Sistemas nao lineares

COMPORTAMENTO DOS SISTEMAS NÃO LINEARES

Dependência de amplitude da excitação;

Tempo de escape finito;

Pontos de equilíbrio múltiplos;

Não unicidade da solução;

Dependência crítica dos parâmetros;

Bifurcações;

Caos ou dependência crítica das condições iniciais;

Ciclos limite ou oscilações;

Existência de harmónicas e sub-harmónicas;

Dependência crítica dos parâmetros

A estrutura das soluções de um sistema não linear pode ser fortemente dependente dos valores que possa tomar um parâmetro do sistema.

Bifurcações

Bifurcação é a dependência crítica nos parâmetros particular, como no sistema exemplificado a seguir. Seja o sistema

x+αx+x3

A equação pode representar um sistema massa-mola em que a mola é dura. O sistema acima, admite 3 pontos de equilíbrio:

xe= 0, xe = √α, xe = - √α

Com αpositivo o sistema é sempre estável; com αnegativo torna-se instável, havendo uma mudança qualitativa no comportamento para α= 0.

Caos ou dependência crítica das condições iniciais

Nos sistemas lineares estáveis, a pequenas variações nas condições iniciais correspondem pequenas variações na resposta. Tal porém não acontece nos sistemas não lineares, em que pode acontecer serem as soluções extremamente sensíveis a variações das condições iniciais, sendo a saída, a partir de certo valor de t, imprevisível. A este tipo de sistemas dá-se o nome de sistemas caóticos e ao fenómeno em si chama-se caos.

Seja o seguinte sistema não linear

x+0.1 x+x5=6 sent

As respostas deste sistema, para condições iniciais, x(0) = [2; 3] e x(0) = [2.01; 3.01], próximas, estão representadas na Fig. 1

Figura 1: dependência natural e critica

Ciclos limite ou oscilações

Ciclo limite considera-se oscilações de determinados sistemas, não lineares, com amplitude e frequência constantes, independentemente do valor inicial do estado.

Existência de harmónicas e sub-harmónicas

Num sistema linear, uma excitação sinusoidal conduz a uma resposta também sinusoidal, com a mesma frequência. Num sistema não linear tal poderá não acontecer, podendo o estado (ou a saída) ser uma oscilação contendo frequências múltiplas e sub-múltiplas da frequência do sinal sinusoidal de excitação. Tais constituintes são designadas por harmónicase sub-harmónicas da frequência do sinal de excitação.