[2011] Raciocínio Lógico para Traumatizados - Aula 14

Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 14 - Questões Comentadas e Resolvidas Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples. Equivalência Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos: Desconto racional simples e desconto comercial simples. Vamos começar a última parte de nosso curso: Matemática Financeira. (Analista de Correios-Contador-Correios-2011-Cespe) Uma promissória no valor de R$ 12.500,00, com vencimento em dois meses, foi descontada em um banco que pratica a taxa de desconto simples por fora de 10% ao mês. 1. Como o detentor da promissória deveria pagar R$ 12.500,00 ao final dos dois meses, é correto afirmar que o banco cobrou do cliente uma taxa de juros compostos mensais superior a 11,5%. Resolução A banca foi específica: Juros Simples Vamos aos conceitos: Juros Simples: no regime de capitalização por juros simples a remuneração recebida incide somente sobre o capital inicial aplicado (C). C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J).

J = C . i . t M = C + J = C + C . i . t = C.(1 + i . t) Descontos Simples: Primeiramente, precisamos entender o que é um desconto. Desconto é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e o valor atual (valor de resgate do título), ou seja, são os juros pagos em virtude de não ter respeitado o prazo de resgate de determinado título.




Outros conceitos importantes: Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor Futuro ou Valor do Título (N): valor do título na data do vencimento. Valor Atual ou Valor Descontado ou Valor do Resgate ou Valor Presente ou Valor Resgatado (AD): valor do título na data do resgate. Desconto Comercial ou por Fora (Dc): O desconto comercial ou por fora corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) Onde, Dc = desconto comercial iD = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal AD = valor atual - Quanto maior o prazo entre a data do vencimento do título e a data do resgate, menor será o valor atual do referido título (maior o desconto). - Quanto menor o prazo entre a data do vencimento do título e a data do resgate, maior será o valor atual do referido título (menor o desconto). Exemplo: Suponha que um cheque de valor nominal R$ 120,00, com prazo de dois meses, foi descontado comercialmente em uma instituição financeira, com taxa mensal simples de 10%. Qual o valor do cheque hoje? Valor Nominal (N) = 120

Taxa de Desconto Comercial (iD) = 10% ao mês = 10

100= 0,10 ao mês

Período (t) = 2 meses AD = N . (1 – iD . t) = 120 x (1 – 0,10 x 2) = 120 x 0,80 = 96 Taxa efetiva ou Taxa Implícita da Operação (ief): corresponde à taxa que deve ser aplicada ao valor atual para obter o valor nominal. ief > iD ⇒ N = AD . (1 + ief . t) No exemplo anterior, teríamos: 120 = 96.(1 + ief x 2) ⇒

⇒ 1 + ief x 2 = 120

96⇒

⇒ 2 x ief = 1,25 ⇒ ⇒ ief = 12,5% ao mês.




Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (Dr): O desconto racional, matemático ou por dentro é o desconto que determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. Dr = N - Ad

N = Ad .(1 + id . t) ⇒ Ad = (1 . )d

N

i t+

Dr = N - (1 . )d

N

i t+=

.(1 . )

(1 . )d

d

N i t N

i t

+ −

+

⇒ Dr = . .

(1 . )d

d

N N i t N

i t

+ −

+⇒

⇒ Dr = . .

(1 . )d

d

N i t

i t+

ou ⇒ Dr = N – Ad = Ad .(1 + id . t) - Ad = Ad + Ad . id . t – Ad = Ad . id . t No caso do desconto racional ou por dentro, a taxa de desconto é igual a taxa efetiva ⇒ id = ief Exemplo: Suponha que um cheque de valor nominal R$ 120,00, com prazo de dois meses, foi descontado racionalmente em uma instituição financeira, com taxa mensal simples de 10%. Qual o valor do cheque hoje? Valor Nominal (N) = 120 Taxa de Desconto Comercial (iD) = 10% ao mês = 10/100 = 0,10 ao mês Período (t) = 2 meses N = Ad . (1 + id . t) ⇒ 120 = Ad x (1 + 0,10 x 2) ⇒

⇒ Ad = 120

1,2 = 100

Atenção! Nas mesmas condições: Desconto Comercial > Desconto Racional




Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto Racional: D (Desconto Comercial) > Dr (desconto racional) Dc = N . i . t

Dr = . .

(1 . )

N i t

i t+ ⇒

⇒ Dr = (1 . )

cD

i t+⇒

⇒ Dc = Dr .(1 + i . t) ⇒

⇒ c

r

D

D = (1 + i . t)

Exemplo: O quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,10, nas mesmas condições de aplicação. Qual será o prazo de antecipação se a taxa de juros simples for de 5% ao mês? Taxa de Juros Simples (i) = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 ao mês

Dc = 1,10 x Dr ⇒ c

r

D

D = (1 + i . t) = 1,10 ⇒

⇒ 1 + 0,05 x t = 1,10 ⇒ ⇒ 0,05 x t = 0,10 ⇒

⇒ t = 0,10

0,05⇒

⇒ t = 2 meses Nota: A fórmula abaixo, para cálculo do valor nominal a partir dos descontos comercial e racional, também pode ser útil na hora da prova:

Dc = N . i . t ⇒ i . t = cD

N (I)

Dr = . .

(1 . )

N i t

i t+(II)




Substituindo (I) em (II):

⇒ Dr = .

(1 )

c

c

DNND

N+

⇒

⇒ Dr =

(1 )

c

c

D

D

N+

⇒

⇒ Dr . (1 + cD

N) = Dc ⇒

⇒ Dr + Dr . cD

N = Dc ⇒

⇒ Dr . cD

N = Dc – Dr ⇒

⇒ N . (Dc – Dr) = Dc . Dr ⇒

⇒ N (Valor Nominal) = .c r

c r

D D

D D−

Exemplo: Determinado título foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, considerando uma determinada taxa de juros simples. Caso fosse utilizado o desconto comercial, o valor a ser descontado seria de R$ 100,00. Caso fosse utilizado o desconto racional, o valor a ser descontado seria de R$ 80,00. Calcule o valor nominal do título.

Repare que aqui você poderia ficar em dúvida, pois não foi fornecida a taxa de juros e nem o valor atual. Mas, não há necessidade. Vejamos: Desconto Comercial (Dc) = R$ 100,00 Desconto Racional (Dr) = R$ 80,00

N (Valor Nominal) = . 100 80 8.000

400100 80 20

c r

c r

D D

D D

×= = =

− −

Vamos à resolução do item. Promissória de Valor Nominal (N) = R$ 12.500,00 Vencimento em dois meses = Período (t) = 2 meses Descontada em um banco Taxa de desconto simples por fora (id) = 10% ao mês (repare que a banca

especificou que o desconto é por fora) = 10

100= 0,10 ao mês




Vamos, inicialmente, calcular o valor recebido pelo cliente do banco ao descontar a promissória (desconto por fora). Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) Onde, Dc = desconto comercial iD = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal AD = valor atual AD = N . (1 – iD . t) ⇒ ⇒ AD = 12.500 x (1 – 0,10 x 2) ⇒

⇒ AD = 12.500 x (1 – 0,20) ⇒ ⇒ AD = 12.500 x 0,80 ⇒ ⇒ AD = 10.000 Repare que, implicitamente, o item quer que calculemos a taxa de juros efetiva da operação. Lembre que no desconto comercial a taxa de desconto comercial é diferente da taxa efetiva. Para calcular a taxa efetiva temos que verificar os juros necessários para, partindo do valor atual de R$ 10.000,00 chegar ao valor nominal de R$ 12.500,00 em dois meses. Logo, teríamos os seguintes dados: Valor Nominal (N) = R$ 12.500,00 Valor Atual (A) = R$ 10.000,00 Período (t) = 2 meses Taxa de Juros Simples Mensal = i% ao mês Adotando a fórmula geral dos juros simples: N = A x (1 + i.n) ⇒ ⇒ 12.500 = 10.000 x (1 + i . 2) ⇒

⇒ 1 + 2 . i = 12.500

10.000⇒

⇒ 1 + 2 . i = 1,25 ⇒ ⇒ 2 . i = 1,25 – 1 ⇒ ⇒ 2 . i = 0,25 ⇒

⇒ i = 0,25

2 ⇒

⇒ i = 0,125 = 12,5% ao mês > 11,5% ao mês GABARITO: Certo




2. O detentor da promissória recebeu do banco menos de R$ 9.980,00. Resolução Calculamos, no item anterior, que o valor recebido (valor atual) pela promissória descontada no banco foi de R$ 10.000,00, que é maior que R$ 9.980,00. GABARITO: Errado 3.(Contador Junior-Auditoria Interna-Transpetro-2011-Cesgranrio) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de (A) 68.085,10 (B) 66.000,00 (C) 65.000,00 (D) 64.555,12 (E) 63.656,98 Resolução Juros Simples: no regime de capitalização por juros simples a remuneração recebida incide somente sobre o capital inicial aplicado (C). C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J).

J = C . i . t M = C + J = C + C . i . t = C.(1 + i . t) Montante (M) = R$ 80.000,00 Período (n) = 5 meses Taxa de juros simples (i) = 3,5% ao mês = 0,035 ao mês M = C x (1 + i.n) ⇒ ⇒ 80.000 = C x (1 + 0,035 x 5) ⇒ ⇒ 80.000 = C x (1 + 0,175) ⇒ ⇒ 80.000 = C x 1,175 ⇒

⇒ C = 80.000

1,175⇒

⇒ C = R$ 68.085,10 GABARITO: A




4.(Contador Junior-Auditoria Interna-Transpetro-2011-Cesgranrio) Uma empresa obteve um desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes condições: • Prazo do título 2 meses • Taxa de desconto simples cobrada pelo banco 2,5% ao mês Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de (A) 11.660,00 (B) 11.460,00 (C) 11.400,00 (D) 11.200,00 (E) 11.145,00 Resolução Juros Simples No regime de capitalização por juros simples a remuneração recebida incide somente sobre o capital inicial aplicado (C). C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J).

J = C . i . t M = C + J = C + C . i . t = C.(1 + i . t) Repare que a questão não especificou se o desconto era por fora ou por dentro. Como nada foi dito, deve ser utilizado o desconto por fora, que é normalmente utilizado no desconto de duplicatas e notas promissórias. Desconto Comercial ou por Fora (utilizado no desconto de duplicatas): O desconto comercial ou por fora corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) Onde, Dc = desconto comercial iD = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal AD = valor atual




Vamos resolver a questão: Desconto de três duplicatas = Valor Nominal (N) = R$ 12.000,00 Prazo (t) = 2 meses Taxa de Desconto Simples (i) = 2,5% ao mês = 0,025 ao mês AD = N . (1 – i . t) ⇒ ⇒ AD = 12.000 x (1 – 0,025 x 2) ⇒ ⇒ AD = 12.000 x (1 – 0,05) ⇒ ⇒ AD = 12.000 x 0,95 ⇒ ⇒ AD = R$ 11.400,00 GABARITO: C 5.(Analista-Contabilidade-Finep-2011-Cesgranrio) Uma aplicação de R$ 23.390,00 resultou, em quatro meses, no montante de R$ 26.383,92. A taxa mensal de juros simples que permitiu esse resultado foi (A) 4,14% (B) 3,20% (C) 3,18% (D) 3,10% (E) 2,88% Resolução Aplicação (A) = R$ 23.390,00 Montante (M) = R$ 26.383,92 Período (n) = 4 meses Taxa de juros simples = i M = A x (1 + i.n) ⇒ ⇒ 26.383,92 = 23.390 x (1 + i.4) ⇒

⇒ 1 + 4.i = 26.383,92

23.390⇒

⇒ 1 + 4.i = 1,128 ⇒ ⇒ 4.i = 1,128 – 1 ⇒ ⇒ 4.i = 0,128 ⇒

⇒ i = 0,128

4⇒

⇒ i = 0,032 = 3,20% ao mês GABARITO: B




6.(Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Energia-Área 3-Aneel-2010-Cespe) Considerando que um capital seja investido à taxa de 10% ao ano, no regime de capitalização simples, o tempo em que o capital dobrará de valor é superior a 11 anos. Resolução Capital Investido = C

Taxa de Juros = 10% ao ano = 10

100= 0,10 ao ano

Para resolver o item, vamos determinar o tempo que o capital dobrará, considerando um regime de capitalização simples (juros simples). Portanto, se o capital investido é igual a C, o montante (dobro do capital investido) será igual a 2.C. Montante (M) = 2.C Período = n M = C x (1 + i.n) ⇒ ⇒ 2.C = C x (1 + 0,10.n) ⇒

⇒ 1 + 0,10.n = 2.C

C ⇒

⇒ 1 + 0,10.n = 2 ⇒ ⇒ 0,10.n = 2 – 1 ⇒ ⇒ 0,10.n = 1 ⇒

⇒ n = 1

0,10 ⇒

⇒ n = 10 anos (que é inferior a 11 anos) GABARITO: Errado (Contador-FUB-2010-Cespe) Com relação ao regime de juros simples, julgue os itens a seguir. 7. Uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 1,2% ao mês, durante 24 dias, rende juros de R$ 10,00. Resolução Juros Simples No regime de capitalização por juros simples a remuneração recebida incide somente sobre o capital inicial aplicado (C). C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação




M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J).

J = C . i . t M = C + J = C + C . i . t = C.(1 + i . t) Dados do item: Capital Aplicado (C) = R$ 1.000,00

Taxa de juros (i) = 1,2% ao mês = 1,2

100= 0,012 ao mês

Período (n) = 24 dias Há que se ressaltar que a taxa de juros e período devem estar relacionados ao mesmo intervalo de tempo. Portanto, se a taxa de juros é mensal (“ao mês”), o período também deve aparecer na fórmula com seu valor em relação ao mês. Outra possibilidade, como o período está “em dias”, seria colocar a taxa de juros diária na fórmula. O importante é que as duas grandezas (período e taxa de juros) estejam referenciadas ao mesmo intervalo de tempo. Vamos, então, passar o período para “mensal” fazendo uma regra de três simples (quando nada for dito, considere o mês comercial, de 30 dias): 30 dias ==� 1 mês 24 dias ==� Período (calculado em relação ao mês) 30 x Período = 24 x 1 ⇒

⇒ Período = 24

30 ⇒

Dividindo o numerador e o denominador por 6:

⇒ Período (n) = 4

5 = 0,8 mês

Cálculo dos juros: J = C . i . n ⇒ ⇒ J = 1.000 x 0,012 x 0,8 ⇒ ⇒ J = 12 x 0,8 ⇒ ⇒ J = 9,6 Portanto, uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 1,2% ao mês, durante 24 dias, rende juros de R$ 9,60. GABARITO: Errado




8. Um capital de R$ 10.000,00 aplicado durante três períodos sucessivos, à taxa de 15% ao período, gerará um juro final igual à metade desse capital. Resolução Capital Aplicado (C) = R$ 10.000,00

Taxa de juros (i) = 15% ao período = 15

100= 0,15 ao período

Período (n) = 3 períodos Repare que a taxa de juros e o período já estão referenciados ao mesmo intervalo de tempo, que, no caso, foi definido genericamente como “período”. Cálculo dos juros: J = C . i . n ⇒ ⇒ J = 10.000 x 0,15 x 3 ⇒ ⇒ J = 10.000 x 0,45 ⇒ ⇒ J = 4.500 Portanto, o juro final é de R$ 4.500,00, que é menor que a metade do

capital aplicado ($10.000,00

2

R = R$ 5.000,00).

GABARITO: Errado 9.(Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%. Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor. Nessa situação, sabendo-se que o regime de juros foi o simples, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ 9.000,00. Resolução Vamos interpretar o item: I - Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%. Portanto, inicialmente (vamos considerar no “momento 0”), houve uma aplicação de R$ 500,00, que rende juros mensais de 10%.




Representando em uma linha do tempo, teríamos: II - Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor. Portanto, nos 11 meses seguintes, sempre no mesmo dia do mês, o indivíduo aplicava o mesmo valor. Representando em uma linha do tempo, teríamos: III - Nessa situação, sabendo-se que o regime de juros foi o simples, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ 9.000,00. O item define que é juros simples e que o investidor não nenhuma retirada no período e deseja saber o montante acumulado no dia da última aplicação. Repare que o valor aplicado no momento “0” renderá durante 11 meses. Basta conta o número de intervalos de tempo entre “0” e “11”, da seguinte forma: Entre “0” e “1” = 1 intervalo de tempo Entre “1” e “2” = 1 intervalo de tempo Entre “2” e “3” = 1 intervalo de tempo Entre “3” e “4” = 1 intervalo de tempo Entre “4” e “5” = 1 intervalo de tempo Entre “5” e “6” = 1 intervalo de tempo Entre “6” e “7” = 1 intervalo de tempo Entre “7” e “8” = 1 intervalo de tempo Entre “8” e “9” = 1 intervalo de tempo Entre “9” e “10” = 1 intervalo de tempo Entre “10” e “11” = 1 intervalo de tempo Total = 11 intervalos de tempo

500

0

500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11




Seguindo o mesmo raciocínio: - o valor aplicado no momento “1” renderá durante 10 meses; - o valor aplicado no momento “2” renderá durante 9 meses; - o valor aplicado no momento “3” renderá durante 8 meses; - o valor aplicado no momento “4” renderá durante 7 meses; - o valor aplicado no momento “5” renderá durante 6 meses; - o valor aplicado no momento “6” renderá durante 5 meses; - o valor aplicado no momento “7” renderá durante 4 meses; - o valor aplicado no momento “8” renderá durante 3 meses; - o valor aplicado no momento “9” renderá durante 2 meses; - o valor aplicado no momento “10” renderá durante 1 meses; Portanto, para calcular o montante no momento da última aplicação, teríamos: I – Cálculo do montante relacionado à aplicação de R$ 500,00 no momento “0”: Capital Aplicado (C0) = R$ 500,00

Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 10

100= 0,10 ao mês

Período (n0) = 11 meses M0 = C0 . (1 + i . n0) ⇒ ⇒ M0 = 500 . (1 + 0,10 x 11) ⇒ ⇒ M0 = 500 . (1 + 1,1) ⇒ ⇒ M0 = 500 . 2,1 ⇒ ⇒ M0 = 1.050 II – Cálculo do montante relacionado à aplicação de R$ 500,00 no momento “1”: Capital Aplicado (C1) = R$ 500,00


100= 0,10 ao mês

Período (n1) = 10 meses M1 = C1 . (1 + i . n1) ⇒ ⇒ M1 = 500 . (1 + 0,10 x 10) ⇒ ⇒ M1 = 500 . (1 + 1) ⇒ ⇒ M1 = 500 . 2,0 ⇒ ⇒ M1 = 1.000




III – Cálculo do montante relacionado à aplicação de R$ 500,00 no momento “2”: Capital Aplicado (C2) = R$ 500,00


100= 0,10 ao mês

Período (n2) = 9 meses M2 = C2 . (1 + i . n1) ⇒ ⇒ M2 = 500 . (1 + 0,10 x 9) ⇒ ⇒ M2 = 500 . (1 + 0,90) ⇒ ⇒ M2 = 500 . 1,9 ⇒ ⇒ M2 = 950 Já dá para perceber que os montantes formam uma progressão aritmética (PA) de razão -50. Portanto, teríamos os seguintes montantes: M0 = 1.050 M1 = 1.000 M2 = 950 M3 = 900 M4 = 850 M5 = 800 M6 = 750 M7 = 700 M8 = 650 M9 = 600 M10 = 550 M11 = 500 (não há rendimento, pois foi aplicado no momento final) Basta somar todos os montantes para obter o montante total: Montante Total = 1.050 + 1.000 + 950 + 900 + 850 + 800 + 750 + 700 + 650 + 600 + 550 + 500 = 9.300 Uma maneira mais “elegante” (risos) de resolver o item seria utilizar a soma dos termos da progressão aritmética (PA). Verificamos que os montantes parciais correspondem ao uma PA, certo?

A soma dos termos da PA é: Soma = 1

2na an

+i

Onde, a1 = primeiro termo da PA an = último termo da PA n = número de termos da PA




No nosso caso concreto, temos: Primeiro Termo da PA = M0 = 1.050 Último Termo da PA = M11 = 500 Total de Termos da PA = n = 12 (do termo “0” ao termo “11”)

Soma dos Termos = Montante Total = 0 11

2

M Mn

+i ⇒

⇒ Montante Total = 1.050 500

122

+i ⇒

⇒ Montante Total = 1.550

122i ⇒

⇒ Montante Total = 1.550 x 6 ⇒ ⇒ Montante Total = 9.300 (que corresponde a mais de R$ 9.000,00) GABARITO: Certo 10.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade–Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Considere que, para comprar uma televisão no valor de R$ 875,00, João aplicou R$ 800,00 em um fundo de renda fixa, cujos juros simples são de 15% ao ano. Considere, ainda, que João não tenha realizado nenhuma outra aplicação e que não tenha havido mudanças no preço da televisão. Nessa situação, para que João obtenha recursos suficientes para comprar essa televisão, o menor período que o dinheiro deve ser aplicado será de A 75% de um ano. B 7 meses e meio. C 6 meses. D 5 meses e meio. E 3 meses Resolução Vamos interpretar a questão: I - Considere que, para comprar uma televisão no valor de R$ 875,00, João aplicou R$ 800,00 em um fundo de renda fixa, cujos juros simples são de 15% ao ano. Portanto, temos que, inicialmente, João aplicou R$ 800,00 em um fundo de renda fixa, a juros simples de 15% ao ano. O objetivo de João é obter um montante de R$ 875,00 para poder comprar a televisão.




II - Considere, ainda, que João não tenha realizado nenhuma outra aplicação e que não tenha havido mudanças no preço da televisão. Nessa situação, para que João obtenha recursos suficientes para comprar essa televisão, o menor período que o dinheiro deve ser aplicado será de... Não houve mais nenhuma outra aplicação e o preço da televisão também não sofreu alteração. Precisamos calcular qual será o tempo necessário para que João consiga obter o montante de R$ 875,00 (preço da televisão). Capital Aplicado (C) = R$ 800,00

Taxa de Juros (i) = 15% ao ano = 15

100= 0,15 ao ano

Montante (M) = R$ 875,00 Período = n Sabemos que o resultado da diferença entre o montante e o capital aplicado são os juros da operação. Como João quer obter R$ 875,00 a partir de um capital aplicado de R$ 800,00, os juros serão de: Juros = Montante – Capital Aplicado ⇒ ⇒ Juros = 875 – 800 ⇒ ⇒ Juros = 75 Além disso, sabemos que os juros são obtidos da seguinte maneira: Juros = C . i . n ⇒ ⇒ 75 = 800 . 0,15 . n ⇒ ⇒ 75 = 120 . n ⇒

⇒ n = 75

120⇒

⇒ n = 0,625 ano Lembre que a taxa de juros está referenciada ao ano. Portanto, o período obtido também estará. Como não temos resposta nas alternativas com ano, temos que fazer uma regra de três simples para obter o período em meses: 12 meses ==� 1 ano Período em Meses ==� 0,625 ano Período em Meses x 1 = 12 x 0,625 ⇒ ⇒ Período em Meses = 7,5 meses (7 meses e meio) GABARITO: B




11.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade–Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Considere que um consumidor tenha contratado empréstimo de R$ 1.000,00, por 6 meses, no regime de juros simples. Considere, ainda, que o contrato preveja capitalização mensal, taxa de juros de 2% ao mês e que tanto o juro quanto o principal só sejam pagos ao fim do contrato. Nessa situação, o consumidor pagará, de juros, a quantia de A R$ 120,00. B R$ 150,00. C R$ 200,00. D R$ 220,00. E R$ 600,00. Resolução Vamos interpretar a questão: I - Considere que um consumidor tenha contratado empréstimo de R$ 1.000,00, por 6 meses, no regime de juros simples. Portanto, temos que um consumidor contratou um empréstimo de R$ 1.000,00, por 6 meses, a juros simples. Empréstimo (E) = R$ 1.000,00 Período (n) = 6 meses II - Considere, ainda, que o contrato preveja capitalização mensal, taxa de juros de 2% ao mês e que tanto o juro quanto o principal só sejam pagos ao fim do contrato. Nessa situação, o consumidor pagará, de juros, a quantia de... A taxa de juros simples é de 2% ao mês e os valores do empréstimo (principal) e dos juros somente serão pagos ao final do contrato. Taxa de Juros (i) = 2% ao mês Portanto, temos os seguintes dados para calcular os juros: Empréstimo (E) = R$ 1.000,00 Período (n) = 6 meses


100 = 0,02 ao mês

Juros = C . i . n ⇒ ⇒ Juros = 1.000 . 0,02 . 6 ⇒ ⇒ Juros = 1.000 . 0,12 ⇒ ⇒ Juros = 120 GABARITO: A




12.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade–Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Considerando-se que uma dívida de valor nominal de R$ 10.000,00 deva ser paga 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto racional simples de 30% ao ano, é correto afirmar que o desconto racional obtido será A inferior a R$ 800. B superior a R$ 800 e inferior a R$ 860. C superior a R$ 860 e inferior a R$ 920. D superior a R$ 920 e inferior a R$ 980. E superior a R$ 980. Resolução Vamos interpretar a questão: I - Considerando-se que uma dívida de valor nominal de R$ 10.000,00 deva ser paga 4 meses antes de seu vencimento,... Portanto, temos um dívida de valor nominal de R$ 10.000,00 que será paga 4 meses antes de seu vencimento. Valor Nominal da Dívida (N) = R$ 10.000,00 Período (t) = 4 meses II - ...a uma taxa de desconto racional simples de 30% ao ano, é correto afirmar que o desconto racional obtido será... Para o pagamento da dívida antes do prazo, foi utilizado um desconto racional simples a uma taxa de 30% ao ano. Taxa de Juros (i) = 30% ao ano Como o período está em meses, vamos passar a taxa de juros para período mensal também: 30% ==� 1 ano = 12 meses Taxa de Juros Mensal ==� 1 mês Taxa de Juros Mensal x 12 = 30% x 1 ⇒

⇒ Taxa de Juros Mensal = 30%

12 = 2,5% ao mês =

2,5

100 = 0,025 ao mês




Finalmente, vamos relembrar o conceito de desconto racional: Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (Dr): O desconto racional, matemático ou por dentro é o desconto que determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. Dr = N - Ad

N = Ad .(1 + id . t) ⇒ Ad = (1 . )d

N

i t+

Voltando à questão, vamos calcular o valor a ser pago com desconto: Valor Nominal da Dívida (N) = R$ 10.000,00 Período (t) = 4 meses Taxa de Juros Mensal (id) = 0,025 ao mês

Ad = (1 . )d

N

i t+ ⇒

⇒ Ad = 10.000

(1 0,025 4)+ ×⇒

⇒ Ad = 10.000

(1 0,1)+⇒

⇒ Ad = 10.000

1,1⇒

⇒ Ad = 9.090,91 Portanto, o desconto racional será de: Dr = N – Ad ⇒ ⇒ Dr = 10.000 – 9.090,91 ⇒ ⇒ Dr = 909,09 GABARITO: C (Polícia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que um investidor tenha aplicado R$ 12.000,00 a juros simples mensais e, ao final de um ano, tenha obtido o montante de R$ 19.200,00, julgue os itens que se seguem. 13. O montante dessa aplicação ao final de um semestre foi inferior a R$ 15.000,00.




Resolução Com as informações dadas no enunciado para a resolução dos itens, vamos calcular a taxa de juros simples: Capital Aplicado (C) = R$ 12.000,00 Taxa de Juros Simples Mensal = i Período = 12 meses (repare que o enunciado fala em “ao final de um ano”) Montante (M) = R$ 19.200,00 M = C . (1 + i . n) ⇒ ⇒ 19.200 = 12.000 . (1 + i . 12) ⇒

⇒ 1 + i . 12 = 19.200

12.000⇒

⇒ 1 + i . 12 = 1,6 ⇒ ⇒ i . 12 = 1,6 – 1 ⇒ ⇒ 12 . i = 0,6 ⇒

⇒ i = 0,6

12 ⇒

⇒ i = 0,05 ao mês = 5% ao mês Voltando ao item, se considerarmos essa taxa de juros obtida, qual seria o montante obtido ao final de seis meses (um semestre): Capital Aplicado (C) = R$ 12.000,00 Taxa de Juros Simples (i) = 0,05 ao mês Período = 6 meses Montante = M M = C . (1 + i . n) ⇒ ⇒ M = 12.000 . (1 + 0,05 . 6) ⇒ ⇒ M = 12.000 . (1 + 0,3) ⇒ ⇒ M = 12.000 . 1,3 ⇒ ⇒ M = 15.600 Portanto, o montante dessa aplicação ao final de um semestre foi superior a R$ 15.000,00. GABARITO: Errado 14. A taxa mensal de juros dessa aplicação foi superior a 4,5%. Resolução Calculado no item anterior: ⇒ i = 0,05 ao mês = 5% ao mês Portanto, a taxa mensal de juros dessa aplicação foi superior a 4,5%. GABARITO: Certo




15.(Fiscal de Rendas-ISS/RJ-2010-Esaf) Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 22.500,00 b) R$ 25.000,00 c) R$ 17.500,00 d) R$ 20.000,00 e) R$ 27.500,00 Resolução Repare que a questão definiu: Desconto simples por fora. Vamos relembrar: Desconto Comercial ou por Fora (Dc): O desconto comercial ou por fora corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) Onde, Dc = desconto comercial iD = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal AD = valor atual Dc = R$ 2.500,00 Período (t) = 4 meses

Taxa de Desconto Comercial (iD) = 2,5% ao mês = 2,5

100 = 0,025 ao mês

Cálculo do valor nominal do título: Dc = N . iD . t ⇒ ⇒ 2.500 = N . 0,025 . 4 ⇒ ⇒ 2.500 = N . 0,1 ⇒

⇒ N = 2.500

0,1 ⇒

⇒ N = 25.000 GABARITO: B




16.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf-Adaptada) Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês? a) R$ 2.115,00 b) R$ 2.092,00 c) R$ 2.090,00 d) R$ 2.105,00 e) R$ 2.135,00 Resolução Dívida (D) = R$ 2.000,00 Período (n) = 4 meses e meio = 4,5 meses

Taxa de Juros Simples (i) = 1,5% ao mês = 1,5

100= 0,015 ao mês

Cálculo do montante da dívida após quatro meses e meio: M = D . (1 + i . n) ⇒ ⇒ M = 2.000 x (1 + 0,015 x 4,5) ⇒ ⇒ M = 2.000 x (1 + 0,0675) ⇒ ⇒ M = 2.000 x 1,0675 ⇒ ⇒ M = 2.135 GABARITO: E 17.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Um investidor fez uma aplicação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano. O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, no início, a 83,2, no fim do prazo. Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título nesse prazo? a) 8,5% b) 7,7% c) 8% d) 7,844% e) 8,68% Resolução Vamos interpretar a questão: I - Um investidor fez uma aplicação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano.




Portanto, temos uma aplicação por um período de três meses e uma taxa de juros simples de 18% ao ano. Capital Aplicado = C Período (n) = 3 meses Taxa de Juros Simples (i) = 18% ao ano A taxa de juros mensal equivalente seria: 18% ==� 1 ano = 12 meses Taxa de Juros Mensal ==� 1 mês Taxa de Juros Mensal x 12 = 18% x 1 ⇒

⇒ Taxa de Juros Mensal = 18%

12 ⇒

⇒ Taxa de Juros Mensal = 1,5% ao mês = 0,015 ao mês Como a aplicação foi por três meses, o rendimento seria: Rendimento da Aplicação = 0,015 x 3 meses = 0,045 ou 4,5% II - O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, no início, a 83,2, no fim do prazo. De acordo com a questão, houve uma correção do montante aplicado e o índice passou de 80 para 83,2. Portanto, o índice de correção, em percentual, foi de:

Índice de Correção = 83,2 80 3,2

80 80

−= = 0,04 = 4%

III - Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título nesse prazo? A rentabilidade total será o resultado da multiplicação do rendimento da aplicação pelo índice de correção: Rentabilidade Total = (1 + Rendimento) . (1 + Correção) – 1 ⇒ ⇒ Rentabilidade Total = (1 + 0,045) x (1 + 0,04) – 1 ⇒ ⇒ Rentabilidade Total = 1,045 x 1,04 – 1 ⇒ ⇒ Rentabilidade Total = 1,0868 – 1 ⇒ ⇒ Rentabilidade Total = 0,0868 = 8,68% GABARITO: E




18.(AFT-Esaf-2010) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 60.000,00. b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,00. d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00. Resolução Desconto Racional ou por Dentro: Dr = N - Ad

N = Ad .(1 + id . t) Valor Atual = Ad Desconto Racional (Dr) = R$ 10.000,00 Período (t) = 5 meses Taxa de Juros (i) = 4% ao mês Dr = 10.000 = N – Ad (I) N = Ad x (1 - 5 x 0,04) ⇒

⇒ Ad = 1,20

N(II)

Substituindo (II) em (I):

10.000 = N – 1,20

N⇒

⇒10.000 = 1,20.

1,20

N N− ⇒

⇒ 10.000 = 0,20.

1,20

N⇒ (dividindo o numerador e o denominador por 0,20)

⇒10.000 = 6

N⇒

⇒ N = 6 x 10.000 ⇒ ⇒ N = 60.000 GABARITO: A




19.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Raul pretende comprar um microcomputador em uma loja em que o preço de tabela é R$ 2 000,00. O vendedor lhe fez duas propostas de pagamento: uma, à vista, com desconto de X% sobre o preço de tabela; outra, em duas parcelas de R$ 1 000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda 1 mês após a compra. Mesmo dispondo do dinheiro para a compra à vista, Raul pensou na opção da compra a prazo, que lhe permitiria aplicar a diferença entre o preço à vista e o valor da primeira parcela, a uma taxa de 10% ao mês. Nessas condições, o menor número inteiro X, que tornaria a proposta de compra à vista mais vantajosa, é (A) 5 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 Resolução Repare que nesta questão não houve definição se a taxa de juros é simples ou composta. Contudo, o regime de capitalização não influenciará no resultado da questão, tendo em vista que o período em análise é de apenas 1 mês (uma parcela à vista e outra 30 dias após). Veja: Juros Simples: M = C . (1 + i . t) Juros Compostos: M = C . (1 + i)t Onde, M = Montante C = Capital Aplicado i = Taxa de juros t = Período Se o período é igual a 1, temos: Juros Simples: M = C . (1 + i . 1) = C . (1 + i) Juros Compostos: M = C . (1 + i)1 = C . (1 + i) Portanto, as equações serão iguais independentemente do regime de capitalização. Resumindo, se o período informado for unitário em relação à taxa de juros, os valores dos cálculos utilizando juros compostos ou juros simples serão iguais. Exemplos: Taxa de Juros = X% ao mês e Período = 1 mês Taxa de Juros = X% ao trimestre e Período = 1 trimestre Taxa de Juros = X% ao ano e Período = 1 ano




Vamos à resolução da questão: Microcomputador = R$ 2.000,00 Duas Propostas: I – à vista, com X% de desconto sobre o preço de tabela. II – duas parcelas de R$ 1.000,00 (uma à vista e outra 1 mês após a compra). Raul dispõe do dinheiro para comprar à vista. Se for adotada a opção a prazo, Raul poderá aplicar os R$ 1.000,00 da segunda parcela, durante o mês, a uma taxa de 10% ao mês. A questão pede o valor do menor desconto X de modo que a proposta de compra à vista seja mais vantajosa. Vamos fazer a “linha do tempo” para visualizar melhor a questão: Na opção a prazo, Raul paga R$ 1.000,00 no ato e os outros R$ 1.000,00 serão aplicados a uma taxa de 10% ao mês. Deste modo teríamos: Parcela 1 = R$ 1.000,00 Parcela 2 = R$ 1.000,00 Na aplicação de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês, no momento 1 teríamos: Capital Aplicado (C) = R$ 1.000,00


100ao mês = 0,10 ao mês

Período (t) = 1 mês Montante (M) = ? M = C . (1 + i.t) ⇒ ⇒ M = 1.000 x (1 + 0,10 x 1) ⇒ ⇒ M = 1.000 x 1,10 ⇒ ⇒ M = 1.100

PV

0 1

Parcela 1 Parcela 2




Ou seja, no momento 1, Raul pagaria os R$ 1.000,00 e ainda sobraria R$ 100,00 (rendimento da aplicação). Com isso, para o pagamento à vista ser mais vantajoso, o desconto deve ser maior que R$ 100,00 (valor que sobrou na opção do parcelamento em duas vezes). Preço à Vista (PV) = Preço de Tabela – Desconto à Vista Desconto à Vista = X% x Preço de Tabela ⇒ ⇒ Desconto à Vista = X% x 2.000 Para que o desconto à vista seja maior que R$ 100,00, teríamos: Desconto à Vista = X% x 2.000 > 100 ⇒

⇒ X% > 100

2.000⇒

⇒ X% > 0,05 ⇒ ⇒ X% > 5% GABARITO: A 20.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$ 14.000,00 no final do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalização, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor do montante, no final do ano, seria de (A) R$ 15.000,00. (B) R$ 15.500,00. (C) R$ 16.000,00. (D) R$ 17.360,00. (E) R$ 18.000,00. Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M = C . (1 + i . n) I – Cálculo do Capital Aplicado: Capital Aplicado = C Período (n) = 8 meses

Taxa de Juros Simples (i) = 1,5% ao mês = 1,5


Montante (M) = R$ 14.000,00




M = C . (1 + i . n) ⇒ ⇒ 14.000 = C x (1 + 0,015 x 8) ⇒ ⇒ 14.000 = C x (1 + 0,12) ⇒ ⇒ 14.000 = C x 1,12 ⇒

⇒ C = 14.000

1,12⇒

⇒ C = R$ 12.500,00 II – Cálculo do Montante utilizando o mesmo capital aplicado na segunda aplicação: Capital Aplicado (C) = R$ 12.500,00 Período (n) = 1 ano = 12 meses

Taxa de Juros Simples (i) = 2% ao mês = 2

100 ao mês = 0,02 ao mês

Montante = M M = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ M = 12.500 x (1 + 0,02 x 12) ⇒ ⇒ M = 12.500 x (1 + 0,24) ⇒ ⇒ M = 12.500 x 1,24 ⇒ ⇒ M = R$ 15.500,00 GABARITO: B 21.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira: Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples, apresentando um valor atual de R$ 21.000,00. Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a (A) R$ 1.260,00. (B) R$ 1.268,80. (C) R$ 1.272,60. (D) R$ 1.276,40. (E) R$ 1.278,90.




Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . n) Além disso, deve-se adotar a convenção do mês comercial, ou seja, todos os meses terão 30 dias e o ano terá 360 dias. Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples, apresentando um valor atual de R$ 21.000,00. Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (Dr): O desconto racional, matemático ou por dentro é o desconto que determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. Dr = N - Ad

N = Ad .(1 + id . t) ⇒ Ad = (1 . )d

N

i t+

Dr = . .

(1 . )d

d

N i t

i t+

Taxa de Desconto (id) = 2% mês = 2


Valor Atual (Ad) = R$ 21.000,00 Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias ===� 1 mês 45 dias ===� Período (t) 45 x 1 = 30 x Período (t) ⇒

⇒ Período (n) = 45

30 ⇒

⇒ Período = 1,5 mês Cálculo do Desconto Racional: Valor Nominal (N) = Ad .(1 + id . t) = 21.000 x (1 + 0,02 x 1,5) ⇒ ⇒ Valor Nominal (N) = 21.000 x (1 + 0,03) ⇒ ⇒ Valor Nominal (N) = 21.000 x 1,03 ⇒ ⇒ Valor Nominal (N) = R$ 21.630,00




Dr = N – Ad ⇒ ⇒ Dr = 21.630 – 21.000 ⇒ ⇒ Dr = R$ 630,00 A questão informa que os valores nominais dos dois títulos são iguais. Portanto, para os cálculos do segundo título, precisaremos do valor nominal calculado acima. Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Desconto Comercial ou por Fora (Dc): O desconto comercial ou por fora corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) Onde, Dc = desconto comercial iD = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal AD = valor atual Valor Nominal (N) = R$ 21.630,00

Taxa de Desconto (id) = 1,5% mês = 1,5

100 ao mês = 0,015 ao mês


⇒ Período (t) = 60

30⇒

⇒ Período = 2 meses Cálculo do Desconto Comercial: Dc = N . iD . t ⇒ ⇒ Dc = 21.630 x 0,015 x 2 ⇒ ⇒ Dc = 21.630 x 0,03 ⇒ ⇒ DC = R$ 648,90




A questão pede a soma dos valores dos descontos: Dr + DC = 630 + 648,90 = R$ 1.278,90 GABARITO: E 22.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma pessoa aplica, na data de hoje, os seguintes capitais: I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 18 meses. II. R$ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durante um ano. O valor do montante verificado no item II supera em R$ 865,00 o valor do montante verificado no item I. A taxa de juros simples anual referente ao item I é igual a (A) 21%. (B) 15%. (C) 18%. (D) 27%. (E) 24%. Resolução Repare que a questão trata de juros simples e de juros compostos (que serão vistos na próxima aula). Contudo, preferi resolvê-la nesta aula para que você também já vá se acostumando com o procedimento de cálculo dos juros compostos. Primeira informação importante: montante verificado no item II supera em R$ 865,00 o valor do montante verificado no item I. Montante (Juros Compostos) – Montante (Juros Simples) = R$ 865,00 Vamos começar pelo II: II. R$ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durante um ano. Juros Compostos: M = C . (1 + i)t

Montante (Juros Compostos) = MJC

Capital Aplicado (C) = R$ 10.000,00

Taxa de Juros Compostos (ic) = 5% ao semestre = 5

100 ao semestre

Taxa de Juros Compostos (ic) = 0,05 ao semestre Período (t) = 1 ano = 2 semestres




MJC = C . (1 + i)t ⇒ ⇒ MJC = 10.000 x (1 + 0,05)2 ⇒ ⇒ MJC = 10.000 x (1,05)2 ⇒ ⇒ MJC = 10.000 x 1,1025 ⇒ ⇒ MJC = R$ 11.025,00 Montante (Juros Compostos) – Montante (Juros Simples) = R$ 865,00 ⇒ ⇒ 11.025 – MJS = 865 ⇒ ⇒ 11.025 - 865 = MJS ⇒ ⇒ MJS = R$ 10.160,00 I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 18 meses. Juros Simples: M = C . (1 + i . t) Montante (Juros Simples) = R$ 10.160,00 Capital Aplicado (C) = R$ 8.000,00 Taxa de Juros Simples = is Período (t) = 18 meses MJS = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ 10.160 = 8.000 x (1 + is x 18) ⇒

⇒ 1 + is x 18 = 10.160

8.000 ⇒

⇒ 1 + is x 18 = 1,27 ⇒ ⇒ is x 18 = 1,27 – 1 ⇒ ⇒ is x 18 = 0,27 ⇒

⇒ is = 0,27

18⇒

⇒ is = 0,015 ⇒

⇒ is = 1,5

100 ⇒

⇒ is= 1,5% ao mês Como a questão pede a taxa anual: is (anual) = 1,5% ao mês x 12 meses = 18% ao ano GABARITO: C




23.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma duplicata é descontada em um banco 50 dias antes de seu vencimento apresentando um valor atual igual a R$ 31.900,00. Considere que foi utilizada uma operação de desconto comercial simples, a uma taxa de 2% ao mês, com a convenção do mês comercial. O valor nominal da duplicata é de (A) R$ 33.000,00. (B) R$ 33.600,00. (C) R$ 32.900,00. (D) R$ 32.600,00. (E) R$ 32.800,00. Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M = C.(1 + i.t) Desconto Comercial ou por Fora (Dc): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD

AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) ⇒ N = (1 . )

D

Di t

A

−

Valor Nominal da Duplicata = N

Taxa de Desconto (id) = 2% mês = 2



⇒ Período (t) = 50

30 ⇒

⇒ Período = 5

3 mês

Cálculo do Valor Nominal:

⇒ N = (1 . )

D

Di t

A

− ⇒

⇒ N = 31.900

5(1 0,02 )

3− ×

⇒




Para não termos que calcular uma divisão, vamos fazer o seguinte no denominador da expressão:

1 – 0,02 x 5

3 ⇒

1 3 0,02 5

3

× − × = 3 0,10

3

−= 2,90

3

(multipliquei o primeiro termo por 3 e igualei tudo ao mesmo denominador)

⇒ N = 31.900

2,90

3

⇒ N = 3

31.9002,90

× (*)⇒

(*) Um número (N) dividido por uma fração (a/b) é igual ao número (N) multiplicado pelo inverso da fração (b/a).

⇒ N = 95.700

2,90⇒

⇒ N = R$ 33.000,00 GABARITO: A 24.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma aplicação no valor de R$ 20.000,00 resultou, depois de um ano, em um montante igual a R$ 22.260,00. Se a taxa de inflação deste período foi de 5% significa que a taxa anual real referente à aplicação foi de (A) 5,6%. (B) 5,8%. (C) 6,0%. (D) 6,3%. (E) 6,5%. Resolução Repare que nesta questão não houve definição se a taxa de juros é simples ou composto. Contudo, o regime de capitalização não influenciará no resultado da questão, tendo em vista que o período em análise é de apenas 1 ano. Veja: Juros Simples: M = C . (1 + i . t) Juros Compostos: M = C . (1 + i)t Onde, M = Montante C = Capital Aplicado i = Taxa de juros t = Período




Se o período é igual a 1, temos: Juros Simples: M = C . (1 + i . 1) = C . (1 + i) Juros Compostos: M = C . (1 + i)1 = C . (1 + i) Portanto, as equações serão iguais independentemente do regime de capitalização (isto funciona sempre que o período for igual ao período a que se refere a taxa de juros). Vamos à resolução da questão: Capital Aplicado (C) = R$ 20.000,00 Montante (M) = R$ 22.260,00 Período (t) = 1 ano Taxa de Juros = i M = C . (1 + i . 1) = C . (1 + i) ⇒ ⇒ 22.260 = 20.000 x (1 + i) ⇒

⇒ 22.260

20.000 = 1 + i ⇒

⇒ 1,113 = 1 + i ⇒ ⇒ i = 1,113 – 1 ⇒

⇒ i = 0,113 = 11,3

100= 11,3% ao ano

Contudo, a questão informa que a inflação do período foi de 5% ao ano e pede a taxa anual real. Vamos aos cálculos: Ganho Real = Fator de Ganho Nominal/Fator de Inflação ⇒

⇒ Ganho Real = 1 0,113

1 0,05

+

+⇒

⇒ Ganho Real = 1,113

1,05 ⇒

⇒ Ganho Real = 1,06

⇒ Percentual = 1,06 – 1 = 0,06 = 6

100= 6% ao ano

GABARITO: C




(Analista Judiciário-Área Administrativa-Contabilidade-TRT/17R-Cespe-2009) Julgue os itens a seguir, acerca de tópicos de matemática financeira. 25. Se o índice de inflação no 1.º semestre de certo ano for igual a 4,7% e o do 2.º semestre for igual a 5,3%, então o índice de inflação acumulado nesse ano será superior a 10%. Resolução Vamos estudar alguns conceitos antes de resolver o item. Juros: correspondem a uma remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i, durante determinado tempo t. Para representar os juros, podemos utilizar: Taxa Percentual: p%

Taxa Unitária: 100

p

Fator = 1 + p% = 1 + 100

p

Exemplo:

20% (Taxa Percentual) = 20

100= 0,20 (Taxa Unitária)

Exemplo: Por quanto devemos multiplicar “X” para atualizá-lo após um aumento de 56%. Valor Corrigido de X = 100%.X + 56%.X = 156%.X = 1,56.X Exemplo: Por quanto devemos multiplicar “X” para atualizá-lo após uma redução de 56%. Valor Corrigido de X = 100%.X - 56%.X = 44%.X = 0,44.X Para calcular os percentuais acumulados, devemos multiplicar os fatores. Exemplo: Suponha que a inflação, em determinado trimestre, foi de 5%, 6% e 7% ao mês, respectivamente. Qual a inflação acumulada nesse trimestre? Considere um valor inicial de 100. 100 + 5% x 100 = 105 (primeiro mês) 105 + 6% x 105 = 111,30 (segundo mês) 111,3 + 7% x 111,3 = 119,09 (terceiro mês) Fator de Inflação (mês 1) = 1 + 5% = 1,05




Fator de Inflação (mês 2) = 1 + 6% = 1,06 Fator de Inflação (mês 3) = 1 + 7% = 1,07 Ou, calculamos os percentuais acumulados = 1,05 x 1,06 x 1,07 = 1,1909 Índice de inflação no período = 1,1909 – 1 = 0,1909 = 19,09% Valor Corrigido = 100 x 1,1909 = 119,09 Exemplo: Suponha que a inflação, em determinado bimestre, foi de 40%. Se, no primeiro mês, a inflação foi de 25%, qual foi a inflação do segundo mês? Considere um valor inicial de 100. Valor Corrigido Total no Bimestre = 100 + 40% x 100 = 140 Valor Corrigido no Primeiro Mês = 100 + 25% x 100 = 125 Deve-se, então, calcular o percentual de aumento de 125 para 140:

Percentual = 140 125 15

0,12125 125

−= = = 12%

Conferindo: Valor Corrigido no Segundo Mês = 125 + 125 x 12% = 140 Ou Primeiro Mês ⇒ 25% ⇒ Fator (Mês 1) = 1 + 25% = 1,25 Segundo Mês ⇒ Fator (Mês 2) = f

1,25 x f = 1,40 ⇒ f = 1,40

1,25= 1,12 ⇒ Percentual = 1,12 – 1 = 12%

Vamos à resolução do item:

Índice de Inflação do Primeiro Semestre = 4,7% = 4,7

100 = 0,047

Índice de Inflação do Segundo Semestre = 5,3% = 5,3

100 = 0,053

Índice de Inflação Acumulado = (1 + 0,047) x (1 + 0,053) – 1 ⇒ ⇒ Índice de Inflação Acumulado = 1,047 x 1,053 – 1 ⇒ ⇒ Índice de Inflação Acumulado = 1,1025 – 1 ⇒ ⇒ Índice de Inflação Acumulado = 0,1025 ⇒ ⇒ Índice de Inflação Acumulado = 10,25% (superior a 10%) GABARITO: Certo




26. Se, ontem, um produto custava X reais e hoje o preço esse produto sofreu um aumento de 60%, então, para comprá-lo hoje pelo mesmo preço de ontem — X —, será preciso que esse produto sofra um desconto superior a 40%. Resolução I - Ontem, o produto custava X reais II – Hoje, o produto sofreu um aumento de 60%. Portanto, seu novo preço será: Novo Preço = X + 60% . X = X + 0,60 . X = 1,60 . X III – Para que o produto retorne ao preço de ontem, o desconto será de: Novo Preço – Desconto = Preço de Ontem ⇒ ⇒ 1,60 . X – Desconto = X ⇒ ⇒ Desconto = 1,60 . X – X ⇒ ⇒ Desconto = 0,60.X Cálculo do percentual de desconto em relação ao preço de hoje (1,60.X):

Percentual de Desconto = 0,60.

1,60.

X

X = 0,375 = 37,5%

Portanto, para comprá-lo hoje pelo mesmo preço de ontem — X —, será preciso que esse produto sofra um desconto inferior a 40%. GABARITO: Errado 27. Se, do capital X, 40% forem investidos em um fundo de ações e o restante, em um fundo DI, e se, após um mês, as cotas desses fundos se valorizarem 15% e 2%, respectivamente, então a rentabilidade do capital X nesse mês será superior a 7%. Resolução Capital = X I - 40% de X foram investidos em um fundo de ações com rendimento de 15% após um mês. Capital Investido em Ações = 40%.X = 0,40.X Montante Após Um Mês = Capital Investido + Rendimento ⇒ ⇒ Montante Após Um Mês = 0,40.X + 15%.0,40.X ⇒ ⇒ Montante Após Um Mês = 0,40.X + 0,15 . 0,40.X ⇒ ⇒ Montante Após Um Mês = 0,40.X + 0,06.X ⇒ ⇒ Montante Após Um Mês = 0,46.X




O restante foi aplicado em um fundo DI = X – 40%.X = X – 0,40.X = 0,60.X II - 60% de X (0,60.X) foram investidos em um fundo DI com rendimento de 2% após um mês. Capital Investido em Ações = 60%.X = 0,60.X Montante Após Um Mês = Capital Investido + Rendimento ⇒ ⇒ Montante Após Um Mês = 0,60.X + 2%.0,60.X ⇒ ⇒ Montante Após Um Mês = 0,60.X + 0,02 . 0,60.X ⇒ ⇒ Montante Após Um Mês = 0,60.X + 0,012.X ⇒ ⇒ Montante Após Um Mês = 0,612.X III – Cálculo do rendimento total após um mês Montante Total Após Um Mês = 0,46.X + 0,612X ⇒ ⇒ Montante Total Após Um Mês = (0,46 + 0,612).X ⇒ ⇒ Montante Total Após Um Mês = 1,072.X Rendimento Total = Montante Total – Capital Aplicado ⇒ ⇒ Rendimento Total = 1,072.X – X ⇒ ⇒ Rendimento Total = 0,072.X = 7,2%.X (que é superior a 7%) GABARITO: Certo 28. Considerando que o Comitê de Política Monetária do Banco Central do Brasil reduza a taxa básica de juros para 11,25% ao ano e que a inflação seja projetada em 4,5% ao ano para 2009, é correto afirmar que a taxa real de juros no Brasil ficará acima de 6,4% ao ano. Resolução A taxa real de juros é calculada da seguinte maneira: Taxa Real de Juros = [(1 + Taxa Básica de Juros)/(1 + Taxa de Inflação)] – 1

Taxa Básica de Juros = 11,25% ao ano = 11,25

100 = 0,1125

Taxa de Inflação Projetada = 4,5% ao ano = 4,5

100 = 0,045

Taxa Real de Juros = 1 0,1125

11 0,045

+−

+ ⇒

⇒ Taxa Real de Juros = 1,1125

11,045

− ⇒

⇒ Taxa Real de Juros = 1,0646 – 1 ⇒ ⇒ Taxa Real de Juros = 0,0646 = 6,46% (acima de 6,4%) GABARITO: Certo




29.(ATRFB-2009-Esaf) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que: a) O dólar se desvalorizou 25% em relação ao real. b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. Resolução

Início do Período ⇒ 1 dólar = 2,50 reais ⇒ 1 real = 1

2,50 = 0,40 dólar

Final do Período ⇒ 1 dólar = 2,00 reais ⇒ 1 real = 1

2,00= 0,50 dólar

Para calcular a valorização do real, temos que utilizar a cotação do real em dólar no início e no final do período:

Valorização do Real = 0,50 0,40 0,10 1

0,40 0,40 4

−= = = 25%

Para calcular a desvalorização do dólar, temos que utilizar a cotação do dólar em real no início e no final do período:

Desvalorização do Dólar = 2,50 2,00 0,50 1

2,50 2,50 5

−= = = 20%

GABARITO: C 30.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? a) 48% b) 10% c) 4% d) 54% e) 60%




Resolução Juros Simples: M = C.(1 + i.n) M = 1,1.C

n = 2 meses + 15 dias = 2 meses + 15

30 meses = 2,5 meses

1,1.C = C.(1 + i.2,5) ⇒ Podemos dividir por “C” os dois lados da igualdade: ⇒ 1,1 = 1 + 2,5.i ⇒ ⇒ 2,5.i = 0,1 ⇒

⇒ i = 0,1

2,5 ⇒

⇒ i = 0,04 = 4% ao mês Contudo a questão pede a taxa de juros anual: i = 4% ao mês x 12 meses = 48% ao ano GABARITO: A 31.(Bndes-Administração-2009-Cesgranrio) Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser (A) 5.104 (B) 5.191 (C) 5.250 (D) 5.280 (E) 5.344 Resolução A questão definiu: Desconto Comercial Simples com encargos = Desconto Bancário (DB) Desconto Bancário (DB) O desconto bancário corresponde ao desconto comercial acrescido de taxas bancárias sobre o valor nominal.




DB = Dc + e . N = N . i . t + e . N = N . (i . t + e) A = N - DB

Onde, e = encargos bancários Valor Nominal = Valor de Face = N Valor Atual (A) = Valor Líquido Recebido = R$ 4.620,00

Período (n) = 2 meses e 20 dias = 2 + 20

30= 2 + 0,67 = 2,6667 meses

Taxa de Juros Simples (i) = 18% ao ano = 18%

12_meses = 1,5% ao mês

Desconto Comercial (DC) = N .i . t = N x 2,6667 x 1,5% = 0,04 x N Encargos (e) = Retenção + IOF = 7% + 1% = 8% A = N – DB = N – (Dc + e . N) ⇒ ⇒ 4.620 = N – (0,04 x N + 8% x N) ⇒ ⇒ 4.620 = N – 0,04 x N – 0,08 x N ⇒ ⇒ 4.620 = N – 0,12 x N ⇒ ⇒ 4.620 = 0,88 x N ⇒

⇒ N = 4.620

0,88⇒

⇒ N = 5.250 GABARITO: C 32.(Ciências Contábeis-BNDES-2009-Cesgranrio) Um investidor aplicou, no Banco Atlântico, R$ 10.000,00, por um período de 17 dias, a uma taxa de juros simples de 1,2% ao mês. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo investidor, em reais, foi (A) 60,00 (B) 64,20 (C) 65,60 (D) 66,00 (E) 68,00




Resolução A questão definiu: Juros Simples (J) ⇒ J = C . i . t Capital Aplicado (C) = R$ 10.000,00 Taxa de Juros Simples (i) = 1,2% ao mês = 0,012 ao mês Juros = J Período (t) = 17 dias Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias ===� 1 mês 17 dias ===� Período (t)

17 x 1 = 30 x Período (t) ⇒ Período (t) = 17

30mês

Juros = C . i . t ⇒

⇒ J = 10.000 x 0,012 x 17

30 ⇒

⇒ J = 68,00 GABARITO: E 33.(Contador-Funasa-2009-Cesgranrio) Um investidor aplicou, durante quatro meses, determinada quantia em um título que rende juros simples de 2,5% ao mês. O valor de resgate deste título será de R$ 55.000,00. Com base no que foi informado, o valor da aplicação, em reais, foi (A) 45.454,54 (B) 50.000,00 (C) 52.255,52 (D) 52.500,00 (E) 54.545,45 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M = C .(1 + i . t)

Valor Atual = Valor Aplicado = Capital Aplicado = Valor da Aplicação = C Taxa de Juros simples (i) = 2,5% ao mês = 2,5/100 = 0,025 ao mês Período (t) = 4 meses Montante (M) = R$ 55.000,00 M = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ 55.000 = C x (1 + 0,025 x 4) ⇒ ⇒ 55.000 = C x (1 + 0,10) ⇒




⇒ 55.000 = C x 1,10 ⇒

⇒ C = 55.000

1,10⇒

⇒ C = 50.000,00 GABARITO: B 34.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-Cesgranrio) Um investidor realizou uma aplicação de R$ 25.000,00 pelo prazo de 6 meses e, ao final da aplicação, obteve um lucro de R$ 1.500,00. Para que isso ocorresse, a taxa de juros simples mensal usada na aplicação foi (A) 1,00% (B) 1,25% (C) 1,33% (D) 1,50% (E) 1,66% Resolução A questão definiu: Juros Simples (J) ⇒ J = C . i . t Capital Aplicado (C) = R$ 25.000,00 Período (t) = 6 meses Juros (J) = Lucro = R$ 1.500,00 Taxa de Juros Simples = i Juros = C . i . t ⇒ ⇒ 1.500 = 25.000 x i x 6 ⇒ ⇒ 1.500 = 150.000 x i ⇒

⇒ i = 1.500

150.000⇒

⇒ i =0,01 ⇒ ⇒ i = 1,00% ao mês GABARITO: A 35.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-Cesgranrio) A Empresa Genetical Center apresentou para desconto no Banco Atlântico S/A uma duplicata no valor de R$ 12.000,00, com vencimento para 25 dias. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto simples de 3% ao mês, o valor líquido liberado pelo banco, em reais, foi (A) 10.999,37 (B) 11.333,33 (C) 11.366,66 (D) 11.666,33 (E) 11.700,00




Resolução A questão definiu: Juros Simples Atenção! A questão não definiu o tipo de desconto, mas já sabemos que o desconto de duplicatas ou de notas promissórias é por fora. Desconto Comercial ou por Fora (D): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. AD = N – D = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) Valor Nominal da Duplicata (N) = R$ 12.000,00 Valor Atual = Valor Líquido Liberado pelo Banco = A Taxa de Juros Simples (i) = 3% ao mês = 0,03 ao mês Período (t) = 25 dias Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias ===� 1 mês 25 dias ===� Período (t)


30= 5

6 mês

A = N .(1 – i . t) ⇒

⇒ A = 12.000 x (1 – 0,03 x 5

6) ⇒

⇒ A = 12.000 x (1 – 0,025) ⇒ ⇒ A = 12.000 x 0,975 ⇒ ⇒ A = 11.700,00 GABARITO: E 36.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a (A) R$ 10.080,00 (B) R$ 8.506,80 (C) R$ 7.204,40 (D) R$ 6.933,60 (E) R$ 6.432,00




Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t) Capital Aplicado = C1

Período (t1) = 6 meses

Taxa de Juros Simples (i1) = 12% ao ano = 12

100ao ano = 0,12 ao ano

Como a taxa de juros simples informada é anual, para o cálculo do período, também será utilizada a base anual. Fazendo a regra de três abaixo: 1 ano ===� 12 meses Período ===� 6 meses

Período x 12 = 1 x 6 ⇒ Período (t1) = 6

12 ano = 0,50 ano

De acordo com a questão, do montante total desta aplicação, R$ 20.000,00 foi utilizado para pagar uma dívida e o restante (M´) foi aplicado em outro banco. Montante (M1) = R$ 20.000,00 + M´ ⇒ M1 = C1 .(1 + i1.t1) ⇒ ⇒ 20.000 + M´ = C1 x (1 + 0,12 x 0,50) ⇒ ⇒ 20.000 + M´ = C1 x (1 + 0,06) ⇒ ⇒ M´= 1,06 x C1 – 20.000 Sabemos que o valor M´ foi aplicado em outro banco, conforme abaixo: M´= capital aplicado em outro Banco = C2 = 1,06 x C1 – 20.000 Período (t2) = 1 ano = 12 meses

Taxa de Juros Simples (i2) = 1,5% ao mês = 1,5


Montante (M2) = R$ 28.933,60

⇒ M2 = C2 .(1 + i2.t2) ⇒ ⇒ 28.933,60 = (1,06 x C1 – 20.000) x (1 + 0,015 x 12) ⇒ ⇒ 28.933,60 = (1,06 x C1 – 20.000) x (1 + 0,18) ⇒ ⇒ 28.933,60 = (1,06 x C1 – 20.000) x 1,18 ⇒ ⇒ 28.933,60 = 1,2508 x C1 – 23.600 ⇒ ⇒ 28.933,60 + 23.600 = 1,2508 x C1 ⇒ ⇒ 1,2508 x C1 = 52.533,60 ⇒

⇒ C1 = 52.533,60

1,2508⇒

⇒ C1 = R$ 42.000,00




Contudo a questão pede a soma dos juros das duas aplicações. I – Cálculo dos juros da aplicação 1: ⇒ J1 = C1 i1.t1 ⇒ ⇒ J1 = 42.000 x 0,12 x 0,50 ⇒ ⇒ J1 = 42.000 x 0,06 ⇒ ⇒ J1 = R$ 2.520,00 II – Cálculo dos juros da aplicação 2: C2 = 1,06 x C1 – 20.000 ⇒ ⇒ C2 = 1,06 x 42.000 – 20.000 ⇒ ⇒ C2 = 44.520 – 20.000 ⇒ ⇒ C2 = R$ 24.520,00 ⇒ J2 = C2 i2.t2 ⇒ ⇒ J2 = 24.520 x 0,015 x 12 ⇒ ⇒ J2 = 24.520 x 0,18 ⇒ ⇒ J2 = R$ 4.413,60 III – Cálculo da soma dos juros das duas aplicações: Jt (Juros Totais) = J1 + J2 ⇒ ⇒ Jt = 2.520 + 4.413,60 ⇒ ⇒Jt = R$ 6.933,60 GABARITO: D 37.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias. I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50. II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples. Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de (A) R$ 27.200,00 (B) R$ 27.800,00 (C) R$ 28.000,00 (D) R$ 28.160,00 (E) R$ 28.401,60




Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t) Desconto Comercial ou por Fora (Dc): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) Onde, Dc = desconto comercial iD = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal AD = valor atual Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (Dr): é o desconto que determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. Dr = N - Ad

N = Ad .(1 + id . t) ⇒ Ad = (1 . )d

N

i t+

Dr = . .

(1 . )d

d

N i t

i t+

Onde, Dr = desconto racional id = taxa de desconto racional (juros simples) Em relação à questão, há duas opções para descontar um título que vence em 45 dias: I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50. Ano Comercial = 360 dias (meses de 30 dias) Valor Nominal do Título = N Valor Atual do Título (AD) = R$ 28.178,50 (valor líquido) Período (t) = 45 dias

Taxa de Desconto Simples (iD) = 2% ao mês = 2

100= 0,02 ao mês




Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias ===� 1 mês 45 dias ===� Período (t)


30= 1,5 meses

AD = N – D ⇒ ⇒ 28.178,50 = N – N.iD.t = N . (1 – iD.t) ⇒ ⇒ 28.178,50 = N x (1 – 0,02 x 1,5) ⇒ ⇒ 28.178,50 = N x (1 – 0,03) ⇒ ⇒ 28.178,50 = N x 0,97 ⇒

⇒ N = 28.178,50

0,97⇒

⇒ N = R$ 29.050,00 II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples. O comerciante optou pelo banco B. Portanto, considerando a convenção do ano comercial, temos: Ano Comercial = 360 dias (meses de 30 dias) Valor Nominal do Título (N) = R$ 29.050,00 (calculado acima) Valor Atual do Título = AD Período (t) = 45 dias = 1,5 meses

Taxa de Desconto Simples (iD) = 2,5% ao mês = 2,5

100= 0,025 ao mês

Ad = (1 . )d

N

i t+ ⇒

⇒ Ad = 29.050

(1 0,025 1,5)+ ×⇒

⇒ Ad = 29.050

(1 0,0375)+⇒

⇒ Ad = 29.050

1,0375⇒

⇒ Ad = R$ 28.000,00 GABARITO: C




38.(Auditor-Infraero-2009-FCC) Uma pessoa tomou dinheiro emprestado a juros simples durante 18 meses, tendo pago, ao final do período, o principal e mais R$ 14.400,00 a título de juros. Se ela tivesse tomado emprestado um capital duas vezes maior, à mesma taxa de juros e no mesmo período, ela teria pago um montante de R$ 80.000,00. O valor do capital que ela efetivamente tomou emprestado na operação correspondeu a, em R$, (A) 20.520,00 (B) 25.600,00 (C) 28.800,00 (D) 40.000,00 (E) 51.200,00 Resolução

A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t)

I – Uma pessoa tomou dinheiro emprestado a juros simples durante 18 meses, tendo pago, ao final do período, o principal e mais R$ 14.400,00 a título de juros: Capital Aplicado = C (principal) Montante (M) = C + J = C + C . i . t = C . (1 + i .t) Período (t) = 18 meses Taxa de Juros = i Juros (J) = R$ 14.400,00 Juros = C . i . t ⇒ ⇒ 14.400 = C . i . 18 II - Se ela tivesse tomado emprestado um capital duas vezes maior, à mesma taxa de juros e no mesmo período, ela teria pago um montante de R$ 80.000,00. Capital Aplicado = 2C Montante (M) = 2C . (1 + i .t) = R$ 80.000,00 Período (t) = 18 meses (o mesmo do item anterior) Taxa de Juros = i (a mesma do item anterior) Juros (J) = R$ 14.400,00 2C . (1 + i .t) = 80.000 ⇒ ⇒ 2C + 2 . (C . i . 18) = 80.000 ⇒ Do item I, sabemos que: 14.400 = C . i . 18. Portanto, substituindo na equação acima: ⇒ 2C + 2 x 14.400 = 80.000 ⇒ ⇒ 2C + 28.800 = 80.000 ⇒ ⇒ 2C = 80.000 – 28.800 ⇒




⇒ 2C = 51.200 ⇒

⇒ C = 51.200

2⇒

⇒ C = R$ 25.600,00 GABARITO: B 39.(Contador-Infraero-2009-FCC) Um capital de valor igual a R$ 10.000,00 é aplicado durante um ano apresentando, no final, um montante igual a R$ 11.275,00. Se a taxa real de juros correspondente a esta aplicação foi de 10%, tem-se que a inflação no período considerado foi de (A) 1,75% (B) 2,00% (C) 2,25% (D) 2,50% (E) 2,75% Resolução Repare que nesta questão não houve definição se a taxa de juros é simples ou composto. Contudo, o regime de capitalização não influenciará no resultado da questão, tendo em vista que o período em análise é de apenas 1 ano. Veja: Juros Simples: M = C . (1 + i . t) Juros Compostos: M = C . (1 + i)t Onde, M = Montante C = Capital Aplicado i = Taxa de juros t = Período Se o período é igual a 1, temos: Juros Simples: M = C . (1 + i . 1) = C . (1 + i) Juros Compostos: M = C . (1 + i)1 = C . (1 + i) Portanto, as equações serão iguais independentemente do regime de capitalização (isto funciona sempre que o período for igual ao período a que se refere a taxa de juros). Vamos à resolução da questão: Capital Aplicado (C) = R$ 10.000,00 Montante (M) = R$ 11.275,00 Período (t) = 1 ano Taxa de Juros = i




M = C . (1 + i . 1) = C . (1 + i) ⇒ ⇒ 11.275 = 10.000 x (1 + i) ⇒

⇒ 11.275

10.000= 1 + i ⇒

⇒ 1,1275 = 1 + i ⇒ ⇒ i = 1,1275 – 1 ⇒

⇒ i = 0,1275 = 12,75

100= 12,75% ao ano

Contudo, a questão informa que a taxa real do período foi de 10% ao ano e pede a taxa anual real. Vamos aos cálculos: Ganho Real = Fator de Ganho Nominal/Fator de Inflação ⇒ ⇒ (1 + 10%) = (1 + 12,75%)/Fator de Inflação ⇒ ⇒ (1 + 0,10) = (1 + 0,1275)/Fator de Inflação ⇒ ⇒ (1,10) = (1,1275)/Fator de Inflação ⇒ ⇒ 1,10 x Fator de Inflação = 1,1275 (*)⇒ (*) Multipliquei por “Fator de Inflação” os dois lados da equação.

⇒ Fator de Inflação = 1,1275

1,10= 1,025

⇒ Percentual = 1,025 – 1 = 0,025 = 2,50

100= 2,50% ao ano

GABARITO: D 40.(Contador-Infraero-2009-FCC) Um título de valor nominal igual a R$ 20.000,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento apresentando um valor atual de R$ 18.800,00, segundo uma operação de desconto comercial simples. Um outro título de valor nominal igual a R$ 25.000,00, descontado 2 meses antes de seu vencimento, com a mesma taxa mensal e operação de desconto do primeiro título, apresenta um desconto de valor igual a (A) R$ 1.500,00 (B) R$ 1.200,00 (C) R$ 1.000,00 (D) R$ 900,00 (E) R$ 750,00




Resolução

A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t) Desconto Comercial ou por Fora (Dc): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) I - Um título de valor nominal igual a R$ 20.000,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento apresentando um valor atual de R$ 18.800,00, segundo uma operação de desconto comercial simples. Valor Nominal do Título (N) = R$ 20.000,00 Valor Atual do Título (AD) = R$ 18.800,00 Período (t) = 3 meses Taxa de Desconto Simples (iD) = i AD = N – D ⇒ ⇒AD = N – N.iD.t = N . (1 – iD.t) ⇒ ⇒ 18.800 = 20.000 x (1 – i x 3) ⇒

⇒ 18.800

20.000= 1 – i x 3 ⇒

⇒ 0,94 = 1 – i x 3 ⇒ ⇒ i x 3 = 1 – 0,94 ⇒ ⇒ i x 3 = 0,06 ⇒

⇒ i = 0,06

3 ⇒

⇒ i = 0,02 = 2

100= 2% ao mês

II - Outro título de valor nominal igual a R$ 25.000,00, descontado 2 meses antes de seu vencimento, com a mesma taxa mensal e operação de desconto do primeiro título, apresenta um desconto de valor igual a: Valor Nominal do Título (N) = R$ 25.000,00 Valor Atual do Título = AD Período (t) = 2 meses Taxa de Desconto Simples (iD) = 2% ao mês (a mesma taxa do item anterior) AD = N – D ⇒ AD = N – N.iD.t = N . (1 – iD.t) ⇒ ⇒ AD = 25.000 x (1 – 0,02 x 2) ⇒ ⇒ AD = 25.000 x (1 – 0,04) ⇒ ⇒ AD = 25.000 x 0,96 ⇒ ⇒ AD = R$ 24.000,00




Cálculo do Desconto: DC = N – AD ⇒ ⇒ DC = 25.000 – 24.000 ⇒ ⇒ DC = R$ 1.000,00 GABARITO: C 41.(Administrador-Infraero-2009-FCC) Uma pessoa investiu um certo capital X a juros simples, durante um ano, a uma taxa de 2% ao mês e resgatou, no final do período, todo o montante no valor de R$ 15.500,00. Caso ela tivesse aplicado o capital X, também durante um ano, a juros compostos, a uma taxa de 10% ao semestre, todo o montante resgatado teria sido de (A) R$ 15.730,00 (B) R$ 15.125,00 (C) R$ 14.520,00 (D) R$ 13.310,00 (E) R$ 12.705,00 Resolução Repare que a questão trata de juros simples e de juros compostos (que serão vistos na próxima aula). Contudo, também preferi resolvê-la nesta aula para que você também já vá se acostumando com o procedimento de cálculo dos juros compostos. I - Uma pessoa investiu um certo capital X a juros simples, durante um ano, a uma taxa de 2% ao mês e resgatou, no final do período, todo o montante no valor de R$ 15.500,00. Juros Simples: M = C . (1 + i . t) Montante (Juros Simples) = R$ 15.500,00 Capital Aplicado (C) = X Taxa de Juros Simples = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês Período (t) = 1 ano = 12 meses MJS = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ 15.500 = X . (1 + 0,02 x 12) ⇒ ⇒ 15.500 = X . (1 + 0,24) ⇒ ⇒ 15.500 = X . 1,24 ⇒ ⇒ X = 15.500/1,24 ⇒ ⇒ X = R$ 12.500,00 II. Caso ela tivesse aplicado o capital X, também durante um ano, a juros compostos, a uma taxa de 10% ao semestre, todo o montante resgatado teria sido de: Juros Compostos: M = C . (1 + i)t

Montante (Juros Compostos) = MJC




Capital Aplicado (C) = X = R$ 12.500,00 (o mesmo do item anterior) Taxa de Juros Compostos (ic) = 10% ao semestre = 10/100 ao semestre Taxa de Juros Compostos (ic) = 0,10 ao semestre Período (t) = 1 ano = 2 semestres MJC = C . (1 + i)t ⇒ ⇒ MJC = 12.500 x (1 + 0,10)2 ⇒ ⇒ MJC = 12.500 x (1,10)2 ⇒ ⇒ MJC = 12.500 x 1,21 ⇒ ⇒ MJC = R$ 15.125,00 GABARITO: B 42.(Administrador-Infraero-2009-FCC)Uma duplicata é descontada 45 dias antes de seu vencimento a uma taxa de juros de 4% ao mês, com a utilização do desconto comercial simples. Considerando o ano comercial e sabendo que o valor recebido na data do desconto foi de R$ 21.150,00, tem-se que o valor nominal da duplicata é de (A) R$ 22.500,00 (B) R$ 22.419,00 (C) R$ 21.996,00 (D) R$ 21.800,00 (E) R$ 21.500,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t) Desconto Comercial ou por Fora (Dc): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) Valor Nominal da Duplicata = N Valor Atual da Duplicata (AD) = R$ 21.150,00


100= 0,04 ao mês



30= 1,5 meses




AD = N – D ⇒ AD = N – N.iD.t = N . (1 – iD.t) ⇒ ⇒ 21.150 = N x (1 – 0,04 x 1,5) ⇒ ⇒ 21.150 = N x (1 – 0,06) ⇒ ⇒ 21.150 = N x 0,94 ⇒

⇒ N = 21.150

0,94⇒

⇒ N = R$ 22.500,00 GABARITO: A 43.(Analista Judiciário-Administrativa-TRT 15R-2009-FCC) Uma pessoa aplicou 2/3 de C reais à taxa mensal de 1,5% e, após 3 meses da data desta aplicação, aplicou o restante à taxa mensal de 2%. Considerando que as duas aplicações foram feitas em um regime simples de capitalização e que, decorridos 18 meses da primeira, os montantes de ambas totalizavam R$ 28.800,00, então o valor de C era (A) R$ 24 000,00 (B) R$ 24 200,00 (C) R$ 24 500,00 (D) R$ 22 800,00 (E) R$ 22 500,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t) I – Primeira aplicação:

Capital Aplicado (CI) = 2

3.C

Taxa de Juros (i) = 1,5% ao mês = 1,5

100= 0,015 ao mês

Período (t) = 18 meses (repare que a questão informa: “...decorridos 18 meses da primeira, os montantes de ambas totalizavam R$ 28.800,00....”) MI = CI . (1 + i . t) ⇒

⇒ MI = 2

3 x C x (1 + 0,015 x 18) ⇒

⇒ MI = 2

3x C x (1 + 0,27) ⇒

⇒ MI = 2

3 x C x 1,27




II – Segunda aplicação:

Capital Aplicado (CI) = 1 – 2

3.C =

1

3.C (repare que a questão fala que aplicou

o restante...)


100= 0,02 ao mês

Período (t) = 18 meses – 3 meses = 15 meses (repare que a questão informa: “...decorridos 18 meses da primeira, os montantes de ambas totalizavam R$ 28.800,00,...”). MII = CII . (1 + i . t) ⇒

⇒ MII = 1

3x C x (1 + 0,02 x 15) ⇒

⇒ MII = 1

3x C x (1 + 0,30) ⇒

⇒ MII = 1

3x C x 1,30

Ainda de acordo com a questão, decorridos 18 meses da primeira, os montantes de ambas totalizavam R$ 28.800,00. Deste modo, teremos:

MI = 2

3 x C x 1,27

MII = 1

3x C x 1,30

MI + MII = 28.800 ⇒

⇒ 2

3 x C x 1,27 +

1

3 x C x 1,30 = 28.800 ⇒

Colocando 1

3 x C em evidência, pois aparece nos dois termos do lado direito:

⇒ 1

3 x C x (2 x 1,27 + 1,30) = 28.800 ⇒

⇒ 1

3 x C x (2,54 + 1,30) = 28.800 ⇒

⇒ 1

3 x C x 3,84 = 28.800 ⇒

⇒ C x 1,28 = 28.800 ⇒

⇒ C = 28.800

1,28⇒

⇒ C = R$ 22.500,00 GABARITO: E




44.(Assistente de Suporte Técnico Nível I - Suporte Técnico à Gestão – Contabilidade-Prefeitura/SP-2008-FCC) Um investidor aplicou uma determinada importância à taxa de juros simples de 24% ao ano. Ao final de 165 dias, ele resgatou o montante de R$ 1.753,80. Considerando-se o ano comercial de 360 dias, o capital original aplicado equivalia, em R$, a (A) 1.610,00 (B) 1.580,00 (C) 1.550,00 (D) 1.530,00 (E) 1.510,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t)

Capital Aplicado = C Montante (M) = R$ 1.753,80


100= 0,24 ao ano

Como a taxa de desconto simples informada é anual, para o cálculo do período, também será utilizada a base anual. Fazendo a regra de três abaixo: 60 dias (ano comercial) ===� 1 ano 165 dias ===� Período (t)


360= 33

72ano

M = C . (1 + i . t) ⇒

⇒ 1.753,80 = C x (1 + 0,24 x 33

72) ⇒

⇒ 1.753,80 = C x (1 + 7,92

72) ⇒

⇒ 1.753,80 = C x (1 + 0,11) ⇒ ⇒ 1.753,80 = C x 1,11 ⇒

⇒ C = 1.753,80

1,11⇒

⇒ C = R$ 1.580,00 GABARITO: B




45.(Assessor-Contabilidade-MPE/RS-2008-FCC) Uma pessoa investe em um banco um capital C, durante 9 meses, a uma taxa de juros simples de 27% ao ano. No final do período, ela resgata todo o montante e o investe totalmente em outro banco, a uma taxa de juros simples de 36% ao ano, durante 10 meses. Verificando-se que o montante referente ao segundo investimento foi igual a R$ 18.759,00, tem-se que o valor de C, em R$, é igual a (A) 13.000,00 (B) 14.000,00 (C) 11.000,00 (D) 10.000,00 (E) 12.000,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t)

I - Uma pessoa investe em um banco um capital C, durante 9 meses, a uma taxa de juros simples de 27% ao ano. Capital Aplicado = C Montante = MI


100= 0,27 ao ano

Como a taxa de desconto simples informada é anual, para o cálculo do período, também será utilizada a base anual. Fazendo a regra de três abaixo: 12 meses ===� 1 ano 9 meses ===� Período (t)


12= 3

4= 0,75 ano

MI = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ MI = C x (1 + 0,27 x 0,75) ⇒ ⇒ MI = C x (1 + 0,2025) ⇒ ⇒ MI = C x 1,2025 ⇒ ⇒ MI = 1,2025 x C II - No final do período, ela resgata todo o montante e o investe totalmente em outro banco, a uma taxa de juros simples de 36% ao ano, durante 10 meses. Capital Aplicado (CII) = MI = 1,2025 x C Montante (MII) = R$ 18.759,00


100= 0,36 ao ano






12= 5

6 ano

MII = CII . (1 + i . t) ⇒

⇒ 18.759 = 1,2025 x C x (1 + 0,36 x 5

6) ⇒

⇒ 18.759 = 1,2025 x C x (1 + 0,06 x 5) ⇒ ⇒ 18.759 = 1,2025 x C x (1 + 0,30) ⇒ ⇒ 18.759 = 1,2025 x C x 1,30 ⇒ ⇒ 18.759 = 1,56325 x C ⇒

⇒ C = 18.759

1,56325⇒

⇒ C = R$ 12.000,00 GABARITO: E 46.(Assessor-Contabilidade-MPE/RS-2008-FCC) Duas duplicatas com a soma dos respectivos valores nominais igual a R$ 22.000,00 são descontadas em um banco segundo uma operação de desconto bancário simples, a uma taxa de 36% ao ano. A primeira é descontada 2 meses antes de seu vencimento e a segunda 3 meses antes. Se a soma dos valores dos descontos das duas duplicatas foi igual a R$ 1.680,00, então o maior valor nominal das duplicatas, em R$, é igual a (A) 15.000,00 (B) 18.000,00 (C) 12.000,00 (D) 14.000,00 (E) 16.000,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t) Mais uma vez, ressalto que o desconto de duplicatas é o desconto por fora. Desconto Comercial ou por Fora (Dc): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t)




Valor Nominal da Duplicata I = NI

Valor Nominal da Duplicata II = NII NI + NII = R$ 22.000,00 (I) I – Cálculo do Desconto da Duplicata I: Valor Nominal da Duplicata = NI

Taxa de Desconto Simples (iD) = 36% ao ano = 36

100= 0,36 ao ano



12 = 1

6 ano

DI = NI . iD . t ⇒

⇒ DI = NI x 0,36 x 1

6 ⇒

⇒ DI = NI x 0,06 ⇒ ⇒ DI = 0,06 x NI II – Cálculo do Desconto da Duplicata II: Valor Nominal da Duplicata = NII

Taxa de Desconto Simples (iD) = 36% ao ano = 36

100= 0,36 ao ano



12= 1

4 ano

DII = NII . iD . t ⇒

⇒ DII = NII x 0,36 x 1

4⇒

⇒ DII = NII x 0,09 ⇒ ⇒ DII = 0,09 x NII




De acordo com a questão, a soma dos valores dos descontos das duas duplicatas foi igual a R$ 1.680,00. Portanto, teremos: DI = 0,06 x NI DII = 0,09 x NII DI + DII = 1.680 ⇒ ⇒ 0,06 x NI + 0,09 x NII = 1.680 (II) Logo, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas. Veja: NI + NII = 22.000,00 (I) 0,06 x NI + 0,09 x NII = 1.680 (II) Se multiplicarmos a equação por 0,06, teremos: 0,06 x NI + 0,06 x NII = 0,06 x 22.000,00 ⇒ ⇒ 0,06 x NI + 0,06 x NII = 1.320 (I´) Então, nosso sistema ficou da seguinte maneira: 0,06 x NI + 0,06 x NII = 1.320 (I´) 0,06 x NI + 0,09 x NII = 1.680 (II) Fazendo (II) – (I´): 0,06 x NI + 0,09 x NII – (0,06 x NI + 0,06 x NII) = 1.680 – 1.320 ⇒ ⇒ 0,06 x NI + 0,09 x NII – 0,06 x NI – 0,06 x NII = 360 ⇒ ⇒ 0,03 x NII = 360 ⇒

⇒ NII = 360

0,03⇒

⇒ NII = R$ 12.000,00 Como NI + NII = 22.000 ⇒ ⇒ NI + 12.000 = 22.000 ⇒ ⇒ NI = 22.000 – 12.000 ⇒ ⇒ NI = R$ 10.000,00 Portanto, o maior valor nominal das duplicatas é: R$ 12.000,00 GABARITO: C




47.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) A taxa implícita de juros simples mensal, expressa em porcentagem (calculada “por dentro”), numa operação de desconto bancário simples de um título de 90 dias, no valor de R$ 10.000,00, com taxa de 2% ao mês (desprezando os algarismos a partir da 3a casa decimal depois da vírgula), equivale a (A) 2,12% (B) 2,11% (C) 2,10% (D) 2,09% (E) 2,08% Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t) Desconto Comercial ou por Fora (Dc): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. Dc = N . iD . t = N – AD AD = N – Dc = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) Valor Nominal do Título (N) = R$ 10.000,00


100= 0,02 ao mês



30= 3 meses

D = N . iD . t ⇒ ⇒ D = 10.000 x 0,02 x 3 ⇒ ⇒ D = 10.000 x 0,06 ⇒ ⇒ D = R$ 600,00 Valor Atual (AD) = N – D = 10.000 – 600 = R$ 9.400,00 Para calcular a taxa efetiva de juros da operação, temos que verificar a taxa necessária, em um período igual ao período de desconto, para sairmos de um valor nominal de R$ 9.400,00 e chegarmos a um montante de R$ 10.000,00. Veja: Valor Atual (AD) = Capital Aplicado (C) = R$ 9.400,00




Montante (M) = Valor Nominal = R$ 10.000,00 Período (t) = 3 meses Taxa de Juros Efetiva = i M = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ 10.000 = 9.400 x (1 + i x 3) ⇒

⇒ 10.000

9.400= 1 + i x 3 ⇒

⇒ 1,06383 = 1 + i x 3 ⇒ ⇒ 3 x i = 1,06383 – 1 ⇒ ⇒ 3 x i = 0,06383 ⇒

⇒ i = 0,06383

3⇒

⇒ i = 0,0212 = 2,12

100= 2,12% ao mês

GABARITO: A 48.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) O índice de preços ao consumidor (IPC) de uma economia hipotética teve a seguinte evolução no período 1997-2007:

IPC 1997 100 1998 105 1999 112 2000 121 2001 135 2002 145 2003 154 2004 160 2005 168 2006 172 2007 183 Com base nos dados da tabela, é possível concluir que (A) a taxa de inflação no período 1998-2001 foi decrescente. (B) a taxa média de inflação no período 1998-2007 foi inferior a 8,3% ao ano. (C) houve deflação no ano de 2002. (D) a taxa de inflação no período 2001-2004 foi crescente. (E) a taxa média de inflação no período 2001 a 2007 foi inferior a 3,8% ao ano.




Resolução Vamos analisar as alternativas: (A) a taxa de inflação no período 1998-2001 foi decrescente. IPC 1998 105 1999 112 2000 121 2001 135 Taxa de Inflação (1998-1999) = (112/105) – 1 = 1,067 – 1 ⇒ ⇒ Taxa de Inflação (1998-1999) = 0,067 = 6,7% Taxa de Inflação (1999-2000) = (121/112) – 1 = 1,080 – 1 ⇒ ⇒ Taxa de Inflação (1999-2000) = 0,080 = 8,0% Taxa de Inflação (2000-2001) = (135/121) – 1 = 1,116 – 1 ⇒ ⇒ Taxa de Inflação (2000-2001) = 0,116 = 11,6% Portanto, a taxa de inflação foi crescente. Há que se ressaltar que não é necessário fazer todas estas contas. Basta verificar que as diferenças do IPI aumentaram de um ano para outro. Veja: IPC 1998 105 1999 112 ⇒ IPC (1999) – IPC (1998) = 112 – 105 = 7 2000 121 ⇒ IPC (2000) – IPC (1999) = 121 – 112 = 9 2001 135 ⇒ IPC (2001) – IPC (2000) = 135 – 121 = 14 Ou seja, as diferenças são crescentes. A alternativa está INCORRETA. (B) a taxa média de inflação no período 1998-2007 foi inferior a 8,3% ao ano. IPC 1998 105 2007 183 Portanto, a taxa média de inflação no período de 1998-2007 foi de: Taxa Média de Inflação (1998-2007) = (183/105) – 1 = 1,743 – 1 ⇒ ⇒ Taxa Média de Inflação (1998-2007) = 0,743 = 74,3%




Contudo, a alternativa deseja saber a taxa média por ano. De 1998 até 2007 são 9 anos. Portanto, teremos:

Taxa Média de Inflação Por Ano = 74,3%

9_ anos = 8,26% ao ano

A alternativa está CORRETA. (C) houve deflação no ano de 2002. IPC 2001 135 2002 145 Repare que o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) de 2001 a 2002 aumentou. Portanto, houve inflação. A alternativa está INCORRETA. (D) a taxa de inflação no período 2001-2004 foi crescente.

IPC 2001 135 2002 145 ⇒ IPC (2002) – IPC (2001) = 145 – 135 = 10 2003 154 ⇒ IPC (2003) – IPC (2002) = 154 – 145 = 9 2004 160 ⇒ IPC (2004) – IPC (2003) = 160 – 154 = 6 Repare que as diferenças diminuíram de 2001 para 2004. Portanto, a taxa de inflação no período 2001-2004 foi decrescente. A alternativa está INCORRETA. (E) a taxa média de inflação no período 2001 a 2007 foi inferior a 3,8% ao ano.

IPC

2001 135 2007 183 Portanto, a taxa média de inflação no período de 2001-2007 foi de:

Taxa Média de Inflação (2001-2007) = (183

135) – 1 = 1,3556 – 1 ⇒

⇒ Taxa Média de Inflação (2001-2007) = 0,3556 = 35,56% De 2001 até 2007 são 6 anos. Portanto, teremos:

Taxa Média de Inflação Por Ano = 35,56%

6_ anos = 5,92% ao ano (superior a 3,8%

ao ano). A alternativa está INCORRETA. GABARITO: B




49.(Petrobrás-Profissional Júnior-Ciências Contábeis-2008-Cesgranrio) Certo capital, aplicado por 10 meses, a uma taxa de 18% ao ano (juros simples), rende R$ 72.000,00 de juros. Este capital aplicado, em reais, é (A) 360.000,00 (B) 400.000,00 (C) 480.000,00 (D) 500.000,00 (E) 510.000,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples (J) ⇒ J = C .i . t Capital Aplicado = C Período (t) = 10 meses Taxa de Juros Simples (i) = 18% ao ano = 18/100 = 0,18 ao ano Juros = R$ 72.000,00 Como a taxa de juros simples informada é anual, para o cálculo do período, também será utilizada a base anual. Fazendo a regra de três abaixo: 1 ano ===� 12 meses Período ===� 10 meses

Período x 12 = 1 x 10 ⇒ Período = 10

12 ano

Juros = C . i . t ⇒ 72.000 = C x 0,18 x (10

12) ⇒

⇒ 72.000 = C x 0,15 ⇒

⇒ C = 72.000

0,15⇒

⇒ C = 480.000 GABARITO: C 50.(Petrobrás-Técnico em Contabilidade-2008-Cesgranrio) Uma aplicação que rendeu juros simples de 2,5% ao mês, durante 4 meses, gerou um montante de R$ 60.000,00. O valor aplicado que permitiu chegar a esse valor de resgate, em reais, foi (A) 55.555,55 (B) 55.455,54 (C) 55.000,00 (D) 54.545,45 (E) 50.000,00




Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M = C . (1 + i . t)

Valor Atual = Valor Aplicado = Capital Aplicado = C Taxa de Juros simples (i) = 2,5% ao mês = 2,5/100 = 0,025 ao mês Período (t) = 4 meses Montante (M) = R$ 60.000,00 M = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ 60.000 = C x (1 + 0,025 x 4) ⇒

⇒ C = 60.000

1,1⇒

⇒ C = 54.545,45 GABARITO: D 51.(Petrobrás-Técnico em Contabilidade-2008-Cesgranrio) A Empresa Trás os Montes Ltda. obteve do Banco Z, numa operação de desconto de duplicatas, um valor líquido de R$ 72.000,00. Sabendo-se que a duplicata tinha vencimento para 25 dias, a contar da data do desconto, e que o Banco cobra uma taxa de desconto simples de 2% ao mês, o valor da duplicata descontada, em reais, é (A) 75.000,00 (B) 74.333,33 (C) 73.220,36 (D) 72.999,33 (E) 71.111,54 Resolução A questão definiu: Desconto Simples. Como é desconto de duplicatas, é desconto comercial ou por fora.

Desconto Comercial ou por Fora (D): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. AD = N – D = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) Valor Nominal das Duplicatas = N Valor Atual das Duplicatas (AD) = R$ 72.000,00 (valor líquido) Período (t) = 25 dias


100= 0,02 ao mês






30= 5

6

AD = N – D ⇒ 72.000 = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) ⇒

⇒ 72.000 = N x (1 – 0,02 x 5

6) ⇒

⇒ 72.000 = N x (1 – 0,01667) ⇒ ⇒ 72.000 = N x 0,98333 ⇒

⇒ N = 72.00

0,98333⇒

⇒ N = 73.220,34 GABARITO: C 52.(Agente Judiciário-Administrador-TJ/RO-2008-Cesgranrio) Um investidor que aplicou um capital durante 25 meses, à taxa de juros simples de 2,0% ao mês, resgatou, no final da operação, R$ 25.000,00 de juros. Qual o valor, em reais, aplicado por esse investidor? (A) 32.500,00 (B) 37.500,00 (C) 42.500,00 (D) 50.000,00 (E) 52.500,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ J = C . i . t

Valor Atual = Valor Aplicado = Capital Aplicado = C

Taxa de Juros simples (i) = 2,0% ao mês = 2,0

100= 0,020 ao mês

Período (t) = 25 meses Juros (J) = R$ 25.000,00 J = C . i . t ⇒ ⇒ 25.000 = C x 0,020 x 25 ⇒25.000 = C x 0,50 ⇒

⇒ C = 25.000

0,50⇒

⇒ C = 50.000,00 GABARITO: D




53.(Agente Judiciário-Administrador-TJ/RO-2008-Cesgranrio) Uma empresa obtém do Banco um crédito de R$ 23.335,00, correspondente a uma duplicata descontada, pelo prazo de 28 dias, a uma taxa de juros simples de 2,48% ao mês. O valor, em reais, da duplicata levada ao Banco pela empresa foi (A) 24.105,32 (B) 23.887,76 (C) 23.853,33 (D) 23.553,00 (E) 23.533,55 Resolução A questão definiu: Desconto Simples (duplicatas descontadas é desconto comercial).

Desconto Comercial ou por Fora (D): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. AD = N – D = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) Valor Nominal da Duplicata = N Valor Atual da Duplicata (AD) = R$ 23.335,00 (valor líquido) Período (t) = 28 dias Taxa de Desconto Simples (iD) = 2,48% ao mês = 2,48/100 = 0,0248 ao mês Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias ===� 1 mês 28 dias ===� Período (t)


30= 14

15

AD = N – D ⇒ 23.335 = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) ⇒

⇒ 23.335 = N x (1 – 0,0248 x 14

15) ⇒

⇒ 23.335 = N x (1 – 0,023147) ⇒ ⇒ 23.335 = N x 0,976853 ⇒ ⇒ N = 23.335 /0,976853 ⇒ ⇒ N = 23.887,93 GABARITO: B




54.(Analista Administrativo-Ciências Contábeis-ANP-2008-Cesgranrio) A Empresa Dias & Noites Ltda. obteve um empréstimo de R$10.000,00 pelo prazo de 6 meses a juros simples de 3% ao mês. No final do prazo de empréstimo, a empresa vai pagar ao Banco o montante de (A) 11.800,00 (B) 11.699,99 (C) 11.500,00 (D) 11.333,33 (E) 10.980,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M = C . (1 + i . t)

Empréstimo Obtido (C) = R$ 10.000,00

Taxa de Juros simples (i) = 3% ao mês = 3

100= 0,03 ao mês

Período (t) = 6 meses Montante = M M = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ M = 10.000 x (1 + 0,03 x 6) ⇒ ⇒ M = 10.000 x (1 + 0,18) ⇒ ⇒ M = 10.000 x 1,18 ⇒ ⇒ M = 11.800,00 GABARITO: A 55.(Analista Administrativo-Ciências Contábeis-ANP-2008-Cesgranrio) A Empresa Serra Verde Ltda. levou ao Banco quatro duplicatas no valor de R$32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e 180 dias, respectivamente, para descontá-las. O Banco ofereceu à empresa uma taxa de desconto simples de 3,45% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o ano comercial, o valor do desconto pago pela empresa no ato do empréstimo, em reais, foi (A) 20.182,50 (B) 25.750,00 (C) 26.910,00 (D) 32.187,50 (E) 33.637,50




Resolução A questão definiu: Desconto Simples (duplicatas descontadas é desconto comercial).

Desconto Comercial ou por Fora (D): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. AD = N – D = N – N . iD . t = N.(1 – iD . t) Valor Nominal das Duplicatas = R$ 32.500,00 cada Períodos (t) = 90 dias (3 meses), 120 dias (4 meses), 150 dias (5 meses) e 180 dias (6 meses)


100= 0,0345 ao mês

D = N .iD . t ⇒ ⇒ D = 32.500 x 0,0345 x 3 + 32.500 x 0,0345 x 4 + 32.500 x 0,0345 x 5 + 32.500 x 0,0345 x 6 ⇒ ⇒ D = 32.500 x 0,0345 x (3 + 4 + 5 + 6) ⇒ ⇒ D = 32.500 x 0,0345 x 18 ⇒ ⇒ D = 20.182,50 GABARITO: A 56.(Ciências Contábeis-BNDES-2008-Cesgranrio) O valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que permite que um investimento de R$ 1.000,00 se transforme em um montante de R$ 1.250,00 num prazo de 20 meses é (A) 2,5% ao mês. (B) 2,0% ao mês. (C) 1,55% ao mês. (D) 1,50% ao mês. (E) 1,25% ao mês. Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M = C . (1 + i . t)

Capital Aplicado = Investimento (C) = R$ 1.000,00 Taxa de Juros simples = i Período (t) = 20 meses Montante = R$ 1.250,00

0 3 5 6

Data Focal

4

32.500




M = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ 1.250 = 1.000 x (1 + i x 20) ⇒ 1.250 = 1.000 x (1 + 20 x i) ⇒

⇒ 1.250

1.000= 1 + 20 x i ⇒ 1,25 = 1 + 20 x i ⇒

⇒ 20 x i = 1,25 – 1 ⇒ 20 x i = 0,25 ⇒

⇒ i = 0,25

20⇒ i = 0,0125 ⇒

⇒ i = 1,25% ao mês GABARITO: E 57.(Contador-INEA-2008-Cesgranrio) Antônio Monteiro aplicou um capital em um título que rendia juros simples de 4% ao mês. Ao final de um ano (12 meses), Antônio recebeu juros de R$ 9.000,00. O capital inicial aplicado, em reais, foi (A) 20.000,00 (B) 19.500,00 (C) 18.955,00 (D) 18.750,00 (E) 17.125,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ J = C . i . t


Taxa de Juros simples (i) = 4,0% ao mês = 4,0

100= 0,040 ao mês

Período (t) = 12 meses Juros (J) = R$ 9.000,00 J = C . i . t ⇒ ⇒ 9.000 = C x 0,040 x 12 ⇒9.000 = C x 0,48 ⇒

⇒ C = 9.000

0,48⇒

⇒ C = 18.750,00 GABARITO: D




58.(Analista Administrativo-Geral-ANP-2008-Cesgranrio) A taxa de juros simples de 1% ao mês é proporcional à taxa trimestral de (A) 1,3% (B) 2,0% (C) 2,1% (D) 3,0% (E) 3,03% Resolução Vamos aproveitar a questão para estudar alguns conceitos. Taxa Nominal A taxa de juros nominal é a taxa definida para um período de tempo diferente do período de capitalização. Taxa Efetiva A taxa efetiva corresponde à taxa correspondente ao período de capitalização. Exemplo: i = 48% ao ano com capitalização mensal. i = 48% ao ano ⇒ taxa nominal i´= 48%/12 = 4% ao mês ⇒ taxa efetiva, tendo em vista que a capitalização é mensal. Taxa Proporcional A taxa proporcional é a taxa cuja razão entre elas e entre os períodos de tempo a que se referem são iguais. Exemplo: i = 60% ao ano é proporcional a i´= 5% ao mês. 60% 12

5% 1= ⇒60% = 5% x 12

60% estão para 5%, assim como 12 meses (1 ano) estão para 1 mês. Exemplo: i = 60% ao ano é proporcional a i´= 30% ao semestre. 60% 2

30% 1= ⇒60% = 30% x 2

60% estão para 30%, assim como 12 meses (1 ano) estão para 6 meses (1 semestre). Taxa Equivalente A taxa equivalente é aquela que se refere a períodos de tempo diferentes e que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, originam o mesmo montante. 1 + ieq = (1 + i)t ⇒ juros compostos




Onde, ieq = taxa equivalente à taxa de juros “i”. t = período. Nota: Nos juros simples, as taxas equivalentes são iguais às taxas proporcionais (em valor). Nos juros compostos, que é assunto do próximo capítulo, esta situação não ocorre. Exemplo: Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal composta de 5%. i = 5% ao mês (juros compostos) t = 3 (trimestre = 3 meses) 1 + ieq = (1 + 5%)3 = (1,05)3 = 1,157625 ⇒ ⇒ ieq = 1,157625 – 1 = 0,157625 = 15,76% ao trimestre Exemplo: Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal simples de 5%. i = 5% ao mês (juros simples) ⇒ ieq = 5% x 3 = 15% ao trimestre (*) Repare que i = 15% ao trimestre é proporcional a i´= 5% ao mês. 15% 3

5% 1= ⇒15% = 5% x 3

15% estão para 5%, assim como 3 meses (trimestre) estão para 1 mês. Exemplo: Calcular a taxa ao quadrimestre equivalente à taxa de 48% ao ano com capitalização mensal composta. i = 48% ao ano com capitalização mensal composta ⇒ taxa nominal i = 48%/12 = 4% ao mês ⇒ taxa efetiva t = 4 (quadrimestre = 4 meses) 1 + ieq = (1 + 4%)4 = (1,04)4 = 1,169859 ⇒ ⇒ ieq = 1,169859 – 1 = 0,169859 = 16,99% ao quadrimestre

1 + ieq = 1 + i.t ⇒ ieq = i.t ⇒ juros simples




Vamos à resolução da questão: A questão definiu: Juros Simples

Taxas Proporcionais: são taxas cuja razão entre elas e entre os períodos de tempo a que se referem são iguais. 1% 1 1

% 1 3

mês mês

x trimestre meses= = ⇒ x% = 1% x 3 ⇒ x% = 3% ao trimestre

GABARITO: D 59.(Atuário-TCE/MG-2007-FCC) O capital de R$ 25.000,00 permaneceu aplicado em uma instituição financeira durante 1 ano e 3 meses. Se a taxa de juros adotada foi de 12% a.a., os juros simples desse período corresponderam a (A) R$ 3.750,00 (B) R$ 3.550,00 (C) R$ 3.250,00 (D) R$ 3.150,00 (E) R$ 2.950,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M =C . (1 + i . t) Capital Aplicado (C) = R$ 25.000,00


100= 0,12 ao ano

Como a taxa de desconto simples informada é anual, para o cálculo do período, também será utilizada a base anual. Fazendo a regra de três abaixo: 12 meses ===� 1 ano 1 ano e 3 meses = 15 meses ===� Período (t)


12= 5

4 ano

Juros = C . i . t ⇒

⇒ Juros = 25.000 x 0,12 x 5

4⇒

⇒ Juros = 25.000 x 5 x 0,03 ⇒ ⇒ Juros = 25.000 x 0,15 ⇒ ⇒ Juros = R$ 3.750,00 GABARITO: A




60.(TCE-RO-Administrador-2007-Cesgranrio) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado por um período de 6 meses, a uma taxa de juros (simples) de 2% ao mês. No dia do resgate, qual o montante de juros, em reais, obtido pelo investidor com esta aplicação? (A) 5.500,00 (B) 5.999,66 (C) 6.000,00 (D) 6.333,33 (E) 6.666,33 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ J = C . i . t

Capital Aplicado (C) = R$ 50.000,00


100= 0,02 ao mês

Período (t) = 6 meses Juros = J J= C . i . t ⇒ ⇒ J = 50.000 x 0,02 x 6 ⇒ ⇒ J = 50.000 x 0,12 ⇒ ⇒ J = 6.000,00 GABARITO: C 61.(Refap-Administrador Junior-2007-Cesgranrio) O valor de resgate de uma aplicação com prazo de vencimento de 4 meses, a partir da data da aplicação, é R$ 60.000,00. Considerando-se que a taxa de juros (simples) é de 5% ao mês, para obter este resgate, o valor aplicado pelo investidor, em reais, foi: (A) 72.000,00 (B) 57.000,00 (C) 55.000,00 (D) 50.000,00 (E) 48.000,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M = C . (1 + i . t)



100= 0,05 ao mês

Período (t) = 4 meses Montante (M) = R$ 60.000,00




M = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ 60.000 = C x (1 + 0,05 x 4) ⇒ ⇒ C = 60.000 x 1,20 ⇒

⇒ C = 60.000

1,20⇒

⇒ C = 50.000,00 GABARITO: D 62.(Analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007 Cesgranrio) A tabela abaixo apresenta um resumo das operações de um correntista em um determinado mês. Dia do mês Operação Valor (em reais) 1 Depósito 100,00 6 Saque 200,00 11 Saque 500,00 21 Depósito 100,00 26 Saque 200,00 O contrato com o banco prevê pagamento de juros simples, numa taxa de 12% ao mês, para cada dia que o correntista permanece com saldo negativo, e este valor só é cobrado no mês seguinte. Considerando que, no início do mês, o saldo era de R$ 500,00, e que o mês em questão tem exatos 30 dias, pode-se afirmar que o valor, em reais, a ser cobrado de juros no mês seguinte é: (A) 4,00 (B) 6,66 (C) 8,00 (D) 12,00 (E) 80,00 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ J = C . i . t

Questão muito interessante relativa a juros sobre saldo bancário negativo (o famoso “cheque especial”). Vamos fazer a memória de cálculo:

Mês = 30 dias Taxa de Juros Simples (i) = 12% ao mês = 12/100 = 0,12 ao mês




Dia do mês Operação Valor (em reais) Saldo (em reais) 1 Saldo Inicial 500,00 1 Depósito 100,00 500,00 + 100,00 = 600,00 6 Saque 200,00 600,00 – 200,00 = 400,00 11 Saque 500,00 400,00 - 500,00 = -100,00 21 Depósito 100,00 -100,00 + 100,00 = 0 26 Saque 200,00 0 - 200,00 = -200,00 Repare que houve dois períodos em que o saldo bancário ficou negativo:

I - Período 1 = 11 a 20 = 10 dias (no dia 21 o saldo bancário foi zerado) Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias ===� 1 mês 10 dias ===� Período 1 (t)

10 x 1 = 30 x Período 1 (t) ⇒ Período 1 (t) = 10

30= 1

3

Saldo Bancário Negativo (C) = 100,00 Juros (Período 1) = C . i . t ⇒

⇒ Juros (Período 1) = 100 x 0,12 x (1

3) ⇒

⇒ Juros (Período 1) = 4,00 II - Período 2 = 26 a 30 = 5 dias Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias ===� 1 mês 5 dias ===� Período 2 (t)

5 x 1 = 30 x Período 2 (t) ⇒ Período 2 (t) = 5

30= 1

6

Saldo Bancário Negativo (C) = 200,00 Juros (Período 2) = C . i . t ⇒

⇒ Juros (Período 2) = 200 x 0,12 x (1

6) ⇒

⇒ Juros (Período 2) = 4,00 Juros do Mês = Juros (Período 1) + Juros (Período 2) ⇒ Juros do Mês = 4,00 + 4,00 ⇒ ⇒ Juros do Mês (pagos no mês seguinte) = 8,00 GABARITO: C




63.(Analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007 Cesgranrio) Seja um título com valor nominal de R$ 4.800,00, vencível em dois meses, que está sendo liquidado agora. Sendo de 10% a.m. a taxa de desconto simples adotada, é correto afirmar que o desconto: (A) comercial ou “por fora” é de R$ 960,00. (B) comercial ou “por fora” é de R$ 480,00. (C) comercial ou “por fora” é de R$ 200,00. (D) racional ou “por dentro” é de R$ 1.008,00. (E) racional ou “por dentro” é de R$ 480,00. Resolução A questão definiu: Desconto Simples. A questão estabelece que um título, vencível em dois meses, foi liquidado agora e não determina o tipo de desconto. Nas alternativas, também há respostas para os dois tipos. Portanto, vamos calcular os dois. Desconto Comercial ou por Fora (D): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. AD = N – D = N – N .iD . t = N . (1 – iD . t) Valor Nominal (N) = R$ 4.800,00 Períodos (t) = 2 meses


100= 0,10 ao mês

D = N .iD . t ⇒ ⇒ D = 4.800 x 0,10 x 2 ⇒ ⇒ D = 4.800 x 0,20 ⇒ ⇒ D = 960,00 (desconto comercial ou “por fora”) ⇒ alternativa “a”. Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (Dr): é o desconto que determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Dr = N - Ad

N = Ad .(1 + id . t) ⇒ Ad = (1 . )d

N

i t+

Valor Nominal (N) = R$ 4.800,00 Períodos (t) = 2 meses Taxa de Desconto Simples (iD) = 10% ao mês = 10/100 = 0,10 ao mês




Dr = N - Ad ⇒ Dr = N – (1 . )d

N

i t+⇒

⇒ Dr = 4.800 – 4.800

(1 0,10 2)+ × ⇒

⇒ Dr = 4.800 – 4.800

(1 0,20)+ ⇒

⇒ Dr = 4.800 – 4.800

1,20 ⇒

⇒ Dr = 4.800 x 1

(11,20

)− ⇒

⇒ Dr = 4.800 x 1,20 1( )1,20

− ⇒

⇒ Dr = 4.800 x 0,20

1,20⇒

⇒ Dr = 4.800 x 1

6⇒

⇒ Dr = 800,00 (desconto racional ou “por dentro”) GABARITO: A 64.(Contador-Refap-2007-Cesgranrio) A quantia de R$ 35.000,00, aplicada a juros (simples) de 1% ao mês, gera um montante de R$ 42.000,00. De quantos meses é o prazo que torna este fato realidade? (A) 24 (B) 20 (C) 18 (D) 16 (E) 12 Resolução A questão definiu: Juros Simples ⇒ M = C . (1 + i . t)

Valor Atual = Valor Aplicado = Capital Aplicado (C) = R$ 35.000,00


100= 0,01 ao mês

Período = t Montante (M) = R$ 42.000,00




M = C . (1 + i . t) ⇒ ⇒ 42.000 = 35.000 x (1 + 0,01 x t) ⇒

⇒ 1 + 0,01 x t = 42.000

35.000⇒

⇒ 0,01 x t = 6

5 – 1 ⇒

⇒ 0,01 x t = 6 5

5

− ⇒

⇒ 0,01 x t = 1

5⇒

⇒ 0,01 x t = 0,20 ⇒

⇒ t = 0,20

0,01⇒

⇒ t = 20 meses GABARITO: B 65.(Contador-Refap-2007-Cesgranrio) O desconto de uma duplicata gerou um crédito de R$ 15.000,00 na conta da Cia. Beta. Sabendo-se que o título tem prazo de vencimento para 35 dias, após o desconto, e que o Banco cobra uma taxa de desconto simples de 2,5%, ao mês, para esse tipo de operação, o valor, em reais, da duplicata entregue pela Cia. Beta foi: (A) 14.549,36 (B) 14.562,00 (C) 15.504,46 (D) 15.450,64 (E) 15.500,00 Resolução A questão definiu: Desconto Simples (desconto de duplicata é comercial)

Desconto Comercial ou por Fora (D): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. AD = N – D = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) Valor Nominal da Duplicata = N Valor Atual da Duplicata (AD) = R$ 15.000,00 (valor líquido) Período (t) = 35 dias


100= 0,025 ao mês






30= 7

6

AD = N – D ⇒ 15.000 = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) ⇒

⇒ 15.000 = N x (1 – 0,025 x 7

6) ⇒

⇒ 15.000 = N x (1 – 0,029167) ⇒ ⇒ 15.000 = N x 0,970833 ⇒

⇒ N = 15.000

0,970833⇒

⇒ N = 15.450,64 GABARITO: D 66.(Técnico de Controle Externo-Administração-TCE/RO-2007-Cesgranrio) A Empresa Garcia & Souza Ltda. realizou um desconto de duplicatas no Banco da Praça com as seguintes características: Valor da duplicata: R$ 20.000,00; prazo para o vencimento do título: 27 dias; taxa de desconto simples, cobrada pelo Banco: 2,6% ao mês. Com base nos dados acima, qual o valor, em reais, liberado pelo Banco à empresa? (A) 19.352,00 (B) 19.480,00 (C) 19.468,00 (D) 19.532,00 (E) 20.468,00 Resolução A questão definiu: Desconto Simples (desconto de duplicata é comercial)

Desconto Comercial ou por Fora (D): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. AD = N – D = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) Valor Nominal da Duplicata = R$ 20.000,00 Valor Atual da Duplicata = AD Período (t) = 27 dias





100= 0,026 ao mês



30= 9

10

AD = N – D ⇒ AD = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) ⇒

⇒ AD = 20.000 x (1 – 0,026 x 9

10) ⇒

⇒ AD = 20.000 x (1 – 0,0234) ⇒ ⇒ AD = 20.000 x 0,9766 ⇒ ⇒ AD = 19.532,00 GABARITO: D 67.(Analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007 Cesgranrio) Uma aplicação foi feita considerando uma taxa de juros de 81,80% ao período. Considerando que a inflação nesse período foi de 1%, a taxa real de juros foi: (A) 80,98% (B) 80,80% (C) 80,00% (D) 73,62% (E) 70,00% Resolução Fator de Ganho Real = Fator de Ganho Nominal/Fator de Inflação

Fator de Ganho Nominal = 1 + 81,80% = 1 + 81,80

100= 1 + 0,8180 ⇒

⇒ Fator de Ganho Nominal = 1,8180

Fator de Inflação = 1 + 1% = 1 + 1

100= 1 + 0,01 ⇒

⇒ Fator de Inflação = 1,01

Fator de Ganho Real = 1,8180

1,01= 1,80

Taxa Real de Juros = Fator de Ganho Real – 1 = 1,80 – 1 ⇒ ⇒ Taxa Real de Juros = 0,80 = 80% ao período GABARITO: C




Para fechar, mais três questões antigas, mas com conceitos importantes. 68.(AFRF-2005-Esaf) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a: a) R$ 159.523,00 b) R$ 159.562,00 c) R$ 162.240,00 d) R$ 162.220,00 e) R$ 163.230,00 Resolução Vamos estudar os conceitos. Equivalência de Capitais – Desconto Comercial Data de Equivalência no Futuro N = valor nominal A = valor atual i = taxa de juros t = período Data de Equivalência no Passado

T

A

T + t

N N = A/(1 – i . t)

T

A

T + t

N A = N . (1 – i . t)




Vamos à resolução da questão: A questão definiu: Desconto Comercial Simples (D)


100= 0,04 ao mês

D = N . iD . t = N – AD AD = N – D = N – N . iD . t = N . (1 – iD . t) Dois títulos ⇒ R$ 50.000,00 (2 meses) e R$ 100.000,00 (3 meses) ⇒ substituir por um único com vencimento em 4 meses. Como a questão não informou sobre a data focal (data de referência), deve ser adotado o momento 0: 50.000 (1 0,04 2) 100.000 (1 0,04 3) (1 0,04 4)

50.000 0,92 100.000 0,88 0,84

0,84 46.000 88.000

0,84 134.000

134.000

0,84

159.523,80

N

N

N

N

N

N

× − × + × − × = × − × ⇒

⇒ × + × = × ⇒

⇒ × = + ⇒

⇒ × = ⇒

⇒ = ⇒

⇒ =

GABARITO: A

69.(AFTN-1998-Esaf) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos.

a) R$ 4.067,00

b) R$ 4.000,00

c) R$ 3.996,00

d) R$ 3.986,00

e) R$ 3.941,00

3 meses 2 meses

50.000 100.000

4 meses

N

0




Resolução Vamos estudar os conceitos:

Juros Exatos Os juros exatos são calculados em relação ao ano civil (366 ou 365 dias, caso seja ou não bissexto). Os meses terão 28, 29, 30 ou 31 dias. Anos Bissextos = anos divisíveis por 4 Exemplos: 2000, 2004, 2008, 2012. Juros Comerciais ou Ordinários Os juros comerciais ou ordinários são calculados sobre o ano comercial (360 dias ⇒ mês de 30 dias). Os meses terão 30 dias. Juros Bancários Na modalidade de juros bancários, os meses terão 28, 29, 30 ou 31 dias e o ano terá 360 dias. Importante: Para calcular o número de dias da aplicação, há que se ressaltar que o dia da aplicação é contado e o dia do resgate não é contado. E se a pessoa aplicar e resgatar no mesmo dia? Haverá juros? Vejamos: como o dia da aplicação é o mesmo dia do resgate, e o dia da aplicação conta e o do resgate não, há uma contradição (risos), mas é claro que não conta. Se a pessoa aplicar e resgatar no mesmo dia, não há que se falar em juros. Exemplo: Se R$ 1.000,00 foram aplicados de 11/04/03 até 23/06/03, à taxa de juros simples de 60% ao ano, calcule o montante considerando os juros simples exatos. Período (t) 11/04 até 30/04 =====� 20 dias ⇒ conta o dia da aplicação 01/05 até 31/05 =====� 31 dias 01/06 até 23/06 =====� 22 dias ⇒ não conta o dia do resgate Total 73 dias 2003 ⇒ Não é bissexto ⇒ 365 dias t = 73 dias/365 dias = 0,2 ano i =60% ao ano = 60/100 = 0,6 ao ano M = C. (1 + i . t) = 1.000 x (1 + 0,6 x 0,2) = 1.000 x 1,12 = 1.120




Exemplo: Se R$ 1.000,00 foram aplicados de 11/04/03 até 23/06/03, à taxa de juros simples de 60% ao ano, calcule o montante considerando os juros simples comerciais. Período (t) 11/04 até 30/04 =====� 20 dias ⇒ conta o dia da aplicação maio =====� 30 dias ⇒ sempre 30 dias 01/06 até 23/06 =====� 22 dias ⇒ não conta o dia do resgate Total 72 dias Ano = 360 dias (sempre) t = 72 dias/360 dias = 0,2 ano i =60% ao ano = 60/100 = 0,6 ao ano M = C. (1 + i . t) = 1.000 x (1 + 0,6 x 0,2) = 1.000 x 1,12 = 1.120 Exemplo: Se R$ 1.000,00 foram aplicados de 11/04/03 até 23/06/03, à taxa de juros simples de 60% ao ano, calcule o montante considerando os juros simples bancários. Período (t) 11/04 até 30/04 =====� 20 dias ⇒ conta o dia da aplicação 01/05 até 31/05 =====� 31 dias 01/06 até 23/06 =====� 22 dias ⇒ não conta o dia do resgate Total 73 dias Ano = 360 dias (sempre) t = 73 dias/360 dias =0,203 ano i =60% a.a = 0,6 ao ano M = C. (1 + i . t) = 1.000 x (1 + 0,6 x 0,203) = 1.000 x 1,122 = 1.122 Vamos à resolução da questão: I – Considerando que os juros simples ordinários são iguais aos juros comerciais: C = 4.800 i = 36% ao ano Ano = 360 dias Período Total: 05/maio a 30/maio ==== 26 dias ⇒ o dia da aplicação é contado. junho ==== 30 dias julho ==== 30 dias agosto ==== 30 dias setembro ==== 30 dias outubro ==== 30 dias 01/nov a 25/nov ==== 24 dias ⇒ o dia do resgate não é contado. Período Total 200 dias




M = C.(1 + i.n) ⇒ 4.800 = C.(1 + 36% x 200

360) ⇒

⇒ C = 4.000, alternativa “b” (ou seja, no gabarito antes dos recursos, a Esaf considerou que os juros ordinários equivalem aos juros comerciais). II – Para fins didáticos, vamos calcular os juros exatos: C = 4.800 i = 36% ao ano Ano = 365 dias Período Total: 05/maio a 31/maio ==== 27 dias ⇒ o dia da aplicação é contado. junho ==== 30 dias julho ==== 31 dias agosto ==== 31 dias setembro ==== 30 dias outubro ==== 31 dias 01/nov a 25/nov ==== 24 dias ⇒ o dia do resgate não é contado. Período Total 204 dias

M = C.(1 + i.n) ⇒ 4.800 = C.(1 + 36% x 204

365) ⇒

⇒ C = 3.996, alternativa “c”. III – Para fins didáticos, vamos calcular os juros bancários: C = 4.800 i = 36% ao ano Ano = 360 dias Período Total: 05/maio a 31/maio ==== 27 dias ⇒ o dia da aplicação é contado. junho ==== 30 dias julho ==== 31 dias agosto ==== 31 dias setembro ==== 30 dias outubro ==== 31 dias 01/nov a 25/nov ==== 24 dias ⇒ o dia do resgate não é contado. Período Total 204 dias

M = C.(1 + i.n) ⇒ 4.800 = C.(1 + 36% x 204

360) ⇒

⇒ C = 3.986, alternativa “d”. GABARITO: B (antes dos recursos) e ANULADA (após os recursos)




70.(AFTN-1996-Esaf) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações. Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 10º mês; a segunda ao final de 30º mês; a terceira ao final do 70º mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é: a) $ 8.200,00 b) $ 9.333,33 c) $ 10.752,31 d) $ 11.200,00 e) $ 12.933,60 Resolução Vamos estudar os conceitos: Equivalência de Capitais – Desconto Racional Importante: Para os juros simples, a menos que o enunciado especifique algo em contrário, deveremos utilizar a data focal (data de referência) no momento zero (os juros são sempre calculados sobre o capital inicial). Data de Equivalência no Futuro N = valor nominal A = valor atual i = taxa de juros t = período Data de Equivalência no Passado

T

A

T + t

N N = A . (1 + i . t)

T

A

T + t

N A = N/(1 + i . t)




Exemplo: Luíza adquiriu um equipamento e vai pagá-lo em duas prestações iguais de R$ 3.564,00 com vencimentos em 30 e 60 dias, calculadas a juros simples, a uma taxa mensal de 10%. Na data do vencimento da primeira prestação, Luíza propõe uma repactuação da dívida, em pagamentos iguais, com vencimento ao final de 60 e 90 dias, mantidos o sistema de capitalização e a taxa mensal de juros. Se a proposta apresentada mantém o valor à vista do equipamento, calcule o valor dessa nova prestação, desprezando os centavos, utilizando desconto simples racional. Prestações (duas) = 3.564 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês (juros simples) = 10/100 = 0,10 ao mês

Repare que os vencimentos das novas prestações correspondem a 90 dias (60 dias após a data de vencimento da primeira prestação) e 120 dias (90 dias após a data de vencimento da primeira prestação).

1 1 1 13.564

1 0,10 1 1 0,10 2 1 0,10 3 1 0,10 4

1 1 1 13.564

1,1 1,2 1,3 1,4

1,4 1,3 1,2 1,13.564

1,3 1,4 1,1 1,2

1,4835 3.564 1.7424

6.2104.186

1,48

P

P

P

P

P

× + = × + ⇒ + × + × + × + ×

⇒ × + = × + ⇒

+ + ⇒ × = × ⇒ × ×

⇒ × = × ⇒

⇒ = =

Vamos à resolução da questão: 60 dias = 2 meses 90 dias = 3 meses Juros simples = 2% ao mês Substituir o pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias, por um pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 10º mês; a segunda ao final de 30º mês; a terceira ao final do 70º mês.

0

30 90 120

P

Data Focal 60

3.564

t1 = 30 dias = 1 mês => P1 = 3.564 t2 = 60 dias = 2 meses => P2 = 3.564 t3 = 90 dias = 3 meses => P t4 = 120 dias = 4 meses => P




Como a questão não definiu, utilizaremos o desconto racional e a data focal no mês zero:

´ ´ ´

1 2 2% 1 3 2% 1 10 2% 1 30 2% 1 70 2%

´ ´ ´

1,04 1,06 1,20 1,60 2,40

1 1 1 1 1. .́1,04 1,06 1,20 1,60 2,40

1,90 11.0241,90. 1,875. ´ ´ 11.200,00

1,875

P P P P P

P P P P P

P P

P P P

+ = + + ⇒+ × + × + × + × + ×

⇒ + = + + ⇒

⇒ + = + + ⇒

×⇒ = ⇒ = =

GABARITO: D Abraços e até a próxima aula, Bons estudos, Moraes Junior [email protected] Alexandre Lima [email protected]

P = 11.024

2 3

10 30 70

1

P´

0




Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula (Analista de Correios-Contador-Correios-2011-Cespe) Uma promissória no valor de R$ 12.500,00, com vencimento em dois meses, foi descontada em um banco que pratica a taxa de desconto simples por fora de 10% ao mês. 1. Como o detentor da promissória deveria pagar R$ 12.500,00 ao final dos dois meses, é correto afirmar que o banco cobrou do cliente uma taxa de juros compostos mensais superior a 11,5%. 2. O detentor da promissória recebeu do banco menos de R$ 9.980,00. 3.(Contador Junior-Auditoria Interna-Transpetro-2011-Cesgranrio) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de (A) 68.085,10 (B) 66.000,00 (C) 65.000,00 (D) 64.555,12 (E) 63.656,98 4.(Contador Junior-Auditoria Interna-Transpetro-2011-Cesgranrio) Uma empresa obteve um desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes condições: • Prazo do título 2 meses • Taxa de desconto simples cobrada pelo banco 2,5% ao mês Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de (A) 11.660,00 (B) 11.460,00 (C) 11.400,00 (D) 11.200,00 (E) 11.145,00 5.(Analista-Contabilidade-Finep-2011-Cesgranrio) Uma aplicação de R$ 23.390,00 resultou, em quatro meses, no montante de R$ 26.383,92. A taxa mensal de juros simples que permitiu esse resultado foi (A) 4,14% (B) 3,20% (C) 3,18% (D) 3,10% (E) 2,88%




6.(Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Energia-Área 3-Aneel-2010-Cespe) Considerando que um capital seja investido à taxa de 10% ao ano, no regime de capitalização simples, o tempo em que o capital dobrará de valor é superior a 11 anos. (Contador-FUB-2010-Cespe) Com relação ao regime de juros simples, julgue os itens a seguir. 7. Uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 1,2% ao mês, durante 24 dias, rende juros de R$ 10,00. 8. Um capital de R$ 10.000,00 aplicado durante três períodos sucessivos, à taxa de 15% ao período, gerará um juro final igual à metade desse capital. 9.(Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%. Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor. Nessa situação, sabendo-se que o regime de juros foi o simples, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ 9.000,00. 10.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade–Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Considere que, para comprar uma televisão no valor de R$ 875,00, João aplicou R$ 800,00 em um fundo de renda fixa, cujos juros simples são de 15% ao ano. Considere, ainda, que João não tenha realizado nenhuma outra aplicação e que não tenha havido mudanças no preço da televisão. Nessa situação, para que João obtenha recursos suficientes para comprar essa televisão, o menor período que o dinheiro deve ser aplicado será de A 75% de um ano. B 7 meses e meio. C 6 meses. D 5 meses e meio. E 3 meses 11.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade–Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Considere que um consumidor tenha contratado empréstimo de R$ 1.000,00, por 6 meses, no regime de juros simples. Considere, ainda, que o contrato preveja capitalização mensal, taxa de juros de 2% ao mês e que tanto o juro quanto o principal só sejam pagos ao fim do contrato. Nessa situação, o consumidor pagará, de juros, a quantia de




A R$ 120,00. B R$ 150,00. C R$ 200,00. D R$ 220,00. E R$ 600,00. 12.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade–Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Considerando-se que uma dívida de valor nominal de R$ 10.000,00 deva ser paga 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto racional simples de 30% ao ano, é correto afirmar que o desconto racional obtido será A inferior a R$ 800. B superior a R$ 800 e inferior a R$ 860. C superior a R$ 860 e inferior a R$ 920. D superior a R$ 920 e inferior a R$ 980. E superior a R$ 980. (Polícia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que um investidor tenha aplicado R$ 12.000,00 a juros simples mensais e, ao final de um ano, tenha obtido o montante de R$ 19.200,00, julgue os itens que se seguem. 13. O montante dessa aplicação ao final de um semestre foi inferior a R$ 15.000,00. 14. A taxa mensal de juros dessa aplicação foi superior a 4,5%. 15.(Fiscal de Rendas-ISS/RJ-2010-Esaf) Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 22.500,00 b) R$ 25.000,00 c) R$ 17.500,00 d) R$ 20.000,00 e) R$ 27.500,00 16.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf-Adaptada) Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês? a) R$ 2.115,00 b) R$ 2.092,00 c) R$ 2.090,00 d) R$ 2.105,00 e) R$ 2.135,00




17.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Um investidor fez uma aplicação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano. O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, no início, a 83,2, no fim do prazo. Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título nesse prazo? a) 8,5% b) 7,7% c) 8% d) 7,844% e) 8,68% 18.(AFT-Esaf-2010) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 60.000,00. b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,00. d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00. 19.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Raul pretende comprar um microcomputador em uma loja em que o preço de tabela é R$ 2 000,00. O vendedor lhe fez duas propostas de pagamento: uma, à vista, com desconto de X% sobre o preço de tabela; outra, em duas parcelas de R$ 1 000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda 1 mês após a compra. Mesmo dispondo do dinheiro para a compra à vista, Raul pensou na opção da compra a prazo, que lhe permitiria aplicar a diferença entre o preço à vista e o valor da primeira parcela, a uma taxa de 10% ao mês. Nessas condições, o menor número inteiro X, que tornaria a proposta de compra à vista mais vantajosa, é (A) 5 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 20.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$ 14.000,00 no final do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalização, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor do montante, no final do ano, seria de




(A) R$ 15.000,00. (B) R$ 15.500,00. (C) R$ 16.000,00. (D) R$ 17.360,00. (E) R$ 18.000,00. 21.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira: Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples, apresentando um valor atual de R$ 21.000,00. Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a (A) R$ 1.260,00. (B) R$ 1.268,80. (C) R$ 1.272,60. (D) R$ 1.276,40. (E) R$ 1.278,90. 22.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma pessoa aplica, na data de hoje, os seguintes capitais: I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 18 meses. II. R$ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durante um ano. O valor do montante verificado no item II supera em R$ 865,00 o valor do montante verificado no item I. A taxa de juros simples anual referente ao item I é igual a (A) 21%. (B) 15%. (C) 18%. (D) 27%. (E) 24%.




23.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma duplicata é descontada em um banco 50 dias antes de seu vencimento apresentando um valor atual igual a R$ 31.900,00. Considere que foi utilizada uma operação de desconto comercial simples, a uma taxa de 2% ao mês, com a convenção do mês comercial. O valor nominal da duplicata é de (A) R$ 33.000,00. (B) R$ 33.600,00. (C) R$ 32.900,00. (D) R$ 32.600,00. (E) R$ 32.800,00. 24.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma aplicação no valor de R$ 20.000,00 resultou, depois de um ano, em um montante igual a R$ 22.260,00. Se a taxa de inflação deste período foi de 5% significa que a taxa anual real referente à aplicação foi de (A) 5,6%. (B) 5,8%. (C) 6,0%. (D) 6,3%. (E) 6,5%. (Analista Judiciário-Área Administrativa-Contabilidade-TRT/17R-Cespe-2009) Julgue os itens a seguir, acerca de tópicos de matemática financeira. 25. Se o índice de inflação no 1.º semestre de certo ano for igual a 4,7% e o do 2.º semestre for igual a 5,3%, então o índice de inflação acumulado nesse ano será superior a 10%. 26. Se, ontem, um produto custava X reais e hoje o preço esse produto sofreu um aumento de 60%, então, para comprá-lo hoje pelo mesmo preço de ontem — X —, será preciso que esse produto sofra um desconto superior a 40%. 27. Se, do capital X, 40% forem investidos em um fundo de ações e o restante, em um fundo DI, e se, após um mês, as cotas desses fundos se valorizarem 15% e 2%, respectivamente, então a rentabilidade do capital X nesse mês será superior a 7%. 28. Considerando que o Comitê de Política Monetária do Banco Central do Brasil reduza a taxa básica de juros para 11,25% ao ano e que a inflação seja projetada em 4,5% ao ano para 2009, é correto afirmar que a taxa real de juros no Brasil ficará acima de 6,4% ao ano.




29.(ATRFB-2009-Esaf) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que: a) O dólar se desvalorizou 25% em relação ao real. b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. 30.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? a) 48% b) 10% c) 4% d) 54% e) 60% 31.(Bndes-Administração-2009-Cesgranrio) Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser (A) 5.104 (B) 5.191 (C) 5.250 (D) 5.280 (E) 5.344 32.(Ciências Contábeis-BNDES-2009-Cesgranrio) Um investidor aplicou, no Banco Atlântico, R$ 10.000,00, por um período de 17 dias, a uma taxa de juros simples de 1,2% ao mês. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo investidor, em reais, foi (A) 60,00 (B) 64,20 (C) 65,60 (D) 66,00 (E) 68,00




33.(Contador-Funasa-2009-Cesgranrio) Um investidor aplicou, durante quatro meses, determinada quantia em um título que rende juros simples de 2,5% ao mês. O valor de resgate deste título será de R$ 55.000,00. Com base no que foi informado, o valor da aplicação, em reais, foi (A) 45.454,54 (B) 50.000,00 (C) 52.255,52 (D) 52.500,00 (E) 54.545,45 34.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-Cesgranrio) Um investidor realizou uma aplicação de R$ 25.000,00 pelo prazo de 6 meses e, ao final da aplicação, obteve um lucro de R$ 1.500,00. Para que isso ocorresse, a taxa de juros simples mensal usada na aplicação foi (A) 1,00% (B) 1,25% (C) 1,33% (D) 1,50% (E) 1,66% 35.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-Cesgranrio) A Empresa Genetical Center apresentou para desconto no Banco Atlântico S/A uma duplicata no valor de R$ 12.000,00, com vencimento para 25 dias. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto simples de 3% ao mês, o valor líquido liberado pelo banco, em reais, foi (A) 10.999,37 (B) 11.333,33 (C) 11.366,66 (D) 11.666,33 (E) 11.700,00 36.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a (A) R$ 10.080,00 (B) R$ 8.506,80 (C) R$ 7.204,40 (D) R$ 6.933,60 (E) R$ 6.432,00




37.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias. I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50. II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples. Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de (A) R$ 27.200,00 (B) R$ 27.800,00 (C) R$ 28.000,00 (D) R$ 28.160,00 (E) R$ 28.401,60 38.(Auditor-Infraero-2009-FCC) Uma pessoa tomou dinheiro emprestado a juros simples durante 18 meses, tendo pago, ao final do período, o principal e mais R$ 14.400,00 a título de juros. Se ela tivesse tomado emprestado um capital duas vezes maior, à mesma taxa de juros e no mesmo período, ela teria pago um montante de R$ 80.000,00. O valor do capital que ela efetivamente tomou emprestado na operação correspondeu a, em R$, (A) 20.520,00 (B) 25.600,00 (C) 28.800,00 (D) 40.000,00 (E) 51.200,00 39.(Contador-Infraero-2009-FCC) Um capital de valor igual a R$ 10.000,00 é aplicado durante um ano apresentando, no final, um montante igual a R$ 11.275,00. Se a taxa real de juros correspondente a esta aplicação foi de 10%, tem-se que a inflação no período considerado foi de (A) 1,75% (B) 2,00% (C) 2,25% (D) 2,50% (E) 2,75% 40.(Contador-Infraero-2009-FCC) Um título de valor nominal igual a R$ 20.000,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento apresentando um valor atual de R$ 18.800,00, segundo uma operação de desconto comercial simples. Um outro título de valor nominal igual a R$ 25.000,00, descontado 2 meses antes de seu vencimento, com a mesma taxa mensal e operação de desconto do primeiro título, apresenta um desconto de valor igual a




(A) R$ 1.500,00 (B) R$ 1.200,00 (C) R$ 1.000,00 (D) R$ 900,00 (E) R$ 750,00 41.(Administrador-Infraero-2009-FCC) Uma pessoa investiu um certo capital X a juros simples, durante um ano, a uma taxa de 2% ao mês e resgatou, no final do período, todo o montante no valor de R$ 15.500,00. Caso ela tivesse aplicado o capital X, também durante um ano, a juros compostos, a uma taxa de 10% ao semestre, todo o montante resgatado teria sido de (A) R$ 15.730,00 (B) R$ 15.125,00 (C) R$ 14.520,00 (D) R$ 13.310,00 (E) R$ 12.705,00 42.(Administrador-Infraero-2009-FCC)Uma duplicata é descontada 45 dias antes de seu vencimento a uma taxa de juros de 4% ao mês, com a utilização do desconto comercial simples. Considerando o ano comercial e sabendo que o valor recebido na data do desconto foi de R$ 21.150,00, tem-se que o valor nominal da duplicata é de (A) R$ 22.500,00 (B) R$ 22.419,00 (C) R$ 21.996,00 (D) R$ 21.800,00 (E) R$ 21.500,00 43.(Analista Judiciário-Administrativa-TRT 15R-2009-FCC) Uma pessoa aplicou 2/3 de C reais à taxa mensal de 1,5% e, após 3 meses da data desta aplicação, aplicou o restante à taxa mensal de 2%. Considerando que as duas aplicações foram feitas em um regime simples de capitalização e que, decorridos 18 meses da primeira, os montantes de ambas totalizavam R$ 28.800,00, então o valor de C era (A) R$ 24 000,00 (B) R$ 24 200,00 (C) R$ 24 500,00 (D) R$ 22 800,00 (E) R$ 22 500,00 44.(Assistente de Suporte Técnico Nível I - Suporte Técnico à Gestão – Contabilidade-Prefeitura/SP-2008-FCC) Um investidor aplicou uma determinada importância à taxa de juros simples de 24% ao ano. Ao final de 165 dias, ele resgatou o montante de R$ 1.753,80. Considerando-se o ano comercial de 360 dias, o capital original aplicado equivalia, em R$, a




(A) 1.610,00 (B) 1.580,00 (C) 1.550,00 (D) 1.530,00 (E) 1.510,00 45.(Assessor-Contabilidade-MPE/RS-2008-FCC) Uma pessoa investe em um banco um capital C, durante 9 meses, a uma taxa de juros simples de 27% ao ano. No final do período, ela resgata todo o montante e o investe totalmente em outro banco, a uma taxa de juros simples de 36% ao ano, durante 10 meses. Verificando-se que o montante referente ao segundo investimento foi igual a R$ 18.759,00, tem-se que o valor de C, em R$, é igual a (A) 13.000,00 (B) 14.000,00 (C) 11.000,00 (D) 10.000,00 (E) 12.000,00 46.(Assessor-Contabilidade-MPE/RS-2008-FCC) Duas duplicatas com a soma dos respectivos valores nominais igual a R$ 22.000,00 são descontadas em um banco segundo uma operação de desconto bancário simples, a uma taxa de 36% ao ano. A primeira é descontada 2 meses antes de seu vencimento e a segunda 3 meses antes. Se a soma dos valores dos descontos das duas duplicatas foi igual a R$ 1.680,00, então o maior valor nominal das duplicatas, em R$, é igual a (A) 15.000,00 (B) 18.000,00 (C) 12.000,00 (D) 14.000,00 (E) 16.000,00 47.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) A taxa implícita de juros simples mensal, expressa em porcentagem (calculada “por dentro”), numa operação de desconto bancário simples de um título de 90 dias, no valor de R$ 10.000,00, com taxa de 2% ao mês (desprezando os algarismos a partir da 3a casa decimal depois da vírgula), equivale a (A) 2,12% (B) 2,11% (C) 2,10% (D) 2,09% (E) 2,08%




48.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) O índice de preços ao consumidor (IPC) de uma economia hipotética teve a seguinte evolução no período 1997-2007:

IPC 1997 100 1998 105 1999 112 2000 121 2001 135 2002 145 2003 154 2004 160 2005 168 2006 172 2007 183 Com base nos dados da tabela, é possível concluir que (A) a taxa de inflação no período 1998-2001 foi decrescente. (B) a taxa média de inflação no período 1998-2007 foi inferior a 8,3% ao ano. (C) houve deflação no ano de 2002. (D) a taxa de inflação no período 2001-2004 foi crescente. (E) a taxa média de inflação no período 2001 a 2007 foi inferior a 3,8% ao ano. 49.(Petrobrás-Profissional Júnior-Ciências Contábeis-2008-Cesgranrio) Certo capital, aplicado por 10 meses, a uma taxa de 18% ao ano (juros simples), rende R$ 72.000,00 de juros. Este capital aplicado, em reais, é (A) 360.000,00 (B) 400.000,00 (C) 480.000,00 (D) 500.000,00 (E) 510.000,00 50.(Petrobrás-Técnico em Contabilidade-2008-Cesgranrio) Uma aplicação que rendeu juros simples de 2,5% ao mês, durante 4 meses, gerou um montante de R$ 60.000,00. O valor aplicado que permitiu chegar a esse valor de resgate, em reais, foi (A) 55.555,55 (B) 55.455,54 (C) 55.000,00 (D) 54.545,45 (E) 50.000,00




51.(Petrobrás-Técnico em Contabilidade-2008-Cesgranrio) A Empresa Trás os Montes Ltda. obteve do Banco Z, numa operação de desconto de duplicatas, um valor líquido de R$ 72.000,00. Sabendo-se que a duplicata tinha vencimento para 25 dias, a contar da data do desconto, e que o Banco cobra uma taxa de desconto simples de 2% ao mês, o valor da duplicata descontada, em reais, é (A) 75.000,00 (B) 74.333,33 (C) 73.220,36 (D) 72.999,33 (E) 71.111,54 52.(Agente Judiciário-Administrador-TJ/RO-2008-Cesgranrio) Um investidor que aplicou um capital durante 25 meses, à taxa de juros simples de 2,0% ao mês, resgatou, no final da operação, R$ 25.000,00 de juros. Qual o valor, em reais, aplicado por esse investidor? (A) 32.500,00 (B) 37.500,00 (C) 42.500,00 (D) 50.000,00 (E) 52.500,00 53.(Agente Judiciário-Administrador-TJ/RO-2008-Cesgranrio) Uma empresa obtém do Banco um crédito de R$ 23.335,00, correspondente a uma duplicata descontada, pelo prazo de 28 dias, a uma taxa de juros simples de 2,48% ao mês. O valor, em reais, da duplicata levada ao Banco pela empresa foi (A) 24.105,32 (B) 23.887,76 (C) 23.853,33 (D) 23.553,00 (E) 23.533,55 54.(Analista Administrativo-Ciências Contábeis-ANP-2008-Cesgranrio) A Empresa Dias & Noites Ltda. obteve um empréstimo de R$10.000,00 pelo prazo de 6 meses a juros simples de 3% ao mês. No final do prazo de empréstimo, a empresa vai pagar ao Banco o montante de (A) 11.800,00 (B) 11.699,99 (C) 11.500,00 (D) 11.333,33 (E) 10.980,00




55.(Analista Administrativo-Ciências Contábeis-ANP-2008-Cesgranrio) A Empresa Serra Verde Ltda. levou ao Banco quatro duplicatas no valor de R$32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e 180 dias, respectivamente, para descontá-las. O Banco ofereceu à empresa uma taxa de desconto simples de 3,45% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o ano comercial, o valor do desconto pago pela empresa no ato do empréstimo, em reais, foi (A) 20.182,50 (B) 25.750,00 (C) 26.910,00 (D) 32.187,50 (E) 33.637,50 56.(Ciências Contábeis-BNDES-2008-Cesgranrio) O valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que permite que um investimento de R$ 1.000,00 se transforme em um montante de R$ 1.250,00 num prazo de 20 meses é (A) 2,5% ao mês. (B) 2,0% ao mês. (C) 1,55% ao mês. (D) 1,50% ao mês. (E) 1,25% ao mês. 57.(Contador-INEA-2008-Cesgranrio) Antônio Monteiro aplicou um capital em um título que rendia juros simples de 4% ao mês. Ao final de um ano (12 meses), Antônio recebeu juros de R$ 9.000,00. O capital inicial aplicado, em reais, foi (A) 20.000,00 (B) 19.500,00 (C) 18.955,00 (D) 18.750,00 (E) 17.125,00 58.(Analista Administrativo-Geral-ANP-2008-Cesgranrio) A taxa de juros simples de 1% ao mês é proporcional à taxa trimestral de (A) 1,3% (B) 2,0% (C) 2,1% (D) 3,0% (E) 3,03% 59.(Atuário-TCE/MG-2007-FCC) O capital de R$ 25.000,00 permaneceu aplicado em uma instituição financeira durante 1 ano e 3 meses. Se a taxa de juros adotada foi de 12% a.a., os juros simples desse período corresponderam a




(A) R$ 3.750,00 (B) R$ 3.550,00 (C) R$ 3.250,00 (D) R$ 3.150,00 (E) R$ 2.950,00 60.(TCE-RO-Administrador-2007-Cesgranrio) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado por um período de 6 meses, a uma taxa de juros (simples) de 2% ao mês. No dia do resgate, qual o montante de juros, em reais, obtido pelo investidor com esta aplicação? (A) 5.500,00 (B) 5.999,66 (C) 6.000,00 (D) 6.333,33 (E) 6.666,33 61.(Refap-Administrador Junior-2007-Cesgranrio) O valor de resgate de uma aplicação com prazo de vencimento de 4 meses, a partir da data da aplicação, é R$ 60.000,00. Considerando-se que a taxa de juros (simples) é de 5% ao mês, para obter este resgate, o valor aplicado pelo investidor, em reais, foi: (A) 72.000,00 (B) 57.000,00 (C) 55.000,00 (D) 50.000,00 (E) 48.000,00 62.(Analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007 Cesgranrio) A tabela abaixo apresenta um resumo das operações de um correntista em um determinado mês. Dia do mês Operação Valor (em reais) 1 Depósito 100,00 6 Saque 200,00 11 Saque 500,00 21 Depósito 100,00 26 Saque 200,00 O contrato com o banco prevê pagamento de juros simples, numa taxa de 12% ao mês, para cada dia que o correntista permanece com saldo negativo, e este valor só é cobrado no mês seguinte. Considerando que, no início do mês, o saldo era de R$ 500,00, e que o mês em questão tem exatos 30 dias, pode-se afirmar que o valor, em reais, a ser cobrado de juros no mês seguinte é:




(A) 4,00 (B) 6,66 (C) 8,00 (D) 12,00 (E) 80,00 63.(Analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007 Cesgranrio) Seja um título com valor nominal de R$ 4.800,00, vencível em dois meses, que está sendo liquidado agora. Sendo de 10% a.m. a taxa de desconto simples adotada, é correto afirmar que o desconto: (A) comercial ou “por fora” é de R$ 960,00. (B) comercial ou “por fora” é de R$ 480,00. (C) comercial ou “por fora” é de R$ 200,00. (D) racional ou “por dentro” é de R$ 1.008,00. (E) racional ou “por dentro” é de R$ 480,00. 64.(Contador-Refap-2007-Cesgranrio) A quantia de R$ 35.000,00, aplicada a juros (simples) de 1% ao mês, gera um montante de R$ 42.000,00. De quantos meses é o prazo que torna este fato realidade? (A) 24 (B) 20 (C) 18 (D) 16 (E) 12 65.(Contador-Refap-2007-Cesgranrio) O desconto de uma duplicata gerou um crédito de R$ 15.000,00 na conta da Cia. Beta. Sabendo-se que o título tem prazo de vencimento para 35 dias, após o desconto, e que o Banco cobra uma taxa de desconto simples de 2,5%, ao mês, para esse tipo de operação, o valor, em reais, da duplicata entregue pela Cia. Beta foi: (A) 14.549,36 (B) 14.562,00 (C) 15.504,46 (D) 15.450,64 (E) 15.500,00 66.(Técnico de Controle Externo-Administração-TCE/RO-2007-Cesgranrio) A Empresa Garcia & Souza Ltda. realizou um desconto de duplicatas no Banco da Praça com as seguintes características: Valor da duplicata: R$ 20.000,00; prazo para o vencimento do título: 27 dias; taxa de desconto simples, cobrada pelo Banco: 2,6% ao mês.




Com base nos dados acima, qual o valor, em reais, liberado pelo Banco à empresa? (A) 19.352,00 (B) 19.480,00 (C) 19.468,00 (D) 19.532,00 (E) 20.468,00 67.(Analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007 Cesgranrio) Uma aplicação foi feita considerando uma taxa de juros de 81,80% ao período. Considerando que a inflação nesse período foi de 1%, a taxa real de juros foi: (A) 80,98% (B) 80,80% (C) 80,00% (D) 73,62% (E) 70,00% 68.(AFRF-2005-Esaf) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a: a) R$ 159.523,00 b) R$ 159.562,00 c) R$ 162.240,00 d) R$ 162.220,00 e) R$ 163.230,00

69.(AFTN-1998-Esaf) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos.

a) R$ 4.067,00

b) R$ 4.000,00

c) R$ 3.996,00

d) R$ 3.986,00

e) R$ 3.941,00




70.(AFTN-1996-Esaf) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações. Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 10º mês; a segunda ao final de 30º mês; a terceira ao final do 70º mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é: a) $ 8.200,00 b) $ 9.333,33 c) $ 10.752,31 d) $ 11.200,00 e) $ 12.933,60 GABARITO:

1 – Certo 11 – A 21 – E 31 – C 41 – B 51 – C 61 – D 2 – Errado 12 – C 22 – C 32 – E 42 – A 52 – D 62 – C 3 – A 13 – Errado 23 – A 33 – B 43 – E 53 – B 63 – A 4 – C 14 – Certo 24 – C 34 – A 44 – B 54 – A 64 – B 5 – B 15 – B 25 – Certo 35 – E 45 – E 55 – A 65 – D 6 – Errado 16 – E 26 – Errado 36 – D 46 – C 56 – E 66 – D 7 – Errado 17 – E 27 – Certo 37 – C 47 – A 57 – D 67 – C 8 – Errado 18 – A 28 – Certo 38 – B 48 – B 58 – D 68 – A 9 – Certo 19 – A 29 – C 39 – D 49 – C 59 – A 69 – Anulada 10 – B 20 – B 30 – A 40 – C 50 – D 60 – C 70 – D

Bibliografia Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010.

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[2011] Raciocínio Lógico para Traumatizados - Aula 14