Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 1 SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 SEMELHANA ENTRE FIGURAS PLANAS Pginas 3-11 Atividade 1 Ampliao e reduo: o que se altera e o que no se altera? Problema 1(X) Medida do ngulo CAB e medida do ngulo CAB. Problema 2 Problema 3 a)Sim, pois todos so retos. b)No,porqueasmedidasdosladosnosoproporcionaiseaalturaamesmanas trs figuras. Problema 4 1o passo: marcar os segmentos OA, OB, OC e OD, de comprimentos iguais ao dobro dos comprimentos de OA, OB, OC e OD, respectivamente. Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 2 2o passo: unindo os pontos A, B, C e D por segmentos de reta, teremos obtido uma ampliao de fator 2 do losango original. Atividade 2 Razo de semelhanaProblema 1 a)cm B AB A B AABFBFB3 296 = = = . b)5 , 1236 . 9 . = = = = k k FB k FB . Problema 2Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 3 a) 22 2343 243 ) (cmABrea = = = . 43 .2.23 .2222 2 = == |.|

\|+ =hreah h b) 22 23 25 , 243 343 ) (cmB Area = = = . c). 5 , 1 25 , 233 25 , 22vezes vezes = = Problema 3 Atividade 3 Ampliaes e redues: permetros e reas Problema 1Dado que um tringulo ampliao do outro, podemos garantir a congruncia entre os nguloscorrespondentese,tambm,aproporcionalidadeentreasmedidasdoslados correspondentes.a)cm LILI LIMAGLSM316 486= = = . b)O ngulo SM congruente ao ngulo GL; logo, a medida de SM = 65. c) 8818027 65 180 0 0 0 0= = + + = + + A M S A M S A M S A S M M A S . Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 4 d)O ngulo I G L congruente ao ngulo A S M; logo, a medida de I G L= 27. e)O nguloI L G congruente ao nguloA M S ; logo, a medida deI L G= 88. Problema 2 a)AbasemenordeTUBAtem5unidades,bemcomosuaaltura.Assim,emuma reduo de fator 2,5, essas medidas passaro a ser iguais a duas unidades no polgono NECO. A base maior de TUBA tem 9 unidades; com a reduo passar a ser igual a 3,6 unidades, conforme representado na figura. b)NECO tambm um trapzio issceles, assim como TUBA, visto que um reduo do outro. Nesse caso, mantm-se as caractersticas da figura inicial. c)A altura de TUBA mede 5 cm e a altura de NECO mede 2 cm, pois 5 2,5 = 2. d)A base maior de NECO = 9 2,5 = 3,6 cm e base menor de NECO = 5 2,5 = 2 cm. e)OpermetrodeTUBA2,5vezesmaiorqueopermetrodeNECO,poistodasas medidaslinearesdeTUBAforamreduzidas2,5vezesafimdequefosseobtido NECO. f)AreadeTUBA(2,5)2maiordoqueareadeNECO,conformepossvel perceber pelo clculo seguinte: rea de trapzio = ( )2. altura menor base maior base + rea (TUBA) = ( )23525 . 5 9cm =+ rea (NECO) = ( )26 , 522 . 2 6 , 3cm =+ 35 5,6 = 6,25 = (2,5)2. Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 5 Atividade 4 Semelhana entre prismas representados na malha quadriculada Problema 1So semelhantes 1 e 3 e so semelhantes 4 e 5.Fator de proporcionalidade: de (1) para (3): ampliao (fator 2); de (3) para (1): reduo (fator 21); de (4) para (5): reduo (fator 21); de (5) para (4): ampliao (fator 2). Problema 2 a) e b)Resposta pessoal. Um exemplo: Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 6 Problema 3 Problema 4 Desenho: resposta pessoal. Doiscubossosempresemelhantes,poisemumcubotodasasarestaspossuema mesma medida. Problema 5 M Me ed di id da aA Ar re es st ta a r re ea a d da a b ba as se e r re ea a t to ot ta al lV Vo ol lu um me e M Me en no or r s s l li id do o xyzw M Ma ai io or r s s l li id do o x .4 = 4xy .42 = 16yz .42 = 16zw .43 = 64 w Asmedidaslinearesmanteroarazo1:4,enquantoarelaodeproporcionalidade entre as reas ser de 1 : 42 e entre os volumes ser de 1 : 43. Pginas 11-13 Atividade 5 Semelhana entre figuras planas: contexto e aplicaes Problema 1 a) DAEHCBFG=m DADA752518060= = . Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 7 b) DAEHCBFG=m EHEH618 18060= = . c) DAEHCBFG=k DADAk318060= = . Problema 2 AB CD DAEHABEFCDHGDAEHCBFG 15 1818060= = = = = =

a)m CDCD541818060= = . b)m ABAB451518060= = . Problema 3 O permetro do trapzio ABCD igual a 309 m. Como BC = 180 m, CD = 54 m eAB = 45 m, a medida de DA ser igual a: 309 (180 + 54 + 45) = 30 m. Problema 4 T Tr ra ap p z zi io o A AB BC CD D BC 180 DA 30 AB 45 CD 54 T Tr ra ap p z zi io o E EF FG GH H FG 60 EH 10 EF 15 GH 18 ConvmobservaresalientarquearazodesemelhanaentreostrapziosABCDe EFGHiguala3,comopossvelperceberpeladivisoentredoisvaloresdeuma mesmacolunadatabela.ABCDumaampliaodeEFGH(fator3);EFGHuma reduo de ABCD (fator 31). Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 8 SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 TRINGULOS: UM CASO ESPECIAL DE SEMELHANA Pginas 15-20 Atividade 4 Semelhana entre prismas representados na malha Problema 1 Resposta pessoal. Problema 2 b = d = f = 58o; a = c = g = e = 180o 58o = 122. Problema 3 Pares de ngulos opostos pelo vrtice: (b) e 58o; (f) e (d); (a) e (c); (g) e (e). Pares de ngulos alternos e internos: (a) e (g); (d) e 58o. Pares de ngulos alternos e externos: (c) e (e); (b) e (f).Pares de ngulos correspondentes: (c) e (g); 58o e (f); (b) e (d); (a) e (e). Problema 4 32o + 83o + BCA = 180o BCA = 65o. DEA = BCA = 65o. Atividade 2 Tringulos semelhantes: contexto e aplicaes Problema 1 a)Os ngulos internos dos dois tringulos so correspondentemente congruentes. Assim, os ngulos internos de MEU medem 100o, 58o e 22o. Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 9 b)Os ngulos internos dos dois tringulos so correspondentemente congruentes. Assim, os ngulos internos de GIL medem 100o, 58o e 22o. c) cm IGIG IGMEILEU8 , 32102 , 5~ = = . Problema 2 a)SD e SC, SA e SB. b) SBSASCDSBCAD= = . c) 45 54 18030+=+= = =SASASDSDSBSASCSDBCAD. As medidas SD e SA podem ser obtidas dessa dupla proporo, resultandoSD = 10,8 m e SA = 9 m. Convmobservaresalientararazodesemelhanaentreosdoistringulos,nesse caso igual a 61. SC = SD + DC = 10,8 + 54 = 64,8 m. SB = SA + AB = 9 + 45 = 54 m. T Tr ri i n ng gu ul lo o S SA AD D ( (m m) ) SA 9 AD 30 SD 10,8 T Tr ri i n ng gu ul lo o S SB BC C ( (m m) ) SB 54 BC 180 SC 64,8 d) Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 10 cm TE TE TETETEm TH TH THTHTHTHTHTETETGTHFGEHTFTE3 150 10 6015 60106 , 3 180 10 6018 601018 601015= + = +== + = += =+= =+ = = Portanto, T Tr ri i n ng gu ul lo o T TE EH H ( (m m) ) TE

3 TH

3,6 EH

10 T Tr ri i n ng gu ul lo o T TF FG G ( (m m) ) TF

18 TG 21,6 FG

60 Pginas 20-25 Problema 3 Semelhana entre os tringulos OBE e OCF: CFBEOFOEOCOB= = , 10 5 , 128 101512= = = = CF OFCF OF. Semelhana entre os tringulos ODG e OBE: BEDGOBODOEOG= = , 3 , 13 7 , 168 122010~ ~ = = DG OGDG OG. Problema 4 OstringulosABCeADBtmnguloscorrespondentementecongruentes,sendo, portanto, semelhantes. Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 11 m ADAD BD ADACBDBABABC25 , 1118 151524~ = = = = . Portanto, a viga AD medir 11,25 m. Atividade 3 Semelhanas: cordas, arcos e ngulos Problema 1 a)ngulos com mesma medida: PCB e PDA, CPB e DPA, CBP e DAP. Propores:PDPCADBCPAPB= = . b)( )( ) ( )( ) PD PB PA PCPDPCPAPB. . = = . Logo, correta a relao citada. Problema 2 Podemosestabeleceraseguinteproporoentreasmedidasdosladosdostringulos representados na figura:6812 9= = = PAPA PDPCPAPB. Problema 3 a) Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 12 b)PBPDPCPABCAD= = . c) ( )( ) ( ) ( ) PD PC PB PAPBPDPCPABCAD. . = = = Problema 4 De acordo com a relao obtida na atividade anterior, podemos escrever:12.4 = x(x 10) 48 = x2 10x x2 10x 48 = 0 73 52292 101 . 2) 48 ( . 1 . 4 ) 10 ( 102 == = x Portanto, x = 5 +73 ~13,5 cm. Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 13 SITUAO DE APRENDIZAGEM 3RELAES MTRICAS NOS TRINGULOS RETNGULOS; TEOREMA DE PITGORAS Pginas 26-30 Atividade 1 Tringulos retngulos: mtrica e semelhana Problema 1 a) b)n m hmhhnHCHBBHAH.2= = = Problema 2 a)x2 = 4 . 9 x = 6. z2 = x2 + 42z2 = 36 + 16 z =13 2 52 = .y2 = x2 + 92 y2 = 36+81y =13 3 117 = . b)62 = 2y y = 18, z2 = 62 + y2z2 = 36 + 324z =10 6 360 = , x2 = 62 + 22 x =10 2 40 = . mhbahnHCHBBCABBHAH= == = Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 14 Problema 3 a)Semelhana entre os tringulos (I) e (II): achbna= =oumhhnba= = . b)n c aacna.2= =c)Semelhana entre os tringulos (I) e (III): bcmbha= = . d) m c bbcmbha.2= = = Problema 4 a) Aplicando a relaom c b .2= , temos: 427. 12 92= = x x . Aplicando o teorema de Pitgoras, temos:122 = 92 + y2y = 7 3 63 = .Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 15 b)

82 = 42 + y2y =3 4 48 = , y2 = 8mm = 6, y2 = x2 + m2x = 3 2 12 = . Problema 5 a2 = c . n b2 = c . m(+) a2 + b2 = cn + cm a2 + b2 = c . (n + m), mas (n + m) = c, logo: a2 + b2 = c . c a2 + b2 = c2. Asomadosquadradosdasmedidasdoscatetosigualaoquadradodamedidada hipotenusa de um tringulo retngulo qualquer. Pginas 30-32 Problema 6 a)BD2 = 302 + 402 BD = 50 m. b)DA2 = DB . DF 402 = 50 . DF DF = 32 m. c)BF = DB DF = 50 32 BF = 18 m. d)AF2 + BF2 = AB2; AF2 + 182 = 302 AF = 24 m. e)BC2 + CD2 = BD2(BCD issceles; BC = CD); 2 . BC2 = BD2BC =m 2 25 250 1 = . f)BC2 = BD.BE 1 250 = 50.BEBE = 25 m. g)CE2 + BE2 = CB2CE2 + 252 = 1 250CE = 25m. Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 16 h) FE + BF + DE = DB Como DE2 = DC2 CE2, segue que DE = 25 m.Sendo BF = 18 e DE = 25, segue que: FE + 18 + 25 = 50 FE = 7 m. Problema 7 a)Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo retngulo ABC, temos: BC2 = AC2 + AB2 BC = 100 km. b)A menor distncia entre o ponto A e a reta BC a altura h, relativa hipotenusa BC. Paraobterh,podemosanalisarasemelhanaentreostringulosABCeAHC, representados na figura a seguir: HCACACBCAHAB= = km AHAH4880100 60= = . c)Se o posto policial deve ficar a igual distncia de B e C, ento ele deve ficar no ponto M, ponto mdio de BC, a 50 km de ambas as cidades. Podemos calcular a distncia x deBatopdaperpendiculardeAatBC:notringuloABC,ocatetoABao quadrado igual ao produto de BC por x. Logo, 602 = 100 . x, ou seja, x = 36 km.Com isso, conclumos que a distncia do p da perpendicular at o posto policial de 14 km (50 km 36 km), e Pitgoras fornece a distncia a de A at o posto policial: a2 = h2 + 142; como h = 48, segue que a = 50 km. (Como o tringulo ABC retngulo em A, ento o ponto A pertence circunferncia de centro em M e dimetro BC, ou seja, a distncia de A at M tambm 50 km.) Problema 8 a)A rea do tringulo : rea =2600240 . 302.maltura base= = . b)Aregioretangularrepresentadatemcomoladosasalturash1eh2dosdois tringulos em que o tringulo dado dividido pela altura h relativa hipotenusa. O valor de h pode ser calculado, da mesma maneira que na atividade anterior, porGabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 17 30 . 40 = 50 . h h = 24.

As relaes mtricas conhecidas permitem calcular diretamente os valores de m e n: 302 = 50 . m m = 18 e 402 = 50 . n n = 32. Determinando, agora, h1 e h2: h . m = 30 . h1h1 = 14,4 e h . n = 40 . h2h2 = 19,2. A rea da construo ser igual a: A = 14,4 . 19,2 = 276,48m2. Pginas 33-35 Atividade 2 Pitgoras: significado, contextos Problema 1 O ponto de encontro das mediatrizes (retas que passam nos pontos mdios dos lados de um tringulo e so perpendiculares a esses lados) de um tringulo retngulo coincide com o ponto mdio de sua hipotenusa. Esse ponto, denominado circuncentro, o centro dacircunfernciacircunscritaaotringulo.Dessaforma,metadedamedidada hipotenusa coincide com a medida do raio dessa circunferncia. Portanto, a hipotenusa do tringulo mede 8 cm, que o dobro da medida do raio, e os outros lados, pelo fato de o tringulo ser issceles, de acordo com o enunciado, medem 2 4 cm cada um. Problema 2 Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 18 502 = 302 + a2 a = 40 m, 402 = 302 + b2 b = m 7 10 700= . A distncia entre os dois personagens, nesse caso, igual am 7 10 40 +~ 66,5 m. Problema 3 AC2=22+32AC=DB~3,6m.Paraduasbarras,seriamnecessrios aproximadamente 7,2 m, que uma medida maior do que os 6,5 m disponveis. Assim, a barra no ser suficiente para a tarefa desejada. Problema 4 Medida da diagonal (d) do retngulo: d2 = 62 + 42d ~ 7,2 m. Quantidade, aproximada, necessria de condute: 6 + 4 + 2 . 7,2 = 24,4 m. Problema 5 Sejam:x: distncia de A at o vrtice superior esquerdo da caixa VI, y: distncia de A at o vrtice superior direito da caixa VIII, z: distncia de A at o centro da face visvel da caixa IX, temos: a)x2 = 102 + 202 x =cm 5 10 500 = . Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 19 b)y2 = 402 + 202y =cm 5 20 000 2 = . c)z2 = 252 + 252z =cm 2 25 . Pginas 35-36 Problema 6 a)O raio da maior pizza que cabe na embalagem a altura de um tringulo equiltero delado18cm,umavezqueumhexgonoregularpodeserdivididoemseis tringulosequilteroscongruentes,cujoladotemamesmamedidadoladodo hexgono.Assim,aalturadotringulo,ouoraiodapizza,mede3 9 cm,eo dimetro mede3 18cm ~ 31 cm. b)A rea de um dos tringulos que formam o hexgono 3 8123 9 . 18= cm2. A rea do hexgono que forma a parte de baixo da caixa 3 486 3 81 . 6 = cm2. Areadapartelateraldacaixaiguala6vezesareadeumretngulode dimenses 18 cm por 3 cm. Assim, a rea 6 . 18 . 3 = 324 cm2. Portanto, a rea total do papelo 3 486 324 + , que igual, aproximadamente, a 1 166 cm2. Problema 7 Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 20 a)O tringulodestacadoem laranja na figura um retngulo com catetos de 30 cm e 40 cm. Logo, a hipotenusa desse tringulo mede 50 cm, que corresponde diagonal solicitada. b)O tringulodestacado em verde nafigura um retngulocom catetos de 20 cm e 50 cm, e a diagonal pedida no enunciado da questo corresponde hipotenusa desse tringulo. Assim, a diagonal d igual a: d2 = 202 + 502d =29 10~54 cm. Pginas 37-39 Atividade 3 Relaes mtricas em tringulos retngulos: composio e decomposio Problema 1 a)rea de CDJK = a . mrea de JEBK = a . n Soma das reas = a . m + a . n = a(m + n) = a . a = a2. b) rea de ABC a partir dos catetos: (b . c) 2 rea de ABC a partir da hipotenusa e da altura h: (a . h) 2 (b . c) 2 = (a . h) 2b . c = a . h c)rea de CAHI = b2 rea de CDJK = a . m Igualando as reas, obtemos uma das relaes mtricas do tringulo ABC, ou seja, b2 = a.m. Logo, as reas so, de fato, iguais. d)rea de JEBK = a . n rea de ABFG = c2 Igualando as reas, obtemos uma das relaes mtricas do tringulo ABC, ou seja,c2 = a . n. Logo, as reas so, de fato, iguais. Problema 2 Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 21 a) Clculo da hipotenusa do tringulo: x2 = 52 + 122x = 13 cm. Clculo da altura relativa hipotenusa: 5 . 12=13 . h h ~ 4,6 cm. b) Clculo das projees dos catetos sobre a hipotenusa: 52 = 13 . n n ~ 1,9 cme122 = 13.mm ~ 11,1 cm. rea de cada tringulo: A1 = (11,1 . 4,6) 2 ~ 25,5 cm2 e A2 = (1,9 . 4,6) 2 ~4,4 cm2.

Problema 3 Oslados3,4e5indicamqueotringuloconsideradoretngulo.Aalturapedida corresponde altura do tringulo relativamente hipotenusa. Como o produto dos dois catetos igual ao produto da altura pela hipotenusa (b . c = a . h), conclumos que 4 . 3 = 5 . h e que h = 2,4 m. Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 22 SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 RAZES TRIGONOMTRICAS DOS NGULOS AGUDOS Pgina 40 Atividade 1 ngulos de elevao: contexto e estimativas Problema 1 Resposta pessoal. Uma possvel resposta: = 15o, = 30o e = 45o. Problema 2 Verificarduranteaatividade,poisotipodepapeleotipodeimpressopodemfazer com que as medidas variem. Problema 3 Resposta pessoal. Pginas 42-47 Problema 4 A inclinao :% 4 04 , 01004502= = = . Quantoaongulo,precisodeterminaronguloquetemsenoiguala0,04.Uma calculadora cientfica nos informa que, nesse caso, ele mede aproximadamente 2,3o. Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 23 Problema 5 Umainclinaode30%significaqueotelhadosobe30macada100mde deslocamentohorizontal.Ongulo,nessecaso,temtangenteiguala0,3,resultadoda divisode30por100.Umacalculadoranosinformaque,nessecaso,elemede aproximadamente 16,7o. Problema 6 O ngulo | = 82o da figura o complementar do ngulo o de inclinao da rua. Assim, a rua tem inclinao de (90o 82o) = 8. Problema 7 a)O seno do ngulo de inclinao igual a 1008= 0,08, que corresponde a um ngulo de aproximadamente 4,6o. b) O seno do ngulo de inclinao igual 50020= 0,04, que corresponde a um ngulo de aproximadamente 2,3o. c)Podemos calcular o deslocamento do carro y pela semelhana entre tringulos: m xx200850020= = . Atividade 2 Medindo ngulos e calculando distncias inacessveisProblema 1 Medida da altura de um objeto quando se tem acesso base a)sen 23o~ 0,39,cos 23o~0,92etg 23o~ 0,42. b)Escolheria a tangente do ngulo , pois a tangente de , no caso, igual a dh. c)m hhdhtg 04 , 51242 , 0 ~ ~ = o . Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 24 Problema 2 Medida de uma altura quando no se tem acesso base Sendo tg 23o = 0,42 e tg 34o = 0,67, temos: m h e m m m mm hm hmhmhmhtgm dhtg38 , 3 04 , 5 67 , 0 ) 3 ( 42 , 067 , 0) 3 ( 42 , 067 , 0342 , 0= == +=+ ==+==+=|o Problema 3Sendo tg 45o = 1 e tg 37,5o = 0,77, temos: m x x xx xyxy xyxtgyxtg3 , 80 48 , 18 77 , 0) 24 ( 77 , 02477 , 077 , 0245 , 371 4500~= + = + +===+== =

Gabarito Caderno do Aluno Matemtica8a srie/9o ano Volume 3 25 Problema 4 Determinando a medida de PB, que igual medida de RC: m RC PBPBmPBtg 71 , 1357 , 0 = == = o . Determinando a medida de QC: m QCQCpQCtg 92 , 6473 , 1 == = |. Pelo teorema de Pitgoras, temos no tringulo PQR:2 2 2) ( ) ( QR PR x + = , mas PR = n = 4 m e QR = QC RC; logo, m x x x 57 , 6 14 , 27 16 ) 71 , 1 92 , 6 ( 42 2 2 2~ + = + = . Seja: tg= tg 30o = 0,57 tg = tg 60o = 1,73