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RESPOSTA LIVRE
No circuito mostrado abaixo, considere que existe energia armazenada no capacitor para t < 0s, ocasionando uma tensão e(t).
Se a chave K fecha em t = 0s, ache eC(t) e iC(t) para t > 0s.
RESPOSTA LIVRETEOREMA 1: se todas as tensões e correntes permanecem finitas, a tensão no capacitor (eC) e a corrente no indutor (iL) não podem variar instantaneamente.
Em outras palavras: eC(0-) = eC(0+) e iL(0-) = iL(0+).
Energia armazenada em um capacitor: w(t) = ½ Ce2(t)
Energia armazenada em um indutor: w(t) = ½ Li2(t)
Potência entregue a qualquer bipolo passivo:
t
w
dt
dwtitetp
t
0
lim)()()(
Se e(t) e i(t) são finitos, p(t) permanecerá finito e quando ,
. Assim, w(t) e, portanto, eC(t) e iL(t) não podem variar instantaneamente.
0t
0w
RESPOSTA LIVREVoltando ao circuito, já com a chave fechada:
Resolvendo de uma forma simplificada: iR(t) = - iC(t) e eR(t) = eC(t).
Como iR(t) = eR(t)/R = eC(t)/R e iC(t) = C.deC(t)/dt, temos a seguinte equação diferencial:
RC
dt
te
tde
dt
tdeCte
R C
CCC
)(
)(0
)()(
1
RESPOSTA LIVREIntegrando ambos os lados, temos:
)ln(1
))(ln( KRC
teC
Onde K é uma constante de integração. Podemos então escrever:
RCt
C Kte
)(
Supondo que eC(0-) = V, então eC(0+) = V e K = V. Finalmente:
RCt
C Vte
)(
RESPOSTA LIVREA figura abaixo nos dá o gráfico da resposta da tensão no capacitor em função do tempo. Percebemos que, conforme o tempo vai passando, a descarga do capacitor se torna mais lenta, tendendo assintoticamente para zero, significando que o capacitor se descarregou completamente. Teoricamente isto só acontece para um tempo infinito.
RESPOSTA LIVRETemos muito que aprender com esta curva! Se traçarmos a tangente à curva no ponto (0,V), esta reta interceptará o eixo dos tempos (t) no
ponto t = RC. Esta constante é chamada de “constante de tempo ”.
RESPOSTA LIVREEste tempo é o tempo necessário para que a descarga do capacitor leve a tensão nele a 37% do valor inicial, visto que: .VVVeC 37,0)( 1/
Se a descarga do capacitor se mantivesse no seu valor inicial, ele se
descarregaria completamente quando t = .
RESPOSTA LIVREAlguns valores de eC(t) para
____
5,1, nnt
Assim, na maioria das aplicações, podemos considerar que o circuito atingiu o estado estável, ou seja, o capacitor se descarregou
completamente, após um tempo t = 4 . .
RESPOSTA LIVRE
Para obtermos a corrente iC(t), basta derivarmos eC(t) e multiplicarmos por C:
//)()( ttC
C R
VCV
dt
tdeCti
Desde que o circuito é inicialmente excitado por uma energia inicial armazenada no capacitor, e não por uma fonte externa, a resposta é chamada LIVRE ou COMPORTAMENTO NATURAL.
RESPOSTA LIVRE
/)( tC R
Vti
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)
O circuito apresentado tem uma fonte externa. Para t < 0s a chave K está aberta e i(t) = 0A. A chave fecha em t = 0s e deseja-se saber a corrente i(t) para t > 0s. A chave, juntamente com a fonte de tensão e considerando-se componentes ideais, simula uma fonte de tensão em degrau.
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)
)()(
)(
);()(;)(
)();()()(
tRidt
tdiLtv
tRitvdt
tdiLtvtvtvtv
LL
LRL
LRL
Analisando-se rapidamente o circuito, temos:
Esta é uma equação diferencial, de primeira ordem. Agora, além da resposta livre [iLH(t)], para v(t) = 0 volt, temos a resposta forçada [iLP(t)], para v(t) = V volt. A resposta total é a soma destas duas respostas:
iL(t) = iLH(t) + iLP(t).
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)
Solução homogênea: .
Solução particular: .
Esta equação diferencial tem como solução um valor constante:
. A solução total será: .
A constante K é encontrada pela condição inicial iL(0-) = iL(0+) = 0A.
Assim: . A solução completa é:
RLt
LH Kti
)(
)()(
tRidt
tdiLV LP
LP
R
VtiLP )(
R
VKti R
Lt
L
)(
R
VK
R
VK
R
VK 00
./),1()( / RLR
Vti t
L
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)
A figura mostra o gráfico de iL(t) e mostra, como para a tensão no
capacitor do primeiro exemplo, a relação entre a derivada para t = 0s e .
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)Vamos examinar um novo exemplo, dado no circuito abaixo:
Para t < 0s a chave K está como mostrado na figura e eC(t) = 0V. Em t = 0s a chave é levada para a posição superior, de modo que i(t) tem a forma mostrada no gráfico. Ache eC(t) e mostre seu gráfico.
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)
Apresentamos abaixo as expressões de algumas grandezas do circuito:
/)( tC Iti
)1()( / tR Iti
)1()( / tC RIte
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)
Os circuitos com apenas um dispositivo de armazenamento de energia, ou seja, um capacitor ou um indutor somente, têm suas respostas ao degrau calculada facilmente, utilizando-se o seguinte procedimento:
a) A resistência que define a constante de tempo é igual à Resistência Equivalente vista pelos terminais do elemento reativo. Assim,
C=ReqC e L=L/Req.
b) O valor inicial da grandeza (f0) é seu valor para t = 0+(f(0+)).
c) O valor final da grandeza (f) é seu valor para t (f()).
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)
d) A expressão final da grandeza é:
/0 )()( tffftf
Obs: f(t) pode ser qualquer corrente ou qualquer tensão no circuito, não necessariamente sobre um capacitor ou indutor. A constante de tempo só depende do circuito, pois depende do componente reativo (capacitor ou indutor) e da resistência equivalente vista por ele.
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)
Vamos resolver o último exemplo usando o processo visto, conhecido como “Wilson John” (WJ):
Calculando eC(t): eC0 = 0V (tensão no capacitor não varia instantaneamente). eC = R.I (para t , o capacitor é um circuito aberto e toda corrente passa pelo resistor R). Req = R. Assim:
/0 )()( t
CCCC eeete
)1()0()( // ttC RIRIRIte
Calculando agora iR(t):
iR0= 0; iR= I; = RC
Calculando agora iC(t):
iC0= I; iC= 0; = RC
RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)
/)0()( tR IIti
/)0(0)( tC Iti
EXERCÍCIO 1
Achar a expressão da tensão V0 e esboçar seu gráfico, considerando que a chave S fecha e, após muito tempo, retorna à posição inicial.
EXERCÍCIO 2
No circuito abaixo, a chave S está há muito tempo na posição 1, e muda para a posição 2, retornando depois à posição 1, como assinalado. Faça o gráfico de vL(t) e iL(t), mostrando os pontos de interesse e constante(s) de tempo.
EXERCÍCIO 3
No circuito mostrado, a chave S está há muito tempo na posição 1. Ela então é levada para a posição 2, onde permanece um tempo igual a T, quando então é levada de volta para a posição 1, permanecendo o resto do tempo. Dê as expressões e esboce as curvas de IL(t) e IR(t).
EXERCÍCIO 4
A posição da Chave “S” no circuito é definida pela função Posição da chave(t) no gráfico mostrado. Assim: 0 t T “S” está na posição “2”; T t 2T “S” está na posição “1”;2T t 3T “S” está na posição “2”; etc...Sabendo-se que T = 5. e = R.C, esboce a forma de onda de Vc(t), explicitando os valores.
EXERCÍCIO 5
No circuito abaixo, sabe-se que a chave S está na posição 1 há muito tempo. Em t=0s ela vai para a posição 2, permanecendo aí muito tempo, retornando então para a posição 1. Ache a expressão de Vc(t) e Ic(t), algebricamente e graficamente, explicitando todos os pontos e valores de interesse. (V < R I).
