MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10. TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2004-2013 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Desenvolver um método

MECÂNICA - ESTÁTICA

Momentos de Inércia

Cap. 10

TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2004-2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

Objetivos

Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área.

Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área.

Discutir o momento de inércia de massa.


Para um elemento de área dA é definido como dIxy = xydA,

assim para toda a área A, o produto de inércia é:

Pode ter valores positivos ou negativos.

Será nulo quando os eixos x e y forem de

simetria.

10.1 Produto de Inércia de uma Área


10.2 Teorema dos Eixos Paralelos

Considerando os valores de x e y da fórmula pelo valores do sistema de eixos qualquer:


Determine o produto de inércia da área triangular da figura.

Problema 10.C – Triângulo direito


dx

x

y ( , )x y

Problema 10.C – Triângulo direito - Solução


Determine o produto de inércia da área triangular da figura.

Problema 10.C – Triângulo esquerdo


dx

x

y ( , )x y

Problema 10.C – Triângulo esquerdo - Solução


Usando equações de

transformação entre as

coordenadas x, y e u,

v:

10.7 Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados


As fórmulas finais são:





Momentos Principais de Inércia

Existe um ângulo de inclinação tal que os momentos de inércia u e v são máximos e mínimos. Derivando-se as expressões de Iu e Iv em relação ao ângulo encontra-se:


Momentos Principais de Inércia

Verifica-se que para os eixos principais o produto de inércia é nulo. Como o produto de inércia é nulo para um eixo de simetria, pode-se concluir que qualquer eixo de simetria também é um eixo principal da área. Obviamente que o outro eixo principal será ortogonal ao primeiro.


10.8 Círculo de Mohr para Momentos de Inércia

Denominando R a expressão da raiz da equação anterior:

A equação dos momentos principais de inércia pode ser reescrita como:


10.8 Círculo de Mohr para Momentos de Inércia

Ou seja, podemos

desenhar o seguinte

círculo:

1

2

q2

q2

q1


Usando o círculo de Mohr, determine os momentos principais de inércia da área mostrada com relação ao centro de gravidade.

Exemplo 10.10


Exemplo 10.10 - Solução

Usando valores já calculados nos exemplos 10.6 e 10.8: Ix = 2.90e+9 mm4, Iy = 5.60e+9 mm4 e Ixy = -3e+9 mm4.

O raio do círculo é:



1. Construir o círculo (R = 3.2898e+9) em qualquer posição e desenhar o eixo Ix:



2. Marcar o ponto A usando (Ix – Iy) / 2 (-1.35e+9 mm4) e

Ixy (-3e+9 mm4).



3. Traçar a reta que passa por A, cruza o círculo em diagonal passando pelo centro.



4. Definir os eixos principais que passam pelo ponto C e pelos pontos A e B.



5. Marcar a posição do eixo Ixy usando Ix (2.90e+9

mm4) .


6. Calcular os valores dos momentos principais a partir da origem dos eixos Ixy e Ix.


Observe que este posicionamento dos eixos principais está feito em relação aos eixos Ix e Ixy e não em relação aos eixos da seção x e y!



7. Marcar os eixos principais na seção. Começar marcando o eixo u de Imax contando

57.10 no sentido anti-horário a partir do eixo positivo x já que este ângulo está no sentido anti-horário a partir do eixo 1 do círculo de Mohr. O eixo v é ortogonal ao primeiro.


10.9 Momento de Inércia de Massa

Propriedade que mede a resistência do corpo a acelerações angulares. O volante (roda grande e pesada) da figura

esta conectada a um cortador de metal. Ele é usado para providenciar um movimento uniforme na lâmina de corte.

Qual é propriedade mais importante do volante para o seu uso? Como calcular o valor desta propriedade?

Por que a maior parte da massa do volante esta localizado afastado do centro?



Considere um corpo rígido com centro de massa em G. Ele pode girar livremente em torno do eixo z, que passa por G. Se for aplicado um torque T em torno do eixo z no corpo, ele começa a girar com aceleração angular .

T e são relacionados pela equação T = I . Nesta equação, I é o momento de inércia de massa (MIM) em torno do eixo z.

O MIM de um corpo é uma propriedade que mede a resistência do corpo a aceleração angular. Isto é similar a função da massa na equação F = m a. O MIM é utilizado na analise de movimentos rotacionais (em Dinâmica).

G ·

TConceito do MIM



Definição do MIM

Considere um corpo rígido e eixo arbitrário p mostrado na figura. O MIM em torno do eixo p é definido como I = m r2 dm, onde r, o braço de momento, é a distância perpendicular do elemento dm até o eixo.

O MIM é um valor sempre positivo e possui unidade de kg ·m2 or slug · ft2.

p



Conceitos correlatos

Teorema dos eixos paralelos: De forma semelhante já vista este teorema pode ser usado para encontrar o MIM em torno de um eixo p’ situado a uma distância d do eixo que passa pelo centro de massa G. A fórmula é:

Ip’ = IG + (m) (d)2 (onde m é a massa do corpo)

O raio de giração é similarmente definido como:k = (I / m)

Finalmente, o MIM pode ser obtido por integração ou pelo método dos corpos compostos.

·G

p’d

m

p


Problema 10.D

Dados: O volante consiste de um fino anel com massa de 10 kg e de quatro raios com massa de 2 kg cada.

Encontrar: O MIM do volante em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto A.

Dica: Seguir os passos similares ao do Momento de Inércia de áreas compostas.

p

q

r


Problema 10.D

1. O volante pode ser dividido em um anel (p) e duas cruzetas (q e r). Podem as cruzetas serem tratadas como iguais?

p

q

r


Problema 10.D - Solução

p

q

r

2. O centro de massa de cada uma das três peças é o mesmo ponto O, situado a 0.5 m do ponto A.

IA = IO + (m) (d) 2

IAp = 10 (0.5)2 + 10 (0.5)2 = 5.0000 kg·m2

IAq = IAr = (1/12) (4) (1)2 + 4 (0.5)2 = 1.3333 kg·m2

4. Agora adicione os três valores no ponto A.

IA = IAp + IAq + IAr IA = 7.67 kg·m2

3. Usando os dados das peças e o teorema dos eixos paralelos calcular o que segue.

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