ PeH = 10 PeH = 1 PeH = 1/10I J CDS HDS CDS HDS CDS HDS CDS HDS

50 50 8 6 9 8 9 6 6 6200 25 35 23 42 35 43 35 25 25100 50 37 25 38 33 39 25 26 2550 100 38 25 42 36 43 25 25 2525 200 39 26 55 49 49 25 26 25

400 25 161 91 231 194 229 105 108 103200 50 172 112 206 168 204 101 104 101100 100 186 120 214 181 211 105 110 10750 200 186 125 246 215 245 114 108 11125 400 196 124 294 261 255 108 120 114

400 50 920 599 1003 878 1052 470 506 472200 100 791 561 1001 886 995 480 504 488100 200 955 601 1080 919 1183 527 546 52450 400 1027 659 1100 928 1095 458 454 457

200 200 4113 2947 4361 2965 4437 2276 2394 2360

Também foram calculados os resultados com a discretização baseada exclusiva-

mente no esquema UDS (diferença avançada ou atrasada) para comparação com os

resultados obtidos anteriormente. Estes resultados estão na tabela 7.16. Os resultados

não mostraram diferenças significativas em relação aos demais resultados obtidos com

valores de Péclet grande.


Tab. 7.16: Número de Nusselt para PeH grande e discretização bidirecional UDS.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 143.211 110.202 -27.5848 7.5078612 25 298.477 226.828 -69.8078 7.5292912 50 596.872 451.013 -150.950 7.5358212 100 1193.56 899.327 -313.222 7.5384512 200 2386.92 1795.94 -637.760 7.5406612 400 4773.55 3589.12 -1286.84 7.5406925 12 138.356 68.7065 7.90618 7.5176625 25 287.804 135.733 7.91869 7.5339825 50 575.033 264.703 7.92070 7.5381725 100 1149.40 522.642 7.92109 7.5396325 200 2298.11 1038.52 7.92118 7.5406625 400 4595.46 2070.25 7.92120 7.5406950 12 129.202 13.7268 7.75764 7.5216250 25 267.387 13.5027 7.76894 7.5358850 50 533.029 13.4629 7.77081 7.5391250 100 1064.24 13.4545 7.77119 7.5401050 200 2126.65 13.4526 7.77128 7.5406650 400 4251.41 13.4521 7.77130 7.54069100 12 112.199 -14.8794 7.68727 7.52349100 25 228.677 -51.0801 7.69821 7.53677100 50 452.808 -120.100 7.70006 7.53957100 100 901.056 -258.033 7.70044 7.54032100 200 1797.53 -533.873 7.70053 7.54066100 400 3590.47 -1085.55 7.70055 7.54069200 12 83.3424 12.1301 7.65258 7.52440200 25 160.904 12.2729 7.66342 7.53721200 50 310.973 12.2993 7.66527 7.53978200 100 611.260 12.3037 7.66566 7.54043200 200 1211.86 12.3045 7.66574 7.54066200 400 2413.05 12.3047 7.66576 7.54069400 12 42.9604 12.1550 7.63559 7.52485400 25 61.3214 12.2264 7.64641 7.53742400 50 99.7686 12.2352 7.64826 7.53989400 100 177.260 12.2363 7.64866 7.54048400 200 332.358 12.2365 7.64874 7.54066400 400 642.579 12.2365 7.64876 7.54069800 12 10.8804 12.056 7.62723 7.52507800 25 -24.0756 12.1199 7.63804 7.53753800 50 -84.7076 12.1278 7.63990 7.53994800 100 -204.673 12.1288 7.64030 7.54051800 200 -444.349 12.1290 7.64038 7.54066800 400 -923.650 12.1290 7.64040 7.540691600 12 26.2917 12.0029 7.62308 7.525191600 25 25.1710 12.0636 7.63389 7.537581600 50 25.3752 12.0710 7.63575 7.539971600 100 25.4206 12.0720 7.63615 7.540521600 200 25.4277 12.0721 7.63624 7.540661600 400 25.4287 12.0721 7.63626 7.54069


7.3 Resultados para a discretização apenas longitudinal

Esta seção apresenta os resultados para a solução em regime permanente utilizando

discretização em apenas uma direção, com o objetivo de testar um forma alternativa de

resolver o problema, considerando a condição de contorno de temperatura constante na

parede do canal. O numero de Nusselt é calculado para diferentes posições axiais (ξ)

e diferentes valores de número de Péclet. A tabela 7.17 mostra os valores de Nusselt

obtidos para diferentes números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). A primeira

coluna das tabelas indicam o número de volumes em que o canal foi dividido. Como

mostram os resultados a solução numérica falha para número de Péclet maiores.

Tab. 7.17: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas.I ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

PeH = 103 erro de solução

PeH = 13 35.7757 34.8488 27.0978 9.050096 72.5352 67.9371 37.3617 8.52423

12 144.574 125.368 38.9341 8.4646815 erro de solução

PeH = 0.13 35.8745 35.8198 35.3016 32.85936 73.0238 72.6188 68.8247 52.0686

12 146.681 144.579 125.615 57.391825 305.435 295.815 217.167 46.541350 608.851 570.767 312.027 41.5006

100 1208.99 1062.83 349.565 40.7529200 erro de solução

Com o objetivo de contornar as dificuldades numéricas encontradas na solução

cujos resultados foram apresentados anteriormente (tabela 7.17), os resultados foram

recalculados utilizando uma rota alternativa. A solução analítica envolvendo expo-

nenciais de matrizes, dada pelas equações 5.80, junto com o método do tiro foram

utilizados para obter os valores de Nusselt. Os resultados são apresentados na tabela

7.18. Como pode-se observar, com esta alternativa, é possível obter resultados para

casos anteriormente inviáveis. Esta tabela também apresenta as colunas SWP e MWP.

Estes valores representam o número de casas decimais necessárias para executar a so-

lução. MWP é valor utilizado para o cálculo das matrizes exponenciais e SWP é o


valor utilizado para o método do tiro.

Tab. 7.18: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas — solução ana-lítica com exponenciais de matrizes.

I SWP MWP ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1PeH = 10

3 16 45 34.8909 27.3693 8.27696 7.457516 16 75 67.8090 36.7766 8.11875 7.69144

12 16 80 erro de soluçãoPeH = 1

3 16 16 35.7757 34.8488 27.0978 9.050096 16 16 72.5352 67.9371 37.3617 8.52423

12 16 16 144.574 125.368 38.9341 8.4559725 16 30 296.005 218.285 32.5341 8.45334– – – erro de solução

PeH = 0.13 16 16 35.8745 35.8198 35.3016 32.85936 16 16 73.0238 72.6188 68.8247 52.0686

12 16 16 146.681 144.579 125.615 57.391825 16 16 305.435 295.815 217.167 46.541350 16 16 608.851 570.767 312.027 41.5006– – – erro de solução

Em seguida, as soluções para o caso aproximado sem difusão axial, representando

os casos com valores grandes de Péclet são apresentados. A tabela 7.19 mostra os va-

lores de Nusselt obtidos para diferentes malhas transversais calculados em diferentes

posições axiais. Os resultados mostram que os valores de Nusselt obtidos com número

de Péclet grande com discretização em apenas uma direção são muito próximos dos re-

sultados obtidos com discretização em duas direções. Para este caso, como o problema

é reduzido a um problema de valor inicial, a solução numérica é realizada sem nenhum

problema, podendo facilmente serem calculados valores de Nusselt para malhas muito

refinadas.


Tab. 7.19: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas com Pécletgrande.

I ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 13 22.7720 14.1417 7.53344 7.362945 29.7022 12.0181 7.61568 7.49827

10 24.5340 12.0401 7.63233 7.5349120 24.7082 12.0206 7.63279 7.5398940 24.6923 12.0160 7.63239 7.5405880 24.6892 12.0149 7.63222 7.54068

100 24.6888 12.0147 7.63225 7.54074120 24.6886 12.0147 7.63220 7.54071140 24.6884 12.0146 7.63217 7.54069160 24.6884 12.0146 7.63217 7.54069180 24.6884 12.0146 7.63216 7.54069200 24.6883 12.0146 7.63217 7.54070250 24.6883 12.0145 7.63216 7.54071300 24.6883 12.0145 7.63216 7.54071350 24.6882 12.0145 7.63216 7.54070400 24.6882 12.0145 7.63216 7.54070450 24.6882 12.0145 7.63216 7.54070500 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070600 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070700 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070800 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070900 24.6882 12.0145 7.63215 7.54071

1000 24.6882 12.0145 7.63215 7.540701500 24.6882 12.0145 7.63215 7.540702000 24.6882 12.0145 7.63215 7.540702500 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070


7.4 Análise da influência de ξmax

O objetivo desta seção é verificar a influência do comprimento máximo do canal (ξmax)

nos valores de Nusselt. São apresentados resultados calculados com discretização bidi-

recional baseada no esquema de diferenças híbrido HDS para o cálculo do número de

Nusselt. Os casos com a aproximação de Péclet grande são calculados com a solução

com discretização longitudinal apenas.

7.4.1 Resultados com Péclet grande

Os valores de Nusselt obtidos para número de Péclet grande para diferentes valores

de ξmax = (1 2, 4, 8) são apresentados nas tabelas 7.20 e 7.21. Como o desempenho

da solução unidirecional foi muito superior para este caso, apenas esta alternativa foi

utilizada para estes resultados. Comprando os valores apresentados é possível obser-

var que o valor de ξmax não influencia os valores de Nusselt, tanto na entrada quanto

na saída do canal. Para a malha com 400 divisões longitudinais percebe-se alguma

flutuação para ξ > 1; todavia, estas desaparecem quando a malha é refinada para 800,

confirmando o que o aumento de ξmax além de ξ = 1 não influencia a solução para

este caso. Isto também confirma o fato que para este caso, o desenvolvimento térmico

é atingido para ξmax ≈ 1.

Tab. 7.20: Número de Nusselt com PeH grande com J = 400.ξmax ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2 ξ= 4 ξ= 8

1 24.6882 12.0145 7.63214 7.54069 — — —2 24.6882 12.0145 7.63214 7.54069 7.54069 — —4 24.6882 12.0145 7.63214 7.54069 7.54069 7.53692 —8 24.6882 12.0145 7.63214 7.54069 7.54069 7.50788 7.54070

Tab. 7.21: Número de Nusselt com PeH grande com J = 800.ξmax ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2 ξ= 4 ξ= 8

1 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070 — — —2 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070 7.54070 — —4 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070 7.54070 7.54070 —8 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070 7.54070 7.54070 7.54070


7.4.2 Resultados para demais valores de Péclet

As tabelas 7.22 e 7.23 mostram os valores de Nusselt obtidos para número de PeH = 10

para diferentes valores de ξmax. Para calcular os resultados para valores de Péclet iguais

a 10 e menores, a solução com discretização bidirecional foi utilizada. Os resultados

para número de PeH = 10 apresentam um comportamento parecido ao observado para

Péclet grande, com o valor de ξmax (acima de 1) tendo pouca influência sobre os valores

de Nusselt. Como para estes casos soluções com discretização axial foram utilizadas,

naturalmente o aumento do valor de ξmax influencia a necessidade de refinamento da

malha para obtenção da convergência. Em outras palavras, quando o valor de ξmax é

dobrado, é necessário o dobro do número de volumes para obter a mesma convergência

e os mesmos valores, ou valores muito próximos, para Nusselt. Devido a este fato, os

resultados para diferentes valores de ξmax foram apresentados fixando-se o tamanho

do espaçamento da malha axial ∆ξ= ξmax/I .

Tab. 7.22: Número de Nusselt com PeH = 10 com ∆ξ= 1/100 e J = 400.ξmax ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2 ξ= 4 ξ= 8

1 3558.76 -988.958 8.23126 7.72669 — — —2 3558.76 -988.958 8.23126 7.56840 7.72669 — —4 3558.76 -988.958 8.23126 7.56840 7.56840 7.72669 —


1 2423.09 26.5349 8.19112 7.73136 — — —2 2423.09 26.5349 8.19112 7.56884 7.73136 — —4 2423.09 26.5349 8.19112 7.56884 7.56884 7.73136 —

Analisando os valores de Nusselt para posições ξ ≥ 1 percebe-se que, similar ao

caso com Péclet grande, que o desenvolvimento térmico também é atingido para ξmax ≈1, onde os valores de Nusselt não mudam para ξ > 1. Entretanto, o valor na saída do

canal (onde a condição de contorno de derivada nula é aplicada) é sempre um pouco

diferente dos valores anteriores. Isto mostra que a condição de contorno na saída

mascara o resultado dos valores de Nusselt nesta posição. Desta forma, para obter

o resultado em uma determinada posição ξ, o ideal é calcular os valores de Nusselt


também em uma posição a frente, ou seja um ξmax maior, para minimizar a influencia

da condição de contorno na saída do canal.

As tabelas 7.24 e 7.25 mostram os valores de Nusselt obtidos para número de

PeH = 1 para diferentes valores de ξmax. Diferente do que foi observado para os casos

anteriores, os valores de Nusselt são alterados para valores ξmax > 1. Todavia, esta

alteração é cada vez menor, mostrando que haverá um valor de ξmax não muito maior

que ξ= 1 acima do qual não haverá mais mudanças nos valores de Nusselt. Outra ob-

servação que pode ser feita é que o valor de ξmax tem mais influência sobre os valores

de Nusselt calculados em posições próximas à saída do canal. Desta forma, para cal-

cular valores de Nusselt próximos à entrada do canal, valores de ξmax não tão elevados

poderão ser utilizados.


1 3702.74 -479.736 29.1524 8.44967 — — —2 3703.03 -480.127 29.3415 8.26176 8.06121 — —4 3703.04 -480.144 29.3498 8.25709 7.93031 8.04556 —8 3703.04 -480.144 29.3498 8.25708 7.92976 7.91624 8.04553


1 3021.41 247.072 29.1532 8.44994 — — —2 3021.65 247.262 29.3423 8.26180 8.061364 3021.66 247.271 29.3506 8.25712 7.93044 8.04571 —8

Finalmente, as tabelas de 7.26 até 7.29 mostram os valores de Nusselt obtidos para

número de PeH = 0.1 para diferentes valores de ξmax. De maneira similar ao observado

para valores de PeH = 1, o valor de ξmax influencia os valores de Nusselt. Entretanto,

para estes casos, esta influência é muito maior, mostrando que o valor adequado de

ξmax que deve ser utilizado para calcular o Nusselt será muito maior que ξ = 1. Da

mesma forma, o escoamento só atingirá o desenvolvimento térmico para valores de

ξmax notavelmente superiores à unidade.


Tab. 7.26: Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ= 1/25 e J = 400.

ξmax ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2 ξ= 4 ξ= 8 ξ= 16 ξ= 321 4662.39 2824.14 267.417 40.5241 — — — — —2 4662.50 2824.77 267.297 29.4560 21.1022 — — — —4 4662.68 2825.88 268.176 28.4050 16.3414 12.1468 — — —8 4662.89 2827.13 269.327 29.2117 16.7101 10.8357 8.87788 — —16 4662.98 2827.71 269.868 29.7118 17.1834 11.2207 8.75216 8.16318 —32 4662.99 2827.76 269.919 29.7606 17.232 11.2683 8.79449 8.14524 8.11000

Tab. 7.27: Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ= 1/50 e J = 400.

ξmax ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2 ξ= 4 ξ= 8 ξ= 161 4598.96 2545.35 265.268 40.5688 — — — —2 4599.07 2545.91 265.143 29.4559 21.1077 — — —-4 4599.25 2546.91 266.013 28.4050 16.3413 12.1475 — —8 4599.45 2548.03 267.155 29.2116 16.7101 10.8356 8.87795 —

16 4599.55 2548.55 267.691 29.7117 17.1834 11.2207 8.75215 8.16318

Tab. 7.28: Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ= 1/100 e J = 400.ξmax ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2 ξ= 4 ξ= 8

1 4590.87 2688.30 265.222 40.5799 — — —2 4590.98 2688.90 265.096 29.4559 21.1091 — —4 4591.16 2689.95 265.966 28.4049 16.3413 12.1477 —8 4591.37 2691.14 267.108 29.2116 16.7101 10.8356 8.87796

Tab. 7.29: Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ= 1/200 e J = 400.ξmax ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2 ξ= 4 ξ= 8

1 4605.83 2799.73 265.120 40.5827 — — —2 4605.94 2800.35 264.994 29.4559 21.1095 — —48


7.5 Evolução de Nusselt

O objetivo desta seção é comparar graficamente os resultados obtidos para Nusselt, cal-

culados com diferentes números de Péclet. São apresentados gráficos com resultados

calculados com discretização bidirecional baseada no esquema de diferenças híbrido

HDS. Para calcular os resultados para valores de Péclet igual a 10 e menores, a so-

lução com discretização bidirecional foi utilizada. Os casos com a aproximação de

Péclet grande são calculados com a solução com discretização longitudinal apenas.

No figura 7.1 é apresentada a evolução dos números de Nusselt obtidos para nú-

mero de Péclet grande e PeH = 10, utilizando o valor de ξmax = 1.1 para para PeH = 10.2

Analisando os valores de Nusselt percebe-se que o desenvolvimento térmico é atingido

para ξmax ≈ 0.3, onde os valores de Nusselt praticamente não mudam para ξ> 0.3, tanto

para número de Péclet grande quanto para PeH = 10. O gráfico também mostra como

a escolha de ξmax = 1 é adequada para a solução.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Ξ

8

10

12

14

Nu

Fig. 7.1: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 10 e Pécletgrande (tracejado).

No gráfico da figura 7.2 é apresentada a evolução dos números de Nusselt obtidos

para número de Péclet grande e PeH = 1. Para a solução com PeH = 1 foi utilizado um

valor de ξmax = 2.5. Diferente do que foi observado para o caso anterior, os valores de2 A solução utilizada para Péclet grande não requer a escolha de um valor para ξmax.


Nusselt são alterados para valores ξ> 1. No entanto, esta alteração é cada vez menor,

aproximando-se do desenvolvimento térmico, o qual aparenta, graficamente, ser atin-

gido e torno de ξ = 2. A curva dos resultados para número de PeH = 1 aproxima-se

da curva para Péclet grande, somente com o valor de ξmax (acima de 1). Comparando

os gráficos para PeH = 10 e PeH = 1, observa-se que a redução do número de Péclet

requer um comprimento maior do canal para que o desenvolvimento térmico seja atin-

gido. Além disso, observa-se uma diferença significativa dos valores do número de

Nusselt nas posições junto à entrada do canal (ξmax ≤ 1).

0.5 1.0 1.5 2.0Ξ

8

10

12

14

16

18

20Nu

Fig. 7.2: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 1 e Pécletgrande (tracejado).

Na figura 7.3 é apresentada a evolução do número de Nusselt obtido para PeH = 0.1,

juntamente com o resultado anterior para Péclet grande. Utilizou-se o valore de ξmax =9 para calcular a solução com Péclet pequeno. Conforme esperado, de maneira similar

ao observado para valores de PeH = 1, o valor de ξmax influencia os valores de Nusselt.

Entretanto, para estes casos, a influência é muito maior, mostrando a necessidade um

valor de ξmax bem maior que ξ = 2 para calcular o Nusselt. Mesmo para valores de

ξmax = 8, apesar de estar próximo do desenvolvimento térmico, os valores Nusselt

ainda apresentam uma pequena variação com ξ para PeH = 0.1.

Nos gráficos de 7.4 até 7.6 é apresentada a evolução dos números de Nusselt ob-


2 4 6 8Ξ

10

15

20

25

30

35

40Nu

Fig. 7.3: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 0.1 e Pécletgrande (tracejado).

tidos para diferentes números de Péclet, sendo: PeH = 10 (preto), PeH = 1 (azul),

PeH = 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado). Nestes gráficos a escala do valor de

Nusselt varia de modo a facilitar a visualização e a comparação dos valores de Nusselt

para os diferentes números de Péclet. Como já observado nos gráficos anteriores, a po-

sição axial no canal não influencia nos resultados do número Nusselt para valores de

PeH ≥ 10, sendo o valor de ξmax ≈ 1 suficiente para atingir o desenvolvimento térmico.

Já para valores de Péclet pequenos a influencia é ainda grande, sendo necessário um

canal notavelmente maior para atingir o desenvolvimento térmico. Os gráficos apre-

sentados nesta seção ilustram de forma clara o que foi mostrado nas tabelas da seção

anterior, ratificando alguns comentários apresentados anteriormente.


2 4 6 8Ξ

10

15

20

25

30

35

40Nu

Fig. 7.4: Evolução de Nusselt com a posição axial: PeH = 10 (preto), PeH = 1 (azul),PeH = 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado).

2 4 6 8Ξ

10

15

20

25Nu

Fig. 7.5: Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre dife-rentes valores de Péclet (escala menor).


2 4 6 8Ξ

8

10

12

14

Nu

Fig. 7.6: Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre dife-rentes valores de Péclet (escala menor ainda).


7.6 Verificação da ordem do erro

O objetivo desta seção é comparar o erro percentual dos resultados obtidos nas se-

ções anteriores, com diferentes métodos de discretização, para diferentes posições e

diferentes valores de número de Péclet. Para comparação foram calculados os erros

considerendo o refinamento da malha em J e também o erro considerando o refina-

mento da malha em I . Naturalmente, como não há solução exata, o erro calculado

toma como valor “exato” o valor mais próximo do convergido. O erro global é cal-

culando tomando-se o melhor valor obtido (com a malha mais refinada, tanto em I

quanto em J). O erro local compara a evolução do erro em cada conjunto de malhas

(fixando-se I ou J).

As tabelas de 7.30 até 7.35 mostram os erros percentuais para os valores de Nus-

selt obitidos com a discretização baseada no método de diferenção centradas - CDS,

com números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). As tabelas de 7.36 até 7.39

mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização

baseada no método hibrido - HDS, com números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1). As ta-

belas de 7.40 até 7.43 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos

com a discretização baseada nos métodos CDS e HDS, com número de Péclet grande.

Já as tabelas 7.44 e 7.45 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obi-

tidos com a discretização baseada no método UDS, com número de Péclet grande.

E finalmente a tabela 7.46 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt

obitidos com a discretização em apenas uma direção, baseada no método HDS, com

número de Péclet grande.


Tab. 7.30: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local12 12 45.48 97.00 271.84 96.90 355.79 98.11 0.04 0.4812 25 13.57 93.74 660.79 93.65 801.64 94.81 0.24 0.2012 50 127.07 87.49 1408.75 87.41 1656.31 88.48 0.35 0.0912 100 354.02 74.99 2904.67 74.92 3364.37 75.84 0.40 0.0512 200 807.91 50.00 5896.51 49.95 6779.89 50.56 0.44 0.0012 400 1715.67 0.00 11880.15 0.00 13610.57 0.00 0.44 0.0025 12 47.24 96.97 144.76 96.40 1.31 0.03 0.51 0.2125 25 9.45 93.72 363.04 93.19 1.34 0.00 0.65 0.0825 50 118.42 87.48 784.91 86.99 1.34 0.00 0.70 0.0325 100 336.35 74.98 1629.84 74.57 1.34 0.00 0.71 0.0225 200 772.21 49.99 3320.37 49.71 1.34 0.00 0.73 0.0025 400 1643.91 0.00 6701.76 0.00 1.34 0.00 0.73 0.0050 12 49.85 96.88 16.30 13.09 0.24 0.05 0.41 0.1350 25 2.35 93.64 11.42 8.35 0.29 0.00 0.51 0.0450 50 102.76 87.40 7.31 4.35 0.30 0.00 0.53 0.0150 100 303.65 74.92 4.84 1.95 0.30 0.00 0.54 0.0150 200 705.49 49.94 3.52 0.67 0.30 0.00 0.55 0.0050 400 1509.19 0.00 2.83 0.00 0.30 0.00 0.55 0.00100 12 52.52 96.50 8.54 102.68 0.03 0.05 0.14 0.11100 25 8.28 93.24 125.01 99.27 0.08 0.00 0.23 0.03100 50 75.89 87.04 357.91 92.45 0.08 0.00 0.25 0.01100 100 244.53 74.62 813.86 79.11 0.08 0.00 0.25 0.00100 200 582.17 49.76 1716.68 52.68 0.08 0.00 0.26 0.00100 400 1257.71 0.00 3516.78 0.00 0.08 0.00 0.26 0.00200 12 53.57 94.98 28.44 40.26 0.03 0.05 0.02 0.11200 25 18.65 91.20 6.26 16.03 0.02 0.00 0.07 0.02200 50 38.55 85.02 6.35 2.27 0.02 0.00 0.08 0.01200 100 150.22 72.95 8.98 0.60 0.02 0.00 0.09 0.00200 200 374.65 48.68 8.84 0.46 0.02 0.00 0.09 0.00200 400 824.89 0.00 8.43 0.00 0.02 0.00 0.09 0.00400 12 53.20 84.77 31.14 31.39 0.05 0.05 0.08 0.11400 25 21.87 74.58 10.79 11.01 0.00 0.00 0.00 0.02400 50 8.34 64.75 1.56 1.76 0.01 0.00 0.02 0.01400 100 39.66 54.56 0.11 0.30 0.01 0.00 0.02 0.00400 200 94.37 36.76 0.14 0.06 0.00 0.00 0.02 0.00400 400 207.35 0.00 0.19 0.00 0.00 0.00 0.03 0.00800 12 52.66 126.06 31.65 31.65 0.05 0.05 0.10 0.10800 25 19.57 144.28 10.91 10.92 0.00 0.00 0.02 0.02800 50 7.13 158.97 1.72 1.72 0.00 0.00 0.00 0.01800 100 7.37 150.99 0.31 0.32 0.00 0.00 0.00 0.00800 200 94.56 102.99 0.06 0.06 0.00 0.00 0.01 0.00800 400 281.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00

1600 12 52.38 52.38 31.77 31.77 0.05 0.05 0.10 0.101600 25 17.55 17.55 10.87 10.87 0.00 0.00 0.02 0.021600 50 17.26 17.26 1.68 1.68 0.00 0.00 0.01 0.011600 100 29.34 29.34 0.31 0.31 0.00 0.00 0.00 0.001600 200 13.84 13.84 0.06 0.06 0.00 0.00 0.00 0.001600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.31: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local12 12 45.48 14.50 271.84 182.20 355.79 355.93 0.04 0.0625 12 47.24 10.80 144.76 85.75 1.31 1.36 0.51 0.6250 12 49.85 5.32 16.30 11.74 0.24 0.30 0.41 0.52100 12 52.52 0.30 8.54 30.59 0.03 0.08 0.14 0.25200 12 53.57 2.49 28.44 2.52 0.03 0.02 0.02 0.09400 12 53.20 1.72 31.14 0.48 0.05 0.00 0.08 0.02800 12 52.66 0.59 31.65 0.09 0.05 0.00 0.10 0.011600 12 52.38 0.00 31.77 0.00 0.05 0.00 0.10 0.0012 25 13.57 37.74 660.79 586.18 801.64 801.66 0.24 0.2625 25 9.45 32.74 363.04 317.64 1.34 1.34 0.65 0.6750 25 2.35 24.13 11.42 0.49 0.29 0.30 0.51 0.53100 25 8.28 11.24 125.01 122.56 0.08 0.08 0.23 0.25200 25 18.65 1.34 6.26 4.16 0.02 0.02 0.07 0.09400 25 21.87 5.24 10.79 0.07 0.00 0.00 0.00 0.02800 25 19.57 2.46 10.91 0.04 0.00 0.00 0.02 0.011600 25 17.55 0.00 10.87 0.00 0.00 0.00 0.02 0.0012 50 127.07 93.65 1408.75 1383.76 1656.31 1656.30 0.35 0.3525 50 118.42 86.27 784.91 770.25 1.34 1.34 0.70 0.7050 50 102.76 72.92 7.31 5.53 0.30 0.30 0.53 0.54100 50 75.89 50.01 357.91 353.64 0.08 0.08 0.25 0.25200 50 38.55 18.16 6.35 7.90 0.02 0.02 0.08 0.09400 50 8.34 7.61 1.56 0.12 0.01 0.00 0.02 0.02800 50 7.13 8.64 1.72 0.03 0.00 0.00 0.00 0.011600 50 17.26 0.00 1.68 0.00 0.00 0.00 0.01 0.0012 100 354.02 251.03 2904.67 2895.30 3364.37 3364.36 0.40 0.4025 100 336.35 237.37 1629.84 1624.45 1.34 1.34 0.71 0.7150 100 303.65 212.09 4.84 4.52 0.30 0.30 0.54 0.54100 100 244.53 166.38 813.86 811.64 0.08 0.08 0.25 0.25200 100 150.22 93.46 8.98 9.26 0.02 0.02 0.09 0.09400 100 39.66 7.98 0.11 0.20 0.01 0.00 0.02 0.03800 100 7.37 28.38 0.31 0.00 0.00 0.00 0.00 0.011600 100 29.34 0.00 0.31 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0012 200 807.91 697.51 5896.51 5892.95 6779.89 6779.88 0.44 0.4425 200 772.21 666.15 3320.37 3318.34 1.34 1.34 0.73 0.7350 200 705.49 607.54 3.52 3.45 0.30 0.30 0.55 0.55100 200 582.17 499.22 1716.68 1715.72 0.08 0.08 0.26 0.26200 200 374.65 316.93 8.84 8.90 0.02 0.02 0.09 0.09400 200 94.37 70.73 0.14 0.20 0.00 0.00 0.02 0.03800 200 94.56 95.23 0.06 0.00 0.00 0.00 0.01 0.011600 200 13.84 0.00 0.06 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0012 400 1715.67 1715.67 11880.15 11880.15 13610.57 13610.57 0.44 0.4425 400 1643.91 1643.91 6701.76 6701.76 1.34 1.34 0.73 0.7350 400 1509.19 1509.19 2.83 2.83 0.30 0.30 0.55 0.55100 400 1257.71 1257.71 3516.78 3516.78 0.08 0.08 0.26 0.26200 400 824.89 824.89 8.43 8.43 0.02 0.02 0.09 0.09400 400 207.35 207.35 0.19 0.19 0.00 0.00 0.03 0.03800 400 281.65 281.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.011600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.32: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %



Tab. 7.33: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local12 12 94.82 0.09 53.70 1.45 6.23 20.46 0.00 0.1825 12 94.83 0.26 54.25 2.62 31.95 1.20 0.15 0.0450 12 94.83 0.20 53.72 1.50 33.08 0.35 0.17 0.01100 12 94.82 0.11 53.25 0.49 33.44 0.08 0.18 0.00200 12 94.82 0.05 53.06 0.10 33.52 0.02 0.18 0.00400 12 94.82 0.02 53.03 0.02 33.54 0.00 0.18 0.00800 12 94.82 0.01 53.02 0.00 33.55 0.00 0.18 0.00

1600 12 94.82 0.00 53.02 0.00 33.55 0.00 0.18 0.0012 25 89.30 0.92 12.50 6.97 84.31 85.94 0.13 0.1725 25 89.42 0.21 21.73 4.32 12.23 0.56 0.00 0.0350 25 89.45 0.55 22.49 5.24 11.63 0.03 0.03 0.01100 25 89.44 0.41 19.83 2.00 11.64 0.04 0.04 0.00200 25 89.42 0.22 18.50 0.37 11.61 0.01 0.04 0.00400 25 89.40 0.09 18.27 0.09 11.60 0.00 0.04 0.00800 25 89.40 0.03 18.21 0.02 11.60 0.00 0.04 0.00

1600 25 89.39 0.00 18.20 0.00 11.60 0.00 0.04 0.0012 50 78.69 4.11 64.74 39.93 266.34 263.40 0.16 0.1725 50 79.20 1.65 24.98 6.16 2.50 0.69 0.02 0.0350 50 79.63 0.47 3.32 12.23 1.81 0.02 0.00 0.01100 50 79.76 1.10 9.38 7.09 1.83 0.04 0.01 0.00200 50 79.69 0.77 16.40 1.13 1.81 0.01 0.01 0.00400 50 79.61 0.36 17.41 0.26 1.80 0.00 0.01 0.00800 50 79.56 0.11 17.66 0.05 1.80 0.00 0.01 0.00

1600 50 79.53 0.00 17.73 0.00 1.80 0.00 0.01 0.0012 100 57.49 11.63 219.39 142.12 620.52 618.79 0.16 0.1625 100 58.85 8.04 111.20 60.10 0.50 0.16 0.03 0.0350 100 60.71 3.16 11.29 15.63 0.26 0.08 0.01 0.01100 100 62.33 1.08 0.01 24.19 0.34 0.00 0.00 0.00200 100 62.74 2.15 28.59 2.52 0.34 0.00 0.00 0.00400 100 62.41 1.30 31.21 0.53 0.33 0.00 0.00 0.00800 100 62.08 0.43 31.78 0.10 0.33 0.00 0.00 0.00

1600 100 61.92 0.00 31.92 0.00 0.33 0.00 0.00 0.0012 200 15.08 28.65 529.26 448.89 1320.05 1319.28 0.16 0.1625 200 18.16 23.97 284.27 235.18 0.13 0.07 0.03 0.0350 200 23.24 16.29 7.82 5.95 0.02 0.08 0.01 0.01100 200 30.21 5.71 86.10 87.87 0.06 0.00 0.00 0.00200 200 35.80 2.75 10.19 3.88 0.06 0.00 0.00 0.00400 200 36.61 3.98 14.30 0.30 0.06 0.00 0.00 0.00800 200 35.06 1.63 14.61 0.03 0.06 0.00 0.00 0.00

1600 200 33.99 0.00 14.64 0.00 0.06 0.00 0.00 0.0012 400 69.75 69.75 1149.41 1149.41 2713.81 2713.81 0.16 0.1625 400 63.24 63.24 632.55 632.55 0.06 0.06 0.03 0.0350 400 51.75 51.75 3.19 3.19 0.09 0.09 0.01 0.01100 400 32.69 32.69 279.79 279.79 0.00 0.00 0.00 0.00200 400 8.28 8.28 7.41 7.41 0.00 0.00 0.00 0.00400 400 7.70 7.70 0.09 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00800 400 5.85 5.85 0.05 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.34: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local12 12 93.85 96.92 92.18 95.90 58.79 151.30 40.37 41.4012 25 87.19 93.58 84.05 91.64 29.45 187.83 13.51 14.3412 50 74.48 87.21 69.44 83.99 1.90 222.12 1.45 2.1912 100 49.35 74.62 43.50 70.39 2.11 221.86 0.32 0.4112 200 0.42 49.69 2.56 46.25 56.20 154.52 0.65 0.0812 400 99.60 0.00 90.82 0.00 180.33 0.00 0.73 0.0025 12 93.85 96.85 92.18 94.88 58.68 53.06 41.09 41.4125 25 87.19 93.45 84.02 89.54 28.69 18.98 14.34 14.6025 50 74.47 86.95 69.31 79.92 1.98 15.86 2.02 2.2525 100 49.38 74.13 43.66 63.14 13.56 29.03 0.19 0.4225 200 0.33 49.05 4.29 37.39 0.16 13.44 0.15 0.0825 400 95.64 0.00 52.87 0.00 11.99 0.00 0.23 0.0050 12 93.85 96.81 92.18 94.32 58.66 52.65 41.25 41.4150 25 87.18 93.36 84.00 88.39 28.57 18.18 14.53 14.6650 50 74.46 86.77 69.19 77.64 2.51 17.42 2.14 2.2650 100 49.34 73.75 43.10 58.70 14.64 31.31 0.30 0.4250 200 0.43 48.40 3.70 30.10 0.14 14.38 0.04 0.0850 400 92.98 0.00 37.78 0.00 12.69 0.00 0.11 0.00

100 12 93.85 96.80 92.17 94.62 58.66 52.64 41.29 41.42100 25 87.18 93.35 83.99 89.00 28.54 18.13 14.57 14.68100 50 74.46 86.74 69.13 78.79 2.65 17.59 2.17 2.26100 100 49.31 73.69 42.67 60.60 14.95 31.69 0.33 0.42100 200 0.28 48.24 1.32 32.18 0.02 14.54 0.01 0.08100 400 92.64 0.00 45.51 0.00 12.71 0.00 0.09 0.00200 12 93.85 96.82 92.17 94.84 58.66 52.62 41.30 41.42200 25 87.18 93.37 83.99 89.43 28.53 18.09 14.59 14.68200 50 74.45 86.78 69.11 79.62 2.68 17.68 2.18 2.26200 100 49.29 73.76 42.51 62.06 15.03 31.82 0.34 0.42200 200 0.14 48.33 0.25 34.18 0.00 14.60 0.00 0.08200 400 93.27 0.00 51.55 0.00 12.74 0.00 0.08 0.00400 12 93.85 96.82 92.17 94.87 58.66 52.61 41.30 41.42400 25 87.18 93.39 83.99 89.50 28.53 18.08 14.59 14.68400 50 74.45 86.82 69.11 79.74 2.69 17.70 2.18 2.26400 100 49.28 73.83 42.48 62.28 15.04 31.86 0.34 0.42400 200 0.06 48.44 0.06 34.46 0.00 14.62 0.00 0.08400 400 93.82 0.00 52.49 0.00 12.75 0.00 0.08 0.00800 12 93.85 96.83 92.17 94.88 58.66 52.61 41.30 41.42800 25 87.18 93.40 83.99 89.52 28.53 18.08 14.59 14.68800 50 74.45 86.84 69.11 79.77 2.70 17.71 2.18 2.26800 100 49.27 73.87 42.47 62.33 15.05 31.87 0.34 0.42800 200 0.02 48.50 0.01 34.53 0.00 14.62 0.00 0.08800 400 94.14 0.00 52.72 0.00 12.75 0.00 0.08 0.001600 12 93.85 93.85 92.17 92.17 58.66 58.66 41.31 41.311600 25 87.18 87.18 83.99 83.99 28.52 28.52 14.59 14.591600 50 74.45 74.45 69.11 69.11 2.70 2.70 2.18 2.181600 100 49.27 49.27 42.47 42.47 15.05 15.05 0.34 0.341600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.35: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local12 12 96.83 0.01 94.88 0.09 52.76 0.32 40.48 0.6625 12 96.83 0.00 94.88 0.04 52.64 0.06 41.20 0.1550 12 96.83 0.00 94.88 0.02 52.62 0.02 41.36 0.04100 12 96.83 0.00 94.88 0.01 52.61 0.00 41.40 0.01200 12 96.83 0.00 94.88 0.00 52.61 0.00 41.41 0.00400 12 96.83 0.00 94.88 0.00 52.61 0.00 41.42 0.00800 12 96.83 0.00 94.88 0.00 52.61 0.00 41.42 0.001600 12 96.83 0.00 94.88 0.00 52.61 0.00 41.42 0.0012 25 93.40 0.04 89.55 0.36 19.13 1.29 13.60 0.9525 25 93.40 0.02 89.53 0.18 18.27 0.24 14.43 0.2150 25 93.40 0.01 89.52 0.07 18.12 0.06 14.62 0.05100 25 93.40 0.01 89.52 0.02 18.09 0.01 14.67 0.01200 25 93.40 0.00 89.52 0.00 18.08 0.00 14.68 0.00400 25 93.40 0.00 89.52 0.00 18.08 0.00 14.68 0.00800 25 93.40 0.00 89.52 0.00 18.08 0.00 14.68 0.001600 25 93.40 0.00 89.52 0.00 18.08 0.00 14.68 0.0012 50 86.85 0.11 79.99 1.09 12.44 4.48 1.53 0.7225 50 86.85 0.07 79.90 0.65 16.88 0.70 2.10 0.1650 50 86.85 0.04 79.83 0.29 17.50 0.18 2.22 0.04100 50 86.84 0.02 79.79 0.09 17.66 0.04 2.25 0.01200 50 86.84 0.01 79.77 0.02 17.70 0.01 2.26 0.00400 50 86.84 0.00 79.77 0.00 17.71 0.00 2.26 0.00800 50 86.84 0.00 79.77 0.00 17.71 0.00 2.26 0.001600 50 86.84 0.00 79.77 0.00 17.71 0.00 2.26 0.0012 100 73.91 0.15 63.01 1.79 12.20 14.91 0.24 0.6625 100 73.93 0.22 63.11 2.07 30.17 1.29 0.27 0.1550 100 73.91 0.15 62.74 1.09 31.40 0.36 0.38 0.04100 100 73.89 0.08 62.46 0.35 31.76 0.09 0.41 0.01200 100 73.88 0.04 62.36 0.07 31.84 0.02 0.42 0.00400 100 73.87 0.01 62.34 0.02 31.86 0.01 0.42 0.00800 100 73.87 0.00 62.33 0.00 31.87 0.00 0.42 0.001600 100 73.87 0.00 62.33 0.00 31.87 0.00 0.42 0.0012 200 48.28 0.42 32.84 2.56 49.80 56.20 0.57 0.6525 200 48.66 0.33 37.33 4.29 14.44 0.16 0.07 0.1550 200 48.71 0.43 36.94 3.70 14.46 0.14 0.04 0.04100 200 48.64 0.28 35.38 1.32 14.60 0.02 0.07 0.01200 200 48.57 0.14 34.68 0.25 14.62 0.00 0.08 0.00400 200 48.52 0.06 34.56 0.06 14.62 0.00 0.08 0.00800 200 48.50 0.02 34.53 0.01 14.62 0.00 0.08 0.001600 200 48.49 0.00 34.52 0.00 14.62 0.00 0.08 0.0012 400 2.81 2.81 24.95 24.95 192.07 192.07 0.65 0.6525 400 0.77 0.77 0.10 0.10 0.88 0.88 0.15 0.1550 400 0.60 0.60 9.78 9.78 0.07 0.07 0.04 0.04100 400 0.77 0.77 4.72 4.72 0.05 0.05 0.01 0.01200 400 0.45 0.45 0.77 0.77 0.01 0.01 0.00 0.00400 400 0.16 0.16 0.15 0.15 0.00 0.00 0.00 0.00800 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.001600 400


Tab. 7.36: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %


1600 12 52.38 52.38 31.76 31.76 0.05 0.05 0.11 0.111600 25 17.55 17.55 10.86 10.86 0.00 0.00 0.02 0.021600 50 17.26 17.26 1.68 1.68 0.00 0.00 0.01 0.011600 100 29.34 29.34 0.31 0.31 0.00 0.00 0.00 0.001600 200 13.84 13.84 0.06 0.06 0.00 0.00 0.00 0.001600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.37: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %



Tab. 7.38: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %



Tab. 7.39: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local12 12 94.82 0.09 53.70 1.45 6.23 20.46 0.02 0.2125 12 94.83 0.26 54.25 2.62 31.94 1.20 0.13 0.0550 12 94.83 0.20 53.72 1.50 33.08 0.35 0.17 0.02100 12 94.82 0.11 53.25 0.49 33.44 0.08 0.18 0.01200 12 94.82 0.05 53.06 0.10 33.52 0.02 0.18 0.00400 12 94.82 0.02 53.03 0.02 33.54 0.00 0.18 0.00800 12 94.82 0.01 53.02 0.00 33.55 0.00 0.18 0.00

1600 12 94.82 0.00 53.02 0.00 33.55 0.00 0.18 0.0012 25 89.30 0.92 12.50 6.97 84.31 85.94 0.16 0.2025 25 89.42 0.21 21.73 4.32 12.22 0.56 0.01 0.0550 25 89.45 0.55 22.49 5.24 11.62 0.02 0.02 0.01100 25 89.44 0.41 19.83 2.00 11.64 0.03 0.03 0.01200 25 89.42 0.22 18.50 0.37 11.61 0.01 0.04 0.00400 25 89.40 0.09 18.27 0.09 11.60 0.00 0.04 0.00800 25 89.40 0.03 18.21 0.02 11.60 0.00 0.04 0.00

1600 25 89.39 0.00 18.20 0.00 11.60 0.00 0.04 0.0012 50 78.69 4.11 64.74 39.94 266.33 263.40 0.18 0.1925 50 79.20 1.65 24.98 6.16 2.50 0.69 0.04 0.0550 50 79.63 0.47 3.33 12.23 1.81 0.02 0.00 0.01100 50 79.76 1.10 9.38 7.09 1.83 0.03 0.00 0.00200 50 79.69 0.77 16.40 1.13 1.81 0.01 0.01 0.00400 50 79.61 0.36 17.41 0.26 1.80 0.00 0.01 0.00800 50 79.56 0.11 17.66 0.05 1.80 0.00 0.01 0.00

1600 50 79.53 0.00 17.73 0.00 1.80 0.00 0.01 0.0012 100 57.49 11.63 219.40 142.13 620.51 618.78 0.19 0.1925 100 58.85 8.04 111.20 60.10 0.50 0.16 0.04 0.0550 100 60.71 3.16 11.29 15.63 0.26 0.08 0.01 0.01100 100 62.33 1.08 0.01 24.19 0.33 0.00 0.00 0.00200 100 62.74 2.15 28.59 2.52 0.33 0.00 0.00 0.00400 100 62.41 1.30 31.21 0.53 0.33 0.00 0.00 0.00800 100 62.08 0.43 31.78 0.10 0.33 0.00 0.00 0.00

1600 100 61.92 0.00 31.92 0.00 0.33 0.00 0.00 0.0012 200 15.08 28.65 529.29 448.91 1320.04 1319.28 0.19 0.1925 200 18.16 23.97 284.28 235.19 0.13 0.07 0.05 0.0550 200 23.24 16.29 7.83 5.95 0.02 0.08 0.01 0.01100 200 30.21 5.71 86.10 87.87 0.06 0.00 0.00 0.01200 200 35.80 2.75 10.19 3.88 0.06 0.00 0.00 0.00400 200 36.61 3.98 14.30 0.30 0.06 0.00 0.00 0.00800 200 35.06 1.63 14.61 0.03 0.06 0.00 0.00 0.00

1600 200 33.99 0.00 14.64 0.00 0.06 0.00 0.00 0.0012 400 69.75 69.75 1149.45 1149.45 2713.80 2713.80 0.19 0.1925 400 63.24 63.24 632.56 632.56 0.06 0.06 0.05 0.0550 400 51.75 51.75 3.19 3.19 0.09 0.09 0.01 0.01100 400 32.69 32.69 279.79 279.79 0.00 0.00 0.01 0.01200 400 8.28 8.28 7.41 7.41 0.00 0.00 0.00 0.00400 400 7.70 7.70 0.09 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00800 400 5.85 5.85 0.05 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.40: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Peclet grande - CDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %


1600 12 0.13 0.13 0.55 0.55 0.17 0.17 0.21 0.211600 25 0.99 0.99 0.07 0.07 0.03 0.03 0.04 0.041600 50 0.18 0.18 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.011600 100 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.001600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.001600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.41: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Peclet grande - CDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local12 12 462.46 461.73 791.18 796.11 413.68 414.22 0.77 0.5625 12 442.89 442.19 454.35 457.42 1.48 1.66 0.42 0.2250 12 406.75 406.10 17.59 18.24 0.29 0.46 0.31 0.10

100 12 340.42 339.85 212.95 213.57 0.05 0.13 0.25 0.05200 12 228.90 228.48 0.74 0.20 0.14 0.03 0.23 0.02400 12 74.17 73.94 0.02 0.58 0.17 0.01 0.22 0.01800 12 48.72 48.78 0.42 0.13 0.17 0.00 0.21 0.001600 12 0.13 0.00 0.55 0.00 0.17 0.00 0.21 0.00

12 25 1072.13 1083.90 1731.74 1732.99 909.39 909.64 0.31 0.2725 25 1029.03 1040.37 990.81 991.56 1.64 1.67 0.15 0.1050 25 948.11 958.63 15.87 15.94 0.43 0.46 0.09 0.05

100 25 796.17 805.17 506.04 506.32 0.09 0.13 0.06 0.02200 25 532.08 538.43 0.42 0.48 0.00 0.03 0.05 0.01400 25 145.86 148.33 0.54 0.61 0.02 0.01 0.05 0.00800 25 185.95 186.81 0.07 0.13 0.03 0.00 0.04 0.001600 25 0.99 0.00 0.07 0.00 0.03 0.00 0.04 0.00

12 50 2243.81 2248.01 3539.77 3540.10 1862.05 1862.17 0.15 0.1425 50 2155.55 2159.59 2023.03 2023.22 1.66 1.67 0.06 0.0550 50 1988.77 1992.51 15.56 15.57 0.46 0.46 0.03 0.02

100 50 1673.12 1676.30 1065.00 1065.09 0.12 0.13 0.02 0.01200 50 1118.61 1120.79 0.61 0.62 0.03 0.03 0.01 0.00400 50 296.12 296.83 0.60 0.61 0.00 0.01 0.01 0.00800 50 423.11 423.69 0.13 0.14 0.00 0.00 0.01 0.001600 50 0.18 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00

12 100 4586.81 4588.07 7155.41 7155.53 3767.24 3767.28 0.07 0.0725 100 4408.24 4409.45 4087.45 4087.52 1.67 1.67 0.03 0.0350 100 4069.82 4070.94 15.49 15.49 0.46 0.46 0.01 0.01

100 100 3426.96 3427.91 2182.06 2182.10 0.12 0.13 0.01 0.01200 100 2292.22 2292.86 0.64 0.64 0.03 0.03 0.00 0.00400 100 598.88 599.07 0.61 0.61 0.01 0.01 0.00 0.00800 100 892.54 892.75 0.13 0.14 0.00 0.00 0.00 0.001600 100 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 200 9272.67 9273.01 14386.49 14386.49 7577.56 7577.58 0.00 0.0025 200 8913.53 8913.85 8216.25 8216.25 1.67 1.67 0.00 0.0050 200 8231.76 8232.06 15.48 15.48 0.46 0.46 0.00 0.00

100 200 6934.61 6934.86 4416.00 4416.00 0.13 0.13 0.00 0.00200 200 4639.52 4639.68 0.64 0.64 0.03 0.03 0.00 0.00400 200 1204.83 1204.87 0.61 0.61 0.01 0.01 0.00 0.00800 200 1830.41 1830.47 0.13 0.13 0.00 0.00 0.00 0.001600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 400 18644.09 18644.09 28848.43 28848.43 15198.18 15198.18 0.00 0.0025 400 17923.79 17923.79 16473.82 16473.82 1.67 1.67 0.00 0.0050 400 16555.65 16555.65 15.47 15.47 0.46 0.46 0.00 0.00

100 400 13949.71 13949.71 8883.87 8883.87 0.13 0.13 0.00 0.00200 400 9334.13 9334.13 0.65 0.65 0.03 0.03 0.00 0.00400 400 2416.81 2416.81 0.61 0.61 0.01 0.01 0.00 0.00800 400 3705.98 3705.98 0.14 0.14 0.00 0.00 0.00 0.001600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.42: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - HDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %


1600 12 3.40 3.40 0.57 0.57 0.17 0.17 0.21 0.211600 25 1.01 1.01 0.07 0.07 0.03 0.03 0.04 0.041600 50 0.21 0.21 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.011600 100 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.001600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.43: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - HDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local12 12 115.50 444.70 808.58 818.13 461.04 461.86 0.44 0.2325 12 114.98 426.23 466.46 472.42 3.48 3.71 0.31 0.1050 12 113.99 391.42 13.17 14.36 1.53 1.77 0.25 0.05100 12 112.15 326.75 222.68 223.97 0.61 0.84 0.23 0.02200 12 109.02 216.99 0.01 1.06 0.16 0.39 0.22 0.01400 12 104.65 63.40 0.21 1.27 0.06 0.16 0.21 0.00800 12 101.18 58.62 0.60 0.44 0.17 0.05 0.21 0.001600 12 102.85 0.00 1.04 0.00 0.23 0.00 0.21 0.0012 25 132.31 1085.80 1770.13 1780.27 1013.67 1014.45 0.15 0.1125 25 131.16 1043.40 1019.08 1025.15 3.64 3.73 0.09 0.0550 25 128.95 962.28 11.33 11.93 1.68 1.77 0.06 0.02100 25 124.76 808.49 521.14 523.42 0.76 0.84 0.05 0.01200 25 117.42 539.24 1.19 1.73 0.30 0.39 0.05 0.00400 25 106.64 143.62 0.80 1.35 0.08 0.16 0.04 0.00800 25 97.39 195.65 0.08 0.47 0.03 0.05 0.04 0.001600 25 102.73 0.00 0.54 0.00 0.09 0.00 0.04 0.0012 50 164.62 2252.19 3618.47 3636.34 2075.68 2076.89 0.06 0.0625 50 162.26 2166.12 2082.40 2092.88 3.67 3.73 0.03 0.0250 50 157.71 2000.59 11.00 11.53 1.71 1.77 0.02 0.01100 50 149.02 1684.45 1090.19 1094.95 0.78 0.84 0.01 0.01200 50 133.67 1125.50 1.40 1.89 0.33 0.39 0.01 0.00400 50 110.80 293.17 0.88 1.36 0.10 0.16 0.01 0.00800 50 90.83 433.82 0.01 0.47 0.01 0.05 0.01 0.001600 50 102.75 0.00 0.48 0.00 0.06 0.00 0.01 0.0012 100 229.22 4595.25 7314.68 7349.69 4199.55 4201.83 0.03 0.0325 100 224.44 4421.53 4209.03 4229.37 3.67 3.73 0.01 0.0150 100 215.22 4086.53 10.93 11.45 1.71 1.77 0.01 0.01100 100 197.55 3444.59 2227.41 2237.45 0.79 0.84 0.00 0.00200 100 166.18 2304.59 1.44 1.92 0.33 0.39 0.00 0.00400 100 119.19 597.31 0.88 1.36 0.11 0.16 0.00 0.00800 100 77.84 905.15 0.00 0.47 0.00 0.05 0.00 0.001600 100 102.75 0.00 0.47 0.00 0.06 0.00 0.00 0.0012 200 358.42 9287.09 14706.99 14776.78 8447.21 8451.75 0.00 0.0025 200 348.81 8937.82 8462.29 8502.65 3.67 3.73 0.00 0.0050 200 330.24 8263.52 10.91 11.44 1.71 1.77 0.00 0.00100 200 294.61 6969.18 4501.62 4522.37 0.79 0.84 0.00 0.00200 200 231.20 4665.90 1.45 1.93 0.33 0.39 0.00 0.00400 200 135.98 1207.07 0.89 1.36 0.11 0.16 0.00 0.00800 200 51.89 1847.50 0.00 0.47 0.00 0.05 0.00 0.001600 200 102.75 0.00 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00 0.0012 400 616.81 616.81 29491.23 29491.23 16942.57 16942.57 0.00 0.0025 400 597.53 597.53 16968.60 16968.60 3.68 3.68 0.00 0.0050 400 560.28 560.28 10.91 10.91 1.71 1.71 0.00 0.00100 400 488.73 488.73 9050.04 9050.04 0.79 0.79 0.00 0.00200 400 361.25 361.25 1.45 1.45 0.33 0.33 0.00 0.00400 400 169.57 169.57 0.89 0.89 0.11 0.11 0.00 0.00800 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.44: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - UDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %


1600 12 3.39 3.39 0.57 0.57 0.17 0.17 0.21 0.211600 25 1.01 1.01 0.07 0.07 0.03 0.03 0.04 0.041600 50 0.21 0.21 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.011600 100 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.001600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.001600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.45: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - UDS.ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001 ξ= 0.001ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local12 12 463.19 444.70 812.87 818.13 461.23 461.86 0.44 0.2325 12 444.09 426.23 469.13 472.42 3.53 3.71 0.31 0.1050 12 408.10 391.42 13.71 14.36 1.59 1.77 0.25 0.05

100 12 341.23 326.75 223.25 223.97 0.67 0.84 0.23 0.02200 12 227.75 216.99 0.48 1.06 0.21 0.39 0.22 0.01400 12 68.94 63.40 0.69 1.27 0.01 0.16 0.21 0.00800 12 57.21 58.62 0.13 0.44 0.12 0.05 0.21 0.001600 12 3.39 0.00 0.57 0.00 0.17 0.00 0.21 0.00

12 25 1073.78 1085.80 1778.94 1780.27 1014.16 1014.45 0.15 0.1125 25 1031.81 1043.40 1024.35 1025.15 3.70 3.73 0.09 0.0550 25 951.52 962.28 11.85 11.93 1.74 1.77 0.06 0.02

100 25 799.29 808.49 523.13 523.42 0.81 0.84 0.05 0.01200 25 532.77 539.24 1.66 1.73 0.36 0.39 0.05 0.00400 25 141.15 143.62 1.28 1.35 0.13 0.16 0.04 0.00800 25 194.68 195.65 0.40 0.47 0.02 0.05 0.04 0.001600 25 1.01 0.00 0.07 0.00 0.03 0.00 0.04 0.00

12 50 2247.24 2252.19 3635.99 3636.34 2076.75 2076.89 0.06 0.0625 50 2161.35 2166.12 2092.68 2092.88 3.72 3.73 0.03 0.0250 50 1996.17 2000.59 11.52 11.53 1.76 1.77 0.02 0.01

100 50 1680.70 1684.45 1094.86 1094.95 0.84 0.84 0.01 0.01200 50 1122.92 1125.50 1.88 1.89 0.38 0.39 0.01 0.00400 50 292.35 293.17 1.35 1.36 0.16 0.16 0.01 0.00800 50 433.12 433.82 0.46 0.47 0.05 0.05 0.01 0.001600 50 0.21 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00

12 100 4593.75 4595.25 7349.63 7349.69 4201.77 4201.83 0.03 0.0325 100 4420.09 4421.53 4229.34 4229.37 3.73 3.73 0.01 0.0150 100 4085.19 4086.53 11.45 11.45 1.77 1.77 0.01 0.01

100 100 3443.46 3444.59 2237.43 2237.45 0.84 0.84 0.00 0.00200 100 2303.82 2304.59 1.92 1.92 0.39 0.39 0.00 0.00400 100 597.09 597.31 1.36 1.36 0.16 0.16 0.00 0.00800 100 904.89 905.15 0.47 0.47 0.05 0.05 0.00 0.001600 100 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 200 9286.72 9287.09 14776.78 14776.78 8451.73 8451.75 0.00 0.0025 200 8937.47 8937.82 8502.65 8502.65 3.73 3.73 0.00 0.0050 200 8263.19 8263.52 11.44 11.44 1.77 1.77 0.00 0.00

100 200 6968.90 6969.18 4522.37 4522.37 0.84 0.84 0.00 0.00200 200 4665.72 4665.90 1.93 1.93 0.39 0.39 0.00 0.00400 200 1207.02 1207.07 1.36 1.36 0.16 0.16 0.00 0.00800 200 1847.43 1847.50 0.47 0.47 0.05 0.05 0.00 0.001600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 400 18672.29 18672.29 29630.70 29630.70 16951.70 16951.70 0.00 0.0025 400 17971.94 17971.94 17049.05 17049.05 3.73 3.73 0.00 0.0050 400 16618.94 16618.94 11.43 11.43 1.77 1.77 0.00 0.00

100 400 14019.75 14019.75 9092.22 9092.22 0.84 0.84 0.00 0.00200 400 9389.47 9389.47 1.93 1.93 0.39 0.39 0.00 0.00400 400 2426.98 2426.98 1.36 1.36 0.16 0.16 0.00 0.00800 400 3732.31 3732.31 0.47 0.47 0.05 0.05 0.00 0.001600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Tab. 7.46: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grande com dis-cretização em uma direção apenas- HDS.

ERRO REAL %I ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 13 7.76 17.71 1.29 2.365 20.31 0.03 0.22 0.5610 0.62 0.21 0.00 0.0820 0.08 0.05 0.01 0.0140 0.02 0.01 0.00 0.0080 0.00 0.00 0.00 0.00100 0.00 0.00 0.00 0.00120 0.00 0.00 0.00 0.00140 0.00 0.00 0.00 0.00160 0.00 0.00 0.00 0.00180 0.00 0.00 0.00 0.00200 0.00 0.00 0.00 0.00250 0.00 0.00 0.00 0.00300 0.00 0.00 0.00 0.00350 0.00 0.00 0.00 0.00400 0.00 0.00 0.00 0.00450 0.00 0.00 0.00 0.00500 0.00 0.00 0.00 0.00600 0.00 0.00 0.00 0.00700 0.00 0.00 0.00 0.00800 0.00 0.00 0.00 0.00

Capítulo 8

Resultados para Regime Transiente

Este capítulo apresenta resultados do número de Nusselt para o regime transiente. Va-

lores em diferentes posições e tempos são calculados e apresentados, inicialmente, em

tabelas, para analisar a convergência das soluções e determinar as malhas mais ade-

quadas para cada caso. A solução HDS (com discretização bidirecional) foi escolhida

devido ao menor custo computacional. Mesmo assim, cada um dos casos transientes

calculados requer um tempo de computação uma ordem de grandeza acima do gasto

para um caso de regime permanente equivalente (mesma malha e mesmo Péclet). Além

disto, o tempo computacional investido nas soluções permanentes também foi consi-

derável. Devido as estes fatores, apenas os casos com temperatura constante na pa-

rede foram calculados. Para os casos com temperatura constante na parede o número

de Fourier pode ser incorporado ao tempo adimensional, definindo uma nova variável

τ∗ = τFo. Desta forma os resultados podem ser analisados em função de τ∗ ao invés de

τ e o efeito do número de Fourier estaria automaticamente incorporado aos resultados.

Portanto, todos os resultados transientes são apresentados em termos de τ∗.

134

8. Resultados para Regime Transiente 135

8.1 Análise de convergência

8.1.1 Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 2

As tabelas de 8.1 até 8.4 apresentam os valores calculados para o número de Nusselt

em diferentes posições de ξ e diferentes tempos (τ∗ = 0.01,0.1,1,10) utilizando diver-

sas malhas, para o caso com Péclet grande, utilizando ξmax = 2. Os resultados mostram

que, em geral, a mesma tendência observada para as soluções permanentes se repetem

aqui, com a convergência sendo pior em posições próximas à entrada do canal. Entre-

tanto, agora há um efeito adicional: a convergência é também pior para tempos mais

curtos. As tabelas apresentam posições (longe da entrada) onde, principalmente para

tempos mais curtos, não existe transferência de calor. Nestas posições o cálculo do

número de Nusselt gera erros numéricos; porém o valor exato para o Nusselt não é

bem definido pois este eqüivaleria a calcular a razão entre dois zeros. Para resolver o

problema atribui-se o valor nulo para Nusselt em regiões onde não há transferência de

calor. Esta escolha esta de acordo com o comportamento do Nusselt, pois este tende a

zero a medida que se aproxima-se da região sem transferência de calor. Isto pode ser

claramente observado nos gráficos no final deste capítulo.


Tab. 8.1: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2

12 12 146.809 145.711 235.557 0.123486 0.00000012 25 306.292 303.913 498.653 0.0967044 0.00000012 50 612.785 607.947 1004.02 0.0941777 0.00000012 100 1225.67 1215.91 2014.47 0.0941515 0.00000012 200 2451.40 2431.81 4035.26 0.142685 ERRO12 400 4902.80 4863.55 8076.67 0.21938 ERRO25 12 146.455 141.126 190.304 0.000000 0.00000025 25 305.524 293.976 400.372 0.000000 0.00000025 50 611.222 587.732 803.985 0.000000 0.00000025 100 1222.52 1175.15 1611.04 0.000000 0.00000025 200 2445.07 2349.96 3225.07 ERRO ERRO25 400 4890.11 4699.50 6453.02 ERRO ERRO50 12 145.127 119.245 0.671390 0.000000 0.00000050 25 302.641 246.480 0.760498 0.000000 0.00000050 50 605.354 491.059 0.779693 0.000000 0.00000050 100 1210.68 980.157 0.783964 0.000000 0.00000050 200 2421.28 1958.32 0.784884 ERRO ERRO50 400 4842.46 3914.64 0.785087 ERRO ERRO100 12 140.302 10.6652 0.577069 0.000000 0.000000100 25 292.120 10.5428 0.617776 0.000000 0.000000100 50 583.903 10.5187 0.629075 0.000000 0.000000100 100 1167.38 10.5139 0.631975 0.000000 0.000000100 200 2334.28 10.5128 0.632635 ERRO ERRO100 400 4876.87 9.91855 0.011872 ERRO ERRO200 12 125.021 -134.028 0.02846260 0.000000 0.000000200 25 258.542 -302.458 0.00909083 0.000000 0.000000200 50 515.231 -626.141 0.01020310 0.000000 0.000000200 100 1028.55 -1273.53 0.00714442 0.000000 0.000000200 200 2055.15 -2568.34 0.01366060 ERRO ERRO200 400 4108.34 -5157.96 -0.00228826 ERRO ERRO400 12 89.3282 0.467197 0.000000 0.000000 0.000000400 25 178.665 1.10113 0.000000 0.000000 0.000000400 50 350.758 1.23530 0.000000 0.000000 0.000000400 100 694.987 1.26223 0.000000 0.000000 0.000000400 200 1383.45 1.26779 ERRO ERRO ERRO400 400 2760.36 1.26901 ERRO ERRO ERRO800 12 38.2695 0.429905 0.000000 0.000000 0.000000800 25 59.2454 0.444452 0.000000 0.000000 0.0000001600 12 2.82568 0.10175 0.000000 0.000000 0.000000


Tab. 8.2: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2

12 12 146.120 138.443 -58.6168 3.20561 -0.54565112 25 304.802 288.193 -137.009 3.27796 1.3598212 50 609.755 575.993 -287.699 3.29169 0.52525312 100 1219.56 1151.50 -589.079 3.29473 0.79212812 200 2439.14 2302.49 -1191.84 3.29542 ERRO12 400 4878.22 4604.41 -2397.38 3.29537 ERRO25 12 144.142 117.613 -91.2382 0.478727 0.00000025 25 300.501 242.937 -205.575 0.488348 0.00000025 50 600.996 483.832 -425.500 0.565440 0.00000025 100 1201.89 965.560 -865.384 0.475902 0.00000025 200 2403.64 1928.99 -1745.16 ERRO ERRO25 400 4807.07 3855.82 -3504.75 ERRO ERRO50 12 139.273 73.2941 4.96474 0.000000 0.00000050 25 289.828 145.949 5.04668 0.000000 0.00000050 50 579.184 285.723 5.06141 0.000000 0.00000050 100 1157.81 565.264 5.06459 0.000000 0.00000050 200 2315.00 1124.34 5.06533 ERRO ERRO50 400 4629.38 2242.48 5.06550 ERRO ERRO

100 12 129.501 13.4621 3.33672 0.000000 0.000000100 25 268.080 13.2502 3.41033 0.000000 0.000000100 50 534.476 13.2126 3.42420 0.000000 0.000000100 100 1067.20 13.2047 3.42726 0.000000 0.000000100 200 2132.60 13.2029 3.42796 ERRO ERRO100 400 4263.40 13.2025 3.42813 ERRO ERRO200 12 112.224 -15.2632 1.90107 0.000000 0.000000200 25 228.747 -51.6969 1.94683 0.000000 0.000000200 50 452.961 -121.187 1.95619 0.000000 0.000000200 100 901.376 -260.065 1.95828 0.000000 0.000000200 200 1798.19 -537.798 1.95876 ERRO ERRO200 400 3591.79 -1093.26 1.95887 ERRO ERRO400 12 83.3421 12.0794 0.850070 0.000000 0.000000400 25 160.905 12.2281 0.858976 0.000000 0.000000400 50 310.976 12.2556 0.861960 0.000000 0.000000400 100 611.267 12.2603 0.862666 0.000000 0.000000400 200 1211.87 12.2611 0.862817 ERRO ERRO400 400 2413.08 12.2613 0.862852 ERRO ERRO800 12 42.9604 12.1482 0.279718 0.000000 0.000000800 25 61.3214 12.2209 0.265442 0.000000 0.0000001600 12 10.8804 12.0554 0.0637647 0.000000 0.000000


Tab. 8.3: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2

12 12 145.376 131.248 -15.381 7.08807 9.9623612 25 303.192 272.639 -43.7871 7.11093 9.2154912 50 606.483 544.379 -98.3457 7.11525 8.9833712 100 1212.96 1087.78 -207.447 7.11621 7.9574812 200 2425.89 2174.55 -425.645 7.11642 8.6336112 400 4851.68 4348.02 -862.042 7.11648 8.631425 12 143.026 108.470 -22.2014 6.62691 43.089425 25 298.072 223.046 -58.0687 6.65851 20.403425 50 596.046 443.294 -126.999 6.66447 16.538725 100 1191.90 883.739 -264.848 6.66583 9.8352725 200 2383.55 1764.60 -540.543 6.66614 13.950525 400 4766.83 3526.31 -1091.93 6.66623 14.873650 12 138.356 68.7065 7.90617 5.85298 -0.0650 25 287.804 135.733 7.91869 5.89624 ERRO50 50 575.033 264.703 7.92069 5.90445 ERRO50 100 1149.40 522.642 7.92108 5.90632 ERRO50 200 2298.09 1038.51 7.92117 5.90675 ERRO50 400 4595.46 2070.25 7.92119 5.90688 ERRO100 12 129.202 13.7268 7.75764 4.6738 0.000000100 25 267.387 13.5027 7.76894 4.72735 0.000000100 50 533.029 13.4629 7.77081 4.73765 0.000000100 100 1064.24 13.4545 7.77119 4.73998 ERRO100 200 2126.64 13.4526 7.77128 4.74053 ERRO100 400 4251.41 13.4521 7.77130 4.73755 ERRO200 12 112.199 -14.8794 7.68727 3.16711 0.000000200 25 228.677 -51.0801 7.69821 3.21946 0.000000200 50 452.808 -120.100 7.70006 3.2298 0.000000200 100 901.056 -258.033 7.70045 3.28313 0.000000200 200 1797.53 -533.875 7.70053 3.23265 ERRO200 400 3590.47 -1085.55 7.70055 3.23226 ERRO400 12 83.3424 12.1301 7.65258 1.66551 0.000000400 25 160.904 12.2729 7.66342 1.69843 0.000000400 50 310.973 12.2993 7.66527 1.70526 0.000000400 100 611.260 12.3037 7.66565 1.70590 0.000000400 200 1211.86 12.3045 7.66574 2.21727 ERRO400 400 2413.05 12.3047 7.66576 1.70921 ERRO800 12 42.9604 12.1550 7.63559 0.756369 0.000000800 25 61.3214 12.2264 7.64641 4.84818 0.0000001600 12 10.8804 12.056 7.62723 9.03929 0.000000


Tab. 8.4: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1 ξ= 2

12 12 145.374 131.236 -15.3217 7.52443 7.482612 25 303.189 272.612 -43.6597 7.53758 7.5171612 50 606.477 544.325 -98.0869 7.54003 7.5297512 100 1212.95 1087.67 -206.926 7.54058 7.535212 200 2425.87 2174.32 -424.599 7.54070 7.5406612 400 4851.64 4347.58 -859.944 7.54074 7.5406925 12 143.026 108.470 -22.1952 7.52438 7.5086825 25 298.072 223.045 -58.0557 7.53753 7.5296825 50 596.046 443.292 -126.973 7.53998 7.5360225 100 1191.90 883.734 -264.796 7.54054 7.5369725 200 2383.55 1764.59 -540.438 7.54066 7.5406625 400 4766.83 3526.29 -1091.72 7.54069 7.5406950 12 138.356 68.7065 7.90618 7.52438 7.5176650 25 287.804 135.733 7.91869 7.53753 7.5339850 50 575.033 264.703 7.92070 7.53998 7.5381750 100 1149.40 522.642 7.92109 7.54054 7.5454450 200 2298.09 1038.51 7.92118 7.54066 7.5406650 400 4595.46 2070.25 7.92120 7.54069 7.54069

100 12 129.202 13.7268 7.75764 7.52438 7.52162100 25 267.387 13.5027 7.76894 7.53753 7.53588100 50 533.029 13.4629 7.77081 7.53998 7.53912100 100 1064.24 13.4545 7.77119 7.54054 7.54289100 200 2126.64 13.4526 7.77128 7.54066 7.54066100 400 4251.41 13.4521 7.77130 7.54069 7.540690200 12 112.199 -14.8794 7.68727 7.52438 7.52349200 25 228.677 -51.0801 7.69821 7.53753 7.53677200 50 452.808 -120.100 7.70006 7.53998 7.53957200 100 901.056 -258.033 7.70044 7.54054 7.54169200 200 1797.53 -533.875 7.70053 7.54066 7.54066200 400 3590.47 -1085.55 7.70055 7.54069 7.54069400 12 83.3424 12.1301 7.65258 7.52438 7.52440400 25 160.904 12.2729 7.66342 7.53753 7.53721400 50 310.973 12.2993 7.66527 7.53998 7.53978400 100 611.260 12.3037 7.66565 7.54054 7.54110400 200 1211.86 12.3045 7.66574 7.54066 7.54066400 400 2413.05 12.3047 7.66576 7.54069 7.54069800 12 42.9604 12.1550 7.63559 7.52438 7.52485800 25 61.3214 12.2264 7.64641 7.53753 7.537421600 12 10.8804 12.056 7.62723 7.52438 7.52507


8.1.2 Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 1

As tabelas de 8.5 até 8.8 apresentam os valores calculados para o número de Nusselt

em diferentes posições ξ e diferentes tempos (τ∗ = 0.01,0.1,1,10) utilizando diversas

malhas, para o caso com Péclet grande, utilizando ξmax = 1.

Tab. 8.5: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 146.490 141.621 188.612 0.00000012 25 305.601 295.048 396.755 0.00000012 50 611.380 589.913 796.671 0.00000012 100 1222.83 1179.55 1596.33 0.00000012 200 2445.71 2358.79 3195.58 ERRO12 400 4891.39 4717.21 6393.96 ERRO25 12 145.127 119.245 0.67139 0.00000025 25 302.641 246.480 0.760498 0.00000025 50 605.354 491.059 0.779693 0.00000025 100 1210.68 980.157 0.783964 0.00000025 200 2421.28 1958.32 0.784884 ERRO25 400 4842.46 3914.64 0.785087 ERRO50 12 140.302 10.6652 0.577069 0.00000050 25 292.12 10.5428 0.617776 0.00000050 50 583.903 10.5187 0.629075 0.00000050 100 1167.38 10.5139 0.631975 0.00000050 200 2334.28 10.5128 0.632634 ERRO50 400 4668.07 10.5126 0.632696 ERRO

200 12 89.3282 0.467197 0.000000 0.000000200 25 178.665 1.10113 0.000000 0.000000200 50 350.758 1.2353 0.000000 0.000000200 100 694.987 1.26223 0.000000 0.000000200 200 1383.45 1.26779 ERRO ERRO200 400 2760.36 1.26901 ERRO ERRO400 12 38.2695 0.429905 0.000000 0.000000400 25 59.2454 0.444452 0.000000 0.000000400 50 101.17 0.450525 0.000000 0.000000400 100 185.372 0.45245 0.000000 0.000000800 12 2.82568 0.101750 0.000000 0.000000800 25 -31.5621 0.0533346 0.00000 0.000000800 50 -93.782 0.0490972 0.000000 0.0000001600 12 19.5390 0.015766 0.000000 0.0000001600 25 20.3105 0.00234701 0.000000 0.000000


Tab. 8.6: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 144.317 119.406 -111.015 0.71780612 25 300.884 246.841 -248.472 0.72499512 50 601.776 491.789 -512.863 0.72376612 100 1203.46 981.622 -1041.69 0.70098512 200 2406.80 1961.26 -2099.37 0.66578612 400 4813.41 3920.50 -4214.76 0.92683225 12 139.273 73.2941 4.96474 0.00000025 25 289.828 145.949 5.04668 0.00000025 50 579.184 285.723 5.06141 0.00000025 100 1157.81 565.264 5.06459 0.00000025 200 2315.00 1124.34 5.06533 ERRO25 400 4629.38 2242.48 5.06550 ERRO50 12 129.501 13.4621 3.33672 0.00000050 25 268.080 13.2502 3.41033 0.00000050 50 534.476 13.2126 3.4242 0.00000050 100 1067.20 13.2047 3.42726 0.00000050 200 2132.60 13.2029 3.42796 ERRO50 400 4263.40 13.2025 3.42813 ERRO200 12 83.3421 12.0794 0.850070 0.000000200 25 160.905 12.2281 0.858976 0.000000200 50 310.976 12.2556 0.861960 0.000000200 100 611.267 12.2603 0.862666 0.000000200 200 1211.87 12.2611 0.862817 ERRO200 400 2413.08 12.2613 0.862851 ERRO400 12 42.9604 12.1482 0.279718 0.000000400 25 61.3214 12.2209 0.265442 0.000000400 50 99.7685 12.2300 0.264197 0.000000400 100 177.260 12.2312 0.263970 0.000000800 12 10.8804 12.0554 0.0637647 0.000000800 25 -24.0756 12.1196 0.0491908 0.000000800 50 -84.7076 12.1275 0.0475619 0.000000

1600 12 26.2917 12.0029 0.0100628 0.0000001600 25 25.1710 12.0636 0.00441478 0.000000


Tab. 8.7: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1 com ξmax = 1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 143.211 110.203 -27.5936 6.4788712 25 298.477 226.829 -69.8263 6.5372412 50 596.872 451.016 -150.987 6.5554212 100 1193.57 899.334 -313.296 6.5628712 200 2386.9 1795.94 -637.909 6.5691812 400 4773.56 3589.14 -1287.14 6.5692625 12 138.356 68.7065 7.90617 5.7272325 25 287.804 135.733 7.91869 5.7879625 50 575.033 264.703 7.92069 5.8042925 100 1149.4 522.642 7.92108 5.8100325 200 2298.09 1038.51 7.92117 5.8146425 400 4595.46 2070.25 7.92119 5.8147650 12 129.202 13.7268 7.75764 4.5905150 25 267.387 13.5027 7.76894 4.6553250 50 533.029 13.4629 7.77081 4.6711450 100 1064.24 13.4545 7.77119 4.6941650 200 2126.64 13.4526 7.77128 4.6796450 400 4251.41 13.4521 7.7713 4.67998200 12 83.3424 12.1301 7.65258 1.64546200 25 160.904 12.2729 7.66342 1.68135200 50 310.973 12.2993 7.66527 1.68967200 100 611.260 12.3037 7.66565 1.69853200 200 1211.86 12.3045 7.66574 1.82281200 400 2413.05 12.3047 7.66576 1.69384400 12 42.9604 12.155 7.63559 0.7685400 25 61.3214 12.2264 7.64641 ERRO400 50 99.7686 12.2352 7.64826 ERRO400 100 177.26 12.2363 7.64865 ERRO800 12 10.8804 12.0560 7.62723 ERRO800 25 -24.0756 12.1199 7.63804 0.00000800 50 -84.7076 12.1278 7.6399 ERRO1600 12 26.2917 12.0029 7.62308 -0.060151600 25 25.1710 12.0636 7.63389 ERRO


Tab. 8.8: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10 com ξmax = 1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 143.211 110.202 -27.5848 7.5078612 25 298.477 226.828 -69.8078 7.5292912 50 596.872 451.013 -150.95 7.5358212 100 1193.56 899.328 -313.222 7.5384612 200 2386.90 1795.93 -637.76 7.5406612 400 4773.55 3589.12 -1286.84 7.5406925 12 138.356 68.7065 7.90618 7.5176625 25 287.804 135.733 7.91869 7.5339825 50 575.033 264.703 7.92070 7.5381725 100 1149.40 522.642 7.92109 7.5395825 200 2298.09 1038.51 7.92118 7.5406625 400 4595.46 2070.25 7.92120 7.5406950 12 129.202 13.7268 7.75764 7.5216250 25 267.387 13.5027 7.76894 7.5358850 50 533.029 13.4629 7.77081 7.5391250 100 1064.24 13.4545 7.77119 7.5400850 200 2126.64 13.4526 7.77128 7.5406650 400 4251.41 13.4521 7.77130 7.54069

200 12 83.3424 12.1301 7.65258 7.52440200 25 160.904 12.2729 7.66342 7.53721200 50 310.973 12.2993 7.66527 7.53978200 100 611.260 12.3037 7.66565 7.54034200 200 1211.86 12.3045 7.66574 7.54066200 400 2413.05 12.3047 7.66576 7.54069400 12 42.9604 12.155 7.63559 7.52485400 25 61.3214 12.2264 7.64641 7.53742400 50 99.7686 12.2352 7.64826 7.53989400 100 177.26 12.2363 7.64865 7.54081800 12 10.8804 12.0560 7.62723 7.52507800 25 -24.0756 12.1199 7.63804 7.53753800 50 -84.7076 12.1278 7.6399 7.539941600 12 26.2917 12.0029 7.62308 7.525191600 25 25.1710 12.0636 7.63389 7.53758


8.1.3 Número de Nusselt para Péclet 10 e ξmax = 1

As tabelas de 8.9 até 8.12 apresentam os valores calculado para o número de Nusselt

em diferentes posições ξ e diferentes tempos (τ∗ = 0.01,0.1,1,10) utilizando diversas

malhas, para o caso com PeH = 10, utilizando ξmax = 1.

Tab. 8.9: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 146.392 140.480 206.095 0.00000012 25 305.314 291.683 442.235 ERRO12 50 610.738 582.349 895.279 ERRO12 100 1221.49 1163.65 1800.65 ERRO12 200 2442.93 2326.24 3611.04 ERRO12 400 4885.82 4651.41 7231.52 ERRO25 12 144.455 113.022 4.02497 0.00000025 25 300.552 224.379 4.10936 0.00000025 50 600.587 439.078 4.15317 ERRO25 100 1200.60 869.002 4.16097 ERRO25 200 2400.61 1729.17 4.16215 ERRO25 400 4800.61 3449.65 4.16236 ERRO50 12 138.072 46.6545 -16.9799 0.00000050 25 283.197 44.6367 -15.9002 0.00000050 50 562.241 42.4754 -15.8535 ERRO50 100 1120.52 41.1443 -15.8406 ERRO50 200 2237.20 40.4232 -15.8359 ERRO50 400 4470.67 40.0498 -15.8346 ERRO100 12 128.456 30.4826 0.450009 0.000000100 25 249.151 -23.2386 0.500491 0.000000100 50 478.668 -131.598 0.512441 ERRO100 100 938.467 -343.858 0.514922 ERRO100 200 1859.09 -764.172 0.515409 ERRO100 400 3701.01 -1602.24 0.516901 ERRO200 12 124.763 46.3542 0.914592 0.000000200 25 219.291 36.9209 0.954889 0.000000200 50 374.030 31.4225 0.967025 ERRO200 100 676.099 30.2809 0.969210 ERRO200 200 1283.20 30.3454 0.969994 ERRO200 400 2501.16 30.5309 0.948303 ERRO400 12 125.523 47.3436 1.11033 0.000000400 25 210.168 38.7832 1.15137 0.000000400 50 291.714 34.7945 1.16246 ERRO400 100 376.260 34.1742 1.16701 ERRO400 200 523.922 34.0700 1.16082 ERRO800 12 126.906 47.595 1.4824 ERRO800 25 216.194 38.8588 1.52701 ERRO1600 12 127.641 47.6965 1.91184 ERRO


Tab. 8.10: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 143.931 116.309 -68.7992 1.0335312 25 299.936 239.017 -163.125 1.0361212 50 599.760 474.980 -344.059 1.0354312 100 1199.31 946.898 -705.702 1.0073412 200 2398.39 1890.74 -1428.87 1.1046612 400 4796.48 3778.40 -2875.15 0.79642925 12 138.908 74.1654 6.96433 ERRO25 25 288.255 141.092 7.01787 ERRO25 50 575.354 270.431 7.02700 ERRO25 100 1149.51 529.479 7.02875 ERRO25 200 2297.79 1047.78 7.02910 ERRO25 400 4594.35 2084.47 7.02918 ERRO50 12 131.750 34.1029 6.34931 ERRO50 25 268.983 32.6391 6.40702 ERRO50 50 532.950 31.4031 6.41685 ERRO50 100 1061.08 30.6636 6.41883 ERRO50 200 2117.47 30.2667 6.41926 ERRO50 400 4230.34 30.0619 6.41936 ERRO100 12 124.555 26.5699 6.01842 ERRO100 25 240.729 -7.80524 6.07524 ERRO100 50 461.733 -76.5509 6.08503 ERRO100 100 904.492 -211.127 6.08704 ERRO100 200 1791.00 -477.595 6.08749 ERRO100 400 3564.66 -1008.90 6.08759 ERRO200 12 121.707 37.5063 5.83758 ERRO200 25 213.345 30.9553 5.89347 ERRO200 50 363.413 27.2616 5.90314 ERRO200 100 656.372 26.4942 5.90514 ERRO200 200 1245.17 26.5345 5.90559 ERRO200 400 2426.40 26.6570 5.90569 ERRO400 12 122.641 38.1925 5.74581 ERRO400 25 204.839 32.2095 5.80096 ERRO400 50 284.058 29.5089 5.81052 ERRO400 100 366.196 29.0860 5.81250 ERRO400 200 509.654 29.0143 5.81295 ERRO800 12 124.066 38.2707 5.70051 ERRO800 25 210.833 32.1903 5.7552 ERRO1600 12 124.809 38.2628 5.6782 ERRO


Tab. 8.11: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 1 com ξmax = 1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 143.068 109.342 -22.9104 6.9723512 25 298.060 223.942 -61.9373 7.0133112 50 595.939 444.324 -136.746 7.0260612 100 1191.60 885.082 -286.253 7.0311512 200 2382.90 1766.61 -585.211 7.0354612 400 4765.43 3529.63 -1183.10 7.0355225 12 138.430 71.6253 8.44397 6.7864325 25 287.207 135.777 8.44810 6.8207825 50 573.213 259.763 8.44833 6.829925 100 1145.18 508.092 8.44824 6.8329425 200 2289.09 1004.94 8.44820 6.8353725 400 4576.91 1998.74 8.44818 6.8354250 12 131.489 33.6142 8.29811 6.5840050 25 268.412 32.1817 8.30290 6.6152550 50 531.786 30.9765 8.30320 6.6225350 100 1058.73 30.2558 8.30316 6.6245350 200 2112.74 29.8691 8.30313 6.6261950 400 4220.85 29.6696 8.30312 6.62605100 12 124.380 26.4031 8.22662 6.39981100 25 240.359 -7.31182 8.23100 6.43004100 50 460.996 -74.7231 8.23127 6.43640100 100 903.017 -206.685 8.23123 6.44053100 200 1788.05 -467.975 8.23121 6.44149100 400 3558.76 -988.959 8.23120 6.43886200 12 121.570 37.2120 8.18665 6.27196200 25 213.081 30.7628 8.19088 6.30230200 50 362.942 27.1298 8.19115 6.30925200 100 655.497 26.3749 8.19112 6.31063200 200 1243.48 26.4146 8.19110 6.31026200 400 2423.08 26.5349 8.19109 6.31033400 12 122.520 37.9217 8.16583 6.20154400 25 204.615 32.0247 8.16999 6.23237400 50 283.736 29.3654 8.17025 6.23806400 100 365.772 28.9489 8.17022 6.23973400 200 509.053 28.8783 8.17020 6.24007800 12 123.952 38.0151 8.15525 6.16722800 25 210.616 32.0195 8.15937 6.197911600 12 124.698 38.0153 8.14991 6.15095


Tab. 8.12: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 10 com ξmax = 1.I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 1

12 12 143.068 109.340 -22.8937 7.6172112 25 298.060 223.938 -61.9008 7.6347912 50 595.937 444.315 -136.672 7.6402712 100 1191.60 885.064 -286.103 7.6424612 200 2382.90 1766.57 -584.909 7.6443012 400 4765.42 3529.56 -1182.50 7.6443225 12 138.430 71.6251 8.44427 7.6707825 25 287.207 135.776 8.44838 7.6822725 50 573.213 259.762 8.44861 7.6853225 100 1145.18 508.091 8.44852 7.6863525 200 2289.09 1004.94 8.44848 7.6871425 400 4576.91 1998.74 8.44847 7.6871650 12 131.489 33.6142 8.29824 7.7033850 25 268.412 32.1817 8.30302 7.7119650 50 531.786 30.9765 8.30332 7.7139850 100 1058.73 30.2558 8.30328 7.7145750 200 2112.74 29.8691 8.30325 7.7149250 400 4220.85 29.6696 8.30324 7.71494100 12 124.380 26.4031 8.22668 7.7172100 25 240.359 -7.31182 8.23106 7.72452100 50 460.996 -74.7231 8.23133 7.72608100 100 903.017 -206.685 8.23129 7.72643100 200 1788.05 -467.975 8.23127 7.72667100 400 3558.76 -988.958 8.23126 7.72669200 12 121.570 37.2120 8.18668 7.72266200 25 213.081 30.7628 8.19092 7.72951200 50 362.942 27.1298 8.19118 7.73089200 100 655.497 26.3749 8.19115 7.73141200 200 1243.48 26.4146 8.19113 7.73134200 400 2423.08 26.5349 8.19112 7.73136400 12 122.520 37.9217 8.16586 7.72603400 25 204.615 32.0247 8.17002 7.73268400 50 283.736 29.3654 8.17028 7.73400400 100 365.772 28.9489 8.17025 7.73437400 200 509.053 28.8783 8.17023 7.73441800 12 123.952 38.0151 8.15527 7.72842800 25 210.616 32.0195 8.15939 7.734971600 12 124.698 38.0153 8.14993 7.72992


8.2 Evolução transiente da distribuição espacial de Nusselt

Esta seção tem o objetivo de analisar o comportamento transiente para os diferentes

números de Nusselt. As figuras de 8.1até 8.4 mostram a evolução de Nusselt para

diferentes valores de número de Péclet e diferentes tempos (τ∗ = 0.01,0.1,1,10), para

diferentes tamanhos de canal (ξmax = 1,2,10).

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

2

4

6

8

10

12

14

Nu

Τ = 0.05

Τ = 0.1

Τ = 0.5

Τ = 1.0

Τ = ¥

Fig. 8.1: Variação transiente de Nusselt para PeH grande.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

2

4

6

8

10

12

14

Nu

Τ = 0.05

Τ = 0.1

Τ = 0.5

Τ = 1.0

Τ = ¥

Fig. 8.2: Variação transiente de Nusselt para PeH = 10.

Comparando a evolução do número de Nusselt com Péclet grande e com PeH = 10,

ambos em regime transiente, observa-se que apesar do comportamento em regime per-

manente ser próximo, o comportamento transiente é bastante diferente. Para valores

muito pequenos de τ∗ (0.05 e 0.1), o número de Nusselt atinge a região onde não há


0.5 1.0 1.5 2.0Ξ

5

10

15

20

25Nu

Τ = 0.05

Τ = 0.1

Τ = 0.5

Τ = 1.0

Τ = ¥

Fig. 8.3: Variação transiente de Nusselt para PeH = 1.

0 2 4 6 8Ξ

10

20

30

40Nu

Τ = 0.05

Τ = 0.1

Τ = 0.5

Τ = 1.0

Τ = ¥

Fig. 8.4: Variação transiente de Nusselt para PeH = 0.1.

transferencia de calor1 logo no início do canal. Observa-se também nos resultados uma

semelhança entre PeH = 10 e Péclet grande, onde os valores de Nusselt transientes são

sempre menores que os valores atingidos em regime permanente. Todavia, compa-

rando a evolução do número de Nusselt para PeH = 1 PeH = 0.1 este comportamento se

inverte, e os valores de Nusselt obtidos para regime transiente são maiores que os va-

lores obtidos para regime permanente. Os resultados também mostram que, à medida

que o número de Péclet é reduzido, os valores de Nusselt atingem mais rapidamente

o desenvolvimento térmico. Isto pode ser observado pelos gráficos, onde curvas para

PeH = 1 e PeH = 0.1 om τ∗ = 1 e τ∗ = 0.1 estão praticamente sobrepostas às curvas

1 ou seja, onde o número de Nusselt é nulo.


para o regime permanente (τ∗ infinito).

Também observa-se que para valores de PeH = 0.1 a independência em relação

à posição do canal (ξ) é atingida antes do regime permanente. Isto pode ser visto

observando as curvas para PeH = 0.1 e notando que em todos os tempos a derivada em

relação à ξ é aparentemente nula próximo à saída. O mesmo não ocorre para PeH = 1

e para nenhum outro caso de Péclet.

Capítulo 9

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Apêndice A

Demais resultados para regime permanente

A.1 Slug-Flow com discretização bidirecional

Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para

o escoamento tipo Slug-flow com diferentes valores para número de Péclet, usando a

discretização bidirecional, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ) e

diferentes posições para a coordenada transversal η.

As tabelas A.1 e A.2 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas ob-

tidos para Slug-flow, para número de Péclet PeH = 10 e valores de η= 0 e η= 0.99.


tidos para Slug-flow, para número de Péclet PeH = 1 e valores de η= 0 e η= 0.99.


tidos para Slug-flow, para número de Péclet PeH = 0.1 e valores de η= 0 e η= 0.99.

156

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 157

Tab. A.1: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η= 0.99, discretização bi-direcional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.323506 0.234550 -0.0246250 0.00019152512 25 0.603496 0.427536 -0.067577 0.00019053112 50 0.964798 0.676910 -0.122477 0.00019030812 100 1.157490 0.809920 -0.151740 0.00019025312 200 0.964780 0.676752 -0.122669 0.00019023912 400 0.964779 0.676744 -0.122678 0.00019023625 12 0.313819 0.161820 0.0143742 0.00021888925 25 0.582364 0.268895 0.0142953 0.00021777025 50 0.929028 0.408400 0.0142799 0.00021752025 100 1.113920 0.482830 0.0142761 0.00021745725 200 0.928929 0.407633 0.0142752 0.00021744225 400 0.928924 0.407594 0.0142749 0.00021743850 12 0.300328 0.0923806 0.0141140 0.00023001550 25 0.547375 0.0877456 0.0140552 0.00022884550 50 0.866393 0.0836811 0.0140429 0.00022858450 100 1.036510 0.0814039 0.0140398 0.00022851950 200 0.865849 0.0805958 0.0140391 0.00022850250 400 0.865822 0.0804405 0.0140389 0.000228498

100 12 0.287448 0.0795208 0.0140549 0.000234249100 25 0.497030 0.0193569 0.0139987 0.000233060100 50 0.763064 -0.0632814 0.0139869 0.000232795100 100 0.904254 -0.1084400 0.0139839 0.000232728100 200 0.760073 -0.07034220 0.0139832 0.000232712100 400 0.759919 -0.07070180 0.0139830 0.000232708200 12 0.282922 0.0973508 0.0140382 0.000235622200 25 0.450401 0.0817739 0.0139828 0.000234427200 50 0.627618 0.0743719 0.0139710 0.000234160200 100 0.713525 0.0734473 0.0139681 0.000234094200 200 0.613442 0.0734997 0.0139674 0.000234077200 400 0.612662 0.0734838 0.0139672 0.000234073400 12 0.284838 0.0984785 0.0140339 0.000236019400 25 0.437251 0.0835771 0.0139787 0.000234823400 50 0.527126 0.0775711 0.0139670 0.000234556400 100 0.527153 0.0766086 0.0139641 0.000234489400 200 0.484009 0.0764050 0.0139634 0.000234473400 400 0.481107 0.0763547 0.0139632 0.000234468800 12 0.287375 0.0986767 0.0140328 0.000236127800 25 0.447776 0.0834937 0.0139776 0.000234930800 50 0.527411 0.0775398 0.0139659 0.000234663800 100 0.477041 0.0766073 0.0139631 0.000234596800 200 0.469591 0.0764062 0.0139623 0.000234580800 400 0.464023 0.0763566 0.0139622 0.0002345751600 12 0.288678 0.0987204 0.0140325 0.0002361551600 25 0.456693 0.0834350 0.0139774 0.0002349581600 50 0.561951 0.0774923 0.0139657 0.0002346911600 100 0.538682 0.0765753 0.0139628 0.0002346241600 200 0.509260 0.0763764 0.0139621 0.0002346071600 400 0.504563 0.0763273 0.0139619 0.000234603

exata 0.511806 0.0762989 0.0139618 0.000234611


Tab. A.2: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η= 0, discretização bidire-cional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.999368 0.991733 0.781316 0.016839412 25 0.999313 0.991209 0.778264 0.016787012 50 0.999301 0.991093 0.777581 0.016775212 100 0.999298 0.991064 0.777410 0.016772312 200 0.999297 0.991057 0.777367 0.016771512 400 0.999297 0.991055 0.777356 0.016771325 12 1.00004 0.997061 0.785136 0.015425825 25 1.00003 0.996824 0.781935 0.015374325 50 1.00002 0.996775 0.781215 0.015362725 100 1.00002 0.996763 0.781036 0.015359825 200 1.00002 0.996760 0.780991 0.015359125 400 1.00002 0.996759 0.780979 0.015358950 12 0.999689 0.994283 0.788608 0.015108650 25 0.999678 0.994101 0.785369 0.015057450 50 0.999676 0.994064 0.784641 0.015045950 100 0.999676 0.994054 0.784459 0.015043050 200 0.999676 0.994052 0.784414 0.015042350 400 0.999676 0.994051 0.784402 0.0150421

100 12 0.999507 0.992955 0.789553 0.0150293100 25 0.999492 0.992749 0.786305 0.0149781100 50 0.999489 0.992705 0.785575 0.0149667100 100 0.999489 0.992694 0.785392 0.0149638100 200 0.999488 0.992692 0.785347 0.0149631100 400 0.999488 0.992691 0.785335 0.0149629200 12 0.999440 0.992560 0.789803 0.0150095200 25 0.999423 0.992346 0.786553 0.0149583200 50 0.999420 0.992300 0.785822 0.0149469200 100 0.999419 0.992289 0.785639 0.0149440200 200 0.999419 0.992286 0.785594 0.0149433200 400 0.999419 0.992285 0.785582 0.0149431400 12 0.999409 0.992481 0.789866 0.0150046400 25 0.999392 0.992266 0.786616 0.0149534400 50 0.999389 0.992220 0.785885 0.0149419400 100 0.999388 0.992208 0.785702 0.0149390400 200 0.999388 0.992205 0.785656 0.0149383400 400 0.999387 0.992205 0.785645 0.0149381800 12 0.999395 0.992462 0.789882 0.0150033800 25 0.999378 0.992246 0.786631 0.0149522800 50 0.999374 0.992200 0.785901 0.0149407800 100 0.999373 0.992188 0.785718 0.0149378800 200 0.999373 0.992185 0.785672 0.0149371800 400 0.999373 0.992185 0.785661 0.01493691600 12 0.999390 0.992457 0.789886 0.01500301600 25 0.999372 0.992241 0.786635 0.01495181600 50 0.999368 0.992195 0.785904 0.01494041600 100 0.999368 0.992183 0.785722 0.01493751600 200 0.999367 0.992180 0.785676 0.01493681600 400 0.999367 0.992180 0.785665 0.0149366

exata 0.999366 0.992178 0.785662 0.0149364


Tab. A.3: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η= 0.99, discretização bidi-recional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.328472 0.279226 0.0678804 0.0091841912 25 0.608877 0.475796 0.0232298 0.0091574712 50 0.969852 0.722234 -0.0372672 0.0091517212 100 1.162240 0.852516 -0.0702377 0.0091502912 200 0.969408 0.718286 -0.0425278 0.0091499312 400 0.969385 0.718082 -0.0427951 0.0091498525 12 0.327963 0.276324 0.0822786 0.0092507425 25 0.602716 0.430995 0.0708876 0.0092234325 50 0.950006 0.574643 0.0660971 0.0092175625 100 1.133250 0.636129 0.0651981 0.0092161025 200 0.947417 0.554411 0.0650115 0.0092157425 400 0.947268 0.553253 0.0649659 0.0092156550 12 0.328182 0.279391 0.0829426 0.0092656150 25 0.600947 0.428127 0.0706704 0.0092381850 50 0.934207 0.501750 0.0658633 0.0092322850 100 1.100890 0.476537 0.0650969 0.0092308250 200 0.925958 0.450784 0.0649327 0.0092304550 400 0.925320 0.446987 0.0648922 0.00923036100 12 0.328458 0.282116 0.0831471 0.00926934100 25 0.601778 0.441380 0.0706977 0.00924188100 50 0.930076 0.526735 0.0658936 0.00923597100 100 1.079830 0.481584 0.0651454 0.00923451100 200 0.919402 0.473215 0.0649834 0.00923414100 400 0.917822 0.467702 0.0649434 0.00923405200 12 0.328636 0.283170 0.0831956 0.00927027200 25 0.602852 0.447956 0.0706895 0.00924280200 50 0.932885 0.552208 0.0658867 0.00923690200 100 1.078020 0.529622 0.0651460 0.00923543200 200 0.930283 0.501286 0.0649850 0.00923507200 400 0.927958 0.496683 0.0649453 0.00923498400 12 0.328733 0.283366 0.0832075 0.00927051400 25 0.603541 0.449091 0.0706865 0.00924304400 50 0.936044 0.555963 0.0658842 0.00923713400 100 1.084060 0.535091 0.0651455 0.00923566400 200 0.938801 0.505850 0.0649848 0.00923530400 400 0.935272 0.501247 0.0649451 0.00923521800 12 0.328781 0.283415 0.0832105 0.00927057800 25 0.603904 0.449374 0.0706857 0.00924309800 50 0.937952 0.556889 0.0658835 0.00923719800 100 1.089030 0.536365 0.0651454 0.00923572800 200 0.940396 0.507047 0.0649847 0.00923536800 400 0.936622 0.502451 0.0649450 0.00923526

1600 12 0.328801 0.283427 0.0832112 0.009270581600 25 0.604056 0.449445 0.0706855 0.009243111600 50 0.938785 0.557120 0.0658833 0.009237201600 100 1.091380 0.536678 0.0651453 0.009235741600 200 0.940287 0.507351 0.0649847 0.009235371600 400 0.936867 0.502758 0.0649450 0.00923528

exata 0.936781 0.501235 0.0649318 0.00923525


Tab. A.4: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0, discretização bidire-cional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.999360 0.993582 0.934157 0.55001612 25 0.999355 0.993524 0.933573 0.55032312 50 0.999353 0.993512 0.933445 0.55039212 100 0.999353 0.993509 0.933413 0.55040912 200 0.999353 0.993508 0.933405 0.55041412 400 0.999353 0.993508 0.933403 0.55041525 12 0.999357 0.993549 0.934113 0.54968225 25 0.999351 0.993492 0.933532 0.54998925 50 0.999350 0.993479 0.933403 0.55005725 100 0.999350 0.993476 0.933372 0.55007525 200 0.999350 0.993475 0.933364 0.55007925 400 0.999350 0.993475 0.933362 0.55008050 12 0.999355 0.993529 0.934112 0.54960650 25 0.999349 0.993472 0.933531 0.54991350 50 0.999348 0.993459 0.933403 0.54998250 100 0.999348 0.993456 0.933371 0.55000050 200 0.999348 0.993455 0.933363 0.55000450 400 0.999348 0.993455 0.933361 0.550005100 12 0.999354 0.993519 0.934112 0.549588100 25 0.999348 0.993462 0.933531 0.549895100 50 0.999347 0.993449 0.933403 0.549964100 100 0.999347 0.993446 0.933371 0.549981100 200 0.999347 0.993445 0.933363 0.549985100 400 0.999347 0.993445 0.933361 0.549986200 12 0.999353 0.993516 0.934112 0.549583200 25 0.999348 0.993458 0.933531 0.549890200 50 0.999346 0.993445 0.933403 0.549959200 100 0.999346 0.993442 0.933371 0.549976200 200 0.999346 0.993441 0.933363 0.549980200 400 0.999346 0.993441 0.933361 0.549981400 12 0.999353 0.993515 0.934112 0.549582400 25 0.999347 0.993457 0.933531 0.549889400 50 0.999346 0.993445 0.933403 0.549958400 100 0.999346 0.993441 0.933371 0.549975400 200 0.999346 0.993441 0.933363 0.549979400 400 0.999346 0.993440 0.933361 0.549980800 12 0.999353 0.993515 0.934112 0.549581800 25 0.999347 0.993457 0.933531 0.549888800 50 0.999346 0.993444 0.933403 0.549957800 100 0.999346 0.993441 0.933371 0.549975800 200 0.999346 0.993440 0.933363 0.549979800 400 0.999346 0.993440 0.933361 0.549980

1600 12 0.999353 0.993515 0.934112 0.5495811600 25 0.999347 0.993457 0.933531 0.5498881600 50 0.999346 0.993444 0.933403 0.5499571600 100 0.999346 0.993441 0.933371 0.5499751600 200 0.999345 0.993440 0.933363 0.5499791600 400 0.999345 0.993440 0.933361 0.549980

exata 0.999345 0.993440 0.933360 0.549980


Tab. A.5: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1 em η= 0.99, discretização bi-direcional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.333798 0.328802 0.285600 0.132964012 25 0.622662 0.602208 0.445957 0.109721012 50 0.992759 0.930519 0.539164 0.100759012 100 1.18709 1.07772 0.503654 0.099401112 200 0.991784 0.921260 0.488005 0.099105312 400 0.991587 0.919464 0.482820 0.099032325 12 0.333814 0.328965 0.286312 0.133618025 25 0.622765 0.603249 0.450279 0.110452025 50 0.993074 0.934038 0.555489 0.101302025 100 1.18707 1.07972 0.534116 0.099910125 200 0.993260 0.934019 0.504942 0.099607925 400 0.992943 0.931353 0.500341 0.099533350 12 0.333822 0.329045 0.286440 0.133764050 25 0.622823 0.603825 0.451006 0.110613050 50 0.993351 0.936836 0.557802 0.101421050 100 1.18763 1.08593 0.537123 0.100022050 200 0.994091 0.939815 0.507897 0.099718450 400 0.993559 0.936042 0.503306 0.0996435

100 12 0.333826 0.329084 0.286472 0.1338010100 25 0.622855 0.604113 0.451190 0.1106530100 50 0.993518 0.938373 0.558398 0.1014510100 100 1.18807 1.09008 0.537935 0.1000500100 200 0.994256 0.940432 0.508672 0.0997459100 400 0.993657 0.936788 0.504087 0.0996709200 12 0.333829 0.329097 0.286480 0.1338100200 25 0.622871 0.604213 0.451235 0.1106630200 50 0.993608 0.938915 0.558546 0.1014580200 100 1.18832 1.09161 0.538135 0.1000570200 200 0.994242 0.940342 0.508868 0.0997528200 400 0.993674 0.936946 0.504284 0.0996777400 12 0.333830 0.329099 0.286482 0.1338120400 25 0.622879 0.604232 0.451247 0.1106650400 50 0.993654 0.939020 0.558583 0.1014600400 100 1.18846 1.09190 0.538185 0.1000580400 200 0.994213 0.940346 0.508917 0.0997545400 400 0.993678 0.936985 0.504334 0.0996795800 12 0.333830 0.329100 0.286482 0.133813800 25 0.622883 0.604237 0.451250 0.110666800 50 0.993676 0.939046 0.558593 0.101461800 100 1.18853 1.09197 0.538198 0.100059800 200 0.994194 0.940347 0.508929 0.0997549800 400 0.993679 0.936995 0.504346 0.09967991600 12 0.333830 0.329100 0.286482 0.1338131600 25 0.622885 0.604238 0.451250 0.1106661600 50 0.993685 0.939053 0.558595 0.1014611600 100 1.18855 1.09199 0.538201 0.1000591600 200 0.994186 0.940348 0.508932 0.0997551600 400 0.993679 0.936997 0.504349 0.099680


Tab. A.6: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1, em η = 0, discretização bidi-recional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999912 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000012 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000012 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000012 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000012 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999925 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999950 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000050 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999100 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000100 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999200 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000200 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999400 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000400 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999800 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000800 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.9999991600 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.000001600 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.000001600 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.000001600 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.000001600 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000


A.2 Slug-Flow para Peclet grande com discretização bidirecional


o escoamento tipo Slug-flow com valores de Péclet grande, usando a discretização bidi-

recional, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e diferentes posições

para a coordenada transversal η.

As tabelas A.7 e A.8 mostram os valores de Temperaturas adimensionalizadas ob-

tidos para Slug-flow, para número de Péclet grande e valores de η= 0 e η= 0.99.


Tab. A.7: Temperaturas para Slug-Flow em com número de PeH grande, em η= 0.99,discretização bidirecional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.323310 0.232798 -0.0275879 0.00010096912 25 0.603315 0.425916 -0.0703548 0.00010033812 50 0.964625 0.675363 -0.1251620 0.00010019812 100 1.157330 0.808410 -0.1543790 0.00010016212 200 0.964613 0.675255 -0.1252930 0.00010015412 400 0.964613 0.675250 -0.1252990 0.00010015125 12 0.312641 0.152567 0.0128519 0.00012123425 25 0.581277 0.260366 0.0128139 0.00012049325 50 0.928009 0.400386 0.0128059 0.00012032825 100 1.112940 0.475091 0.0128039 0.00012028725 200 0.927957 0.399990 0.0128034 0.00012027625 400 0.927955 0.399970 0.0128033 0.00012027450 12 0.294682 0.0586520 0.0125790 0.00013202850 25 0.541948 0.0555483 0.0125509 0.00013122950 50 0.861380 0.0538815 0.0125447 0.00013105050 100 1.031750 0.0530558 0.0125432 0.00013100650 200 0.861184 0.0527710 0.0125428 0.00013099550 400 0.861174 0.0527154 0.0125427 0.000130992100 12 0.266001 0.0136333 0.0125058 0.000138169100 25 0.472670 -0.0491604 0.0124794 0.000137338100 50 0.740429 -0.1266640 0.0124737 0.000137153100 100 0.883252 -0.1679020 0.0124723 0.000137107100 200 0.739705 -0.1283290 0.0124719 0.000137095100 400 0.739668 -0.1284130 0.0124718 0.000137092200 12 0.227724 0.0429532 0.0124853 0.000141474200 25 0.362644 0.0402603 0.0124594 0.000140627200 50 0.538675 0.0400324 0.0124538 0.000140437200 100 0.632514 0.0401008 0.0124524 0.000140390200 200 0.536185 0.0401397 0.0124520 0.000140378200 400 0.536060 0.0401456 0.0124519 0.000140375400 12 0.192438 0.0421483 0.0124800 0.000143191400 25 0.222490 0.0406611 0.0124543 0.000142335400 50 0.259645 0.0404276 0.0124487 0.000142144400 100 0.278877 0.0403726 0.0124473 0.000142096400 200 0.252293 0.0403590 0.0124469 0.000142084400 400 0.251922 0.0403556 0.0124468 0.000142081800 12 0.179991 0.0415851 0.0124787 0.000144067800 25 0.124563 0.0402956 0.0124530 0.000143206800 50 0.0368335 0.0400784 0.0124474 0.000143014800 100 -0.0119355 0.0400268 0.0124460 0.000142966800 200 0.0222429 0.0400141 0.0124456 0.000142954800 400 0.0215038 0.0400109 0.0124455 0.0001429511600 12 0.185005 0.0414301 0.0124784 0.0001445091600 25 0.153065 0.0401910 0.0124527 0.0001436461600 50 0.136309 0.0399786 0.0124470 0.0001434541600 100 0.133101 0.0399281 0.0124456 0.0001434061600 200 0.132530 0.0399155 0.0124453 0.0001433941600 400 0.132380 0.0399124 0.0124452 0.000143391


Tab. A.8: Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η= 0, discre-tização bidirecional.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.999659 0.994059 0.765126 0.010883612 25 0.999582 0.993336 0.761624 0.010842012 50 0.999565 0.993175 0.760838 0.010832612 100 0.999561 0.993135 0.760641 0.010830312 200 0.999560 0.993125 0.760592 0.010829712 400 0.999559 0.993122 0.760580 0.010829625 12 1.00175 1.01070 0.769355 0.0095924725 25 1.00171 1.01031 0.765493 0.0095523125 50 1.00171 1.01023 0.764623 0.0095433125 100 1.00171 1.01021 0.764405 0.0095410625 200 1.00171 1.01020 0.764351 0.0095404925 400 1.00170 1.01020 0.764337 0.0095403550 12 1.00118 1.00731 0.775222 0.0093043950 25 1.00124 1.00746 0.771141 0.0092645950 50 1.00125 1.00751 0.770221 0.0092556750 100 1.00125 1.00752 0.769990 0.0092534450 200 1.00125 1.00752 0.769933 0.0092528850 400 1.00125 1.00753 0.769918 0.00925274100 12 0.999909 1.00154 0.777069 0.00923249100 25 0.999931 1.00167 0.772905 0.00919278100 50 0.999936 1.00171 0.771965 0.00918387100 100 0.999937 1.00172 0.771730 0.00918165100 200 0.999938 1.00172 0.771671 0.00918109100 400 0.999938 1.00172 0.771657 0.00918095200 12 0.999960 1.00020 0.777592 0.00921452200 25 0.999954 1.00023 0.773403 0.00917483200 50 0.999952 1.00024 0.772458 0.00916593200 100 0.999951 1.00025 0.772221 0.00916371200 200 0.999951 1.00025 0.772162 0.00916315200 400 0.999951 1.00025 0.772147 0.00916302400 12 1.00000 1.00002 0.777727 0.00921003400 25 1.00000 1.00002 0.773532 0.00917034400 50 1.00000 1.00002 0.772585 0.00916145400 100 1.00000 1.00002 0.772348 0.00915923400 200 1.00000 1.00002 0.772289 0.00915867400 400 1.00000 1.00002 0.772274 0.00915853800 12 1.00000 1.00001 0.777761 0.00920891800 25 1.00000 1.00000 0.773564 0.00916922800 50 1.00000 1.00000 0.772617 0.00916033800 100 1.00000 1.00000 0.772380 0.00915810800 200 1.00000 1.00000 0.772321 0.00915755800 400 1.00000 1.00000 0.772306 0.009157411600 12 1.00000 1.00001 0.777770 0.009208631600 25 1.00000 1.00000 0.773572 0.009168941600 50 1.00000 1.00000 0.772625 0.009160051600 100 1.00000 1.00000 0.772388 0.009157821600 200 1.00000 1.00000 0.772329 0.009157271600 400 1.00000 1.00000 0.772314 0.00915713


A.3 Slug-Flow para Peclet grande com discretização em uma

direção


o escoamento tipo Slug-flow com valores de Péclet grande, usando a discretização

em uma direção apenas, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e


As tabelas A.9 e A.10 mostram os valores de temperatura obtidos para Slug-Flow,

para número de Péclet grande.

Tab. A.9: Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η= 0.99, dis-cretização em uma direção.

I ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 13 0.0578972 0.0432279 0.0129178 0.0001608395 0.0907101 0.0465760 0.0125846 0.00014977610 0.139480 0.0414004 0.0124781 0.00014530320 0.141326 0.0402177 0.0124537 0.00014420440 0.128886 0.0399728 0.0124476 0.00014392980 0.125849 0.0398845 0.0124451 0.000143850

100 0.125761 0.0398818 0.0124451 0.000143844120 0.125790 0.0398827 0.0124452 0.000143841140 0.125840 0.0398842 0.0124452 0.000143840160 0.125772 0.0398821 0.0124452 0.000143838180 0.125684 0.0398793 0.0124451 0.000143836200 0.125665 0.0398786 0.0124451 0.000143835250 0.125716 0.0398803 0.0124451 0.000143835300 0.125647 0.0398781 0.0124451 0.000143833350 0.125675 0.0398790 0.0124451 0.000143833400 0.125641 0.0398779 0.0124451 0.000143833500 0.125638 0.0398778 0.0124451 0.000143833600 0.125636 0.0398777 0.0124451 0.000143832700 0.125636 0.0398777 0.0124451 0.000143832800 0.125635 0.0398777 0.0124451 0.000143832900 0.125635 0.0398777 0.0124451 0.0001438321000 0.125634 0.0398777 0.0124451 0.0001438321100 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.0001438321200 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.0001438321300 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.0001438321400 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.0001438321500 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.0001438321600 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.0001438321700 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.0001438321800 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.0001438321900 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.0001438322000 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832


Tab. A.10: Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0, dis-cretização em uma direção.

I ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 13 1.000150 1.00990 0.852989 0.011344605 1.00000 1.00076 0.802948 0.0099193110 1.00000 1.00002 0.780156 0.0093449320 1.00000 0.999999 0.774285 0.0092038340 1.00000 0.999999 0.772806 0.0091687180 1.00000 0.999999 0.772435 0.00915992

100 1.00000 0.999999 0.772391 0.00915889120 1.00000 0.999999 0.772367 0.00915831140 1.00000 0.999999 0.772352 0.00915797160 1.00000 0.999999 0.772342 0.00915775180 1.00000 0.999999 0.772336 0.00915759200 1.00000 0.999999 0.772331 0.00915748250 1.00000 0.999999 0.772324 0.00915731300 1.00000 0.999999 0.772320 0.00915721350 1.00000 0.999999 0.772318 0.00915717400 1.00000 0.999999 0.772317 0.00915713500 1.00000 0.999999 0.772315 0.00915709600 1.00000 0.999999 0.772314 0.00915707700 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915705800 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915704900 1.00000 0.999999 0.772313 0.009157031000 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157041100 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157031200 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157031300 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157011400 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157021500 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157021600 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157021700 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157021800 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157021900 1.00000 0.999999 0.772312 0.009157022000 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702


A.4 Resultados de temperatura para Péclet grande (CDS)


o escoamento tipo Hagen-Poiseuille com número de Péclet grande, usando a discre-

tização bidirecional CDS, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e


As tabelas A.11 e A.12 mostram os valores de Temperaturas adimensionalizadas

obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet grande e valores de η = 0 e

η= 0.99.


Tab. A.11: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em η =0.99, discretização bidirecional CDS.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.322946 0.229554 -0.0318745 0.00029574612 25 0.602985 0.422978 -0.0742265 0.00029488012 50 0.964313 0.672586 -0.1288330 0.00029466812 100 1.157020 0.805712 -0.1579550 0.00029461312 200 0.964313 0.672584 -0.1288350 0.00029459912 400 0.964313 0.672584 -0.1288350 0.00029459525 12 0.311277 0.141916 0.0121157 0.00034381325 25 0.580048 0.250763 0.0121258 0.00034285125 50 0.926854 0.391363 0.0121271 0.00034261525 100 1.111820 0.466357 0.0121273 0.00034255325 200 0.926853 0.391356 0.0121273 0.00034253825 400 0.926853 0.391355 0.0121274 0.00034253450 12 0.290205 0.0323090 0.0119729 0.00036882250 25 0.537927 0.0318852 0.0119825 0.00036781350 50 0.857639 0.0318125 0.0119838 0.00036756550 100 1.028160 0.0317970 0.0119840 0.00036750050 200 0.857635 0.0317933 0.0119841 0.00036748450 400 0.857635 0.0317924 0.0119841 0.000367480100 12 0.252235 -0.0244231 0.0119323 0.000382413100 25 0.460259 -0.0831922 0.0119417 0.000381381100 50 0.729009 -0.1583010 0.0119430 0.000381127100 100 0.872358 -0.1983240 0.0119432 0.000381061100 200 0.728996 -0.1583300 0.0119433 0.000381044100 400 0.728995 -0.1583310 0.0119433 0.000381040200 12 0.189405 0.0274512 0.0119208 0.000389530200 25 0.327293 0.0276882 0.0119301 0.000388487200 50 0.506508 0.0277182 0.0119315 0.000388230200 100 0.602151 0.0277217 0.0119317 0.000388163200 200 0.506463 0.0277224 0.0119318 0.000388146200 400 0.506461 0.0277225 0.0119318 0.000388142400 12 0.103442 0.0276068 0.0119179 0.000393175400 25 0.135514 0.0276999 0.0119272 0.000392126400 50 0.181119 0.0277061 0.0119285 0.000391867400 100 0.205647 0.0277058 0.0119287 0.000391800400 200 0.180981 0.0277056 0.0119288 0.000391783400 400 0.180975 0.0277056 0.0119288 0.000391779800 12 0.0359742 0.0274793 0.0119171 0.000395020800 25 -0.0272886 0.0275678 0.0119264 0.000393968800 50 -0.0999449 0.0275736 0.0119277 0.000393709800 100 -0.138257 0.0275734 0.0119280 0.000393641800 200 -0.100229 0.0275732 0.0119280 0.000393624800 4001600 12 0.0627006 0.0274428 0.0119169 0.0003959481600 25 0.0620691 0.0275300 0.0119262 0.0003948951600 50 0.0623053 0.0275357 0.0119275 0.0003946351600 1001600 2001600 400


Tab. A.12: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em η= 0,discretização bidirecional CDS.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.999909 0.996912 0.815561 0.030144012 25 0.999823 0.996111 0.811611 0.030077012 50 0.999804 0.995933 0.810725 0.030062012 100 0.999800 0.995889 0.810504 0.030058212 200 0.999799 0.995878 0.810448 0.030057312 400 0.999798 0.995875 0.810435 0.030057025 12 1.00138 1.00856 0.818938 0.028312725 25 1.00133 1.00808 0.814663 0.028244525 50 1.00132 1.00798 0.813698 0.028229225 100 1.00132 1.00795 0.813457 0.028225425 200 1.00132 1.00795 0.813396 0.028224425 400 1.00132 1.00795 0.813381 0.028224250 12 1.00090 1.00563 0.823537 0.027899050 25 1.00095 1.00569 0.819056 0.027830650 50 1.00096 1.00572 0.818043 0.027815250 100 1.00097 1.00573 0.817789 0.027811350 200 1.00097 1.00573 0.817726 0.027810450 400 1.00097 1.00574 0.817710 0.0278101

100 12 0.999938 1.00122 0.824959 0.0277954100 25 0.999971 1.00131 0.820402 0.0277270100 50 0.999978 1.00135 0.819371 0.0277116100 100 0.999980 1.00136 0.819113 0.0277077100 200 0.999980 1.00136 0.819049 0.0277068100 400 0.999980 1.00136 0.819033 0.0277065200 12 0.999967 1.00019 0.825359 0.0277695200 25 0.999965 1.00021 0.820779 0.0277011200 50 0.999962 1.00022 0.819744 0.0276857200 100 0.999962 1.00022 0.819484 0.0276818200 200 0.999961 1.00023 0.819419 0.0276809200 400 0.999961 1.00023 0.819403 0.0276806400 12 1.00001 1.00003 0.825463 0.0277631400 25 1.00001 1.00002 0.820877 0.0276946400 50 1.00001 1.00002 0.819840 0.0276792400 100 1.00001 1.00002 0.819580 0.0276754400 200 1.00001 1.00002 0.819515 0.0276744400 200 1.00001 1.00002 0.819499 0.0276742800 12 1.00000 1.00002 0.825489 0.0277615800 25 1.00000 1.00000 0.820902 0.0276930800 50 1.00000 1.00000 0.819864 0.0276776800 100 1.00000 1.00000 0.819604 0.0276737800 200 1.00000 1.00000 0.819539 0.0276728800 4001600 12 0.999999 1.00002 0.825495 0.02776111600 25 0.999999 1.00000 0.820908 0.02769261600 50 0.999999 0.999999 0.819870 0.02767721600 1001600 2001600 400


A.5 Resultados de Temperatura para HDS


o escoamento tipo Hagen-Poiseuille com número de Péclet grande, usando a discre-

tização bidirecional HDS, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e


As tabelas A.13 e A.14 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas

obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet PeH = 10 e valores de η= 0.99 e

η= 0 As tabelas A.15 e A.16 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas

obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet PeH = 1 e valores de η = 0.99

e η = 0. Os resultados calculados para PeH são idênticos aos calculados utilizando a

solução CDS e portanto não são apresentados.


Tab. A.13: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0.99, discreti-zação bidirecional, solução HDS.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.323120 0.231113 -0.0294420 0.00069361412 25 0.603141 0.424378 -0.0719938 0.00069224812 50 0.964461 0.673907 -0.126697 0.00069191212 100 1.15717 0.806995 -0.155864 0.00069182412 200 0.964455 0.673854 -0.126760 0.00069180212 400 0.964455 0.673851 -0.126763 0.00069179625 12 0.312650 0.152664 0.0136122 0.00062935025 25 0.581291 0.260503 0.0136065 0.00062783525 50 0.928024 0.400533 0.0136040 0.00062747325 100 1.11295 0.475241 0.0136032 0.00062738025 200 0.927973 0.400140 0.0136030 0.00062735625 400 0.927970 0.400121 0.0136029 0.00062735050 12 0.297475 0.0751927 0.0135955 0.00059032550 25 0.544641 0.0714306 0.0135916 0.00058873650 50 0.863866 0.0685816 0.0135895 0.00058836250 100 1.034110 0.0670363 0.0135888 0.00058826750 200 0.863497 0.0664915 0.0135886 0.00058824350 400 0.863478 0.0663865 0.0135885 0.000588237100 12 0.282186 0.0613421 0.0135392 0.000566098100 25 0.491055 0.000991529 0.0135351 0.000564489100 50 0.757480 -0.0802790 0.0135330 0.000564112100 100 0.899070 -0.124437 0.0135324 0.000564016100 200 0.755046 -0.0859661 0.0135322 0.000563992100 400 0.754921 -0.0862555 0.0135322 0.000563986200 12 0.276332 0.0843161 0.0134829 0.000551954200 25 0.440303 0.0712923 0.0134788 0.000550341200 50 0.617144 0.0655010 0.0134767 0.000549964200 100 0.703950 0.0648880 0.0134761 0.000549868200 200 0.604318 0.0649771 0.0134759 0.000549845200 400 0.603616 0.0649730 0.0134759 0.000549839400 12 0.278564 0.0858978 0.0134470 0.000544210400 25 0.425463 0.0737901 0.0134428 0.000542596400 50 0.512158 0.0691156 0.0134408 0.000542219400 100 0.513023 0.0683722 0.0134401 0.000542123400 200 0.470825 0.0682136 0.0134400 0.000542100400 400 0.468061 0.0681744 0.0134399 0.000542094800 12 0.281758 0.0861150 0.0134270 0.000540147800 25 0.437130 0.0738186 0.0134228 0.000538531800 50 0.512615 0.0691507 0.0134208 0.000538154800 100 0.462161 0.0684194 0.0134201 0.000538059800 200 0.455895 0.0682606 0.0134200 0.000538035800 400 0.450457 0.0682214 0.0134199 0.000538029

1600 12 0.283414 0.0861188 0.0134165 0.0005380651600 25 0.447150 0.0737549 0.0134123 0.0005364481600 50 0.549441 0.0690869 0.0134102 0.0005360711600 100 0.526594 0.0683658 0.0134096 0.0005359761600 200 0.497973 0.0682085 0.0134094 0.0005359521600 400 0.493394 0.0681697 0.0134094 0.000535946


Tab. A.14: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η= 0, discretizaçãobidirecional, solução HDS.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.997187 0.972497 0.772749 0.055013312 25 0.997120 0.971870 0.769541 0.054940512 50 0.997105 0.971731 0.768824 0.054924112 100 0.997102 0.971697 0.768645 0.054920012 200 0.997101 0.971688 0.768600 0.054918912 400 0.997101 0.971686 0.768589 0.054918725 12 0.998613 0.985825 0.817369 0.045478125 25 0.998562 0.985333 0.814066 0.045400225 50 0.998551 0.985227 0.813325 0.045382625 100 0.998548 0.985201 0.813140 0.045378125 200 0.998547 0.985195 0.813094 0.045377025 400 0.998547 0.985193 0.813082 0.045376850 12 0.999268 0.992079 0.834814 0.041023950 25 0.999237 0.991753 0.831371 0.040945050 50 0.999230 0.991684 0.830598 0.040927250 100 0.999229 0.991667 0.830405 0.040922750 200 0.999228 0.991663 0.830357 0.040921650 400 0.999228 0.991662 0.830345 0.0409213

100 12 0.999517 0.994555 0.841436 0.0387067100 25 0.999494 0.994296 0.837888 0.0386278100 50 0.999489 0.994242 0.837089 0.0386099100 100 0.999488 0.994228 0.836890 0.0386055100 200 0.999487 0.994225 0.836840 0.0386043100 400 0.999487 0.994224 0.836827 0.0386041200 12 0.999630 0.995553 0.843778 0.0375099200 25 0.999610 0.995320 0.840159 0.0374310200 50 0.999606 0.995271 0.839345 0.0374132200 100 0.999605 0.995259 0.839141 0.0374087200 200 0.999605 0.995256 0.839090 0.0374076200 400 0.999605 0.995255 0.839077 0.0374073400 12 0.999684 0.995956 0.844635 0.0369004400 25 0.999666 0.995732 0.840976 0.0368215400 50 0.999662 0.995685 0.840152 0.0368037400 100 0.999661 0.995674 0.839946 0.0367992400 200 0.999661 0.995671 0.839894 0.0367981400 400 0.999661 0.995670 0.839881 0.0367978800 12 0.999710 0.996143 0.844974 0.0365927800 25 0.999692 0.995922 0.841293 0.0365138800 50 0.999689 0.995876 0.840464 0.0364959800 100 0.999688 0.995865 0.840257 0.0364915800 200 0.999688 0.995862 0.840205 0.0364903800 400 0.999688 0.995862 0.840192 0.03649011600 12 0.999722 0.996233 0.845119 0.03643811600 25 0.999705 0.996013 0.841428 0.03635921600 50 0.999701 0.995968 0.840596 0.03634131600 100 0.999700 0.995957 0.840388 0.03633681600 200 0.999700 0.995954 0.840336 0.03633571600 400 0.999700 0.995953 0.840323 0.0363354


Tab. A.15: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η= 0.99, discretiza-ção bidirecional, solução HDS.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.328403 0.278602 0.0661569 0.0092804712 25 0.608794 0.475051 0.0215620 0.0092570212 50 0.969774 0.721531 -0.0388066 0.0092519112 100 1.162170 0.851865 -0.0716965 0.0092506412 200 0.969338 0.717657 -0.0439574 0.0092503212 400 0.969316 0.717456 -0.0442191 0.0092502425 12 0.327880 0.275611 0.0809322 0.0093374525 25 0.602574 0.429835 0.0698152 0.0093135325 50 0.949850 0.573377 0.0651547 0.0093083225 100 1.1331 0.634967 0.0642804 0.0093070225 200 0.947282 0.553310 0.0640989 0.0093067025 400 0.947134 0.552161 0.0640544 0.0093066250 12 0.328102 0.278734 0.0816287 0.0093480450 25 0.600781 0.426912 0.0696448 0.0093240350 50 0.933970 0.500145 0.0649612 0.0093188050 100 1.10066 0.474989 0.0642148 0.0093175050 200 0.925744 0.449345 0.0640548 0.0093171750 400 0.925108 0.445563 0.0640153 0.00931709100 12 0.328384 0.281519 0.0818423 0.00934969100 25 0.601619 0.440310 0.0696850 0.00932566100 50 0.929809 0.525291 0.0650017 0.00932043100 100 1.079530 0.480136 0.0642723 0.00931913100 200 0.919134 0.471878 0.0641143 0.00931880100 400 0.917555 0.466378 0.0640753 0.00931872200 12 0.328566 0.282596 0.0818927 0.00934962200 25 0.602703 0.446962 0.0696798 0.00932558200 50 0.932631 0.550929 0.0649972 0.00932035200 100 1.07771 0.528387 0.0642751 0.00931904200 200 0.930019 0.500130 0.0641180 0.00931872200 400 0.927696 0.495539 0.0640793 0.00931864400 12 0.328665 0.282796 0.0819050 0.00934935400 25 0.603401 0.448110 0.0696775 0.00932531400 50 0.935809 0.554710 0.0649952 0.00932008400 100 1.08378 0.533887 0.0642750 0.00931878400 200 0.938562 0.504720 0.0641182 0.00931845400 400 0.935035 0.500129 0.0640795 0.00931837800 12 0.328714 0.282846 0.0819080 0.00934916800 25 0.603768 0.448396 0.0696768 0.00932512800 50 0.937728 0.555642 0.0649946 0.00931989800 100 1.08877 0.535168 0.0642749 0.00931859800 200 0.940172 0.505923 0.0641182 0.00931826800 400 0.936399 0.501339 0.0640795 0.00931818

1600 12 0.328734 0.282859 0.0819087 0.009349061600 25 0.603922 0.448468 0.0696766 0.009325011600 50 0.938567 0.555874 0.0649944 0.009319781600 100 1.09112 0.535482 0.0642748 0.009318481600 200 0.940069 0.506229 0.0641182 0.009318151600 400 0.936649 0.501647 0.0640795 0.00931807


Tab. A.16: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η= 0, discretizaçãobidirecional, solução HDS.

I J ξ= 0.001 ξ= 0.01 ξ= 0.1 ξ= 112 12 0.999413 0.994107 0.938944 0.56297412 25 0.999407 0.994045 0.938321 0.56334212 50 0.999406 0.994031 0.938184 0.56342412 100 0.999406 0.994028 0.938150 0.56344512 200 0.999405 0.994027 0.938142 0.56345012 400 0.999405 0.994027 0.938139 0.56345125 12 0.999410 0.994075 0.938877 0.56211725 25 0.999404 0.994014 0.938258 0.56248425 50 0.999403 0.994000 0.938121 0.56256625 100 0.999402 0.993997 0.938087 0.56258625 200 0.999402 0.993996 0.938079 0.56259125 400 0.999402 0.993996 0.938077 0.56259350 12 0.999408 0.994056 0.938852 0.56177950 25 0.999402 0.993995 0.938234 0.56214550 50 0.999401 0.993981 0.938097 0.56222750 100 0.999400 0.993978 0.938063 0.56224750 200 0.999400 0.993977 0.938055 0.56225350 400 0.999400 0.993977 0.938053 0.562254100 12 0.999407 0.994046 0.938838 0.561624100 25 0.999401 0.993984 0.938219 0.561989100 50 0.999400 0.993971 0.938083 0.562071100 100 0.999399 0.993968 0.938049 0.562092100 200 0.999399 0.993967 0.938040 0.562097100 400 0.999399 0.993966 0.938038 0.562098200 12 0.999407 0.994042 0.938830 0.561550200 25 0.999400 0.993981 0.938211 0.561915200 50 0.999399 0.993967 0.938075 0.561997200 100 0.999399 0.993964 0.938041 0.562017200 400 0.999399 0.993963 0.938030 0.562024200 400 0.999399 0.993963 0.938030 0.562024400 12 0.999406 0.994041 0.938826 0.561513400 25 0.999400 0.993908 0.938207 0.561879400 50 0.999399 0.993966 0.938071 0.561960400 100 0.999398 0.993963 0.938037 0.561981400 200 0.999398 0.993962 0.938028 0.561986400 400 0.999398 0.993962 0.938026 0.561987800 12 0.999406 0.994041 0.938823 0.561495800 25 0.999400 0.993979 0.938205 0.561861800 50 0.999399 0.993966 0.938069 0.561942800 100 0.999398 0.993962 0.938035 0.561963800 200 0.999398 0.993962 0.938026 0.561968800 400 0.999398 0.993961 0.938024 0.561969

1600 12 0.999406 0.994041 0.938822 0.5614871600 25 0.999400 0.993979 0.938204 0.5618521600 50 0.999399 0.993966 0.938068 0.5619341600 100 0.999398 0.993962 0.938034 0.5619541600 200 0.999398 0.993961 0.938025 0.5619591600 400 0.999398 0.993961 0.938023 0.561960

Apêndice B

Resultados de estudo preliminar

Neste apêndice, os resultados do estudo preliminar desenvolvido em [36] são exibidos.

Como mencionado, é pouco provável que o complexo processo de transferência

de calor e massa acoplado nos mini-canais de regeneradores, resulte em coeficientes

convectivos constantes. Desta forma, uma formulação que aborde o problema de trans-

porte nos canais localmente torna-se necessária para obter-se resultados mais acurados

para simulações em regeneradores de calor e massa. Como o parâmetro de maior inte-

resse prático em regeneradores é a medida de sua eficiência, a influência da utilização

de coeficientes variáveis sobre a eficiência foi investigada.

A eficiência de regeneradores é medida por meio de duas efetividades, para trans-

ferência de massa e para transferência de entalpia (ou energia), respectivamente defi-

nidas por:

εm = CI

Cmin

Yout ,I − Yout ,I I

Yi n,I − Yi n,I Iεi = CI

Cmin

¯ıout ,I − ¯ıout ,I I

¯ıi n,I − ¯ıi n,I I(B.1)

Onde a barra indica a média no tempo dentro de cada processo e o til representa

propriedades (entalpia no caso) em base seca.

Os resultados apresentados consistem em valores das efetividades do regenerador

rotativo para diferentes valores de unidades de transferência (utilizando Ntu igual para

transferência de calor e massa) e da razão de taxas de capacidades térmicas C∗r . Os re-

sultados utilizando coeficientes convectivos constantes (resultando em Nhtu constante)

são comparados, com os valores de Nhtu calculados com a equação abaixo:

Nhtu,x = Nh

tuNux

Nu= Nh

tuα0

Nu

(K−1

rx∗

RePr

)−1/2

(B.2)

Onde a razão de aspecto entre o diâmetro hidráulico de um canal e seu comprimento

176

Apêndice B. Resultados de estudo preliminar 177

C∗r = 1 C∗

r = 2 C∗r = 5 C∗

r = 10Kr εm εi εm εi εm εi εm εi

0,000 0,0981 0,3126 0,2904 0,4490 0,6218 0,6661 0,7146 0,72610,001 0,0981 0,3126 0,2904 0,4490 0,6218 0,6661 0,7146 0,72610,010 0,1005 0,3140 0,2947 0,4510 0,6222 0,6652 0,7118 0,72290,100 0,1427 0,3387 0,3676 0,4878 0,6218 0,6473 0,6664 0,6735

Tab. B.1: Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 3.

C∗r = 1 C∗

r = 2 C∗r = 5 C∗


0,000 0,0873 0,3328 0,2836 0,4733 0,6812 0,7342 0,7935 0,80690,001 0,0873 0,3328 0,2836 0,4733 0,6812 0,7342 0,7935 0,80690,010 0,0896 0,3342 0,2883 0,4755 0,6818 0,7330 0,7897 0,80240,100 0,1338 0,3575 0,3721 0,5142 0,6759 0,7014 0,7148 0,7216


Kr é gradativamente variada.

Os resultados obtidos são apresentados nas tabelas seguintes. A tabela B.1 apre-

senta os resultados para Nhtu = 3, e as seguintes, para os demais valores do número de

unidades de transferência utilizados (Nhtu = 5,10 e 50).

A análise dos resultados obtidos nas simulações mostra que houve grande variação

das efetividades quando foi utilizado valor de Kr = 0,1 na formulação, o qual cor-

responde a uma situação exagerada de razão de aspecto comparado aos valores reais

encontrados em regeneradores. Entretanto os valores simulados para Kr = 0,01 mos-

traram alguma mudança. Levando em consideração que estes são resultados de um

estudo preliminar, existe necessidade de uma investigação mais extensiva. Em rela-

ção aos valores obtidos para Kr = 0,001, estes apresentaram os mesmos valores que os

obtidos sem considerar a variação dos coeficientes (correspondentes ao valor Kr = 0).

C∗r = 1 C∗

r = 2 C∗r = 5 C∗


0,000 0,0768 0,3531 0,2784 0,4960 0,7438 0.8017 0,8721 0,88470,001 0,0768 0,3531 0,2784 0,4960 0,7438 0,8017 0,8721 0,88470,010 0,0793 0,3546 0,2832 0,4985 0,7444 0,8004 0,8677 0,87940,100 0,1256 0,3783 0,3786 0,5436 0,7344 0,7542 0,7538 0,7558


Apêndice B. Resultados de estudo preliminar 178

C∗r = 1 C∗

r = 2 C∗r = 5 C∗


0,000 0,0701 0,3758 0,2936 0,5266 0,8334 0,8853 0,9632 0,96910,001 0,0701 0,3758 0,2936 0,5266 0,8334 0,8853 0,9632 0,96910,010 0,0728 0,3776 0,2989 0,5302 0,8318 0,8839 0,9587 0,96410,100 0,1234 0,4133 0,4165 0,6817 0,7337 0,8845 0,6883 0,7989


Isto se deve ao fato de, durante as simulações, o valor utilizado para os coeficientes

convectivos em cada ponto da malha computacional ser o valor local. Nestes casos,

Kr menores , o comprimento de entrada (térmica e hidrodinâmica) é menor que o es-

paçamento utilizado para a malha computacional e, portanto, o algoritmo calcula os

coeficientes como sendo constantes (referentes à região completamente desenvolvida)

no domínio inteiro. Para evitar isto, um valor médio local pode ser utilizado para cada

ponto da malha computacional.

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PGMEC · Simulações computacionais têm um papel importante no projeto de trocadores de calor e o estudo da convecção forçada em canais tem uma série de aplicações tanto em