[2011] Raciocínio Lógico para Traumatizados - Aula 10

Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 10 - Questões Comentadas e Resolvidas

Amostragem. Amostragem aleatória, teorema do limite central, distribuições amostrais.

1. (ICMS-RJ/2011/FGV) A respeito das técnicas de amostragem probabilística, NÃO é correto afirmar que

A) na amostragem por conglomerado a população é dividida em diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados.

B) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo.

C) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem selecionados.

D) na amostragem por voluntários a população é selecionada de forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados.

E) na amostragem sistemática os elementos da população se apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente.

Resolução

PRELIMINARES: TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

Introdução

Definição (População). Uma população consiste na totalidade das observações em que estamos interessados.

Definição (Amostra). Uma amostra é um subconjunto de observaçõesselecionadas a partir de uma população.

Em problemas de inferência estatística, os conjuntos de dados serão as amostras retiradas das populações sob investigação. É preciso assegurar que a amostra seja representativa da população. Isto quer dizer que, a não ser por pequenas discrepâncias inerentes ao acaso, que sempre acontecem em maior ou menor grau no processo de amostragem, a amostra deve ter as mesmas características básicas da população, no que diz respeito à(s) variável(is) de interesse.

Sendo assim, é importante saber quando temos uma amostra representativa ou não. Se ela não for representativa, o trabalho do estatístico ficará comprometido e os resultados serão provavelmente incorretos.




Há dois tipos de amostragem: a probabilística e a não probabilística. A amostragem será probabilística se todos os elementos da população tiverem probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. Caso contrário, a amostragem será não probabilística. Segundo essa definição, a amostragem probabilística implica um sorteio com regras bem determinadas.

As técnicas da inferência estatística pressupõem que as amostras utilizadas sejam probabilísticas, o que muitas vezes não é possível. Entretanto, o bom senso indicará quando o processo de amostragem, mesmo não sendo probabilístico, pode ser, para efeitos práticos, considerado como tal.

A utilização de uma amostragem probabilística assegura que a amostra seja representativa, pois o acaso será o único responsável por eventuais diferenças entre população e amostra, o que é levado em conta pelos métodos da inferência estatística.

Uma amostra não representativa é uma amostra viciada e o vício inerente aos dados dessa amostra é o vício de amostragem. A sua utilização pela inferência estatística levará a resultados que não correspondem à realidade. Pode-se evitar que isso ocorra por meio de uma coleta adequada dos elementos que constituirão a amostra.

ALGUMAS TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA

Serão explicadas na sequência algumas técnicas de amostragem probabilística importantes na prática e que poderão ser cobradas na sua prova: amostragem aleatória simples, amostragem sistemática, amostragem por conglomerados e amostragem estratificada.

Amostragem Aleatória Simples

A amostragem mais usada é a amostragem aleatória simples também chamada de casual simples, simples ao acaso, casual, simples, elementar, randômica, etc., em que selecionamos ao acaso, com ou sem reposição, os itens da população que farão parte da amostra.

A amostragem aleatória é equivalente a um sorteio lotérico. Nela, todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer à amostra, e todas as possíveis amostras têm também igual probabilidade de ocorrer.

Sendo N o número de elementos da população e n o número de elementos da amostra, cada elemento da população tem probabilidade n/N (fração de amostragem) de pertencer à amostra. Por outro lado, existem nNC ,

(combinação de N elementos tomados n a n) possíveis amostras, todas igualmente prováveis.




A seleção de uma amostra é um experimento aleatório e cada observação na amostra é o valor observado de uma variável aleatória.

Seja X a variável aleatória que representa o resultado de uma seleção de uma observação proveniente de uma população. Faça f(x) denotar a função densidade de probabilidade de X. Admita que cada observação na amostra seja obtida independentemente, sob condições inalteradas. Ou seja, as observações para a amostra são obtidas observando-se X independentemente, sob condições inalteradas, isto é, n vezes. Faça Xi denotar a variável aleatória que representa a i-ésima observação da amostra. Então X1, X2, ..., Xn é uma amostra aleatória e os valores numéricos obtidos (observações) são denotados por x1, x2, ..., xn. As variáveis aleatórias em uma amostra aleatória são independentes, com a mesma distribuição de probabilidades f(x), tendo em vista as condições idênticas sob as quais cada observação é obtida. A função densidade conjunta da amostra aleatória é )()...().(),...,,( 2121 nn xfxfxfxxxf = .

Definição (Amostra Aleatória). As variáveis aleatórias ),...,,( 21 nXXX são uma amostra aleatória de tamanho n, se (i) os Xi´s forem variáveis aleatórias independentes e (ii) cada Xi tiver a mesma distribuição de probabilidade.

O principal objetivo de tomar uma amostra aleatória é obter informação sobre parâmetros desconhecidos de uma população. Considere, por exemplo, que desejamos ter uma idéia da proporção de pessoas no Brasil que preferem uma determinada marca de água mineral (suponha que a população seja composta por pessoas que tomam água mineral). Seja p o valor desconhecido dessa proporção. Como é impraticável questionar cada indivíduo da população para se determinar o verdadeiro valor de p, optamos por fazer uma inferência em relação à verdadeira proporção p. Neste caso, selecionamos uma amostra aleatória (de um tamanho apropriado) e usamos a proporção observada p de pessoas nesta amostra que tenham escolhido a marca de água mineral em questão.

A proporção da amostra, p , é calculada dividindo o número de indivíduos na amostra que preferem a marca de água mineral pelo tamanho total, n, da amostra. Deste modo, p é uma função dos valores observados na amostra aleatória. Como podemos obter várias amostras diferentes a partir de uma população, tem-se que o valor de p variará de amostra para amostra. Conclui-se que p é uma variável aleatória. Tal variável aleatória é denominada estatística ou estimador.

Amostragem Estratificada

A amostragem estratificada é usada quando a população divide-se em sub-populações (estratos) razoavelmente homogêneos. A amostragem estratificada consiste em se especificar quantos itens da amostra




serão retirados de cada estrato. A seleção em cada estrato deve ser aleatória.

Por exemplo, considere que a população de uma universidade tenha a seguinte composição: 10% de professores, 15% de funcionários e 75% de alunos. Então uma amostra estratificada proporcional teria 10% de professores, 15% de funcionários e 75% de alunos.

Amostragem Sistemática

Os elementos da população apresentam-se ordenados e são retirados periodicamente (de cada k elementos, um é escolhido).

Amostragem por Conglomerados

A amostragem por conglomerados é usada quando a população pode ser subdividida em subpopulações (conglomerados) heterogêneos representativos da população. A amostragem é feita sobre os conglomerados e não mais sobre os indivíduos da população. Ou seja, a amostragem é realizada em duas etapas: 1) seleção aleatória de conglomerados e 2) seleção aleatória dos elementos.

Amostragem por Voluntários

Ocorre, por exemplo, no caso da aplicação experimental de uma nova droga em pacientes, quando a ética obriga que haja concordância dos escolhidos.

Voltemos à resolução da questão.

Análise das alternativas

A) na amostragem por conglomerado a população é dividida em diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados ⇒correta (vide comentários acima).

B) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo ⇒ correta (vide comentários acima).

C) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem selecionados ⇒ correta (vide comentários acima).

D) na amostragem por voluntários a população é selecionada de forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados ⇒ incorreta, pois não há estratificação aleatória dos grupos selecionados. Na amostragem por voluntários deve haver a concordância dos escolhidos.




E) na amostragem sistemática os elementos da população se apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente ⇒correta (vide comentários acima).

GABARITO: D

2. (AFPS/2002/ESAF) Assinale a opção correta em referência ao significado do termo amostragem aleatória simples.

A) Refere-se a um método de classificação da população.

B) Refere-se à representatividade da amostra.

C) É um método de escolha de amostras. D) Refere-se a amostras sistemáticas de populações infinitas.

E) Refere-se à amostragem por quotas.

Resolução

Análise das alternativas:

A) A amostragem aleatória simples (AAS) não é um método de classificação da população. A AAS é um método de amostragem probabilística ⇒ FALSA.

B) A utilização de uma amostragem probabilística é a melhor estratégia para se garantir a representatividade da amostra, pois o acaso será o único responsável por eventuais discrepâncias entre população e amostra, o que é levado em conta pelos métodos de análise da Inferência Estatística. Não obstante o fato da AAS ser uma técnica de amostragem probabilística, o seu significado está diretamente associado à sua característica randômica, sendo por isso equivalente a um sorteio lotérico ⇒ FALSA.

C) A AAS é um método de amostragem ⇒ VERDADEIRA.

D) A amostragem sistemática é uma técnica probabilística de amostragem diferente da AAS. Por exemplo, em uma linha de produção, podemos, a cada cem itens produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária. Assim, na amostragem sistemática, os elementos da população se apresentam ordenados e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente ⇒ FALSA.

E) Esta opção é evidentemente absurda. Sem maiores comentários ⇒ FALSA.

GABARITO: C

3. (TCE-ES/2001/ESAF) Sejam X1, X2, ..., X200 variáveis aleatórias idênticas e independentemente distribuídas com densidade comum do tipo gama, i.e. com densidade (x>0):




⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= x

xxf

31exp

31)(

π

Seja Y = X1 + X2 + ... +X200 e φ(w) a função de distribuição normal padrão. Assinale a opção que dá a aproximação do Teorema Central do Limite de P(Y ≥294).

A) φ(0,25)

B) φ(0,20)

C) φ(0,75) D) 1 - φ(0,75)

E) 1 - φ(0,25)

Resolução

A variável aleatória X com função densidade de probabilidade

bxaa ex

abxf /1

)(1)( −−

Γ= , 0>x ,

tem distribuição gama com parâmetros 0>a e 0>b . A distribuição gama tem média ab e variância 2ab .

O enunciado forneceu a densidade

3/2/12/131

31exp

31)( xexx

xxf −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ππ.

Logo os parâmetros a e b que caracterizam a distribuição gama acima são

2/11 −=−a ⇒ 2/12/11 =−=a e 3=b .

Assim, 5,132/1)( =×== abXE e 5,492/1)( 2 =×== abXVar .

Seja Y = Sn. O TCL afirma que a variável transformada

)()(

YYEY

nnSn

σσμ −=

−

tende para a normal padrão quando n → ∞. A variável Y tem média E(Y) = n.E(X) = nab = 200 x 1,5 = 300 e variância Var(Y) = n.Var(X) = 200 x 4,5 = 900 ⇒ σ(Y) = 9001/2 = 30.




20,051

306

30300294

)()(

−=−

=−

=−

=−

=Y

YEYZ

σ.

Desta forma, P(Y ≥ 294) = P(Z ≥ -0,20). As duas figuras que se seguem ilustram que a área sob a normal padrão à direita de z=-0,20 (P(Z ≥ -0,20)) é equivalente à área sob a normal padrão à esquerda de z=0,20 (P(Z ≤ 0,20)). Como P(Z ≤ 0,20) = φ(0,20) e P(Z ≥ -0,20) = P(Z ≤ 0,20), concluímos que P(Z ≥ -0,20) = φ(0,20).

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

P(Z > -0,2)

-3 -2 -1 0 1 2 30

0 05

0.1

0.15

0.2

0 25

0.3

0 35

0.4

P(Z < 0,2)

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL: REVISÃO

As distribuições de Poisson e a Binomial têm a distribuição normal como o seu caso limite. Será que isto acontece com outras distribuições?

Teorema Central do Limite (TCL) (*). Considere n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas nXXX ,...,, 21 com média finita μ e variância σ2. Seja a soma nn XXXS +++= ...21 , com média μnSE n =)( e variância 2)( σnSVar n = . Então a variável aleatória padronizada




nnS

SVarSES n

n

nn

σμ−

=−

)()(

é assintoticamente normal (isto é, tende para a normal quando n tende para infinito) com média nula e desvio-padrão igual a um (normal padrão ou reduzida).

Ou seja,

)( zZPznnS

P n ≥→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≥

−σ

μ,

em que Z é a variável aleatória N(0,1).

A aproximação da binomial pela normal é um exemplo de aplicação do TCL.

(*) Também chamado de “Teorema do Limite Central” ou “Teorema Limite Central”.

A demonstração do TCL não será dada, pois está fora do escopo do curso. Não obstante, podemos testar a validade do TCL “na prática”. Para tal, basta rodar uma simulação em um software estatístico. Foi o que fizemos. As quatro próximas figuras mostram os histogramas correspondentes às seguintes realizações (todas com 1024 observações):

• Uma variável aleatória uniforme X1; • S2 = X1+X2, em que X1 e X2 são variáveis aleatórias uniformes e

identicamente distribuídas (IID); • S10 = X1+X2+...+X10, em que X1,X2,...,X10 são variáveis uniformes IID; e • S50 = X1+X2+...+X50, em que X1,X2,...,X50 são variáveis uniformes IID.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

100

200

300

400

500

600Uma variável aleatória uniforme




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 1.4 1.6 1.8 20

200

400

600

800

1000

1200Soma de 2 variáveis aleatórias uniformes

1 2 3 4 5 6 7 8 90

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600


histogramacurva normal

16 18 20 22 24 26 28 30 32 340

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600


histogramacurva normal




Observe que o histograma de S10 é bem ajustado pela curva normal. O mesmo comportamento ocorre para o histograma de S50. Reparou que o histograma de S2 tem um formato triangular? Isso não acontece por acaso. Mas discutir porquê isso tem de ser assim está fora do nosso programa ... não fique preocupado porque isso não cairá na prova.

O TCL também é verdadeiro sob condições mais gerais. Por exemplo, ele vale quando nXXX ,...,, 21 são variáveis independentes com a mesma média e variância, mas não necessariamente identicamente distribuídas.

E se X1,X2,...,Xn forem variáveis aleatórias normais e independentes, com E(Xi) = μi e Var(Xi) = σ2

i para i =1, 2, ..., n? Você está lembrado da propriedade reprodutiva da distribuição normal? Não nos custará nada relembrá-las, pois são importantes para a prova! Então vamos lá. Seja

Y = X1 + X2 + ... + Xn.

Então Y tem média

E(Y) = μ1 + μ2 + ... + μn

e variância

Var(Y) = σ21 + σ2

2 + ... + σ2n.

GABARITO: B

4. (AFPS/2002/ESAF) O desvio-padrão da média para uma amostra de tamanho 100 é 30. A fim de tornar o desvio-padrão da média igual a 15, o que deveríamos fazer?

A) Aumentar o tamanho da amostra para 200.

B) Aumentar o tamanho da amostra para 150.

C) Diminuir a amostra para 50. D) Aumentar o tamanho da amostra para 400.

E) Aumentar o tamanho da amostra para 300.

Resolução

PRELIMINARES

Definição (Estatística). Uma estatística ou estimador é qualquer função das observações de uma amostra.




Nós já trabalhamos com estatísticas neste curso. Nas aulas anteriores, estudamos, por exemplo, a média X e a variância S2 de um conjunto de dados. A partir desta aula, usaremos as notações X e x para o estimador e para a estimativa da média de uma população, respectivamente. De forma análoga, 2S e 2s denotam, respectivamente, o estimador e a estimativa da variância de uma população.

Obtemos estimativas dos parâmetros de uma população, tais como média e variância, por meio de estatísticas. Em problemas de inferência, é conveniente ter um símbolo para denotar o parâmetro de interesse. Usaremos a letra grega θ (teta) para representar o parâmetro. O objetivo da estimação é chegar a uma estimativa de θ com base nos dados da amostra. Um valor numérico de uma estatística amostral será usado como a estimativa.

Em geral, se X for uma variável aleatória com distribuição de probabilidades f(x), caracterizada por um parâmetro desconhecido θ, e se nXXX ,...,, 21 for uma amostra aleatória de X, então a estatística

),...,,(ˆ21 nXXXg=Θ

é denominada estimador de θ. Note que Θ é uma variável aleatória, porque é uma função de variáveis aleatórias. Após a amostra ter sido selecionada, Θ assume um valor numérico particular E , chamado de estimativa de θ.

Definição (Estimativa). Uma estimativa pontual de um parâmetro θ da população é um único valor numérico E de uma estatística Θ .

Exemplo. Seja uma variável aleatória normal X com média desconhecida μ. A média da amostra é um estimador da média desconhecida μ da população. Isto é, X=μ . Depois de a amostra ter sido selecionada, o valor numérico x é a estimativa de μ. Assim, se 231 =x , 312 =x , 293 =x e 264 =x ,

então a estimativa de μ é

25,274

26293123=

+++=x .

Note que o resultado obtido acima é mera aplicação da fórmula

44321 XXXX

X+++

=

que define o estimador da média amostral.

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA




Uma estatística possui uma distribuição de probabilidades, pois é uma variável aleatória. Chamamos a distribuição de probabilidades de uma estatística de distribuição amostral.

Se a população é infinita ou se a amostragem é feita com reposição, então os valores da amostra podem ser considerados observações de variáveis aleatórias independentes, com a mesma distribuição de probabilidades da população, portanto com a mesma média μ e a mesma variância σ2 da população.

A média X da amostra aleatória ),...,,( 21 nXXX é dada por

nXXX

X n+++=

...21 .

Então, o valor esperado de X é

( ) ( ) ( ) μμ=

×=+++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

=n

nXE

nXE

nXE

nnXXX

EXE nn 1...11...)( 21

21

e a variância de X

( ) ( ) ( )nn

nXXX

nnXXX

X nn

2

2

2

21221 ]var...var[var1...var)var( σσ

=×

=+++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

=

Vemos, portanto, que a média em torno da qual devem variar os possíveis valores da estatística X é a própria média da população. Além disso, a variância com que se dispersam os possíveis valores da estatística X é n vezes menor do que a variância da população de onde é retirada a amostra. Da fórmula da variância de X , resulta que o desvio-padrão da média é dado por

nX

σσ =)( .

Voltemos à questão.

Dados: 30)( =Xσ e 100=n . O que fazer para obter 15)'( =Xσ ?

Primeiramente, devemos descartar a opção C, pois é absurda. O desvio-padrão de X é n vezes menor que o desvio-padrão da população, ou seja,

nX /)( σσ = . Portanto, o tamanho da amostra deve aumentar para que o desvio-padrão diminua. A relação




2)(

24')'( X

nnnX

σσσσσ ====

mostra que é necessário que n seja multiplicado por 4 a fim de tornar o desvio-padrão da média igual a metade do valor anterior. Logo n’= 4 x 100 = 400.

GABARITO: D

5. (Analista Judiciário/Estatística/TRF da 1ª Região/2001/FCC) Uma amostra aleatória simples sem reposição de tamanho n é tomada de uma população de tamanho N. Determine a variância da média amostral, sabendo que a variância populacional é σ2.

A) )1()(2

−−

NnnNσ

B) )1(

2

−NnNσ

C) )()1(2

nNnN−−σ

D) )1(

2

−Nnσ

E) )(

2

nNN−

σ

Resolução

Se a população é infinita ou se a amostragem é feita com reposição a variância da média amostral X é dada por

nX

2

)var( σ= ,

em que σ2 denota a variância populacional e n é o tamanho da amostra.

No caso de amostragem aleatória simples sem reposição de populações finitas, temos que

1)(

2

−−

×=N

nNn

XVarσ

em que N é o número de elementos da população e o fator




1−−

NnN

é o fator de população finita. Logo, a alternativa A é a única opção correta.

GABARITO: A

6. (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF) Considere as n variáveis aleatórias iid, isto é, independentes e identicamente distribuídas X1, X2 ,..., Xn com distribuição N(μ,σ2). Considere ainda ∑=

=n

i i nXX1

/ e

∑=−−=

n

i i nXXs1

22 )1/()( . Dessa maneira o quociente entre as variáveis

aleatórias independentes 22 /)( σμ−Xn e s2/σ2 é uma variável aleatória:

A) “t” de Student com n-1 graus de liberdade.

B) Qui-quadrado com n-1 graus de liberdade dividida pelo seu número de graus de liberdade.

C) Qui-quadrado com 1 grau de liberdade. D) F com n-1 graus de liberdade no numerador e 1 grau de liberdade no denominador.

E) F com 1 grau de liberdade no numerador e n-1 graus de liberdade no denominador.

Resolução

A questão cobra se o candidato conhece a distribuição da estatística

1

/)(

1

2

2

2

2

2

2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=

−

∑=

n

XX

nX

s

Xn

n

ii

σ

σμ

σ

σμ

.

Ora, a média amostral X é normal, pois X1, X2 ,..., Xn têm distribuição N(μ,σ2). Assim, o numerador

2

/ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −n

Xσ

μ

tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade, pois trata-se do quadrado de uma variável aleatória normal reduzida. A estatística




∑=⎟⎟⎠

⎞⎜⎛ −⎜⎝

n

ii XX

1

2

σ

tem distribuição 21−nχ . Sabe-se que uma variável aleatória F com n1 graus de

liberdade no numerador e n2 graus de liberdade no denominador é dada por

22

12

, //

2

1

21 n

nF

n

nnn χ

χ= .

Portanto, a variável aleatória

1

1/

1

2

2

−

⎟⎟⎠

⎜⎞

⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

∑=

n

XX

nX

n

ii

σ

σμ

tem distribuição F com 1 grau de liberdade no numerador e n-1 graus de liberdade no denominador.

REVISÃO DE ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES

Distribuição Qui-quadrado

A distribuição qui-quadrado com parâmetro n>0 (n é um inteiro) de uma variável aleatória X é definida pelo modelo contínuo

222

)( x/n

χ exKxf −−

= para x ≥ 0 ( )(xf = 0 para x < 0)

em que )2(2

12 n/Γ

K n/χ = e Γ(.) é a função gama.

Não se assuste com a fórmula acima. Você não precisa decorar essa expressão porque ela não cairá na prova! Nós a colocamos aqui para que você saiba que a distribuição qui-quadrado possui uma expressão analítica. Na prova, será dada uma tabela de valores da qui-quadrado, caso haja alguma questão que envolva o uso dessa distribuição. Entretanto, não faremos uso da tabela da qui-quadrado nesta aula, pois esta distribuição será bastante explorada em aulas posteriores (veremos que ela tem um papel relevante na Inferência Estatística).




A equação acima define a família das distribuições qui-quadrado com n graus de liberdade , usualmente representada por 2

nχ .

A distribuição qui-quadrado está relacionada à distribuição normal. Sejam as observações X1, X2, ..., Xn provenientes de uma população normal de média μe desvio-padrão σ2. Então a transformação

∑∑==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=n

ii

n

i

in Z

X

1

2

1

22

σμ

χ

tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. Note que a variável Zi na fórmula acima é a variável aleatória normal padrão. Logo, a variável 2

nχ é a soma dos quadrados de n variáveis aleatórias normais padronizadas. Neste momento, talvez você deve estar fazendo a seguinte pergunta para si mesmo: porque os professores estão ensinado essa tal de distribuição qui-quadrado? A resposta é simples: porque a qui-quadrado, assim como a normal, é muito usada na resolução de problemas de Inferência Estatística.

A figura a seguir ilustra gráficos de densidades qui-quadrado com 1, 3, 6 e 10 graus de liberdade (curvas azul, preta, vermelha e rosa, respectivamente).

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9X1

X3X6

X10

A Tabela a seguir fornece a média, a variância e o desvio padrão da distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.

Tabela: Caracterização da Distribuição Qui-quadrado

Média nXE =)(Variância nXVar 2)( =Desvio Padrão nX 2)(σ =




Distribuição t de Student

A distribuição t de Student com n graus de liberdade é dada por

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

21

2

1)(

n

st nx

Kxf

em que [ ]

πnn/Γ/nΓ

Kst )2(2)1( +

= .

Na prova, também deverá ser dada a tabela de valores da distribuição t de Student caso haja alguma questão que envolva o uso dessa distribuição. Não trabalharemos com a tabela da t de Student neste momento, pois este tópico será visto quando estudarmos a Inferência Estatística. A figura a seguir mostra os gráficos da distribuição t de Student para 1, 10 e 20 graus de liberdade (curvas azul, verde e vermelha, respectivamente). Note que o formato da t de Student se aproxima da normal (curva preta tracejada) conforme aumenta o número de graus de liberdade.

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4normalt1t10

t20

Veremos posteriormente por que a distribuição t de Student é relevante no estudo da Estatística Indutiva. Mas é bom que você comece a se familiarizar com variáveis aleatórias do tipo t de Student desde já. Como elas surgem na Estatística? Esta pergunta será respondida de forma sucinta no próximo parágrafo.

Considere um conjunto de n valores retirados de uma população normal de média μ e desvio-padrão σ. Defina a variável




nSX

t/μ−

= ,

em que X e S denotam a média aritmética e o desvio-padrão das n observações, respectivamente. Veremos que a distribuição de t não é normal, apesar da fórmula acima ser similar à da normal reduzida. De fato, trata-se de uma variável com distribuição t de Student. Esta distribuição é simétrica e tem média nula, assim como a normal padrão.

Distribuição F de Snedecor

Define-se a variável F com n1 graus de liberdade no numerador e n2 graus de liberdade no denominador, ou simplesmente,

21 ,nnF , por

22

12

2

1

21 /n

/nF

n

n

,nn χ

χ=

onde 2inχ designa uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com ni

graus de liberdade. A figura abaixo mostra a densidade F3,5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7F3,5

A distribuição F de Snedecor tem um papel importante na Inferência Estatística. Estudaremos essa distribuição com mais detalhes em aulas posteriores.

GABARITO: E




7. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Seja X1, X2, ... uma sucessão de variáveis aleatórias identicamente distribuídas, cada uma com média μ e variância σ2, tendo a propriedade de qualquer número finito delas são independentes. Então, para cada z

),(...lim 1 zzn

nXXP n

nΦ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <

−++∞→ σ

μ

onde )(zΦ é uma função de distribuição:

A) Normal reduzida.

B) Normal.

C) Qui-quadrado.

D) Log-normal.

E) Binomial.

Resolução

Sejam nXXX ,...,, 21 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com média μ e variância σ2. De acordo com o TCL, se

nn XXXS +++= ...21 , então

nnS

SVarSES n

n

nn

σμ−

=−

)()(

é assintoticamente normal (isto é, tende para a normal quando n tende para infinito) com média nula e desvio-padrão igual a um (normal padrão ou reduzida).

Ou seja,

)()(lim zzZPznnS

P n

nΦ=<=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ <−

∞→ σμ

,

em que Z é a variável aleatória N(0,1).

O TCL também é verdadeiro sob condições mais gerais. Por exemplo, ele vale quando nXXX ,...,, 21 são variáveis independentes com a mesma média e variância, mas não necessariamente identicamente distribuídas.

GABARITO: A




8. (Analista Técnico da SUSEP/2002/ESAF) Sejam X1, ..., X12 variáveis aleatórias uniformemente e independentemente distribuídas no intervalo (0;1). Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central do Limite de

.712

1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>∑=i

iXP

A tabela apresentada a seguir dá valores da função de distribuição F(x) da distribuição normal padrão aproximada a duas casas decimais.

x F(x) 0,0 0,50 0,5 0,69 1,0 0,84 1,5 0,93 2,0 0,98

A) 0,50

B) 0,31

C) 0,07

D) 0,02

E) 0,16

Resolução

As variáveis aleatórias IID 1221 ,...,, XXX têm distribuição uniforme no intervalo (0,1), conforme ilustrado pela figura abaixo.

Sabemos que: 2/12

)10(2

)()( =+

=+

=ba

Xiμ e 12/112

)01(12

)()(2 =−

=−

=ab

Xiσ .




Seja o somatório nn XXXS +++= ...21 . O TCL afirma que, no limite (isto é, quando somamos um número infinito de variáveis aleatórias IID), vale

)(lim zznnS

P n

nΦ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤−

∞→ σμ

.

A questão pede que ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

> ∑∑==

12

1

12

1717

ii

ii XPXP seja calculado usando uma

versão “truncada” (ou aproximada) do TCL para n = 12. Observe que

16712

121

5,01277=−=

×−=

−=

nn

zσ

μ.

Logo,

( ) ( ) 16,084,010,110,1 =−=Φ−≈>ZP .

GABARITO: E

9. (Analista Técnico da SUSEP/2001/ESAF) O tempo de vida útil de uma pilha é uma variável aleatória com distribuição do tipo contínuo, média de 40 horas e desvio-padrão de 20 horas. Usa-se a pilha até que sua energia se esgote quando é substituída por uma nova. Suponha que se tenha à disposição um estoque de 25 pilhas com tempos de vida com essas características e independentemente distribuídos. Seja ψ(x) a função de distribuição da normal padrão. Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central do Limite para a probabilidade de que com as 25 pilhas se obtenha pelo menos 1.100 horas de uso contínuo.

A) 1-ψ(1)

B) ψ(1)

C) ψ(2)

D) 0,5

E) ψ(2)- ψ(1)

Resolução

Pelo menos 1.100 horas de uso contínuo ⇒ 100.1)...( 252125 ≥+++= XXXS , ou

seja, o somatório dos tempos de vida útil das 25 pilhas tem de ser, no mínimo, 1.100 horas.

Dados: μ = 40 h, σ = 20 h e n = 25.




12520

4025100.1100.1=

×−=

−=

nn

zσ

μ

( ) ( )110,1)100.1( 25 ψ−≈>=≥ ZPSP .

GABARITO: A

10. (Analista Ministerial-Estatística-MPE-PE/2006/FCC) Seja a média de uma amostra aleatória simples com reposição, de tamanho 64, retirada de uma população Normal com média 200 e variância 400. Usando o fato de que P(Z>1,64) = 0,05, onde Z é a Normal Padrão, o valor de a para que P(|X -μ|≤a) = 0,90 é igual a

A) 6,4

B) 5,2

C) 4,8

D) 4,1

E) 3,6

Resolução

Note que podemos reescrever P(|X -μ|≤a) = 0,90 da forma

P{-a ≤ X -μ ≤a} = 0,90

ou

P{ μ -a ≤ X ≤ μ + a} = 0,90.

A Fig. abaixo ilustra a probabilidade acima.




Dados do enunciado: n = 64, μ = 200, σ2 = 400 e P(Z>1,64) = 5%.

64,1)(=

−+=

na

zσ

μμ⇒ 64,1

6420=

a ⇒ 10,4=a .

GABARITO: D

(Especialista em Regulação de Aviação Civil/ANAC/2009/CESPE/adaptada) Considere que U1, U2 e U3 sejam cópias independentes de uma distribuição uniforme, com média igual a 6 e variância igual a 3. Com base nessas informações, julgue os próximos itens (11 a 14) acerca da soma S = U1 + U2 + U3.

11. A soma S segue uma distribuição uniforme, com média igual a 18 e variância igual a 9.

Resolução

Antes de discutir se a variável aleatória S = U1 + U2 + U3 tem ou não distribuição uniforme, vamos calcular a média e a variância de S.

Média:E(S) = S = E(U1 + U2 + U3) = E(U1) + E(U2) + E(U3) = 3x6 = 18.

Variância:var(S) = var(U1 + U2 + U3) = var(U1) + var(U2) + var(U3) = 3x3 = 9, pois a variância da soma de variáveis independentes é igual à soma das variâncias individuais.




Agora, precisamos analisar a distribuição de S e todo cuidado é pouco ... há uma propriedade da distribuição normal, denominada propriedade reprodutiva que diz o seguinte:

⇒ Se U1, U2, ..., Un forem variáveis aleatórias normais e independentes, com E(Ui) = μi e var(Ui) = 2

iσ para i = 1, 2, ..., n, então

S = c1U1 + c2U2 + ... + cnUn,

em que c1, c2, ..., cn, são constantes, será uma variável aleatória normal com

S = c1μ1 + c2μ2 + ... + cnμn,

e

var(S) = .... 2222

22

21

21 nnccc σσσ +++

Repare que as variáveis U1, U2, ..., Un precisam ser normais, para que valha a propriedade reprodutiva. Na questão, U1, U2 e U3 são variáveis uniformes. Observe que não há uma propriedade reprodutiva para a distribuição uniforme. Portanto, não podemos afirmar que S = U1 + U2 + U3 tem distribuição uniforme. Aliás, isto contraria a “intuição”, uma vez que o TCL diz que a distribuição de probabilidades da soma de um número infinito de variáveis aleatórias uniformes IID converge para a distribuição normal. Sendo assim, o item está ERRADO.

É possível determinar a distribuição de S = U1 + U2 + U3, em que U1, U2 e U3

são cópias independentes de uma distribuição uniforme. Contudo, este cálculo depende do conhecimento do conceito de função característica. Preferimos não ensinar isso para você, pois não precisamos deste conceito para resolver a questão.

GABARITO: ERRADO

12. De acordo com o teorema limite central, se μ e σ são, respectivamente, a

média e o desvio padrão de S, então a variável

3

3σ

μ−=

S

Z segue uma

distribuição normal padrão.

Resolução

O TCL diz que a distribuição de probabilidades da soma de um número infinito de variáveis aleatórias IID converge para a distribuição normal. A soma de 3 variáveis aleatórias uniformes IID não é normal ⇒ ERRADO.




GABARITO: ERRADO

13. A média correspondente à variável transformada 63−=

SW é igual a zero,

e a variância igual a 1.

Resolução

( ) ,063

1863

)(63

63

)( =−=−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

SEE

SE

SEWWE

( ) 199

9)var(var

316

3var)var( 2 ====⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Ss

SW ⇒ item CORRETO.

GABARITO: CERTO

14. O valor esperado de S2 é superior a 300.

Resolução

22 )()var( SSES −= ⇒ 3333249189)var()( 222 =+=+=+= SSSE ⇒ item CORRETO.

GABARITO: CERTO

(ANPEC/2009/adaptada) Sobre variáveis aleatórias indique se as afirmativas 15 e 16 são corretas ou falsas:

15. Se X possui distribuição Normal com média μ e variância σ2, então Z = aX + b possui distribuição Normal com média aμ e variância (a)2σ2.

Resolução

222 )var()var( σaXaZ == ,

mas bXaEZE += )()( ⇒ afirmativa FALSA.

GABARITO: FALSO

16. Se duas variáveis aleatórias X e Y tem covariância nula, então elas são independentes.

Resolução

Lembre que independência implica covariância nula; a recíproca, porém, não é verdadeira ⇒ afirmativa FALSA.

GABARITO: FALSO




(ANPEC/2009/adaptada) Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média μ e variância 1. Defina

as variáveis aleatórias ∑=

−=n

iiXnX

1

1 e ∑=

=n

iiXZ

1

2 . Julgue os itens a seguir.

17. Se R = X1, quando X1>0, P(R≤1) = Φ(1-μ)/(1-Φ(0-μ)), em que Φ(c) é a função distribuição de uma variável aleatória Normal padrão.

Resolução

Se R = X1, P(R≤1) = P[Z*≤(1-μ)/σ] = P[Z*≤(1-μ)/1] = Φ(1-μ) ⇒ afirmativa FALSA.

Nota: Z* denota a variável aleatória normal reduzida.

GABARITO: FALSO

18. Z é uma variável aleatória com distribuição χ2 com n graus de liberdade.

Resolução

Seja a amostra aleatória ),...,,( 21 nXXX de uma população normal de média μ e desvio-padrão σ2. Então a estatística

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=n

i

in

X

1

22

σμ

χ

tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. A variável 2nχ é a

soma dos quadrados de n variáveis aleatórias normais reduzidas

independentes. Note que ∑=

=n

iiXZ

1

2 não é uma soma de variáveis aleatórias

normais reduzidas. Portanto, o item é FALSO.

GABARITO: FALSO

19. Xn é uma variável aleatória normalmente distribuída com média nμ e variância n.

Resolução

Dado: 12 =σ

nX

22 )(σ

σ=

nnnn

nXnXn =×==×== 1)()( 22

2222 σσ

σσ ⇒ VERDADEIRO.




GABARITO: VERDADEIRO

20. A variável aleatória

nZ

YW i

i = , em que Yi = (Xi - μ) possui distribuição F

com n1 e n2 graus de liberdade, em que n1 = 1 e n2 = 2n.

Resolução

Define-se a variável F com n1 graus de liberdade no numerador e n2 graus de liberdade no denominador, ou, simplesmente

21,nnF por

22

12

, //

2

1

21 n

nF

n

nnn χ

χ=

em que as variáveis 21nχ e 2

2nχ são independentes. Observe que Yi é normal e

que nZ

não é qui-quadrado e tampouco normal ⇒ afirmativa FALSA.

GABARITO: FALSO

21. O gráfico da distribuição t de Student, com 9 graus de liberdade, está representado na figura abaixo. Podemos afirmar que o valor de t1 para o qual a área sombreada à direita de t1 é de 0,05 é:

A) 2,6850

B) 2,2622

C) 1,8331

D) 3,6897

E) 1,2297

Resolução




Deve-se entrar na Tabela IV (Distribuição t de Student) com ϕ = 9 (número de graus de liberdade) e α = 0,05 x 2 = 0,1 ⇒ t1 = 1,8331.

GABARITO: C

22. (IBGE – Estatística/2010/CESGRANRIO) Sejam X1, X2 e X3 variáveis aleatórias independentes, todas com média 100 e variância 100. O valor

esperado e a variância de 4

2 321 XXXZ

+−= são, respectivamente,

A) 100 e 100

B) 100 e 75/2

C) 100 e 25/2

D) 0 e 75/2

E) 0 e 25/2

Resolução

( ) ( ) ( )=+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=42444

)2(44

2)( 321321321 XEXEXEXXXE

XXXEZμ

04

1002

1004

100=+−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=424

var44

)2(4

var4

2var)var( 321321321 XXXXXXXXXZ

=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= )var(

41)var(

21)var(

41

4var

2var

4var 322212

321 XXXXXX

.275

16100

4100

16100

=++=

Nota: sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Então

( ) ( ) ( )YXYX varvarvar +=− .

Ou seja, a variância da diferença de X e Y é a soma das variâncias individuais.

GABARITO: D




Questões Extras – Matéria das Aulas Anteriores

23. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Uma pesquisa indica que a distribuição do tempo que os candidatos de um concurso levam para entregar uma prova é aproximadamente normal, com tempo médio de 1,5 horas e desvio padrão de 15 minutos. Sabendo que P(μ<X<μ+2σ)=0,4772 e P(μ-σ<X<μ+σ)=0,6827, o número esperado de candidatos que levam entre 1 e 2 horas para entregar a prova, de um total de 10.000 candidatos, é:

A) 5.228

B) 9.972

C) 9.544

D) 6.827

E) 3.173

Resolução

As três figuras abaixo ilustram, respectivamente, as probabilidades i) P(μ<X<μ+2σ) = 0,4772, ii) P(μ-σ<X<μ+σ) = 0,6827 e iii) P(μ-2σ<X<μ+2σ) = 2x0,4772 = 0,9544, em que μ = 90 minutos e σ = 15 minutos.

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 1400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

normal

dens

idad

e

normalP(μ<X<μ+δ) = 47,72%




40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 1400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

normal

dens

idad

e

normalP(μ-σ<X<μ+σ) = 68,27%

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 1400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

normal

dens

idad

e

normalP(μ-2σ<x<μ+2σ)=95,44%

O número esperado de candidatos que levam entre 60 (=μ-2σ) e 120 (=μ+2σ) minutos para entregar a prova, de um total de 10.000 candidatos, é dado por

10.000 x P(60<X<120) = 10.000 x 0,9544 = 9.544.

GABARITO: C

24. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Sabendo que a correlação estatisticamente significativa entre o preço de vinho e a quantidade vendida é de -0,70 pode-se dizer que:

A) 70% da variabilidade da quantidade vendida é determinada pelo preço do vinho.




B) Quanto maior o preço de vinho, maior a quantidade vendida.

C) Há uma redução de 30% na quantidade vendida para um aumento de R$1,00 no preço.

D) Da variabilidade total da quantidade vendida, 49% é explicada pelo preço do produto.

E) Para um aumento de R$1,00 no preço do vinho, há uma redução de 0,7 na quantidade vendida.

Resolução

Dados: a) R = -0,7 (estimativa do coeficiente de correlação), b) variável dependente (Y) = quantidade vendida e c) variável independente (X) = preço do vinho.

Vimos que o coeficiente de determinação R2 de uma regressão linear simples exprime a porcentagem da variação total da variável dependente (= quantidade vendida) que é explicada pela reta de regressão ajustada. Note que R2 = 0,72 = 0,49 = 49% para a questão ⇒ opção D.

Análise das outras alternativas:

Nota: lembre que a reta estimativa é dada por ˆ y = a + bx, em que “a” é a estimativa do intercepto e “b” é a estimativa da declividade da reta de regressão.

A) está errada porque apenas 49% da variabilidade da quantidade vendida é determinada pela reta ajustada.

B) está errada porque quanto menor o preço de vinho, maior a quantidade vendida (correlação negativa).

C) como não foi dado o valor da estimativa da declividade da reta (parâmetro “b”), não se pode afirmar que há uma redução de 30% na quantidade vendida para um aumento de R$1,00 no preço.

E) como não foi dado o valor do parâmetro “b”, não se pode afirmar que para um aumento de R$1,00 no preço do vinho, há uma redução de 0,7 na quantidade vendida. Repare que esta opção é uma “pegadinha” para aqueles que adotarem b = -0,7.

GABARITO: D




(AFTE-RS/2009/Fundatec) A tabela a seguir representa a distribuição de frequências da idade de uma amostra de moradores de um asilo. Utilize para resolver as questões 25 e 26.

Xi fi70 |-- 74 7 74 |-- 78 19 78 |-- 82 13 82 |-- 86 11 86 |-- 90 6 90 |-- 94 4

Total 60

25. A idade aproximada da mediana é:

A) 78,22.

B) 80,00.

C) 79,38.

D) 78,55.

E) 79,23.

Resolução

Xi fi Frequências acumuladas

Frequências acumuladas

(%) 70 |-- 74 7 7 11,67% 74 |-- 78 19 26 43,34% 78 |-- 82 13 39 65,01% 82 |-- 86 11 50 83,34% 86 |-- 90 6 56 93,34% 90 |-- 94 4 60 100,00%

Total 60

A tabela acima que a classe da mediana é 78 |-- 82. O seu valor é calculado por meio da seguinte regra de três:

“(82 – 78) está para (39 – 26) assim como (md – 78) está para (30 – 26)”

ou

“4 está para 13 assim como (md – 78) está para 4”

4)78(

134 −=

md ⇒

13−

16md 78 = ⇒ 23,7923,178

131678 =+=+=md (opção E)




⎟

GABARITO: E

26. O valor da moda pelo método de King é:

A) 72,8.

B) 76,6.

C) 80,0.

D) 76,0.

E) 19,0.

Resolução

A classe modal é a que ocorre com a maior frequência: 74 |-- 78.

Cálculo da moda pelo Método de King:

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

++= h

ff

fLmo

antpost

posti ,

em que:

- 74=iL denota o limite inferior da classe modal; - 13=postf é a frequência da classe posterior à classe modal;

- 7=antf é a frequência da classe anterior à classe modal; e

- 4=h é a amplitude da classe modal.

Então

6,766,2744713

1374 =+=×+

+=mo (opção B)

⎟⎜

É bom relembrar o cálculo da moda pelo Método de Czuber

⎞⎟⎠

⎜⎝

⎛×

++= h

ddd

Lmo i21

1 ,

em que:

- 74=iL é o limite inferior da classe modal; - 127191 =−=d é a diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente anterior; - 613192 =−=d é a diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente seguinte; e




- h é a amplitude das classes.

Então a moda pela fórmula de Czuber é

667,76667,2744612

1274 =+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

++=mo (resultado aproximadamente igual ao

obtido pelo método de King!)

Caso a questão da prova não especifique, deverá ser utilizado o método de Czuber.

GABARITO: B

27. (AFTN/1998/ESAF) O logaritmo neperiano (ln) de um índice de produção Y está associado ao logaritmo neperiano de um índice de insumos Q através da relação linear ln(Y) = α + βln(Q) + e. Para uma amostra de 100 observações envolvendo dados de produção e quantidade, encontraram-se como estimadores de α e β as quantidades 1 e 2, respectivamente. Assinale a opção correta.

A) A variação logarítmica esperada na produção por unidade de variação em Q será de ln(2). B) A variação esperada no logaritmo do produto Y por unidade de variação no logaritmo de Q depende de Q e quando Q=exp(2) vale 4. C) A variação esperada no logaritmo do produto Y por unidade de variação no logaritmo de Q não depende de Q e é constante igual a 2. D) A variação esperada em ln(Y) por unidade de variação em ln(Q) não está definida. E) A variação esperada no logaritmo do produto Y por unidade de variação no logaritmo de Q depende de Q e quando Q=exp(2) vale 5.

Resolução

Por razões didáticas, adotemos a seguinte transformação de variáveis: ln(Y) = Y’, ln(Q) = X’ e e = ε. Então a relação

Y’ = α + βX’ + ε,

vista na aula passada, representa um modelo de regressão linear simples (RLS), em que Y’ é a variável dependente (admite-se que seja aleatória), X’ é a variável independente (suposta não aleatória), ε é o erro aleatório do modelo, α é o intercepto e β é a declividade (α e β são parâmetros do modelo).

Pode-se demonstrar que os estimadores a e b de α e β, respectivamente, têm médias dadas por E(a) = α e E(b) = β (voltaremos a esse assunto na Aula 21).

Tomando a esperança no modelo de RLS, obtemos




E[Y’] = E[α] + E[βX’] + E[ε],

como o modelo supõe que o erro aleatório tenha média nula, ou seja E[ε]=0, e X’ representa observações de uma variável não aleatória, temos que

E[Y '] = ˆ Y '= a+bX ' ,

em que usamos os seguintes fatos: E[α] = a e E[βX’] = E[β]X’ = bX’. A equação E[Y’] = a + bX’ indica que, dado o valor de uma observação, por exemplo X’1, a reta de regressão fornece o valor esperado correspondente da variável independente, E[Y’1] (memorize para a prova!).

A reta estimativa foi dada pelo enunciado e é ˆ Y '=1+ 2X '. Ela está representada na figura a seguir.

Repare que a variação esperada da variável dependente (denotada por ΔE[Y’]=ΔE[lnY]) por unidade de variação em X’=lnQ não depende de X’ (logo não depende de Q), sendo constante e igual a 2 (= β). Então podemos afirmar que

a variação esperada no logaritmo do produto Y por unidade de variação no logaritmo de Q não depende de Q e é constante igual a 2 (opção C).

GABARITO: C




28. (AFTM de Campinas/2011/INEC) A tabela abaixo representa uma amostra composta de dez alunos e suas respectivas notas em Estatística e Cálculo.

No do

aluno

Estatística (xi)

Cálculo (yi) ii yx . 2

ix 2iy

3 9,0 10,0 4 9,5 10,0 6 2,5 3,0 7,5 6,3 9,0 7 7,5 6,5 48,8 56,3 42,3 9 4,0 4,0 16,0 16,0 16,0 10 8,0 6,0 48,0 64,0 36,0 14 3,5 4,0 16 5,5 6,5 23 4,5 4,0 18,0 20,3 16,0 24 6,0 6,0 36,0 36,0 36,0

∑

Dados:

( )( )( ) ( )∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑−−

−=

2222 ...

...

yynxxn

yxyxnr

ii

Pode-se afirmar que a correlação entre as variáveis x e y é, aproximadamente,

A) 0,88

B) 0,90

C) 0,93

D) 0,96

E) 0,98

Resolução

A correlação é estimada pela estatística denominada coeficiente de correlação linear de Pearson, ou, simplesmente, coeficiente de correlação, definido por (*)

(1) yx

xy

ss

sR =

em que xys é a covariância amostral de X e Y, sx é o desvio-padrão

amostral de X




(*) Por uma questão de coerência com a notação usada na aula passada, a correlação está denotada pela letra “R” na fórmula acima. Observe que a banca usou a notação “r”. Trata-se da mesma grandeza.

(2) n

xxs

n

ii

x

∑=

−≈ 1

2)(

e sY é o desvio-padrão amostral de Y

(3) n

yys

n

ii

y

∑=

−= 1

2)(.

Sabemos que

(4) yyxx

xy

n

ii

n

ii

n

iii

SS

S

yyxx

yyxxR =

−−

−−=

∑∑

∑

==

=

1

2

1

2

1

)()(

))((

em que

xy

n

iiixy nsyyxxS =−−=∑

=1

))(( ⇒ Sxy = n.covariância amostral

2

1

2)( x

n

iixx nsxxS =−=∑

=

⇒ Sxx = n.variância amostral de X

e

∑=

−=n

iiyy yyS

1

2)( ⇒ Syy = n.variância amostral de Y

A representação abreviada dos somatórios de () por meio de xyS , xxS e yyS é

útil e importante para a prova. Não é difícil mostrar que

(5) ∑∑∑ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=i

ii

ii

iixy n

yxyxS ⇒ Sxy = “soma dos produtos entre X

e Y” ou simplesmente “soma dos produtos”

(6) ∑∑ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=i

ii

ixx n

xxS

2

2 ⇒ Sxx = “soma dos quadrados de X”




(7) ∑∑ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=i

ii

iyy n

yyS

2

2 ⇒ Syy = “soma dos quadrados de Y”

Para resolver a questão, é necessário preencher os dados faltantes da tabela:

No do

aluno

Estatística (xi)


ix 2iy

3 9,0 10,0 90,0 81,0 100,0 4 9,5 10,0 95,0 90,3 100,0 6 2,5 3,0 7,5 6,3 9,0 7 7,5 6,5 48,8 56,3 42,3 9 4,0 4,0 16,0 16,0 16,0 10 8,0 6,0 48,0 64,0 36,0 14 3,5 4,0 14,0 12,3 16,0 16 5,5 6,5 35,8 30,3 42,3 23 4,5 4,0 18,0 20,3 16,0 24 6,0 6,0 36,0 36,0 36,0

∑ 60,0 60,0 409,1 412,8 413,6

Podemos agora calcular as somas dos produtos e as somas dos quadrados:

1,493601,40910

60601,409 =−=×

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−= ∑∑∑

i

ii

ii

iixy n

yxyxS

8,523608,41210

60608,412

2

2 =−=×

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=∑∑

i

ii

ixx n

xxS

6,5310

60606,413

2

2 =×

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=∑∑

i

ii

iyy n

yyS

Finalmente,

92,02,531,49

6,538,521,49

≈=×

==yyxx

xy

SS

SR ⇒ a alternativa com o número mais

próximo é C (0,93).

Nota: 2,532

6,538,526,538,52 =+

≈×

Ressaltamos que a fórmula da correlação dada pela banca




( )( )( ) ( )∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑−−

−=

2222 ...

...

yynxxn

yxyxnr

ii

pode ser reescrita na forma equivalente

yyxx

xy

SS

Sr =

Abraços e até a próxima aula.

Bons estudos!

Moraes Junior [email protected]

Alexandre Lima [email protected]




Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula

1. (ICMS-RJ/2011/FGV) A respeito das técnicas de amostragem probabilística, NÃO é correto afirmar que

A) na amostragem por conglomerado a população é dividida em diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados.

B) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo.

C) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem selecionados.

D) na amostragem por voluntários a população é selecionada de forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados.

E) na amostragem sistemática os elementos da população se apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente.

2. (AFPS/2002/ESAF) Assinale a opção correta em referência ao significado do termo amostragem aleatória simples.

A) Refere-se a um método de classificação da população.

B) Refere-se à representatividade da amostra.

C) É um método de escolha de amostras. D) Refere-se a amostras sistemáticas de populações infinitas.

E) Refere-se à amostragem por quotas.

3. (TCE-ES/2001/ESAF) Sejam X1, X2, ..., X200 variáveis aleatórias idênticas e independentemente distribuídas com densidade comum do tipo gama, i.e. com densidade (x>0):

⎞⎟⎠

⎜⎝⎛−= x

xxf

31exp

31)(

π

Seja Y = X1 + X2 + ... +X200 e φ(w) a função de distribuição normal padrão. Assinale a opção que dá a aproximação do Teorema Central do Limite de P(Y ≥294).

A) φ(0,25)

B) φ(0,20)

C) φ(0,75)




D) 1 - φ(0,75)

E) 1 - φ(0,25)

4. (AFPS/2002/ESAF) O desvio-padrão da média para uma amostra de tamanho 100 é 30. A fim de tornar o desvio-padrão da média igual a 15, o que deveríamos fazer?

A) Aumentar o tamanho da amostra para 200.

B) Aumentar o tamanho da amostra para 150.

C) Diminuir a amostra para 50. D) Aumentar o tamanho da amostra para 400.

E) Aumentar o tamanho da amostra para 300.

5. (Analista Judiciário/Estatística/TRF da 1ª Região/2001/FCC) Uma amostra aleatória simples sem reposição de tamanho n é tomada de uma população de tamanho N. Determine a variância da média amostral, sabendo que a variância populacional é σ2.

A) )1()(2

−−

NnnNσ

B) )1(

2

−NnNσ

C) )()1(2

nNnN−−σ

D) )1(

2

−Nnσ

E) )(

2

nNN−

σ

6. (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF) Considere as n variáveis aleatórias iid, isto é, independentes e identicamente distribuídas X1, X2 ,..., Xn com distribuição N(μ,σ2). Considere ainda ∑=

=n

i i nXX1

/ e

∑=−−=

n

i i nXXs1

22 )1/()( . Dessa maneira o quociente entre as variáveis

aleatórias independentes 22 /)( σμ−Xn e s2/σ2 é uma variável aleatória:

A) “t” de Student com n-1 graus de liberdade.

B) Qui-quadrado com n-1 graus de liberdade dividida pelo seu número de graus de liberdade.

C) Qui-quadrado com 1 grau de liberdade.




D) F com n-1 graus de liberdade no numerador e 1 grau de liberdade no denominador.

E) F com 1 grau de liberdade no numerador e n-1 graus de liberdade no denominador.

7. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Seja X1, X2, ... uma sucessão de variáveis aleatórias identicamente distribuídas, cada uma com média μ e variância σ2, tendo a propriedade de qualquer número finito delas são independentes. Então, para cada z

),(...lim 1 zzn

nXXP n

nΦ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <

−++∞→ σ

μ

onde )(zΦ é uma função de distribuição:

A) Normal reduzida.

B) Normal.

C) Qui-quadrado.

D) Log-normal.

E) Binomial.

8. (Analista Técnico da SUSEP/2002/ESAF) Sejam X1, ..., X12 variáveis aleatórias uniformemente e independentemente distribuídas no intervalo (0;1). Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central do Limite de

.712

1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>∑=i

iXP

A tabela apresentada a seguir dá valores da função de distribuição F(x) da distribuição normal padrão aproximada a duas casas decimais.

x F(x) 0,0 0,50 0,5 0,69 1,0 0,84 1,5 0,93 2,0 0,98

A) 0,50

B) 0,31

C) 0,07

D) 0,02




E) 0,16

9. (Analista Técnico da SUSEP/2001/ESAF) O tempo de vida útil de uma pilha é uma variável aleatória com distribuição do tipo contínuo, média de 40 horas e desvio-padrão de 20 horas. Usa-se a pilha até que sua energia se esgote quando é substituída por uma nova. Suponha que se tenha à disposição um estoque de 25 pilhas com tempos de vida com essas características e independentemente distribuídos. Seja ψ(x) a função de distribuição da normal padrão. Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central do Limite para a probabilidade de que com as 25 pilhas se obtenha pelo menos 1.100 horas de uso contínuo.

A) 1-ψ(1)

B) ψ(1)

C) ψ(2)

D) 0,5

E) ψ(2)- ψ(1)

10. (Analista Ministerial-Estatística-MPE-PE/2006/FCC) Seja a média de uma amostra aleatória simples com reposição, de tamanho 64, retirada de uma população Normal com média 200 e variância 400. Usando o fato de que P(Z>1,64) = 0,05, onde Z é a Normal Padrão, o valor de a para que P(| X -μ|≤a) = 0,90 é igual a

A) 6,4

B) 5,2

C) 4,8

D) 4,1

E) 3,6

(Especialista em Regulação de Aviação Civil – ANAC/2009/CESPE/adaptada) Considere que U1, U2 e U3 sejam cópias independentes de uma distribuição uniforme, com média igual a 6 e variância igual a 3. Com base nessas informações, julgue os próximos itens (11 a 14) acerca da soma S = U1 + U2 + U3.

11. A soma S segue uma distribuição uniforme, com média igual a 18 e variância igual a 9.




12. De acordo com o teorema limite central, se μ e σ são, respectivamente, a

média e o desvio padrão de S, então a variável

3

3σ

μ−=

S

Z segue uma

distribuição normal padrão.

13. A média correspondente à variável transformada 63−=

SW é igual a zero,

e a variância igual a 1.

14. O valor esperado de S2 é superior a 300.

(ANPEC/2009/adaptada) Sobre variáveis aleatórias indique se as afirmativas 15 e 16 são corretas ou falsas:

15. Se X possui distribuição Normal com média μ e variância σ2, então Z = aX + b possui distribuição Normal com média aμ e variância (a)2σ2.

16. Se duas variáveis aleatórias X e Y tem covariância nula, então elas são independentes.

(ANPEC/2009/adaptada) Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média μ e variância 1. Defina

as variáveis aleatórias ∑=

−=n

iiXnX

1

1 e ∑=

=n

iiXZ

1

2 . Julgue os itens a seguir.

17. Se R = X1, quando X1>0, P(R≤1) = Φ(1-μ)/(1-Φ(0-μ)), em que Φ(c) é a função distribuição de uma variável aleatória Normal padrão.

18. Z é uma variável aleatória com distribuição χ2 com n graus de liberdade.

19. Xn é uma variável aleatória normalmente distribuída com média nμ e variância n.

20. A variável aleatória

nZ

YW i

i = , em que Yi = (Xi - μ) possui distribuição F

com n1 e n2 graus de liberdade, em que n1 = 1 e n2 = 2n.

21. O gráfico da distribuição t de Student, com 9 graus de liberdade, está representado na figura abaixo. Podemos afirmar que o valor de t1 para o qual a área sombreada à direita de t1 é de 0,05 é:




A) 2,6850

B) 2,2622

C) 1,8331

D) 3,6897

E) 1,2297

22. (IBGE – Estatística/2010/CESGRANRIO) Sejam X1, X2 e X3 variáveis aleatórias independentes, todas com média 100 e variância 100. O valor

esperado e a variância de 4

2 321 XXXZ

+−= são, respectivamente,

A) 100 e 100

B) 100 e 75/2

C) 100 e 25/2

D) 0 e 75/2

E) 0 e 25/2




Questões Extras – Matéria das Aulas Anteriores

23. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Uma pesquisa indica que a distribuição do tempo que os candidatos de um concurso levam para entregar uma prova é aproximadamente normal, com tempo médio de 1,5 horas e desvio padrão de 15 minutos. Sabendo que P(μ<X<μ+2σ)=0,4772 e P(μ-σ<X<μ+σ)=0,6827, o número esperado de candidatos que levam entre 1 e 2 horas para entregar a prova, de um total de 10.000 candidatos, é:

A) 5.228

B) 9.972

C) 9.544

D) 6.827

E) 3.173

24. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Sabendo que a correlação estatisticamente significativa entre o preço de vinho e a quantidade vendida é de -0,70 pode-se dizer que:

A) 70% da variabilidade da quantidade vendida é determinada pelo preço do vinho.

B) Quanto maior o preço de vinho, maior a quantidade vendida.

C) Há uma redução de 30% na quantidade vendida para um aumento de R$1,00 no preço.

D) Da variabilidade total da quantidade vendida, 49% é explicada pelo preço do produto.

E) Para um aumento de R$1,00 no preço do vinho, há uma redução de 0,7 na quantidade vendida.

(AFTE-RS/2009/Fundatec) A tabela a seguir representa a distribuição de frequências da idade de uma amostra de moradores de um asilo. Utilize para resolver as questões 25 e 26.

Xi fi70 |-- 74 7 74 |-- 78 19 78 |-- 82 13 82 |-- 86 11 86 |-- 90 6 90 |-- 94 4

Total 60

25. A idade aproximada da mediana é:




A) 78,22.

B) 80,00.

C) 79,38.

D) 78,55.

E) 79,23.

26. O valor da moda pelo método de King é:

A) 72,8.

B) 76,6.

C) 80,0.

D) 76,0.

E) 19,0.

27. (AFTN/1998/ESAF) O logaritmo neperiano (ln) de um índice de produção Y está associado ao logaritmo neperiano de um índice de insumos Q através da relação linear ln(Y) = α + βln(Q) + e. Para uma amostra de 100 observações envolvendo dados de produção e quantidade, encontraram-se como estimadores de α e β as quantidades 1 e 2, respectivamente. Assinale a opção correta.

A) A variação logarítmica esperada na produção por unidade de variação em Q será de ln(2). B) A variação esperada no logaritmo do produto Y por unidade de variação no logaritmo de Q depende de Q e quando Q=exp(2) vale 4. C) A variação esperada no logaritmo do produto Y por unidade de variação no logaritmo de Q não depende de Q e é constante igual a 2. D) A variação esperada em ln(Y) por unidade de variação em ln(Q) não está definida. E) A variação esperada no logaritmo do produto Y por unidade de variação no logaritmo de Q depende de Q e quando Q=exp(2) vale 5.




28. (AFTM de Campinas/2011/INEC) A tabela abaixo representa uma amostra composta de dez alunos e suas respectivas notas em Estatística e Cálculo.

No do

aluno

Estatística (xi)


ix 2iy

3 9,0 10,0 4 9,5 10,0 6 2,5 3,0 7,5 6,3 9,0 7 7,5 6,5 48,8 56,3 42,3 9 4,0 4,0 16,0 16,0 16,0 10 8,0 6,0 48,0 64,0 36,0 14 3,5 4,0 16 5,5 6,5 23 4,5 4,0 18,0 20,3 16,0 24 6,0 6,0 36,0 36,0 36,0

∑

Dados:

( )( )( ) ( )∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑−−

−=

2222 ...

...

yynxxn

yxyxnr

ii

Pode-se afirmar que a correlação entre as variáveis x e y é, aproximadamente,

A) 0,88

B) 0,90

C) 0,93

D) 0,96

E) 0,98




APÊNDICE

TABELA I

NORMAL: área à direita de Zc

Parte inteira e primeira decimal

de Zc

Segunda decimal de Zc Parte

inteira e primeira decimal

de Zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,49601 0,49202 0,48803 0,48405 0,48006 0,47608 0,47210 0,46812 0,46414 0,0 0,1 0,46017 0,45620 0,45224 0,44828 0,44433 0,44038 0,43644 0,43251 0,42858 0,42465 0,1 0,2 0,42074 0,41683 0,41294 0,40905 0,40517 0,40129 0,39743 0,39358 0,38974 0,38591 0,2 0,3 0,38209 0,37828 0,37448 0,37070 0,36693 0,36317 0,35942 0,35569 0,35197 0,34827 0,3 0,4 0,34458 0,34090 0,33724 0,33360 0,32997 0,32636 0,32276 0,31918 0,31561 0,31207 0,4 0,5 0,30854 0,30503 0,30153 0,29806 0,29460 0,29116 0,28774 0,28434 0,28096 0,27760 0,5 0,6 0,27425 0,27093 0,26763 0,26435 0,26109 0,25785 0,25463 0,25143 0,24825 0,24510 0,6 0,7 0,24196 0,23885 0,23576 0,23270 0,22965 0,22663 0,22363 0,22065 0,21770 0,21476 0,7 0,8 0,21186 0,20897 0,20611 0,20327 0,20045 0,19766 0,19489 0,19215 0,18943 0,18673 0,8 0,9 0,18406 0,18141 0,17879 0,17619 0,17361 0,17106 0,16853 0,16602 0,16354 0,16109 0,9 1,0 0,15866 0,15625 0,15386 0,15151 0,14917 0,14686 0,14457 0,14231 0,14007 0,13786 1,0 1,1 0,13567 0,13350 0,13136 0,12924 0,12714 0,12507 0,12302 0,12100 0,11900 0,11702 1,1 1,2 0,11507 0,11314 0,11123 0,10935 0,10749 0,10565 0,10383 0,10204 0,10027 0,09853 1,2 1,3 0,09680 0,09510 0,09342 0,09176 0,09012 0,08851 0,08691 0,08534 0,08379 0,08226 1,3 1,4 0,08076 0,07927 0,07780 0,07636 0,07493 0,07353 0,07215 0,07078 0,06944 0,06811 1,4 1,5 0,06681 0,06552 0,06426 0,06301 0,06178 0,06057 0,05938 0,05821 0,05705 0,05592 1,5 1,6 0,05480 0,05370 0,05262 0,05155 0,05050 0,04947 0,04846 0,04746 0,04648 0,04551 1,6 1,7 0,04457 0,04363 0,04272 0,04182 0,04093 0,04006 0,03920 0,03836 0,03754 0,03673 1,7 1,8 0,03593 0,03515 0,03438 0,03362 0,03288 0,03216 0,03144 0,03074 0,03005 0,02938 1,8 1,9 0,02872 0,02807 0,02743 0,02680 0,02619 0,02559 0,02500 0,02442 0,02385 0,02330 1,9 2,0 0,02275 0,02222 0,02169 0,02118 0,02068 0,02018 0,01970 0,01923 0,01876 0,01831 2,0 2,1 0,01786 0,01743 0,01700 0,01659 0,01618 0,01578 0,01539 0,01500 0,01463 0,01426 2,1 2,2 0,01390 0,01355 0,01321 0,01287 0,01255 0,01222 0,01191 0,01160 0,01130 0,01101 2,2 2,3 0,01072 0,01044 0,01017 0,00990 0,00964 0,00939 0,00914 0,00889 0,00866 0,00842 2,3 2,4 0,00820 0,00798 0,00776 0,00755 0,00734 0,00714 0,00695 0,00676 0,00657 0,00639 2,4 2,5 0,00621 0,00604 0,00587 0,00570 0,00554 0,00539 0,00523 0,00508 0,00494 0,00480 2,5 2,6 0,00466 0,00453 0,00440 0,00427 0,00415 0,00402 0,00391 0,00379 0,00368 0,00357 2,6 2,7 0,00347 0,00336 0,00326 0,00317 0,00307 0,00298 0,00289 0,00280 0,00272 0,00264 2,7 2,8 0,00256 0,00248 0,00240 0,00233 0,00226 0,00219 0,00212 0,00205 0,00199 0,00193 2,8 2,9 0,00187 0,00181 0,00175 0,00169 0,00164 0,00159 0,00154 0,00149 0,00144 0,00139 2,9 3,0 0,00135 0,00131 0,00126 0,00122 0,00118 0,00114 0,00111 0,00107 0,00104 0,00100 3,0 3,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,00017 3,5 4,0 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 4,0 5,0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 5,0




TABELA II

NORMAL: área de 0 a Zc

Parte inteira e primeira decimal

de Zc

Segunda decimal de Zc Parte

inteira e primeira decimal

de Zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586 0,0 0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535 0,1 0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409 0,2 0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173 0,3 0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793 0,4 0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240 0,5 0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490 0,6 0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524 0,7 0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327 0,8 0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891 0,9 1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214 1,0 1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298 1,1 1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147 1,2 1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41309 0,41466 0,41621 0,41774 1,3 1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189 1,4 1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408 1,5 1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449 1,6 1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327 1,7 1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062 1,8 1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670 1,9 2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169 2,0 2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574 2,1 2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899 2,2 2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158 2,3 2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361 2,4 2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520 2,5 2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643 2,6 2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736 2,7 2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807 2,8 2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861 2,9 3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900 3,0 3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983 3,5 4,0 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 4,0 5,0 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 5,0




TABELA III

QUI-QUADRADO: VALORES Yc tais que P(Y>Yc)=p

GL 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,001

1 0,0000393 0,000157 0,000982 0,00393 0,0158 0,102 0,455 1,323 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 10,83 2 0,0100 0,0201 0,0506 0,103 0,211 0,575 1,386 2,773 4,605 5,991 7,378 9,210 10,60 13,82 3 0,0717 0,115 0,216 0,352 0,584 1,213 2,366 4,108 6,251 7,815 9,348 11,34 12,84 16,27 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,923 3,357 5,385 7,779 9,488 11,14 13,28 14,86 18,47 5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,675 4,351 6,626 9,236 11,07 12,83 15,09 16,75 20,52 6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,455 5,348 7,841 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 22,46 7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 4,255 6,346 9,037 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 24,32 8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 5,071 7,344 10,22 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95 26,12 9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,899 8,343 11,39 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59 27,88 10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,737 9,342 12,55 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 29,59 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 7,584 10,34 13,70 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76 31,26 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 8,438 11,34 14,85 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 32,91 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 9,299 12,34 15,98 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 34,53 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 10,17 13,34 17,12 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 36,12 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 11,04 14,34 18,25 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80 37,70 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,91 15,34 19,37 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 39,25 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,09 12,79 16,34 20,49 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 40,79 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,86 13,68 17,34 21,60 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 42,31 19 6,844 7,633 8,907 10,12 11,65 14,56 18,34 22,72 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 43,82 20 7,434 8,260 9,591 10,85 12,44 15,45 19,34 23,83 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00 45,31 21 8,034 8,897 10,28 11,59 13,24 16,34 20,34 24,93 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 46,80 22 8,643 9,542 10,98 12,34 14,04 17,24 21,34 26,04 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 48,27 23 9,260 10,20 11,69 13,09 14,85 18,14 22,34 27,14 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 49,73 24 9,886 10,86 12,40 13,85 15,66 19,04 23,34 28,24 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 51,18 25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 19,94 24,34 29,34 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93 52,62 26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 20,84 25,34 30,43 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 54,05 27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 21,75 26,34 31,53 36,74 40,11 43,19 46,96 49,64 55,48 28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 22,66 27,34 32,62 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 56,89 29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 23,57 28,34 33,71 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 58,30 30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 24,48 29,34 34,80 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 59,70 40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 33,66 39,34 45,62 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 73,40 50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 42,94 49,33 56,33 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49 86,66 60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 52,29 59,33 66,98 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95 99,61 70 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 61,70 69,33 77,58 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21 112,32 80 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 71,14 79,33 88,13 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32 124,84 90 59,20 61,75 65,65 69,13 73,29 80,62 89,33 98,65 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30 137,21 100 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 90,13 99,33 109,14 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17 149,45

Exemplo: o valor da qui-quadrado com ν=16 graus de liberdade (GL) com área da cauda superior igual a 0,100 (P(Y>yc) = 0,1) é 23,54, ou seja, 54,2316 =

2χ .




TABELA IV (t de Student): valores tc tais que P(-tc < t < tc) = 1-p

GL 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,321 318,309 636,619 2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 22,327 31,599 3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,215 12,924 4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610 5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869 6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959 7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408 8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041 9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781 10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587 11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437 12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318 13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221 14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,140 15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073 16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015 17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965 18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922 19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883 20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850 21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819 22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792 23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,768 24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745 25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725 26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707 27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690 28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674 29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659 30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646 40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551 50 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496 60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460

120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160 3,373 5000 0,675 0,842 1,037 1,282 1,645 1,960 2,327 2,577 2,808 3,092 3,292

Exemplo de uso da tabela t de Student: entrando-se na tabela com a probabilidade p = 0,1 e GL = 7, lemos o valor t7 = 1,895. Logo, P(-1,895<t7<1,895) = 0,9 e P(t7>1,895) = P(t7<-1,895) = 0,1/2= 0,05.




TABELA V

DISTRIBUIÇÃO F: valores fc tais que P(F>fc) = p

GL1 GL2 P(F>) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,100 39,9 49,5 53,6 55,8 57,2 58,2 58,9 59,4 59,9 60,2 0,050 161 199 216 225 230 234 237 239 241 242 0,025 648 799 864 900 922 937 948 957 963 969 0,010 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 0,005 16211 19999 21615 22500 23056 23437 23715 23925 24091 24224 0,001 405284 499999 540379 562500 576405 585937 592873 598144 602284 605621 2 0,100 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 0,050 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,37 19,38 19,40 0,025 38,5 39,0 39,2 39,2 39,3 39,3 39,4 39,4 39,4 39,4 0,010 98,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 0,005 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 0,001 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 3 0,100 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 0,050 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 0,025 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 0,010 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 0,005 55,55 49,80 47,47 46,19 45,39 44,84 44,43 44,13 43,88 43,69 0,001 167,03 148,50 141,11 137,10 134,58 132,85 131,58 130,62 129,86 129,25 4 0,100 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 0,050 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 0,025 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 0,010 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 0,005 31,33 26,28 24,26 23,15 22,46 21,97 21,62 21,35 21,14 20,97 0,001 74,14 61,25 56,18 53,44 51,71 50,53 49,66 49,00 48,47 48,05 5 0,100 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 0,050 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 0,025 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 0,010 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 0,005 22,78 18,31 16,53 15,56 14,94 14,51 14,20 13,96 13,77 13,62 0,001 47,18 37,12 33,20 31,09 29,75 28,83 28,16 27,65 27,24 26,92 6 0,100 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 0,050 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 0,025 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 0,010 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 0,005 18,63 14,54 12,92 12,03 11,46 11,07 10,79 10,57 10,39 10,25 0,001 35,51 27,00 23,70 21,92 20,80 20,03 19,46 19,03 18,69 18,41 7 0,100 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 0,050 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 0,025 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 0,010 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 0,005 16,24 12,40 10,88 10,05 9,52 9,16 8,89 8,68 8,51 8,38 0,001 29,25 21,69 18,77 17,20 16,21 15,52 15,02 14,63 14,33 14,08

Exemplo: entrando-se na tabela com a probabilidade p = 5% =0,050, e GL1 = GL2 = 5, lemos o valor fc = 5,05. Logo, P(F>5,05) = 5% = 0,050.

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[2011] Raciocínio Lógico para Traumatizados - Aula 10