2004Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST u Matéria: –Lei 1/7 de velocidades; –Expressões para a C.L. turbulenta com dp e /dx nulo sobre

2004 Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST

Matéria:– Lei 1/7 de velocidades;– Expressões para a C.L. turbulenta com dpe/dx nulo sobre

placa plana;– Origem virtual da CL turbulenta;– Placas hidraulicamente lisas e completamente rugosas.

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Camada limite turbulenta sobre placa lisa (dpe/dx=0)


Bases:– Equação de von Kárman: mU

dxd 2

0

Nota 1: o perfil de velocidades em parte da CL segue a lei da parede, mas essa lei tem uma forma menos conveniente.

Nota 2: como vimos no caso laminar os parâmetros integrais da CL são pouco afectados pela forma do perfil de velocidades.

– Perfil de velocidades (empírico): 71

7,8

yuuu

(Placas lisas e ReL107)



Tensão de corte na parede

71

7,8

yuuu

412

0 0227,0

UU

Nota: esta expressão faz 0 depender de (ainda desconhecido).

y71

7,8

uuU

0u

81

1506,0

UUu



=7/72

71

7,8

yuuu

y71

7,8

uuU

Como vimos:

71

y

Uu

ydUu

Uu

m

1

0

1

a

am Conclusão:


7/72=0,0972<0,133 (CL Laminar)


Por outro lado:71

y

Uu

ydUu

d

1

0

1

Conclusão:


81

d

29,1*

m

d CL laminar => 2,59

Quanto mais cheio o perfil de velocidades, mais próximo de 1 é o Factor de Forma


Nota: xo é o ponto onde =0. Em geral escolhe-se xo coincidente com o início da CL turbulenta.

Equação de von Kármàn: mUdxd 2

0 dxdaU 2

Equação encontrada para 0:41

20 0227,0

UU

5441045

0 0284,0

Ua

xx



Evolução da CL sobre placa plana:

xc x0

CL laminar CL turbulenta

Zona de transição

cc Ux Re (Rec5,5105) c

cc x

Re5

0

c



Hipótese 1: a CL começa turbulenta desde o início da placa, válida se a secção de interesse for muito afastada do fim da CL laminar.

5154

058,0

Uax

412

0 0227,0

UU

51

2 Re116,0

21

LD

a

LU

DC

251

0 Re0463,0 Ua

x

Válida se L>>xc (ou ReL>>Rec). L é o comprimento da placa



Hipótese 2: a zona de transição é desprezável => m0mc e x0=xc.

dxxcUDx

xftrans

c

0

2

21

dxdc m

f2

Pela equação de von Kármán

002 mcmtrans UD

mcm 0

cT

L

aa 0

am


aL=0,133 (Blasius)aT=7/72


Origem virtual da CL turbulenta: xv

xv xc=xo


5154

058,0

Uax

4145

01,35

Uaxx cv


Hipótese 2: cálculo da resistência da placa.

TL DDD

dxxdxxc

vv

x

x

L

x 00

BlasiusDc CxU 2

21

51

2

Re116,0

21

vxLv

axLU


51

2

Re116,0

21

vc xxvc

axxU

xv xc=xo


Correlações para Re mais elevados:

58,210 Relog

455,0

LDC para Re109

LLDC

Re60

88,1Relog0776,0

210

para 3106 Re109



Placas rugosas se 80 us

Placas lisas se 5 us

167,0

024,0

LCD

Toda a matéria exposta anteriormente é para placas lisas

Camada limite turbulenta


Matéria:– Lei 1/7 de velocidades;– Expressões para a C.L. turbulenta com dpe/dx nulo sobre

placa plana;– Origem virtual da CL turbulenta;– Placas hidraulicamente lisas e completamente rugosas.

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Bibliografia:– Sabersky – Fluid Flow: 8.9– White – Fluid Mechanics: 7.4



Uma placa tem 6 m de comprimento e 3 m de largura, está imersa num escoamento de água (=1000 kg/m3, =1,1310-

6 m2/s) com uma velocidade de 6 m/s paralela à placa. Rec=106. a) Espessura da CL na secção x=0,25 m? b) Espessura da CL na secção x=1,9 m? c) Resistência total da placa? d) Rugosidade máxima da placa para ser hidraulicamente lisa?

Problema


L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s; Rec=106. a) Espessura da CL na secção x=0,25 m?

Problema: resposta

610Re Uxc

c m 188,00 xxc m 00094,0Re5 ccc x

m 00129,0727

133,00 c

T

Lc a

a

Se tivéssemos admitindo que a CL crescia turbulenta desde o início:

54410145

01 0284,0

Ua

xx

m 0056,0058,05154

11

Uax

m 0027,0

O que neste caso dava uma diferença grosseira


L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s; Rec=106. b) Espessura da CL na secção x2=1,9 m?

Problema: resposta

610Re Uxc

c m 188,00 xxc m 00094,0Re5 ccc x

m 00129,0727

133,00 c

T

Lc a

a


54410245

02 0284,0

Ua

xx

m 0283,0058,05154

21

Uax

m 0264,0

O que neste caso dá uma diferença aceitável


L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s; Rec=106. c) Resistência da placa?

Problema: resposta

51

51

2

ReRe116,0

Re326,1

21

vcv xxvc

xLv

cc

axxaxLxUD

4145

01,35

Uaxx cv m 161,0Admitindo perfil 1/7 => a=7/72 =>

N 5,1452


N 2,1489Re2

1116,051

2

L

aLUD Diferença de 2,5%


L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s; Rec=106. c) Resistência da placa?

Problema: resposta

L % dif.2 8,23 5,14 3,85 36 2,5

10 1,5100 0,16

Diferença entre cálculo de D completo e admitindo CL turbulenta desde o início


L= 6 m; b=3 m; =1000 kg/m3; =1,1310-6 m2/s; U= 6 m/s; Rec=106. d) Rugosidade máxima da placa para ser hidraulicamente lisa?

Problema: resposta

5 us

0u

41

0

20 0227,0

UU

É necessário que: com

Onde é maior 0? No início da CL turbulenta

m/s 3,0

Pa 86,89

mm 0188,0

u5

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