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ProbabilidadeProbabilidade

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Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1

Definição de ProbabilidadeDefinição de Probabilidade

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ProbabilidadeProbabilidade

A probabilidade é usada sempre que o indivíduo toma decisões em situações de incerteza.

A utilização da probabilidade indica a incerteza, quanto a ocorrência ou não de um dado resultado.

Exemplo:•Tempo de vida de uma lâmpada,•A altura da próxima pessoa que entrou na sala de aula;•Preço das ações da petrobrás;•Número da face exposta para cima no lançamento de um dado;•etc

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ProbabilidadeProbabilidade Surgiu com o objetivo de determinar melhores estratégias em em jogos de azar;

Exemplo1: Considere o lançamento de um dado honesto. Ganha quem acertar o valor da face exposta.

Qual seria a sua Aposta?

Exemplo2: Considere agora o lançamento de dois dados honestos. Ganha quem acertar o valor da soma das duas faces expostas.

Qual seria a sua Aposta?

Nos dois casos, no que se baseou a sua escolha?

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ProbabilidadeProbabilidadePara apostar “ fazer uma escolha” é preciso identificar todos os resultados possíveis.

Exemplo 1:

Face de um dado:

S1={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplo 2:

Soma das faces de dois dados :

S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}

O conjunto de todos os resultados possíveis é denominado

Espaço Amostral (S)

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Um subconjunto do espaço amostral S é denominado evento.

Exemplo 1:

A = a face do dado voltada pra cima é igual a 5;

A={5} evento simples;

B = a face do dado voltada pra cima é menor que 5;

B = {1, 2, 3, 4};

ProbabilidadeProbabilidade

Evento Simples: Evento que consiste de um único resultado.

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EXERCÍCIO:

Considere o seguinte experimento aleatório:

Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima.

Descreva os conjuntos associados aos seguintes eventos e determine quais deles são eventos simples.

A = a soma das faces é maior que 9;

B= a soma das faces é igual a 7;

C = a soma das faces é maior que 12;

ProbabilidadeProbabilidade

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Se todos os elementos de S tem a mesma chance de ocorrer S é um conjunto equiprovável!!!Nesse caso:

Modelo de ProbabilidadeModelo de Probabilidade

número de resultados em E

número total de resultados no espaço amostralP(E)=

Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos.

1. Evento A: obter um 3. 2. Evento B: obter um 7. 3. Evento C: obter um número menor do que 5.

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OPERAÇÃO COM EVENTOS

Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral

•AB: União dos eventos A e B.

Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B

•AB: Intersecção dos eventos A e B.

Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

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EXERCÍCIO:

Considere o seguinte experimento aleatório:

Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima.

Calcule a probabilidade dos eventos abaixo:

A = a soma das faces é maior que 9;

B= a soma das faces é igual a 5;

C = a soma das faces é maior que 12;

ProbabilidadeProbabilidade

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1) Determine o espaço 1) Determine o espaço amostralamostral

Dois dados são jogados.Descreva o espaço amostral.

Todos os resultados sao Equiprovaveis?

Início

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}

12

1,11,21,31,41,51,6

2,12,22,32,42,52,6

3,13,23,33,43,53,6

4,14,24,34,44,54,6

5,15,25,35,45,55,6

6,16,26,36,46,56,6

Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.

Determine a probabilidade de que a soma seja 11.

Dois dados são jogados e sua soma é anotada.

Espaço amostral e probabilidadesEspaço amostral e probabilidades

3/36 = 1/12 = 0,083

2/36 = 1/18 = 0,056

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Eventos complementaresEventos complementares

O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E.

P(E´ ) = 1 – P(E)

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Operações com Operações com eventoseventos

A

A

)(1)( APAP

não A

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Teorema da adição

Se A e B são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos A e B é igual a adição das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto A e B.

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

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Operações com Operações com eventoseventos

A

BA B

)()()()( BAPBPAPBAP

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Se A e B forem dois eventos tais que a realização de A exclui a realização de B. Estes eventos são denominados Mutuamente exclusivos (ou disjuntos).Nesse caso, a probabilidade da reunião dos subconjuntos A e B é simplesmente igual a adição de suas probabilidades individuais.

P(A B) = P(A) + P(B)

OBSERVAÇÃO

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P(A C)

P(A C) P(A)

P(B)

P(C)

P(A B)

P(A B)

P(AC)

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. Calcule as Probabilidades abaixo:

Exemplo: Lançamento de um dado

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Eventos independentes são aqueles que não exercem ação entre os mesmos, isto é, cada evento comportando-se da maneira que lhe é própria.

A condição necessária e suficiente para que dois eventos sejam independentes é que a probabilidade do produto seja igual ao produto das probabilidades.

P(A B) = P(A) P(B)

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P(A C)

P(A C) P(A)

P(B)

P(C)

P(A B)

P(A B)

P(AC)

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. Calcule as Probabilidades abaixo:

Exemplo: Lançamento de um dado

Os eventos A e B são independentes? A e C? e B e C?

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Construção de Construção de distribuições de distribuições de probabilidadesprobabilidades

Sortear 2 bolascom reposição

X = número de bolas pretas na amostra

22

3/5

2/5

3/5

2/5

3/52/5

Sortear 2 bolascom reposição

(10) (20)Calcule a Probabilidade de:

a) 2 bolas pretas;

b) 2 bolas brancas;

c) 1 bola de cada cor;

d) 2 bolas pretas ou 2 brancas;

e) Os eventos a, b, c são independentes?

23

3/5

2/5

2/4

2/4

3/41/4

Sortear 2 bolassem reposição

X = número de bolas pretas na amostra

(10) (20)Calcule a Probabilidade de:

a) 2 bolas pretas;

b) 2 bolas brancas;

c) 1 bola de cada cor;

d) 2 bolas pretas ou 2 brancas;

e) Os eventos a, b, c são independentes?

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Probabilidade condicional

Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter acontecido, é definida por P(B/A) e é denominada probabilidade condicional de B, depois de A ter ocorrido.

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Probabilidade Condicional e Independência

Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B, é representado por P(A|B) é dado por:

.0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP

Exemplo 2.:Considere o exemplo anterior com e sem reposição;

(a) Qual a probabilidade da segunda bola ser branca dado que a primeira foi preta?

(b) O que acontece quando A e B São independentes?

(1)

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Probabilidade condicionalProbabilidade condicional

5

3

8/5

8/3

)(

)()|(

CalabresaP

CalabresaChampignonPCalabresaChampignonP

Qual é a probabilidadede selecionar um pedaçocom champignon supondoque houvesse calabresa nele?Qual é a probabilidadede selecionar um pedaçocom calabresa supondoque houvesse champignon nele?

4

3

8/4

8/3

)(

)()|(

ChampignonP

CalabresaChampignonPChampignonCalabresaP

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Probabilidade CondicionalProbabilidade CondicionalQual é a probabilidadede selecionar um pedaçocom champignon supondoque houvesse calabresa nele?

4

2

8/4

8/2

)(

)()|(

CalabresaP

CalabresaChampignonPCalabresaChampignonP

Qual é a probabilidadede selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele?

4

2

8/4

8/2

)(

)()|(

ChampignonP

CalabresaChampignonPChampignonCalabresaP

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Probabilidades de eventosProbabilidades de eventos

)(1)( APAP 1) Evento complementar:

)()()()( BAPBPAPBAP 2) Propriedade da soma:

)()()( BPAPBAP 3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos:

)/()()( ABPAPBAP ×4) Propriedade do produto:

)()()( BPAPBAP ×5) Propriedade do produto para eventos independentes

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30

31

Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.

Variáveis aleatóriasVariáveis aleatórias

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Variável aleatóriaVariável aleatória

“Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral.

X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;

= {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}

X:

0 1 2x

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Exemplos de variáveis Exemplos de variáveis aleatóriasaleatórias

Vida útil (em horas) de um televisor;

Número de peças com defeito em um lote produzido;

Número de veiculos que passam num pedágio num determinado dia;

Numero de Caras no lançamento de 3 moedas

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Tipos de variáveis Tipos de variáveis aleatóriasaleatórias

1. Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado.

Ex: número de mulheres em uma sala de aula;

2. Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado.

Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;

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Variáveis aleatóriasVariáveis aleatóriasvariável aleatória

discreta

os possíveis resultados estão contidos em um

conjunto finito ou enumerável

contínua

os possíveis resultados abrangem todo um intervalo

de números reais

0 1 2 3 4 ... 0número de defeitos em ... tempo de resposta de ...

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Distribuição Binomial: modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas

Modelos de Distribuição de Modelos de Distribuição de ProbabilidadeProbabilidade

Distribuição Normal: modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas