2011

Planificação Anual de MACS

10º Ano de Escolaridade

PLANIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA

APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS

10º ANO

Ano Lectivo – 2010/2011

João Ricardo Cruz



CONTAGEM E DISTRIBUIÇÃO DOS TEMPOS LECTIVOS

Quadro I – Calendário escolar

1º PERÍODO 2º PERÍODO 3º PERÍODO

SET OUT NOV DEZ T JAN FEV MAR ABRIL T ABRIL MAIO JUNHO T Total

2ªF 3 4 4 2 13 5 4 3 1 13 --- 5 1 6 32

3ªF 3 3 5 2 13 4 4 4 2 14 1 5 1 7 34

4ªF 3 4 4 1 12 4 4 4 2 14 1 4 2 7 33

5ªF 3 4 3 3 13 4 4 5 2 15 1 4 2 7 35

6ªF 2 5 4 3 14 4 4 4 3 15 1 4 1 6 35

Quadro II – Distribuição dos blocos

Período

1º

2º

3º

Total

Número de blocos previstos 34 36 18 88

Testes e Revisões Apresentações

6 6 4 16

Conteúdos Programáticos/Temas

Transversais 26 29 13 68

Apresentação/Auto-avaliação 2 1 1 4

Início das aulas Fim das aulas (Secundário)

13 de Setembro 9 de Junho de 2009 (9º, 11º e 12º Ano) 10 de Junho de 2009 (restantes)

Interrupções Ensino Secundário

Férias do Natal 20 de Dezembro a 31 de Dezembro

Férias do Carnaval 7 a 9 de Março

Férias da Páscoa 11 a 21 de Abril



Número de blocos previstos

1º PERÍODO 34

2º PERÍODO 36

3º PERÍODO 18

Finalidades da disciplina no ensino secundário: • Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa; • Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real; • Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em situações do dia a dia e no domínio das Ciências Sociais; • Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem matemática, a capacidade de comunicar e o espírito crítico. • Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência e particularmente para com a Matemática. • Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e solidariedade.

Objectivos e competências gerais

Valores / Atitudes Capacidades / Aptidões Conhecimentos

Desenvolver a confiança

em si próprio:

Exprimir e fundamentar

as suas opiniões.

Revelar espírito critico,

de rigor e de confiança

nos seus raciocínios.

Abordar situações novas

com interesse, espírito de

iniciativa e criatividade.

Procurar a informação de

que necessita.

Desenvolver interesses

culturais:

Manifestar vontade de

aprender e gosto pela

pesquisa.

Interessar-se por notícias

e publicações relativas a

Matemática e a

descobertas científicas e

tecnológicas.

Desenvolver a capacidade

de utilizar a Matemática

na interpretação e

intervenção no real:

Analisar situações da

vida real identificando

modelos matemáticos

que permitam a sua

interpretação e

resolução.

Reconhecer o alcance e

limitações de um modelo

matemático.

Reconhecer que um

mesmo modelo

matemático pode

permitir analisar

situações diversas.

Seleccionar estratégias

de resolução de

problemas.

Formular hipóteses e

prever resultados.

Interpretar e criticar

Conhecer alguns métodos de

apoio à decisão:

Reconhecer diferenças entre

diversos métodos eleitotais.

Reconhecer que certos

métodos eleitorais podem

ser melhorados, mas que há

limites a essa melhoria.

Conhecer alguns métodos

de divisão proporcional e

interpretar as suas

consequências.

Conhecer diferentes modelos

matemáticos:

Explorar problemas

concretos envolvendo



Apreciar o contributo da

Matemática para a

compreensão e resolução

de problemas do Homem

através do tempo.

Desenvolver hábitos de

trabalho e persistência:

Elaborar e apresentar os

trabalhos de forma

organizada e cuidada.

Manifestar persistência

na procura de soluções

para uma situação nova.

Desenvolver o sentido da

responsabilidade:

Responsabilizar-se pelas

suas iniciativas e tarefas.

Avaliar situações e

tomar decisões.

Desenvolver o espírito de

tolerância e de

cooperação:

Colaborar em trabalhos

de grupo, partilhando

saberes e

responsabilidades.

Respeitar a opinião dos

outros e aceitar as

diferenças.

Intervir na dinamização

de actividades e na

resolução de problemas

da comunidade em que

se insere.

resultados no contexto

do problema.

Compreender a

aleatoriedade presente

em situações do dia a dia

e em diferentes

fenómenos.

Desenvolver o raciocínio e

o pensamento cientifico:

Descobrir relações entre

conceitos matemáticos.

Formular generalizações

a partir de experiências.

Observar regularidades

em conjuntos de dados.

Formular hipóteses sobre

conjuntos de dados.

Validar conjecturas.

Compreender a relação

entre o avanço científico

e o progresso da

humanidade.


de comunicar e transmitir

a informação organizada:

Comunicar conceitos,

raciocínios e ideias,

oralmente e por escrito,

com clareza e rigor

Organizar a informação

extraída de conjuntos de

dados.

Interpretar textos de

Matemática.

Exprimir o mesmo

conceito em diversas

formas ou linguagens.

Apresentar os textos de

forma clara e organizada.

modelos financeiros.

Resolver problemas de

contagem.

Conhecer aspectos da

História da Matemática:

Conhecer algumas

personalidades da História

da Matemática, com

particular incidência na

Matemática contemporânea.

Conhecer alguns factos

marcantes da História da

Matemática e relacioná-los

com momentos históricos

de relevância cultural ou

social.



Desenvolver as

capacidades de utilização

das novas tecnologias:

calculadora gráfica,

computadores e internet.

Tratar, explorar e

transmitir dados

numéricos e gráficos.

Desenvolver projectos

que incluam pesquisa de

informação.

Criticamente dados,

informação e resultados

obtidos.

Planificação anual de Matemática Aplicada às Ciências Sociais


Curso Geral de Ciências Sociais e Humanas

1º Período 2º Período 3º Período

Desenvolvimento Programático 25 29 12

Apresentação, teste diagnóstico e respectiva correcção

2 - -

Realização e correcção dos testes de avaliação

4 4 4

Realização e apresentação de trabalhos 2 2 1

Auto e hetero-avaliação 1 1 1

Total de blocos previstos 34 36 18

Livro adoptado: Matemática Aplicada às Ciências Sociais, Ensino Secundário 10º ano

Autores: Cristina Cruchinho e Manuela Simões



Editora: AREAL

Planificação a longo prazo de MACS – 10º Ano

Temas TOTAL BLOCOS

1º Período

1. Métodos de apoio à decisão

1.1. Introdução

Generalidades sobre sistemas de votação 0,5

Eleições simples 1

Proporcionalidade 0,5

1.2. Teoria Matemática das Eleições

Sistema de votação maioritário: 2

- Maioria simples

- Maioria absoluta

- Maioria a duas voltas

Sistema de votação por aprovação 1

Sistemas eleitorais posicionais ou preferenciais:

- Método de Contagem de Borda 1

- Método de Maioria a duas voltas e Método Hare 1

- Método de Condorcet (ou votação sequencial por pares) 2

- Estudo de situações paradoxais: Paradoxo de Condorcet - Teorema de Arrow

0,5 0,5

Sistema de votação ponderada 1

1.3. Teoria da Partilha Equilibrada

Divisão ou partilha equilibrada. Resolução de actividades. 2

Partilhas no caso discreto:

- Método de licitação secreta 1

- Sistemas eleitorais de representação proporcional:

- Hamilton 1

- Hondt 1

- Jefferson 1

- Saint-Lague (outros: Adams, Webster, Huntington-Hill)) 2

- Estudo de situações paradoxais 1

Partilhas no caso contínuo. Algoritmos de:

- Método de Ajuste na Partilha 1

- Método do divisor único (Steinhaus) 1

- Método do último a diminuir (Algoritmo de Banach e Knaster) 1

- Livre de inveja (Algoritmo de Brams-Taylor) 1



Outras actividades 10

Total do 1º Período 34

Temas TOTAL BLOCOS

2º Período

2. Estatística

2.1. Generalidades. Análise de dados univariados

Introdução. Conceitos básicos e definições

- População, amostra, unidade estatística, censo, sondagem 1

- Variável estatística e tipos de variável estatística 1

Interpretação de tabelas e gráficos através de exemplos 1

Planeamento, aquisição e classificação de dados 1

Frequências absolutas e relativas 2

2.2. Representação gráfica

Construção de diferentes tipos de gráficos

- Gráficos circulares, gráficos de barras, pictogramas 1

- Diagrama de caule e folha 1

- Histograma, polígono de frequências 1

- Histograma de frequências acumuladas e respectivo polígono 2

- Boxplot (diagrama de caixa e bigodes) 1

2.3. Medidas de localização

Cálculo da média, moda, mediana, quantis e percentis 2

Cálculo da média (variáveis do tipo contínuo) 1

Boxplot (ou diagrama de caixa e bigodes) 2

Discussão das vantagens e limitações das medidas de localização 1

2.4. Medidas de dispersão

Amplitude amostral e amplitude interquartil 1

Medidas de dispersão absoluta

- Desvio-padrão, variância 2

Medidas de dispersão relativa: Coeficiente de variação 1

2.5. Análise de dados bivariados

Introdução 2



Modelos de regressão linear: representação gráfica de informação

Recta de regressão linear e equação de regressão linear. Coeficiente.

3

3



Temas TOTAL BLOCOS

3º Período

2. Estatística (continuação)

2.5. Análise de dados bivariados (continuação)

Análise de outliers através da representação gráfica 1

Extrapolações através da recta de regressão. 1

Relação entre variáveis qualitativas: análise de tabelas de contingência. 2

3. Modelos matemáticos – modelos financeiros

3.1. Conceitos básicos

Descontos, aumentos, IVA 1,5

Taxa de juro 0,5

Regime de Capitalização Simples 2

Regime de Capitalização composto 3

Situações mistas

Amortizações

1

2





MACS

Ano Lectivo 2009/10

Ano 10º

Turmas

Planificação por Tema

Recursos didácticos

Calculadora

Manual adoptado

História da Matemática

Retroprojector/ Acetatos

Quadro e marcadores

Projector/computador

Fichas de exercícios

Planificação

Temas Objectivos N.º

Blocos

1. Teoria Matemática das Eleições

Perceber como se contabilizam mandatos numa eleição;

Perceber que os resultados podem ser diferentes se os métodos de

contabilização dos mandatos forem diferentes;

Experimentar pelo menos um algoritmo usado numa situação real;


Comparar a aplicação de dois algoritmos que produzam resultados

diferentes numa mesma situação;

Estudar situações paradoxais;

Perceber que há limitações à melhoria dos sistemas.

11

2. Teoria da Partilha Equilibrada

Familiarizar os estudantes com a dificuldade em atingir uma partilha

equilibrada;


Comparar a aplicação de dois algoritmos que produzam resultados

diferentes numa mesma situação.

14

3. Estatística

Familiarizar os estudantes com a leitura e interpretação de informação

transmitida através de tabelas e gráficos;

Apresentar as ideias básicas dos processos conducentes à recolha de

dados válidos;

Fazer sentir a necessidade de aleatorizar os processos de recolha de

dados;

Fazer sentir a necessidade de organizar os dados de forma a fazer

sobressair a informação neles contida;

Fazer sentir a necessidade de alguma metodologia na organização de

dados

Atingir uma leitura adequada de gráficos;

Apresentar medidas (estatísticas) que, tal como as representações

gráficas, permitem reduzir a informação contida nos dados;

Chamar a atenção para as vantagens e para as situações em que não se

devem utilizar;

Apresentar um modo eficaz de visualizar a associação entre duas

34



variáveis;

Saber interpretar o tipo e força com que duas variáveis se associam;

Ensinar a sumariar a relação linear existente entre duas variáveis através

de uma recta;

Apresentar uma medida que, além de indicar a força com que duas

variáveis se associam linearmente, também dá indicação da qualidade do

ajustamento linear.

Apresentar um modo eficaz de organizar informação do tipo qualitativo;

4. Modelos Financeiros

Familiarizar os estudantes com alguns problemas do domínio financeiro;

Recordar técnicas e conceitos matemáticos já abordados no ensino

básico;

Identificar a matemática utilizada em situações realistas que utilizem um

modelo matemático envolvendo juros;

Desenvolver competências de cálculo e selecção de ferramentas

adequadas a cada problema: calculadora, computador ou folha de cálculo.

10

1

Escola Secundária Madeira Torres

10º Ano

Matemática Aplicada às Ciências Sociais

Duração da Prova: 90 minutos Turma:

Teste Diagnóstico Setembro de 2010

Nome:

Questões Correcção

1. Escreva sob a forma de percentagem e sob a forma de fracção a parte colorida de

cada um dos seguintes quadrados:

3/4___(1,5) 3/8_____(1,5) 6/56____(1,5) 2/24___(1,5) 75%__(1,5) 37,5%__(1,5) 10,7%__(1,5) 8,3%__(1,5)

2. Na época de saldos, a Joana comprou uma saia e umas calças cujas etiquetas estão

representadas na figura

seguinte:

2.1. Indique os valores:

- Preço da saia com o desconto: 45 euros____(2)

- Preço das calças com o desconto: 35 euros_____(2)

- Preço das duas peças sem o desconto 120 euros____(2)

- Desconto obtido na compra das duas peças: 40 euros_____(2)

12

13

2

2.2. Comenta a seguinte frase indicando se ela é verdadeira ou falsa: “A

percentagem de desconto total obtida na compra das duas peças de roupa é

igual à média da percentagem de desconto indicada nas etiquetas das duas

peças”.

Explica o teu raciocínio e apresenta, se necessário, os cálculos que efectuaste.

40/120=0,33=33% (2)

(10%+50%)/2=30% (2)

33% é diferente de 30% ou 33% é aproximadamente igual a 30% (1)

3. O dado da figura tem a forma de um octaedro regular. As suas 8

faces triangulares estão numeradas de 1 a 8 e têm igual

probabilidade de sair quando se lança o dado.

3.1. Qual é a probabilidade de se obter um número divisor de 8

quando se faz um lançamento do dado?

{1,2,4,8} ou 4 divisores de 8 (2)

P= 4/8 (4)

3.2. O dado foi lançado 8 vezes e das 8 vezes saiu um número ímpar. O dado

vai ser lançado de novo. Assinala com X a afirmação correcta.

É mais provável que saia agora um número par.

É tão provável que saia um número par como um ímpar. (4)

É mais provável que continue a sair um número ímpar.

Não pode sair outra vez um número ímpar.

10

3

4. A Maria comprou uma caixa com dez embalagens de 25 palhinhas cada. Abriu ao acaso três

dessas embalagens e contou o número de palhinhas de cada cor.

4.1. Indica a probabilidade de uma palhinha escolhida ao acaso, de entre as 250 da caixa,

ser cor-de-rosa.

30/75 (4)

4.2. Quantas palhinhas cor-de-rosa são de esperar entre as 250 da caixa?

30/75 * 250 (7)

5. Um investigador pretende testar a eficácia de um novo medicamento no alívio de

dores reumáticas. Decidiu fazer um estudo e para tal seleccionou dois grupos de 15

indivíduos cada, que sofrem regularmente deste tipo de dores. Aos elementos do

primeiro grupo, denominado grupo experimental, deu-lhes uma cápsula com este

novo medicamento. Ao segundo grupo, denominado grupo de controlo, deu-lhes

um placebo, ou seja, uma cápsula com a mesma forma e cor mas que não contém

qualquer tipo de substância activa.

Nenhum dos indivíduos sabe se está a tomar o medicamento verdadeiro ou não; em

caso de dor têm que tomar uma cápsula e, passada uma hora, classificar o alívio da

dor numa escala de 0 a 6 (0 não sente qualquer alívio; 6 sente alívio total).

Os dados recolhidos em cada um dos grupos foram os seguintes:

5.1. Calcula a média para cada um dos grupos

(3+2+4+3+5+5+2+1+5+3+3+4+4+3+2)/15 (5)

(3+5+5+3+3+3+5+3+2+3+4+4+2+3+4)/15 (5)

11

19

Grupo experimental 3 2 4 3 5 5 2 1 5 3 3 4 4 3 2

Grupo de controlo 3 5 5 3 3 3 5 3 2 3 4 4 2 3 4

Cor Cor-de-rosa Verde Azul Total

Nº palhinhas 30 22 23 75

4

5.2. Desenha no gráfico seguinte, lado a lado, as barras correspondentes às

frequências absolutas de cada uma das duas séries de dados (a primeira já

está para servir de exemplo). De acordo com a legenda do gráfico, sombreia

as barras que correspondem ao grupo experimental e deixa as restantes por

sombrear.

5.3. A nova droga é eficaz? Explica a tua resposta.

Não, pois entre o grupo experimental e o grupo de controlo não há diferenças

substanciais quanto ao efeito do medicamento (4)

6. O Paulo e a Teresa são dois irmãos gémeos de 20 anos de idade. O gráfico da

página seguinte permite comparar a evolução dos pesos de ambos, ao longo dos

seus anos de vida.

6.1. Com que idades o Paulo e a Teresa pesavam o mesmo?

10 e 15 (5)

15

(5)

5

6.2. Observa o gráfico e assinala com um X a afirmação correcta sobre o aumento

de peso da Teresa entre os 5 e os 10 anos de idade.

7. A Joana saiu de casa para ir ao cinema e, logo que o filme terminou, regressou a

casa.

Assinala com um X o gráfico que pode ilustrar a relação entre o tempo decorrido

desde que a Joana saiu para o cinema e a distância à sua casa.

7.1. Numa pequena composição, explica, para cada um dos outros três gráficos, a

razão pela qual não os escolheste.

No segundo não há simetria no terceiro não há tempo de estada no cinema (5)

8. Resolve a seguinte equação, apresentando os cálculos que efectuares.

9

14

149

142

2103

5252

3

2552

3

2152

3

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

10

10

(10)

(5)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

Cada alínea vale 2 pontos Prof. João Cruz

1º Trabalho Macs10

(Apresente todas as justificações)

1. Nas eleições para as autarquias locais, os partidos concorrentes à Assembleia Municipal obtiveram os resultados apresentados na tabela

Partidos Nº de votos Nº de mandatos

PSD 52000 25

PS 46000 21

PCP 14500 4

BE 4000 2

a) Obtenha as percentagens do número de votos de todos os concorrentes b) Calcule o número de votos, por mandato, das forças políticas concorrentes e

comente a proporcionalidade da respectiva distribuição c) Calcule o número de votos, por mandato, relativamente a toda a assembleia e

determine qual a força política cuja representação proporcional é mais correcta no parlamento municipal

d) Ensaie uma distribuição de mandatos que melhore a proporcionalidade

relativamente ao respectivo número de votos. (Proporcionalidade directa)

e) Se os inscritos foram 150 mil cidadãos, os votos brancos foram 1254 e os nulos 450, calcule a percentagem da abstenção nesta eleição.

2. Numa turma do 10ºano procedeu-se à eleição do respectivo delegado. O sistema eleitoral utilizado foi o da votação, por ordem de preferência, nos quatro candidatos a exercer o cargo. O apuramento dos resultados conduziu à elaboração da tabela apresentada:

4 5 6 3

1º João Rosa Xavier Zaida

2º Rosa Xavier João Xavier

3º Xavier João Zaida Rosa

4º Zaida Zaida Rosa João

Determine quem seria eleito delegado de turma pelo método a) Maioria simples b) Contagem de Borda c) Maioria a duas voltas d) Hare e) Condorcet

(Entregar o trabalho até 1 de Novembro)

1

Cada alínea vale 2 pontos, excepto as alíneas 1a) e 2a) que valem 1 ponto

cada uma.

Prof. João Cruz

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO DE MADEIRA TORRES

1º Teste 10ºI Macs – 29 Outubro de 2010 Disciplina de MACS

Apresente todas as justificações

1. Nas eleições para as autarquias locais, os partidos concorrentes à

Assembleia Municipal obtiveram os resultados apresentados na tabela

Partidos Nº de votos Nº de mandatos

PSD 42000 25

PS 37000 20

PCP 12500 6

BE 10000 5

a) Obtenha as percentagens do número de votos de todos os concorrentes

b) Calcule o número de votos, por mandato, das forças políticas

concorrentes e comente a proporcionalidade da respectiva distribuição

c) Calcule o número de votos, por mandato, relativamente a toda a

assembleia e determine qual a força política cuja representação

proporcional é mais correcta no parlamento municipal.

d) Ensaie uma distribuição de mandatos que melhore a proporcionalidade

relativamente ao respectivo número de votos. (Proporcionalidade

directa)

2

Cada alínea vale 2 pontos, excepto as alíneas 1a) e 2a) que valem 1 ponto

cada uma.

Prof. João Cruz

2. Numa turma do 10ºano procedeu-se à eleição do respectivo delegado. O

sistema eleitoral utilizado foi o da votação, por ordem de preferência,

nos quatro candidatos a exercer o cargo. O apuramento dos resultados

conduziu à elaboração da tabela apresentada:

6 4 5 3

1º João Rosa Xavier Zaida

2º Rosa Xavier João Xavier

3º Xavier João Zaida Rosa

4º Zaida Zaida Rosa João

Determine quem seria eleito delegado de turma pelo método

a) Método da maioria simples

b) Método da contagem de Borda

c) Método da maioria a duas voltas

d) Método das eliminações sucessivas (método Hare)

e) Método dos confrontos sucessivos para a agenda JRXZ

f) Se três dos votantes da primeira coluna mudarem de preferência para a

última coluna qual o resultado pelo método Hare? (Em caso de empate

utilize o método de confronto para desempatar).

g) Na mesma situação da alínea anterior qual será o vencedor da agenda

JRXZ pelo método dos confrontos sucessivos ?

Entregar até ao dia 2 de Dezembro Cada alínea vale 2.5 pontos Prof. João Cruz

Trabalho 2

Teoria da Partilha


1. Com base neste resultado eleitoral atribua os respectivos mandatos a cada

partido, sendo que este círculo eleitoral tem 40 deputados para distribuir pelos

partidos:

1.1 Pelo método D'Hondt

1.2 Pelo método Jefferson

1.3 Pelo método Hamilton

2. Considera os herdeiros e a licitação que fizeram dos bens herdados. Faz a

partilha dos bens. Sabendo que o João só tem 10% da herança e os restantes

herdeiros têm igual parte de herança.

Herança (euros) João Manuel Francisco Mário

apartamento 21000 19000 22000 21000

carro 8000 9000 9500 9750

computador 500 700 550 600

livros 250 350 450 50

2.1 Qual a parte justa de cada um ?

2.2 Qual o dinheiro sobrante.

2.3 O relatório da partilha de bens.

Partidos Nº votos Nº mandatos

BE 21384

PP 65087

PCP 58120

MRPP 4650

PSD 301704

PPM 2714

PS 421160

PSN 2140

Entregar até ao dia 2 de Dezembro Cada alínea vale 2.5 pontos Prof. João Cruz

3. Considere a tabela de classificações da Ana e do João para divisão de bens por

ajuste de partilha.

Ana João

bicicleta 35 10

Hi-fi 10 20

livros 10 30

gato 45 40

3.1 Têm que partilhar algum bem? Qual? Porquê?

3.2 Faça o relatório da divisão dos bens por ajuste de partilha.



2º Teste 10ºI – 03 de Dezembro de 2010 Disciplina de MACS


1. Considere os resultados eleitorais de duas votações numa mesma

assembleia:

1.1 Verifique que com o método de contagem de votos de Hamilton um

partido está em paradoxo de Alabama. (Justifique).

1.2 Qual o resultado eleitoral se na 1ª eleição se aplicasse o método

Hont? (Justifique).

1.3 Qual o resultado eleitoral se na 2ª eleição se aplicasse o método

Hondt? (Justifique).

1.4 Nos resultados obtidos com o método Hondt, respectivamente 1-3-0

e 2-3-0 verifica-se o paradoxo de Alabama? (Justifique).

2ª Eleição

Partidos Votos Mandatos

A 69 2

B 106 3

C 25 0

1ª Eleição

Partidos Votos Mandatos

A 69 1

B 106 2

C 25 1


2. Considera os herdeiros e a licitação que fizeram dos bens herdados. Faz a

partilha dos bens pelo método da licitação secreta.

Herança

(euros)

João António Francisco

apartamento 27000 25000 22000

carro 8000 7000 9750

computador 500 550 450

Justifique todas as respostas

2.1 Qual a parte justa de cada um.

2.2 Qual o dinheiro sobrante.

2.3 Os bens que cada um recebe.

2.4 O dinheiro que cada um recebe.

3. Considere a tabela de classificações da Ana e do João para divisão de bens

por ajuste de partilha.

Ana João

bicicleta 30 70

Hi-fi 20 20

livros 50 10

3.1 Têm que partilhar algum bem? Qual? Porquê?

3.2 Faça o relatório da divisão dos bens por ajuste de partilha.

Prof. João Cruz Entregar até dia 15 de Fevereiro Cada questão vale 2 pontos

3º Trabalho Macs10


1. Considere as notas de uma turma:

10, 10, 8, 9, 17, 20, 1, 2, 3, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 18, 20, 19, 12, 13

15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 14, 14, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 12

1.1 Construa uma tabela de frequências (absolutas, relativas e acumuladas)

para estes dados e represente os dados por um diagrama de caule-e-folha.

1.2 Desenhe uma caixa-de-bigodes para estes dados.

1.3 Calcule a média e o desvio padrão dos dados. (Utilize as fórmulas).

1.4 Construa um histograma com intervalos de amplitude 2.

1.5 Qual a classe mediana deste histograma? Justifique.

2. Categoria profissional dos funcionários de uma Escola Secundária.

Classes Freq. abs.

Freq. rel.

AE (Auxiliar de Acção Educativa)

Ad (Administrativo)

AS (Técnico de Acção Social)

Op (Operário)

Total 40 1.00

2.1 Quantos operários há na escola?

2.2 Quantos graus têm o sector de gráfico circular do pessoal administrativo?

2.3 Escreva a tabela de frequências na folha de ponto e complete as duas colunas.

2.4 Sabendo que na escola há para além destes funcionários mais 150 professores, qual a percentagem de operários relativamente a todos as pessoas que trabalham na escola?

2.5 Construa um gráfico de colunas para as frequências absolutas deste gráfico circular.

Prof. João Cruz Cada questão vale 2 pontos


3º Teste 10ºI – 11 de Fevereiro de 2011 Disciplina de MACS


1. Considere as notas de uma turma:

11, 11, 8, 9, 17, 20, 1, 2, 3, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 18, 20, 19, 12, 13

15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 10, 10, 5, 6, 7, 7, 15, 16, 19, 10, 11

1.1 Construa uma tabela de frequências (absolutas, relativas e acumuladas)

para estes dados e represente os dados por um diagrama de caule-e-folha.

1.2 Desenhe uma caixa-de-bigodes para estes dados.

1.3 Calcule a média e o desvio padrão dos dados. (Indique os passos

que utiliza na calculadora).

1.4 Construa um histograma com intervalos de amplitude 5.

1.5 Qual a classe mediana deste histograma? Justifique.


2. Considere a categoria profissional dos funcionários de uma Escola Secundária.

Classes Freq. abs.

Freq. rel.

AE (Auxiliar de Acção Educativa)

Ad (Administrativo)

AS (Técnico de Acção Social)

Op (Operário)

Total 200 1.00

2.1 Quantos operários há na escola?

2.2 Quantos graus têm o sector de gráfico circular do pessoal Op (operários)?

2.3 Escreva a tabela de frequências na folha de ponto e complete as duas colunas.

2.4 Sabendo que na escola há para além destes funcionários mais 150 professores,

qual a percentagem de operários relativamente a todos as pessoas que trabalham

na escola?

2.5 Construa um gráfico de colunas para as frequências absolutas deste gráfico

circular.

CADA UMA DAS 8 PERGUNTAS VALE 2.5 PONTOS

ENTREGAR ATÉ DIA 31 DE MARÇO

PROF. JOÃO CRUZ

4º TRABALHO MACS10

APRESENTE TODAS AS JUSTIFICAÇÕES

1. A TABELA SEGUINTE APRESENTA 3 CONJUNTOS DE DADOS A, B E C,

RESPECTIVAMENTE

A) CALCULE O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO E A RECTA DE REGRESSÃO PARA CADA UM

DOS CONJUNTOS DE DADOS E VERIFIQUE QUE SÃO IGUAIS.

B) PARA CADA UM DOS CONJUNTOS DE DADOS FAÇA O DIAGRAMA DE PONTOS E

REPRESENTE A RECTA DE REGRESSÃO.

C) EM QUAL DAS SITUAÇÕES ACHA QUE PODE UTILIZAR A RECTA DE REGRESSÃO PARA

PREDIZER “Y” PARA X=15? JUSTIFIQUE A RESPOSTA.

X 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5

Y 9 8 8 8 9 8 6 3 9 7 4

X 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5

Y 8 6 7 8 8 9 7 4 10 4 5

X 8 8 12 8 8 8 8 8 8 8 19

Y 6 5 7 8 8 7 5 5 7 6 12



PROF. JOÃO CRUZ

2. CONSIDERE OS SEGUINTES RESULTADOS DE UM EXAME DE MATEMÁTICA REALIZADO

A 200 ALUNOS:

NOTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

FREQ.

ABS. 1 1 5 7 7 13 12 15 17 30 15 21 12 16 8 4 7 5 4

A) CALCULE A MÉDIA E O DESVIO PADRÃO DOS DADOS. (UTILIZE A CALCULADORA E

INDIQUE TODOS OS PASSOS). CONSTRUA UMA CAIXA DE BIGODES PARA ESTES DADOS.

B) REPRESENTE GRAFICAMENTE OS DADOS NA FORMA DE UM HISTOGRAMA

CONSIDERANDO AS SEGUINTES CLASSES:

[1,3[, [3,5[, [5,7[, [7,9[, [9,11[, [11,13[, [13,15[, [15,17[, [17,19[,

[19,21[

C) QUAL A CLASSE MEDIANA? CONSTRUA UMA CAIXA DE BIGODES PARA ESTE

HISTOGRAMA.

D) VERIFIQUE QUANTAS NOTAS PERTENCEM AO INTERVALO .

CORRESPONDE A QUE PERCENTAGEM?

E) VERIFIQUE QUANTAS NOTAS PERTENCEM AO INTERVALO .



PROF. JOÃO CRUZ


1. A TABELA SEGUINTE APRESENTA 3 CONJUNTOS DE DADOS A, B E C,

RESPECTIVAMENTE

A) CALCULE O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO E A RECTA DE REGRESSÃO PARA CADA UM

DOS CONJUNTOS DE DADOS.

B) PARA CADA UM DOS CONJUNTOS DE DADOS FAÇA O DIAGRAMA DE PONTOS E

REPRESENTE A RECTA DE REGRESSÃO.

X 10 8 12 9 11 14 6 4 12 7 5

Y 10 8 8 8 9 8 6 3 9 7 4

X 10 8 12 9 11 14 6 4 12 7 5

Y 8 6 7 8 8 9 7 4 10 4 5

X 10 8 12 8 8 8 8 8 8 8 16

Y 6 5 7 8 8 7 5 5 7 6 12

4º TESTE DE AVALIAÇÃO

MACS10º I

ABRIL DE 2011


PROF. JOÃO CRUZ

C) EM QUAL DAS SITUAÇÕES ACHA QUE PODE UTILIZAR A RECTA DE REGRESSÃO PARA

PREDIZER “Y” PARA X=20? JUSTIFIQUE A RESPOSTA.

2. CONSIDERE OS SEGUINTES RESULTADOS DE UM EXAME DE MATEMÁTICA REALIZADO

A 200 ALUNOS:

NOTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

FREQ.

ABS. 1 1 5 7 7 13 12 15 17 30 15 21 12 16 8 4 7 5 3 1

A) CALCULE A MÉDIA E O DESVIO PADRÃO DOS DADOS. (UTILIZE A CALCULADORA E

INDIQUE TODOS OS PASSOS). CONSTRUA UMA CAIXA DE BIGODES PARA ESTES DADOS.

B) REPRESENTE GRAFICAMENTE OS DADOS NA FORMA DE UM HISTOGRAMA

CONSIDERANDO AS SEGUINTES CLASSES:

[1,3[, [3,5[, [5,7[, [7,9[, [9,11[, [11,13[, [13,15[, [15,17[, [17,19[,

[19,21[

C) QUAL A CLASSE MEDIANA? CONSTRUA UMA CAIXA DE BIGODES PARA ESTE

HISTOGRAMA.

D) VERIFIQUE QUANTAS NOTAS PERTENCEM AO INTERVALO .



PROF. JOÃO CRUZ

E) VERIFIQUE QUANTAS NOTAS PERTENCEM AO INTERVALO .


Cada uma das 4 perguntas vale 5 pontos Entregar até 30 de Maio Prof. João Cruz Página 1

5º Trabalho Macs 10


1. Considere o seguinte exemplo de um empréstimo de um banco espanhol de 10000

euros com um juro (interés) de 4.5% ao mês cujos 6 pagamentos (pago) duplicam de

dois em dois meses. E cuja 1ª amortização (amortz) foi de 413.28.

1.1 Construa uma nova tabela igual a esta mas se a 1ª amortização e a 2ª forem ambas

de 2000 euros e as restantes 4 de 1500 euros cada uma. O empréstimo tem o

mesmo juro.

1.2 Construa uma tabela igual a esta mas com as amortizações iguais duas a duas.

1.3 Construa uma tabela igual à dada mas em que as 6 amortizações sejam constantes

e o juro de 6%.

2. Depositámos 1000 euros durante 10 anos, a juro composto com capitalização anual,

sabendo que o juro aumentou todos os anos 1%; que dinheiro terá ao fim dos 10

anos? (Construa uma tabela indicando a evolução do depósito nos 10 anos).

3. Um cliente do jumbo comprou um guarda-sol de praia por 25 euros com o iva incluído

de 23%. Quanto teria pago só de iva no ano anterior com o iva a 21% pelo mesmo

guarda-sol?

4. Um casal declarou 50 mil euros de rendimento colectável em 2005. Consulte a tabela

de irs e calcule quanto pagará este casal de IRS. Sabendo que só o marido está

empregado seria desvantajoso a este casal não estarem casados? Quantifique a sua

resposta.

Cada uma das 4 perguntas vale 5 pontos Entregar até 30 de Maio Prof. João Cruz Página 2

Tabela de irs do exame nacional de 2005

Cada uma das 4 perguntas vale 5 pontos Prof. João Cruz Página 1


1. Considere o seguinte exemplo de um empréstimo de um banco espanhol de 10000

euros com um juro (interés) de 4.5% ao mês cujos 6 pagamentos (pago) duplicam de

dois em dois meses. E cuja 1ª amortização (amortz) foi de 413.28.

1.1 Construa uma nova tabela igual a esta mas se a 1ª amortização e a 3ª forem ambas

de 2000 euros e as restantes 4 de 1500 euros cada uma. O empréstimo tem o

mesmo juro.

1.2 Construa uma tabela igual a esta mas com 4 amortizações iguais.

1.3 Construa uma tabela igual à dada mas em que as 6 amortizações sejam constantes

e o juro de 10%.

2. Depositámos 2000 euros durante 10 anos, a juro composto com capitalização anual,

sabendo que o juro aumentou todos os anos 1%; que dinheiro terá ao fim dos 10

anos? (Construa uma tabela indicando a evolução do depósito nos 10 anos).

3. Um cliente do jumbo comprou um guarda-sol de praia por 50 euros com o iva incluído

de 23%. Quanto teria pago só de iva no ano anterior com o iva a 21% pelo mesmo

guarda-sol?

5º Teste de avaliação

Macs 10º I

17 de Maio de 2011

Cada uma das 4 perguntas vale 5 pontos Prof. João Cruz Página 2

4. Um casal declarou 100 mil euros de rendimento colectável em 2005. Consulte a tabela

de irs e calcule quanto pagará este casal de IRS. Sabendo que só o marido está

empregado seria desvantajoso a este casal não estarem casados? Quantifique a sua

resposta.

Tabela de irs do exame nacional de 2005

1

PLANIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA

APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS

11º ANO

Ano Lectivo – 2010/2011

João Ricardo Cruz

Teresa Pereira

2

CONTAGEM E DISTRIBUIÇÃO DOS TEMPOS LECTIVOS

Quadro I – Calendário escolar

1º PERÍODO 2º PERÍODO 3º PERÍODO

SET OUT NOV DEZ T JAN FEV MAR ABRIL T ABRIL MAIO JUNHO T Total

2ªF 3 4 4 2 13 5 4 3 1 13 --- 5 1 6 32

3ªF 3 3 5 2 13 4 4 4 2 14 1 5 1 7 34

4ªF 3 4 4 1 12 4 4 4 2 14 1 4 2 7 33

5ªF 3 4 3 3 13 4 4 5 2 15 1 4 2 7 35

6ªF 2 5 4 3 14 4 4 4 3 15 1 4 1 6 35

Quadro II – Distribuição dos blocos

Período

1º

2º

3º

Total


34 36 18 88

Testes e Revisões Apresentações

6 6 4 16

Conteúdos Programáticos/Temas

Transversais 26 29 13 68

Apresentação/Auto-avaliação

2 1 1 4

Início das aulas Fim das aulas (Secundário)

13 de Setembro 9 de Junho de 2009 (9º, 11º e 12º Ano) 10 de Junho de 2009 (restantes)

Interrupções Ensino Secundário

Férias do Natal 20 de Dezembro a 31 de Dezembro

Férias do Carnaval 7 a 9 de Março

Férias da Páscoa 11 a 21 de Abril

3


1º PERÍODO 34

2º PERÍODO 36

3º PERÍODO 18

Finalidades da disciplina no ensino secundário: • Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa; • Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real; • Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em situações do dia a dia e no domínio das Ciências Sociais; • Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem matemática, a capacidade de comunicar e o espírito crítico. • Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência e particularmente para com a Matemática. • Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e solidariedade.

Objectivos e competências gerais

Valores / Atitudes Capacidades / Aptidões Conhecimentos

Desenvolver a confiança

em si próprio:

Exprimir e fundamentar

as suas opiniões.

Revelar espírito critico,

de rigor e de confiança

nos seus raciocínios.

Abordar situações novas

com interesse, espírito de

iniciativa e criatividade.

Procurar a informação de

que necessita.

Desenvolver interesses

culturais:

Manifestar vontade de

aprender e gosto pela

pesquisa.

Interessar-se por notícias

e publicações relativas a

Matemática e a


de utilizar a Matemática

na interpretação e

intervenção no real:

Analisar situações da

vida real identificando

modelos matemáticos

que permitam a sua

interpretação e

resolução.

Reconhecer o alcance e

limitações de um modelo

matemático.

Reconhecer que um

mesmo modelo

matemático pode

permitir analisar

situações diversas.

Seleccionar estratégias

de resolução de

problemas.

Formular hipóteses e

Conhecer diferentes

modelos matemáticos:

Explorar problemas

concretos modelados com

grafos.

Conhecer modelos

envolvendo funções

lineares, exponenciais,

logarítmicas e logísticas.

Ampliar conhecimentos de

Estatística e

Probabilidades:

Interpretar e comparar

distribuições estatísticas.

4

descobertas científicas e

tecnológicas.

Apreciar o contributo da

Matemática para a

compreensão e resolução

de problemas do Homem

através do tempo.

Desenvolver hábitos de

trabalho e persistência:

Elaborar e apresentar os

trabalhos de forma

organizada e cuidada.

Manifestar persistência

na procura de soluções

para uma situação nova.

Desenvolver o sentido da

responsabilidade:

Responsabilizar-se pelas

suas iniciativas e tarefas.

Avaliar situações e

tomar decisões.

Desenvolver o espírito de

tolerância e de

cooperação:

Colaborar em trabalhos

de grupo, partilhando

saberes e

responsabilidades.

Respeitar a opinião dos

outros e aceitar as

diferenças.

Intervir na dinamização

de actividades e na

resolução de problemas

da comunidade em que

se insere.

prever resultados.

Interpretar e criticar

resultados no contexto

do problema.

Compreender a

aleatoriedade presente

em situações do dia a dia

e em diferentes

fenómenos.

Desenvolver o raciocínio e

o pensamento cientifico:

Descobrir relações entre

conceitos matemáticos.

Formular generalizações

a partir de experiências.

Observar regularidades

em conjuntos de dados.

Formular hipóteses sobre

conjuntos de dados.

Validar conjecturas.

Compreender a relação

entre o avanço científico

e o progresso da

humanidade.


de comunicar e transmitir

a informação organizada:

Comunicar conceitos,

raciocínios e ideias,

oralmente e por escrito,

com clareza e rigor

Organizar a informação

extraída de conjuntos de

dados.

Interpretar textos de

Matemática.

Exprimir o mesmo

conceito em diversas

formas ou linguagens.

Apresentar os textos de

forma clara e organizada.

Resolver problemas

envolvendo cálculo de

probabilidade.

Resolver problemas de

contagem.

Conhecer aspectos da

História da Matemática:

Conhecer algumas

personalidades da História

da Matemática, com

particular incidência na

Matemática

contemporânea.

Conhecer alguns factos

marcantes da História da

Matemática e relacioná-

los com momentos

históricos de relevância

cultural ou social.

5

Desenvolver as

capacidades de utilização

das novas tecnologias:

calculadora gráfica,

computadores e internet.

Tratar, explorar e

transmitir dados

numéricos e gráficos.

Desenvolver projectos

que incluam pesquisa de

informação.

Criticamente dados,

informação e resultados

obtidos.

Planificação anual de Matemática Aplicada às Ciências Sociais


Curso Geral de Ciências Sociais e Humanas

1º Período 2º Período 3º Período

Desenvolvimento Programático 25 28 14

Apresentação, teste diagnóstico e respectiva correcção

1,5 - -

Realização e correcção dos testes de avaliação

4 4 2

Realização e apresentação de trabalhos 2 2 1

Trabalho na plataforma Moodle

Auto e hetero-avaliação 1,5 2 1

Total de blocos previstos 34 36 18

6

Livro adoptado: Matemática Aplicada às Ciências Sociais, Ensino Secundário

Bloco 2 (11º ou 12º ano)

Autores: Elisabete Longo e Isabel Branco

Editora: Texto Editores

Planificação a longo prazo de MACS – 11º Ano

Temas organizadores Nº de blocos

previstos

1º Período

I-Modelos Matemáticos

1. Modelos de Grafos

1.1. Noções básicas de grafos

1.2. O problema do carteiro chinês (PCC)

1.3. Caminhos e circuitos Eulerianos

1.4. Eulerização de grafos

1.5. Circuitos Hamiltonianos

1.6. O problema do caixeiro viajante ( PCV)

1.7. Árvores abrangentes mínimas

2. Modelos Populacionais

Modelos de crescimento

Modelos de crescimento linear

Modelos de crescimento exponencial

Modelos de crescimento logístico

Modelos de crescimento logarítmico

25

1

1

3

2

3

1

3

2

3

2

2

2

7

2º Período

II-Modelos de Probabilidade

1.1. Introdução histórica

1.2. Fenómenos aleatórios

1.3. Regra de Laplace

1.4. Modelos de probabilidade em espaços finitos

1.5. Função massa de probabilidade

1.6. Probabilidade condicional

1.7. Acontecimentos independentes

1.8. Probabilidade total

1.9. Regra de Bayes

1.10. Valor médio e variância populacional

1.11. Modelos discretos

1.12. Modelo de Poisson

1.13. Modelos contínuos

1.14. Modelo normal

III-Introdução à inferência estatística

1.1 Noções básicas

1.2 Métodos de amostragem

3º Período

III-Introdução à inferência estatística(Cont.)

1.3 Parâmetro e estatística. Estimativa pontual

1.4 Distribuição de amostragem de uma estatística

1.5 Estimação de um valor médio

1.6 Teorema do Limite central

1.7 Intervalos de confiança para o valor médio de

uma variável

1.8 Estimativa pontual de proporção

1.9 Intervalos de confiança para uma proporção

1.10 Interpretação do conceito de intervalo de

confiança (qualidade e tamanho da amostra)

28

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

3

1

1

3

1

2

18

1

3

3

1

3

2

3

2

8

MACS

Ano Lectivo 2009/10

Ano 11º

Turmas

Planificação por Tema

Recursos didácticos

Calculadora

Manual adoptado

História da Matemática

Retroprojector/ Acetatos

Quadro e marcadores

Projector/computador (wireless)

Fichas de exercícios

Plataforma Moodle

Planificação

Temas Conteúdos da aprendizagem N.º

Blocos

1. Modelos de

Grafos

-Grafo

-Grafo conexo

-Trilhos e circuitos Eulerianos

-O Problema do Carteiro Chinês

-Eulerizar um grafo

-As duas regras de Euler: para circuitos e para trilhos

-O Problema do caixeiro viajante

-Circuitos Hamiltonianos

-Algoritmo da força bruta

-Algoritmo do vizinho mais próximo

-Algoritmo do peso das arestas

-Árvores abrangentes mínimas

-algoritmo Kruskal

- instalação de uma central num grafo pesado

14

2. Modelos

Populacionais

-Modelo de crescimento linear

-Modelo de crescimento exponencial

-Modelo de crescimento logístico

-Modelo de crescimento logarítimo

-Resolução de problemas de modelação matemática

11

3. Modelos de

Probabilidade

-Fenómenos aleatórios.

-Argumentos de simetria e Regra de Laplace.

-Modelos de probabilidade em espaços finitos.

-Variáveis quantitativas. Função massa de probabilidade.

-Probabilidade condicional. Arvores de probabilidade.

25

9

-Acontecimentos independentes.

-Probabilidade Total. Regra de Bayes.

-Valor médio e variância populacional.

-Espaço de resultados infinitos. Modelos discretos e modelos contínuos.

-Exemplos de modelos contínuos.

-Modelo Normal.

4. Introdução à

Inferência

Estatística

-Parâmetro e estatística.

-Distribuição de amostragem de uma estatística.

-Noção de estimativa pontual. Estimação de um

valor médio.

-Importância da amostragem aleatória, no contexto da Inferência Estatística.

-Utilização do Teorema do Limite Central na obtenção da distribuição de

amostragem da média.

-Construção de estimativas intervalares ou intervalos de confiança para o valor

médio de uma variável.

-Estimativa pontual da proporção com que a população verifica uma propriedade.

-Construção de intervalos de confiança para a proporção.

-Interpretação do conceito de intervalo de confiança.

21

Cada pergunta vale 2 valores

Prof. João Cruz

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO DE MADEIRA TORRES Teste Diagnóstico 11º Macs - Setembro de 2010

Disciplina de MACS

CRITÉRIOS DE CORRECÇÃO DA PROVA

1. Três classes de ginástica de um clube decidem constituir uma associação

que defenda os seus interesses. A assembleia será constituída por 21

elementos, de acordo com o número de praticantes de cada modalidade,

utilizando o método de Hamilton:

Modalidade Número de praticantes Mandatos

Ginástica Desportiva 366 6

Capoeira 689 11

Aeróbica 296 4

1.1. Quantas pessoas votaram nesta eleição?

366+689+296……………1 ponto

1351…………………………….1 ponto

1.2. Qual a percentagem de elementos da associação que praticam

capoeira? E qual a percentagem de mandatos dos praticantes de

capoeira ?

1351

689……………………………..0,5 pontos

≈ 51% ..........................0,5 pontos

21

11………………………………..0,5 pontos

≈ 52,4%........................0,5 pontos


Prof. João Cruz

1.3. No ano seguinte, o número de praticantes foi precisamente o mesmo,

tendo os representantes de aeróbica insistido em nova distribuição:

Modalidade Número de

praticantes

Mandatos (proporcionalidade directa)

Ginástica Desportiva 366

Capoeira 689

Aeróbica 296

Tendo os dados da segunda tabela, procede à nova distribuição de mandatos.

Os praticantes de capoeira ficaram beneficiados ou prejudicados ?

1351 votos -> 21 mandatos …………………………………..0,5 pontos

366 votos -> 1351

21366≈ 5.689=6 mandatos.... 0,5 pontos

689 votos -> 1351

21689≈ 10.709=11 mandatos....0,5 pontos

296 votos -> 1351

21296≈ 4.601=4 mandatos.... 0,5 pontos

2. Na preparação para a prova do triplo salto um atleta fez as seguintes

marcas: 3 vezes 17,30; 5 vezes 16,90; 10 vezes 17,10. Qual a média de salto

deste atleta

3x17.30+5x16.90+10x17.10…………………………………1 ponto

1053

10x17.10+5x16.90+3x17.30

…………………………….0,5 pontos

≈ 17.08 metros………………………………………………………………....0,5 pontos


Prof. João Cruz

3. Uma máquina fotográfica custa 52 euros com iva a 20%, qual é o preço da

máquina sem iva ?

52 euros -> 120%………………………………….1 ponto

43,33 euros -> 100%.............................1 ponto

4. Uma pessoa comprou uma peça de roupa que custou 30 euros. No ano

seguinte leu no jornal que a inflação nesse ano foi de 3,1% . Quanto teria

custado a peça de roupa no final do ano já com a inflação ?

30 euros -> 100%...................................1 ponto

30,93 euros -> 103,1%...........................1 ponto

5.

O gráfico representa o nº de inscritos no ensino superior em Portugal desde 1995

até 2007

5.1 Em que ano houve mais alunos inscritos no ensino superior?

Extremo inferior 2002………………………………………..1 ponto

Extremo superior 2003……………………………………….1 ponto


Prof. João Cruz

5.2 A linha tem um decrescimento de nº de alunos inscritos, em que intervalo de

tempo se registou esse decrescimento? Indique uma razão para esse

decrescimento.

Extremo inferior 2002-2003………………………………….1 ponto

Extremo superior 2005-2006…………………………………1 ponto

5.3 No ano em que estamos 2008 quantos alunos (aproximadamente) se

inscreveram no ensino superior ?

>350000 ………………………………..1 ponto

<400000…………………………………1 ponto

5.4 Indique a taxa de crescimento entre 1995 e 2008

Valores de 1995 e 2008………………………………..0,5 pontos

Taxa=1995 devalor

2008 devalor …………………………………………1,5 pontos

Total= 20 pontos


1º Trabalho Macs11

(Apresente todas as justificações)

1. O construtor de um condomínio fechado deseja instalar um sistema

subterrâneo de sucção de resíduos sólidos provenientes de cada moradia. O

esquema de urbanização está representado pelo grafo seguinte:

Sendo cada moradia representada por um vértice e estando indicadas as

distâncias, em metros, entre cada uma.

1.1 Qual o menor número de metros de tubagem subterrânea a utilizar de forma a

minimizar (construir uma árvore abrangente mínima) o custo ? Justifique.

1.2 Onde deverá ficar situada uma central de recolha de lixo, de modo a

minimizar as distâncias percorridas ? Justifique.


2. Um viajante tem que ir a todas as cidades uma única vez, começando no

Porto, indo primeiro a Coimbra e terminando o circuito no Porto.

2.1 Qual o melhor circuito? Justifique.

2.2 E se partir do Porto atravessando uma única vez cada estrada (considere

auto-estradas para efeito de eulerização do grafo), regressando ao Porto,

indo primeiro a Coimbra, qual o melhor circuito? Justifique.

(Entregar o trabalho até 1 de Novembro)

As perguntas valem 2 pontos cada uma.

Prof. João Cruz

1


Considere a tabela referente a distâncias em km entre cruzamentos de ruas

num bairro de Lisboa.

A B C D

A 8

B 15 10 9

C 11

D 14

1. Construa um modelo de grafo correspondente ao bairro.

2. Construa um circuito atravessando todas as ruas uma única vez,

começando no cruzamento A e eulerizando AD e CB..

3. Que distâncias terá de repetir neste circuito? Justifique.

4. Que comprimento tem o circuito? Justifique.


11º H – Macs1

28 de Outubro de 2010

As perguntas valem 2 pontos cada uma.

Prof. João Cruz

2

5. Construa o melhor circuito que atravessa todos os cruzamentos uma única

vez, começando no cruzamento B e indo primeiro ao cruzamento C. (Com o

algoritmo da força-bruta).

6. Encontre o circuito de Hamilton com o algoritmo da ordenação dos pesos

das arestas.

7. Encontre o melhor circuito de Hamilton aplicando o algoritmo do vizinho

mais próximo a todos os cruzamentos.

8. Construa a árvore abrangente mínima aplicando o algoritmo Kruskal.

Indique o comprimento da árvore. Justifique.

9. Construa o melhor circuito de Hamilton para este modelo de grafo.

10. Qual o melhor cruzamento para instalar uma central de bicicletas?

Justifique.

Entregar até ao dia 2 de Dezembro Cada alínea vale 1.5 pontos, excepto as alíneas 2.1 e 3.1 que valem 1 ponto Prof. João Cruz

Trabalho 2

Modelos populacionais


1. Uma loja de fotografias pratica os seguintes preços:

€ 15 Pela revelação

€ 3 Por cada fotografia

€ 1.50 Por cada fotografia depois da 10ª

€ 1 Por cada fotografia depois da 25ª

€ 0.60 Por cada fotografia depois da 100ª

A Diana mandou revelar o rolo de 40 fotografias que tirou na viagem de

finalistas.

1.1 Quanto pagou a Joana?

1.2 Determine uma expressão que calcule o preço das 10 primeiras fotografias.

1.3 Se fossem apenas 7 fotografias quanto pagaria a Diana? (Aplique a fórmula de 1.2).

1.4 Construa uma tabela que justifique o resultado de 1.3 (na tabela deve constar o preço de

cada uma das 7 fotos).

1.5 Justifique que é um crescimento linear o preço das 10 primeiras fotos.

1.6 Se a Diana tivesse 100 fotos quanto pagaria? Construa um gráfico de pontos que modele o

pagamento das fotos.

Entregar até ao dia 2 de Dezembro Cada alínea vale 1.5 pontos, excepto as alíneas 2.1 e 3.1 que valem 1 ponto Prof. João Cruz

2. Um recipiente tem uma determinada quantidade de açúcar. Para o

dissolver adiciona-se água. A massa em gramas de açúcar não

dissolvido, t minutos após o início da dissolução é dada pelo modelo:

tempoo é t , e209M(t) 0.032t

2.1 Determine a massa inicial de açúcar contida no recipiente.

2.2 Determine a massa de açúcar dissolvida ao longo da primeira meia hora.

2.3 Qual a quantidade de açúcar que fica no fundo do recipiente sem nunca se dissolver?

2.4 Se a pessoa só puder tomar 5 gramas de açúcar, ao fim de quanto tempo estará a massa

com 5 gramas de açúcar dissolvido? em horas, minutos e segundos.

3. O crescimento de resíduos em gramas num pequeno aquário em casa

tem o seguinte modelo, com t em horas.

tempoo é t , 2.5e1

15P(t)

0.32t-

3.1 Que quantidade residual havia no início da contagem das horas?

3.2 O valor residual aumenta até atingir um valor estável. Qual o valor em que estabiliza?

3.3 Ao fim de quantas horas o valor residual é de 10 gramas.?

3.4 Faça uma tabela de horas para o valor residual desde o início até estabilizar.

Cada alínea vale 2 pontos

Prof. João Cruz

1


Nos resultados apresente a parte inteira contida no número

1. Um grupo de biólogos fez o estudo do crescimento de uma população de

gaivotas inglesas numa ilha deserta da Madeira. Chegaram ao seguinte modelo

de crescimento:

N(t)= 100+7(t-1)

Em que N(t) é o número de gaivotas em unidades e t o tempo em anos.

Configuração windows: xmin=0 xmax=30 ymin=0 ymax=300.

1.1 Que quantidade de gaivotas os biólogos colocaram na ilha no início do

estudo?

1.2 Ao fim de quanto tempo o nº de gaivotas triplica? (Em anos, meses e dias).

1.3 Sabe-se que ao fim de uma década de observações houve uma epidemia

que dizimou metade das gaivotas existentes no final do 11º ano de estudo.

Quantas gaivotas existiam no final do 10º ano de estudo? E no final do 11º ano

de estudo?

1.4 Explique porque é que este modelo não foi bom para representar o

crescimento desta população de gaivotas.


Macs11º H – Macs1

02 de Dezembro de 2010

Cada alínea vale 2 pontos

Prof. João Cruz

2

2. O decrescimento de uma população de índios pode ser representado pelo

modelo:

t(0.95)152P(t)

Em que P(t) é o nº de índios em unidades e t o tempo em anos.


2.1 Qual o nº de índios existente no início? (Justifique com cálculos)

2.2 Qual o nº de índios existente numa década? (Faça uma tabela ano a ano)

2.3 Ao fim de quanto tempo o nº de índios é 4? Desenhe o gráfico e assinale

esse tempo na curva de decrescimento.

3. O crescimento de uma população de passarinhos numa árvore pode ser

representado pelo modelo:

0.2te1

10P(t)

Em que P(t) é o nº de passarinhos em unidades e t o tempo em meses.


3.1 Qual o nº de passarinhos existente no início? (Apresente cálculos).

3.2 Qual o nº de passarinhos para que tende a população? (Apresente uma

tabela que justifique a sua resposta).

3.3 Ao fim de quanto tempo a população de passarinhos é de 8 passarinhos ?



1. Num saco existem 5 marcadores verdes e 4 pretos, retiram-se três

marcadores ao acaso (sem reposição). Seja X a variável aleatória que faz

corresponder a cada extracção o número de marcadores pretos. Defina a

função massa de probabilidade para esta variável. Construa uma árvore de

probabilidades.

2. Numa turma com 30 alunos, 50% praticam futebol, 40% praticam andebol e

30% não praticam qualquer modalidade. Quantos alunos:

2.1 – Praticam apenas andebol?

2.2 – Praticam futebol, sabendo-se que também praticam andebol?

3. Numa fábrica 75% dos empregados são do sexo masculino. A empresa vai abrir

outra fábrica, e tem que deslocar funcionários. 30% das mulheres e 40% dos

homens estão dispostos a deslocar-se para as novas instalações. Qual a

percentagem de mulheres que não está disposta a mudar de instalações?

Construa uma tabela de contingência.

4. Uma loja de roupa para homem, decidiu por em saldos todas as suas roupas

(calças, casacos, camisas e gravatas). A percentagem dos produtos

expostos é: 20% calças, 25% casacos, 30% camisas, sendo as gravatas o

restante. Todos os produtos têm defeito, sendo essa percentagem de 10%,

7%, 20% e 4%, respectivamente para as calças, casacos, camisas e

gravatas. Apresente os resultados com arredondamento às milésimas.

Construa uma tabela de contingência.

4.1 – Determine a probabilidade de vender um artigo com defeito.

4.2 – Sabendo que um artigo foi vendido com defeito, qual a probabilidade de ser

uma camisa.

4.3 – Qual a probabilidade de vender uma gravata, sabendo que não tinha defeito.


Macs11º H – Macs1

03 de Fevereiro de 2011

VALOR DAS PERGUNTAS

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 4.1 4.2 4.3

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5


PROF. JOÃO CRUZ

4º TRABALHO DE MACS11 - 11º H


1. O NÚMERO DE AUTOMÓVEIS QUE CHEGAM A UMA BOMBA DE GASOLINA NUM

PERÍODO DE 10 MINUTOS PODE SER REPRESENTADO POR UM MODELO DE POISSON COM

O PARÂMETRO λ=3.

CALCULE A PROBABILIDADE DE:

1.1 – EM 10 MINUTOS CHEGAREM 6 AUTOMÓVEIS.

1.2 – EM 15 MINUTOS CHEGAREM PELO MENOS 5 AUTOMÓVEIS.

1.3 – EM 20 MINUTOS NÃO CHEGAR NENHUM AUTOMÓVEL.

2. O NÚMERO DE DICIONÁRIOS VENDIDOS NUMA LIVRARIA, NUM PERÍODO DE 4 DIAS, É

UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA COM DISTRIBUIÇÃO DE POISSON DE PARÂMETRO λ = 15.

2.1 – DETERMINE O NÚMERO MÉDIO DE DICIONÁRIOS VENDIDOS DURANTE OITO DIAS.

2.2 – CALCULE A PROBABILIDADE DE:

2.2.1 – NUM PERÍODO DE 3 DIAS SEREM VENDIDOS NO MÁXIMO 4 DICIONÁRIOS.

2.2.2 – NUM PERÍODO DE 9 DIAS SEREM VENDIDOS ENTRE 15 E 18 DICIONÁRIOS,

INCLUINDO ESTES VALORES.

VALOR DAS PERGUNTAS

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 4.1 4.2 4.3

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5


PROF. JOÃO CRUZ

3. AS ALTURAS DOS INDIVÍDUOS DE UMA POPULAÇÃO DISTRIBUEM-SE NORMALMENTE

COM UMA MÉDIA DE 160 CM E UM DESVIO-PADRÃO DE 10 CM.

3.1 – CALCULE A PROBABILIDADE DE QUE:

3.1.1 – UM INDIVÍDUO DA POPULAÇÃO TENHA ALTURA SUPERIOR A 170 CM.

3.1.2 – UM INDIVÍDUO TENHA UMA ESTATURA MENOR QUE 150 CM.

3.2 – DETERMINE A PERCENTAGEM DE INDIVÍDUOS DA POPULAÇÃO QUE TÊM UMA

ALTURA ENTRE 165 CM E 180 CM.

4. NUMA DISTRIBUIÇÃO N (0,1), CALCULE:

4.1 – P(X > 0,5).

4.2 – P(X ≤ 0,5).

4.3 – P(-0,5 ≤ X ≤ 0 ).

VALOR DAS PERGUNTAS

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 4.1 4.2 4.3

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

PROF. JOÃO CRUZ


1. O NÚMERO DE AUTOMÓVEIS QUE CHEGAM A UMA BOMBA DE GASOLINA NUM

PERÍODO DE 15 MINUTOS PODE SER REPRESENTADO POR UM MODELO DE POISSON COM

O PARÂMETRO λ=5.

CALCULE A PROBABILIDADE DE:

1.1 – EM 10 MINUTOS CHEGAREM 3 AUTOMÓVEIS.

1.2 – EM 15 MINUTOS CHEGAREM PELO MENOS 5 AUTOMÓVEIS.

1.3 – EM 20 MINUTOS NÃO CHEGAR NENHUM AUTOMÓVEL.

2. O NÚMERO DE DICIONÁRIOS VENDIDOS NUMA LIVRARIA, NUM PERÍODO DE 6 DIAS, É

UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA COM DISTRIBUIÇÃO DE POISSON DE PARÂMETRO λ = 18.

2.1 – DETERMINE O NÚMERO MÉDIO DE DICIONÁRIOS VENDIDOS DURANTE TRÊS DIAS.

2.2 – CALCULE A PROBABILIDADE DE:

2.2.1 – NUM PERÍODO DE 3 DIAS SEREM VENDIDOS NO MÁXIMO 6 DICIONÁRIOS.

4º TESTE DE AVALIAÇÃO

MACS11º H – MACS1

MARÇO DE 2011

VALOR DAS PERGUNTAS

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 4.1 4.2 4.3

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

PROF. JOÃO CRUZ

2.2.2 – NUM PERÍODO DE 9 DIAS SEREM VENDIDOS ENTRE 12 E 18 DICIONÁRIOS,

INCLUINDO ESTES VALORES.

3. AS ALTURAS DOS INDIVÍDUOS DE UMA POPULAÇÃO DISTRIBUEM-SE NORMALMENTE

COM UMA MÉDIA DE 150 CM E UM DESVIO-PADRÃO DE 25 CM.

3.1 – CALCULE A PROBABILIDADE DE QUE:

3.1.1 – UM INDIVÍDUO DA POPULAÇÃO TENHA ALTURA SUPERIOR A 170 CM.

3.1.2 – UM INDIVÍDUO TENHA UMA ESTATURA MENOR QUE 150 CM.

3.2 – DETERMINE A PERCENTAGEM DE INDIVÍDUOS DA POPULAÇÃO QUE TÊM UMA

ALTURA ENTRE 155 CM E 175 CM.

4. NUMA DISTRIBUIÇÃO N (0,1), CALCULE:

4.1 – P(X > -0,5).

4.2 – P(X ≤ 3).

4.3 – P(-0,5 ≤ X ≤ 2 ).

Cada uma das 2 perguntas vale 10 pontos

Entregar até dia 20 de Maio

Prof. João Cruz

5º Trabalho Macs 11


1. Considere a população 11, 12, 13, 14. 1.1 Calcule o desvio padrão σ.

1.2 Identifique todas as amostras de dimensão 3 desta população, com reposição.

(Nota: são 64 amostras)

1.3 Defina uma função de distribuição das médias para o estimador da média de

dimensão 3 desta população.

1.4 Calcule o desvio padrão da função anterior.

1.5 Verifique que o erro padrão é aproximadamente igual ao desvio padrão da

função .

2. Considere uma amostra de dimensão 50 em que: ū=10 e σ=2. Justifique todos os resultados a que chegou. 2.1 Calcule o IC intervalo de confiança para parâmetro µ média da população desta

amostra com 95% de confiança.

2.2 Qual o erro padrão deste IC. 2.3 Qual a margem de erro deste IC 2.4 Se aumentarem a dimensão para 100 para as mesmas: média, desvio padrão e

confiança; a margem de erro aumenta ou diminui? Qual a razão entre as duas margens de erro?

2.5 Considere uma amostra de dimensão 500 de uma sondagem para as eleições

legislativas em que 100 pessoas declararam a intenção de votar no partido A. Construa um IC com 99% de confiança para a proporção p dos votantes no partido A.

2.5.1 Qual o erro padrão?

2.5.2 Qual a margem de erro?

2.5.3 Para o mesmo estimador da proporção do partido A o que acontece à

amplitude do IC se diminuírem a confiança do intervalo para 95%?


Prof. João Cruz


1. Considere a população 11, 12, 14, 15.

1.1 Calcule o desvio padrão σ.

1.2 Identifique todas as amostras de dimensão 2 desta população, com

reposição. (Nota: são 16 amostras)

1.3 Defina uma função de distribuição das médias para o estimador da

média de dimensão 2 desta população.

1.4 Calcule o desvio padrão da função anterior.

1.5 Verifique que o erro padrão é aproximadamente igual ao desvio

padrão da função .

2. Considere uma amostra de dimensão 100 em que: ū=15 e σ=4.

Justifique todos os resultados a que chegou.

2.1 Calcule o IC intervalo de confiança para parâmetro µ média da

população desta amostra com 99% de confiança.

2.2 Qual o erro padrão deste IC.


Macs 11º H-Macs1

31 de Maio de 2011


Prof. João Cruz

2.3 Qual a margem de erro deste IC

2.4 Se aumentarem a dimensão para 200 para as mesmas: média,

desvio padrão e confiança; a margem de erro aumenta ou diminui?

2.5 Considere uma amostra de dimensão 300 de uma sondagem para as

eleições legislativas em que 200 pessoas declararam a intenção de

votar no partido A. Construa um IC com 95% de confiança para a

proporção p dos votantes no partido A.

2.5.1 Qual o erro padrão?

2.5.2 Qual a margem de erro?

2.5.3 Para o mesmo estimador da proporção do partido A o que

acontece à amplitude do IC se diminuírem a confiança do

intervalo para 90%?

Documents

2011